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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 2}$ = $2$

- \sqrt{- x + 2}

=

2

|:(

- 1

)

\sqrt{- x + 2}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 32 x - 60}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 32 x - 60}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 32 x - 60$	=	${(2 x)}^{2}$

- 32 x - 60

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 32 x - 60

= 0 |:4

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 32 x - 60}$

$=$ $\sqrt{- 32 \cdot (- 5) - 60}$

= $\sqrt{160 - 60}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 32 x - 60}$

$=$ $\sqrt{- 32 \cdot (- 3) - 60}$

= $\sqrt{96 - 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 3)$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 34} - x$ = $3$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 34} - x$	=	$3$	\| $+ x$
$\sqrt{6 x + 34}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 34$	=	${(x + 3)}^{2}$

$6 x + 34$	=	$x^{2} + 6 x + 9$	\| $- 34$
$6 x$	=	$x^{2} + 6 x - 25$	\| $- x^{2}$ $- 6 x$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{6 x + 34} - x$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 5) + 34} - (- 5)$

= $\sqrt{- 30 + 34} + 5$

= $\sqrt{4} + 5$

= $2 + 5$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $3$

$=$ $3$

Also 7 ≠ 3

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x + 34} - x$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 + 34} - 5$

= $\sqrt{30 + 34} - 5$

= $\sqrt{64} - 5$

= $8 - 5$

= $3$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{29 x + 260}$ = $3 \sqrt{3 x + 28}$

Lösung einblenden

$\sqrt{29 x + 260}$	=	$3 \sqrt{3 x + 28}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$29 x + 260$	=	${(3 \sqrt{3 x + 28})}^{2}$

$29 x + 260$	=	$9 (3 x + 28)$
$29 x + 260$	=	$27 x + 252$	\| $- 260$
$29 x$	=	$27 x - 8$	\| $- 27 x$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{29 x + 260}$

$=$ $\sqrt{29 \cdot (- 4) + 260}$

= $\sqrt{- 116 + 260}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{3 x + 28}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 23}$ = $\sqrt{3 x + 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 23}$	=	$\sqrt{3 x + 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 23$	=	${(\sqrt{3 x + 7} + 2)}^{2}$

$7 x + 23$	=	$4 \sqrt{3 x + 7} + 3 x + 11$	\| $- 7 x$ $- 23$ $- 4 \sqrt{3 x + 7}$
$- 4 \sqrt{3 x + 7}$	=	$- 4 x - 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	${(x + 3)}^{2}$

3 x + 7

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{7 x + 23}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 2) + 23}$

= $\sqrt{- 14 + 23}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 7} + 2$

= $\sqrt{- 6 + 7} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 23}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 23}$

= $\sqrt{- 7 + 23}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 7} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 7} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$