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orthogonaler Vektor finden

Beispiel:

Gib einen zu v = ( 5 -4 5 ) orthogonalen Vektor an (der Nullvektor ist nicht erlaubt).

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Man braucht einen Vektor ( a b c ) , für den ( 5 -4 5 ) ( a b c ) =0 gilt. Hierfür gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Eine mögliche wäre z.B. ( 5 5 -1 ) , denn ( 5 -4 5 ) ( 5 5 -1 ) =55 + (-4)5 + 5(-1) = 25-20-5=0

orthogonale Gerade zu Gerade finden

Beispiel:

Gib eine Gerade h an, die die Gerade g: x = ( 4 -2 3 ) +t ( -3 -5 -3 ) orthogonal schneidet.

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Damit die beiden Geraden orthogonal sind, müssen deren Richtungsvektoren orthogonal sein. Wir suchen also einen Vektor, der orthogonal zum gegebenen Richtungsvektor ( -3 -5 -3 ) ist.

Hierfür gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Eine mögliche wäre z.B. ( 3 3 -8 ) , denn ( -3 -5 -3 ) ( 3 3 -8 ) =(-3)3 + (-5)3 + (-3)(-8) = -9-15+24=0

Damit sich die beiden Geraden nun auch wirklich schneiden und nicht windschief sind, muss gewährleistet sein, dass die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt haben. Am einfachsten geht das, indem man der gesuchten orthogonalen Geraden einfach den selben Aufpunkt wie der der gegebenen Geraden verpasst.

Somit ergibt sich h: x = ( 4 -2 3 ) +t ( 3 3 -8 ) als eine möglich Lösung.

orthogonale Ebene zu Ebene finden

Beispiel:

Gib eine zur Ebene E: 7 x 1 +5 x 2 -6 x 3 = -6 orthogonale Ebene F an.

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Man braucht eine Ebene, die orthogonal zur Ebene E ist, also müssen auch die beiden Normalenvektoren orthogonal sein.

Man braucht also einen Vektor der orthogonal zum Normalenvektor einer Ebene E: ( 7 5 -6 ) ist.

,

Hierfür gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Eine mögliche wäre z.B. ( 1 1 2 ) , denn ( 7 5 -6 ) ( 1 1 2 ) =71 + 51 + (-6)2 = 7+5-12=0

Eine mögliche Ebene wäre also x 1 + x 2 +2 x 3 = d

Über den Wert auf der rechten Seite braucht man sich keine Gedanken zu machen, weil ja alle Ebenen mit dem gleichen Normalenvektor immer parallel zueinander sind, unabhängig von dem d auf der rechten Seite. Wenn also eine der Ebenen orthogonal zur gesuchten Ebene ist, so ist es jede. Deswegen nehmen wir für das d auf der rechten Seite einfach 0.

Eine mögliche Ebene wäre also E: x 1 + x 2 +2 x 3 = 0

spezielles Dreieck nachweisen

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(9|-2|9), B(1|5|2) und C(5|-3|1).

Untersuche, ob das Dreieck gleichschenklig und/oder rechtwinklig ist.

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Wir berechnen zuerst einmal die drei Verbindungsvektoren jeweils zwischen zwei Punkten:

AB = ( -8 7 -7 ) , AC = ( -4 -1 -8 ) und BC = ( 4 -8 -1 )

Jetzt schauen wir uns die Längen der drei Vektoren an:

| AB | = (-8) 2 + 72 + (-7) 2 = 162

| AC | = (-4) 2 + (-1)2 + (-8) 2 = 81 = 9

| BC | = 4 2 + (-8)2 + (-1) 2 = 81 = 9

Da | AC |=| BC |, ist das Dreieck gleichschenklig.

Jetzt untersuchen wir die drei Vektoren paarweise auf Orthogonalität:

AB AC = ( -8 7 -7 ) ( -4 -1 -8 ) =(-8)(-4) + 7(-1) + (-7)(-8) = 32-7+56=81

AB BC = ( -8 7 -7 ) ( 4 -8 -1 ) =(-8)4 + 7(-8) + (-7)(-1) = -32-56+7=-81

BC AC = ( 4 -8 -1 ) ( -4 -1 -8 ) =4(-4) + (-8)(-1) + (-1)(-8) = -16+8+8=0

Da BC AC =0, ist das Dreieck rechtwinklig in C.

4. Punkt finden für spezielles Parallelogramm

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A(-3|-3|-4), B(-4|2|-16) und C(-5|2|-29) soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D. Entsteht dadurch ein spezielles Parallelogramm?

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Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C, also
BC = ( -5-( - 4 ) 2-2 -29-( - 16 ) ) = ( -1 0 -13 )
zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

OD = OA + BC = ( -3 -3 -4 ) + ( -1 0 -13 ) = ( -4 -3 -17 )

Der gesuchte 4. Punkt ist also D(-4|-3|-17)

Jetzt muss noch überprüft werden, ob dieses Parallelogramm eine spezielles ist:

Dazu überprüfen wir zuerst, ob ein rechter Winkel in diesem Parallelogramm ist. Es genügt hier zu prüfen, ob ein rechter Winkel in B ist, weil ein Parallelogramm entweder nur rechte Winkel oder eben keinen hat. (Ein rechter Winkel zwischen AB und AC ist unerheblich, da ja AC inzwischen die Diagonale des Parallelogramms ist).

Wir untersuchen also das Skalarprodukt von AB = ( -4-( - 3 ) 2-( - 3 ) -16-( - 4 ) ) = ( -1 5 -12 ) und BC , also
AB BC = ( -1 5 -12 ) ( -1 0 -13 ) =(-1)(-1) + 50 + (-12)(-13) = 1+0+156=157

Da das Skalarprodukt ungleich 0 ist, sind die beiden Vektoren also nicht orthogonal und das Parallelogramm ist kein Rechteck.

Jetzt muss noch untersucht werden, ob die beiden nicht gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms gleich lang sind. Dazu berechnen wir einfach die Beträge der beiden Vektoren AB und BC :

| AB | = (-1) 2 + 52 + (-12) 2 = 170

| BC | = (-1) 2 + 02 + (-13) 2 = 170

Da die beiden Vektoren gleich lang sind, haben alle 4 Seiten des Parallelogramms die gleiche Länge, somit ist es eine Raute.

Gerade beinhaltende Ebene finden

Beispiel:

Gib eine Ebene an, in der die Geraden g: x = ( 0 -3 -1 ) +t ( -5 -5 0 ) liegt.

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Man braucht eine Ebene, in der die Gerade g liegt. Da der Normalenvektoren immer orthogonal zur Ebene ist, muss dieser in diesem Fall auch orthogonal zur Geraden, also zu deren Richtungsvektor ( -5 -5 0 ) sein.

Hierfür gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Eine mögliche wäre z.B. ( 0 0 1 ) , denn ( -5 -5 0 ) ( 0 0 1 ) =(-5)0 + (-5)0 + 01 = 0+0+0=0

Eine mögliche Ebene wäre also + x 3 = d

Damit die Ebene nun nicht parallel zu g liegt, muss gewährleistet sein, dass ein Punkt von g (und damit automatisch alle) in der Ebene liegt. Dazu setzen wir den Aufpunkt (0|-3|-1) in die Ebenengleichung ein und erhalten somit den richtigen Wert für d: 00 + 0(-3) + 1(-1) = -1 = d

Ein mögliche Ebene wäre also E: + x 3 = -1

orthogonale Ebene zu Gerade finden

Beispiel:

Gib eine zur Geraden g: x = ( -5 0 0 ) +t ( 4 0 -4 ) orthogonale Ebene E an.

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Man braucht eine Ebene, die orthogonal zur Gerade g, also zu deren Richtungsvektor u = ( 4 0 -4 ) ist.

Da der Normalenvektor einer Ebene ja auch immer orthogonal zu seiner Ebene ist, kann man also den Richtungsvektor oder ein Vielfaches von diesem als Normalenvektor nehmen.

Den Wert rechts vom Gleichheitszeichen kann man beliebig wählen, da dieser nur bestimmt wo, aber nicht wie die Ebene im Raum liegt.

Eine mögliche Ebene wäre also E: 4 x 1 -4 x 3 = 0

zu E orthogonale Gerade durch P

Beispiel:

Bestimme eine Gleichung der Geraden h, die orthogonal zur Ebene E: -5 x 1 + x 2 -4 x 3 = 40 und durch den Punkt P(-2|-2|5) verläuft.

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Wenn h orthogonal zur Ebene E sein soll, so kann man als Richtungsverktor von h den Normalenvektor n = ( -5 1 -4 ) der Ebene E verwenden.

Da der Punkt P(-2|-2|5) auf der gesuchten Geraden liegen soll, können wir diesen einfach als Stützvektor der gesuchten Gerdaen verwenden.

Somit ergibt sich für die gesuchte Gerade die Gleichung g: x = ( -2 -2 5 ) +t ( -5 1 -4 ) .

Parallele Ebene zu Gerade finden

Beispiel:

Gib eine zur Geraden g: x = ( 2 4 1 ) +t ( 5 2 1 ) parallele Ebene E an.

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Man braucht eine Ebene, die parallel zur Geraden g ist. Da der Normalenvektoren immer orthogonal zur Ebene ist, muss dieser in diesem Fall auch orthogonal zur Geraden, also zu deren Richtungsvektor ( 5 2 1 ) sein.

Hierfür gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Eine mögliche wäre z.B. ( 1 1 -7 ) , denn ( 5 2 1 ) ( 1 1 -7 ) =51 + 21 + 1(-7) = 5+2-7=0

Daraus ergibt sich eine mögliche Ebene E: x 1 + x 2 -7 x 3 = 0

Parallele Gerade zu Ebene finden

Beispiel:

Gib eine zur Ebene E: - x 1 -2 x 2 - x 3 = -7 parallele Gerade g an.

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Man braucht eine Gerade, die parallel zur Ebene E ist. Da der Normalenvektor ( -1 -2 -1 ) orthogonal zur Ebene ist, muss dieser also auch orthogonal zur gesuchten Gerade, un damit zu dessen Richtungsvektor sein.

Hierfür gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Eine mögliche wäre z.B. ( 1 1 -3 ) , denn ( -1 -2 -1 ) ( 1 1 -3 ) =(-1)1 + (-2)1 + (-1)(-3) = -1-2+3=0

Eine mögliche Gerade wäre also g: x = ( 0 0 1 ) +t ( 1 1 -3 )

Gerade beinhaltende Ebene finden

Beispiel:

Gib eine Ebene an, in der die Geraden g: x = ( 0 5 1 ) +t ( -5 -5 -2 ) liegt.

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Man braucht eine Ebene, in der die Gerade g liegt. Da der Normalenvektoren immer orthogonal zur Ebene ist, muss dieser in diesem Fall auch orthogonal zur Geraden, also zu deren Richtungsvektor ( -5 -5 -2 ) sein.

Hierfür gibt es unendlich viele richtige Lösungen. Eine mögliche wäre z.B. ( 1 1 -5 ) , denn ( -5 -5 -2 ) ( 1 1 -5 ) =(-5)1 + (-5)1 + (-2)(-5) = -5-5+10=0

Eine mögliche Ebene wäre also x 1 + x 2 -5 x 3 = d

Damit die Ebene nun nicht parallel zu g liegt, muss gewährleistet sein, dass ein Punkt von g (und damit automatisch alle) in der Ebene liegt. Dazu setzen wir den Aufpunkt (0|5|1) in die Ebenengleichung ein und erhalten somit den richtigen Wert für d: 10 + 15 + (-5)1 = 0 = d

Ein mögliche Ebene wäre also E: x 1 + x 2 -5 x 3 = 0