Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{1}{3 x^{4}} - 6 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{1}{3 x^{4}} - 6 \cdot \sin (x)$

= $- 3 e^{3 x + 4} + \frac{1}{3} x^{- 4} - 6 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{4}{3} x^{- 5} - 6 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 - \frac{4}{3 x^{5}} - 6 \cdot \cos (x)$

= $- 9 e^{3 x + 4} - \frac{4}{3 x^{5}} - 6 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x^{3} + 4} \cdot 6 x^{2}$

= $- 6 \cdot e^{2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x - 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x - 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (2 x + 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x} + (2 x + 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 e^{- 2 x} - 2 (2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 - 4 x - 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x - 2)$

= $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${1,05}^{70} \cdot 5 e^{1,05 x}$

≈ $152,132 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 3,2) - 8$

= $- 8 + (1,6 x - 2 - 3,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (1,6 x - 5,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten