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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} - 10 x}{- 3 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (9 x + 10)}{- x \cdot (3 x + 5)}$

= $\frac{- (9 x + 10)}{- x \cdot (3 x + 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x^{3}) + x^{2} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + x^{2} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{2} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{4} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot (- 5 e^{1,15 x})$

≈ $- 665,878 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 5$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 5$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x - 0,6) - 5$

= $- 5 + (0,3 x - 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 5 + (0,3 x - 1,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

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