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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{4} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{4} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{1}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (- x^{5} + x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (- x^{5} + x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- x^{5} + x^{4}) + e^{x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $e^{x} \cdot (- x^{5} + x^{4} + (- 5 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (- x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{5} - 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 4} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x - 1)$

= $(6 x - 1) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${1,15}^{41} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $308,043 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 3$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 8,4) - 3$

= $- 3 + (- 1,2 x + 3 - 8,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 3 + (- 1,2 x - 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$