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Sinus und Thaleskreis (leicht)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig.
Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5 cm.
Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.28 cm.
Bestimme die fehlende Winkelweite α.
Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=
Damit folgt sin(β)==0.856 und somit β=58.9°
Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 31.1°.
Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.
Mit α+31.1°=β=58.9° gilt nun: α = 27.7°
Sinus und Thaleskreis (schwer)
Beispiel:
Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.
Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.
Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 25° = 180°.
Daraus folgt β = 180° - 90° - 25° = 65°
Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:
Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(65°) =
Damit folgt g = sin(65°) ⋅ 5.5cm ≈ 5cm
Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.
Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+25°) gleich groß sein. Damit gilt 65° = α + 25°, woraus folgt: α = 40°
Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 40° = 50°
Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)=
Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(50°)=
Damit folgt: PQ = ≈ 6.5cm
Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem
Beispiel:
Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(0|-1), B(5|-1) und C(5|3).
Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und B) c = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.b2 = 42 + 52
b2 = 16 + 25
b2 = 41
b = ≈ 6.4
Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.
Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:
tan(α) = = = 0.8
Daraus folgt: α = arctan(0.8) ≈ 38.7°.
Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-38.7° = 51.3°
Trigonometrie Anwendungen
Beispiel:
Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 22,2° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=16m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 31,2°. Wie hoch ist das Schulhaus?
Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:
(I) tan(31.2°)=
In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:
(II) tan(22.2°)=
Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen
(I) tan(31.2°)= | ⋅ x
(I) tan(31.2°) ⋅ x =h |:tan(31.2°)
(I) x =
Jetzt die Gleichung (II):
(II) tan(22.2°)= | ⋅ (x+ 16)
(II) tan(22.2°) ⋅ (x+ 16) = h |:tan(31.2°)
(II) x + 16= |
(II) x = - 16
Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:
= - 16
= - 16
⋅ h = ⋅ h - 16
1.6512 h = 2.4504 h - 16 | - 1.6512 + 16
16 = 0.7992 h | : 0.7992
20.0193 = h
Das Schulhaus ist also ungefähr h=20m hoch.