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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} - e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $9 x^{2} - e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $9 x^{2} - 2 e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 4} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 11,6)$

= $(1,6 x - 11,6) \cdot e^{- 0,8 x}$