Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 5} + x^{5} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 5} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x - 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x - 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x - 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${1,1}^{56} \cdot 5 e^{1,1 x}$

≈ $1039,825 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 5$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 5$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 2,4) - 5$

= $- 5 + (- 2,4 x + 3 - 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 5 + (- 2,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,8 x}$