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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.23 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.872 und somit β=60.7°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 29.3°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+29.3°=β=60.7° gilt nun: α = 31.3°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 31° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 31° = 59°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) =
Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+31°) gleich groß sein. Damit gilt 59° = α + 31°, woraus folgt: α = 28°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 28° = 62°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.8cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|-2), B(3|2) und C(-5|2).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 8 und (zwischen A und C) b = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 82 + 42
c2 = 64 + 16
c2 = 80
c = ≈ 8.94
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 2
Daraus folgt: α = arctan(2) ≈ 63.4°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-63.4° = 26.6°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 18,1° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=18m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 27,3°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(27.3°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(18.1°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(27.3°)= | ⋅ x
(I) tan(27.3°) ⋅ x =h |:tan(27.3°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(18.1°)= | ⋅ (x+ 18)
(II) tan(18.1°) ⋅ (x+ 18) = h |:tan(27.3°)
(II) x + 18= |
(II) x = - 18
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 18
= - 18
⋅ h = ⋅ h - 18
1.9375 h = 3.0595 h - 18 | - 1.9375 + 18
18 = 1.122 h | : 1.122
16.0422 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=16m hoch.