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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{10}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 3 x + 2} + (- 2 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x + 2} + (- 2 x + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $- 2 e^{- 3 x + 2} - 3 (- 2 x + 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 2 + 6 x - 15)$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (6 x - 17)$

= $(6 x - 17) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 1} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 3} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 3} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x - 12)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x - 16)$

= $(2,4 x - 16) \cdot e^{- 0,6 x}$