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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 4} + x^{2} \cdot e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 4} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 4} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 4}$

= $e^{3 x - 4} \cdot (2 x + 3 x^{2})$

= $e^{3 x - 4} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 1} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4 x} \cdot (- 15 x^{2} - 4)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 4}{- 5 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} + 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} + 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(e^{- 3 x} + 3)}^{2} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $- 6 {(e^{- 3 x} + 3)}^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $18 {(e^{- 3 x} + 3)}^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 0,2 + 1)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 1,2)$

= $(- 0,2 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$