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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $- \frac{5}{4} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - 2 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - 2 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x) - 2 e^{x + 2} \cdot 1$

= $2 \cdot \cos (x) - 2 e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $12 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (e^{- 2 x} + 4) \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 2 (e^{- 2 x} + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 (e^{- 2 x} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 7$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 7$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 2,4) + 7$

= $7 + (- 2,4 x + 3 + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $7 + (- 2,4 x + 5,4) \cdot e^{- 0,8 x}$