Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} - 1} \cdot 9 x^{2}$

= $- 27 \cdot e^{3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x - 2,4) + 6$

= $6 + (0,8 x - 4 - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $6 + (0,8 x - 6,4) \cdot e^{- 0,2 x}$