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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.58 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.858 und somit β=59.1°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 30.9°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+30.9°=β=59.1° gilt nun: α = 28.3°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 33° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 33° = 57°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) =
Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+33°) gleich groß sein. Damit gilt 57° = α + 33°, woraus folgt: α = 24°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 24° = 66°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 6.5cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(0|-4), B(3|0) und C(0|0).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 32 + 42
c2 = 9 + 16
c2 = 25
c = ≈ 5
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 0.75
Daraus folgt: α = arctan(0.75) ≈ 36.9°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-36.9° = 53.1°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 20,9° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=12m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 28,1°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(28.1°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(20.9°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(28.1°)= | ⋅ x
(I) tan(28.1°) ⋅ x =h |:tan(28.1°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(20.9°)= | ⋅ (x+ 12)
(II) tan(20.9°) ⋅ (x+ 12) = h |:tan(28.1°)
(II) x + 12= |
(II) x = - 12
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 12
= - 12
⋅ h = ⋅ h - 12
1.8728 h = 2.6187 h - 12 | - 1.8728 + 12
12 = 0.7459 h | : 0.7459
16.0878 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=16.1m hoch.