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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{2} + e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x + e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $4 x - 3 e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{3} + 6 x^{2} + (- 15 x^{2} - 6 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x)$

= $(10 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 3 x} \cdot (- 8 x + 3)$

= $\frac{- 8 x + 3}{- 4 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 0)$

= $e^{2 x} \cdot 4 x$

= $x \cdot 4 e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 12,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x + 10,6)$

= $(1,8 x + 10,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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