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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 2 x - 4} + (- 5 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $- 5 e^{- 2 x - 4} + (- 5 x - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $- 5 e^{- 2 x - 4} - 2 (- 5 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 5 + 10 x + 8)$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (10 x + 3)$

= $(10 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 1} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 1} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 2 x} \cdot (- 9 x^{2} + 2)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 2}{- 3 x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{- 3 x + 4}$

= $3 {(- 3 x + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(- 3 x + 4)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- 3 x + 4)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{3}{{(- 3 x + 4)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{{(- 3 x + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 8$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 8$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 1,6) - 8$

= $- 8 + (- 1,6 x + 4 + 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 8 + (- 1,6 x + 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

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