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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x - 5} + x^{5} \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 5} + x^{5} \cdot (- e^{- x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 5} - x^{5} \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{x - 4} \cdot 1$

= $2 e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 14)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 12)$

= $(- 4 x - 12) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x + 0,9)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 1,9)$

= $(- 0,3 x + 1,9) \cdot e^{- 0,3 x}$