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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 3) \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 3) \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{- x + 1} + (- 3 x^{2} + 3) \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- 6 x \cdot e^{- x + 1} + (- 3 x^{2} + 3) \cdot (- e^{- x + 1})$

= $- 6 x \cdot e^{- x + 1} - (- 3 x^{2} + 3) \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (3 x^{2} - 3 - 6 x)$

= $e^{- x + 1} \cdot (3 x^{2} - 6 x - 3)$

= $(3 x^{2} - 6 x - 3) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x + 3} \cdot 1$

= $- 2 e^{x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (12 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{12 x^{2} + 4 x}{4 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot (3 x + 1)}{2 x \cdot (2 x + 1)}$

= $\frac{4 (3 x + 1)}{2 x \cdot (2 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{- x + 2}$

= ${(- x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(- x + 2)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{{(- x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,1}^{63} \cdot 4 e^{1,1 x}$

≈ $1621,06 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x + 1,6) - 4$

= $- 4 + (0,8 x - 2 + 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (0,8 x - 0,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

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