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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (3 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (3 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (3 x^{2} - 3 x) + e^{- 2 x} \cdot (6 x - 3)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (3 x^{2} - 3 x) + e^{- 2 x} \cdot (6 x - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x + 6 x - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 12 x - 3)$

= $(- 6 x^{2} + 12 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 3 x^{2} + 3 x) + e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 3)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 3 x) + e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} - 6 x - 6 x + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} - 12 x + 3)$

= $(6 x^{2} - 12 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 3} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x + 2}$

= $2 {(x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(x + 2)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} \cdot (1)$

= $- \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,85 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,7075 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $2,7075 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 2,5721 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $2,4435 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{63} \cdot 3 e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,118 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $- e^{- 0,9 x} - (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x - 2,7) + 2$

= $2 + (0,9 x - 1 - 2,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (0,9 x - 3,7) \cdot e^{- 0,9 x}$

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