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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x}$ = $- 2$

$- 2 \sqrt{x}$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{2}$

x

=

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 2 \sqrt{x}$

$=$ $- 2 \sqrt{1}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 12$	=	${(x)}^{2}$

- x + 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- x + 12}$

$=$ $\sqrt{- (- 4) + 12}$

= $\sqrt{4 + 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 52}$ = $3 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x + 52}$	=	$3 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 52$	=	${(3 x + 4)}^{2}$

- 3 x + 52

=

9 x^{2} + 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

- 24 x

- 16

- 9 x^{2} - 27 x + 36

= 0 |:9

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 3 x + 52}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 52}$

= $\sqrt{12 + 52}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x + 4$

$=$ $3 \cdot (- 4) + 4$

= $- 12 + 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 3 x + 52}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 1 + 52}$

= $\sqrt{- 3 + 52}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 x + 4$

$=$ $3 \cdot 1 + 4$

= $3 + 4$

= $7$

Also 7 = 7

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 4}$ = $2 \sqrt{3 x + 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 4}$	=	$2 \sqrt{3 x + 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 4$	=	${(2 \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

$15 x + 4$	=	$4 (3 x + 4)$
$15 x + 4$	=	$12 x + 16$	\| $- 4$
$15 x$	=	$12 x + 12$	\| $- 12 x$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{15 x + 4}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot 4 + 4}$

= $\sqrt{60 + 4}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{3 x + 4}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $2 \sqrt{12 + 4}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 15}$ = $\sqrt{3 x - 8} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 15}$	=	$\sqrt{3 x - 8} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 15$	=	${(\sqrt{3 x - 8} + 1)}^{2}$

$5 x - 15$	=	$2 \sqrt{3 x - 8} + 3 x - 7$	\| $- 5 x$ $+ 15$ $- 2 \sqrt{3 x - 8}$
$- 2 \sqrt{3 x - 8}$	=	$- 2 x + 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x - 8}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 8$	=	${(x - 4)}^{2}$

3 x - 8

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11+5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11-5}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 15}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 15}$

= $\sqrt{15 - 15}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 8} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 8} + 1$

= $\sqrt{9 - 8} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{5 x - 15}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 8 - 15}$

= $\sqrt{40 - 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{3 x - 8} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 8 - 8} + 1$

= $\sqrt{24 - 8} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 8

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $8$