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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x + 2) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\cos (x^{3}) + (x + 2) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\cos (x^{3}) - 3 (x + 2) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,9}^{63} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $e^{- 0,8 x} + (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x + 1,6) - 6$

= $- 6 + (- 0,8 x + 1 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (- 0,8 x + 2,6) \cdot e^{- 0,8 x}$