Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4} + (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4} + (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $(- 20 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4} + 5 (- 5 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 25 x^{4} + 5 x^{3} + (- 20 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 25 x^{4} - 15 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 25 x^{4} - 15 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} - x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x^{5} - x) + e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} - 1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} - x) + e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} + 3 x - 15 x^{4} - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x - 1)$

= $(9 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

= $\frac{6 (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 6)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 5)$

= $(2 x - 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x - 0,9) + 6$

= $6 + (0,3 x - 1 - 0,9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (0,3 x - 1,9) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten