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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{3} + e^{2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{3} - 4) + e^{- x} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- e^{- x} \cdot (3 x^{3} - 4) + e^{- x} \cdot (9 x^{2})$

= $- e^{- x} \cdot (3 x^{3} - 4) + 9 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{3} + 4 + 9 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{3} + 9 x^{2} + 4)$

= $(- 3 x^{3} + 9 x^{2} + 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4 x}{- x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (3 x - 4)}{- x \cdot (x - 2)}$

= $\frac{- (3 x - 4)}{- x \cdot (x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x - 3}$

= $3 {(- 2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x - 3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x - 3}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{\sqrt{- 2 x - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${1,1}^{53} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $156,247 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 19,2) + 1$

= $1 + (3,2 x - 4 + 19,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $1 + (3,2 x + 15,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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