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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 3 e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 3 e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{9}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 5} + \frac{1}{3} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 5} + \frac{1}{3} x^{3}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 5} \cdot (- 1) + x^{2}$

= $e^{- x + 5} + x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x + 3)$

$f'(x) =$ $\sin (x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,75 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $4,75 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,5125 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 4,5125 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,2869 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,2869 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,0725 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{61} \cdot (- 5 e^{- 0,95 x})$

≈ $0,219 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 8$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 8$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x - 9 - 5) + 8$

= $8 + (4,5 x - 9 - 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $8 + (4,5 x - 14) \cdot e^{- 0,9 x}$