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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 2} - \frac{5}{4} x^{2} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 2} - \frac{5}{4} x^{2} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 2} \cdot 2 - \frac{5}{2} x - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

= $6 e^{2 x + 2} - \frac{5}{2} x - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} + 2} x$

= $6 x e^{- x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 2 x} \cdot (- 2 x - 2)$

= $\frac{- 2 x - 2}{- x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{3 x - 2}$

= $- 3 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}} \cdot (3)$

= $- \frac{9}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,9 x}$

f'(x) = $- e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${0,9}^{56} \cdot (- e^{0,9 x})$

≈ $- 0,003 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 0,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x - 1,4)$

= $(0,4 x - 1,4) \cdot e^{- 0,4 x}$