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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 4 x + 2} + (- 3 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $- 3 e^{- 4 x + 2} + (- 3 x - 5) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $- 3 e^{- 4 x + 2} - 4 (- 3 x - 5) \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 3 + 12 x + 20)$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (12 x + 17)$

= $(12 x + 17) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 5 x} \cdot (6 x^{2} + 5)$

= $\frac{6 x^{2} + 5}{2 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 7)$

= $(6 x + 7) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,0706 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,61 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{41} \cdot (- 5 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 7,2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x + 9,2)$

= $(- 1,8 x + 9,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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