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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{- 2 x - 5} + (- 4 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- 8 x \cdot e^{- 2 x - 5} + (- 4 x^{2} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $- 8 x \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (- 4 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (8 x^{2} + 2 - 8 x)$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (8 x^{2} - 8 x + 2)$

= $(8 x^{2} - 8 x + 2) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x^{2} + 4) + e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 4) + e^{- 3 x} \cdot (- 6 x)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 4) - 6 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{2} - 12 - 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{2} - 6 x - 12)$

= $(9 x^{2} - 6 x - 12) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{x} \cdot 1$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x^{2} + 1) \cdot (4 x + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (2 x^{2} + 1) \cdot (4 x)$

= $- 12 \sin (2 x^{2} + 1) x$

= $- 12 x \cdot \sin (2 x^{2} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 39-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 39-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 39 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{39}$

Somit gilt für die 39-te Ableitung:

f⁽³⁹⁾(x) = ${1,15}^{39} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $232,925 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x - 4,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,9 x - 1,5)$

= $(- 0,9 x - 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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