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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x} - e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt{x} - e^{x - 5}$

= $4 x^{\frac{1}{2}} - e^{x - 5}$

=> f'(x) = $2 x^{- \frac{1}{2}} - e^{x - 5} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{x}} - e^{x - 5} \cdot 1$

= $\frac{2}{\sqrt{x}} - e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 5 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} - (- x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (x^{5} + 3 x^{4} + (- 5 x^{4} - 12 x^{3}))$

= $e^{- x} \cdot (x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3})$

= $(x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{- x + 2}$

= $- {(- x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(- x + 2)}^{- 2} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{{(- x + 2)}^{2}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{{(- x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,2 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 2,2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,42 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,662 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,662 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,9282 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{52} \cdot 2 e^{- 1,1 x}$

≈ $284,086 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1,4) + 6$

= $6 + (0,2 x - 2 + 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (0,2 x - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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