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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{3} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{1}{3} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{12} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 3} + \frac{8}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 3} + \frac{8}{3 x^{4}}$

= $- 2 e^{3 x - 3} + \frac{8}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 2 e^{3 x - 3} \cdot 3 - \frac{32}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 3} \cdot 3 - \frac{32}{3 x^{5}}$

= $- 6 e^{3 x - 3} - \frac{32}{3 x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{2} + 5} \cdot (- 2 x)$

= $- 4 \cdot e^{- x^{2} + 5} x$

= $- 4 x e^{- x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{x} \cdot 1$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) + x^{5} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) + x^{5} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{5} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $5 x^{4} \cdot \cos (x^{3}) - 3 x^{7} \cdot \sin (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{61} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 19,613 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 8$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 8$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 3,2) - 8$

= $- 8 + (- 0,8 x + 2 - 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 8 + (- 0,8 x - 1,2) \cdot e^{- 0,4 x}$