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Koordinatenebene zeichnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Zeichne eine Darstellung der gegebenen Ebene in das nebenstehende Koordinatensystem

3 x 1 +3 x 3 = 6

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf die Koordinatenachsen klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt.

Lösung einblenden

Um eine Ebene zu zeichnen, sollten zuerst die Spurpunkte bestimmt werden. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S1(x|0|0), S2(0|y|0)und ,S3(0|0|z) in die Koordinatengleichung 3 x 1 +3 x 3 = 6 ein.

S1:

3 x +3 0 = 6

=> x= 6 3 =2, also S1(2|0|0)
S2:

3 0 +3 0 = 6

=> 0=6, es gibt also keinen Spurpunkt S2
S3:

3 0 +3 z = 6

=> z= 6 3 =2, also S3(0|0|2)

Man verbindet die beiden Spurpunkte. Da die x2-Achse jedoch keinen Spurpunkt besitzt, muss die Ebene parallel zur x2-Achse liegen. Dies kann man einfach durch zwei Parallelen zur x2-Achse durch die beiden Spurpunkte visualiseren.
(Man klickt also einfach in Richtung einer dieser Parallelen.)

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Bestimme eine Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene E.

Lösung einblenden

Aus der Zeichung kann man die drei Spurpunkte S1(6|0|0), S2(0|3|0) und S3(0|0|4) ablesen.

Wir setzen nun einfach die Spurpunkte in die allgemeine Koordinatengleichung ax1 + bx2 + cx3 = d ein (Punktprobe).

S1: a⋅6 + 0 + 0 = d => a = d 6

S2: 0 + b⋅3 + 0 = d => b = d 3

S3: 0 + 0 + c⋅4 = d => c = d 4

Wir wählen als d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also d= 12, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden:

a = 2, b = 4, c = 3 .

Die Koordinatenebene lautet also: 2 x 1 +4 x 2 +3 x 3 = 12 .


(Man hätte für d auch einen anderen Wert nehmen können, dann wäre eben auf beiden Seiten der Ebenengleichung ein Vielfaches der jetzigen Version gestanden. Die Gleichungen wären aber äquivalent, die Ebenen also gleich)

bestimmte parallele Ebene finden

Beispiel:

Eine Ebene F ist echt parallel zur Ebene E: 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 12 (also nicht identisch).

Das Dreieck DF, das aus den Spurpunkten der Ebene F besteht, hat den 25-fachen Flächeninhalt des Dreiecks DE, das aus den Spurpunkten der Ebene E besteht.

Bestimme eine mögliche Koordinatengleichung von F.

Lösung einblenden

An der Skizze kann man gut erkennen, dass die beiden Verbindungen von zwei Spurpunkten bei parallelen Ebenen wieder parallel sind. Somit sind auch die Winkel in den drei Seitenflächen der Pyramiden gleich und damit die drei Seitenflächen ähnlich. Das heißt die eine Pyramide kann durch eine zentrische Streckung der anderen Pyramide erzeugt werden.
Damit sind auch die (aus den Spurpunkten bestehenden) Grundflächen zueinander ähnlich.

Wenn der Streckfaktor auf den Achsen k ist, dann werden alle Kanten der Pyramiden um den Faktor k größer. Die Inhalt der Grundfläche, also des Dreiecks der 3 Spurpunkte erhöht sich somit um den Faktor k², da A' = 1 2 |k⋅ S1S2 x k⋅ S2S3 | = 1 2 k²| S1S2 x S2S3 | = k²⋅A .

Für den um den Faktor 25 veränderten Flächeninhalt müssen somit die Spurpunkte um den Faktor 5 verändert worden sein.

Wir berechnen nun exemplarisch den Spurpunkt S1 der Ebene E:
4⋅ x1 + 0 + 0 = 12 ergibt
x1= 12 4

Der entsprechende x1-Wert des Spurpunkts S1 von F müsste jetzt ja um den Faktor 5 verändert werden.

Da aber die E und F parallel sind, übernimmt man bei F am besten den Normalenvektor und damit die Koeffizienten auf der linken Seite von der Ebene E.

Für den x1-Wert des Spurpunkts S1 von F heißt das, dass der Nenner gleich bleibt und der Zähler um den Faktor 5 verändert werden muss - also das Absolutglied auf der rechten Seite der Ebenengleichung (hier die 12).

Somit ergibt sich als Ebenengleichung für F: 4 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = 60