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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{27}{35} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} - 3 e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} - 3 e^{- 2 x - 5}$

= $- 4 x^{- 3} - 3 e^{- 2 x - 5}$

=> f'(x) = $12 x^{- 4} - 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{12}{x^{4}} - 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $\frac{12}{x^{4}} + 6 e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{3} - 2 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- x} - (- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{3} + 2 x - 12 x^{2} - 2)$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2)$

= $(4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 6 x}{- 4 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (2 x - 1)}{- x \cdot (4 x - 3)}$

= $\frac{- 6 (2 x - 1)}{- x \cdot (4 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 2 x^{2} - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 2 x^{2} - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 2 x^{2} - 1) \cdot (- 4 x + 0)$

= $- 6 (- 2 x^{2} - 1) \cdot (- 4 x)$

= $24 (- 2 x^{2} - 1) x$

= $24 x (- 2 x^{2} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{32} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x + 4,2) - 4$

= $- 4 + (0,6 x - 2 + 4,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (0,6 x + 2,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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