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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.38 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.828 und somit β=55.9°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 34.1°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 32° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 32° = 58°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) =
Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.7cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+32°) gleich groß sein. Damit gilt 58° = α + 32°, woraus folgt: α = 26°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 26° = 64°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.2cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-3|0), B(1|3) und C(-3|3).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 42 + 32
c2 = 16 + 9
c2 = 25
c = ≈ 5
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = ≈ 1.333
Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-53.1° = 36.9°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 19,7° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=14m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 28,2°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(28.2°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(19.7°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(28.2°)= | ⋅ x
(I) tan(28.2°) ⋅ x =h |:tan(28.2°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(19.7°)= | ⋅ (x+ 14)
(II) tan(19.7°) ⋅ (x+ 14) = h |:tan(28.2°)
(II) x + 14= |
(II) x = - 14
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 14
= - 14
⋅ h = ⋅ h - 14
1.865 h = 2.7929 h - 14 | - 1.865 + 14
14 = 0.9279 h | : 0.9279
15.0878 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=15.1m hoch.