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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{4})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- x + 5} + (2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $(8 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- x + 5} + (2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot (- e^{- x + 5})$

= $(8 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- x + 5} - (2 x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$

= $e^{- x + 5} \cdot (8 x^{3} + 10 x + (- 2 x^{4} - 5 x^{2}))$

= $e^{- x + 5} \cdot (- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x)$

= $(- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 5 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{x} \cdot 1$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(2 x + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(2 x + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(2 x + 1)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $- 6 {(2 x + 1)}^{2} \cdot (2)$

= $- 12 {(2 x + 1)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 7$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x - 9,6 - 4) - 7$

= $- 7 + (2,4 x - 9,6 - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 7 + (2,4 x - 13,6) \cdot e^{- 0,6 x}$