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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 3} + x^{5} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 3} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 3} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (5 x^{2} - 3) + e^{- x} \cdot (10 x + 0)$

= $- e^{- x} (5 x^{2} - 3) + e^{- x} \cdot (10 x)$

= $- e^{- x} (5 x^{2} - 3) + 10 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{2} + 3 + 10 x)$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{2} + 10 x + 3)$

= $(- 5 x^{2} + 10 x + 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (2 x) + (x - 6) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $\cos (2 x) + (x - 6) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $\cos (2 x) - 2 (x - 6) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x + 2,5) - 4$

= $- 4 + (2,5 x - 5 + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 + (2,5 x - 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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