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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 5} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 5} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 5} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

= $6 e^{2 x + 5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{x^{2} + 2} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{x^{2} + 2} x$

= $- 2 x e^{x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 7)$

= $(- 6 x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 1,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 0,2)$

= $(- 0,6 x + 0,2) \cdot e^{- 0,3 x}$