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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} - \frac{5}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} - \frac{5}{x^{4}}$

= $- 2 e^{- 3 x + 3} - 5 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) + 20 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) + \frac{20}{x^{5}}$

= $6 e^{- 3 x + 3} + \frac{20}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} + 4} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 2 x} \cdot (- 10 x - 2)$

= $\frac{- 10 x - 2}{- 5 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x - 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x - 2)}^{3}}$

= $2 {(- 2 x - 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 6 {(- 2 x - 2)}^{- 4} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(- 2 x - 2)}^{4}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{6}{{(- 2 x - 2)}^{4}} \cdot (- 2)$

= $\frac{12}{{(- 2 x - 2)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x - 3 + 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x - 2)$

= $(- 0,5 x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$