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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 5 x - 5} + (- 2 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- 2 e^{- 5 x - 5} + (- 2 x - 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $- 2 e^{- 5 x - 5} - 5 (- 2 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 2 + 10 x + 10)$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (10 x + 8)$

= $(10 x + 8) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (2 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (2 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\cos (2 x^{3} - 4) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\cos (2 x^{3} - 4) \cdot (6 x^{2})$

= $6 \cos (2 x^{3} - 4) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \cos (2 x^{3} - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${0,95}^{80} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,017 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 1$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 1$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x + 3) - 1$

= $- 1 + (- 0,6 x + 1 + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 1 + (- 0,6 x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$