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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (4 x^{3} - 5 x^{4})$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 4 x^{4} + 2 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (- 16 x^{3} + 6 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (- 4 x^{4} + 2 x^{3}) + e^{- 3 x} (- 16 x^{3} + 6 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 16 x^{3} + 6 x^{2} + (12 x^{4} - 6 x^{3}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{4} - 22 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(12 x^{4} - 22 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 3 x} \cdot (- 12 x^{2} - 3)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 3}{- 4 x^{3} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x - 4 x^{2} + 18)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x + 18)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x + 18) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{32} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $87,565 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 1,2 + 1)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 2,2)$

= $(- 0,3 x + 2,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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