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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{2}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{2}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{x}$

= $\frac{2}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} - x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{3}) + e^{- 2 x} \cdot (- 10 x^{4} + 6 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 2 x^{5} + 2 x^{3}) + e^{- 2 x} (- 10 x^{4} + 6 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} - 4 x^{3} + (- 10 x^{4} + 6 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} - 10 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(4 x^{5} - 10 x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $(- 2 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${1,15}^{38} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $202,543 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 1,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x - 1,2)$

= $(1,8 x - 1,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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