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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 4} + \frac{7}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 4} + \frac{7}{3 x^{2}}$

= $e^{- 3 x - 4} + \frac{7}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3) - \frac{14}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3) - \frac{14}{3 x^{3}}$

= $- 3 e^{- 3 x - 4} - \frac{14}{3 x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 3} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 3) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 3) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} + 3) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 0,9)}^{62} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 1,2) - 6$

= $- 6 + (- 0,4 x + 4 + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (- 0,4 x + 5,2) \cdot e^{- 0,1 x}$