Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 2}$ = $4$

$2 \sqrt{2 x + 2}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 2$	=	$2^{2}$

$2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{2 x + 2}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 1 + 2}$

= $2 \sqrt{2 + 2}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 96}$ = $2 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 96}$	=	$2 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 96$	=	${(2 x + 4)}^{2}$

12 x + 96

=

4 x^{2} + 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

- 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 4 x + 80

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1\pm\sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1\pm\sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1\pm\sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{12 x + 96}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 5) + 96}$

= $\sqrt{- 60 + 96}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x + 4$

$=$ $2 \cdot (- 5) + 4$

= $- 10 + 4$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{12 x + 96}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 4 + 96}$

= $\sqrt{48 + 96}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x + 4$

$=$ $2 \cdot 4 + 4$

= $8 + 4$

= $12$

Also 12 = 12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{48 x + 777}$ = $3 \sqrt{5 x + 84}$

Lösung einblenden

$\sqrt{48 x + 777}$	=	$3 \sqrt{5 x + 84}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$48 x + 777$	=	${(3 \sqrt{5 x + 84})}^{2}$

$48 x + 777$	=	$9 (5 x + 84)$
$48 x + 777$	=	$45 x + 756$	\| $- 777$
$48 x$	=	$45 x - 21$	\| $- 45 x$
$3 x$	=	$- 21$	\|: $3$
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{48 x + 777}$

$=$ $\sqrt{48 \cdot (- 7) + 777}$

= $\sqrt{- 336 + 777}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $3 \sqrt{5 x + 84}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 7) + 84}$

= $3 \sqrt{- 35 + 84}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 15}$ = $\sqrt{5 x + 10} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 15}$	=	$\sqrt{5 x + 10} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 15$	=	${(\sqrt{5 x + 10} + 1)}^{2}$

$7 x + 15$	=	$2 \sqrt{5 x + 10} + 5 x + 11$	\| $- 7 x$ $- 15$ $- 2 \sqrt{5 x + 10}$
$- 2 \sqrt{5 x + 10}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 10}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 10$	=	${(x + 2)}^{2}$

5 x + 10

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} + x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $7 x + 15$

$=$ $7 \cdot (- 2) + 15$

= $- 14 + 15$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{5 x + 10} + 5 x + 11$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 2) + 10} + 5 \cdot (- 2) + 11$

= $2 \sqrt{- 10 + 10} - 10 + 11$

= $2 \sqrt{0} - 10 + 11$

= $2 \cdot 0 - 10 + 11$

= $0 - 10 + 11$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $7 x + 15$

$=$ $7 \cdot 3 + 15$

= $21 + 15$

= $36$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{5 x + 10} + 5 x + 11$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot 3 + 10} + 5 \cdot 3 + 11$

= $2 \sqrt{15 + 10} + 15 + 11$

= $2 \sqrt{25} + 15 + 11$

= $2 \cdot 5 + 15 + 11$

= $10 + 15 + 11$

= $36$

Also 36 = 36

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 2) + 15}$

= $\sqrt{- 14 + 15}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 10} + 1$

= $\sqrt{- 10 + 10} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 + 15}$

= $\sqrt{21 + 15}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 + 10} + 1$

= $\sqrt{15 + 10} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$