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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 1} + x^{2} \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 1} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 1})$

= $2 x \cdot e^{- x - 1} - x^{2} \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (2 x - x^{2})$

= $e^{- x - 1} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (2 x + x^{2})$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{x} \cdot 1$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 4)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 4) + x^{5} \cdot (- \sin (- 5 x - 4) \cdot (- 5 + 0))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 4) + x^{5} \cdot (- \sin (- 5 x - 4) \cdot (- 5))$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 4) + x^{5} \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x - 4)$

= $5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x - 4) + 5 x^{5} \cdot \sin (- 5 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x + 11,2 - 4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x + 7,2)$

= $(1,6 x + 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$