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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4) \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 4) \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 2 x - 4} + (- 3 x^{4} + 4) \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 4} + (- 3 x^{4} + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 (- 3 x^{4} + 4) \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (6 x^{4} - 8 - 12 x^{3})$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (6 x^{4} - 12 x^{3} - 8)$

= $(6 x^{4} - 12 x^{3} - 8) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 9)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 12)$

= $(- 1,5 x + 12) \cdot e^{- 0,5 x}$