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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{15}{14} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2} + x^{5} \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x - 2} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 2} \cdot 1$

= $3 e^{x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \cos (2 x) + x^{4} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $4 x^{3} \cdot \cos (2 x) + x^{4} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $4 x^{3} \cdot \cos (2 x) - 2 x^{4} \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{64} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $445,792 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 8$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 8$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 8$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 1,8) + 8$

= $8 + (- 0,9 x + 1 - 1,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $8 + (- 0,9 x - 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$