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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $(8 x - 4) \cdot e^{- x - 3} + (4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $(8 x - 4) \cdot e^{- x - 3} + (4 x^{2} - 4 x) \cdot (- e^{- x - 3})$

= $(8 x - 4) \cdot e^{- x - 3} - (4 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x - 3}$

= $e^{- x - 3} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x + 8 x - 4)$

= $e^{- x - 3} \cdot (- 4 x^{2} + 12 x - 4)$

= $(- 4 x^{2} + 12 x - 4) \cdot e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x - 5} \cdot 1$

= $- 2 e^{x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 2) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 2) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x + 2) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $3 e^{- 0,9 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $3 e^{- 0,9 x} - 2,7 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3 - 2,7 x + 16,2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2,7 x + 19,2)$

= $(- 2,7 x + 19,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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