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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} + x^{5} \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 5 x} \cdot (- 12 x^{2} + 5)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 5}{- 4 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (- x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (- x - 3)$

$f'(x) =$ $\sin (- x - 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $\sin (- x - 3) \cdot (- 1)$

= $- \sin (- x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 8$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 8$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x - 2) + 8$

= $8 + (- 0,5 x + 5 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $8 + (- 0,5 x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$