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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{11}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{11}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{11}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{4}} - 3 e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x^{4}} - 3 e^{- 2 x + 4}$

= $4 x^{- 4} - 3 e^{- 2 x + 4}$

=> f'(x) = $- 16 x^{- 5} - 3 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{16}{x^{5}} - 3 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{16}{x^{5}} + 6 e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (4 x^{3} + 4 x) + e^{- x} \cdot (12 x^{2} + 4)$

= $- e^{- x} (4 x^{3} + 4 x) + e^{- x} (12 x^{2} + 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{3} - 4 x + 12 x^{2} + 4)$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x + 4)$

= $(- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x + 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \sin (- 2 x - 2)$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x - 2)$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot \sin (- 2 x - 2) + x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x - 2) \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot \sin (- 2 x - 2) + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 2 x - 2) \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x - 2)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos (- 2 x - 2) \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x - 2)}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x - 2))$

= $- \frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x - 2)}{{(\sqrt{x})}^{3}} - 2 \frac{\cos (- 2 x - 2)}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 0,9)}^{48} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,006 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x + 24)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x + 19)$

= $(4 x + 19) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten