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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + 4) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + 4) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 0) \cdot e^{- 5 x + 2} + (2 x^{5} + 4) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $10 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2} + (2 x^{5} + 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $10 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 (2 x^{5} + 4) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 10 x^{5} - 20 + 10 x^{4})$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 10 x^{5} + 10 x^{4} - 20)$

= $(- 10 x^{5} + 10 x^{4} - 20) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(x - 2)}^{3} \cdot (1 + 0)$

= $- 8 {(x - 2)}^{3} \cdot (1)$

= $- 8 {(x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{52} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $142,043 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x - 1,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x - 0,2)$

= $(- 0,4 x - 0,2) \cdot e^{- 0,4 x}$