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Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: a=5cm, b=7cm und α=40°
Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe ha ab.
Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel α nicht die längere Seite sondern die kürzere Seite a gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw nicht anwenden und das Dreieck lässt sich nicht eindeutig konstruieren. Dies sieht man spätestens wenn man es versucht zu konstruieren.
- Zuerst zeichnen wir die Strecke, die an dem gegebenen Winkel anliegt, also b ein und benennen die Enden
Strecke C und A. (schwarz)
- Jetzt zeichnen wir in A den Winkel
α=40° ein (blau).
- Die Strecke a=5cm liegt zwischen C und B, also muss der Punkt B
den Abstand a=5cm vom Punkt C haben und somit auf dem Kreis
um C mit Radius 5cm liegen. Deswegen zeichnen wir diesen Kreisbogen (in rot) ein.
- Jetzt erkennen wir aber, dass dieser Kreisbogen die Halbgerade in 2 Punkten schneidet. Es gibt also zwei mögliche Dreiecke,
die man mit den gegebenen Werten konstruieren könnte.
- Es ist also keine eindeutige Konstruktion möglich.
Kongruenzsätze
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=6.5cm, a=6cm und α=53°
Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.
Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel α nicht die längere Seite sondern die kürzere Seite a gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw nicht anwenden und das Dreieck lässt sich nicht eindeutig konstruieren. Dies sieht man spätestens wenn man es versucht zu konstruieren.
Ähnliche Dreiecke
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=3cm, b=4cm und c=5.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=7.15cm.
Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 1.3
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 1.3 ⋅ 4 = 5.2
a' = k ⋅ a = 1.3 ⋅ 3 = 3.9
Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=5cm, b=3cm und c=5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=10cm.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 2
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 2 ⋅ 3 = 6
a' = k ⋅ a = 2 ⋅ 5 = 10