Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.83 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.878 und somit β=61.4°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 28.6°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 33° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 33° = 57°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) =
Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.6cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+33°) gleich groß sein. Damit gilt 57° = α + 33°, woraus folgt: α = 24°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 24° = 66°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5cm
Strecken und Winkel im Dreieck
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|-2), B(5|-2) und C(-2|2).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus und Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichnen wir noch eine Höhe ein. Weil hier die Seite c parallel zur x-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe hc.
Die achsenparallelen Strecken c und hc kann man direkt ablesen:
c = 10 und hc = 4
Weil Höhe ja parallel zur y-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe hc auf
c trefft, den gleichen x-Wert wie C, also x = -2.
Somit ergibt sich
AL = 3 und LB = 7
Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und b berechnen:
b2 = h2 + AL2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
=> b = = 5
a2 = h2 + LB2 = 42 + 72 = 16 + 49 = 65
=> a = ≈ 8.06
Weil ja in beiden rechtwinkligen Teildreiecken () die Katheten achsenparallel und ganzzahlig sind, empfiehlt sich der Tangens zur Berechnung der Winkel:
Für den Winkel in A gilt: tan(α) = = ≈ 1.333
Daraus folgt: α = arctan(1.333) ≈ 53.1°.
Für den Winkel in B gilt: tan(β) = = ≈ 0.571
Daraus folgt: β = arctan(0.571) ≈ 29.7°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 180°-53.1°-29.7° = 97.2°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Ein Fußballspieler läuft auf einer zur Auslinie parallelen Geraden, die 11m rechts von der Verbindungslinie der beiden näheren Torpfosten verläuft, das Spielfeld hinunter. Als er 10m vor der Torauslinie ist, möchte er aufs Tor schießen. Wie groß ist dann der Winkel unter dem er das 7,32m breite Tor treffen kann?
In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=.
Im kleinen Dreieck können wir die Gegenkathete gk2=11m und die Ankathete ak=10m direkt dem Aufgabentext entnehmen.
Somit gilt: tan(α2)= ≈ 1.1
also α2 ≈ 47.7°
Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck, nur dass wir hier erst noch die Gegenkathete als Summe von gk2=11m und 7.32m,
also gk1=18.32m berechnen müssen.
Somit gilt: tan(α1)= ≈ 1.832
also α1 ≈ 61.4°
Für den gesuchten Winkel α gilt dann:
α=61.4° - 47.7° ≈ 13.6°.