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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 15}$ = $3$

$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 16}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 16}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 16$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 12 x + 16

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 12 x + 16}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 4) + 16}$

= $\sqrt{48 + 16}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 4)$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 12 x + 16}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 1 + 16}$

= $\sqrt{- 12 + 16}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 52 x - 35}$ = $2 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 52 x - 35}$	=	$2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 52 x - 35$	=	${(2 x - 5)}^{2}$

- 52 x - 35

=

4 x^{2} - 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

- 25

- 4 x^{2} - 32 x - 60

= 0 |:4

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 52 x - 35}$

$=$ $\sqrt{- 52 \cdot (- 5) - 35}$

= $\sqrt{260 - 35}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x - 5$

$=$ $2 \cdot (- 5) - 5$

= $- 10 - 5$

= $- 15$

Also 15 ≠ -15

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 52 x - 35}$

$=$ $\sqrt{- 52 \cdot (- 3) - 35}$

= $\sqrt{156 - 35}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x - 5$

$=$ $2 \cdot (- 3) - 5$

= $- 6 - 5$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{22 x + 58}$ = $3 \sqrt{2 x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{22 x + 58}$	=	$3 \sqrt{2 x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$22 x + 58$	=	${(3 \sqrt{2 x + 6})}^{2}$

$22 x + 58$	=	$9 (2 x + 6)$
$22 x + 58$	=	$18 x + 54$	\| $- 58$
$22 x$	=	$18 x - 4$	\| $- 18 x$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{22 x + 58}$

$=$ $\sqrt{22 \cdot (- 1) + 58}$

= $\sqrt{- 22 + 58}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 23}$ = $\sqrt{2 x - 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 23}$	=	$\sqrt{2 x - 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 23$	=	${(\sqrt{2 x - 7} + 2)}^{2}$

$6 x - 23$	=	$4 \sqrt{2 x - 7} + 2 x - 3$	\| $- 6 x$ $+ 23$ $- 4 \sqrt{2 x - 7}$
$- 4 \sqrt{2 x - 7}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 7}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 7$	=	${(x - 5)}^{2}$

2 x - 7

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12+4}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12-4}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x - 23}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 - 23}$

= $\sqrt{24 - 23}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 - 7} + 2$

= $\sqrt{8 - 7} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{6 x - 23}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 8 - 23}$

= $\sqrt{48 - 23}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{2 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 8 - 7} + 2$

= $\sqrt{16 - 7} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 8

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $8$