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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x + 2 x^{2})$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $16 x^{3} \cdot e^{2 x} + (4 x^{4} - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $16 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{4} - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (16 x^{3} + 8 x^{4} - 10)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{4} + 16 x^{3} - 10)$

= $(8 x^{4} + 16 x^{3} - 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 21 + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 20)$

= $(- 3 x - 20) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${0,85}^{31} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,006 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x - 3,5 + 5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 1,5)$

= $(- 0,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

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