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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 3 x + 7}$ = $6$

- 3 \sqrt{- 3 x + 7}

=

6

|:(

- 3

)

\sqrt{- 3 x + 7}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 16}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 16}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 16$	=	${(x)}^{2}$

8 x - 16

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{8 x - 16}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 4 - 16}$

= $\sqrt{32 - 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 84 x - 47} - 5$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 84 x - 47} - 5$	=	$- 3 x$	\| $+ 5$
$\sqrt{- 84 x - 47}$	=	$- 3 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 84 x - 47$	=	${(- 3 x + 5)}^{2}$

- 84 x - 47

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 54 x - 72

= 0 |:9

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 84 x - 47} - 5$

$=$ $\sqrt{- 84 \cdot (- 4) - 47} - 5$

= $\sqrt{336 - 47} - 5$

= $\sqrt{289} - 5$

= $17 - 5$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 4)$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 84 x - 47} - 5$

$=$ $\sqrt{- 84 \cdot (- 2) - 47} - 5$

= $\sqrt{168 - 47} - 5$

= $\sqrt{121} - 5$

= $11 - 5$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 2)$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 4}$ = $2 \sqrt{2 x - 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 4}$	=	$2 \sqrt{2 x - 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 4$	=	${(2 \sqrt{2 x - 3})}^{2}$

$4 x - 4$	=	$4 (2 x - 3)$
$4 x - 4$	=	$8 x - 12$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$8 x - 8$	\| $- 8 x$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 4}$

= $\sqrt{8 - 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{2 x - 3}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 2 - 3}$

= $2 \sqrt{4 - 3}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x}$ = $\sqrt{4 x - 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x}$	=	$\sqrt{4 x - 4} + 2$
$2,8284 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{4 x - 4} + 2$	\|: $2,8284$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2,8284} \sqrt{4 x - 4} + \frac{2}{2,8284}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2,8284} \sqrt{4 x - 4} + \frac{2}{2,8284})}^{2}$

$x$	=	$0,5 \sqrt{4 x - 4} + \frac{4}{8} x$	\|⋅ 8
$8 x$	=	$8 (0,5 \sqrt{4 x - 4} + \frac{4}{8} x)$
$8 x$	=	$4 \sqrt{4 x - 4} + 4 x$	\| $- 8 x$ $- 4 \sqrt{4 x - 4}$
$- 4 \sqrt{4 x - 4}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 4}$	=	$\frac{4}{4} x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 4$	=	${(\frac{4}{4} x)}^{2}$

$4 x - 4$	=	$\frac{16}{16} x^{2}$	\|⋅ 16
$16 (4 x - 4)$	=	$\frac{256}{16} x^{2}$
$64 x - 64$	=	$\frac{256}{16} x^{2}$	\| $- \frac{256}{16} x^{2}$

$- \frac{256}{16} x^{2} + 64 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (- \frac{256}{16}) \cdot (- 64)}}{2 \cdot (- \frac{256}{16})}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{4 096 - \frac{65536}{16}}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{0}}{- 32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 64}{- 32}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- \frac{256}{16}$ " teilen:

$- \frac{256}{16} x^{2} + 64 x - 64$ = 0 |: $- \frac{256}{16}$

$x^{2} - \frac{1024}{256} x + \frac{1024}{256}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1024}{512})}^{2} - (\frac{1024}{256})$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{1024}{512}$ ± 0 = $\frac{1024}{512}$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2,8284 \sqrt{x}$

$=$ $2,8284 \sqrt{2}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 4} + 2$

= $\sqrt{8 - 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $2$