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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x - 4} - 2 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x - 4} - 2 x^{5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3) - 10 x^{4}$

= $3 e^{- 3 x - 4} - 10 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(2 x^{3} + 1)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(2 x^{3} + 1)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(2 x^{3} + 1)}^{4} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 10 {(2 x^{3} + 1)}^{4} \cdot (6 x^{2})$

= $- 60 {(2 x^{3} + 1)}^{4} x^{2}$

= $- 60 x^{2} {(2 x^{3} + 1)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 5$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 4,8) + 5$

= $5 + (1,6 x - 4 - 4,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $5 + (1,6 x - 8,8) \cdot e^{- 0,4 x}$