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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 4}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{x + 4}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	$3^{2}$

$x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- 3 \sqrt{x + 4}$

$=$ $- 3 \sqrt{5 + 4}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x)}^{2}$

x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x + 6}$

$=$ $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x + 226}$ = $- 3 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x + 226}$	=	$- 3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x + 226$	=	${(- 3 x + 1)}^{2}$

$- 6 x + 226$	=	$9 x^{2} - 6 x + 1$	\| $- 226$
$- 6 x$	=	$9 x^{2} - 6 x - 225$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 6 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 225$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 6 x + 226}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 5) + 226}$

= $\sqrt{30 + 226}$

= $\sqrt{256}$

= $16$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3 x + 1$

$=$ $- 3 \cdot (- 5) + 1$

= $15 + 1$

= $16$

Also 16 = 16

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 6 x + 226}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot 5 + 226}$

= $\sqrt{- 30 + 226}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3 x + 1$

$=$ $- 3 \cdot 5 + 1$

= $- 15 + 1$

= $- 14$

Also 14 ≠ -14

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{33 x + 102}$ = $3 \sqrt{4 x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{33 x + 102}$	=	$3 \sqrt{4 x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$33 x + 102$	=	${(3 \sqrt{4 x + 12})}^{2}$

$33 x + 102$	=	$9 (4 x + 12)$
$33 x + 102$	=	$36 x + 108$	\| $- 102$
$33 x$	=	$36 x + 6$	\| $- 36 x$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{33 x + 102}$

$=$ $\sqrt{33 \cdot (- 2) + 102}$

= $\sqrt{- 66 + 102}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{4 x + 12}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 2) + 12}$

= $3 \sqrt{- 8 + 12}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 9}$ = $\sqrt{5 x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 9}$	=	$\sqrt{5 x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 9$	=	${(\sqrt{5 x + 4} + 1)}^{2}$

$7 x + 9$	=	$2 \sqrt{5 x + 4} + 5 x + 5$	\| $- 7 x$ $- 9$ $- 2 \sqrt{5 x + 4}$
$- 2 \sqrt{5 x + 4}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$5 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 5 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4} + 1$

= $\sqrt{0 + 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 1 + 9}$

= $\sqrt{7 + 9}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 + 4} + 1$

= $\sqrt{5 + 4} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={0; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 1

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$