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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x + 2} - \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x + 2} - \frac{1}{3} \cdot \cos (x) + x^{4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x + 2} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 4 x^{3}$

= $- 3 e^{x + 2} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 4 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 5 x} \cdot (10 x - 5)$

= $\frac{10 x - 5}{5 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{3}}$

= $3 {(- 2 x^{3} - 2)}^{- 3}$

=> f'(x) = $- 9 {(- 2 x^{3} - 2)}^{- 4} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{4}} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $- \frac{9}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{4}} \cdot (- 6 x^{2})$

= $54 \frac{x^{2}}{{(- 2 x^{3} - 2)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{55} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 189,059 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 6$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 6$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x - 21,6) - 6$

= $- 6 + (3,6 x - 4 - 21,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 6 + (3,6 x - 25,6) \cdot e^{- 0,9 x}$