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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + x^{4} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 5} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 5}$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{3} + 4 x^{4})$

= $e^{4 x - 5} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 x - 3 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 2 x} + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 2 x} + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(e^{- 2 x} + 3)}^{2} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $9 {(e^{- 2 x} + 3)}^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 18 {(e^{- 2 x} + 3)}^{2} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x - 8 + 4) + 3$

= $3 + (- 2 x - 8 + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $3 + (- 2 x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$