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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{5}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 3} - \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 3} - \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 3} \cdot 3 - \cos (x)$

= $6 e^{3 x - 3} - \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{3} - 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 3 x} \cdot (- 4 x - 3)$

= $\frac{- 4 x - 3}{- 2 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (3 x + 4)$

$f'(x) =$ $- \cos (3 x + 4) \cdot (3 + 0)$

= $- \cos (3 x + 4) \cdot (3)$

= $- 3 \cdot \cos (3 x + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 14,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 11,4)$

= $(- 2,4 x - 11,4) \cdot e^{- 0,8 x}$