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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 4 x + 2} + (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 4 x + 2} + (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $(9 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 4 x + 2} - 4 (3 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 12 x^{3} + 20 x^{2} + (9 x^{2} - 10 x))$

= $e^{- 4 x + 2} \cdot (- 12 x^{3} + 29 x^{2} - 10 x)$

= $(- 12 x^{3} + 29 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} + x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 2 x^{5} + x) + e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 1)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} + x) + e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 1)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{5} + 2 x - 10 x^{4} + 1)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x + 1)$

= $(- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${0,85}^{31} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,006 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 1$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 1$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 0,5) + 1$

= $1 + (0,5 x - 5 + 0,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $1 + (0,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

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