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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{3}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1} + x^{5} \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1} + x^{5} \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $5 x^{4} \cdot e^{5 x + 1} + 5 x^{5} \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 1} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x - 1}$

= $3 {(- 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x - 1}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x - 1}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{\sqrt{- 2 x - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x + 1)$

= $(- x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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