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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 12 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 12)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x - 12) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 2$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 2$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 9) - 2$

= $- 2 + (- 1,5 x + 5 + 9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 2 + (- 1,5 x + 14) \cdot e^{- 0,3 x}$