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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} - e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} - e^{2 x - 3}$

= $- 4 x^{- 3} - e^{2 x - 3}$

=> f'(x) = $12 x^{- 4} - e^{2 x - 3} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{12}{x^{4}} - e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $\frac{12}{x^{4}} - 2 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{5} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{7} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${1,1}^{56} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $207,965 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x + 1,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 0,8)$

= $(0,4 x - 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$