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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (4 x^{2} + 5 x) + e^{- x} \cdot (8 x + 5)$

= $- e^{- x} \cdot (4 x^{2} + 5 x) + e^{- x} \cdot (8 x + 5)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} - 5 x + 8 x + 5)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} + 3 x + 5)$

= $(- 4 x^{2} + 3 x + 5) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 1) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x + 1) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 8$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 6) - 8$

= $- 8 + (1,5 x - 3 + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 8 + (1,5 x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$