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Kursstufe
cosh
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Ebene aus Normalenvektor und Pkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor hat und den Punkt P enthält.
Da E den Normalenvektor = besitzt, hat sie die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: .
parallele Ebene durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: ist und die den Punkt P enthält.
Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor = und damit die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
Punktprobe in Ebene mit Parameter
Beispiel:
Für welches a liegt der Punkt P auf der Ebene E: ?
Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:
|
4a = 12 | :4
a = 3
Ebene aus orth. Geraden durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: ist und die den Punkt P enthält.

Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor = der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
spezielle Ebenen
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
Der Normalenvektor der Ebene ist =, er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.
Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x3-Ebene.
spezielle Ebenen aufstellen
Beispiel:
Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x1-Achse ist und den Punkt beinhaltet.
Da die gesuchte Ebende parallel zur x1-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x1-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x2 und x3 einsetzt, muss a=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.
(ansonsten könnte man ja zu umformen und würde einen Spurpunkt mit der x1-Achse erhalten)
Der Koeffizient a vor x1 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
b⋅x2 + c⋅x3=d.
Punkt P
b⋅4 + c⋅2=d
b=1;c=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x2 + x3=6 ist also eine zur x1-Achse parallele Ebene,
in der auch der Punkt P
spezielle Ebene in Parameterform
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E:

1. Weg:
Der 1. Spannvektor ist ja
Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x3-Achse.
2. Weg:
Da der 1. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der
x3-Koordinate den Wert 0 haben, denn
Also E:
Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x1 und x2 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x3-Achse hat.
Also ist die Ebene parallel zur x3-Achse
Parameter bestimmen, dass g in E liegt
Beispiel:
Bestimme a und b so, dass die Gerade g:

Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:
-5a = -5 | :(-5)
a = 1
Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E:
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt
Wir müssen also nur den Aufpunkt
Mit b = -13 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E:
Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen
Beispiel:
Gegeben sind die Ebenen E:

Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.
Daraus ergibt sich aber in der 3. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.
Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F:
Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E:
Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 12, also z.B.: b = 13 setzen.
