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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{4}{3} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{4}{3} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x + 1) + e^{x} \cdot (5 + 0)$

= $e^{x} \cdot (5 x + 1) + e^{x} \cdot (5)$

= $e^{x} \cdot (5 x + 1) + 5 e^{x}$

= $e^{x} \cdot (5 + 5 x + 1)$

= $e^{x} \cdot (5 x + 6)$

= $(5 x + 6) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 3} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} + 3} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- x - 4)$

$f'(x) =$ $- \sin (- x - 4) \cdot (- 1 + 0)$

= $- \sin (- x - 4) \cdot (- 1)$

= $\sin (- x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x - 6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 x - 11)$

= $(3 x - 11) \cdot e^{- 0,6 x}$