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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{11}{9} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x + 4} + \frac{4}{3 x^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x + 4} + \frac{4}{3 x^{2}} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

= $- e^{x + 4} + \frac{4}{3} x^{- 2} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- e^{x + 4} \cdot 1 - \frac{8}{3} x^{- 3} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- e^{x + 4} \cdot 1 - \frac{8}{3 x^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

= $- e^{x + 4} - \frac{8}{3 x^{3}} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} + (4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(12 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} + (4 x^{3} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(12 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{3} + 10 x + 12 x^{2} + 5)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x + 5)$

= $(8 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 5 x + 3} + \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 5 x + 3}}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot e^{- 5 x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 5,6) - 1$

= $- 1 + (- 0,8 x + 1 + 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (- 0,8 x + 6,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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