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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 5} + x^{3} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 5} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x - 5} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 2} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{3} - 3}$

= $- 3 {(2 x^{3} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(2 x^{3} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 3}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 3}} \cdot (6 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{37} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 176,125 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x + 7)$

= $(1,8 x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$