Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 5}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 5} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 5}$

= $e^{2 x - 5} \cdot (4 x^{3} + 2 x^{4})$

= $e^{2 x - 5} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x - 2 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - x} \cdot (2 x - 1)$

= $\frac{2 x - 1}{x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x + 9) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x + 9) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 18 + 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x - 15)$

= $(- 6 x - 15) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 5,4 - 3) + 9$

= $9 + (1,8 x + 5,4 - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $9 + (1,8 x + 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten