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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{24}{25} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 2} + x^{2} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 2} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 2} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $27 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 5} + x^{2} \cdot e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 5} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- x + 5} - x^{2} \cdot e^{- x + 5}$

= $e^{- x + 5} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,05}^{61} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $19,613 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 2)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x - 3)$

= $(0,5 x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$