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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.88 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{4.88cm}{5.5cm}$ =0.887 und somit β=62.5°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 27.5°.

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 24° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 24° = 66°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{180° - ε}{2}$ = $\frac{114°}{2}$ = 57°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) = $\frac{g}{5cm}$

Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 5cm ≈ 4.2cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)= $\frac{4.2}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{4.2}{sin(66°)}$ = 4.6cm

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-3|-3), B(2|-3) und C(2|3).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und B) c = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 6² + 5²

b² = 36 + 25

b² = 61

b = $\sqrt{61}$ ≈ 7.81

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

Daraus folgt: α = arctan(1.2) ≈ 50.2°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-50.2° = 39.8°

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 30,8° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=11m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 38,9°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(38.9°)= $\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(30.8°)= $\frac{h}{x + 11}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(38.9°)= $\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(38.9°) ⋅ x =h |:tan(38.9°)

(I) x = $\frac{h}{tan(38.9°)}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(30.8°)= $\frac{h}{x + 11}$ | ⋅ (x+ 11)

(II) tan(30.8°) ⋅ (x+ 11) = h |:tan(38.9°)

(II) x + 11= $\frac{h}{tan(30.8°)}$ | -11

(II) x = $\frac{h}{tan(30.8°)}$ - 11

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{tan(38.9°)}$ = $\frac{h}{tan(30.8°)}$ - 11

$\frac{h}{0.8069}$ = $\frac{h}{0.5961}$ - 11

$\frac{1}{0.8069}$ ⋅ h = $\frac{1}{0.5961}$ ⋅ h - 11

1.2393 h = 1.6775 h - 11 | - 1.2393 + 11

11 = 0.4382 h | : 0.4382

25.1026 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=25.1m hoch.

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Trigonometrie Anwendungen