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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 x \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{2} - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 6 x \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{2} - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 10 - 6 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 6 x - 10)$

= $(- 6 x^{2} - 6 x - 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 2 x^{3} - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 2 x^{3} - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(- 2 x^{3} - 1)}^{2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $9 {(- 2 x^{3} - 1)}^{2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 54 {(- 2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$

= $- 54 {((- 2 x^{3} - 1) x)}^{2}$

= $- 54 {(x (- 2 x^{3} - 1))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${0,85}^{33} \cdot 3 e^{0,85 x}$

≈ $0,014 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 4,5) + 6$

= $6 + (1,5 x - 5 + 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (1,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

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