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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 3) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{5 x - 2} + (3 x^{2} - 3) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $6 x \cdot e^{5 x - 2} + (3 x^{2} - 3) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $6 x \cdot e^{5 x - 2} + 5 (3 x^{2} - 3) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (15 x^{2} - 15 + 6 x)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (15 x^{2} + 6 x - 15)$

= $(15 x^{2} + 6 x - 15) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 2) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 4 x + 2) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 4 x + 2) \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x - 4 x + 2)$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(- 6 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 5) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (3 x) + (2 x + 5) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 \cdot \cos (3 x) + (2 x + 5) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 \cdot \cos (3 x) - 3 (2 x + 5) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${1,1}^{64} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $445,792 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 7,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x + 4,2)$

= $(2,4 x + 4,2) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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