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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - e^{- 3 x + 1} + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} - e^{- 3 x + 1} + \frac{5}{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $8 x - e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) + \frac{5}{4} \cdot \cos (x)$

= $8 x + 3 e^{- 3 x + 1} + \frac{5}{4} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- x^{3} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- x^{3} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(- x^{3} - 1)}^{3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- 12 {(- x^{3} - 1)}^{3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $36 {(- x^{3} - 1)}^{3} x^{2}$

= $36 x^{2} {(- x^{3} - 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{49} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,006 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 1$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x - 6) - 1$

= $- 1 + (1,2 x - 4 - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 1 + (1,2 x - 10) \cdot e^{- 0,3 x}$