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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 3} + (- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $(- 16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 3} + (- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (- 4 x^{4} + x^{2} + (- 16 x^{3} + 2 x))$

= $e^{x - 3} \cdot (- 4 x^{4} - 16 x^{3} + x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{4} - 16 x^{3} + x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(10 x + 5) \cdot e^{3 x} + (5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(10 x + 5) \cdot e^{3 x} + (5 x^{2} + 5 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(10 x + 5) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 15 x + 10 x + 5)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 25 x + 5)$

= $(15 x^{2} + 25 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 2 x} \cdot (- 12 x^{2} + 2)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 2}{- 4 x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} - 5) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} - 5) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + 2 (x^{2} - 5) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 10,8) + 9$

= $9 + (1,8 x - 3 - 10,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $9 + (1,8 x - 13,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

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