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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 x +14 = -6

Lösung einblenden
-2 x +14 = -6 |:(-2 )
x +14 = 3 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x +14 = 3 2
x +14 = 9 | -14
x = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -5

Linke Seite:

x = -5 in -2 x +14

= -2 -5 +14

= -2 9

= -6

Rechte Seite:

x = -5 in -6

= -6

Also -6 = -6

x = -5 ist somit eine Lösung !

L={ -5 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-7x -12 = -x

Lösung einblenden
-7x -12 = -x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-7x -12 = ( -x ) 2
-7x -12 = x 2 | - x 2

- x 2 -7x -12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -12 ) 2( -1 )

x1,2 = +7 ± 49 -48 -2

x1,2 = +7 ± 1 -2

x1 = 7 + 1 -2 = 7 +1 -2 = 8 -2 = -4

x2 = 7 - 1 -2 = 7 -1 -2 = 6 -2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -7x -12 = 0 |: -1

x 2 +7x +12 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 7 2 ) 2 - 12 = 49 4 - 12 = 49 4 - 48 4 = 1 4

x1,2 = - 7 2 ± 1 4

x1 = - 7 2 - 1 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 7 2 + 1 2 = - 6 2 = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in -7x -12

= -7( -4 ) -12

= 28 -12

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = -4 in -x

= -( -4 )

= 4

Also 4 = 4

x = -4 ist somit eine Lösung !

Probe für x = -3

Linke Seite:

x = -3 in -7x -12

= -7( -3 ) -12

= 21 -12

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = -3 in -x

= -( -3 )

= 3

Also 3 = 3

x = -3 ist somit eine Lösung !

L={ -4 ; -3 }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

66x +70 +3x = -5

Lösung einblenden
66x +70 +3x = -5 | -3x
66x +70 = -3x -5 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
66x +70 = ( -3x -5 ) 2
66x +70 = 9 x 2 +30x +25 | -9 x 2 -30x -25
-9 x 2 +36x +45 = 0 |:9

- x 2 +4x +5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -4 ± 4 2 -4 · ( -1 ) · 5 2( -1 )

x1,2 = -4 ± 16 +20 -2

x1,2 = -4 ± 36 -2

x1 = -4 + 36 -2 = -4 +6 -2 = 2 -2 = -1

x2 = -4 - 36 -2 = -4 -6 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +4x +5 = 0 |: -1

x 2 -4x -5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = 2 ± 9

x1 = 2 - 3 = -1

x2 = 2 + 3 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -1

Linke Seite:

x = -1 in 66x +70 +3x

= 66( -1 ) +70 +3( -1 )

= -66 +70 -3

= 4 -3

= 2 -3

= -1

Rechte Seite:

x = -1 in -5

= -5

Also -1 ≠ -5

x = -1 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 66x +70 +3x

= 665 +70 +35

= 330 +70 +15

= 400 +15

= 20 +15

= 35

Rechte Seite:

x = 5 in -5

= -5

Also 35 ≠ -5

x = 5 ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

17x +234 = 3 2x +27

Lösung einblenden
17x +234 = 3 2x +27 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
17x +234 = ( 3 2x +27 ) 2
17x +234 = 9( 2x +27 )
17x +234 = 18x +243 | -234
17x = 18x +9 | -18x
-x = 9 |:(-1 )
x = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -9

Linke Seite:

x = -9 in 17x +234

= 17( -9 ) +234

= -153 +234

= 81

= 9

Rechte Seite:

x = -9 in 3 2x +27

= 3 2( -9 ) +27

= 3 -18 +27

= 3 9

= 9

Also 9 = 9

x = -9 ist somit eine Lösung !

L={ -9 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6x +40 = 2x +12 +2

Lösung einblenden
6x +40 = 2x +12 +2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
6x +40 = ( 2x +12 +2 ) 2
6x +40 = 4 2x +12 +2x +16 | -6x -40 -4 2x +12
-4 2x +12 = -4x -24 |:(-4 )
2x +12 = x +6 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
2x +12 = ( x +6 ) 2
2x +12 = x 2 +12x +36 | - x 2 -12x -36

- x 2 -10x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -24 ) 2( -1 )

x1,2 = +10 ± 100 -96 -2

x1,2 = +10 ± 4 -2

x1 = 10 + 4 -2 = 10 +2 -2 = 12 -2 = -6

x2 = 10 - 4 -2 = 10 -2 -2 = 8 -2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -10x -24 = 0 |: -1

x 2 +10x +24 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 5 2 - 24 = 25 - 24 = 1

x1,2 = -5 ± 1

x1 = -5 - 1 = -6

x2 = -5 + 1 = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -6

Linke Seite:

x = -6 in 6x +40

= 6( -6 ) +40

= -36 +40

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = -6 in 2x +12 +2

= 2( -6 ) +12 +2

= -12 +12 +2

= 0 +2

= 0 +2

= 2

Also 2 = 2

x = -6 ist somit eine Lösung !

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in 6x +40

= 6( -4 ) +40

= -24 +40

= 16

= 4

Rechte Seite:

x = -4 in 2x +12 +2

= 2( -4 ) +12 +2

= -8 +12 +2

= 4 +2

= 2 +2

= 4

Also 4 = 4

x = -4 ist somit eine Lösung !

L={ -6 ; -4 }