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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{5}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{5}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{4} e^{x}$

= $\frac{5}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{3} + 2) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 2) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 2) - 12 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 4 - 12 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 4)$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (2 x - 5)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (2 x - 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (2 x - 5) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (2 x - 5) \cdot (2 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (2 x - 5) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (2 x - 5) \cdot (2 + 0))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (2 x - 5)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (2 x - 5) \cdot (2))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (2 x - 5)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x - 5))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (2 x - 5)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 2 \sqrt[4]{x} \cdot \sin (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 x - 4)$

= $(- 3 x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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