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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x) + e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) + 4 \cdot \sin (x) + e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x) + e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $\frac{7}{2} \cdot \sin (x) + 4 \cdot \cos (x) + 2 e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 7) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} - 7) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${(- 1,05)}^{76} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $40,774 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 1,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 0,6)$

= $(- 1,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$