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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 2} + x^{2} \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 2} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 2} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 2} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 2} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(2 x - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(2 x - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(2 x - 3)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $6 {(2 x - 3)}^{2} \cdot (2)$

= $12 {(2 x - 3)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{34} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,004 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 14)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x + 9)$

= $(3,5 x + 9) \cdot e^{- 0,7 x}$