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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- x + 2}$ = $- 2$

$- 2 \sqrt{- x + 2}$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	$1^{2}$

$- x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 2 \sqrt{- x + 2}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 1 + 2}$

= $- 2 \sqrt{1}$

= $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 15}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 15}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 + 15}$

= $\sqrt{10 + 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{32 x - 96}$ = $2 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{32 x - 96}$	=	$2 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$32 x - 96$	=	${(2 x - 2)}^{2}$

32 x - 96

=

4 x^{2} - 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4

- 4 x^{2} + 40 x - 100

= 0 |:4

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{32 x - 96}$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 5 - 96}$

= $\sqrt{160 - 96}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x - 2$

$=$ $2 \cdot 5 - 2$

= $10 - 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{46 x + 547}$ = $3 \sqrt{5 x + 60}$

Lösung einblenden

$\sqrt{46 x + 547}$	=	$3 \sqrt{5 x + 60}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$46 x + 547$	=	${(3 \sqrt{5 x + 60})}^{2}$

$46 x + 547$	=	$9 (5 x + 60)$
$46 x + 547$	=	$45 x + 540$	\| $- 547$
$46 x$	=	$45 x - 7$	\| $- 45 x$
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{46 x + 547}$

$=$ $\sqrt{46 \cdot (- 7) + 547}$

= $\sqrt{- 322 + 547}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $3 \sqrt{5 x + 60}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 7) + 60}$

= $3 \sqrt{- 35 + 60}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 21}$ = $\sqrt{3 x + 12} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 21}$	=	$\sqrt{3 x + 12} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 21$	=	${(\sqrt{3 x + 12} + 1)}^{2}$

$5 x + 21$	=	$2 \sqrt{3 x + 12} + 3 x + 13$	\| $- 5 x$ $- 21$ $- 2 \sqrt{3 x + 12}$
$- 2 \sqrt{3 x + 12}$	=	$- 2 x - 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 12}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 12$	=	${(x + 4)}^{2}$

3 x + 12

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 21}$

= $\sqrt{- 20 + 21}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 12} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 21}$

= $\sqrt{- 5 + 21}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 3 + 12} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$