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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} - 4} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${0,9}^{51} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 6$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 6$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x - 2,4) + 6$

= $6 + (2,4 x - 4 - 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $6 + (2,4 x - 6,4) \cdot e^{- 0,6 x}$