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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x - 5} + x^{2} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x - 5} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{4} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- 5 x^{4} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- 5 x^{4} + 1) + e^{3 x} \cdot (- 20 x^{3} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{4} + 1) + e^{3 x} \cdot (- 20 x^{3})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- 5 x^{4} + 1) - 20 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{4} + 3 - 20 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{4} - 20 x^{3} + 3)$

= $(- 15 x^{4} - 20 x^{3} + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 2} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 2} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 9)$

= $(- 6 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 7$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 7$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 2,8) + 7$

= $7 + (- 2,8 x + 4 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $7 + (- 2,8 x + 6,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen ableiten

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