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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{5}{7} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{5}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{30}{49} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 0) \cdot e^{2 x + 4} + (3 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $15 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + (3 x^{5} + 1) \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $15 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + 2 (3 x^{5} + 1) \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (6 x^{5} + 2 + 15 x^{4})$

= $e^{2 x + 4} \cdot (6 x^{5} + 15 x^{4} + 2)$

= $(6 x^{5} + 15 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} + 4} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} + 4} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 4)$

= $(3 x + 4) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 14) + 3$

= $3 + (2 x - 4 - 14) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $3 + (2 x - 18) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

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