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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{x}$

= $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} - x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} - 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 12 + 6 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x + 12)$

= $(- 6 x^{2} + 6 x + 12) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 4$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 4$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 8,4) + 4$

= $4 + (- 1,2 x + 4 - 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $4 + (- 1,2 x - 4,4) \cdot e^{- 0,3 x}$