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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x - 2} - x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x - 2} - x^{5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x - 2} \cdot 3 - 5 x^{4}$

= $- 9 e^{3 x - 2} - 5 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 1,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x + 0,6)$

= $(0,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$