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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 3} - 9 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 3} - 9 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2) + 9 \cdot \sin (x)$

= $4 e^{- 2 x + 3} + 9 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 6 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 6)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 5,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x + 3,6)$

= $(1,4 x + 3,6) \cdot e^{- 0,7 x}$