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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{3}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(12 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{3} + x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(12 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 2 x^{2} + (12 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x)$

= $(- 8 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(e^{3 x} - 4)}^{4} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 15 {(e^{3 x} - 4)}^{4} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 45 {(e^{3 x} - 4)}^{4} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,3153 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,3153 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,431 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{71} \cdot 2 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 63,895 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x - 12,6)$

= $(2,4 x - 12,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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