Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{4}{7} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} - 3 e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} - 3 e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} - 3 e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} + 3 e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{2} - 5} \cdot (- 2 x)$

= $4 \cdot e^{- x^{2} - 5} x$

= $4 x e^{- x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(2 x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(2 x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $- 8 {(2 x - 2)}^{3} \cdot (2)$

= $- 16 {(2 x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,05}^{64} \cdot 3 e^{1,05 x}$

≈ $68,114 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 10,5) - 8$

= $- 8 + (2,1 x - 3 + 10,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 8 + (2,1 x + 7,5) \cdot e^{- 0,7 x}$