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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- x - 5} + (x^{2} + 4) \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} + (x^{2} + 4) \cdot (- e^{- x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} - (x^{2} + 4) \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{2} - 4 + 2 x)$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{2} + 2 x - 4)$

= $(- x^{2} + 2 x - 4) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 5} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} - 5} x$

= $12 x e^{2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (\cos (x) + 1) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 4 (\cos (x) + 1) \cdot (- \sin (x))$

= $4 (\cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 1$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 1$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 1) + 1$

= $1 + (x - 5 - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $1 + (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$