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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 7}$ = $2$

- \sqrt{3 x + 7}

=

2

|:(

- 1

)

\sqrt{3 x + 7}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x - 2}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x - 2}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x - 2$	=	${(- x)}^{2}$

- 3 x - 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 2) - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x$

$=$ $- (- 2)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 1) - 2}$

= $\sqrt{3 - 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x - 56} - 2 x$ = $- 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x - 56} - 2 x$	=	$- 2$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{24 x - 56}$	=	$2 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x - 56$	=	${(2 x - 2)}^{2}$

24 x - 56

=

4 x^{2} - 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4

- 4 x^{2} + 32 x - 60

= 0 |:4

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{24 x - 56} - 2 x$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 3 - 56} - 2 \cdot 3$

= $\sqrt{72 - 56} - 6$

= $\sqrt{16} - 6$

= $4 - 6$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{24 x - 56} - 2 x$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 5 - 56} - 2 \cdot 5$

= $\sqrt{120 - 56} - 10$

= $\sqrt{64} - 10$

= $8 - 10$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 60}$ = $2 \sqrt{2 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 60}$	=	$2 \sqrt{2 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 60$	=	${(2 \sqrt{2 x + 13})}^{2}$

$12 x + 60$	=	$4 (2 x + 13)$
$12 x + 60$	=	$8 x + 52$	\| $- 60$
$12 x$	=	$8 x - 8$	\| $- 8 x$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{12 x + 60}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 2) + 60}$

= $\sqrt{- 24 + 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 13}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 13}$

= $2 \sqrt{- 4 + 13}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 31}$ = $\sqrt{x + 14} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 31}$	=	$\sqrt{x + 14} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	${(\sqrt{x + 14} + 1)}^{2}$

$3 x + 31$	=	$2 \sqrt{x + 14} + x + 15$	\| $- 3 x$ $- 31$ $- 2 \sqrt{x + 14}$
$- 2 \sqrt{x + 14}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 14}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	${(x + 8)}^{2}$

x + 14

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 15 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 50)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{15+5}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{15-5}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 15 x - 50$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{3 x + 31}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 10) + 31}$

= $\sqrt{- 30 + 31}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{- 10 + 14} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 31}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $\sqrt{- 15 + 31}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{- 5 + 14} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -5

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 5$