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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + x^{4} \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 2} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{- 2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{- 2 x^{3} + 2}$

= $3 {(- 2 x^{3} + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(- 2 x^{3} + 2)}^{- 2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- 2 x^{3} + 2)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{{(- 2 x^{3} + 2)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 5,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x - 8,4)$

= $(1,8 x - 8,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen ableiten

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