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Durchstosspunkt zwischen Ebene und Gerade
Beispiel:
Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden g: mit der Ebene E: .
Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: und der Ebene E :.
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden in die Ebene ein und lösen nach t auf:
= | |||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
einsetzen.
=> D.
Lotfußpunkt einer Ebene zu P
Beispiel:
Bestimme den Lotfußpunkt des Punktes P zur der Ebene E: .
Der Normalenvektor der Ebene ist: = .
Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: .
Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: und der Ebene E :.
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden in die Ebene ein und lösen nach t auf:
= | |||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
einsetzen.
=> D.
Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L.
Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade
g: mit der Ebene E:Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt.
Um die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene zu überprüfen, bilden wir das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden.
=0Das Skalarprodukt ist gleich null, das heißt, dass der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander sind; somit ist die Gerade parallel zur Ebene oder eine Teilmenge der Ebene. Um dies zu überprüfen, setzen wir den Aufpunkt der Geraden in die Ebene ein.
= 6
Die Gleichung ist erfüllt, also liegt der Aufpunkt der Geraden in der Ebene.
Somit ist die Gerade eine Teilmenge der Ebene.
Gegenseitige Lage zweier Ebenen (BF)
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen
E: und F:Berechne ggf. den Abstand.
Die beiden Normalenvektoren und der Ebenen sind linear unabhängig (keine Vielfachen). Die Ebenen sind somit nicht parallel, also schneiden sich die Ebenen.
Gegenseitige Lage zweier Ebenen (LF)
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen
E: und F:Berechne ggf. Abstand bzw. Schnittgerade.
Die beiden Normalenvektoren und der Ebenen sind linear unabhängig (keine Vielfachen). Die Ebenen sind somit nicht parallel, also schneiden sich die Ebenen.

(1)
(2)
1⋅(1)--1⋅(2)
(1)(2)
setze x3 = t
-4x2 = -0 - (-3)⋅t |:-4
x2 =
eingesetzt in (1):
3x1 +0⋅()-4⋅t = -03x1 -4⋅t = -0
3x1 t = -0
3x1 = t
x1 =
x1 =
x2 =
x3 = t
Die gesuchte Schnittgerade ist also :
Weil der Richtungsvektor ja immer in der Geraden drin liegt, darf man diesen (im Gegensatz zum Stützvektor) mit jeder Zahl durchmultiplizieren, also auch mit 12:
Gegenseitige Lage zweier Geraden (+Abstände)
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden
g:Berechne ggf. Abstand bzw. Schnittpunkt.
Die beiden Richtungsvektoren
Wir setzen dazu die beiden Geraden gleich und lösen das so entstehende Lineare Gleichungssystem.
Es gibt also kein s und t für die alle 3 Gleichungen und damit die ursprüngliche Vektorgleichung erfüllt sind.
Die Geraden sind also windschief.Berechnung des Abstands der windschiefen Geraden.
Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h:
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Wenn wir den Aufpunkt von h Ah
Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
Mittelebene zu 2 parallelen Ebenen
Beispiel:
Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E1:
Die Normalenvektoren von E1 und E2 sind linear abhängig, also sind sie parallel. Da
auch die Ebene F dazu parallel sein soll, muss auch deren Normalenvektor dazu linear abhängig sein, z.B.
Anhand der Skizze erkennt man, dass wegen des Strahlensatzes der Mittelpunkt zwischen zwei beliebigen Punkten von E1 und E2 diese Bedingung erfüllt.
Wir wählen als beliebige Punkte von E1 den Punkt P1
Punktprobe mit M in F ergibt für d=
Die gesuchte Ebene ist also F:
Schnittgerade zweier Ebenen berechnen (LF)
Beispiel:
Berechne die Schnittgerade der beiden Ebenen
E1:

(1)
(2)
-3⋅(1)-1⋅(2)
(1)(2)
setze x3 = t
5x2 = -20 - 5⋅t |:5
x2 = -4
eingesetzt in (1):
1x1 -2⋅(-41x1
1x1
1x1 =
x1 =-3
x1 = -3
x2 = -4
x3 =
Die gesuchte Schnittgerade ist also :
Weil der Richtungsvektor ja immer in der Geraden drin liegt, darf man diesen (im Gegensatz zum Stützvektor) mit jeder Zahl durchmultiplizieren, also auch mit 1: