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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{x^{4}} - 2 e^{x + 5} + 4 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{x^{4}} - 2 e^{x + 5} + 4 \cdot \sin (x)$

= $- 7 x^{- 4} - 2 e^{x + 5} + 4 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $28 x^{- 5} - 2 e^{x + 5} \cdot 1 + 4 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{28}{x^{5}} - 2 e^{x + 5} \cdot 1 + 4 \cdot \cos (x)$

= $\frac{28}{x^{5}} - 2 e^{x + 5} + 4 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 4} \cdot 6 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x - 5)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x - 5) \cdot (- 2 + 0)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x - 5) \cdot (- 2)$

= $- 6 \cdot \sin (- 2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 7$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 7$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 3,6) - 7$

= $- 7 + (- 1,2 x + 4 - 3,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 7 + (- 1,2 x + 0,4) \cdot e^{- 0,3 x}$