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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 2}$ = $6$

- 3 \sqrt{- 2 x + 2}

=

6

|:(

- 3

)

\sqrt{- 2 x + 2}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 9}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 9}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 9$	=	${(x)}^{2}$

- 6 x - 9

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 6 x - 9}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 3) - 9}$

= $\sqrt{18 - 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{42 x - 26}$ = $- 3 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{42 x - 26}$	=	$- 3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$42 x - 26$	=	${(- 3 x - 1)}^{2}$

42 x - 26

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} + 36 x - 27

= 0 |:9

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{42 x - 26}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 1 - 26}$

= $\sqrt{42 - 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot 1 - 1$

= $- 3 - 1$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{42 x - 26}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 3 - 26}$

= $\sqrt{126 - 26}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot 3 - 1$

= $- 9 - 1$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x - 17}$ = $2 \sqrt{5 x - 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x - 17}$	=	$2 \sqrt{5 x - 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x - 17$	=	${(2 \sqrt{5 x - 4})}^{2}$

$21 x - 17$	=	$4 (5 x - 4)$
$21 x - 17$	=	$20 x - 16$	\| $+ 17$
$21 x$	=	$20 x + 1$	\| $- 20 x$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{21 x - 17}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot 1 - 17}$

= $\sqrt{21 - 17}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{5 x - 4}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot 1 - 4}$

= $2 \sqrt{5 - 4}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 1}$ = $\sqrt{x - 1} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 1}$	=	$\sqrt{x - 1} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 1$	=	${(\sqrt{x - 1} + 2)}^{2}$

$5 x - 1$	=	$4 \sqrt{x - 1} + x + 3$	\| $- 5 x$ $+ 1$ $- 4 \sqrt{x - 1}$
$- 4 \sqrt{x - 1}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 1}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 1$	=	${(x - 1)}^{2}$

x - 1

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x - 1}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 - 1}$

= $\sqrt{5 - 1}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x - 1} + 2$

$=$ $\sqrt{1 - 1} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 1}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 1}$

= $\sqrt{10 - 1}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x - 1} + 2$

$=$ $\sqrt{2 - 1} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$