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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 2) \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 2) \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{4 x - 1} + (2 x^{2} + 2) \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $4 x \cdot e^{4 x - 1} + (2 x^{2} + 2) \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $4 x \cdot e^{4 x - 1} + 4 (2 x^{2} + 2) \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (8 x^{2} + 8 + 4 x)$

= $e^{4 x - 1} \cdot (8 x^{2} + 4 x + 8)$

= $(8 x^{2} + 4 x + 8) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 2} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{3} + 2} \cdot (- 12 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{- 4 x^{3} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${1,1}^{47} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $88,197 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x - 7,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,5 x - 12,5)$

= $(1,5 x - 12,5) \cdot e^{- 0,3 x}$