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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.83 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.878 und somit β=61.4°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 28.6°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+28.6°=β=61.4° gilt nun: α = 32.8°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 32° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 32° = 58°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) =
Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.7cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+32°) gleich groß sein. Damit gilt 58° = α + 32°, woraus folgt: α = 26°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 26° = 64°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.2cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-3|0), B(2|4) und C(-3|4).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und C) b = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 52 + 42
c2 = 25 + 16
c2 = 41
c = ≈ 6.4
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 1.25
Daraus folgt: α = arctan(1.25) ≈ 51.3°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-51.3° = 38.7°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 28,7° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=8m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 34,1°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(34.1°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(28.7°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(34.1°)= | ⋅ x
(I) tan(34.1°) ⋅ x =h |:tan(34.1°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(28.7°)= | ⋅ (x+ 8)
(II) tan(28.7°) ⋅ (x+ 8) = h |:tan(34.1°)
(II) x + 8= |
(II) x = - 8
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 8
= - 8
⋅ h = ⋅ h - 8
1.477 h = 1.8265 h - 8 | - 1.477 + 8
8 = 0.3495 h | : 0.3495
22.887 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=22.9m hoch.