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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{14}{15} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot e^{x + 4} + (5 x^{3} - 2) \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $15 x^{2} \cdot e^{x + 4} + (5 x^{3} - 2) \cdot e^{x + 4}$

= $e^{x + 4} \cdot (5 x^{3} - 2 + 15 x^{2})$

= $e^{x + 4} \cdot (5 x^{3} + 15 x^{2} - 2)$

= $(5 x^{3} + 15 x^{2} - 2) \cdot e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + (- x^{3} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 (- x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{3} - 3 - 3 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{3} - 3 x^{2} - 3)$

= $(3 x^{3} - 3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + x} \cdot (6 x + 1)$

= $\frac{6 x + 1}{3 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 28)$

= $(3 x + 28) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,005 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x + 15) + 4$

= $4 + (2,5 x - 5 + 15) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (2,5 x + 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

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