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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 3 e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} + 3 e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $8 x + 3 e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $8 x + 6 e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(e^{- 3 x} + 1)}^{3} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $12 {(e^{- 3 x} + 1)}^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 36 {(e^{- 3 x} + 1)}^{3} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{44} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 6$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 6$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 3,6) + 6$

= $6 + (- 3,6 x + 4 - 3,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $6 + (- 3,6 x + 0,4) \cdot e^{- 0,9 x}$