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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x^{5} + 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (5 x^{5} + 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (5 x^{5} + 4 x^{3}) + e^{- x} \cdot (25 x^{4} + 12 x^{2})$

= $- e^{- x} \cdot (5 x^{5} + 4 x^{3}) + e^{- x} \cdot (25 x^{4} + 12 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{5} - 4 x^{3} + (25 x^{4} + 12 x^{2}))$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{5} + 25 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(- 5 x^{5} + 25 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 16 x^{3} + 4) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 16 x^{3} + 4) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{4} + 4 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 16 x^{3} + 4) \cdot e^{- x} - (- 4 x^{4} + 4 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{4} - 4 x - 16 x^{3} + 4)$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x + 4)$

= $(4 x^{4} - 16 x^{3} - 4 x + 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 5 x} \cdot (- 8 x - 5)$

= $\frac{- 8 x - 5}{- 4 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 9)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{77} \cdot (- e^{- 1,05 x})$

≈ $42,813 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 4$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 1,4) - 4$

= $- 4 + (- 1,4 x + 2 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 4 + (- 1,4 x + 0,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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