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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 2 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 2 e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 2 e^{x + 3} \cdot 1$

= $- 12 x^{3} + 2 e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 5} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 5} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 22)$

= $(- 3 x + 22) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${1,1}^{57} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $228,762 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 2,7)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x + 3,7)$

= $(- 0,9 x + 3,7) \cdot e^{- 0,9 x}$