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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{6}{7} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{6}{7} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{20}{21} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 1) \cdot e^{x} + (4 x^{5} - x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{5} - x + 20 x^{4} - 1)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{5} + 20 x^{4} - x - 1)$

= $(4 x^{5} + 20 x^{4} - x - 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 3 x} \cdot (- 4 x - 3)$

= $\frac{- 4 x - 3}{- 2 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{73} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,024 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 6,8)$

= $(1,6 x - 6,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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