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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5} + (4 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $(20 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5} + (4 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $(20 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 (4 x^{5} - 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 12 x^{5} + 15 x^{4} + (20 x^{4} - 20 x^{3}))$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 12 x^{5} + 35 x^{4} - 20 x^{3})$

= $(- 12 x^{5} + 35 x^{4} - 20 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} - 7) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} - 7) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,9}^{63} \cdot 3 e^{0,9 x}$

≈ $0,004 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 8$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 8$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 5,6) - 8$

= $- 8 + (- 0,8 x + 2 + 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 8 + (- 0,8 x + 7,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

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