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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{5}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{5}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 3) \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 3) \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x - 2} + (5 x^{4} + 3) \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} + (5 x^{4} + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $20 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 (5 x^{4} + 3) \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 15 x^{4} - 9 + 20 x^{3})$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 15 x^{4} + 20 x^{3} - 9)$

= $(- 15 x^{4} + 20 x^{3} - 9) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 2} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} - 2} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 5} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 5} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 20)$

= $(- 3 x - 20) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${0,9}^{56} \cdot (- 3 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,008 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 10,5) - 7$

= $- 7 + (- 1,5 x + 3 - 10,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 7 + (- 1,5 x - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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