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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 4}$ = $- 2$

\sqrt{x + 4}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x - 12}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x - 12}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x - 12$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 16 x - 12

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 16 x - 12

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 16 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 3) - 12}$

= $\sqrt{48 - 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 3)$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 16 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 1) - 12}$

= $\sqrt{16 - 12}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 28 x + 32} + 4$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 28 x + 32} + 4$	=	$2 x$	\| $- 4$
$\sqrt{- 28 x + 32}$	=	$2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 28 x + 32$	=	${(2 x - 4)}^{2}$

- 28 x + 32

=

4 x^{2} - 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 28 x + 32} + 4$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot (- 4) + 32} + 4$

= $\sqrt{112 + 32} + 4$

= $\sqrt{144} + 4$

= $12 + 4$

= $16$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 4)$

= $- 8$

Also 16 ≠ -8

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 28 x + 32} + 4$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot 1 + 32} + 4$

= $\sqrt{- 28 + 32} + 4$

= $\sqrt{4} + 4$

= $2 + 4$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 1$

= $2$

Also 6 ≠ 2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 52}$ = $2 \sqrt{3 x + 16}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 52}$	=	$2 \sqrt{3 x + 16}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 52$	=	${(2 \sqrt{3 x + 16})}^{2}$

$9 x + 52$	=	$4 (3 x + 16)$
$9 x + 52$	=	$12 x + 64$	\| $- 52$
$9 x$	=	$12 x + 12$	\| $- 12 x$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{9 x + 52}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 4) + 52}$

= $\sqrt{- 36 + 52}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{3 x + 16}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 16}$

= $2 \sqrt{- 12 + 16}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 3}$ = $\sqrt{2 x - 3} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 3}$	=	$\sqrt{2 x - 3} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 3$	=	${(\sqrt{2 x - 3} + 2)}^{2}$

$6 x - 3$	=	$4 \sqrt{2 x - 3} + 2 x + 1$	\| $- 6 x$ $+ 3$ $- 4 \sqrt{2 x - 3}$
$- 4 \sqrt{2 x - 3}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 3}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 3$	=	${(x - 1)}^{2}$

2 x - 3

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x - 3}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{2 x - 3} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + 2$

= $\sqrt{4 - 3} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $2$