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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 x^{3} + 3 e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 x^{3} + 3 e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $24 x^{2} + 3 e^{x + 4} \cdot 1$

= $24 x^{2} + 3 e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x - 4}$

= $- 3 {(x - 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(x - 4)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(x - 4)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{3}{{(x - 4)}^{2}} \cdot (1)$

= $\frac{3}{{(x - 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 2,4) + 5$

= $5 + (2,4 x - 3 + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (2,4 x - 0,6) \cdot e^{- 0,8 x}$