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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{18} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{x - 1} + (x^{2} + 1) \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 1} + (x^{2} + 1) \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{2} + 1 + 2 x)$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

= $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 4 x - 3) + e^{- x} \cdot (- 4 + 0)$

= $- e^{- x} (- 4 x - 3) + e^{- x} \cdot (- 4)$

= $- e^{- x} (- 4 x - 3) - 4 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 4 + 4 x + 3)$

= $e^{- x} \cdot (4 x - 1)$

= $(4 x - 1) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 2} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 2} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,1 x}$

f'(x) = $- e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,1}^{60} \cdot (- e^{1,1 x})$

≈ $- 304,482 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 0,9)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,3 x + 2,1)$

= $(- 0,3 x + 2,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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