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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{2}{9} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- x - 2} + (- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- x - 2} + (- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $(- 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- x - 2} - (- x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (x^{3} - 2 x^{2} + (- 3 x^{2} + 4 x))$

= $e^{- x - 2} \cdot (x^{3} - 5 x^{2} + 4 x)$

= $(x^{3} - 5 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (2 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(6 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (2 x^{3} + 2 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(6 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{3} + 6 x + 6 x^{2} + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(6 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (- 9 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 10 x}{- 3 x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (9 x - 10)}{- x \cdot (3 x - 5)}$

= $\frac{- (9 x - 10)}{- x \cdot (3 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 3)$

= $(- 2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 2,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 1,6)$

= $(0,4 x - 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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