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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 15 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{3} - 4 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 15 x^{2} - 4) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{3} + 8 x - 15 x^{2} - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x - 4)$

= $(10 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 18)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 15)$

= $(- 6 x - 15) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{53} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,004 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 5$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 5$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x - 24,5) - 5$

= $- 5 + (- 3,5 x + 5 - 24,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 5 + (- 3,5 x - 19,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

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