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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 2} - \frac{2}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 2} - \frac{2}{x^{4}}$

= $2 e^{3 x + 2} - 2 x^{- 4}$

=> f'(x) = $2 e^{3 x + 2} \cdot 3 + 8 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 2} \cdot 3 + \frac{8}{x^{5}}$

= $6 e^{3 x + 2} + \frac{8}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\cos (x) - 1) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $4 (\cos (x) - 1) \cdot (- \sin (x))$

= $- 4 (\cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 1$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 1$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 4,2) + 1$

= $1 + (0,6 x - 3 + 4,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $1 + (0,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$