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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{2 x^{2} + 5}$

= $- 2 {(2 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(2 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} \cdot (4 x)$

= $- 4 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{59} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 276,801 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,2 x + 0,4)$

= $(1,2 x + 0,4) \cdot e^{- 0,6 x}$