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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 3 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 3 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{27}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 2} + (x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $(5 x^{4} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 2} + (x^{5} - 4 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $(5 x^{4} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 (x^{5} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{5} + 12 x^{2} + (5 x^{4} - 8 x))$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x)$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 12)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 10)$

= $(- 4 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${1,1}^{55} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $189,059 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x - 2,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,8 x - 4,4)$

= $(0,8 x - 4,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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