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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 2} + x^{3} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 2} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x + 2} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 3) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 3) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} + 3) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 1,4) + 8$

= $8 + (- 1,4 x + 2 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (- 1,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$