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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{3}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 2 e^{\frac{3}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{3}{2} x} \cdot \frac{3}{2}$

= $3 e^{\frac{3}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 2 e^{3 x + 3} - \frac{1}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3} - 2 e^{3 x + 3} - \frac{1}{x^{2}}$

= $3 x^{3} - 2 e^{3 x + 3} - x^{- 2}$

=> f'(x) = $9 x^{2} - 2 e^{3 x + 3} \cdot 3 + 2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $9 x^{2} - 2 e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{2}{x^{3}}$

= $9 x^{2} - 6 e^{3 x + 3} + \frac{2}{x^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 5} \cdot 4 x$

= $- 4 \cdot e^{2 x^{2} - 5} x$

= $- 4 x e^{2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 27)$

= $(- 9 x + 27) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,1}^{63} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $405,265 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 0,7)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (0,7 x - 0,3)$

= $(0,7 x - 0,3) \cdot e^{- 0,7 x}$