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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 4 x - 5} + (4 x + 5) \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $4 e^{- 4 x - 5} + (4 x + 5) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $4 e^{- 4 x - 5} - 4 (4 x + 5) \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (4 - 16 x - 20)$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 16 x - 16)$

= $(- 16 x - 16) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x - 3} \cdot 1$

= $- 2 e^{x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{3} + 4}$

= $- 3 {(2 x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(2 x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{{(2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (6 x^{2})$

= $18 \frac{x^{2}}{{(2 x^{3} + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x - 10,8) - 7$

= $- 7 + (2,7 x - 3 - 10,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (2,7 x - 13,8) \cdot e^{- 0,9 x}$