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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + x^{4} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{x + 4} + (- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $(- 12 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{x + 4} + (- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{x + 4}$

= $e^{x + 4} \cdot (- 3 x^{4} + 2 x^{3} + (- 12 x^{3} + 6 x^{2}))$

= $e^{x + 4} \cdot (- 3 x^{4} - 10 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(- 3 x^{4} - 10 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- 3 x - 2}$

= $2 {(- 3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- 3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- 3 x - 2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 3 x - 2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{\sqrt{- 3 x - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $819,401 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x + 7,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x + 12,5)$

= $(- 2,5 x + 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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