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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} - x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{3} + e^{- x} \cdot 3 x^{2}$

= $- e^{- x} x^{3} + 3 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{x} \cdot 1$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{5 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{5 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{5 x - 2}}{\sqrt{x}} + 5 \sqrt{x} \cdot e^{5 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{75} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 38,833 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 4,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x - 2,2)$

= $(- 0,6 x - 2,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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