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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{55}{48} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5} + (2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $(8 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5} + (2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $(8 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 4 x^{4} - 8 x^{3} + (8 x^{3} + 12 x^{2}))$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 4 x^{4} + 0 + 12 x^{2})$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 4 x^{4} + 12 x^{2})$

= $(- 4 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (x^{2})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (x^{2}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (x^{2}) + \sqrt{x} \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cos (x^{2}) x$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (x^{2})}{\sqrt{x}} + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (x^{2})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 2$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 2$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 4,8) + 2$

= $2 + (- 0,8 x + 1 - 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $2 + (- 0,8 x - 3,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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