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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $- 2 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + x} \cdot (- 9 x^{2} + 1)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 1}{- 3 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x^{2} + 3) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot \sin (- 3 x) + (2 x^{2} + 3) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $4 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x^{2} + 3) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,95}^{61} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,044 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $- e^{- 0,9 x} - (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x - 3,6) - 7$

= $- 7 + (0,9 x - 1 - 3,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (0,9 x - 4,6) \cdot e^{- 0,9 x}$