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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{8}{9} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{8}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{16}{27} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}} - e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}} - e^{- 3 x + 4}$

= $- 3 x^{- 3} - e^{- 3 x + 4}$

=> f'(x) = $9 x^{- 4} - e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x^{4}} - e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $\frac{9}{x^{4}} + 3 e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 31,5) + 2$

= $2 + (4,5 x - 5 - 31,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (4,5 x - 36,5) \cdot e^{- 0,9 x}$