Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3} + x^{5} \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} - 2} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x + 1}$

= $- 2 {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- x + 1}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x + 1}} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x + 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${1,15}^{46} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $619,585 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 9$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 4,8) - 9$

= $- 9 + (- 1,2 x + 2 + 4,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 9 + (- 1,2 x + 6,8) \cdot e^{- 0,6 x}$