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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 3) \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 3) \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{- x + 3} + (3 x^{3} - 3) \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $9 x^{2} \cdot e^{- x + 3} + (3 x^{3} - 3) \cdot (- e^{- x + 3})$

= $9 x^{2} \cdot e^{- x + 3} - (3 x^{3} - 3) \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (- 3 x^{3} + 3 + 9 x^{2})$

= $e^{- x + 3} \cdot (- 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3)$

= $(- 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} - 5} \cdot 9 x^{2}$

= $- 27 \cdot e^{3 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{3 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 4} \cdot (15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{3} + 4} \cdot (15 x^{2})$

= $15 \frac{x^{2}}{5 x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 12)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 11)$

= $(2 x - 11) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${1,15}^{32} \cdot 3 e^{1,15 x}$

≈ $262,695 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 7,2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x + 9,2)$

= $(- 1,8 x + 9,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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