Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$\left(x+1\right)\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $\left(-2+1\right)·\left(-2-4\right)$ = $6$ > 0
Für -1 < x < 4: f(0) = $\left(0+1\right)·\left(0-4\right)$ = $-4$ < 0
Für x > 4: f(5) = $\left(5+1\right)·\left(5-4\right)$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -1 und x < 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2-8x-10$ = 0 ist.

$-2x^2-8x-10$ = 0 |:2

$-x^2-4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 =

x_1,2 =

x_1,2 =

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-2x^2-8x-10$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2-8x-10$ = 0 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der x-Achse oder alle unter der x-Achse liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Die Ungleichung $-2x^2-8x-10$ ≤ 0 gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-8x-10$ immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2-8\cdot 0-10$ = $-10$ < 0
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2-8x-10$ ≤ 0 gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2-7x-6$ = $-3x-2$ ist.

$-2x^2-7x-6$

=

$-3x-2$

| $+3x$ $+2$

$-2x^2-4x-4$ = 0 |:2

$-x^2-2x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 =

x_1,2 =

x_1,2 =

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-7x-6$ und $\text{g(x)}=$ $-3x-2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2-7x-6$ = $-3x-2$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-3x-2$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $-3x-2$ oder alle unter der Geraden y= $-3x-2$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $-3x-2$ liegen.
Die Ungleichung $-2x^2-7x-6$ ≤ $-3x-2$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-3x-2$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-7x-6$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2-7\cdot 0-6$ = $-6$ < $-2$ = $-3\cdot 0-2$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2-7x-6$ ≤ $-3x-2$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)