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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (3 x^{2} - 3 x^{3})$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (9 x^{2} - 10 x + (- 6 x^{3} + 10 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 19 x^{2} - 10 x)$

= $(- 6 x^{3} + 19 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 2 + 1)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $(2 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 6 - 3) + 6$

= $6 + (1,5 x - 6 - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $6 + (1,5 x - 9) \cdot e^{- 0,5 x}$