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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5} - 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5} - 2 x^{3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3) - 6 x^{2}$

= $- 6 e^{- 3 x - 5} - 6 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 15 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 3 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} - 9 x^{3} + (- 15 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} - 15 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(9 x^{5} - 15 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + x} \cdot (- 6 x + 1)$

= $\frac{- 6 x + 1}{- 3 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{30} \cdot (- 3 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,023 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 5,4) - 5$

= $- 5 + (1,8 x - 2 + 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (1,8 x + 3,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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