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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 1} + x^{2} \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 1} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 1})$

= $2 x \cdot e^{- x - 1} - x^{2} \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x - 5} + x^{3} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x - 5} + x^{3} \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 23)$

= $(- 3 x - 23) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,9}^{48} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,006 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x - 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x - 8)$

= $(0,8 x - 8) \cdot e^{- 0,2 x}$