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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x - 5} - 4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x - 5} - 4 \sqrt{x}$

= $- 3 e^{3 x - 5} - 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 3 e^{3 x - 5} \cdot 3 - 2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x - 5} \cdot 3 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

= $- 9 e^{3 x - 5} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{3} + e^{- x} \cdot 3 x^{2}$

= $- e^{- x} x^{3} + 3 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - x} \cdot (- 8 x - 1)$

= $\frac{- 8 x - 1}{- 4 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (x) - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sin (x) - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(\sin (x) - 5)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $5 {(\sin (x) - 5)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $5 {(\sin (x) - 5)}^{4} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 12,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x + 15,6)$

= $(- 2,1 x + 15,6) \cdot e^{- 0,7 x}$