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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 4} - \frac{1}{2} \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 4} - \frac{1}{2} \sqrt[4]{x}$

= $2 e^{- x + 4} - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $2 e^{- x + 4} \cdot (- 1) - \frac{1}{8} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 4} \cdot (- 1) - \frac{1}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $- 2 e^{- x + 4} - \frac{1}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $9 e^{3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 2 x} \cdot (8 x - 2)$

= $\frac{8 x - 2}{4 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 2 x - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 2 x - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(- 2 x - 5)}^{4} \cdot (- 2 + 0)$

= $15 {(- 2 x - 5)}^{4} \cdot (- 2)$

= $- 30 {(- 2 x - 5)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x - 0,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 0,2)$

= $(- 0,4 x + 0,2) \cdot e^{- 0,4 x}$