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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{8}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} - \frac{3}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} - \frac{3}{x^{4}}$

= $- 2 e^{- x - 1} - 3 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) + 12 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x - 1} \cdot (- 1) + \frac{12}{x^{5}}$

= $2 e^{- x - 1} + \frac{12}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x} \cdot 1$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x - 5)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x - 5) \cdot (- 2 + 0)$

= $3 \cdot \sin (- 2 x - 5) \cdot (- 2)$

= $- 6 \cdot \sin (- 2 x - 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{0,95 x}$

f'(x) = $2 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,9 e^{0,95 x}$

f''(x) = $1,9 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,805 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $1,805 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,7148 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,7148 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $1,629 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${0,95}^{74} \cdot 2 e^{0,95 x}$

≈ $0,045 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x - 3)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 x - 8)$

= $(3 x - 8) \cdot e^{- 0,6 x}$