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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 31}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{3 x + 31}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $- 2 \sqrt{- 15 + 31}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 16}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 16}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 16$	=	${(x)}^{2}$

8 x - 16

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{8 x - 16}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 4 - 16}$

= $\sqrt{32 - 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 14 x - 7} - 3$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 14 x - 7} - 3$	=	$- x$	\| $+ 3$
$\sqrt{- 14 x - 7}$	=	$- x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 14 x - 7$	=	${(- x + 3)}^{2}$

- 14 x - 7

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 14 x - 7} - 3$

$=$ $\sqrt{- 14 \cdot (- 4) - 7} - 3$

= $\sqrt{56 - 7} - 3$

= $\sqrt{49} - 3$

= $7 - 3$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x$

$=$ $- (- 4)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{23 x + 219}$ = $3 \sqrt{3 x + 27}$

Lösung einblenden

$\sqrt{23 x + 219}$	=	$3 \sqrt{3 x + 27}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$23 x + 219$	=	${(3 \sqrt{3 x + 27})}^{2}$

$23 x + 219$	=	$9 (3 x + 27)$
$23 x + 219$	=	$27 x + 243$	\| $- 219$
$23 x$	=	$27 x + 24$	\| $- 27 x$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{23 x + 219}$

$=$ $\sqrt{23 \cdot (- 6) + 219}$

= $\sqrt{- 138 + 219}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $3 \sqrt{3 x + 27}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 6) + 27}$

= $3 \sqrt{- 18 + 27}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 181}$ = $\sqrt{5 x + 109} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 181}$	=	$\sqrt{5 x + 109} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 181$	=	${(\sqrt{5 x + 109} + 2)}^{2}$

$9 x + 181$	=	$4 \sqrt{5 x + 109} + 5 x + 113$	\| $- 9 x$ $- 181$ $- 4 \sqrt{5 x + 109}$
$- 4 \sqrt{5 x + 109}$	=	$- 4 x - 68$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 109}$	=	$x + 17$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 109$	=	${(x + 17)}^{2}$

5 x + 109

=

x^{2} + 34 x + 289

|

- x^{2}

- 34 x

- 289

$- x^{2} - 29 x - 180$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 180)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 720}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{29+11}{- 2}$ = $\frac{40}{- 2}$ = $- 20$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{29-11}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 29 x - 180$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 29 x + 180$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{2})}^{2} - 180$ = $\frac{841}{4}$ $-$ $180$ = $\frac{841}{4}$ $-$ $\frac{720}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{29}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{29}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{40}{2}$ = -20

x₂ = $- \frac{29}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 20$

Linke Seite:

x = $- 20$ in $\sqrt{9 x + 181}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 20) + 181}$

= $\sqrt{- 180 + 181}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 20$ in $\sqrt{5 x + 109} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 20) + 109} + 2$

= $\sqrt{- 100 + 109} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 20$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{9 x + 181}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 9) + 181}$

= $\sqrt{- 81 + 181}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 109} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 109} + 2$

= $\sqrt{- 45 + 109} + 2$

= $\sqrt{64} + 2$

= $8 + 2$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -20

Probe für x = -9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 20$

Probe für x = $- 9$