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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{2}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{2}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4} + (- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $(- 20 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4} + (- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot (- e^{- x + 4})$

= $(- 20 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4} - (- 4 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (4 x^{5} - x^{4} + (- 20 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{- x + 4} \cdot (4 x^{5} - 21 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{5} - 21 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 3} \cdot 1$

= $3 e^{x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x - 8) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x - 8) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x - 8) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x + 8) - 7$

= $- 7 + (2 x - 4 + 8) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 7 + (2 x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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