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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{3} - e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 15 x^{2} - e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 15 x^{2} + 3 e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 1} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} - 1} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 12)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 9)$

= $(9 x - 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 16) - 8$

= $- 8 + (3,2 x - 4 - 16) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (3,2 x - 20) \cdot e^{- 0,8 x}$