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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + x^{5} \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 1} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{3} + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + (x^{3} + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 (x^{3} + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 8 + 3 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2} + 8)$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2} + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\sin (x) + 5) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $4 (\sin (x) + 5) \cdot (\cos (x))$

= $4 (\sin (x) + 5) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,05}^{63} \cdot (- 5 e^{1,05 x})$

≈ $- 108,117 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 4,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x - 0,8)$

= $(- 1,2 x - 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

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