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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 15}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 15}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 15}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot 2 + 15}$

= $- 2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x - 4}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x - 4}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x - 4$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 8 x - 4

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 8 x - 4

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 8 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 1) - 4}$

= $\sqrt{8 - 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x - 11} + 2 x$ = $3$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x - 11} + 2 x$	=	$3$	\| $- 2 x$
$\sqrt{12 x - 11}$	=	$- 2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x - 11$	=	${(- 2 x + 3)}^{2}$

12 x - 11

=

4 x^{2} - 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 9

- 4 x^{2} + 24 x - 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{12 x - 11} + 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 1 - 11} + 2 \cdot 1$

= $\sqrt{12 - 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{12 x - 11} + 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 5 - 11} + 2 \cdot 5$

= $\sqrt{60 - 11} + 10$

= $\sqrt{49} + 10$

= $7 + 10$

= $17$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3$

$=$ $3$

Also 17 ≠ 3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{46 x + 87}$ = $3 \sqrt{5 x + 10}$

Lösung einblenden

$\sqrt{46 x + 87}$	=	$3 \sqrt{5 x + 10}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$46 x + 87$	=	${(3 \sqrt{5 x + 10})}^{2}$

$46 x + 87$	=	$9 (5 x + 10)$
$46 x + 87$	=	$45 x + 90$	\| $- 87$
$46 x$	=	$45 x + 3$	\| $- 45 x$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{46 x + 87}$

$=$ $\sqrt{46 \cdot 3 + 87}$

= $\sqrt{138 + 87}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{5 x + 10}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 3 + 10}$

= $3 \sqrt{15 + 10}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 92}$ = $\sqrt{4 x + 44} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 92}$	=	$\sqrt{4 x + 44} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 92$	=	${(\sqrt{4 x + 44} + 2)}^{2}$

$8 x + 92$	=	$4 \sqrt{4 x + 44} + 4 x + 48$	\| $- 8 x$ $- 92$ $- 4 \sqrt{4 x + 44}$
$- 4 \sqrt{4 x + 44}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 44}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 44$	=	${(x + 11)}^{2}$

4 x + 44

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 77)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 308}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18+4}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18-4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 18 x + 77$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 77$ = $81$ $-$ $77$ = $4$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 9$ - $2$ = -11

x₂ = $- 9$ + $2$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{8 x + 92}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 11) + 92}$

= $\sqrt{- 88 + 92}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{4 x + 44} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 11) + 44} + 2$

= $\sqrt{- 44 + 44} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 11$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{8 x + 92}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 7) + 92}$

= $\sqrt{- 56 + 92}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 44} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 44} + 2$

= $\sqrt{- 28 + 44} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 11$ ; $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -7

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 7$