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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 -2x +6 = -6

Lösung einblenden
-3 -2x +6 = -6 |:(-3 )
-2x +6 = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-2x +6 = 2 2
-2x +6 = 4 | -6
-2x = -2 |:(-2 )
x = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 1

Linke Seite:

x = 1 in -3 -2x +6

= -3 -21 +6

= -3 -2 +6

= -3 4

= -6

Rechte Seite:

x = 1 in -6

= -6

Also -6 = -6

x = 1 ist somit eine Lösung !

L={ 1 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x +10 = x

Lösung einblenden
3x +10 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
3x +10 = ( x ) 2
3x +10 = x 2 | - x 2

- x 2 +3x +10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -3 ± 3 2 -4 · ( -1 ) · 10 2( -1 )

x1,2 = -3 ± 9 +40 -2

x1,2 = -3 ± 49 -2

x1 = -3 + 49 -2 = -3 +7 -2 = 4 -2 = -2

x2 = -3 - 49 -2 = -3 -7 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +3x +10 = 0 |: -1

x 2 -3x -10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -10 ) = 9 4 + 10 = 9 4 + 40 4 = 49 4

x1,2 = 3 2 ± 49 4

x1 = 3 2 - 7 2 = - 4 2 = -2

x2 = 3 2 + 7 2 = 10 2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -2

Linke Seite:

x = -2 in 3x +10

= 3( -2 ) +10

= -6 +10

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = -2 in x

= -2

Also 2 ≠ -2

x = -2 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 3x +10

= 35 +10

= 15 +10

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 5 in x

= 5

Also 5 = 5

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 5 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-16x -28 +2x = -2

Lösung einblenden
-16x -28 +2x = -2 | -2x
-16x -28 = -2x -2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-16x -28 = ( -2x -2 ) 2
-16x -28 = 4 x 2 +8x +4 | -4 x 2 -8x -4
-4 x 2 -24x -32 = 0 |:4

- x 2 -6x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -8 ) 2( -1 )

x1,2 = +6 ± 36 -32 -2

x1,2 = +6 ± 4 -2

x1 = 6 + 4 -2 = 6 +2 -2 = 8 -2 = -4

x2 = 6 - 4 -2 = 6 -2 -2 = 4 -2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -6x -8 = 0 |: -1

x 2 +6x +8 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - 8 = 9 - 8 = 1

x1,2 = -3 ± 1

x1 = -3 - 1 = -4

x2 = -3 + 1 = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in -16x -28 +2x

= -16( -4 ) -28 +2( -4 )

= 64 -28 -8

= 36 -8

= 6 -8

= -2

Rechte Seite:

x = -4 in -2

= -2

Also -2 = -2

x = -4 ist somit eine Lösung !

Probe für x = -2

Linke Seite:

x = -2 in -16x -28 +2x

= -16( -2 ) -28 +2( -2 )

= 32 -28 -4

= 4 -4

= 2 -4

= -2

Rechte Seite:

x = -2 in -2

= -2

Also -2 = -2

x = -2 ist somit eine Lösung !

L={ -4 ; -2 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

30x -51 = 3 3x -5

Lösung einblenden
30x -51 = 3 3x -5 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
30x -51 = ( 3 3x -5 ) 2
30x -51 = 9( 3x -5 )
30x -51 = 27x -45 | +51
30x = 27x +6 | -27x
3x = 6 |:3
x = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 30x -51

= 302 -51

= 60 -51

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = 2 in 3 3x -5

= 3 32 -5

= 3 6 -5

= 3 1

= 3

Also 3 = 3

x = 2 ist somit eine Lösung !

L={ 2 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7x +44 = 3x +16 +2

Lösung einblenden
7x +44 = 3x +16 +2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
7x +44 = ( 3x +16 +2 ) 2
7x +44 = 4 3x +16 +3x +20 | -7x -44 -4 3x +16
-4 3x +16 = -4x -24 |:(-4 )
3x +16 = x +6 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
3x +16 = ( x +6 ) 2
3x +16 = x 2 +12x +36 | - x 2 -12x -36

- x 2 -9x -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -20 ) 2( -1 )

x1,2 = +9 ± 81 -80 -2

x1,2 = +9 ± 1 -2

x1 = 9 + 1 -2 = 9 +1 -2 = 10 -2 = -5

x2 = 9 - 1 -2 = 9 -1 -2 = 8 -2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -9x -20 = 0 |: -1

x 2 +9x +20 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 2 ) 2 - 20 = 81 4 - 20 = 81 4 - 80 4 = 1 4

x1,2 = - 9 2 ± 1 4

x1 = - 9 2 - 1 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 9 2 + 1 2 = - 8 2 = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -5

Linke Seite:

x = -5 in 7x +44

= 7( -5 ) +44

= -35 +44

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = -5 in 3x +16 +2

= 3( -5 ) +16 +2

= -15 +16 +2

= 1 +2

= 1 +2

= 3

Also 3 = 3

x = -5 ist somit eine Lösung !

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in 7x +44

= 7( -4 ) +44

= -28 +44

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = -4 in 3x +16 +2

= 3( -4 ) +16 +2

= -12 +16 +2

= 4 +2

= 2 +2

= 4

Also 4 = 4

x = -4 ist somit eine Lösung !

L={ -5 ; -4 }