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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.35 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{5.35cm}{6cm}$ =0.892 und somit β=63.1°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 26.9°.

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 32° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 32° = 58°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) = $\frac{g}{5cm}$

Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 5cm ≈ 4.2cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+32°) gleich groß sein. Damit gilt 58° = α + 32°, woraus folgt: α = 26°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 26° = 64°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)= $\frac{4.2}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{4.2}{sin(64°)}$ ≈ 4.7cm

Strecken und Winkel im Dreieck

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-3|-2), B(4|-2) und C(2|1).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, kann man nicht erkennen, dass das Dreieck rechtwinklig wäre, und man somit nicht direkt die Definitionen von Sinus uund Kosinus anwenden kann. Deswegen zeichen wir noch eine Höhe eine. Weil hier die Seite c parallel zur x-Achse verläuft, nehmen wir hier am besten die Höhe h_c.

Die achsenparallelen Strecken c und h_c kann man direkt ablesen:
c = 7 und h_c = 3

Weil Höhe ja parallel zur y-Achse verläuft, hat der Lotfußpunkt L, also der Punkt, wo die Höhe Höhe h_c auf c trefft, den gleichen x-Wert wie C, also x = 2.
Somit ergibt sich AL = 5 und LB = 2

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras in den beiden Teildreicken jeweils die Hypothenusen a und b berechnen:

b² = h² + AL² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34

=> b = $\sqrt{34}$ ≈ 5.83

a² = h² + LB² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13

=> a = $\sqrt{13}$ ≈ 3.61

Weil ja in beiden rechtwinkligen Teildreiecken () die Katheten achsenparallel und ganzzahlig sind, empfiehlt sich der Tangens zur Berechnung der Winkel:

Für den Winkel in A gilt: tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{3}{5}$ = 0.6

Daraus folgt: α = arctan(0.6) ≈ 31°.

Für den Winkel in B gilt: tan(β) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{3}{2}$ = 1.5

Daraus folgt: β = arctan(1.5) ≈ 56.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 180°-31°-56.3° = 92.7°

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 34,4° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=8m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 41,6°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(41.6°)= $\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(34.4°)= $\frac{h}{x + 8}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(41.6°)= $\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(41.6°) ⋅ x =h |:tan(41.6°)

(I) x = $\frac{h}{tan(41.6°)}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(34.4°)= $\frac{h}{x + 8}$ | ⋅ (x+ 8)

(II) tan(34.4°) ⋅ (x+ 8) = h |:tan(41.6°)

(II) x + 8= $\frac{h}{tan(34.4°)}$ | -8

(II) x = $\frac{h}{tan(34.4°)}$ - 8

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{tan(41.6°)}$ = $\frac{h}{tan(34.4°)}$ - 8

$\frac{h}{0.8878}$ = $\frac{h}{0.6847}$ - 8

$\frac{1}{0.8878}$ ⋅ h = $\frac{1}{0.6847}$ ⋅ h - 8

1.1263 h = 1.4605 h - 8 | - 1.1263 + 8

8 = 0.3341 h | : 0.3341

23.9423 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=23.9m hoch.

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Strecken und Winkel im Dreieck

Trigonometrie Anwendungen