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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{27} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} - 4 x^{2} + 4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} - 4 x^{2} + 4 \sqrt{x}$

= $- 2 e^{2 x + 4} - 4 x^{2} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{2 x + 4} \cdot 2 - 8 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 4} \cdot 2 - 8 x + \frac{2}{\sqrt{x}}$

= $- 4 e^{2 x + 4} - 8 x + \frac{2}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} - 4} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} - 4} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x} \cdot (6 x^{2} + 3)$

= $\frac{6 x^{2} + 3}{2 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 12)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 15)$

= $(6 x + 15) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 2) - 4$

= $- 4 + (0,4 x - 1 - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (0,4 x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$