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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + x^{5} \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 3} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (12 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{12 x^{2} + 8 x}{4 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{4 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{4 (3 x + 2)}{4 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x - 2) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x - 2) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x - 2) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{54} \cdot (- 4 e^{- 1,1 x})$

≈ $- 687,488 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 1,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x - 0,6)$

= $(1,4 x - 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$