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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{10}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 1} - 3 \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 1} - 3 \sqrt[4]{x}$

= $- 2 e^{- 3 x - 1} - 3 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) - \frac{3}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $6 e^{- 3 x - 1} - \frac{3}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 5} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{3} - 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \frac{x^{2}}{- 2 x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 1)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{3} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{3} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{3} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 1)$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + 4 x^{3} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x - 4,5) + 3$

= $3 + (1,5 x - 5 - 4,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (1,5 x - 9,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

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Ableiten (mit allem) LF

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