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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{4}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 x^{3} + 3 e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 x^{3} + 3 e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $27 x^{2} + 3 e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $27 x^{2} + 9 e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 1) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 1) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{x} + (4 x + 1) \cdot e^{x}$

= $4 e^{x} + (4 x + 1) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 + 4 x + 1)$

= $e^{x} \cdot (4 x + 5)$

= $(4 x + 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 1} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $12 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $- 12 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 6$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 6$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x - 3,2) - 6$

= $- 6 + (0,8 x - 2 - 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 6 + (0,8 x - 5,2) \cdot e^{- 0,4 x}$