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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} - 5} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} - 5} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 3} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 3} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x - 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x - 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x - 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x - 15)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x - 13)$

= $(6 x - 13) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 1$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 6) - 1$

= $- 1 + (1,5 x - 5 + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 1 + (1,5 x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$