Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{x}$

= $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 1} + x^{4} \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 1} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 1} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 3)$

= $(9 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x + 4) + 4$

= $4 + (0,8 x - 2 + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $4 + (0,8 x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$