Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - x) \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 1) \cdot e^{- 5 x + 3} + (4 x^{3} - x) \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $(12 x^{2} - 1) \cdot e^{- 5 x + 3} + (4 x^{3} - x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $(12 x^{2} - 1) \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 (4 x^{3} - x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 20 x^{3} + 5 x + 12 x^{2} - 1)$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 20 x^{3} + 12 x^{2} + 5 x - 1)$

= $(- 20 x^{3} + 12 x^{2} + 5 x - 1) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x + 2} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (2 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (2 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (2 x) + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 2,7)$

= $(0,3 x - 2,7) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten