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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{2}{5} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x + 2} - \frac{7}{4} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x + 2} - \frac{7}{4} x^{4}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2) - 7 x^{3}$

= $2 e^{- 2 x + 2} - 7 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 1) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 1) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 1) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 38-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 38-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 38 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{38}$

Somit gilt für die 38-te Ableitung:

f⁽³⁸⁾(x) = ${(- 1,15)}^{38} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $202,543 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 5$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 5$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 2,4) - 5$

= $- 5 + (2,4 x - 4 + 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 5 + (2,4 x - 1,6) \cdot e^{- 0,6 x}$