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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} + 2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2)$

= $\frac{- 3 x^{2} + 2}{- x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 12)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 11)$

= $(2 x - 11) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 2$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 2$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 4,2) - 2$

= $- 2 + (- 1,4 x + 2 + 4,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 2 + (- 1,4 x + 6,2) \cdot e^{- 0,7 x}$

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