Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{4}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{2} + 3 e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 x + 3 e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $- 3 x - 6 e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x - 2} + (2 x - 5) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $2 e^{2 x - 2} + (2 x - 5) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $2 e^{2 x - 2} + 2 (2 x - 5) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 + 4 x - 10)$

= $e^{2 x - 2} \cdot (4 x - 8)$

= $(4 x - 8) \cdot e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x + 6) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x + 6) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x + 12)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x + 14)$

= $(4 x + 14) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 2$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 2$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 8,4) + 2$

= $2 + (1,2 x - 3 + 8,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $2 + (1,2 x + 5,4) \cdot e^{- 0,4 x}$