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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x + 2} + x^{4} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x + 2} + x^{4} \cdot (- e^{- x + 2})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x + 2} - x^{4} \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 7$

= $e^{- 0,2 x} + (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 7$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x - 0,4) + 7$

= $7 + (- 0,2 x + 1 - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $7 + (- 0,2 x + 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$