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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 7 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.83 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.833 und somit β=56.4°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 33.6°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+33.6°=β=56.4° gilt nun: α = 22.8°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 31° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 31° = 59°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) =
Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+31°) gleich groß sein. Damit gilt 59° = α + 31°, woraus folgt: α = 28°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 28° = 62°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.8cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-2|-3), B(5|-3) und C(5|4).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 7 und (zwischen A und B) c = 7 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.b2 = 72 + 72
b2 = 49 + 49
b2 = 98
b = ≈ 9.9
Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 1
Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-45° = 45°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 15,9° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=11m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 21,2°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(21.2°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(15.9°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(21.2°)= | ⋅ x
(I) tan(21.2°) ⋅ x =h |:tan(21.2°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(15.9°)= | ⋅ (x+ 11)
(II) tan(15.9°) ⋅ (x+ 11) = h |:tan(21.2°)
(II) x + 11= |
(II) x = - 11
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 11
= - 11
⋅ h = ⋅ h - 11
2.5782 h = 3.5105 h - 11 | - 2.5782 + 11
11 = 0.9324 h | : 0.9324
11.7978 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=11.8m hoch.