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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{8}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{8}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 4) \cdot e^{- 5 x + 5} + (- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $(- 20 x^{3} + 4) \cdot e^{- 5 x + 5} + (- 5 x^{4} + 4 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $(- 20 x^{3} + 4) \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 (- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (25 x^{4} - 20 x - 20 x^{3} + 4)$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (25 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x + 4)$

= $(25 x^{4} - 20 x^{3} - 20 x + 4) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} - 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} - 2} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 1} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 1} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (2 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (2 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (2 x^{3} + 4) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot \sin (2 x^{3} + 4) \cdot (6 x^{2})$

= $18 \sin (2 x^{3} + 4) x^{2}$

= $18 x^{2} \cdot \sin (2 x^{3} + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${1,15}^{44} \cdot 3 e^{1,15 x}$

≈ $1405,485 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 6,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x + 2,4)$

= $(3,2 x + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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