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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $6$

$2 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $2 \sqrt{8 + 1}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 5$	=	${(x)}^{2}$

- 4 x + 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 5}$

= $\sqrt{20 + 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 1 + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 20} + x$ = $4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 20} + x$	=	$4$	\| $- x$
$\sqrt{- 8 x + 20}$	=	$- x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 20$	=	${(- x + 4)}^{2}$

$- 8 x + 20$	=	$x^{2} - 8 x + 16$	\| $- 20$
$- 8 x$	=	$x^{2} - 8 x - 4$	\| $- x^{2}$ $+ 8 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 8 x + 20} + x$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 2) + 20} - 2$

= $\sqrt{16 + 20} - 2$

= $\sqrt{36} - 2$

= $6 - 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 8 x + 20} + x$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 2 + 20} + 2$

= $\sqrt{- 16 + 20} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{47 x + 84}$ = $3 \sqrt{5 x + 10}$

Lösung einblenden

$\sqrt{47 x + 84}$	=	$3 \sqrt{5 x + 10}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$47 x + 84$	=	${(3 \sqrt{5 x + 10})}^{2}$

$47 x + 84$	=	$9 (5 x + 10)$
$47 x + 84$	=	$45 x + 90$	\| $- 84$
$47 x$	=	$45 x + 6$	\| $- 45 x$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{47 x + 84}$

$=$ $\sqrt{47 \cdot 3 + 84}$

= $\sqrt{141 + 84}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{5 x + 10}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 3 + 10}$

= $3 \sqrt{15 + 10}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 57}$ = $\sqrt{5 x + 40} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 57}$	=	$\sqrt{5 x + 40} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 57$	=	${(\sqrt{5 x + 40} + 1)}^{2}$

$7 x + 57$	=	$2 \sqrt{5 x + 40} + 5 x + 41$	\| $- 7 x$ $- 57$ $- 2 \sqrt{5 x + 40}$
$- 2 \sqrt{5 x + 40}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 40}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 40$	=	${(x + 8)}^{2}$

5 x + 40

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 57}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 57}$

= $\sqrt{- 56 + 57}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 40 + 40} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{7 x + 57}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 3) + 57}$

= $\sqrt{- 21 + 57}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 40} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -3

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 3$