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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + 3 e^{- 2 x - 5} + 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}} + 3 e^{- 2 x - 5} + 2 x^{3}$

= $- x^{- 3} + 3 e^{- 2 x - 5} + 2 x^{3}$

=> f'(x) = $3 x^{- 4} + 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + 6 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} + 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + 6 x^{2}$

= $\frac{3}{x^{4}} - 6 e^{- 2 x - 5} + 6 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 4 x} \cdot (15 x^{2} + 4)$

= $\frac{15 x^{2} + 4}{5 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x - 1) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 \cdot \sin (2 x) + (2 x - 1) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x - 1) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x - 18)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 x - 23)$

= $(3 x - 23) \cdot e^{- 0,6 x}$