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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5} + (- x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $(- 4 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5} + (- x^{4} - 3 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $(- 4 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5} + 3 (- x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (- 3 x^{4} - 9 x^{3} + (- 4 x^{3} - 9 x^{2}))$

= $e^{3 x - 5} \cdot (- 3 x^{4} - 13 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(- 3 x^{4} - 13 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{3} + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 6 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{3} + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} + 6 - 6 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} - 6 x^{2} + 6)$

= $(- 6 x^{3} - 6 x^{2} + 6) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3} - 5}$

= $- {(x^{3} - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(x^{3} - 5)}^{- 2} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(x^{3} - 5)}^{2}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{{(x^{3} - 5)}^{2}} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{{(x^{3} - 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x - 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 1)$

= $(- x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$