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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1} - \frac{7}{4 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1} - \frac{7}{4 x^{3}}$

= $3 e^{- 3 x - 1} - \frac{7}{4} x^{- 3}$

=> f'(x) = $3 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) + \frac{21}{4} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) + \frac{21}{4 x^{4}}$

= $- 9 e^{- 3 x - 1} + \frac{21}{4 x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${0,95}^{65} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,036 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 3,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x - 0,6)$

= $(- 1,8 x - 0,6) \cdot e^{- 0,6 x}$