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cosh
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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 7 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.9 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.843 und somit β=57.4°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 32.6°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.
Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 30° = 180°.
Daraus folgt ε = 180° - 90° - 30° = 60°.
Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = = = 60°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) =
Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 5cm ≈ 4.3cm
Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)=
Damit folgt: PQ = = 5cm
Strecken und Winkel im Dreieck
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-2|-2), B(2|1) und C(-2|2).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus und Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichnen wir noch eine Höhe ein. Weil hier die Seite b parallel zur y-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe hb.
Die achsenparallelen Strecken b und hb kann man direkt ablesen:
b = 4 und hb = 4
Weil Höhe ja parallel zur x-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe hb auf
b trefft, den gleichen y-Wert wie B, also y = 1.
Somit ergibt sich
AL = 3 und LC = 1
Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und c berechnen:
c2 = h2 + AL2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
=> c = = 5
a2 = h2 + LC2 = 42 + 12 = 16 + 1 = 17
=> a = ≈ 4.12
Weil ja in beiden rechtwinkligen Teildreiecken () die Katheten achsenparallel und ganzzahlig sind, empfiehlt sich der Tangens zur Berechnung der Winkel:
Für den Winkel in A gilt: tan(α) = = ≈ 1.333
Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.
Für den Winkel in C gilt: tan(γ) = = = 4
Daraus folgt: γ = arctan(4) ≈ 76°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 180°-53.1°-76° = 50.9°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Von einem Fenster in 10m Höhe kann man den entfernten Rand eines Kanals unter dem Winkel α=50° gegenüber der Senkrechten betrachten. Der vordere Rand des Kanals erscheinet unter dem Winkel β=30° gegenüber der Senkrechten. Wie breit ist der Kanal?
In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=10 ⋅ tan(50°)
≈11.9175
Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=10 ⋅ tan(30°)
≈5.7735
Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=11.918 - 5.774 ≈ 6.144 m.