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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 4} - 3 x^{3} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 4} - 3 x^{3} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{- x + 4} \cdot (- 1) - 9 x^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

= $- e^{- x + 4} - 9 x^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} + 5} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (2 x) + (3 x + 4) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $3 \cdot \cos (2 x) + (3 x + 4) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $3 \cdot \cos (2 x) - 2 (3 x + 4) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{49} \cdot (- e^{- 0,9 x})$

≈ $0,006 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 3$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 3$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x - 2) - 3$

= $- 3 + (- 2 x + 5 - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 3 + (- 2 x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$