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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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parallele Ebene durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: ist und die den Punkt P enthält.
Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor = und damit die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
Punktprobe in Ebene mit Parameter
Beispiel:
Für welches a liegt der Punkt P auf der Ebene E: ?
Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:
|
-3a = 15 | :(-3)
a = -5
Ebene aus orth. Geraden durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: ist und die den Punkt P enthält.
Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor = der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
spezielle Ebenen
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
Der Normalenvektor der Ebene ist =, er steht also senkrecht auf der x2-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x2-x3-Ebene sein.
Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x2-x3-Ebene.
spezielle Ebenen aufstellen
Beispiel:
Bestimme die Koordinatengleichung der x2-x3-Ebene.
Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser = oder eben ein Vielfaches davon sein.
Die Koordinatengleichung hat also die Form . Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = =0
also:
spezielle Ebene in Parameterform
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
1. Weg:
Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x3-Wert immer 6 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x3 = 6 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor = .)
E ist also parallel zur x1-x2-Ebene.
2. Weg:
Da beide Spannvektoren an der x3-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor = bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x3=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)
E ist also parallel zur x1-x2-Ebene.
Parameter bestimmen, dass g in E liegt
Beispiel:
Bestimme a und b so, dass die Gerade g: komplett in der Ebene E: liegt.
Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:
⋅ = 0
|
-1a = 2 | :(-1)
a = -2
Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt .
Wir müssen also nur den Aufpunkt in E: einsetzen, um noch das b zu bestimmen.
Mit b = -10 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: .
Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen
Beispiel:
Gegeben sind die Ebenen E: und F: . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen echt parallel sind.
Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
= t⋅
Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -1 möglich ist.
Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -1 ⋅ 1 = -1.
Für a = -1 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: .
Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -1 durchmultipliziert, so erhält man
E: , d.h. für b = 24 sind die beiden Ebenen identisch.
Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 24, also z.B.: b = 25 setzen.