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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} - 2} \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- x^{3} - 2} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 2 x} \cdot (12 x^{2} + 2)$

= $\frac{12 x^{2} + 2}{4 x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $2 \cdot \sin (2 x - 5) \cdot (2)$

= $4 \cdot \sin (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x + 4) + 4$

= $4 + (0,8 x - 2 + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $4 + (0,8 x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$