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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x + 2} + (- 4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $(- 16 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x + 2} + (- 4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $(- 16 x^{3} + 4 x) \cdot e^{2 x + 2} + 2 (- 4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 8 x^{4} + 4 x^{2} + (- 16 x^{3} + 4 x))$

= $e^{2 x + 2} \cdot (- 8 x^{4} - 16 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x)$

= $(- 8 x^{4} - 16 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 9 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 9)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 3,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x - 0,6)$

= $(- 1,8 x - 0,6) \cdot e^{- 0,6 x}$