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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{14}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 5} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 5} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

= $- 3 e^{3 x - 5} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 4} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(3 x - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(3 x - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(3 x - 3)}^{2} \cdot (3 + 0)$

= $6 {(3 x - 3)}^{2} \cdot (3)$

= $18 {(3 x - 3)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{41} \cdot (- 3 e^{- 1,15 x})$

≈ $924,129 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 9$

= $e^{- 0,9 x} + (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 9$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x + 5,4) + 9$

= $9 + (- 0,9 x + 1 + 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $9 + (- 0,9 x + 6,4) \cdot e^{- 0,9 x}$