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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} \sqrt{x} - 2 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} \sqrt{x} - 2 e^{- x + 4}$

= $- \frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- x + 4}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}} - 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{6 \sqrt{x}} - 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{6 \sqrt{x}} + 2 e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $16 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{4} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $16 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{4} + 10 + 16 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{4} + 16 x^{3} + 10)$

= $(- 8 x^{4} + 16 x^{3} + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 10 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 10)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 10) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{47} \cdot (- 4 e^{- 1,1 x})$

≈ $352,79 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x + 5,6)$

= $(3,2 x + 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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