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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 25}$ = $- 10$

$- 2 \sqrt{x + 25}$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 25}$	=	$5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 25$	=	$5^{2}$

$x + 25$	=	$25$	\| $- 25$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- 2 \sqrt{x + 25}$

$=$ $- 2 \sqrt{0 + 25}$

= $- 2 \sqrt{25}$

= $- 10$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 10$

$=$ $- 10$

Also -10 = -10

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 10}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 10$	=	${(x)}^{2}$

3 x + 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 + 10}$

= $\sqrt{15 + 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x + 61}$ = $2 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x + 61}$	=	$2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x + 61$	=	${(2 x - 5)}^{2}$

$- 20 x + 61$	=	$4 x^{2} - 20 x + 25$	\| $- 61$
$- 20 x$	=	$4 x^{2} - 20 x - 36$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 20 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 20 x + 61}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 3) + 61}$

= $\sqrt{60 + 61}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x - 5$

$=$ $2 \cdot (- 3) - 5$

= $- 6 - 5$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 20 x + 61}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot 3 + 61}$

= $\sqrt{- 60 + 61}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x - 5$

$=$ $2 \cdot 3 - 5$

= $6 - 5$

= $1$

Also 1 = 1

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{49 x + 438}$ = $3 \sqrt{5 x + 46}$

Lösung einblenden

$\sqrt{49 x + 438}$	=	$3 \sqrt{5 x + 46}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$49 x + 438$	=	${(3 \sqrt{5 x + 46})}^{2}$

$49 x + 438$	=	$9 (5 x + 46)$
$49 x + 438$	=	$45 x + 414$	\| $- 438$
$49 x$	=	$45 x - 24$	\| $- 45 x$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{49 x + 438}$

$=$ $\sqrt{49 \cdot (- 6) + 438}$

= $\sqrt{- 294 + 438}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $3 \sqrt{5 x + 46}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 6) + 46}$

= $3 \sqrt{- 30 + 46}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 24}$ = $\sqrt{2 x + 13} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 24}$	=	$\sqrt{2 x + 13} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 24$	=	${(\sqrt{2 x + 13} + 1)}^{2}$

$4 x + 24$	=	$2 \sqrt{2 x + 13} + 2 x + 14$	\| $- 4 x$ $- 24$ $- 2 \sqrt{2 x + 13}$
$- 2 \sqrt{2 x + 13}$	=	$- 2 x - 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 13}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 13$	=	${(x + 5)}^{2}$

2 x + 13

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8+4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8-4}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 24}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 24}$

= $\sqrt{- 24 + 24}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 13} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 13} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 6$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 24}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 24}$

= $\sqrt{- 8 + 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 13} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 13} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -2

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 2$