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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (x^{4} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (x^{4} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x^{4} - 3 x) + e^{3 x} \cdot (4 x^{3} - 3)$

= $3 \cdot e^{3 x} (x^{4} - 3 x) + e^{3 x} (4 x^{3} - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} - 3 + (3 x^{4} - 9 x))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3} - 9 x - 3)$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3} - 9 x - 3) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 2 x} \cdot (2 x + 2)$

= $\frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 x - 3 x^{2} + 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $819,401 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 8,4 - 4) - 9$

= $- 9 + (2,8 x - 8,4 - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (2,8 x - 12,4) \cdot e^{- 0,7 x}$