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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 2 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot \cos (x) - 2 e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x + 3,2)$

= $(0,7 x + 3,2) \cdot e^{- 0,7 x}$