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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- x^{5} - 2 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 5 x^{4} - 4 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- x^{5} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 6 x^{2} + (- 5 x^{4} - 4 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{5} - 5 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x)$

= $(- 3 x^{5} - 5 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 15 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 15)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 15) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $117,391 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 7$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 7$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 7) + 7$

= $7 + (- x + 5 + 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $7 + (- x + 12) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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