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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{15}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x + 3} \cdot 1$

= $3 e^{x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 5$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 5$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x - 8,4) + 5$

= $5 + (- 1,2 x + 2 - 8,4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $5 + (- 1,2 x - 6,4) \cdot e^{- 0,6 x}$