Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 8) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) + (3 x - 8) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x - 8) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 7,2) + 4$

= $4 + (- 1,2 x + 2 - 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (- 1,2 x - 5,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten