Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x - 3} + (3 x + 1) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $3 e^{2 x - 3} + (3 x + 1) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $3 e^{2 x - 3} + 2 (3 x + 1) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (3 + 6 x + 2)$

= $e^{2 x - 3} \cdot (6 x + 5)$

= $(6 x + 5) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (5 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 8 x^{3} + (20 x^{3} - 12 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 28 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 10 x^{4} + 28 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 5} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} - 5} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- x + 2)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (- x + 2) + x^{2} \cdot \cos (- x + 2) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (- x + 2) + x^{2} \cdot \cos (- x + 2) \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot \sin (- x + 2) + x^{2} \cdot (- \cos (- x + 2))$

= $2 x \cdot \sin (- x + 2) - x^{2} \cdot \cos (- x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $171,872 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 0,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 0,2)$

= $(0,8 x - 0,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten