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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} + \frac{1}{4} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} + \frac{1}{4} x^{3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) + \frac{3}{4} x^{2}$

= $2 e^{- x - 1} + \frac{3}{4} x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- x^{2} - 4}$

= $3 {(- x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- x^{2} - 4}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- x^{2} - 4}} \cdot (- 2 x)$

= $- 3 \frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{80} \cdot 4 e^{- 1,05 x}$

≈ $198,246 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 4,8) + 5$

= $5 + (0,8 x - 1 - 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (0,8 x - 5,8) \cdot e^{- 0,8 x}$