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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x - 4} + x^{5} \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 4} - x^{5} \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (5 x^{4} - x^{5})$

= $e^{- x - 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{3} + 2 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 4 x} \cdot (4 x - 4)$

= $\frac{4 x - 4}{2 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 6) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (2 x^{2} + 6) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $4 x \cdot \sin (2 x) + (2 x^{2} + 6) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $4 x \cdot \sin (2 x) + 2 (2 x^{2} + 6) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x - 1,2 - 2) - 4$

= $- 4 + (0,6 x - 1,2 - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (0,6 x - 3,2) \cdot e^{- 0,3 x}$