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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{8}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{8}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{x}$

= $\frac{8}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x + 4} - 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x + 4} - 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x + 4} \cdot 3 - 10 x$

= $9 e^{3 x + 4} - 10 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{x - 1} \cdot 1$

= $2 e^{x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 2} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 2} + x^{2} \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 2} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 2} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 0,9)}^{52} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,004 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x - 3,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x - 6,6)$

= $(0,6 x - 6,6) \cdot e^{- 0,2 x}$