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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz der größeren Zahl minus der kleineren (oder gleich großen) Zahl der beiden Glücksräder. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	0	1	2
zugehörige Ereignisse	1 - 1 2 - 2 3 - 3	1 - 2 2 - 1 2 - 3 3 - 2	1 - 3 3 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größeren Augenzahl und der kleineren Augenzahl (bzw. der beiden gleichgroßen Augenzahlen) der beiden Würfe. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Würfe' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Ergebnisse	1 → 1 2 → 2 4 → 4	1 → 2 2 → 1	2 → 4 4 → 2	1 → 4 4 → 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{6}$
=	$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{9}$	$\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$	$\frac{1}{18}$ + $\frac{1}{18}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
P(X=k)	$\frac{7}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 3 beschriftet sind und vier Kugeln, die mit der Zahl 6 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 6	X = 9	X = 12
zugehörige Ergebnisse	3 → 3	3 → 6 6 → 3	6 → 6

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 6	X = 9	X = 12
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{7}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{4}{7}$ + $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{4}{7}$	$\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{7}$
=	$\frac{3}{14}$	$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$	$\frac{3}{14}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	6	9	12
P(X=k)	$\frac{3}{14}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{14}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 24 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird.Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der nach diesem Verfahren einsammelten Hausaufgaben. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 3 Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' bereits gezogen und damit weg sind) eine Hausaufgabe vom Typ 'Mädchen' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3	4
P(X=k)	$\frac{8}{9}$	$\frac{4}{39}$	$\frac{8}{975}$	$\frac{1}{2925}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 3, 4 und 8 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X	6	7	8	11	12	16
P(X=k)	$\frac{4}{25}$	?	?	?	?	$\frac{16}{225}$

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Für X=6 gibt es nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = $\frac{4}{25}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{4}{25}$ und somit p1 = $\frac{2}{5}$ .

Ebenso gibt es für X=16 nur das Ereignis: '8'-'8', also dass zwei mal hintereinander '8' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '8' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '8' kommt, gelten: P(X=16) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=16) = $\frac{16}{225}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{16}{225}$ und somit p3 = $\frac{4}{15}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{2}{5}$ $- \frac{4}{15}$ = $\frac{15}{15}$ $- \frac{6}{15}$ $- \frac{4}{15}$ = $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = $\frac{n}{15}$

Somit erhalten wir:

n₃ = $\frac{2}{5}$ ⋅ 15 = 6

n₄ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 15 = 5

n₈ = $\frac{4}{15}$ ⋅ 15 = 4

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf einmal Würfeln. Bei einer 6 bekommt er 36€, bei einer 5 bekommt er 18€, bei einer 4 bekommt er 12€. Würfelt er eine 1, 2 oder 3 so bekommt er 6€. Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist (also so, dass der Einsatz gleich dem Erwartungswert der Auszahlung ist)?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Auszahlungsbetrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1-3	4	5	6
Zufallsgröße x_i	6	12	18	36
P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$3$	$2$	$3$	$6$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 6⋅ $\frac{1}{2}$ + 12⋅ $\frac{1}{6}$ + 18⋅ $\frac{1}{6}$ + 36⋅ $\frac{1}{6}$

= $3$ $+$ $2$ $+$ $3$ $+$ $6$
= $14$

Wenn der Erwartungswert für die Auszahlung $14$ € ist, muss somit auch der Einsatz $14$ € betragen, damit das Spiel fair ist.

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bei einem Glücksrad wie rechts abgebildet soll das noch fehlende Feld mit einem Betrag so bestückt werden, dass das Spiel bei einem Einsatz von 12,75€ fair ist.

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	2	8	20	?
Zufallsgröße x_i	2	8	20	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-10.75	-4.75	7.25	x-12.75
P(X=x_i)	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{5}{4}$	$1$	$\frac{5}{2}$	$\frac{1}{8}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{53.75}{8}$	$- \frac{4.75}{8}$	$\frac{7.25}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅(x-12.75)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 12.75

$\frac{5}{8} \cdot 2 + \frac{1}{8} \cdot 8 + \frac{1}{8} \cdot 20 + \frac{1}{8} x$ = 12.75

\frac{5}{4} + 1 + \frac{5}{2} + \frac{1}{8} x

= 12.75

$\frac{5}{4} + 1 + \frac{5}{2} + \frac{1}{8} x$	=	$12,75$
$\frac{1}{8} x + \frac{19}{4}$	=	$12,75$	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x + \frac{19}{4})$	=	$102$
$x + 38$	=	$102$	\| $- 38$
$x$	=	$64$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{5}{8} \cdot (- 10,75) + \frac{1}{8} \cdot (- 4,75) + \frac{1}{8} \cdot 7,25 + \frac{1}{8} (x - 12,75)

= 0

- \frac{53,75}{8} - \frac{4,75}{8} + \frac{7,25}{8} + \frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot (- 12,75)

= 0

$- \frac{53,75}{8} - \frac{4,75}{8} + \frac{7,25}{8} + \frac{1}{8} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot (- 12,75)$	=	0
$- 6,71875 - 0,59375 + 0,90625 + \frac{1}{8} x - 1,59375$	=	0
$\frac{1}{8} x - 8$	=	0	\|⋅ 8
$8 (\frac{1}{8} x - 8)$	=	0
$x - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x$	=	$64$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 64€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:

Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein
Der Einsatz soll 9€ betragen
Der minimale Auszahlungsbetrag soll 1€ sein
Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 44€ sein
Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad sein

Finde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-8			35
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-8			35
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{8}$			$\frac{1}{35}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{35}$ = $\frac{43}{280}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{43}{280}$ = $\frac{237}{280}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-8			35
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{8}$	$\frac{237}{560}$	$\frac{237}{560}$	$\frac{1}{35}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $4$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1	5	13	44
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-8	-4	4	35
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{8}$	$\frac{237}{560}$	$\frac{237}{560}$	$\frac{1}{35}$
Winkel	45°	152.36°	152.36°	10.29°
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{237}{140}$	$\frac{237}{140}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -8⋅ $\frac{1}{8}$ + -4⋅ $\frac{237}{560}$ + 4⋅ $\frac{237}{560}$ + 35⋅ $\frac{1}{35}$

= $- 1$ $- \frac{237}{140}$ $+$ $\frac{237}{140}$ $+$ $1$
= $- \frac{140}{140}$ $- \frac{237}{140}$ $+$ $\frac{237}{140}$ $+$ $\frac{140}{140}$
= $\frac{0}{140}$
= $0$

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: $\frac{7}{8}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: $\frac{21}{184}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: $\frac{21}{2024}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{2024}$

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{7}{8}$	$\frac{21}{184}$	$\frac{21}{2024}$	$\frac{1}{2024}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{7}{8}$	$\frac{21}{92}$	$\frac{63}{2024}$	$\frac{1}{506}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{7}{8}$ + 2⋅ $\frac{21}{184}$ + 3⋅ $\frac{21}{2024}$ + 4⋅ $\frac{1}{2024}$

= $\frac{7}{8}$ $+$ $\frac{21}{92}$ $+$ $\frac{63}{2024}$ $+$ $\frac{1}{506}$
= $\frac{1771}{2024}$ $+$ $\frac{462}{2024}$ $+$ $\frac{63}{2024}$ $+$ $\frac{4}{2024}$
= $\frac{2300}{2024}$
= $\frac{25}{22}$

≈ 1.14

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Kartenstapel befinden sich 4 Asse und 12 weitere Karten. Nachdem diese gut gemischt wurden, darf ein Spieler 3 Karten ziehen. Für jedes As, das unter den drei Karten ist, erhält er dabei 10€. Mit welchem Gewinn kann er rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As -> As	$\frac{1}{140}$
As -> As -> andereKarte	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> As	$\frac{3}{70}$
As -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> As -> As	$\frac{3}{70}$
andereKarte -> As -> andereKarte	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> As	$\frac{11}{70}$
andereKarte -> andereKarte -> andereKarte	$\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'As' ist: $\frac{11}{28}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'As' ist: $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ + $\frac{11}{70}$ = $\frac{33}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'As' ist: $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'As' ist: $\frac{1}{140}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn für die 3 gezogenen Karten.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	10	20	30
P(X=x_i)	$\frac{11}{28}$	$\frac{33}{70}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{1}{140}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{33}{7}$	$\frac{18}{7}$	$\frac{3}{14}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{11}{28}$ + 10⋅ $\frac{33}{70}$ + 20⋅ $\frac{9}{70}$ + 30⋅ $\frac{1}{140}$

= $0$ $+$ $\frac{33}{7}$ $+$ $\frac{18}{7}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{0}{14}$ $+$ $\frac{66}{14}$ $+$ $\frac{36}{14}$ $+$ $\frac{3}{14}$
= $\frac{105}{14}$
= $\frac{15}{2}$

≈ 7.5

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

In einem Stapel Karten mit 3 Asse, 3 Könige, 2 Damen und 4 Buben werden 2 Karten gezogen. Dabei zählen 2 Asse 500, 2 Könige 450, 2 Damen 200 und 2 Buben 90 Punkte. Außerdem gibt es für ein Paar aus Dame und König 35 Punkte. Wie viele Punkte kann man bei diesem Spiel erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
As -> As	$\frac{1}{22}$
As -> König	$\frac{3}{44}$
As -> Dame	$\frac{1}{22}$
As -> Bube	$\frac{1}{11}$
König -> As	$\frac{3}{44}$
König -> König	$\frac{1}{22}$
König -> Dame	$\frac{1}{22}$
König -> Bube	$\frac{1}{11}$
Dame -> As	$\frac{1}{22}$
Dame -> König	$\frac{1}{22}$
Dame -> Dame	$\frac{1}{66}$
Dame -> Bube	$\frac{2}{33}$
Bube -> As	$\frac{1}{11}$
Bube -> König	$\frac{1}{11}$
Bube -> Dame	$\frac{2}{33}$
Bube -> Bube	$\frac{1}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Asse' ist:

P('As'-'As')
= $\frac{1}{22}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Könige' ist:

P('König'-'König')
= $\frac{1}{22}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Damen' ist:

P('Dame'-'Dame')
= $\frac{1}{66}$

Die Wahrscheinlichkeit für '2 Buben' ist:

P('Bube'-'Bube')
= $\frac{1}{11}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Paar (D&K)' ist:

P('König'-'Dame') + P('Dame'-'König')
= $\frac{1}{22}$ + $\frac{1}{22}$ = $\frac{1}{11}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die gewonnenen Punkte.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	2 Asse	2 Könige	2 Damen	2 Buben	Paar (D&K)
Zufallsgröße x_i	500	450	200	90	35
P(X=x_i)	$\frac{1}{22}$	$\frac{1}{22}$	$\frac{1}{66}$	$\frac{1}{11}$	$\frac{1}{11}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{250}{11}$	$\frac{225}{11}$	$\frac{100}{33}$	$\frac{90}{11}$	$\frac{35}{11}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 500⋅ $\frac{1}{22}$ + 450⋅ $\frac{1}{22}$ + 200⋅ $\frac{1}{66}$ + 90⋅ $\frac{1}{11}$ + 35⋅ $\frac{1}{11}$

= $\frac{250}{11}$ $+$ $\frac{225}{11}$ $+$ $\frac{100}{33}$ $+$ $\frac{90}{11}$ $+$ $\frac{35}{11}$
= $\frac{750}{33}$ $+$ $\frac{675}{33}$ $+$ $\frac{100}{33}$ $+$ $\frac{270}{33}$ $+$ $\frac{105}{33}$
= $\frac{1900}{33}$

≈ 57.58

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X