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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.5 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.846 und somit β=57.8°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 32.2°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+32.2°=β=57.8° gilt nun: α = 25.6°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.
Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 30° = 180°.
Daraus folgt ε = 180° - 90° - 30° = 60°.
Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = = = 60°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) =
Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.6cm
Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)=
Damit folgt: PQ = = 6.5cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-2|1), B(4|4) und C(-2|4).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 62 + 32
c2 = 36 + 9
c2 = 45
c = ≈ 6.71
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 2
Daraus folgt: α = arctan(2) ≈ 63.4°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-63.4° = 26.6°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 26,1° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=21m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 40,6°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(40.6°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(26.1°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(40.6°)= | ⋅ x
(I) tan(40.6°) ⋅ x =h |:tan(40.6°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(26.1°)= | ⋅ (x+ 21)
(II) tan(26.1°) ⋅ (x+ 21) = h |:tan(40.6°)
(II) x + 21= |
(II) x = - 21
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 21
= - 21
⋅ h = ⋅ h - 21
1.1667 h = 2.0413 h - 21 | - 1.1667 + 21
21 = 0.8745 h | : 0.8745
24.0128 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=24m hoch.