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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 1} + x^{4} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 1} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 1} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x - 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x - 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$

= $e^{x} \cdot (x - 1) + e^{x} \cdot (1)$

= $e^{x} \cdot (x - 1) + e^{x}$

= $e^{x} \cdot (1 + x - 1)$

= $e^{x} \cdot (x + 0)$

= $e^{x} \cdot x$

= $x \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} - 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(- 2 x^{3} - 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (- 2 x^{3} - 5) \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $4 (- 2 x^{3} - 5) \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 24 (- 2 x^{3} - 5) x^{2}$

= $- 24 x^{2} (- 2 x^{3} - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${1,15}^{40} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $267,864 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x - 2)$

= $(- 1,2 x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$