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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{2 x + 3} + (- 5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $(- 25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{2 x + 3} + (- 5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $(- 25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{2 x + 3} + 2 (- 5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (- 10 x^{5} + 6 x^{2} + (- 25 x^{4} + 6 x))$

= $e^{2 x + 3} \cdot (- 10 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x)$

= $(- 10 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{2} + 3} \cdot 4 x$

= $8 \cdot e^{2 x^{2} + 3} x$

= $8 x e^{2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 1} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} - 1} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- x - 4}$

= ${(- x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- x - 4}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x - 4}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- x - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x + 3,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,8 x + 1,2)$

= $(0,8 x + 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$