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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{6} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{6} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{5}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{x^{3} - 1} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 6$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x - 3) + 6$

= $6 + (0,6 x - 3 - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $6 + (0,6 x - 6) \cdot e^{- 0,2 x}$