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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{2} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{2} + 2 x)$

= $(- 4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 5 x} \cdot (- 4 x - 5)$

= $\frac{- 4 x - 5}{- 2 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $12 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2)$

= $24 {(2 x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 7) - 7$

= $- 7 + (x - 2 - 7) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 7 + (x - 9) \cdot e^{- 0,5 x}$