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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 3 e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} - 3 e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $6 x - 3 e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $6 x - 6 e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}$

= $3 {(- 2 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 2 x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}} \cdot (- 4 x)$

= $- 6 \frac{x}{\sqrt{- 2 x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 3) + 9$

= $9 + (- 1,5 x + 3 + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (- 1,5 x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

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