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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} - x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} - x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} - 1) \cdot e^{x} + (x^{4} - x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} - x + 4 x^{3} - 1)$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} - x - 1)$

= $(x^{4} + 4 x^{3} - x - 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 7$

= $- e^{- 0,2 x} - (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 7$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x - 0,6) + 7$

= $7 + (0,2 x - 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $7 + (0,2 x - 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$