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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 6 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(20 x^{3} + 6 x) \cdot e^{3 x} + (5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(20 x^{3} + 6 x) \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 9 x^{2} + (20 x^{3} + 6 x))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 20 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x)$

= $(15 x^{4} + 20 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 1} + x^{2} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 1} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,1}^{48} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $97,017 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x - 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 12,4)$

= $(2,8 x - 12,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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