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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{- 5 x - 5} + (- 2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- 4 x \cdot e^{- 5 x - 5} + (- 2 x^{2} - 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $- 4 x \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 (- 2 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (10 x^{2} + 10 - 4 x)$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (10 x^{2} - 4 x + 10)$

= $(10 x^{2} - 4 x + 10) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 4} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (2 x) + (x - 6) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\sin (2 x) + (x - 6) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\sin (2 x) + 2 (x - 6) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 16,8) - 1$

= $- 1 + (2,4 x - 3 + 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (2,4 x + 13,8) \cdot e^{- 0,8 x}$