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Verschiebung e-Funktion

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

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Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph an der x-Achse gespiegelt wurde. Das heißt, dass alle Funktionswerte vom Betrag her gleich sind wie die der Original-e-Funktion, aber eben mit negativem Vorzeichen. Wir erhalten also als Funktionsterm des rot abgebildeten Graphen f(x)= - e x .

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

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Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph aber (teilweise) unter der x-Achse liegt. Deswegen spiegeln wir die Original-e-Funktion an der y-Achse und erhalten den blau abgebildeten Graphen der Funktion f1(x)= - e x .

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e0=1 schneidet. Beim blauen Graph ist dieser Punkt S*(0|-1) gerade genau 1 unter der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(-1|-1) gerade 1 unter der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 1 nach links, bzw. um -1 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - ( - 1 ) ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= - e x +1 .

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Beispiel:

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Der abgebildete Graph der Funktion g ist durch Verschiebung aus dem Graph von f mit f(x)= e x hervorgangenen.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g.

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Wenn man sich die Originalfunktion f mit f(x)= e x (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 3 nach unten, bzw. -3 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= e x -3

Verschiebung am Graphen

Beispiel:

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Im Schaubild rechts ist in schwarzer Farbe der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 5 x 3 abgebildet.
Der rote Graph entsteht durch Verschiebung (um ganzzahlige Werte) und eventueller Spiegelung an den Koordinatenachsen der schwarz abgebildeten Originalfunktion. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Hier erkennen wir, dass die zweite Funktion gegenüber der ersten "heruntergeklappt", also an der x-Achse gespiegelt wurde. Eine reine Spiegelung an der x-Achse erreichen wir durch Multiplikation des Funktionsterms mit -1, also g1(x) = -f(x) = - 1 5 x 3 (in blau eingezeichnet).

Wenn wir jetzt den markanten Scheitel betrachten, so erkennen wir dass dieser von (0|0) in der Original- und in der gespiegelten Funktion nach (0|1) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um 0 in x-Richtung und um 1 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=g1(x -0) + 1 = - 1 5 ( x ) 3 +1

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit g(x)= x +2 +3 aus dem Graph von f mit f(x)= x entsteht.

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Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x +2) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 2 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 2 kleiner als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 2 nach links, bzw. -2 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Hinter dem Hauptterm steht noch eine 3. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 3 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 3 nach oben verschoben.

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit f(x)= x 2 wird um 2 nach oben verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

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Bei der Verschiebung um 2 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch 2 dazu addiert, also ein 2 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: g(x)= x 2 +2

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= ( x +1 ) 2 -3 besitzt eine Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Bestimme diesen ohne Berechnung der Ableitung.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit f(x)= ( x +1 ) 2 -3 durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit g(x)= x 2 hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +1) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 1 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 1 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 1 nach links, bzw. -1 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das -3 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -3 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 3 nach unten, bzw. -3 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit g(x)= x 2 hat ja genau einen Tiefpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (-1|-3).

Der Graph der Funktion f mit f(x)= ( x +1 ) 2 -3 besitzt somit einen Tiefpunkt T(-1|-3).

Symmetrie nach Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 ( x -3 ) 5 +2( x -3 ) +4 besitzt Symmetrieeigenschaften. Bestimme diese.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit f(x)= 1 2 ( x -3 ) 5 +2( x -3 ) +4 durch Verschieben aus dem Graph von g mit g(x)= 1 2 x 5 +2x hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x -3) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 3 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 3 größer als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 3 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit g(x)= 1 2 x 5 +2x nur ungerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung O)0|0). Dieser Symmetriepunkt wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (3|4).

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 ( x -3 ) 5 +2( x -3 ) +4 ist somit punktsymmetrisch zum Punkt (3|4).

Spiegelung an horizontalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= -1 +2 x 2 · e x wird an der Geraden y = -3 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion f(x)= -1 +2 x 2 · e x soll an der Geraden y = -3 (rot) gespiegelt werden.

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Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um +3 in y-Richtung und erhalten somit f1(x)= -1 +2 x 2 · e x +3 = 2 +2 x 2 · e x (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = -3 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f1(x) (grün) zur x-Achse.

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Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f2(x)= -( 2 +2 x 2 · e x ) = -2 -2 x 2 · e x .

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Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f2(x) wieder um -3 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= -2 -2 x 2 · e x -3 = -5 -2 x 2 · e x (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=-3 ist.

Spiegelung an vertikalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 2 +2 x · e x wird an der Geraden x = -3 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion f(x)= 2 +2 x · e x soll an der Geraden x = -3 (rot) gespiegelt werden.

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Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f1(x)= 2( -x ) · e -x +2 = 2 -2 x · e -x
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.




Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f1(x) von der gesuchten Spiegelung an x = -3 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

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Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f1(x) um 6 Einheiten nach links verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f1(x)= 2 -2 x · e -x das x durch (x +6) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= 2( -( x +6 ) ) · e -( x +6 ) +2 = 2 -2 ( x +6 ) · e -x -6 .

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=-3 ist.