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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 7 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 5.85 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.836 und somit β=56.7°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 33.3°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+33.3°=β=56.7° gilt nun: α = 23.4°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.
Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 30° = 180°.
Daraus folgt ε = 180° - 90° - 30° = 60°.
Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = = = 60°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(60°) =
Damit folgt g = sin(60°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.8cm
Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(60°)=
Damit folgt: PQ = = 5.5cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-3|1), B(2|4) und C(-3|4).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 5 und (zwischen A und C) b = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.c2 = 52 + 32
c2 = 25 + 9
c2 = 34
c = ≈ 5.83
Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = ≈ 1.667
Daraus folgt: α = arctan(1.667) ≈ 59°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-59° = 31°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 34,4° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=5m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 38,7°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(38.7°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(34.4°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(38.7°)= | ⋅ x
(I) tan(38.7°) ⋅ x =h |:tan(38.7°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(34.4°)= | ⋅ (x+ 5)
(II) tan(34.4°) ⋅ (x+ 5) = h |:tan(38.7°)
(II) x + 5= |
(II) x = - 5
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 5
= - 5
⋅ h = ⋅ h - 5
1.2482 h = 1.4605 h - 5 | - 1.2482 + 5
5 = 0.2123 h | : 0.2123
23.5561 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=23.6m hoch.