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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{2} - 1) + e^{- x} \cdot (6 x + 0)$

= $- e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 1) + e^{- x} \cdot (6 x)$

= $- e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 1) + 6 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} + 1 + 6 x)$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} + 6 x + 1)$

= $(- 3 x^{2} + 6 x + 1) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 5} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 5} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 4 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x - 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x - 8)$

= $(1,5 x - 8) \cdot e^{- 0,3 x}$