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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{21}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 3} + x^{3} \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 3} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 3} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (4 x - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 e^{- 3 x} + (4 x - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 e^{- 3 x} - 3 (4 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (4 - 12 x + 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x + 16)$

= $(- 12 x + 16) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 1} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 1} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} - 7) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 9) + 4$

= $4 + (- 4,5 x + 5 - 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (- 4,5 x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

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