Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $(4 x - 3) \cdot e^{4 x - 5} + (2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $(4 x - 3) \cdot e^{4 x - 5} + (2 x^{2} - 3 x) \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $(4 x - 3) \cdot e^{4 x - 5} + 4 (2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (8 x^{2} - 12 x + 4 x - 3)$

= $e^{4 x - 5} \cdot (8 x^{2} - 8 x - 3)$

= $(8 x^{2} - 8 x - 3) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x} \cdot 1$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x - 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x - 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x + 16)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 17)$

= $(- 2 x + 17) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 1,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x - 0,4)$

= $(- 0,7 x - 0,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten