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cosh
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quadr. Ungleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die quadratische Ungleichung:
>
Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass
=
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
x2 | = |
Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu
ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu
=
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:
1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach
oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem
>
2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei
Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) =
=
> 0
Für -4 < x < 3: f(0) =
=
< 0
Für x > 3: f(4) =
=
> 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist,
links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.
Da der Grenzfall
=
x < -4 oder x > 3.
quadratische Ungleichungen
Beispiel:
Löse die quadratische Ungleichung:
≤
Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass
=
= | | | ||
= | |: | ||
= | | | ||
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:
1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach
oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem
2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei
Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) =
Für -2 < x < 2: f(0) =
Für x > 2: f(3) =
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist,
zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.
Da der Grenzfall
x ≥ -2 und x ≤ 2.
quadratische Ungleichungen 2
Beispiel:
Löse die quadratische Ungleichung:
Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu
Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y=
1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach
unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y=
Somit gilt die Ungleichung
2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y=
Für x < 1: f(0) =
Für x > 1: f(2) =
Also gilt die Ungleichung
Da der Grenzfall
{1}