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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x} + (- x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x} + (- x^{3} - 4 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 3 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x} + 2 (- x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 8 x - 3 x^{2} - 4)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 4)$

= $(- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x - 4) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 3} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (3 x + 7) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) + (3 x + 7) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $3 \cdot \sin (- 2 x) - 2 (3 x + 7) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1,6 x - 11,6)$

= $(1,6 x - 11,6) \cdot e^{- 0,8 x}$