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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{x + 5} + (- 4 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $(- 16 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{x + 5} + (- 4 x^{4} - x^{3}) \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (- 4 x^{4} - x^{3} + (- 16 x^{3} - 3 x^{2}))$

= $e^{x + 5} \cdot (- 4 x^{4} - 17 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{4} - 17 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 5 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 5 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(4 x - 5) \cdot e^{x} + (2 x^{2} - 5 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x^{2} - 5 x + 4 x - 5)$

= $e^{x} \cdot (2 x^{2} - x - 5)$

= $(2 x^{2} - x - 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 4} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,1}^{63} \cdot 2 e^{1,1 x}$

≈ $810,53 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 7$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 7$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 1,6) + 7$

= $7 + (0,4 x - 4 + 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $7 + (0,4 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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