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Intervalle für Monotonie finden (ohne MNF)

Beispiel:

Bestimme auf welchen Intervallen, die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 8 x - 2$ streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend ist:

Lösung einblenden

Wir untersuchen die Monotonie von f mit Hilfe der 1. Ableitung. Dazu leiten wir f erst einmal ab:

=> $f'(x) =$ $2 x - 8 + 0$

Ist die Ableitung f'(x)>0, so ist die Funktion f streng monoton wachsend.
Gilt f'(x)<0, so ist die Funktion f streng monoton fallend.
Wir bestimmen deswegen die Nullstellen von f' um die Übergänge vom einen zum anderen Bereich zu finden.

$f'(x) =$ $2 x - 8$

Wir lösen die Gleichung:

$2 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Wir betrachten nun die Intervalle, die an diese x-Werte angrenzen.

also (-∞ ; 4), (4; ∞)

Da f'(x) überall definiert und stetig ist und die eben ausgerechneten Nullstellen die einzigen von f'(x) sind, müssen immer jeweils auf dem ganzen Intervall die Funktionswerte von f'(x) dasselbe Vorzeichen haben, entweder alle positiv oder alle negativ.

Wir können also einen beliebigen Wert aus dem Innern des Intervalls einsetzen, um damit das Vorzeichen der Werte im gesamten Intervall zu bestimmen:

(-∞ ; 4): Wir wählen x=0∈(-∞ ; 4): f'(0)= $2 \cdot 0 - 8$ = -8 also < 0

(4; ∞): Wir wählen x=5∈(4; ∞): f'(5)= $2 \cdot 5 - 8$ = 2 also > 0

Somit erahlten wir folgendes Ergebnis:

(-∞ ; 4): f'(x) negativ, also f streng monoton fallend

(4; ∞): f'(x) positiv, also f streng monoton steigend

Intervalle für Monotonie finden

Beispiel:

Bestimme auf welchen Intervallen, die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3$ streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend ist:

Lösung einblenden

Wir untersuchen die Monotonie von f mit Hilfe der 1. Ableitung. Dazu leiten wir f erst einmal ab:

=> $f'(x) =$ $x^{2} + x - 2 + 0$

Ist die Ableitung f'(x)>0, so ist die Funktion f streng monoton wachsend.
Gilt f'(x)<0, so ist die Funktion f streng monoton fallend.
Wir bestimmen deswegen die Nullstellen von f' um die Übergänge vom einen zum anderen Bereich zu finden.

$f'(x) =$ $x^{2} + x - 2$

Wir lösen die Gleichung:

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Wir betrachten nun die Intervalle, die an diese x-Werte angrenzen.

also (-∞ ; -2), (-2 ; 1), (1; ∞)

Da f'(x) überall definiert und stetig ist und die eben ausgerechneten Nullstellen die einzigen von f'(x) sind, müssen immer jeweils auf dem ganzen Intervall die Funktionswerte von f'(x) dasselbe Vorzeichen haben, entweder alle positiv oder alle negativ.

Wir können also einen beliebigen Wert aus dem Innern des Intervalls einsetzen, um damit das Vorzeichen der Werte im gesamten Intervall zu bestimmen:

(-∞ ; -2): Wir wählen x=-3∈(-∞ ; -2): f'(-3)= ${(- 3)}^{2} - 3 - 2$ = 4 also > 0

(-2 ; 1): Wir wählen x=0∈(-2 ; 1): f'(0)= $0^{2} + 0 - 2$ = -2 also < 0

(1; ∞): Wir wählen x=2∈(1; ∞): f'(2)= $2^{2} + 2 - 2$ = 4 also > 0

Somit erahlten wir folgendes Ergebnis:

(-∞ ; -2): f'(x) positiv, also f streng monoton steigend

(-2 ; 1): f'(x) negativ, also f streng monoton fallend

(1; ∞): f'(x) positiv, also f streng monoton steigend

Intervalle für Monotonie rückwärts

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 3 mit folgenden Eigenschaften:

Für x < -5 ist f(x) streng monoton wachsend
Für -5 < x < 4 ist f(x) streng monoton fallend
Für x > 4 ist f(x) streng monoton wachsend

Lösung einblenden

Am einfachsten untersuchen wir die Monotonie mit dem Monotoniesatz, also über das Vorzeichen der Werte der Ableitungsfunktion f'. An den Grenzen -5 und 4 muss dort also das Vorzeichen in der Ableitungsfunktion f' wechseln. Somit müssen dort Nullstellen in f' sein:

Wir basteln uns also als Ableitungsfunktion eine ganzrationale Funktion mit den Nullstellen -5 und 4 in dem wir einfach die zugehörigen Linearfaktoren multiplizieren:

f'(x) = $(x + 5) (x - 4)$ = $x \cdot x + x \cdot (- 4) + 5 \cdot x + 5 \cdot (- 4)$ = $x^{2} + x - 20$

Für (- ∞,-5) nehmen wir x = -6: f'(-6) = $(- 6 + 5) \cdot (- 6 - 4)$ = $- 1 \cdot (- 10)$ = $10$ > 0, also streng monoton wachsend

Für (-5,4) nehmen wir x = 3: f'(3) = $(3 + 5) \cdot (3 - 4)$ = $8 \cdot (- 1)$ = $- 8$ < 0, also streng monoton fallend

Für (4,+ ∞) nehmen wir x = 5: f'(5) = $(5 + 5) \cdot (5 - 4)$ = $10 \cdot 1$ = $10$ > 0, also streng monoton wachsend

Jetzt haben wir also eine passende Ableitungsfunktion für unsere gesuchte Funktion (im Schaubild in blau gezeichnet) und brauchen nur noch eine Funktion, deren Ableitung wieder $(x + 5) (x - 4)$ = $x^{2} + x - 20$ ergibt.

Dazu erhöhen wir einfach bei jedem Summanden der ausmultipliplizierten Ableitungsfunktion die Hochzahl um 1 und multiplizieren die neue Hochzahl in den Nenner des Koeffizienten:

f(x) = $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 20 x$

Natürlich sind auch andere Funktionen als Lösung möglich.

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