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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - 4 \cdot \sin (x) + 3 e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (x) - 4 \cdot \cos (x) + 9 e^{3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{2 x} + (- 2 x + 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x} + (- 2 x + 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 2 e^{2 x} + 2 (- 2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 - 4 x + 10)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x + 8)$

= $(- 4 x + 8) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 4) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x - 4) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x - 4) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{42} \cdot 3 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 7$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 7$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 1,5) + 7$

= $7 + (- 0,3 x + 1 - 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $7 + (- 0,3 x - 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$