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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x - 5} + 5 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x - 5} + 5 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x - 5} \cdot 3 + 5 \cdot \cos (x)$

= $3 e^{3 x - 5} + 5 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(12 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(12 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} + 15 x^{3} + (12 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{4} + 27 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 9 x^{4} + 27 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 16 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 16)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 16) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,95 x}$

f'(x) = $4 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,8 e^{0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,61 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $3,61 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,4295 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $3,258 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${0,95}^{69} \cdot 4 e^{0,95 x}$

≈ $0,116 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 5,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1,4 x + 3,6)$

= $(1,4 x + 3,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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