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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 2} + x^{3} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 2} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (2 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 7$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 7$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 7,2) - 7$

= $- 7 + (- 1,8 x + 3 - 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 7 + (- 1,8 x - 4,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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