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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} - 2} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} - 2} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} + 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x + 5)$

= $(- 0,8 x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$