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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{4} {(\sqrt{x})}^{3} - 2 e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{4} {(\sqrt{x})}^{3} - 2 e^{- x + 3}$

= $- \frac{9}{4} x^{\frac{3}{2}} - 2 e^{- x + 3}$

=> f'(x) = $- \frac{27}{8} x^{\frac{1}{2}} - 2 e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{27}{8} \sqrt{x} - 2 e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{27}{8} \sqrt{x} + 2 e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 1} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 24 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 24)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{37} \cdot 3 e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,007 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 2,4)$

= $(0,3 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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