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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} + x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (4 x^{5} + x^{2}) + e^{- 2 x} \cdot (20 x^{4} + 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (4 x^{5} + x^{2}) + e^{- 2 x} (20 x^{4} + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} - 2 x^{2} + (20 x^{4} + 2 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 20 x^{4} - 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 8 x^{5} + 20 x^{4} - 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- x - 4}$

= ${(- x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- x - 4}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x - 4}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- x - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,01 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 4$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 4$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 1,8) - 4$

= $- 4 + (0,9 x - 1 + 1,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 4 + (0,9 x + 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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