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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x + 3} - 2 x^{3} - \frac{2}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x + 3} - 2 x^{3} - \frac{2}{x^{3}}$

= $- 2 e^{x + 3} - 2 x^{3} - 2 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 2 e^{x + 3} \cdot 1 - 6 x^{2} + 6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x + 3} \cdot 1 - 6 x^{2} + \frac{6}{x^{4}}$

= $- 2 e^{x + 3} - 6 x^{2} + \frac{6}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 9 x^{2} + (- 20 x^{4} - 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 20 x^{4} - 9 x^{2} - 6 x)$

= $(- 12 x^{5} - 20 x^{4} - 9 x^{2} - 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${0,95}^{78} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,018 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 2,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 5,4)$

= $(- 2,4 x + 5,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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