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alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 14 an:

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Wir suchen alle Teiler von 14. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 14 ist, teilen wir 14 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 14 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 14, denn 14 = 1 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

2 ist Teiler von 14, denn 14 = 2 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 14, denn 14 = 3 ⋅ 4 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 4 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 4 ⋅ 4 = 16 > 14, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 14:
1, 2, 7, 14

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 12⬜4 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜4.

Da an der letzten Stelle eine 4 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 04, 24, 44, 64, 84 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1204, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 0 + 4 = 7, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1224, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 2 + 4 = 9, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1244, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 4 + 4 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1264, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 6 + 4 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1284, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 8 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 16 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 16 bilden:

2 + 14 = 16, dabei ist 14 aber keine Primzahl

3 + 13 = 16, dabei ist 13 auch eine Primzahl

3 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 13 = 16

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 77 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

77
= 7 ⋅ 11

Primfaktorzerlegung + Teiler

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 84 und gib alle Teiler von 84 an:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 84 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

84
= 2 ⋅ 42
= 2 ⋅ 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 84 :

1 Teiler

2 = 2
3 = 3
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 7 = 14
3 ⋅ 7 = 21

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 28
2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 84

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 84:
1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84