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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(4 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 1} + (2 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(4 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 1} + (2 x^{2} - 2 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(4 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (2 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x + 4 x - 2)$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 6 x^{2} + 10 x - 2)$

= $(- 6 x^{2} + 10 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} + 3} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} + 3} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{2 x + 4}$

= $3 {(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(2 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x + 4}} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x + 4}} \cdot (2)$

= $\frac{3}{\sqrt{2 x + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${1,05}^{69} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $28,978 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 4,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 5,2)$

= $(0,6 x - 5,2) \cdot e^{- 0,6 x}$