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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{7}{4} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{7}{4} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{4} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x - 2} + (3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $(15 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x - 2} + (3 x^{5} + 2 x) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $(15 x^{4} + 2) \cdot e^{2 x - 2} + 2 (3 x^{5} + 2 x) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (6 x^{5} + 4 x + 15 x^{4} + 2)$

= $e^{2 x - 2} \cdot (6 x^{5} + 15 x^{4} + 4 x + 2)$

= $(6 x^{5} + 15 x^{4} + 4 x + 2) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 3 x^{2} + x) + e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + x) + e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{2} - 3 x - 6 x + 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{2} - 9 x + 1)$

= $(9 x^{2} - 9 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 2 x} \cdot (2 x + 2)$

= $\frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

= $- 3 {(- x^{2} + 3)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(- x^{2} + 3)}^{- 3} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- x^{2} + 3)}^{3}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{6}{{(- x^{2} + 3)}^{3}} \cdot (- 2 x)$

= $- 12 \frac{x}{{(- x^{2} + 3)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 9) + 4$

= $4 + (- 1,8 x + 3 + 9) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (- 1,8 x + 12) \cdot e^{- 0,6 x}$