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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 17}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 17}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 17$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 17}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot 4 + 17}$

= $- 2 \sqrt{- 8 + 17}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 20}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 20}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 20$	=	${(x)}^{2}$

x + 20

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{5 + 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 9 x + 27}$ = $3 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 9 x + 27}$	=	$3 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 9 x + 27$	=	${(3 x - 3)}^{2}$

- 9 x + 27

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 9 x + 18

= 0 |:9

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 9 x + 27}$

$=$ $\sqrt{- 9 \cdot (- 1) + 27}$

= $\sqrt{9 + 27}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 x - 3$

$=$ $3 \cdot (- 1) - 3$

= $- 3 - 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 9 x + 27}$

$=$ $\sqrt{- 9 \cdot 2 + 27}$

= $\sqrt{- 18 + 27}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 x - 3$

$=$ $3 \cdot 2 - 3$

= $6 - 3$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 24}$ = $2 \sqrt{2 x + 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 24}$	=	$2 \sqrt{2 x + 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 24$	=	${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

$4 x + 24$	=	$4 (2 x + 3)$
$4 x + 24$	=	$8 x + 12$	\| $- 24$
$4 x$	=	$8 x - 12$	\| $- 8 x$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x + 24}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 + 24}$

= $\sqrt{12 + 24}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $2 \sqrt{6 + 3}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 89}$ = $\sqrt{3 x + 60} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 89}$	=	$\sqrt{3 x + 60} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 89$	=	${(\sqrt{3 x + 60} + 1)}^{2}$

$5 x + 89$	=	$2 \sqrt{3 x + 60} + 3 x + 61$	\| $- 5 x$ $- 89$ $- 2 \sqrt{3 x + 60}$
$- 2 \sqrt{3 x + 60}$	=	$- 2 x - 28$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 60}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 60$	=	${(x + 14)}^{2}$

3 x + 60

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 136)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 544}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25+9}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25-9}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 136$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{544}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{34}{2}$ = -17

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{5 x + 89}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 17) + 89}$

= $\sqrt{- 85 + 89}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{3 x + 60} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 17) + 60} + 1$

= $\sqrt{- 51 + 60} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 89}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 89}$

= $\sqrt{- 40 + 89}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 60} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 60} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 60} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -8

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 8$