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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $2 \cdot \sin (x) - 6 e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} - 2} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} - 2} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 18 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 18)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 18) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${0,9}^{52} \cdot 3 e^{0,9 x}$

≈ $0,013 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 6$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 6$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x - 1,4) - 6$

= $- 6 + (0,2 x - 1 - 1,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 6 + (0,2 x - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$