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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig.

Der blaue Halbkreis hat einen Durchmesser von u = 5.5 cm.

Die Länge der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke beträgt v = 4.78 cm.

Bestimme die fehlende Winkelweite α.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)= $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Damit folgt sin(β)= $\frac{4.78cm}{5.5cm}$ =0.869 und somit β=60.4°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 29.6°.

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Beispiel:

Das große Dreieck ist gleichschenklig. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

Lösung einblenden

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 31° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 31° = 59°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) = $\frac{g}{5.5cm}$

Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.7cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+31°) gleich groß sein. Damit gilt 59° = α + 31°, woraus folgt: α = 28°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 28° = 62°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{PQ}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)= $\frac{4.7}{PQ}$

Damit folgt: PQ = $\frac{4.7}{sin(62°)}$ ≈ 5.3cm

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Beispiel:

Berechne alle Längen und Winkel im Dreick ABC mit A(-3|-3), B(3|4) und C(-3|4).

Runde die Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.

Lösung einblenden

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und C) b = 7 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 6² + 7²

c² = 36 + 49

c² = 85

c = $\sqrt{85}$ ≈ 9.22

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ = $\frac{6}{7}$ ≈ 0.857

Daraus folgt: α = arctan(0.857) ≈ 40.6°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-40.6° = 49.4°

Trigonometrie Anwendungen

Beispiel:

Die Klasse 9a möchte vermessen wie hoch ihr Schulhaus ist. Dazu messen sie in einiger Entfernung zum Schulhaus den Winkel β = 28,7° zwischen der Horizontalen und der Sichtlinie zur Schulhausspitze. d=11m näher am Schulhaus beträgt dieser Winkel α = 36,6°. Wie hoch ist das Schulhaus?

Lösung einblenden

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(36.6°)= $\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(28.7°)= $\frac{h}{x + 11}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(36.6°)= $\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(36.6°) ⋅ x =h |:tan(36.6°)

(I) x = $\frac{h}{tan(36.6°)}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(28.7°)= $\frac{h}{x + 11}$ | ⋅ (x+ 11)

(II) tan(28.7°) ⋅ (x+ 11) = h |:tan(36.6°)

(II) x + 11= $\frac{h}{tan(28.7°)}$ | -11

(II) x = $\frac{h}{tan(28.7°)}$ - 11

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{tan(36.6°)}$ = $\frac{h}{tan(28.7°)}$ - 11

$\frac{h}{0.7427}$ = $\frac{h}{0.5475}$ - 11

$\frac{1}{0.7427}$ ⋅ h = $\frac{1}{0.5475}$ ⋅ h - 11

1.3465 h = 1.8265 h - 11 | - 1.3465 + 11

11 = 0.48 h | : 0.48

22.9149 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=22.9m hoch.

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Sinus und Thaleskreis (leicht)

Sinus und Thaleskreis (schwer)

Winkel zw. Punkten im Koordinatensystem

Trigonometrie Anwendungen