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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 3}$ = $- 9$

3 \sqrt{- 2 x + 3}

=

- 9

|:

3

\sqrt{- 2 x + 3}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 4$	=	${(x)}^{2}$

4 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 4}$

= $\sqrt{8 - 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{42 x - 110}$ = $3 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{42 x - 110}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$42 x - 110$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

42 x - 110

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} + 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{42 x - 110}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 3 - 110}$

= $\sqrt{126 - 110}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot 3 - 5$

= $9 - 5$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{42 x - 110}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 5 - 110}$

= $\sqrt{210 - 110}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot 5 - 5$

= $15 - 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{47 x + 606}$ = $3 \sqrt{5 x + 66}$

Lösung einblenden

$\sqrt{47 x + 606}$	=	$3 \sqrt{5 x + 66}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$47 x + 606$	=	${(3 \sqrt{5 x + 66})}^{2}$

$47 x + 606$	=	$9 (5 x + 66)$
$47 x + 606$	=	$45 x + 594$	\| $- 606$
$47 x$	=	$45 x - 12$	\| $- 45 x$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{47 x + 606}$

$=$ $\sqrt{47 \cdot (- 6) + 606}$

= $\sqrt{- 282 + 606}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $3 \sqrt{5 x + 66}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 6) + 66}$

= $3 \sqrt{- 30 + 66}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 17}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 17}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 17$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 2)}^{2}$

$8 x + 17$	=	$4 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 9$	\| $- 8 x$ $- 17$ $- 4 \sqrt{4 x + 5}$
$- 4 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 5$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 17}$

= $\sqrt{- 8 + 17}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 1 + 17}$

= $\sqrt{8 + 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5} + 2$

= $\sqrt{4 + 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$