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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{7}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{7}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 3} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 4,9)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x + 5,9)$

= $(- 0,7 x + 5,9) \cdot e^{- 0,7 x}$