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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{7}{4} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{7}{4} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{7}{6} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{3 x - 3} + (- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- 4 x \cdot e^{3 x - 3} + (- 2 x^{2} + 4) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $- 4 x \cdot e^{3 x - 3} + 3 (- 2 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{2} + 12 - 4 x)$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{2} - 4 x + 12)$

= $(- 6 x^{2} - 4 x + 12) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{3} + e^{- x} \cdot 3 x^{2}$

= $- e^{- x} x^{3} + 3 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x + 2)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x + 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x + 2) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x + 2) \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 2 x + 2) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 2) \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 2) \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x + 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x + 2)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 11,2) + 4$

= $4 + (- 2,8 x + 4 + 11,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $4 + (- 2,8 x + 15,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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