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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} + x^{4})$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 2) \cdot e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{x + 5} + (3 x^{2} + 2) \cdot e^{x + 5} \cdot 1$

= $6 x \cdot e^{x + 5} + (3 x^{2} + 2) \cdot e^{x + 5}$

= $e^{x + 5} \cdot (6 x + 3 x^{2} + 2)$

= $e^{x + 5} \cdot (3 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(3 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 2} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 2} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x + 3) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x + 3) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x + 3) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,05}^{60} \cdot (- 4 e^{1,05 x})$

≈ $- 74,717 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 1$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 1$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x - 6,4 - 4) + 1$

= $1 + (1,6 x - 6,4 - 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $1 + (1,6 x - 10,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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