Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{11}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2} + (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $(- 12 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2} + (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $(- 12 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2} + 3 (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 9 x^{4} - 6 x^{3} + (- 12 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 9 x^{4} - 18 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 9 x^{4} - 18 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 2) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 2) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} - 2) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 1$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 1$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x - 9) + 1$

= $1 + (- 1,5 x + 5 - 9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $1 + (- 1,5 x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$