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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{9}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{9}{2 x^{2}}$

= $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{9}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 - 9 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{9}{x^{3}}$

= $- 9 e^{3 x + 4} - \frac{9}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $6 e^{3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 3) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 3) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x - 3) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 5)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x - 10)$

= $(x - 10) \cdot e^{- 0,2 x}$