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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 4} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + (- 2 x^{5} - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 2 x^{5} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} + 6 - 10 x^{4})$

= $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{5} - 10 x^{4} + 6)$

= $(4 x^{5} - 10 x^{4} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 2 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 2)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x + 2)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 6)$

= $(- 2 x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$