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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 4 x - 1} + (x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $(4 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 4 x - 1} + (x^{4} - 3 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $(4 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 (x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{4} + 12 x^{2} + (4 x^{3} - 6 x))$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x)$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 1) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 3 x - 6 x + 1)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 3 x + 1)$

= $(- 9 x^{2} - 3 x + 1) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (4 x + 5)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (4 x + 5) + x^{3} \cdot \cos (4 x + 5) \cdot (4 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (4 x + 5) + x^{3} \cdot \cos (4 x + 5) \cdot (4)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (4 x + 5) + x^{3} \cdot 4 \cdot \cos (4 x + 5)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (4 x + 5) + 4 x^{3} \cdot \cos (4 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x - 2) + 3$

= $3 + (- 0,4 x + 4 - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (- 0,4 x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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