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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x) + e^{x} \cdot (- 6 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x - 6 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x - 5)$

= $(- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 5 x - 5) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{x} + (- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{x}$

= $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{x} - 6 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{2} - 4 - 6 x)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{2} - 6 x - 4)$

= $(- 3 x^{2} - 6 x - 4) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 1$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x - 4) - 1$

= $- 1 + (0,8 x - 4 - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 1 + (0,8 x - 8) \cdot e^{- 0,2 x}$