Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{11}{9} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{11}{9} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{9} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{55}{63} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{4}} - 3 e^{- x + 3} + 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{4}} - 3 e^{- x + 3} + 2 \sqrt{x}$

= $- 2 x^{- 4} - 3 e^{- x + 3} + 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8 x^{- 5} - 3 e^{- x + 3} \cdot (- 1) + x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x^{5}} - 3 e^{- x + 3} \cdot (- 1) + \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $\frac{8}{x^{5}} + 3 e^{- x + 3} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $3 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x + 1}$

= $- 2 {(x + 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(x + 1)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot (1)$

= $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,45 e^{1,15 x}$

f''(x) = $3,45 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $3,9675 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,5626 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,5626 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,247 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,15}^{47} \cdot 3 e^{1,15 x}$

≈ $2137,567 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 1)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 6)$

= $(- x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$