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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{4} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{4} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{24} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{2 x^{2}} - 3 e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{2 x^{2}} - 3 e^{3 x + 5}$

= $- 3 \cdot \sin (x) + \frac{9}{2} x^{- 2} - 3 e^{3 x + 5}$

=> f'(x) = $- 3 \cdot \cos (x) - 9 x^{- 3} - 3 e^{3 x + 5} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{x^{3}} - 3 e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $- 3 \cdot \cos (x) - \frac{9}{x^{3}} - 9 e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} + 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

= $2 {(2 x + 1)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 4 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{{(2 x + 1)}^{3}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{4}{{(2 x + 1)}^{3}} \cdot (2)$

= $- \frac{8}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 7,2) - 4$

= $- 4 + (1,8 x - 3 - 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 4 + (1,8 x - 10,2) \cdot e^{- 0,6 x}$