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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 5 x^{2} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 10 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 5 x^{2} - 4) + e^{3 x} \cdot (- 10 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (- 5 x^{2} - 4) - 10 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 12 - 10 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 10 x - 12)$

= $(- 15 x^{2} - 10 x - 12) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} + 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} + 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 1,2) + 4$

= $4 + (- 1,2 x + 2 - 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (- 1,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$