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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $e^{x - 5} \cdot 1$

= $e^{x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- 3 x - 2) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 6 (- 3 x - 2) \cdot (- 3)$

= $18 (- 3 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 2) + 6$

= $6 + (0,5 x - 5 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (0,5 x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$