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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{3} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 4} + x^{2} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 4} + x^{2} \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $12 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 1) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 1) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} + 1) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{69} \cdot 5 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 144,888 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 12)$

= $(- 1,8 x + 12) \cdot e^{- 0,6 x}$