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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} + e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} + e^{3 x - 5}$

= $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + e^{3 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}} + e^{3 x - 5} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 \sqrt{x}} + e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $\frac{3}{4 \sqrt{x}} + 3 e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (5 x^{4} + 2 x) + e^{3 x} \cdot (20 x^{3} + 2)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 2 x) + e^{3 x} \cdot (20 x^{3} + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 6 x + 20 x^{3} + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 20 x^{3} + 6 x + 2)$

= $(15 x^{4} + 20 x^{3} + 6 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 21)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 22)$

= $(3 x + 22) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 3,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x + 4,5)$

= $(- 0,5 x + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$