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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{16}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2} + (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2} + (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (15 x^{4} - 3 x^{3} + (- 20 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (15 x^{4} - 23 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(15 x^{4} - 23 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 2 x} \cdot (- 3 x^{2} - 2)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 2}{- x^{3} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 28)$

= $(3 x + 28) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${1,1}^{62} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $368,423 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x + 0,4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 1,6)$

= $(0,4 x - 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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