Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{11}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{11}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{22}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 0) \cdot e^{- 2 x + 3} + (x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 3} + (x^{4} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 3} - 2 (x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2 x^{4} + 10 + 4 x^{3})$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 10)$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3} + 10) \cdot e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 3 x - 5)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- 3 x - 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- 3 x - 5) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- 3 x - 5) \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- 3 x - 5) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x - 5) \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 3 x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x - 5) \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 3 x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x - 5))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 3 x - 5)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 3) + 1$

= $1 + (- x + 2 - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $1 + (- x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten