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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 3 e^{- x + 1} + \frac{1}{3} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + 3 e^{- x + 1} + \frac{1}{3} \sqrt{x}$

= $4 x^{2} + 3 e^{- x + 1} + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8 x + 3 e^{- x + 1} \cdot (- 1) + \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $8 x + 3 e^{- x + 1} \cdot (- 1) + \frac{1}{6 \sqrt{x}}$

= $8 x - 3 e^{- x + 1} + \frac{1}{6 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{49} \cdot (- 2 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,011 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 1,4)$

= $(- 0,2 x + 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

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