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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 14}$ = $6$

$2 \sqrt{x + 14}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	$3^{2}$

$x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{x + 14}$

$=$ $2 \sqrt{- 5 + 14}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 28 x - 48}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 28 x - 48}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 28 x - 48$	=	${(2 x)}^{2}$

- 28 x - 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot (- 4) - 48}$

= $\sqrt{112 - 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 4)$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{- 28 \cdot (- 3) - 48}$

= $\sqrt{84 - 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 3)$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{99 x - 171} - 3$ = $3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{99 x - 171} - 3$	=	$3 x$	\| $+ 3$
$\sqrt{99 x - 171}$	=	$3 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$99 x - 171$	=	${(3 x + 3)}^{2}$

99 x - 171

=

9 x^{2} + 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

- 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 81 x - 180

= 0 |:9

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9+1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9-1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{99 x - 171} - 3$

$=$ $\sqrt{99 \cdot 4 - 171} - 3$

= $\sqrt{396 - 171} - 3$

= $\sqrt{225} - 3$

= $15 - 3$

= $12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot 4$

= $12$

Also 12 = 12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{99 x - 171} - 3$

$=$ $\sqrt{99 \cdot 5 - 171} - 3$

= $\sqrt{495 - 171} - 3$

= $\sqrt{324} - 3$

= $18 - 3$

= $15$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot 5$

= $15$

Also 15 = 15

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 264}$ = $2 \sqrt{4 x + 60}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 264}$	=	$2 \sqrt{4 x + 60}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 264$	=	${(2 \sqrt{4 x + 60})}^{2}$

$20 x + 264$	=	$4 (4 x + 60)$
$20 x + 264$	=	$16 x + 240$	\| $- 264$
$20 x$	=	$16 x - 24$	\| $- 16 x$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{20 x + 264}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 6) + 264}$

= $\sqrt{- 120 + 264}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{4 x + 60}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 6) + 60}$

= $2 \sqrt{- 24 + 60}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 29}$ = $\sqrt{2 x - 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 29}$	=	$\sqrt{2 x - 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 29$	=	${(\sqrt{2 x - 9} + 2)}^{2}$

$6 x - 29$	=	$4 \sqrt{2 x - 9} + 2 x - 5$	\| $- 6 x$ $+ 29$ $- 4 \sqrt{2 x - 9}$
$- 4 \sqrt{2 x - 9}$	=	$- 4 x + 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 9}$	=	$x - 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 9$	=	${(x - 6)}^{2}$

2 x - 9

=

x^{2} - 12 x + 36

|

- x^{2}

+ 12 x

- 36

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 45)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14+4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14-4}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 29}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 29}$

= $\sqrt{30 - 29}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 9} + 2$

= $\sqrt{10 - 9} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{6 x - 29}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 9 - 29}$

= $\sqrt{54 - 29}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 - 9} + 2$

= $\sqrt{18 - 9} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Probe für x = 9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $5$

Probe für x = $9$