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Koordinatenebene zeichnen

Beispiel:

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Zeichne eine Darstellung der gegebenen Ebene in das nebenstehende Koordinatensystem

$4 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} = 12$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf die Koordinatenachsen klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt.

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Um eine Ebene zu zeichnen, sollten zuerst die Spurpunkte bestimmt werden. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} = 12$ ein.

S₁:

$4 \cdot x + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 12$

=> x=

\frac{12}{4}

=3, also S₁(3|0|0)
S₂:

$4 \cdot 0 + 3 \cdot y + 2 \cdot 0 = 12$

=> y=

\frac{12}{3}

=4, also S₂(0|4|0)
S₃:

$4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot z = 12$

=> z=

\frac{12}{2}

=6, also S₃(0|0|6)

Man zeichnet nun die drei Spurpunkte ein und verbindet diese durch gerade Strecken. Das entstehende Dreieck visualisiert die gesuchte Ebene.

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene E.

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Aus der Zeichung kann man die drei Spurpunkte S₁ $(2 | 0 | 0)$ , S₂ $(0 | 2 | 0)$ und S₃ $(0 | 0 | 2)$ ablesen.

Wir setzen nun einfach die Spurpunkte in die allgemeine Koordinatengleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ein (Punktprobe).

S₁: a⋅2 + 0 + 0 = d => a = $\frac{d}{2}$

S₂: 0 + b⋅2 + 0 = d => b = $\frac{d}{2}$

S₃: 0 + 0 + c⋅2 = d => c = $\frac{d}{2}$

Wir wählen als d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also d= 2, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden:

a = 1, b = 1, c = 1 .

Die Koordinatenebene lautet also: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2$ .

(Man hätte für d auch einen anderen Wert nehmen können, dann wäre eben auf beiden Seiten der Ebenengleichung ein Vielfaches der jetzigen Version gestanden. Die Gleichungen wären aber äquivalent, die Ebenen also gleich)

bestimmte parallele Ebene finden

Beispiel:

Eine Ebene F ist echt parallel zur Ebene E: $4 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} = 12$ (also nicht identisch).

Das Dreieck D_F, das aus den Spurpunkten der Ebene F besteht, hat den gleichen Flächeninhalt wie das Dreieck D_E, das aus den Spurpunkten der Ebene E besteht.

Bestimme eine mögliche Koordinatengleichung von F.

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Die einzige parallele Ebene, bei der das Dreieck aus den Spurpunkten (und damit auch die zugehörige Pyramide mit dem Ursprung als Spitze) gleich ist wie bei der Ebene E, ist eine am Ursprung gespiegelte Ebene. Das heißt das jeder Spurpunkt von F gerade die negativen Koordinaten des entsprechenden Spurpunkts von E hat.

Wir berechnen nun exemplarisch den Spurpunkt S₁ der Ebene E:
4⋅ x₁ + 0 + 0 = 12 ergibt
x₁= $\frac{12}{4}$

Der entsprechende x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F müsste jetzt ja um den Faktor -1 verändert werden.

Da aber die E und F parallel sind, übernimmt man bei F am besten den Normalenvektor und damit die Koeffizienten auf der linken Seite von der Ebene E.

Für den x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F heißt das, dass der Nenner gleich bleibt und der Zähler um den Faktor -1 verändert werden muss - also das Absolutglied auf der rechten Seite der Ebenengleichung (hier die 12).

Somit ergibt sich als Ebenengleichung für F: $4 x_{1} + 3 x_{2} + 2 x_{3} = -12$

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Koordinatenebene zeichnen

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

bestimmte parallele Ebene finden