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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 1) \cdot e^{5 x - 4} + (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{5 x - 4} + (- 3 x^{2} + x) \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{5 x - 4} + 5 (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (- 15 x^{2} + 5 x - 6 x + 1)$

= $e^{5 x - 4} \cdot (- 15 x^{2} - x + 1)$

= $(- 15 x^{2} - x + 1) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 5 x^{2} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 10 x - 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 5 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} + 3 x - 10 x - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (15 x^{2} - 7 x - 1)$

= $(15 x^{2} - 7 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 80)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 6$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 6$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x - 8) + 6$

= $6 + (- 1,6 x + 4 - 8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $6 + (- 1,6 x - 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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