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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 5 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 5 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 5 x^{3} + 2 x^{2}) + e^{- x} \cdot (- 15 x^{2} + 4 x)$

= $- e^{- x} (- 5 x^{3} + 2 x^{2}) + e^{- x} (- 15 x^{2} + 4 x)$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{3} - 2 x^{2} + (- 15 x^{2} + 4 x))$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{3} - 17 x^{2} + 4 x)$

= $(5 x^{3} - 17 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 (x^{2} - 4) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${0,9}^{64} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 0,4) + 4$

= $4 + (0,4 x - 1 - 0,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $4 + (0,4 x - 1,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten