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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 28}$ = $4$

- \sqrt{- 3 x + 28}

=

4

|:(

- 1

)

\sqrt{- 3 x + 28}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 5$	=	${(x)}^{2}$

6 x - 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 5}$

= $\sqrt{30 - 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{96 x - 119}$ = $3 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{96 x - 119}$	=	$3 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$96 x - 119$	=	${(3 x + 4)}^{2}$

96 x - 119

=

9 x^{2} + 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

- 24 x

- 16

- 9 x^{2} + 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{96 x - 119}$

$=$ $\sqrt{96 \cdot 3 - 119}$

= $\sqrt{288 - 119}$

= $\sqrt{169}$

= $13$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 x + 4$

$=$ $3 \cdot 3 + 4$

= $9 + 4$

= $13$

Also 13 = 13

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{96 x - 119}$

$=$ $\sqrt{96 \cdot 5 - 119}$

= $\sqrt{480 - 119}$

= $\sqrt{361}$

= $19$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 x + 4$

$=$ $3 \cdot 5 + 4$

= $15 + 4$

= $19$

Also 19 = 19

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 51}$ = $2 \sqrt{x + 11}$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 51}$	=	$2 \sqrt{x + 11}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 51$	=	${(2 \sqrt{x + 11})}^{2}$

$5 x + 51$	=	$4 (x + 11)$
$5 x + 51$	=	$4 x + 44$	\| $- 51$
$5 x$	=	$4 x - 7$	\| $- 4 x$
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{5 x + 51}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 7) + 51}$

= $\sqrt{- 35 + 51}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $2 \sqrt{x + 11}$

$=$ $2 \sqrt{- 7 + 11}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x}$ = $\sqrt{2 x + 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x}$	=	$\sqrt{2 x + 7} + 1$
$2 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{2 x + 7} + 1$	\|: $2$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2})}^{2}$

$x$	=	$\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2} x + 2$	\|⋅ 2
$2 x$	=	$2 (\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2} x + 2)$
$2 x$	=	$\sqrt{2 x + 7} + x + 4$	\| $- 2 x$ $- \sqrt{2 x + 7}$
$- \sqrt{2 x + 7}$	=	$- x + 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 7}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 7$	=	${(x - 4)}^{2}$

2 x + 7

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 10 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10+8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10-8}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{x}$

$=$ $2 \sqrt{1}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 + 7} + 1$

= $\sqrt{2 + 7} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{x}$

$=$ $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 + 7} + 1$

= $\sqrt{18 + 7} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 9

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $1$

Probe für x = $9$