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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{x}$

= $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 5) \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 5) \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 0) \cdot e^{5 x - 4} + (4 x^{3} - 5) \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $12 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + (4 x^{3} - 5) \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $12 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + 5 (4 x^{3} - 5) \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (20 x^{3} - 25 + 12 x^{2})$

= $e^{5 x - 4} \cdot (20 x^{3} + 12 x^{2} - 25)$

= $(20 x^{3} + 12 x^{2} - 25) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(8 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{4} + x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(8 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{4} + x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} - 3 x^{3} + (8 x^{3} + 3 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} + 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 3 x + 4} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 3 x + 4} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x + 4}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x + 4}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{37} \cdot (- 4 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,01 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $5 e^{- 0,8 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $5 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (5 - 4 x + 28)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 x + 33)$

= $(- 4 x + 33) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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