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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{7} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{7} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{45}{56} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x + 4} + x^{4} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x + 4} + x^{4} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x + 4} - x^{4} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} - 4} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} - 4} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (- 3 x) + x^{5} \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 3 x) + x^{5} \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 3 x) + 3 x^{5} \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 10,4)$

= $(- 1,4 x + 10,4) \cdot e^{- 0,7 x}$