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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{1}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 1} + (2 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $(10 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 1} + (2 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (2 x^{5} + x^{4} + (10 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{x - 1} \cdot (2 x^{5} + 11 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{5} + 11 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - x^{2}) + e^{x} \cdot (- 9 x^{2} - 2 x)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - x^{2} + (- 9 x^{2} - 2 x))$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x)$

= $(- 3 x^{3} - 10 x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (3 x)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (3 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (3 x) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (3 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (3 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 6$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 6$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 4,8) - 6$

= $- 6 + (1,6 x - 4 - 4,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 6 + (1,6 x - 8,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

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Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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