Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$4^{2}$

$3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- 3 \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot 5 + 1}$

= $- 3 \sqrt{15 + 1}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 15}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x + 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 5) + 15}$

= $\sqrt{10 + 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x - 55}$ = $- 2 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x - 55}$	=	$- 2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x - 55$	=	${(- 2 x - 5)}^{2}$

- 16 x - 55

=

4 x^{2} + 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 25

- 4 x^{2} - 36 x - 80

= 0 |:4

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x - 55}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) - 55}$

= $\sqrt{80 - 55}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2 x - 5$

$=$ $- 2 \cdot (- 5) - 5$

= $10 - 5$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 16 x - 55}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 4) - 55}$

= $\sqrt{64 - 55}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x - 5$

$=$ $- 2 \cdot (- 4) - 5$

= $8 - 5$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 312}$ = $3 \sqrt{3 x + 37}$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 312}$	=	$3 \sqrt{3 x + 37}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 312$	=	${(3 \sqrt{3 x + 37})}^{2}$

$24 x + 312$	=	$9 (3 x + 37)$
$24 x + 312$	=	$27 x + 333$	\| $- 312$
$24 x$	=	$27 x + 21$	\| $- 27 x$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{24 x + 312}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot (- 7) + 312}$

= $\sqrt{- 168 + 312}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $3 \sqrt{3 x + 37}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 7) + 37}$

= $3 \sqrt{- 21 + 37}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 27}$ = $\sqrt{3 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 27}$	=	$\sqrt{3 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 27$	=	${(\sqrt{3 x - 11} + 2)}^{2}$

$7 x - 27$	=	$4 \sqrt{3 x - 11} + 3 x - 7$	\| $- 7 x$ $+ 27$ $- 4 \sqrt{3 x - 11}$
$- 4 \sqrt{3 x - 11}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 11}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 11$	=	${(x - 5)}^{2}$

3 x - 11

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13+5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13-5}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x - 27}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 - 27}$

= $\sqrt{28 - 27}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 - 11} + 2$

= $\sqrt{12 - 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x - 27}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 - 27}$

= $\sqrt{63 - 27}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 - 11} + 2$

= $\sqrt{27 - 11} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 4

Probe für x = 9

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$