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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 5 x + 4} + (3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $6 x \cdot e^{- 5 x + 4} + (3 x^{2} - 2) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $6 x \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 (3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 15 x^{2} + 10 + 6 x)$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 15 x^{2} + 6 x + 10)$

= $(- 15 x^{2} + 6 x + 10) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x^{2} - 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 6 \cdot e^{- x^{2} - 2} x$

= $- 6 x e^{- x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 7) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 7) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 7) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 7) \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{2} + 7) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 14 + 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 14)$

= $(4 x^{2} + 4 x + 14) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 5,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 4,4)$

= $(0,9 x + 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$