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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}} - \frac{7}{\sqrt{x}} + e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}} - \frac{7}{\sqrt{x}} + e^{- 2 x - 1}$

= $2 x^{- 4} - 7 x^{- \frac{1}{2}} + e^{- 2 x - 1}$

=> f'(x) = $- 8 x^{- 5} + \frac{7}{2} x^{- \frac{3}{2}} + e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{8}{x^{5}} + \frac{7}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} + e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- \frac{8}{x^{5}} + \frac{7}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} - 2 e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- x - 2) + e^{3 x} \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- x - 2) + e^{3 x} \cdot (- 1)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- x - 2) - e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 1 - 3 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x - 7)$

= $(- 3 x - 7) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 24 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x - 24)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x - 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 12)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x + 8)$

= $(2,4 x + 8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten