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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 4}$ = $6$

- 2 \sqrt{x + 4}

=

6

|:(

- 2

)

\sqrt{x + 4}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 60}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 60}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 60$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 8 x + 60

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 8 x + 60

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 8 x + 60}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 5) + 60}$

= $\sqrt{40 + 60}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 5)$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 8 x + 60}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 3 + 60}$

= $\sqrt{- 24 + 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 7}$ = $- x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 7}$	=	$- x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 7$	=	${(- x - 1)}^{2}$

- 4 x - 7

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 4 x - 7}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 4) - 7}$

= $\sqrt{16 - 7}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x - 1$

$=$ $- (- 4) - 1$

= $4 - 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 4 x - 7}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 2) - 7}$

= $\sqrt{8 - 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x - 1$

$=$ $- (- 2) - 1$

= $2 - 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 6}$ = $2 \sqrt{x + 1}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 6}$	=	$2 \sqrt{x + 1}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 6$	=	${(2 \sqrt{x + 1})}^{2}$

$6 x + 6$	=	$4 (x + 1)$
$6 x + 6$	=	$4 x + 4$	\| $- 6$
$6 x$	=	$4 x - 2$	\| $- 4 x$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 6}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 6}$

= $\sqrt{- 6 + 6}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{- 1 + 1}$

= $2 \sqrt{0}$

= 0

Also 0 = 0

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 16}$ = $\sqrt{x - 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 16}$	=	$\sqrt{x - 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 16$	=	${(\sqrt{x - 4} + 2)}^{2}$

$5 x - 16$	=	$4 \sqrt{x - 4} + x$	\| $- 5 x$ $+ 16$ $- 4 \sqrt{x - 4}$
$- 4 \sqrt{x - 4}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 4}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 4$	=	${(x - 4)}^{2}$

x - 4

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9+1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9-1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 16}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 16}$

= $\sqrt{20 - 16}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{4 - 4} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{5 x - 16}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 5 - 16}$

= $\sqrt{25 - 16}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{5 - 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 5

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$