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Kursstufe
cosh
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Ebene aus Normalenvektor und Pkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die den Normalenvektor hat und den Punkt P enthält.
Da E den Normalenvektor = besitzt, hat sie die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung E: .
parallele Ebene durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F, die parallel zur Ebene E: ist und die den Punkt P enthält.
Jede zu E parallele Ebene hat den gleichen Normalenvektor = und damit die Form E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
Punktprobe in Ebene mit Parameter
Beispiel:
Für welches a liegt der Punkt P auf der Ebene E: ?
Wir setzen einfach mal den Punkt P in E ein:
|
1a = 5 | :1
a = 5
Ebene aus orth. Geraden durch Punkt
Beispiel:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g: ist und die den Punkt P enthält.
Wenn E orthogonal zur Geraden g ist, so kann man den Richtungsverktor von g als Normalenvektor = der gesuchten Ebene verwenden. Dadurch ergibt sich für die Koordinatengleichung der Ebene E: .
Da der Punkt P auf der gesuchten Ebene liegen soll, können wir diesen einfach einsetzen, um das d zu bestimmen.
Die gesuchte Ebene hat somit die Gleichung F: .
spezielle Ebenen
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
Der Normalenvektor der Ebene ist =, er steht also senkrecht auf der x1-x3-Ebene. Also muss die Ebene parallel zur x1-x3-Ebene sein.
Eine Punktprobe mit dem Ursprung O(0|0|0) zeigt, dass dieser nicht auf der Ebene liegt. Also ist die Ebene parallel x1-x3-Ebene.
spezielle Ebenen aufstellen
Beispiel:
Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur x1-x3-Ebene ist und den Punkt beinhaltet.
Da der Normalenvektor der gesuchten Ebene senkrecht auf der Ebene steht, muss dieser = oder eben ein Vielfaches davon sein.
Die Koordinatengleichung hat also die Form . Durch Einsetzen des Punktes P in diese Gleichung erhält man
d = =1
also:
spezielle Ebene in Parameterform
Beispiel:
Welche besondere Lage hat die Ebene E: ?
1. Weg:
Der 2. Spannvektor ist ja und zeigt damit genau in gleiche Richtung wie die x1-Achse.
Damit ist die Ebene - unabhängig vom anderen Spannvektor - parallel zur x1-Achse.
2. Weg:
Da der 2. Spannvektor an zwei Stellen den Wert 0 hat, muss der Normalenvektor (der ja orthogonal zu den beiden Spannvektoren ist) an der
x1-Koordinate den Wert 0 haben, denn
⋅ =0 .
Also E:
Wenn man jetzt aber die Spurpunkte der Ebene sucht, also auch x2 und x3 gleich 0 setzt, so erkennt man, dass die Ebene keinen Schnittpunkt mit der x1-Achse hat.
Also ist die Ebene parallel zur x1-Achse
Parameter bestimmen, dass g in E liegt
Beispiel:
Bestimme a und b so, dass die Gerade g: komplett in der Ebene E: liegt.
Wenn die Gerade g in E liegen soll, muss auch der Normalenvektor von E orthogonal zum Richtungsvektor von g sein, also muss gelten:
⋅ = 0
|
-1a = 0 | :(-1)
a = 0
Für a = 0 ist also g parallel zu E oder liegt in E.
E hat dann also die Koordinatengleichung E: .
Wenn g in E liegen soll, muss ja jeder Punkt von g in E liegen, also auch der Aufpunkt .
Wir müssen also nur den Aufpunkt in E: einsetzen, um noch das b zu bestimmen.
Mit b = -3 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: .
Parameter für Lage von 2 Ebenen bestimmen
Beispiel:
Gegeben sind die Ebenen E: und F: . Bestimme a und b so, dass die beiden Ebenen sich orthogonal schneiden und beide den Punkt den P enthalten.
Wenn sich die beiden Ebenen orthognal schneiden sollen, müssen auch ihre Normalenvektoren orthogonal sein. Es muss also gelten:
⋅ =0
|
3a = 39 | :3
a = 13
Für a = 13 sind also die beiden Normalenvektoren und damit auch die Ebenen orthogonal. F hat dann also die Koordinatengleichung
F: .
P liegt immer in E, denn = -29
Damit P auch in F liegt, müssen wir den Punkt einfach in F einsetzen und nach b auflösen.
Mit b = 21 ergibt sich somit als Koordinatengleichung für E: .