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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 3} - 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 3} - 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2) - 5 \cdot \cos (x)$

= $6 e^{- 2 x + 3} - 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 3} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 3} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{3} + 3} \cdot (12 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{4 x^{3} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (- 2 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (- 2 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $- \sin (- 2 x^{2} + 5) \cdot (- 4 x + 0)$

= $- \sin (- 2 x^{2} + 5) \cdot (- 4 x)$

= $4 \sin (- 2 x^{2} + 5) x$

= $4 x \cdot \sin (- 2 x^{2} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 14) + 5$

= $5 + (- 2,8 x + 4 - 14) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $5 + (- 2,8 x - 10) \cdot e^{- 0,7 x}$