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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{4}{3} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) + e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- 3 \cdot \cos (x) - 3 e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 1} + x^{5} \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 1} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 1} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 9) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 9) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} - 9) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x + 10)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 14)$

= $(- 2 x + 14) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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