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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 2} - 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 2} - 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + 3 \cdot \sin (x)$

= $- 3 e^{- 3 x - 2} + 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 2 x} \cdot (12 x^{2} - 2)$

= $\frac{12 x^{2} - 2}{4 x^{3} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x + 3}$

= ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}} \cdot (1)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,039 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 3$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 7,2) + 3$

= $3 + (1,2 x - 3 + 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $3 + (1,2 x + 4,2) \cdot e^{- 0,4 x}$