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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 4} + x^{4} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 4} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 4} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (4 x^{3} + 2 x^{4})$

= $e^{2 x + 4} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} - 5} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} - 5} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{x} \cdot 1$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{47} \cdot (- 4 e^{- 0,85 x})$

≈ $0,002 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 2,4 + 4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,8 x + 6,4)$

= $(- 0,8 x + 6,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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