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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{6}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 3) \cdot e^{2 x} + (4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(8 x + 3) \cdot e^{2 x} + (4 x^{2} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(8 x + 3) \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x + 3 + (8 x^{2} + 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{2} + 14 x + 3)$

= $(8 x^{2} + 14 x + 3) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 1} x$

= $8 x e^{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 4} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 4} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 5$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x - 3,2 - 4) + 5$

= $5 + (0,8 x - 3,2 - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $5 + (0,8 x - 7,2) \cdot e^{- 0,2 x}$