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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{9}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} + \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} + \frac{1}{x^{2}}$

= $- 2 e^{2 x - 1} + x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 e^{2 x - 1} \cdot 2 - 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 1} \cdot 2 - \frac{2}{x^{3}}$

= $- 4 e^{2 x - 1} - \frac{2}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{x} \cdot 1$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x + 1) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 \cdot \sin (2 x) + (2 x + 1) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x + 1) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 9$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 4,8) - 9$

= $- 9 + (2,4 x - 3 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 9 + (2,4 x + 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$