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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 4} - \frac{5}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x - 4} - \frac{5}{x^{2}}$

= $2 e^{x - 4} - 5 x^{- 2}$

=> f'(x) = $2 e^{x - 4} \cdot 1 + 10 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{x - 4} \cdot 1 + \frac{10}{x^{3}}$

= $2 e^{x - 4} + \frac{10}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (3 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{3 x^{2} - 6 x}{x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 1 \cdot (x - 2)}{x \cdot (x - 3)}$

= $\frac{3 (x - 2)}{x \cdot (x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 1) \cdot (- 6 x + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 1) \cdot (- 6 x)$

= $18 \cos (- 3 x^{2} - 1) x$

= $18 x \cdot \cos (- 3 x^{2} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x - 1,4)$

= $(- 0,6 x - 1,4) \cdot e^{- 0,6 x}$