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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(10 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $10 x \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{2} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $10 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (5 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 9 + 10 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 10 x + 9)$

= $(- 15 x^{2} + 10 x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 10 x}{- 5 x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{- 5 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{- 5 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- 5 (3 x - 2)}{- 5 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{3 x^{2} + 2}$

= ${(3 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(3 x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 2}} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{2} + 2}} \cdot (6 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 2,6)$

= $(- 0,9 x - 2,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

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