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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{8}{7} e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{8}{7} e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{7} e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{88}{63} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + e^{x - 5} - \frac{4}{3} \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + e^{x - 5} - \frac{4}{3} \sqrt[4]{x}$

= $- 2 x^{4} + e^{x - 5} - \frac{4}{3} x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- 8 x^{3} + e^{x - 5} \cdot 1 - \frac{1}{3} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} + e^{x - 5} \cdot 1 - \frac{1}{3 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $- 8 x^{3} + e^{x - 5} - \frac{1}{3 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 5} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,4 e^{1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,84 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,324 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,8564 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${1,1}^{53} \cdot 4 e^{1,1 x}$

≈ $624,989 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 4,5) - 4$

= $- 4 + (- 0,9 x + 3 + 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (- 0,9 x + 7,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

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