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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 1}$ = $2$

- 2 \sqrt{3 x + 1}

=

2

|:(

- 2

)

\sqrt{3 x + 1}

=

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 5 x - 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 5 x - 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 5 x - 6$	=	${(x)}^{2}$

- 5 x - 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 3) - 6}$

= $\sqrt{15 - 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 2) - 6}$

= $\sqrt{10 - 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x + 91} - 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x + 91} - 1$	=	$- 3 x$	\| $+ 1$
$\sqrt{21 x + 91}$	=	$- 3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x + 91$	=	${(- 3 x + 1)}^{2}$

21 x + 91

=

9 x^{2} - 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

+ 6 x

- 1

- 9 x^{2} + 27 x + 90

= 0 |:9

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{21 x + 91} - 1$

$=$ $\sqrt{21 \cdot (- 2) + 91} - 1$

= $\sqrt{- 42 + 91} - 1$

= $\sqrt{49} - 1$

= $7 - 1$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 2)$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{21 x + 91} - 1$

$=$ $\sqrt{21 \cdot 5 + 91} - 1$

= $\sqrt{105 + 91} - 1$

= $\sqrt{196} - 1$

= $14 - 1$

= $13$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 5$

= $- 15$

Also 13 ≠ -15

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x - 71}$ = $3 \sqrt{2 x - 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x - 71}$	=	$3 \sqrt{2 x - 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x - 71$	=	${(3 \sqrt{2 x - 7})}^{2}$

$19 x - 71$	=	$9 (2 x - 7)$
$19 x - 71$	=	$18 x - 63$	\| $+ 71$
$19 x$	=	$18 x + 8$	\| $- 18 x$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{19 x - 71}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot 8 - 71}$

= $\sqrt{152 - 71}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{2 x - 7}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 8 - 7}$

= $3 \sqrt{16 - 7}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 13}$ = $\sqrt{2 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 13}$	=	$\sqrt{2 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 13$	=	${(\sqrt{2 x + 5} + 2)}^{2}$

$6 x + 13$	=	$4 \sqrt{2 x + 5} + 2 x + 9$	\| $- 6 x$ $- 13$ $- 4 \sqrt{2 x + 5}$
$- 4 \sqrt{2 x + 5}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 5}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 5$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 5$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 5$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 4$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 + 13}$

= $\sqrt{12 + 13}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 2 + 5} + 2$

= $\sqrt{4 + 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$