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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- x + 4}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- x + 4}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 4$	=	$3^{2}$

$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{- x + 4}$

$=$ $- 2 \sqrt{- (- 5) + 4}$

= $- 2 \sqrt{5 + 4}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 2}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 2}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	${(- x)}^{2}$

- x + 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- (- 2) + 2}$

= $\sqrt{2 + 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x$

$=$ $- (- 2)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- x + 2}$

$=$ $\sqrt{- 1 + 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 12}$ = $- 2 x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 12}$	=	$- 2 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 12$	=	${(- 2 x + 2)}^{2}$

- 4 x + 12

=

4 x^{2} - 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4

- 4 x^{2} + 4 x + 8

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 4 x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 1) + 12}$

= $\sqrt{4 + 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x + 2$

$=$ $- 2 \cdot (- 1) + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 4 x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 2 + 12}$

= $\sqrt{- 8 + 12}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x + 2$

$=$ $- 2 \cdot 2 + 2$

= $- 4 + 2$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 180}$ = $2 \sqrt{4 x + 41}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 180}$	=	$2 \sqrt{4 x + 41}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 180$	=	${(2 \sqrt{4 x + 41})}^{2}$

$20 x + 180$	=	$4 (4 x + 41)$
$20 x + 180$	=	$16 x + 164$	\| $- 180$
$20 x$	=	$16 x - 16$	\| $- 16 x$
$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{20 x + 180}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 4) + 180}$

= $\sqrt{- 80 + 180}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{4 x + 41}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 4) + 41}$

= $2 \sqrt{- 16 + 41}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 70}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 70}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 70$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 1)}^{2}$

$5 x + 70$	=	$2 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 44$	\| $- 5 x$ $- 70$ $- 2 \sqrt{3 x + 43}$
$- 2 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 126)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 504}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23+5}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23-5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 126$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{504}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{5 x + 70}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 14) + 70}$

= $\sqrt{- 70 + 70}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{3 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 14) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 42 + 43} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 70}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 70}$

= $\sqrt{- 45 + 70}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 27 + 43} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 9$