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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{8}{27} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 5) \cdot e^{4 x + 2} + (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $(- 10 x + 5) \cdot e^{4 x + 2} + (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $(- 10 x + 5) \cdot e^{4 x + 2} + 4 (- 5 x^{2} + 5 x) \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 20 x^{2} + 20 x - 10 x + 5)$

= $e^{4 x + 2} \cdot (- 20 x^{2} + 10 x + 5)$

= $(- 20 x^{2} + 10 x + 5) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x} \cdot 1$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 27)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 30)$

= $(- 9 x + 30) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 7,5) + 4$

= $4 + (1,5 x - 3 - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (1,5 x - 10,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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