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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{- 5 x - 1} + (- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $- 10 x \cdot e^{- 5 x - 1} + (- 5 x^{2} + 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $- 10 x \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 (- 5 x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (25 x^{2} - 15 - 10 x)$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (25 x^{2} - 10 x - 15)$

= $(25 x^{2} - 10 x - 15) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x^{5} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 4 x^{5} - x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 4 x^{5} - x) + e^{3 x} \cdot (- 20 x^{4} - 1)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 4 x^{5} - x) + e^{3 x} \cdot (- 20 x^{4} - 1)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 3 x - 20 x^{4} - 1)$

= $e^{3 x} \cdot (- 12 x^{5} - 20 x^{4} - 3 x - 1)$

= $(- 12 x^{5} - 20 x^{4} - 3 x - 1) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{3 x + 2}$

= $3 {(3 x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(3 x + 2)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{3}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot (3)$

= $- \frac{9}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 1$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x + 2,4) - 1$

= $- 1 + (0,8 x - 4 + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 1 + (0,8 x - 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

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