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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} + \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} + \frac{1}{x^{2}}$

= $- 2 e^{- 3 x + 3} + x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) - 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) - \frac{2}{x^{3}}$

= $6 e^{- 3 x + 3} - \frac{2}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x} + (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 4 x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 12 x^{2} + (- 12 x^{2} - 8 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x)$

= $(- 12 x^{3} - 24 x^{2} - 8 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{- 2 x^{3} + 4}$

= $3 {(- 2 x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(- 2 x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 7,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x + 4,2)$

= $(1,2 x + 4,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen ableiten

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