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Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: c=7.5cm, a=4cm und β=30°

Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe hb ab.

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Wir erkennen schnell, dass wir den Kongruenzsatz sws anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren können:

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  1. Zuerst zeichnen wir die Strecke a ein und benennen die Enden Strecke B und C. (schwarz)

  2. Jetzt zeichnen wir in B den Winkel β=30° ein (blau).

  3. Da die Strecke c=7.5cm auf dieser Halbgeraden liegt, tragen wir einen Kreisbogen um B mit Radius c=7.5cm auf diesem Strahl ab. (rot)

  4. Dieser Kreisbogen schneidet die Halbgerade im Punkt A.

    5. Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  5. Wir verbinden den neuen Punkt A nun noch mit C und erhalten das fertige Dreieck.

Jetzt können wir die gesuchte Höhe hb ins Dreieck einzeichnen und abmessen: hb ≈ 3.3cm

Kongruenzsätze

Beispiel:

Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: b=5.5cm, c=7.5cm und γ=81°

Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.

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Wir erkennen, dass gegenüber dem gegebenen Winkel γ die längere Seite c gegeben ist. Also lässt sich der Kongruenzsatz Ssw anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren:

Ähnliche Dreiecke

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=6.5cm, b=6.5cm und c=7.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=14.25cm.

Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 14.25 7.5 = 1.9

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 1.9 ⋅ 6.5 = 12.35
a' = k ⋅ a = 1.9 ⋅ 6.5 = 12.35

Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)

Beispiel:

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=4.5cm, b=6cm und c=7cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=14.7cm.

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Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:

k = 14.7 7 = 2.1

Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:

b' = k ⋅ b = 2.1 ⋅ 6 = 12.6
a' = k ⋅ a = 2.1 ⋅ 4.5 = 9.45