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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 3} + x^{2} \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 3} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- x + 3} - x^{2} \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{5} + e^{- 3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{x} \cdot 1$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x^{2} - 9) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $6 x \cdot \cos (x^{3}) + (3 x^{2} - 9) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $6 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x^{2} - 9) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${0,95}^{71} \cdot 3 e^{0,95 x}$

≈ $0,079 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x - 14,7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x - 17,7)$

= $(2,1 x - 17,7) \cdot e^{- 0,7 x}$