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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 31}$ = $12$

$3 \sqrt{- 3 x + 31}$	=	$12$	\|: $3$
$\sqrt{- 3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 31$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{- 3 x + 31}$

$=$ $3 \sqrt{- 3 \cdot 5 + 31}$

= $3 \sqrt{- 15 + 31}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $12$

$=$ $12$

Also 12 = 12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x - 16}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x - 16}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x - 16$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 20 x - 16

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 20 x - 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 20 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 4) - 16}$

= $\sqrt{80 - 16}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 4)$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 20 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 1) - 16}$

= $\sqrt{20 - 16}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x + 10} + 1$ = $3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x + 10} + 1$	=	$3 x$	\| $- 1$
$\sqrt{- 6 x + 10}$	=	$3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x + 10$	=	${(3 x - 1)}^{2}$

$- 6 x + 10$	=	$9 x^{2} - 6 x + 1$	\| $- 10$
$- 6 x$	=	$9 x^{2} - 6 x - 9$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 6 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 6 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 1) + 10} + 1$

= $\sqrt{6 + 10} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot (- 1)$

= $- 3$

Also 5 ≠ -3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 6 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot 1 + 10} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 10} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{18 x + 118}$ = $2 \sqrt{4 x + 28}$

Lösung einblenden

$\sqrt{18 x + 118}$	=	$2 \sqrt{4 x + 28}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$18 x + 118$	=	${(2 \sqrt{4 x + 28})}^{2}$

$18 x + 118$	=	$4 (4 x + 28)$
$18 x + 118$	=	$16 x + 112$	\| $- 118$
$18 x$	=	$16 x - 6$	\| $- 16 x$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{18 x + 118}$

$=$ $\sqrt{18 \cdot (- 3) + 118}$

= $\sqrt{- 54 + 118}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{4 x + 28}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 3) + 28}$

= $2 \sqrt{- 12 + 28}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 20}$ = $\sqrt{2 x - 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 20}$	=	$\sqrt{2 x - 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 20$	=	${(\sqrt{2 x - 9} + 1)}^{2}$

$4 x - 20$	=	$2 \sqrt{2 x - 9} + 2 x - 8$	\| $- 4 x$ $+ 20$ $- 2 \sqrt{2 x - 9}$
$- 2 \sqrt{2 x - 9}$	=	$- 2 x + 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x - 9}$	=	$x - 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 9$	=	${(x - 6)}^{2}$

2 x - 9

=

x^{2} - 12 x + 36

|

- x^{2}

+ 12 x

- 36

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 45)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14+4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14-4}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x - 20}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 - 20}$

= $\sqrt{20 - 20}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x - 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 9} + 1$

= $\sqrt{10 - 9} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{4 x - 20}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 9 - 20}$

= $\sqrt{36 - 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x - 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 - 9} + 1$

= $\sqrt{18 - 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Probe für x = 9

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $9$