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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{27}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x^{4} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x^{4} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (4 x^{4} - 5 x) + e^{2 x} \cdot (16 x^{3} - 5)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (4 x^{4} - 5 x) + e^{2 x} \cdot (16 x^{3} - 5)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} - 10 x + 16 x^{3} - 5)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} - 10 x - 5)$

= $(8 x^{4} + 16 x^{3} - 10 x - 5) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} + 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x + 3) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) + (2 x + 3) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x + 3) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $490,371 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 5,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x - 4,6)$

= $(- 0,8 x - 4,6) \cdot e^{- 0,8 x}$