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cosh
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Durchstosspunkt zwischen Ebene und Gerade
Beispiel:
Berechne den Durchstoßpunkt der Geraden g: mit der Ebene E: .
Gesucht ist der Durchstoßpunkt zwischen der Geraden g: und der Ebene E :.
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden in die Ebene ein und lösen nach t auf:
= | |||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
einsetzen.
=> D.
Lotfußpunkt einer Ebene zu P
Beispiel:
Bestimme den Lotfußpunkt des Punktes P zur der Ebene E: .
Ein Normalenvektor der Ebene ist: = .
Wir bilden eine Gerade mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor, welche durch unseren Punkt
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt dieser Geraden mit unserer Ebene E: .
Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden in die Ebene ein und lösen nach t auf:
= | |||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt
einsetzen.
=> D.
Dieser Durchstoßpunkt D ist der gesuchte Lotfußpunkt L.
Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade
g: mit der Ebene E:Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt.
Um die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene zu überprüfen, bilden wir das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden.
=0Das Skalarprodukt ist gleich null, das heißt, dass der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zueinander sind; somit ist die Gerade parallel zur Ebene oder eine Teilmenge der Ebene. Um dies zu überprüfen, setzen wir den Aufpunkt der Geraden in die Ebene ein.
≠ -42Die Gleichung ist offensichtlich nicht erfüllt,
also liegt der Aufpunkt der Geraden nicht in der Ebene.
Somit ist die Gerade parallel zur Ebene.
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
= 22
Gegenseitige Lage zweier Ebenen (BF)
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen
E: und F:Berechne ggf. den Abstand.
Für die beiden Normalenvektoren der Ebenen gilt:
Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, daher müssen die beiden Ebenen parallel oder identisch sein.
In diesem Fall sind sie nicht identisch, sondern parallel:
Es gibt keinen Faktor, mit welchem man die Gleichung der einen Ebene auf die Gleichung der anderen Ebene bringen kann.
Um den Abstand der parallelen Ebenen zu berechnen, genügt es den Abstand eines beliebigen Punktes auf F z.B. S1 zur Ebene E zu berechnen:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
= 7
Gegenseitige Lage zweier Ebenen (LF)
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen
E: und F:Berechne ggf. Abstand bzw. Schnittgerade.
Für die beiden Normalenvektoren der Ebenen gilt:
Die Normalenvektoren sind somit linear abhängig, daher müssen die beiden Ebenen parallel oder identisch sein.
In diesem Fall sind sie nicht identisch, sondern parallel:
Es gibt keinen Faktor, mit welchem man die Gleichung der einen Ebene auf die Gleichung der anderen Ebene bringen kann.
Um den Abstand der parallelen Ebenen zu berechnen, genügt es den Abstand eines beliebigen Punktes auf F z.B. S1 zur Ebene E zu berechnen:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
= 9
Gegenseitige Lage zweier Geraden (+Abstände)
Beispiel:
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden
g: und h:Berechne ggf. Abstand bzw. Schnittpunkt.
Die beiden Richtungsvektoren und der Geraden
sind linear abhängig (Vielfache voneinander). Wir müssen also prüfen, ob die Geraden parallel oder identisch sind.
Setzen wir daher den Stützvektor der zweiten Geraden in die erste Gerade ein.
Diese Gleichung ist für t = 3 erfüllt.
Somit sind die beiden Geraden identisch.
Mittelebene zu 2 parallelen Ebenen
Beispiel:
Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen E1: und E2: . Die Ebene F ist parallel zu E1 und E2 und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F.
Die Normalenvektoren von E1 und E2 sind linear abhängig, also sind sie parallel. Da
auch die Ebene F dazu parallel sein soll, muss auch deren Normalenvektor dazu linear abhängig sein, z.B.
=. Damit fehlt nur noch ein Punkt
auf F. Dieser muss von E1 und E2 den gleichen Abstand haben.
Anhand der Skizze erkennt man, dass wegen des Strahlensatzes der Mittelpunkt zwischen zwei beliebigen Punkten von E1 und E2 diese Bedingung erfüllt.
Wir wählen als beliebige Punkte von E1 den Punkt P1 und von E2
den Punkt P2. Der Mittelpunkt der beiden ist
Punktprobe mit M in F ergibt für d= = 2016.
Die gesuchte Ebene ist also F:
Orthog. Ebenen zu geg. Schnittgerade
Beispiel:
Die Gerade s: ist die Schnittgerade zweier orthogonaler Ebenen E und F.
Bestimme mögliche Koordinatengleichungen von E und F.
Wenn die gegebene Gerade s: eine Schnittgerade der beiden gesuchten Ebenen E und F sein soll, muss die Gerade ja in beiden Ebenen drin liegen. Also müssen die Normalenvektoren der beiden Ebenen orthogonal zum Richtungsvektor von s sein. Für die erste Ebene E können wir noch einen beliebigen zu orthogonalen Vektor suchen:
z.B. = , denn ⋅ =
Jetzt brauchen wir noch einen zweiten Normalenvektor , der
- sowohl orthogonal zum Richtungsvektor (die Gerade liegt ja auch in F)
- als auch zu ist (E und F sollen ja auch orthogonal sein).
Weil beim Vektor in der x3-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor für jedes t orthogonal
zu , denn
Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor ⋅ =
-5⋅t
Der gesuchte Normalenvektor ist also = = ⋅
Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können:
Damit wissen wir nun schon die linken Seiten der beiden Ebenen: E: und F:
Da ja die Gerade s die Schnittgerade von E und F sein soll, muss s und damit auch ihr Aufpunkt AP sowohl in E als auch in F liegen.
Punktprobe von AP in E:
Somit wäre E:
Punktprobe von AP in F:
Somit wäre F:
Natürlich gibt es noch unendlich viele andere richtige Lösungen dieser Aufgabe!
Schnittgerade zweier Ebenen berechnen (LF)
Beispiel:
Berechne die Schnittgerade der beiden Ebenen
E1: und E2:

(1)
(2)
1⋅(1)-2⋅(2)
(1)(2)
setze x3 = t
-1x2 = -2 - (-3)⋅t |:-1
x2 = 2
eingesetzt in (1):
2x1 +1⋅(2)+1⋅t = 22x1
2x1
2x1 =
x1 =
x1 =
x2 = 2
x3 =
Die gesuchte Schnittgerade ist also :
Weil der Richtungsvektor ja immer in der Geraden drin liegt, darf man diesen (im Gegensatz zum Stützvektor) mit jeder Zahl durchmultiplizieren, also auch mit 1: