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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 5 e^{- 3 x} + (- 5 x - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 5 e^{- 3 x} - 3 (- 5 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 5 + 15 x + 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x + 4)$

= $(15 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 5 x^{3} - 5) + e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{3} - 5) + e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{3} - 5) - 15 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{3} - 15 - 15 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 15)$

= $(- 15 x^{3} - 15 x^{2} - 15) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(3 x^{3} - 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(3 x^{3} - 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(3 x^{3} - 3)}^{4} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $10 {(3 x^{3} - 3)}^{4} \cdot (9 x^{2})$

= $90 {(3 x^{3} - 3)}^{4} x^{2}$

= $90 x^{2} {(3 x^{3} - 3)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 7$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 7$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 1,4) - 7$

= $- 7 + (- 0,7 x + 1 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 7 + (- 0,7 x - 0,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

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