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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{5}{24} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $(- 8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 (- 2 x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (6 x^{4} + 9 x^{3} + (- 8 x^{3} - 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (6 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2})$

= $(6 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\sin (x) - 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\sin (x) - 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(\sin (x) - 5)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 9 {(\sin (x) - 5)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $- 9 {(\sin (x) - 5)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{48} \cdot (- 4 e^{- 0,9 x})$

≈ $- 0,025 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 25,2) - 9$

= $- 9 + (- 3,6 x + 4 + 25,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (- 3,6 x + 29,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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