Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{22}{9} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(8 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(8 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} + 6 x^{3} + (8 x^{3} + 6 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} + 14 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(6 x^{4} + 14 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 10)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 12)$

= $(- 4 x + 12) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 6) - 3$

= $- 3 + (x - 5 - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 3 + (x - 11) \cdot e^{- 0,2 x}$