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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 3) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(2 x + 3) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(2 x + 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 6 x + 2 x + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x + 3)$

= $(- 2 x^{2} - 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (4 x^{5} + 5 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (20 x^{4} + 15 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (20 x^{4} + 15 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{5} + 15 x^{3} + (20 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{5} + 20 x^{4} + 15 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(12 x^{5} + 20 x^{4} + 15 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 27)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 28)$

= $(- 3 x + 28) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,9}^{48} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,006 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 3,2) + 1$

= $1 + (0,8 x - 1 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $1 + (0,8 x - 4,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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