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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{8}{3 x^{4}} + e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{8}{3 x^{4}} + e^{- 3 x + 4}$

= $- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{8}{3} x^{- 4} + e^{- 3 x + 4}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \frac{32}{3} x^{- 5} + e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \frac{32}{3 x^{5}} + e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) - \frac{32}{3 x^{5}} - 3 e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{x - 4} \cdot 1$

= $- e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} + 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (x) - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (x) - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\cos (x) - 2) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $2 (\cos (x) - 2) \cdot (- \sin (x))$

= $- 2 (\cos (x) - 2) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{58} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $251,638 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x - 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x + 0)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x)$

= $x \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$