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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{22}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{5} - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $10 x^{4} \cdot e^{2 x} + (2 x^{5} - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $10 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{5} - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{5} - 8 + 10 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{5} + 10 x^{4} - 8)$

= $(4 x^{5} + 10 x^{4} - 8) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x^{3} - 1) \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (- 2 x^{3} - 1) \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \sin (- 2 x^{3} - 1) x^{2}$

= $18 x^{2} \cdot \sin (- 2 x^{3} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $44,954 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 9,6) + 5$

= $5 + (- 2,4 x + 3 + 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (- 2,4 x + 12,6) \cdot e^{- 0,8 x}$