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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{4} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 3 x^{4} + 5)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 3 x^{4} + 5) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{3} + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 3 x^{4} + 5) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{3})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 3 x^{4} + 5) - 12 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{4} + 10 - 12 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{4} - 12 x^{3} + 10)$

= $(- 6 x^{4} - 12 x^{3} + 10) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 3 x} \cdot (- 6 x + 3)$

= $\frac{- 6 x + 3}{- 3 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 10)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 9)$

= $(- 2 x - 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${0,85}^{37} \cdot 3 e^{0,85 x}$

≈ $0,007 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 1,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x + 0,2)$

= $(0,6 x + 0,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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