Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \sin (x) - e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- \frac{7}{2} \cdot \cos (x) - 3 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} - 4} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} - 4} x$

= $4 x e^{2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x + 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x + 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x + 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 56-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 56-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 56 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{56}$

Somit gilt für die 56-te Ableitung:

f⁽⁵⁶⁾(x) = ${(- 0,9)}^{56} \cdot (- 4 e^{- 0,9 x})$

≈ $- 0,011 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 8,4) + 3$

= $3 + (- 1,4 x + 2 + 8,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (- 1,4 x + 10,4) \cdot e^{- 0,7 x}$