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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) - 3 e^{2 x + 2} - 5 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) - 3 e^{2 x + 2} - 5 x^{5}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - 3 e^{2 x + 2} \cdot 2 - 25 x^{4}$

= $- 3 \cdot \cos (x) - 6 e^{2 x + 2} - 25 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 3 x} \cdot (15 x^{2} + 3)$

= $\frac{15 x^{2} + 3}{5 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 2)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x + 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x + 2) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 2 x + 2) \cdot (- 2 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 2 x + 2) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 2 x + 2) \cdot (- 2 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 2 x + 2) \cdot (- 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x + 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 2 x + 2)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 0,85)}^{43} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x + 1)$

= $(1,5 x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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