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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Funktionswerte vw und rw

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x -1 . Berechne alle x-Werte für die f(x) = 5 gilt.


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Es gilt f(x) = 5.

Also müssen wir x -1 = 5 nach x auflösen:.

x -1 = 5 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x -1 = 5 2
x -1 = 25 | +1
x = 26

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 26

Linke Seite:

x = 26 in x -1

= 26 -1

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 26 in 5

= 5

Also 5 = 5

x = 26 ist somit eine Lösung !

Definitions- und Wertemenge

Beispiel:

Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion f mit f(x) = 1 x -1 .

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Definitionsmenge

In die Wurzel darf man keine negativen Werte einsetzen. Außerdem darf auch die 0 nicht für x eingesetzt werden, weil sonst der Nenner =0 werden würde.
Die Definitionsmenge ist somit D = {x ∈ ℝ | x > 0}.

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Wertemenge

  • x kann alle positiven Werte und die 0 annehmen (also x ≥ 0)
  • Somit kann 1 x alle positiven Werte (außer der 0) annehmen (also 1 x > 0)
  • Wenn man nun davon noch 1 subtrahiert, so werden eben alle Werte um 1 kleiner. Somit können eben alle Werte > -1 angenommen werden.

Die Wertemenge ist somit W = {y ∈ ℝ | y > -1}.

Funktionsterm finden

Beispiel:

Ein zylinderförmige Getränkedose soll aus Designgründen so gebaut werde, dass die Höhe der Dose 2 mal so groß ist wie der Durchmesser der Grund- und Deckelfläche.Bestimme dazu einen Funktionsterm, der dem Radius der Grundfläche r das Volumen der Getränkedose V zuordnet.

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Der gesuchte Term lautet also: V(r) = π · r 2 · 4r = 4π · r 3 = 4π r 3