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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} + 3} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} + 3} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 10)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 12)$

= $(4 x + 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 2) - 3$

= $- 3 + (- 0,4 x + 2 - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 3 - 0,4 x \cdot e^{- 0,2 x}$