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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} + e^{2 x - 5} - \frac{1}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x} + e^{2 x - 5} - \frac{1}{3 x^{4}}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}} + e^{2 x - 5} - \frac{1}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}} + e^{2 x - 5} \cdot 2 + \frac{4}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}} + e^{2 x - 5} \cdot 2 + \frac{4}{3 x^{5}}$

= $- \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 e^{2 x - 5} + \frac{4}{3 x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 3 x} \cdot (4 x - 3)$

= $\frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{- 2 x^{2} + 2}$

= $- {(- 2 x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(- 2 x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 2}} \cdot (- 4 x)$

= $2 \frac{x}{\sqrt{- 2 x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 20) - 2$

= $- 2 + (4 x - 5 - 20) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (4 x - 25) \cdot e^{- 0,8 x}$