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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x + 2)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (2 x + 2) + e^{2 x} \cdot (2 + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (2 x + 2) + e^{2 x} \cdot (2)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (2 x + 2) + 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 6)$

= $(4 x + 6) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x - 5} \cdot 1$

= $- 3 e^{x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2 x} \cdot (- 8 x - 2)$

= $\frac{- 8 x - 2}{- 4 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- 3 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (- 3 x - 1)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (- 3 x - 1) + x^{2} \cdot \cos (- 3 x - 1) \cdot (- 3 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x - 1) + x^{2} \cdot \cos (- 3 x - 1) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x - 1) + x^{2} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x - 1))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x - 1) - 3 x^{2} \cdot \cos (- 3 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{55} \cdot (- 2 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,006 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x + 8,4)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 12,4)$

= $(- 1,2 x + 12,4) \cdot e^{- 0,3 x}$