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cosh
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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.2 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.867 und somit β=60.1°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 29.9°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.
Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 23° = 180°.
Daraus folgt ε = 180° - 90° - 23° = 67°.
Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = = = 56.5°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56.5°) =
Damit folgt g = sin(56.5°) ⋅ 7cm ≈ 5.8cm
Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(67°)=
Damit folgt: PQ = = 6.3cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|1), B(4|4) und C(-5|4).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 9 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 92 + 32
c2 = 81 + 9
c2 = 90
c = ≈ 9.49
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 3
Daraus folgt: α = arctan(3) ≈ 71.6°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-71.6° = 18.4°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:

Von einem Fenster in 14m Höhe kann man den entfernten Rand eines Kanals unter dem Winkel α=60° gegenüber der Senkrechten betrachten. Der vordere Rand des Kanals erscheinet unter dem Winkel β=40° gegenüber der Senkrechten. Wie breit ist der Kanal?

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)=.
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=14 ⋅ tan(60°)
≈24.2487
Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=14 ⋅ tan(40°)
≈11.7474
Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=24.249 - 11.747 ≈ 12.501 m.
