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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{(- 2 x)}$ = $- 6$

3 \sqrt{(- 2 x)}

=

- 6

|:

3

\sqrt{(- 2 x)}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x - 16}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x - 16}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x - 16$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 20 x - 16

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 20 x - 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 20 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 4) - 16}$

= $\sqrt{80 - 16}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 4)$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 20 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 1) - 16}$

= $\sqrt{20 - 16}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x - 7}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x - 7}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x - 7$	=	${(x + 3)}^{2}$

14 x - 7

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{14 x - 7}$

$=$ $\sqrt{14 \cdot 4 - 7}$

= $\sqrt{56 - 7}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x + 3$

$=$ $4 + 3$

= $7$

Also 7 = 7

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x - 24}$ = $2 \sqrt{3 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x - 24}$	=	$2 \sqrt{3 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x - 24$	=	${(2 \sqrt{3 x - 8})}^{2}$

$11 x - 24$	=	$4 (3 x - 8)$
$11 x - 24$	=	$12 x - 32$	\| $+ 24$
$11 x$	=	$12 x - 8$	\| $- 12 x$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{11 x - 24}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 8 - 24}$

= $\sqrt{88 - 24}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{3 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 8 - 8}$

= $2 \sqrt{24 - 8}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 64}$ = $\sqrt{2 x + 39} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 64}$	=	$\sqrt{2 x + 39} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 64$	=	${(\sqrt{2 x + 39} + 1)}^{2}$

$4 x + 64$	=	$2 \sqrt{2 x + 39} + 2 x + 40$	\| $- 4 x$ $- 64$ $- 2 \sqrt{2 x + 39}$
$- 2 \sqrt{2 x + 39}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 39}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 39$	=	${(x + 12)}^{2}$

2 x + 39

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 105)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22+8}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22-8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 105$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 105$ = $121$ $-$ $105$ = $16$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 11$ - $4$ = -15

x₂ = $- 11$ + $4$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{4 x + 64}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 15) + 64}$

= $\sqrt{- 60 + 64}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{2 x + 39} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 15) + 39} + 1$

= $\sqrt{- 30 + 39} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 64}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 64}$

= $\sqrt{- 28 + 64}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 39} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 39} + 1$

= $\sqrt{- 14 + 39} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -7

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 7$