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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{5}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (x^{3} + 1) + e^{- x} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- e^{- x} \cdot (x^{3} + 1) + e^{- x} \cdot (3 x^{2})$

= $- e^{- x} \cdot (x^{3} + 1) + 3 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} - 1 + 3 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2} - 1)$

= $(- x^{3} + 3 x^{2} - 1) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x - 4) \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(6 x - 4) \cdot e^{2 x} + (3 x^{2} - 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(6 x - 4) \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} - 8 x + 6 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} - 2 x - 4)$

= $(6 x^{2} - 2 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} + 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} + 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 5,8)$

= $(0,8 x - 5,8) \cdot e^{- 0,8 x}$