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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Bestimme alle Teiler von 42 an:

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Wir suchen alle Teiler von 42. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 42 ist, teilen wir 42 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 42 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 42, denn 42 = 1 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.

2 ist Teiler von 42, denn 42 = 2 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

3 ist Teiler von 42, denn 42 = 3 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 4 ⋅ 10 + 2.

5 ist kein Teiler von 42, denn 42 = 5 ⋅ 8 + 2.

6 ist Teiler von 42, denn 42 = 6 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 7 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 42:
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 14⬜0 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜0.

Da an der letzten Stelle eine 0 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 00, 20, 40, 60, 80 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1400, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 0 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1420, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 2 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1440, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1460, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1480, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 + 0 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 46 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 46 bilden:

2 + 44 = 46, dabei ist 44 aber keine Primzahl

3 + 43 = 46, dabei ist 43 auch eine Primzahl

3 und 43 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 43 = 46

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 96 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 96 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

96
= 2 ⋅ 48
= 2 ⋅ 2 ⋅ 24
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 12
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 132 und gib alle Teiler von 132 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 132 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

132
= 2 ⋅ 66
= 2 ⋅ 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 132 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
11 = 11

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 11 = 22
3 ⋅ 11 = 33

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 2 ⋅ 11 = 44
2 ⋅ 3 ⋅ 11 = 66

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11 = 132

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 132:
1; 2; 3; 4; 6; 11; 12; 22; 33; 44; 66; 132