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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 4) \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 4) \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{2 x + 1} + (5 x + 4) \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $5 e^{2 x + 1} + (5 x + 4) \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $5 e^{2 x + 1} + 2 (5 x + 4) \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (5 + 10 x + 8)$

= $e^{2 x + 1} \cdot (10 x + 13)$

= $(10 x + 13) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 5} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} + 5} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} - 1) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) + (2 x^{2} - 1) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $4 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x^{2} - 1) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 6,3)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 5,3)$

= $(0,9 x + 5,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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