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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x + 3} - \frac{1}{4} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x + 3} - \frac{1}{4} x^{3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3) - \frac{3}{4} x^{2}$

= $3 e^{- 3 x + 3} - \frac{3}{4} x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} + 2} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 2} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 4} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} - 4} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 2 x) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,1}^{61} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $334,93 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 1$

= $- 4 e^{- 0,9 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 1$

= $- 4 e^{- 0,9 x} + 3,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4 + 3,6 x + 10,8) - 1$

= $- 1 + (3,6 x - 4 + 10,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 1 + (3,6 x + 6,8) \cdot e^{- 0,9 x}$