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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.95 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

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Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= Gegenkathete Hypotenuse

Damit folgt sin(β)= 4.95cm 5.5cm =0.9 und somit β=64.2°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 25.8°.

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

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Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

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Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 33° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 33° = 57°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) = g 7cm

Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+33°) gleich groß sein. Damit gilt 57° = α + 33°, woraus folgt: α = 24°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 24° = 66°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= g PQ

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)= 5.9 PQ

Damit folgt: PQ = 5.9 sin(66°) ≈ 6.5cm

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-2|-3), B(2|-3) und C(2|3).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

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Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b2 = 62 + 42

b2 = 36 + 16

b2 = 52

b = 52 7.21

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = Gegenkathete Ankathete = 6 4 = 1.5

Daraus folgt: α = arctan(1.5) ≈ 56.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-56.3° = 33.7°

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 18,9° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=3m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 20,6°. Wie hoch ist das Schulhaus?

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Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(20.6°)= h x

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(18.9°)= h x + 3

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(20.6°)= h x | ⋅ x

(I) tan(20.6°) ⋅ x =h |:tan(20.6°)

(I) x = h tan(20.6°)

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(18.9°)= h x + 3 | ⋅ (x+ 3)

(II) tan(18.9°) ⋅ (x+ 3) = h |:tan(20.6°)

(II) x + 3= h tan(18.9°) | -3

(II) x = h tan(18.9°) - 3

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

h tan(20.6°) = h tan(18.9°) - 3

h 0.3759 = h 0.3424 - 3

1 0.3759 ⋅ h = 1 0.3424 ⋅ h - 3

2.6605 h = 2.9208 h - 3 | - 2.6605 + 3

3 = 0.2603 h | : 0.2603

11.525 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=11.5m hoch.