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COSH
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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.2 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.867 und somit β=60.1°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 29.9°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 25° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 25° = 65°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(65°) =
Damit folgt g = sin(65°) ⋅ 5cm ≈ 4.5cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+25°) gleich groß sein. Damit gilt 65° = α + 25°, woraus folgt: α = 40°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 40° = 50°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(50°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.9cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-2|-4), B(2|3) und C(-2|3).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und C) b = 7 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 42 + 72
c2 = 16 + 49
c2 = 65
c = ≈ 8.06
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = ≈ 0.571
Daraus folgt: α = arctan(0.571) ≈ 29.7°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-29.7° = 60.3°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 21,8° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=5m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 25°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(25°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(21.8°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(25°)= | ⋅ x
(I) tan(25°) ⋅ x =h |:tan(25°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(21.8°)= | ⋅ (x+ 5)
(II) tan(21.8°) ⋅ (x+ 5) = h |:tan(25°)
(II) x + 5= |
(II) x = - 5
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 5
= - 5
⋅ h = ⋅ h - 5
2.1445 h = 2.5002 h - 5 | - 2.1445 + 5
5 = 0.3557 h | : 0.3557
14.0579 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=14.1m hoch.