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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 2) \cdot e^{- 3 x - 4} + (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x + 2) \cdot e^{- 3 x - 4} + (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $(- 10 x + 2) \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 (- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (15 x^{2} - 6 x - 10 x + 2)$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (15 x^{2} - 16 x + 2)$

= $(15 x^{2} - 16 x + 2) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 12 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} + 6 x - 12 x^{2} + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (3 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (3 x)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{41} \cdot 3 e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,004 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 9$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 9$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 2) - 9$

= $- 9 + (0,5 x - 5 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 9 + (0,5 x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

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