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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{25} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + (5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $(25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + (5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $(25 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4} + 3 (5 x^{5} + 2 x^{4}) \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (15 x^{5} + 6 x^{4} + (25 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{3 x + 4} \cdot (15 x^{5} + 31 x^{4} + 8 x^{3})$

= $(15 x^{5} + 31 x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 1} \cdot 9 x^{2}$

= $- 27 \cdot e^{3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 1} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 1} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 10 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 10)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${0,85}^{45} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 3,2) + 9$

= $9 + (3,2 x - 4 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $9 + (3,2 x - 7,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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