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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( -1 -2 -1 ) hat und den Punkt P(5|-5|1) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( -1 -2 -1 ) besitzt, hat sie die Form E: - x 1 -2 x 2 - x 3 = d .

Da der Punkt P(5|-5|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-1 5 -2 ( - 5 ) -1 1 = d

-5+10-1 = d

4 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: - x 1 -2 x 2 - x 3 = 4 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -4 x 1 -4 x 2 -2 x 3 = -2 ist und die den Punkt P(4|2|-1) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -4 -4 -2 ) und damit die Form E: -4 x 1 -4 x 2 -2 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|2|-1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-4 4 -4 2 -2 ( - 1 ) = d

-16-8+2 = d

-22 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -4 x 1 -4 x 2 -2 x 3 = -22 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(2|-1|-4) auf der Ebene E: 3 x 1 +a x 2 + x 3 = -2 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

32 + a(-1) + 1(-4) = -2
6+a ⋅ (-1)+(-4) = -2 |-2
-1a = -4 | :(-1)
a = 4

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 3 -5 5 ) +t ( 5 3 -4 ) ist und die den Punkt P(4|-2|-3) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 5 3 -4 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 5 x 1 +3 x 2 -4 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|-2|-3) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

5 4 +3 ( - 2 ) -4 ( - 3 ) = d

20-6+12 = d

26 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 5 x 1 +3 x 2 -4 x 3 = 26 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +4 x 3 = 0 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 0 4 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x2-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x2-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung der x1-x3-Ebene.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 0 1 0 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form + x 2 = d . Durch Einsetzen des Ursprungs O(0|0|0) in diese Gleichung erhält man
d = 00 + 10 + 00=0
also: + x 2 = 0

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 3 -8 -3 ) + r ( 0 -9 2 ) + s ( 0 8 -2 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x1-Wert immer 3 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x1 = 3 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n = ( 1 0 0 ) .)

E ist also parallel zur x2-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x1-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n = ( 1 0 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x1=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x2-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( -3 4 -4 ) +t ( 2 -5 -1 ) komplett in der Ebene E: a x 1 - x 2 +5 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 2 -5 -1 ) ( a -1 5 ) = 0

2a + (-5)(-1) + (-1)5 = 0
a ⋅ 2+5+(-5) = 0 |-0
2a = 0 | :2
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: - x 2 +5 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (-3|4|-4).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (-3|4|-4) in E: - x 2 +5 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-1 4 +5 ( - 4 ) = b

0-4-20 = b

-24 = b

Mit b = -24 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: - x 2 +5 x 3 = -24 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: - x 1 - x 2 +3 x 3 = -3 und F: 3 x 1 +3 x 2 +a x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P(-1|1|-1) enthalten.

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Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
( 3 3 a ) ( -1 -1 3 ) =0

(-1)3 + (-1)3 + 3a = 0
-3+(-3)+a ⋅ 3 = 0 |+6
3a = 6 | :3
a = 2

Für a = 2 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: 3 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = b .

P liegt immer in E, denn (-1)(-1) + (-1)1 + 3(-1) = -3
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

3 ( - 1 ) +3 1 +2 ( - 1 ) = b

-3+3-2 = b

-2 = b

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 3 x 1 +3 x 2 +2 x 3 = -2 .