Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{16}{21} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{- 2 x + 4} + (- 3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- 6 x \cdot e^{- 2 x + 4} + (- 3 x^{2} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $- 6 x \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 (- 3 x^{2} - 1) \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (6 x^{2} + 2 - 6 x)$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (6 x^{2} - 6 x + 2)$

= $(6 x^{2} - 6 x + 2) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{5} + e^{- 3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 3 x} x^{4}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 8) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 8) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 8) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 24)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 26)$

= $(6 x + 26) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x - 7) - 8$

= $- 8 + (1,4 x - 2 - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 8 + (1,4 x - 9) \cdot e^{- 0,7 x}$