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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 2} \cdot 1$

= $- 3 e^{x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{2 x} + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{2 x} + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (e^{2 x} + 5) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $4 (e^{2 x} + 5) \cdot (2 e^{2 x})$

= $8 (e^{2 x} + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{63} \cdot 3 e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,118 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x - 9,2)$

= $(- 1,6 x - 9,2) \cdot e^{- 0,8 x}$