Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + (- 5 x^{5} + 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 25 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 5 x^{5} + 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{5} - 10 - 25 x^{4})$

= $e^{- 2 x} \cdot (10 x^{5} - 25 x^{4} - 10)$

= $(10 x^{5} - 25 x^{4} - 10) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 3} + x^{4} \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 3} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 3} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 2) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 2) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x + 2) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x + 2) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 4$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 4$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} + 4$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 4,5) + 4$

= $4 + (4,5 x - 5 + 4,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $4 + (4,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten