Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 1}$ = $9$

$3 \sqrt{2 x + 1}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 1$	=	$3^{2}$

$2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{2 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 4 + 1}$

= $3 \sqrt{8 + 1}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 12$	=	${(x)}^{2}$

x + 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x + 12}$

$=$ $\sqrt{4 + 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 54 x - 126} + 3 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 54 x - 126} + 3 x$	=	$- 3$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 54 x - 126}$	=	$- 3 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 54 x - 126$	=	${(- 3 x - 3)}^{2}$

- 54 x - 126

=

9 x^{2} + 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

- 18 x

- 9

- 9 x^{2} - 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 54 x - 126} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 54 \cdot (- 5) - 126} + 3 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{270 - 126} - 15$

= $\sqrt{144} - 15$

= $12 - 15$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 54 x - 126} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 54 \cdot (- 3) - 126} + 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{162 - 126} - 9$

= $\sqrt{36} - 9$

= $6 - 9$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x - 20}$ = $3 \sqrt{x - 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x - 20}$	=	$3 \sqrt{x - 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x - 20$	=	${(3 \sqrt{x - 2})}^{2}$

$10 x - 20$	=	$9 (x - 2)$
$10 x - 20$	=	$9 x - 18$	\| $+ 20$
$10 x$	=	$9 x + 2$	\| $- 9 x$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{10 x - 20}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 2 - 20}$

= $\sqrt{20 - 20}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{x - 2}$

$=$ $3 \sqrt{2 - 2}$

= $3 \sqrt{0}$

= 0

Also 0 = 0

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 20}$ = $\sqrt{3 x - 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 20}$	=	$\sqrt{3 x - 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 20$	=	${(\sqrt{3 x - 8} + 2)}^{2}$

$7 x - 20$	=	$4 \sqrt{3 x - 8} + 3 x - 4$	\| $- 7 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{3 x - 8}$
$- 4 \sqrt{3 x - 8}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 8}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 8$	=	${(x - 4)}^{2}$

3 x - 8

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11+5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11-5}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 20}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 20}$

= $\sqrt{21 - 20}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 8} + 2$

= $\sqrt{9 - 8} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{7 x - 20}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 8 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{3 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 8 - 8} + 2$

= $\sqrt{24 - 8} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 8

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $8$