Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 2 x) \cdot e^{5 x + 4} + (- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $(- 20 x^{4} + 2 x) \cdot e^{5 x + 4} + (- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $(- 20 x^{4} + 2 x) \cdot e^{5 x + 4} + 5 (- 4 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 20 x^{5} + 5 x^{2} + (- 20 x^{4} + 2 x))$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 20 x^{5} - 20 x^{4} + 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 20 x^{5} - 20 x^{4} + 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $3 e^{3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x^{3} - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x^{3} - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(2 x^{3} - 4)}^{4} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $15 {(2 x^{3} - 4)}^{4} \cdot (6 x^{2})$

= $90 {(2 x^{3} - 4)}^{4} x^{2}$

= $90 x^{2} {(2 x^{3} - 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 1,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x - 5,6)$

= $(1,6 x - 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$