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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $5 e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{3} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{3} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{3} - 2 x) + e^{x} \cdot (3 x^{2} - 2)$

= $e^{x} \cdot (x^{3} - 2 x + 3 x^{2} - 2)$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2)$

= $(x^{3} + 3 x^{2} - 2 x - 2) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{3} + 3} \cdot 9 x^{2}$

= $27 \cdot e^{3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 5} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{x^{3} + 5} \cdot (3 x^{2})$

= $3 \frac{x^{2}}{x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x + 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x + 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x + 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{68} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $27,598 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 7,2)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x - 9,2)$

= $(1,8 x - 9,2) \cdot e^{- 0,9 x}$