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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 4} + \frac{4}{3 x^{4}} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 4} + \frac{4}{3 x^{4}} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

= $e^{3 x + 4} + \frac{4}{3} x^{- 4} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{16}{3} x^{- 5} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{16}{3 x^{5}} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

= $3 e^{3 x + 4} - \frac{16}{3 x^{5}} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 9,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x + 7,8)$

= $(1,4 x + 7,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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