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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $(10 x + 0) \cdot e^{- x - 4} + (5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $10 x \cdot e^{- x - 4} + (5 x^{2} - 3) \cdot (- e^{- x - 4})$

= $10 x \cdot e^{- x - 4} - (5 x^{2} - 3) \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (- 5 x^{2} + 3 + 10 x)$

= $e^{- x - 4} \cdot (- 5 x^{2} + 10 x + 3)$

= $(- 5 x^{2} + 10 x + 3) \cdot e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) + x^{4} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) + x^{4} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{4} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{6} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x + 0,3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 1,3)$

= $(- 0,3 x + 1,3) \cdot e^{- 0,3 x}$