Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{8}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{4} - 3 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{4} - 3 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $12 x^{3} - 3 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $12 x^{3} + 9 e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 20 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} - 10 x^{3} + (- 20 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} - 30 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 10 x^{4} - 30 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 3} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 3} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{- x - 2}$

= $2 {(- x - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(- x - 2)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(- x - 2)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{2}{{(- x - 2)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $\frac{2}{{(- x - 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 9$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x + 3) - 9$

= $- 9 + (- 0,6 x + 2 + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 9 + (- 0,6 x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten