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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1} + (4 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(20 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1} + (4 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(20 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (4 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 12 x^{5} - 9 x^{3} + (20 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 12 x^{5} + 20 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 12 x^{5} + 20 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} - 5} \cdot 6 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 1} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 1,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x - 2,4)$

= $(1,6 x - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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