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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{4 x^{4}} - 3 e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{4 x^{4}} - 3 e^{2 x - 3}$

= $3 \cdot \cos (x) + \frac{3}{4} x^{- 4} - 3 e^{2 x - 3}$

=> f'(x) = $- 3 \cdot \sin (x) - 3 x^{- 5} - 3 e^{2 x - 3} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{5}} - 3 e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 3 \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{5}} - 6 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{2} - 1} \cdot 4 x$

= $8 \cdot e^{2 x^{2} - 1} x$

= $8 x e^{2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 9$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 6) + 9$

= $9 + (1,2 x - 3 + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $9 + (1,2 x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$