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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 2 e x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 2 e x

f'(x)= 3 2 e x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 2 x 4 +5x ) · e -4x -3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 2 x 4 +5x ) · e -4x -3

f'(x)= ( 8 x 3 +5 ) · e -4x -3 + ( 2 x 4 +5x ) · e -4x -3 · ( -4 )

= ( 8 x 3 +5 ) · e -4x -3 + ( 2 x 4 +5x ) · ( -4 e -4x -3 )

= ( 8 x 3 +5 ) · e -4x -3 -4 ( 2 x 4 +5x ) · e -4x -3

= e -4x -3 · ( 8 x 3 +5 + ( -8 x 4 -20x ) )

= e -4x -3 · ( -8 x 4 +8 x 3 -20x +5 )

= ( -8 x 4 +8 x 3 -20x +5 ) · e -4x -3

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( -4 x 2 +1 ) · e 3x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( -4 x 2 +1 ) · e 3x

f'(x)= ( -8x +0 ) · e 3x + ( -4 x 2 +1 ) · e 3x · 3

= -8x · e 3x + ( -4 x 2 +1 ) · 3 e 3x

= -8 x · e 3x +3 ( -4 x 2 +1 ) · e 3x

= e 3x · ( -8x + ( -12 x 2 +3 ) )

= e 3x · ( -12 x 2 -8x +3 )

= ( -12 x 2 -8x +3 ) · e 3x

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 7 ln( 6x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 7 ln( 6x )

f'(x)= 7 6x · 6

= 7 x

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 ( -3x +5 ) 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( -3x +5 ) 2

f'(x)= 6( -3x +5 ) · ( -3 +0 )

= 6( -3x +5 ) · ( -3 )

= -18( -3x +5 )

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= e 1,15x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = e 1,15x

f'(x) = e 1,15x · 1,15 = 1,15 e 1,15x

f''(x) = 1,15 e 1,15x · 1,15 = 1,3225 e 1,15x

f'''(x) = 1,3225 e 1,15x · 1,15 = 1,5209 e 1,15x

f(4)(x) = 1,5209 e 1,15x · 1,15 = 1,749 e 1,15x

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit 1,15 multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit 1,15 multipliziert, also insgeamt mit 1,15 37

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f(37)(x) = 1,15 37 · e 1,15x

176,125 e 1,15x

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 ( x -1 ) · e -0,5x +7 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 ( x -1 ) · e -0,5x +7

f'(x)= 4 · ( 1 +0 ) · e -0,5x +4 ( x -1 ) · e -0,5x · ( -0,5 )+0

= 4 e -0,5x +4 ( x -1 ) · ( -0,5 e -0,5x )

= 4 e -0,5x -2 ( x -1 ) · e -0,5x

= e -0,5x · ( -2x +2 +4 )

= e -0,5x · ( -2x +6 )

= ( -2x +6 ) · e -0,5x