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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x + 4} - \frac{5}{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x + 4} - \frac{5}{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

= $e^{2 x + 4} - 5 x^{- 3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{2 x + 4} \cdot 2 + 15 x^{- 4} - x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $e^{2 x + 4} \cdot 2 + \frac{15}{x^{4}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $2 e^{2 x + 4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x \cdot e^{2 x} + (2 x^{2} + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{2} + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 2 + 4 x)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 4 x + 2)$

= $(4 x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{3 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{50} \cdot 4 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 12,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1,8 x - 14,6)$

= $(1,8 x - 14,6) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen ableiten

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