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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 4) \cdot e^{x + 2} + (2 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $(6 x^{2} - 4) \cdot e^{x + 2} + (2 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x + 2}$

= $e^{x + 2} \cdot (2 x^{3} - 4 x + 6 x^{2} - 4)$

= $e^{x + 2} \cdot (2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 4)$

= $(2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 4) \cdot e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(15 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(15 x^{2} + 5) \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{3} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 10 x + 15 x^{2} + 5)$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 5)$

= $(10 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 5 x} \cdot (4 x + 5)$

= $\frac{4 x + 5}{2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x + 2}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x + 2}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{2 x + 2} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{2 x + 2} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{2 x + 2}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{2 x + 2}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 2 \frac{e^{2 x + 2}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 22,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x - 18,4)$

= $(- 3,2 x - 18,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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