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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $- \frac{8}{3} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x - 3} + (2 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $8 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} + (2 x^{4} + 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 3})$

= $8 x^{3} \cdot e^{- 3 x - 3} - 3 (2 x^{4} + 1) \cdot e^{- 3 x - 3}$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 6 x^{4} - 3 + 8 x^{3})$

= $e^{- 3 x - 3} \cdot (- 6 x^{4} + 8 x^{3} - 3)$

= $(- 6 x^{4} + 8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} + 4} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 2,5) - 1$

= $- 1 + (- 2,5 x + 5 - 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 1 + (- 2,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$