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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{21}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- x^{3} + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- x^{3} + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(- x^{3} + 5)}^{2} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- 6 {(- x^{3} + 5)}^{2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $18 {(- x^{3} + 5)}^{2} x^{2}$

= $18 {((- x^{3} + 5) x)}^{2}$

= $18 {(x (- x^{3} + 5))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{70} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,028 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 7,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 10,2)$

= $(- 1,2 x + 10,2) \cdot e^{- 0,4 x}$