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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 2} - 2 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x - 2} - 2 x^{4}$

$f'(x) =$ $2 e^{x - 2} \cdot 1 - 8 x^{3}$

= $2 e^{x - 2} - 8 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} - 3 x^{4})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 12 + 1)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 11)$

= $(3 x - 11) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 0,3 + 3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 3,3)$

= $(- 0,3 x + 3,3) \cdot e^{- 0,1 x}$