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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 4} - 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 4} - 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 4} \cdot 1 - 9 x^{2}$

= $- 3 e^{x + 4} - 9 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 3} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot 1$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (x^{3}) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (x^{3}) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 \sqrt[4]{x} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (x^{3})}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 {(\sqrt[4]{x})}^{9} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x - 2,4 - 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x - 6,4)$

= $(0,8 x - 6,4) \cdot e^{- 0,2 x}$