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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 4} + x^{3} \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 4} + x^{3} \cdot e^{x + 4}$

= $e^{x + 4} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 4} + x^{5} \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 4} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 4} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${1,1}^{55} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $945,296 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 0,5) - 1$

= $- 1 + (- 0,5 x + 1 + 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 1 + (- 0,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$