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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 3 \sqrt[3]{x} - 2 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 3 \sqrt[3]{x} - 2 e^{2 x + 4}$

= $\frac{3}{2} x^{2} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 2 e^{2 x + 4}$

=> f'(x) = $3 x + x^{- \frac{2}{3}} - 2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $3 x + \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $3 x + \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 4 e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 10 x^{3} + (8 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 18 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 4 x^{4} + 18 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- x - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- x - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- x - 2)}^{3} \cdot (- 1 + 0)$

= $4 {(- x - 2)}^{3} \cdot (- 1)$

= $- 4 {(- x - 2)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 54-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 54-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 54 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{54}$

Somit gilt für die 54-te Ableitung:

f⁽⁵⁴⁾(x) = ${0,9}^{54} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,003 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x - 2,4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,6 x - 5,4)$

= $(0,6 x - 5,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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