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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x}$ = $3$

$3 \sqrt{x}$	=	$3$	\|: $3$
$\sqrt{x}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{2}$

x

=

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{x}$

$=$ $3 \sqrt{1}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 12}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 12}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 12$	=	${(- x)}^{2}$

x + 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- x$

$=$ $- (- 3)$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x + 12}$

$=$ $\sqrt{4 + 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 25}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 25}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 25$	=	${(x + 4)}^{2}$

$8 x + 25$	=	$x^{2} + 8 x + 16$	\| $- 25$
$8 x$	=	$x^{2} + 8 x - 9$	\| $- x^{2}$ $- 8 x$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{8 x + 25}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 3) + 25}$

= $\sqrt{- 24 + 25}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x + 4$

$=$ $- 3 + 4$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x + 25}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 + 25}$

= $\sqrt{24 + 25}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x + 4$

$=$ $3 + 4$

= $7$

Also 7 = 7

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x - 21}$ = $3 \sqrt{2 x - 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x - 21}$	=	$3 \sqrt{2 x - 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x - 21$	=	${(3 \sqrt{2 x - 2})}^{2}$

$21 x - 21$	=	$9 (2 x - 2)$
$21 x - 21$	=	$18 x - 18$	\| $+ 21$
$21 x$	=	$18 x + 3$	\| $- 18 x$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{21 x - 21}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot 1 - 21}$

= $\sqrt{21 - 21}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{2 x - 2}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 1 - 2}$

= $3 \sqrt{2 - 2}$

= $3 \sqrt{0}$

= 0

Also 0 = 0

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 52}$ = $\sqrt{4 x + 24} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 52}$	=	$\sqrt{4 x + 24} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 52$	=	${(\sqrt{4 x + 24} + 2)}^{2}$

$8 x + 52$	=	$4 \sqrt{4 x + 24} + 4 x + 28$	\| $- 8 x$ $- 52$ $- 4 \sqrt{4 x + 24}$
$- 4 \sqrt{4 x + 24}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 24}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 24$	=	${(x + 6)}^{2}$

4 x + 24

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8+4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8-4}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{8 x + 52}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 6) + 52}$

= $\sqrt{- 48 + 52}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 24} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{8 x + 52}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 2) + 52}$

= $\sqrt{- 16 + 52}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 8 + 24} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -2

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 2$