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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x + 2} + x^{2} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x + 2} + x^{2} \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $6 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 8) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 8) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 8) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $171,872 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x + 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 1)$

= $(4 x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$