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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $- 4 e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{- x - 5} + (- 2 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- x - 5} + (- 2 x^{4} - 3) \cdot (- e^{- x - 5})$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- x - 5} - (- 2 x^{4} - 3) \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (2 x^{4} + 3 - 8 x^{3})$

= $e^{- x - 5} \cdot (2 x^{4} - 8 x^{3} + 3)$

= $(2 x^{4} - 8 x^{3} + 3) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $6 x \cdot e^{3 x} + (3 x^{2} - 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $6 x \cdot e^{3 x} + 3 (3 x^{2} - 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} - 6 + 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x^{2} + 6 x - 6)$

= $(9 x^{2} + 6 x - 6) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 5 x} \cdot (- 4 x + 5)$

= $\frac{- 4 x + 5}{- 2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (e^{- 2 x} - 1) \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 4 (e^{- 2 x} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $8 (e^{- 2 x} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- x}$

f'(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f'''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 1$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 8) - 1$

= $- 1 + (1,6 x - 4 - 8) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 1 + (1,6 x - 12) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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