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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{7}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (5 x^{2} + 2) + e^{3 x} \cdot (10 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 2) + e^{3 x} \cdot (10 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 2) + 10 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 6 + 10 x)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 10 x + 6)$

= $(15 x^{2} + 10 x + 6) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x + 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $\cos (x^{2}) + (x + 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $\cos (x^{2}) - 2 (x + 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 9,6) - 8$

= $- 8 + (1,6 x - 2 + 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (1,6 x + 7,6) \cdot e^{- 0,8 x}$