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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{3 x^{3}} + 3 e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{3 x^{3}} + 3 e^{2 x - 4}$

= $- \frac{5}{3} x^{- 3} + 3 e^{2 x - 4}$

=> f'(x) = $5 x^{- 4} + 3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{5}{x^{4}} + 3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $\frac{5}{x^{4}} + 6 e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $3 e^{3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (15 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{15 x^{2} + 4 x}{5 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (15 x + 4)}{x \cdot (5 x + 2)}$

= $\frac{15 x + 4}{x \cdot (5 x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x - 4} + x^{2} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x - 4} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $2 x \cdot e^{2 x - 4} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x + 8,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,2 x + 6,4)$

= $(1,2 x + 6,4) \cdot e^{- 0,6 x}$