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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

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Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz: Augenzahl beim ersten Wurf - Augenzahl beim zweiten Wurf. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz Würfel1 - Würfel2' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X-4-3-10134
zugehörige
Ereignisse
2 - 62 - 55 - 62 - 2
5 - 5
6 - 6
6 - 55 - 26 - 2

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

In einer Urne sind vier Kugeln, die mit der Zahl 1 beschriftet sind, vier Kugeln, die mit der Zahl 4 beschriftet sind und vier Kugeln, die mit der Zahl 8 beschriftet sind. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen der größeren Zahl und der kleineren Zahl (bzw. der beiden gleichgroßen Zahlen) der beiden gezogenen Kugeln. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Kugeln' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 3X = 4X = 7
zugehörige
Ergebnisse
1 → 1
4 → 4
8 → 8
1 → 4
4 → 1
4 → 8
8 → 4
1 → 8
8 → 1
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 0X = 3X = 4X = 7
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
1 3 1 3
+ 1 3 1 3
+ 1 3 1 3
1 3 1 3
+ 1 3 1 3
1 3 1 3
+ 1 3 1 3
1 3 1 3
+ 1 3 1 3
  = 1 9 + 1 9 + 1 9 1 9 + 1 9 1 9 + 1 9 1 9 + 1 9



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X0347
P(X=k) 1 3 2 9 2 9 2 9

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch vier Karten mit dem Wert 2, vier Karten mit dem Wert 5 und zwei 10er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße XX = 0X = 3X = 5X = 8
zugehörige
Ergebnisse
2 → 2
5 → 5
10 → 10
2 → 5
5 → 2
5 → 10
10 → 5
2 → 10
10 → 2
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Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.


Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße XX = 0X = 3X = 5X = 8
zugehörige
Wahrscheinlichkeit P(X)
2 5 3 9
+ 2 5 3 9
+ 1 5 1 9
2 5 4 9
+ 2 5 4 9
2 5 2 9
+ 1 5 4 9
2 5 2 9
+ 1 5 4 9
  = 2 15 + 2 15 + 1 45 8 45 + 8 45 4 45 + 4 45 4 45 + 4 45



Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X0358
P(X=k) 13 45 16 45 8 45 8 45

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 2 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird.Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der nach diesem Verfahren einsammelten Hausaufgaben. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' bereits gezogen und damit weg sind) eine Hausaufgabe vom Typ 'Mädchen' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X123
P(X=k) 21 23 21 253 1 253

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 2, 4 und 7 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X46891114
P(X=k) 64 225 ???? 1 25

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Für X=4 gibt es nur das Ereignis: '2'-'2', also dass zwei mal hintereinander '2' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '2' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '2' kommt, gelten: P(X=4) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=4) = 64 225 heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)2 = 64 225 und somit p1 = 8 15 .

Ebenso gibt es für X=14 nur das Ereignis: '7'-'7', also dass zwei mal hintereinander '7' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '7' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '7' kommt, gelten: P(X=14) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

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Aus der Tabelle können wir aber P(X=14) = 1 25 heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)2 = 1 25 und somit p3 = 1 5 .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = 1 - 8 15 - 1 5 = 15 15 - 8 15 - 3 15 = 4 15

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = n 15

Somit erhalten wir:

n2 = 8 15 ⋅ 15 = 8

n4 = 4 15 ⋅ 15 = 4

n7 = 1 5 ⋅ 15 = 3

Erwartungswerte

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 10 blauen, 10 roten, 4 grünen und 6 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 6€. Bei rot erhält er 12€, bei grün erhält er 15€ und bei weiß erhält er 30€. Wieviel bringt ein Zug durchschnittlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten €-Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis blau rot grün weiß
Zufallsgröße xi 6 12 15 30
P(X=xi) 10 30 10 30 4 30 6 30
xi ⋅ P(X=xi) 2 4 2 6

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 6⋅ 10 30 + 12⋅ 10 30 + 15⋅ 4 30 + 30⋅ 6 30

= 2+ 4+ 2+ 6
= 14

Faires Spiel - fehlende Auszahlung best.

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit 4€ beschriftet sind, 6 Kugeln, die mit 16€ und 6 Kugeln, die mit 26€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 5 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 23,2€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis 4 16 26 ?
Zufallsgröße xi 4 16 26 x
Zufallsgröße yi (Gewinn) -19.2 -7.2 2.8 x-23.2
P(X=xi) 3 20 6 20 6 20 5 20
xi ⋅ P(X=xi) 3 5 24 5 39 5 5 20 ⋅ x
yi ⋅ P(Y=yi) - 57.6 20 - 43.2 20 16.8 20 5 20 ⋅(x-23.2)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 23.2

3 20 · 4 + 6 20 · 16 + 6 20 · 26 + 5 20 x = 23.2

3 5 + 24 5 + 39 5 + 5 20 x = 23.2

3 5 + 24 5 + 39 5 + 1 4 x = 23,2
1 4 x + 66 5 = 23,2 |⋅ 20
20( 1 4 x + 66 5 ) = 464
5x +264 = 464 | -264
5x = 200 |:5
x = 40

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

3 20 · ( -19,2 ) + 6 20 · ( -7,2 ) + 6 20 · 2,8 + 5 20 ( x -23,2 ) = 0

- 57,6 20 - 21,6 10 + 8,4 10 + 1 4 · x + 1 4 · ( -23,2 ) = 0

- 57,6 20 - 21,6 10 + 8,4 10 + 1 4 · x + 1 4 · ( -23,2 ) = 0
-2,88 -2,16 +0,84 + 1 4 x -5,8 = 0
1 4 x -10 = 0 |⋅ 4
4( 1 4 x -10 ) = 0
x -40 = 0 | +40
x = 40

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 40

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Ein Spielautomatenhersteller bekommt von einem Kunden den Auftrag einen Automaten zu entwickeln, der folgenden Bedingungen erfüllt.

  • Der Einsatz für ein Spiel soll 2€ betragen
  • auf lange Sicht soll er 10ct Gewinn pro Spiel für den Betreiber abwerfen
  • es sollen 5 verschiedene Felder (Kirsche, Zitrone, Apfel, Banane, Erdbeere) mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen sein
  • bei einem Feld soll keine Auszahlung erfolgen
  • um Kunden zu locken soll bei einem Feld 50€ ausgezahlt werden
Ordne den 5 Optionen so Wahrscheinlichkeiten und Auszahlungsbeträge zu, dass diese Bedingungen erfüllt sind.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 48
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 1

Bei der mittleren Option setzen wir den Betrag einfach gleich wie den Einsatz, so dass diese den Erwartungswert nicht verändert.
Als Wahrscheinlichkeit wählen wir einen Bruch so, dass die Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden zwei Optionen nicht allzu kompliziert wird.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 48
P(X) = P(Y) 1 2 11 48 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von 1 2 + 11 48 + 1 48 = 3 4
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- 3 4 = 1 4 .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 2 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 0 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 11 48 1 8 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 0 1

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich 1) setzt.

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 1 2 3 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1 0 1 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 11 48 1 8 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 - 1 8 0 1 8 1

Weil der Erwartungswert ja aber nicht 0 sondern - 1 10 sein soll, müssen wir nun noch den Auszahlungsbetrag bei der 2. Option (betragsmäßig) vergrößern. Und zwar so, dass er mit der Wahrscheinlichkeit 1 8 multipliziert gerade um - 1 10 wächst.
Also x ⋅ 1 8 = - 1 10 => x= - 1 10 : 1 8 = - 4 5 = -0.8
Die neue Auszahlung für 'Zitrone' ist also 0.2

  Kirsche Zitrone Apfel Banane Erdbeere
X (z.B. Auszahlung) 0 0.2 2 3 50
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz) -2 -1.8 0 1 48
P(X) = P(Y) 1 2 1 8 11 48 1 8 1 48
Y ⋅ P(Y) -1 - 9 40 0 1 8 1

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -2⋅ 1 2 + -1.8⋅ 1 8 + 0⋅ 11 48 + 1⋅ 1 8 + 48⋅ 1 48

= -1 - 9 40 + 0+ 1 8 + 1
= - 40 40 - 9 40 + 0 40 + 5 40 + 40 40
= - 4 40
= - 1 10

-0.1

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis die erste rote Kugel gezogen ist.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 1-ten Versuch st: 2 5

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 2-ten Versuch st: 3 10

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 3-ten Versuch st: 1 5

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'rot' im 4-ten Versuch st: 1 10

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis die erste rote Kugel gezogen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 1 2 3 4
Zufallsgröße xi 1 2 3 4
P(X=xi) 2 5 3 10 1 5 1 10
xi ⋅ P(X=xi) 2 5 3 5 3 5 2 5

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ 2 5 + 2⋅ 3 10 + 3⋅ 1 5 + 4⋅ 1 10

= 2 5 + 3 5 + 3 5 + 2 5
= 10 5
= 2

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 21 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Bestimme den Erwartungswert (als Bruch oder Dezimalzahl) für die Anzahl an Mädchen bei den ersten 3 verlosten Plätzen.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 133 260
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 7 52
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 7 52
Mädchen -> Jungs -> Jungs 7 260
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 7 52
Jungs -> Mädchen -> Jungs 7 260
Jungs -> Jungs -> Mädchen 7 260
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 260

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: 1 260

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: 7 260 + 7 260 + 7 260 = 21 260

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: 7 52 + 7 52 + 7 52 = 21 52

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: 133 260

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis 0 1 2 3
Zufallsgröße xi 0 1 2 3
P(X=xi) 1 260 21 260 21 52 133 260
xi ⋅ P(X=xi) 0 21 260 21 26 399 260

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ 1 260 + 1⋅ 21 260 + 2⋅ 21 52 + 3⋅ 133 260

= 0+ 21 260 + 21 26 + 399 260
= 0 260 + 21 260 + 210 260 + 399 260
= 630 260
= 63 26

2.42

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 18€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 5€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 2€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

EreignisP
1 -> 1 1 36
1 -> 2 1 36
1 -> 3 1 36
1 -> 4 1 36
1 -> 5 1 36
1 -> 6 1 36
2 -> 1 1 36
2 -> 2 1 36
2 -> 3 1 36
2 -> 4 1 36
2 -> 5 1 36
2 -> 6 1 36
3 -> 1 1 36
3 -> 2 1 36
3 -> 3 1 36
3 -> 4 1 36
3 -> 5 1 36
3 -> 6 1 36
4 -> 1 1 36
4 -> 2 1 36
4 -> 3 1 36
4 -> 4 1 36
4 -> 5 1 36
4 -> 6 1 36
5 -> 1 1 36
5 -> 2 1 36
5 -> 3 1 36
5 -> 4 1 36
5 -> 5 1 36
5 -> 6 1 36
6 -> 1 1 36
6 -> 2 1 36
6 -> 3 1 36
6 -> 4 1 36
6 -> 5 1 36
6 -> 6 1 36

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= 1 36 + 1 36 = 1 18

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 1 6

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 + 1 36 = 5 18

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis Mäxle Pasch 60er
Zufallsgröße xi 18 5 2
P(X=xi) 1 18 1 6 5 18
xi ⋅ P(X=xi) 1 5 6 5 9

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 18⋅ 1 18 + 5⋅ 1 6 + 2⋅ 5 18

= 1+ 5 6 + 5 9
= 18 18 + 15 18 + 10 18
= 43 18

2.39