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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{8} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + x^{5} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x - 7) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x - 7) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x - 7) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 1$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 1$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 4,5) + 1$

= $1 + (1,5 x - 5 + 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $1 + (1,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$