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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)
Beispiel:
In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 3 beschriftet sind, fünf Kugeln, die mit der Zahl 4 beschriftet sind und vier Kugeln, die mit der Zahl 8 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größeren Zahl und der kleineren (oder gleich großen) Zahl der beiden gezogenen Kugeln. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.
Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | 0 | 1 | 4 | 5 |
zugehörige Ereignisse | 3 - 3 4 - 4 8 - 8 | 3 - 4 4 - 3 | 4 - 8 8 - 4 | 3 - 8 8 - 3 |
Zufallsgröße WS-Verteilung
Beispiel:
Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Würfel1 - Würfel2' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = -4 | X = -2 | X = 0 | X = 2 | X = 4 |
zugehörige Ergebnisse | 2 → 6 | 2 → 4 4 → 6 | 2 → 2 4 → 4 6 → 6 | 4 → 2 6 → 4 | 6 → 2 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = -4 | X = -2 | X = 0 | X = 2 | X = 4 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ |
= | + | + + | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
P(X=k) |
Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind nur noch vier Karten mit dem Wert 4, zwei Karten mit dem Wert 5 und vier 8er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 3 | X = 4 |
zugehörige Ergebnisse | 4 → 4 5 → 5 8 → 8 | 4 → 5 5 → 4 | 5 → 8 8 → 5 | 4 → 8 8 → 4 |
Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.
Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.
Zufallsgröße X | X = 0 | X = 1 | X = 3 | X = 4 |
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X) | ⋅ + ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ | ⋅ + ⋅ |
= | + + | + | + | + |
Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:
Zufallsgröße X | 0 | 1 | 3 | 4 |
P(X=k) |
Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)
Beispiel:
In einer Urne sind 6 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)
Da ja nur 3 Kugeln vom Typ 'blau' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Kugeln vom Typ 'blau' bereits gezogen und damit weg sind) eine Kugel vom Typ 'rot' gezogen werden.
Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.
Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:
Zufallsgröße X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P(X=k) |
Zufallsgröße rückwärts
Beispiel:
In einer Urne sind 20 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 3, 6 und 9 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?
Zufallsgröße X | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
P(X=k) | ? | ? | ? |
Für X=6 gibt es nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.
Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = heraus lesen, also muss gelten:
p1 ⋅ p1 = (p1)2 = und somit p1 = .
Ebenso gibt es für X=18 nur das Ereignis: '9'-'9', also dass zwei mal hintereinander '9' kommt.
Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '9' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '9' kommt, gelten: P(X=18) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).
Aus der Tabelle können wir aber P(X=18) = heraus lesen, also muss gelten:
p3 ⋅ p3 = (p3)2 = und somit p3 = .
Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also
p2 = 1 - p1 - p3 = = =
Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 20 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p =
Somit erhalten wir:
n3 = ⋅ 20 = 7
n6 = ⋅ 20 = 7
n9 = ⋅ 20 = 6
Erwartungswerte
Beispiel:
Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen, 3 roten, 7 grünen und 7 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 80€. Bei rot erhält er 160€, bei grün erhält er 20€ und bei weiß erhält er 40€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?
Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | blau | rot | grün | weiß |
Zufallsgröße xi | 80 | 160 | 20 | 40 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 80⋅ + 160⋅ + 20⋅ + 40⋅
=
=
Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.
Beispiel:
In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit 6€ beschriftet sind, 9 Kugeln, die mit 12€ und 6 Kugeln, die mit 22€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 6 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 17,8€ fair wäre?
Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.
Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.
Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y
Ereignis | 6 | 12 | 22 | ? |
Zufallsgröße xi | 6 | 12 | 22 | x |
Zufallsgröße yi (Gewinn) | -11.8 | -5.8 | 4.2 | x-17.8 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) | ⋅ x | |||
yi ⋅ P(Y=yi) | ⋅(x-17.8) |
Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:
Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...
E(X) = 17.8
= 17.8
= 17.8= | |||
= | |⋅ 5 | ||
= | |||
= | | | ||
= |
... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:
E(Y) = 0
= 0 = 0= | |||
= | |||
= | |⋅ 5 | ||
= | |||
= | | | ||
= |
In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40€
Erwartungswert ganz offen
Beispiel:
Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.
- Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
- auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
- es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
- bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
- um Kunden zu locken soll bei einem Feld 44€ ausgezahlt werden
Eine (von vielen möglichen) Lösungen:
Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 44 | |||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 42 | |||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 44 | |||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 42 | |||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 2 | 44 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 0 | 42 | ||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von ++=
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1-
=.
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 2 | 44 | ||
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | 0 | 42 | ||
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich ) setzt.
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 1 | 2 | 3 | 44 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | -1 | 0 | 1 | 42 |
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag
bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit
multipliziert gerade um wächst.
Also x ⋅= => x=:
= = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist
also 0.2
Kirsche | Zitrone | Apfel | Banane | Erdbeere | |
X (z.B. Auszahlung) | 0 | 0.2 | 2 | 3 | 44 |
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) | -2 | -1.8 | 0 | 1 | 42 |
P(X) = P(Y) | |||||
Y ⋅ P(Y) |
Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:
E(Y)= -2⋅ + -1.8⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 42⋅
=
=
=
=
≈ -0.1
Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'
Beispiel:
In einer Urne sind 10 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st:
Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st:
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 1 | 2 | 3 |
P(X=xi) | |||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 1⋅ + 2⋅ + 3⋅
=
=
=
=
≈ 1.18
Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum
Beispiel:
In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 4 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
As -> As -> As | |
As -> As -> andereKarte | |
As -> andereKarte -> As | |
As -> andereKarte -> andereKarte | |
andereKarte -> As -> As | |
andereKarte -> As -> andereKarte | |
andereKarte -> andereKarte -> As | |
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte |
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist:
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: + + =
Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist:
Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 0 | 1 | 2 | 3 |
Zufallsgröße xi | 0 | 10 | 20 | 30 |
P(X=xi) | ||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 0⋅ + 10⋅ + 20⋅ + 30⋅
=
=
=
=
Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum
Beispiel:
In einem Stapel Karten mit 5 Asse, 5 Könige, 5 Damen und 5 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 400, 2 Damen 240 und 2 Buben 60 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 25 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge
Ereignis | P |
---|---|
As -> As | |
As -> König | |
As -> Dame | |
As -> Bube | |
König -> As | |
König -> König | |
König -> Dame | |
König -> Bube | |
Dame -> As | |
Dame -> König | |
Dame -> Dame | |
Dame -> Bube | |
Bube -> As | |
Bube -> König | |
Bube -> Dame | |
Bube -> Bube |
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:
P('As'-'As')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:
P('König'-'König')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:
P('Dame'-'Dame')
=
Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:
P('Bube'-'Bube')
=
Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:
P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= + =
Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.
Erwartungswert der Zufallsgröße X
Ereignis | 2 Asse | 2 Könige | 2 Damen | 2 Buben | Paar (D&K) |
Zufallsgröße xi | 500 | 400 | 240 | 60 | 25 |
P(X=xi) | |||||
xi ⋅ P(X=xi) |
Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:
E(X)= 500⋅ + 400⋅ + 240⋅ + 60⋅ + 25⋅
=
=
≈ 66.45