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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{25}{36} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x - 2 e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x - 2 e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $3 - 2 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $3 + 2 e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 2} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} - 2} x$

= $12 x e^{2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 4} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 12)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 9)$

= $(- 6 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,75 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 4,75 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,5125 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $4,5125 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,2869 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,2869 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,0725 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${(- 0,95)}^{78} \cdot 5 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,091 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 7$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 7$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 1) + 7$

= $7 + (0,5 x - 5 + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $7 + (0,5 x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$