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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $- \frac{24}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - x} \cdot (- 6 x - 1)$

= $\frac{- 6 x - 1}{- 3 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2} - 4}$

= $- {(x^{2} - 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(x^{2} - 4)}^{- 2} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 6)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 8)$

= $(x - 8) \cdot e^{- 0,5 x}$