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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 2 x - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 2 x - 3) + e^{- x} \cdot (- 2 + 0)$

= $- e^{- x} \cdot (- 2 x - 3) + e^{- x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- x} \cdot (- 2 x - 3) - 2 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 2 + 2 x + 3)$

= $e^{- x} \cdot (2 x + 1)$

= $(2 x + 1) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x} + (5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x} + (5 x^{4} - x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{4} - 2 x^{2} + (20 x^{3} - 2 x))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{4} + 20 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x)$

= $(10 x^{4} + 20 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 2} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 2} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x + 2) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x + 2) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x + 2) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x - 0,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x - 1,8)$

= $(0,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

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