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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x + 3} + x^{2} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x + 3} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{3 x + 3} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $6 e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 3} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 3} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2)$

= $- 4 \cdot \cos (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,95 x}$

f'(x) = $- e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${0,95}^{61} \cdot (- e^{0,95 x})$

≈ $- 0,044 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x + 4,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x + 8,8)$

= $(- 2,4 x + 8,8) \cdot e^{- 0,6 x}$