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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x + 4} + 5 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x + 4} + 5 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{x + 4} \cdot 1 - 5 \cdot \sin (x)$

= $2 e^{x + 4} - 5 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x - 3} + x^{3} \cdot e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 3} + x^{3} \cdot (- e^{- x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 3} - x^{3} \cdot e^{- x - 3}$

= $e^{- x - 3} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${0,95}^{71} \cdot 3 e^{0,95 x}$

≈ $0,079 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x + 4,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 6,2)$

= $(- 0,6 x + 6,2) \cdot e^{- 0,3 x}$