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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- x + 1} + (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- x + 1} + (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot (- e^{- x + 1})$

= $(- 10 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- x + 1} - (- 2 x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (2 x^{5} - 4 x^{2} + (- 10 x^{4} + 8 x))$

= $e^{- x + 1} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} - 4 x^{2} + 8 x)$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} - 4 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 3} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 3} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 3) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) + (2 x - 3) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (2 x - 3) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 7) - 5$

= $- 5 + (1,4 x - 2 + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (1,4 x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$