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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} + \frac{3}{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)$

= $- 9 e^{- 3 x + 1} + \frac{3}{4} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (5 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (5 x + 4)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (5 x + 4) + x^{2} \cdot \cos (5 x + 4) \cdot (5 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (5 x + 4) + x^{2} \cdot \cos (5 x + 4) \cdot (5)$

= $2 x \cdot \sin (5 x + 4) + x^{2} \cdot 5 \cdot \cos (5 x + 4)$

= $2 x \cdot \sin (5 x + 4) + 5 x^{2} \cdot \cos (5 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${1,05}^{72} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $33,545 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 14,4) - 1$

= $- 1 + (- 2,4 x + 3 - 14,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (- 2,4 x - 11,4) \cdot e^{- 0,8 x}$