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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2} - 2 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2} - 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3) + 2 \cdot \sin (x)$

= $- 6 e^{- 3 x + 2} + 2 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 5 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{5} - 5 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{5} - 5 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (- 15 x^{4} - 15 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 3 x^{5} - 5 x^{3}) + e^{2 x} (- 15 x^{4} - 15 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 10 x^{3} + (- 15 x^{4} - 15 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 18)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 19)$

= $(3 x + 19) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 12)$

= $(- 1,8 x + 12) \cdot e^{- 0,6 x}$