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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $(6 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 1} + (3 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $(6 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 1} + (3 x^{2} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 1})$

= $(6 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 1} - 3 (3 x^{2} - x) \cdot e^{- 3 x + 1}$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 9 x^{2} + 3 x + 6 x - 1)$

= $e^{- 3 x + 1} \cdot (- 9 x^{2} + 9 x - 1)$

= $(- 9 x^{2} + 9 x - 1) \cdot e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 1} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 1} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x + 5}$

= $- 3 {(x + 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $3 {(x + 5)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(x + 5)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{3}{{(x + 5)}^{2}} \cdot (1)$

= $\frac{3}{{(x + 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${0,9}^{63} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x + 5,4)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x + 2,4)$

= $(2,7 x + 2,4) \cdot e^{- 0,9 x}$