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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 5) \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 5) \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x - 5} + (- 2 x^{3} - 5) \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + (- 2 x^{3} - 5) \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + 3 (- 2 x^{3} - 5) \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (- 6 x^{3} - 15 - 6 x^{2})$

= $e^{3 x - 5} \cdot (- 6 x^{3} - 6 x^{2} - 15)$

= $(- 6 x^{3} - 6 x^{2} - 15) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 10 - 9 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 10)$

= $(- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (- 4 x - 3) + x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x - 3) \cdot (- 4 + 0))$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x - 3) + x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x - 3) \cdot (- 4))$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x - 3) + x^{2} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x - 3)$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x - 3) + 4 x^{2} \cdot \sin (- 4 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 6$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 8,4) + 6$

= $6 + (- 2,1 x + 3 + 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $6 + (- 2,1 x + 11,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

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