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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x} + \frac{3}{x^{4}} + 3 e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x} + \frac{3}{x^{4}} + 3 e^{x - 1}$

= $2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{- 4} + 3 e^{x - 1}$

=> f'(x) = $x^{- \frac{1}{2}} - 12 x^{- 5} + 3 e^{x - 1} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{12}{x^{5}} + 3 e^{x - 1} \cdot 1$

= $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{12}{x^{5}} + 3 e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 2 x}{- 2 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x + 1)}{- x \cdot (2 x + 1)}$

= $\frac{- 2 (3 x + 1)}{- x \cdot (2 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${0,85}^{35} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,003 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 3$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 3$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 5,4) + 3$

= $3 + (- 0,9 x + 1 + 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $3 + (- 0,9 x + 6,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

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