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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{33}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x + 2} + x^{4} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x + 2} + x^{4} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 2} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 2} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (3 x - 1)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (3 x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (3 x - 1) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (3 x - 1) \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (3 x - 1) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (3 x - 1) \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (3 x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (3 x - 1) \cdot (3)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (3 x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 1)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (3 x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (3 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x + 1,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 2,5)$

= $(- 0,3 x + 2,5) \cdot e^{- 0,3 x}$