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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- 5 x + 1} + (- 3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $(- 12 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- 5 x + 1} + (- 3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $(- 12 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 (- 3 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 12 x^{3} - 8 x + (15 x^{4} + 20 x^{2}))$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (15 x^{4} - 12 x^{3} + 20 x^{2} - 8 x)$

= $(15 x^{4} - 12 x^{3} + 20 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 2} \cdot 9 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{3 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{3 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 5} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} + 5} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 0,9)}^{62} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x + 2,1 + 3)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x + 5,1)$

= $(- 2,1 x + 5,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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