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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{5}{8} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{5}{8} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{5}{24} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 1} + \frac{3}{x^{2}} + 6 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 1} + \frac{3}{x^{2}} + 6 x^{4}$

= $2 e^{3 x - 1} + 3 x^{- 2} + 6 x^{4}$

=> f'(x) = $2 e^{3 x - 1} \cdot 3 - 6 x^{- 3} + 24 x^{3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 1} \cdot 3 - \frac{6}{x^{3}} + 24 x^{3}$

= $6 e^{3 x - 1} - \frac{6}{x^{3}} + 24 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} + 4} x$

= $4 x e^{- x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 8 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 8)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 8) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{37} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,002 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 14,4) - 5$

= $- 5 + (3,6 x - 4 + 14,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (3,6 x + 10,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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