Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} (3 x^{4} + 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} (3 x^{4} + 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (3 x^{4} + 3 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (12 x^{3} + 9 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} (3 x^{4} + 3 x^{3}) + e^{- 3 x} (12 x^{3} + 9 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} - 9 x^{3} + (12 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 9 x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} - 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} - 2} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 5 x} \cdot (- 9 x^{2} + 5)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 5}{- 3 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{x} - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{x} - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 3 {(e^{x} - 3)}^{2} \cdot (e^{x} + 0)$

= $- 3 {(e^{x} - 3)}^{2} \cdot (e^{x})$

= $- 3 {(e^{x} - 3)}^{2} \cdot e^{x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{63} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 7$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 7$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 2,1) - 7$

= $- 7 + (- 0,3 x + 3 + 2,1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 7 + (- 0,3 x + 5,1) \cdot e^{- 0,1 x}$