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Durchstosspunkt zwischen Ebene und Gerade

Beispiel:

Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden g: x = ( 10 0 -20 ) +t ( 3 5 4 ) mit der Ebene E: 2 x 1 +9 x 2 +10 x 3 = -180 .

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Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: x = ( 10 0 -20 ) +t ( 3 5 4 ) und der Ebene E : 2 x 1 +9 x 2 +10 x 3 = -180 .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden G t ( 10 +3 t | 0 +5 t | -20 +4 t ) in die Ebene ein und lösen nach t auf:

20 +6t +45t -200 +40t = -180
91t -180 = -180 | +180
91t = 0 |:91
t = 0

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt G t ( 10 +3 t | 0 +5 t | -20 +4 t ) einsetzen.
=> D(10|0|-20).

Lotfußpunkt einer Ebene zu P

Beispiel:

Bestimme den Lotfußpunkt des Punktes P(-4|-4|-2) zur der Ebene E: 4 x 1 +4 x 2 -2 x 3 = 8 .

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Der Normalenvektor der Ebene ist: n = ( 4 4 -2 ) .

Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt P(-4|-4|-2) geht:

g: x = ( -4 -4 -2 ) +t ( 4 4 -2 )

Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: 4 x 1 +4 x 2 -2 x 3 = 8 .

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: x = ( -4 -4 -2 ) +t ( 4 4 -2 ) und der Ebene E : 4 x 1 +4 x 2 -2 x 3 = 8 .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden G t ( -4 +4 t | -4 +4 t | -2 -2 t ) in die Ebene ein und lösen nach t auf:

-16 +16t -16 +16t +4 +4t = 8
36t -28 = 8 | +28
36t = 36 |:36
t = 1

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt G t ( -4 +4 t | -4 +4 t | -2 -2 t ) einsetzen.
=> D(0|0|-4).

Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L(0|0|-4).

Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene

Beispiel:

Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade

g: x = ( 2 8 4 ) +t ( 2 -4 5 ) mit der Ebene E: -2 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = 8

Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt.

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Um die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene zu überprüfen, bilden wir das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden.

( -2 4 4 ) ( 2 -4 5 ) = (-2)2 + 4(-4) + 45=0

Das Skalarprodukt ist gleich null, das heißt, dass der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander sind; somit ist die Gerade parallel zur Ebene oder eine Teilmenge der Ebene. Um dies zu überprüfen, setzen wir den Aufpunkt der Geraden (2|8|4) in die Ebene -2 x 1 +4 x 2 +4 x 3 = 8 ein.

(-2)2 + 48 + 44 ≠ 8

Die Gleichung ist offensichtlich nicht erfüllt, also liegt der Aufpunkt der Geraden nicht in der Ebene. Somit ist die Gerade parallel zur Ebene.

Um den Abstand der Geraden zur parallen Ebene zu berechnen, müssen wir einfach den Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden, z.B, des Aufpunktes(2|8|4) von der Ebene berechnen.

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d = | -2 2+4 8+4 4-8 | ( - 2 ) 2 + 4 2 + 4 2
= | 36 | 36 = 36 6 = 6

Gegenseitige Lage zweier Ebenen (BF)

Beispiel:

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen

E: 2 x 1 +6 x 2 +9 x 3 = -36 und F: 6 x 1 +18 x 2 +27 x 3 = -108

Berechne ggf. den Abstand.

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Für die beiden Normalenvektoren der Ebenen gilt:

( 2 6 9 ) =3 ( 6 18 27 )

Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, daher müssen die beiden Ebenen parallel oder identisch sein.

In diesem Fall sind sie identisch: Wenn man die Ebene 2 x 1 +6 x 2 +9 x 3 = -36 mit den Faktor 3 multipliziert, erhält man genau die andere Ebene, 6 x 1 +18 x 2 +27 x 3 = -108 .

Gegenseitige Lage zweier Ebenen (LF)

Beispiel:

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen

E: -4 x 1 +3 x 2 = -8 und F: -4 x 1 + x 2 +6 x 3 = -8

Berechne ggf. Abstand bzw. Schnittgerade.

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Die beiden Normalenvektoren ( -4 3 0 ) und ( -4 1 6 ) der Ebenen sind linear unabhängig (keine Vielfachen). Die Ebenen sind somit nicht parallel, also schneiden sich die Ebenen.

Wir schreiben die beiden Ebenen als LGS untereinander
(1) -4 x 1 +3 x 2 = -8
(2) -4 x 1 + x 2 +6 x 3 = -8

1⋅(1)-1⋅(2)

(1) -4 x 1 +3 x 2 = -8
(2) +2 x 2 -6 x 3 = 0

setze x3 = t

mit (2) folgt :
2x2 = 0 - (-6)⋅t |:2
x2 = +3t

eingesetzt in (1):

-4x1 +3⋅(+3t)+0⋅t = -8
-4x1 +9t+0⋅t = -8
-4x1 +9t = -8
-4x1 = -8-9t
x1 =2 + 9 4 t

x1 = 2 + 9 4 t
x2 = +3t
x3 = 1t

Die gesuchte Schnittgerade ist also :

x = ( 2 0 0 ) +t ( 9 4 3 1 )

Weil der Richtungsvektor ja immer in der Geraden drin liegt, darf man diesen (im Gegensatz zum Stützvektor) mit jeder Zahl durchmultiplizieren, also auch mit 4:

x = ( 2 0 0 ) +t ( 9 12 4 )

Gegenseitige Lage zweier Geraden (+Abstände)

Beispiel:

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden

g: x = ( -2 2 4 ) +t ( 8 8 3 ) und h: x = ( -18 -24 -21 ) +t ( -8 -8 -3 )

Berechne ggf. Abstand bzw. Schnittpunkt.

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Die beiden Richtungsvektoren ( 8 8 3 ) und ( -8 -8 -3 ) der Geraden sind linear abhängig (Vielfache voneinander). Wir müssen also prüfen, ob die Geraden parallel oder identisch sind.
Setzen wir daher den Stützvektor der zweiten Geraden ( -18 -24 -21 ) in die erste Gerade ein.

( -18 -24 -21 ) = ( -2 2 4 ) +t ( 8 8 3 )
( -16 -26 -25 ) =t ( 8 8 3 )

Es gibt kein t, welches diese Gleichung erfüllt. Der Stützvektor ( -2 2 4 ) der ersten Geraden liegt also nicht auf der Geraden x = ( -18 -24 -21 ) +t ( -8 -8 -3 ) .
Somit sind die beiden Geraden parallel.

Um den Abstand der parallen Geraden zu berechnen, berechnen wir den Abstand des Aufpunktes von h H (-18|-24|-21) von der Geraden g:

Um den Abstand zwischen Punkt und Gerade zu bestimmen, müssen wir eine Hilfsebene bilden.
Diese Hilfsebene ist orthogonal zu unserer Geraden x = ( -2 2 4 ) +t ( 8 8 3 ) und enthält unseren Punkt P(-18|-24|-21).
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also der Richtungsvektor der Geraden, ( 8 8 3 ) . Die Hilfsebene in der Koordinatenform ist somit 8 x 1 +8 x 2 +3 x 3 = -399
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene.

Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: x = ( -2 2 4 ) +t ( 8 8 3 ) und der Ebene E : 8 x 1 +8 x 2 +3 x 3 = -399 .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden G t ( -2 +8 t | 2 +8 t | 4 +3 t ) in die Ebene ein und lösen nach t auf:

-16 +64t +16 +64t +12 +9t = -399
137t +12 = -399 | -12
137t = -411 |:137
t = -3

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt G t ( -2 +8 t | 2 +8 t | 4 +3 t ) einsetzen.
=> D(-26|-22|-5).

Der gesuchte Abstand zwischen dem Punkt P(-18|-24|-21) und der Geraden x = ( -2 2 4 ) +t ( 8 8 3 ) ist nun der Abstand zwischen dem Punkt P(-18|-24|-21) und dem Durchstoßpunkt D(-26|-22|-5).

Wir berechnen zuerst den Verbindungsvektor zwischen P(-26|-22|-5) und D(-18|-24|-21):
PD = ( -18-( - 26 ) -24-( - 22 ) -21-( - 5 ) ) = ( 8 -2 -16 )
Die Länge dieses Vektors ist dann der Abstand zwischen P und D
d=| PD | = | ( 8 -2 -16 ) | = 8 2 + (-2)2 + (-16) 2 = 324 = 18

Mittelebene zu 2 parallelen Ebenen

Beispiel:

Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E1: 4 x 1 -14 x 2 +14 x 3 = -28 und E2: -2 x 1 +7 x 2 -7 x 3 = 70 . Die Ebene F ist parallel zu E1 und E2 und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F.

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Die Normalenvektoren von E1 und E2 sind linear abhängig, also sind sie parallel. Da auch die Ebene F dazu parallel sein soll, muss auch deren Normalenvektor dazu linear abhängig sein, z.B. n = ( 4 -14 14 ) . Damit fehlt nur noch ein Punkt auf F. Dieser muss von E1 und E2 den gleichen Abstand haben.

Anhand der Skizze erkennt man, dass wegen des Strahlensatzes der Mittelpunkt zwischen zwei beliebigen Punkten von E1 und E2 diese Bedingung erfüllt.

Wir wählen als beliebige Punkte von E1 den Punkt P1(-7|0|0) und von E2 den Punkt P2(-35|0|0). Der Mittelpunkt der beiden ist M. ( -7+( - 35 )2 | 0+02 | 0+02 ) = M(-21|0|0).

Punktprobe mit M in F ergibt für d=4(-21) + (-14)0 + 140 = -84.

Die gesuchte Ebene ist also F: 4 x 1 -14 x 2 +14 x 3 = -84

Orthog. Ebenen zu geg. Schnittgerade

Beispiel:

Die Gerade s: x = ( 5 -3 4 ) +t ( 1 5 -2 ) ist die Schnittgerade zweier orthogonaler Ebenen E und F.

Bestimme mögliche Koordinatengleichungen von E und F.

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Wenn die gegebene Gerade s: x = ( 5 -3 4 ) +t ( 1 5 -2 ) eine Schnittgerade der beiden gesuchten Ebenen E und F sein soll, muss die Gerade ja in beiden Ebenen drin liegen. Also müssen die Normalenvektoren der beiden Ebenen orthogonal zum Richtungsvektor von s ( 1 5 -2 ) sein. Für die erste Ebene E können wir noch einen beliebigen zu ( 1 5 -2 ) orthogonalen Vektor suchen:

z.B. nE = ( 5 -1 0 ) , denn ( 1 5 -2 ) ( 5 -1 0 ) = ( 1 5 -2 ) ( 5 -1 0 ) =15 + 5(-1) + (-2)0 = 5-5+0=0

Jetzt brauchen wir noch einen zweiten Normalenvektor nF , der

  • sowohl orthogonal zum Richtungsvektor ( 1 5 -2 ) (die Gerade liegt ja auch in F)
  • als auch zu nE ist (E und F sollen ja auch orthogonal sein).

Weil beim Vektor ( 5 -1 0 ) in der x3-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor ( 1 5 t ) für jedes t orthogonal zu ( 5 -1 0 ) , denn ( 5 -1 0 ) ( 1 5 t ) =51 + (-1)5 + 0t = 5-5+0=0.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ( 1 5 -2 ) ( 1 5 t ) = -2⋅t +26 = 0 wird, also t=13 = 13.

Der gesuchte Normalenvektor ist also n = ( 1 5 13 )

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: n = ( 1 5 -2 ) × ( 5 -1 0 ) = ( 5 · 0 - ( -2 ) · ( -1 ) -2 · 5 - 1 · 0 1 · ( -1 ) - 5 · 5 ) = ( 0 -2 -10 +0 -1 -25 ) = ( -2 -10 -26 )

Damit wissen wir nun schon die linken Seiten der beiden Ebenen: E: 5 x 1 - x 2 = d und F: x 1 +5 x 2 +13 x 3 = d

Da ja die Gerade s die Schnittgerade von E und F sein soll, muss s und damit auch ihr Aufpunkt AP(5|-3|4) sowohl in E als auch in F liegen.

Punktprobe von AP(5|-3|4) in E: 55 + (-1)(-3) + 04 = 25+3+0=28
Somit wäre E: 5 x 1 - x 2 = 28

Punktprobe von AP(5|-3|4) in F: 15 + 5(-3) + 134 = 5-15+52=42
Somit wäre F: x 1 +5 x 2 +13 x 3 = 42

Natürlich gibt es noch unendlich viele andere richtige Lösungen dieser Aufgabe!

Schnittgerade zweier Ebenen berechnen (LF)

Beispiel:

Berechne die Schnittgerade der beiden Ebenen
E1: 2 x 1 +5 x 2 -2 x 3 = -26 und E2: x 1 -4 x 2 +2 x 3 = 52

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Wir schreiben die beiden Ebenen als LGS untereinander
(1) 2 x 1 +5 x 2 -2 x 3 = -26
(2) x 1 -4 x 2 +2 x 3 = 52

1⋅(1)-2⋅(2)

(1) 2 x 1 +5 x 2 -2 x 3 = -26
(2) +13 x 2 -6 x 3 = -130

setze x3 = t

mit (2) folgt :
13x2 = -130 - (-6)⋅t |:13
x2 = -10 + 6 13 t

eingesetzt in (1):

2x1 +5⋅(-10 + 6 13 t)-2⋅t = -26
2x1 -50 + 30 13 t-2⋅t = -26
2x1 -50 + 4 13 t = -26
2x1 = +24 - 4 13 t
x1 =12 - 2 13 t

x1 = 12 - 2 13 t
x2 = -10 + 6 13 t
x3 = 1t

Die gesuchte Schnittgerade ist also :

x = ( 12 -10 0 ) +t ( - 2 13 6 13 1 )

Weil der Richtungsvektor ja immer in der Geraden drin liegt, darf man diesen (im Gegensatz zum Stützvektor) mit jeder Zahl durchmultiplizieren, also auch mit 13:

x = ( 12 -10 0 ) +t ( -2 6 13 )