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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 2} + 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 2} + 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 2} \cdot 2 - 3 \cdot \sin (x)$

= $- 4 e^{2 x - 2} - 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,0418 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0418 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,498 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot 2 e^{1,15 x}$

≈ $1638,801 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 10,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 13,5)$

= $(1,5 x - 13,5) \cdot e^{- 0,5 x}$