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Substitution bei Polynomen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2 -8 + 16 x 2 = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

x 2 -8 + 16 x 2 = 0 |⋅( x 2 )
x 2 · x 2 -8 · x 2 + 16 x 2 · x 2 = 0
x 2 · x 2 -8 x 2 +16 = 0
x 4 -8 x 2 +16 = 0
x 4 -8 x 2 +16 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u +16 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 16 21

u1,2 = +8 ± 64 -64 2

u1,2 = +8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 2 }