Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{3} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 2 x + 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 2 e^{3 x} + (- 2 x + 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 2 e^{3 x} + 3 (- 2 x + 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 2 - 6 x + 9)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x + 7)$

= $(- 6 x + 7) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 12)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 14)$

= $(6 x + 14) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${0,95}^{73} \cdot 2 e^{0,95 x}$

≈ $0,047 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 7,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 10,2)$

= $(- 1,2 x + 10,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten