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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 4} + 4 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 4} + 4 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2) - 4 \cdot \sin (x)$

= $6 e^{- 2 x - 4} - 4 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (2 x - 1)}{x \cdot (4 x - 3)}$

= $\frac{6 (2 x - 1)}{x \cdot (4 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(e^{2 x} - 2)}^{3} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 12 {(e^{2 x} - 2)}^{3} \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 24 {(e^{2 x} - 2)}^{3} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,8 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,61 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 3,61 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,4295 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,258 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{60} \cdot (- 4 e^{- 0,95 x})$

≈ $- 0,184 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 14,7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x + 11,7)$

= $(2,1 x + 11,7) \cdot e^{- 0,7 x}$