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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \cos (x) - 3 e^{2 x + 1} + 9 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \cos (x) - 3 e^{2 x + 1} + 9 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \sin (x) - 3 e^{2 x + 1} \cdot 2 + 9 \cdot \cos (x)$

= $- 5 \cdot \sin (x) - 6 e^{2 x + 1} + 9 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 4 x) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 4 x) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 4) \cdot e^{x - 1} + (x^{5} + 4 x) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $(5 x^{4} + 4) \cdot e^{x - 1} + (x^{5} + 4 x) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{5} + 4 x + 5 x^{4} + 4)$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{5} + 5 x^{4} + 4 x + 4)$

= $(x^{5} + 5 x^{4} + 4 x + 4) \cdot e^{x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- 2 x^{2} + 2}$

= $- 3 {(- 2 x^{2} + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- 2 x^{2} + 2)}^{- 2} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x^{2} + 2)}^{2}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{3}{{(- 2 x^{2} + 2)}^{2}} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \frac{x}{{(- 2 x^{2} + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 8$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 8$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 7,2) - 8$

= $- 8 + (- 1,2 x + 3 - 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 8 + (- 1,2 x - 4,2) \cdot e^{- 0,4 x}$