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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $- \frac{9}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 7$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 1,8) - 7$

= $- 7 + (0,9 x - 3 + 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 7 + (0,9 x - 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$