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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 2$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot (- 1) + 2}$

= $- 2 \sqrt{2 + 2}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 9}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 9}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 9$	=	${(x)}^{2}$

- 6 x - 9

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 6 x - 9}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 3) - 9}$

= $\sqrt{18 - 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{28 x - 12} + 2 x$ = $- 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{28 x - 12} + 2 x$	=	$- 2$	\| $- 2 x$
$\sqrt{28 x - 12}$	=	$- 2 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28 x - 12$	=	${(- 2 x - 2)}^{2}$

28 x - 12

=

4 x^{2} + 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

- 8 x

- 4

- 4 x^{2} + 20 x - 16

= 0 |:4

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{28 x - 12} + 2 x$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 1 - 12} + 2 \cdot 1$

= $\sqrt{28 - 12} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also 6 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{28 x - 12} + 2 x$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 4 - 12} + 2 \cdot 4$

= $\sqrt{112 - 12} + 8$

= $\sqrt{100} + 8$

= $10 + 8$

= $18$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also 18 ≠ -2

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{17 x + 30}$ = $2 \sqrt{4 x + 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{17 x + 30}$	=	$2 \sqrt{4 x + 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$17 x + 30$	=	${(2 \sqrt{4 x + 8})}^{2}$

$17 x + 30$	=	$4 (4 x + 8)$
$17 x + 30$	=	$16 x + 32$	\| $- 30$
$17 x$	=	$16 x + 2$	\| $- 16 x$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{17 x + 30}$

$=$ $\sqrt{17 \cdot 2 + 30}$

= $\sqrt{34 + 30}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{4 x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 2 + 8}$

= $2 \sqrt{8 + 8}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 20}$ = $\sqrt{4 x - 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 20}$	=	$\sqrt{4 x - 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 20$	=	${(\sqrt{4 x - 12} + 2)}^{2}$

$8 x - 20$	=	$4 \sqrt{4 x - 12} + 4 x - 8$	\| $- 8 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{4 x - 12}$
$- 4 \sqrt{4 x - 12}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 12}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 12$	=	${(x - 3)}^{2}$

4 x - 12

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 12} + 2$

= $\sqrt{12 - 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 7 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 - 12} + 2$

= $\sqrt{28 - 12} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 7

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$