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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{x - 2} + (- 2 x + 3) \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $- 2 e^{x - 2} + (- 2 x + 3) \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (- 2 - 2 x + 3)$

= $e^{x - 2} \cdot (- 2 x + 1)$

= $(- 2 x + 1) \cdot e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{5} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{5} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{5} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} + 8 - 25 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} - 25 x^{4} + 8)$

= $(- 10 x^{5} - 25 x^{4} + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 4 x} \cdot (8 x - 4)$

= $\frac{8 x - 4}{4 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3} + 1}$

= $- {(x^{3} + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(x^{3} + 1)}^{- 2} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(x^{3} + 1)}^{2}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{{(x^{3} + 1)}^{2}} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{62} \cdot 3 e^{- 1,1 x}$

≈ $1105,268 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 6$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 6$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x - 2,4) - 6$

= $- 6 + (0,8 x - 2 - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 6 + (0,8 x - 4,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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