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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1} + x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} - 2} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 0,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 4,8)$

= $(- 0,4 x + 4,8) \cdot e^{- 0,1 x}$