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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x - 5} + x^{4} \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 5} + x^{4} \cdot (- e^{- x - 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x - 5} - x^{4} \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (4 x^{3} - x^{4})$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 5} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (3 x - 7) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) + (3 x - 7) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (3 x - 7) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{48} \cdot (- 4 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 388,069 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x - 21 + 5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x - 16)$

= $(- 3,5 x - 16) \cdot e^{- 0,7 x}$