Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{2 x + 4} + (- 5 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- 10 x \cdot e^{2 x + 4} + (- 5 x^{2} - 4) \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $- 10 x \cdot e^{2 x + 4} + 2 (- 5 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 10 x^{2} - 8 - 10 x)$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 10 x^{2} - 10 x - 8)$

= $(- 10 x^{2} - 10 x - 8) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 5)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x - 5) + e^{x} \cdot (3 + 0)$

= $e^{x} \cdot (3 x - 5) + e^{x} \cdot (3)$

= $e^{x} \cdot (3 x - 5) + 3 e^{x}$

= $e^{x} \cdot (3 + 3 x - 5)$

= $e^{x} \cdot (3 x - 2)$

= $(3 x - 2) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x^{2} + 1) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $4 x \cdot \cos (x^{2}) + (2 x^{2} + 1) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $4 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x^{2} + 1) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${0,85}^{43} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x + 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot 0,8 x$

= $x \cdot 0,8 e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten