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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{x^{2}} + 2 e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{x^{2}} + 2 e^{3 x + 3}$

= $9 x^{- 2} + 2 e^{3 x + 3}$

=> f'(x) = $- 18 x^{- 3} + 2 e^{3 x + 3} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{18}{x^{3}} + 2 e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $- \frac{18}{x^{3}} + 6 e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 1} \cdot 1$

= $3 e^{x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{x} \cdot 1$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{3 x^{3} + 4}$

= ${(3 x^{3} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(3 x^{3} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{3} + 4}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x^{3} + 4}} \cdot (9 x^{2})$

= $\frac{9}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{3 x^{3} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 4$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 4$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 2,4) + 4$

= $4 + (0,4 x - 4 + 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $4 + (0,4 x - 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$