Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} - 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} - 4} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{2 x} + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{2 x} + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(e^{2 x} + 5)}^{4} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $15 {(e^{2 x} + 5)}^{4} \cdot (2 e^{2 x})$

= $30 {(e^{2 x} + 5)}^{4} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 129,13 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 1$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 1$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x - 1,6) - 1$

= $- 1 + (0,8 x - 2 - 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 1 + (0,8 x - 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$