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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{4} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + x^{4} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 3 x} \cdot (10 x + 3)$

= $\frac{10 x + 3}{5 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\sin (x) - 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\sin (x) - 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $12 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot (\cos (x))$

= $12 {(\sin (x) - 4)}^{3} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x - 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x - 8)$

= $(x - 8) \cdot e^{- 0,2 x}$