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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{9}{20} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x + 1} \cdot 3 + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

= $- 9 e^{3 x + 1} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} - 2} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} - 2} x$

= $18 x e^{3 x^{2} - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 1) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 1) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} - 1) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{47} \cdot 5 e^{- 1,15 x}$

≈ $- 3562,612 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $2 e^{- 0,6 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $2 e^{- 0,6 x} - 1,2 (x - 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2 - 1,2 x + 1,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,2 x + 3,2)$

= $(- 1,2 x + 3,2) \cdot e^{- 0,6 x}$