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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x - 2} + x^{2} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x - 2} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $2 x \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- 3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 7)$

= $(6 x + 7) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x + 1,6)$

= $(- 2,4 x + 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$