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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- 5 e^{- 3 x + 3} + (- 5 x - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $- 5 e^{- 3 x + 3} - 3 (- 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 5 + 15 x + 3)$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (15 x - 2)$

= $(15 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(10 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $10 x \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{2} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $10 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (5 x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 15 + 10 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 10 x - 15)$

= $(- 15 x^{2} + 10 x - 15) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (5 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \sin (5 x - 2)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \sin (5 x - 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \sin (5 x - 2) + x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (5 x - 2) \cdot (5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \sin (5 x - 2) + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x - 2) \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (5 x - 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x - 2) \cdot (5)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (5 x - 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 5 \cdot \cos (5 x - 2)$

= $\frac{1}{4} \frac{\sin (5 x - 2)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 5 \sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 19,6) - 5$

= $- 5 + (- 2,8 x + 4 + 19,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (- 2,8 x + 23,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

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