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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{10}{3} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{x^{2}} + e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{x^{2}} + e^{- 3 x + 2}$

= $- 1 + 5 x^{- 2} + e^{- 3 x + 2}$

=> f'(x) = $0 - 10 x^{- 3} + e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $0 - \frac{10}{x^{3}} + e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{10}{x^{3}} - 3 e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 27 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 0,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 3,2)$

= $(- 0,8 x + 3,2) \cdot e^{- 0,2 x}$