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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{x}$

= $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 3 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 2 e^{- 3 x + 1} \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \cos (x) - 6 e^{- 3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (x^{2} + 3 x) + e^{- 2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (x^{2} + 3 x) + e^{- 2 x} (2 x + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 6 x + 2 x + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x + 3)$

= $(- 2 x^{2} - 4 x + 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 4} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x^{2} + 4}$

= $- 3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x^{2} + 4}} \cdot (2 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{x^{2} + 4}} \cdot (2 x)$

= $- 3 \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,3153 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,3153 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,431 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{65} \cdot (- 2 e^{- 1,05 x})$

≈ $47,68 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} + 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 9)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x - 6)$

= $(- 1,5 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$