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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} - 5} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 10)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 13)$

= $(6 x + 13) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 5$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 5$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 12) + 5$

= $5 + (- 2 x + 4 - 12) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $5 + (- 2 x - 8) \cdot e^{- 0,5 x}$