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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{3 x - 3} + 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{3 x - 3} + 2 \cdot \sin (x)$

= $- x^{- 2} + 3 e^{3 x - 3} + 2 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $2 x^{- 3} + 3 e^{3 x - 3} \cdot 3 + 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}} + 3 e^{3 x - 3} \cdot 3 + 2 \cdot \cos (x)$

= $\frac{2}{x^{3}} + 9 e^{3 x - 3} + 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 5} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 8)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 6)$

= $(- 4 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x + 1,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 3,6)$

= $(- 0,4 x + 3,6) \cdot e^{- 0,2 x}$