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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 6}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{2 x + 6}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	$2^{2}$

$2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 2 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $- 2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x - 2}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x - 2}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x - 2$	=	${(- x)}^{2}$

- 3 x - 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 2) - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x$

$=$ $- (- 2)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 1) - 2}$

= $\sqrt{3 - 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x - 11} + 2$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x - 11} + 2$	=	$x$	\| $- 2$
$\sqrt{- 12 x - 11}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x - 11$	=	${(x - 2)}^{2}$

- 12 x - 11

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 12 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 5) - 11} + 2$

= $\sqrt{60 - 11} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 9 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 12 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 3) - 11} + 2$

= $\sqrt{36 - 11} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 7 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 37}$ = $2 \sqrt{3 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 37}$	=	$2 \sqrt{3 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 37$	=	${(2 \sqrt{3 x + 7})}^{2}$

$9 x + 37$	=	$4 (3 x + 7)$
$9 x + 37$	=	$12 x + 28$	\| $- 37$
$9 x$	=	$12 x - 9$	\| $- 12 x$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{9 x + 37}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 3 + 37}$

= $\sqrt{27 + 37}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 3 + 7}$

= $2 \sqrt{9 + 7}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 84}$ = $\sqrt{4 x + 40} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 84}$	=	$\sqrt{4 x + 40} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 84$	=	${(\sqrt{4 x + 40} + 2)}^{2}$

$8 x + 84$	=	$4 \sqrt{4 x + 40} + 4 x + 44$	\| $- 8 x$ $- 84$ $- 4 \sqrt{4 x + 40}$
$- 4 \sqrt{4 x + 40}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

4 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16+4}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16-4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{8 x + 84}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 10) + 84}$

= $\sqrt{- 80 + 84}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{4 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 10) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 40} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 10$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{8 x + 84}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 6) + 84}$

= $\sqrt{- 48 + 84}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 40} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -6

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 6$