Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{15}{4} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x + 3} + x^{2} \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x + 3} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{4 x + 3} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 0,85)}^{33} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,005 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x - 1,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 4,8)$

= $(0,3 x - 4,8) \cdot e^{- 0,1 x}$