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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x + 4} + \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x + 4} + \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3) - \sin (x)$

= $- 4 \cdot \cos (x) - 9 e^{- 3 x + 4} - \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 1} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 1} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- x^{2} - 4) \cdot (- 2 x + 0)$

= $2 \cdot \sin (- x^{2} - 4) \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \sin (- x^{2} - 4) x$

= $- 4 x \cdot \sin (- x^{2} - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 14,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x - 10,4)$

= $(- 2,4 x - 10,4) \cdot e^{- 0,6 x}$