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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2} + (2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $(6 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2} + (2 x^{3} + x^{2}) \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $(6 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2} + 3 (2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (6 x^{3} + 3 x^{2} + (6 x^{2} + 2 x))$

= $e^{3 x + 2} \cdot (6 x^{3} + 9 x^{2} + 2 x)$

= $(6 x^{3} + 9 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 0,6)$

= $(0,2 x - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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