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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{3 x - 1} + (- 5 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $(- 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{3 x - 1} + (- 5 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $(- 15 x^{2} - 10 x) \cdot e^{3 x - 1} + 3 (- 5 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 15 x^{3} - 15 x^{2} + (- 15 x^{2} - 10 x))$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 15 x^{3} - 30 x^{2} - 10 x)$

= $(- 15 x^{3} - 30 x^{2} - 10 x) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x + 4)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (4 x + 4) + e^{- x} \cdot (4 + 0)$

= $- e^{- x} \cdot (4 x + 4) + e^{- x} \cdot (4)$

= $- e^{- x} \cdot (4 x + 4) + 4 e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (4 - 4 x - 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x)$

= $x \cdot (- 4 e^{- x})$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 4} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} + 4} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + x^{5} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + x^{5} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{5} \cos (x^{2}) x$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{2}) + 2 x^{6} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{65} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 490,371 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 4) - 5$

= $- 5 + (- 0,8 x + 1 - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 5 + (- 0,8 x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

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