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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{8}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 3} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} - 3} x$

= $12 x e^{3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(2 x^{2} - 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(2 x^{2} - 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(2 x^{2} - 5)}^{2} \cdot (4 x + 0)$

= $- 3 {(2 x^{2} - 5)}^{2} \cdot (4 x)$

= $- 12 {(2 x^{2} - 5)}^{2} x$

= $- 12 x {(2 x^{2} - 5)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,9}^{48} \cdot (- 3 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,019 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 9$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 9$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 6) - 9$

= $- 9 + (- 1,2 x + 4 - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 9 + (- 1,2 x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$