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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{10}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 5} + \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 5} + \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 5} \cdot 3 - \sin (x)$

= $6 e^{3 x - 5} - \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(10 x - 3) \cdot e^{2 x} + (5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(10 x - 3) \cdot e^{2 x} + (5 x^{2} - 3 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(10 x - 3) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{2} - 3 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{2} - 6 x + 10 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{2} + 4 x - 3)$

= $(10 x^{2} + 4 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 5 x} \cdot (6 x^{2} - 5)$

= $\frac{6 x^{2} - 5}{2 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\sin (x) + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\sin (x) + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(\sin (x) + 5)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 15 {(\sin (x) + 5)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $- 15 {(\sin (x) + 5)}^{4} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,95}^{61} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,044 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x - 14)$

= $(- 3,6 x - 14) \cdot e^{- 0,9 x}$