Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 2 e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{2} + 2 e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $6 x + 2 e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $6 x + 6 e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x + 2}$

= $2 {(3 x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(3 x + 2)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{2}{{(3 x + 2)}^{2}} \cdot (3)$

= $- \frac{6}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x - 2,1)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,3 x - 3,1)$

= $(0,3 x - 3,1) \cdot e^{- 0,3 x}$