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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 3} + (3 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 3} + (3 x^{4} + x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $(12 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 (3 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 9 x^{4} - 3 x^{2} + (12 x^{3} + 2 x))$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 9 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 9 x^{4} + 12 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} + 5} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) + x^{5} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) + x^{5} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{5} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{7} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{48} \cdot (- 5 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 485,086 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 17,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x - 12,5)$

= $(- 2,5 x - 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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