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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{(- 2 x)}$ = $- 2$

\sqrt{(- 2 x)}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 5 x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 5 x - 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 5 x - 4$	=	${(x)}^{2}$

- 5 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 4) - 4}$

= $\sqrt{20 - 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 5 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 5 \cdot (- 1) - 4}$

= $\sqrt{5 - 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 42 x - 68}$ = $3 x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 42 x - 68}$	=	$3 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 42 x - 68$	=	${(3 x + 2)}^{2}$

- 42 x - 68

=

9 x^{2} + 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

- 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 54 x - 72

= 0 |:9

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 42 x - 68}$

$=$ $\sqrt{- 42 \cdot (- 4) - 68}$

= $\sqrt{168 - 68}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x + 2$

$=$ $3 \cdot (- 4) + 2$

= $- 12 + 2$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 42 x - 68}$

$=$ $\sqrt{- 42 \cdot (- 2) - 68}$

= $\sqrt{84 - 68}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 x + 2$

$=$ $3 \cdot (- 2) + 2$

= $- 6 + 2$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{17 x + 104}$ = $2 \sqrt{5 x + 29}$

Lösung einblenden

$\sqrt{17 x + 104}$	=	$2 \sqrt{5 x + 29}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$17 x + 104$	=	${(2 \sqrt{5 x + 29})}^{2}$

$17 x + 104$	=	$4 (5 x + 29)$
$17 x + 104$	=	$20 x + 116$	\| $- 104$
$17 x$	=	$20 x + 12$	\| $- 20 x$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{17 x + 104}$

$=$ $\sqrt{17 \cdot (- 4) + 104}$

= $\sqrt{- 68 + 104}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{5 x + 29}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 4) + 29}$

= $2 \sqrt{- 20 + 29}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 19}$ = $\sqrt{x + 6} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 19}$	=	$\sqrt{x + 6} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 19$	=	${(\sqrt{x + 6} + 1)}^{2}$

$3 x + 19$	=	$2 \sqrt{x + 6} + x + 7$	\| $- 3 x$ $- 19$ $- 2 \sqrt{x + 6}$
$- 2 \sqrt{x + 6}$	=	$- 2 x - 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x + 6)}^{2}$

x + 6

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11+1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11-1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 19}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 19}$

= $\sqrt{- 18 + 19}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 6} + 1$

$=$ $\sqrt{- 6 + 6} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 19}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 19}$

= $\sqrt{- 15 + 19}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 6} + 1$

$=$ $\sqrt{- 5 + 6} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -5

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 5$