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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 2 x + 2} + (- 2 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x + 2} + (- 2 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $- 2 e^{- 2 x + 2} - 2 (- 2 x - 2) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 4 x + 4)$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (4 x + 2)$

= $(4 x + 2) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (2 x^{2} + 1) + e^{- 2 x} \cdot (4 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 1) + e^{- 2 x} \cdot (4 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 1) + 4 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 2 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 2)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{57} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 228,762 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- e^{- 0,2 x} - (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x + 0,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,2 x - 0,2)$

= $(0,2 x - 0,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

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