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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x + 3} + 9 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x + 3} + 9 \sqrt{x}$

= $- e^{x + 3} + 9 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{9}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{9}{2 \sqrt{x}}$

= $- e^{x + 3} + \frac{9}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} - 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x - 3) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) + (2 x - 3) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x - 3) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x + 10,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x + 5,5)$

= $(1,5 x + 5,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

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