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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 4}$ = $- 3$

\sqrt{x + 4}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 15}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x + 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 5) + 15}$

= $\sqrt{10 + 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 57} - 2 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 57} - 2 x$	=	$- 5$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{- 12 x + 57}$	=	$2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 57$	=	${(2 x - 5)}^{2}$

- 12 x + 57

=

4 x^{2} - 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

- 25

- 4 x^{2} + 8 x + 32

= 0 |:4

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 12 x + 57} - 2 x$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 2) + 57} - 2 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{24 + 57} + 4$

= $\sqrt{81} + 4$

= $9 + 4$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 13 ≠ -5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 12 x + 57} - 2 x$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 4 + 57} - 2 \cdot 4$

= $\sqrt{- 48 + 57} - 8$

= $\sqrt{9} - 8$

= $3 - 8$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 85}$ = $2 \sqrt{5 x + 19}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 85}$	=	$2 \sqrt{5 x + 19}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 85$	=	${(2 \sqrt{5 x + 19})}^{2}$

$19 x + 85$	=	$4 (5 x + 19)$
$19 x + 85$	=	$20 x + 76$	\| $- 85$
$19 x$	=	$20 x - 9$	\| $- 20 x$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{19 x + 85}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot 9 + 85}$

= $\sqrt{171 + 85}$

= $\sqrt{256}$

= $16$

Rechte Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{5 x + 19}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot 9 + 19}$

= $2 \sqrt{45 + 19}$

= $2 \sqrt{64}$

= $16$

Also 16 = 16

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 22}$ = $\sqrt{4 x + 13} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 22}$	=	$\sqrt{4 x + 13} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 22$	=	${(\sqrt{4 x + 13} + 1)}^{2}$

$6 x + 22$	=	$2 \sqrt{4 x + 13} + 4 x + 14$	\| $- 6 x$ $- 22$ $- 2 \sqrt{4 x + 13}$
$- 2 \sqrt{4 x + 13}$	=	$- 2 x - 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 13}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 13$	=	${(x + 4)}^{2}$

4 x + 13

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{6 x + 22}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 3) + 22}$

= $\sqrt{- 18 + 22}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 13} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 13} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 22}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 22}$

= $\sqrt{- 6 + 22}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 13} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 13} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$