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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{2} + 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 10 x + 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 5 x^{2} + 3 x) + e^{2 x} (- 10 x + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} + 6 x - 10 x + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} - 4 x + 3)$

= $(- 10 x^{2} - 4 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0))$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4))$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{2} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 1)$

= $2 x \cdot \cos (- 4 x + 1) + 4 x^{2} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 94)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 1$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 1$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 4) + 1$

= $1 + (2 x - 4 - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $1 + (2 x - 8) \cdot e^{- 0,5 x}$