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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{14}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 3} + 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 3} + 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) + 2 \cdot \cos (x)$

= $9 e^{- 3 x + 3} + 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 2 x^{2} - 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 4 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 3) + e^{- 2 x} \cdot (- 4 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 3) - 4 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} + 6 - 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{2} - 4 x + 6)$

= $(4 x^{2} - 4 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x^{3} - 2) \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (2 x^{3} - 2) \cdot (6 x^{2})$

= $- 12 \cos (2 x^{3} - 2) x^{2}$

= $- 12 x^{2} \cdot \cos (2 x^{3} - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot 4 e^{- 1,1 x}$

≈ $469,563 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 5,4)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,9 x + 8,4)$

= $(- 0,9 x + 8,4) \cdot e^{- 0,3 x}$