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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{3}{5} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{3}{5} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{5} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 3} + 4 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 3} + 4 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 3} \cdot 3 - 4 \cdot \sin (x)$

= $3 e^{3 x + 3} - 4 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{3} - 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 14 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 14)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 14) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${1,05}^{74} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $36,984 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 8$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 8$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 27) + 8$

= $8 + (4,5 x - 5 - 27) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $8 + (4,5 x - 32) \cdot e^{- 0,9 x}$