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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{11}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{11}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{22}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{2} - 3) + e^{x} \cdot (2 x + 0)$

= $e^{x} \cdot (x^{2} - 3) + e^{x} \cdot (2 x)$

= $e^{x} \cdot (x^{2} - 3) + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x - 3)$

= $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} + 3} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 2 x} \cdot (- 4 x + 2)$

= $\frac{- 4 x + 2}{- 2 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (- 2 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (- 2 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- 2 x^{2} + 5) \cdot (- 4 x + 0)$

= $- 2 \cdot \sin (- 2 x^{2} + 5) \cdot (- 4 x)$

= $8 \sin (- 2 x^{2} + 5) x$

= $8 x \cdot \sin (- 2 x^{2} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{62} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $20,594 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x + 10)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x + 5)$

= $(2,5 x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$