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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 2) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 2) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{x} + (- 3 x + 2) \cdot e^{x}$

= $- 3 e^{x} + (- 3 x + 2) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 3 x + 2 - 3)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x - 1)$

= $(- 3 x - 1) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 3} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) + x^{5} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) + x^{5} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 2 x) - 2 x^{5} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{30} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,008 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 1,5 - 5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 6,5)$

= $(0,5 x - 6,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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