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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-2 x1 +x2 -4 x3 = -11 (I) 2 x1 +2 x2 +x3 = 5 (II) 4 x1 +3 x3 = 9 (III)

Lösung einblenden
-2 x1 +x2 -4 x3 = -11 (I) 2 x1 +2 x2 +x3 = 5 (II) 4 x1 +3 x3 = 9 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) + 1·(III)

-2 x1 1 x2 -4 x3 = -11 (I) ( -2 +2 )x1 +( 1 +2 )x2 +( -4 +1 )x3 = ( -11 +5 ) (II) ( -4 +4 )x1 +( 2 +0 )x2 +( -8 +3 )x3 = ( -22 +9 ) (III)
-2 x1 +x2 -4 x3 = -11 (I) +3 x2 -3 x3 = -6 (II) +2 x2 -5 x3 = -13 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -3·(III)

-2 x1 1 x2 -4 x3 = -11 (I) 3 x2 -3 x3 = -6 (II) +( 6 -6 )x2 +( -6 +15 )x3 = ( -12 +39 ) (III)
-2 x1 +x2 -4 x3 = -11 (I) +3 x2 -3 x3 = -6 (II) +9 x3 = 27 (III)
Zeile (III): +9 x3 = 27

x3 = 3

eingesetzt in Zeile (II):

+3 x2 -3 ·(3 ) = -6 | +9
3 x2 = 3 | : 3

x2 = 1

eingesetzt in Zeile (I):

-2 x1 +(1 ) -4 ·(3 ) = -11 | +11
-2 x1 = 0 | : (-2)

x1 = 0

L={(0 |1 |3 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 +3 x3 = -6 (I) -5 x1 +x2 +4 x3 = -29 (II) 11 x1 -2 x2 -4 x3 = 49 (III)

Lösung einblenden
x1 +3 x3 = -6 (I) -5 x1 +x2 +4 x3 = -29 (II) 11 x1 -2 x2 -4 x3 = 49 (III)

langsame Rechnung einblenden5·(I) + 1·(II)

11·(I) -1·(III)

1 x1 3 x3 = -6 (I) ( 5 -5 )x1 +( 0 +1 )x2 +( 15 +4 )x3 = ( -30 -29 ) (II) ( 11 -11 )x1 +( 0 +2 )x2 +( 33 +4 )x3 = ( -66 -49 ) (III)
x1 +3 x3 = -6 (I) +x2 +19 x3 = -59 (II) +2 x2 +37 x3 = -115 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -1·(III)

1 x1 3 x3 = -6 (I) 1 x2 19 x3 = -59 (II) +( 2 -2 )x2 +( 38 -37 )x3 = ( -118 +115 ) (III)
x1 +3 x3 = -6 (I) +x2 +19 x3 = -59 (II) +x3 = -3 (III)
Zeile (III): +x3 = -3

x3 = -3

eingesetzt in Zeile (II):

+x2 +19 ·(-3 ) = -59 | +57
1 x2 = -2 | : 1

x2 = -2

eingesetzt in Zeile (I):

x1 +3 ·(-3 ) = -6 | +9
1 x1 = 3 | : 1

x1 = 3

L={(3 |-2 |-3 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

5 x1 +x2 -4 x3 = -90 (I) -7 x1 -5 x2 +x3 = -180 (II) 12 x1 +6 x2 -5 x3 = 90 (III)

Lösung einblenden
5 x1 +x2 -4 x3 = -90 (I) -7 x1 -5 x2 +x3 = -180 (II) 12 x1 +6 x2 -5 x3 = 90 (III)

langsame Rechnung einblenden7·(I) + 5·(II)

12·(I) -5·(III)

5 x1 1 x2 -4 x3 = -90 (I) ( 35 -35 )x1 +( 7 -25 )x2 +( -28 +5 )x3 = ( -630 -900 ) (II) ( 60 -60 )x1 +( 12 -30 )x2 +( -48 +25 )x3 = ( -1080 -450 ) (III)
5 x1 +x2 -4 x3 = -90 (I) -18 x2 -23 x3 = -1530 (II) -18 x2 -23 x3 = -1530 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

5 x1 1 x2 -4 x3 = -90 (I) -18 x2 -23 x3 = -1530 (II) +( -18 +18 )x2 +( -23 +23 )x3 = ( -1530 +1530 ) (III)
5 x1 +x2 -4 x3 = -90 (I) -18 x2 -23 x3 = -1530 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-18 x2 -23 ·(0+t ) = -1530 | -0+23t
-18 x2 = -1530 +23t | : (-18)

x2 = 85 - 23 18 t

eingesetzt in Zeile (I):

5 x1 +(85 - 23 18 t ) -4 ·(0+t ) = -90 | -85 + 95 18 t
5 x1 = -175 + 95 18 t | : 5

x1 = -35 + 19 18 t

L={(-35 + 19 18 t|85 - 23 18 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 18s:

L={(-35 +19 s|85 -23 s|0+18 s )}

3x3-LGS (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4 x1 -2 x2 +x3 = -1 (I) 2 x1 +7 x2 +10 x3 = -64 (II) -2 x1 -23 x2 -28 x3 = 186 (III)

Lösung einblenden
4 x1 -2 x2 +x3 = -1 (I) 2 x1 +7 x2 +10 x3 = -64 (II) -2 x1 -23 x2 -28 x3 = 186 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -2·(II)

1·(I) + 2·(III)

4 x1 -2 x2 1 x3 = -1 (I) ( 4 -4 )x1 +( -2 -14 )x2 +( 1 -20 )x3 = ( -1 +128 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( -2 -46 )x2 +( 1 -56 )x3 = ( -1 +372 ) (III)
4 x1 -2 x2 +x3 = -1 (I) -16 x2 -19 x3 = 127 (II) -48 x2 -55 x3 = 371 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

4 x1 -2 x2 1 x3 = -1 (I) -16 x2 -19 x3 = 127 (II) +( -48 +48 )x2 +( -57 +55 )x3 = ( 381 -371 ) (III)
4 x1 -2 x2 +x3 = -1 (I) -16 x2 -19 x3 = 127 (II) -2 x3 = 10 (III)
Zeile (III): -2 x3 = 10

x3 = -5

eingesetzt in Zeile (II):

-16 x2 -19 ·(-5 ) = 127 | -95
-16 x2 = 32 | : (-16)

x2 = -2

eingesetzt in Zeile (I):

4 x1 -2 ·(-2 ) +(-5 ) = -1 | +1
4 x1 = 0 | : 4

x1 = 0

L={(0 |-2 |-5 )}

LGS zu Lösungsmenge finden

Beispiel:

Gib ein lineares Gleichungssystem an, dass genau die Lösungsmenge L={( 4t -3 ; t ; -2t +1 )|t ∈ ℝ} hat.
(In das LGS dürfen nur ganze Zahlen, keine Variablen.)

Lösung einblenden

Da die angegebene Lösung ja für jedes t in jeder Gleichung eingesetzt eine wahre Aussage liefern soll, müssen sich die Parameter t auf der linken Seite aufheben - denn auf der rechten Seite kann ja kein t stehen

Dies kann man beispielsweise in der ersten Zeile so machen, dass man vor das einzelne t in der x2-Koordinate der Lösung einfach die negative Summe der anderen t setzt, also -(-2 + 4) = -2). Wenn man nun vor die anderen t-Summanden eine 1 setzt, erhält man
1 · 4t -2 · t + 1 · ( -2t ) = 4t -2t -2t = 0

Damit hat man nun schon die Koeffizienten vor x1, x2 und x3 (1, -2 und 1), die Zahl rechts ergibt sich nun dadurch, dass wir die gesamte Lösung in die linke Seite unserer 1. Zeile einsetzen:
I : 1 · ( 4t -3 ) -2 · t + 1 · ( -2t +1 ) = 4t -3 -2t + ( -2t +1 ) = 4t -3 -2t -2t +1 = -2

Damit steht nun unsere erste Zeile fest: x 1 -2 x 2 + x 3 = -2

Bei der zweiten Zeile brauchen wir nun andere Koeffizienten, und zwar so, dass die 2 Zeile kein Vielfaches der 1. Zeile ist, denn sonst wäre die Lösungsmenge 2-dimensional und damit größer als die angegebene 1-dimensionale

Anders und kein Vielfaches erreichen wir recht einfach wenn wir statt 1 vor x3 und 1 vor x1 einfach 2 vor x3 und 1 vor x1 setzen. Dadurch muss dann eben -(2⋅( - 2 ) + 4) = 0 vor x2, damit sich die t auf der linken Seite aufheben:
1 · 4t + 0 · t + 2 · ( -2t ) = 4t +0 -4t = 0
Durch Einsetzen dieser drei Koofizienten vor x1, x2 und x3 (1, 0 und 2) und der Lösung erhalten wir den Wert auf der rechten Seite:

II : 1 · ( 4t -3 ) + 0 · t + 2 · ( -2t +1 ) = 4t -3 +0+2( -2t +1 ) = 4t -3 -4t +2 = -1

Damit steht nun auch unsere zweiter Zeile fest: x 1 +2 x 3 = -1

Somit erhalten wir das LGS

x1 -2 x2 +x3 = -2 (I) x1 +2 x3 = -1 (II) 0 = 0 (III)

Wegen I und II wissen wir, dass die gegebene Lösung in beiden Zeile eine wahre Aussage liefert.

Und da die Koeffizienten vor dem x1 in beiden Zeilen gleich sind, die anderen Koeffizienten aber unterschiedlich, kann man sicher sein, dass man das LGS (in den oberen beiden Zeilen) auf Stufenform bringen kann und das LGS so eine 1-dimensionale Lösung hat, es kann also keine weiteren Lösungen außer der gegebenen für dieses LGS geben.

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 +2 x2 -4 x3 = -9 (I) -1 x1 -4 x2 +7 x3 = 14 (II) x1 -2 x2 +6 x3 = 20r +1 (III)

Lösung einblenden
x1 +2 x2 -4 x3 = -9 (I) -1 x1 -4 x2 +7 x3 = 14 (II) x1 -2 x2 +6 x3 = 20r +1 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

1·(I) -1·(III)

1 x1 2 x2 -4 x3 = -9 (I) ( 1 -1 )x1 +( 2 -4 )x2 +( -4 +7 )x3 = ( -9 +14 ) (II) ( 1 -1 )x1 +( 2 +2 )x2 +( -4 -6 )x3 = ( -9 + ( -20r -1 ) ) (III)
x1 +2 x2 -4 x3 = -9 (I) -2 x2 +3 x3 = 5 (II) +4 x2 -10 x3 = -20r -10 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

1 x1 2 x2 -4 x3 = -9 (I) -2 x2 3 x3 = 5 (II) +( -4 +4 )x2 +( 6 -10 )x3 = ( 10 + ( -20r -10 ) ) (III)
x1 +2 x2 -4 x3 = -9 (I) -2 x2 +3 x3 = 5 (II) -4 x3 = -20 r (III)
Zeile (III): -4 x3 = -20 r

x3 = 5 r

eingesetzt in Zeile (II):

-2 x2 +3 ·(5 r ) = 5
-2 x2 +15 r = 5 | +-15 r
-2 x2 = -15r +5 | : (-2)

x2 = 15 2 r - 5 2

eingesetzt in Zeile (I):

x1 +2 ·( 15 2 r - 5 2 ) -4 ·(5 r ) = -9
x1 + ( 15r -5 ) -20 r = -9 | + 5r +5
1 x1 = 5r -4 | : 1

x1 = 5r -4

L={( 5r -4 | 15 2 r - 5 2 |5 r )}

3x3-LGS (Parameter r bestimmen)

Beispiel:

Für welchen Wert von r hat das LGS eine unendlich große Lösungsmenge?

x1 +x2 +3 x3 = 3 (I) -1 x1 +8 x2 -6 x3 = 6 (II) -1 x1 +5 x2 -5 x3 = -r -2 (III)

Lösung einblenden
x1 +x2 +3 x3 = 3 (I) -1 x1 +8 x2 -6 x3 = 6 (II) -1 x1 +5 x2 -5 x3 = -r -2 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

1·(I) + 1·(III)

1 x1 1 x2 3 x3 = 3 (I) ( 1 -1 )x1 +( 1 +8 )x2 +( 3 -6 )x3 = ( 3 +6 ) (II) ( 1 -1 )x1 +( 1 +5 )x2 +( 3 -5 )x3 = ( 3 + ( -r -2 ) ) (III)
x1 +x2 +3 x3 = 3 (I) +9 x2 -3 x3 = 9 (II) +6 x2 -2 x3 = -r +1 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -3·(III)

1 x1 1 x2 3 x3 = 3 (I) 9 x2 -3 x3 = 9 (II) +( 18 -18 )x2 +( -6 +6 )x3 = ( 18 + 3r -3 ) (III)
x1 +x2 +3 x3 = 3 (I) +9 x2 -3 x3 = 9 (II) 0 = 3r +15 (III)

Da in der untersten Zeile auf der linken Seite eine 0 steht, kann das LGS nur noch entweder unendlich viele oder gar keine Lösung haben.

Damit es unendlich viele Lösungen gibt, muss die unterste Gleichung eine wahre Aussage geben, was nur dann möglich ist, wenn auch die rechte Seite = 0 ist, es muss also 3r +15 = 0 gelten.

3r +15 = 0 | -15
3r = -15 |:3
r = -5

Parameter r so bestimmen, dass Lösung passt

Beispiel:

Für welchen Wert von r ist (-441 |-447 |-450 ) Lösung des folgenden Linearen Gleichungssystems?

2 x1 -4 x2 +2 x3 = 6 (I) -2 x1 +10 x2 -8 x3 = 12 (II) -4 x1 +12 x2 -14 x3 = 810000 r (III)

Lösung einblenden

Als erstes lösen wir das LGS in Abhängigkeit des Parameters r, der nur rechts vom "=" vorkommt:

2 x1 -4 x2 +2 x3 = 6 (I) -2 x1 +10 x2 -8 x3 = 12 (II) -4 x1 +12 x2 -14 x3 = 810000 r (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) + 1·(III)

2 x1 -4 x2 2 x3 = 6 (I) ( 2 -2 )x1 +( -4 +10 )x2 +( 2 -8 )x3 = ( 6 +12 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( -8 +12 )x2 +( 4 -14 )x3 = ( 12 +810000 r ) (III)
2 x1 -4 x2 +2 x3 = 6 (I) +6 x2 -6 x3 = 18 (II) +4 x2 -10 x3 = 810000r +12 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -3·(III)

2 x1 -4 x2 2 x3 = 6 (I) 6 x2 -6 x3 = 18 (II) +( 12 -12 )x2 +( -12 +30 )x3 = ( 36 + ( -2430000r -36 ) ) (III)
2 x1 -4 x2 +2 x3 = 6 (I) +6 x2 -6 x3 = 18 (II) +18 x3 = -2430000 r (III)
Zeile (III): +18 x3 = -2430000 r

x3 = -135000 r

eingesetzt in Zeile (II):

+6 x2 -6 ·(-135000 r ) = 18
+6 x2 +810000 r = 18 | +-810000 r
6 x2 = -810000r +18 | : 6

x2 = -135000r +3

eingesetzt in Zeile (I):

2 x1 -4 ·( -135000r +3 ) +2 ·(-135000 r ) = 6
2 x1 + ( 540000r -12 ) -270000 r = 6 | -270000r +12
2 x1 = -270000r +18 | : 2

x1 = -135000r +9

L={( -135000r +9 | -135000r +3 |-135000 r )}

Jetzt müssen wir den Parameter r so wählen, dass die Lösung ( -135000r +9 | -135000r +3 |-135000 r ) = (-441 |-447 |-450 ) wird.

Auf einen ersten Kandidat kommt man recht einfach wenn man die x3-Koordinaten gleichsetzt:

-135000r = -450 |:(-135000 )
r = 1 300

Jetzt kann man zur Kontrolle noch den Kandidat r = 0.0033333333333333 in die ersten beiden Koordinaten einsetzen:

x1: -1350000,0033333333333333 +9 = -450 +9 = -441

x2: -1350000,0033333333333333 +3 = -450 +3 = -447

Die gesuchte Wert für r ist also r = 0.0033333333333333

Funktionstermbestimmung (quadr. Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term der quadratischen Funktion, die durch die Punkte A(1|1), B(2|-5)und C(-3|-15) geht.

Lösung einblenden

Wir setzen die drei Punkte in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c ein (Punktprobe).

Dabei erhalten wir folgende drei Gleichungen zu den drei Punkten:

A: f(1)=1 => a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = 1

B: f(2)=-5 => a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c = -5

C: f(-3)=-15 => a ⋅ ( - 3 ) 2 + b ⋅ ( - 3 ) + c = -15

a +b +c = 1 (I) 4 a +2 b +c = -5 (II) 9 a -3 b +c = -15 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -1·(II)

9·(I) -1·(III)

1 a 1 b 1 c = 1 (I) ( 4 -4 )a +( 4 -2 )b +( 4 -1 )c = ( 4 +5 ) (II) ( 9 -9 )a +( 9 +3 )b +( 9 -1 )c = ( 9 +15 ) (III)
a +b +c = 1 (I) +2 b +3 c = 9 (II) +12 b +8 c = 24 (III)

langsame Rechnung einblenden6·(II) -1·(III)

1 a 1 b 1 c = 1 (I) 2 b 3 c = 9 (II) +( 12 -12 )b +( 18 -8 )c = ( 54 -24 ) (III)
a +b +c = 1 (I) +2 b +3 c = 9 (II) +10 c = 30 (III)
Zeile (III): +10 c = 30

c = 3

eingesetzt in Zeile (II):

+2 b +3 ·(3 ) = 9 | -9
2 b = 0 | : 2

b = 0

eingesetzt in Zeile (I):

a +(0 ) +(3 ) = 1 | -3
1 a = -2 | : 1

a = -2

L={(-2 |0 |3 )}

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = -2 x 2 +3

Funktionstermbestimmung (Symmetrie)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei E(-3|54) einen Extrempunkte hat.

Lösung einblenden

Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss ihr Graph auch durch den Ursprung gehen.

f(-x) = -f(x) => f(0) = -f(0) => f(0) = 0

Und da jede ganzrationale Funktion 3. Grades immer genau 1 Wendepunkt hat, muss dieser aus Symmetriegründen im Ursprung liegen.

Außerdem wissen wir ja, dass E(-3|54) ein Extrempunkt ist, also muss f'(-3)=0 sein.

Somit haben wir 4 Informationen:

  1. f(-3)=54 (E(-3|54) liegt auf dem Graph)
  2. f(0)=0 (Ursprung liegt auf dem Graph)
  3. f'(-3)=0 (Extrempunkt bei x=-3)
  4. f''(0)=0 (Wendepunkt im Ursprung)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine kubische Funktion und deren Ableitungen ein:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+b

Daraus ergibt sich:

  1. f(-3)=54: a⋅(-27) + b⋅9 + c⋅(-3) + d = 54
  2. f(0)=0: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = 0
  3. f'(-3)=0: 3a⋅9 + 2b⋅(-3) + c = 0
  4. f''(0)=0: 6a⋅0 + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der zweiten Gleichungen, dass d=0 ist und setzen dies in die erste Gleichung ein:

Gleiches gilt für die 4. Gleichung, aus der direkt b=0 folgt.

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

f(-3)=54: a⋅(-27) + c⋅(-3) + 0 = 54

f'(-3)=0: 3a⋅9 + c = 0

-27 a -3 c = 54 (I) 27 a +c = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

-27 a -3 c = 54 (I) ( -27 +27 )a +( -3 +1 )c = ( 54 +0 ) (II)
-27 a -3 c = 54 (I) -2 c = 54 (II)
Zeile (II): -2 c = 54

c = -27

eingesetzt in Zeile (I):

-27 a -3 ·(-27 ) = 54 | -81
-27 a = -27 | : (-27)

a = 1

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = x 3 -27x

Funktionstermbestimmung (kubische Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die bei W(0|2) einen Wendepunkt und bei E(3|56) einen Extrempunkte hat.

Lösung einblenden

Da W(0|2) und E(3|56) Punkte auf dem Graph der gesuchten Funktion f sind, muss f(0) =2 und f(3) =56 gelten:

Außerdem wissen wir ja, dass E(3|56) ein Extrempunkt ist. Also muss f'(3)=0 sein.

Zusätzlich wissen wir noch, dass W(0|2) ein Wendepunkt ist. Also muss f''(0)=0 sein.

wir erhalten somit 4 Bedingungen:

  1. f(0) =2
  2. f(3) =56
  3. f'(3)=0
  4. f''(0)=0

Diese 4 Bedingungen setzen wir nun in die allgemeine kubische Funktion und ihre Ableitungen ein:

f(x)=ax3+bx2+cx+d

f'(x)=3ax2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Daraus ergibt sich:

f(0)=2: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = 2

f(3)=56: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + d = 56

f'(3)=0: 3a⋅9 + 2b⋅3 + c = 0

f''(0)=0: 6a⋅0 + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten beiden Gleichungen, dass d=2 ist und setzen dies in die andere Gleichung ein, in der noch ein d vorkommt:

f(3)=56: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + 2 = 56

Wenn wir jetzt noch das 2 auf die rechte Seite rüberbringen erhalten wir zusammen mit den unteren beiden Gleichungen das folgende LGS:

27 a +9 b +3 c = 54 (I) 27 a +6 b +c = 0 (II) +2 b = 0 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

27 a 9 b 3 c = 54 (I) ( 27 -27 )a +( 9 -6 )b +( 3 -1 )c = ( 54 +0 ) (II) 2 b = 0 (III)
27 a +9 b +3 c = 54 (I) +3 b +2 c = 54 (II) +2 b = 0 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -3·(III)

27 a 9 b 3 c = 54 (I) 3 b 2 c = 54 (II) +( 6 -6 )b +( 4 +0 )c = ( 108 +0 ) (III)
27 a +9 b +3 c = 54 (I) +3 b +2 c = 54 (II) +4 c = 108 (III)
Zeile (III): +4 c = 108

c = 27

eingesetzt in Zeile (II):

+3 b +2 ·(27 ) = 54 | -54
3 b = 0 | : 3

b = 0

eingesetzt in Zeile (I):

27 a +9 ·(0 ) +3 ·(27 ) = 54 | -81
27 a = -27 | : 27

a = -1

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = - x 3 +27x +2

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(2|8 )).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also f(x)= a x 4 + b x 2 + c für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 7 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(2|8 ) auf dem Graph von f liegt, muss f(2) = 8 gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(2|8 ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(2)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

  1. f(0) = 7 (y-Achsenabschnitt)
  2. f(2)=8 (H(2|8 ) liegt auf dem Graph)
  3. f'(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
f(x)= a x 4 + b x 2 + c
f(x)= 4 a x 3 +2 b x +0

Daraus ergibt sich:

  1. f(0) = 7: a 0 4 + b 0 2 + c = 7, also c = 7
  2. f(2)=8 : a 2 4 + b 2 2 + c = 8 , also 16⋅a + 4⋅b + c = 8
  3. f'(2)=0: 4 a 2 3 +2 b 2 +0 = 0, also 32a + 4b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 7 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(2)=8 16⋅a + 4⋅b + 7 = 8 oder umgeformt:
16⋅a + 4⋅b = 1


Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

16 a +4 b = 1 (I) 32 a +4 b = 0 (II)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

16 a 4 b = 1 (I) ( 32 -32 )a +( 8 -4 )b = ( 2 +0 ) (II)
16 a +4 b = 1 (I) +4 b = 2 (II)
Zeile (II): +4 b = 2

b = 1 2

eingesetzt in Zeile (I):

16 a +4 ·( 1 2 ) = 1 | -2
16 a = -1 | : 16

a = - 1 16

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = - 1 16 x 4 + 1 2 x 2 +7

Funktionstermbestimmung (berührende Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer quadratischen Funktion, deren Graph durch den Punkt P(2|-17) geht und den Graph der Funktion g(x)= -2 x 2 -13 an der Stelle x=1 berührt.

Lösung einblenden

Wir setzen erstmal den Punkt in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax2+bx+c ein (Punktprobe).

f(2)=-17:a⋅4 + b⋅2 + c = -17

Jetzt müssen wir noch die Information nutzen, dass die gesuchte Funktion die andere Funktion g(x)= -2 x 2 -13 an der Stelle x=1 berührt. Berühren sich die Graphen von zwei Funktionen in einem Punkt, so müssen dort die Funktionswerte und die Ableitungswerte gleich sein, d.h:
f(1)=g(1) und f'(1)=g'(1)

Um diese Gleichungen verwenden zu können, müssen wir erstmal g(1) und g'(1) berechnen:
g(1)= -2 1 2 -13 = -15 , also muss auch f(1)= -15 sein.
g'(x)= -4x
g'(1)= -41 = -4 , also muss auch f'(1)= -4 sein.

Wir erhalten so also die folgenden drei Gleichungen:

f(2)=-17:a⋅4 + b⋅2 + c = -17
f(1)= -15 :a⋅1 + b⋅1 + c = -15
f'(1)= -4 :2⋅a⋅1 + b = -4 (die Ableitung der allgemeinen quadratischen Funktion ist f(x)=2ax+b)

4 a +2 b +c = -17 (I) a +b +c = -15 (II) 2 a +b = -4 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -4·(II)

1·(I) -2·(III)

4 a 2 b 1 c = -17 (I) ( 4 -4 )a +( 2 -4 )b +( 1 -4 )c = ( -17 +60 ) (II) ( 4 -4 )a +( 2 -2 )b +( 1 +0 )c = ( -17 +8 ) (III)
4 a +2 b +c = -17 (I) -2 b -3 c = 43 (II) +c = -9 (III)
4 a 2 b 1 c = -17 (I) ( 4 -4 )a +( 2 -4 )b +( 1 -4 )c = ( -17 +60 ) (II) ( 4 -4 )a +( 2 -2 )b +( 1 +0 )c = ( -17 +8 ) (III)
4 a +2 b +c = -17 (I) -2 b -3 c = 43 (II) +c = -9 (III)
Zeile (III): +c = -9

c = -9

eingesetzt in Zeile (II):

-2 b -3 ·(-9 ) = 43 | -27
-2 b = 16 | : (-2)

b = -8

eingesetzt in Zeile (I):

4 a +2 ·(-8 ) +(-9 ) = -17 | +25
4 a = 8 | : 4

a = 2

L={(2 |-8 |-9 )}

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = 2 x 2 -8x -9

Funktionstermbestimmung (quadr. Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term der quadratischen Funktion, die durch die Punkte A(1|0), B(-2|-6)und C(3|14) geht.

Lösung einblenden

Wir setzen die drei Punkte in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c ein (Punktprobe).

Dabei erhalten wir folgende drei Gleichungen zu den drei Punkten:

A: f(1)=0 => a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = 0

B: f(-2)=-6 => a ⋅ ( - 2 ) 2 + b ⋅ ( - 2 ) + c = -6

C: f(3)=14 => a ⋅ 3 2 + b ⋅ 3 + c = 14

a +b +c = 0 (I) 4 a -2 b +c = -6 (II) 9 a +3 b +c = 14 (III)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -1·(II)

9·(I) -1·(III)

1 a 1 b 1 c = 0 (I) ( 4 -4 )a +( 4 +2 )b +( 4 -1 )c = ( 0 +6 ) (II) ( 9 -9 )a +( 9 -3 )b +( 9 -1 )c = ( 0 -14 ) (III)
a +b +c = 0 (I) +6 b +3 c = 6 (II) +6 b +8 c = -14 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

1 a 1 b 1 c = 0 (I) 6 b 3 c = 6 (II) +( 6 -6 )b +( 3 -8 )c = ( 6 +14 ) (III)
a +b +c = 0 (I) +6 b +3 c = 6 (II) -5 c = 20 (III)
Zeile (III): -5 c = 20

c = -4

eingesetzt in Zeile (II):

+6 b +3 ·(-4 ) = 6 | +12
6 b = 18 | : 6

b = 3

eingesetzt in Zeile (I):

a +(3 ) +(-4 ) = 0 | +1
1 a = 1 | : 1

a = 1

L={(1 |3 |-4 )}

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = x 2 +3x -4

Funktionstermbestimmung Schar

Beispiel:

Bestimme alle quadratischen Funktionen, die durch die Punkte A(1|0) und , B(-2|-12) gehen.

Lösung einblenden

Wir setzen die beiden Punkte in die allgemeine quadratische Funktion ft(x)=ax²+bx+c ein (Punktprobe).

Dabei erhalten wir die folgende zwei Gleichungen zu den zwei Punkten:

A: ft(1)=0 => a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = 0

B: ft(-2)=-12 => a ⋅ ( - 2 ) 2 + b ⋅ ( - 2 ) + c = -12

a +b +c = 0 (I) 4 a -2 b +c = -12 (II)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -1·(II)

1 a 1 b 1 c = 0 (I) ( 4 -4 )a +( 4 +2 )b ( 4 -1 )c = ( 0 +12 ) (II)
a +b +c = 0 (I) +6 b +3 c = 12 (II)
Setze c = t

eingesetzt in Zeile (II):

+6 b +3 ·(0+t ) = 12 | -0-3 t
6 b = 12 -3 t | : 6

b = 2 - 1 2 t

eingesetzt in Zeile (I):

a +(2 - 1 2 t ) +(0+t ) = 0 | -2 - 1 2 t
1 a = -2 - 1 2 t | : 1

a = -2 - 1 2 t

L={(-2 - 1 2 t|2 - 1 2 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 2s:

L={(-2 -s|2 -s|0+2 s )}

Eine gesuchte Funktionenschar wäre also beispielsweise:

ft(x) = ( -t -2 ) x 2 + ( -t +2 )x +2 t

Funktionstermbestimmung Schar 2

Beispiel:

Bestimme alle ganzrationalen Funktionen 4. Grades, deren Graphen achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse sind und den Graph der Funktion g mit g(x)= x 2 -16x -11 an der Stelle x = -1 berühren.

Lösung einblenden

Wenn die Graphen der gesuchten Funktionenschar die Funktion g mit g(x)= x 2 -16x -11 an der Stelle x = -1 berühren sollen, müssen wir zuerst mal den Berührpunkt, also (-1|g(-1)) und die Tangentensteigung von g an der Stelle x = -1, also g'(-1) bestimmen:

g(-1) = ( -1 ) 2 -16( -1 ) -11 = 1 +16 -11 = 6

g'(x) = 2x -16

g'(-1) = 2( -1 ) -16 = -2 -16 = -18

Jetzt stellen wir einen allgemeinen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktionen 4. Grades auf. Weil diese ja achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse sein soll, können wir die Summanden mit ungeraden Hochzahlen weglassen und erhalten so:

ft(x) = ax4 + bx2 + c

f't(x) = 4ax3 + 2bx

Jetzt können wir die beiden Berühr-Informationen in diesen allgemeinen Funktionsterm und seine Ableitung einsetzen und erhalten:

ft(-1) = g(-1) = 6 => a ⋅ ( - 1 )4 + b ⋅ ( - 1 )2 + c = 6

f't(-1) = g'(-1) = -18 => 4a ⋅ ( - 1 )3 + 2b ⋅ ( - 1 ) = 6

Wenn man diese beiden Gleichungen verrechnet, erhält man folgendes LGS:

a +b +c = 6 (I) -4 a -2 b = -18 (II)

langsame Rechnung einblenden4·(I) + 1·(II)

1 a 1 b 1 c = 6 (I) ( 4 -4 )a +( 4 -2 )b ( 4 +0 )c = ( 24 -18 ) (II)
a +b +c = 6 (I) +2 b +4 c = 6 (II)
Setze c = t

eingesetzt in Zeile (II):

+2 b +4 ·(0+t ) = 6 | -0-4 t
2 b = 6 -4 t | : 2

b = 3 -2 t

eingesetzt in Zeile (I):

a +(3 -2 t ) +(0+t ) = 6 | -3 +1t
1 a = 3 +1t | : 1

a = 3 +t

L={(3 +t|3 -2 t|0+t )}

Eine gesuchte Funktionenschar wäre also beispielsweise:

ft(x) = ( t +3 ) x 4 + ( -2t +3 ) x 2 + t

Funktionstermbestimmung Schar

Beispiel:

Bestimme alle quadratischen Funktionen, die durch die Punkte A(1|-4) und , B(-2|-4) gehen.

Lösung einblenden

Wir setzen die beiden Punkte in die allgemeine quadratische Funktion ft(x)=ax²+bx+c ein (Punktprobe).

Dabei erhalten wir die folgende zwei Gleichungen zu den zwei Punkten:

A: ft(1)=-4 => a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = -4

B: ft(-2)=-4 => a ⋅ ( - 2 ) 2 + b ⋅ ( - 2 ) + c = -4

a +b +c = -4 (I) 4 a -2 b +c = -4 (II)

langsame Rechnung einblenden4·(I) -1·(II)

1 a 1 b 1 c = -4 (I) ( 4 -4 )a +( 4 +2 )b ( 4 -1 )c = ( -16 +4 ) (II)
a +b +c = -4 (I) +6 b +3 c = -12 (II)
Setze c = t

eingesetzt in Zeile (II):

+6 b +3 ·(0+t ) = -12 | -0-3 t
6 b = -12 -3 t | : 6

b = -2 - 1 2 t

eingesetzt in Zeile (I):

a +(-2 - 1 2 t ) +(0+t ) = -4 | +2- 1 2 t
1 a = -2 - 1 2 t | : 1

a = -2 - 1 2 t

L={(-2 - 1 2 t|-2 - 1 2 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 2s:

L={(-2 -s|-2 -s|0+2 s )}

Eine gesuchte Funktionenschar wäre also beispielsweise:

ft(x) = ( -t -2 ) x 2 + ( -t -2 )x +2 t