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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 1} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x - 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x + 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 3)$

= $(- 2 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 4)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 6)$

= $(x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$