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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{7}{24} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 5 x - 3} + (x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $(3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 5 x - 3} + (x^{3} + 4 x^{2}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $(3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 (x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{3} - 20 x^{2} + (3 x^{2} + 8 x))$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{3} - 17 x^{2} + 8 x)$

= $(- 5 x^{3} - 17 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x + 7) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x + 7) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x + 7) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x + 1)$

= $(- x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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