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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 8 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 6 x^{3} + (- 8 x^{3} + 6 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 14 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(6 x^{4} - 14 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 10 x + 5) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 10 x + 5) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 10 x - 10 x + 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 20 x + 5)$

= $(10 x^{2} - 20 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 21)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 22)$

= $(3 x + 22) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 3,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x - 1,6)$

= $(- 1,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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