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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 18 an:

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Wir suchen alle Teiler von 18. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 18 ist, teilen wir 18 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 18 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 18, denn 18 = 1 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.

2 ist Teiler von 18, denn 18 = 2 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

3 ist Teiler von 18, denn 18 = 3 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 18, denn 18 = 4 ⋅ 4 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 18, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 18:
1, 2, 3, 6, 9, 18

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 88⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 8⬜.

Bei den 80er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 80, 84, 88 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 880, für die Quersumme gilt dann: 8 + 8 + 0 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 884, für die Quersumme gilt dann: 8 + 8 + 4 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 888, für die Quersumme gilt dann: 8 + 8 + 8 = 24, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 30 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 30 bilden:

2 + 28 = 30, dabei ist 28 aber keine Primzahl

3 + 27 = 30, dabei ist 27 aber keine Primzahl

5 + 25 = 30, dabei ist 25 aber keine Primzahl

7 + 23 = 30, dabei ist 23 auch eine Primzahl

7 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 7 + 23 = 30

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 55 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 55 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

55
= 5 ⋅ 11

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 75 und gib alle Teiler von 75 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 75 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

75
= 3 ⋅ 25
= 3 ⋅ 5 ⋅ 5

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 75 :

1 Teiler

3 = 3
5 = 5

2 Teiler

3 ⋅ 5 = 15
5 ⋅ 5 = 25

3 Teiler

3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 75:
1; 3; 5; 15; 25; 75