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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} - x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} - 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 16)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 19)$

= $(6 x + 19) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 8$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 8,4) - 8$

= $- 8 + (1,2 x - 3 + 8,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 8 + (1,2 x + 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$