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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{9} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{8}{9} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{16}{9} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x - 2} + (- 2 x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $(- 10 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x - 2} + (- 2 x^{5} + 4 x) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $(- 10 x^{4} + 4) \cdot e^{2 x - 2} + 2 (- 2 x^{5} + 4 x) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 4 x^{5} + 8 x - 10 x^{4} + 4)$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 8 x + 4)$

= $(- 4 x^{5} - 10 x^{4} + 8 x + 4) \cdot e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot (2 x - 2)$

= $- e^{- x} \cdot (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot (2 x - 2)$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x + 2 x - 2)$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 4 x - 2)$

= $(- x^{2} + 4 x - 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 3 x} \cdot (- 10 x + 3)$

= $\frac{- 10 x + 3}{- 5 x^{2} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x - 4}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 4} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x - 4} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x - 4}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x - 4}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,15}^{47} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $712,522 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 9$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 9$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 3,2) - 9$

= $- 9 + (- 1,6 x + 4 + 3,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 9 + (- 1,6 x + 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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