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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 8}$ = $6$

$3 \sqrt{x + 8}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	$2^{2}$

$x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{x + 8}$

$=$ $3 \sqrt{- 4 + 8}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 12$	=	${(x)}^{2}$

7 x - 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x + 29} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x + 29} - 5$	=	$- x$	\| $+ 5$
$\sqrt{- 7 x + 29}$	=	$- x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x + 29$	=	${(- x + 5)}^{2}$

- 7 x + 29

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 7 x + 29} - 5$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 1) + 29} - 5$

= $\sqrt{7 + 29} - 5$

= $\sqrt{36} - 5$

= $6 - 5$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 7 x + 29} - 5$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot 4 + 29} - 5$

= $\sqrt{- 28 + 29} - 5$

= $\sqrt{1} - 5$

= $1 - 5$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 81}$ = $3 \sqrt{2 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 81}$	=	$3 \sqrt{2 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 81$	=	${(3 \sqrt{2 x + 7})}^{2}$

$16 x + 81$	=	$9 (2 x + 7)$
$16 x + 81$	=	$18 x + 63$	\| $- 81$
$16 x$	=	$18 x - 18$	\| $- 18 x$
$- 2 x$	=	$- 18$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{16 x + 81}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 9 + 81}$

= $\sqrt{144 + 81}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{2 x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 9 + 7}$

= $3 \sqrt{18 + 7}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 25}$ = $\sqrt{2 x + 12} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 25}$	=	$\sqrt{2 x + 12} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 25$	=	${(\sqrt{2 x + 12} + 1)}^{2}$

$4 x + 25$	=	$2 \sqrt{2 x + 12} + 2 x + 13$	\| $- 4 x$ $- 25$ $- 2 \sqrt{2 x + 12}$
$- 2 \sqrt{2 x + 12}$	=	$- 2 x - 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 12}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 12$	=	${(x + 6)}^{2}$

2 x + 12

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10+2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10-2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 25}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 25}$

= $\sqrt{- 24 + 25}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 12} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 25}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 25}$

= $\sqrt{- 16 + 25}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -1

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -6

Probe für x = -4

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 4$