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cosh
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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
zugehörige Ereignisse | 1 - 1 | 1 - 2 2 - 1 | 1 - 3 2 - 2 3 - 1 | 2 - 3 3 - 2 | 3 - 3 |
Zufallsgröße WS-Verteilung
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Glücksrad 1 - Glücksrad 2' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = -2 | X = -1 | X = 0 | X = 1 | X = 2 |
zugehörige Ergebnisse | 1 → 3 | 1 → 2 2 → 3 | 1 → 1 2 → 2 3 → 3 | 2 → 1 3 → 2 | 3 → 1 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = -2 | X = -1 | X = 0 | X = 1 | X = 2 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ |
= | + | + + | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
P(X=k) |
Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind nur noch zwei Karten mit dem Wert 2, vier Karten mit dem Wert 6 und zwei 10er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Werte der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 4 | X = 8 | X = 12 | X = 16 | X = 20 |
zugehörige Ergebnisse | 2 → 2 | 2 → 6 6 → 2 | 2 → 10 6 → 6 10 → 2 | 6 → 10 10 → 6 | 10 → 10 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 4 | X = 8 | X = 12 | X = 16 | X = 20 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ |
= | + | + + | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
P(X=k) |
Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)
Beispiel:
In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)
Da ja nur 3 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.
Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.
Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:
Zufallsgröße X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P(X=k) |
Zufallsgröße rückwärts
Beispiel:
In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 2, 6 und 8 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?
Zufallsgröße X | 4 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
P(X=k) | ? | ? | ? | ? |
Für X=4 gibt es nur das Ereignis: '2'-'2', also dass zwei mal hintereinander '2' kommt.
Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '2' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '2' kommt, gelten: P(X=4) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=4) = heraus lesen, also muss gelten:
p1 ⋅ p1 = (p1)2 = und somit p1 = .
Ebenso gibt es für X=16 nur das Ereignis: '8'-'8', also dass zwei mal hintereinander '8' kommt.
Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '8' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '8' kommt, gelten: P(X=16) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=16) = heraus lesen, also muss gelten:
p3 ⋅ p3 = (p3)2 = und somit p3 = .
Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also
p2 = 1 - p1 - p3 = = =
Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p =
Somit erhalten wir:
n2 = ⋅ 15 = 3
n6 = ⋅ 15 = 7
n8 = ⋅ 15 = 5
Erwartungswerte
Beispiel:
Bei einer Tombola steht auf jedem zehnten Los 100 Punkte, auf jedem fünften Los 50 Punkte, auf jedem vierten Los 12 Punkte und auf allen anderen 1 Punkt. Wie viele Punkte bringt ein Los durchschnttlich ein?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Punkte auf einem Los.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 100 | 50 | 12 | 1 |
Zufallsgröße xi | 100 | 50 | 12 | 1 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 100⋅ + 50⋅ + 12⋅ + 1⋅
=
=
≈ 23.45
Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 9 blauen, 3 roten, 7 grünen und 5 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 8€. Bei rot erhält er 40€ und bei grün erhält er 24€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 25€ beträgt ?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.
Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | blau | rot | grün | weiß |
Zufallsgröße xi | 8 | 40 | 24 | x |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | -17 | 15 | -1 | x-25 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) | ⋅ x | |||
yi ⋅ P(Y=yi) | ⋅(x-25) |
Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:
Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...
E(X) = 25
= 25
= 25= | |||
= | |⋅ 24 | ||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
= |
... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:
E(Y) = 0
= 0 = 0= | |||
= | |||
= | |⋅ 24 | ||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
= |
In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 48€
Erwartungswert ganz offen
Beispiel:
Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.
- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 46€ ausgezahlt werden
Eine (von vielen möglichen) Lösungen:
Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 46 | |||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 44 | |||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 46 | |||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 44 | |||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 2 | 46 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 0 | 44 | ||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von ++=
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-
=.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 2 | 46 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 0 | 44 | ||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich ) setzt.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 1 | 2 | 3 | 46 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | -1 | 0 | 1 | 44 |
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag
bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit
multipliziert gerade um wächst.
Also x ⋅= => x=:
= = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist
also 0.2
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 0.2 | 2 | 3 | 46 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | -1.8 | 0 | 1 | 44 |
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:
E(Y)= -2⋅ + -1.8⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 44⋅
=
=
=
=
≈ -0.1
Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'
Beispiel:
In einer Urne sind 3 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 5-ten Versuch st:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Zufallsgröße xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P(X=xi) | |||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 1⋅ + 2⋅ + 3⋅ + 4⋅ + 5⋅
=
=
=
=
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 8 blauen und 4 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 36€, bei 2 blauen bekommt er noch 12€, bei einer 7€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
blau -> blau -> blau | |
blau -> blau -> rot | |
blau -> rot -> blau | |
blau -> rot -> rot | |
rot -> blau -> blau | |
rot -> blau -> rot | |
rot -> rot -> blau | |
rot -> rot -> rot |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 7 | 12 | 36 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 7⋅ + 12⋅ + 36⋅
=
=
=
=
≈ 16.8
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 10€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 8€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 1€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
1 -> 1 | |
1 -> 2 | |
1 -> 3 | |
1 -> 4 | |
1 -> 5 | |
1 -> 6 | |
2 -> 1 | |
2 -> 2 | |
2 -> 3 | |
2 -> 4 | |
2 -> 5 | |
2 -> 6 | |
3 -> 1 | |
3 -> 2 | |
3 -> 3 | |
3 -> 4 | |
3 -> 5 | |
3 -> 6 | |
4 -> 1 | |
4 -> 2 | |
4 -> 3 | |
4 -> 4 | |
4 -> 5 | |
4 -> 6 | |
5 -> 1 | |
5 -> 2 | |
5 -> 3 | |
5 -> 4 | |
5 -> 5 | |
5 -> 6 | |
6 -> 1 | |
6 -> 2 | |
6 -> 3 | |
6 -> 4 | |
6 -> 5 | |
6 -> 6 |
Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:
P('1'-'2') + P('2'-'1')
= + =
Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:
P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= + + + + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:
P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= + + + + + + + + + =
Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | Mäxle | Pasch | 60er |
Zufallsgröße xi | 10 | 8 | 1 |
P(X=xi) | |||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 10⋅ + 8⋅ + 1⋅
=
=
=
=
≈ 2.17