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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 4}$ = $6$

$2 \sqrt{x + 4}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	$3^{2}$

$x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $2 \sqrt{x + 4}$

$=$ $2 \sqrt{5 + 4}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $5$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 8}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 8}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	${(- x)}^{2}$

2 x + 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 8}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 8}$

= $\sqrt{- 4 + 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x$

$=$ $- (- 2)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x + 8}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 + 8}$

= $\sqrt{8 + 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 2} + 3 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 2} + 3 x$	=	$- 5$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 6 x - 2}$	=	$- 3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 2$	=	${(- 3 x - 5)}^{2}$

- 6 x - 2

=

9 x^{2} + 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

- 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 36 x - 27

= 0 |:9

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 6 x - 2} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 3) - 2} + 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{18 - 2} - 9$

= $\sqrt{16} - 9$

= $4 - 9$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 6 x - 2} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 1) - 2} + 3 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{6 - 2} - 3$

= $\sqrt{4} - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -1 ≠ -5

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{32 x + 208}$ = $3 \sqrt{4 x + 24}$

Lösung einblenden

$\sqrt{32 x + 208}$	=	$3 \sqrt{4 x + 24}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$32 x + 208$	=	${(3 \sqrt{4 x + 24})}^{2}$

$32 x + 208$	=	$9 (4 x + 24)$
$32 x + 208$	=	$36 x + 216$	\| $- 208$
$32 x$	=	$36 x + 8$	\| $- 36 x$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{32 x + 208}$

$=$ $\sqrt{32 \cdot (- 2) + 208}$

= $\sqrt{- 64 + 208}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{4 x + 24}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 2) + 24}$

= $3 \sqrt{- 8 + 24}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 73}$ = $\sqrt{2 x + 25} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 73}$	=	$\sqrt{2 x + 25} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 73$	=	${(\sqrt{2 x + 25} + 2)}^{2}$

$6 x + 73$	=	$4 \sqrt{2 x + 25} + 2 x + 29$	\| $- 6 x$ $- 73$ $- 4 \sqrt{2 x + 25}$
$- 4 \sqrt{2 x + 25}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 25}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 25$	=	${(x + 11)}^{2}$

2 x + 25

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 96)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20+4}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20-4}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 20 x + 96$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 96$ = $100$ $-$ $96$ = $4$

x_1,2 = $- 10$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 10$ - $2$ = -12

x₂ = $- 10$ + $2$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{6 x + 73}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 12) + 73}$

= $\sqrt{- 72 + 73}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{2 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 12) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 73}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 73}$

= $\sqrt{- 48 + 73}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 16 + 25} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -8

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 8$