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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $3 \cdot \cos (x) - 4 e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} - 5} x$

= $6 x e^{- x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(\cos (x) + 2)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $6 {(\cos (x) + 2)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $- 6 {(\cos (x) + 2)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 9) + 9$

= $9 + (- 1,5 x + 3 - 9) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (- 1,5 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$