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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 4) \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 4) \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 0) \cdot e^{- 4 x - 3} + (4 x^{4} - 4) \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $16 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} + (4 x^{4} - 4) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $16 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 (4 x^{4} - 4) \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 16 x^{4} + 16 + 16 x^{3})$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 16 x^{4} + 16 x^{3} + 16)$

= $(- 16 x^{4} + 16 x^{3} + 16) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{5} + e^{- x} \cdot 5 x^{4}$

= $- e^{- x} x^{5} + 5 \cdot e^{- x} x^{4}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x + 5) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x + 5) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x + 5) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${0,85}^{49} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 16)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 21)$

= $(4 x - 21) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten