nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Verschiebung e-Funktion

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

Lösung einblenden

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir erkennen, dass der schwarze Graph einfach an der y-Achse gespiegelt wurde. Das heißt die Funktionswerte bei x im schwarzen Graph sind die gleichen wie die Funktionswerte bei -x im roten Graph. Wir müssen also im Funktionterm einfach x durch -x ersetzen und erhalten somit als Funktionsterm für den gesuchten roten Graph f(x)= e -x .

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

Lösung einblenden

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Jetzt erkennen wir aber, dass der fast waagrecht verlaufende Teil beim gesuchten roten Graphen statt auf der linken auf der rechten Seite ist. Deswegen müssen wir noch an der x-Achse spiegeln und erhalten so den in grün dargestellten Graph der Funktion f2(x)= e -x .

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 1 nach oben verschoben ist. Wir nähern uns somit mit dem orangen Graphen der Funktion f3(x)= e -x +1 dem roten Graphen auf der richtige 'Höhe' an.

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e0=1 schneidet. Beim orangen Graph ist dieser Punkt S*(0|2) gerade genau 1 über der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(-1|2) gerade 1 über der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 1 nach links, bzw. um -1 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - ( - 1 ) ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= e -( x +1 ) +1 .

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der abgebildete Graph der Funktion g ist durch Verschiebung aus dem Graph von f mit f(x)= x 4 hervorgangenen.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g.

Lösung einblenden

Wenn man sich die Originalfunktion f mit f(x)= x 4 (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= x 4 -1

Verschiebung am Graphen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild rechts ist in schwarzer Farbe der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 · e x abgebildet.
Der rote Graph entsteht durch Verschiebung (um ganzzahlige Werte) und eventueller Spiegelung an den Koordinatenachsen der schwarz abgebildeten Originalfunktion. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

Lösung einblenden

Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Tiefpunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (0|0) in der Originalfunktion nach (1|-1) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um 1 in x-Richtung und um -1 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x -1) + -1 = 3 ( x -1 ) 2 · e x -1 -1

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit g(x)= -4 e x -2 aus dem Graph von f mit f(x)= e x entsteht.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -2) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 2 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 2 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die -4 als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -4 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -4 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -4 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit f(x)= x wird um den Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und um 5 nach links verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor der Potenz.

Bei der Verschiebung um 5 nach links, bzw. -5 nach rechts wird jedes 'x' durch (x +5) ersetzt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: g(x)= 3 x +5

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= ( x +2 ) 2 +2 besitzt eine Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Bestimme diesen ohne Berechnung der Ableitung.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit f(x)= ( x +2 ) 2 +2 durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit g(x)= x 2 hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +2) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 2 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 2 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 2 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 2 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 2 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit g(x)= x 2 hat ja genau einen Tiefpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (-2|2).

Der Graph der Funktion f mit f(x)= ( x +2 ) 2 +2 besitzt somit einen Tiefpunkt T(-2|2).

Symmetrie nach Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - ( x -1 ) 4 - ( x -1 ) 2 -4 besitzt Symmetrieeigenschaften. Bestimme diese.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der Graph von f mit f(x)= - ( x -1 ) 4 - ( x -1 ) 2 -4 durch Verschieben aus dem Graph von g mit g(x)= - x 4 - x 2 hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -1) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 1 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 1 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach unten, bzw. -4 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit g(x)= - x 4 - x 2 nur gerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse (x=0). Diese Symmetrieachse wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei x = 1.

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - ( x -1 ) 4 - ( x -1 ) 2 -4 ist somit achsensymmetrisch bezüglich der Geraden x = 1.

Spiegelung an horizontalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 + x · e x wird an der Geraden y = 1 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der Graph der Originalfunktion f(x)= 3 + x · e x soll an der Geraden y = 1 (rot) gespiegelt werden.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um -1 in y-Richtung und erhalten somit f1(x)= 3 + x · e x -1 = 2 + x · e x (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = 1 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f1(x) (grün) zur x-Achse.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f2(x)= -( 2 + x · e x ) = -2 - x · e x .

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f2(x) wieder um 1 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= -2 - x · e x +1 = -1 - x · e x (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=1 ist.

Spiegelung an vertikalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= x 3 -4x -1 wird an der Geraden x = -2 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der Graph der Originalfunktion f(x)= x 3 -4x -1 soll an der Geraden x = -2 (rot) gespiegelt werden.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f1(x)= ( -x ) 3 -4( -x ) -1 = - x 3 +4x -1
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.




Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f1(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -2 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f1(x) um 4 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f1(x)= - x 3 +4x -1 das x durch (x +4) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= ( -( x +4 ) ) 3 -4( -( x +4 ) ) -1 = - ( x +4 ) 3 +4x +15 .

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-2 ist.