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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 1} + 5 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 1} + 5 \sqrt{x}$

= $e^{- x + 1} + 5 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{- x + 1} \cdot (- 1) + \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 1} \cdot (- 1) + \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

= $- e^{- x + 1} + \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $e^{x - 3} \cdot 1$

= $e^{x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (3 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (3 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (3 x - 3) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (3 x - 3) \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (3 x - 3) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (3 x - 3) \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (3 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (3 x - 3) \cdot (3)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (3 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 3)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (3 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot \cos (3 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 1,9 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 1,9 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $1,805 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $1,805 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 1,7148 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,7148 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $1,629 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,95)}^{64} \cdot 2 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,075 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x - 1,8 - 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x - 4,8)$

= $(0,6 x - 4,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

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