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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + x^{3} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (3 x^{2} + 5 x^{3})$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{4} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{4} - 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{4} - 1) + e^{x} \cdot (12 x^{3} + 0)$

= $e^{x} (3 x^{4} - 1) + e^{x} \cdot (12 x^{3})$

= $e^{x} (3 x^{4} - 1) + 12 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (12 x^{3} + 3 x^{4} - 1)$

= $e^{x} \cdot (3 x^{4} + 12 x^{3} - 1)$

= $(3 x^{4} + 12 x^{3} - 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x - 4)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x - 4) \cdot (2 + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (2 x - 4) \cdot (2)$

= $- 6 \cdot \sin (2 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 6 - 2) - 9$

= $- 9 + (x - 6 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (x - 8) \cdot e^{- 0,5 x}$