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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $(- 8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 (- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (6 x^{4} + 15 x^{3} + (- 8 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (6 x^{4} + 7 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(6 x^{4} + 7 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $9 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $- 9 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${0,85}^{38} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,002 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 1,4) - 5$

= $- 5 + (1,4 x - 2 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (1,4 x - 3,4) \cdot e^{- 0,7 x}$