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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Bestimme alle Teiler von 20 an:

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Wir suchen alle Teiler von 20. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 20 ist, teilen wir 20 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 20 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 20, denn 20 = 1 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.

2 ist Teiler von 20, denn 20 = 2 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 20, denn 20 = 3 ⋅ 6 + 2.

4 ist Teiler von 20, denn 20 = 4 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 5 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 20:
1, 2, 4, 5, 10, 20

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 14⬜4 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜4.

Da an der letzten Stelle eine 4 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 04, 24, 44, 64, 84 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1404, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 0 + 4 = 9, also durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1424, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 2 + 4 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1444, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 + 4 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1464, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1484, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 + 4 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 0 und 6.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 24 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 24 bilden:

2 + 22 = 24, dabei ist 22 aber keine Primzahl

3 + 21 = 24, dabei ist 21 aber keine Primzahl

5 + 19 = 24, dabei ist 19 auch eine Primzahl

5 und 19 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 19 = 24

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 90 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 90 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 90 und gib alle Teiler von 90 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 90 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 90 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
5 = 5

2 Teiler

2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 5 = 10
3 ⋅ 3 = 9
3 ⋅ 5 = 15

3 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18
2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30
3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 45

4 Teiler

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 90

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 90:
1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90