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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 25 x^{4} + 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{5} + 3 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 25 x^{4} + 3) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{5} + 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} - 9 x - 25 x^{4} + 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{5} - 25 x^{4} - 9 x + 3)$

= $(15 x^{5} - 25 x^{4} - 9 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{3} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 9 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 3 x^{3} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{3} - 10 - 9 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{3} - 9 x^{2} - 10)$

= $(6 x^{3} - 9 x^{2} - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x^{3} - 4}$

= $- 3 {(2 x^{3} - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(2 x^{3} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 4}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} - 4}} \cdot (6 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 1$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 1$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x - 4,8) + 1$

= $1 + (0,8 x - 4 - 4,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $1 + (0,8 x - 8,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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