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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} (- 2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} (- 2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 2 x^{2} + 3) + e^{- x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $- e^{- x} (- 2 x^{2} + 3) + e^{- x} \cdot (- 4 x)$

= $- e^{- x} (- 2 x^{2} + 3) - 4 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x + 2 x^{2} - 3)$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{2} - 4 x - 3)$

= $(2 x^{2} - 4 x - 3) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 5) + e^{x} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $e^{x} (3 x^{3} + 5) + e^{x} \cdot (9 x^{2})$

= $e^{x} (3 x^{3} + 5) + 9 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (9 x^{2} + 3 x^{3} + 5)$

= $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 9 x^{2} + 5)$

= $(3 x^{3} + 9 x^{2} + 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\sin (x) + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\sin (x) + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $- 3 {(\sin (x) + 3)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,75 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 4,75 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,5125 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $4,5125 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,2869 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,2869 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,0725 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${(- 0,95)}^{66} \cdot 5 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,169 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x - 1,2 - 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x - 4,2)$

= $(0,6 x - 4,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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