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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $- \frac{14}{5} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 5} - \frac{1}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 5} - \frac{1}{x^{4}}$

= $3 e^{- 2 x + 5} - x^{- 4}$

=> f'(x) = $3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + 4 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + \frac{4}{x^{5}}$

= $- 6 e^{- 2 x + 5} + \frac{4}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 1} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} + 1} x$

= $6 x e^{- x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 1} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 1} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 6)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 3)$

= $(6 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{50} \cdot e^{- 0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x + 16) - 5$

= $- 5 + (- 3,2 x + 4 + 16) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 5 + (- 3,2 x + 20) \cdot e^{- 0,8 x}$