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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{8} e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{8} e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{35}{24} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x - 4} + (- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x - 4} + (- x^{3} + 5 x) \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $(- 3 x^{2} + 5) \cdot e^{4 x - 4} + 4 (- x^{3} + 5 x) \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 4 x^{3} + 20 x - 3 x^{2} + 5)$

= $e^{4 x - 4} \cdot (- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 20 x + 5)$

= $(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 20 x + 5) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2 + 0)$

= $2 \cdot \cos (2 x - 5) \cdot (2)$

= $4 \cdot \cos (2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x - 2,5) - 4$

= $- 4 + (- 0,5 x + 1 - 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 + (- 0,5 x - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$