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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x - 3} + (x + 2) \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x - 3} + (x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $e^{- 2 x - 3} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (1 - 2 x - 4)$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2 x - 3)$

= $(- 2 x - 3) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 2} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} + 2} x$

= $12 x e^{2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (x - 1)}{x \cdot (2 x - 3)}$

= $\frac{6 (x - 1)}{x \cdot (2 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x^{2} - 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $4 x \cdot \sin (x^{3}) + (2 x^{2} - 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $4 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x^{2} - 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${1,05}^{68} \cdot (- 3 e^{1,05 x})$

≈ $- 82,793 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 9)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x + 14)$

= $(- 1,5 x + 14) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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