Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{35}{64} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5} - 2 e^{2 x + 5} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5} - 2 e^{2 x + 5} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $\frac{15}{2} x^{4} - 2 e^{2 x + 5} \cdot 2 - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

= $\frac{15}{2} x^{4} - 4 e^{2 x + 5} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 5} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 4 x} \cdot (- 6 x - 4)$

= $\frac{- 6 x - 4}{- 3 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 21)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 22)$

= $(3 x + 22) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,7 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $1,7 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,445 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 1,445 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,2283 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,2283 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,044 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{40} \cdot (- 2 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 8$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 8$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 0,9) - 8$

= $- 8 + (- 0,9 x + 1 - 0,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 8 + (- 0,9 x + 0,1) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten