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Punkte in einem Quader bestimmen

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist ein Quader in ein 3-dimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Die Quaderseiten sind parallel zu den Koordinatenebenen. Der Punkt C hat die Koordinaten C $(2 | 2 | 0)$ . Der Quader ist (in x₁-Richtung) 5 Einheiten tief, 4 Einheiten breit und 5 Einheiten hoch.

Gib die Koordinaten der Punkte F und H an.

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Da ja C auf der unteren Quaderfläche liegt, müssen auch die Punkte B, D und A als x₃-Koordinate 0 haben, weil sie ja auch auf der unteren Quaderfläche liegen.

Da die Kante CB parallel zur x₁-Achse liegt, muss B auch die gleiche x₂-Koordinate wie C haben. Die x₁-Koordinate muss wegen der gegebenen Tiefe 5 Einheiten Abstand in x₁-Richtung haben, somit gilt B $(7 | 2 | 0)$ .

Da die Kante CD parallel zur x₂-Achse liegt, muss D auch die gleiche x₁-Koordinate wie C haben. Die x₂-Koordinate muss wegen der gegebenen Breite 4 Einheiten Abstand in x₂-Richtung haben, somit gilt D $(2 | -2 | 0)$ .

Mit den gleichen Überlegungen kann man sehen, dass A die gleiche x₁-Koordinate wie B und die gleiche x₂-Koordinate wie D haben muss, somit gilt: A $(7 | -2 | 0)$ .

Die anderen 4 Punkte G, F, H und E liegen ja genau über C, B, D und A und haben somit jeweils die gleichen x₁- und x₂-Koordinaten und unterscheiden sich nur in der x₃-Koordinate, die eben um 5 Einheiten größer sein muss. Somit gilt: G $(2 | 2 | 5)$ , F $(7 | 2 | 5)$ , H $(2 | -2 | 5)$ , E $(7 | -2 | 5)$ .

Koordinaten im Würfel finden

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist ein Würfel in ein 3-dimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Die Würfelseiten sind parallel zu den Koordinatenebenen. Der Punkt F hat die Koordinaten F $(4 | 1 | 2)$ , der Punkt C hat die Koordinaten C $(1 | 1 | -1)$ .

Gib die Koordinaten der Punkte B und D an.

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F und C unterscheiden sich in der x₁-Koordinate um 3, somit ist die Kantenlänge des Würfels 3.

Da ja F auf der oberen Quaderfläche liegt, müssen auch die Punkte G, E und H als x₃-Koordinate 2 haben, weil sie ja auch auf der oberen Quaderfläche liegen.

Da die Kante FG parallel zur x₁-Achse liegt, muss G auch die gleiche x₂-Koordinate wie F haben. Die x₁-Koordinate muss wegen der gegebenen Tiefe 3 Einheiten Abstand in x₁-Richtung haben, somit gilt G $(1 | 1 | 2)$ .

Da die Kante FE parallel zur x₂-Achse liegt, muss E auch die gleiche x₁-Koordinate wie F haben. Die x₂-Koordinate muss wegen der gegebenen Breite 3 Einheiten Abstand in x₂-Richtung haben, somit gilt E $(4 | -2 | 2)$ .

Mit den gleichen Überlegungen kann man sehen, dass H die gleiche x₁-Koordinate wie G und die gleiche x₂-Koordinate wie E haben muss, somit gilt: H $(1 | -2 | 2)$ .

Die anderen 4 Punkte B, A, C und D liegen ja genau unter F, G, E und H und haben somit jeweils die gleichen x₁- und x₂-Koordinaten und unterscheiden sich nur in der x₃-Koordinate, die eben um 3 Einheiten kleiner sein muss. Somit gilt: B $(4 | 1 | -1)$ , A $(4 | -2 | -1)$ , C $(1 | 1 | -1)$ , D $(1 | -2 | -1)$ .

Diagonalenschnittpkt Parallelogramm

Beispiel:

Berechne den Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms ABCD mit A $(-1 | -3 | 1)$ , B $(-1 | 5 | 1)$ , C $(5 | 3 | -3)$ und D $(5 | -5 | -3)$ .

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Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen (Gegenüberliegende Teildreiecke sind kongruent wegen einer gemeinsamen Seitenlänge und zwei gleichen (Wechsel-)Winkeln). Wir müssen also nur den Mittelpunkt einer Diagonalen berechnen!

Z.B. von AC: . M

(\frac{-1 + 5}{2} | \frac{-3 + 3}{2} | \frac{1 + (- 3)}{2})

= M

(2 | 0 | -1)

oder von BD: . M

(\frac{-1 + 5}{2} | \frac{5 + (- 5)}{2} | \frac{1 + (- 3)}{2})

= M

(2 | 0 | -1)

Mittelpunkte im Quader bestimmen

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist ein Quader in ein 3-dimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Die Quaderflächen sind parallel zu den Koordinatenebenen. A $(4 | 1 | 0)$ , B $(4 | 5 | 0)$ , D $(-1 | 1 | 0)$ und E $(4 | 1 | 3)$ sind Eckpunkte des Quaders.

M ist der Kantenmittelpunkt der Kante FG. Gib die Koordinaten von M an.

Lösung einblenden

Da ja A, B und D auf der unteren Quaderfläche liegen und die Quaderflächen parallel zu den Koordinatenebenen liegen, muss auch der Punkt C als x₃-Koordinate 0 haben, weil C ja auch auf der unteren Quaderfläche liegt.

Da die Kante BC parallel zur x₁-Achse liegt, muss C auch die gleiche x₂-Koordinate wie B haben und da die Kante CD parallel zur x₂-Achse liegt, muss C die gleiche x₁-Koordinate wie D haben. Somit gilt C $(-1 | 5 | 0)$ .

Die anderen 4 Punkte E, F, G und h liegen ja genau über A, B, C und D und haben somit jeweils die gleichen x₁- und x₂-Koordinaten und unterscheiden sich nur in der x₃-Koordinate. Da auch die Deckelfläche des Quaders parallel zur x₁-x₂-Ebnene liegt, müssen alle Punkte dieser Deckelfläche die selbe x₃-Koordinate haben. Und da E als x₃-Koordinate 3 hat, gilt: F $(4 | 5 | 3)$ , G $(-1 | 5 | 3)$ , H $(-1 | 1 | 3)$ .

Jetzt müssen wir nur noch den Mittelpunkt der Kante FG berechnen:

Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten kann man einfach berechnen, indem man in jede Koordinate den Mittelwert der beiden Werte in der jeweiligen Koordinate setzt: . M_FG $(\frac{4 + (- 1)}{2} | \frac{5 + 5}{2} | \frac{3 + 3}{2})$ = M $(1.5 | 5 | 3)$

Pyramide rückwärts

Beispiel:

Im Schaubild rechts ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche in ein 3-dimensionales Koordinatensystem eingezeichnet. Die Grundfläche der Pyramide ist parallel zur x₁-x₂-Ebene. Der Punkt B hat die Koordinaten B $(9 | 5 | -2)$ , der Punkt C hat die Koordinaten C $(1 | 5 | -2)$ . Das Volumen der Pyramide beträgt $\frac{256}{3}$ Volumeneinheiten.

Gib die Koordinaten der Spitze S an.

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Da die Pyramide gerade ist, liegt die Spitze genau über dem Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche der Pyramide. Diesen Diagonalenschnittpunkt können wir einfach als Mittelpunkt zweier gegenüberliegenden Punkte der Grundfläche berechnen. Dazu brauchen wir aber noch mindestens einen weiteren Punkt der Grundfläche:

Der Punkt D muss natürlich auch als x₃-Koordinate den Wert -2 haben, da ja die Grundfläche parallel zur x₁-x₂-Ebene ist, außerdem muss er die gleiche x₁-Koordinate wie C haben. Da B und C den Abstand 8 haben, muss die x₂-Koordinate von D auch um 8 kleiner sein, somit gilt: D $(1 | -3 | -2)$ .

Jetzt können wir den Mittelpunkt von B und D berechnen:
M. $(\frac{9 + 1}{2} | \frac{5 + (- 3)}{2} | \frac{-2 + (- 2)}{2})$ = M $(5 | 1 | -2)$

Dieser Mittelpunkt M liegt nun am Fuß der Höhe h. Deren Länge kennen wir zwar noch nicht, aber wir können sie über das gegebene Volumen berechnen:

Für das Volumen einer Pyramide gilt: V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h

Und weil die Grundfläche G ein Quadrat mit Seitenlänge 8 ist, gilt:
$\frac{256}{3}$ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 8² ⋅ h
$\frac{256}{3}$ = $\frac{64}{3}$ ⋅ h |: $\frac{64}{3}$
4 = h
Die Höhe der Pyramide ist also h = 4

Die Spitze S der Pyramide muss also die gleichen x₁- und x₂-Koordinaten wie M haben, allerdings einen um 4 größeren x₃-Wert,
also S $(5 | 1 | 2)$ .

Punkt an Achsenebene spiegeln

Beispiel:

Der Punkt $P (4 | 2 | 0)$ wird an der x₂-x₃-Ebene gespiegelt!
Berechne den Bildpunkt P'!

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Die x₂-x₃-Ebene hat ja den Normalenvektor $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ . Und da eine Spiegelung immer orthogonal zur Ebene ausgeführt wird, muss also der Verbindungsvektor zwischen P und seinem Bildpunkt P' auch ein Vielfaches von $\vec{n}$ = $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ sein. Das heißt aber, dass sich die beiden Punkte in der x₂-Koordinate und x₃-Koordinate nicht unterscheiden, also P' $(a | 2 | 0)$ .

Beide Punkte müssen ja aber den gleichen Abstand von der x₂-x₃-Ebene (x₁=0) haben, also muss die x₁-Koordinate von P' direkt "gegenüber" von der von P sein. Somit gilt für den gespiegelten Bildpunkt P' $(-4 | 2 | 0)$ .

Punkte auf Koordinatenachse bestimmen

Beispiel:

Gib zwei Punkte A und B an, die auf der x₂-Achse liegen und den Abstand 5 haben.

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Wenn die beiden Punkte auf der x₂-Achse liegen, müssen die x₃-Koordinate und die x₁-Koordinate jeweils = 0 sein, das heißt beim ersten Punkt A kann man nur die x₂-Koordinate frei wählen, z.B. A $(0 | -4 | 0)$ .

Da auch bei B die x₃-Koordinate und die x₁-Koordinate =0 sein müssen, und der Abstand zu A 5 betragen soll, muss eben die x₂-Koordinate um 5 kleiner oder größer als bei A sein. Somit wäre beispielweise B $(0 | 1 | 0)$ ein möglicher Punkt.

Objekte auf Koordinaten-Ebenen

Beispiel:

Gib zwei Punkte A und B an, die in der x₂-x₃-Ebene liegen und den Abstand 2 haben. Außerdem soll die Strecke AB parallel zur x₂-Achse sein'!

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Wenn die beiden Punkte in der x₂-x₃-Ebene liegen, muss die x₁-Koordinate jeweils = 0 sein, das heißt beim ersten Punkt A kann man alles außer der x₁-Koordinate frei wählen, z.B. A $(0 | -5 | 5)$ .

Da die Strecke AB parallel zur x₂-Achse sein muss, sollte auch noch die x₃-Koordinate bei A und B gleich sein, also gilt: B $(0 | c | 5)$

Um auf den Abstand 2 zwischen A und B zu kommen, müssen sich nun also die x₂-Koordinaten bei A und B um 2 unterscheiden. Also wäre beispielweise B $(0 | -3 | 5)$ ein möglicher Punkt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Punkte in einem Quader bestimmen

Koordinaten im Würfel finden

Diagonalenschnittpkt Parallelogramm

Mittelpunkte im Quader bestimmen

Pyramide rückwärts

Punkt an Achsenebene spiegeln

Punkte auf Koordinatenachse bestimmen

Objekte auf Koordinaten-Ebenen