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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.45 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.89 und somit β=62.9°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 27.1°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+27.1°=β=62.9° gilt nun: α = 35.7°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.
Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 30° = 180°.
Daraus folgt ε = 180° - 90° - 30° = 60°.
Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = = = 60°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) =
Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.6cm
Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)=
Damit folgt: PQ = = 6.5cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|1), B(2|1) und C(2|5).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und B) c = 7 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.b2 = 42 + 72
b2 = 16 + 49
b2 = 65
b = ≈ 8.06
Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = ≈ 0.571
Daraus folgt: α = arctan(0.571) ≈ 29.7°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-29.7° = 60.3°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 19,7° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=11m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 25,8°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(25.8°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(19.7°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(25.8°)= | ⋅ x
(I) tan(25.8°) ⋅ x =h |:tan(25.8°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(19.7°)= | ⋅ (x+ 11)
(II) tan(19.7°) ⋅ (x+ 11) = h |:tan(25.8°)
(II) x + 11= |
(II) x = - 11
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 11
= - 11
⋅ h = ⋅ h - 11
2.0686 h = 2.7929 h - 11 | - 2.0686 + 11
11 = 0.7243 h | : 0.7243
15.1872 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=15.2m hoch.