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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + x^{2}) + e^{x} \cdot (- 6 x^{2} + 2 x)$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} + x^{2} + (- 6 x^{2} + 2 x))$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 9) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 9) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 9) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,95 x}$

f'(x) = $5 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,75 e^{0,95 x}$

f''(x) = $4,75 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,5125 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $4,5125 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,2869 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,2869 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $4,0725 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,95}^{63} \cdot 5 e^{0,95 x}$

≈ $0,197 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 8$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 8$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 1,8) + 8$

= $8 + (0,9 x - 3 - 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $8 + (0,9 x - 4,8) \cdot e^{- 0,3 x}$