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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 2}$ = $- 1$

$- \sqrt{- x + 2}$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	$1^{2}$

$- x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- \sqrt{- x + 2}$

$=$ $- \sqrt{- 1 + 2}$

= $- \sqrt{1}$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 3$	=	${(x)}^{2}$

- 4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 3) - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 1) - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 20} - x$ = $2$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 20} - x$	=	$2$	\| $+ x$
$\sqrt{4 x + 20}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 20$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 20$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 20$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 16$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 20} - x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 20} - (- 4)$

= $\sqrt{- 16 + 20} + 4$

= $\sqrt{4} + 4$

= $2 + 4$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2$

$=$ $2$

Also 6 ≠ 2

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x + 20} - x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 + 20} - 4$

= $\sqrt{16 + 20} - 4$

= $\sqrt{36} - 4$

= $6 - 4$

= $2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 21}$ = $3 \sqrt{x + 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 21}$	=	$3 \sqrt{x + 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 21$	=	${(3 \sqrt{x + 4})}^{2}$

$12 x + 21$	=	$9 (x + 4)$
$12 x + 21$	=	$9 x + 36$	\| $- 21$
$12 x$	=	$9 x + 15$	\| $- 9 x$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{12 x + 21}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 5 + 21}$

= $\sqrt{60 + 21}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{x + 4}$

$=$ $3 \sqrt{5 + 4}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x}$ = $\sqrt{4 x - 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x}$	=	$\sqrt{4 x - 4} + 2$
$2,8284 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{4 x - 4} + 2$	\|: $2,8284$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2,8284} \sqrt{4 x - 4} + \frac{2}{2,8284}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2,8284} \sqrt{4 x - 4} + \frac{2}{2,8284})}^{2}$

$x$	=	$0,5 \sqrt{4 x - 4} + \frac{4}{8} x$	\|⋅ 8
$8 x$	=	$8 (0,5 \sqrt{4 x - 4} + \frac{4}{8} x)$
$8 x$	=	$4 \sqrt{4 x - 4} + 4 x$	\| $- 8 x$ $- 4 \sqrt{4 x - 4}$
$- 4 \sqrt{4 x - 4}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 4}$	=	$\frac{4}{4} x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 4$	=	${(\frac{4}{4} x)}^{2}$

$4 x - 4$	=	$\frac{16}{16} x^{2}$	\|⋅ 16
$16 (4 x - 4)$	=	$\frac{256}{16} x^{2}$
$64 x - 64$	=	$\frac{256}{16} x^{2}$	\| $- \frac{256}{16} x^{2}$

$- \frac{256}{16} x^{2} + 64 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (- \frac{256}{16}) \cdot (- 64)}}{2 \cdot (- \frac{256}{16})}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{4 096 - \frac{65536}{16}}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{0}}{- 32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 64}{- 32}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- \frac{256}{16}$ " teilen:

$- \frac{256}{16} x^{2} + 64 x - 64$ = 0 |: $- \frac{256}{16}$

$x^{2} - \frac{1024}{256} x + \frac{1024}{256}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1024}{512})}^{2} - (\frac{1024}{256})$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{1024}{512}$ ± 0 = $\frac{1024}{512}$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2,8284 \sqrt{x}$

$=$ $2,8284 \sqrt{2}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 4} + 2$

= $\sqrt{8 - 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $2$