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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{10}{9} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{10}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{10}{9} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{70}{81} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} + 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + (- 4 x^{5} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 20 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 4 x^{5} + 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} - 3 - 20 x^{4})$

= $e^{- 3 x} \cdot (12 x^{5} - 20 x^{4} - 3)$

= $(12 x^{5} - 20 x^{4} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{4 x + 5} + x^{2} \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $2 x \cdot e^{4 x + 5} + x^{2} \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $2 x \cdot e^{4 x + 5} + 4 x^{2} \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

= $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{4 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

≈ $- 579,024 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 7$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 7$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 3,6) + 7$

= $7 + (- 1,8 x + 2 + 3,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $7 + (- 1,8 x + 5,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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