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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + e^{x - 5} - 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + e^{x - 5} - 4 x^{2}$

= $- 2 x^{- 3} + e^{x - 5} - 4 x^{2}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4} + e^{x - 5} \cdot 1 - 8 x$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}} + e^{x - 5} \cdot 1 - 8 x$

= $\frac{6}{x^{4}} + e^{x - 5} - 8 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $12 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 8 x}{- 5 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x + 8)}{- x \cdot (5 x + 4)}$

= $\frac{- (15 x + 8)}{- x \cdot (5 x + 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} + 4}$

= $- {(- 2 x^{3} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x^{3} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 4}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} + 4}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 2 x^{3} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 7,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x + 9,2)$

= $(- 1,2 x + 9,2) \cdot e^{- 0,6 x}$