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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( 2 1 2 ) hat und den Punkt P(-2|5|1) enthält.

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Da E den Normalenvektor n = ( 2 1 2 ) besitzt, hat sie die Form E: 2 x 1 + x 2 +2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-2|5|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

2 ( - 2 ) +1 5 +2 1 = d

-4+5+2 = d

3 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: 2 x 1 + x 2 +2 x 3 = 3 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: - x 2 +2 x 3 = 11 ist und die den Punkt P(-1|-5|-1) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n = ( 0 -1 2 ) und damit die Form E: - x 2 +2 x 3 = d .

Da der Punkt P(-1|-5|-1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-1 ( - 5 ) +2 ( - 1 ) = d

0+5-2 = d

3 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: - x 2 +2 x 3 = 3 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(3|5|1) auf der Ebene E: -2 x 1 + x 2 +a x 3 = 4 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

(-2)3 + 15 + a1 = 4
-6+5+a ⋅ 1 = 4 |+1
1a = 5 | :1
a = 5

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x = ( 2 1 4 ) +t ( 3 1 -5 ) ist und die den Punkt P(0|1|0) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n = ( 3 1 -5 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: 3 x 1 + x 2 -5 x 3 = d .

Da der Punkt P(0|1|0) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

3 0 +1 1 -5 0 = d

0+1+0 = d

1 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 3 x 1 + x 2 -5 x 3 = 1 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: -3 x 2 = -9 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n = ( 0 -3 0 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x1-x3-Ebene ist und den Punkt (3|1|4) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n = ( 0 1 0 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form + x 2 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(3|1|4) in diese Gleichung erhält man
d = 03 + 11 + 04=1
also: + x 2 = 1

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x = ( 9 3 7 ) + r ( -7 -9 1 ) + s ( 9 0 0 ) ?

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1. Weg:

Der 2. Spannvektor ist ja ( 9 0 0 ) und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x1-Achse.

Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x1-Achse.

2. Weg:

Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der x1-Koordinate den Wert 0 haben, denn
( 9 0 0 ) ( 0 b c ) =0 .

Also E: +b x 2 +c x 3 = d

Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x2 und x3 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x1-Achse hat.

Also ist die Ebene parallel zur x1-Achse

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x = ( -3 -3 -5 ) +t ( 0 0 -1 ) komplett in der Ebene E: + x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 0 0 -1 ) ( 0 1 a ) = 0

00 + 01 + (-1)a = 0
0+0+a ⋅ (-1) = 0 |-0
-1a = 0 | :(-1)
a = 0

Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: + x 2 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (-3|-3|-5).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (-3|-3|-5) in E: + x 2 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

+1 ( - 3 ) = b

0-3+0 = b

-3 = b

Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: + x 2 = -3 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 3 x 1 -2 x 2 -3 x 3 = -29 und F: a x 1 +6 x 2 +9 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P(-3|4|4) enthalten.

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Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
( a 6 9 ) ( 3 -2 -3 ) =0

3a + (-2)6 + (-3)9 = 0
a ⋅ 3+(-12)+(-27) = 0 |+39
3a = 39 | :3
a = 13

Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung

F: 13 x 1 +6 x 2 +9 x 3 = b .

P liegt immer in E, denn 3(-3) + (-2)4 + (-3)4 = -29
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.

13 ( - 3 ) +6 4 +9 4 = b

-39+24+36 = b

21 = b

Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: 13 x 1 +6 x 2 +9 x 3 = 21 .