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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 3} + \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x - 3} + \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x - 3} \cdot 2 + \cos (x)$

= $- 6 e^{2 x - 3} + \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} - x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} - x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (3 x^{5} - x^{3}) + e^{3 x} \cdot (15 x^{4} - 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (3 x^{5} - x^{3}) + e^{3 x} \cdot (15 x^{4} - 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{5} - 3 x^{3} + (15 x^{4} - 3 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{5} + 15 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(9 x^{5} + 15 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 2 x} \cdot (- 4 x - 2)$

= $\frac{- 4 x - 2}{- 2 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{2 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{2 x - 2} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{2 x - 2} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{2 x - 2}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{2 x - 2}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 \sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${0,85}^{49} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 14,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x + 10,4)$

= $(2,4 x + 10,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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