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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 + e 3x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 + e 3x

f'(x)= 0 + e 3x · 3

= 3 e 3x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 5 x 5 +3 x 2 ) · e -4x +4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 5 x 5 +3 x 2 ) · e -4x +4

f'(x)= ( 25 x 4 +6x ) · e -4x +4 + ( 5 x 5 +3 x 2 ) · e -4x +4 · ( -4 )

= ( 25 x 4 +6x ) · e -4x +4 + ( 5 x 5 +3 x 2 ) · ( -4 e -4x +4 )

= ( 25 x 4 +6x ) · e -4x +4 -4 ( 5 x 5 +3 x 2 ) · e -4x +4

= e -4x +4 · ( 25 x 4 +6x + ( -20 x 5 -12 x 2 ) )

= e -4x +4 · ( -20 x 5 +25 x 4 -12 x 2 +6x )

= ( -20 x 5 +25 x 4 -12 x 2 +6x ) · e -4x +4

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 4 x 2 +2x ) · e -x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 4 x 2 +2x ) · e -x

f'(x)= ( 8x +2 ) · e -x + ( 4 x 2 +2x ) · e -x · ( -1 )

= ( 8x +2 ) · e -x + ( 4 x 2 +2x ) · ( - e -x )

= ( 8x +2 ) · e -x - ( 4 x 2 +2x ) · e -x

= e -x · ( 8x +2 + ( -4 x 2 -2x ) )

= e -x · ( -4 x 2 +6x +2 )

= ( -4 x 2 +6x +2 ) · e -x

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 8 ln( 5x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 8 ln( 5x )

f'(x)= 8 5x · 5

= 8 x

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 3 · e 5x -3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 3 · e 5x -3

f'(x)= 3 x 2 · e 5x -3 + x 3 · e 5x -3 · 5

= 3 x 2 · e 5x -3 + x 3 · 5 e 5x -3

= 3 x 2 · e 5x -3 +5 x 3 · e 5x -3

= e 5x -3 · ( 3 x 2 +5 x 3 )

= e 5x -3 · ( 5 x 3 +3 x 2 )

= ( 5 x 3 +3 x 2 ) · e 5x -3

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= x · e x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = x · e x

f'(x) = 1 · e x + x · e x = e x · ( x +1 )

f''(x) = e x · ( x +1 ) + e x · ( 1 +0 ) = e x · ( x +2 )

f'''(x) = e x · ( x +2 ) + e x · ( 1 +0 ) = e x · ( x +3 )

f(4)(x) = e x · ( x +3 ) + e x · ( 1 +0 ) = e x · ( x +4 )

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f(82)(x) = e x · ( x +82 )

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - ( x +5 ) · e -0,4x +5x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - ( x +5 ) · e -0,4x +5x

f'(x)= - ( 1 +0 ) · e -0,4x - ( x +5 ) · e -0,4x · ( -0,4 ) +5

= - e -0,4x - ( x +5 ) · ( -0,4 e -0,4x ) +5

= - e -0,4x +0,4 ( x +5 ) · e -0,4x +5

= e -0,4x · ( 0,4x +2 -1 ) +5

= 5 + ( 0,4x +2 -1 ) · e -0,4x

= 5 + ( 0,4x +1 ) · e -0,4x