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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} + e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x} + (4 x^{4} + x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{4} - 3 x^{2} + (16 x^{3} + 2 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{4} + 16 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 12 x^{4} + 16 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- 3 x^{3} + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 3 x^{3} + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(- 3 x^{3} + 5)}^{4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $- 5 {(- 3 x^{3} + 5)}^{4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $45 {(- 3 x^{3} + 5)}^{4} x^{2}$

= $45 x^{2} {(- 3 x^{3} + 5)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,1}^{60} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $1522,408 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 9,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x - 13,6)$

= $(1,6 x - 13,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten