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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x) + 3 e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - 3 \cdot \sin (x) + 3 e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x) + 3 e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x) - 3 e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 4} \cdot 9 x^{2}$

= $- 27 \cdot e^{3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 5} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} - 5} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x - 9) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\cos (- 2 x) + (x - 9) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\cos (- 2 x) + 2 (x - 9) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{60} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,046 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 8$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 8$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x + 4) - 8$

= $- 8 + (0,8 x - 4 + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 8 + 0,8 x \cdot e^{- 0,2 x}$