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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 4} + \frac{4}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x + 4} + \frac{4}{x^{4}}$

= $3 e^{- 2 x + 4} + 4 x^{- 4}$

=> f'(x) = $3 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2) - 16 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2) - \frac{16}{x^{5}}$

= $- 6 e^{- 2 x + 4} - \frac{16}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 9 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{3} + 2 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 9 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{3} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{3} + 6 x - 9 x^{2} + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot (- 3 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 515,616 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 5,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 9,6)$

= $(2,8 x - 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

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