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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1} + (- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $(- 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1} + (- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot 3 e^{3 x - 1}$

= $(- 25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1} + 3 (- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 1}$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 15 x^{5} + 15 x^{4} + (- 25 x^{4} + 20 x^{3}))$

= $e^{3 x - 1} \cdot (- 15 x^{5} - 10 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(- 15 x^{5} - 10 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 2} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 7) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 7) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 7) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 21 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 21)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 21) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 2,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x + 4,8)$

= $(- 1,4 x + 4,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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