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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) - e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- 3 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x} \cdot 1$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 6) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 6) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} + 6) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 0,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 0,2)$

= $(0,8 x - 0,2) \cdot e^{- 0,8 x}$