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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{2}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x - 5} + x^{3} \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 5} + x^{3} \cdot (- e^{- x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x - 5} - x^{3} \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 5 x} \cdot (- 12 x^{2} - 5)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 5}{- 4 x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} + 7) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + (x^{2} + 7) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (x^{2} + 7) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{50} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $1083,657 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 2,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 0,6)$

= $(- 1,2 x + 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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