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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 -2x +8 = 6

Lösung einblenden
3 -2x +8 = 6 |:3
-2x +8 = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-2x +8 = 2 2
-2x +8 = 4 | -8
-2x = -4 |:(-2 )
x = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 3 -2x +8

= 3 -22 +8

= 3 -4 +8

= 3 4

= 6

Rechte Seite:

x = 2 in 6

= 6

Also 6 = 6

x = 2 ist somit eine Lösung !

L={ 2 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

28x -40 = 2x

Lösung einblenden
28x -40 = 2x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
28x -40 = ( 2x ) 2
28x -40 = 4 x 2 | -4 x 2
-4 x 2 +28x -40 = 0 |:4

- x 2 +7x -10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · ( -1 ) · ( -10 ) 2( -1 )

x1,2 = -7 ± 49 -40 -2

x1,2 = -7 ± 9 -2

x1 = -7 + 9 -2 = -7 +3 -2 = -4 -2 = 2

x2 = -7 - 9 -2 = -7 -3 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +7x -10 = 0 |: -1

x 2 -7x +10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - 10 = 49 4 - 10 = 49 4 - 40 4 = 9 4

x1,2 = 7 2 ± 9 4

x1 = 7 2 - 3 2 = 4 2 = 2

x2 = 7 2 + 3 2 = 10 2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 28x -40

= 282 -40

= 56 -40

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = 2 in 2x

= 22

= 4

Also 4 = 4

x = 2 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 28x -40

= 285 -40

= 140 -40

= 100

= 10

Rechte Seite:

x = 5 in 2x

= 25

= 10

Also 10 = 10

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 2 ; 5 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4x +52 -2x = 2

Lösung einblenden
4x +52 -2x = 2 | +2x
4x +52 = 2x +2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
4x +52 = ( 2x +2 ) 2
4x +52 = 4 x 2 +8x +4 | -4 x 2 -8x -4
-4 x 2 -4x +48 = 0 |:4

- x 2 - x +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · ( -1 ) · 12 2( -1 )

x1,2 = +1 ± 1 +48 -2

x1,2 = +1 ± 49 -2

x1 = 1 + 49 -2 = 1 +7 -2 = 8 -2 = -4

x2 = 1 - 49 -2 = 1 -7 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 - x +12 = 0 |: -1

x 2 + x -12 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -12 ) = 1 4 + 12 = 1 4 + 48 4 = 49 4

x1,2 = - 1 2 ± 49 4

x1 = - 1 2 - 7 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 1 2 + 7 2 = 6 2 = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in 4x +52 -2x

= 4( -4 ) +52 -2( -4 )

= -16 +52 +8

= 36 +8

= 6 +8

= 14

Rechte Seite:

x = -4 in 2

= 2

Also 14 ≠ 2

x = -4 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 4x +52 -2x

= 43 +52 -23

= 12 +52 -6

= 64 -6

= 8 -6

= 2

Rechte Seite:

x = 3 in 2

= 2

Also 2 = 2

x = 3 ist somit eine Lösung !

L={ 3 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5x -10 = 3 x -2

Lösung einblenden
5x -10 = 3 x -2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
5x -10 = ( 3 x -2 ) 2
5x -10 = 9( x -2 )
5x -10 = 9x -18 | +10
5x = 9x -8 | -9x
-4x = -8 |:(-4 )
x = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 5x -10

= 52 -10

= 10 -10

= 0

= 0

Rechte Seite:

x = 2 in 3 x -2

= 3 2 -2

= 3 0

= 0

Also 0 = 0

x = 2 ist somit eine Lösung !

L={ 2 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6x +91 = 4x +64 +1

Lösung einblenden
6x +91 = 4x +64 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
6x +91 = ( 4x +64 +1 ) 2
6x +91 = 2 4x +64 +4x +65 | -6x -91 -2 4x +64
-2 4x +64 = -2x -26 |:(-2 )
4x +64 = x +13 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
4x +64 = ( x +13 ) 2
4x +64 = x 2 +26x +169 | - x 2 -26x -169

- x 2 -22x -105 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +22 ± ( -22 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -105 ) 2( -1 )

x1,2 = +22 ± 484 -420 -2

x1,2 = +22 ± 64 -2

x1 = 22 + 64 -2 = 22 +8 -2 = 30 -2 = -15

x2 = 22 - 64 -2 = 22 -8 -2 = 14 -2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -22x -105 = 0 |: -1

x 2 +22x +105 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 11 2 - 105 = 121 - 105 = 16

x1,2 = -11 ± 16

x1 = -11 - 4 = -15

x2 = -11 + 4 = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -15

Linke Seite:

x = -15 in 6x +91

= 6( -15 ) +91

= -90 +91

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = -15 in 4x +64 +1

= 4( -15 ) +64 +1

= -60 +64 +1

= 4 +1

= 2 +1

= 3

Also 1 ≠ 3

x = -15 ist somit keine Lösung !

Probe für x = -7

Linke Seite:

x = -7 in 6x +91

= 6( -7 ) +91

= -42 +91

= 49

= 7

Rechte Seite:

x = -7 in 4x +64 +1

= 4( -7 ) +64 +1

= -28 +64 +1

= 36 +1

= 6 +1

= 7

Also 7 = 7

x = -7 ist somit eine Lösung !

L={ -7 }