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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{4}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{4}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{5} e^{x}$

= $\frac{4}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 5) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 5) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{5 x - 2} + (- 2 x - 5) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $- 2 e^{5 x - 2} + (- 2 x - 5) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $- 2 e^{5 x - 2} + 5 (- 2 x - 5) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 2 - 10 x - 25)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (- 10 x - 27)$

= $(- 10 x - 27) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{2 x} + (5 x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 e^{2 x} + (5 x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 e^{2 x} + 2 (5 x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (5 + 10 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (10 x + 9)$

= $(10 x + 9) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 4 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 4 x - 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 4 x - 3) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 4 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x - 3) \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 4 x - 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x - 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 4 x - 3)}{\sqrt{x}} - 4 \sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot (- 5 e^{1,05 x})$

≈ $- 224,768 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 11,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 15,2)$

= $(- 1,6 x + 15,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen ableiten

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