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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1} + (x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $(4 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1} + (x^{4} - 3 x^{3}) \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $(4 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1} + 4 (x^{4} - 3 x^{3}) \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{4} - 12 x^{3} + (4 x^{3} - 9 x^{2}))$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{4} - 8 x^{3} - 9 x^{2})$

= $(4 x^{4} - 8 x^{3} - 9 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (5 x^{4} + 4 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (20 x^{3} + 8 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (20 x^{3} + 8 x)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 12 x^{2} + (20 x^{3} + 8 x))$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x)$

= $(15 x^{4} + 20 x^{3} + 12 x^{2} + 8 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 9)$

= $(- 6 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot 4 e^{0,9 x}$

≈ $0,01 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x - 12) + 3$

= $3 + (2,4 x - 4 - 12) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (2,4 x - 16) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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