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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{15}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x - 5} + \frac{1}{2 x^{3}}$

= $2 e^{2 x - 5} + \frac{1}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $2 e^{2 x - 5} \cdot 2 - \frac{3}{2} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x - 5} \cdot 2 - \frac{3}{2 x^{4}}$

= $4 e^{2 x - 5} - \frac{3}{2 x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} - x) \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} - x) \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} - 1) \cdot e^{x + 1} + (5 x^{3} - x) \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $(15 x^{2} - 1) \cdot e^{x + 1} + (5 x^{3} - x) \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (5 x^{3} - x + 15 x^{2} - 1)$

= $e^{x + 1} \cdot (5 x^{3} + 15 x^{2} - x - 1)$

= $(5 x^{3} + 15 x^{2} - x - 1) \cdot e^{x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} + x} \cdot (15 x^{2} + 1)$

= $\frac{15 x^{2} + 1}{5 x^{3} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 8) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 8) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} - 8) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot (- 3 e^{1,1 x})$

≈ $- 426,129 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 2,1)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x - 1,1)$

= $(- 0,3 x - 1,1) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten