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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $5 \cdot \cos (x) - 9 e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 4 x} \cdot (- 12 x^{2} + 4)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 4}{- 4 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 1)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- x - 1) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- x - 1) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- \cos (- x - 1))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 5$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 5$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 0,5) - 5$

= $- 5 + (0,5 x - 1 - 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 5 + (0,5 x - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$