Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{x}$

= $\frac{6}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} + 4) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} + 4) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 0) \cdot e^{x + 3} + (- x^{2} + 4) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $- 2 x \cdot e^{x + 3} + (- x^{2} + 4) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (- x^{2} + 4 - 2 x)$

= $e^{x + 3} \cdot (- x^{2} - 2 x + 4)$

= $(- x^{2} - 2 x + 4) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x - 7) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x - 7) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x - 7) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 8$

= $- e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 8$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x + 0,6) + 8$

= $8 + (0,2 x - 1 + 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $8 + (0,2 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten