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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $6 x^{2} \cdot e^{2 x} + (2 x^{3} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $6 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 4 + 6 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 6 x^{2} + 4)$

= $(4 x^{3} + 6 x^{2} + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 1} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{3} - 1} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \frac{x^{2}}{- 2 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\sin (x) - 2) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $2 (\sin (x) - 2) \cdot (\cos (x))$

= $2 (\sin (x) - 2) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{60} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,046 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 4$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 4$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 9) - 4$

= $- 4 + (- 3 x + 5 - 9) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 4 + (- 3 x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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