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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 5) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + 5) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{4 x + 2} + (3 x^{3} + 5) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $9 x^{2} \cdot e^{4 x + 2} + (3 x^{3} + 5) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $9 x^{2} \cdot e^{4 x + 2} + 4 (3 x^{3} + 5) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (12 x^{3} + 20 + 9 x^{2})$

= $e^{4 x + 2} \cdot (12 x^{3} + 9 x^{2} + 20)$

= $(12 x^{3} + 9 x^{2} + 20) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{- x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{- x^{2} + 4}$

= $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(- x^{2} + 4)}^{- 2} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- x^{2} + 4)}^{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{2}{{(- x^{2} + 4)}^{2}} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 8)$

= $(- x + 8) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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