Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{14}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x + 3} - 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x + 3} - 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x + 3} \cdot 1 + 3 \cdot \sin (x)$

= $- 2 e^{x + 3} + 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $25 x^{4} \cdot e^{2 x} + (5 x^{5} - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $25 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{5} - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} - 6 + 25 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} - 6)$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} - 6) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 2 x} \cdot (- 10 x + 2)$

= $\frac{- 10 x + 2}{- 5 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 27 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{59} \cdot (- 3 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,006 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 3,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (0,5 x - 4,5)$

= $(0,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten