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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4} + (3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $(15 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4} + (3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $(15 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 (3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 9 x^{5} + 12 x^{3} + (15 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 9 x^{5} + 15 x^{4} + 12 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 9 x^{5} + 15 x^{4} + 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x - 1)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 6)$

= $(0,5 x - 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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