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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 12 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{3} + x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 12 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 4 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 3 x^{2} + (- 12 x^{2} + 2 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} - 15 x^{2} + 2 x)$

= $(12 x^{3} - 15 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} - 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (- x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (- x - 3)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- x - 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (- x - 3) \cdot (- 1)$

= $3 \cdot \sin (- x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{73} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 35,222 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 19,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x + 23,6)$

= $(- 2,8 x + 23,6) \cdot e^{- 0,7 x}$