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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{15}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{x} + x^{3} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(3 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (x^{3} - 4 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(3 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{3} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 8 x^{2} + (3 x^{2} - 8 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x)$

= $(- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 2) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 2) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 2) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 2,8) - 9$

= $- 9 + (- 1,4 x + 2 - 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 1,4 x - 0,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten