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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 3} - \frac{2}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 3} - \frac{2}{x^{4}}$

= $2 e^{3 x - 3} - 2 x^{- 4}$

=> f'(x) = $2 e^{3 x - 3} \cdot 3 + 8 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 3} \cdot 3 + \frac{8}{x^{5}}$

= $6 e^{3 x - 3} + \frac{8}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} - 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} - 4} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{2 x} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{2 x} + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot e^{2 x} + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x})$

= $(2 {(\sqrt{x})}^{3} + \frac{3}{2} \sqrt{x}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{72} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $33,545 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 9$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 9$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x - 2,1) - 9$

= $- 9 + (0,3 x - 1 - 2,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 9 + (0,3 x - 3,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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