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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{x + 4} + (2 x - 1) \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $2 e^{x + 4} + (2 x - 1) \cdot e^{x + 4}$

= $e^{x + 4} \cdot (2 + 2 x - 1)$

= $e^{x + 4} \cdot (2 x + 1)$

= $(2 x + 1) \cdot e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + x^{5} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{5} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{7} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${0,85}^{33} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,005 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 8) + 8$

= $8 + (2 x - 4 - 8) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $8 + (2 x - 12) \cdot e^{- 0,5 x}$

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