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parallele Ebene durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: x 1 -5 x 2 -5 x 3 = -18 ist und die den Punkt P(-2|1|1) enthält.

Lösung einblenden

Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor n → = ( 1 -5 -5 ) und damit die Form E: x 1 -5 x 2 -5 x 3 = d .

Da der Punkt P(-2|1|1) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

1 ⋅ ( - 2 ) -5⋅ 1 -5⋅ 1 = d

-2-5-5 = d

-12 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: x 1 -5 x 2 -5 x 3 = -12 .

Punktprobe in Ebene mit Parameter

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(4|3|-3) auf der Ebene E: -2 x 1 +a x 2 -5 x 3 = 13 ?

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Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:

(-2)⋅4 + a⋅3 + (-5)⋅(-3) = 13
-8+a ⋅ 3+15 = 13 |-7
3a = 6 | :3
a = 2

Ebene aus orth. Geraden durch Punkt

Beispiel:

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: x → = ( 0 -2 -4 ) +t⋅ ( -1 2 1 ) ist und die den Punkt P(-1|4|-5) enthält.

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Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor n → = ( -1 2 1 ) der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: - x 1 +2 x 2 + x 3 = d .

Da der Punkt P(-1|4|-5) auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.

-1 ⋅ ( - 1 ) +2⋅ 4 +1⋅ ( - 5 ) = d

1+8-5 = d

4 = d

Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: - x 1 +2 x 2 + x 3 = 4 .

spezielle Ebenen

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: + x 2 = -7 ?

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Der Normalenvektor der Ebene ist n → = ( 0 1 0 ) , er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.

Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x3-Ebene.

spezielle Ebenen aufstellen

Beispiel:

Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x3-Achse ist und den Punkt (4|2|4) beinhaltet.

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Da die gesuchte Ebende parallel zur x3-Achse sein muss, darf sie keinen Spurpunkt mit der x3-Achse haben, das heißt, wenn man 0 für x1 und x2 einsetzt, muss c=0 sein, damit die ganze linke Seite immer 0 ist; und die Gleichung so zu einem Widerspruch 0=d führt.

(ansonsten könnte man ja a⋅0 + b⋅0 + c⋅x3=d zu x3= d c umformen und würde einen Spurpunkt mit der x3-Achse erhalten)

Der Koeffizient c vor x3 muss also 0 sein. Die Gleichung der Ebene lautet dann
a⋅x1 + b⋅x2=d.

Punkt P(4|2|4) eingesetzt:
a⋅4 + b⋅2=d

a=1;b=1 und d=6 ist eine (von unendlich vielen) Möglichkeiten für diese Gleichung.
x1 + x2=6 ist also eine zur x3-Achse parallele Ebene, in der auch der Punkt P(4|2|4) liegt.

spezielle Ebene in Parameterform

Beispiel:

Welche besondere Lage hat die Ebene E: x → = ( 0 -1 0 ) + r ⋅ ( -3 6 0 ) + s ⋅ ( -4 1 0 ) ?

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1. Weg:

Man kann erkennen, dass - egal was man für r und s einsetzt - der x3-Wert immer 0 bleibt. Man kann die Ebene also auch in der Form als x3 = 0 als Koordinatenebene darstellen. (Damit ist dann der Normalenvektor n → = ( 0 0 1 ) .)

E ist also die x1-x2-Ebene.

2. Weg:

Da beide Spannvektoren an der x3-Stelle den Wert 0 haben, kann man leicht den Normalenvektor n → = ( 0 0 1 ) bestimmen. Damit muss die Ebene die Form x3=c haben. (Mit Punktprobe des Aufpunkts von E erkennt man dann ...)

E ist also die x1-x2-Ebene.

Parameter bestimmen, dass g in E liegt

Beispiel:

Bestimme a und b so, dass die Gerage g: x → = ( 4 5 -3 ) +t⋅ ( -1 3 -1 ) komplett in der Ebene E: -4 x 1 -4 x 2 +a x 3 = b liegt.

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Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:

( -1 3 -1 ) ⋅ ( -4 -4 a ) = 0

(-1)⋅(-4) + 3⋅(-4) + (-1)⋅a = 0
4+(-12)+a ⋅ (-1) = 0 |+8
-1a = 8 | :(-1)
a = -8

Für a = -8 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: -4 x 1 -4 x 2 -8 x 3 = b .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt (4|5|-3).

Wir müssen also nur den Aufpunkt (4|5|-3) in E: -4 x 1 -4 x 2 -8 x 3 = b einsetzen, um noch das b zu bestimmen.

-4 ⋅ 4 -4⋅ 5 -8⋅ ( - 3 ) = b

-16-20+24 = b

-12 = b

Mit b = -12 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: -4 x 1 -4 x 2 -8 x 3 = -12 .

Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Ebenen E: 2 x 1 +29 x 2 -5 x 3 = 139 und F: -6 x 1 +a x 2 +15 x 3 = b . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen identisch sind.

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Wenn die beiden Ebenen parallel oder identisch sein sollen, müssen ihre Normalenvektoren vielfache (oder gleich) sein. Es muss also gelten:
( -6 a 15 ) = t⋅ ( 2 29 -5 )

Man erkent nun gleich, dass dies nur für t = -3 möglich ist.

Daraus ergibt sich aber in der 2. Zeile: a = -3 ⋅ 29 = -87.

Für a = -87 sind die Ebenen also parallel oder sogar identisch, für F gilt also
F: -6 x 1 -87 x 2 +15 x 3 = b .

Wenn man nun die Gleichung der Ebene E mit t = -3 durchmultipliziert, so erhält man
E: -6 x 1 -87 x 2 +15 x 3 = -417 , d.h. für b = -417 sind die beiden Ebenen identisch.