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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{21}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x + 5} + x^{5} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x + 5} + x^{5} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 8)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 6)$

= $(- 4 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${0,85}^{36} \cdot (- 5 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,014 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x - 1,4)$

= $(- 0,6 x - 1,4) \cdot e^{- 0,6 x}$