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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x - 3} - \frac{4}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x - 3} - \frac{4}{x^{2}}$

= $3 e^{- x - 3} - 4 x^{- 2}$

=> f'(x) = $3 e^{- x - 3} \cdot (- 1) + 8 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x - 3} \cdot (- 1) + \frac{8}{x^{3}}$

= $- 3 e^{- x - 3} + \frac{8}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} - 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} - 2} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 2 x} \cdot (- 12 x^{2} - 2)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 2}{- 4 x^{3} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x + 4)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- x + 4) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \cdot \cos (- x + 4) \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot \cos (- x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 5,6) - 1$

= $- 1 + (- 0,8 x + 1 - 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (- 0,8 x - 4,6) \cdot e^{- 0,8 x}$