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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} + \frac{1}{4} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} + \frac{1}{4} x^{4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + x^{3}$

= $2 e^{- 2 x - 5} + x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $18 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{61} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 5,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 7,6)$

= $(- 1,4 x + 7,6) \cdot e^{- 0,7 x}$