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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 3 e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{4} + 3 e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 8 x^{3} + 3 e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 8 x^{3} + 6 e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 4} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} - 4} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (x) - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (x) - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $- 5 {(\cos (x) - 2)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,05}^{64} \cdot 5 e^{1,05 x}$

≈ $113,523 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 1,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 6,5)$

= $(0,5 x - 6,5) \cdot e^{- 0,1 x}$