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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 12 x^{2} + (8 x^{3} + 8 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x)$

= $(- 6 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{3} - 2}$

= $- {(- 2 x^{3} - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x^{3} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} - 2}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{3} - 2}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{\sqrt{- 2 x^{3} - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 1,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x - 0,2)$

= $(1,8 x - 0,2) \cdot e^{- 0,9 x}$

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