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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 3) + e^{x} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 3) + e^{x} \cdot (6 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 3) + 6 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} - 3 + 6 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (2 x^{3} + 6 x^{2} - 3)$

= $(2 x^{3} + 6 x^{2} - 3) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{2} + 2} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 2} x$

= $- 4 x e^{- 2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 8) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) + (x^{2} - 8) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 x \cdot \cos (x^{3}) - 3 (x^{2} - 8) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 2,8) - 9$

= $- 9 + (- 0,7 x + 1 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 0,7 x + 3,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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