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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

( x +3 ) ( x -5 ) 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass ( x +3 ) ( x -5 ) = 0 ist.

( x +3 ) ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +3 = 0 | -3
x1 = -3

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu f(x)= ( x +3 ) ( x -5 ) ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu ( x +3 ) ( x -5 ) = 0 (x1 = -3 und x2 = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

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Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem ( x +3 ) ( x -5 ) 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = ( -4 +3 ) · ( -4 -5 ) = 9 > 0
Für -3 < x < 5: f(0) = ( 0 +3 ) · ( 0 -5 ) = -15 < 0
Für x > 5: f(6) = ( 6 +3 ) · ( 6 -5 ) = 9 > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x)0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall ( x +3 ) ( x -5 ) = 0 auch zur gesuchten Ungleichung ( x +3 ) ( x -5 ) 0 gehört, ist x1=-3 und x2=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -3 oder x ≥ 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

x 2 +8x +16 < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass x 2 +8x +16 = 0 ist.

x 2 +8x +16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 1 · 16 21

x1,2 = -8 ± 64 -64 2

x1,2 = -8 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -4 ± 0 = -4

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu f(x)= x 2 +8x +16 ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu x 2 +8x +16 = 0 (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

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Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung x 2 +8x +16 < 0 für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ( -5 ) 2 +8( -5 ) +16 = 1 > 0
Für x > -4: f(0) = 0 2 +80 +16 = 16 > 0
Also gilt die Ungleichung x 2 +8x +16 < 0 in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall x 2 +8x +16 = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung x 2 +8x +16 < 0 gehört, ist x=-4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

- x 2 -5x -20 > 3x -4 .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass - x 2 -5x -20 = 3x -4 ist.

- x 2 -5x -20 = 3x -4 | -3x +4

- x 2 -8x -16 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -16 ) 2( -1 )

x1,2 = +8 ± 64 -64 -2

x1,2 = +8 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 8 -2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -8x -16 = 0 |: -1

x 2 +8x +16 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 4 2 - 16 = 16 - 16 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -4 ± 0 = -4

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von f(x)= - x 2 -5x -20 und g(x)= 3x -4 ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu - x 2 -5x -20 = 3x -4 (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

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Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= 3x -4 haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= 3x -4 liegen.
Somit gilt die Ungleichung - x 2 -5x -20 > 3x -4 für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= 3x -4 gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = - ( -5 ) 2 -5( -5 ) -20 = -20 < -19 = 3( -5 ) -4 = g(-5)
Für x > -4: f(0) = - 0 2 -50 -20 = -20 < -4 = 30 -4 = g(0)
Also gilt die Ungleichung - x 2 -5x -20 > 3x -4 in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall - x 2 -5x -20 = 3x -4 nicht zur gesuchten Ungleichung - x 2 -5x -20 > 3x -4 gehört, ist x=-4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)