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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (4 x - 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 3 x) + e^{2 x} \cdot (4 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 6 x + 4 x - 3)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 2 x - 3)$

= $(4 x^{2} - 2 x - 3) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 5} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + (2 x + 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (2 x + 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${0,95}^{80} \cdot (- 2 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,033 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 2) + 7$

= $7 + (x - 2 + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $7 + x \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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