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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{2}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{2}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 3} + x^{5} \cdot e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 3} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x + 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x + 3} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x + 3}$

= $e^{3 x + 3} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 10 x \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{2} + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 10 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{2} + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 2 - 10 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 10 x - 2)$

= $(10 x^{2} - 10 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 5 x} \cdot (6 x + 5)$

= $\frac{6 x + 5}{3 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(3 x + 3)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(3 x + 3)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(3 x + 3)}^{4} \cdot (3 + 0)$

= $- 10 {(3 x + 3)}^{4} \cdot (3)$

= $- 30 {(3 x + 3)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 3) + 2$

= $2 + (0,5 x - 1 + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $2 + (0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$