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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $- \frac{20}{9} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - 2 e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - 2 e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - 2 e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $3 \cdot \cos (x) - 6 e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} + 3} x$

= $6 x e^{- x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x^{2} - 3}$

= $- 2 {(- x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 3}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x^{2} - 3}} \cdot (- 2 x)$

= $2 \frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x - 1,2 + 1)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x - 0,2)$

= $(- 0,4 x - 0,2) \cdot e^{- 0,4 x}$