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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{5} - \frac{3}{4 x^{4}} + 2 e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{5} - \frac{3}{4 x^{4}} + 2 e^{- 2 x + 3}$

= $2 x^{5} - \frac{3}{4} x^{- 4} + 2 e^{- 2 x + 3}$

=> f'(x) = $10 x^{4} + 3 x^{- 5} + 2 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $10 x^{4} + \frac{3}{x^{5}} + 2 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $10 x^{4} + \frac{3}{x^{5}} - 4 e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 1} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 1} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${1,15}^{42} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $354,25 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 2,6)$

= $(- 0,2 x + 2,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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