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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{3 x + 4} + (- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $- 8 x \cdot e^{3 x + 4} + (- 4 x^{2} - 3) \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $- 8 x \cdot e^{3 x + 4} + 3 (- 4 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 12 x^{2} - 9 - 8 x)$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 12 x^{2} - 8 x - 9)$

= $(- 12 x^{2} - 8 x - 9) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 4) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 4) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{x} + (- 4 x - 4) \cdot e^{x}$

= $- 4 e^{x} + (- 4 x - 4) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 4 - 4 x - 4)$

= $e^{x} \cdot (- 4 x - 8)$

= $(- 4 x - 8) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(x^{3} + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(x^{3} + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(x^{3} + 2)}^{4} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- 15 {(x^{3} + 2)}^{4} \cdot (3 x^{2})$

= $- 45 {(x^{3} + 2)}^{4} x^{2}$

= $- 45 x^{2} {(x^{3} + 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x - 6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $(- 2 x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten