Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 15}$ = $- 6$

2 \sqrt{- 2 x + 15}

=

- 6

|:

2

\sqrt{- 2 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 2}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 2$	=	${(x)}^{2}$

3 x - 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 - 2}$

= $\sqrt{3 - 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x + 8} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x + 8} + 4$	=	$- x$	\| $- 4$
$\sqrt{14 x + 8}$	=	$- x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x + 8$	=	${(- x - 4)}^{2}$

14 x + 8

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{14 x + 8} + 4$

$=$ $\sqrt{14 \cdot 2 + 8} + 4$

= $\sqrt{28 + 8} + 4$

= $\sqrt{36} + 4$

= $6 + 4$

= $10$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- x$

$=$ $- 2$

Also 10 ≠ -2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{14 x + 8} + 4$

$=$ $\sqrt{14 \cdot 4 + 8} + 4$

= $\sqrt{56 + 8} + 4$

= $\sqrt{64} + 4$

= $8 + 4$

= $12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x$

$=$ $- 4$

Also 12 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x + 120}$ = $3 \sqrt{2 x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x + 120}$	=	$3 \sqrt{2 x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x + 120$	=	${(3 \sqrt{2 x + 12})}^{2}$

$21 x + 120$	=	$9 (2 x + 12)$
$21 x + 120$	=	$18 x + 108$	\| $- 120$
$21 x$	=	$18 x - 12$	\| $- 18 x$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{21 x + 120}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot (- 4) + 120}$

= $\sqrt{- 84 + 120}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{2 x + 12}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 12}$

= $3 \sqrt{- 8 + 12}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 20}$ = $\sqrt{4 x - 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 20}$	=	$\sqrt{4 x - 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 20$	=	${(\sqrt{4 x - 12} + 2)}^{2}$

$8 x - 20$	=	$4 \sqrt{4 x - 12} + 4 x - 8$	\| $- 8 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{4 x - 12}$
$- 4 \sqrt{4 x - 12}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 12}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 12$	=	${(x - 3)}^{2}$

4 x - 12

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 12} + 2$

= $\sqrt{12 - 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 7 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 - 12} + 2$

= $\sqrt{28 - 12} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 7

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$