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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 5} - 2 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 5} - 2 x^{4}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 5} \cdot 3 - 8 x^{3}$

= $9 e^{3 x - 5} - 8 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 1} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} - 1} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 1}$

= ${(- x^{3} - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(- x^{3} - 1)}^{- 2} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(- x^{3} - 1)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{{(- x^{3} - 1)}^{2}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{{(- x^{3} - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,85}^{46} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 1$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 1$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x - 6) + 1$

= $1 + (1,5 x - 5 - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $1 + (1,5 x - 11) \cdot e^{- 0,3 x}$