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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{4} - 2 e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{4} - 2 e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $20 x^{3} - 2 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $20 x^{3} + 6 e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} - 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (3 x - 4) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) + (3 x - 4) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $3 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (3 x - 4) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{71} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 31,948 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 9) + 6$

= $6 + (1,5 x - 3 + 9) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $6 + (1,5 x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$