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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{4}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} + 5} x$

= $6 x e^{- x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 1} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} - 1} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{3}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{3}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{3})}{\sqrt{x}} + 3 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 1,1)}^{57} \cdot (- e^{- 1,1 x})$

≈ $228,762 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 0,4) + 3$

= $3 + (- 0,2 x + 2 - 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (- 0,2 x + 1,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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