Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 2 e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{3} - \frac{4}{3} \cdot \cos (x) - 2 e^{x + 4}$

$f'(x) =$ $- 6 x^{2} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 2 e^{x + 4} \cdot 1$

= $- 6 x^{2} + \frac{4}{3} \cdot \sin (x) - 2 e^{x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 8)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 5)$

= $(6 x - 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 7$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 7$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 1,6) + 7$

= $7 + (- 1,6 x + 2 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $7 + (- 1,6 x + 3,6) \cdot e^{- 0,8 x}$