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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Zahl des ersten Glücksrads - Zahl des zweiten Glücksrads. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Glücksrad 1 - Glücksrad 2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = -2X = -1X = 0X = 1X = 2
zugehörige
Ereignisse
1 - 31 - 2
2 - 3
1 - 1
2 - 2
3 - 3
2 - 1
3 - 2
3 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(
Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größeren Augenzahl und der kleineren Augenzahl (bzw. der beiden gleichgroßen Augenzahlen) der beiden Würfe. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Würfe' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 3X = 4
zugehörige
Ereignisse
1 - 1
4 - 4
5 - 5
4 - 5
5 - 4
1 - 4
4 - 1
1 - 5
5 - 1
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 0X = 1X = 3X = 4
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
1 2 1 2
+ 1 3 1 3
+ 1 6 1 6
1 3 1 6
+ 1 6 1 3
1 2 1 3
+ 1 3 1 2
1 2 1 6
+ 1 6 1 2
  = 1 4 + 1 9 + 1 36 1 18 + 1 18 1 6 + 1 6 1 12 + 1 12



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X0134
P(X=k) 7 18 1 9 1 3 1 6

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch zwei Karten mit dem Wert 4, zwei Karten mit dem Wert 5 und zwei 8er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Werte der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 8X = 9X = 10X = 12X = 13X = 16
zugehörige
Ereignisse
4 - 44 - 5
5 - 4
5 - 54 - 8
8 - 4
5 - 8
8 - 5
8 - 8
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 8X = 9X = 10X = 12X = 13X = 16
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
1 3 1 5 1 3 2 5
+ 1 3 2 5
1 3 1 5 1 3 2 5
+ 1 3 2 5
1 3 2 5
+ 1 3 2 5
1 3 1 5
  = 1 15 2 15 + 2 15 1 15 2 15 + 2 15 2 15 + 2 15 1 15



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X8910121316
P(X=k) 1 15 4 15 1 15 4 15 4 15 1 15

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 4 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X12345
P(X=k) 1 2 2 7 1 7 2 35 1 70

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei das Produkt der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?

Zufallsgröße X123469
P(X=k) 625 1296 ???? 49 1296

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = 625 1296 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 625 1296 und somit p1 = 25 36 .

Ebenso gibt es für X=9 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=9) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=9) = 49 1296 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 49 1296 und somit p3 = 7 36 .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1 - 25 36 - 7 36 = 36 36 - 25 36 - 7 36 = 4 36 = 1 9

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = α 360°

Somit erhalten wir:

α1 = 25 36 ⋅ 360° = 250°

α2 = 1 9 ⋅ 360° = 40°

α3 = 7 36 ⋅ 360° = 70°

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf einmal Würfeln. Bei einer 6 bekommt er 36€, bei einer 5 bekommt er 18€, bei einer 4 bekommt er 12€. Würfelt er eine 1, 2 oder 3 so bekommt er 6€. Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist (also so, dass der Einsatz gleich dem Erwartungswert der Auszahlung ist)?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Auszahlungsbetrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1-3 4 5 6
Zufallsgröße xi 6 12 18 36
P(X=xi) 1 2 1 6 1 6 1 6
xi ⋅ P(X=xi) 3 2 3 6

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 6⋅ 1 2 + 12⋅ 1 6 + 18⋅ 1 6 + 36⋅ 1 6

= 3+ 2+ 3+ 6
= 14

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit 4€ beschriftet sind, 4 Kugeln, die mit 16€ und 3 Kugeln, die mit 24€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 3 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 13,6€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 4 16 24 ?
Zufallsgröße xi 4 16 24 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -9.6 2.4 10.4 x-13.6
P(X=xi) 10 20 4 20 3 20 3 20
xi ⋅ P(X=xi) 2 16 5 18 5 3 20 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) - 24 5 9.6 20 31.2 20 3 20 ⋅(x-13.6)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 13.6

10 20 · 4 + 4 20 · 16 + 3 20 · 24 + 3 20 x = 13.6

2 + 16 5 + 18 5 + 3 20 x = 13.6

2 + 16 5 + 18 5 + 3 20 x = 13,6
3 20 x + 44 5 = 13,6 |⋅ 20
20( 3 20 x + 44 5 ) = 272
3x +176 = 272 | -176
3x = 96 |:3
x = 32

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

10 20 · ( -9,6 ) + 4 20 · 2,4 + 3 20 · 10,4 + 3 20 ( x -13,6 ) = 0

- 9,6 2 + 2,4 5 + 31,2 20 + 3 20 · x + 3 20 · ( -13,6 ) = 0

- 9,6 2 + 2,4 5 + 31,2 20 + 3 20 · x + 3 20 · ( -13,6 ) = 0
-4,8 +0,48 +1,56 + 3 20 x -2,04 = 0
3 20 x -4,8 = 0 |⋅ 20
20( 3 20 x -4,8 ) = 0
3x -96 = 0 | +96
3x = 96 |:3
x = 32

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 32

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 44€ ausgezahlt werdenOrdne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 42
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 42
P(X) = P(Y) 1 2 1 42
Y ⋅ P(Y) -1 1

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 42
P(X) = P(Y) 1 2 19 84 1 42
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 2 + 19 84 + 1 42 = 3 4
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 3 4 = 1 4 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 42
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 19 84 1 8 1 42
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1) setzt.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 1 2 3 44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1 0 1 42
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 19 84 1 8 1 42
Y ⋅ P(Y) -1 - 1 8 0 1 8 1

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern - 1 10 sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit 1 8 multipliziert gerade um - 1 10 wächst.
Also x ⋅ 1 8 = - 1 10 => x= - 1 10 : 1 8 = - 4 5 = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 0.2 2 3 44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1.8 0 1 42
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 19 84 1 8 1 42
Y ⋅ P(Y) -1 - 9 40 0 1 8 1

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ 1 2 + -1.8⋅ 1 8 + 0⋅ 19 84 + 1⋅ 1 8 + 42⋅ 1 42

= -1 - 9 40 + 0+ 1 8 + 1
= - 40 40 - 9 40 + 0 40 + 5 40 + 40 40
= - 4 40
= - 1 10

-0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: 3 4

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: 3 14

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: 1 28

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3
Zufallsgröße xi 1 2 3
P(X=xi) 3 4 3 14 1 28
xi ⋅ P(X=xi) 3 4 3 7 3 28

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 3 4 + 2⋅ 3 14 + 3⋅ 1 28

= 3 4 + 3 7 + 3 28
= 21 28 + 12 28 + 3 28
= 36 28
= 9 7

1.29

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 10 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
As -> As -> As 1 91
As -> As -> andereKarte 5 91
As -> andereKarte -> As 5 91
As -> andereKarte -> andereKarte 15 91
andereKarte -> As -> As 5 91
andereKarte -> As -> andereKarte 15 91
andereKarte -> andereKarte -> As 15 91
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte 30 91

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: 30 91

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: 15 91 + 15 91 + 15 91 = 45 91

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: 5 91 + 5 91 + 5 91 = 15 91

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: 1 91

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 10 20 30
P(X=xi) 30 91 45 91 15 91 1 91
xi ⋅ P(X=xi) 0 450 91 300 91 30 91

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 30 91 + 10⋅ 45 91 + 20⋅ 15 91 + 30⋅ 1 91

= 0+ 450 91 + 300 91 + 30 91
= 0 91 + 450 91 + 300 91 + 30 91
= 780 91
= 60 7

8.57

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 12€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 9€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 3€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= 1 36 + 1 36 = 1 18

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 6

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 5 18

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis Mäxle Pasch 60er
Zufallsgröße xi 12 9 3
P(X=xi) 1 18 1 6 5 18
xi ⋅ P(X=xi) 2 3 3 2 5 6

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 12⋅ 1 18 + 9⋅ 1 6 + 3⋅ 5 18

= 2 3 + 3 2 + 5 6
= 4 6 + 9 6 + 5 6
= 18 6
= 3