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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 12 x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{4} + 2 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 12 x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 3 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{4} - 4 x - 12 x^{3} + 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{4} - 12 x^{3} - 4 x + 2)$

= $(6 x^{4} - 12 x^{3} - 4 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 3 x + 4}$

= $3 {(- 3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 3 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x + 4}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x + 4}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{2 \sqrt{- 3 x + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${1,15}^{31} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $76,144 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x + 6)$

= $(1,6 x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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