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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{16} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 5} + x^{2} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 5} + x^{2} \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 6 x}{- 4 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (2 x - 1)}{- x \cdot (4 x - 3)}$

= $\frac{- 6 (2 x - 1)}{- x \cdot (4 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(e^{- 3 x} - 4)}^{3} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $12 {(e^{- 3 x} - 4)}^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 36 {(e^{- 3 x} - 4)}^{3} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{53} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,011 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 2$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 2$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 1,8) + 2$

= $2 + (0,9 x - 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $2 + (0,9 x - 4,8) \cdot e^{- 0,3 x}$