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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $(- 4 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $(- 4 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2} - 5 (- x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (5 x^{4} - 15 x^{3} + (- 4 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (5 x^{4} - 19 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(5 x^{4} - 19 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 6)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 8)$

= $(6 x + 8) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\cos (x) - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $15 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $- 15 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${0,95}^{71} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,026 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x + 2,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x + 4,4)$

= $(- 0,8 x + 4,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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