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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $- \frac{10}{9} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x - e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $3 x - 2 e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x} + (- 2 x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 2 e^{- 3 x} - 3 (- 2 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 2 + 6 x + 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x + 4)$

= $(6 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 15 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x + 15)$

= $(6 x^{2} + 4 x + 15) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 2)$

= $(0,5 x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$