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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{16}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) - 3 e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) - 3 e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) - 3 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- \sin (x) + 9 e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- x + 2}$

= $- {(- x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- x + 2)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{{(- x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{40} \cdot 3 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,005 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 1) + 7$

= $7 + (x - 2 + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $7 + (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$