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Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: b=7cm, γ=81° und α=32°

Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe hb ab.

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Wir erkennen schnell, dass wir den Kongruenzsatz wsw anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren können:

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  1. Zuerst zeichnen wir die Strecke b ein und benennen die Enden Strecke C und A. (schwarz)

  2. Jetzt zeichnen wir in C den Winkel γ=81° ein (blau).

  3. Ebenso zeichnen wir in A den Winkel α=32° ein (rot).

  4. Die beiden Halbgeraden schneiden sich im Punkt B.

    5. Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Jetzt können wir die gesuchte Höhe hb ins Dreieck einzeichnen und abmessen: hb ≈ 4cm

Kongruenzsätze

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: a=6.5cm, β=61° und γ=69°

Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.

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Man kann erkennen, dass man den Kongruenzsatz wsw anwenden kann (auch die Winkelsumme von β und γ ist mit 130 kleiner als 180°).

Ähnliche Dreiecke

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=5cm, b=3cm und c=4.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=6.75cm.

Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 6.75 4.5 = 1.5

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 1.5 ⋅ 3 = 4.5
a' = k ⋅ a = 1.5 ⋅ 5 = 7.5

Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=6.5cm, b=4.5cm und c=6.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=9.1cm.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 9.1 6.5 = 1.4

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 1.4 ⋅ 4.5 = 6.3
a' = k ⋅ a = 1.4 ⋅ 6.5 = 9.1