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Verschiebung e-Funktion

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir erkennen, dass der schwarze Graph einfach an der y-Achse gespiegelt wurde. Das heißt die Funktionswerte bei x im schwarzen Graph sind die gleichen wie die Funktionswerte bei -x im roten Graph. Wir müssen also im Funktionterm einfach x durch -x ersetzen und erhalten somit als Funktionsterm für den gesuchten roten Graph f(x)= $e^{- x}$ .

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

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Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph aber (teilweise) unter der x-Achse liegt. Deswegen spiegeln wir die Original-e-Funktion an der y-Achse und erhalten den blau abgebildeten Graphen der Funktion f₁(x)= $- e^{x}$ .

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e⁰=1 schneidet. Beim blauen Graph ist dieser Punkt S*(0|-1) gerade genau 1 unter der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(-2|-1) gerade 1 unter der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 2 nach links, bzw. um -2 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - ( - 2 ) ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $- e^{x + 2}$ .

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Beispiel:

Der abgebildete Graph der Funktion g ist durch Verschiebung aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ hervorgangenen.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g.

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Wenn man sich die Originalfunktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 1 nach links, bzw. -1 nach rechts. Somit muss man also x durch (x - ( - 1 )) ersetzen. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $\sqrt{x + 1}$

Verschiebung am Graphen

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist in schwarzer Farbe der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x \cdot e^{x}$ abgebildet.
Der rote Graph entsteht durch Verschiebung (um ganzzahlige Werte) und eventueller Spiegelung an den Koordinatenachsen der schwarz abgebildeten Originalfunktion. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Hier erkennen wir, dass die zweite Funktion gegenüber der ersten "heruntergeklappt", also an der x-Achse gespiegelt wurde. Eine reine Spiegelung an der x-Achse erreichen wir durch Multiplikation des Funktionsterms mit -1, also g₁(x) = -f(x) = $- 5 x \cdot e^{x}$ (in blau eingezeichnet).

Der markante Tiefpunkt verlagert sich durch die Spiegelung von (-1|-1.8) nach (-1|1.8).

Wenn wir jetzt den markanten Tiefpunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (-1|1.8) in der gespiegelten Funktion nach (-2|-1.2) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um -1 in x-Richtung und um -3 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=g₁(x +1) + -3 = $- 5 (x + 1) \cdot e^{x + 1} - 3$

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2}$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $x^{2}$ entsteht.

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Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -4) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 4 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 4 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 4 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die $- \frac{1}{2}$ als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor $- \frac{1}{2}$ multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um $- \frac{1}{2}$ gestreckt. (das negative Vorzeichen von $- \frac{1}{2}$ ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $\cos (x)$ wird um den Faktor 5 in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 4 nach links verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

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Die Streckung um den Faktor 5 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 5 vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - 5.

Bei der Verschiebung um 4 nach links, bzw. -4 nach rechts wird jedes 'x' durch (x +4) ersetzt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x + 4)$

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} + 1$ besitzt eine Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Bestimme diesen ohne Berechnung der Ableitung.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} + 1$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $g(x) =$ $x^{2}$ hervorgeht.

Das 1 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 1 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit $g(x) =$ $x^{2}$ hat ja genau einen Tiefpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (0|1).

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten $\frac{1}{4}$ vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Tiefpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} + 1$ besitzt somit einen Tiefpunkt T(0|1).

Symmetrie nach Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 {(x + 1)}^{4} - 4$ besitzt Symmetrieeigenschaften. Bestimme diese.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $f(x) =$ $- 5 {(x + 1)}^{4} - 4$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 x^{4}$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +1) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 1 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 1 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 1 nach links, bzw. -1 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach unten, bzw. -4 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $g(x) =$ $- 5 x^{4}$ nur gerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse (x=0). Diese Symmetrieachse wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei x = -1.

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 {(x + 1)}^{4} - 4$ ist somit achsensymmetrisch bezüglich der Geraden x = -1.

Spiegelung an horizontalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - x - 3$ wird an der Geraden y = -1 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion $f(x) =$ $x^{3} - x - 3$ soll an der Geraden y = -1 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um +1 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $x^{3} - x - 3 + 1$ = $x^{3} - x - 2$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = -1 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $- (x^{3} - x - 2)$ = $- x^{3} + x + 2$ .

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um -1 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $- x^{3} + x + 2 - 1$ = $- x^{3} + x + 1$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=-1 ist.

Spiegelung an vertikalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x + 2$ wird an der Geraden x = 1 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion $f(x) =$ $x^{3} - 3 x + 2$ soll an der Geraden x = 1 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= ${(- x)}^{3} - 3 (- x) + 2$ = $- x^{3} + 3 x + 2$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = 1 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 2 Einheiten nach rechts verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $- x^{3} + 3 x + 2$ das x durch (x -2) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= ${(- (x - 2))}^{3} - 3 (- (x - 2)) + 2$ = $- {(x - 2)}^{3} + 3 x - 4$ .

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=1 ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Verschiebung e-Funktion

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Verschiebung am Graphen

Verschiebung am Term erkennen

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Symmetrie nach Verschiebung

Spiegelung an horizontalen Geraden

Spiegelung an vertikalen Geraden