Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x - 5} + \frac{5}{2} \sqrt[3]{x} + 2 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x - 5} + \frac{5}{2} \sqrt[3]{x} + 2 \cdot \cos (x)$

= $- e^{2 x - 5} + \frac{5}{2} x^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- e^{2 x - 5} \cdot 2 + \frac{5}{6} x^{- \frac{2}{3}} - 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- e^{2 x - 5} \cdot 2 + \frac{5}{6 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \cdot \sin (x)$

= $- 2 e^{2 x - 5} + \frac{5}{6 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} - x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} - x) + e^{x} \cdot (- 20 x^{4} - 1)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} - x - 20 x^{4} - 1)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{5} - 20 x^{4} - x - 1)$

= $(- 4 x^{5} - 20 x^{4} - x - 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 3} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 3} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 35-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 35-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 35 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{35}$

Somit gilt für die 35-te Ableitung:

f⁽³⁵⁾(x) = ${1,15}^{35} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $133,176 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 0,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 2,2)$

= $(- 0,2 x + 2,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten