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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{5}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{5}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{10}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 1) \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 1) \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 0) \cdot e^{- x - 1} + (- 5 x^{5} - 1) \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{- x - 1} + (- 5 x^{5} - 1) \cdot (- e^{- x - 1})$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{- x - 1} - (- 5 x^{5} - 1) \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (5 x^{5} + 1 - 25 x^{4})$

= $e^{- x - 1} \cdot (5 x^{5} - 25 x^{4} + 1)$

= $(5 x^{5} - 25 x^{4} + 1) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 2} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 2} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(\cos (x) - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(\cos (x) - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 3 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot (- \sin (x))$

= $3 {(\cos (x) - 1)}^{2} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 5,5 e^{1,1 x}$

f''(x) = $- 5,5 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,05 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 6,655 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 6,655 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $- 7,3205 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,1}^{63} \cdot (- 5 e^{1,1 x})$

≈ $- 2026,325 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 8$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 8$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 8$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 0,6) - 8$

= $- 8 + (- 0,3 x + 3 + 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 8 + (- 0,3 x + 3,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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