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Substitution bei Polynomen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 -10x + 9 x = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

x 3 -10x + 9 x = 0 |⋅( x )
x 3 · x -10x · x + 9 x · x = 0
x 3 · x -10 x · x +9 = 0
x 4 -10 x 2 +9 = 0
x 4 -10 x 2 +9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 9 2⋅1

u1,2 = +10 ± 100 -36 2

u1,2 = +10 ± 64 2

u1 = 10 + 64 2 = 10 +8 2 = 18 2 = 9

u2 = 10 - 64 2 = 10 -8 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; -1 ; 1 ; 3 }