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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{- x} + (2 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(10 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{- x} + (2 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot (- e^{- x})$

= $(10 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{- x} - (2 x^{5} - 4 x^{4}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{5} + 4 x^{4} + (10 x^{4} - 16 x^{3}))$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{5} + 14 x^{4} - 16 x^{3})$

= $(- 2 x^{5} + 14 x^{4} - 16 x^{3}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 4) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(20 x^{3} - 4) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} - 4 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(20 x^{3} - 4) \cdot e^{- x} - (5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x + 20 x^{3} - 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 20 x^{3} + 4 x - 4)$

= $(- 5 x^{4} + 20 x^{3} + 4 x - 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 24 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x - 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,6 x + - 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,6 x)$

= $x \cdot (- 0,6 e^{- 0,2 x})$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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