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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{x} + (- 2 x + 5) \cdot e^{x}$

= $- 2 e^{x} + (- 2 x + 5) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 2 - 2 x + 5)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x + 3)$

= $(- 2 x + 3) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (2 x - 8) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + (2 x - 8) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (2 x - 8) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x - 0,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 3,6)$

= $(- 0,4 x + 3,6) \cdot e^{- 0,1 x}$