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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x + 4} + \frac{1}{2} \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x + 4} + \frac{1}{2} \sqrt[4]{x}$

= $- e^{3 x + 4} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- e^{3 x + 4} \cdot 3 + \frac{1}{8} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x + 4} \cdot 3 + \frac{1}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{1}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{2} + 1} \cdot (- 2 x)$

= $2 \cdot e^{- x^{2} + 1} x$

= $2 x e^{- x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 1} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 1} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (3 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,0706 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,61 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 0,85)}^{38} \cdot (- 5 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,01 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 8$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 0,4 + 2) + 8$

= $8 + (- 0,4 x + 0,4 + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $8 + (- 0,4 x + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

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