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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x - 2} + x^{5} \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 2} + x^{5} \cdot (- e^{- x - 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 2} - x^{5} \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 3} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x - 4) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x - 4) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x - 4) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 7)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 12)$

= $(- x + 12) \cdot e^{- 0,2 x}$