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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 3}$ = $- 3$

$- \sqrt{- 2 x + 3}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- \sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $- \sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $- \sqrt{6 + 3}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 9}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 9}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 9$	=	${(x)}^{2}$

6 x - 9

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 9}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 9}$

= $\sqrt{18 - 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 3}$ = $- x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 3}$	=	$- x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 3$	=	${(- x + 3)}^{2}$

- x + 3

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- x + 3$

$=$ $- 2 + 3$

= $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 3}$

= $\sqrt{0}$

= $0$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x + 3$

$=$ $- 3 + 3$

= 0

Also 0 = 0

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 66}$ = $2 \sqrt{2 x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 66}$	=	$2 \sqrt{2 x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 66$	=	${(2 \sqrt{2 x + 15})}^{2}$

$10 x + 66$	=	$4 (2 x + 15)$
$10 x + 66$	=	$8 x + 60$	\| $- 66$
$10 x$	=	$8 x - 6$	\| $- 8 x$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{10 x + 66}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 3) + 66}$

= $\sqrt{- 30 + 66}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 36}$ = $\sqrt{x + 13} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 36}$	=	$\sqrt{x + 13} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 36$	=	${(\sqrt{x + 13} + 1)}^{2}$

$3 x + 36$	=	$2 \sqrt{x + 13} + x + 14$	\| $- 3 x$ $- 36$ $- 2 \sqrt{x + 13}$
$- 2 \sqrt{x + 13}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 13}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 13$	=	${(x + 11)}^{2}$

x + 13

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 21 x - 108$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 108)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{21+3}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{21-3}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 108$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 108$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 108$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $108$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{432}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 36}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 36}$

= $\sqrt{- 36 + 36}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{- 12 + 13} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 36}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 36}$

= $\sqrt{- 27 + 36}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{- 9 + 13} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 9$