Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-2\\ -5\\ -2\end{array}\right)$ und damit die Form E: $-2x_1-5x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(4|4|0\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-28=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $-2x_1-5x_2-2x_3=-28$.

Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

$3\cdot \mathrm{(-2)}+5\cdot \mathrm{(-2)}+\mathrm{a}\cdot 3=-25$
$-6+\mathrm{(-10)}+\mathrm{a\; \cdot \; 3}=-25$ |+16
3a = -9 | :3
a = -3

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-2x_3=\mathrm{d}$.

Da der Punkt P$\left(-1|-3|5\right)$ auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

$-3=d$

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: $\mathrm{-}{x}_1-2x_2-2x_3=-3$.

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)$, er steht also senkrecht auf der x₁-x₂-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x₁-x₂-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x₁-x₂-Ebene.

Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form $\mathrm{}{x}_1=\mathrm{d}$. Durch Einsetzen des Punktes P$\left(2|3|3\right)$ in diese Gleichung erhält man
d = $1\cdot 2+0\cdot 3+0\cdot 3$=2
also: $\mathrm{}{x}_1=2$

1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x₃-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x₃ = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x₃-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x₃=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x₁-x₂-Ebene.

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

$\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-1\\ \mathrm{a}\\ -8\end{array}\right)$ = 0

$2\cdot \mathrm{(-1)}+\mathrm{(-2)}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-8)}=0$
$-2+\mathrm{a\; \cdot \; (-2)}+8=0$ |-6
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Für a = 3 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-8x_3=\mathrm{b}$.
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt $\left(3|2|-3\right)$.

Wir müssen also nur den Aufpunkt $\left(3|2|-3\right)$ in E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-8x_3=\mathrm{b}$ einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

$27=b$

Mit b = 27 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: $\mathrm{-}{x}_1+3x_2-8x_3=27$.

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
$\left(\begin{array}{c}\mathrm{a}\\ 9\\ 3\end{array}\right)$ = t⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 1. Zeile: a = 3 ⋅ 2 = 6.

Für a = 6 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: $6x_1+9x_2+3x_3=\mathrm{b}$.

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 3 durchmultipliziert, so erhält man
E: $6x_1+9x_2+3x_3=12$ , d.h. für b = 12 sind die beiden Ebenen identisch.