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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $- \frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 3 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 3 e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x) + 3 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $2 \cdot \cos (x) + 6 e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{4}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot e^{2 x} + \sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{4} \frac{e^{2 x}}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 2 \sqrt[4]{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 5$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 6,3) + 5$

= $5 + (0,9 x - 3 - 6,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $5 + (0,9 x - 9,3) \cdot e^{- 0,3 x}$