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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 6}$ = $4$

$\sqrt{2 x + 6}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	$4^{2}$

$2 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x + 6}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 + 6}$

= $\sqrt{10 + 6}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $5$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 20}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 20}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 20$	=	${(x)}^{2}$

- x + 20

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- x + 20}$

$=$ $\sqrt{- (- 5) + 20}$

= $\sqrt{5 + 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 13} + 2$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 13} + 2$	=	$- 3 x$	\| $- 2$
$\sqrt{12 x + 13}$	=	$- 3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 13$	=	${(- 3 x - 2)}^{2}$

$12 x + 13$	=	$9 x^{2} + 12 x + 4$	\| $- 13$
$12 x$	=	$9 x^{2} + 12 x - 9$	\| $- 9 x^{2}$ $- 12 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{12 x + 13} + 2$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 1) + 13} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 13} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 1)$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{12 x + 13} + 2$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 1 + 13} + 2$

= $\sqrt{12 + 13} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 1$

= $- 3$

Also 7 ≠ -3

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x - 54}$ = $3 \sqrt{2 x - 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x - 54}$	=	$3 \sqrt{2 x - 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x - 54$	=	${(3 \sqrt{2 x - 9})}^{2}$

$15 x - 54$	=	$9 (2 x - 9)$
$15 x - 54$	=	$18 x - 81$	\| $+ 54$
$15 x$	=	$18 x - 27$	\| $- 18 x$
$- 3 x$	=	$- 27$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{15 x - 54}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot 9 - 54}$

= $\sqrt{135 - 54}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{2 x - 9}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 9 - 9}$

= $3 \sqrt{18 - 9}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 12}$ = $\sqrt{x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 12}$	=	$\sqrt{x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 12$	=	${(\sqrt{x + 5} + 1)}^{2}$

$3 x + 12$	=	$2 \sqrt{x + 5} + x + 6$	\| $- 3 x$ $- 12$ $- 2 \sqrt{x + 5}$
$- 2 \sqrt{x + 5}$	=	$- 2 x - 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 5}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 5$	=	${(x + 3)}^{2}$

x + 5

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 12}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 12}$

= $\sqrt{- 12 + 12}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{- 4 + 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 12}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 12}$

= $\sqrt{- 3 + 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{- 1 + 5} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$