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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + x^{4} \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x + 4} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 2} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} + 2} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(x^{3} - 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(x^{3} - 4)}^{2}}$

= $- 3 {(x^{3} - 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(x^{3} - 4)}^{- 3} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(x^{3} - 4)}^{3}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{6}{{(x^{3} - 4)}^{3}} \cdot (3 x^{2})$

= $18 \frac{x^{2}}{{(x^{3} - 4)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 1,4) - 4$

= $- 4 + (- 1,4 x + 2 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (- 1,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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