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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 3} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x - 3} + \frac{5}{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x - 3} \cdot 1 + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)$

= $- 3 e^{x - 3} + \frac{5}{2} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 5} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 3}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{- 2 x - 3} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 3}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 3}}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 2 \frac{e^{- 2 x - 3}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot 4 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,01 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 1,8) - 7$

= $- 7 + (- 1,8 x + 2 + 1,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (- 1,8 x + 3,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

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