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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 3} - 2 x^{5} - \frac{1}{3} \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 3} - 2 x^{5} - \frac{1}{3} \sqrt[4]{x}$

= $- e^{- x + 3} - 2 x^{5} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- e^{- x + 3} \cdot (- 1) - 10 x^{4} - \frac{1}{12} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 3} \cdot (- 1) - 10 x^{4} - \frac{1}{12 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $e^{- x + 3} - 10 x^{4} - \frac{1}{12 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} - 3} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 1} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 1} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{- 3 x - 5}$

= $- 3 {(- 3 x - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(- 3 x - 5)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 3 x - 5)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{3}{{(- 3 x - 5)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{{(- 3 x - 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x - 23)$

= $(4,5 x - 23) \cdot e^{- 0,9 x}$