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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 3 e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{3} - 3 e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $12 x^{2} - 3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $12 x^{2} + 9 e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 16)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 18)$

= $(- 4 x + 18) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 0,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 1,4)$

= $(- 0,6 x + 1,4) \cdot e^{- 0,3 x}$