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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x - 4} + \frac{7}{4} \sqrt{x} + 5 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x - 4} + \frac{7}{4} \sqrt{x} + 5 \cdot \cos (x)$

= $2 e^{3 x - 4} + \frac{7}{4} x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $2 e^{3 x - 4} \cdot 3 + \frac{7}{8} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x - 4} \cdot 3 + \frac{7}{8 \sqrt{x}} - 5 \cdot \sin (x)$

= $6 e^{3 x - 4} + \frac{7}{8 \sqrt{x}} - 5 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 3} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 3} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (2 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 (x^{2} - 2) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x + 5)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot x$

= $x \cdot e^{- 0,2 x}$