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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x + 2} + (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x + 2} + (3 x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $3 e^{- 3 x + 2} - 3 (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (3 - 9 x + 15)$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 9 x + 18)$

= $(- 9 x + 18) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 3 x} \cdot (9 x^{2} + 3)$

= $\frac{9 x^{2} + 3}{3 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,8 e^{0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,62 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,458 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,3122 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,9}^{61} \cdot 2 e^{0,9 x}$

≈ $0,003 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 2) + 7$

= $7 + (x - 2 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $7 + (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$