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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 7}$ = $6$

$3 \sqrt{3 x + 7}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	$2^{2}$

$3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 1) + 7}$

= $3 \sqrt{- 3 + 7}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x - 32}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x - 32}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x - 32$	=	${(- 2 x)}^{2}$

24 x - 32

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 2 - 32}$

= $\sqrt{48 - 32}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 4 - 32}$

= $\sqrt{96 - 32}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 28} + 2 x$ = $2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 28} + 2 x$	=	$2$	\| $- 2 x$
$\sqrt{- 4 x + 28}$	=	$- 2 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 28$	=	${(- 2 x + 2)}^{2}$

- 4 x + 28

=

4 x^{2} - 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4

- 4 x^{2} + 4 x + 24

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 4 x + 28} + 2 x$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 2) + 28} + 2 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{8 + 28} - 4$

= $\sqrt{36} - 4$

= $6 - 4$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 4 x + 28} + 2 x$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 3 + 28} + 2 \cdot 3$

= $\sqrt{- 12 + 28} + 6$

= $\sqrt{16} + 6$

= $4 + 6$

= $10$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2$

$=$ $2$

Also 10 ≠ 2

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x + 123}$ = $3 \sqrt{2 x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x + 123}$	=	$3 \sqrt{2 x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x + 123$	=	${(3 \sqrt{2 x + 15})}^{2}$

$14 x + 123$	=	$9 (2 x + 15)$
$14 x + 123$	=	$18 x + 135$	\| $- 123$
$14 x$	=	$18 x + 12$	\| $- 18 x$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{14 x + 123}$

$=$ $\sqrt{14 \cdot (- 3) + 123}$

= $\sqrt{- 42 + 123}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 15}$ = $\sqrt{5 x + 10} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 15}$	=	$\sqrt{5 x + 10} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 15$	=	${(\sqrt{5 x + 10} + 1)}^{2}$

$7 x + 15$	=	$2 \sqrt{5 x + 10} + 5 x + 11$	\| $- 7 x$ $- 15$ $- 2 \sqrt{5 x + 10}$
$- 2 \sqrt{5 x + 10}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 10}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 10$	=	${(x + 2)}^{2}$

5 x + 10

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 2) + 15}$

= $\sqrt{- 14 + 15}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 10} + 1$

= $\sqrt{- 10 + 10} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 + 15}$

= $\sqrt{21 + 15}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 + 10} + 1$

= $\sqrt{15 + 10} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$