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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.95 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.9 und somit β=64.2°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 25.8°.
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 33° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 33° = 57°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(57°) =
Damit folgt g = sin(57°) ⋅ 7cm ≈ 5.9cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+33°) gleich groß sein. Damit gilt 57° = α + 33°, woraus folgt: α = 24°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 24° = 66°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(66°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 6.5cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-2|-3), B(2|-3) und C(2|3).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.b2 = 62 + 42
b2 = 36 + 16
b2 = 52
b = ≈ 7.21
Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 1.5
Daraus folgt: α = arctan(1.5) ≈ 56.3°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-56.3° = 33.7°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 18,9° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=3m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 20,6°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(20.6°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(18.9°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(20.6°)= | ⋅ x
(I) tan(20.6°) ⋅ x =h |:tan(20.6°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(18.9°)= | ⋅ (x+ 3)
(II) tan(18.9°) ⋅ (x+ 3) = h |:tan(20.6°)
(II) x + 3= |
(II) x = - 3
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 3
= - 3
⋅ h = ⋅ h - 3
2.6605 h = 2.9208 h - 3 | - 2.6605 + 3
3 = 0.2603 h | : 0.2603
11.525 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=11.5m hoch.