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parallele Gerade durch einen Punkt

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte A(0|3|-4), B(0|4|-9) und C(-5|4|-5).

Die Gerade g ist parallel zur Geraden durch A und B und geht durch den Punkt C. Bestimme eine Geradengleichung von g.

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Wir stellen zuerst mit dem Ortsvektor von A als Stützvektor und dem Verbindungvektors AB als Richtungsvektor die Gerade durch A und B auf:

AB = ( 0-0 4-3 -9-( - 4 ) ) = ( 0 1 -5 )

Somit gilt für die Gerade durch A und B: x = 0A + t ⋅ AB , also :

x = ( 0 3 -4 ) + t ⋅ ( 0 1 -5 )

Da die gesuchte Gerade ja parallel zur Geraden durch A und B sein soll, können wir für diese doch einfach den gleichen Richtungsvektor AB = ( 0 1 -5 ) nehmen. Lediglich als Stützvektor ersetzen wir nun den Ortsvektor von A mit dem von C:

Somit gilt für die Gerade durch A und B: x = 0C + t ⋅ AB , also :

x = ( -5 4 -5 ) + t ⋅ ( 0 1 -5 )

Punkt auf Geraden prüfen

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g: x = ( -1 0 -3 ) +t ( -3 3 -6 ) .

Überprüfe, ob der Punkt P(-10|9|-21) auf der Geraden liegt und zeichne diesen in die Abbildung rechts ein.

Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt P sein müsste, bzw. auf die rote Fläche, wenn er nicht auf g liegt.

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Um zu überprüfen, ob P auf der Geraden g liegt, setzen wir diesen einfach in die Geradengleichung ein:

( -10 9 -21 ) = ( -1 0 -3 ) +t ( -3 3 -6 )

-10 = -1 -3t |+1
9 = 0 +3t |-0
-21 = -3 -6t |+3

-9 = -3t, also t = 3
9 = 3t, also t = 3
-18 = -6t, also t = 3

Für t= 3 stimmen alle drei Gleichungen, es gilt also ( -10 9 -21 ) = ( -1 0 -3 ) +3 ( -3 3 -6 )

Wir müssen somit den (in der Abbildung orange dargestellten) Richtungsvektor um den Faktor 3 verlängern bzw. kürzen, um vom Aufpunkt der Geraden (-1|0|-3) zum gesuchten Punkt P(-10|9|-21) zu gelangen (siehe roter Pfeil in der Abbildung).

Parameter bestimmen, dass P auf g

Beispiel:

Für welches a liegt der Punkt P(4|-1|3) auf der Geraden g: x = ( -6 3 13 ) +t ( 5 a -5 ) ?

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Wenn der Punkt P auf der Geraden liegen soll, kann man dessen Ortsvektor ja in die Geradengleichung ganz links für das x einsetzen:

( 4 -1 3 ) = ( -6 3 13 ) +t ( 5 a -5 )

Wir betrachten nun jede Zeile für sich und versuchen das t zu bestimmen, falls kein a in der Zeile vorkommt:

4 = -6+5⋅t=> 5⋅t = 10 also t = 2

-1 = 3+a⋅t

3 = 13-5⋅t=> -5⋅t = -10 also t = 2

Setzen wir nun diese t = 2 in die 2-te Zeile ein, so erhalten wir:
-1 = 3 + a⋅2 | -3
-4 = a ⋅ 2, also gilt: a = -2

2 Darstellungen einer Geraden

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g: x = ( 5 -2 -5 ) +t ( -1 -1 -1 ) .

Bestimme die restlichen Koordinaten des Stütz- und Richtungsvektor, so dass die beiden Geradengleichungen zur selben Geraden g gehören.

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Wir beginnen mit dem Richtungsvektor, der ja ein Vielfaches des Richtungsvektors der gegebenen Geraden ( -1 -1 -1 ) sein muss.

Es muss also gelten:

( -1 -1 -1 ) = r ⋅ ( x1 -3 x3 )

Man sieht schnell, dass r = 1 3 sein muss.

Somit muss auch -1 = 1 3 ⋅ x3, also x3 = -3 sein .

Somit muss auch -1 = 1 3 ⋅ x1, also x1 = -3 sein .

Der gesuchte Richtungsvektor ist also ( -3 -3 -3 ) und wir können g entweder als x = ( 5 -2 -5 ) +t ( -1 -1 -1 ) oder als x = ( 5 -2 -5 ) +t ( -3 -3 -3 ) schreiben.

Jetzt brauchen wir noch einen Punkt auf der Geraden mit -5 in der x2-Koordinate, den wir als Stützvektor benutzen können.

Um diesen zu bestimmen nehmen wir am besten die Geradendarstellung mit den kleineren Zahlen im Richtungsvektor. Wir suchen also s3 und s1 damit gilt:

( s1 -5 s3 ) = ( 5 -2 -5 ) +t ( -1 -1 -1 )

Hier betrachten wir natürlich die 2. Zeile, in der steht:
-5 = -2 + t ⋅ ( - 1 ) | +2
-3 = t ⋅ ( - 1 )
3 = t

Wenn wir also t=3 in die Geradengleichung einsetzen erhalten wir als Ortsvektor eines Geradenpunkts ( 5 -2 -5 ) +3 ( -1 -1 -1 ) = ( 2 -5 -8 ) .

Dieser hat an der x2-Koordinate die geforderte und kann als Stützvektor benutzt werden. Die gesuchte Geradengleichung ist damit:
x = ( 2 -5 -8 ) +t ( -3 -3 -3 )

2. Gerade mit best. Lage finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gerade g durch x = ( 1 -4 4 ) +t ( 1 -2 -4 ) .

Gib eine Gerade an, die sich in einem Punkt schneidend mit g ist.

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Da die beiden Geraden sich in einem Punkt schneidend miteinander sind, darf der Richtungsvektor von h nicht gleich dem von g oder ein Vielfaches davon sein. Am geschicktesten ist es, wenn man als Richtungsvektor von h einen ganz einfachen Vektor nimmt, z.B.: ( 1 0 0 ) .

Da sich die beiden Geraden ja in einem Punkt schneiden sollen, ist es am einfachsten, man nimmt den Stützvektor von g auch als Stützvektor von h, denn dann würde ja dieser (Auf-)Punkt (1|-4|4) sowohl auf g als auch auf h liegen und wäre somit ein gemeinsamer (Schnitt-)Punkt.

Es ergibt sich also als eine möglich Gerade h: x = ( 1 -4 4 ) +t ( 1 0 0 )

Gegenseitige Lage zweier Geraden

Beispiel:

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden

g: x = ( 5 -5 5 ) +t ( 12 6 7 ) und h: x = ( 31 5 23 ) +t ( 2 -2 4 )

Berechne ggf. den Schnittpunkt.

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Die beiden Richtungsvektoren ( 12 6 7 ) und ( 2 -2 4 ) der Geraden sind keine Vielfachen voneinander, die Geraden können also weder parallel noch identisch sein. Wir müssen deswegen noch prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben oder nicht.
Wir setzen dazu die beiden Geraden gleich und lösen das so entstehende Lineare Gleichungssystem.

( 5 -5 5 ) +s ( 12 6 7 ) = ( 31 5 23 ) +t ( 2 -2 4 )

5+12s= 31+2t-5+6s= 5-2t5+7s= 23+4t

12 s -2 t = 26 (I) 6 s +2 t = 10 (II) 7 s -4 t = 18 (III)
12 s -2 t = 26 (I) 6 s +2 t = 10 (II) 7 s -4 t = 18 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -2·(II)

7·(I) -12·(III)

12 s -2 t = 26 (I) ( 12 -12 )s +( -2 -4 )t = +( 26 -20 ) (II) ( 84 -84 )s +( -14 +48 )t = +( 182 -216 ) (III)
12 s -2 t = 26 (I) -6 t = 6 (II) +34 t = -34 (III)

langsame Rechnung einblenden17·(II) + 3·(III)

12 s -2 t = 26 (I) -6 t = 6 (II) +( -102 +102 )t = +( 102 -102 ) (III)
12 s -2 t = 26 (I) -6 t = 6 (II) 0 = 0 (III)
Zeile (II): -6 t = 6

t = -1

eingesetzt in Zeile (I):

12 s -2 ·(-1 ) = 26 | -2
12 s = 24 | : 12

s = 2

L={(2 |-1 )}

Für s=2 und t=-1 sind also alle 3 Gleichungen und damit die ursprüngliche Vektorgleichung erfüllt.

Wir setzen nun also entweder s=2 in g oder t=-1 in h ein und erhalten so den Ortsvektor des Schnittpunktes.

( 5 -5 5 ) +2 ( 12 6 7 ) = ( 29 7 19 )
SP(29|7|19)

Parameter einer Geraden bestimmen

Beispiel:

Gegeben sind die Geraden g: x = ( -5 0 -1 ) +t ( -6 10 6 ) und h: x = ( a -10 -7 ) +t ( -3 5 b ) .

Bestimme die Parameter a und b so, dass die Geraden g und h zueinander windschief sind.

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Wenn die beiden Geraden zueinander windschief sein sollen, dürfen die beiden Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sein, es muss also gelten:

r ⋅ ( -6 10 6 ) ( -3 5 b ) (für alle r)

Man erkennt leicht, dass wegen der 1. und 2. Zeile ein Gleichheit nur für r = 1 2 möglich sein kann. Wenn wir also b = 1 2 ⋅ 6 = 3 setzen so gilt 1 2 ( -6 10 6 ) = ( -3 5 b ) .

Somit darf b alles nur nicht 3 sein, also z.B. b = 4.

Mit diesem b wissen wir nun, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden keine Vielfache voneinander sind. Somit kann die gegenseitige Lage der beiden Geraden nur noch zueinander windschief oder sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend sein.

Damit nun die beiden Geraden aber auch wirklich zueinander windschief und nicht sich in einem gemeinsamen Punkt schneidend sind, müssen wir sicherstellen, dass g und h keinen gemeinsamen Punkt haben.
Der einfachste Fall zum Rechnen wäre, wenn zufällig bereits der Aufpunkt von h (a|-10|-7) auf g liegen würde. Deswegen untersuchen wir mal, ob es ein a gibt, so dass der Aufpunkt von h (a|-10|-7) auf g liegt.

Wir setzen also ( a -10 -7 ) = ( -5 0 -1 ) +t ( -6 10 6 ) ,

Dazu betrachten wir die 2. Zeile :

-10 = 0 +10t
-10 = 10t | +10 -10t
-10t = 10 |:(-10 )
t = -1

und die 3. Zeile:

-7 = -1 +6t
-7 = 6t -1 | +7 -6t
-6t = 6 |:(-6 )
t = -1

In beiden Fällen muss t also -1 sein. Setzen wir nun dieses t = -1 auch noch in die 1. Zeile ein, so erhalten wir:

a = -5 + ( -1 ) ( - 6 ) = 1.

Für a = 1 würde also der Aufpunkt von h (1|-10|-7) auf der Geraden g liegen, denn

( 1 -10 -7 ) = ( -5 0 -1 ) +-1 ( -6 10 6 )

Das soll ja aber gerade nicht sein. Deswegen müssen wir einen anderen Wert für a wählen, z.B. a = 2, damit der Aufpunkt von h (2|-10|-7) nicht auf g liegt. (So erhalten wir einen anderen Wert für t in der 1. Zeile.)

g und h können sich dann auch in keinem anderen Schnittpunkt mehr schneiden, da ja der Schnittpunkt der Projektion in die x2x3 -Ebene bereits (1|-10|-7) bzw. (2|-10|-7) sein muss (und weil die beiden Richtungsvektoren auch in der Projektion in die x2x3 -Ebene in verschiedene Richtungen zeigen, kann es auch in dieser Projektion nur einen Schnittpunkt geben). Dort sind jedoch bei g und h die x1-Werte verschieden.

Wenn man ganz sicher gehen will, kann man die beiden Geraden auch nochmals auf einen Schnittpunkt untersuchen:

Die beiden Richtungsvektoren ( -6 10 6 ) und ( -3 5 4 ) der Geraden sind keine Vielfachen voneinander, die Geraden können also weder parallel noch identisch sein. Wir müssen deswegen noch prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben oder nicht.
Wir setzen dazu die beiden Geraden gleich und lösen das so entstehende Lineare Gleichungssystem.

( -5 0 -1 ) +s ( -6 10 6 ) = ( 2 -10 -7 ) +t ( -3 5 4 )

-5-6s= 2-3t0+10s= -10+5t-1+6s= -7+4t

-6 s +3 t = 7 (I) 10 s -5 t = -10 (II) 6 s -4 t = -6 (III)
-6 s +3 t = 7 (I) 10 s -5 t = -10 (II) 6 s -4 t = -6 (III)

langsame Rechnung einblenden5·(I) + 3·(II)

1·(I) + 1·(III)

-6 s 3 t = 7 (I) ( -30 +30 )s +( 15 -15 )t = +( 35 -30 ) (II) ( -6 +6 )s +( 3 -4 )t = +( 7 -6 ) (III)
-6 s +3 t = 7 (I) 0 = 5 (II) -1 t = 1 (III)

Wir tauschen die Zeilen 2 und 3, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.

-6 s +3 t = 7 (I) -1 t = 1 (II) 0 = 5 (III)
-6 s 3 t = 7 (I) ( -30 +30 )s +( 15 -15 )t = +( 35 -30 ) (II) ( -6 +6 )s +( 3 -4 )t = +( 7 -6 ) (III)
-6 s +3 t = 7 (I) -1 t = 1 (II) 0 = 5 (III)
Wegen des Widerspruchs in der 3-ten Zeile hat das LGS eine leere Lösungsmenge!

Es gibt also kein s und t für die alle 3 Gleichungen und damit die ursprüngliche Vektorgleichung erfüllt sind.

Die Geraden sind also windschief.

Punkt auf Geraden mit Abstand d

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte A(2|3|1) und B(6|5|5).

Berechne den Abstand von A und B.

Welche Punkte auf der Geraden durch A und B haben den Abstand 12 vom Punkt A?

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Zuerst berechnet man den Vektor AB = ( 6-2 5-3 5-1 ) = ( 4 2 4 ) .
Damit können wir gleich mal den Abstand zwischen A und B berechnen: dAB=| AB | = 4 2 + 22 + 4 2 = 6

Für die Gerade durch A und B gilt:
gAB: x = OA + t ⋅ AB , also x = ( 2 3 1 ) +t ( 4 2 4 )

Da der gesuchte Abstand 12 gerade 2 mal so lang ist wie die Länge des Richtungsvektors ( 4 2 4 ) (| AB |=6), muss für die Ortsvektoren der gesuchten Punkte gelten:

OP1 = OA + 2 ⋅ AB = ( 2 3 1 ) +2 ( 4 2 4 ) = ( 10 7 9 ) , also 2 in die Geradengleichung eingesetzt.

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OP2 = OA - 2 ⋅ AB = ( 2 3 1 ) -2 ( 4 2 4 ) = ( -6 -1 -7 ) , also -2 in die Geradengleichung eingesetzt.

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Die gesuchten Punkte sind also P1(10|7|9) und P2(-6|-1|-7).