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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x + x^{2})$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 1} + x^{4} \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 1} + x^{4} \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (4 x^{3} + x^{4})$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 1} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 1} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x^{2} + 2}$

= ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot (2 x)$

= $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 1,1)}^{58} \cdot (- 5 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 1258,189 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x - 4,8 + 4) - 2$

= $- 2 + (- 2,4 x - 4,8 + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (- 2,4 x - 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$