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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (4 x^{2} - 5) + e^{- 2 x} \cdot (8 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5) + e^{- 2 x} \cdot (8 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 5) + 8 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{2} + 10 + 8 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{2} + 8 x + 10)$

= $(- 8 x^{2} + 8 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{2 x^{3} - 3}$

= $- 2 {(2 x^{3} - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(2 x^{3} - 3)}^{- 2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(2 x^{3} - 3)}^{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{2}{{(2 x^{3} - 3)}^{2}} \cdot (6 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{{(2 x^{3} - 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 3)$

= $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$