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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 1} + x^{4} \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 1} + x^{4} \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 20 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{4} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 20 x^{3} + 4) \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 8 x - 20 x^{3} + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{4} - 20 x^{3} + 8 x + 4)$

= $(- 10 x^{4} - 20 x^{3} + 8 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} + 4) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + (x^{2} + 4) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 2 x) + 2 (x^{2} + 4) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x + 1,8)$

= $(2,4 x + 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$