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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 1) \cdot e^{4 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 1) \cdot e^{4 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{4 x - 2} + (- 4 x - 1) \cdot e^{4 x - 2} \cdot 4$

= $- 4 e^{4 x - 2} + (- 4 x - 1) \cdot 4 e^{4 x - 2}$

= $- 4 e^{4 x - 2} + 4 (- 4 x - 1) \cdot e^{4 x - 2}$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 4 - 16 x - 4)$

= $e^{4 x - 2} \cdot (- 16 x - 8)$

= $(- 16 x - 8) \cdot e^{4 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x \cdot e^{3 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x \cdot e^{3 x} + 3 (2 x^{2} + 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 3 + 4 x)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{2} + 4 x + 3)$

= $(6 x^{2} + 4 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x - 15,2)$

= $(1,6 x - 15,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

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