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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 4 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- 4 e^{- 3 x + 3} + (- 4 x + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $- 4 e^{- 3 x + 3} - 3 (- 4 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 4 + 12 x - 3)$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (12 x - 7)$

= $(12 x - 7) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} - 3} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} - 3} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 1)$

= $(6 x + 1) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 9$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 9$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 4,8) + 9$

= $9 + (- 1,2 x + 2 + 4,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $9 + (- 1,2 x + 6,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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