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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (2 x^{5} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (2 x^{5} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (2 x^{5} + 1) + e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (2 x^{5} + 1) + e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (2 x^{5} + 1) + 10 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{5} - 2 + 10 x^{4})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{5} + 10 x^{4} - 2)$

= $(- 4 x^{5} + 10 x^{4} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 3 x^{3} - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 3 x^{3} - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (- 3 x^{3} - 2) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $6 (- 3 x^{3} - 2) \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 54 (- 3 x^{3} - 2) x^{2}$

= $- 54 x^{2} (- 3 x^{3} - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,9}^{60} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 2$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 2$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 9,6) + 2$

= $2 + (- 2,4 x + 4 - 9,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $2 + (- 2,4 x - 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$