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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{4}{3} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{4}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{4}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} + 1} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} + 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- x} - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- x} - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(e^{- x} - 4)}^{4} \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 5 {(e^{- x} - 4)}^{4} \cdot (- e^{- x})$

= $5 {(e^{- x} - 4)}^{4} \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{69} \cdot 3 e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,087 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 8$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 8$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 1) + 8$

= $8 + (- 0,5 x + 5 + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $8 + (- 0,5 x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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