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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( -x ) = 2

Lösung einblenden
( -x ) = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-x = 2 2
-x = 4 |:(-1 )
x = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in ( -x )

= ( -( -4 ) )

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = -4 in 2

= 2

Also 2 = 2

x = -4 ist somit eine Lösung !

L={ -4 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-8x -15 = x

Lösung einblenden
-8x -15 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-8x -15 = ( x ) 2
-8x -15 = x 2 | - x 2

- x 2 -8x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -15 ) 2( -1 )

x1,2 = +8 ± 64 -60 -2

x1,2 = +8 ± 4 -2

x1 = 8 + 4 -2 = 8 +2 -2 = 10 -2 = -5

x2 = 8 - 4 -2 = 8 -2 -2 = 6 -2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -8x -15 = 0 |: -1

x 2 +8x +15 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - 15 = 16 - 15 = 1

x1,2 = -4 ± 1

x1 = -4 - 1 = -5

x2 = -4 + 1 = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -5

Linke Seite:

x = -5 in -8x -15

= -8( -5 ) -15

= 40 -15

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = -5 in x

= -5

Also 5 ≠ -5

x = -5 ist somit keine Lösung !

Probe für x = -3

Linke Seite:

x = -3 in -8x -15

= -8( -3 ) -15

= 24 -15

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = -3 in x

= -3

Also 3 ≠ -3

x = -3 ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-24x +76 = 2x -4

Lösung einblenden
-24x +76 = 2x -4 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-24x +76 = ( 2x -4 ) 2
-24x +76 = 4 x 2 -16x +16 | -4 x 2 +16x -16
-4 x 2 -8x +60 = 0 |:4

- x 2 -2x +15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · ( -1 ) · 15 2( -1 )

x1,2 = +2 ± 4 +60 -2

x1,2 = +2 ± 64 -2

x1 = 2 + 64 -2 = 2 +8 -2 = 10 -2 = -5

x2 = 2 - 64 -2 = 2 -8 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -2x +15 = 0 |: -1

x 2 +2x -15 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = -1 ± 16

x1 = -1 - 4 = -5

x2 = -1 + 4 = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -5

Linke Seite:

x = -5 in -24x +76

= -24( -5 ) +76

= 120 +76

= 196

= 14

Rechte Seite:

x = -5 in 2x -4

= 2( -5 ) -4

= -10 -4

= -14

Also 14 ≠ -14

x = -5 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in -24x +76

= -243 +76

= -72 +76

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = 3 in 2x -4

= 23 -4

= 6 -4

= 2

Also 2 = 2

x = 3 ist somit eine Lösung !

L={ 3 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

18x +10 = 2 4x +4

Lösung einblenden
18x +10 = 2 4x +4 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
18x +10 = ( 2 4x +4 ) 2
18x +10 = 4( 4x +4 )
18x +10 = 16x +16 | -10
18x = 16x +6 | -16x
2x = 6 |:2
x = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 18x +10

= 183 +10

= 54 +10

= 64

= 8

Rechte Seite:

x = 3 in 2 4x +4

= 2 43 +4

= 2 12 +4

= 2 16

= 8

Also 8 = 8

x = 3 ist somit eine Lösung !

L={ 3 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7x -12 = 3x -8 +2

Lösung einblenden
7x -12 = 3x -8 +2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
7x -12 = ( 3x -8 +2 ) 2
7x -12 = 4 3x -8 +3x -4 | -7x +12 -4 3x -8
-4 3x -8 = -4x +8 |:(-4 )
3x -8 = x -2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
3x -8 = ( x -2 ) 2
3x -8 = x 2 -4x +4 | - x 2 +4x -4

- x 2 +7x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -7 ± 7 2 -4 · ( -1 ) · ( -12 ) 2( -1 )

x1,2 = -7 ± 49 -48 -2

x1,2 = -7 ± 1 -2

x1 = -7 + 1 -2 = -7 +1 -2 = -6 -2 = 3

x2 = -7 - 1 -2 = -7 -1 -2 = -8 -2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +7x -12 = 0 |: -1

x 2 -7x +12 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - 12 = 49 4 - 12 = 49 4 - 48 4 = 1 4

x1,2 = 7 2 ± 1 4

x1 = 7 2 - 1 2 = 6 2 = 3

x2 = 7 2 + 1 2 = 8 2 = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 7x -12

= 73 -12

= 21 -12

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = 3 in 3x -8 +2

= 33 -8 +2

= 9 -8 +2

= 1 +2

= 1 +2

= 3

Also 3 = 3

x = 3 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 4

Linke Seite:

x = 4 in 7x -12

= 74 -12

= 28 -12

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = 4 in 3x -8 +2

= 34 -8 +2

= 12 -8 +2

= 4 +2

= 2 +2

= 4

Also 4 = 4

x = 4 ist somit eine Lösung !

L={ 3 ; 4 }