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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 4}$ = $- 4$

2 \sqrt{- 3 x + 4}

=

- 4

|:

2

\sqrt{- 3 x + 4}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 2}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	${(x)}^{2}$

- x + 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- (- 2) + 2}$

= $\sqrt{2 + 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- 1 + 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 54 x - 18} - 3 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 54 x - 18} - 3 x$	=	$- 3$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{- 54 x - 18}$	=	$3 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 54 x - 18$	=	${(3 x - 3)}^{2}$

- 54 x - 18

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} - 36 x - 27

= 0 |:9

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 54 x - 18} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 54 \cdot (- 3) - 18} - 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{162 - 18} + 9$

= $\sqrt{144} + 9$

= $12 + 9$

= $21$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also 21 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 54 x - 18} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 54 \cdot (- 1) - 18} - 3 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{54 - 18} + 3$

= $\sqrt{36} + 3$

= $6 + 3$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also 9 ≠ -3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 51}$ = $3 \sqrt{2 x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 51}$	=	$3 \sqrt{2 x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 51$	=	${(3 \sqrt{2 x + 6})}^{2}$

$15 x + 51$	=	$9 (2 x + 6)$
$15 x + 51$	=	$18 x + 54$	\| $- 51$
$15 x$	=	$18 x + 3$	\| $- 18 x$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{15 x + 51}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot (- 1) + 51}$

= $\sqrt{- 15 + 51}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 4}$ = $\sqrt{x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 4}$	=	$\sqrt{x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(\sqrt{x + 5} + 1)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$2 \sqrt{x + 5} + x + 6$	\| $- 3 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{x + 5}$
$- 2 \sqrt{x + 5}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 5}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 5$	=	${(x - 1)}^{2}$

x + 5

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4}$

= $\sqrt{- 3 + 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{- 1 + 5} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $\sqrt{12 + 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{4 + 5} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 4

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$