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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 45 an:

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Wir suchen alle Teiler von 45. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 45 ist, teilen wir 45 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 45 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 45, denn 45 = 1 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 2 ⋅ 22 + 1.

3 ist Teiler von 45, denn 45 = 3 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 4 ⋅ 11 + 1.

5 ist Teiler von 45, denn 45 = 5 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 6 ⋅ 7 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 45, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 45:
1, 3, 5, 9, 15, 45

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 9⬜0 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜0.

Da an der letzten Stelle eine 0 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 00, 20, 40, 60, 80 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 900, für die Quersumme gilt dann: 9 + 0 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 920, für die Quersumme gilt dann: 9 + 2 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 940, für die Quersumme gilt dann: 9 + 4 + 0 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 960, für die Quersumme gilt dann: 9 + 6 + 0 = 15, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 980, für die Quersumme gilt dann: 9 + 8 + 0 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 60 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 60 bilden:

2 + 58 = 60, dabei ist 58 aber keine Primzahl

3 + 57 = 60, dabei ist 57 aber keine Primzahl

5 + 55 = 60, dabei ist 55 aber keine Primzahl

7 + 53 = 60, dabei ist 53 auch eine Primzahl

7 und 53 wären also zwei Primzahlen mit 7 + 53 = 60

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 30 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 30 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 140 und gib alle Teiler von 140 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 140 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

140
= 2 ⋅ 70
= 2 ⋅ 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 140 :

1 Teiler

2 = 2
5 = 5
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 5 = 10
2 ⋅ 7 = 14
5 ⋅ 7 = 35

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 28
2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 70

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 140

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 140:
1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140