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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 3} + (- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $(- 10 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 3} + (- 5 x^{2} + 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $(- 10 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 3} - 2 (- 5 x^{2} + 3 x) \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (10 x^{2} - 6 x - 10 x + 3)$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (10 x^{2} - 16 x + 3)$

= $(10 x^{2} - 16 x + 3) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - 5) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - 5) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} - 5) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $15 x^{2} \cdot e^{2 x} + (5 x^{3} - 5) \cdot 2 e^{2 x}$

= $15 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 (5 x^{3} - 5) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} - 10 + 15 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (10 x^{3} + 15 x^{2} - 10)$

= $(10 x^{3} + 15 x^{2} - 10) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 4$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 4$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x - 21) + 4$

= $4 + (3 x - 5 - 21) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $4 + (3 x - 26) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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