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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) - 3 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + 6 e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- x} + (x - 5) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x} + (x - 5) \cdot (- e^{- x})$

= $e^{- x} - (x - 5) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x + 5 + 1)$

= $e^{- x} \cdot (- x + 6)$

= $(- x + 6) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x - 2} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x - 2} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (2 x - 1)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (2 x - 1) + x^{3} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2 + 0)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x - 1) + x^{3} \cdot \cos (2 x - 1) \cdot (2)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x - 1) + x^{3} \cdot 2 \cdot \cos (2 x - 1)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (2 x - 1) + 2 x^{3} \cdot \cos (2 x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $142,043 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 3$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 3$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x + 6 - 4) - 3$

= $- 3 + (2 x + 6 - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 3 + (2 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$