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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 15}$ = $- 9$

3 \sqrt{2 x + 15}

=

- 9

|:

3

\sqrt{2 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x)}^{2}$

x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x + 6}$

$=$ $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 97} - 4$ = $3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 97} - 4$	=	$3 x$	\| $+ 4$
$\sqrt{24 x + 97}$	=	$3 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 97$	=	${(3 x + 4)}^{2}$

$24 x + 97$	=	$9 x^{2} + 24 x + 16$	\| $- 97$
$24 x$	=	$9 x^{2} + 24 x - 81$	\| $- 9 x^{2}$ $- 24 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 81$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{24 x + 97} - 4$

$=$ $\sqrt{24 \cdot (- 3) + 97} - 4$

= $\sqrt{- 72 + 97} - 4$

= $\sqrt{25} - 4$

= $5 - 4$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot (- 3)$

= $- 9$

Also 1 ≠ -9

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{24 x + 97} - 4$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 3 + 97} - 4$

= $\sqrt{72 + 97} - 4$

= $\sqrt{169} - 4$

= $13 - 4$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot 3$

= $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 184}$ = $2 \sqrt{5 x + 41}$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 184}$	=	$2 \sqrt{5 x + 41}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 184$	=	${(2 \sqrt{5 x + 41})}^{2}$

$24 x + 184$	=	$4 (5 x + 41)$
$24 x + 184$	=	$20 x + 164$	\| $- 184$
$24 x$	=	$20 x - 20$	\| $- 20 x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{24 x + 184}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot (- 5) + 184}$

= $\sqrt{- 120 + 184}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{5 x + 41}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 5) + 41}$

= $2 \sqrt{- 25 + 41}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 32}$ = $\sqrt{3 x + 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 32}$	=	$\sqrt{3 x + 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 32$	=	${(\sqrt{3 x + 12} + 2)}^{2}$

$7 x + 32$	=	$4 \sqrt{3 x + 12} + 3 x + 16$	\| $- 7 x$ $- 32$ $- 4 \sqrt{3 x + 12}$
$- 4 \sqrt{3 x + 12}$	=	$- 4 x - 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 12}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 12$	=	${(x + 4)}^{2}$

3 x + 12

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 32}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 32}$

= $\sqrt{- 28 + 32}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 12} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 32}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 32}$

= $\sqrt{- 7 + 32}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 12} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 12} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$