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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 x \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} - 3) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 6 x \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 9 - 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 6 x - 9)$

= $(- 9 x^{2} - 6 x - 9) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{3} + e^{2 x} \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{3} + 3 \cdot e^{2 x} x^{2}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 3}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 3} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 4 x - 3} + \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 3} \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x - 3}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 3})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x - 3}}{\sqrt{x}} - 4 \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{77} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 42,813 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 12,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x + 9,6)$

= $(1,8 x + 9,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen ableiten

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