Mathebattle EduRandomtasks

Verschiebung e-Funktion

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 1 nach unten verschoben ist. Es wurde also zu jedem Funktionwert noch zusätzlich -1 addiert. Man erhält somit als Funktionsterm f(x)= $e^{x} - 1$ .

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

Lösung einblenden

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph aber (teilweise) unter der x-Achse liegt. Deswegen spiegeln wir die Original-e-Funktion an der x-Achse und erhalten den blau abgebildeten Graphen der Funktion f₁(x)= $- e^{x}$ .

Jetzt erkennen wir aber, dass der fast waagrecht verlaufende Teil beim gesuchten roten Graphen statt auf der linken auf der rechten Seite ist. Deswegen müssen wir noch an der x-Achse spiegeln und erhalten so den in grün dargestellten Graph der Funktion f₂(x)= $- e^{- x}$ .

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e⁰=1 schneidet. Beim grünen Graph ist dieser Punkt S*(0|-1) gerade genau 1 unter der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(-1|-1) gerade 1 unter der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 1 nach links, bzw. um -1 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - ( - 1 ) ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $- e^{- (x + 1)}$ .

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Beispiel:

Der abgebildete Graph der Funktion g ist durch Verschiebung aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $x^{5}$ hervorgangenen.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g.

Lösung einblenden

Wenn man sich die Originalfunktion f mit $f(x) =$ $x^{5}$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 2 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $x^{5} + 2$

Verschiebung am Graphen

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist in schwarzer Farbe der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} \cdot e^{x}$ abgebildet.
Der rote Graph entsteht durch Verschiebung (um ganzzahlige Werte) und eventueller Spiegelung an den Koordinatenachsen der schwarz abgebildeten Originalfunktion. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Lösung einblenden

Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Hier erkennen wir, dass die zweite Funktion gegenüber der ersten "heruntergeklappt", also an der x-Achse gespiegelt wurde. Eine reine Spiegelung an der x-Achse erreichen wir durch Multiplikation des Funktionsterms mit -1, also g₁(x) = -f(x) = $- 5 x^{2} \cdot e^{x}$ (in blau eingezeichnet).

Wenn wir jetzt den markanten Tiefpunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (0|0) in der Original- und in der gespiegelten Funktion nach (2|-1) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um 2 in x-Richtung und um -1 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=g₁(x -2) + -1 = $- 5 {(x - 2)}^{2} \cdot e^{x - 2} - 1$

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 e^{x} - 1$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ entsteht.

Lösung einblenden

Hinter dem Hauptterm steht noch eine -1. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben verschoben.

Die -5 als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -5 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -5 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -5 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $\sin (x)$ wird um den Faktor $\frac{1}{2}$ in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 1 nach unten verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Die Streckung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten $\frac{1}{2}$ vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - $\frac{1}{2}$ .

Bei der Verschiebung um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert, also ein -1 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 1$

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 {(x - 3)}^{3}$ besitzt eine Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Bestimme diesen ohne Berechnung der Ableitung.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $f(x) =$ $5 {(x - 3)}^{3}$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $g(x) =$ $x^{3}$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -3) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 3 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 3 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 3 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Der Graph der Grundfunktion g mit $g(x) =$ $x^{3}$ hat ja genau einen Sattelpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (3|0).

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten 5 vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Sattelpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 {(x - 3)}^{3}$ besitzt somit einen Sattelpunkt SP(3|0).

Symmetrie nach Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $4 {(x - 5)}^{5} + 4 (x - 5) - 1$ besitzt Symmetrieeigenschaften. Bestimme diese.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $f(x) =$ $4 {(x - 5)}^{5} + 4 (x - 5) - 1$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $g(x) =$ $4 x^{5} + 4 x$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -5) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 5 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 5 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 5 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -1 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $g(x) =$ $4 x^{5} + 4 x$ nur ungerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung O)0|0). Dieser Symmetriepunkt wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (5|-1).

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $4 {(x - 5)}^{5} + 4 (x - 5) - 1$ ist somit punktsymmetrisch zum Punkt (5|-1).

Spiegelung an horizontalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x - 4$ wird an der Geraden y = -3 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

Lösung einblenden

Der Graph der Originalfunktion $f(x) =$ $x^{3} - 2 x - 4$ soll an der Geraden y = -3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um +3 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $x^{3} - 2 x - 4 + 3$ = $x^{3} - 2 x - 1$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = -3 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $- (x^{3} - 2 x - 1)$ = $- x^{3} + 2 x + 1$ .

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um -3 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $- x^{3} + 2 x + 1 - 3$ = $- x^{3} + 2 x - 2$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=-3 ist.

Spiegelung an vertikalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 1 + 5 x^{2} \cdot e^{x}$ wird an der Geraden x = -1 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

Lösung einblenden

Der Graph der Originalfunktion $f(x) =$ $- 1 + 5 x^{2} \cdot e^{x}$ soll an der Geraden x = -1 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= $5 {(- x)}^{2} \cdot e^{- x} - 1$ = $- 1 + 5 x^{2} \cdot e^{- x}$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -1 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 2 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $- 1 + 5 x^{2} \cdot e^{- x}$ das x durch (x +2) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= $5 {(- (x + 2))}^{2} \cdot e^{- (x + 2)} - 1$ = $- 1 + 5 (x \cdot x + 2 x + 2 x + 4) \cdot e^{- x - 2}$ .

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-1 ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Verschiebung e-Funktion

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Verschiebung am Graphen

Verschiebung am Term erkennen

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Symmetrie nach Verschiebung

Spiegelung an horizontalen Geraden

Spiegelung an vertikalen Geraden