Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4} + x^{3} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 4} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{5} + 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{5} + 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{5} + 3 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (5 x^{4} + 9 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} (x^{5} + 3 x^{3}) + e^{2 x} (5 x^{4} + 9 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 6 x^{3} + (5 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 15)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 18)$

= $(9 x + 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{55} \cdot 4 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,012 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 3$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 7,2) + 3$

= $3 + (1,2 x - 3 + 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $3 + (1,2 x + 4,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten