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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{7}{2} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + x^{3} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + x} \cdot (6 x^{2} + 1)$

= $\frac{6 x^{2} + 1}{2 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x^{2} - 3) \cdot (2 x + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (x^{2} - 3) \cdot (2 x)$

= $- 6 \cos (x^{2} - 3) x$

= $- 6 x \cdot \cos (x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,7 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $1,7 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,445 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 1,445 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,2283 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,2283 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,044 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{46} \cdot (- 2 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x + 4,5) + 4$

= $4 + (- 4,5 x + 5 + 4,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (- 4,5 x + 9,5) \cdot e^{- 0,9 x}$