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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{11}{32} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 3} + x^{4} \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 3} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x - 3} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{2} - 2}$

= $- 3 {(2 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(2 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} - 2}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} - 2}} \cdot (4 x)$

= $- 6 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 2$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 2$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x - 3,5) - 2$

= $- 2 + (- 3,5 x + 5 - 3,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 2 + (- 3,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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