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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2} + (- x^{5} + x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $(- 5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2} + (- x^{5} + x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $(- 5 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 (- x^{5} + x^{3}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (2 x^{5} - 2 x^{3} + (- 5 x^{4} + 3 x^{2}))$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (2 x^{5} - 5 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{5} - 5 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x} + (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 6 x - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} + 6 x - 6 x - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} + 0 - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x^{2} - 3)$

= $(6 x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 8$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 8$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x + 1,8) + 8$

= $8 + (0,6 x - 2 + 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $8 + (0,6 x - 0,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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