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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{12} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{4} \sqrt{x} + x^{2} + 2 e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{4} \sqrt{x} + x^{2} + 2 e^{x - 1}$

= $- \frac{5}{4} x^{\frac{1}{2}} + x^{2} + 2 e^{x - 1}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{8} x^{- \frac{1}{2}} + 2 x + 2 e^{x - 1} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{8 \sqrt{x}} + 2 x + 2 e^{x - 1} \cdot 1$

= $- \frac{5}{8 \sqrt{x}} + 2 x + 2 e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 1) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) + (3 x + 1) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $3 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (3 x + 1) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x + 15) - 9$

= $- 9 + (- 2,5 x + 5 + 15) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (- 2,5 x + 20) \cdot e^{- 0,5 x}$