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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{5} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt[3]{x} + 2 e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt[3]{x} + 2 e^{- 2 x - 5}$

= $- x^{\frac{1}{3}} + 2 e^{- 2 x - 5}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 2 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 2 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 4 e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 2} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} + 2} x$

= $18 x e^{3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 2) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) + (2 x + 2) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (2 x + 2) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 3$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 3$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 8,4) - 3$

= $- 3 + (- 1,4 x + 2 - 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 3 + (- 1,4 x - 6,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

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