Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 4} - \sin (x) + 5 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 4} - \sin (x) + 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 4} \cdot 1 - \cos (x) + 20 x^{3}$

= $3 e^{x + 4} - \cos (x) + 20 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 2} + x^{4} \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 2} + x^{4} \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 2 x} \cdot (- 6 x + 2)$

= $\frac{- 6 x + 2}{- 3 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 27 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 27)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,3153 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,431 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${(- 1,05)}^{74} \cdot (- 2 e^{- 1,05 x})$

≈ $- 73,967 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 0,6) - 3$

= $- 3 + (- 0,2 x + 2 - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (- 0,2 x + 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten