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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} + (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 6 x^{2} + (3 x^{2} + 4 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x)$

= $(- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 4} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x - 3}$

= $- {(- 2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 3}} \cdot (- 2 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 3}} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{\sqrt{- 2 x - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,5 e^{0,9 x}$

f''(x) = $4,5 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $4,05 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,645 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,645 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,2805 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${0,9}^{60} \cdot 5 e^{0,9 x}$

≈ $0,009 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x + 0,4)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 1,4)$

= $(- 0,2 x + 1,4) \cdot e^{- 0,2 x}$