Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{5} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{5} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{18}{35} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 3} - 5 \cdot \sin (x) + 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 3} - 5 \cdot \sin (x) + 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 3} \cdot 2 - 5 \cdot \cos (x) + 9 x^{2}$

= $- 6 e^{2 x + 3} - 5 \cdot \cos (x) + 9 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{x^{2} + 5} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{x^{2} + 5} x$

= $2 x e^{x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \frac{x^{2}}{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(x^{2} + 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(x^{2} + 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 5 {(x^{2} + 1)}^{4} \cdot (2 x + 0)$

= $- 5 {(x^{2} + 1)}^{4} \cdot (2 x)$

= $- 10 {(x^{2} + 1)}^{4} x$

= $- 10 x {(x^{2} + 1)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 1,6) + 8$

= $8 + (- 1,6 x + 2 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $8 + (- 1,6 x + 3,6) \cdot e^{- 0,8 x}$