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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + x^{4} \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 4} \cdot 1$

= $3 e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 1} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x + 8) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) + (2 x + 8) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x + 8) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,85 x}$

f'(x) = $- e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,85}^{45} \cdot (- e^{0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 1$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 1$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x + 9) + 1$

= $1 + (- 4,5 x + 5 + 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $1 + (- 4,5 x + 14) \cdot e^{- 0,9 x}$