Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und der Ebene E :$2x_1+9x_2-5x_3=90$.

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_t\left(40+5t\right|-1+1t\left|0+0t\right)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$2·\left(40+5t\right)+9·\left(-1+t\right)-5·\left(0+0\right)$	=	$90$
$10t+80+9t-9$	=	$90$
$19t+71$	=	$90$	| $-71$
$19t$	=	$19$	|:$19$
$t$	=	$1$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_t\left(40+5t\right|-1+1t\left|0+0t\right)$ einsetzen.
=> D$\left(45|0|0\right)$.

Der Normalenvektor der Ebene ist: $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$.

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P$\left(-9|-19|-9\right)$ geht:

g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -19\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: $3x_1-2x_2+6x_3=6$.

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-9\\ -19\\ -9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ und der Ebene E :$3x_1-2x_2+6x_3=6$.

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_t\left(-9+3t\right|-19-2t\left|-9+6t\right)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$3·\left(-9+3t\right)-2·\left(-19-2t\right)+6·\left(-9+6t\right)$	=	$6$
$9t-27+4t+38+36t-54$	=	$6$
$49t-43$	=	$6$	| $+43$
$49t$	=	$49$	|:$49$
$t$	=	$1$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_t\left(-9+3t\right|-19-2t\left|-9+6t\right)$ einsetzen.
=> D$\left(-6|-21|-3\right)$.

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L$\left(-6|-21|-3\right)$.

Um die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene zu überprüfen, bilden wir das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden.

$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ $\cdot$$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ $=$$\mathrm{(-6)}\cdot 0+6\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot \mathrm{(-1)}$=-27

Da das Skalarprodukt ungleich null ist, sind der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden nicht orthogonal zueinander; somit haben Ebene und Gerade einen gemeinsamen Punkt, den Durchstoßpunkt. Diesen berechnen wir jetzt.

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-1\\ -10\\ -4\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und der Ebene E :$-6x_1+6x_2+3x_3=-12$.

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden $G_t\left(-1+0t\right|-10-4t\left|-4-1t\right)$ in die Ebene ein und lösen nach t auf:

$-6·\left(-1+0\right)+6·\left(-10-4t\right)+3·\left(-4-t\right)$	=	$-12$
$6-24t-60-3t-12$	=	$-12$
$-27t-66$	=	$-12$	| $+66$
$-27t$	=	$54$	|:($-27$)
$t$	=	$-2$

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt $G_t\left(-1+0t\right|-10-4t\left|-4-1t\right)$ einsetzen.
=> D$\left(-1|-2|-2\right)$.

Für die beiden Normalenvektoren der Ebenen gilt:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ $=1\cdot$$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$

Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, daher müssen die beiden Ebenen parallel oder identisch sein.

In diesem Fall sind sie nicht identisch, sondern parallel: Es gibt keinen Faktor, mit welchem man die Gleichung der einen Ebene auf die Gleichung der anderen Ebene bringen kann.

Um den Abstand der parallelen Ebenen zu berechnen, genügt es den Abstand eines beliebigen Punktes auf F z.B. S₁$\left(-10|30|0\right)$ zur Ebene E zu berechnen:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot (-10)-3\cdot 30+6\cdot 0+12|}{\sqrt{2^2+{(-3)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|-98\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{98}{7}$ = 14

Für die beiden Normalenvektoren der Ebenen gilt:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ -8\end{array}\right)$ $=\mathrm{-3}\cdot$$\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\\ 24\end{array}\right)$

Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, daher müssen die beiden Ebenen parallel oder identisch sein.

In diesem Fall sind sie nicht identisch, sondern parallel: Es gibt keinen Faktor, mit welchem man die Gleichung der einen Ebene auf die Gleichung der anderen Ebene bringen kann.

Um den Abstand der parallelen Ebenen zu berechnen, genügt es den Abstand eines beliebigen Punktes auf F z.B. S₁$\left(2|0|-14\right)$ zur Ebene E zu berechnen:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|6\cdot 2+0\cdot 0-8\cdot (-14)-24|}{\sqrt{6^2+0^2+{(-8)}^2}}$
$=$ $\frac{\left|100\right|}{\sqrt{100}}$ $=$ $\frac{100}{10}$ = 10

Die beiden Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ 2\end{array}\right)$ der Geraden sind linear abhängig (Vielfache voneinander). Wir müssen also prüfen, ob die Geraden parallel oder identisch sind.
Setzen wir daher den Stützvektor der zweiten Geraden $\left(\begin{array}{c}49\\ -17\\ -3\end{array}\right)$ in die erste Gerade ein.

$\left(\begin{array}{c}49\\ -17\\ -3\end{array}\right)$$=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -5\end{array}\right)$$+t\cdot$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 1\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{c}48\\ -16\\ 2\end{array}\right)$$=t\cdot$ $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ 1\end{array}\right)$

Diese Gleichung ist für t = 2 erfüllt.
Somit sind die beiden Geraden identisch.

Die Normalenvektoren von E₁ und E₂ sind linear abhängig, also sind sie parallel. Da auch die Ebene F dazu parallel sein soll, muss auch deren Normalenvektor dazu linear abhängig sein, z.B. $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -14\\ 4\end{array}\right)$. Damit fehlt nur noch ein Punkt auf F. Dieser muss von E₁ und E₂ den gleichen Abstand haben.

Anhand der Skizze erkennt man, dass wegen des Strahlensatzes der Mittelpunkt zwischen zwei beliebigen Punkten von E₁ und E₂ diese Bedingung erfüllt.

Wir wählen als beliebige Punkte von E₁ den Punkt P₁$\left(\begin{array}{c}14\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ und von E₂ den Punkt P₂$\left(\begin{array}{c}98\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. Der Mittelpunkt der beiden ist M. $\left(\frac{14+98}{2}\right|\frac{0+0}{2}\left|\frac{0+0}{2}\right)$ = M$\left(56|0|0\right)$.

Punktprobe mit M in F ergibt für d=$18\cdot 56+\mathrm{(-14)}\cdot 0+4\cdot 0$ = 1008.

Die gesuchte Ebene ist also F: $18x_1-14x_2+4x_3=1008$

Wir schreiben die beiden Ebenen als LGS untereinander
(1) $2x_1+x_2-5x_3=0$
(2) $2x_1+x_3=2$

1⋅(1)-1⋅(2)

(1) $2x_1+x_2-5x_3=0$
(2) $+x_2-6x_3=-2$

setze x₃ = t

mit (2) folgt :
1x₂ = -2 - (-6)⋅t |:1
x₂ = -2$+6t$

eingesetzt in (1):

2x₁ +1⋅(-2$+6t$)-5⋅t = 0
2x₁ $$ -2$$$+6$t-5⋅t = 0
2x₁ $$ -2$$$+$t = 0
2x₁ = $$ +2$$$-$t
x₁ =1$-\frac{1}{2}t$

x₁ = 1$-\frac{1}{2}t$
x₂ = -2$+6t$
x₃ = $1$t

Die gesuchte Schnittgerade ist also :

$\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{<mrow>\; <mo>-</mo>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>}\\ \mathrm{<mrow><mn>6</mn></mrow>}\\ \mathrm{<mrow><mn>1</mn></mrow>}\end{array}\right)$

Weil der Richtungsvektor ja immer in der Geraden drin liegt, darf man diesen (im Gegensatz zum Stützvektor) mit jeder Zahl durchmultiplizieren, also auch mit 2:

$\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 12\\ 2\end{array}\right)$