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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $- \frac{10}{3} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $(- 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $(- 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x - 3} + 2 (- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 2 x^{3} + 6 x^{2} + (- 3 x^{2} + 6 x))$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x)$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{2} + e^{2 x} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 15)$

= $(- 9 x + 15) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${1,05}^{71} \cdot 3 e^{1,05 x}$

≈ $95,843 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 6,8)$

= $(1,6 x - 6,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

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