Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{9}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 3) \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 5 x - 4} + (- x - 3) \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $- e^{- 5 x - 4} + (- x - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $- e^{- 5 x - 4} - 5 (- x - 3) \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 1 + 5 x + 15)$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (5 x + 14)$

= $(5 x + 14) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 5 x^{2} + 2) + e^{3 x} \cdot (- 10 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{2} + 2) + e^{3 x} \cdot (- 10 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{2} + 2) - 10 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 6 - 10 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 10 x + 6)$

= $(- 15 x^{2} - 10 x + 6) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} - 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{46} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 7)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x + 5)$

= $(x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten