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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 3} + 5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 3} + 5 \cdot \sin (x) - 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 3} \cdot 3 + 5 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)$

= $3 e^{3 x + 3} + 5 \cdot \cos (x) + 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{78} \cdot 5 e^{- 1,05 x}$

≈ $224,768 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 1)$

= $(0,2 x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

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