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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt[3]{x} + 2 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt[3]{x} + 2 e^{- x + 4}$

= $2 x^{\frac{1}{3}} + 2 e^{- x + 4}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 2 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $\frac{2}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{3} - 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 27 \cdot e^{- 3 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 27 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (- 4 x + 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (- 4 x + 3) \cdot (- 4 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (- 4 x + 3) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 4 x + 3) \cdot (- 4 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (- 4 x + 3) \cdot (- 4))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (- 4 x + 3)}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $2 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $2 e^{- 0,4 x} - 0,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 - 0,8 x - 4,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,8 x - 2,8)$

= $(- 0,8 x - 2,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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