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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 14}$ = $3$

$\sqrt{- x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 14$	=	$3^{2}$

$- x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- x + 14}$

$=$ $\sqrt{- 5 + 14}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	${(x)}^{2}$

- x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- x + 6}$

$=$ $\sqrt{- (- 3) + 6}$

= $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{90 x - 126} + 3$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{90 x - 126} + 3$	=	$- 3 x$	\| $- 3$
$\sqrt{90 x - 126}$	=	$- 3 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$90 x - 126$	=	${(- 3 x - 3)}^{2}$

90 x - 126

=

9 x^{2} + 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

- 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{90 x - 126} + 3$

$=$ $\sqrt{90 \cdot 3 - 126} + 3$

= $\sqrt{270 - 126} + 3$

= $\sqrt{144} + 3$

= $12 + 3$

= $15$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 3$

= $- 9$

Also 15 ≠ -9

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{90 x - 126} + 3$

$=$ $\sqrt{90 \cdot 5 - 126} + 3$

= $\sqrt{450 - 126} + 3$

= $\sqrt{324} + 3$

= $18 + 3$

= $21$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 5$

= $- 15$

Also 21 ≠ -15

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 14}$ = $2 \sqrt{x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 14}$	=	$2 \sqrt{x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 14$	=	${(2 \sqrt{x + 6})}^{2}$

$2 x + 14$	=	$4 (x + 6)$
$2 x + 14$	=	$4 x + 24$	\| $- 14$
$2 x$	=	$4 x + 10$	\| $- 4 x$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 14}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 14}$

= $\sqrt{- 10 + 14}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{- 5 + 6}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 13}$ = $\sqrt{3 x - 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 13}$	=	$\sqrt{3 x - 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 13$	=	${(\sqrt{3 x - 5} + 2)}^{2}$

$7 x - 13$	=	$4 \sqrt{3 x - 5} + 3 x - 1$	\| $- 7 x$ $+ 13$ $- 4 \sqrt{3 x - 5}$
$- 4 \sqrt{3 x - 5}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 5}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 5$	=	${(x - 3)}^{2}$

3 x - 5

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9+5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9-5}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{7 x - 13}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 2 - 13}$

= $\sqrt{14 - 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 2$

= $\sqrt{6 - 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{7 x - 13}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 7 - 13}$

= $\sqrt{49 - 13}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{3 x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 7 - 5} + 2$

= $\sqrt{21 - 5} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 7

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $7$