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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{5}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{5}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{- 5 x + 3} + (4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $8 x \cdot e^{- 5 x + 3} + (4 x^{2} - 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $8 x \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (4 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 20 x^{2} + 10 + 8 x)$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 20 x^{2} + 8 x + 10)$

= $(- 20 x^{2} + 8 x + 10) \cdot e^{- 5 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 5 x + 2)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x + 2)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 5 x + 2) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 5 x + 2) \cdot (- 5 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 5 x + 2) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 2) \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 2) \cdot (- 5)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x + 2)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x + 2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 5 x + 2)}{\sqrt{x}} - 5 \sqrt{x} \cdot \cos (- 5 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${0,85}^{40} \cdot (- 5 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,008 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 11,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x - 7,2)$

= $(- 2,8 x - 7,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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