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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x - 3} + x - \frac{1}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x - 3} + x - \frac{1}{x^{4}}$

= $- e^{- 2 x - 3} + x - x^{- 4}$

=> f'(x) = $- e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + 1 + 4 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + 1 + \frac{4}{x^{5}}$

= $2 e^{- 2 x - 3} + 1 + \frac{4}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{x} \cdot 1$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (2 x - 3)$

$f'(x) =$ $- \sin (2 x - 3) \cdot (2 + 0)$

= $- \sin (2 x - 3) \cdot (2)$

= $- 2 \cdot \sin (2 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,9)}^{60} \cdot (- 5 e^{- 0,9 x})$

≈ $- 0,009 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x - 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x)$

= $x \cdot (- 0,8 e^{- 0,2 x})$