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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 1}$ = $12$

$3 \sqrt{3 x + 1}$	=	$12$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$4^{2}$

$3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 5 + 1}$

= $3 \sqrt{15 + 1}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $12$

$=$ $12$

Also 12 = 12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x)}^{2}$

x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x + 6}$

$=$ $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 89}$ = $- 2 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 89}$	=	$- 2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 89$	=	${(- 2 x - 3)}^{2}$

16 x + 89

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} + 4 x + 80

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{16 x + 89}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 4) + 89}$

= $\sqrt{- 64 + 89}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x - 3$

$=$ $- 2 \cdot (- 4) - 3$

= $8 - 3$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{16 x + 89}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 5 + 89}$

= $\sqrt{80 + 89}$

= $\sqrt{169}$

= $13$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 2 x - 3$

$=$ $- 2 \cdot 5 - 3$

= $- 10 - 3$

= $- 13$

Also 13 ≠ -13

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x - 17}$ = $2 \sqrt{3 x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x - 17}$	=	$2 \sqrt{3 x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x - 17$	=	${(2 \sqrt{3 x - 5})}^{2}$

$11 x - 17$	=	$4 (3 x - 5)$
$11 x - 17$	=	$12 x - 20$	\| $+ 17$
$11 x$	=	$12 x - 3$	\| $- 12 x$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{11 x - 17}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 3 - 17}$

= $\sqrt{33 - 17}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{3 x - 5}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 3 - 5}$

= $2 \sqrt{9 - 5}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 7}$ = $\sqrt{3 x + 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 7}$	=	$\sqrt{3 x + 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 7$	=	${(\sqrt{3 x + 7} + 2)}^{2}$

$7 x + 7$	=	$4 \sqrt{3 x + 7} + 3 x + 11$	\| $- 7 x$ $- 7$ $- 4 \sqrt{3 x + 7}$
$- 4 \sqrt{3 x + 7}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	${(x - 1)}^{2}$

3 x + 7

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5+7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5-7}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 7}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 7}$

= $\sqrt{- 7 + 7}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 7} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 7} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{7 x + 7}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 6 + 7}$

= $\sqrt{42 + 7}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{3 x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 6 + 7} + 2$

= $\sqrt{18 + 7} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 6

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $6$