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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 2} + (2 x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $(10 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 2} + (2 x^{5} - 2 x^{2}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $(10 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 2} - 5 (2 x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (- 10 x^{5} + 10 x^{2} + (10 x^{4} - 4 x))$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (- 10 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x)$

= $(- 10 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (- 3 x^{3} + 2) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x^{3} + 2) \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cos (- 3 x^{3} + 2) x^{2}$

= $- 18 x^{2} \cdot \cos (- 3 x^{3} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,75 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 4,75 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,5125 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 4,5125 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,2869 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,2869 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,0725 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${0,95}^{66} \cdot (- 5 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,169 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 7$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 7$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 1,6) + 7$

= $7 + (0,4 x - 1 - 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $7 + (0,4 x - 2,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

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