Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{x}$

= $\frac{6}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} \sqrt{x} - e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{3} \sqrt{x} - e^{2 x - 4}$

= $\frac{4}{3} x^{\frac{1}{2}} - e^{2 x - 4}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{2}} - e^{2 x - 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 \sqrt{x}} - e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $\frac{2}{3 \sqrt{x}} - 2 e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x + 4,4)$

= $(2,8 x + 4,4) \cdot e^{- 0,7 x}$