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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 3 e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $- 2 e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x - 3}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 4 x - 3} + (2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $4 x \cdot e^{- 4 x - 3} + (2 x^{2} + 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $4 x \cdot e^{- 4 x - 3} - 4 (2 x^{2} + 1) \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 8 x^{2} - 4 + 4 x)$

= $e^{- 4 x - 3} \cdot (- 8 x^{2} + 4 x - 4)$

= $(- 8 x^{2} + 4 x - 4) \cdot e^{- 4 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 2 x^{2}} \cdot (3 x^{2} - 4 x)$

= $\frac{3 x^{2} - 4 x}{x^{3} - 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x - 4)}{x \cdot (x - 2)}$

= $\frac{3 x - 4}{x \cdot (x - 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 16)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 19)$

= $(- 6 x + 19) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 2) - 3$

= $- 3 + (- 0,4 x + 4 + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (- 0,4 x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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