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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 2) \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 2) \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 5 x - 4} + (3 x^{4} + 2) \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $12 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} + (3 x^{4} + 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $12 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 (3 x^{4} + 2) \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 15 x^{4} - 10 + 12 x^{3})$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 15 x^{4} + 12 x^{3} - 10)$

= $(- 15 x^{4} + 12 x^{3} - 10) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 3} + x^{4} \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 3} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 3} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 3}$

= $e^{4 x - 3} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 1} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 3 x - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 3 x - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(- 3 x - 2)}^{4} \cdot (- 3 + 0)$

= $10 {(- 3 x - 2)}^{4} \cdot (- 3)$

= $- 30 {(- 3 x - 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 2,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x - 3,4)$

= $(0,4 x - 3,4) \cdot e^{- 0,4 x}$