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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{9}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 2} - \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 2} - \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 2} \cdot (- 1) - \cos (x)$

= $- 2 e^{- x + 2} - \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (5 x + 2) + x^{5} \cdot (- \sin (5 x + 2) \cdot (5 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (5 x + 2) + x^{5} \cdot (- \sin (5 x + 2) \cdot (5))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (5 x + 2) + x^{5} \cdot (- 5 \cdot \sin (5 x + 2))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (5 x + 2) - 5 x^{5} \cdot \sin (5 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 9) - 9$

= $- 9 + (- 4,5 x + 5 - 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (- 4,5 x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$