Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 1} + 2 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 1} + 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 1} \cdot 2 - 2 \cdot \sin (x)$

= $2 e^{2 x + 1} - 2 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 2} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} - 2} x$

= $- 4 x e^{x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 3 x} \cdot (10 x + 3)$

= $\frac{10 x + 3}{5 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 4$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 4$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 2,8) + 4$

= $4 + (0,4 x - 4 + 2,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $4 + (0,4 x - 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$