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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{x}$

= $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x - 2} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x - 2}$

= $e^{- 4 x - 2} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x} \cdot 1$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (3 x - 4)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 4) + x^{4} \cdot \cos (3 x - 4) \cdot (3 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 4) + x^{4} \cdot \cos (3 x - 4) \cdot (3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 4) + x^{4} \cdot 3 \cdot \cos (3 x - 4)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (3 x - 4) + 3 x^{4} \cdot \cos (3 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{59} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,002 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 5$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 5$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x + 0,4) + 5$

= $5 + (- 0,2 x + 2 + 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $5 + (- 0,2 x + 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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