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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $\frac{22}{27} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 5} + x^{2} \cdot e^{5 x - 5} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 5} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 5}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 5} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 5}$

= $e^{5 x - 5} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- x + 1) + e^{2 x} \cdot (- 1 + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- x + 1) + e^{2 x} \cdot (- 1)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- x + 1) - e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 1 - 2 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

= $(- 2 x + 1) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (2 x + 4) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + (2 x + 4) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $2 \cdot \cos (- 3 x) + 3 (2 x + 4) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,85}^{46} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 1$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 1$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 0,6) - 1$

= $- 1 + (- 0,3 x + 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 1 + (- 0,3 x + 0,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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