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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{3} - 4 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(12 x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x + 12 x^{2} - 4)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 4)$

= $(- 12 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 2 x^{2} - 4) + e^{2 x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4) + e^{2 x} \cdot (- 4 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4) - 4 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 8 - 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 4 x - 8)$

= $(- 4 x^{2} - 4 x - 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x + 2}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 1,4)$

= $(0,2 x - 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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