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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- x + 2}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{- x + 2}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	$2^{2}$

$- x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 3 \sqrt{- x + 2}$

$=$ $- 3 \sqrt{- (- 2) + 2}$

= $- 3 \sqrt{2 + 2}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 80}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 80}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 80$	=	${(2 x)}^{2}$

- 4 x + 80

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 4 x + 80

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 80}$

= $\sqrt{20 + 80}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 4 + 80}$

= $\sqrt{- 16 + 80}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 11}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 11}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 11$	=	${(x - 1)}^{2}$

5 x - 11

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 11}$

= $\sqrt{15 - 11}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x - 1$

$=$ $3 - 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 11}$

= $\sqrt{20 - 11}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x - 1$

$=$ $4 - 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 26}$ = $2 \sqrt{2 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 26}$	=	$2 \sqrt{2 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 26$	=	${(2 \sqrt{2 x - 8})}^{2}$

$7 x - 26$	=	$4 (2 x - 8)$
$7 x - 26$	=	$8 x - 32$	\| $+ 26$
$7 x$	=	$8 x - 6$	\| $- 8 x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{7 x - 26}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 6 - 26}$

= $\sqrt{42 - 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $6$ in $2 \sqrt{2 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 6 - 8}$

= $2 \sqrt{12 - 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 181}$ = $\sqrt{5 x + 109} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 181}$	=	$\sqrt{5 x + 109} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 181$	=	${(\sqrt{5 x + 109} + 2)}^{2}$

$9 x + 181$	=	$4 \sqrt{5 x + 109} + 5 x + 113$	\| $- 9 x$ $- 181$ $- 4 \sqrt{5 x + 109}$
$- 4 \sqrt{5 x + 109}$	=	$- 4 x - 68$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 109}$	=	$x + 17$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 109$	=	${(x + 17)}^{2}$

5 x + 109

=

x^{2} + 34 x + 289

|

- x^{2}

- 34 x

- 289

$- x^{2} - 29 x - 180$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 180)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 720}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{29+11}{- 2}$ = $\frac{40}{- 2}$ = $- 20$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{29-11}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 29 x - 180$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 29 x + 180$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{2})}^{2} - 180$ = $\frac{841}{4}$ $-$ $180$ = $\frac{841}{4}$ $-$ $\frac{720}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{29}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{29}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{40}{2}$ = -20

x₂ = $- \frac{29}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 20$

Linke Seite:

x = $- 20$ in $\sqrt{9 x + 181}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 20) + 181}$

= $\sqrt{- 180 + 181}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 20$ in $\sqrt{5 x + 109} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 20) + 109} + 2$

= $\sqrt{- 100 + 109} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 20$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{9 x + 181}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 9) + 181}$

= $\sqrt{- 81 + 181}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 109} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 109} + 2$

= $\sqrt{- 45 + 109} + 2$

= $\sqrt{64} + 2$

= $8 + 2$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -20

Probe für x = -9

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 20$

Probe für x = $- 9$