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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3 e^{3 x + 3} + 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} + 3 e^{3 x + 3} + 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $6 x + 3 e^{3 x + 3} \cdot 3 + 5 \cdot \cos (x)$

= $6 x + 9 e^{3 x + 3} + 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x)$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 5} x$

= $12 x e^{- 2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 25)$

= $(- 3 x + 25) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 1,2)$

= $(- 2,1 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$