Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 5} + x^{2} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 5} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 5} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$

= $e^{5 x - 5} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (5 x^{2} + 2 x) + e^{- 3 x} \cdot (10 x + 2)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (5 x^{2} + 2 x) + e^{- 3 x} \cdot (10 x + 2)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 6 x + 10 x + 2)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 4 x + 2)$

= $(- 15 x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x + 5} \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $- \frac{4}{- 4 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 9 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 9)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 9) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $2,3 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $2,3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 2,645 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,0418 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0418 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,498 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 1,15)}^{38} \cdot (- 2 e^{- 1,15 x})$

≈ $- 405,087 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 2$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 2$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 7,2) - 2$

= $- 2 + (- 1,2 x + 3 + 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 2 + (- 1,2 x + 10,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten