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Substitution bei Polynomen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 - x - 72 x = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

x 3 - x - 72 x = 0 |⋅( x )
x 3 · x -x · x - 72 x · x = 0
x 3 · x - x · x -72 = 0
x 4 - x 2 -72 = 0
x 4 - x 2 -72 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -72 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -72 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +288 2

u1,2 = +1 ± 289 2

u1 = 1 + 289 2 = 1 +17 2 = 18 2 = 9

u2 = 1 - 289 2 = 1 -17 2 = -16 2 = -8

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -72 ) = 1 4 + 72 = 1 4 + 288 4 = 289 4

x1,2 = 1 2 ± 289 4

x1 = 1 2 - 17 2 = - 16 2 = -8

x2 = 1 2 + 17 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = -8

x 2 = -8 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; 3 }