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Verschiebung e-Funktion

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 2 nach unten verschoben ist. Es wurde also zu jedem Funktionwert noch zusätzlich -2 addiert. Man erhält somit als Funktionsterm f(x)= $e^{x} - 2$ .

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

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Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f₀(x)= $e^{x}$ an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 2 nach oben verschoben ist. Wir nähern uns somit mit dem orangen Graphen der Funktion f₃(x)= $e^{x} + 2$ dem roten Graphen auf der richtige 'Höhe' an.

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= $e^{x} + 2$ .

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Beispiel:

Der abgebildete Graph der Funktion g ist durch Verschiebung aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $x^{4}$ hervorgangenen.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g.

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Wenn man sich die Originalfunktion f mit $f(x) =$ $x^{4}$ (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 4 nach rechts. Somit muss man also x durch (x - 4) ersetzen. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= ${(x - 4)}^{4}$

Verschiebung am Graphen

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist in schwarzer Farbe der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x$ abgebildet.
Der rote Graph entsteht durch Verschiebung (um ganzzahlige Werte) und eventueller Spiegelung an den Koordinatenachsen der schwarz abgebildeten Originalfunktion. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Wendepunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (0|0) in der Originalfunktion nach (-2|0) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um -2 in x-Richtung und um 0 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x +2) + 0 = ${(x + 2)}^{3} - 3 (x + 2) + 0$

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $e^{x + 2} + 2$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ entsteht.

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Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x +2) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 2 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 2 kleiner als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Hinter dem Hauptterm steht noch eine 2. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 2 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 2 nach oben verschoben.

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $x^{2}$ wird an der x-Achse gespiegelt und um 1 nach unten verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

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Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - 1.

Bei der Verschiebung um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -1 dazu addiert, also ein -1 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- x^{2} - 1$

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{5} + 2$ besitzt eine Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Bestimme diesen ohne Berechnung der Ableitung.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{5} + 2$ durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit $g(x) =$ $x^{5}$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +1) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 1 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 1 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 1 nach links, bzw. -1 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 2 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 2 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 2 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit $g(x) =$ $x^{5}$ hat ja genau einen Sattelpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (-1|2).

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 1)}^{5} + 2$ besitzt somit einen Sattelpunkt SP(-1|2).

Symmetrie nach Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x + 2)}^{5} + 3 (x + 2) - 3$ besitzt Symmetrieeigenschaften. Bestimme diese.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit $f(x) =$ $- {(x + 2)}^{5} + 3 (x + 2) - 3$ durch Verschieben aus dem Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{5} + 3 x$ hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +2) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 2 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 2 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -3 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -3 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 3 nach unten, bzw. -3 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit $g(x) =$ $- x^{5} + 3 x$ nur ungerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung O)0|0). Dieser Symmetriepunkt wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (-2|-3).

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x + 2)}^{5} + 3 (x + 2) - 3$ ist somit punktsymmetrisch zum Punkt (-2|-3).

Spiegelung an horizontalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x + 4$ wird an der Geraden y = 2 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion $f(x) =$ $x^{3} - 4 x + 4$ soll an der Geraden y = 2 (rot) gespiegelt werden.

Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um -2 in y-Richtung und erhalten somit f₁(x)= $x^{3} - 4 x + 4 - 2$ = $x^{3} - 4 x + 2$ (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = 2 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f₁(x) (grün) zur x-Achse.

Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f₂(x)= $- (x^{3} - 4 x + 2)$ = $- x^{3} + 4 x - 2$ .

Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f₂(x) wieder um 2 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= $- x^{3} + 4 x - 2 + 2$ = $- x^{3} + 4 x$ (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=2 ist.

Spiegelung an vertikalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x - 1$ wird an der Geraden x = -3 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion $f(x) =$ $x^{3} - 2 x - 1$ soll an der Geraden x = -3 (rot) gespiegelt werden.

Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f₁(x)= ${(- x)}^{3} - 2 (- x) - 1$ = $- x^{3} + 2 x - 1$
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.

Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f₁(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -3 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f₁(x) um 6 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f₁(x)= $- x^{3} + 2 x - 1$ das x durch (x +6) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= ${(- (x + 6))}^{3} - 2 (- (x + 6)) - 1$ = $- {(x + 6)}^{3} + 2 x + 11$ .

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-3 ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Verschiebung e-Funktion

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Verschiebung am Graphen

Verschiebung am Term erkennen

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Symmetrie nach Verschiebung

Spiegelung an horizontalen Geraden

Spiegelung an vertikalen Geraden