Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $4 e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 6 x - 3) \cdot e^{- 3 x - 3} + (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $(- 6 x - 3) \cdot e^{- 3 x - 3} + (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $(- 6 x - 3) \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (9 x^{2} + 9 x - 6 x - 3)$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (9 x^{2} + 3 x - 3)$

= $(9 x^{2} + 3 x - 3) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(20 x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x} + (4 x^{5} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(20 x^{4} - 5) \cdot e^{- 2 x} - 2 (4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 10 x + 20 x^{4} - 5)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 10 x - 5)$

= $(- 8 x^{5} + 20 x^{4} + 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 8)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 10)$

= $(- 4 x + 10) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 0,7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 0,3)$

= $(0,7 x - 0,3) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten