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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 18}$ = $9$

$3 \sqrt{- 3 x + 18}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- 3 x + 18}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 18$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 18$	=	$9$	\| $- 18$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{- 3 x + 18}$

$=$ $3 \sqrt{- 3 \cdot 3 + 18}$

= $3 \sqrt{- 9 + 18}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x - 32}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x - 32}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x - 32$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 24 x - 32

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 4) - 32}$

= $\sqrt{96 - 32}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 4)$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 2) - 32}$

= $\sqrt{48 - 32}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x + 16} + 5$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x + 16} + 5$	=	$x$	\| $- 5$
$\sqrt{- 16 x + 16}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x + 16$	=	${(x - 5)}^{2}$

- 16 x + 16

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 16 x + 16} + 5$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 3) + 16} + 5$

= $\sqrt{48 + 16} + 5$

= $\sqrt{64} + 5$

= $8 + 5$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 13 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{40 x + 41}$ = $3 \sqrt{4 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{40 x + 41}$	=	$3 \sqrt{4 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$40 x + 41$	=	${(3 \sqrt{4 x + 5})}^{2}$

$40 x + 41$	=	$9 (4 x + 5)$
$40 x + 41$	=	$36 x + 45$	\| $- 41$
$40 x$	=	$36 x + 4$	\| $- 36 x$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{40 x + 41}$

$=$ $\sqrt{40 \cdot 1 + 41}$

= $\sqrt{40 + 41}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{4 x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 1 + 5}$

= $3 \sqrt{4 + 5}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 3}$ = $\sqrt{x + 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 3}$	=	$\sqrt{x + 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

$3 x + 3$	=	$2 \sqrt{x + 2} + x + 3$	\| $- 3 x$ $- 3$ $- 2 \sqrt{x + 2}$
$- 2 \sqrt{x + 2}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	${(x)}^{2}$

x + 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 3}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 3}$

= $\sqrt{- 3 + 3}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{- 1 + 2} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x + 3}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 + 2} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$