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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{24}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{3} + e^{- 2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 8 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 8)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{47} \cdot e^{- 0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 2,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 4,4)$

= $(- 0,8 x + 4,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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