Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + x^{3} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 5} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x + 3,2) + 1$

= $1 + (- 3,2 x + 4 + 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $1 + (- 3,2 x + 7,2) \cdot e^{- 0,8 x}$