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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{7}{9} e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{7}{9} e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot e^{5 x - 1} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x - 1} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x - 1}$

= $e^{5 x - 1} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x - 2) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x - 2) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x - 2) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 9)$

= $(- x + 9) \cdot e^{- 0,2 x}$