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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{16}{27} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2} + (2 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $(10 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2} + (2 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $(10 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2} + 5 (2 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (10 x^{5} - 15 x^{4} + (10 x^{4} - 12 x^{3}))$

= $e^{5 x - 2} \cdot (10 x^{5} - 5 x^{4} - 12 x^{3})$

= $(10 x^{5} - 5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 4)$

= $(4 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 2$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 2$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,7) + 2$

= $2 + (0,1 x - 1 + 0,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $2 + (0,1 x - 0,3) \cdot e^{- 0,1 x}$