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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 9}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{x + 9}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x + 9}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 9$	=	$3^{2}$

$x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- 3 \sqrt{x + 9}$

$=$ $- 3 \sqrt{0 + 9}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 2}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 2}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	${(- x)}^{2}$

x + 2

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 2}$

$=$ $\sqrt{- 1 + 2}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x + 2}$

$=$ $\sqrt{2 + 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 29}$ = $- x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 29}$	=	$- x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 29$	=	${(- x + 2)}^{2}$

$- 4 x + 29$	=	$x^{2} - 4 x + 4$	\| $- 29$
$- 4 x$	=	$x^{2} - 4 x - 25$	\| $- x^{2}$ $+ 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 29}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 29}$

= $\sqrt{20 + 29}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- x + 2$

$=$ $- (- 5) + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 4 x + 29}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 5 + 29}$

= $\sqrt{- 20 + 29}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x + 2$

$=$ $- 5 + 2$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 27}$ = $3 \sqrt{x + 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 27}$	=	$3 \sqrt{x + 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 27$	=	${(3 \sqrt{x + 4})}^{2}$

$6 x + 27$	=	$9 (x + 4)$
$6 x + 27$	=	$9 x + 36$	\| $- 27$
$6 x$	=	$9 x + 9$	\| $- 9 x$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{6 x + 27}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 3) + 27}$

= $\sqrt{- 18 + 27}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{x + 4}$

$=$ $3 \sqrt{- 3 + 4}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 67}$ = $\sqrt{4 x + 44} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 67}$	=	$\sqrt{4 x + 44} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 67$	=	${(\sqrt{4 x + 44} + 1)}^{2}$

$6 x + 67$	=	$2 \sqrt{4 x + 44} + 4 x + 45$	\| $- 6 x$ $- 67$ $- 2 \sqrt{4 x + 44}$
$- 2 \sqrt{4 x + 44}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 44}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 44$	=	${(x + 11)}^{2}$

4 x + 44

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 77)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 308}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18+4}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18-4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 11) + 67}$

= $\sqrt{- 66 + 67}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{4 x + 44} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 11) + 44} + 1$

= $\sqrt{- 44 + 44} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 11$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 67}$

= $\sqrt{- 42 + 67}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 44} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 44} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 44} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 11$ ; $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -11

Probe für x = -7

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 7$