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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{45}{64} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x - 4} + (4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $(16 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x - 4} + (4 x^{4} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $(16 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x - 4} + 2 (4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (8 x^{4} + 8 x + 16 x^{3} + 4)$

= $e^{2 x - 4} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} + 8 x + 4)$

= $(8 x^{4} + 16 x^{3} + 8 x + 4) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{5} + e^{- x} \cdot 5 x^{4}$

= $- e^{- x} x^{5} + 5 \cdot e^{- x} x^{4}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${0,85}^{43} \cdot (- 5 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,005 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x - 1,2) + 6$

= $6 + (1,2 x - 4 - 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (1,2 x - 5,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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