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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 1} + \frac{5}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 1} + \frac{5}{3 x^{2}}$

= $2 e^{- x + 1} + \frac{5}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1) - \frac{10}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 1} \cdot (- 1) - \frac{10}{3 x^{3}}$

= $- 2 e^{- x + 1} - \frac{10}{3 x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} + 2} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 3} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 3} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 7)$

= $(- 3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 3$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 3$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 6) - 3$

= $- 3 + (1,2 x - 2 + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 3 + (1,2 x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$