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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5,1962 \sqrt{x}$ = $9$

$5,1962 \sqrt{x}$	=	$9$	\|: $5,1962$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{9}{5,1962}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{9}{5,1962})}^{2}$

x

=

3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $5,1962 \sqrt{x}$

$=$ $5,1962 \sqrt{3}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x - 16}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x - 16}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x - 16$	=	${(x)}^{2}$

- 8 x - 16

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 8 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 4) - 16}$

= $\sqrt{32 - 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x + 69} - 2 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x + 69} - 2 x$	=	$- 3$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{- 20 x + 69}$	=	$2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x + 69$	=	${(2 x - 3)}^{2}$

- 20 x + 69

=

4 x^{2} - 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 8 x + 60

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 20 x + 69} - 2 x$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 5) + 69} - 2 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{100 + 69} + 10$

= $\sqrt{169} + 10$

= $13 + 10$

= $23$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also 23 ≠ -3

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 20 x + 69} - 2 x$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot 3 + 69} - 2 \cdot 3$

= $\sqrt{- 60 + 69} - 6$

= $\sqrt{9} - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{41 x - 42}$ = $3 \sqrt{5 x - 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{41 x - 42}$	=	$3 \sqrt{5 x - 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$41 x - 42$	=	${(3 \sqrt{5 x - 6})}^{2}$

$41 x - 42$	=	$9 (5 x - 6)$
$41 x - 42$	=	$45 x - 54$	\| $+ 42$
$41 x$	=	$45 x - 12$	\| $- 45 x$
$- 4 x$	=	$- 12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{41 x - 42}$

$=$ $\sqrt{41 \cdot 3 - 42}$

= $\sqrt{123 - 42}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{5 x - 6}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $3 \sqrt{15 - 6}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 103}$ = $\sqrt{2 x + 43} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 103}$	=	$\sqrt{2 x + 43} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 103$	=	${(\sqrt{2 x + 43} + 2)}^{2}$

$6 x + 103$	=	$4 \sqrt{2 x + 43} + 2 x + 47$	\| $- 6 x$ $- 103$ $- 4 \sqrt{2 x + 43}$
$- 4 \sqrt{2 x + 43}$	=	$- 4 x - 56$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 43}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 43$	=	${(x + 14)}^{2}$

2 x + 43

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 153)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 612}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26+8}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26-8}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 26 x + 153$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 153$ = $169$ $-$ $153$ = $16$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 13$ - $4$ = -17

x₂ = $- 13$ + $4$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{6 x + 103}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 17) + 103}$

= $\sqrt{- 102 + 103}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{2 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 17) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 34 + 43} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{6 x + 103}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 9) + 103}$

= $\sqrt{- 54 + 103}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{2 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 9) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 18 + 43} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -9

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 9$