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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 1) \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 1) \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x - 4} + (- 3 x^{3} - 1) \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{3 x - 4} + (- 3 x^{3} - 1) \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{3 x - 4} + 3 (- 3 x^{3} - 1) \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (- 9 x^{3} - 3 - 9 x^{2})$

= $e^{3 x - 4} \cdot (- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 3)$

= $(- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} - 5} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 8 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 8)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 8) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 4$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 4$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 4,8) + 4$

= $4 + (1,2 x - 4 + 4,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $4 + (1,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$