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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{15}{28} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 3} + 2 x^{3} + \frac{1}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 3} + 2 x^{3} + \frac{1}{2} \sqrt{x}$

= $- 2 e^{- 2 x - 3} + 2 x^{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + 6 x^{2} + \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + 6 x^{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}$

= $4 e^{- 2 x - 3} + 6 x^{2} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (5 x^{5} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (5 x^{5} + x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (5 x^{5} + x^{2}) + e^{2 x} \cdot (25 x^{4} + 2 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (5 x^{5} + x^{2}) + e^{2 x} \cdot (25 x^{4} + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} + 2 x^{2} + (25 x^{4} + 2 x))$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{5} + 25 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x)$

= $(10 x^{5} + 25 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 5} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 9 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x - 9)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x - 6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x - 10)$

= $(1,2 x - 10) \cdot e^{- 0,3 x}$

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