Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 2 x + 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 2 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 2 x + 2) + e^{- 3 x} \cdot (- 2)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 2 x + 2) - 2 e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 2 + 6 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x - 8)$

= $(6 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{3} + e^{- x} \cdot 3 x^{2}$

= $- e^{- x} x^{3} + 3 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \sin (2 x) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \sin (2 x) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (2 x)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 2 \frac{\cos (2 x)}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 8$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 8$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x - 3) + 8$

= $8 + (1,5 x - 5 - 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $8 + (1,5 x - 8) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten