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Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: a=7cm, b=6cm und c=5.5cm

Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe ha ab.

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Wir erkennen schnell, dass wir den Kongruenzsatz sss anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren können:

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  1. Zuerst zeichnen wir die Strecke c unten (waagrecht) ein und benennen die Enden Strecke A und B.

  2. Da die Strecke b=6cm zwischen A und C liegt, muss C auf einem Kreis um A mit Radius b=6cm liegen. Wir zeichnen also einen Kreisbogen um A mit Radius b=6cm.

  3. Analog dazu zeichnen wir einen Kreisbogen um B mit Radius a=7cm.

  4. Die beiden Kreisbögen schneiden sich im Punkt C.

  5. Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  6. Wir verbinden den neuen Punkt C jeweils mit A und B und erhalten das fertige Dreieck.

Jetzt können wir die gesuchte Höhe ha ins Dreieck einzeichnen und abmessen: ha ≈ 4.6cm

Kongruenzsätze

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=7.5cm, a=6cm und α=50°

Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.

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Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel α nicht die längere Seite sondern die kürzere Seite a gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw nicht anwenden und das Dreieck lässt sich nicht eindeutig konstruieren. Dies sieht man spätestens wenn man es versucht zu konstruieren.

Ähnliche Dreiecke

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=4.5cm, b=5.5cm und c=7.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=14.25cm.

Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 14.25 7.5 = 1.9

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 1.9 ⋅ 5.5 = 10.45
a' = k ⋅ a = 1.9 ⋅ 4.5 = 8.55

Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=6cm, b=5.5cm und c=6cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=12cm.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 12 6 = 2

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 2 ⋅ 5.5 = 11
a' = k ⋅ a = 2 ⋅ 6 = 12