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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 2x +6 = -4

Lösung einblenden
- 2x +6 = -4 |:(-1 )
2x +6 = 4 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
2x +6 = 4 2
2x +6 = 16 | -6
2x = 10 |:2
x = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in - 2x +6

= - 25 +6

= - 10 +6

= - 16

= -4

Rechte Seite:

x = 5 in -4

= -4

Also -4 = -4

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 5 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7x -10 = x

Lösung einblenden
7x -10 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
7x -10 = ( x ) 2
7x -10 = x 2 | - x 2

- x 2 +7x -10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · ( -1 ) · ( -10 ) 2( -1 )

x1,2 = -7 ± 49 -40 -2

x1,2 = -7 ± 9 -2

x1 = -7 + 9 -2 = -7 +3 -2 = -4 -2 = 2

x2 = -7 - 9 -2 = -7 -3 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +7x -10 = 0 |: -1

x 2 -7x +10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - 10 = 49 4 - 10 = 49 4 - 40 4 = 9 4

x1,2 = 7 2 ± 9 4

x1 = 7 2 - 3 2 = 4 2 = 2

x2 = 7 2 + 3 2 = 10 2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 7x -10

= 72 -10

= 14 -10

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = 2 in x

= 2

Also 2 = 2

x = 2 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 7x -10

= 75 -10

= 35 -10

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 5 in x

= 5

Also 5 = 5

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 2 ; 5 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

8x -8 = -2x +2

Lösung einblenden
8x -8 = -2x +2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
8x -8 = ( -2x +2 ) 2
8x -8 = 4 x 2 -8x +4 | -4 x 2 +8x -4
-4 x 2 +16x -12 = 0 |:4

- x 2 +4x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · ( -3 ) 2( -1 )

x1,2 = -4 ± 16 -12 -2

x1,2 = -4 ± 4 -2

x1 = -4 + 4 -2 = -4 +2 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -4 - 4 -2 = -4 -2 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +4x -3 = 0 |: -1

x 2 -4x +3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 1

Linke Seite:

x = 1 in 8x -8

= 81 -8

= 8 -8

= 0

= 0

Rechte Seite:

x = 1 in -2x +2

= -21 +2

= -2 +2

= 0

Also 0 = 0

x = 1 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 8x -8

= 83 -8

= 24 -8

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = 3 in -2x +2

= -23 +2

= -6 +2

= -4

Also 4 ≠ -4

x = 3 ist somit keine Lösung !

L={ 1 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

23x +219 = 3 3x +27

Lösung einblenden
23x +219 = 3 3x +27 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
23x +219 = ( 3 3x +27 ) 2
23x +219 = 9( 3x +27 )
23x +219 = 27x +243 | -219
23x = 27x +24 | -27x
-4x = 24 |:(-4 )
x = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -6

Linke Seite:

x = -6 in 23x +219

= 23( -6 ) +219

= -138 +219

= 81

= 9

Rechte Seite:

x = -6 in 3 3x +27

= 3 3( -6 ) +27

= 3 -18 +27

= 3 9

= 9

Also 9 = 9

x = -6 ist somit eine Lösung !

L={ -6 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x +7 = x +6 +1

Lösung einblenden
3x +7 = x +6 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
3x +7 = ( x +6 +1 ) 2
3x +7 = 2 x +6 + x +7 | -3x -7 -2 x +6
-2 x +6 = -2x |:(-2 )
x +6 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x +6 = ( x ) 2
x +6 = x 2 | - x 2

- x 2 + x +6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -1 ) · 6 2( -1 )

x1,2 = -1 ± 1 +24 -2

x1,2 = -1 ± 25 -2

x1 = -1 + 25 -2 = -1 +5 -2 = 4 -2 = -2

x2 = -1 - 25 -2 = -1 -5 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 + x +6 = 0 |: -1

x 2 - x -6 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = 1 2 ± 25 4

x1 = 1 2 - 5 2 = - 4 2 = -2

x2 = 1 2 + 5 2 = 6 2 = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -2

Linke Seite:

x = -2 in 3x +7

= 3( -2 ) +7

= -6 +7

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = -2 in x +6 +1

= -2 +6 +1

= 4 +1

= 2 +1

= 3

Also 1 ≠ 3

x = -2 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 3x +7

= 33 +7

= 9 +7

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = 3 in x +6 +1

= 3 +6 +1

= 9 +1

= 3 +1

= 4

Also 4 = 4

x = 3 ist somit eine Lösung !

L={ 3 }