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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{1}{2} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{1}{2} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} - 5) \cdot e^{- 2 x - 2} + (- 3 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $(- 12 x^{3} - 5) \cdot e^{- 2 x - 2} + (- 3 x^{4} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $(- 12 x^{3} - 5) \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 (- 3 x^{4} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (6 x^{4} + 10 x - 12 x^{3} - 5)$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (6 x^{4} - 12 x^{3} + 10 x - 5)$

= $(6 x^{4} - 12 x^{3} + 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 3)$

= $(2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,85}^{50} \cdot (- 3 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 4$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 4$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 16,8) + 4$

= $4 + (2,8 x - 4 - 16,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $4 + (2,8 x - 20,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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