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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x + 2} + x^{2} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x + 2} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $2 x \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 2} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} - 2} x$

= $6 x e^{- x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + x^{2}} \cdot (12 x^{2} + 2 x)$

= $\frac{12 x^{2} + 2 x}{4 x^{3} + x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (6 x + 1)}{x \cdot (4 x + 1)}$

= $\frac{2 (6 x + 1)}{x \cdot (4 x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\sin (2 x + 5) \cdot (2 + 0)$

= $\sin (2 x + 5) \cdot (2)$

= $2 \cdot \sin (2 x + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 2,1) - 6$

= $- 6 + (- 0,7 x + 1 - 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 6 + (- 0,7 x - 1,1) \cdot e^{- 0,7 x}$