Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{4}{x^{2}} + 2 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{4}{x^{2}} + 2 e^{x + 2}$

= $- x^{- \frac{1}{2}} - 4 x^{- 2} + 2 e^{x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} + 8 x^{- 3} + 2 e^{x + 2} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{8}{x^{3}} + 2 e^{x + 2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{8}{x^{3}} + 2 e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 4} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- x - 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- x - 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- x - 2) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 6 (- x - 2) \cdot (- 1)$

= $6 (- x - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $5 e^{- 0,7 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $5 e^{- 0,7 x} - 3,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (5 - 3,5 x - 3,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3,5 x + 1,5)$

= $(- 3,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,7 x}$