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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 3} + x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 3} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{2} - 4} \cdot 4 x$

= $- 4 \cdot e^{2 x^{2} - 4} x$

= $- 4 x e^{2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $4 x^{3} \cdot e^{x - 3} + x^{4} \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x + 0,1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 0,9)$

= $(0,1 x - 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$