Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (- 4 x^{4} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (- 4 x^{4} - 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{4} - 4 x) + e^{2 x} \cdot (- 16 x^{3} - 4)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 4 x^{4} - 4 x) + e^{2 x} (- 16 x^{3} - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 16 x^{3} - 4 + (- 8 x^{4} - 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x - 4)$

= $(- 8 x^{4} - 16 x^{3} - 8 x - 4) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x - 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${(- 0,85)}^{35} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x + 2,8 - 4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 1,2)$

= $(2,8 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$