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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( 3 5 3 ) hat und den Punkt P(2|1|0) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( 3 5 3 ) besitzt, hat sie die Form E: 3 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = d .

Da der Punkt P(2|1|0) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

3 2 +5 1 +3 0 = d

6+5+0 = d

11 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: 3 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = 11 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -3 x 1 -2 x 2 -4 x 3 = 20 ist und die den Punkt P(-3|4|-5) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -3 -2 -4 ) und damit die Form E: -3 x 1 -2 x 2 -4 x 3 = d .

Da der Punkt P(-3|4|-5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-3 ( - 3 ) -2 4 -4 ( - 5 ) = d

9-8+20 = d

21 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -3 x 1 -2 x 2 -4 x 3 = 21 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(2|-5|5) auf der Ebene E: 4 x 1 +a x 2 -2 x 3 = 23 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

42 + a(-5) + (-2)5 = 23
8+a ⋅ (-5)+(-10) = 23 |+2
-5a = 25 | :(-5)
a = -5

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 5 -5 4 ) +t ( 5 3 -3 ) ist und die den Punkt P(-5|-1|-4) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 5 3 -3 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 5 x 1 +3 x 2 -3 x 3 = d .

Da der Punkt P(-5|-1|-4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

5 ( - 5 ) +3 ( - 1 ) -3 ( - 4 ) = d

-25-3+12 = d

-16 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 5 x 1 +3 x 2 -3 x 3 = -16 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: -2 x 1 +5 x 2 = 3 ?

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Wenn man die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x1 und x2 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x3-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x3-Achse

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x1-x2-Ebene ist und den Punkt (2|1|3) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 0 0 1 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form + x 3 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(2|1|3) in diese Gleichung erhält man
d = 02 + 01 + 13=3
also: + x 3 = 3

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 0 4 -2 ) + r ( 0 -1 7 ) + s ( 0 -2 5 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x1-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x1 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n = ( 1 0 0 ) .)

E ist also die x2-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x1-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n = ( 1 0 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x1=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x2-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( 1 3 -3 ) +t ( 4 -1 -2 ) komplett in der Ebene E: -3 x 1 +a x 2 -6 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 4 -1 -2 ) ( -3 a -6 ) = 0

4(-3) + (-1)a + (-2)(-6) = 0
-12+a ⋅ (-1)+12 = 0 |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -3 x 1 -6 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (1|3|-3).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (1|3|-3) in E: -3 x 1 -6 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-3 1 -6 ( - 3 ) = b

-3+0+18 = b

15 = b

Mit b = 15 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -3 x 1 -6 x 3 = 15 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: x 1 +17 x 2 +4 x 3 = -73 und F: 3 x 1 +a x 2 +12 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen echt parallel sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( 3 a 12 ) = t⋅ ( 1 17 4 )

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 3 ⋅ 17 = 51.

Für a = 51 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: 3 x 1 +51 x 2 +12 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: 3 x 1 +51 x 2 +12 x 3 = -219 , d.h. für b = -219 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -219, also z.B.: b = -218 setzen.