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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 1} + x^{3} \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 1} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 1} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 3 x^{2} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 6 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 6 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 4) - 6 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 12 - 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 6 x - 12)$

= $(- 9 x^{2} - 6 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x} \cdot 1$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${1,15}^{37} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $176,125 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x + 1,2) - 2$

= $- 2 + (- 0,6 x + 1 + 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (- 0,6 x + 2,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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