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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 2 e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 2 e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $- \frac{20}{9} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (x) + 2 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 2 e^{x + 2} \cdot 1$

= $- \frac{4}{3} \cdot \sin (x) + 2 e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 1} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{x} \cdot 1$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{x} + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{x} + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(e^{x} + 3)}^{2} \cdot (e^{x} + 0)$

= $3 {(e^{x} + 3)}^{2} \cdot (e^{x})$

= $3 {(e^{x} + 3)}^{2} \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot (- 3 e^{1,05 x})$

≈ $- 82,793 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 1$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 1$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x - 6) - 1$

= $- 1 + (1,2 x - 2 - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 1 + (1,2 x - 8) \cdot e^{- 0,6 x}$