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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 3} + x^{2} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 3} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 3} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x - 2} \cdot 1$

= $- 2 e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 4} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 4} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 3)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x - 2)$

= $(- 0,6 x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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