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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{2}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- x} + (4 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(16 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- x} + (4 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(16 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- x} - (4 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{2} + (16 x^{3} - 8 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x)$

= $(- 4 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x} + (- 4 x - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 4 e^{2 x} + 2 (- 4 x - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 - 8 x - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x - 6)$

= $(- 8 x - 6) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 1} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 5)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- x - 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- x - 5) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- x - 5) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- \cos (- x - 5))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x + 5,2)$

= $(- 0,7 x + 5,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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typischen Anwendungsterm ableiten