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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Bestimme alle Teiler von 33 an:

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Wir suchen alle Teiler von 33. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 33 ist, teilen wir 33 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 33 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 33, denn 33 = 1 ⋅ 33, also ist auch 33 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 2 ⋅ 16 + 1.

3 ist Teiler von 33, denn 33 = 3 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 4 ⋅ 8 + 1.

5 ist kein Teiler von 33, denn 33 = 5 ⋅ 6 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 33, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 33:
1, 3, 11, 33

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 3⬜2 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 312, für die Quersumme gilt dann: 3 + 1 + 2 = 6, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 332, für die Quersumme gilt dann: 3 + 3 + 2 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 352, für die Quersumme gilt dann: 3 + 5 + 2 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 372, für die Quersumme gilt dann: 3 + 7 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 392, für die Quersumme gilt dann: 3 + 9 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 48 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 48 bilden:

2 + 46 = 48, dabei ist 46 aber keine Primzahl

3 + 45 = 48, dabei ist 45 aber keine Primzahl

5 + 43 = 48, dabei ist 43 auch eine Primzahl

5 und 43 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 43 = 48

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 90 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 90 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 99 und gib alle Teiler von 99 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 99 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

99
= 3 ⋅ 33
= 3 ⋅ 3 ⋅ 11

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 99 :

1 Teiler

3 = 3
11 = 11

2 Teiler

3 ⋅ 3 = 9
3 ⋅ 11 = 33

3 Teiler

3 ⋅ 3 ⋅ 11 = 99

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 99:
1; 3; 9; 11; 33; 99