Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} - 6 x) \cdot e^{x + 2} + (x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $(5 x^{4} - 6 x) \cdot e^{x + 2} + (x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{5} - 3 x^{2} + (5 x^{4} - 6 x))$

= $e^{x + 2} \cdot (x^{5} + 5 x^{4} - 3 x^{2} - 6 x)$

= $(x^{5} + 5 x^{4} - 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x + 2}$

= $- {(x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(x + 2)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot (1)$

= $\frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $251,638 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 4,8) + 1$

= $1 + (- 0,8 x + 1 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $1 + (- 0,8 x + 5,8) \cdot e^{- 0,8 x}$