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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{x} + (- 5 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 3 x^{2} + (- 15 x^{2} - 6 x))$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 18 x^{2} - 6 x)$

= $(- 5 x^{3} - 18 x^{2} - 6 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{2 x + 5}$

= $- {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x + 5}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x + 5}} \cdot (2)$

= $- \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x - 0,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x - 1,6)$

= $(0,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$