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einfache Potenzgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{- 3}$ = $\frac{1}{8}$

Lösung einblenden

Statt $x^{- 3}$ = $\frac{1}{8}$ schreiben wir:

$\frac{1}{x^{3}}$ = $\frac{1}{8}$

Diese Gleichung ist genau dann richtig, wenn die beiden Nenner gleich sind.

Wir lösen also die Gleichung:

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$ }

Potenzgleichungen mit Summenbasis

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

${(x + 2)}^{4}$ = $81$

Lösung einblenden

{(x + 2)}^{4}

81

\sqrt[4]{\cdot}

1. Fall

x + 2

- \sqrt[4]{81}

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

\sqrt[4]{81}

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

L={ $- 5$ ; $1$ }

Potenzgleich. mit Summenbasis 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} {(6 + 3 x)}^{3} - 9$ = $- 18$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} {(6 + 3 x)}^{3} - 9$	=	$- 18$
$\frac{1}{3} {(3 x + 6)}^{3} - 9$	=	$- 18$	\| $+ 9$
$\frac{1}{3} {(3 x + 6)}^{3}$	=	$- 9$	\|⋅ $3$
${(3 x + 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Potenzgleich. mit neg. Exp.

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9}{49}$ = ${(x + 2)}^{- 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner ${(x + 2)}^{2}$ weg!

$\frac{9}{49}$	=	$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$	\|⋅( ${(x + 2)}^{2}$ )
$\frac{9}{49} \cdot {(x + 2)}^{2}$	=	$\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot {(x + 2)}^{2}$
$\frac{9}{49} {(x + 2)}^{2}$	=	$1$

$\frac{9}{49} {(x + 2)}^{2}$	=	$1$	\|⋅ $\frac{49}{9}$
${(x + 2)}^{2}$	=	$\frac{49}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

- \sqrt{\frac{49}{9}}

≈

- \frac{7}{3}

$x + 2$	=	$- \frac{7}{3}$	\| $- 2$
x₁	=	$- \frac{13}{3}$

2. Fall

x + 2

\sqrt{\frac{49}{9}}

≈

\frac{7}{3}

$x + 2$	=	$\frac{7}{3}$	\| $- 2$
x₂	=	$\frac{1}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{13}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }