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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} - 1} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} - 1} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- x^{2} + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- x^{2} + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(- x^{2} + 4)}^{4} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- 15 {(- x^{2} + 4)}^{4} \cdot (- 2 x)$

= $30 {(- x^{2} + 4)}^{4} x$

= $30 x {(- x^{2} + 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${0,85}^{34} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,004 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 6,3)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 5,3)$

= $(- 0,9 x - 5,3) \cdot e^{- 0,9 x}$