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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{7} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 3 x} \cdot (8 x - 3)$

= $\frac{8 x - 3}{4 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 9 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x + 9)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x - 1,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x - 0,5)$

= $(- 0,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$