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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( 2 1 -5 ) hat und den Punkt P(-1|4|3) enthält.

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Da E den Normalenvektor n → = ( 2 1 -5 ) besitzt, hat sie die Form E: 2 x 1 + x 2 -5 x 3 = d .

Da der Punkt P(-1|4|3) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

2 ⋅ ( - 1 ) +1⋅ 4 -5⋅ 3 = d

-2+4-15 = d

-13 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: 2 x 1 + x 2 -5 x 3 = -13 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: +4 x 2 -3 x 3 = -2 ist und die den Punkt P(2|3|2) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n → = ( 0 4 -3 ) und damit die Form E: +4 x 2 -3 x 3 = d .

Da der Punkt P(2|3|2) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

+4⋅ 3 -3⋅ 2 = d

0+12-6 = d

6 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: +4 x 2 -3 x 3 = 6 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(0|-5|-4) auf der Ebene E: -2 x 1 +5 x 2 +a x 3 = -45 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

(-2)⋅0 + 5⋅(-5) + a⋅(-4) = -45
0+(-25)+a ⋅ (-4) = -45 |+25
-4a = -20 | :(-4)
a = 5

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x → = ( -4 4 1 ) +t⋅ ( 4 -5 -5 ) ist und die den Punkt P(4|3|-1) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n → = ( 4 -5 -5 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 4 x 1 -5 x 2 -5 x 3 = d .

Da der Punkt P(4|3|-1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

4 ⋅ 4 -5⋅ 3 -5⋅ ( - 1 ) = d

16-15+5 = d

6 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 4 x 1 -5 x 2 -5 x 3 = 6 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: -8 x 3 = 4 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n → = ( 0 0 -8 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x2-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x2-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x1-Achse ist und den Punkt (2|3|1) beinhaltet.

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Da die gesuchte Ebende parallel zur x1-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x1-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x2 und x3 einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja a⋅x1 + b⋅0 + c⋅0=d zu x1= d a umformen und würde einen Spurpunkt mit der x1-Achse erhalten)

Der Koeffizient a vor x1 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x2 + c⋅x3=d.

Punkt P(2|3|1) eingesetzt:
b⋅3 + c⋅1=d

b=1;c=1 und d=4 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x2 + x3=4 ist also eine zur x1-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P(2|3|1) liegt.

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x → = ( 5 2 2 ) + r ⋅ ( 0 4 -4 ) + s ⋅ ( 0 -6 1 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x1-Wert immer 5 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x1 = 5 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n → = ( 1 0 0 ) .)

E ist also parallel zur x2-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x1-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n → = ( 1 0 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x1=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also parallel zur x2-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x → = ( 5 1 5 ) +t⋅ ( 0 5 -1 ) komplett in der Ebene E: - x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 0 5 -1 ) ⋅ ( 0 -1 a ) = 0

0⋅0 + 5⋅(-1) + (-1)⋅a = 0
0+(-5)+a ⋅ (-1) = 0 |+5
-1a = 5 | :(-1)
a = -5

Für a = -5 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: - x 2 -5 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (5|1|5).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (5|1|5) in E: - x 2 -5 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-1⋅ 1 -5⋅ 5 = b

0-1-25 = b

-26 = b

Mit b = -26 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: - x 2 -5 x 3 = -26 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: -4 x 1 -3 x 2 +25 x 3 = 66 und F: -8 x 1 -6 x 2 +a x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen echt parallel sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( -8 -6 a ) = t⋅ ( -4 -3 25 )

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 25 = 50.

Für a = 50 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: -8 x 1 -6 x 2 +50 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: -8 x 1 -6 x 2 +50 x 3 = 132 , d.h. für b = 132 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 132, also z.B.: b = 133 setzen.