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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{18}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (x) - 3 e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (x) - 3 e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $\cos (x) - 3 e^{x - 1} \cdot 1$

= $\cos (x) - 3 e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 3) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 3) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 0) \cdot e^{- 2 x - 5} + (- 3 x^{5} + 3) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 5} + (- 3 x^{5} + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (- 3 x^{5} + 3) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (6 x^{5} - 6 - 15 x^{4})$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (6 x^{5} - 15 x^{4} - 6)$

= $(6 x^{5} - 15 x^{4} - 6) \cdot e^{- 2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 4) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 4) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x + 4) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x + 10)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x + 5)$

= $(2,5 x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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