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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 9}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{x + 9}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x + 9}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 9$	=	$3^{2}$

$x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- 3 \sqrt{x + 9}$

$=$ $- 3 \sqrt{0 + 9}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 2}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	${(x)}^{2}$

- x + 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- (- 2) + 2}$

= $\sqrt{2 + 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- 1 + 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 102 x - 110} - 3 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 102 x - 110} - 3 x$	=	$- 5$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{- 102 x - 110}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 102 x - 110$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

- 102 x - 110

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 102 x - 110} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 102 \cdot (- 5) - 110} - 3 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{510 - 110} + 15$

= $\sqrt{400} + 15$

= $20 + 15$

= $35$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 35 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 102 x - 110} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 102 \cdot (- 3) - 110} - 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{306 - 110} + 9$

= $\sqrt{196} + 9$

= $14 + 9$

= $23$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 23 ≠ -5

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 94}$ = $2 \sqrt{2 x + 28}$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 94}$	=	$2 \sqrt{2 x + 28}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 94$	=	${(2 \sqrt{2 x + 28})}^{2}$

$5 x + 94$	=	$4 (2 x + 28)$
$5 x + 94$	=	$8 x + 112$	\| $- 94$
$5 x$	=	$8 x + 18$	\| $- 8 x$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 94}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 94}$

= $\sqrt{- 30 + 94}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{2 x + 28}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 6) + 28}$

= $2 \sqrt{- 12 + 28}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 26}$ = $\sqrt{3 x + 15} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 26}$	=	$\sqrt{3 x + 15} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 26$	=	${(\sqrt{3 x + 15} + 1)}^{2}$

$5 x + 26$	=	$2 \sqrt{3 x + 15} + 3 x + 16$	\| $- 5 x$ $- 26$ $- 2 \sqrt{3 x + 15}$
$- 2 \sqrt{3 x + 15}$	=	$- 2 x - 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 15}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 15$	=	${(x + 5)}^{2}$

3 x + 15

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 26}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 26}$

= $\sqrt{- 25 + 26}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 15} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 26}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 26}$

= $\sqrt{- 10 + 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 15} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$