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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $- \frac{27}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 1) \cdot e^{x} + (- 2 x^{5} + x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{5} + x - 10 x^{4} + 1)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{5} - 10 x^{4} + x + 1)$

= $(- 2 x^{5} - 10 x^{4} + x + 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 3 x} \cdot (8 x - 3)$

= $\frac{8 x - 3}{4 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x + 4)$

= $(1,6 x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$