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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 4} + x^{4} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 4} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 4} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{3} + 3} \cdot 9 x^{2}$

= $- 27 \cdot e^{3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- 3 x} - 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- 3 x} - 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(e^{- 3 x} - 3)}^{4} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $- 5 {(e^{- 3 x} - 3)}^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $15 {(e^{- 3 x} - 3)}^{4} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 1,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 2,4)$

= $(0,7 x - 2,4) \cdot e^{- 0,7 x}$