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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{15}{32} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x} + 2 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x} + 2 e^{3 x + 1}$

= $3 x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}} + 2 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $\frac{3}{2 \sqrt{x}} + 6 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{2 x} + (5 x - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 e^{2 x} + (5 x - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 e^{2 x} + 2 (5 x - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (5 + 10 x - 6)$

= $e^{2 x} \cdot (10 x - 1)$

= $(10 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 5} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 5} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{- 2 x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 2 \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 7) + 2$

= $2 + (3,5 x - 5 + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (3,5 x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$