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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $- \frac{9}{2} e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x - 5} + x^{3} \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 5} + x^{3} \cdot (- e^{- x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 5} - x^{3} \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 5} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 1} \cdot (10 x + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{2} + 1} \cdot (10 x)$

= $10 \frac{x}{5 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(2 x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(2 x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $8 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2)$

= $16 {(2 x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 3) - 4$

= $- 4 + (- 0,5 x + 5 + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 4 + (- 0,5 x + 8) \cdot e^{- 0,1 x}$