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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + x^{4} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 7) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) + (3 x - 7) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (3 x - 7) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 3,6) - 9$

= $- 9 + (1,8 x - 2 - 3,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (1,8 x - 5,6) \cdot e^{- 0,9 x}$