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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{4}} - 2 e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{4}} - 2 e^{- 2 x + 2}$

= $- \frac{1}{3} x^{- 4} - 2 e^{- 2 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3} x^{- 5} - 2 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 x^{5}} - 2 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $\frac{4}{3 x^{5}} + 4 e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} - 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- 2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 8)$

= $(- x + 8) \cdot e^{- 0,2 x}$