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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- -3x +28 = 4

Lösung einblenden
- -3x +28 = 4 |:(-1 )
-3x +28 = -4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6x -5 = x

Lösung einblenden
6x -5 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
6x -5 = ( x ) 2
6x -5 = x 2 | - x 2

- x 2 +6x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · ( -1 ) · ( -5 ) 2( -1 )

x1,2 = -6 ± 36 -20 -2

x1,2 = -6 ± 16 -2

x1 = -6 + 16 -2 = -6 +4 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -6 - 16 -2 = -6 -4 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +6x -5 = 0 |: -1

x 2 -6x +5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 5 = 9 - 5 = 4

x1,2 = 3 ± 4

x1 = 3 - 2 = 1

x2 = 3 + 2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 1

Linke Seite:

x = 1 in 6x -5

= 61 -5

= 6 -5

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = 1 in x

= 1

Also 1 = 1

x = 1 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 6x -5

= 65 -5

= 30 -5

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 5 in x

= 5

Also 5 = 5

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 1 ; 5 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

96x -119 = 3x +4

Lösung einblenden
96x -119 = 3x +4 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
96x -119 = ( 3x +4 ) 2
96x -119 = 9 x 2 +24x +16 | -9 x 2 -24x -16
-9 x 2 +72x -135 = 0 |:9

- x 2 +8x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · ( -1 ) · ( -15 ) 2( -1 )

x1,2 = -8 ± 64 -60 -2

x1,2 = -8 ± 4 -2

x1 = -8 + 4 -2 = -8 +2 -2 = -6 -2 = 3

x2 = -8 - 4 -2 = -8 -2 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +8x -15 = 0 |: -1

x 2 -8x +15 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 15 = 16 - 15 = 1

x1,2 = 4 ± 1

x1 = 4 - 1 = 3

x2 = 4 + 1 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 96x -119

= 963 -119

= 288 -119

= 169

= 13

Rechte Seite:

x = 3 in 3x +4

= 33 +4

= 9 +4

= 13

Also 13 = 13

x = 3 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 96x -119

= 965 -119

= 480 -119

= 361

= 19

Rechte Seite:

x = 5 in 3x +4

= 35 +4

= 15 +4

= 19

Also 19 = 19

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 3 ; 5 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5x +51 = 2 x +11

Lösung einblenden
5x +51 = 2 x +11 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
5x +51 = ( 2 x +11 ) 2
5x +51 = 4( x +11 )
5x +51 = 4x +44 | -51
5x = 4x -7 | -4x
x = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -7

Linke Seite:

x = -7 in 5x +51

= 5( -7 ) +51

= -35 +51

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = -7 in 2 x +11

= 2 -7 +11

= 2 4

= 4

Also 4 = 4

x = -7 ist somit eine Lösung !

L={ -7 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4x = 2x +7 +1

Lösung einblenden
4x = 2x +7 +1
2 x = 2x +7 +1 |:2
x = 1 2 2x +7 + 1 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = ( 1 2 2x +7 + 1 2 ) 2
x = 1 2 2x +7 + 1 2 x +2 |⋅ 2
2x = 2( 1 2 2x +7 + 1 2 x +2 )
2x = 2x +7 + x +4 | -2x - 2x +7
- 2x +7 = -x +4 |:(-1 )
2x +7 = x -4 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
2x +7 = ( x -4 ) 2
2x +7 = x 2 -8x +16 | - x 2 +8x -16

- x 2 +10x -9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · ( -1 ) · ( -9 ) 2( -1 )

x1,2 = -10 ± 100 -36 -2

x1,2 = -10 ± 64 -2

x1 = -10 + 64 -2 = -10 +8 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -10 - 64 -2 = -10 -8 -2 = -18 -2 = 9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +10x -9 = 0 |: -1

x 2 -10x +9 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 9 = 25 - 9 = 16

x1,2 = 5 ± 16

x1 = 5 - 4 = 1

x2 = 5 + 4 = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 1

Linke Seite:

x = 1 in 2 x

= 2 1

= 2

Rechte Seite:

x = 1 in 2x +7 +1

= 21 +7 +1

= 2 +7 +1

= 9 +1

= 3 +1

= 4

Also 2 ≠ 4

x = 1 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 9

Linke Seite:

x = 9 in 2 x

= 2 9

= 6

Rechte Seite:

x = 9 in 2x +7 +1

= 29 +7 +1

= 18 +7 +1

= 25 +1

= 5 +1

= 6

Also 6 = 6

x = 9 ist somit eine Lösung !

L={ 9 }