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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- x} + (- 5 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 20 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- x} + (- 5 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 20 x^{3} + 4 x) \cdot e^{- x} - (- 5 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{4} - 2 x^{2} + (- 20 x^{3} + 4 x))$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{4} - 20 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x)$

= $(5 x^{4} - 20 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(15 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(15 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 4 x^{2} + (15 x^{2} + 4 x))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 19 x^{2} + 4 x)$

= $(10 x^{3} + 19 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{{(- x^{3} + 4)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{{(- x^{3} + 4)}^{3}}$

= $- {(- x^{3} + 4)}^{- 3}$

=> f'(x) = $3 {(- x^{3} + 4)}^{- 4} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- x^{3} + 4)}^{4}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{{(- x^{3} + 4)}^{4}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 4)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x + 20) + 2$

= $2 + (- 4 x + 5 + 20) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (- 4 x + 25) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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