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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (- 10 x^{4} + 4 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (- 10 x^{4} + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{5} + 6 x^{2} + (- 10 x^{4} + 4 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{5} - 10 x^{4} + 6 x^{2} + 4 x)$

= $(- 6 x^{5} - 10 x^{4} + 6 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 4 x} \cdot (6 x - 4)$

= $\frac{6 x - 4}{3 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 24)$

= $(- 9 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 2,4) - 2$

= $- 2 + (- 2,4 x + 4 + 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (- 2,4 x + 6,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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