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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{\frac{7}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{\frac{7}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{4} x} \cdot \frac{7}{4}$

= $\frac{7}{2} e^{\frac{7}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(8 x - 5) \cdot e^{4 x + 3} + (4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $(8 x - 5) \cdot e^{4 x + 3} + (4 x^{2} - 5 x) \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $(8 x - 5) \cdot e^{4 x + 3} + 4 (4 x^{2} - 5 x) \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (16 x^{2} - 20 x + 8 x - 5)$

= $e^{4 x + 3} \cdot (16 x^{2} - 12 x - 5)$

= $(16 x^{2} - 12 x - 5) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 2 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,25 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 5,5125 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $5,7881 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 6,0775 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,05)}^{64} \cdot (- 5 e^{- 1,05 x})$

≈ $- 113,523 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x + 16,2) + 5$

= $5 + (2,7 x - 3 + 16,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $5 + (2,7 x + 13,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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