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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} + x^{5} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} - x^{5} \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{4} + e^{- 3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 3 x} x^{3}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 3} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 3} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(3 x^{2} + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(3 x^{2} + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (3 x^{2} + 4) \cdot (6 x + 0)$

= $4 (3 x^{2} + 4) \cdot (6 x)$

= $24 (3 x^{2} + 4) x$

= $24 x (3 x^{2} + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 8,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x - 6,4)$

= $(- 1,2 x - 6,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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