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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{3}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{3}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{3} - 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{3} - 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{3} - 2) - 3 \cdot e^{- 2 x} x^{2}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} + 4 - 3 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 3 x^{2} + 4)$

= $(2 x^{3} - 3 x^{2} + 4) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{x} + (- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{x}$

= $(- 4 x^{2} - 2) \cdot e^{x} - 8 x \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{2} - 2 - 8 x)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{2} - 8 x - 2)$

= $(- 4 x^{2} - 8 x - 2) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(x^{2} + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(x^{2} + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(x^{2} + 2)}^{4} \cdot (2 x + 0)$

= $5 {(x^{2} + 2)}^{4} \cdot (2 x)$

= $10 {(x^{2} + 2)}^{4} x$

= $10 x {(x^{2} + 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x + 0,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 1,4)$

= $(- 0,4 x + 1,4) \cdot e^{- 0,4 x}$