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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{5}{2} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 3} + x^{2} \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 3} + x^{2} \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} - 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (x^{3})}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 3 {(\sqrt[3]{x})}^{7} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x - 24) - 2$

= $- 2 + (- 4 x + 5 - 24) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (- 4 x - 19) \cdot e^{- 0,8 x}$