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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (- 12 x^{3} - 10 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (- 12 x^{3} - 10 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{4} + 10 x^{2} + (- 12 x^{3} - 10 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{4} - 12 x^{3} + 10 x^{2} - 10 x)$

= $(6 x^{4} - 12 x^{3} + 10 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 2} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 2} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 25)$

= $(- 3 x + 25) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${0,95}^{66} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,034 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 3,4)$

= $(0,6 x - 3,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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