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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 15}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 15}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 15}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot 2 + 15}$

= $- 2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x - 25}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x - 25}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x - 25$	=	${(x)}^{2}$

10 x - 25

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{10 x - 25}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 5 - 25}$

= $\sqrt{50 - 25}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 21 x + 133} + 5$ = $3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 21 x + 133} + 5$	=	$3 x$	\| $- 5$
$\sqrt{- 21 x + 133}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 21 x + 133$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

- 21 x + 133

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} + 9 x + 108

= 0 |:9

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 21 x + 133} + 5$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot (- 3) + 133} + 5$

= $\sqrt{63 + 133} + 5$

= $\sqrt{196} + 5$

= $14 + 5$

= $19$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot (- 3)$

= $- 9$

Also 19 ≠ -9

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 21 x + 133} + 5$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot 4 + 133} + 5$

= $\sqrt{- 84 + 133} + 5$

= $\sqrt{49} + 5$

= $7 + 5$

= $12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot 4$

= $12$

Also 12 = 12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{31 x - 22}$ = $3 \sqrt{3 x - 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{31 x - 22}$	=	$3 \sqrt{3 x - 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$31 x - 22$	=	${(3 \sqrt{3 x - 2})}^{2}$

$31 x - 22$	=	$9 (3 x - 2)$
$31 x - 22$	=	$27 x - 18$	\| $+ 22$
$31 x$	=	$27 x + 4$	\| $- 27 x$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{31 x - 22}$

$=$ $\sqrt{31 \cdot 1 - 22}$

= $\sqrt{31 - 22}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{3 x - 2}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 1 - 2}$

= $3 \sqrt{3 - 2}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 17}$ = $\sqrt{5 x - 14} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 17}$	=	$\sqrt{5 x - 14} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 17$	=	${(\sqrt{5 x - 14} + 1)}^{2}$

$7 x - 17$	=	$2 \sqrt{5 x - 14} + 5 x - 13$	\| $- 7 x$ $+ 17$ $- 2 \sqrt{5 x - 14}$
$- 2 \sqrt{5 x - 14}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x - 14}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 14$	=	${(x - 2)}^{2}$

5 x - 14

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 17}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 17}$

= $\sqrt{21 - 17}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 14} + 1$

= $\sqrt{15 - 14} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{7 x - 17}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 6 - 17}$

= $\sqrt{42 - 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{5 x - 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 6 - 14} + 1$

= $\sqrt{30 - 14} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 6

Probe für x = $2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $6$