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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{5 x - 3} + (3 x + 1) \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $3 e^{5 x - 3} + (3 x + 1) \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $3 e^{5 x - 3} + 5 (3 x + 1) \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (3 + 15 x + 5)$

= $e^{5 x - 3} \cdot (15 x + 8)$

= $(15 x + 8) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x + 15)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 18)$

= $(9 x + 18) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 4} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 7) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 7) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 14 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 14)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 14) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x + 3,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,9 x + 6,6)$

= $(- 0,9 x + 6,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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