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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} - x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(8 x - 2) \cdot e^{x} + (4 x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{2} - 2 x + 8 x - 2)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{2} + 6 x - 2)$

= $(4 x^{2} + 6 x - 2) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $4,6 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,29 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 5,29 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,0835 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,996 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{33} \cdot (- 4 e^{- 1,15 x})$

≈ $402,799 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 9$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 9$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 1) + 9$

= $9 + (- 0,2 x + 2 + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $9 + (- 0,2 x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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