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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{25}{36} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} + 5 x} \cdot (10 x + 5)$

= $\frac{10 x + 5}{5 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 3 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 3 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 3 x) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 3 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 3 x)}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 0,85)}^{38} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,002 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 5$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 22,4) + 5$

= $5 + (3,2 x - 4 - 22,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $5 + (3,2 x - 26,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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