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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 5 x - 5} + (- 2 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- 2 e^{- 5 x - 5} + (- 2 x + 4) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $- 2 e^{- 5 x - 5} - 5 (- 2 x + 4) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 2 + 10 x - 20)$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (10 x - 22)$

= $(10 x - 22) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 2) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(8 x + 2) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{2} + 2 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(8 x + 2) \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{2} - 4 x + 8 x + 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{2} + 4 x + 2)$

= $(- 8 x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 3 x} \cdot (- 4 x - 3)$

= $\frac{- 4 x - 3}{- 2 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 27)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 28)$

= $(- 3 x + 28) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{62} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $368,423 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 3) + 4$

= $4 + (x - 2 + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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