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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x + 2} + (3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $(9 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x + 2} + (3 x^{3} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $(9 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 (3 x^{3} - 3 x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 6 x^{3} + 6 x + 9 x^{2} - 3)$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 3)$

= $(- 6 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{x} \cdot 1$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} - 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(e^{3 x} - 1)}^{3} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 12 {(e^{3 x} - 1)}^{3} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 36 {(e^{3 x} - 1)}^{3} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 3$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 3$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 2) - 3$

= $- 3 + (0,5 x - 1 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 3 + (0,5 x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$