$\text{f(x)}=$ $-3+\frac{5}{6}{e}^{-2x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{5}{6}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $-\frac{5}{3}{e}^{-2x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x^3+2x^2\right)·e^{2x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(3x^2+4x\right)·e^{2x}+\left(x^3+2x^2\right)·e^{2x}·2$

= $\left(3x^2+4x\right)·e^{2x}+\left(x^3+2x^2\right)·2e^{2x}$

= $\left(3x^2+4x\right)·e^{2x}+2\left(x^3+2x^2\right)·e^{2x}$

= $e^{2x}·(2x^3+4x^2+\left(3x^2+4x\right))$

= $e^{2x}·\left(2x^3+7x^2+4x\right)$

= $\left(2x^3+7x^2+4x\right)·e^{2x}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-2x^3+5}$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-2x^3+5}·\left(-6x^2\right)$

= $-6·e^{-2x^3+5}{x}^2$

= $-6x^2{e}^{-2x^3+5}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(2x+3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2x+3}·\left(2+0\right)$

= $\frac{1}{2x+3}·\left(2\right)$

= $\frac{2}{2x+3}$

$\text{f(x)}=$ $-3{\left(-x^2-4\right)}^4$

$\text{f'(x)}=$ $-12{\left(-x^2-4\right)}^3·\left(-2x+0\right)$

= $-12{\left(-x^2-4\right)}^3·\left(-2x\right)$

= $24{\left(-x^2-4\right)}^{3}x$

= $24x{\left(-x^2-4\right)}^3$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}$

f'(x) = $e^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f''(x) = $-\mathrm{0,85}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f'''(x) = $\mathrm{0,7225}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $-\mathrm{0,614125}{e}^{-\mathrm{0,85}x}·\left(-\mathrm{0,85}\right)$ = $\mathrm{0,52200625}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $-\mathrm{0,85}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,85}\right)}^{37}·e^{-\mathrm{0,85}x}$

= $-\mathrm{0,0024462466922718}{e}^{-\mathrm{0,85}x}$

$\text{f(x)}=$ $2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $2·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}·\left(-\mathrm{0,2}\right)-8$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}+2\left(x+3\right)·\left(-\mathrm{0,2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}\right)-8$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-\mathrm{0,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}-8$

= $2e^{-\mathrm{0,2}x}-8-\mathrm{0,4}\left(x+3\right)·e^{-\mathrm{0,2}x}$