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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 17}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{2 x + 17}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 3 \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $- 3 \sqrt{- 8 + 17}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 8}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 8}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 8$	=	${(x)}^{2}$

- 6 x - 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 4) - 8}$

= $\sqrt{24 - 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 2) - 8}$

= $\sqrt{12 - 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 93 x - 83}$ = $3 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 93 x - 83}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 93 x - 83$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

- 93 x - 83

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 63 x - 108

= 0 |:9

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 93 x - 83}$

$=$ $\sqrt{- 93 \cdot (- 4) - 83}$

= $\sqrt{372 - 83}$

= $\sqrt{289}$

= $17$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot (- 4) - 5$

= $- 12 - 5$

= $- 17$

Also 17 ≠ -17

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 93 x - 83}$

$=$ $\sqrt{- 93 \cdot (- 3) - 83}$

= $\sqrt{279 - 83}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot (- 3) - 5$

= $- 9 - 5$

= $- 14$

Also 14 ≠ -14

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 112}$ = $2 \sqrt{2 x + 24}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 112}$	=	$2 \sqrt{2 x + 24}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 112$	=	${(2 \sqrt{2 x + 24})}^{2}$

$12 x + 112$	=	$4 (2 x + 24)$
$12 x + 112$	=	$8 x + 96$	\| $- 112$
$12 x$	=	$8 x - 16$	\| $- 8 x$
$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{12 x + 112}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 4) + 112}$

= $\sqrt{- 48 + 112}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{2 x + 24}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 24}$

= $2 \sqrt{- 8 + 24}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 144}$ = $\sqrt{5 x + 84} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 144}$	=	$\sqrt{5 x + 84} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 144$	=	${(\sqrt{5 x + 84} + 2)}^{2}$

$9 x + 144$	=	$4 \sqrt{5 x + 84} + 5 x + 88$	\| $- 9 x$ $- 144$ $- 4 \sqrt{5 x + 84}$
$- 4 \sqrt{5 x + 84}$	=	$- 4 x - 56$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 84}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 84$	=	${(x + 14)}^{2}$

5 x + 84

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23+9}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23-9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{448}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{9 x + 144}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 16) + 144}$

= $\sqrt{- 144 + 144}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 84} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 84} + 2$

= $\sqrt{- 80 + 84} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{9 x + 144}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 7) + 144}$

= $\sqrt{- 63 + 144}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{5 x + 84} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 7) + 84} + 2$

= $\sqrt{- 35 + 84} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -7

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 7$