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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{12} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 2} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 2} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 2}$

= $e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- x^{3} - 3} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 4} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 4} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (4 x - 5)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 5) + x^{4} \cdot \cos (4 x - 5) \cdot (4 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 5) + x^{4} \cdot \cos (4 x - 5) \cdot (4)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 5) + x^{4} \cdot 4 \cdot \cos (4 x - 5)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (4 x - 5) + 4 x^{4} \cdot \cos (4 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{60} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,046 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 19,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x + 15,6)$

= $(2,8 x + 15,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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