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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 5} + x^{3} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 5} + x^{3} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $4 e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${1,1}^{57} \cdot (- 4 e^{1,1 x})$

≈ $- 915,046 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x - 3,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,9 x - 0,6)$

= $(- 0,9 x - 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$