Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} (x^{4} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} (x^{4} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (x^{4} - 4 x^{2}) + e^{2 x} \cdot (4 x^{3} - 8 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} (x^{4} - 4 x^{2}) + e^{2 x} (4 x^{3} - 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} - 8 x^{2} + (4 x^{3} - 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x)$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} - 4} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} - 4} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 4} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 4} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(3 x^{2} + 5)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(3 x^{2} + 5)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (3 x^{2} + 5) \cdot (6 x + 0)$

= $- 4 (3 x^{2} + 5) \cdot (6 x)$

= $- 24 (3 x^{2} + 5) x$

= $- 24 x (3 x^{2} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x + 1,4) + 6$

= $6 + (0,2 x - 2 + 1,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (0,2 x - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$