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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{1}{4} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{1}{4} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{9}{32} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{- 4 x - 1} + (- 3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $- 6 x \cdot e^{- 4 x - 1} + (- 3 x^{2} - 2) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $- 6 x \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 (- 3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (12 x^{2} + 8 - 6 x)$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (12 x^{2} - 6 x + 8)$

= $(12 x^{2} - 6 x + 8) \cdot e^{- 4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 3) \cdot \cos (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \cos (x^{3}) + (2 x + 3) \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) + (2 x + 3) \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $2 \cdot \cos (x^{3}) - 3 (2 x + 3) \sin (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x - 3,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x - 0,6)$

= $(- 1,2 x - 0,6) \cdot e^{- 0,4 x}$