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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 5} - \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 5} - \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + \sin (x)$

= $4 e^{- 2 x - 5} + \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} - 2} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} - 2} x$

= $12 x e^{3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 5} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x - 3)$

= $(- 1,2 x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$