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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{7} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x + 2) \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x + 2) \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{5 x - 3} + (- x + 2) \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $- e^{5 x - 3} + (- x + 2) \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $- e^{5 x - 3} + 5 (- x + 2) \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (- 1 - 5 x + 10)$

= $e^{5 x - 3} \cdot (- 5 x + 9)$

= $(- 5 x + 9) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 3 x} \cdot (- 6 x + 3)$

= $\frac{- 6 x + 3}{- 3 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 9 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 9)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,2 x + 0,4)$

= $(1,2 x + 0,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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