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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} + (4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(12 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} + (4 x^{3} + x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(12 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{3} + x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{3} + 2 x + 12 x^{2} + 1)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{3} + 12 x^{2} + 2 x + 1)$

= $(8 x^{3} + 12 x^{2} + 2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (2 x) + x^{5} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot \sin (2 x) + x^{5} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (2 x) + 2 x^{5} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{50} \cdot e^{- 0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 12,6)$

= $(- 2,4 x + 12,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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