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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( -1 -2 -3 ) hat und den Punkt P(-3|-5|-2) enthält.

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Da E den Normalenvektor n → = ( -1 -2 -3 ) besitzt, hat sie die Form E: - x 1 -2 x 2 -3 x 3 = d .

Da der Punkt P(-3|-5|-2) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-1 ⋅ ( - 3 ) -2⋅ ( - 5 ) -3⋅ ( - 2 ) = d

3+10+6 = d

19 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: - x 1 -2 x 2 -3 x 3 = 19 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: 5 x 1 + x 2 + x 3 = -4 ist und die den Punkt P(5|-5|-4) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n → = ( 5 1 1 ) und damit die Form E: 5 x 1 + x 2 + x 3 = d .

Da der Punkt P(5|-5|-4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

5 ⋅ 5 +1⋅ ( - 5 ) +1⋅ ( - 4 ) = d

25-5-4 = d

16 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: 5 x 1 + x 2 + x 3 = 16 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(5|-3|2) auf der Ebene E: 2 x 1 + x 2 +a x 3 = 5 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

2⋅5 + 1⋅(-3) + a⋅2 = 5
10+(-3)+a ⋅ 2 = 5 |-7
2a = -2 | :2
a = -1

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x → = ( 1 -1 -5 ) +t⋅ ( -4 4 1 ) ist und die den Punkt P(2|-1|-5) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n → = ( -4 4 1 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: -4 x 1 +4 x 2 + x 3 = d .

Da der Punkt P(2|-1|-5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-4 ⋅ 2 +4⋅ ( - 1 ) +1⋅ ( - 5 ) = d

-8-4-5 = d

-17 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -4 x 1 +4 x 2 + x 3 = -17 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +4 x 2 = 0 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n → = ( 0 4 0 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x1-x2-Ebene ist und den Punkt (3|2|3) beinhaltet.

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Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser n → = ( 0 0 1 ) oder eben ein Vielfaches davon sein.

Die Koordinatengleichung hat also die Form + x 3 = d . Durch Einsetzen des Punktes P(3|2|3) in diese Gleichung erhält man
d = 0⋅3 + 0⋅2 + 1⋅3=3
also: + x 3 = 3

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x → = ( 0 -3 -7 ) + r ⋅ ( 0 1 6 ) + s ⋅ ( 0 -8 -5 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x1-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x1 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n → = ( 1 0 0 ) .)

E ist also die x2-x3-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x1-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n → = ( 1 0 0 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x1=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x2-x3-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x → = ( -4 3 -1 ) +t⋅ ( 5 -4 -1 ) komplett in der Ebene E: x 1 + x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( 5 -4 -1 ) ⋅ ( 1 1 a ) = 0

5⋅1 + (-4)⋅1 + (-1)⋅a = 0
5+(-4)+a ⋅ (-1) = 0 |-1
-1a = -1 | :(-1)
a = 1

Für a = 1 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: x 1 + x 2 + x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (-4|3|-1).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (-4|3|-1) in E: x 1 + x 2 + x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

1 ⋅ ( - 4 ) +1⋅ 3 +1⋅ ( - 1 ) = b

-4+3-1 = b

-2 = b

Mit b = -2 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: x 1 + x 2 + x 3 = -2 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: -5 x 1 +2 x 2 -3 x 3 = -33 und F: -10 x 1 +a x 2 -6 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen echt parallel sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( -10 a -6 ) = t⋅ ( -5 2 -3 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = 2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = 2 ⋅ 2 = 4.

Für a = 4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: -10 x 1 +4 x 2 -6 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = 2 durchmultipliziert, so erhält man
E: -10 x 1 +4 x 2 -6 x 3 = -66 , d.h. für b = -66 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ -66, also z.B.: b = -65 setzen.