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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{15}{4} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt[3]{x} - 3 e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt[3]{x} - 3 e^{- 2 x + 2}$

= $- 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 e^{- 2 x + 2}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{2}{3}} - 3 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 6 e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} + 5} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} + 5} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot 1$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x + 1) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x + 1) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x + 1) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${(- 0,85)}^{48} \cdot 3 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 1,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x - 0,5)$

= $(- 0,3 x - 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$