Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x}$

$f'(x) =$ $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} + 5 \cdot \sin (x) - 8 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} + 5 \cdot \sin (x) - 8 x^{2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2) + 5 \cdot \cos (x) - 16 x$

= $- 4 e^{- 2 x + 5} + 5 \cdot \cos (x) - 16 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x - 12)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 10)$

= $(4 x - 10) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 6$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 6$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 12,5) - 6$

= $- 6 + (2,5 x - 5 - 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 6 + (2,5 x - 17,5) \cdot e^{- 0,5 x}$