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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2,8284 \sqrt{x}$ = $- 4$

$- 2,8284 \sqrt{x}$	=	$- 4$	\|:( $- 2,8284$ )
$\sqrt{x}$	=	$\frac{4}{2,8284}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{4}{2,8284})}^{2}$

x

=

2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 2,8284 \sqrt{x}$

$=$ $- 2,8284 \sqrt{2}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 10}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 10$	=	${(x)}^{2}$

3 x + 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 + 10}$

= $\sqrt{15 + 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 13 x - 1}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 13 x - 1}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 13 x - 1$	=	${(x - 3)}^{2}$

- 13 x - 1

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 13 x - 1}$

$=$ $\sqrt{- 13 \cdot (- 5) - 1}$

= $\sqrt{65 - 1}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x - 3$

$=$ $- 5 - 3$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 13 x - 1}$

$=$ $\sqrt{- 13 \cdot (- 2) - 1}$

= $\sqrt{26 - 1}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x - 3$

$=$ $- 2 - 3$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 44}$ = $2 \sqrt{3 x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 44}$	=	$2 \sqrt{3 x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 44$	=	${(2 \sqrt{3 x + 12})}^{2}$

$8 x + 44$	=	$4 (3 x + 12)$
$8 x + 44$	=	$12 x + 48$	\| $- 44$
$8 x$	=	$12 x + 4$	\| $- 12 x$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 44}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 44}$

= $\sqrt{- 8 + 44}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{3 x + 12}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 1) + 12}$

= $2 \sqrt{- 3 + 12}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 121}$ = $\sqrt{4 x + 61} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 121}$	=	$\sqrt{4 x + 61} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 121$	=	${(\sqrt{4 x + 61} + 2)}^{2}$

$8 x + 121$	=	$4 \sqrt{4 x + 61} + 4 x + 65$	\| $- 8 x$ $- 121$ $- 4 \sqrt{4 x + 61}$
$- 4 \sqrt{4 x + 61}$	=	$- 4 x - 56$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 61}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 61$	=	${(x + 14)}^{2}$

4 x + 61

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 24 x - 135$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 135)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 540}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{24+6}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{24-6}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 24 x - 135$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 24 x + 135$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $12^{2} - 135$ = $144$ $-$ $135$ = $9$

x_1,2 = $- 12$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 12$ - $3$ = -15

x₂ = $- 12$ + $3$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{8 x + 121}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 15) + 121}$

= $\sqrt{- 120 + 121}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{4 x + 61} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 15) + 61} + 2$

= $\sqrt{- 60 + 61} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{8 x + 121}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 9) + 121}$

= $\sqrt{- 72 + 121}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 61} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 61} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 61} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -9

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 9$