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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 5} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 5} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + x^{3} \cdot e^{5 x + 5} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x + 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x + 5} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x + 5}$

= $e^{5 x + 5} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x - 2)$

= $(- 0,8 x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$