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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (2 x - 4) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + (2 x - 4) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (2 x - 4) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,8 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 3,8 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,61 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,4295 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4295 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,258 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{61} \cdot 4 e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,175 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 1$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 1$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x - 16,2) + 1$

= $1 + (- 2,7 x + 3 - 16,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $1 + (- 2,7 x - 13,2) \cdot e^{- 0,9 x}$