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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{4} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{4} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{4} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 - 8 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} - 8 x^{3} + 2)$

= $(- 4 x^{4} - 8 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 3 x + 2}$

= $- {(- 3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 3 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x + 2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 3 x + 2}} \cdot (- 3)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,05)}^{60} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $18,679 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 7$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 7$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x - 8) + 7$

= $7 + (2 x - 5 - 8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $7 + (2 x - 13) \cdot e^{- 0,4 x}$

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