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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{3} - 3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 3 x} \cdot (6 x + 3)$

= $\frac{6 x + 3}{3 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 3)$

= $(- 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 2,4) - 6$

= $- 6 + (0,8 x - 1 + 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (0,8 x + 1,4) \cdot e^{- 0,8 x}$