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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (- 3 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (- 3 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} + 4 x) + e^{x} \cdot (- 9 x^{2} + 4)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} + 4 x - 9 x^{2} + 4)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x + 4)$

= $(- 3 x^{3} - 9 x^{2} + 4 x + 4) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(2 x^{2} + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(2 x^{2} + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (2 x^{2} + 2) \cdot (4 x + 0)$

= $- 4 (2 x^{2} + 2) \cdot (4 x)$

= $- 16 (2 x^{2} + 2) x$

= $- 16 x (2 x^{2} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 10) - 9$

= $- 9 + (2 x - 4 - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (2 x - 14) \cdot e^{- 0,5 x}$