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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{35}{36} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{5} + e^{- x} \cdot 5 x^{4}$

= $- e^{- x} x^{5} + 5 \cdot e^{- x} x^{4}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x - 6) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x - 6) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x - 6) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,3 e^{1,15 x}$

f''(x) = $- 2,3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 2,645 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,0418 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0418 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $- 3,498 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${1,15}^{30} \cdot (- 2 e^{1,15 x})$

≈ $- 132,424 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 1$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x + 6) - 1$

= $- 1 + (2 x - 5 + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 1 + (2 x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$