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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $- \frac{9}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 2} + (2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $(6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 2} + (2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $(6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 (2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 4 x^{3} - 10 x^{2} + (6 x^{2} + 10 x))$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 4 x^{3} - 4 x^{2} + 10 x)$

= $(- 4 x^{3} - 4 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{3 x} - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{3 x} - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(e^{3 x} - 2)}^{4} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 5 {(e^{3 x} - 2)}^{4} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 15 {(e^{3 x} - 2)}^{4} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 3,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x - 1,5)$

= $(3,5 x - 1,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

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