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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $- \frac{7}{6} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{4 x^{3}} - 3 e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{4 x^{3}} - 3 e^{- 3 x + 3}$

= $- \frac{3}{4} x^{- 3} - 3 e^{- 3 x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{9}{4} x^{- 4} - 3 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x^{4}} - 3 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{4 x^{4}} + 9 e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 4 x} \cdot (10 x + 4)$

= $\frac{10 x + 4}{5 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x - 14)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 12)$

= $(4 x - 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 9$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,8) - 9$

= $- 9 + (- 0,3 x + 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 9 + (- 0,3 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$