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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - e^{2 x - 5} - \frac{1}{4} \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} - e^{2 x - 5} - \frac{1}{4} \sqrt[3]{x}$

= $\frac{3}{4} x^{4} - e^{2 x - 5} - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $3 x^{3} - e^{2 x - 5} \cdot 2 - \frac{1}{12} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $3 x^{3} - e^{2 x - 5} \cdot 2 - \frac{1}{12 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

= $3 x^{3} - 2 e^{2 x - 5} - \frac{1}{12 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x - 2} \cdot 1$

= $- 2 e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- 2 x} - 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- 2 x} - 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(e^{- 2 x} - 5)}^{2} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 9 {(e^{- 2 x} - 5)}^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $18 {(e^{- 2 x} - 5)}^{2} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 0,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 1,6)$

= $(0,6 x - 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$