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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{7}{6} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{7}{6} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{6} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{6} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (- x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (- x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{3} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x^{3} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- x^{3} + 2) - 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x^{3} - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} - 4)$

= $(2 x^{3} - 3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{4})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x - 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x - 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x - 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x - 4} + \sqrt{x} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x - 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x + 4,5 - 5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x - 0,5)$

= $(4,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten