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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5} + e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{5} + e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{2} x^{4} + e^{x + 5} \cdot 1$

= $\frac{15}{2} x^{4} + e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 2} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 2} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} + 2} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x + 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x + 4} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 4} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x + 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,9 x}$

f'(x) = $- e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{59}$

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f⁽⁵⁹⁾(x) = ${0,9}^{59} \cdot (- e^{0,9 x})$

≈ $- 0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 2,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x + 2,5)$

= $(- 2,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$