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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) - e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) - e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) - e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 4 \cdot \sin (x) + e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(9 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(9 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 10 x + 9 x^{2} - 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x - 5)$

= $(- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 2 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- e^{- 0,3 x} - (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x + 2,1)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,3 x + 1,1)$

= $(0,3 x + 1,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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