Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} - 3 e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x - 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x - 2)}^{3}}$

= $- 2 {(- 3 x - 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $6 {(- 3 x - 2)}^{- 4} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- 3 x - 2)}^{4}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{6}{{(- 3 x - 2)}^{4}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{18}{{(- 3 x - 2)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $490,371 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1,2) + 3$

= $3 + (0,2 x - 2 + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (0,2 x - 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$