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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{5}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{10}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 4} + (- 2 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $(- 10 x^{4} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 4} + (- 2 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $(- 10 x^{4} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 (- 2 x^{5} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (4 x^{5} - 10 x^{2} + (- 10 x^{4} + 10 x))$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (4 x^{5} - 10 x^{4} - 10 x^{2} + 10 x)$

= $(4 x^{5} - 10 x^{4} - 10 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x^{5} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x^{5} + x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- x^{5} + x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 2 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- x^{5} + x^{2}) + e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{2} + (- 5 x^{4} + 2 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} - 5 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{5} - 5 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4 + 0)$

= $\frac{1}{4 x + 5} \cdot (4)$

= $\frac{4}{4 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\sin (x) + 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(\sin (x) + 5)}^{2} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $9 {(\sin (x) + 5)}^{2} \cdot (\cos (x))$

= $9 {(\sin (x) + 5)}^{2} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 1$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 1$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 5,6) + 1$

= $1 + (- 0,8 x + 2 - 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $1 + (- 0,8 x - 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

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