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parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -3 x 1 - x 2 +4 x 3 = -6 ist und die den Punkt P(3|-2|0) enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -3 -1 4 ) und damit die Form E: -3 x 1 - x 2 +4 x 3 = d .

Da der Punkt P(3|-2|0) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-3 3 -1 ( - 2 ) +4 0 = d

-9+2+0 = d

-7 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -3 x 1 - x 2 +4 x 3 = -7 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(-4|-4|4) auf der Ebene E: -4 x 1 +a x 2 -4 x 3 = -4 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

(-4)(-4) + a(-4) + (-4)4 = -4
16+a ⋅ (-4)+(-16) = -4 |-0
-4a = -4 | :(-4)
a = 1

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( -5 -1 -4 ) +t ( 4 -1 2 ) ist und die den Punkt P(-3|2|-2) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 4 -1 2 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 4 x 1 - x 2 +2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-3|2|-2) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

4 ( - 3 ) -1 2 +2 ( - 2 ) = d

-12-2-4 = d

-18 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 4 x 1 - x 2 +2 x 3 = -18 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +6 x 3 = -5 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 0 6 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x2-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x2-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x2-Achse ist und den Punkt (4|1|2) beinhaltet.

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Da die gesuchte Ebende parallel zur x2-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x2-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x1 und x3 einsetzt, muss b=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja a0 + bx2 + c0=d zu x2= d b umformen und würde einen Spurpunkt mit der x2-Achse erhalten)

Der Koeffizient b vor x2 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x1 + c⋅x3=d.

Punkt P(4|1|2) eingesetzt:
a⋅4 + c⋅2=d

a=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x1 + x3=6 ist also eine zur x2-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P(4|1|2) liegt.

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 3 -8 -7 ) + r ( 0 4 0 ) + s ( 7 3 -1 ) ?

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1. Weg:

Der 1. Spannvektor ist ja ( 0 4 0 ) und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x2-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x2-Achse.

2. Weg:

Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x2-Koordinate den Wert 0 haben, denn
( 0 4 0 ) ( a 0 c ) =0 .

Also E: a x 1 +c x 3 = d

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x3 und x1 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x2-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x2-Achse

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerage g: x = ( -1 3 1 ) +t ( -5 3 -1 ) komplett in der Ebene E: -2 x 1 +a x 2 +4 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( -5 3 -1 ) ( -2 a 4 ) = 0

(-5)(-2) + 3a + (-1)4 = 0
10+a ⋅ 3+(-4) = 0 |-6
3a = -6 | :3
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -2 x 1 -2 x 2 +4 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (-1|3|1).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (-1|3|1) in E: -2 x 1 -2 x 2 +4 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-2 ( - 1 ) -2 3 +4 1 = b

2-6+4 = b

0 = b

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -2 x 1 -2 x 2 +4 x 3 = 0 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: -3 x 1 +34 x 2 -5 x 3 = 35 und F: 9 x 1 +a x 2 +15 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P(3|1|-2) enthalten.

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Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
( 9 a 15 ) ( -3 34 -5 ) =0

(-3)9 + 34a + (-5)15 = 0
-27+a ⋅ 34+(-75) = 0 |+102
34a = 102 | :34
a = 3

Für a = 3 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: 9 x 1 +3 x 2 +15 x 3 = b .

P liegt immer in E, denn (-3)3 + 341 + (-5)(-2) = 35
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

9 3 +3 1 +15 ( - 2 ) = b

27+3-30 = b

0 = b

Mit b = 0 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 9 x 1 +3 x 2 +15 x 3 = 0 .