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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{3} \cdot \sin (x) - 3 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{3} \cdot \sin (x) - 3 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $\frac{7}{3} \cdot \cos (x) + 3 e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{x} \cdot 1$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 6) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 6) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} + 6) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 3,6) + 4$

= $4 + (- 1,8 x + 3 + 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (- 1,8 x + 6,6) \cdot e^{- 0,6 x}$