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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (2 x^{4} - 5 x) + e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} - 5)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (2 x^{4} - 5 x) + e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} - 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 10 x + 8 x^{3} - 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 8 x^{3} + 10 x - 5)$

= $(- 4 x^{4} + 8 x^{3} + 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $12 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (e^{3 x} - 3) \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 6 (e^{3 x} - 3) \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 18 (e^{3 x} - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 5$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 5$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 1,2) - 5$

= $- 5 + (0,3 x - 3 + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 5 + (0,3 x - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

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