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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (- 5 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (- 5 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{2} + 2 x) + e^{2 x} \cdot (- 10 x + 2)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{2} + 2 x) + e^{2 x} (- 10 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} + 4 x - 10 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} - 6 x + 2)$

= $(- 10 x^{2} - 6 x + 2) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 10 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 10)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${0,95}^{68} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,031 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 14,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x + 10,4)$

= $(3,6 x + 10,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

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