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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{5}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 3)$

= $(2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 5)$

= $(- 2 x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $3 e^{- 0,2 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $3 e^{- 0,2 x} - 0,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (3 - 0,6 x + 0,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,6 x + 3,6)$

= $(- 0,6 x + 3,6) \cdot e^{- 0,2 x}$