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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{10}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x - 1) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x - 1) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x - 1) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${1,1}^{49} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $106,719 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x + 28) + 8$

= $8 + (4 x - 5 + 28) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $8 + (4 x + 23) \cdot e^{- 0,8 x}$