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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{3}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{3}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 9 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 10 x^{2} + (- 9 x^{2} + 10 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} + x^{2} + 10 x)$

= $(- 6 x^{3} + x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 4} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} + 4} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 27 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 27)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 4$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 4$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 4,5) + 4$

= $4 + (1,5 x - 5 + 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $4 + (1,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

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