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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 2 x} \cdot (10 x - 2)$

= $\frac{10 x - 2}{5 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(\sin (x) + 1)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 6 {(\sin (x) + 1)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $- 6 {(\sin (x) + 1)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${0,9}^{51} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 2$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 2$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 2,4) - 2$

= $- 2 + (- 0,8 x + 2 + 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 2 + (- 0,8 x + 4,4) \cdot e^{- 0,4 x}$