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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{5} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4} + (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $(6 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4} + (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $(6 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 10 x^{3} + 25 x^{2} + (6 x^{2} - 10 x))$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 10 x^{3} + 31 x^{2} - 10 x)$

= $(- 10 x^{3} + 31 x^{2} - 10 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 4} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 8) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 8) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 8) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${1,1}^{58} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $251,638 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x - 1,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 4,8)$

= $(0,9 x - 4,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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