Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{4 x - 4} + (3 x + 5) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $3 e^{4 x - 4} + (3 x + 5) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $3 e^{4 x - 4} + 4 (3 x + 5) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (12 x + 20 + 3)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (12 x + 23)$

= $(12 x + 23) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} + (x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(5 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} + (x^{5} + 5 x^{4}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(5 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{4} + 20 x^{3} + (- 3 x^{5} - 15 x^{4}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 10 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(- 3 x^{5} - 10 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x - 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 9,6 + 4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 13,6)$

= $(- 1,6 x + 13,6) \cdot e^{- 0,4 x}$