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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(8 x + 0) \cdot e^{4 x + 5} + (4 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $8 x \cdot e^{4 x + 5} + (4 x^{2} - 5) \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $8 x \cdot e^{4 x + 5} + 4 (4 x^{2} - 5) \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (16 x^{2} - 20 + 8 x)$

= $e^{4 x + 5} \cdot (16 x^{2} + 8 x - 20)$

= $(16 x^{2} + 8 x - 20) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 1)$

= $(- 6 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} - 1} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} - 1} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(x - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(x - 4)}^{2} \cdot (1 + 0)$

= $6 {(x - 4)}^{2} \cdot (1)$

= $6 {(x - 4)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x - 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x + 3,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x + 4,6)$

= $(- 0,6 x + 4,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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