Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $4 \cdot \cos (x) - 6 e^{- 2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 3) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x - 3) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x - 3) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 7,5) - 4$

= $- 4 + (1,5 x - 3 + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 + (1,5 x + 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$