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parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -2 x 1 -5 x 2 -2 x 3 = -11 ist und die den Punkt P(4|4|0) enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -2 -5 -2 ) und damit die Form E: -2 x 1 -5 x 2 -2 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|4|0) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-2 4 -5 4 -2 0 = d

-8-20+0 = d

-28 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -2 x 1 -5 x 2 -2 x 3 = -28 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(-2|-2|3) auf der Ebene E: 3 x 1 +5 x 2 +a x 3 = -25 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

3(-2) + 5(-2) + a3 = -25
-6+(-10)+a ⋅ 3 = -25 |+16
3a = -9 | :3
a = -3

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( -4 -1 3 ) +t ( -1 -2 -2 ) ist und die den Punkt P(-1|-3|5) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( -1 -2 -2 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: - x 1 -2 x 2 -2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-1|-3|5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-1 ( - 1 ) -2 ( - 3 ) -2 5 = d

1+6-10 = d

-3 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: - x 1 -2 x 2 -2 x 3 = -3 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +4 x 3 = 0 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 0 4 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x2-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x2-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x2-x3-Ebene ist und den Punkt (2|3|3) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 1 0 0 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form x 1 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(2|3|3) in diese Gleichung erhält man
d = 12 + 03 + 03=2
also: x 1 = 2

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 6 -6 0 ) + r ( 3 6 0 ) + s ( 9 9 0 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x3-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x3 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n = ( 0 0 1 ) .)

E ist also die x1-x2-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x3-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n = ( 0 0 1 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x3=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x1-x2-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerage g: x = ( 3 2 -3 ) +t ( 2 -2 -1 ) komplett in der Ebene E: - x 1 +a x 2 -8 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 2 -2 -1 ) ( -1 a -8 ) = 0

2(-1) + (-2)a + (-1)(-8) = 0
-2+a ⋅ (-2)+8 = 0 |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: - x 1 +3 x 2 -8 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (3|2|-3).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (3|2|-3) in E: - x 1 +3 x 2 -8 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-1 3 +3 2 -8 ( - 3 ) = b

-3+6+24 = b

27 = b

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: - x 1 +3 x 2 -8 x 3 = 27 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 2 x 1 +3 x 2 + x 3 = 4 und F: a x 1 +9 x 2 +3 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen identisch sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( a 9 3 ) = t⋅ ( 2 3 1 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 2 = 6.

Für a = 6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: 6 x 1 +9 x 2 +3 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: 6 x 1 +9 x 2 +3 x 3 = 12 , d.h. für b = 12 sind die beiden Ebenen identisch.