Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 15}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 15}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $- \sqrt{- 6 + 15}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 5$	=	${(x)}^{2}$

- 4 x + 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 5}$

= $\sqrt{20 + 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 1 + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 39 x - 53}$ = $3 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 39 x - 53}$	=	$3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 39 x - 53$	=	${(3 x + 1)}^{2}$

- 39 x - 53

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 45 x - 54

= 0 |:9

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 39 x - 53}$

$=$ $\sqrt{- 39 \cdot (- 3) - 53}$

= $\sqrt{117 - 53}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot (- 3) + 1$

= $- 9 + 1$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 39 x - 53}$

$=$ $\sqrt{- 39 \cdot (- 2) - 53}$

= $\sqrt{78 - 53}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot (- 2) + 1$

= $- 6 + 1$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{13 x - 9}$ = $2 \sqrt{3 x - 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{13 x - 9}$	=	$2 \sqrt{3 x - 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13 x - 9$	=	${(2 \sqrt{3 x - 2})}^{2}$

$13 x - 9$	=	$4 (3 x - 2)$
$13 x - 9$	=	$12 x - 8$	\| $+ 9$
$13 x$	=	$12 x + 1$	\| $- 12 x$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{13 x - 9}$

$=$ $\sqrt{13 \cdot 1 - 9}$

= $\sqrt{13 - 9}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{3 x - 2}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 1 - 2}$

= $2 \sqrt{3 - 2}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 18}$ = $\sqrt{5 x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 18}$	=	$\sqrt{5 x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 18$	=	${(\sqrt{5 x + 6} + 2)}^{2}$

$9 x + 18$	=	$4 \sqrt{5 x + 6} + 5 x + 10$	\| $- 9 x$ $- 18$ $- 4 \sqrt{5 x + 6}$
$- 4 \sqrt{5 x + 6}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 6}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 6$	=	${(x + 2)}^{2}$

5 x + 6

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{9 x + 18}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 1) + 18}$

= $\sqrt{- 9 + 18}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 6} + 2$

= $\sqrt{- 5 + 6} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{9 x + 18}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 2 + 18}$

= $\sqrt{18 + 18}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 + 6} + 2$

= $\sqrt{10 + 6} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$