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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4,2426 \sqrt{x}$ = $- 6$

$- 4,2426 \sqrt{x}$	=	$- 6$	\|:( $- 4,2426$ )
$\sqrt{x}$	=	$\frac{6}{4,2426}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{6}{4,2426})}^{2}$

x

=

2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 4,2426 \sqrt{x}$

$=$ $- 4,2426 \sqrt{2}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 3}$

= $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 25}$ = $2 x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 25}$	=	$2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 25$	=	${(2 x + 3)}^{2}$

24 x + 25

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} + 12 x + 16

= 0 |:4

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{24 x + 25}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot (- 1) + 25}$

= $\sqrt{- 24 + 25}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x + 3$

$=$ $2 \cdot (- 1) + 3$

= $- 2 + 3$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{24 x + 25}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 4 + 25}$

= $\sqrt{96 + 25}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x + 3$

$=$ $2 \cdot 4 + 3$

= $8 + 3$

= $11$

Also 11 = 11

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{43 x - 48}$ = $3 \sqrt{5 x - 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{43 x - 48}$	=	$3 \sqrt{5 x - 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$43 x - 48$	=	${(3 \sqrt{5 x - 6})}^{2}$

$43 x - 48$	=	$9 (5 x - 6)$
$43 x - 48$	=	$45 x - 54$	\| $+ 48$
$43 x$	=	$45 x - 6$	\| $- 45 x$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{43 x - 48}$

$=$ $\sqrt{43 \cdot 3 - 48}$

= $\sqrt{129 - 48}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{5 x - 6}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $3 \sqrt{15 - 6}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 26}$ = $\sqrt{3 x + 15} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 26}$	=	$\sqrt{3 x + 15} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 26$	=	${(\sqrt{3 x + 15} + 1)}^{2}$

$5 x + 26$	=	$2 \sqrt{3 x + 15} + 3 x + 16$	\| $- 5 x$ $- 26$ $- 2 \sqrt{3 x + 15}$
$- 2 \sqrt{3 x + 15}$	=	$- 2 x - 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 15}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 15$	=	${(x + 5)}^{2}$

3 x + 15

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 26}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 26}$

= $\sqrt{- 25 + 26}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 15} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 26}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 26}$

= $\sqrt{- 10 + 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 15} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -1

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$