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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2} - \frac{7}{3 x^{2}} + \frac{7}{3} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2} - \frac{7}{3 x^{2}} + \frac{7}{3} \sqrt{x}$

= $- 2 e^{- 2 x - 2} - \frac{7}{3} x^{- 2} + \frac{7}{3} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2) + \frac{14}{3} x^{- 3} + \frac{7}{6} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2) + \frac{14}{3 x^{3}} + \frac{7}{6 \sqrt{x}}$

= $4 e^{- 2 x - 2} + \frac{14}{3 x^{3}} + \frac{7}{6 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2}) + e^{- x} \cdot (12 x^{3} - 8 x)$

= $- e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 4 x^{2}) + e^{- x} \cdot (12 x^{3} - 8 x)$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{2} + (12 x^{3} - 8 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x)$

= $(- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 8 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 8)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 1,4) + 3$

= $3 + (0,2 x - 2 - 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (0,2 x - 3,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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