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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 2 e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} - 2 e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 x - 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- 2 x + 6 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 2 x} \cdot (- 9 x^{2} - 2)$

= $\frac{- 9 x^{2} - 2}{- 3 x^{3} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- x^{3} - 2}$

= $2 {(- x^{3} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- x^{3} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- x^{3} - 2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x^{3} - 2}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{3} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{62} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $368,423 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x - 2,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 2,5)$

= $(- 0,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$