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Ebene in Koordinatenform zeichnen

Beispiel:

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Zeichne eine Darstellung der gegebenen Ebene in das nebenstehende Koordinatensystem

$3 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 6$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf die Koordinatenachsen klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt.

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Um eine Ebene zu zeichnen, sollten zuerst die Spurpunkte bestimmt werden. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0)und ,S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 6$ ein.

S₁:

$3 \cdot x + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 6$

=> x=

\frac{6}{3}

=2, also S₁(2|0|0)
S₂:

$3 \cdot 0 + 2 \cdot y + 3 \cdot 0 = 6$

=> y=

\frac{6}{2}

=3, also S₂(0|3|0)
S₃:

$3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot z = 6$

=> z=

\frac{6}{3}

=2, also S₃(0|0|2)

Man zeichnet nun die drei Spurpunkte ein und verbindet diese durch gerade Strecken. Das entstehende Dreieck visualisiert die gesuchte Ebene.

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der abgebildeten Ebene E.

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Aus der Zeichung kann man die beiden Spurpunkte S₂ $(0 | 2 | 0)$ und S₃ $(0 | 0 | 2)$ ablesen. Es gibt aber keinen Spurpunkt S₁, also keinen Schnittpunkt der Ebene mit der x₁-Achse. Das ist nur möglich, wenn der Koeffizeint vor dem x₁ fehlt, also m = 0 ist.

Wir setzen nun einfach die Spurpunkte in die allgemeine Koordinatengleichung ax₁ + bx₂ + cx₃ = d ein (Punktprobe).

S₂: 0 + b⋅2 + 0 = d => b = $\frac{d}{2}$

S₃: 0 + 0 + c⋅2 = d => c = $\frac{d}{2}$

Wir wählen als d das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also d= 2, so dass alle Koeffizienten ganzzahlig werden:

a = 0, b = 1, c = 1 .

Die Koordinatengleichung lautet also: $+ x_{2} + x_{3} = 2$ .

(Man hätte für d auch einen anderen Wert nehmen können, dann wäre eben auf beiden Seiten der Ebenengleichung ein Vielfaches der jetzigen Version gestanden. Die Gleichungen wären aber äquivalent, die Ebenen also gleich)

bestimmte parallele Ebene finden

Beispiel:

Eine Ebene F ist echt parallel zur Ebene E: $4 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 32$ (also nicht identisch).

Der Abstand zwischen zwei Spurpunkten der Ebene F ist 0.25-mal so groß wie der Abstand zwischen zwei Spurpunkten der Ebene E.

Bestimme eine mögliche Koordinatengleichung von F.

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An der Skizze kann man gut erkennen, dass die beiden Verbindungen von zwei Spurpunkten bei parallelen Ebenen wieder parallel sind. Somit sind auch die Winkel in den drei Seitenflächen der Pyramiden gleich und damit die drei Seitenflächen ähnlich. Das heißt die eine Pyramide kann durch eine zentrische Streckung der anderen Pyramide erzeugt werden.
Damit sind auch die (aus den Spurpunkten bestehenden) Grundflächen zueinander ähnlich.

Wenn sich der Abstand zwischen zwei Spurpunkten um den Faktor 0.25 ändert, muss sich also auch der Abstand eines Spurpunkts vom Ursprung und den Faktor 0.25 ändern.

Wir berechnen nun exemplarisch den Spurpunkt S₁ der Ebene E:
4⋅ x₁ + 0 + 0 = 32 ergibt
x₁= $\frac{32}{4}$

Der entsprechende x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F müsste jetzt ja um den Faktor 0.25 verändert werden.

Da aber die E und F parallel sind, übernimmt man bei F am besten den Normalenvektor und damit die Koeffizienten auf der linken Seite von der Ebene E.

Für den x₁-Wert des Spurpunkts S₁ von F heißt das, dass der Nenner gleich bleibt und der Zähler um den Faktor 0.25 verändert werden muss - also das Absolutglied auf der rechten Seite der Ebenengleichung (hier die 32).

Somit ergibt sich als Ebenengleichung für F: $4 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 8$

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Ebene in Koordinatenform zeichnen

Ebenengleichung einer gezeichneten Ebene

bestimmte parallele Ebene finden