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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $2 e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - e^{- 2 x + 2} + \frac{8}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - e^{- 2 x + 2} + \frac{8}{x^{4}}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}} - e^{- 2 x + 2} + 8 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}} - e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2) - 32 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} - e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2) - \frac{32}{x^{5}}$

= $- \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 e^{- 2 x + 2} - \frac{32}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 3} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 3} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 3) \cdot (- 6 x + 0)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 3) \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cos (- 3 x^{2} - 3) x$

= $- 12 x \cdot \cos (- 3 x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,0706 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,61 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{50} \cdot (- 5 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 4$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 4$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 4,8) - 4$

= $- 4 + (- 2,4 x + 3 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 4 + (- 2,4 x + 7,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

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