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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + 3 e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} + 3 e^{- x + 5}$

= $2 x^{- 2} + 3 e^{- x + 5}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 3} + 3 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} + 3 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{4}{x^{3}} - 3 e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{5} + e^{- 3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x - 4}$

= $2 {(x - 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(x - 4)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(x - 4)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{2}{{(x - 4)}^{2}} \cdot (1)$

= $- \frac{2}{{(x - 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{63} \cdot 2 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,003 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 4,5) + 3$

= $3 + (1,5 x - 5 + 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (1,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$