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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.55 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.854 und somit β=58.6°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 31.4°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+31.4°=β=58.6° gilt nun: α = 27.3°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 30° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 30° = 60°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) =
Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.6cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+30°) gleich groß sein. Damit gilt 60° = α + 30°, woraus folgt: α = 30°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 30° = 60°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 6.5cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-4|-3), B(5|2) und C(-4|2).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 9 und (zwischen A und C) b = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 92 + 52
c2 = 81 + 25
c2 = 106
c = ≈ 10.3
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 1.8
Daraus folgt: α = arctan(1.8) ≈ 60.9°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-60.9° = 29.1°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 29,7° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=3m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 32°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(32°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(29.7°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(32°)= | ⋅ x
(I) tan(32°) ⋅ x =h |:tan(32°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(29.7°)= | ⋅ (x+ 3)
(II) tan(29.7°) ⋅ (x+ 3) = h |:tan(32°)
(II) x + 3= |
(II) x = - 3
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 3
= - 3
⋅ h = ⋅ h - 3
1.6003 h = 1.7532 h - 3 | - 1.6003 + 3
3 = 0.1529 h | : 0.1529
19.6268 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=19.6m hoch.