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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} + e^{3 x + 2} - 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} + e^{3 x + 2} - 3 \sqrt{x}$

= $x^{2} + e^{3 x + 2} - 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $2 x + e^{3 x + 2} \cdot 3 - \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $2 x + e^{3 x + 2} \cdot 3 - \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

= $2 x + 3 e^{3 x + 2} - \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} + 5} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 2 x} \cdot (4 x - 2)$

= $\frac{4 x - 2}{2 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (- 2 x)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x) - 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${(- 0,95)}^{77} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,019 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 5$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 5$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 1) + 5$

= $5 + (- x + 5 + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $5 + (- x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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