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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $6$

$3 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $3 \sqrt{3 + 1}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 5 x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 5 x - 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 5 x - 4$	=	${(x)}^{2}$

- 5 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 4) - 4}$

= $\sqrt{20 - 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 1) - 4}$

= $\sqrt{5 - 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x + 133} + 3 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x + 133} + 3 x$	=	$- 5$	\| $- 3 x$
$\sqrt{21 x + 133}$	=	$- 3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x + 133$	=	${(- 3 x - 5)}^{2}$

21 x + 133

=

9 x^{2} + 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

- 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 9 x + 108

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{21 x + 133} + 3 x$

$=$ $\sqrt{21 \cdot (- 4) + 133} + 3 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 84 + 133} - 12$

= $\sqrt{49} - 12$

= $7 - 12$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{21 x + 133} + 3 x$

$=$ $\sqrt{21 \cdot 3 + 133} + 3 \cdot 3$

= $\sqrt{63 + 133} + 9$

= $\sqrt{196} + 9$

= $14 + 9$

= $23$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 23 ≠ -5

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 51}$ = $2 \sqrt{2 x + 11}$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 51}$	=	$2 \sqrt{2 x + 11}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 51$	=	${(2 \sqrt{2 x + 11})}^{2}$

$7 x + 51$	=	$4 (2 x + 11)$
$7 x + 51$	=	$8 x + 44$	\| $- 51$
$7 x$	=	$8 x - 7$	\| $- 8 x$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{7 x + 51}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 7 + 51}$

= $\sqrt{49 + 51}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $7$ in $2 \sqrt{2 x + 11}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 7 + 11}$

= $2 \sqrt{14 + 11}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 17}$ = $\sqrt{2 x - 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 17}$	=	$\sqrt{2 x - 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 17$	=	${(\sqrt{2 x - 5} + 2)}^{2}$

$6 x - 17$	=	$4 \sqrt{2 x - 5} + 2 x - 1$	\| $- 6 x$ $+ 17$ $- 4 \sqrt{2 x - 5}$
$- 4 \sqrt{2 x - 5}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 5}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 5$	=	${(x - 4)}^{2}$

2 x - 5

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 17}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 17}$

= $\sqrt{18 - 17}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 5} + 2$

= $\sqrt{6 - 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{6 x - 17}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 7 - 17}$

= $\sqrt{42 - 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{2 x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 7 - 5} + 2$

= $\sqrt{14 - 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 7

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$