Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 6}$ = $4$

$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$4^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 5) + 6}$

= $\sqrt{10 + 6}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 8}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 8}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 8$	=	${(x)}^{2}$

6 x - 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 - 8}$

= $\sqrt{12 - 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 - 8}$

= $\sqrt{24 - 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 17} - 5$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 17} - 5$	=	$2 x$	\| $+ 5$
$\sqrt{8 x + 17}$	=	$2 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 17$	=	${(2 x + 5)}^{2}$

8 x + 17

=

4 x^{2} + 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 25

- 4 x^{2} - 12 x - 8

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{8 x + 17} - 5$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 2) + 17} - 5$

= $\sqrt{- 16 + 17} - 5$

= $\sqrt{1} - 5$

= $1 - 5$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 17} - 5$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 17} - 5$

= $\sqrt{- 8 + 17} - 5$

= $\sqrt{9} - 5$

= $3 - 5$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{13 x + 23}$ = $2 \sqrt{4 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{13 x + 23}$	=	$2 \sqrt{4 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13 x + 23$	=	${(2 \sqrt{4 x + 5})}^{2}$

$13 x + 23$	=	$4 (4 x + 5)$
$13 x + 23$	=	$16 x + 20$	\| $- 23$
$13 x$	=	$16 x - 3$	\| $- 16 x$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{13 x + 23}$

$=$ $\sqrt{13 \cdot 1 + 23}$

= $\sqrt{13 + 23}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{4 x + 5}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 1 + 5}$

= $2 \sqrt{4 + 5}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 118}$ = $\sqrt{4 x + 85} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 118}$	=	$\sqrt{4 x + 85} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 118$	=	${(\sqrt{4 x + 85} + 1)}^{2}$

$6 x + 118$	=	$2 \sqrt{4 x + 85} + 4 x + 86$	\| $- 6 x$ $- 118$ $- 2 \sqrt{4 x + 85}$
$- 2 \sqrt{4 x + 85}$	=	$- 2 x - 32$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 85}$	=	$x + 16$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 85$	=	${(x + 16)}^{2}$

4 x + 85

=

x^{2} + 32 x + 256

|

- x^{2}

- 32 x

- 256

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 171)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 684}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28+10}{- 2}$ = $\frac{38}{- 2}$ = $- 19$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28-10}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 28 x + 171$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $14^{2} - 171$ = $196$ $-$ $171$ = $25$

x_1,2 = $- 14$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 14$ - $5$ = -19

x₂ = $- 14$ + $5$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 19$

Linke Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{6 x + 118}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 19) + 118}$

= $\sqrt{- 114 + 118}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{4 x + 85} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 19) + 85} + 1$

= $\sqrt{- 76 + 85} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 19$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{6 x + 118}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 9) + 118}$

= $\sqrt{- 54 + 118}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 85} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 85} + 1$

= $\sqrt{- 36 + 85} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -19

Probe für x = -9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 19$

Probe für x = $- 9$