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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{3} - 4} \cdot 9 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- x - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- x - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (- x - 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 2 (- x - 3) \cdot (- 1)$

= $2 (- x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 2,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x - 1,4)$

= $(- 0,8 x - 1,4) \cdot e^{- 0,8 x}$