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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 1} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} + 1} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 21)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 18)$

= $(9 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 1,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 0,2)$

= $(- 0,6 x + 0,2) \cdot e^{- 0,3 x}$