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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 3 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{12}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x) + e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x) + e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $- \sin (x) + e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $- \sin (x) - 2 e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x} + (- 3 x + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 3 e^{- 3 x} - 3 (- 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 + 9 x - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x - 6)$

= $(9 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x - 18)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x - 17)$

= $(3 x - 17) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 1$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 21) - 1$

= $- 1 + (3 x - 5 + 21) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 1 + (3 x + 16) \cdot e^{- 0,6 x}$