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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- x + 6}$ = $6$

$3 \sqrt{- x + 6}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{- x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	$2^{2}$

$- x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{- x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $3 \cdot 2$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x - 1}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x - 1}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x - 1$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x - 1

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 2 x - 1}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 1) - 1}$

= $\sqrt{2 - 1}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 7} + 2 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 7} + 2 x$	=	$- 3$	\| $- 2 x$
$\sqrt{- 4 x - 7}$	=	$- 2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 7$	=	${(- 2 x - 3)}^{2}$

- 4 x - 7

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 16 x - 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 4 x - 7} + 2 x$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 2) - 7} + 2 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{8 - 7} - 4$

= $\sqrt{1} - 4$

= $1 - 4$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{37 x + 255}$ = $3 \sqrt{4 x + 28}$

Lösung einblenden

$\sqrt{37 x + 255}$	=	$3 \sqrt{4 x + 28}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$37 x + 255$	=	${(3 \sqrt{4 x + 28})}^{2}$

$37 x + 255$	=	$9 (4 x + 28)$
$37 x + 255$	=	$36 x + 252$	\| $- 255$
$37 x$	=	$36 x - 3$	\| $- 36 x$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{37 x + 255}$

$=$ $\sqrt{37 \cdot (- 3) + 255}$

= $\sqrt{- 111 + 255}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{4 x + 28}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 3) + 28}$

= $3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 91}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 91}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 91$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 2)}^{2}$

$7 x + 91$	=	$4 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 47$	\| $- 7 x$ $- 91$ $- 4 \sqrt{3 x + 43}$
$- 4 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 11)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 78)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 312}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19+7}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19-7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 78$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 13) + 91}$

= $\sqrt{- 91 + 91}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 13) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 39 + 43} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 6) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 18 + 43} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -6

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 6$