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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (3 x^{2} + x^{3})$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (12 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{12 x^{2} + 6 x}{4 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (2 x + 1)}{x \cdot (4 x + 3)}$

= $\frac{6 (2 x + 1)}{x \cdot (4 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- 2 x} - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- 2 x} - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (e^{- 2 x} - 4) \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 6 (e^{- 2 x} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $12 (e^{- 2 x} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 3$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 3$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 6,4 - 2) + 3$

= $3 + (1,6 x - 6,4 - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $3 + (1,6 x - 8,4) \cdot e^{- 0,8 x}$