Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.58 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.833 und somit β=56.4°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 33.6°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 32° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 32° = 58°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) =
Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 6cm ≈ 5.1cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+32°) gleich groß sein. Damit gilt 58° = α + 32°, woraus folgt: α = 26°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 26° = 64°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.7cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-4|-3), B(-1|5) und C(-4|5).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 8 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 32 + 82
c2 = 9 + 64
c2 = 73
c = ≈ 8.54
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 0.375
Daraus folgt: α = arctan(0.375) ≈ 20.6°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-20.6° = 69.4°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 21,2° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=16m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 29,9°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(29.9°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(21.2°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(29.9°)= | ⋅ x
(I) tan(29.9°) ⋅ x =h |:tan(29.9°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(21.2°)= | ⋅ (x+ 16)
(II) tan(21.2°) ⋅ (x+ 16) = h |:tan(29.9°)
(II) x + 16= |
(II) x = - 16
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 16
= - 16
⋅ h = ⋅ h - 16
1.7391 h = 2.5782 h - 16 | - 1.7391 + 16
16 = 0.8391 h | : 0.8391
19.068 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=19.1m hoch.