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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x + 2 x^{2})$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 x^{2} - 2 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 3)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 3}{- 2 x^{3} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 6) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 6) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 6) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x - 0,2 + 2) + 3$

= $3 + (- 0,2 x - 0,2 + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (- 0,2 x + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

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