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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 3 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{27}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 3} + x^{4} \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 3} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 3} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x^{3} + 4 x^{2}) + e^{- x} \cdot (- 3 x^{2} + 8 x)$

= $- e^{- x} (- x^{3} + 4 x^{2}) + e^{- x} (- 3 x^{2} + 8 x)$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - 4 x^{2} + (- 3 x^{2} + 8 x))$

= $e^{- x} \cdot (x^{3} - 7 x^{2} + 8 x)$

= $(x^{3} - 7 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 5} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 5} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (x - 2) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $\cos (- 3 x) + (x - 2) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $\cos (- 3 x) + 3 (x - 2) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 1$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 1$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 3) + 1$

= $1 + (0,5 x - 5 + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $1 + (0,5 x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$