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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 17}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 17}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $- \sqrt{- 8 + 17}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x - 20}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x - 20}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x - 20$	=	${(- 2 x)}^{2}$

24 x - 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 24 x - 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{24 x - 20}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 1 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{24 x - 20}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 5 - 20}$

= $\sqrt{120 - 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 5$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{32 x - 47} + 2 x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{32 x - 47} + 2 x$	=	$- 1$	\| $- 2 x$
$\sqrt{32 x - 47}$	=	$- 2 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$32 x - 47$	=	${(- 2 x - 1)}^{2}$

32 x - 47

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{32 x - 47} + 2 x$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 3 - 47} + 2 \cdot 3$

= $\sqrt{96 - 47} + 6$

= $\sqrt{49} + 6$

= $7 + 6$

= $13$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 13 ≠ -1

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{32 x - 47} + 2 x$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 4 - 47} + 2 \cdot 4$

= $\sqrt{128 - 47} + 8$

= $\sqrt{81} + 8$

= $9 + 8$

= $17$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 17 ≠ -1

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{48 x + 105}$ = $3 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{48 x + 105}$	=	$3 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$48 x + 105$	=	${(3 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$48 x + 105$	=	$9 (5 x + 14)$
$48 x + 105$	=	$45 x + 126$	\| $- 105$
$48 x$	=	$45 x + 21$	\| $- 45 x$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{48 x + 105}$

$=$ $\sqrt{48 \cdot 7 + 105}$

= $\sqrt{336 + 105}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $7$ in $3 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 7 + 14}$

= $3 \sqrt{35 + 14}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 121}$ = $\sqrt{5 x + 65} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 121}$	=	$\sqrt{5 x + 65} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 121$	=	${(\sqrt{5 x + 65} + 2)}^{2}$

$9 x + 121$	=	$4 \sqrt{5 x + 65} + 5 x + 69$	\| $- 9 x$ $- 121$ $- 4 \sqrt{5 x + 65}$
$- 4 \sqrt{5 x + 65}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 65}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 65$	=	${(x + 13)}^{2}$

5 x + 65

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 104)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 416}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21+5}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21-5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 104$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{416}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{9 x + 121}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 13) + 121}$

= $\sqrt{- 117 + 121}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{5 x + 65} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 13) + 65} + 2$

= $\sqrt{- 65 + 65} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 13$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{9 x + 121}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 8) + 121}$

= $\sqrt{- 72 + 121}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 65} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 65} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 65} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 13$ ; $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 8$