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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{4} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 4 - 8 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} - 8 x^{3} + 4)$

= $(- 4 x^{4} - 8 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x + 3)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 5 x + 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 5 + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 5 x + 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 5)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 5 x + 3) - 5 e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 5 + 10 x - 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x - 11)$

= $(10 x - 11) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 5 x} \cdot (3 x^{2} - 5)$

= $\frac{3 x^{2} - 5}{x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x - 12)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x - 10)$

= $(6 x - 10) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 6$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 8,4) - 6$

= $- 6 + (- 1,2 x + 4 - 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 6 + (- 1,2 x - 4,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

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