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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x - 5) \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x - 5) \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(5 + 0) \cdot e^{- 3 x - 1} + (5 x - 5) \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $5 e^{- 3 x - 1} + (5 x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $5 e^{- 3 x - 1} - 3 (5 x - 5) \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (5 - 15 x + 15)$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 15 x + 20)$

= $(- 15 x + 20) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- x + 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- x + 4)}^{2}}$

= $- 2 {(- x + 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $4 {(- x + 4)}^{- 3} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{4}{{(- x + 4)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 7,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 10,2)$

= $(- 1,8 x + 10,2) \cdot e^{- 0,6 x}$