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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{x^{3}} - 4 \sqrt{x} + 2 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{x^{3}} - 4 \sqrt{x} + 2 e^{x + 3}$

= $9 x^{- 3} - 4 x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{x + 3}$

=> f'(x) = $- 27 x^{- 4} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + 2 e^{x + 3} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{27}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}} + 2 e^{x + 3} \cdot 1$

= $- \frac{27}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}} + 2 e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x} + (x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(4 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x} + (x^{4} - 2 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(4 x^{3} - 2) \cdot e^{2 x} + 2 (x^{4} - 2 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} - 4 x + 4 x^{3} - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3} - 4 x - 2)$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3} - 4 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 0,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,4 x - 3,2)$

= $(0,4 x - 3,2) \cdot e^{- 0,1 x}$