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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 2) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 2) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 0) \cdot e^{x} + (- 4 x^{5} + 2) \cdot e^{x}$

= $(- 4 x^{5} + 2) \cdot e^{x} - 20 x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} + 2 - 20 x^{4})$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} - 20 x^{4} + 2)$

= $(- 4 x^{5} - 20 x^{4} + 2) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{3} + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 2 - 3 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} - 2)$

= $(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 3 x - 5)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- 3 x - 5) \cdot (- 3 + 0)$

= $3 \cdot \cos (- 3 x - 5) \cdot (- 3)$

= $- 9 \cdot \cos (- 3 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,15 x}$

f'(x) = $- e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot (- e^{1,15 x})$

≈ $- 819,401 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 21,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x + 17,6)$

= $(3,6 x + 17,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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