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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{3} - 2} \cdot 9 x^{2}$

= $27 \cdot e^{3 x^{3} - 2} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{3 x^{3} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{x} \cdot 1$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 6 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 6)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 14,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (3,6 x + 10,4)$

= $(3,6 x + 10,4) \cdot e^{- 0,9 x}$