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parallele Gerade durch einen Punkt

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte A(4|0|3), B(6|5|-1) und C(5|-5|-2).

Die Gerade g ist parallel zur Geraden durch A und B und geht durch den Punkt C. Bestimme eine Geradengleichung von g.

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Wir stellen zuerst mit dem Ortsvektor von A als Stützvektor und dem Verbindungvektors AB als Richtungsvektor die Gerade durch A und B auf:

AB = ( 6-4 5-0 -1-3 ) = ( 2 5 -4 )

Somit gilt für die Gerade durch A und B: x = 0A + t ⋅ AB , also :

x = ( 4 0 3 ) + t ⋅ ( 2 5 -4 )

Da die gesuchte Gerade ja parallel zur Geraden durch A und B sein soll, können wir für diese doch einfach den gleichen Richtungsvektor AB = ( 2 5 -4 ) nehmen. Lediglich als Stützvektor ersetzen wir nun den Ortsvektor von A mit dem von C:

Somit gilt für die Gerade durch A und B: x = 0C + t ⋅ AB , also :

x = ( 5 -5 -2 ) + t ⋅ ( 2 5 -4 )

Punkt auf Geraden prüfen

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g: x = ( -5 -4 3 ) +t ( -4 0 0 ) .

Überprüfe, ob der Punkt P(-17|-4|3) auf der Geraden liegt und zeichne diesen in die Abbildung rechts ein.

Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt P sein müsste, bzw. auf die rote Fläche, wenn er nicht auf g liegt.

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Um zu überprüfen, ob P auf der Geraden g liegt, setzen wir diesen einfach in die Geradengleichung ein:

( -17 -4 3 ) = ( -5 -4 3 ) +t ( -4 0 0 )

-17 = -5 -4t |+5
-4 = -4 +0t |+4
3 = 3 +0t |-3

-12 = -4t, also t = 3
0 = 0t, also 0=0 (passt!)
0 = 0t, also 0=0 (passt!)

Für t= 3 stimmen alle drei Gleichungen, es gilt also ( -17 -4 3 ) = ( -5 -4 3 ) +3 ( -4 0 0 )

Wir müssen somit den (in der Abbildung orange dargestellten) Richtungsvektor um den Faktor 3 verlängern bzw. kürzen, um vom Aufpunkt der Geraden (-5|-4|3) zum gesuchten Punkt P(-17|-4|3) zu gelangen (siehe roter Pfeil in der Abbildung).

Parameter bestimmen, dass P auf g

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(-3|1|3) auf der Geraden g: x = ( a 4 7 ) +t ( 2 -3 -4 ) ?

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Wenn der Punkt P auf der Geraden liegen soll, kann man dessen Ortsvektor ja in die Geradengleichung ganz links für das x einsetzen:

( -3 1 3 ) = ( a 4 7 ) +t ( 2 -3 -4 )

Wir betrachten nun jede Zeile für sich und versuchen das t zu bestimmen, falls kein a in der Zeile vorkommt:

-3 = a+2⋅t

1 = 4-3⋅t=> -3⋅t = -3 also t = 1

3 = 7-4⋅t=> -4⋅t = -4 also t = 1

Setzen wir nun diese t = 1 in die 1-te Zeile ein, so erhalten wir:
-3 = a +2, also gilt: a = -5

2 Darstellungen einer Geraden

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g: x = ( 0 3 2 ) +t ( 2 4 -4 ) .

Bestimme die restlichen Koordinaten des Stütz- und Richtungsvektor, so dass die beiden Geradengleichungen zur selben Geraden g gehören.

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Wir beginnen mit dem Richtungsvektor, der ja ein Vielfaches des Richtungsvektors der gegebenen Geraden ( 2 4 -4 ) sein muss.

Es muss also gelten:

( 2 4 -4 ) = r ⋅ ( x1 -12 x3 )

Man sieht schnell, dass r = - 1 3 sein muss.

Somit muss auch -4 = - 1 3 ⋅ x3, also x3 = 12 sein .

Somit muss auch 2 = - 1 3 ⋅ x1, also x1 = -6 sein .

Der gesuchte Richtungsvektor ist also ( -6 -12 12 ) und wir können g entweder als x = ( 0 3 2 ) +t ( 2 4 -4 ) oder als x = ( 0 3 2 ) +t ( -6 -12 12 ) schreiben.

Jetzt brauchen wir noch einen Punkt auf der Geraden mit 6 in der x1-Koordinate, den wir als Stützvektor benutzen können.

Um diesen zu bestimmen nehmen wir am besten die Geradendarstellung mit den kleineren Zahlen im Richtungsvektor. Wir suchen also s2 und s3 damit gilt:

( 6 s2 s3 ) = ( 0 3 2 ) +t ( 2 4 -4 )

Hier betrachten wir natürlich die 1. Zeile, in der steht:
6 = 0 + t ⋅ 2 | -0
6 = t ⋅ 2
3 = t

Wenn wir also t=3 in die Geradengleichung einsetzen erhalten wir als Ortsvektor eines Geradenpunkts ( 0 3 2 ) +3 ( 2 4 -4 ) = ( 6 15 -10 ) .

Dieser hat an der x1-Koordinate die geforderte und kann als Stützvektor benutzt werden. Die gesuchte Geradengleichung ist damit:
x = ( 6 15 -10 ) +t ( -6 -12 12 )

2. Gerade mit best. Lage finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g durch x = ( 1 3 -2 ) +t ( -3 3 1 ) .

Gib eine Gerade an, die sich in einem Punkt schneidend mit g ist.

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Da die beiden Geraden sich in einem Punkt schneidend miteinander sind, darf der Richtungsvektor von h nicht gleich dem von g oder ein Vielfaches davon sein. Am geschicktesten ist es, wenn man als Richtungsvektor von h einen ganz einfachen Vektor nimmt, z.B.: ( 1 0 0 ) .

Da sich die beiden Geraden ja in einem Punkt schneiden sollen, ist es am einfachsten, man nimmt den Stützvektor von g auch als Stützvektor von h, denn dann würde ja dieser (Auf-)Punkt (1|3|-2) sowohl auf g als auch auf h liegen und wäre somit ein gemeinsamer (Schnitt-)Punkt.

Es ergibt sich also als eine möglich Gerade h: x = ( 1 3 -2 ) +t ( 1 0 0 )

Gegenseitige Lage zweier Geraden

Beispiel:

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden

g: x = ( 0 -3 -4 ) +t ( 1 2 0 ) und h: x = ( 1 2 2 ) +t ( 1 3 2 )

Berechne ggf. den Schnittpunkt.

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Die beiden Richtungsvektoren ( 1 2 0 ) und ( 1 3 2 ) der Geraden sind keine Vielfachen voneinander, die Geraden können also weder parallel noch identisch sein. Wir müssen deswegen noch prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben oder nicht.
Wir setzen dazu die beiden Geraden gleich und lösen das so entstehende Lineare Gleichungssystem.

( 0 -3 -4 ) +s ( 1 2 0 ) = ( 1 2 2 ) +t ( 1 3 2 )

0+1s= 1+1t-3+2s= 2+3t-4+0s= 2+2t

s -1 t = 1 (I) 2 s -3 t = 5 (II) -2 t = 6 (III)
s -1 t = 1 (I) 2 s -3 t = 5 (II) -2 t = 6 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1 s -1 t = 1 (I) ( 2 -2 )s +( -2 +3 )t = +( 2 -5 ) (II) -2 t = 6 (III)
s -1 t = 1 (I) +t = -3 (II) -2 t = 6 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

1 s -1 t = 1 (I) 1 t = -3 (II) +( 2 -2 )t = +( -6 +6 ) (III)
s -1 t = 1 (I) +t = -3 (II) 0 = 0 (III)
Zeile (II): +t = -3

t = -3

eingesetzt in Zeile (I):

s -1 (-3 ) = 1 | -3
1 s = -2 | : 1

s = -2

L={(-2 |-3 )}

Für s=-2 und t=-3 sind also alle 3 Gleichungen und damit die ursprüngliche Vektorgleichung erfüllt.

Wir setzen nun also entweder s=-2 in g oder t=-3 in h ein und erhalten so den Ortsvektor des Schnittpunktes.

( 0 -3 -4 ) +-2 ( 1 2 0 ) = ( -2 -7 -4 )
SP(-2|-7|-4)

Parameter einer Geraden bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Geraden g: x = ( 4 5 -2 ) +t ( -9 12 12 ) und h: x = ( 1 9 a ) +t ( -3 b 4 ) .

Bestimme die Parameter a und b so, dass die Geraden g und h echt parallel (also nicht identisch) sind.

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Wenn die beiden Geraden echt parallel sein sollen, müssen die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sein, es muss also gelten:

r ⋅ ( -9 12 12 ) = ( -3 b 4 )

Man erkennt leicht, dass wegen der 3. und 1. Zeile ein Gleichheit nur für r = 1 3 möglich sein kann. Wenn wir also b = 1 3 ⋅ 12 = 4 setzen so gilt 1 3 ( -9 12 12 ) = ( -3 b 4 ) .

Somit muss also b = 4 sein.

Mit diesem b wissen wir nun, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Somit kann die gegenseitige Lage der beiden Geraden nur noch echt parallel oder identisch sein.

Damit nun die beiden Geraden aber auch wirklich echt parallel und nicht identisch sind, müssen wir sicherstellen, dass g und h keinen gemeinsamen Punkt haben.
Der einfachste Fall zum Rechnen wäre, wenn zufällig bereits der Aufpunkt von h (1|9|a) auf g liegen würde. Deswegen untersuchen wir mal, ob es ein a gibt, so dass der Aufpunkt von h (1|9|a) auf g liegt.

Wir setzen also ( 1 9 a ) = ( 4 5 -2 ) +t ( -9 12 12 ) ,

Dazu betrachten wir die 1. Zeile :

1 = 4 -9t
1 = -9t +4 | -1 +9t
9t = 3 |:9
t = 1 3

und die 2. Zeile:

9 = 5 +12t
9 = 12t +5 | -9 -12t
-12t = -4 |:(-12 )
t = 1 3

In beiden Fällen muss t also 1 3 sein. Setzen wir nun dieses t = 1 3 auch noch in die 3. Zeile ein, so erhalten wir:

a = -2 + 1 3 12 = 2.

Für a = 2 würde also der Aufpunkt von h (1|9|2) auf der Geraden g liegen, denn

( 1 9 2 ) = ( 4 5 -2 ) + 1 3 ( -9 12 12 )

Das soll ja aber gerade nicht sein. Deswegen müssen wir einen anderen Wert für a wählen, z.B. a = 3, damit der Aufpunkt von h (1|9|3) nicht auf g liegt. (So erhalten wir einen anderen Wert für t in der 3. Zeile.)

Da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, könnnen die Geraden ja nur noch parallel oder identisch sein. Da nun aber der Aufpunkt von h (1|9|3) nicht auf g liegt, können sie nicht mehr identisch sein.

Punkt auf Geraden mit Abstand d

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte A(3|-2|3) und B(-1|6|11).

Berechne den Abstand von A und B.

Welche Punkte auf der Geraden durch A und B haben den Abstand 24 vom Punkt A?

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Zuerst berechnet man den Vektor AB = ( -1-3 6-( - 2 ) 11-3 ) = ( -4 8 8 ) .
Damit können wir gleich mal den Abstand zwischen A und B berechnen: dAB=| AB | = (-4) 2 + 82 + 8 2 = 12

Für die Gerade durch A und B gilt:
gAB: x = OA + t ⋅ AB , also x = ( 3 -2 3 ) +t ( -4 8 8 )

Da der gesuchte Abstand 24 gerade 2 mal so lang ist wie die Länge des Richtungsvektors ( -4 8 8 ) (| AB |=12), muss für die Ortsvektoren der gesuchten Punkte gelten:

OP1 = OA + 2 ⋅ AB = ( 3 -2 3 ) +2 ( -4 8 8 ) = ( -5 14 19 ) , also 2 in die Geradengleichung eingesetzt.

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OP2 = OA - 2 ⋅ AB = ( 3 -2 3 ) -2 ( -4 8 8 ) = ( 11 -18 -13 ) , also -2 in die Geradengleichung eingesetzt.

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Die gesuchten Punkte sind also P1(-5|14|19) und P2(11|-18|-13).