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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt[4]{x} - 2 e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt[4]{x} - 2 e^{- 2 x - 3}$

= $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{4}} - 2 e^{- 2 x - 3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{8} x^{- \frac{3}{4}} - 2 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 2 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $\frac{3}{8 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 4 e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{2 x^{2} - 5}$

= ${(2 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(2 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} - 5}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x^{2} - 5}} \cdot (4 x)$

= $2 \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,05}^{63} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $21,623 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x + 14 - 4) - 4$

= $- 4 + (2,8 x + 14 - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (2,8 x + 10) \cdot e^{- 0,7 x}$