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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5} + (3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $(15 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5} + (3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $(15 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5} + 3 (3 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (9 x^{5} - 6 x^{3} + (15 x^{4} - 6 x^{2}))$

= $e^{3 x - 5} \cdot (9 x^{5} + 15 x^{4} - 6 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(9 x^{5} + 15 x^{4} - 6 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x - 7) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x - 7) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x - 7) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x - 7,2) - 8$

= $- 8 + (3,6 x - 4 - 7,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 8 + (3,6 x - 11,2) \cdot e^{- 0,9 x}$