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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 17}$ = $9$

$3 \sqrt{2 x + 17}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $3 \sqrt{- 8 + 17}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 2}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	${(x)}^{2}$

- x + 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- (- 2) + 2}$

= $\sqrt{2 + 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- 1 + 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 17} - 2 x$ = $3$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 17} - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{8 x + 17}$	=	$2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 17$	=	${(2 x + 3)}^{2}$

8 x + 17

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 4 x + 8

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{8 x + 17} - 2 x$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 2) + 17} - 2 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{- 16 + 17} + 4$

= $\sqrt{1} + 4$

= $1 + 4$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3$

$=$ $3$

Also 5 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{8 x + 17} - 2 x$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 1 + 17} - 2 \cdot 1$

= $\sqrt{8 + 17} - 2$

= $\sqrt{25} - 2$

= $5 - 2$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{35 x + 569}$ = $3 \sqrt{4 x + 64}$

Lösung einblenden

$\sqrt{35 x + 569}$	=	$3 \sqrt{4 x + 64}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$35 x + 569$	=	${(3 \sqrt{4 x + 64})}^{2}$

$35 x + 569$	=	$9 (4 x + 64)$
$35 x + 569$	=	$36 x + 576$	\| $- 569$
$35 x$	=	$36 x + 7$	\| $- 36 x$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{35 x + 569}$

$=$ $\sqrt{35 \cdot (- 7) + 569}$

= $\sqrt{- 245 + 569}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $3 \sqrt{4 x + 64}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 7) + 64}$

= $3 \sqrt{- 28 + 64}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 7}$ = $\sqrt{2 x + 3} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 7}$	=	$\sqrt{2 x + 3} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 7$	=	${(\sqrt{2 x + 3} + 2)}^{2}$

$6 x + 7$	=	$4 \sqrt{2 x + 3} + 2 x + 7$	\| $- 6 x$ $- 7$ $- 4 \sqrt{2 x + 3}$
$- 4 \sqrt{2 x + 3}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 7}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 7}$

= $\sqrt{- 6 + 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 3} + 2$

= $\sqrt{- 2 + 3} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x + 7}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 + 7}$

= $\sqrt{18 + 7}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 + 3} + 2$

= $\sqrt{6 + 3} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$