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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{25}{49} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{4}} + 2 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{4}} + 2 e^{- 3 x - 1}$

= $- 3 \cdot \cos (x) + x^{- 4} + 2 e^{- 3 x - 1}$

=> f'(x) = $3 \cdot \sin (x) - 4 x^{- 5} + 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (x) - \frac{4}{x^{5}} + 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (x) - \frac{4}{x^{5}} - 6 e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- 2 x^{2} + 5}$

= $2 {(- 2 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- 2 x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- 2 x^{2} + 5}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x^{2} + 5}} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{\sqrt{- 2 x^{2} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{68} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $27,598 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 0,8)$

= $(0,2 x - 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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