Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 5 x + 1} + (- x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $(- 5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 5 x + 1} + (- x^{5} - 5 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $(- 5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 (- x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (5 x^{5} + 25 x - 5 x^{4} - 5)$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (5 x^{5} - 5 x^{4} + 25 x - 5)$

= $(5 x^{5} - 5 x^{4} + 25 x - 5) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 4} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 4} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{2 x} - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{2 x} - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(e^{2 x} - 2)}^{3} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $12 {(e^{2 x} - 2)}^{3} \cdot (2 e^{2 x})$

= $24 {(e^{2 x} - 2)}^{3} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 7) + 8$

= $8 + (3,5 x - 5 - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (3,5 x - 12) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten