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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (5 x^{4} - 3 x^{5})$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x^{3} + 5 x) + e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 5)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 3 x^{3} + 5 x) + e^{- 3 x} (- 9 x^{2} + 5)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 5 + (9 x^{3} - 15 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{3} - 9 x^{2} - 15 x + 5)$

= $(9 x^{3} - 9 x^{2} - 15 x + 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 1} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 1} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $6 x \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $6 x \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 6 x^{2} - 8)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 6 x - 8)$

= $(6 x^{2} + 6 x - 8) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 0,85)}^{48} \cdot e^{- 0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 1$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 1$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x + 5 - 5) + 1$

= $1 + (x + 5 - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $1 + x \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

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