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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{16}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 1} + 2 x^{4} + 5 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 1} + 2 x^{4} + 5 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 1} \cdot 3 + 8 x^{3} - 5 \cdot \sin (x)$

= $9 e^{3 x - 1} + 8 x^{3} - 5 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 5} \cdot 1$

= $3 e^{x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x^{3} - 3)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{{(2 x^{3} - 3)}^{3}}$

= $2 {(2 x^{3} - 3)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 6 {(2 x^{3} - 3)}^{- 4} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(2 x^{3} - 3)}^{4}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{6}{{(2 x^{3} - 3)}^{4}} \cdot (6 x^{2})$

= $- 36 \frac{x^{2}}{{(2 x^{3} - 3)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,15 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,3075 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,4729 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,6465 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{69} \cdot (- 3 e^{- 1,05 x})$

≈ $86,933 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x + 4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 x - 1)$

= $(2 x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$