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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{4} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2} + (- 3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $(- 15 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2} + (- 3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x + 2}$

= $(- 15 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2} + 3 (- 3 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{3 x + 2}$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 9 x^{5} - 12 x^{3} + (- 15 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{3 x + 2} \cdot (- 9 x^{5} - 15 x^{4} - 12 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 9 x^{5} - 15 x^{4} - 12 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x} + (- 2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 5 x^{2} + (- 6 x^{2} - 10 x))$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{3} - 11 x^{2} - 10 x)$

= $(- 2 x^{3} - 11 x^{2} - 10 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{3 x} - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{3 x} - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(e^{3 x} - 4)}^{2} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $3 {(e^{3 x} - 4)}^{2} \cdot (3 e^{3 x})$

= $9 {(e^{3 x} - 4)}^{2} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 6$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 2,4) + 6$

= $6 + (- 1,2 x + 2 - 2,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $6 + (- 1,2 x - 0,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen ableiten

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