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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $15 x^{2} \cdot e^{3 x} + (5 x^{3} - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $15 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 (5 x^{3} - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{3} - 6 + 15 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{3} + 15 x^{2} - 6)$

= $(15 x^{3} + 15 x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(- x^{2} - 2)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(- x^{2} - 2)}^{2}}$

= $3 {(- x^{2} - 2)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 {(- x^{2} - 2)}^{- 3} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(- x^{2} - 2)}^{3}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \frac{6}{{(- x^{2} - 2)}^{3}} \cdot (- 2 x)$

= $12 \frac{x}{{(- x^{2} - 2)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{47} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 712,522 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x + 6,4)$

= $(1,4 x + 6,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

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