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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 4) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 10 x - 4) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} - 4 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 10 x - 4) \cdot e^{3 x} + 3 (- 5 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 12 x - 10 x - 4)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 22 x - 4)$

= $(- 15 x^{2} - 22 x - 4) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(25 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} + (5 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(25 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (5 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{5} - 9 x^{4} + (25 x^{4} + 12 x^{3}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{5} + 16 x^{4} + 12 x^{3})$

= $(- 15 x^{5} + 16 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 2,4) + 2$

= $2 + (0,8 x - 1 + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (0,8 x + 1,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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