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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{4} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x + 1} + 2 x^{5} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x + 1} + 2 x^{5} + 4$

$f'(x) =$ $e^{x + 1} \cdot 1 + 10 x^{4} + 0$

= $e^{x + 1} + 10 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{5} + 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{5} + 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (5 x^{5} + 2 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (25 x^{4} + 6 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (5 x^{5} + 2 x^{3}) + e^{3 x} (25 x^{4} + 6 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 6 x^{3} + (25 x^{4} + 6 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{5} + 25 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(15 x^{5} + 25 x^{4} + 6 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x + 5) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x + 5) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x + 5) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 14,4) - 7$

= $- 7 + (3,6 x - 4 + 14,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (3,6 x + 10,4) \cdot e^{- 0,9 x}$