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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 1} - x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 1} - x^{3}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 1} \cdot 2 - 3 x^{2}$

= $6 e^{2 x - 1} - 3 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 2} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 5 x} \cdot (15 x^{2} + 5)$

= $\frac{15 x^{2} + 5}{5 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1} + x^{4} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 1} - 4 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 4 x + 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 88)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 18)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x - 13)$

= $(- 4,5 x - 13) \cdot e^{- 0,9 x}$