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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{x}$

= $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 8) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 8) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x + 8) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x + 8) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x + 8) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 1,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 1,8)$

= $(1,2 x - 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$