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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.28 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.88 und somit β=61.6°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 28.4°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+28.4°=β=61.6° gilt nun: α = 33.3°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 29° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 29° = 61°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(61°) =
Damit folgt g = sin(61°) ⋅ 6cm ≈ 5.2cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+29°) gleich groß sein. Damit gilt 61° = α + 29°, woraus folgt: α = 32°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 32° = 58°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(58°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 6.1cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(1|-4), B(4|-1) und C(1|-1).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 32 + 32
c2 = 9 + 9
c2 = 18
c = ≈ 4.24
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 1
Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-45° = 45°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 14,9° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=19m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 23,4°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(23.4°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(14.9°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(23.4°)= | ⋅ x
(I) tan(23.4°) ⋅ x =h |:tan(23.4°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(14.9°)= | ⋅ (x+ 19)
(II) tan(14.9°) ⋅ (x+ 19) = h |:tan(23.4°)
(II) x + 19= |
(II) x = - 19
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 19
= - 19
⋅ h = ⋅ h - 19
2.3109 h = 3.7583 h - 19 | - 2.3109 + 19
19 = 1.4474 h | : 1.4474
13.1269 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=13.1m hoch.