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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{21}{40} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 2 x - 3} + (4 x + 5) \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x - 3} + (4 x + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $4 e^{- 2 x - 3} - 2 (4 x + 5) \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (4 - 8 x - 10)$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 8 x - 6)$

= $(- 8 x - 6) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 4} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} - 4} x$

= $6 x e^{- x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 3}{- 4 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (4 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \cos (4 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (4 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \cos (4 x - 3) + x^{\frac{1}{3}} \cdot (- \sin (4 x - 3) \cdot (4 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \cos (4 x - 3) + \sqrt[3]{x} \cdot (- \sin (4 x - 3) \cdot (4 + 0))$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (4 x - 3)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- \sin (4 x - 3) \cdot (4))$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (4 x - 3)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 4 \cdot \sin (4 x - 3))$

= $\frac{1}{3} \frac{\cos (4 x - 3)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 4 \sqrt[3]{x} \cdot \sin (4 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 8,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 11,4)$

= $(1,2 x - 11,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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