Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{3} - e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{3} - e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} - e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- 3 x^{2} + e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $6 e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 10 x}{- 2 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x + 5)}{- x \cdot (2 x + 5)}$

= $\frac{- 2 (3 x + 5)}{- x \cdot (2 x + 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 27)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 30)$

= $(- 9 x + 30) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 87)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 6$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 1,2) + 6$

= $6 + (- 0,3 x + 3 - 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $6 + (- 0,3 x + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$