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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 -1x2 -4x3 = 18 (I) x1 +x2 +x3 = 4 (II) -2x1 +2x2 = -14 (III)

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4x1 -1x2 -4x3 = 18 (I) x1 +x2 +x3 = 4 (II) -2x1 +2x2 = -14 (III)

1·(I) -4·(II)

1·(I) + 2·(III)

4x1 -1x2 -4x3 = 18 (I) -5x2 -8x3 = 2 (II) +3x2 -4x3 = -10 (III)

3·(II) + 5·(III)

4x1 -1x2 -4x3 = 18 (I) -5x2 -8x3 = 2 (II) -44x3 = -44 (III)
Zeile (III): -44x3 = -44

x3 = 1

eingesetzt in Zeile (II):

-5x2 -8·(1) = 2 | +8
-5 x2 = 10 | : -5

x2 = -2

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 -1(-2) -4·(1) = 18 | +2
4 x1 = 20 | : 4

x1 = 5

L={( 5|-2|1)}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 -10x2 -5x3 = 0 (I) x1 -2x2 -8x3 = 0 (II) -1x1 -6x2 +11x3 = 0 (III)

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x1 -10x2 -5x3 = 0 (I) x1 -2x2 -8x3 = 0 (II) -1x1 -6x2 +11x3 = 0 (III)

1·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

x1 -10x2 -5x3 = 0 (I) -8x2 +3x3 = 0 (II) -16x2 +6x3 = 0 (III)

2·(II) -1·(III)

x1 -10x2 -5x3 = 0 (I) -8x2 +3x3 = 0 (II) 0 = 0 (III)

Wir erkennen, dass in der 3. Zeile 0=0 steht (und in den oberen beiden Zeilen kein Widerspruch).

Wir könnten also für x3 jede beliebige Zahl einsetzen und könnten dann die oberen beiden Zeilen nach den anderen beiden Variablen auflösen und damit diese bestimmen.

Somit gibt es eine unendlich große Lösungsmenge.

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-2x1 +x2 -2x3 = 0 (I) +3x2 +x3 = -6 (II) -2x1 -2x2 -3x3 = 6 (III)

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-2x1 +x2 -2x3 = 0 (I) +3x2 +x3 = -6 (II) -2x1 -2x2 -3x3 = 6 (III)

1·(I) -1·(III)

-2x1 +x2 -2x3 = 0 (I) +3x2 +x3 = -6 (II) +3x2 +x3 = -6 (III)

1·(II) -1·(III)

-2x1 +x2 -2x3 = 0 (I) +3x2 +x3 = -6 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

+3x2 +(0+t ) = -6 | -0-1t
3 x2 = -6-1t | : 3

x2 = -2 - 1 3 t

eingesetzt in Zeile (I):

-2x1 +(-2 - 1 3 t ) -2·(0+t ) = 0 | +2+ 7 3 t
-2 x1 = 2+ 7 3 t | : -2

x1 = -1 - 7 6 t

L={( -1 - 7 6 t|-2 - 1 3 t|0+t)}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 6s:

L={( -1-7s|-2-2s|0+6s)}

3x3-LGS (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

x1 -4x2 +x3 = 0 (I) 7x1 +x2 +7x3 = 0 (II) -6x1 -5x2 -6x3 = 0 (III)

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x1 -4x2 +x3 = 0 (I) 7x1 +x2 +7x3 = 0 (II) -6x1 -5x2 -6x3 = 0 (III)

7·(I) -1·(II)

6·(I) + 1·(III)

x1 -4x2 +x3 = 0 (I) -29x2 = 0 (II) -29x2 = 0 (III)

1·(II) -1·(III)

x1 -4x2 +x3 = 0 (I) -29x2 = 0 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-29x2 = 0 | -0-0t
-29 x2 = 0-0t | : -29

x2 = 0

eingesetzt in Zeile (I):

x1 -4·(0 ) +(0+t ) = 0 | -0-1t
1 x1 = 0-1t | : 1

x1 = 0-t

L={( 0-t|0|0+t)}

Funktionstermbestimmung (quadr. Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term der quadratischen Funktion, die durch die Punkte A(1|3), B(2|10)und C(-3|35) geht.

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Wir setzen die drei Punkte in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax²+bx+c ein (Punktprobe).

Dabei erhalten wir folgende drei Gleichungen zu den drei Punkten:

A: f(1)=3 => a ⋅ 1 2 + b ⋅ 1 + c = 3

B: f(2)=10 => a ⋅ 2 2 + b ⋅ 2 + c = 10

C: f(-3)=35 => a ⋅ ( - 3 ) 2 + b ⋅ ( - 3 ) + c = 35

a +b +c = 3 (I) 4a +2b +c = 10 (II) 9a -3b +c = 35 (III)

4·(I) -1·(II)

9·(I) -1·(III)

a +b +c = 3 (I) +2b +3c = 2 (II) +12b +8c = -8 (III)

6·(II) -1·(III)

a +b +c = 3 (I) +2b +3c = 2 (II) +10c = 20 (III)
Zeile (III): +10c = 20

c = 2

eingesetzt in Zeile (II):

+2b +3·(2) = 2 | -6
2b = -4 | : 2

b = -2

eingesetzt in Zeile (I):

a +(-2) +(2) = 3

a = 3

L={( 3|-2|2)}

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = 3 x 2 -2x +2

Funktionstermbestimmung (Symmetrie)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und bei E(3|-108) einen Extrempunkte hat.

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Wenn eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss ihr Graph auch durch den Ursprung gehen.

f(-x) = -f(x) => f(0) = -f(0) => f(0) = 0

Und da jede ganzrationale Funktion 3. Grades immer genau 1 Wendepunkt hat, muss dieser aus Symmetriegründen im Ursprung liegen.

Außerdem wissen wir ja, dass E(3|-108) ein Extrempunkt ist, also muss f'(3)=0 sein.

Somit haben wir 4 Informationen:

  1. f(3)=-108 (E(3|-108) liegt auf dem Graph)
  2. f(0)=0 (Ursprung liegt auf dem Graph)
  3. f'(3)=0 (Extrempunkt bei x=3)
  4. f''(0)=0 (Wendepunkt im Ursprung)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine kubische Funktion und deren Ableitungen ein:
f(x)=ax3+bx2+cx+d
f'(x)=3ax2+2bx+c
f''(x)=6ax+b

Daraus ergibt sich:

  1. f(3)=-108: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + d = -108
  2. f(0)=0: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = 0
  3. f'(3)=0: 3a⋅9 + 2b⋅3 + c = 0
  4. f''(0)=0: 6a⋅0 + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der zweiten Gleichungen, dass d=0 ist und setzen dies in die erste Gleichung ein:

Gleiches gilt für die 4. Gleichung, aus der direkt b=0 folgt.

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

f(3)=-108: a⋅27 + c⋅3 + 0 = -108

f'(3)=0: 3a⋅9 + c = 0

27a +3c = -108 (I) 27a +c = 0 (II)

1·(I) -1·(II)

27a +3c = -108 (I) +2c = -108 (II)
Zeile (II): +2c = -108

c = -54

eingesetzt in Zeile (I):

27a +3·(-54) = -108 | +162
27a = 54 | : 27

a = 2

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = 2 x 3 -54x

Funktionstermbestimmung (kubische Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die bei W(-3|-110) einen Wendepunkt und bei E(0|-2) einen Extrempunkte hat.

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Da W(-3|-110) und E(0|-2) Punkte auf dem Graph der gesuchten Funktion f sind, muss f(-3) =-110 und f(0) =-2 gelten:

Außerdem wissen wir ja, dass E(0|-2) ein Extrempunkt ist. Also muss f'(0)=0 sein.

Zusätzlich wissen wir noch, dass W(-3|-110) ein Wendepunkt ist. Also muss f''(-3)=0 sein.

wir erhalten somit 4 Bedingungen:

  1. f(-3) =-110
  2. f(0) =-2
  3. f'(0)=0
  4. f''(-3)=0

Diese 4 Bedingungen setzen wir nun in die allgemeine kubische Funktion und ihre Ableitungen ein:

f(x)=ax3+bx2+cx+d

f'(x)=3ax2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Daraus ergibt sich:

f(-3)=-110: a⋅(-27) + b⋅9 + c⋅(-3) + d = -110

f(0)=-2: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = -2

f'(0)=0: 3a⋅0 + 2b⋅0 + c = 0

f''(-3)=0: 6a⋅(-3) + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten beiden Gleichungen, dass d=-2 ist und setzen dies in die andere Gleichung ein, in der noch ein d vorkommt:

f(-3)=-110: a⋅(-27) + b⋅9 + c⋅(-3) + -2 = -110

Wenn wir jetzt noch das -2 auf die rechte Seite rüberbringen erhalten wir zusammen mit den unteren beiden Gleichungen das folgende LGS:

-27a +9b -3c = -108 (I) +c = 0 (II) -18a +2b = 0 (III)

2·(I) -3·(III)

-27a +9b -3c = -108 (I) +c = 0 (II) +12b -6c = -216 (III)

Wir tauschen die Zeilen 2 und 3, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.

-27a +9b -3c = -108 (I) +12b -6c = -216 (II) +c = 0 (III)
-27a +9b -3c = -108 (I) +12b -6c = -216 (II) +c = 0 (III)
Zeile (III): +c = 0

c = 0

eingesetzt in Zeile (II):

+12b -6·(0) = -216

b = -18

eingesetzt in Zeile (I):

-27a +9·(-18) -3·(0) = -108 | +162
-27a = 54 | : -27

a = -2

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = -2 x 3 -18 x 2 -2

Funktionstermbestimmung (berührende Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer quadratischen Funktion, deren Graph durch den Punkt P(3|-64) geht und den Graph der Funktion g(x)= - 9 2 x 2 -25 an der Stelle x=4 berührt.

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Wir setzen erstmal den Punkt in die allgemeine quadratische Funktion f(x)=ax2+bx+c ein (Punktprobe).

f(3)=-64:a⋅9 + b⋅3 + c = -64

Jetzt müssen wir noch die Information nutzen, dass die gesuchte Funktion die andere Funktion g(x)= - 9 2 x 2 -25 an der Stelle x=4 berührt. Berühren sich die Graphen von zwei Funktionen in einem Punkt, so müssen dort die Funktionswerte und die Ableitungswerte gleich sein, d.h:
f(4)=g(4) und f'(4)=g'(4)

Um diese Gleichungen verwenden zu können, müssen wir erstmal g(4) und g'(4) berechnen:
g(4)= - 9 2 ⋅ 4 2 -25 = -97 , also muss auch f(4)= -97 sein.
g'(x)= -9x
g'(4)= -9⋅4 = -36 , also muss auch f'(4)= -36 sein.

Wir erhalten so also die folgenden drei Gleichungen:

f(3)=-64:a⋅9 + b⋅3 + c = -64
f(4)= -97 :a⋅16 + b⋅4 + c = -97
f'(4)= -36 :2⋅a⋅4 + b = -36 (die Ableitung der allgemeinen quadratischen Funktion ist f(x)=2ax+b)

9a +3b +c = -64 (I) 16a +4b +c = -97 (II) 8a +b = -36 (III)

16·(I) -9·(II)

8·(I) -9·(III)

9a +3b +c = -64 (I) +12b +7c = -151 (II) +15b +8c = -188 (III)

5·(II) -4·(III)

9a +3b +c = -64 (I) +12b +7c = -151 (II) +3c = -3 (III)
Zeile (III): +3c = -3

c = -1

eingesetzt in Zeile (II):

+12b +7·(-1) = -151 | +7
12b = -144 | : 12

b = -12

eingesetzt in Zeile (I):

9a +3·(-12) +(-1) = -64 | +37
9a = -27 | : 9

a = -3

L={( -3|-12|-1)}

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = -3 x 2 -12x -1

Funktionstermbestimmung (kubische Fkt.)

Beispiel:

Bestimme den Term einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die bei W(3|105) einen Wendepunkt und bei E(0|-3) einen Extrempunkte hat.

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Da W(3|105) und E(0|-3) Punkte auf dem Graph der gesuchten Funktion f sind, muss f(3) =105 und f(0) =-3 gelten:

Außerdem wissen wir ja, dass E(0|-3) ein Extrempunkt ist. Also muss f'(0)=0 sein.

Zusätzlich wissen wir noch, dass W(3|105) ein Wendepunkt ist. Also muss f''(3)=0 sein.

wir erhalten somit 4 Bedingungen:

  1. f(3) =105
  2. f(0) =-3
  3. f'(0)=0
  4. f''(3)=0

Diese 4 Bedingungen setzen wir nun in die allgemeine kubische Funktion und ihre Ableitungen ein:

f(x)=ax3+bx2+cx+d

f'(x)=3ax2+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

Daraus ergibt sich:

f(3)=105: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + d = 105

f(0)=-3: a⋅0 + b⋅0 + c⋅0 + d = -3

f'(0)=0: 3a⋅0 + 2b⋅0 + c = 0

f''(3)=0: 6a⋅3 + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten beiden Gleichungen, dass d=-3 ist und setzen dies in die andere Gleichung ein, in der noch ein d vorkommt:

f(3)=105: a⋅27 + b⋅9 + c⋅3 + -3 = 105

Wenn wir jetzt noch das -3 auf die rechte Seite rüberbringen erhalten wir zusammen mit den unteren beiden Gleichungen das folgende LGS:

27a +9b +3c = 108 (I) +c = 0 (II) 18a +2b = 0 (III)

2·(I) -3·(III)

27a +9b +3c = 108 (I) +c = 0 (II) +12b +6c = 216 (III)

Wir tauschen die Zeilen 2 und 3, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.

27a +9b +3c = 108 (I) +12b +6c = 216 (II) +c = 0 (III)
27a +9b +3c = 108 (I) +12b +6c = 216 (II) +c = 0 (III)
Zeile (III): +c = 0

c = 0

eingesetzt in Zeile (II):

+12b +6·(0) = 216

b = 18

eingesetzt in Zeile (I):

27a +9·(18) +3·(0) = 108 | -162
27a = -54 | : 27

a = -2

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = -2 x 3 +18 x 2 -3