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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 4} + x^{5} \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 4} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 4} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} + 2} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 13)$

= $(- 6 x - 13) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${0,95}^{72} \cdot (- 4 e^{0,95 x})$

= $- 0,1 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 7$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 7$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 3,6) - 7$

= $- 7 + (- 1,2 x + 2 + 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 7 + (- 1,2 x + 5,6) \cdot e^{- 0,6 x}$