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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{x^{3} + 4} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,15)}^{46} \cdot 3 e^{- 1,15 x}$

≈ $1858,754 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 4,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x + 1,5)$

= $(0,9 x + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$