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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (15 x^{2} + 6 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (15 x^{2} + 6 x)$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 6 x^{2} + (15 x^{2} + 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 21 x^{2} + 6 x)$

= $(10 x^{3} + 21 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x + 2} + (3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $12 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 2} + (3 x^{4} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $12 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 (3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 9 x^{4} + 15 + 12 x^{3})$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 9 x^{4} + 12 x^{3} + 15)$

= $(- 9 x^{4} + 12 x^{3} + 15) \cdot e^{- 3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - x} \cdot (- 8 x - 1)$

= $\frac{- 8 x - 1}{- 4 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 18)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 19)$

= $(2 x + 19) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,15 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,3075 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 3,4729 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $3,6465 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{73} \cdot 3 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 105,667 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 3)$

= $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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