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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $3 e^{- 3 x + 1} - x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) + \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3) + \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}}$

= $- 9 e^{- 3 x + 1} + \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x - 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x - 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x + 18)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 19)$

= $(- 2 x + 19) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 5,6) - 6$

= $- 6 + (- 1,4 x + 2 - 5,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 6 + (- 1,4 x - 3,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

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