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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{9}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{9}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{9}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 2 x - 2) + e^{3 x} \cdot (- 2 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 2 x - 2) + e^{3 x} \cdot (- 2)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 2 x - 2) - 2 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 2 - 6 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x - 8)$

= $(- 6 x - 8) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x - 5)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- 3 x - 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (- 3 x - 5) + x^{\frac{1}{3}} \cdot (- \sin (- 3 x - 5) \cdot (- 3 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \cos (- 3 x - 5) + \sqrt[3]{x} \cdot (- \sin (- 3 x - 5) \cdot (- 3 + 0))$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (- 3 x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- \sin (- 3 x - 5) \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (- 3 x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x - 5)$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (- 3 x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 3 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 2,7) - 9$

= $- 9 + (- 0,9 x + 1 - 2,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (- 0,9 x - 1,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

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