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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 4) x$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 4) x$ = 0 ist.

$- (x + 4) x$	=	0
$- x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 4) x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 4) x$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 0) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 4) x$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $- (- 5 + 4) \cdot (- 5)$ = $- 5$ < 0
Für -4 < x < 0: f(-1) = $- (- 1 + 4) \cdot (- 1)$ = $3$ > 0
Für x > 0: f(1) = $- (1 + 4) \cdot 1$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 4) x$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- (x + 4) x$ > 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=0 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -4 und x < 0.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 3 x$ ≤ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 3 x$ = 0 ist.

$2 x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (2 x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$2 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$2 x$	=	$- 3$	\|: $2$
x₂	=	$- \frac{3}{2}$ = -1.5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 3 x$ = 0 (x₁ = -1.5 und x₂ = 0) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2 x^{2} + 3 x$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1.5: f(-2) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2)$ = $2$ > 0
Für -1.5 < x < 0: f(-1) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1)$ = $- 1$ < 0
Für x > 0: f(1) = $2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2 x^{2} + 3 x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} + 3 x$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-1.5 und x₂=0 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -1.5 und x ≤ 0.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 18 x + 38$ ≥ $2 x + 4$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 18 x + 38$ = $2 x + 4$ ist.

2 x^{2} + 18 x + 38

=

2 x + 4

|

- 2 x

- 4

2 x^{2} + 16 x + 34

= 0 |:2

$x^{2} + 8 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $2 x^{2} + 18 x + 38$ und $g(x) =$ $2 x + 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 18 x + 38$ = $2 x + 4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2 x + 4$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $2 x + 4$ oder alle unter der Geraden y= $2 x + 4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $2 x + 4$ liegen.
Die Ungleichung $2 x^{2} + 18 x + 38$ ≥ $2 x + 4$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2 x + 4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $2 x^{2} + 18 x + 38$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 18 \cdot 0 + 38$ = $38$ > $4$ = $2 \cdot 0 + 4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2 x^{2} + 18 x + 38$ ≥ $2 x + 4$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):