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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5} + (- 4 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $(- 16 x^{3} + 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5} + (- 4 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $(- 16 x^{3} + 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 (- 4 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (12 x^{4} - 9 x^{2} + (- 16 x^{3} + 6 x))$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (12 x^{4} - 16 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x)$

= $(12 x^{4} - 16 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 2 x + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 2 x + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 2 x + 2) \cdot (- 2 + 0)$

= $- 6 (- 2 x + 2) \cdot (- 2)$

= $12 (- 2 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 1,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 0,4)$

= $(1,6 x - 0,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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