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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} (x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} (x - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (x - 3) + e^{- 3 x} \cdot (1 + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (x - 3) + e^{- 3 x} \cdot (1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (x - 3) + e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 10)$

= $(- 3 x + 10) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (2 x^{3} + 4 x^{2}) + e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 8 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} (2 x^{3} + 4 x^{2}) + e^{3 x} (6 x^{2} + 8 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{3} + 12 x^{2} + (6 x^{2} + 8 x))$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x)$

= $(6 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - x^{2}} \cdot (3 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x - 2)}{x \cdot (x - 1)}$

= $\frac{3 x - 2}{x \cdot (x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x - 4) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\cos (x^{3}) + (x - 4) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\cos (x^{3}) - 3 (x - 4) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x + 1) - 9$

= $- 9 + (- x + 2 + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (- x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$