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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + x) \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + x) \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 1) \cdot e^{- x - 4} + (- 3 x^{5} + x) \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $(- 15 x^{4} + 1) \cdot e^{- x - 4} + (- 3 x^{5} + x) \cdot (- e^{- x - 4})$

= $(- 15 x^{4} + 1) \cdot e^{- x - 4} - (- 3 x^{5} + x) \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (3 x^{5} - x - 15 x^{4} + 1)$

= $e^{- x - 4} \cdot (3 x^{5} - 15 x^{4} - x + 1)$

= $(3 x^{5} - 15 x^{4} - x + 1) \cdot e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} - 5} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} - 5} x$

= $12 x e^{2 x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(3 x^{2} - 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(3 x^{2} - 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(3 x^{2} - 5)}^{4} \cdot (6 x + 0)$

= $- 10 {(3 x^{2} - 5)}^{4} \cdot (6 x)$

= $- 60 {(3 x^{2} - 5)}^{4} x$

= $- 60 x {(3 x^{2} - 5)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 3$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 3$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x + 1,6) - 3$

= $- 3 + (0,4 x - 2 + 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 3 + (0,4 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$