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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{x}$

= $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{5} - 3 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{5} - 3 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (4 x^{5} - 3 x^{4}) + e^{- x} \cdot (20 x^{4} - 12 x^{3})$

= $- e^{- x} \cdot (4 x^{5} - 3 x^{4}) + e^{- x} \cdot (20 x^{4} - 12 x^{3})$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{5} + 3 x^{4} + (20 x^{4} - 12 x^{3}))$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{5} + 23 x^{4} - 12 x^{3})$

= $(- 4 x^{5} + 23 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot 4 e^{0,95 x}$

≈ $0,158 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 4)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x - 8)$

= $(2 x - 8) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten