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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{4}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 2} + \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 2} + \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 2} \cdot 3 + \cos (x)$

= $3 e^{3 x + 2} + \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{3} - 1} \cdot 3 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{x^{3} - 1} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x + 1) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x + 1) \cdot (- 3 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x + 1) + x^{5} \cdot \cos (- 3 x + 1) \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x + 1) + x^{5} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x + 1))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 3 x + 1) - 3 x^{5} \cdot \cos (- 3 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,02 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 9$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 9$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} + 9$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x - 0,9) + 9$

= $9 + (- 0,3 x + 3 - 0,9) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $9 + (- 0,3 x + 2,1) \cdot e^{- 0,1 x}$