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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} - 3 e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{4}} - 3 e^{2 x - 4}$

= $3 x^{- 4} - 3 e^{2 x - 4}$

=> f'(x) = $- 12 x^{- 5} - 3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{5}} - 3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $- \frac{12}{x^{5}} - 6 e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $6 e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (- 2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (- 2 x - 1)$

$f'(x) =$ $\sin (- 2 x - 1) \cdot (- 2 + 0)$

= $\sin (- 2 x - 1) \cdot (- 2)$

= $- 2 \cdot \sin (- 2 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,3 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 3,63 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $3,993 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,3923 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,1)}^{46} \cdot (- 3 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 240,539 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 2$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 2$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 7,5) - 2$

= $- 2 + (1,5 x - 3 + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 2 + (1,5 x + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$