Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{7}{2} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \sin (x) + e^{3 x + 2} - 3 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \sin (x) + e^{3 x + 2} - 3 x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot \cos (x) + e^{3 x + 2} \cdot 3 - 12 x^{3}$

= $\frac{3}{4} \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x + 2} - 12 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $e^{x + 2} \cdot 1$

= $e^{x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (x + 5)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (x + 5) + x^{2} \cdot \cos (x + 5)$

= $2 x \cdot \sin (x + 5) + x^{2} \cdot \cos (x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 9$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 9$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 1,5) + 9$

= $9 + (- 1,5 x + 5 + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $9 + (- 1,5 x + 6,5) \cdot e^{- 0,3 x}$