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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5} + e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5} + e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{2} x^{4} + e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $\frac{15}{2} x^{4} + 3 e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{2} - 3} \cdot 6 x$

= $6 \cdot e^{3 x^{2} - 3} x$

= $6 x e^{3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 3}{- 4 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\sin (x) + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\sin (x) + 5) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $4 (\sin (x) + 5) \cdot (\cos (x))$

= $4 (\sin (x) + 5) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 3,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x + 4,5)$

= $(- 0,5 x + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$