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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 4 x^{5} - 5 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $(- 20 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 (- 4 x^{5} - 5 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (12 x^{5} + 15 x - 20 x^{4} - 5)$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} + 15 x - 5)$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} + 15 x - 5) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (3 x^{2} + 5 x) + e^{2 x} \cdot (6 x + 5)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (3 x^{2} + 5 x) + e^{2 x} \cdot (6 x + 5)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 10 x + 6 x + 5)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{2} + 16 x + 5)$

= $(6 x^{2} + 16 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 15 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 15)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 15) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x + 4,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 8,8)$

= $(- 1,2 x + 8,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

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