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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4} + (5 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $(25 x^{4} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4} + (5 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $(25 x^{4} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 (5 x^{5} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 15 x^{5} + 15 x^{3} + (25 x^{4} - 15 x^{2}))$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 15 x^{5} + 25 x^{4} + 15 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 15 x^{5} + 25 x^{4} + 15 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{2} - 4} \cdot 6 x$

= $6 \cdot e^{3 x^{2} - 4} x$

= $6 x e^{3 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 4} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 4} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 9)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 12)$

= $(- 9 x + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{x}$

f'(x) = $- 4 e^{x}$

f''(x) = $- 4 e^{x}$

f'''(x) = $- 4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- 4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 2$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 2$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 3,6) + 2$

= $2 + (- 1,2 x + 3 - 3,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $2 + (- 1,2 x - 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$