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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} - \frac{4}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} - \frac{4}{3 x^{4}}$

= $- 3 e^{- 2 x + 1} - \frac{4}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) + \frac{16}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) + \frac{16}{3 x^{5}}$

= $6 e^{- 2 x + 1} + \frac{16}{3 x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 2 x - 5} + (- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x - 5} + (- 4 x + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $- 4 e^{- 2 x - 5} - 2 (- 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 4 + 8 x - 6)$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (8 x - 10)$

= $(8 x - 10) \cdot e^{- 2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x - 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x - 5} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x - 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x - 5}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${0,85}^{42} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 11,2) - 6$

= $- 6 + (1,6 x - 2 + 11,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (1,6 x + 9,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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