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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 3 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{9}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} + 3 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} + 3 x^{4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + 12 x^{3}$

= $- 4 e^{- 2 x + 5} + 12 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + (4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(16 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + (4 x^{4} + 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(16 x^{3} + 4) \cdot e^{3 x} + 3 (4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{4} + 12 x + 16 x^{3} + 4)$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{4} + 16 x^{3} + 12 x + 4)$

= $(12 x^{4} + 16 x^{3} + 12 x + 4) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3}{- x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 7)$

= $(- 3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{60} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $18,679 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 0,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 4,8)$

= $(0,4 x - 4,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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