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Koordinatenebene zeichnen

Beispiel:

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Zeichne eine Darstellung der gegebenen Ebene in das nebenstehene Koordinatensystem

$3 x_{1} + 4 x_{2} = 12$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf die Koordinatenachsen klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt.

Lösung einblenden

Um eine Ebene zu zeichnen, sollten zuerst die Spurpunkte bestimmt werden. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3 x_{1} + 4 x_{2} = 12$ ein.

S₁:

$3 \cdot x + 4 \cdot 0 = 12$

=> x=

\frac{12}{3}

=4, also S₁(4|0|0)
S₂:

$3 \cdot 0 + 4 \cdot y = 12$

=> y=

\frac{12}{4}

=3, also S₂(0|3|0)
S₃:

$3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 12$

=> 0=12, es gibt also keine Spurpunkt S₃

Man verbindet die beiden Spurpunkte. Da die x₃-Achse jedoch keinen Spurpunkt besitzt, muss die Ebene paralell zur x₃-Achse liegen. Dies kann man einfach durch zwei Parallelen zur x₃-Achse durch die beiden Spurpunkte visualiseren.

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene E.

Lösung einblenden

Aus der Zeichung kann man die drei Spurpunkte S₁ $(2 | 0 | 0)$ , S₂ $(0 | 3 | 0)$ und S₃ $(0 | 0 | 3)$ ablesen.

Wir setzen nun einfach die Spurpunkte in die allgemeine Koordinatengleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ein (Punktprobe).

S₁: a⋅2 + 0 + 0 = d => a = $\frac{d}{2}$

S₂: 0 + b⋅3 + 0 = d => b = $\frac{d}{3}$

S₃: 0 + 0 + c⋅3 = d => c = $\frac{d}{3}$

Wir wählen als d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also d= 6, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden:

a = 3, b = 2, c = 2 .

Die Koordinatenebene lautet also: $3 x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 6$ .

(Man hätte für d auch einen anderen Wert nehmen können, dann wäre eben auf beiden Seiten der Ebenengleichung ein Vielfaches der jetzigen Version gestanden. Die Gleichungen wären aber äquivalent, die Ebenen also gleich)