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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $- \frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{4} + e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{4} + e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $20 x^{3} + e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $20 x^{3} - 3 e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} + 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 15 + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 12)$

= $(9 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x - 27 + 5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x - 22)$

= $(- 4,5 x - 22) \cdot e^{- 0,9 x}$