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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{3} - 9 x^{2} + (9 x^{2} + 6 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{3} + 0 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{3} + 6 x)$

= $(- 9 x^{3} + 6 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} + 2} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 5} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{3} + 5} \cdot (- 12 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{- 4 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x - 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x - 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x - 1} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x - 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x - 1}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${0,85}^{31} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,006 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 21) + 3$

= $3 + (- 3 x + 5 - 21) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (- 3 x - 16) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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