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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 15}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{3 x + 15}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 15$	=	$3^{2}$

$3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 2 \sqrt{3 x + 15}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot (- 2) + 15}$

= $- 2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{28 x - 48}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{28 x - 48}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28 x - 48$	=	${(- 2 x)}^{2}$

28 x - 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 3 - 48}$

= $\sqrt{84 - 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 4 - 48}$

= $\sqrt{112 - 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x - 39}$ = $2 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x - 39}$	=	$2 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x - 39$	=	${(2 x - 1)}^{2}$

24 x - 39

=

4 x^{2} - 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 28 x - 40

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7+3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7-3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{24 x - 39}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 2 - 39}$

= $\sqrt{48 - 39}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x - 1$

$=$ $2 \cdot 2 - 1$

= $4 - 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{24 x - 39}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 5 - 39}$

= $\sqrt{120 - 39}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x - 1$

$=$ $2 \cdot 5 - 1$

= $10 - 1$

= $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{44 x - 127}$ = $3 \sqrt{5 x - 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{44 x - 127}$	=	$3 \sqrt{5 x - 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$44 x - 127$	=	${(3 \sqrt{5 x - 15})}^{2}$

$44 x - 127$	=	$9 (5 x - 15)$
$44 x - 127$	=	$45 x - 135$	\| $+ 127$
$44 x$	=	$45 x - 8$	\| $- 45 x$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{44 x - 127}$

$=$ $\sqrt{44 \cdot 8 - 127}$

= $\sqrt{352 - 127}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{5 x - 15}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 8 - 15}$

= $3 \sqrt{40 - 15}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 43}$ = $\sqrt{4 x + 28} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 43}$	=	$\sqrt{4 x + 28} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 43$	=	${(\sqrt{4 x + 28} + 1)}^{2}$

$6 x + 43$	=	$2 \sqrt{4 x + 28} + 4 x + 29$	\| $- 6 x$ $- 43$ $- 2 \sqrt{4 x + 28}$
$- 2 \sqrt{4 x + 28}$	=	$- 2 x - 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 28}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 28$	=	${(x + 7)}^{2}$

4 x + 28

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10+4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10-4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 43}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 43}$

= $\sqrt{- 42 + 43}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 28} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 28} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 28} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{6 x + 43}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 3) + 43}$

= $\sqrt{- 18 + 43}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 28} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 28} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 28} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -3

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 3$