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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 2 \cdot \sin (x) - 2 e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x + 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (3 x) + (3 x + 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x + 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 8$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 8$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,5) - 8$

= $- 8 + (- 0,3 x + 3 - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 8 + (- 0,3 x + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$