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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{8}{3} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x - 5)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x - 5) + e^{x} \cdot (4 + 0)$

= $e^{x} \cdot (4 x - 5) + e^{x} \cdot (4)$

= $e^{x} \cdot (4 x - 5) + 4 e^{x}$

= $e^{x} \cdot (4 + 4 x - 5)$

= $e^{x} \cdot (4 x - 1)$

= $(4 x - 1) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 8)$

= $(- 6 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x^{3} - 1) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- 2 \cdot \cos (x^{3} - 1) \cdot (3 x^{2})$

= $- 6 \cos (x^{3} - 1) x^{2}$

= $- 6 x^{2} \cdot \cos (x^{3} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{60} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $304,482 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x + 2,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 3,8)$

= $(- 0,4 x + 3,8) \cdot e^{- 0,4 x}$