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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $- \frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \cdot \sin (x) + e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \cos (x) + e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $5 \cdot \cos (x) - 2 e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $6 e^{3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x + 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 8)$

= $(- 4 x + 8) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 22,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x + 18,4)$

= $(3,2 x + 18,4) \cdot e^{- 0,8 x}$