Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{x + 2} + (5 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $(25 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{x + 2} + (5 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (5 x^{5} + 3 x^{3} + (25 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{x + 2} \cdot (5 x^{5} + 25 x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(5 x^{5} + 25 x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5 x} \cdot (- 15 x^{2} + 5)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 5}{- 5 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x + 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- x + 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $2 \cdot \sin (- x + 3) \cdot (- 1)$

= $- 2 \cdot \sin (- x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 3$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 3$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 6) - 3$

= $- 3 + (1,2 x - 3 + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 3 + (1,2 x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten