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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x}$

$f'(x) =$ $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + x^{3} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 5} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 5}$

= $e^{5 x - 5} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $27 \cdot e^{- 3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $27 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 9$

= $- e^{- 0,3 x} - (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 9$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x - 0,6) - 9$

= $- 9 + (0,3 x - 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 9 + (0,3 x - 1,6) \cdot e^{- 0,3 x}$