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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x + 4} + x^{2} \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x + 4} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $2 x \cdot e^{5 x + 4} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{4} - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 6 - 8 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 8 x^{3} - 6)$

= $(- 6 x^{4} - 8 x^{3} - 6) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x - 2}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 5$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 5$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 3,2) - 5$

= $- 5 + (- 0,8 x + 4 - 3,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 5 + (- 0,8 x + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

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