Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) - 3 e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) - 3 e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - 3 e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (x) - 9 e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 8 x + 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{2} + 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 8 x + 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 4 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{2} - 6 x - 8 x + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{2} - 14 x + 3)$

= $(8 x^{2} - 14 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x - 5)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x - 5) \cdot (- 2 + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (- 2 x - 5) \cdot (- 2)$

= $6 \cdot \cos (- 2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,85}^{50} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 16,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x - 12,8)$

= $(- 2,8 x - 12,8) \cdot e^{- 0,7 x}$