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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (- 2 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (- 2 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 2 x^{3} - 2 x) + e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 2)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 2 x^{3} - 2 x) + e^{- 2 x} (- 6 x^{2} - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} + 4 x - 6 x^{2} - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 2)$

= $(4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 14)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 15)$

= $(2 x + 15) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{80} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,017 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x - 4,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x - 8,8)$

= $(2,4 x - 8,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

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