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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 5} + x^{2} \cdot e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 5} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- x + 5} - x^{2} \cdot e^{- x + 5}$

= $e^{- x + 5} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 2) \cdot e^{- 5 x + 1} + (x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $(4 x^{3} + 2) \cdot e^{- 5 x + 1} + (x^{4} + 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $(4 x^{3} + 2) \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 (x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{4} - 10 x + 4 x^{3} + 2)$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3} - 10 x + 2)$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3} - 10 x + 2) \cdot e^{- 5 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 8 x}{- 5 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x - 8)}{- x \cdot (5 x - 4)}$

= $\frac{- (15 x - 8)}{- x \cdot (5 x - 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 3 x^{2} + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- 3 x^{2} + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(- 3 x^{2} + 3)}^{4} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- 10 {(- 3 x^{2} + 3)}^{4} \cdot (- 6 x)$

= $60 {(- 3 x^{2} + 3)}^{4} x$

= $60 x {(- 3 x^{2} + 3)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${0,95}^{69} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,029 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 25,2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3,6 x - 21,2)$

= $(- 3,6 x - 21,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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