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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{5}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{3} - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + (x^{3} - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{3} - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 8 + 3 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 8)$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 8) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x - 2)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x - 2) + e^{3 x} \cdot (3 + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (3 x - 2) + e^{3 x} \cdot (3)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (3 x - 2) + 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 6)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 3)$

= $(9 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{2}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{2}) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{2}) + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (x^{2}) + 2 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x - 7,6)$

= $(- 1,6 x - 7,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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