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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{3} e^{x}$

= $\frac{5}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 5} + \frac{5}{2} x^{4} - \frac{9}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 5} + \frac{5}{2} x^{4} - \frac{9}{x^{3}}$

= $- 2 e^{- x - 5} + \frac{5}{2} x^{4} - 9 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- x - 5} \cdot (- 1) + 10 x^{3} + 27 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 5} \cdot (- 1) + 10 x^{3} + \frac{27}{x^{4}}$

= $2 e^{- x - 5} + 10 x^{3} + \frac{27}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (e^{- 2 x} - 4) \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 2 (e^{- 2 x} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 (e^{- 2 x} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $36,984 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x + 1,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x - 0,8)$

= $(0,6 x - 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$