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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x + 1} + x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 1} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(\cos (x) + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(\cos (x) + 1)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $6 {(\cos (x) + 1)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $- 6 {(\cos (x) + 1)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 7)$

= $(x - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$