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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{1}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 1} + x^{2} \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 1} + x^{2} \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (x^{2}) + x^{4} \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{2}) + x^{4} \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{2}) - 2 x^{4} \sin (x^{2}) x$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x^{2}) - 2 x^{5} \cdot \sin (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 1,5) + 3$

= $3 + (1,5 x - 3 - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $3 + (1,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$