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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 3) \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x - 4} + (3 x + 3) \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $3 e^{3 x - 4} + (3 x + 3) \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $3 e^{3 x - 4} + 3 (3 x + 3) \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 + 9 x + 9)$

= $e^{3 x - 4} \cdot (9 x + 12)$

= $(9 x + 12) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{4} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{4} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{4} + 5 x) + e^{x} \cdot (4 x^{3} + 5)$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 5 x + 4 x^{3} + 5)$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + 5 x + 5)$

= $(x^{4} + 4 x^{3} + 5 x + 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 18)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 20)$

= $(- 4 x + 20) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 1,4) + 5$

= $5 + (0,7 x - 1 + 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $5 + (0,7 x + 0,4) \cdot e^{- 0,7 x}$