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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 15}$ = $3$

- \sqrt{- 2 x + 15}

=

3

|:(

- 1

)

\sqrt{- 2 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(x)}^{2}$

4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 52}$ = $- 3 x - 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 52}$	=	$- 3 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 52$	=	${(- 3 x - 4)}^{2}$

$24 x + 52$	=	$9 x^{2} + 24 x + 16$	\| $- 52$
$24 x$	=	$9 x^{2} + 24 x - 36$	\| $- 9 x^{2}$ $- 24 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{24 x + 52}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot (- 2) + 52}$

= $\sqrt{- 48 + 52}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 3 x - 4$

$=$ $- 3 \cdot (- 2) - 4$

= $6 - 4$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{24 x + 52}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 2 + 52}$

= $\sqrt{48 + 52}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 3 x - 4$

$=$ $- 3 \cdot 2 - 4$

= $- 6 - 4$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{37 x + 44}$ = $3 \sqrt{4 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{37 x + 44}$	=	$3 \sqrt{4 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$37 x + 44$	=	${(3 \sqrt{4 x + 5})}^{2}$

$37 x + 44$	=	$9 (4 x + 5)$
$37 x + 44$	=	$36 x + 45$	\| $- 44$
$37 x$	=	$36 x + 1$	\| $- 36 x$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{37 x + 44}$

$=$ $\sqrt{37 \cdot 1 + 44}$

= $\sqrt{37 + 44}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{4 x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 1 + 5}$

= $3 \sqrt{4 + 5}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 34}$ = $\sqrt{x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 34}$	=	$\sqrt{x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 34$	=	${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

$5 x + 34$	=	$4 \sqrt{x + 6} + x + 10$	\| $- 5 x$ $- 34$ $- 4 \sqrt{x + 6}$
$- 4 \sqrt{x + 6}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x + 6)}^{2}$

x + 6

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11+1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11-1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 34}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 34}$

= $\sqrt{- 30 + 34}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 + 6} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 34}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 34}$

= $\sqrt{- 25 + 34}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{- 5 + 6} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -5

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 5$