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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (5 x^{3} + 2 x) + e^{x} \cdot (15 x^{2} + 2)$

= $e^{x} \cdot (5 x^{3} + 2 x + 15 x^{2} + 2)$

= $e^{x} \cdot (5 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(5 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 3 x} \cdot (3 x^{2} - 3)$

= $\frac{3 x^{2} - 3}{x^{3} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{77} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 42,813 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 9$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 9$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x + 16) + 9$

= $9 + (- 4 x + 5 + 16) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $9 + (- 4 x + 21) \cdot e^{- 0,8 x}$