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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 1) \cdot e^{4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{4 x + 1} + (2 x - 1) \cdot e^{4 x + 1} \cdot 4$

= $2 e^{4 x + 1} + (2 x - 1) \cdot 4 e^{4 x + 1}$

= $2 e^{4 x + 1} + 4 (2 x - 1) \cdot e^{4 x + 1}$

= $e^{4 x + 1} \cdot (2 + 8 x - 4)$

= $e^{4 x + 1} \cdot (8 x - 2)$

= $(8 x - 2) \cdot e^{4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 8 \cdot e^{- 2 x^{2} - 4} x$

= $- 8 x e^{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 2 x - 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 2 x - 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(- 2 x - 3)}^{3} \cdot (- 2 + 0)$

= $- 12 {(- 2 x - 3)}^{3} \cdot (- 2)$

= $24 {(- 2 x - 3)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${1,05}^{75} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $38,833 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $- e^{- 0,7 x} - (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x + 2,1) - 6$

= $- 6 + (0,7 x - 1 + 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 6 + (0,7 x + 1,1) \cdot e^{- 0,7 x}$