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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{7}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} x^{2} + 3 e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{2} x^{2} + 3 e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x + 3 e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $5 x + 6 e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 1} \cdot 9 x^{2}$

= $27 \cdot e^{3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{3 x}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{3 x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 3 e^{3 x}$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 3 \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,85}^{47} \cdot e^{0,85 x}$

= 0

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 3,2) - 7$

= $- 7 + (3,2 x - 4 + 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 7 + (3,2 x - 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$