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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(- 25 x^{4} - 3) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 5 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $(- 25 x^{4} - 3) \cdot e^{- 3 x - 5} + (- 5 x^{5} - 3 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $(- 25 x^{4} - 3) \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 (- 5 x^{5} - 3 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (15 x^{5} + 9 x - 25 x^{4} - 3)$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (15 x^{5} - 25 x^{4} + 9 x - 3)$

= $(15 x^{5} - 25 x^{4} + 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\sin (x^{2} - 3) \cdot (2 x + 0)$

= $\sin (x^{2} - 3) \cdot (2 x)$

= $2 \sin (x^{2} - 3) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2} - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,1 x}$

f'(x) = $3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $3,3 e^{1,1 x}$

f''(x) = $3,3 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $3,63 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $3,63 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $3,993 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,993 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $4,3923 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${1,1}^{52} \cdot 3 e^{1,1 x}$

≈ $426,129 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- x - 3)$

= $(- x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$