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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} + (- 2 x^{5} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 (- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (6 x^{5} + 9 - 10 x^{4})$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (6 x^{5} - 10 x^{4} + 9)$

= $(6 x^{5} - 10 x^{4} + 9) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $12 x^{3} \cdot e^{2 x} + (3 x^{4} + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $12 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{4} + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 6 + 12 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 12 x^{3} + 6)$

= $(6 x^{4} + 12 x^{3} + 6) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 5} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{2 x} - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(e^{2 x} - 5)}^{4} \cdot (e^{2 x} \cdot 2 + 0)$

= $- 15 {(e^{2 x} - 5)}^{4} \cdot (2 e^{2 x})$

= $- 30 {(e^{2 x} - 5)}^{4} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 2$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 2$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 3,6) + 2$

= $2 + (- 1,8 x + 3 - 3,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $2 + (- 1,8 x - 0,6) \cdot e^{- 0,6 x}$