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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + x^{5} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 10)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 9)$

= $(- 2 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{41} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 308,043 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 5,6) + 2$

= $2 + (2,8 x - 4 + 5,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (2,8 x + 1,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen ableiten

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