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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}} + 2 e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}} + 2 e^{- x - 4}$

= $4 x^{- 3} + 2 e^{- x - 4}$

=> f'(x) = $- 12 x^{- 4} + 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{4}} + 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $- \frac{12}{x^{4}} - 2 e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x} + (5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x} + (5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 6 x^{4} + (25 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 31 x^{4} + 8 x^{3})$

= $(15 x^{5} + 31 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,9}^{47} \cdot 4 e^{0,9 x}$

≈ $0,028 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 6$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 6$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 4) - 6$

= $- 6 + (x - 5 - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 6 + (x - 9) \cdot e^{- 0,2 x}$

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