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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 2} + x^{4} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 2} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{3} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 8 - 12 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8)$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x^{3} + 2) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (x^{3} + 2) \cdot (3 x^{2})$

= $- 9 \cos (x^{3} + 2) x^{2}$

= $- 9 x^{2} \cdot \cos (x^{3} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${0,9}^{53} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,004 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 9$

= $- e^{- 0,3 x} - (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 9$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x + 1,2) - 9$

= $- 9 + (0,3 x - 1 + 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 9 + (0,3 x + 0,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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