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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x - 2} + 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x - 2} + 3 \sqrt{x}$

= $- e^{2 x - 2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- e^{2 x - 2} \cdot 2 + \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x - 2} \cdot 2 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

= $- 2 e^{2 x - 2} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x} \cdot 1$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 7) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 7) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{36} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $153,152 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 7$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 7$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x + 7,5) + 7$

= $7 + (2,5 x - 5 + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $7 + (2,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$