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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{2} + e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $- 10 x + e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $- 10 x - e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x} + x^{4} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x} + x^{4} \cdot (- e^{- x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x} - x^{4} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + x} \cdot (- 9 x^{2} + 1)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 1}{- 3 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 6) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 6) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} + 6) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 10,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x - 12,8)$

= $(1,8 x - 12,8) \cdot e^{- 0,9 x}$