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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(2 x + 3) \cdot e^{- 4 x - 4} + (x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $(2 x + 3) \cdot e^{- 4 x - 4} + (x^{2} + 3 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4})$

= $(2 x + 3) \cdot e^{- 4 x - 4} - 4 (x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 4 x - 4}$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (2 x + 3 + (- 4 x^{2} - 12 x))$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4 x^{2} - 10 x + 3)$

= $(- 4 x^{2} - 10 x + 3) \cdot e^{- 4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 2) \cdot e^{x - 4} + (- 4 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $(- 20 x^{4} + 2) \cdot e^{x - 4} + (- 4 x^{5} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (- 20 x^{4} + 2 + (- 4 x^{5} + 2 x))$

= $e^{x - 4} \cdot (- 4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x + 2)$

= $(- 4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x + 2) \cdot e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 4 x} \cdot (6 x - 4)$

= $\frac{6 x - 4}{3 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 2 x^{2} + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \cdot (- 4 x + 0)$

= $- 6 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \cdot (- 4 x)$

= $24 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2} x$

= $24 x {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 8 + 4)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 12)$

= $(- 2 x + 12) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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