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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 4 x - 2} + (3 x - 3) \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $3 e^{- 4 x - 2} + (3 x - 3) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $3 e^{- 4 x - 2} - 4 (3 x - 3) \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (3 - 12 x + 12)$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 12 x + 15)$

= $(- 12 x + 15) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 18)$

= $(- 9 x + 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x - 10)$

= $(2,5 x - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$