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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{8}{9} e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{8}{9} e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{8}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $(- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $(- 6 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x - 3} + 2 (- 2 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 4 x^{3} + 10 x^{2} + (- 6 x^{2} + 10 x))$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 4 x^{3} + 4 x^{2} + 10 x)$

= $(- 4 x^{3} + 4 x^{2} + 10 x) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{4} + e^{- 2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} + 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} + 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} + 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 21 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x - 21)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x - 21) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 1$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 1$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 9,8) - 1$

= $- 1 + (1,4 x - 2 + 9,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 1 + (1,4 x + 7,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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