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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{6}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{12}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 1} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 1}$

= $e^{- 5 x - 1} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 1) \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 1) \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{x - 5} + (- x - 1) \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $- e^{x - 5} + (- x - 1) \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (- 1 - x - 1)$

= $e^{x - 5} \cdot (- x - 2)$

= $(- x - 2) \cdot e^{x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} - 2} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 7) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (3 x) + (3 x - 7) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $3 \cdot \sin (3 x) + (3 x - 7) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $3 \cdot \sin (3 x) + 3 (3 x - 7) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{46} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 4,5) - 6$

= $- 6 + (1,5 x - 3 - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 6 + (1,5 x - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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