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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 2) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $(- 15 x^{4} + 2) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 3 x^{5} + 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $(- 15 x^{4} + 2) \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 (- 3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (15 x^{5} - 10 x - 15 x^{4} + 2)$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (15 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x + 2)$

= $(15 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 2 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 2 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 3 x^{5} - 2 x^{4}) + e^{- 2 x} \cdot (- 15 x^{4} - 8 x^{3})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 2 x^{4}) + e^{- 2 x} \cdot (- 15 x^{4} - 8 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{5} + 4 x^{4} + (- 15 x^{4} - 8 x^{3}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{5} - 11 x^{4} - 8 x^{3})$

= $(6 x^{5} - 11 x^{4} - 8 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 6 x}{x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 1 \cdot (x + 2)}{x \cdot (x + 3)}$

= $\frac{3 (x + 2)}{x \cdot (x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 14)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 13)$

= $(2 x - 13) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 4,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x + 3,2)$

= $(0,6 x + 3,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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