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Funktionswerte vw und rw

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 5$ . Berechne alle x-Werte für die f(x) = 5 gilt.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5.

Also müssen wir $x^{4} + 5$ = $5$ nach x auflösen:.

$x^{4} + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
$x$	=	0

Definitions- und Wertemenge

Beispiel:

Bestimme die Definitions- und die Wertemenge der Funktion f mit f(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}} + 1$ .

Lösung einblenden

Definitionsmenge

In die Wurzel darf man keine negativen Werte einsetzen. Außerdem darf auch die 0 nicht für x eingesetzt werden, weil sonst der Nenner =0 werden würde.
Die Definitionsmenge ist somit D = {x ∈ ℝ | x > 0}.

Wertemenge

$\sqrt{x}$ kann alle positiven Werte und die 0 annehmen (also $\sqrt{x}$ ≥ 0)
Somit kann $\frac{1}{\sqrt{x}}$ alle positiven Werte (außer der 0) annehmen (also $\frac{1}{\sqrt{x}}$ > 0)
Wenn man nun dazu noch 1 addiert, so werden eben alle Werte um 1 größer. Somit können eben alle Werte > 1 angenommen werden.

Die Wertemenge ist somit W = {y ∈ ℝ | y > 1}.

Funktionsterm finden

Beispiel:

Neue Breitbildfernseher sollen im in unterschiedlichen Größen, aber alle mit dem gleichen Seitenverhältnis 16:10 produziert werden. Bestimme dazu einen Funktionsterm, der der Breite des Bildschirms b die Diagonalenlänge d zuordnet.

Lösung einblenden

Der gesuchte Term lautet also: d(b) = $\sqrt{b^{2} + {(\frac{5}{8} b)}^{2}}$ = $\sqrt{\frac{89}{64} b^{2}}$ = $\sqrt{\frac{89}{64}} b$