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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 1} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 2 x^{4}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 2 x^{4}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 8 x^{3}) \cdot e^{x} + (- 3 x^{5} - 2 x^{4}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{5} - 2 x^{4} + (- 15 x^{4} - 8 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{5} - 17 x^{4} - 8 x^{3})$

= $(- 3 x^{5} - 17 x^{4} - 8 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 2 x}{- 2 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x + 1)}{- x \cdot (2 x + 1)}$

= $\frac{- 2 (3 x + 1)}{- x \cdot (2 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + 3 {(\sqrt{x})}^{3} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{3}) + 3 {(\sqrt{x})}^{7} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 133,176 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 6)$

= $(- 0,8 x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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