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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 1}$ = $- 2$

$- \sqrt{x + 1}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$2^{2}$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- \sqrt{x + 1}$

$=$ $- \sqrt{3 + 1}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 5}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 5}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 5$	=	${(- x)}^{2}$

- 6 x - 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 5) - 5}$

= $\sqrt{30 - 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- x$

$=$ $- (- 5)$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 1) - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 44 x - 51} + 3$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 44 x - 51} + 3$	=	$2 x$	\| $- 3$
$\sqrt{- 44 x - 51}$	=	$2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 44 x - 51$	=	${(2 x - 3)}^{2}$

- 44 x - 51

=

4 x^{2} - 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 32 x - 60

= 0 |:4

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 44 x - 51} + 3$

$=$ $\sqrt{- 44 \cdot (- 5) - 51} + 3$

= $\sqrt{220 - 51} + 3$

= $\sqrt{169} + 3$

= $13 + 3$

= $16$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 16 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 44 x - 51} + 3$

$=$ $\sqrt{- 44 \cdot (- 3) - 51} + 3$

= $\sqrt{132 - 51} + 3$

= $\sqrt{81} + 3$

= $9 + 3$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 3)$

= $- 6$

Also 12 ≠ -6

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{28 x - 47}$ = $3 \sqrt{3 x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{28 x - 47}$	=	$3 \sqrt{3 x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28 x - 47$	=	${(3 \sqrt{3 x - 5})}^{2}$

$28 x - 47$	=	$9 (3 x - 5)$
$28 x - 47$	=	$27 x - 45$	\| $+ 47$
$28 x$	=	$27 x + 2$	\| $- 27 x$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{28 x - 47}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 2 - 47}$

= $\sqrt{56 - 47}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{3 x - 5}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 2 - 5}$

= $3 \sqrt{6 - 5}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 11}$ = $\sqrt{3 x - 8} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 11}$	=	$\sqrt{3 x - 8} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 11$	=	${(\sqrt{3 x - 8} + 1)}^{2}$

$5 x - 11$	=	$2 \sqrt{3 x - 8} + 3 x - 7$	\| $- 5 x$ $+ 11$ $- 2 \sqrt{3 x - 8}$
$- 2 \sqrt{3 x - 8}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x - 8}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 8$	=	${(x - 2)}^{2}$

3 x - 8

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 11}$

= $\sqrt{15 - 11}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 8} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 8} + 1$

= $\sqrt{9 - 8} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 11}$

= $\sqrt{20 - 11}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x - 8} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 - 8} + 1$

= $\sqrt{12 - 8} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$