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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{8}{7} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{8}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{7} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{40}{49} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $(- 12 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 3 x^{4} + 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $(- 12 x^{3} + 5) \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 (- 3 x^{4} + 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (9 x^{4} - 15 x - 12 x^{3} + 5)$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (9 x^{4} - 12 x^{3} - 15 x + 5)$

= $(9 x^{4} - 12 x^{3} - 15 x + 5) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 2 x}{4 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (6 x - 1)}{x \cdot (4 x - 1)}$

= $\frac{2 (6 x - 1)}{x \cdot (4 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{2 x} - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{2 x} - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(e^{2 x} - 2)}^{4} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $15 {(e^{2 x} - 2)}^{4} \cdot (2 e^{2 x})$

= $30 {(e^{2 x} - 2)}^{4} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 0,8) + 5$

= $5 + (- 0,8 x + 1 - 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (- 0,8 x + 0,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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