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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)
Beispiel:
Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!
eingesetzt in Zeile (II):
eingesetzt in Zeile (I):
3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)
Beispiel:
Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!
Wir erkennen, dass in der 3. Zeile 0=0 steht (und in den oberen beiden Zeilen kein Widerspruch).
Wir könnten also für
Somit gibt es eine unendlich große Lösungsmenge.
3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)
Beispiel:
Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!
eingesetzt in Zeile (II):
eingesetzt in Zeile (I):
Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 6s:
3x3-LGS (versch. Lsg.-mengen)
Beispiel:
Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!
eingesetzt in Zeile (II):
eingesetzt in Zeile (I):
Funktionstermbestimmung (quadr. Fkt.)
Beispiel:
Bestimme den Term der quadratischen Funktion, die durch die Punkte A(1|3), B(2|10)und C(-3|35) geht.
Wir setzen die drei Punkte in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c ein (Punktprobe).
Dabei erhalten wir folgende drei Gleichungen zu den drei Punkten:
A: f(1)=3 => a ⋅
B: f(2)=10 => a ⋅
C: f(-3)=35 => a ⋅
c =
eingesetzt in Zeile (II):
b =
eingesetzt in Zeile (I):
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =
Funktionstermbestimmung (Symmetrie)
Beispiel:
Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei E(3|-108) einen Extrempunkte hat.
Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss ihr Graph auch durch den Ursprung gehen.
f(-x) = -f(x) => f(0) = -f(0) => f(0) = 0
Und da jede ganzrationale Funktion 3. Grades immer genau 1 Wendepunkt hat, muss dieser aus Symmetriegründen im Ursprung liegen.
Außerdem wissen wir ja, dass E(3|-108) ein Extrempunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.
Somit haben wir 4 Informationen:
- f(3)=-108 (E(3|-108) liegt auf dem Graph)
- f(0)=0 (Ursprung liegt auf dem Graph)
- f'(3)=0 (Extrempunkt bei x=3)
- f''(0)=0 (Wendepunkt im Ursprung)
Diese Informationen setzen wir in die allgemeine kubische Funktion und deren Ableitungen ein:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+b
Daraus ergibt sich:
- f(3)=-108: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + d = -108
- f(0)=0: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = 0
- f'(3)=0: 3a⋅9 + 2b⋅3 + c = 0
- f''(0)=0: 6a⋅0 + 2b = 0
Wir sehen beim Betrachten der zweiten Gleichungen, dass d=0 ist und setzen dies in die erste Gleichung ein:
Gleiches gilt für die 4. Gleichung, aus der direkt b=0 folgt.
Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:
f(3)=-108: a⋅27 + c⋅3 + 0 = -108
f'(3)=0: 3a⋅9 + c = 0
c =
eingesetzt in Zeile (I):
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =
Funktionstermbestimmung (kubische Fkt.)
Beispiel:
Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die bei W(-3|-110) einen Wendepunkt und bei E(0|-2) einen Extrempunkte hat.
Da W(-3|-110) und E(0|-2) Punkte auf dem Graph der gesuchten Funktion f sind, muss f(-3) =-110 und f(0) =-2 gelten:
Außerdem wissen wir ja, dass E(0|-2) ein Extrempunkt ist. Also muss f'(0)=0 sein.
Zusätzlich wissen wir noch, dass W(-3|-110) ein Wendepunkt ist. Also muss f''(-3)=0 sein.
wir erhalten somit 4 Bedingungen:
- f(-3) =-110
- f(0) =-2
- f'(0)=0
- f''(-3)=0
Diese 4 Bedingungen setzen wir nun in die allgemeine kubische Funktion und ihre Ableitungen ein:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Daraus ergibt sich:
f(-3)=-110: a⋅(-27) + b⋅9 + c⋅(-3) + d = -110
f(0)=-2: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = -2
f'(0)=0: 3a⋅0 + 2b⋅0 + c = 0
f''(-3)=0: 6a⋅(-3) + 2b = 0
Wir sehen beim Betrachten der ersten beiden Gleichungen, dass d=-2 ist und setzen dies in die andere Gleichung ein, in der noch ein d vorkommt:
f(-3)=-110: a⋅(-27) + b⋅9 + c⋅(-3) + -2 = -110
Wenn wir jetzt noch das -2 auf die rechte Seite rüberbringen erhalten wir zusammen mit den unteren beiden Gleichungen das folgende LGS:
Wir tauschen die Zeilen 2 und 3, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.
c =
eingesetzt in Zeile (II):
b =
eingesetzt in Zeile (I):
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =
Funktionstermbestimmung (berührende Fkt.)
Beispiel:
Bestimme den Term einer quadratischen Funktion, deren Graph durch den Punkt P(3|-64) geht und den Graph der Funktion
Wir setzen erstmal den Punkt in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax2+bx+c ein (Punktprobe).
f(3)=-64:a⋅9 + b⋅3 + c = -64
Jetzt müssen wir noch die Information nutzen, dass die gesuchte Funktion die andere Funktion
f(4)=g(4) und f'(4)=g'(4)
Um diese Gleichungen verwenden zu können, müssen wir erstmal g(4) und g'(4) berechnen:
g(4)=
g'(4)=
Wir erhalten so also die folgenden drei Gleichungen:
f(3)=-64:a⋅9
+ b⋅3 + c = -64
f(4)=
f'(4)=
c =
eingesetzt in Zeile (II):
b =
eingesetzt in Zeile (I):
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =
Funktionstermbestimmung (kubische Fkt.)
Beispiel:
Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die bei W(3|105) einen Wendepunkt und bei E(0|-3) einen Extrempunkte hat.
Da W(3|105) und E(0|-3) Punkte auf dem Graph der gesuchten Funktion f sind, muss f(3) =105 und f(0) =-3 gelten:
Außerdem wissen wir ja, dass E(0|-3) ein Extrempunkt ist. Also muss f'(0)=0 sein.
Zusätzlich wissen wir noch, dass W(3|105) ein Wendepunkt ist. Also muss f''(3)=0 sein.
wir erhalten somit 4 Bedingungen:
- f(3) =105
- f(0) =-3
- f'(0)=0
- f''(3)=0
Diese 4 Bedingungen setzen wir nun in die allgemeine kubische Funktion und ihre Ableitungen ein:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Daraus ergibt sich:
f(3)=105: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + d = 105
f(0)=-3: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = -3
f'(0)=0: 3a⋅0 + 2b⋅0 + c = 0
f''(3)=0: 6a⋅3 + 2b = 0
Wir sehen beim Betrachten der ersten beiden Gleichungen, dass d=-3 ist und setzen dies in die andere Gleichung ein, in der noch ein d vorkommt:
f(3)=105: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + -3 = 105
Wenn wir jetzt noch das -3 auf die rechte Seite rüberbringen erhalten wir zusammen mit den unteren beiden Gleichungen das folgende LGS:
Wir tauschen die Zeilen 2 und 3, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.
c =
eingesetzt in Zeile (II):
b =
eingesetzt in Zeile (I):
a =
Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) =