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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 4} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x + 4} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{- 2 x + 5}$

= $- 2 {(- 2 x + 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(- 2 x + 5)}^{- 2} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{2}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{2}{{(- 2 x + 5)}^{2}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{{(- 2 x + 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $- e^{- 0,2 x} - (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $- e^{- 0,2 x} + 0,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 1 + 0,2 x + 0,4) + 6$

= $6 + (0,2 x - 1 + 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $6 + (0,2 x - 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$