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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{21}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 4} + \frac{7}{4} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 4} + \frac{7}{4} x^{3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 4} \cdot 3 + \frac{21}{4} x^{2}$

= $6 e^{3 x + 4} + \frac{21}{4} x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} - 9 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x - 9)$

= $(6 x^{2} + 4 x - 9) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 5 x} \cdot (15 x^{2} + 5)$

= $\frac{15 x^{2} + 5}{5 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 {(\sqrt[4]{x})}^{9} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{47} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 16,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x - 12,8)$

= $(- 2,8 x - 12,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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