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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- x + 6}$ = $4$

$2 \sqrt{- x + 6}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	$2^{2}$

$- x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{- x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $2 \sqrt{4}$

= $2 \cdot 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 5$	=	${(x)}^{2}$

- 4 x + 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 5}$

= $\sqrt{20 + 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 1 + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 21}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 21}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 21$	=	${(x + 5)}^{2}$

5 x + 21

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 21}$

= $\sqrt{- 20 + 21}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x + 5$

$=$ $- 4 + 5$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 21}$

= $\sqrt{- 5 + 21}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x + 5$

$=$ $- 1 + 5$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 52}$ = $2 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 52}$	=	$2 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 52$	=	${(2 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$16 x + 52$	=	$4 (5 x + 14)$
$16 x + 52$	=	$20 x + 56$	\| $- 52$
$16 x$	=	$20 x + 4$	\| $- 20 x$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{16 x + 52}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 1) + 52}$

= $\sqrt{- 16 + 52}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 1) + 14}$

= $2 \sqrt{- 5 + 14}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 85}$ = $\sqrt{3 x + 37} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 85}$	=	$\sqrt{3 x + 37} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 85$	=	${(\sqrt{3 x + 37} + 2)}^{2}$

$7 x + 85$	=	$4 \sqrt{3 x + 37} + 3 x + 41$	\| $- 7 x$ $- 85$ $- 4 \sqrt{3 x + 37}$
$- 4 \sqrt{3 x + 37}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 37}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 37$	=	${(x + 11)}^{2}$

3 x + 37

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 19 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 84)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{19+5}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{19-5}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 84$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 84$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 84$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $84$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{336}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{7 x + 85}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 12) + 85}$

= $\sqrt{- 84 + 85}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 37} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 37} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 37} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{7 x + 85}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 7) + 85}$

= $\sqrt{- 49 + 85}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{3 x + 37} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 7) + 37} + 2$

= $\sqrt{- 21 + 37} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -7

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 7$