Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{5} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{3}{5} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{15} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} + (- 5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} + (- 5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $(- 20 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 (- 5 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (15 x^{4} - 9 x^{3} + (- 20 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (15 x^{4} - 29 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(15 x^{4} - 29 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 4 x \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{2} - 3) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{2} - 3) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{2} + 9 - 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{2} - 4 x + 9)$

= $(6 x^{2} - 4 x + 9) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 2 x} \cdot (8 x + 2)$

= $\frac{8 x + 2}{4 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 3}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{x + 3} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{x + 3} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{x + 3}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $115,805 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 1,8)$

= $(- 2,4 x - 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten