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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{5}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x - 1} + x^{5} \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x - 1} + x^{5} \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $- 8 x \cdot e^{2 x} + (- 4 x^{2} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $- 8 x \cdot e^{2 x} + 2 (- 4 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} + 2 - 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{2} - 8 x + 2)$

= $(- 8 x^{2} - 8 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x - 3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{4 x - 3} + \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 3} \cdot 4$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x - 3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 e^{4 x - 3}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x - 3}}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 3)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (x - 5)$

= $(x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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