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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{3} - 5 x) + e^{x} \cdot (12 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} - 5 x + 12 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} + 12 x^{2} - 5 x - 5)$

= $(4 x^{3} + 12 x^{2} - 5 x - 5) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{4 x + 4} + \sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x + 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x + 4}}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot e^{4 x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 4$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 5,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x - 1,6)$

= $(- 2,8 x - 1,6) \cdot e^{- 0,7 x}$