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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $\frac{18}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 1) \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 1) \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} + 0) \cdot e^{- x + 4} + (4 x^{5} - 1) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $20 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + (4 x^{5} - 1) \cdot (- e^{- x + 4})$

= $20 x^{4} \cdot e^{- x + 4} - (4 x^{5} - 1) \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- 4 x^{5} + 1 + 20 x^{4})$

= $e^{- x + 4} \cdot (- 4 x^{5} + 20 x^{4} + 1)$

= $(- 4 x^{5} + 20 x^{4} + 1) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{2} + e^{- 3 x} \cdot 2 x$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 8)$

= $(- 3 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 14,7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x + 11,7)$

= $(2,1 x + 11,7) \cdot e^{- 0,7 x}$