Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 4} - 6 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 4} - 6 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 4} \cdot 2 + 6 \cdot \sin (x)$

= $4 e^{2 x + 4} + 6 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} + e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} + 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} + 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(e^{- x} + 3)}^{3} \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 12 {(e^{- x} + 3)}^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $12 {(e^{- x} + 3)}^{3} \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 1,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 0,8)$

= $(- 0,9 x - 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$