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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 1) \cdot e^{- 4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 1) \cdot e^{- 4 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 0) \cdot e^{- 4 x + 3} + (- 5 x^{4} - 1) \cdot e^{- 4 x + 3} \cdot (- 4)$

= $- 20 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} + (- 5 x^{4} - 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 3})$

= $- 20 x^{3} \cdot e^{- 4 x + 3} - 4 (- 5 x^{4} - 1) \cdot e^{- 4 x + 3}$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (20 x^{4} + 4 - 20 x^{3})$

= $e^{- 4 x + 3} \cdot (20 x^{4} - 20 x^{3} + 4)$

= $(20 x^{4} - 20 x^{3} + 4) \cdot e^{- 4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{2} + 3} \cdot 4 x$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{2} + 3} x$

= $- 12 x e^{2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{- x + 4}$

= $2 {(- x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(- x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{- x + 4}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x + 4}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 72-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${(- 0,95)}^{72} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,025 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 8$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 2) + 8$

= $8 + (2 x - 4 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $8 + (2 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

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