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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} \sqrt[3]{x} + 2 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} \sqrt[3]{x} + 2 e^{2 x - 5}$

= $- \frac{8}{3} x^{\frac{1}{3}} + 2 e^{2 x - 5}$

=> f'(x) = $- \frac{8}{9} x^{- \frac{2}{3}} + 2 e^{2 x - 5} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{8}{9 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 2 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $- \frac{8}{9 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 4 e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x + 3)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (x + 3) + x^{4} \cdot (- \sin (x + 3))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x + 3) - x^{4} \cdot \sin (x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 5$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 5$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 2,4) - 5$

= $- 5 + (- 1,2 x + 3 - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 5 + (- 1,2 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$