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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x + 5} + 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x + 5} + 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{x + 5} \cdot 1 + 2 \cdot \cos (x)$

= $e^{x + 5} + 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 2} \cdot 2 x$

= $- 6 \cdot e^{x^{2} + 2} x$

= $- 6 x e^{x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{3} + 4}$

= $- 2 {(3 x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(3 x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(3 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{2}{{(3 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (9 x^{2})$

= $18 \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot (- 5 e^{1,05 x})$

≈ $- 236,007 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x + 0,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 1,4)$

= $(- 0,1 x + 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$