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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 3} + x^{3} \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 3} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 3} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 3}$

= $e^{4 x - 3} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 5} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} - 5} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 3 x} \cdot (10 x + 3)$

= $\frac{10 x + 3}{5 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (2 x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (2 x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\sin (2 x^{3} - 3) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\sin (2 x^{3} - 3) \cdot (6 x^{2})$

= $6 \sin (2 x^{3} - 3) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \sin (2 x^{3} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{42} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $354,25 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x - 2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 3)$

= $(- 0,5 x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$