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Verschiebung e-Funktion

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

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Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 2 nach oben verschoben ist. Es wurde also zu jedem Funktionwert noch zusätzlich 2 addiert. Man erhält somit als Funktionsterm f(x)= e x +2 .

Verschiebung e-Funktion (schwer)

Beispiel:

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Im Schaubild sieht man den verschobenen und/oder gespiegelten Graph der natürlichen Exponential-Funktion.

Bestimme den Funktionsterm.

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Als erstes schauen wir uns die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= e x an (im Schaubind in schwarzer Farbe eingezeichnet).

Wir sehen, dass der gesuchte rote Graph aber (teilweise) unter der x-Achse liegt. Deswegen spiegeln wir die Original-e-Funktion an der y-Achse und erhalten den blau abgebildeten Graphen der Funktion f1(x)= - e x .

Jetzt erkennen wir aber, dass der fast waagrecht verlaufende Teil beim gesuchten roten Graphen statt auf der linken auf der rechten Seite ist. Deswegen müssen wir noch an der x-Achse spiegeln und erhalten so den in grün dargestellten Graph der Funktion f2(x)= - e -x .

Man erkennt nun (v.a. wieder am fast waagrecht verlaufenden Teil), dass der gesuchte rote Graph um 2 nach unten verschoben ist. Wir nähern uns somit mit dem orangen Graphen der Funktion f3(x)= - e -x -2 dem roten Graphen auf der richtige 'Höhe' an.

Zum Schluss versuchen wir noch die Verschiebung in x-Richtung zu erkennen. Dazu nutzen wir die Kenntnis, dass die Original-e-Funktion die y-Achse bei y=e0=1 schneidet. Beim orangen Graph ist dieser Punkt S*(0|-3) gerade genau 1 unter der waagrechten Asymptote (der fast waagrechte Teil). Beim gesuchten roten Graph ist dieser Punkt S**(-3|-3) gerade 1 unter der waagrechten Asymptote. Der Graph wurde also um 3 nach links, bzw. um -3 nach rechts verschoben.
Im Funktionsterm müssen wir also jedes x durch x - ( - 3 ) ersetzen:

Dadurch erhalten wir als gesuchten Funktionsterm:
f(x)= - e -( x +3 ) -2 .

Verschiebung am Graph erkennen (einfach)

Beispiel:

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Der abgebildete Graph der Funktion g ist durch Verschiebung aus dem Graph von f mit f(x)= x 3 hervorgangenen.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g.

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Wenn man sich die Originalfunktion f mit f(x)= x 3 (in schwarz eingezeichnet) einigermaßen vorstellen kann, erkennt man schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 1 nach unten, bzw. -1 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= x 3 -1

Verschiebung am Graphen

Beispiel:

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Im Schaubild rechts ist in schwarzer Farbe der Graph der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 · e x abgebildet.
Der rote Graph entsteht durch Verschiebung (um ganzzahlige Werte) und eventueller Spiegelung an den Koordinatenachsen der schwarz abgebildeten Originalfunktion. Bestimme den zugehörigen Funktionsterm.

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Als erstes untersuchen wir, ob der zweite (rot eingezeichnete) Graph an einer Koordinatenachse gespiegelt wurde oder nur verschoben:
Wir erkennen, dass der zweite Graph nirgends gespiegelt, sondern nur verschoben wurde.

Wenn wir jetzt den markanten Tiefpunkt betrachten, so erkennen wir dass dieser von (0|0) in der Originalfunktion nach (-3|-1) verschoben wurde, wir erkennen also eine Verschiebung um -3 in x-Richtung und um -1 in y-Richtung.

Der neue Funktionsterm ist folglich: g(x)=f(x +3) + -1 = 3 ( x +3 ) 2 · e x +3 -1

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit g(x)= -2 e x -5 aus dem Graph von f mit f(x)= e x entsteht.

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Hinter dem Hauptterm steht noch eine -5. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch -5 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 5 nach unten, bzw. -5 nach oben verschoben.

Die -2 als Koeffizient vor dem Hauptterm bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -2 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -2 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -2 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit f(x)= 1 x wird um 3 nach rechts verschoben und um 5 nach unten verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

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Bei der Verschiebung um 3 nach rechts wird jedes 'x' durch (x -3) ersetzt.

Bei der Verschiebung um 5 nach unten, bzw. -5 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch -5 dazu addiert, also ein -5 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: g(x)= 1 x -3 -5

Extrempunkte (+WP) über Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 4 ( x +3 ) 2 +1 besitzt eine Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Bestimme diesen ohne Berechnung der Ableitung.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit f(x)= - 1 4 ( x +3 ) 2 +1 durch Verschieben und Strecken aus dem Graph von g mit g(x)= x 2 hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +3) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 3 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 3 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 3 nach links, bzw. -3 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 1 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 1 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 1 nach oben verschoben.

Der Graph der Grundfunktion g mit g(x)= x 2 hat ja genau einen Tiefpunkt, und zwar im Ursprung O(0|0). Dieser wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (-3|1).

Das negative Vorzeichen im Koeffizienten - 1 4 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit eine Spiegelung an der x-Achse.

Dadurch wird aus dem Tiefpunkt von g(x)= x 2 eine Hochpunkt.

(Die Streckung (bzw. Stauchung) des Graphen durch den Koeffizienten - 1 4 vor der Potenz ändert an der Art und Lage des Tiefpunkt nichts.)

Der Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 4 ( x +3 ) 2 +1 besitzt somit einen Hochpunkt H(-3|1).

Symmetrie nach Verschiebung

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 4 ( x +3 ) 3 +5( x +3 ) +4 besitzt Symmetrieeigenschaften. Bestimme diese.

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Man kann erkennen, dass der Graph von f mit f(x)= 1 4 ( x +3 ) 3 +5( x +3 ) +4 durch Verschieben aus dem Graph von g mit g(x)= 1 4 x 3 +5x hervorgeht.

Da das 'x' aus g(x) in f(x) durch (x +3) ersetzt wurde, werden in f die Funktionswerte von g von den um 3 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei f um 3 kleiner als bei g) Für den Graph bedeutet das, dass er um 3 nach links, bzw. -3 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Das 4 hinter dem Potenzterm bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 4 dazu addiert wird. Also wird der Graph von f um 4 nach oben verschoben.

Da bei der Grundfunktion g mit g(x)= 1 4 x 3 +5x nur ungerade Potenzen vorkommen, ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung O)0|0). Dieser Symmetriepunkt wird natürlich mit verschoben und ist somit beim Graph von f bei (-3|4).

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 4 ( x +3 ) 3 +5( x +3 ) +4 ist somit punktsymmetrisch zum Punkt (-3|4).

Spiegelung an horizontalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 4 x · e x wird an der Geraden y = 2 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion f(x)= 4 x · e x soll an der Geraden y = 2 (rot) gespiegelt werden.

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Dazu verschieben wir die Funktion als erstes um -2 in y-Richtung und erhalten somit f1(x)= 4 x · e x -2 = -2 +4 x · e x (grün).

Dabei erkennen wir, dass die Lage von der (schwarzen) Orginalfunktion zur Geraden y = 2 (rot) genau gleich ist wie die Lage der neuen verschobenen Funktion f1(x) (grün) zur x-Achse.

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Diese verschobene (grüne) Funktion spiegeln wir nun an der x-Achse. Dabei drehen wir einfach das Vorzeichen des gesamten Funktionsterm um und erhalten so den orangen Graph von f2(x)= -( -2 +4 x · e x ) = 2 -4 x · e x .

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Zum Schluss müssen wir die Verschiebung vom ersten Schritt wieder Rückgängig machen und den gespiegelten orangen Graph von f2(x) wieder um 2 in y-Richtung verschieben. Dabei erhalten wir den gesuchten Graph mit dem Funktionsterm
g(x)= 2 -4 x · e x +2 = 4 -4 x · e x (blau).

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden y=2 ist.

Spiegelung an vertikalen Geraden

Beispiel:

Der Graph der Funktion f mit f(x)= 2 +4 x 2 · e x wird an der Geraden x = 2 gespiegelt.
Bestimme den Funktionsterm des gespiegelten Graphen.

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Der Graph der Originalfunktion f(x)= 2 +4 x 2 · e x soll an der Geraden x = 2 (rot) gespiegelt werden.

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Dazu spiegeln wir die Funktion erst mal an der y-Achse, indem wir im gesamten Funktionsterm -x statt x einsetzen. So erhalten wir den Funktionsterm
f1(x)= 4 ( -x ) 2 · e -x +2 = 2 +4 x 2 · e -x
dessen Graph im Schubild rechts in grün eingezeichnet ist.




Hier erkennt man jetzt, dass der Abstand des aktuell gespiegelten Graphs von f1(x) von der gesuchten Spiegelung an x = 2 gerade der doppelte Abstand ist wie der zwischen Spiegelachse und y-Achse.

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Wir müssen also den an der y-Achse gespiegelten Graph von f1(x) um 4 Einheiten nach rechts verschieben. Dazu müssen wir überall im Term von f1(x)= 2 +4 x 2 · e -x das x durch (x -4) ersetzen und erhalten so den Term :
Graph von g(x)= 4 ( -( x -4 ) ) 2 · e -( x -4 ) +2 = 2 +4 ( x · x -4x -4x +16 ) · e -x +4 .

Man erkennt am Schaubild, dass der Graph von g tatsächlich das Spiegelbild des Graphen von f an der Geraden x=2 ist.