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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{x - 1} + (5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $(20 x^{3} - 2 x) \cdot e^{x - 1} + (5 x^{4} - x^{2}) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (5 x^{4} - x^{2} + (20 x^{3} - 2 x))$

= $e^{x - 1} \cdot (5 x^{4} + 20 x^{3} - x^{2} - 2 x)$

= $(5 x^{4} + 20 x^{3} - x^{2} - 2 x) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $\frac{- 2 x - 1}{- x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 10 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 10)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 7)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x + 5)$

= $(x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$