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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{x}$

= $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2} \sqrt[3]{x} + \frac{3}{2 x^{4}} + 2 e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2} \sqrt[3]{x} + \frac{3}{2 x^{4}} + 2 e^{- x - 3}$

= $- \frac{7}{2} x^{\frac{1}{3}} + \frac{3}{2} x^{- 4} + 2 e^{- x - 3}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{6} x^{- \frac{2}{3}} - 6 x^{- 5} + 2 e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{6 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \frac{6}{x^{5}} + 2 e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{6 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \frac{6}{x^{5}} - 2 e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 4} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{3} + 4} \cdot (9 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{3 x^{3} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 5) + x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 5) \cdot (- 5 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 5) + x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 5) \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 5) + x^{5} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x - 5))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 5) - 5 x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{64} \cdot (- 3 e^{- 0,9 x})$

≈ $- 0,004 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 13,2)$

= $(1,6 x - 13,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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