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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x + 3} + x^{3} \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 3} + x^{3} \cdot (- e^{- x + 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 3} - x^{3} \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 3} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- x - 5)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- x - 5)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- x - 5) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- x - 5) \cdot (- 1 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- x - 5) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- x - 5) \cdot (- 1 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- x - 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- x - 5) \cdot (- 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- x - 5)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \sin (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 7$

= $- 4 e^{- 0,1 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,1 x} + 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 4 + 0,4 x + 0,8) - 7$

= $- 7 + (0,4 x - 4 + 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 7 + (0,4 x - 3,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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