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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + x} \cdot (- 10 x + 1)$

= $\frac{- 10 x + 1}{- 5 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (3 x) + x^{4} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x) + x^{4} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x) + 3 x^{4} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,9}^{47} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,007 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 10,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 13,5)$

= $(- 1,5 x + 13,5) \cdot e^{- 0,5 x}$