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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $- \frac{27}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $3 x^{2} + 3 e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 5 x + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 5 e^{3 x} + (- 5 x + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 5 e^{3 x} + 3 (- 5 x + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 5 - 15 x + 6)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x + 1)$

= $(- 15 x + 1) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 5 x - 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 5 x - 4} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 5 x - 4}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 5 x - 4}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 5 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 5 x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${0,9}^{65} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 4$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 4$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 21) - 4$

= $- 4 + (- 3 x + 5 - 21) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 4 + (- 3 x - 16) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten