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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{32} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \sqrt{x} - e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \sqrt{x} - e^{- x - 4}$

= $8 x^{\frac{1}{2}} - e^{- x - 4}$

=> f'(x) = $4 x^{- \frac{1}{2}} - e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{\sqrt{x}} - e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $\frac{4}{\sqrt{x}} + e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- 3 x + 3}$

= $- 3 {(- 3 x + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- 3 x + 3)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{{(- 3 x + 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 9,6) - 2$

= $- 2 + (3,2 x - 4 + 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (3,2 x + 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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