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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 0) \cdot e^{- x - 2} + (- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- 16 x^{3} \cdot e^{- x - 2} + (- 4 x^{4} - 3) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $- 16 x^{3} \cdot e^{- x - 2} - (- 4 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (4 x^{4} + 3 - 16 x^{3})$

= $e^{- x - 2} \cdot (4 x^{4} - 16 x^{3} + 3)$

= $(4 x^{4} - 16 x^{3} + 3) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 3)$

= $(- 2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{47} \cdot 4 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,028 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x + 2,8) - 4$

= $- 4 + (0,4 x - 1 + 2,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (0,4 x + 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

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