Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x + 4)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (2 x + 4) + e^{2 x} \cdot (2 + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (2 x + 4) + e^{2 x} \cdot (2)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (2 x + 4) + 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 8)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 10)$

= $(4 x + 10) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x - 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x - 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$

= $e^{x} \cdot (x - 1) + e^{x} \cdot (1)$

= $e^{x} \cdot (x - 1) + e^{x}$

= $e^{x} \cdot (1 + x - 1)$

= $e^{x} \cdot (x + 0)$

= $e^{x} \cdot x$

= $x \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 1} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} + 1} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (2 x) + (x + 1) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\sin (2 x) + (x + 1) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\sin (2 x) + 2 (x + 1) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x + 0,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 1,2)$

= $(- 0,1 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$