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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 5} + (x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $(2 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 5} + (x^{2} - 2 x) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $(2 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 (x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{2} + 8 x + 2 x - 2)$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{2} + 10 x - 2)$

= $(- 4 x^{2} + 10 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x - 1} \cdot 1$

= $- 3 e^{x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 4} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 4} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 2)$

= $(4 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,8 e^{0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,62 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,458 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,3122 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,9}^{60} \cdot 2 e^{0,9 x}$

≈ $0,004 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 0,7) + 4$

= $4 + (0,7 x - 1 - 0,7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $4 + (0,7 x - 1,7) \cdot e^{- 0,7 x}$