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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{3} - 3 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{8}{3} x^{3} - 3 e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $- 8 x^{2} - 3 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $- 8 x^{2} + 3 e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $2 e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 4 x}{2 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{2 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{2 (3 x + 2)}{2 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(\sin (x) + 5)}^{3} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $8 {(\sin (x) + 5)}^{3} \cdot (\cos (x))$

= $8 {(\sin (x) + 5)}^{3} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 3,6) + 4$

= $4 + (0,6 x - 1 - 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (0,6 x - 4,6) \cdot e^{- 0,6 x}$