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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 16}$ = $8$

$2 \sqrt{2 x + 16}$	=	$8$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 16}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 16$	=	$4^{2}$

$2 x + 16$	=	$16$	\| $- 16$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $2 \sqrt{2 x + 16}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 0 + 16}$

= $2 \sqrt{0 + 16}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Rechte Seite:

x = 0 in $8$

$=$ $8$

Also 8 = 8

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 1 + 3}$

= $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{42 x + 88} + 3 x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{42 x + 88} + 3 x$	=	$- 4$	\| $- 3 x$
$\sqrt{42 x + 88}$	=	$- 3 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$42 x + 88$	=	${(- 3 x - 4)}^{2}$

42 x + 88

=

9 x^{2} + 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

- 24 x

- 16

- 9 x^{2} + 18 x + 72

= 0 |:9

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{42 x + 88} + 3 x$

$=$ $\sqrt{42 \cdot (- 2) + 88} + 3 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{- 84 + 88} - 6$

= $\sqrt{4} - 6$

= $2 - 6$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{42 x + 88} + 3 x$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 4 + 88} + 3 \cdot 4$

= $\sqrt{168 + 88} + 12$

= $\sqrt{256} + 12$

= $16 + 12$

= $28$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 28 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{13 x + 27}$ = $3 \sqrt{x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{13 x + 27}$	=	$3 \sqrt{x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13 x + 27$	=	${(3 \sqrt{x + 7})}^{2}$

$13 x + 27$	=	$9 (x + 7)$
$13 x + 27$	=	$9 x + 63$	\| $- 27$
$13 x$	=	$9 x + 36$	\| $- 9 x$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{13 x + 27}$

$=$ $\sqrt{13 \cdot 9 + 27}$

= $\sqrt{117 + 27}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{9 + 7}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 2}$ = $\sqrt{3 x - 2} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 2}$	=	$\sqrt{3 x - 2} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 2$	=	${(\sqrt{3 x - 2} + 2)}^{2}$

$7 x + 2$	=	$4 \sqrt{3 x - 2} + 3 x + 2$	\| $- 7 x$ $- 2$ $- 4 \sqrt{3 x - 2}$
$- 4 \sqrt{3 x - 2}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 2$	=	${(x)}^{2}$

3 x - 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{7 x + 2}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 1 + 2}$

= $\sqrt{7 + 2}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 - 2} + 2$

= $\sqrt{3 - 2} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{7 x + 2}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 2 + 2}$

= $\sqrt{14 + 2}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 2} + 2$

= $\sqrt{6 - 2} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = -3

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$