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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 3} + (- x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $(- 3 x^{2} + 2) \cdot e^{x - 3} + (- x^{3} + 2 x) \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (- x^{3} + 2 x - 3 x^{2} + 2)$

= $e^{x - 3} \cdot (- x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(- x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 3} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 5)$

= $(6 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{53} \cdot (- 2 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,008 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x + 14)$

= $(3,6 x + 14) \cdot e^{- 0,9 x}$