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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 1}$ = $6$

- 3 \sqrt{x + 1}

=

6

|:(

- 3

)

\sqrt{x + 1}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 8}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 8}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 8}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 8}$

= $\sqrt{- 4 + 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x + 8}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 + 8}$

= $\sqrt{8 + 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 27}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 27}$	=	$- x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 27$	=	${(- x - 5)}^{2}$

9 x + 27

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{9 x + 27}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 2) + 27}$

= $\sqrt{- 18 + 27}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x - 5$

$=$ $- (- 2) - 5$

= $2 - 5$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{9 x + 27}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 1 + 27}$

= $\sqrt{9 + 27}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- x - 5$

$=$ $- 1 - 5$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 28}$ = $2 \sqrt{2 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 28}$	=	$2 \sqrt{2 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 28$	=	${(2 \sqrt{2 x + 5})}^{2}$

$12 x + 28$	=	$4 (2 x + 5)$
$12 x + 28$	=	$8 x + 20$	\| $- 28$
$12 x$	=	$8 x - 8$	\| $- 8 x$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{12 x + 28}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 2) + 28}$

= $\sqrt{- 24 + 28}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 5}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 5}$

= $2 \sqrt{- 4 + 5}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 16}$ = $\sqrt{3 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 16}$	=	$\sqrt{3 x + 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 16$	=	${(\sqrt{3 x + 4} + 2)}^{2}$

$7 x + 16$	=	$4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 8$	\| $- 7 x$ $- 16$ $- 4 \sqrt{3 x + 4}$
$- 4 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$3 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 3 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 16}$

= $\sqrt{- 7 + 16}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 16}$

= $\sqrt{0 + 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4} + 2$

= $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$