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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 3 x^{3} + 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 3 x^{3} + 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (- 3 x^{3} + 1) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $6 (- 3 x^{3} + 1) \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 54 (- 3 x^{3} + 1) x^{2}$

= $- 54 x^{2} (- 3 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,9)}^{46} \cdot 4 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,031 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x - 6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x - 10)$

= $(1,2 x - 10) \cdot e^{- 0,3 x}$