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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{x}$

= $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + x^{3} \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 1} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x} + (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x} + (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot (- e^{- x})$

= $(8 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x} - (2 x^{4} - 2 x^{3}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{4} + 2 x^{3} + (8 x^{3} - 6 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (- 2 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 2 x^{4} + 10 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (2 x + 5) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + (2 x + 5) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $2 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (2 x + 5) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x + 7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x + 12)$

= $(- 3,5 x + 12) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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