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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 4} - \frac{1}{4 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 4} - \frac{1}{4 x^{4}}$

= $- 3 e^{x + 4} - \frac{1}{4} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 3 e^{x + 4} \cdot 1 + x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 4} \cdot 1 + \frac{1}{x^{5}}$

= $- 3 e^{x + 4} + \frac{1}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (3 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (3 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (3 x^{3} + 4) \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (3 x^{3} + 4) \cdot (9 x^{2})$

= $- 27 \sin (3 x^{3} + 4) x^{2}$

= $- 27 x^{2} \cdot \sin (3 x^{3} + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{48} \cdot (- 3 e^{- 0,9 x})$

≈ $- 0,019 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 0,6) - 3$

= $- 3 + (0,2 x - 2 - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (0,2 x - 2,6) \cdot e^{- 0,1 x}$