Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + x^{4} \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 5} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 7,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x + 2,5)$

= $(1,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,3 x}$