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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{5} - 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{5} - 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (5 x^{5} - 2 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (25 x^{4} - 6 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (5 x^{5} - 2 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (25 x^{4} - 6 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{5} + 6 x^{3} + (25 x^{4} - 6 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{5} + 25 x^{4} + 6 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 15 x^{5} + 25 x^{4} + 6 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x} \cdot (3 x^{2} + 2)$

= $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{3} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x - 7) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x - 7) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x + 21)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x + 22)$

= $(- 3 x + 22) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $4,25 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $4,25 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,6125 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,0706 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0706 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,61 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{44} \cdot (- 5 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,004 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 3$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 3$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 1,2) - 3$

= $- 3 + (- 0,6 x + 1 - 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 3 + (- 0,6 x - 0,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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