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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{4}{5} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{4}{5} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{5} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 3} + x^{5} \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 3} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 3} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} - 1) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{4} - x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 20 x^{3} - 1) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{4} - x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 20 x^{3} - 1) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{4} - x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4} + 2 x - 20 x^{3} - 1)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{4} - 20 x^{3} + 2 x - 1)$

= $(10 x^{4} - 20 x^{3} + 2 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 3 x} \cdot (- 10 x + 3)$

= $\frac{- 10 x + 3}{- 5 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (3 x) + (3 x + 9) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $3 \cdot \cos (3 x) + (3 x + 9) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $3 \cdot \cos (3 x) - 3 (3 x + 9) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 9$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 0,4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x + 1,6)$

= $(- 0,4 x + 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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