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Ebene aus Normalenvektor und Pkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor ( 1 -4 -5 ) hat und den Punkt P(2|1|-4) enthält.

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Da E den Normalenvektor n → = ( 1 -4 -5 ) besitzt, hat sie die Form E: x 1 -4 x 2 -5 x 3 = d .

Da der Punkt P(2|1|-4) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

1 ⋅ 2 -4⋅ 1 -5⋅ ( - 4 ) = d

2-4+20 = d

18 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: x 1 -4 x 2 -5 x 3 = 18 .

parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: -2 x 1 +4 x 2 + x 3 = -3 ist und die den Punkt P(1|-5|1) enthält.

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Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n → = ( -2 4 1 ) und damit die Form E: -2 x 1 +4 x 2 + x 3 = d .

Da der Punkt P(1|-5|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-2 ⋅ 1 +4⋅ ( - 5 ) +1⋅ 1 = d

-2-20+1 = d

-21 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: -2 x 1 +4 x 2 + x 3 = -21 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(4|-2|5) auf der Ebene E: x 1 +a x 2 - x 3 = -7 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

1⋅4 + a⋅(-2) + (-1)⋅5 = -7
4+a ⋅ (-2)+(-5) = -7 |+1
-2a = -6 | :(-2)
a = 3

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x → = ( -5 3 3 ) +t⋅ ( 1 0 -1 ) ist und die den Punkt P(0|4|-3) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n → = ( 1 0 -1 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: x 1 - x 3 = d .

Da der Punkt P(0|4|-3) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

1 ⋅ 0 -1⋅ ( - 3 ) = d

0+0+3 = d

3 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: x 1 - x 3 = 3 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: +7 x 3 = 0 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n → = ( 0 0 7 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x2-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x2-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene die x1-x2-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x3-Achse ist und den Punkt (3|2|4) beinhaltet.

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Da die gesuchte Ebende parallel zur x3-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x3-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x1 und x2 einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja a⋅0 + b⋅0 + c⋅x3=d zu x3= d c umformen und würde einen Spurpunkt mit der x3-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x3 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x1 + b⋅x2=d.

Punkt P(3|2|4) eingesetzt:
a⋅3 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=5 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x1 + x2=5 ist also eine zur x3-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P(3|2|4) liegt.

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x → = ( -5 5 0 ) + r ⋅ ( -6 5 0 ) + s ⋅ ( -8 5 0 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x3-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x3 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n → = ( 0 0 1 ) .)

E ist also die x1-x2-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x3-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n → = ( 0 0 1 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x3=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x1-x2-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerade g: x → = ( 5 4 -5 ) +t⋅ ( -2 -3 -1 ) komplett in der Ebene E: a x 1 + x 2 + x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( -2 -3 -1 ) ⋅ ( a 1 1 ) = 0

(-2)⋅a + (-3)⋅1 + (-1)⋅1 = 0
a ⋅ (-2)+(-3)+(-1) = 0 |+4
-2a = 4 | :(-2)
a = -2

Für a = -2 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -2 x 1 + x 2 + x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (5|4|-5).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (5|4|-5) in E: -2 x 1 + x 2 + x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-2 ⋅ 5 +1⋅ 4 +1⋅ ( - 5 ) = b

-10+4-5 = b

-11 = b

Mit b = -11 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -2 x 1 + x 2 + x 3 = -11 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: -5 x 1 +2 x 2 + x 3 = -4 und F: 10 x 1 +a x 2 -2 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen echt parallel sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( 10 a -2 ) = t⋅ ( -5 2 1 )

Man erkennt nun gleich, dass dies nur für t = -2 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -2 ⋅ 2 = -4.

Für a = -4 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: 10 x 1 -4 x 2 -2 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -2 durchmultipliziert, so erhält man
E: 10 x 1 -4 x 2 -2 x 3 = 8 , d.h. für b = 8 sind die beiden Ebenen identisch.

Genau das wollen wir ja aber gerade nicht, deswegen können wir jeden beliebigen Wert für b ≠ 8, also z.B.: b = 9 setzen.