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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x + 5} - \frac{3}{2} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x + 5} - \frac{3}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x + 5} \cdot 2 - 3 x$

= $- 2 e^{2 x + 5} - 3 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $18 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(2 x + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(2 x + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(2 x + 4)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $3 {(2 x + 4)}^{2} \cdot (2)$

= $6 {(2 x + 4)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 6)$

= $(1,8 x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$