Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} (x^{4} + 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} (x^{4} + 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (x^{4} + 3 x^{3}) + e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 9 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (x^{4} + 3 x^{3}) + e^{3 x} (4 x^{3} + 9 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 9 x^{2} + (3 x^{4} + 9 x^{3}))$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 13 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(3 x^{4} + 13 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} + 5} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 2 x - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 2 x - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (- 2 x - 2) \cdot (- 2 + 0)$

= $6 (- 2 x - 2) \cdot (- 2)$

= $- 12 (- 2 x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 79-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 79 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{79}$

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = ${0,95}^{79} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,017 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 6$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 6$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x + 0,6 + 1) - 6$

= $- 6 + (- 0,6 x + 0,6 + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 6 + (- 0,6 x + 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$