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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 14}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{x + 14}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	$3^{2}$

$x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 3 \sqrt{x + 14}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 5 + 14}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 20}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 20}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 20$	=	${(x)}^{2}$

- x + 20

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- x + 20}$

$=$ $\sqrt{- (- 5) + 20}$

= $\sqrt{5 + 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 19} + x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 19} + x$	=	$- 3$	\| $- x$
$\sqrt{9 x + 19}$	=	$- x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 19$	=	${(- x - 3)}^{2}$

9 x + 19

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{9 x + 19} + x$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 2) + 19} - 2$

= $\sqrt{- 18 + 19} - 2$

= $\sqrt{1} - 2$

= $1 - 2$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -1 ≠ -3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{9 x + 19} + x$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 5 + 19} + 5$

= $\sqrt{45 + 19} + 5$

= $\sqrt{64} + 5$

= $8 + 5$

= $13$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also 13 ≠ -3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{35 x + 44}$ = $3 \sqrt{4 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{35 x + 44}$	=	$3 \sqrt{4 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$35 x + 44$	=	${(3 \sqrt{4 x + 5})}^{2}$

$35 x + 44$	=	$9 (4 x + 5)$
$35 x + 44$	=	$36 x + 45$	\| $- 44$
$35 x$	=	$36 x + 1$	\| $- 36 x$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{35 x + 44}$

$=$ $\sqrt{35 \cdot (- 1) + 44}$

= $\sqrt{- 35 + 44}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{4 x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $3 \sqrt{- 4 + 5}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 4}$ = $\sqrt{x + 1} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 4}$	=	$\sqrt{x + 1} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$2 \sqrt{x + 1} + x + 2$	\| $- 3 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{x + 1}$
$- 2 \sqrt{x + 1}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 1}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	${(x + 1)}^{2}$

$x + 1$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 1$
$x$	=	$x^{2} + 2 x$	\| $- (x^{2} + 2 x)$
$- x^{2} + x - 2 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4}$

= $\sqrt{- 3 + 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 1} + 1$

$=$ $\sqrt{- 1 + 1} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 1} + 1$

$=$ $\sqrt{0 + 1} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$