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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 4) \cdot e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 4) \cdot e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x + 1} + (x^{3} - 4) \cdot e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + (x^{3} - 4) \cdot 3 e^{3 x + 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x + 1} + 3 (x^{3} - 4) \cdot e^{3 x + 1}$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{3} - 12 + 3 x^{2})$

= $e^{3 x + 1} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2} - 12)$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2} - 12) \cdot e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} - 8 x^{2} + (- 10 x^{4} + 8 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} - 10 x^{4} - 8 x^{2} + 8 x)$

= $(4 x^{5} - 10 x^{4} - 8 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x + 5) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) + (2 x + 5) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x + 5) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{45} \cdot (- 5 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,044 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 1,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 0,4)$

= $(1,6 x - 0,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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