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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{1}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{1}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{x}$

= $\frac{1}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} + \frac{1}{2} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} + \frac{1}{2} x^{4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) + 2 x^{3}$

= $6 e^{- 2 x + 1} + 2 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x - 9) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x - 9) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x - 9) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{64} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $445,792 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 9$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 9$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 2,4) - 9$

= $- 9 + (- 1,2 x + 3 + 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 9 + (- 1,2 x + 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$