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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 3 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 3 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{9}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x - 2} + 4 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x - 2} + 4 x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x - 2} \cdot 3 + 12 x^{2}$

= $3 e^{3 x - 2} + 12 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} - 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 4 + 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 4 x - 4)$

= $(4 x^{2} + 4 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 3,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3,2 x + 0,8)$

= $(- 3,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$