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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{6} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{5}{6} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{5} \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 5 x^{2} + 5) + e^{- 2 x} \cdot (- 10 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 5) + e^{- 2 x} \cdot (- 10 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 5) - 10 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 10 - 10 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{2} - 10 x - 10)$

= $(10 x^{2} - 10 x - 10) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + x} \cdot (15 x^{2} + 1)$

= $\frac{15 x^{2} + 1}{5 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x + 1)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (x + 1) + x^{3} \cdot \cos (x + 1)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x + 1) + x^{3} \cdot \cos (x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,2 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 2,2 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,42 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 2,42 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,662 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,662 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 2,9282 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${1,1}^{51} \cdot (- 2 e^{1,1 x})$

≈ $- 258,26 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 1,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 2,8)$

= $(0,6 x - 2,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten