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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - e^{- 3 x - 2} + 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 x^{3} - e^{- 3 x - 2} + 2 \sqrt{x}$

= $2 x^{3} - e^{- 3 x - 2} + 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $6 x^{2} - e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $6 x^{2} - e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $6 x^{2} + 3 e^{- 3 x - 2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 3} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} + 3} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{2 x} - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{2 x} - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(e^{2 x} - 1)}^{2} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 6 {(e^{2 x} - 1)}^{2} \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 12 {(e^{2 x} - 1)}^{2} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{32} \cdot (- e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 0,3) - 4$

= $- 4 + (- 0,3 x + 1 - 0,3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (- 0,3 x + 0,7) \cdot e^{- 0,3 x}$