Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{21}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x + 4} + 4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x + 4} + 4 \sqrt{x}$

= $e^{x + 4} + 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{x + 4} \cdot 1 + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $e^{x + 4} \cdot 1 + \frac{2}{\sqrt{x}}$

= $e^{x + 4} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 8) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 8) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} + 8) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{65} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 23,84 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 5$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 5$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,6) + 5$

= $5 + (0,1 x - 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $5 + (0,1 x - 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$