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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} - 3} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} - 3} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 5} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x - 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x - 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x - 5} + \sqrt{x} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x - 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${1,1}^{53} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $156,247 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 6,4) + 6$

= $6 + (3,2 x - 4 - 6,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (3,2 x - 10,4) \cdot e^{- 0,8 x}$