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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{49}{81} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{4 x + 1} + (x^{2} - 2) \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x + 1} + (x^{2} - 2) \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $2 x \cdot e^{4 x + 1} + 4 (x^{2} - 2) \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (4 x^{2} - 8 + 2 x)$

= $e^{4 x + 1} \cdot (4 x^{2} + 2 x - 8)$

= $(4 x^{2} + 2 x - 8) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x} + (- x^{3} - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + (- x^{3} - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 (- x^{3} - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 12 - 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 12)$

= $(- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 4 x}{- 5 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x - 4)}{- x \cdot (5 x - 2)}$

= $\frac{- (15 x - 4)}{- x \cdot (5 x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 1)$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 2$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 2$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 1,6) - 2$

= $- 2 + (0,4 x - 1 - 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 2 + (0,4 x - 2,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

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