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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{1}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{1}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 4} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4}$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2}) + e^{x} \cdot (- 12 x^{3} - 10 x)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x^{2} + (- 12 x^{3} - 10 x))$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 12 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x)$

= $(- 3 x^{4} - 12 x^{3} - 5 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x - 2} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x - 2} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 4,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x + 0,8)$

= $(1,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

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