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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (x^{4} - x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (x^{4} - x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (x^{4} - x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} - 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (x^{4} - x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (4 x^{3} - 3 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 3 x^{3} + (4 x^{3} - 3 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 2 x} \cdot (4 x - 2)$

= $\frac{4 x - 2}{2 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 1)$

= $(6 x + 1) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,05}^{64} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $22,705 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x - 9,2)$

= $(- 1,6 x - 9,2) \cdot e^{- 0,8 x}$