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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 4 x + 4} + (2 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $2 e^{- 4 x + 4} + (2 x - 2) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $2 e^{- 4 x + 4} - 4 (2 x - 2) \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (2 - 8 x + 8)$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 8 x + 10)$

= $(- 8 x + 10) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 2 x + 5}$

= $3 {(- 2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x + 5}} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 2 x + 5}} \cdot (- 2)$

= $- \frac{3}{\sqrt{- 2 x + 5}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 3,6)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 0,4)$

= $(- 1,2 x + 0,4) \cdot e^{- 0,3 x}$