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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 x^{2} - 2 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 x^{2} - 2 e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 18 x - 2 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- 18 x + 6 e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 4} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - x} \cdot (2 x - 1)$

= $\frac{2 x - 1}{x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x)$

= $x \cdot (- 4 e^{- 2 x})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 4,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x - 3,2)$

= $(- 0,6 x - 3,2) \cdot e^{- 0,6 x}$