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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 6}$ = $8$

- 2 \sqrt{2 x + 6}

=

8

|:(

- 2

)

\sqrt{2 x + 6}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x - 16}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x - 16}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x - 16$	=	${(2 x)}^{2}$

16 x - 16

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 16 x - 16

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{16 x - 16}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 2 - 16}$

= $\sqrt{32 - 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 7}$ = $- 2 x + 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 7}$	=	$- 2 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 7$	=	${(- 2 x + 5)}^{2}$

4 x - 7

=

4 x^{2} - 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

- 25

- 4 x^{2} + 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 7}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 7}$

= $\sqrt{8 - 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x + 5$

$=$ $- 2 \cdot 2 + 5$

= $- 4 + 5$

= $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x - 7}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 - 7}$

= $\sqrt{16 - 7}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x + 5$

$=$ $- 2 \cdot 4 + 5$

= $- 8 + 5$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 197}$ = $2 \sqrt{4 x + 44}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 197}$	=	$2 \sqrt{4 x + 44}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 197$	=	${(2 \sqrt{4 x + 44})}^{2}$

$19 x + 197$	=	$4 (4 x + 44)$
$19 x + 197$	=	$16 x + 176$	\| $- 197$
$19 x$	=	$16 x - 21$	\| $- 16 x$
$3 x$	=	$- 21$	\|: $3$
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{19 x + 197}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot (- 7) + 197}$

= $\sqrt{- 133 + 197}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $2 \sqrt{4 x + 44}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 7) + 44}$

= $2 \sqrt{- 28 + 44}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 61}$ = $\sqrt{3 x + 40} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 61}$	=	$\sqrt{3 x + 40} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 61$	=	${(\sqrt{3 x + 40} + 1)}^{2}$

$5 x + 61$	=	$2 \sqrt{3 x + 40} + 3 x + 41$	\| $- 5 x$ $- 61$ $- 2 \sqrt{3 x + 40}$
$- 2 \sqrt{3 x + 40}$	=	$- 2 x - 20$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

3 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17+7}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17-7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{5 x + 61}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 12) + 61}$

= $\sqrt{- 60 + 61}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 36 + 40} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 61}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 61}$

= $\sqrt{- 25 + 61}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 40} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -5

Probe für x = $2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 5$