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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 e^{x - 1} - \frac{3}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 e^{x - 1} - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 2} + 2 e^{x - 1} - \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $x^{- 3} + 2 e^{x - 1} \cdot 1 - \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 2 e^{x - 1} \cdot 1 - \frac{3}{4 \sqrt{x}}$

= $\frac{1}{x^{3}} + 2 e^{x - 1} - \frac{3}{4 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 x - 3 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (x - 4)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (x - 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (x - 4) + x^{\frac{1}{3}} \cdot (- \sin (x - 4))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \cos (x - 4) + \sqrt[3]{x} \cdot (- \sin (x - 4))$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (x - 4)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \sqrt[3]{x} \cdot \sin (x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,039 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x + 2,8 - 1) - 8$

= $- 8 + (0,7 x + 2,8 - 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 8 + (0,7 x + 1,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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