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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- 2 x - 4} + (5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $(20 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- 2 x - 4} + (5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $(20 x^{3} - 8 x) \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 (5 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 10 x^{4} + 8 x^{2} + (20 x^{3} - 8 x))$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 10 x^{4} + 20 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x)$

= $(- 10 x^{4} + 20 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x} + (4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x} + (4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x} + 2 (4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{3} + 6 x^{2} + (12 x^{2} + 6 x))$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{3} + 18 x^{2} + 6 x)$

= $(8 x^{3} + 18 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 4 x + 0)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \sin (- 2 x^{2} - 3) x$

= $- 8 x \cdot \sin (- 2 x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $4,6 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,29 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 5,29 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,0835 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,996 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{49} \cdot (- 4 e^{- 1,15 x})$

≈ $3769,243 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 8$

= $e^{- 0,7 x} + (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 8$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x + 4,9) + 8$

= $8 + (- 0,7 x + 1 + 4,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $8 + (- 0,7 x + 5,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

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