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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 6.5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.6 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{5.6cm}{6.5cm}$ =0.862 und somit β=59.5°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 30.5°.

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 30° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 30° = 60°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) = $\frac{g}{6cm}$

Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 6cm ≈ 5.2cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+30°) gleich groß sein. Damit gilt 60° = α + 30°, woraus folgt: α = 30°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 30° = 60°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)= $\frac{5.2}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{5.2}{sin(60°)}$ ≈ 6cm

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-5|-1), B(1|3) und C(-5|3).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und C) b = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 6² + 4²

c² = 36 + 16

c² = 52

c = $\sqrt{52}$ ≈ 7.21

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

Daraus folgt: α = arctan(1.5) ≈ 56.3°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-56.3° = 33.7°

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Von einem Fenster in 14m Höhe kann man den entfernten Rand eines Kanals unter dem Winkel α=60° gegenüber der Senkrechten betrachten. Der vordere Rand des Kanals erscheinet unter dem Winkel β=30° gegenüber der Senkrechten. Wie breit ist der Kanal?

Lösung einblenden

In beiden Dreiecken gilt für den Tangens: tan(α)= $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ .
Da nach der Gegenkathete gesucht wird, stellen wir um zu
Gegenkathete g1=Ankathete ⋅ tan(α)=14 ⋅ tan(60°) ≈24.2487

Genau gleich verfahren wir mit dem anderen Dreieck:
Gegenkathete g2=Ankathete ⋅ tan(β)=14 ⋅ tan(30°) ≈8.0829

Die gesuchte Strecke ist nun gerade die Differenz der beiden Gegenkatheten:
s=24.249 - 8.083 ≈ 16.166 m.

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Trigonometrie Anwendungen