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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 8}$ = $- 2$

\sqrt{- x + 8}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 3}$

= $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 40}$ = $- 2 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 40}$	=	$- 2 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 40$	=	${(- 2 x - 2)}^{2}$

$8 x + 40$	=	$4 x^{2} + 8 x + 4$	\| $- 40$
$8 x$	=	$4 x^{2} + 8 x - 36$	\| $- 4 x^{2}$ $- 8 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{8 x + 40}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 3) + 40}$

= $\sqrt{- 24 + 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x - 2$

$=$ $- 2 \cdot (- 3) - 2$

= $6 - 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x + 40}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 + 40}$

= $\sqrt{24 + 40}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2 x - 2$

$=$ $- 2 \cdot 3 - 2$

= $- 6 - 2$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 80}$ = $2 \sqrt{2 x + 24}$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 80}$	=	$2 \sqrt{2 x + 24}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 80$	=	${(2 \sqrt{2 x + 24})}^{2}$

$4 x + 80$	=	$4 (2 x + 24)$
$4 x + 80$	=	$8 x + 96$	\| $- 80$
$4 x$	=	$8 x + 16$	\| $- 8 x$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 80}$

= $\sqrt{- 16 + 80}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{2 x + 24}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 24}$

= $2 \sqrt{- 8 + 24}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 20}$ = $\sqrt{2 x - 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 20}$	=	$\sqrt{2 x - 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 20$	=	${(\sqrt{2 x - 9} + 1)}^{2}$

$4 x - 20$	=	$2 \sqrt{2 x - 9} + 2 x - 8$	\| $- 4 x$ $+ 20$ $- 2 \sqrt{2 x - 9}$
$- 2 \sqrt{2 x - 9}$	=	$- 2 x + 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x - 9}$	=	$x - 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 9$	=	${(x - 6)}^{2}$

2 x - 9

=

x^{2} - 12 x + 36

|

- x^{2}

+ 12 x

- 36

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 45)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14+4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14-4}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x - 20}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 - 20}$

= $\sqrt{20 - 20}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x - 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 9} + 1$

= $\sqrt{10 - 9} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{4 x - 20}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 9 - 20}$

= $\sqrt{36 - 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x - 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 - 9} + 1$

= $\sqrt{18 - 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Probe für x = 9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $9$