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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

= $\frac{2 (3 x - 5)}{x \cdot (2 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x - 4)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x - 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x - 4) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 2 x - 4) \cdot (- 2 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 2 x - 4) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 2 x - 4) \cdot (- 2 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 2 x - 4) \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x - 4)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x - 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x - 4)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{60} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $18,679 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x - 16,2) + 7$

= $7 + (2,7 x - 3 - 16,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $7 + (2,7 x - 19,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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