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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 7}$ = $- 2$

$- \sqrt{3 x + 7}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	$2^{2}$

$3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot (- 1) + 7}$

= $- \sqrt{- 3 + 7}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 12}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 12}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 12$	=	${(- 2 x)}^{2}$

8 x + 12

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 8 x + 12

= 0 |:4

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 12}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 12}$

= $\sqrt{- 8 + 12}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x + 12}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 + 12}$

= $\sqrt{24 + 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x - 4} - 2$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x - 4} - 2$	=	$x$	\| $+ 2$
$\sqrt{- 2 x - 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x - 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

- 2 x - 4

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 2 x - 4} - 2$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 4) - 4} - 2$

= $\sqrt{8 - 4} - 2$

= $\sqrt{4} - 2$

= $2 - 2$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 0 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 2 x - 4} - 2$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 2) - 4} - 2$

= $\sqrt{4 - 4} - 2$

= $\sqrt{0} - 2$

= $0 - 2$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 18}$ = $2 \sqrt{2 x + 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 18}$	=	$2 \sqrt{2 x + 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 18$	=	${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

$6 x + 18$	=	$4 (2 x + 3)$
$6 x + 18$	=	$8 x + 12$	\| $- 18$
$6 x$	=	$8 x - 6$	\| $- 8 x$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x + 18}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 + 18}$

= $\sqrt{18 + 18}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $2 \sqrt{6 + 3}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 65}$ = $\sqrt{3 x + 40} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 65}$	=	$\sqrt{3 x + 40} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 65$	=	${(\sqrt{3 x + 40} + 1)}^{2}$

$5 x + 65$	=	$2 \sqrt{3 x + 40} + 3 x + 41$	\| $- 5 x$ $- 65$ $- 2 \sqrt{3 x + 40}$
$- 2 \sqrt{3 x + 40}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 40}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 40$	=	${(x + 12)}^{2}$

3 x + 40

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 104)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 416}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21+5}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21-5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 104$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{416}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{5 x + 65}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 13) + 65}$

= $\sqrt{- 65 + 65}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{3 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 13) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 39 + 40} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 65}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 65}$

= $\sqrt{- 40 + 65}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 40} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -8

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 8$