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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{1}{3} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{1}{3} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{5}{21} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{3 x^{3}} + e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{3 x^{3}} + e^{x + 4}$

= $\frac{8}{3} x^{- 3} + e^{x + 4}$

=> f'(x) = $- 8 x^{- 4} + e^{x + 4} \cdot 1$

$f'(x) =$ $- \frac{8}{x^{4}} + e^{x + 4} \cdot 1$

= $- \frac{8}{x^{4}} + e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x + 3) \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x + 3) \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 5 + 0) \cdot e^{2 x + 2} + (- 5 x + 3) \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 5 e^{2 x + 2} + (- 5 x + 3) \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $- 5 e^{2 x + 2} + 2 (- 5 x + 3) \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 10 x + 6 - 5)$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 10 x + 1)$

= $(- 10 x + 1) \cdot e^{2 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 4) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x^{2} + 4) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot \sin (- 3 x) + (3 x^{2} + 4) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $6 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x^{2} + 4) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 129,13 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x - 3,2 + 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 0,8)$

= $(- 0,8 x + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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