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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $- \frac{9}{8} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 4})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 4} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 4}$

= $e^{- 4 x - 4} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} - 3} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 2 x + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 2 x + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(- 2 x + 2)}^{4} \cdot (- 2 + 0)$

= $5 {(- 2 x + 2)}^{4} \cdot (- 2)$

= $- 10 {(- 2 x + 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{58} \cdot 5 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,011 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 2,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2,5 x - 7,5)$

= $(2,5 x - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$