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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{9}{2} \sqrt[3]{x} + e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{9}{2} \sqrt[3]{x} + e^{- 3 x - 4}$

= $- \frac{9}{2} x^{\frac{1}{3}} + e^{- 3 x - 4}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}} + e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{3} - 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 3} x^{2}$

= $12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4 x} \cdot (- 4 x + 4)$

= $\frac{- 4 x + 4}{- 2 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x + 7) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $\cos (- 2 x) + (x + 7) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $\cos (- 2 x) + 2 (x + 7) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 8,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 11,4)$

= $(1,2 x - 11,4) \cdot e^{- 0,4 x}$