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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7} e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{27}{14} e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x - 1} + (- x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x - 1} + (- x^{3} - 4 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 (- x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (4 x^{3} + 16 x - 3 x^{2} - 4)$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (4 x^{3} - 3 x^{2} + 16 x - 4)$

= $(4 x^{3} - 3 x^{2} + 16 x - 4) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 4 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,9}^{46} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,008 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 9$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 9$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 16,8) + 9$

= $9 + (- 2,8 x + 4 + 16,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $9 + (- 2,8 x + 20,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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