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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x - 4} - \frac{5}{2} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x - 4} - \frac{5}{2} x^{5}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x - 4} \cdot 2 - \frac{25}{2} x^{4}$

= $- 2 e^{2 x - 4} - \frac{25}{2} x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} + 4} x$

= $4 x e^{- x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (e^{2 x} + 1) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 6 (e^{2 x} + 1) \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 12 (e^{2 x} + 1) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 8,4) + 2$

= $2 + (2,8 x - 4 - 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (2,8 x - 12,4) \cdot e^{- 0,7 x}$