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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 5) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 5) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x - 3} + (2 x^{2} - 5) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x - 3} + (2 x^{2} - 5) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $4 x \cdot e^{3 x - 3} + 3 (2 x^{2} - 5) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (6 x^{2} - 15 + 4 x)$

= $e^{3 x - 3} \cdot (6 x^{2} + 4 x - 15)$

= $(6 x^{2} + 4 x - 15) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} - 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x^{2} + 2) \cdot (- 2 x + 0)$

= $- 3 \cdot \cos (- x^{2} + 2) \cdot (- 2 x)$

= $6 \cos (- x^{2} + 2) x$

= $6 x \cdot \cos (- x^{2} + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${1,05}^{71} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $31,948 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 0,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8 x + 0,2)$

= $(- 0,8 x + 0,2) \cdot e^{- 0,8 x}$