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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $- \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5} + (- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $(- 12 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5} + (- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $(- 12 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 (- 3 x^{4} + 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (6 x^{4} - 4 x^{3} + (- 12 x^{3} + 6 x^{2}))$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (6 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(6 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 6) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 18 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 18)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 18) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 14,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2,4 x - 10,4)$

= $(- 2,4 x - 10,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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