Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 5} - \frac{2}{3 x^{2}} - 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 5} - \frac{2}{3 x^{2}} - 2 \cdot \sin (x)$

= $3 e^{- x + 5} - \frac{2}{3} x^{- 2} - 2 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) + \frac{4}{3} x^{- 3} - 2 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 5} \cdot (- 1) + \frac{4}{3 x^{3}} - 2 \cdot \cos (x)$

= $- 3 e^{- x + 5} + \frac{4}{3 x^{3}} - 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{x} - 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{x} - 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(e^{x} - 2)}^{4} \cdot (e^{x} + 0)$

= $- 10 {(e^{x} - 2)}^{4} \cdot (e^{x})$

= $- 10 {(e^{x} - 2)}^{4} \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 13)$

= $(4 x - 13) \cdot e^{- 0,8 x}$