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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 15}$ = $3$

$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{28 x - 48}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{28 x - 48}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28 x - 48$	=	${(2 x)}^{2}$

28 x - 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 3 - 48}$

= $\sqrt{84 - 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 4 - 48}$

= $\sqrt{112 - 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 21}$ = $- x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 21}$	=	$- x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 21$	=	${(- x + 2)}^{2}$

6 x - 21

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 21}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 21}$

= $\sqrt{30 - 21}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x + 2$

$=$ $- 5 + 2$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 157}$ = $2 \sqrt{5 x + 40}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 157}$	=	$2 \sqrt{5 x + 40}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 157$	=	${(2 \sqrt{5 x + 40})}^{2}$

$19 x + 157$	=	$4 (5 x + 40)$
$19 x + 157$	=	$20 x + 160$	\| $- 157$
$19 x$	=	$20 x + 3$	\| $- 20 x$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{19 x + 157}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot (- 3) + 157}$

= $\sqrt{- 57 + 157}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{5 x + 40}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 3) + 40}$

= $2 \sqrt{- 15 + 40}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 3}$ = $\sqrt{2 x - 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 3}$	=	$\sqrt{2 x - 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(\sqrt{2 x - 2} + 1)}^{2}$

$4 x - 3$	=	$2 \sqrt{2 x - 2} + 2 x - 1$	\| $- 4 x$ $+ 3$ $- 2 \sqrt{2 x - 2}$
$- 2 \sqrt{2 x - 2}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x - 2}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 2$	=	${(x - 1)}^{2}$

2 x - 2

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x - 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 - 2} + 1$

= $\sqrt{2 - 2} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x - 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 2} + 1$

= $\sqrt{6 - 2} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$