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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (3 x^{2} - 2 x^{3})$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{5} + e^{- x} \cdot 5 x^{4}$

= $- e^{- x} x^{5} + 5 \cdot e^{- x} x^{4}$

= $e^{- x} \cdot (5 x^{4} - x^{5})$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 5} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x - 5) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\sin (- 2 x) + (x - 5) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\sin (- 2 x) - 2 (x - 5) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x + 2,5 - 5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 2,5)$

= $(0,5 x - 2,5) \cdot e^{- 0,1 x}$