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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 6}$ = $- 2$

\sqrt{2 x + 6}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{40 x - 100}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{40 x - 100}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$40 x - 100$	=	${(2 x)}^{2}$

40 x - 100

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 40 x - 100

= 0 |:4

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 25$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{40 x - 100}$

$=$ $\sqrt{40 \cdot 5 - 100}$

= $\sqrt{200 - 100}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x - 44}$ = $2 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x - 44}$	=	$2 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x - 44$	=	${(2 x - 2)}^{2}$

20 x - 44

=

4 x^{2} - 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4

- 4 x^{2} + 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{20 x - 44}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 3 - 44}$

= $\sqrt{60 - 44}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x - 2$

$=$ $2 \cdot 3 - 2$

= $6 - 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{20 x - 44}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 4 - 44}$

= $\sqrt{80 - 44}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x - 2$

$=$ $2 \cdot 4 - 2$

= $8 - 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 9}$ = $3 \sqrt{x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 9}$	=	$3 \sqrt{x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 9$	=	${(3 \sqrt{x - 5})}^{2}$

$5 x - 9$	=	$9 (x - 5)$
$5 x - 9$	=	$9 x - 45$	\| $+ 9$
$5 x$	=	$9 x - 36$	\| $- 9 x$
$- 4 x$	=	$- 36$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x - 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 - 9}$

= $\sqrt{45 - 9}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{x - 5}$

$=$ $3 \sqrt{9 - 5}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 76}$ = $\sqrt{x + 24} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 76}$	=	$\sqrt{x + 24} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 76$	=	${(\sqrt{x + 24} + 2)}^{2}$

$5 x + 76$	=	$4 \sqrt{x + 24} + x + 28$	\| $- 5 x$ $- 76$ $- 4 \sqrt{x + 24}$
$- 4 \sqrt{x + 24}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 24}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 24$	=	${(x + 12)}^{2}$

x + 24

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 480}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23+7}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23-7}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 120$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{480}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{5 x + 76}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 15) + 76}$

= $\sqrt{- 75 + 76}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{- 15 + 24} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 76}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 76}$

= $\sqrt{- 40 + 76}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{- 8 + 24} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -8

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 8$