Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3} + (x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $(2 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3} + (x^{2} - 4 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $(2 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 (x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{2} + 20 x + 2 x - 4)$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{2} + 22 x - 4)$

= $(- 5 x^{2} + 22 x - 4) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x + 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x + 5} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x + 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x + 5}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x + 10,8)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x + 7,8)$

= $(2,7 x + 7,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten