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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{5 x - 2} + (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{5 x - 2} + (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $(- 20 x^{4} - 6 x) \cdot e^{5 x - 2} + 5 (- 4 x^{5} - 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 20 x^{5} - 15 x^{2} + (- 20 x^{4} - 6 x))$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 20 x^{5} - 20 x^{4} - 15 x^{2} - 6 x)$

= $(- 20 x^{5} - 20 x^{4} - 15 x^{2} - 6 x) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x + 5)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- x + 5) + e^{3 x} \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- x + 5) + e^{3 x} \cdot (- 1)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- x + 5) - e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 1 - 3 x + 15)$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x + 14)$

= $(- 3 x + 14) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\cos (x) - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\cos (x) - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 5 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $5 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 1$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 1$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 2) + 1$

= $1 + (0,4 x - 2 - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $1 + (0,4 x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

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