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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{1}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{1}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}} - e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}} - e^{- 3 x + 5}$

= $x^{- 3} - e^{- 3 x + 5}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 4} - e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}} - e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{x^{4}} + 3 e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(- 3 x - 4)}^{2} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 9 {(- 3 x - 4)}^{2} \cdot (- 3)$

= $27 {(- 3 x - 4)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 5,6) - 7$

= $- 7 + (- 0,8 x + 1 - 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 7 + (- 0,8 x - 4,6) \cdot e^{- 0,8 x}$