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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x + 3} - \frac{1}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x + 3} - \frac{1}{x^{4}}$

= $- e^{x + 3} - x^{- 4}$

=> f'(x) = $- e^{x + 3} \cdot 1 + 4 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{4}{x^{5}}$

= $- e^{x + 3} + \frac{4}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{3} + e^{2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 2 x} \cdot (4 x + 2)$

= $\frac{4 x + 2}{2 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 5 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x - 2}}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $819,401 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 7$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x + 16,2) + 7$

= $7 + (2,7 x - 3 + 16,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $7 + (2,7 x + 13,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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