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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x}$ = $- 3$

$- 3 \sqrt{x}$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{2}$

x

=

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 3 \sqrt{x}$

$=$ $- 3 \sqrt{1}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 3}$

= $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 6}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 6}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 6$	=	${(x + 2)}^{2}$

3 x + 6

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 6}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 6}$

= $\sqrt{- 6 + 6}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x + 2$

$=$ $- 2 + 2$

= 0

Also 0 = 0

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x + 6}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 + 6}$

= $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x + 2$

$=$ $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{33 x + 144}$ = $3 \sqrt{4 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{33 x + 144}$	=	$3 \sqrt{4 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$33 x + 144$	=	${(3 \sqrt{4 x + 13})}^{2}$

$33 x + 144$	=	$9 (4 x + 13)$
$33 x + 144$	=	$36 x + 117$	\| $- 144$
$33 x$	=	$36 x - 27$	\| $- 36 x$
$- 3 x$	=	$- 27$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{33 x + 144}$

$=$ $\sqrt{33 \cdot 9 + 144}$

= $\sqrt{297 + 144}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{4 x + 13}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 9 + 13}$

= $3 \sqrt{36 + 13}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 5}$ = $\sqrt{2 x + 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 5}$	=	$\sqrt{2 x + 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(\sqrt{2 x + 2} + 1)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$2 \sqrt{2 x + 2} + 2 x + 3$	\| $- 4 x$ $- 5$ $- 2 \sqrt{2 x + 2}$
$- 2 \sqrt{2 x + 2}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 2}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 2$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 2$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 2$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 2} + 1$

= $\sqrt{- 2 + 2} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5}$

= $\sqrt{4 + 5}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 + 2} + 1$

= $\sqrt{2 + 2} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$