Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{5}{6} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{5}{6} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{6} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - 4) \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - 4) \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 0) \cdot e^{5 x - 4} + (3 x^{5} - 4) \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $15 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + (3 x^{5} - 4) \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $15 x^{4} \cdot e^{5 x - 4} + 5 (3 x^{5} - 4) \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (15 x^{5} - 20 + 15 x^{4})$

= $e^{5 x - 4} \cdot (15 x^{5} + 15 x^{4} - 20)$

= $(15 x^{5} + 15 x^{4} - 20) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 2} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 2} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(\cos (x) + 1)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 8 {(\cos (x) + 1)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $8 {(\cos (x) + 1)}^{3} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${1,05}^{77} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $42,813 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 3$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 6) + 3$

= $3 + (x - 5 - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $3 + (x - 11) \cdot e^{- 0,2 x}$