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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( 0 2 1 ) hat und den Punkt P(-4|-5|4) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( 0 2 1 ) besitzt, hat sie die Form E: +2 x 2 + x 3 = d .

Da der Punkt P(-4|-5|4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

+2 ( - 5 ) +1 4 = d

0-10+4 = d

-6 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: +2 x 2 + x 3 = -6 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -3 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = -46 ist und die den Punkt P(3|-3|-4) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( -3 5 3 ) und damit die Form E: -3 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = d .

Da der Punkt P(3|-3|-4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-3 3 +5 ( - 3 ) +3 ( - 4 ) = d

-9-15-12 = d

-36 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -3 x 1 +5 x 2 +3 x 3 = -36 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(5|5|-1) auf der Ebene E: 5 x 1 +a x 2 -3 x 3 = 23 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

55 + a5 + (-3)(-1) = 23
25+a ⋅ 5+3 = 23 |-28
5a = -5 | :5
a = -1

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( -5 4 -4 ) +t ( -2 3 5 ) ist und die den Punkt P(4|5|5) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( -2 3 5 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: -2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|5|5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-2 4 +3 5 +5 5 = d

-8+15+25 = d

32 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -2 x 1 +3 x 2 +5 x 3 = 32 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +9 x 2 = 0 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 9 0 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x2-x3-Ebene ist und den Punkt (1|2|4) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 1 0 0 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form x 1 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(1|2|4) in diese Gleichung erhält man
d = 11 + 02 + 04=1
also: x 1 = 1

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( -7 0 1 ) + r ( -4 0 4 ) + s ( -6 0 6 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x2-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x2 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n = ( 0 1 0 ) .)

E ist also die x1-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x2-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n = ( 0 1 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x2=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x1-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( 3 2 -3 ) +t ( -2 -4 -1 ) komplett in der Ebene E: a x 1 -10 x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( -2 -4 -1 ) ( a 0 -10 ) = 0

(-2)a + (-4)0 + (-1)(-10) = 0
a ⋅ (-2)+0+10 = 0 |-10
-2a = -10 | :(-2)
a = 5

Für a = 5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: 5 x 1 -10 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (3|2|-3).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (3|2|-3) in E: 5 x 1 -10 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

5 3 -10 ( - 3 ) = b

15+0+30 = b

45 = b

Mit b = 45 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 5 x 1 -10 x 3 = 45 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: -4 x 1 - x 2 +3 x 3 = 16 und F: 12 x 1 +3 x 2 +a x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen identisch sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( 12 3 a ) = t⋅ ( -4 -1 3 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = -3 ⋅ 3 = -9.

Für a = -9 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: 12 x 1 +3 x 2 -9 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: 12 x 1 +3 x 2 -9 x 3 = -48 , d.h. für b = -48 sind die beiden Ebenen identisch.