Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} - 6 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} - 6 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + 6 \cdot \sin (x)$

= $- 4 e^{- 2 x + 5} + 6 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 3) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{x} + (- 3 x + 3) \cdot e^{x}$

= $- 3 e^{x} + (- 3 x + 3) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 - 3 x + 3)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x + 0)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x)$

= $x \cdot (- 3 e^{x})$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(\sin (x) + 3)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $10 {(\sin (x) + 3)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $10 {(\sin (x) + 3)}^{4} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{33} \cdot e^{- 1,15 x}$

= $- 100,7 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x - 0,8)$

= $(- 1,4 x - 0,8) \cdot e^{- 0,7 x}$