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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} - 1} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} - 1} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x - 9) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x - 9) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x - 9) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 8$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 4,8) - 8$

= $- 8 + (1,2 x - 2 + 4,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 8 + (1,2 x + 2,8) \cdot e^{- 0,6 x}$