Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{4}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 3} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x - 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x - 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 0,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x + 0,2)$

= $(- 0,8 x + 0,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten