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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 0) \cdot e^{- 2 x - 5} + (- x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- 2 x \cdot e^{- 2 x - 5} + (- x^{2} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $- 2 x \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (- x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (2 x^{2} + 8 - 2 x)$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (2 x^{2} - 2 x + 8)$

= $(2 x^{2} - 2 x + 8) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 8 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 8)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 12,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 16,8)$

= $(3,2 x - 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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