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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 18}$ = $- 6$

2 \sqrt{- 3 x + 18}

=

- 6

|:

2

\sqrt{- 3 x + 18}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 5 x - 4}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 5 x - 4}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 5 x - 4$	=	${(- x)}^{2}$

- 5 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 4) - 4}$

= $\sqrt{20 - 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x$

$=$ $- (- 4)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 1) - 4}$

= $\sqrt{5 - 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 4} - 1$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 4} - 1$	=	$x$	\| $+ 1$
$\sqrt{- 4 x - 4}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 4$	=	${(x + 1)}^{2}$

- 4 x - 4

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x - 4} - 1$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) - 4} - 1$

= $\sqrt{20 - 4} - 1$

= $\sqrt{16} - 1$

= $4 - 1$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 3 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 4 x - 4} - 1$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 1) - 4} - 1$

= $\sqrt{4 - 4} - 1$

= $\sqrt{0} - 1$

= $0 - 1$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{30 x + 141}$ = $3 \sqrt{3 x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{30 x + 141}$	=	$3 \sqrt{3 x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$30 x + 141$	=	${(3 \sqrt{3 x + 15})}^{2}$

$30 x + 141$	=	$9 (3 x + 15)$
$30 x + 141$	=	$27 x + 135$	\| $- 141$
$30 x$	=	$27 x - 6$	\| $- 27 x$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{30 x + 141}$

$=$ $\sqrt{30 \cdot (- 2) + 141}$

= $\sqrt{- 60 + 141}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{3 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 2) + 15}$

= $3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 64}$ = $\sqrt{5 x + 45} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 64}$	=	$\sqrt{5 x + 45} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 64$	=	${(\sqrt{5 x + 45} + 1)}^{2}$

$7 x + 64$	=	$2 \sqrt{5 x + 45} + 5 x + 46$	\| $- 7 x$ $- 64$ $- 2 \sqrt{5 x + 45}$
$- 2 \sqrt{5 x + 45}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 45}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 45$	=	${(x + 9)}^{2}$

5 x + 45

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13+5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13-5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 64}$

= $\sqrt{- 63 + 64}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 45} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 45} + 1$

= $\sqrt{- 45 + 45} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 64}$

= $\sqrt{- 28 + 64}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 45} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 45} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 45} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -4

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 4$