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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{18}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 2} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} + 2} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 18)$

= $(- 9 x - 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{43} \cdot (- e^{- 1,15 x})$

≈ $407,387 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 2,4) + 3$

= $3 + (- 1,2 x + 2 + 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (- 1,2 x + 4,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen ableiten

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