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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} + (- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $(- 8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} + (- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x - 3}$

= $(- 8 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3} + 3 (- 2 x^{4} - 5 x^{3}) \cdot e^{3 x - 3}$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{4} - 15 x^{3} + (- 8 x^{3} - 15 x^{2}))$

= $e^{3 x - 3} \cdot (- 6 x^{4} - 23 x^{3} - 15 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} - 23 x^{3} - 15 x^{2}) \cdot e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{3} + e^{x} \cdot 3 x^{2}$

= $e^{x} x^{3} + 3 \cdot e^{x} x^{2}$

= $e^{x} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - 3} \cdot (15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{3} - 3} \cdot (15 x^{2})$

= $15 \frac{x^{2}}{5 x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${(- 0,9)}^{57} \cdot 5 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,012 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x - 10)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 x - 5)$

= $(- 2 x - 5) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen ableiten

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