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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $(- 9 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + 2 (- 3 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 6 x^{3} - 4 x^{2} + (- 9 x^{2} - 4 x))$

= $e^{2 x - 3} \cdot (- 6 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x)$

= $(- 6 x^{3} - 13 x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 15 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 15 x^{4} + 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 3 x^{5} + 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{5} - 10 x^{3} + (- 15 x^{4} + 15 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 15 x^{2})$

= $(6 x^{5} - 15 x^{4} - 10 x^{3} + 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 3 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 2) \cdot (- 6 x + 0)$

= $3 \cdot \cos (- 3 x^{2} - 2) \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cos (- 3 x^{2} - 2) x$

= $- 18 x \cdot \cos (- 3 x^{2} - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{61} \cdot 4 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 1339,719 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 14) - 8$

= $- 8 + (2 x - 4 - 14) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 8 + (2 x - 18) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten