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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 14}$ = $- 6$

2 \sqrt{x + 14}

=

- 6

|:

2

\sqrt{x + 14}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 6$	=	${(x)}^{2}$

5 x - 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 6}$

= $\sqrt{10 - 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $\sqrt{15 - 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 31}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 31}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 31$	=	${(x + 5)}^{2}$

9 x + 31

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{9 x + 31}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 3) + 31}$

= $\sqrt{- 27 + 31}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x + 5$

$=$ $- 3 + 5$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{9 x + 31}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 2 + 31}$

= $\sqrt{18 + 31}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x + 5$

$=$ $2 + 5$

= $7$

Also 7 = 7

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ ; $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{22 x + 49}$ = $3 \sqrt{2 x + 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{22 x + 49}$	=	$3 \sqrt{2 x + 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$22 x + 49$	=	${(3 \sqrt{2 x + 9})}^{2}$

$22 x + 49$	=	$9 (2 x + 9)$
$22 x + 49$	=	$18 x + 81$	\| $- 49$
$22 x$	=	$18 x + 32$	\| $- 18 x$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{22 x + 49}$

$=$ $\sqrt{22 \cdot 8 + 49}$

= $\sqrt{176 + 49}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{2 x + 9}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 8 + 9}$

= $3 \sqrt{16 + 9}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 61}$ = $\sqrt{4 x + 40} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 61}$	=	$\sqrt{4 x + 40} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 61$	=	${(\sqrt{4 x + 40} + 1)}^{2}$

$6 x + 61$	=	$2 \sqrt{4 x + 40} + 4 x + 41$	\| $- 6 x$ $- 61$ $- 2 \sqrt{4 x + 40}$
$- 2 \sqrt{4 x + 40}$	=	$- 2 x - 20$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

4 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16+4}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16-4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{6 x + 61}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 10) + 61}$

= $\sqrt{- 60 + 61}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{4 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 10) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 40 + 40} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 10$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 61}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 61}$

= $\sqrt{- 36 + 61}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 40} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -6

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 6$