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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x - 4} - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x - 4} - \frac{3}{4} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x - 4} \cdot 3 - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)$

= $9 e^{3 x - 4} - \frac{3}{4} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (4 x + 4) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x} + (4 x + 4) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 e^{- 2 x} - 2 (4 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x - 8 + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x - 4)$

= $(- 8 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 3 x - 5)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 3 x - 5)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(- 3 x - 5)}^{2} \cdot (- 3 + 0)$

= $9 {(- 3 x - 5)}^{2} \cdot (- 3)$

= $- 27 {(- 3 x - 5)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 5,6 - 4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,8 x - 9,6)$

= $(2,8 x - 9,6) \cdot e^{- 0,7 x}$