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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 1} + \frac{3}{x^{3}} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 1} + \frac{3}{x^{3}} - 5$

= $- 2 e^{- 2 x + 1} + 3 x^{- 3} - 5$

=> f'(x) = $- 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) - 9 x^{- 4} + 0$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2) - \frac{9}{x^{4}} + 0$

= $4 e^{- 2 x + 1} - \frac{9}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{4} + 3 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{4} + 3 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (5 x^{4} + 3 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (20 x^{3} + 9 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (5 x^{4} + 3 x^{3}) + e^{- 3 x} \cdot (20 x^{3} + 9 x^{2})$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} - 9 x^{3} + (20 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{4} + 11 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 15 x^{4} + 11 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{65} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 490,371 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 2,4)$

= $(0,3 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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