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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (- 3 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (- 3 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{2} + 4) + e^{x} \cdot (- 6 x + 0)$

= $e^{x} (- 3 x^{2} + 4) + e^{x} \cdot (- 6 x)$

= $e^{x} (- 3 x^{2} + 4) - 6 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{2} + 4 - 6 x)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{2} - 6 x + 4)$

= $(- 3 x^{2} - 6 x + 4) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} + 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} + 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 4$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 4$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,6) - 4$

= $- 4 + (0,3 x - 3 + 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 4 + (0,3 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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