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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 2} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} - 2} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{- 3 x + 2}$

= $- 2 {(- 3 x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(- 3 x + 2)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- 3 x + 2)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{2}{{(- 3 x + 2)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{6}{{(- 3 x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x - 14)$

= $(- 3,6 x - 14) \cdot e^{- 0,9 x}$