Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 4} + x^{2} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 4} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x + 2} \cdot 1$

= $- 2 e^{x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- x - 5)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) + x^{3} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) + x^{3} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) + x^{3} \cdot (- \cos (- x - 5))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- x - 5) - x^{3} \cdot \cos (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${0,9}^{53} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,004 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x - 1,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x - 2,2)$

= $(0,2 x - 2,2) \cdot e^{- 0,2 x}$