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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.95 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{4.95cm}{5.5cm}$ =0.9 und somit β=64.2°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 25.8°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+25.8°=β=64.2° gilt nun: α = 38.3°

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 25° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 25° = 65°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(65°) = $\frac{g}{5cm}$

Damit folgt g = sin(65°) ⋅ 5cm ≈ 4.5cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+25°) gleich groß sein. Damit gilt 65° = α + 25°, woraus folgt: α = 40°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 40° = 50°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(50°)= $\frac{4.5}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{4.5}{sin(50°)}$ ≈ 5.9cm

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-1|-3), B(5|-3) und C(5|2).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und B) c = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 5² + 6²

b² = 25 + 36

b² = 61

b = $\sqrt{61}$ ≈ 7.81

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{5}{6}$ ≈ 0.833

Daraus folgt: α = arctan(0.833) ≈ 39.8°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-39.8° = 50.2°

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 23,2° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=6m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 27,3°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(27.3°)= $\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(23.2°)= $\frac{h}{x + 6}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(27.3°)= $\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(27.3°) ⋅ x =h |:tan(27.3°)

(I) x = $\frac{h}{tan(27.3°)}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(23.2°)= $\frac{h}{x + 6}$ | ⋅ (x+ 6)

(II) tan(23.2°) ⋅ (x+ 6) = h |:tan(27.3°)

(II) x + 6= $\frac{h}{tan(23.2°)}$ | -6

(II) x = $\frac{h}{tan(23.2°)}$ - 6

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{tan(27.3°)}$ = $\frac{h}{tan(23.2°)}$ - 6

$\frac{h}{0.5161}$ = $\frac{h}{0.4286}$ - 6

$\frac{1}{0.5161}$ ⋅ h = $\frac{1}{0.4286}$ ⋅ h - 6

1.9375 h = 2.3332 h - 6 | - 1.9375 + 6

6 = 0.3957 h | : 0.3957

15.1626 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=15.2m hoch.

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Trigonometrie Anwendungen