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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{8}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 3} - 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 3} - 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2) + 3 \cdot \sin (x)$

= $- 4 e^{- 2 x + 3} + 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- x^{3} + 5}$

= $3 {(- x^{3} + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- x^{3} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- x^{3} + 5}} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- x^{3} + 5}} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- \frac{9}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{- x^{3} + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 14)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x - 19)$

= $(3,5 x - 19) \cdot e^{- 0,7 x}$