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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 4}$ = $3$

$\sqrt{- x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 4$	=	$3^{2}$

$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- x + 4}$

$=$ $\sqrt{- (- 5) + 4}$

= $\sqrt{5 + 4}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 40}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 40}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 40$	=	${(2 x)}^{2}$

12 x + 40

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 12 x + 40

= 0 |:4

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 2) + 40}$

= $\sqrt{- 24 + 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 5 + 40}$

= $\sqrt{60 + 40}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 36} + x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 36} + x$	=	$- 4$	\| $- x$
$\sqrt{7 x + 36}$	=	$- x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 36$	=	${(- x - 4)}^{2}$

7 x + 36

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{7 x + 36} + x$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 5) + 36} - 5$

= $\sqrt{- 35 + 36} - 5$

= $\sqrt{1} - 5$

= $1 - 5$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x + 36} + x$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 + 36} + 4$

= $\sqrt{28 + 36} + 4$

= $\sqrt{64} + 4$

= $8 + 4$

= $12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 12 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 72}$ = $3 \sqrt{x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 72}$	=	$3 \sqrt{x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 72$	=	${(3 \sqrt{x + 7})}^{2}$

$8 x + 72$	=	$9 (x + 7)$
$8 x + 72$	=	$9 x + 63$	\| $- 72$
$8 x$	=	$9 x - 9$	\| $- 9 x$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{8 x + 72}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 9 + 72}$

= $\sqrt{72 + 72}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{9 + 7}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 12}$ = $\sqrt{4 x - 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 12}$	=	$\sqrt{4 x - 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 12$	=	${(\sqrt{4 x - 8} + 2)}^{2}$

$8 x - 12$	=	$4 \sqrt{4 x - 8} + 4 x - 4$	\| $- 8 x$ $+ 12$ $- 4 \sqrt{4 x - 8}$
$- 4 \sqrt{4 x - 8}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 8}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 8$	=	${(x - 2)}^{2}$

4 x - 8

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{8 x - 12}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 2 - 12}$

= $\sqrt{16 - 12}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 8} + 2$

= $\sqrt{8 - 8} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{8 x - 12}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 6 - 12}$

= $\sqrt{48 - 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{4 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 6 - 8} + 2$

= $\sqrt{24 - 8} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 6

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $2$

Probe für x = $6$