Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 8 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 4 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 4 x^{2} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $(- 8 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 (- 4 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (12 x^{2} + 3 x - 8 x - 1)$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (12 x^{2} - 5 x - 1)$

= $(12 x^{2} - 5 x - 1) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 4 x + 2) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 4 x + 2) \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 0 + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 2)$

= $(- 4 x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${1,1}^{55} \cdot 4 e^{1,1 x}$

≈ $756,237 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 7$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 7$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x + 2,4) - 7$

= $- 7 + (- 0,6 x + 3 + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 7 + (- 0,6 x + 5,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten