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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 0) \cdot e^{- x - 2} + (- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x - 2} + (- 2 x^{5} + 5) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $- 10 x^{4} \cdot e^{- x - 2} - (- 2 x^{5} + 5) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (2 x^{5} - 5 - 10 x^{4})$

= $e^{- x - 2} \cdot (2 x^{5} - 10 x^{4} - 5)$

= $(2 x^{5} - 10 x^{4} - 5) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 6) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 6) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 6) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x - 6) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,6 e^{0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $3,24 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,916 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,6244 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${0,9}^{48} \cdot 4 e^{0,9 x}$

≈ $0,025 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 7$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 7$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 18) + 7$

= $7 + (3 x - 5 + 18) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $7 + (3 x + 13) \cdot e^{- 0,6 x}$