Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 4 x^{5} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 4 x^{5} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 4 x^{5} - 3) + e^{- 3 x} \cdot (- 20 x^{4} + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 4 x^{5} - 3) + e^{- 3 x} \cdot (- 20 x^{4})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 4 x^{5} - 3) - 20 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} + 9 - 20 x^{4})$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} + 9)$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} + 9) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(\sin (x) + 3)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 10 {(\sin (x) + 3)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $- 10 {(\sin (x) + 3)}^{4} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{59} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 276,801 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 12)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 15)$

= $(- 2,4 x + 15) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten