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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

( x +1 ) ( x -4 ) < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass ( x +1 ) ( x -4 ) = 0 ist.

( x +1 ) ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu f(x)= ( x +1 ) ( x -4 ) ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu ( x +1 ) ( x -4 ) = 0 (x1 = -1 und x2 = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

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Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem ( x +1 ) ( x -4 ) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = ( -2 +1 ) · ( -2 -4 ) = 6 > 0
Für -1 < x < 4: f(0) = ( 0 +1 ) · ( 0 -4 ) = -4 < 0
Für x > 4: f(5) = ( 5 +1 ) · ( 5 -4 ) = 6 > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall ( x +1 ) ( x -4 ) = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung ( x +1 ) ( x -4 ) < 0 gehört, ist x1=-1 und x2=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -1 und x < 4.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

-2 x 2 -8x -10 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass -2 x 2 -8x -10 = 0 ist.

-2 x 2 -8x -10 = 0 |:2

- x 2 -4x -5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -5 ) 2( -1 )

x1,2 = +4 ± 16 -20 -2

x1,2 = +4 ± ( -4 ) -2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu f(x)= -2 x 2 -8x -10 ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu -2 x 2 -8x -10 = 0 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

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Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der x-Achse oder alle unter der x-Achse liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Die Ungleichung -2 x 2 -8x -10 0 gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen alle Funktionswerte von f(x)= -2 x 2 -8x -10 immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = -2 0 2 -80 -10 = -10 < 0
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung -2 x 2 -8x -10 0 gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

-2 x 2 -7x -6 -3x -2 .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass -2 x 2 -7x -6 = -3x -2 ist.

-2 x 2 -7x -6 = -3x -2 | +3x +2
-2 x 2 -4x -4 = 0 |:2

- x 2 -2x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -2 ) 2( -1 )

x1,2 = +2 ± 4 -8 -2

x1,2 = +2 ± ( -4 ) -2

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von f(x)= -2 x 2 -7x -6 und g(x)= -3x -2 ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu -2 x 2 -7x -6 = -3x -2 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

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Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= -3x -2 , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= -3x -2 oder alle unter der Geraden y= -3x -2 liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= -3x -2 liegen.
Die Ungleichung -2 x 2 -7x -6 -3x -2 gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= -3x -2 gibt, müssen alle Funktionswerte von f(x)= -2 x 2 -7x -6 immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = -2 0 2 -70 -6 = -6 < -2 = -30 -2 = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung -2 x 2 -7x -6 -3x -2 gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)