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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 31}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 31}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 3 \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $- 3 \sqrt{- 15 + 31}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 12$	=	${(x)}^{2}$

7 x - 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x - 23} + 2 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x - 23} + 2 x$	=	$- 5$	\| $- 2 x$
$\sqrt{- 8 x - 23}$	=	$- 2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x - 23$	=	${(- 2 x - 5)}^{2}$

- 8 x - 23

=

4 x^{2} + 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 25

- 4 x^{2} - 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 8 x - 23} + 2 x$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 4) - 23} + 2 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{32 - 23} - 8$

= $\sqrt{9} - 8$

= $3 - 8$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 8 x - 23} + 2 x$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 3) - 23} + 2 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{24 - 23} - 6$

= $\sqrt{1} - 6$

= $1 - 6$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 181}$ = $2 \sqrt{2 x + 43}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 181}$	=	$2 \sqrt{2 x + 43}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 181$	=	${(2 \sqrt{2 x + 43})}^{2}$

$9 x + 181$	=	$4 (2 x + 43)$
$9 x + 181$	=	$8 x + 172$	\| $- 181$
$9 x$	=	$8 x - 9$	\| $- 8 x$
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{9 x + 181}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 9) + 181}$

= $\sqrt{- 81 + 181}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $2 \sqrt{2 x + 43}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 9) + 43}$

= $2 \sqrt{- 18 + 43}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 60}$ = $\sqrt{4 x + 28} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 60}$	=	$\sqrt{4 x + 28} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 60$	=	${(\sqrt{4 x + 28} + 2)}^{2}$

$8 x + 60$	=	$4 \sqrt{4 x + 28} + 4 x + 32$	\| $- 8 x$ $- 60$ $- 4 \sqrt{4 x + 28}$
$- 4 \sqrt{4 x + 28}$	=	$- 4 x - 28$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 28}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 28$	=	${(x + 7)}^{2}$

4 x + 28

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10+4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10-4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{8 x + 60}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 7) + 60}$

= $\sqrt{- 56 + 60}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 28} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 28} + 2$

= $\sqrt{- 28 + 28} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{8 x + 60}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 3) + 60}$

= $\sqrt{- 24 + 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 28} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 28} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 28} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -3

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 3$