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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{x}$

= $\frac{4}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{4 x^{2}} - 3 e^{- 2 x + 5} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{4 x^{2}} - 3 e^{- 2 x + 5} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$

= $\frac{9}{4} x^{- 2} - 3 e^{- 2 x + 5} + \frac{9}{2} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- \frac{9}{2} x^{- 3} - 3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{2 x^{3}} - 3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

= $- \frac{9}{2 x^{3}} + 6 e^{- 2 x + 5} + \frac{9}{2} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 3,6) + 4$

= $4 + (1,8 x - 3 - 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (1,8 x - 6,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

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