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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 2} + x^{2} \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 2} + x^{2} \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} + (- x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} + (- x^{3} + x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} - (- x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - x^{2} + (- 3 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x)$

= $(x^{3} - 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 2} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 2} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} - 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 21 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x + 21)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x + 21) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 1,15)}^{38} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $202,543 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 2,4) - 8$

= $- 8 + (0,8 x - 1 + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (0,8 x + 1,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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