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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $\frac{21}{5} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + e^{- x + 4} - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{4} + e^{- x + 4} - \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 20 x^{3} + e^{- x + 4} \cdot (- 1) + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

= $- 20 x^{3} - e^{- x + 4} + \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 4 x} \cdot (12 x^{2} - 4)$

= $\frac{12 x^{2} - 4}{4 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 5) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x^{2} + 5) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $6 x \cdot \sin (x^{3}) + (3 x^{2} + 5) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $6 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x^{2} + 5) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 1,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,2 x + 0,8)$

= $(- 0,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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