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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{2} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{2} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{2} e^{x}$

= $\frac{3}{2} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (3 x^{2} + x^{3})$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{3} - 3 x^{2}) + e^{- x} \cdot (9 x^{2} - 6 x)$

= $- e^{- x} (3 x^{3} - 3 x^{2}) + e^{- x} (9 x^{2} - 6 x)$

= $e^{- x} \cdot (9 x^{2} - 6 x + (- 3 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x)$

= $(- 3 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 1} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} - 1} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x + 4) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x + 4) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x + 4) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 5$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 6 - 3) + 5$

= $5 + (1,2 x - 6 - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $5 + (1,2 x - 9) \cdot e^{- 0,4 x}$