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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{40}{27} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 1) \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- x + 4} + (5 x - 1) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $5 e^{- x + 4} + (5 x - 1) \cdot (- e^{- x + 4})$

= $5 e^{- x + 4} - (5 x - 1) \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (5 - 5 x + 1)$

= $e^{- x + 4} \cdot (- 5 x + 6)$

= $(- 5 x + 6) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x + 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 7)$

= $(- 2 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 10 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 10)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 1,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x + 0,8)$

= $(0,6 x + 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

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