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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{35}{36} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (5 x - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 e^{- 3 x} + (5 x - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 e^{- 3 x} - 3 (5 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (5 - 15 x + 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x + 17)$

= $(- 15 x + 17) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 4} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 12)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 15)$

= $(- 6 x + 15) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${0,85}^{49} \cdot 5 e^{0,85 x}$

≈ $0,002 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 5$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 5$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 0,6) + 5$

= $5 + (0,2 x - 2 + 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $5 + (0,2 x - 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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