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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 2} - 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 2} - 2 \sqrt{x}$

= $3 e^{3 x - 2} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 e^{3 x - 2} \cdot 3 - x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 2} \cdot 3 - \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $9 e^{3 x - 2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 6 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{3} + x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 6 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{3} + x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} + 3 x^{2} + (- 6 x^{2} + 2 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 6 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 3}{- 3 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x + 4}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x + 4}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{2 x + 4} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{2 x + 4} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{2 x + 4}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{2 x + 4}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 2 \frac{e^{2 x + 4}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{61} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,044 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 5$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 4,5) + 5$

= $5 + (1,5 x - 3 + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $5 + (1,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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