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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{8}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{3 x - 4} + (- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $- 10 x \cdot e^{3 x - 4} + (- 5 x^{2} - 3) \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $- 10 x \cdot e^{3 x - 4} + 3 (- 5 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (- 15 x^{2} - 9 - 10 x)$

= $e^{3 x - 4} \cdot (- 15 x^{2} - 10 x - 9)$

= $(- 15 x^{2} - 10 x - 9) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x} + (4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(16 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x} + (4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(16 x^{3} + 4 x) \cdot e^{3 x} + 3 (4 x^{4} + 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{4} + 6 x^{2} + (16 x^{3} + 4 x))$

= $e^{3 x} \cdot (12 x^{4} + 16 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x)$

= $(12 x^{4} + 16 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 3} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 7)$

= $(0,5 x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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