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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{20}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - 2 e^{3 x + 5} + \frac{3}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} - 2 e^{3 x + 5} + \frac{3}{x^{3}}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{3 x + 5} + 3 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{3 x + 5} \cdot 3 - 9 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 e^{3 x + 5} \cdot 3 - \frac{9}{x^{4}}$

= $- \frac{1}{\sqrt{x}} - 6 e^{3 x + 5} - \frac{9}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 2} \cdot 9 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{3 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{3 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (2 x) + (3 x + 8) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $3 \cdot \cos (2 x) + (3 x + 8) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $3 \cdot \cos (2 x) - 2 (3 x + 8) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 2,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 1,6)$

= $(0,4 x - 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$