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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x - 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 5 x - 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 5 e^{3 x} + (- 5 x - 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 5 e^{3 x} + 3 (- 5 x - 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 5 - 15 x - 15)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x - 20)$

= $(- 15 x - 20) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 1} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} - 1} x$

= $4 x e^{- x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 3 x} \cdot (8 x + 3)$

= $\frac{8 x + 3}{4 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 9,6) - 7$

= $- 7 + (2,4 x - 3 + 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 7 + (2,4 x + 6,6) \cdot e^{- 0,8 x}$