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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} + (x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} + (x^{5} - 3 x^{4}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 9 x^{4} + (5 x^{4} - 12 x^{3}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 14 x^{4} - 12 x^{3})$

= $(- 3 x^{5} + 14 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 2 x} \cdot (8 x - 2)$

= $\frac{8 x - 2}{4 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 9) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 9) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 9) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x + 9) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${1,15}^{30} \cdot 3 e^{1,15 x}$

≈ $198,635 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 6$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 6$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 4,2) + 6$

= $6 + (0,7 x - 1 + 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $6 + (0,7 x + 3,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

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