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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 3} + x^{2} \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 3} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- x + 3} - x^{2} \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{3} - 3) + e^{2 x} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (x^{3} - 3) + e^{2 x} \cdot (3 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (x^{3} - 3) + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} - 6 + 3 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2} - 6)$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 1} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,2) - 4$

= $- 4 + (0,1 x - 1 + 0,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 4 + (0,1 x - 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$