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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{3} \sqrt{x} + e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{3} \sqrt{x} + e^{x + 5}$

= $- \frac{7}{3} x^{\frac{1}{2}} + e^{x + 5}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{6} x^{- \frac{1}{2}} + e^{x + 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{6 \sqrt{x}} + e^{x + 5} \cdot 1$

= $- \frac{7}{6 \sqrt{x}} + e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x} \cdot (- 6 x + 5)$

= $\frac{- 6 x + 5}{- 3 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- x^{3} + 2) \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \sin (- x^{3} + 2) \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \sin (- x^{3} + 2) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \sin (- x^{3} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,3153 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,431 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${1,05}^{73} \cdot 2 e^{1,05 x}$

≈ $70,445 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x + 7,2) - 4$

= $- 4 + (- 1,2 x + 4 + 7,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (- 1,2 x + 11,2) \cdot e^{- 0,3 x}$