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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 4 x - 4} + (- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $(- 15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 4 x - 4} + (- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4})$

= $(- 15 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 4 x - 4} - 4 (- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 4}$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (20 x^{3} - 12 x^{2} + (- 15 x^{2} + 6 x))$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (20 x^{3} - 27 x^{2} + 6 x)$

= $(20 x^{3} - 27 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(10 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $10 x \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{2} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $10 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (5 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{2} + 10 + 10 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{2} + 10 x + 10)$

= $(- 10 x^{2} + 10 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(e^{- 3 x} - 2)}^{4} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $- 10 {(e^{- 3 x} - 2)}^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $30 {(e^{- 3 x} - 2)}^{4} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{71} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 31,948 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x + 1,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x - 2,4)$

= $(0,8 x - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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