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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- x +4 = -2

Lösung einblenden
- x +4 = -2 |:(-1 )
x +4 = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x +4 = 2 2
x +4 = 4 | -4
x = 0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in - x +4

= - 0 +4

= - 4

= -2

Rechte Seite:

x = 0 in -2

= -2

Also -2 = -2

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-x +12 = x

Lösung einblenden
-x +12 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-x +12 = ( x ) 2
-x +12 = x 2 | - x 2

- x 2 - x +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -1 ) · 12 2( -1 )

x1,2 = +1 ± 1 +48 -2

x1,2 = +1 ± 49 -2

x1 = 1 + 49 -2 = 1 +7 -2 = 8 -2 = -4

x2 = 1 - 49 -2 = 1 -7 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 - x +12 = 0 |: -1

x 2 + x -12 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in -x +12

= -( -4 ) +12

= 4 +12

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = -4 in x

= -4

Also 4 ≠ -4

x = -4 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in -x +12

= -3 +12

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = 3 in x

= 3

Also 3 = 3

x = 3 ist somit eine Lösung !

L={ 3 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

28x -63 +1 = 2x

Lösung einblenden
28x -63 +1 = 2x | -1
28x -63 = 2x -1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
28x -63 = ( 2x -1 ) 2
28x -63 = 4 x 2 -4x +1 | -4 x 2 +4x -1
-4 x 2 +32x -64 = 0 |:4

- x 2 +8x -16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · ( -1 ) · ( -16 ) 2( -1 )

x1,2 = -8 ± 64 -64 -2

x1,2 = -8 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -8 -2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +8x -16 = 0 |: -1

x 2 -8x +16 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 4 ± 0 = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 4

Linke Seite:

x = 4 in 28x -63 +1

= 284 -63 +1

= 112 -63 +1

= 49 +1

= 7 +1

= 8

Rechte Seite:

x = 4 in 2x

= 24

= 8

Also 8 = 8

x = 4 ist somit eine Lösung !

L={ 4 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5x -29 = 2 x -5

Lösung einblenden
5x -29 = 2 x -5 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
5x -29 = ( 2 x -5 ) 2
5x -29 = 4( x -5 )
5x -29 = 4x -20 | +29
5x = 4x +9 | -4x
x = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 9

Linke Seite:

x = 9 in 5x -29

= 59 -29

= 45 -29

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = 9 in 2 x -5

= 2 9 -5

= 2 4

= 4

Also 4 = 4

x = 9 ist somit eine Lösung !

L={ 9 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4x +64 = 2x +39 +1

Lösung einblenden
4x +64 = 2x +39 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
4x +64 = ( 2x +39 +1 ) 2
4x +64 = 2 2x +39 +2x +40 | -4x -64 -2 2x +39
-2 2x +39 = -2x -24 |:(-2 )
2x +39 = x +12 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
2x +39 = ( x +12 ) 2
2x +39 = x 2 +24x +144 | - x 2 -24x -144

- x 2 -22x -105 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +22 ± ( -22 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -105 ) 2( -1 )

x1,2 = +22 ± 484 -420 -2

x1,2 = +22 ± 64 -2

x1 = 22 + 64 -2 = 22 +8 -2 = 30 -2 = -15

x2 = 22 - 64 -2 = 22 -8 -2 = 14 -2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -22x -105 = 0 |: -1

x 2 +22x +105 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 11 2 - 105 = 121 - 105 = 16

x1,2 = -11 ± 16

x1 = -11 - 4 = -15

x2 = -11 + 4 = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -15

Linke Seite:

x = -15 in 4x +64

= 4( -15 ) +64

= -60 +64

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = -15 in 2x +39 +1

= 2( -15 ) +39 +1

= -30 +39 +1

= 9 +1

= 3 +1

= 4

Also 2 ≠ 4

x = -15 ist somit keine Lösung !

Probe für x = -7

Linke Seite:

x = -7 in 4x +64

= 4( -7 ) +64

= -28 +64

= 36

= 6

Rechte Seite:

x = -7 in 2x +39 +1

= 2( -7 ) +39 +1

= -14 +39 +1

= 25 +1

= 5 +1

= 6

Also 6 = 6

x = -7 ist somit eine Lösung !

L={ -7 }