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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 5} + x^{5} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 5} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 15)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 17)$

= $(- 6 x + 17) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${0,9}^{52} \cdot (- 4 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,017 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 5,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 8,4)$

= $(- 1,8 x + 8,4) \cdot e^{- 0,6 x}$