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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x} \cdot (3 x^{2} + 2)$

= $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 16)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 19)$

= $(6 x + 19) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{57} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 228,762 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x - 8,4) + 3$

= $3 + (2,1 x - 3 - 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (2,1 x - 11,4) \cdot e^{- 0,7 x}$