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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{18}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4} + (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $(- 12 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4} + (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $(- 12 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4} + 4 (- 3 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x^{4} - 8 x^{3} + (- 12 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 12 x^{4} - 20 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 12 x^{4} - 20 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x^{5} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x^{5} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- x^{5} + 5 x) + e^{3 x} \cdot (- 5 x^{4} + 5)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- x^{5} + 5 x) + e^{3 x} \cdot (- 5 x^{4} + 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 15 x - 5 x^{4} + 5)$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 5 x^{4} + 15 x + 5)$

= $(- 3 x^{5} - 5 x^{4} + 15 x + 5) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot 1$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 6)$

= $(- 9 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{61} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 334,93 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 6$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 6$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 22,5) + 6$

= $6 + (- 4,5 x + 5 - 22,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $6 + (- 4,5 x - 17,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen einfach

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