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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- x + 2}$ = $- 2$

$- 2 \sqrt{- x + 2}$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	$1^{2}$

$- x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 2 \sqrt{- x + 2}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 1 + 2}$

= $- 2 \sqrt{1}$

= $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 5$	=	${(x)}^{2}$

6 x - 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 5}$

= $\sqrt{30 - 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 52} - 3 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 52} - 3 x$	=	$- 5$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{- 12 x + 52}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 52$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

- 12 x + 52

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} + 18 x + 27

= 0 |:9

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 12 x + 52} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 1) + 52} - 3 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{12 + 52} + 3$

= $\sqrt{64} + 3$

= $8 + 3$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 11 ≠ -5

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 12 x + 52} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 3 + 52} - 3 \cdot 3$

= $\sqrt{- 36 + 52} - 9$

= $\sqrt{16} - 9$

= $4 - 9$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{43 x + 210}$ = $3 \sqrt{5 x + 24}$

Lösung einblenden

$\sqrt{43 x + 210}$	=	$3 \sqrt{5 x + 24}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$43 x + 210$	=	${(3 \sqrt{5 x + 24})}^{2}$

$43 x + 210$	=	$9 (5 x + 24)$
$43 x + 210$	=	$45 x + 216$	\| $- 210$
$43 x$	=	$45 x + 6$	\| $- 45 x$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{43 x + 210}$

$=$ $\sqrt{43 \cdot (- 3) + 210}$

= $\sqrt{- 129 + 210}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{5 x + 24}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 3) + 24}$

= $3 \sqrt{- 15 + 24}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 76}$ = $\sqrt{5 x + 40} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 76}$	=	$\sqrt{5 x + 40} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 76$	=	${(\sqrt{5 x + 40} + 2)}^{2}$

$9 x + 76$	=	$4 \sqrt{5 x + 40} + 5 x + 44$	\| $- 9 x$ $- 76$ $- 4 \sqrt{5 x + 40}$
$- 4 \sqrt{5 x + 40}$	=	$- 4 x - 32$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 40}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 40$	=	${(x + 8)}^{2}$

5 x + 40

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{9 x + 76}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 8) + 76}$

= $\sqrt{- 72 + 76}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 40} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{9 x + 76}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 3) + 76}$

= $\sqrt{- 27 + 76}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 15 + 40} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -3

Probe für x = $1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 3$