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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 4) \cdot e^{4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 4) \cdot e^{4 x - 3}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{4 x - 3} + (4 x + 4) \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

= $4 e^{4 x - 3} + (4 x + 4) \cdot 4 e^{4 x - 3}$

= $4 e^{4 x - 3} + 4 (4 x + 4) \cdot e^{4 x - 3}$

= $e^{4 x - 3} \cdot (4 + 16 x + 16)$

= $e^{4 x - 3} \cdot (16 x + 20)$

= $(16 x + 20) \cdot e^{4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x} + (- 2 x^{5} - 1) \cdot (- e^{- x})$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x} - (- 2 x^{5} - 1) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} + 1 - 10 x^{4})$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} + 1)$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} + 1) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 10 x}{- 5 x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{- 5 \cdot 1 \cdot (3 x - 2)}{- 5 x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{- 5 (3 x - 2)}{- 5 x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{3 x^{3} + 4}$

= $3 {(3 x^{3} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(3 x^{3} + 4)}^{- 2} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(3 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- \frac{3}{{(3 x^{3} + 4)}^{2}} \cdot (9 x^{2})$

= $- 27 \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 4)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 2$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 3,2) - 2$

= $- 2 + (1,6 x - 4 - 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 2 + (1,6 x - 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

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