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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{4} \cdot e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 2} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 2} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 2}$

= $e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $12 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (x + 2)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (x + 2) + x^{4} \cdot (- \sin (x + 2))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (x + 2) - x^{4} \cdot \sin (x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 8$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 8$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 9,6) - 8$

= $- 8 + (1,6 x - 4 - 9,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 8 + (1,6 x - 13,6) \cdot e^{- 0,4 x}$