Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} + 1} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} + 1} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 5} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{- 3 x} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{- 3 x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 3 \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 6$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 6$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x + 1,2) - 6$

= $- 6 + (- 0,6 x + 1 + 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 6 + (- 0,6 x + 2,2) \cdot e^{- 0,6 x}$