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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{8}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{16}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \sqrt{x} - \frac{1}{2 x^{2}} - 3 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \sqrt{x} - \frac{1}{2 x^{2}} - 3 e^{3 x + 4}$

= $- 7 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x^{- 2} - 3 e^{3 x + 4}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{- 3} - 3 e^{3 x + 4} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{x^{3}} - 3 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $- \frac{7}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{x^{3}} - 9 e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{3} + e^{- 2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + x} \cdot (- 9 x^{2} + 1)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 1}{- 3 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 2 x} + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 2 x} + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(e^{- 2 x} + 1)}^{3} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $12 {(e^{- 2 x} + 1)}^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 24 {(e^{- 2 x} + 1)}^{3} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x + 0,7) - 6$

= $- 6 + (- 0,1 x + 1 + 0,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (- 0,1 x + 1,7) \cdot e^{- 0,1 x}$