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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (x - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (x - 3) + e^{- 3 x} \cdot (1 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (x - 3) + e^{- 3 x} \cdot (1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (x - 3) + e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 10)$

= $(- 3 x + 10) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x - 6) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x - 6) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x - 6) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 6$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 6$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 5,6) - 6$

= $- 6 + (- 0,8 x + 2 - 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 6 + (- 0,8 x - 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$