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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 2} - \frac{7}{2} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 2} - \frac{7}{2} x^{5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 2} \cdot 3 - \frac{35}{2} x^{4}$

= $- 3 e^{3 x - 2} - \frac{35}{2} x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} + 2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 27 \cdot e^{- 3 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 3 x} \cdot (9 x^{2} + 3)$

= $\frac{9 x^{2} + 3}{3 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(x - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(x - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot (1 + 0)$

= $- 4 (x - 2) \cdot (1)$

= $- 4 (x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,9}^{50} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 5$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x - 2,8) + 5$

= $5 + (0,4 x - 4 - 2,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $5 + (0,4 x - 6,8) \cdot e^{- 0,1 x}$