Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 4} + x^{4} \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 4} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x - 4} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{3} + 1} \cdot 6 x^{2}$

= $18 \cdot e^{2 x^{3} + 1} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{2 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x^{2} - 3}$

= $- 3 {(- 3 x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 3 x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 3}} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x^{2} - 3}} \cdot (- 6 x)$

= $9 \frac{x}{\sqrt{- 3 x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x + 2,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x + 5,4)$

= $(- 2,4 x + 5,4) \cdot e^{- 0,8 x}$