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cosh
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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)
Beispiel:
In einer Urne sind drei Kugeln, die mit der Zahl 1 beschriftet sind und fünf Kugeln, die mit der Zahl 9 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.
Für die Zufallsgröße X: 'Produkt der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | 1 | 9 | 81 |
zugehörige Ereignisse | 1 - 1 | 1 - 9 9 - 1 | 9 - 9 |
Zufallsgröße WS-Verteilung
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 2 |
zugehörige Ergebnisse | 1 - 1 2 - 2 3 - 3 | 1 - 2 2 - 1 2 - 3 3 - 2 | 1 - 3 3 - 1 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 2 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ + ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ |
= | + + | + + + | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 0 | 1 | 2 |
P(X=k) |
Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind nur noch vier Karten mit dem Wert 4, vier Karten mit dem Wert 7 und vier 8er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 3 | X = 4 |
zugehörige Ergebnisse | 4 - 4 7 - 7 8 - 8 | 7 - 8 8 - 7 | 4 - 7 7 - 4 | 4 - 8 8 - 4 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 3 | X = 4 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ + ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ |
= | + + | + | + | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 0 | 1 | 3 | 4 |
P(X=k) |
Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)
Da ja nur 4 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 5-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.
Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 5 annehmen.
Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:
Zufallsgröße X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P(X=k) |
Zufallsgröße rückwärts
Beispiel:
In einer Urne sind 12 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 2, 4 und 7 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?
Zufallsgröße X | 4 | 6 | 8 | 9 | 11 | 14 |
P(X=k) | ? | ? | ? | ? |
Für X=4 gibt es nur das Ereignis: '2'-'2', also dass zwei mal hintereinander '2' kommt.
Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '2' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '2' kommt, gelten: P(X=4) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=4) = heraus lesen, also muss gelten:
p1 ⋅ p1 = (p1)2 = und somit p1 = .
Ebenso gibt es für X=14 nur das Ereignis: '7'-'7', also dass zwei mal hintereinander '7' kommt.
Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '7' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '7' kommt, gelten: P(X=14) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=14) = heraus lesen, also muss gelten:
p3 ⋅ p3 = (p3)2 = und somit p3 = .
Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also
p2 = 1 - p1 - p3 = = =
Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 12 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p =
Somit erhalten wir:
n2 = ⋅ 12 = 6
n4 = ⋅ 12 = 2
n7 = ⋅ 12 = 4
Erwartungswerte
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen, 3 roten, 5 grünen und 5 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 20€. Bei rot erhält er 80€, bei grün erhält er 40€ und bei weiß erhält er 12€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | blau | rot | grün | weiß |
Zufallsgröße xi | 20 | 80 | 40 | 12 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 20⋅ + 80⋅ + 40⋅ + 12⋅
=
=
Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.
Beispiel:
In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit 10€ beschriftet sind, 9 Kugeln, die mit 20€ und 10 Kugeln, die mit 28€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 6 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 23,4€ fair wäre?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.
Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | 10 | 20 | 28 | ? |
Zufallsgröße xi | 10 | 20 | 28 | x |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | -13.4 | -3.4 | 4.6 | x-23.4 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) | ⋅ x | |||
yi ⋅ P(Y=yi) | ⋅(x-23.4) |
Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:
Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...
E(X) = 23.4
= 23.4
= 23.4= | |||
= | |⋅ 5 | ||
= | |||
= | | | ||
= |
... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:
E(Y) = 0
= 0 = 0= | |||
= | |||
= | |⋅ 5 | ||
= | |||
= | | | ||
= |
In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 32€
Erwartungswert ganz offen
Beispiel:
Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:
- Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
- Der Einsatz soll 4€ betragen
- Der minimale Auszahlungsbetrag soll 3€ sein
- Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 9€ sein
- Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein
Eine (von vielen möglichen) Lösungen:
Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 3 | 9 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | 5 | ||
P(X) = P(Y) | ||||
Y ⋅ P(Y) |
Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 3 | 9 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | 5 | ||
P(X) = P(Y) | ||||
Y ⋅ P(Y) |
Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von +=
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-
=.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 3 | 9 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | 5 | ||
P(X) = P(Y) | ||||
Y ⋅ P(Y) |
Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich ) setzt.
Feld1 | Feld2 | Feld3 | Feld4 | |
X (z.B. Auszahlung) | 3 | 3.5 | 4.5 | 9 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -1 | -0.5 | 0.5 | 5 |
P(X) = P(Y) | ||||
Winkel | 180° | 72° | 72° | 36° |
Y ⋅ P(Y) |
Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:
E(Y)= -1⋅ + -0.5⋅ + 0.5⋅ + 5⋅
=
=
=
=
Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'
Beispiel:
Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st:
Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 1 | 2 | 3 | 4 |
Zufallsgröße xi | 1 | 2 | 3 | 4 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 1⋅ + 2⋅ + 3⋅ + 4⋅
=
=
=
=
≈ 1.19
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen und 7 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 243€, bei 2 blauen bekommt er noch 27€, bei einer 9€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
blau -> blau -> blau | |
blau -> blau -> rot | |
blau -> rot -> blau | |
blau -> rot -> rot | |
rot -> blau -> blau | |
rot -> blau -> rot | |
rot -> rot -> blau | |
rot -> rot -> rot |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 9 | 27 | 243 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 9⋅ + 27⋅ + 243⋅
=
=
=
≈ 11.48
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
Blume -> Blume | |
Blume -> Raute | |
Blume -> Stein | |
Blume -> Krone | |
Raute -> Blume | |
Raute -> Raute | |
Raute -> Stein | |
Raute -> Krone | |
Stein -> Blume | |
Stein -> Raute | |
Stein -> Stein | |
Stein -> Krone | |
Krone -> Blume | |
Krone -> Raute | |
Krone -> Stein | |
Krone -> Krone |
Die Wahrscheinlichkeit für '2 gleiche' ist:
P('Blume'-'Blume') + P('Raute'-'Raute') + P('Stein'-'Stein')
= + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '1 Krone' ist:
P('Blume'-'Krone') + P('Raute'-'Krone') + P('Stein'-'Krone') + P('Krone'-'Blume') + P('Krone'-'Raute') + P('Krone'-'Stein')
= + + + + + =
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Kronen' ist:
P('Krone'-'Krone')
=
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Gewinn bei einem Spiel.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 2 gleiche | 1 Krone | 2 Kronen |
Zufallsgröße xi | 4 | 8 | 20 |
P(X=xi) | |||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 4⋅ + 8⋅ + 20⋅
=
=
=
=
≈ 3.38