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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x + 5} + \frac{2}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x + 5} + \frac{2}{x^{2}}$

= $- e^{2 x + 5} + 2 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- e^{2 x + 5} \cdot 2 - 4 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x + 5} \cdot 2 - \frac{4}{x^{3}}$

= $- 2 e^{2 x + 5} - \frac{4}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 3 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} + 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 3 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 10 x^{2} + (- 3 x^{2} + 10 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 13 x^{2} + 10 x)$

= $(2 x^{3} - 13 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 2} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{x} + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{x} + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(e^{x} + 4)}^{4} \cdot (e^{x} + 0)$

= $- 10 {(e^{x} + 4)}^{4} \cdot (e^{x})$

= $- 10 {(e^{x} + 4)}^{4} \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${(- 1,05)}^{66} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $25,032 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 5)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x - 10)$

= $(x - 10) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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