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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} + x^{3} \cdot e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} + x^{3} \cdot (- e^{- x + 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x + 5} - x^{3} \cdot e^{- x + 5}$

= $e^{- x + 5} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (4 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (4 x^{2} + 2 x) + e^{- 3 x} \cdot (8 x + 2)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (4 x^{2} + 2 x) + e^{- 3 x} \cdot (8 x + 2)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{2} - 6 x + 8 x + 2)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(- 12 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 8) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + (3 x + 8) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $3 \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x + 8) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x - 12,8) - 2$

= $- 2 + (3,2 x - 4 - 12,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (3,2 x - 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$