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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 1) \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{x + 1} + (3 x^{2} + 1) \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $6 x \cdot e^{x + 1} + (3 x^{2} + 1) \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (3 x^{2} + 1 + 6 x)$

= $e^{x + 1} \cdot (3 x^{2} + 6 x + 1)$

= $(3 x^{2} + 6 x + 1) \cdot e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{2 x} + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{2 x} + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (e^{2 x} + 5) \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $6 (e^{2 x} + 5) \cdot (2 e^{2 x})$

= $12 (e^{2 x} + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 12)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 17)$

= $(4 x - 17) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten