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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 3} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} - 3} x$

= $18 x e^{3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 6) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) + (2 x + 6) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x + 6) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x + 2)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x - 2)$

= $(2 x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$