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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 1}$ = $3$

- \sqrt{2 x + 1}

=

3

|:(

- 1

)

\sqrt{2 x + 1}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 12$	=	${(x)}^{2}$

- x + 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- x + 12}$

$=$ $\sqrt{- (- 4) + 12}$

= $\sqrt{4 + 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 60 x - 131} + 3 x$ = $- 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 60 x - 131} + 3 x$	=	$- 2$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 60 x - 131}$	=	$- 3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 60 x - 131$	=	${(- 3 x - 2)}^{2}$

- 60 x - 131

=

9 x^{2} + 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

- 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 60 x - 131} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 60 \cdot (- 5) - 131} + 3 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{300 - 131} - 15$

= $\sqrt{169} - 15$

= $13 - 15$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 60 x - 131} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 60 \cdot (- 3) - 131} + 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{180 - 131} - 9$

= $\sqrt{49} - 9$

= $7 - 9$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 48}$ = $2 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 48}$	=	$2 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 48$	=	${(2 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$16 x + 48$	=	$4 (5 x + 14)$
$16 x + 48$	=	$20 x + 56$	\| $- 48$
$16 x$	=	$20 x + 8$	\| $- 20 x$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{16 x + 48}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 2) + 48}$

= $\sqrt{- 32 + 48}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 2) + 14}$

= $2 \sqrt{- 10 + 14}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 23}$ = $\sqrt{2 x - 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 23}$	=	$\sqrt{2 x - 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 23$	=	${(\sqrt{2 x - 7} + 2)}^{2}$

$6 x - 23$	=	$4 \sqrt{2 x - 7} + 2 x - 3$	\| $- 6 x$ $+ 23$ $- 4 \sqrt{2 x - 7}$
$- 4 \sqrt{2 x - 7}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 7}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 7$	=	${(x - 5)}^{2}$

2 x - 7

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12+4}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12-4}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x - 23}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 - 23}$

= $\sqrt{24 - 23}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 - 7} + 2$

= $\sqrt{8 - 7} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{6 x - 23}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 8 - 23}$

= $\sqrt{48 - 23}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{2 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 8 - 7} + 2$

= $\sqrt{16 - 7} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $8$