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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $(- 16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1} + (- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $(- 16 x^{3} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 (- 4 x^{4} + x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (16 x^{4} - 4 x^{2} + (- 16 x^{3} + 2 x))$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (16 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x)$

= $(16 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $e^{- x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x + 4) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x + 4) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x + 4) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{80} \cdot (- e^{- 1,05 x})$

≈ $- 49,561 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x + 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x - 18) - 9$

= $- 9 + (- 3,6 x + 4 - 18) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (- 3,6 x - 14) \cdot e^{- 0,9 x}$

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