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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} + 1} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} + 1} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(2 x^{3} - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(2 x^{3} - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(2 x^{3} - 5)}^{3} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 4 {(2 x^{3} - 5)}^{3} \cdot (6 x^{2})$

= $- 24 {(2 x^{3} - 5)}^{3} x^{2}$

= $- 24 x^{2} {(2 x^{3} - 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x - 16,8) - 6$

= $- 6 + (2,4 x - 3 - 16,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (2,4 x - 19,8) \cdot e^{- 0,8 x}$