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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 2} + x^{2} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 2} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- x + 2} - x^{2} \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (2 x - x^{2})$

= $e^{- x + 2} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 8 x) \cdot e^{3 x + 5} + (- 3 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $(- 9 x^{2} + 8 x) \cdot e^{3 x + 5} + (- 3 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x + 5}$

= $(- 9 x^{2} + 8 x) \cdot e^{3 x + 5} + 3 (- 3 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{3 x + 5}$

= $e^{3 x + 5} \cdot (- 9 x^{2} + 8 x + (- 9 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{3 x + 5} \cdot (- 9 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x)$

= $(- 9 x^{3} + 3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{x} \cdot 1$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (4 x + 6 x^{2} + 24)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x + 24)$

= $(6 x^{2} + 4 x + 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,85 x}$

f'(x) = $2 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,7 e^{0,85 x}$

f''(x) = $1,7 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,445 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $1,445 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,2283 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,2283 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,044 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${0,85}^{44} \cdot 2 e^{0,85 x}$

≈ $0,002 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 9 - 3)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 6)$

= $(1,8 x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

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