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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (x^{5} - x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(5 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{5} - x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 3 x^{3} + (5 x^{4} - 3 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 3$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 3$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 1,6) - 3$

= $- 3 + (1,6 x - 2 - 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 3 + (1,6 x - 3,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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