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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 6}$ = $- 2$

$- \sqrt{x + 6}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	$2^{2}$

$x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- \sqrt{x + 6}$

$=$ $- \sqrt{- 2 + 6}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 28 x - 48}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 28 x - 48}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 28 x - 48$	=	${(2 x)}^{2}$

- 28 x - 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot (- 4) - 48}$

= $\sqrt{112 - 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 4)$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot (- 3) - 48}$

= $\sqrt{84 - 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 3)$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 41}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 41}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 41$	=	${(x + 4)}^{2}$

$8 x + 41$	=	$x^{2} + 8 x + 16$	\| $- 41$
$8 x$	=	$x^{2} + 8 x - 25$	\| $- x^{2}$ $- 8 x$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{8 x + 41}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 5) + 41}$

= $\sqrt{- 40 + 41}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x + 4$

$=$ $- 5 + 4$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{8 x + 41}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 5 + 41}$

= $\sqrt{40 + 41}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x + 4$

$=$ $5 + 4$

= $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 324}$ = $2 \sqrt{5 x + 89}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 324}$	=	$2 \sqrt{5 x + 89}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 324$	=	${(2 \sqrt{5 x + 89})}^{2}$

$16 x + 324$	=	$4 (5 x + 89)$
$16 x + 324$	=	$20 x + 356$	\| $- 324$
$16 x$	=	$20 x + 32$	\| $- 20 x$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{16 x + 324}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 8) + 324}$

= $\sqrt{- 128 + 324}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $2 \sqrt{5 x + 89}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 8) + 89}$

= $2 \sqrt{- 40 + 89}$

= $2 \sqrt{49}$

= $14$

Also 14 = 14

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 23}$ = $\sqrt{4 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 23}$	=	$\sqrt{4 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 23$	=	${(\sqrt{4 x - 11} + 2)}^{2}$

$8 x - 23$	=	$4 \sqrt{4 x - 11} + 4 x - 7$	\| $- 8 x$ $+ 23$ $- 4 \sqrt{4 x - 11}$
$- 4 \sqrt{4 x - 11}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 11}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 11$	=	${(x - 4)}^{2}$

4 x - 11

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 12 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 12+6}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 12-6}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 27$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 23}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 23}$

= $\sqrt{24 - 23}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 11} + 2$

= $\sqrt{12 - 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{8 x - 23}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 9 - 23}$

= $\sqrt{72 - 23}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{4 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 9 - 11} + 2$

= $\sqrt{36 - 11} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 9

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $3$

Probe für x = $9$