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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 4} - \frac{2}{3} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 4} - \frac{2}{3} x^{4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2) - \frac{8}{3} x^{3}$

= $4 e^{- 2 x + 4} - \frac{8}{3} x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} + 1} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 4 x} \cdot (- 9 x^{2} + 4)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 4}{- 3 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 18)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 20)$

= $(- 6 x + 20) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${0,95}^{72} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,025 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 2,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x - 0,4)$

= $(- 1,2 x - 0,4) \cdot e^{- 0,6 x}$