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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{2 x - 2} + (- 4 x + 3) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x - 2} + (- 4 x + 3) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $- 4 e^{2 x - 2} + 2 (- 4 x + 3) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 4 - 8 x + 6)$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 8 x + 2)$

= $(- 8 x + 2) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x^{5} + 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x^{5} + 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (5 x^{5} + 3 x^{3}) + e^{- x} \cdot (25 x^{4} + 9 x^{2})$

= $- e^{- x} \cdot (5 x^{5} + 3 x^{3}) + e^{- x} \cdot (25 x^{4} + 9 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{5} - 3 x^{3} + (25 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{5} + 25 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 5 x^{5} + 25 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 1} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 1} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,05}^{61} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $19,613 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x - 16,8) + 3$

= $3 + (2,4 x - 4 - 16,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (2,4 x - 20,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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