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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 9}$ = $3$

$\sqrt{- 2 x + 9}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 9$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{- 2 x + 9}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (0) + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 15}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x + 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 5) + 15}$

= $\sqrt{10 + 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 48 x - 23}$ = $3 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 48 x - 23}$	=	$3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 48 x - 23$	=	${(3 x - 2)}^{2}$

- 48 x - 23

=

9 x^{2} - 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

+ 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 36 x - 27

= 0 |:9

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 48 x - 23}$

$=$ $\sqrt{- 48 \cdot (- 3) - 23}$

= $\sqrt{144 - 23}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x - 2$

$=$ $3 \cdot (- 3) - 2$

= $- 9 - 2$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 48 x - 23}$

$=$ $\sqrt{- 48 \cdot (- 1) - 23}$

= $\sqrt{48 - 23}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 x - 2$

$=$ $3 \cdot (- 1) - 2$

= $- 3 - 2$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{32 x - 79}$ = $3 \sqrt{4 x - 11}$

Lösung einblenden

$\sqrt{32 x - 79}$	=	$3 \sqrt{4 x - 11}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$32 x - 79$	=	${(3 \sqrt{4 x - 11})}^{2}$

$32 x - 79$	=	$9 (4 x - 11)$
$32 x - 79$	=	$36 x - 99$	\| $+ 79$
$32 x$	=	$36 x - 20$	\| $- 36 x$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{32 x - 79}$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 5 - 79}$

= $\sqrt{160 - 79}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{4 x - 11}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 5 - 11}$

= $3 \sqrt{20 - 11}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 16}$ = $\sqrt{3 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 16}$	=	$\sqrt{3 x + 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 16$	=	${(\sqrt{3 x + 4} + 2)}^{2}$

$7 x + 16$	=	$4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 8$	\| $- 7 x$ $- 16$ $- 4 \sqrt{3 x + 4}$
$- 4 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$3 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 3 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 16}$

= $\sqrt{- 7 + 16}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 16}$

= $\sqrt{0 + 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4} + 2$

= $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$