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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{3}{4} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{3}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{21}{32} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 5 x^{4} + 2 x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (- 20 x^{3} + 4 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 5 x^{4} + 2 x^{2}) + e^{- 2 x} (- 20 x^{3} + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4} - 4 x^{2} + (- 20 x^{3} + 4 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4} - 20 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x)$

= $(10 x^{4} - 20 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 5 x + 1} + \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 1}}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x - 1,8) - 3$

= $- 3 + (0,6 x - 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 3 + (0,6 x - 4,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

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