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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{1}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{1}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x - 5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x - 5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{x^{3}}$

= $e^{3 x - 5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + x^{- 3}$

=> f'(x) = $e^{3 x - 5} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 3 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x - 5} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{4}}$

= $3 e^{3 x - 5} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{3}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{- x} - 3)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{- x} - 3)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (e^{- x} - 3) \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $4 (e^{- x} - 3) \cdot (- e^{- x})$

= $- 4 (e^{- x} - 3) \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 0,9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x + 0,1)$

= $(- 0,9 x + 0,1) \cdot e^{- 0,9 x}$