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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x (x - 3)$ < 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x (x - 3)$ = 0 ist.

x (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $x (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x (x - 3)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x (x - 3)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- 1 \cdot (- 1 - 3)$ = $4$ > 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $2 \cdot (2 - 3)$ = $- 2$ < 0
Für x > 3: f(4) = $4 \cdot (4 - 3)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x (x - 3)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x (x - 3)$ < 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 6 x$ ≤ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 6 x$ = 0 ist.

$2 x^{2} - 6 x$	=	0
$2 x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} - 6 x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 6 x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2 x^{2} - 6 x$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 6 \cdot (- 1)$ = $8$ > 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $2 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2$ = $- 4$ < 0
Für x > 3: f(4) = $2 \cdot 4^{2} - 6 \cdot 4$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2 x^{2} - 6 x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} - 6 x$ ≤ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 0 und x ≤ 3.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 18 x + 29$ ≤ $- 2 x - 5$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 18 x + 29$ = $- 2 x - 5$ ist.

2 x^{2} - 18 x + 29

=

- 2 x - 5

|

+ 2 x

+ 5

2 x^{2} - 16 x + 34

= 0 |:2

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $2 x^{2} - 18 x + 29$ und $g(x) =$ $- 2 x - 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 18 x + 29$ = $- 2 x - 5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 2 x - 5$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 2 x - 5$ oder alle unter der Geraden y= $- 2 x - 5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- 2 x - 5$ liegen.
Die Ungleichung $2 x^{2} - 18 x + 29$ ≤ $- 2 x - 5$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 2 x - 5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $2 x^{2} - 18 x + 29$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2 \cdot 0^{2} - 18 \cdot 0 + 29$ = $29$ > $- 5$ = $- 2 \cdot 0 - 5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2 x^{2} - 18 x + 29$ ≤ $- 2 x - 5$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):