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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x + 1} + (5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1} + (5 x^{4} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (5 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 15 x^{4} + 15 + 20 x^{3})$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15)$

= $(- 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 3} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x - 4} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x + 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x + 4} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x + 4}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x + 4) - 4$

= $- 4 + (- 2 x + 4 + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 + (- 2 x + 8) \cdot e^{- 0,5 x}$

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