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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x - 5} + x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 5} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 3} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 3} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{73} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,024 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 1,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 2,6)$

= $(0,8 x - 2,6) \cdot e^{- 0,8 x}$