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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 12 x^{3} + (- 4 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 x^{4} - 16 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(3 x^{4} - 16 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x^{4} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (x^{4} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x^{4} + 5 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 10 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (x^{4} + 5 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 10 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 15 x^{2} + (4 x^{3} + 10 x))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x)$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 3} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 3} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,7 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 1,7 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,445 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $1,445 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,2283 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,2283 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,044 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{47} \cdot 2 e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x + 1,2) + 6$

= $6 + (- 0,4 x + 2 + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $6 + (- 0,4 x + 3,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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