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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $5 \cdot \sin (x) - 9 e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x^{2} - 5} \cdot 2 x$

= $- 4 \cdot e^{x^{2} - 5} x$

= $- 4 x e^{x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $- \cos (x^{2} + 5) \cdot (2 x + 0)$

= $- \cos (x^{2} + 5) \cdot (2 x)$

= $- 2 \cos (x^{2} + 5) x$

= $- 2 x \cdot \cos (x^{2} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot 3 e^{1,15 x}$

≈ $1222,161 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 2$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 2$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x - 0,9) + 2$

= $2 + (- 0,9 x + 3 - 0,9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $2 + (- 0,9 x + 2,1) \cdot e^{- 0,3 x}$