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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{9} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{2}} - 3 e^{3 x - 5} + 3 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{2}} - 3 e^{3 x - 5} + 3 \sqrt{x}$

= $5 x^{- 2} - 3 e^{3 x - 5} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 10 x^{- 3} - 3 e^{3 x - 5} \cdot 3 + \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{10}{x^{3}} - 3 e^{3 x - 5} \cdot 3 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

= $- \frac{10}{x^{3}} - 9 e^{3 x - 5} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$

= $- e^{- x} \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x} \cdot (- x + 1) - e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 1 + x - 1)$

= $e^{- x} \cdot (x - 2)$

= $(x - 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $8 {(e^{- 2 x} + 5)}^{3} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $8 {(e^{- 2 x} + 5)}^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 16 {(e^{- 2 x} + 5)}^{3} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,1 e^{1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,205 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,3153 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $2,431 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${1,05}^{79} \cdot 2 e^{1,05 x}$

≈ $94,403 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 12)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 x + 7)$

= $(3 x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten