Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (- 4 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (- 4 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 4 x^{2} - 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 8 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 4 x^{2} - 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 8 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 4 x^{2} - 3) - 8 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{2} + 6 - 8 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{2} - 8 x + 6)$

= $(8 x^{2} - 8 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} + 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x - 6,3)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x - 9,3)$

= $(2,1 x - 9,3) \cdot e^{- 0,7 x}$