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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x + 4} + (- x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4} + (- x^{3} + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 (- x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (2 x^{3} - 4 - 3 x^{2})$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} - 4)$

= $(2 x^{3} - 3 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 4} + x^{5} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 4} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 3 x} \cdot (6 x^{2} - 3)$

= $\frac{6 x^{2} - 3}{2 x^{3} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{3} + 3}$

= $- {(x^{3} + 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(x^{3} + 3)}^{- 2} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(x^{3} + 3)}^{2}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{{(x^{3} + 3)}^{2}} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{{(x^{3} + 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{47} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 712,522 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 6$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 3,2) + 6$

= $6 + (- 1,6 x + 2 + 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $6 + (- 1,6 x + 5,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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