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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 8}$ = $4$

$2 \sqrt{- 2 x + 8}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 8$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{- 2 x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot 2 + 8}$

= $2 \sqrt{- 4 + 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 3}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 3}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(- x)}^{2}$

4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 6} + 2$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 6} + 2$	=	$x$	\| $- 2$
$\sqrt{3 x - 6}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 6$	=	${(x - 2)}^{2}$

3 x - 6

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7+3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7-3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 6} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 6} + 2$

= $\sqrt{6 - 6} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x - 6} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 - 6} + 2$

= $\sqrt{15 - 6} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 58}$ = $2 \sqrt{2 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 58}$	=	$2 \sqrt{2 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 58$	=	${(2 \sqrt{2 x + 13})}^{2}$

$11 x + 58$	=	$4 (2 x + 13)$
$11 x + 58$	=	$8 x + 52$	\| $- 58$
$11 x$	=	$8 x - 6$	\| $- 8 x$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{11 x + 58}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot (- 2) + 58}$

= $\sqrt{- 22 + 58}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 13}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 13}$

= $2 \sqrt{- 4 + 13}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 64}$ = $\sqrt{5 x + 45} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 64}$	=	$\sqrt{5 x + 45} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 64$	=	${(\sqrt{5 x + 45} + 1)}^{2}$

$7 x + 64$	=	$2 \sqrt{5 x + 45} + 5 x + 46$	\| $- 7 x$ $- 64$ $- 2 \sqrt{5 x + 45}$
$- 2 \sqrt{5 x + 45}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 45}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 45$	=	${(x + 9)}^{2}$

5 x + 45

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13+5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13-5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 64}$

= $\sqrt{- 63 + 64}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 45} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 45} + 1$

= $\sqrt{- 45 + 45} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 64}$

= $\sqrt{- 28 + 64}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 45} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 45} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 45} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -4

Probe für x = $2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 4$