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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{8}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2}) + e^{x} \cdot (9 x^{2} + 6 x)$

= $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2} + (9 x^{2} + 6 x))$

= $e^{x} \cdot (3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x)$

= $(3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (15 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{15 x^{2} + 8 x}{5 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (15 x + 8)}{x \cdot (5 x + 4)}$

= $\frac{15 x + 8}{x \cdot (5 x + 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\sin (x) - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\sin (x) - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (\sin (x) - 1) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 2 (\sin (x) - 1) \cdot (\cos (x))$

= $- 2 (\sin (x) - 1) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x - 1,5) + 6$

= $6 + (- 1,5 x + 5 - 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (- 1,5 x + 3,5) \cdot e^{- 0,3 x}$