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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 8}$ = $6$

$3 \sqrt{- 2 x + 8}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{- 2 x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 8$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{- 2 x + 8}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 \cdot 2 + 8}$

= $3 \sqrt{- 4 + 8}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{28 x - 40}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{28 x - 40}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28 x - 40$	=	${(2 x)}^{2}$

28 x - 40

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 28 x - 40

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7+3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7-3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{28 x - 40}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 2 - 40}$

= $\sqrt{56 - 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{28 x - 40}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 5 - 40}$

= $\sqrt{140 - 40}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 52} - 2 x$ = $2$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 52} - 2 x$	=	$2$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{4 x + 52}$	=	$2 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 52$	=	${(2 x + 2)}^{2}$

4 x + 52

=

4 x^{2} + 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

- 8 x

- 4

- 4 x^{2} - 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 52} - 2 x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 52} - 2 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 16 + 52} + 8$

= $\sqrt{36} + 8$

= $6 + 8$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2$

$=$ $2$

Also 14 ≠ 2

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x + 52} - 2 x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 + 52} - 2 \cdot 3$

= $\sqrt{12 + 52} - 6$

= $\sqrt{64} - 6$

= $8 - 6$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 10}$ = $3 \sqrt{x - 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 10}$	=	$3 \sqrt{x - 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 10$	=	${(3 \sqrt{x - 2})}^{2}$

$5 x - 10$	=	$9 (x - 2)$
$5 x - 10$	=	$9 x - 18$	\| $+ 10$
$5 x$	=	$9 x - 8$	\| $- 9 x$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 10}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 10}$

= $\sqrt{10 - 10}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{x - 2}$

$=$ $3 \sqrt{2 - 2}$

= $3 \sqrt{0}$

= 0

Also 0 = 0

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 91}$ = $\sqrt{4 x + 64} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 91}$	=	$\sqrt{4 x + 64} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 91$	=	${(\sqrt{4 x + 64} + 1)}^{2}$

$6 x + 91$	=	$2 \sqrt{4 x + 64} + 4 x + 65$	\| $- 6 x$ $- 91$ $- 2 \sqrt{4 x + 64}$
$- 2 \sqrt{4 x + 64}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 64}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 64$	=	${(x + 13)}^{2}$

4 x + 64

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 105)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22+8}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22-8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 105$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 105$ = $121$ $-$ $105$ = $16$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 11$ - $4$ = -15

x₂ = $- 11$ + $4$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{6 x + 91}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 15) + 91}$

= $\sqrt{- 90 + 91}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{4 x + 64} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 15) + 64} + 1$

= $\sqrt{- 60 + 64} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 91}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 64} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 64} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 64} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -7

Probe für x = $2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 7$