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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{15}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x + 4)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (5 x + 4) + e^{- 3 x} \cdot (5 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (5 x + 4) + e^{- 3 x} \cdot (5)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (5 x + 4) + 5 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (5 - 15 x - 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x - 7)$

= $(- 15 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} + 1} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 6 x}{- 4 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{- 6 \cdot 1 \cdot (2 x + 1)}{- x \cdot (4 x + 3)}$

= $\frac{- 6 (2 x + 1)}{- x \cdot (4 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{x} - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{x} - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(e^{x} - 4)}^{4} \cdot (e^{x} + 0)$

= $10 {(e^{x} - 4)}^{4} \cdot (e^{x})$

= $10 {(e^{x} - 4)}^{4} \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 10,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 7,5)$

= $(- 2,1 x - 7,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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