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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}} + 2 e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}} + 2 e^{3 x + 3}$

= $- 3 x^{- 4} + 2 e^{3 x + 3}$

=> f'(x) = $12 x^{- 5} + 2 e^{3 x + 3} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{12}{x^{5}} + 2 e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $\frac{12}{x^{5}} + 6 e^{3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (3 x^{2} - 5 x^{3})$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x + 12 + 5) + 8$

= $8 + (- 2 x + 12 + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $8 + (- 2 x + 17) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

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