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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 2 e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{4} \cdot \sin (x) + 2 e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 2 e^{x - 2} \cdot 1$

= $\frac{9}{4} \cdot \cos (x) + 2 e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} + 3} x$

= $6 x e^{- x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 5 x} \cdot (4 x - 5)$

= $\frac{4 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{50} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,005 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 1,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x - 2,2)$

= $(0,4 x - 2,2) \cdot e^{- 0,4 x}$