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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{5}{4} e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3} + e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{2} x^{2} - 2 e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} + x^{5} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} - x^{5} \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 8 x}{- 2 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x + 4)}{- 2 x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{- 2 (3 x + 4)}{- 2 x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(2 x + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(2 x + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(2 x + 5)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $8 {(2 x + 5)}^{3} \cdot (2)$

= $16 {(2 x + 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 6$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 6$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 1,2) + 6$

= $6 + (1,2 x - 2 + 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $6 + (1,2 x - 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$