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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 4}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	$4^{2}$

$3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{3 x + 4}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $- 3 \sqrt{12 + 4}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x)}^{2}$

4 x + 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 + 5}$

= $\sqrt{20 + 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 24}$ = $- 2 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 24}$	=	$- 2 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 24$	=	${(- 2 x - 2)}^{2}$

- 8 x + 24

=

4 x^{2} + 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

- 8 x

- 4

- 4 x^{2} - 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 8 x + 24}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 5) + 24}$

= $\sqrt{40 + 24}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2 x - 2$

$=$ $- 2 \cdot (- 5) - 2$

= $10 - 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 8 x + 24}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 1 + 24}$

= $\sqrt{- 8 + 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x - 2$

$=$ $- 2 \cdot 1 - 2$

= $- 2 - 2$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 17}$ = $2 \sqrt{5 x + 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 17}$	=	$2 \sqrt{5 x + 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 17$	=	${(2 \sqrt{5 x + 4})}^{2}$

$19 x + 17$	=	$4 (5 x + 4)$
$19 x + 17$	=	$20 x + 16$	\| $- 17$
$19 x$	=	$20 x - 1$	\| $- 20 x$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{19 x + 17}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot 1 + 17}$

= $\sqrt{19 + 17}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{5 x + 4}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot 1 + 4}$

= $2 \sqrt{5 + 4}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 13}$ = $\sqrt{x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 13}$	=	$\sqrt{x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 13$	=	${(\sqrt{x + 4} + 1)}^{2}$

$3 x + 13$	=	$2 \sqrt{x + 4} + x + 5$	\| $- 3 x$ $- 13$ $- 2 \sqrt{x + 4}$
$- 2 \sqrt{x + 4}$	=	$- 2 x - 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 4}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	${(x + 4)}^{2}$

x + 4

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 13}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{- 4 + 4} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{3 x + 13}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 13}$

= $\sqrt{- 9 + 13}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{- 3 + 4} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$