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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.18 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.863 und somit β=59.7°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 30.3°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+30.3°=β=59.7° gilt nun: α = 29.4°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 34° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 34° = 56°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56°) =
Damit folgt g = sin(56°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.4cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+34°) gleich groß sein. Damit gilt 56° = α + 34°, woraus folgt: α = 22°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 22° = 68°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(68°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 5.8cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-4|-2), B(5|-2) und C(5|2).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und B) c = 9 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.b2 = 42 + 92
b2 = 16 + 81
b2 = 97
b = ≈ 9.85
Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = ≈ 0.444
Daraus folgt: α = arctan(0.444) ≈ 24°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-24° = 66°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 18,1° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=21m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 29,7°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(29.7°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(18.1°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(29.7°)= | ⋅ x
(I) tan(29.7°) ⋅ x =h |:tan(29.7°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(18.1°)= | ⋅ (x+ 21)
(II) tan(18.1°) ⋅ (x+ 21) = h |:tan(29.7°)
(II) x + 21= |
(II) x = - 21
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 21
= - 21
⋅ h = ⋅ h - 21
1.7532 h = 3.0595 h - 21 | - 1.7532 + 21
21 = 1.3063 h | : 1.3063
16.0757 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=16.1m hoch.