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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

( x +4 ) ( x -3 ) > 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass ( x +4 ) ( x -3 ) = 0 ist.

( x +4 ) ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +4 = 0 | -4
x1 = -4

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu f(x)= ( x +4 ) ( x -3 ) ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu ( x +4 ) ( x -3 ) = 0 (x1 = -4 und x2 = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

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Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem ( x +4 ) ( x -3 ) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ( -5 +4 ) · ( -5 -3 ) = 8 > 0
Für -4 < x < 3: f(0) = ( 0 +4 ) · ( 0 -3 ) = -12 < 0
Für x > 3: f(4) = ( 4 +4 ) · ( 4 -3 ) = 8 > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall ( x +4 ) ( x -3 ) = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung ( x +4 ) ( x -3 ) > 0 gehört, ist x1=-4 und x2=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -4 oder x > 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

2 x 2 -8 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass 2 x 2 -8 = 0 ist.

2 x 2 -8 = 0 | +8
2 x 2 = 8 |:2
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu f(x)= 2 x 2 -8 ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu 2 x 2 -8 = 0 (x1 = -2 und x2 = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

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Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem 2 x 2 -8 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = 2 ( -3 ) 2 -8 = 10 > 0
Für -2 < x < 2: f(0) = 2 0 2 -8 = -8 < 0
Für x > 2: f(3) = 2 3 2 -8 = 10 > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x)0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall 2 x 2 -8 = 0 auch zur gesuchten Ungleichung 2 x 2 -8 0 gehört, ist x1=-2 und x2=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -2 und x ≤ 2.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

-2 x 2 + x -5 -3x -3 .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass -2 x 2 + x -5 = -3x -3 ist.

-2 x 2 + x -5 = -3x -3 | +3x +3
-2 x 2 +4x -2 = 0 |:2

- x 2 +2x -1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -1 ) · ( -1 ) 2( -1 )

x1,2 = -2 ± 4 -4 -2

x1,2 = -2 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -2 -2 = 1

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von f(x)= -2 x 2 + x -5 und g(x)= -3x -3 ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu -2 x 2 + x -5 = -3x -3 (x = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

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Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= -3x -3 haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= -3x -3 liegen.
Somit gilt die Ungleichung -2 x 2 + x -5 -3x -3 für kein x außer für x = 1.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= -3x -3 gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = -2 0 2 +0 -5 = -5 < -3 = -30 -3 = g(0)
Für x > 1: f(2) = -2 2 2 +2 -5 = -11 < -9 = -32 -3 = g(2)
Also gilt die Ungleichung -2 x 2 + x -5 -3x -3 in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall -2 x 2 + x -5 = -3x -3 auch zur gesuchten Ungleichung -2 x 2 + x -5 -3x -3 gehört, ist x=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{1}