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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- x + 14}$ = $6$

$2 \sqrt{- x + 14}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{- x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 14$	=	$3^{2}$

$- x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $2 \sqrt{- x + 14}$

$=$ $2 \sqrt{- 5 + 14}$

= $2 \sqrt{9}$

= $2 \cdot 3$

= $6$

Rechte Seite:

x = $5$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 4}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 4}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 4$	=	${(- 2 x)}^{2}$

8 x - 4

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 8 x - 4

= 0 |:4

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{8 x - 4}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 1 - 4}$

= $\sqrt{8 - 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 33} - x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 33} - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$\sqrt{- 8 x + 33}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 33$	=	${(x - 5)}^{2}$

- 8 x + 33

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 8 x + 33} - x$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 2) + 33} - (- 2)$

= $\sqrt{16 + 33} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 9 ≠ -5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 8 x + 33} - x$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 4 + 33} - 4$

= $\sqrt{- 32 + 33} - 4$

= $\sqrt{1} - 4$

= $1 - 4$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -3 ≠ -5

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 8}$ = $2 \sqrt{2 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 8}$	=	$2 \sqrt{2 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 8$	=	${(2 \sqrt{2 x - 8})}^{2}$

$4 x - 8$	=	$4 (2 x - 8)$
$4 x - 8$	=	$8 x - 32$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$8 x - 24$	\| $- 8 x$
$- 4 x$	=	$- 24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{4 x - 8}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 6 - 8}$

= $\sqrt{24 - 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $6$ in $2 \sqrt{2 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 6 - 8}$

= $2 \sqrt{12 - 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 84}$ = $\sqrt{3 x + 57} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 84}$	=	$\sqrt{3 x + 57} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 84$	=	${(\sqrt{3 x + 57} + 1)}^{2}$

$5 x + 84$	=	$2 \sqrt{3 x + 57} + 3 x + 58$	\| $- 5 x$ $- 84$ $- 2 \sqrt{3 x + 57}$
$- 2 \sqrt{3 x + 57}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 57}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 57$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 57

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23+9}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23-9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{448}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 84}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 84}$

= $\sqrt{- 80 + 84}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{3 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 16) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 48 + 57} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{5 x + 84}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 7) + 84}$

= $\sqrt{- 35 + 84}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{3 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 7) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 21 + 57} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -7

Probe für x = $5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 7$