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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(4 x + 4) \cdot e^{5 x + 4} + (2 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $(4 x + 4) \cdot e^{5 x + 4} + (2 x^{2} + 4 x) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $(4 x + 4) \cdot e^{5 x + 4} + 5 (2 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (10 x^{2} + 20 x + 4 x + 4)$

= $e^{5 x + 4} \cdot (10 x^{2} + 24 x + 4)$

= $(10 x^{2} + 24 x + 4) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} - 1} \cdot 6 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- 2 x - 3}$

= $- {(- 2 x - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- 2 x - 3)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- 2 x - 3)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{{(- 2 x - 3)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{{(- 2 x - 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 2$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 2) - 2$

= $- 2 + (2 x - 4 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 2 + (2 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$