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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 2x +2 = -6

Lösung einblenden
-3 2x +2 = -6 |:(-3 )
2x +2 = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
2x +2 = 2 2
2x +2 = 4 | -2
2x = 2 |:2
x = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 1

Linke Seite:

x = 1 in -3 2x +2

= -3 21 +2

= -3 2 +2

= -3 4

= -6

Rechte Seite:

x = 1 in -6

= -6

Also -6 = -6

x = 1 ist somit eine Lösung !

L={ 1 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

15x +109 +3x = -1

Lösung einblenden
15x +109 +3x = -1 | -3x
15x +109 = -3x -1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
15x +109 = ( -3x -1 ) 2
15x +109 = 9 x 2 +6x +1 | -9 x 2 -6x -1
-9 x 2 +9x +108 = 0 |:9

- x 2 + x +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -1 ) · 12 2( -1 )

x1,2 = -1 ± 1 +48 -2

x1,2 = -1 ± 49 -2

x1 = -1 + 49 -2 = -1 +7 -2 = 6 -2 = -3

x2 = -1 - 49 -2 = -1 -7 -2 = -8 -2 = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -3

Linke Seite:

x = -3 in 15x +109 +3x

= 15( -3 ) +109 +3( -3 )

= -45 +109 -9

= 64 -9

= 8 -9

= -1

Rechte Seite:

x = -3 in -1

= -1

Also -1 = -1

x = -3 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 4

Linke Seite:

x = 4 in 15x +109 +3x

= 154 +109 +34

= 60 +109 +12

= 169 +12

= 13 +12

= 25

Rechte Seite:

x = 4 in -1

= -1

Also 25 ≠ -1

x = 4 ist somit keine Lösung !

L={ -3 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

15x +184 = 2 3x +40

Lösung einblenden
15x +184 = 2 3x +40 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
15x +184 = ( 2 3x +40 ) 2
15x +184 = 4( 3x +40 )
15x +184 = 12x +160 | -184
15x = 12x -24 | -12x
3x = -24 |:3
x = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -8

Linke Seite:

x = -8 in 15x +184

= 15( -8 ) +184

= -120 +184

= 64

= 8

Rechte Seite:

x = -8 in 2 3x +40

= 2 3( -8 ) +40

= 2 -24 +40

= 2 16

= 8

Also 8 = 8

x = -8 ist somit eine Lösung !

L={ -8 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7x -10 = 5x -9 +1

Lösung einblenden
7x -10 = 5x -9 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
7x -10 = ( 5x -9 +1 ) 2
7x -10 = 2 5x -9 +5x -8 | -7x +10 -2 5x -9
-2 5x -9 = -2x +2 |:(-2 )
5x -9 = x -1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
5x -9 = ( x -1 ) 2
5x -9 = x 2 -2x +1 | - x 2 +2x -1

- x 2 +7x -10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · ( -1 ) · ( -10 ) 2( -1 )

x1,2 = -7 ± 49 -40 -2

x1,2 = -7 ± 9 -2

x1 = -7 + 9 -2 = -7 +3 -2 = -4 -2 = 2

x2 = -7 - 9 -2 = -7 -3 -2 = -10 -2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 7x -10

= 72 -10

= 14 -10

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = 2 in 5x -9 +1

= 52 -9 +1

= 10 -9 +1

= 1 +1

= 1 +1

= 2

Also 2 = 2

x = 2 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 7x -10

= 75 -10

= 35 -10

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 5 in 5x -9 +1

= 55 -9 +1

= 25 -9 +1

= 16 +1

= 4 +1

= 5

Also 5 = 5

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 2 ; 5 }