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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{8}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{8}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{8}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{2} - 4} \cdot 2 x$

= $4 \cdot e^{x^{2} - 4} x$

= $4 x e^{x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

= $\frac{6 (x + 1)}{x \cdot (2 x + 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(e^{- 3 x} - 2)}^{3} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $12 {(e^{- 3 x} - 2)}^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 36 {(e^{- 3 x} - 2)}^{3} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{63} \cdot (- 3 e^{- 0,95 x})$

≈ $0,118 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x + 12,5) + 1$

= $1 + (- 2,5 x + 5 + 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $1 + (- 2,5 x + 17,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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