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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 4} + (x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 4} + (x^{2} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $(2 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 (x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x^{2} + 3 x + 2 x - 1)$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x^{2} + 5 x - 1)$

= $(- 3 x^{2} + 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${(- 1,05)}^{74} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $36,984 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x - 2,7)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x + 0,3)$

= $(- 2,7 x + 0,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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