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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 2 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 2 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 2 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - 4 e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 3 x^{2}} \cdot (6 x^{2} - 6 x)$

= $\frac{6 x^{2} - 6 x}{2 x^{3} - 3 x^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 1 \cdot (x - 1)}{x \cdot (2 x - 3)}$

= $\frac{6 (x - 1)}{x \cdot (2 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} + x^{2} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $2 x \cdot e^{- x + 1} - x^{2} \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 5,6) - 4$

= $- 4 + (- 1,4 x + 2 + 5,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (- 1,4 x + 7,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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