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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}} - e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}} - e^{x - 5}$

= $x^{- 3} - e^{x - 5}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 4} - e^{x - 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}} - e^{x - 5} \cdot 1$

= $- \frac{3}{x^{4}} - e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 1} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} + 1} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (2 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (2 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\sin (2 x^{2} - 2) \cdot (4 x + 0)$

= $\sin (2 x^{2} - 2) \cdot (4 x)$

= $4 \sin (2 x^{2} - 2) x$

= $4 x \cdot \sin (2 x^{2} - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{42} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $354,25 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 5$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 5$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 4,2) - 5$

= $- 5 + (0,6 x - 3 + 4,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 5 + (0,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$