Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 3}$ = $9$

- 3 \sqrt{- 2 x + 3}

=

9

|:(

- 3

)

\sqrt{- 2 x + 3}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 80}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 80}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 80$	=	${(2 x)}^{2}$

- 4 x + 80

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 4 x + 80

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 80}$

= $\sqrt{20 + 80}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 4 + 80}$

= $\sqrt{- 16 + 80}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x - 11} + 3 x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x - 11} + 3 x$	=	$- 4$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 12 x - 11}$	=	$- 3 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x - 11$	=	${(- 3 x - 4)}^{2}$

- 12 x - 11

=

9 x^{2} + 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

- 24 x

- 16

- 9 x^{2} - 36 x - 27

= 0 |:9

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 12 x - 11} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 3) - 11} + 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{36 - 11} - 9$

= $\sqrt{25} - 9$

= $5 - 9$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 12 x - 11} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 1) - 11} + 3 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{12 - 11} - 3$

= $\sqrt{1} - 3$

= $1 - 3$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -2 ≠ -4

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 5}$ = $2 \sqrt{2 x + 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 5}$	=	$2 \sqrt{2 x + 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 5$	=	${(2 \sqrt{2 x + 2})}^{2}$

$11 x + 5$	=	$4 (2 x + 2)$
$11 x + 5$	=	$8 x + 8$	\| $- 5$
$11 x$	=	$8 x + 3$	\| $- 8 x$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{11 x + 5}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 1 + 5}$

= $\sqrt{11 + 5}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{2 x + 2}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 1 + 2}$

= $2 \sqrt{2 + 2}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 67}$ = $\sqrt{4 x + 44} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 67}$	=	$\sqrt{4 x + 44} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 67$	=	${(\sqrt{4 x + 44} + 1)}^{2}$

$6 x + 67$	=	$2 \sqrt{4 x + 44} + 4 x + 45$	\| $- 6 x$ $- 67$ $- 2 \sqrt{4 x + 44}$
$- 2 \sqrt{4 x + 44}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 44}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 44$	=	${(x + 11)}^{2}$

4 x + 44

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 77)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 308}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18+4}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18-4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 18 x + 77$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 77$ = $81$ $-$ $77$ = $4$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 9$ - $2$ = -11

x₂ = $- 9$ + $2$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 11) + 67}$

= $\sqrt{- 66 + 67}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{4 x + 44} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 11) + 44} + 1$

= $\sqrt{- 44 + 44} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 11$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 67}$

= $\sqrt{- 42 + 67}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 44} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 44} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 44} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 11$ ; $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -7

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 7$