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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{27}{7} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) + e^{- x - 2} - 2 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} \cdot \sin (x) + e^{- x - 2} - 2 x^{5}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) + e^{- x - 2} \cdot (- 1) - 10 x^{4}$

= $- \frac{1}{4} \cdot \cos (x) - e^{- x - 2} - 10 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{4} + 2 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 8 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{4} + 2 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 8 x^{3} + 2) \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{4} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 4 x - 8 x^{3} + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x + 2)$

= $(- 4 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 3} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} - 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- x^{2} - 4}$

= $- {(- x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 4}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 4}} \cdot (- 2 x)$

= $\frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x + 12,6) + 2$

= $2 + (1,8 x - 2 + 12,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (1,8 x + 10,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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