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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{x}$

= $(x^{2} + 2) \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x + x^{2} + 2)$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x + 2)$

= $(x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 4} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} - 4} x$

= $- 4 x e^{x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- 3 x + 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 3 x + 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(- 3 x + 1)}^{4} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 5 {(- 3 x + 1)}^{4} \cdot (- 3)$

= $15 {(- 3 x + 1)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{58} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 1$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 1$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x + 2,4 - 1) - 1$

= $- 1 + (0,4 x + 2,4 - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 1 + (0,4 x + 1,4) \cdot e^{- 0,4 x}$