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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 5} + 9 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x - 5} + 9 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x - 5} \cdot 1 + 18 x$

= $- 3 e^{x - 5} + 18 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{2} + 3} \cdot 6 x$

= $- 12 \cdot e^{3 x^{2} + 3} x$

= $- 12 x e^{3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 4 x} \cdot (10 x + 4)$

= $\frac{10 x + 4}{5 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) + x^{5} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) + x^{5} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{5} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{7} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x + 8) + 2$

= $2 + (4 x - 5 + 8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (4 x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$