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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 2}$ = $4$

$2 \sqrt{x + 2}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	$2^{2}$

$x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{x + 2}$

$=$ $2 \sqrt{2 + 2}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	${(x)}^{2}$

- x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- x + 6}$

$=$ $\sqrt{- (- 3) + 6}$

= $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x + 17}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x + 17}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x + 17$	=	${(x - 5)}^{2}$

- 16 x + 17

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 16 x + 17}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 4) + 17}$

= $\sqrt{64 + 17}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x - 5$

$=$ $- 4 - 5$

= $- 9$

Also 9 ≠ -9

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 16 x + 17}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 2) + 17}$

= $\sqrt{32 + 17}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x - 5$

$=$ $- 2 - 5$

= $- 7$

Also 7 ≠ -7

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 22}$ = $2 \sqrt{2 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 22}$	=	$2 \sqrt{2 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 22$	=	${(2 \sqrt{2 x + 5})}^{2}$

$9 x + 22$	=	$4 (2 x + 5)$
$9 x + 22$	=	$8 x + 20$	\| $- 22$
$9 x$	=	$8 x - 2$	\| $- 8 x$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{9 x + 22}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 2) + 22}$

= $\sqrt{- 18 + 22}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 5}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 5}$

= $2 \sqrt{- 4 + 5}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 103}$ = $\sqrt{2 x + 43} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 103}$	=	$\sqrt{2 x + 43} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 103$	=	${(\sqrt{2 x + 43} + 2)}^{2}$

$6 x + 103$	=	$4 \sqrt{2 x + 43} + 2 x + 47$	\| $- 6 x$ $- 103$ $- 4 \sqrt{2 x + 43}$
$- 4 \sqrt{2 x + 43}$	=	$- 4 x - 56$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 43}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 43$	=	${(x + 14)}^{2}$

2 x + 43

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 153)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 612}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26+8}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26-8}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 26 x + 153$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 153$ = $169$ $-$ $153$ = $16$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 13$ - $4$ = -17

x₂ = $- 13$ + $4$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{6 x + 103}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 17) + 103}$

= $\sqrt{- 102 + 103}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{2 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 17) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 34 + 43} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{6 x + 103}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 9) + 103}$

= $\sqrt{- 54 + 103}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{2 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 9) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 18 + 43} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -9

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 9$