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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 3 e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{2} + 3 e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3} x + 3 e^{x + 2} \cdot 1$

= $- \frac{4}{3} x + 3 e^{x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 4) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 4) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} + 0) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} - 4) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $20 x^{3} \cdot e^{- x} + (5 x^{4} - 4) \cdot (- e^{- x})$

= $20 x^{3} \cdot e^{- x} - (5 x^{4} - 4) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 + 20 x^{3})$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 20 x^{3} + 4)$

= $(- 5 x^{4} + 20 x^{3} + 4) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 3 x^{3} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 3 x^{3} + 1)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 3 x^{3} + 1) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (- 3 x^{3} + 1) \cdot (- 9 x^{2})$

= $27 \sin (- 3 x^{3} + 1) x^{2}$

= $27 x^{2} \cdot \sin (- 3 x^{3} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 87-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 87-te Ableitung:

f⁽⁸⁷⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 2$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 2$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 2$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 0,8) - 2$

= $- 2 + (0,8 x - 1 - 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 2 + (0,8 x - 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$