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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{11}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x + 5} + x^{3} \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x + 5} + x^{3} \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (5 x^{2} + 5) + e^{3 x} \cdot (10 x + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 5) + e^{3 x} \cdot (10 x)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (5 x^{2} + 5) + 10 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 15 + 10 x)$

= $e^{3 x} \cdot (15 x^{2} + 10 x + 15)$

= $(15 x^{2} + 10 x + 15) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (2 x - 8) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) + (2 x - 8) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 \cdot \cos (x^{2}) - 2 (2 x - 8) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 2$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x - 6) + 2$

= $2 + (2 x - 5 - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $2 + (2 x - 11) \cdot e^{- 0,4 x}$