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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{3} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 9 x^{2} + 3) \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{3} + 3 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} + 6 x - 9 x^{2} + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 3)$

= $(- 6 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 3) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{- 2 x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 2 \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 3$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 3$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 1,2) - 3$

= $- 3 + (0,4 x - 1 - 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 3 + (0,4 x - 2,2) \cdot e^{- 0,4 x}$