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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{12} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} (5 x^{5} - 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} (5 x^{5} - 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (5 x^{5} - 4 x^{3}) + e^{- x} \cdot (25 x^{4} - 12 x^{2})$

= $- e^{- x} (5 x^{5} - 4 x^{3}) + e^{- x} (25 x^{4} - 12 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{5} + 4 x^{3} + (25 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{5} + 25 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 5 x^{5} + 25 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{4} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (x^{4} - x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{4} - x) + e^{2 x} \cdot (4 x^{3} - 1)$

= $2 \cdot e^{2 x} (x^{4} - x) + e^{2 x} (4 x^{3} - 1)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} - 2 x + 4 x^{3} - 1)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 1)$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 2 x} \cdot (9 x^{2} - 2)$

= $\frac{9 x^{2} - 2}{3 x^{3} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- x - 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (- x - 5) \cdot (- 1)$

= $2 \cdot \cos (- x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{63} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,004 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x - 1,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 4,5)$

= $(0,3 x - 4,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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