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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 49}$ = $- 7$

\sqrt{- 3 x + 49}

=

- 7

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 5}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 5}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 5$	=	${(- x)}^{2}$

6 x - 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 5}$

= $\sqrt{30 - 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 4}$ = $- x - 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 4}$	=	$- x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	${(- x - 4)}^{2}$

x + 4

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 4}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 4}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x - 4$

$=$ $- (- 4) - 4$

= $4 - 4$

= 0

Also 0 = 0

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{x + 4}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- x - 4$

$=$ $- (- 3) - 4$

= $3 - 4$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{13 x - 26}$ = $3 \sqrt{x - 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{13 x - 26}$	=	$3 \sqrt{x - 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13 x - 26$	=	${(3 \sqrt{x - 2})}^{2}$

$13 x - 26$	=	$9 (x - 2)$
$13 x - 26$	=	$9 x - 18$	\| $+ 26$
$13 x$	=	$9 x + 8$	\| $- 9 x$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{13 x - 26}$

$=$ $\sqrt{13 \cdot 2 - 26}$

= $\sqrt{26 - 26}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{x - 2}$

$=$ $3 \sqrt{2 - 2}$

= $3 \sqrt{0}$

= 0

Also 0 = 0

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 41}$ = $\sqrt{2 x + 24} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 41}$	=	$\sqrt{2 x + 24} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 41$	=	${(\sqrt{2 x + 24} + 1)}^{2}$

$4 x + 41$	=	$2 \sqrt{2 x + 24} + 2 x + 25$	\| $- 4 x$ $- 41$ $- 2 \sqrt{2 x + 24}$
$- 2 \sqrt{2 x + 24}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 24}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 24$	=	${(x + 8)}^{2}$

2 x + 24

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14+6}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14-6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 7$ - $3$ = -10

x₂ = $- 7$ + $3$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 10) + 41}$

= $\sqrt{- 40 + 41}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{2 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 10) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 24} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 41}$

= $\sqrt{- 16 + 41}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 24} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -4

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 4$