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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \sqrt{x} + 3 e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \sqrt{x} + 3 e^{2 x - 4}$

= $- 8 x^{\frac{1}{2}} + 3 e^{2 x - 4}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- \frac{1}{2}} + 3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{\sqrt{x}} + 3 e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $- \frac{4}{\sqrt{x}} + 6 e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{3} + 3} \cdot 9 x^{2}$

= $18 \cdot e^{3 x^{3} + 3} x^{2}$

= $18 x^{2} e^{3 x^{3} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 2} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} + 2} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 6)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 5)$

= $(2 x - 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 3)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 x - 2)$

= $(3 x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$