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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} (2 x^{4} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} (2 x^{4} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (2 x^{4} + 2) + e^{- 3 x} \cdot (8 x^{3} + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (2 x^{4} + 2) + e^{- 3 x} \cdot (8 x^{3})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (2 x^{4} + 2) + 8 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 6 + 8 x^{3})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} + 8 x^{3} - 6)$

= $(- 6 x^{4} + 8 x^{3} - 6) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 3} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(3 x - 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(3 x - 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(3 x - 2)}^{2} \cdot (3 + 0)$

= $3 {(3 x - 2)}^{2} \cdot (3)$

= $9 {(3 x - 2)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 1$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 1$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 1,6) + 1$

= $1 + (1,6 x - 4 + 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $1 + (1,6 x - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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