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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 17}$ = $9$

$3 \sqrt{2 x + 17}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $3 \sqrt{- 8 + 17}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x - 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x - 2$	=	${(x)}^{2}$

- 3 x - 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 2) - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 1) - 2}$

= $\sqrt{3 - 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 10} - x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 10} - x$	=	$- 1$	\| $+ x$
$\sqrt{- 2 x + 10}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 10$	=	${(x - 1)}^{2}$

$- 2 x + 10$	=	$x^{2} - 2 x + 1$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$x^{2} - 2 x - 9$	\| $- x^{2}$ $+ 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 2 x + 10} - x$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 10} - (- 3)$

= $\sqrt{6 + 10} + 3$

= $\sqrt{16} + 3$

= $4 + 3$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 7 ≠ -1

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 2 x + 10} - x$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 3 + 10} - 3$

= $\sqrt{- 6 + 10} - 3$

= $\sqrt{4} - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 36}$ = $2 \sqrt{2 x - 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 36}$	=	$2 \sqrt{2 x - 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 36$	=	${(2 \sqrt{2 x - 7})}^{2}$

$9 x - 36$	=	$4 (2 x - 7)$
$9 x - 36$	=	$8 x - 28$	\| $+ 36$
$9 x$	=	$8 x + 8$	\| $- 8 x$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{9 x - 36}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 8 - 36}$

= $\sqrt{72 - 36}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{2 x - 7}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 8 - 7}$

= $2 \sqrt{16 - 7}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 6}$ = $\sqrt{x + 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 6}$	=	$\sqrt{x + 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 6$	=	${(\sqrt{x + 3} + 1)}^{2}$

$3 x + 6$	=	$2 \sqrt{x + 3} + x + 4$	\| $- 3 x$ $- 6$ $- 2 \sqrt{x + 3}$
$- 2 \sqrt{x + 3}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 3}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 3$	=	${(x + 1)}^{2}$

x + 3

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 6}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 6}$

= $\sqrt{- 6 + 6}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{- 2 + 3} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x + 6}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 + 6}$

= $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{1 + 3} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$