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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 3 beschriftet sind, zwei Kugeln, die mit der Zahl 4 beschriftet sind und drei Kugeln, die mit der Zahl 7 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größeren Zahl und der kleineren (oder gleich großen) Zahl der beiden gezogenen Kugeln. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	0	1	3	4
zugehörige Ereignisse	3 - 3 4 - 4 7 - 7	3 - 4 4 - 3	4 - 7 7 - 4	3 - 7 7 - 3

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Eine (faire) Münze wird 3 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen "Zahl" erscheint. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl von Zahl-Würfen' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Ergebnisse	0 - 0 - 0	0 - 0 - 1 0 - 1 - 0 1 - 0 - 0	0 - 1 - 1 1 - 0 - 1 1 - 1 - 0	1 - 1 - 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
=	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
P(X=k)	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch zwei Karten mit dem Wert 4, zwei Karten mit dem Wert 7 und vier 8er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 3	X = 4
zugehörige Ergebnisse	4 - 4 7 - 7 8 - 8	7 - 8 8 - 7	4 - 7 7 - 4	4 - 8 8 - 4

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 3	X = 4
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{4}{7}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ + $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{2}{7}$	$\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{4}{7}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{7}$
=	$\frac{1}{28}$ + $\frac{1}{28}$ + $\frac{3}{14}$	$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$	$\frac{1}{14}$ + $\frac{1}{14}$	$\frac{1}{7}$ + $\frac{1}{7}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	3	4
P(X=k)	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$	$\frac{2}{7}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3
P(X=k)	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei das Produkt der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?

Zufallsgröße X	1	2	3	4	6	9
P(X=k)	$\frac{361}{1296}$	?	?	?	?	$\frac{1}{9}$

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = $\frac{361}{1296}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{361}{1296}$ und somit p1 = $\frac{19}{36}$ .

Ebenso gibt es für X=9 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=9) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=9) = $\frac{1}{9}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{9}$ und somit p3 = $\frac{1}{3}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{19}{36}$ $- \frac{1}{3}$ = $\frac{36}{36}$ $- \frac{19}{36}$ $- \frac{12}{36}$ = $\frac{5}{36}$

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = $\frac{α}{360°}$

Somit erhalten wir:

α₁ = $\frac{19}{36}$ ⋅ 360° = 190°

α₂ = $\frac{5}{36}$ ⋅ 360° = 50°

α₃ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 360° = 120°

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf einmal Würfeln. Bei einer 6 bekommt er 36€, bei einer 5 bekommt er 18€, bei einer 4 bekommt er 12€. Würfelt er eine 1, 2 oder 3 so bekommt er 4€. Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist (also so, dass der Einsatz gleich dem Erwartungswert der Auszahlung ist)?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Auszahlungsbetrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	4	12	18	36
P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$2$	$2$	$3$	$6$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 4⋅ $\frac{1}{2}$ + 12⋅ $\frac{1}{6}$ + 18⋅ $\frac{1}{6}$ + 36⋅ $\frac{1}{6}$

= $2$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $6$
= $13$

Wenn der Erwartungswert für die Auszahlung $13$ € ist, muss somit auch der Einsatz $13$ € betragen, damit das Spiel fair ist.

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bei einem Glücksrad wie rechts abgebildet soll das noch fehlende Feld mit einem Betrag so bestückt werden, dass das Spiel bei einem Einsatz von 22,5€ fair ist.

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	2	8	16	?
Zufallsgröße x_i	2	8	16	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-20.5	-14.5	-6.5	x-22.5
P(X=x_i)	$\frac{2}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{2}{8}$	$\frac{2}{8}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$2$	$4$	$\frac{2}{8}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{41}{8}$	$- \frac{29}{8}$	$- \frac{13}{8}$	$\frac{2}{8}$ ⋅(x-22.5)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 22.5

$\frac{2}{8} \cdot 2 + \frac{2}{8} \cdot 8 + \frac{2}{8} \cdot 16 + \frac{2}{8} x$ = 22.5

\frac{1}{2} + 2 + 4 + \frac{2}{8} x

= 22.5

$\frac{1}{2} + 2 + 4 + \frac{1}{4} x$	=	$22,5$
$\frac{1}{4} x + \frac{13}{2}$	=	$22,5$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + \frac{13}{2})$	=	$90$
$x + 26$	=	$90$	\| $- 26$
$x$	=	$64$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{2}{8} \cdot (- 20,5) + \frac{2}{8} \cdot (- 14,5) + \frac{2}{8} \cdot (- 6,5) + \frac{2}{8} (x - 22,5)

= 0

- \frac{20,5}{4} - \frac{14,5}{4} - \frac{6,5}{4} + \frac{1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot (- 22,5)

= 0

$- \frac{20,5}{4} - \frac{14,5}{4} - \frac{6,5}{4} + \frac{1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot (- 22,5)$	=	0
$- 5,125 - 3,625 - 1,625 + \frac{1}{4} x - 5,625$	=	0
$\frac{1}{4} x - 16$	=	0	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - 16)$	=	0
$x - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x$	=	$64$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 64€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.

Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
um Kunden zu locken soll bei einem Feld 42€ ausgezahlt werden

Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				40
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0				42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2				40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$				$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$				$1$

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$		$\frac{9}{40}$		$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{40}$ + $\frac{1}{40}$ = $\frac{3}{4}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{3}{4}$ = $\frac{1}{4}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0		2		42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2		0		40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$		$0$		$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $1$ ) setzt.

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	1	2	3	42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1	0	1	40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern $- \frac{1}{10}$ sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ multipliziert gerade um $- \frac{1}{10}$ wächst.
Also x ⋅ $\frac{1}{8}$ = $- \frac{1}{10}$ => x= $- \frac{1}{10}$ : $\frac{1}{8}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

	Kirsche	Zitrone	Apfel	Banane	Erdbeere
X (z.B. Auszahlung)	0	0.2	2	3	42
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-2	-1.8	0	1	40
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{40}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{9}{40}$	$0$	$\frac{1}{8}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ $\frac{1}{2}$ + -1.8⋅ $\frac{1}{8}$ + 0⋅ $\frac{9}{40}$ + 1⋅ $\frac{1}{8}$ + 40⋅ $\frac{1}{40}$

= $- 1$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $0$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $1$
= $- \frac{40}{40}$ $- \frac{9}{40}$ $+$ $\frac{0}{40}$ $+$ $\frac{5}{40}$ $+$ $\frac{40}{40}$
= $- \frac{4}{40}$
= $- \frac{1}{10}$

≈ -0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: $\frac{11}{15}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: $\frac{22}{105}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: $\frac{22}{455}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: $\frac{11}{1365}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st: $\frac{1}{1365}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4	5
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4	5
P(X=x_i)	$\frac{11}{15}$	$\frac{22}{105}$	$\frac{22}{455}$	$\frac{11}{1365}$	$\frac{1}{1365}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{11}{15}$	$\frac{44}{105}$	$\frac{66}{455}$	$\frac{44}{1365}$	$\frac{1}{273}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{11}{15}$ + 2⋅ $\frac{22}{105}$ + 3⋅ $\frac{22}{455}$ + 4⋅ $\frac{11}{1365}$ + 5⋅ $\frac{1}{1365}$

= $\frac{11}{15}$ $+$ $\frac{44}{105}$ $+$ $\frac{66}{455}$ $+$ $\frac{44}{1365}$ $+$ $\frac{1}{273}$
= $\frac{1001}{1365}$ $+$ $\frac{572}{1365}$ $+$ $\frac{198}{1365}$ $+$ $\frac{44}{1365}$ $+$ $\frac{5}{1365}$
= $\frac{1820}{1365}$
= $\frac{4}{3}$

≈ 1.33

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 9 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 1250€, bei 2 blauen bekommt er noch 50€, bei einer 10€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{21}{55}$
blau -> blau -> rot	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> blau	$\frac{9}{55}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> blau -> blau	$\frac{9}{55}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{220}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ + $\frac{9}{220}$ = $\frac{27}{220}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ + $\frac{9}{55}$ = $\frac{27}{55}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{21}{55}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	50	1250
P(X=x_i)	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{27}{22}$	$\frac{270}{11}$	$\frac{5250}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{220}$ + 10⋅ $\frac{27}{220}$ + 50⋅ $\frac{27}{55}$ + 1250⋅ $\frac{21}{55}$

= $0$ $+$ $\frac{27}{22}$ $+$ $\frac{270}{11}$ $+$ $\frac{5250}{11}$
= $\frac{0}{22}$ $+$ $\frac{27}{22}$ $+$ $\frac{540}{22}$ $+$ $\frac{10500}{22}$
= $\frac{11067}{22}$

≈ 503.05

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 5 Asse, 7 Könige, 3 Damen und 5 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 1000, 2 Könige 350, 2 Damen 160 und 2 Buben 90 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 20 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{1}{19}$
As -> König	$\frac{7}{76}$
As -> Dame	$\frac{3}{76}$
As -> Bube	$\frac{5}{76}$
König -> As	$\frac{7}{76}$
König -> König	$\frac{21}{190}$
König -> Dame	$\frac{21}{380}$
König -> Bube	$\frac{7}{76}$
Dame -> As	$\frac{3}{76}$
Dame -> König	$\frac{21}{380}$
Dame -> Dame	$\frac{3}{190}$
Dame -> Bube	$\frac{3}{76}$
Bube -> As	$\frac{5}{76}$
Bube -> König	$\frac{7}{76}$
Bube -> Dame	$\frac{3}{76}$
Bube -> Bube	$\frac{1}{19}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{19}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{21}{190}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{3}{190}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{19}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{21}{380}$ + $\frac{21}{380}$ = $\frac{21}{190}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	1000	350	160	90	20
P(X=x_i)	$\frac{1}{19}$	$\frac{21}{190}$	$\frac{3}{190}$	$\frac{1}{19}$	$\frac{21}{190}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{1000}{19}$	$\frac{735}{19}$	$\frac{48}{19}$	$\frac{90}{19}$	$\frac{42}{19}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1000⋅ $\frac{1}{19}$ + 350⋅ $\frac{21}{190}$ + 160⋅ $\frac{3}{190}$ + 90⋅ $\frac{1}{19}$ + 20⋅ $\frac{21}{190}$

= $\frac{1000}{19}$ $+$ $\frac{735}{19}$ $+$ $\frac{48}{19}$ $+$ $\frac{90}{19}$ $+$ $\frac{42}{19}$
= $\frac{1915}{19}$

≈ 100.79

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X