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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{35}{48} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 5} - 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 5} - 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) - 2 \cdot \cos (x)$

= $6 e^{- 2 x - 5} - 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{3 x} + (4 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $8 x \cdot e^{3 x} + (4 x^{2} + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $8 x \cdot e^{3 x} + 3 (4 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{2} + 12 + 8 x)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{2} + 8 x + 12)$

= $(12 x^{2} + 8 x + 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 8 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 8)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{50} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,005 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 6,3) - 9$

= $- 9 + (0,9 x - 1 + 6,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (0,9 x + 5,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

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