Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- x - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- x - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 2 (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $2 (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${0,95}^{69} \cdot 4 e^{0,95 x}$

≈ $0,116 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 1,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 4,5)$

= $(1,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$