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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{3} \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{x} \cdot 1$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 14)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 16)$

= $(- 4 x + 16) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 7$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 7$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 3) + 7$

= $7 + (0,6 x - 1 - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $7 + (0,6 x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$