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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{10}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} - 3 e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 e^{x - 5} \cdot 1$

= $3 x^{2} - 3 e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- x^{3} - 3} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 19)$

= $(- 6 x - 19) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 8,4) + 4$

= $4 + (- 2,8 x + 4 - 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $4 + (- 2,8 x - 4,4) \cdot e^{- 0,7 x}$