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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 8}$ = $- 2$

$- \sqrt{x + 8}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	$2^{2}$

$x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- \sqrt{x + 8}$

$=$ $- \sqrt{- 4 + 8}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 28 x - 31}$ = $2 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 28 x - 31}$	=	$2 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 28 x - 31$	=	${(2 x - 1)}^{2}$

- 28 x - 31

=

4 x^{2} - 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 1

- 4 x^{2} - 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 28 x - 31}$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot (- 4) - 31}$

= $\sqrt{112 - 31}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x - 1$

$=$ $2 \cdot (- 4) - 1$

= $- 8 - 1$

= $- 9$

Also 9 ≠ -9

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 28 x - 31}$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot (- 2) - 31}$

= $\sqrt{56 - 31}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x - 1$

$=$ $2 \cdot (- 2) - 1$

= $- 4 - 1$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x + 18}$ = $3 \sqrt{2 x + 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x + 18}$	=	$3 \sqrt{2 x + 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x + 18$	=	${(3 \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

$21 x + 18$	=	$9 (2 x + 3)$
$21 x + 18$	=	$18 x + 27$	\| $- 18$
$21 x$	=	$18 x + 9$	\| $- 18 x$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{21 x + 18}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot 3 + 18}$

= $\sqrt{63 + 18}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $3 \sqrt{6 + 3}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 11}$ = $\sqrt{3 x + 10} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 11}$	=	$\sqrt{3 x + 10} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 11$	=	${(\sqrt{3 x + 10} + 1)}^{2}$

$5 x + 11$	=	$2 \sqrt{3 x + 10} + 3 x + 11$	\| $- 5 x$ $- 11$ $- 2 \sqrt{3 x + 10}$
$- 2 \sqrt{3 x + 10}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 10$	=	${(x)}^{2}$

3 x + 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 11}$

= $\sqrt{- 10 + 11}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 10} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 10} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{5 x + 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 5 + 11}$

= $\sqrt{25 + 11}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 + 10} + 1$

= $\sqrt{15 + 10} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$