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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 5} - \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 5} - \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) - \cos (x)$

= $6 e^{- 2 x + 5} - \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(x + 5)}^{2} \cdot (1 + 0)$

= $- 9 {(x + 5)}^{2} \cdot (1)$

= $- 9 {(x + 5)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,95}^{62} \cdot 2 e^{0,95 x}$

≈ $0,083 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x + 0,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 1,2)$

= $(- 0,1 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$