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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} - x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} - 1)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (2 x^{4} - 1) + e^{2 x} \cdot (8 x^{3} + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} (2 x^{4} - 1) + e^{2 x} \cdot (8 x^{3})$

= $2 \cdot e^{2 x} (2 x^{4} - 1) + 8 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{4} - 2 + 8 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{4} + 8 x^{3} - 2)$

= $(4 x^{4} + 8 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 1} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 1} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 1,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 3,4)$

= $(0,2 x - 3,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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