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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{5} + e^{- 3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{4} - 3 x^{5})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 2 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 7) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 7) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 12,6 + 3)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 9,6)$

= $(- 2,1 x - 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$