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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x + 5} + 5 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x + 5} + 5 \cdot \cos (x) - \frac{3}{x^{2}}$

= $2 e^{x + 5} + 5 \cdot \cos (x) - 3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $2 e^{x + 5} \cdot 1 - 5 \cdot \sin (x) + 6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{x + 5} \cdot 1 - 5 \cdot \sin (x) + \frac{6}{x^{3}}$

= $2 e^{x + 5} - 5 \cdot \sin (x) + \frac{6}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{5} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{7} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 8) + 8$

= $8 + (- 4 x + 5 - 8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $8 + (- 4 x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$