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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 4} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 6) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 6) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x^{2} - 6) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $6 x \cdot \sin (2 x) + (3 x^{2} - 6) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $6 x \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x^{2} - 6) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 10,5) + 2$

= $2 + (- 2,1 x + 3 - 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (- 2,1 x - 7,5) \cdot e^{- 0,7 x}$