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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + 2 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 5) \cdot e^{2 x + 1} + (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{2 x + 1} + (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $(- 6 x + 5) \cdot e^{2 x + 1} + 2 (- 3 x^{2} + 5 x) \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (- 6 x^{2} + 10 x - 6 x + 5)$

= $e^{2 x + 1} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x + 5)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x + 5) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (5 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (5 x^{2} + 2) + e^{- 3 x} \cdot (10 x + 0)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (5 x^{2} + 2) + e^{- 3 x} \cdot (10 x)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (5 x^{2} + 2) + 10 \cdot e^{- 3 x} x$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 6 + 10 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 10 x - 6)$

= $(- 15 x^{2} + 10 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (2 x^{2} + 8) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $4 x \cdot \cos (- 3 x) + (2 x^{2} + 8) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $4 x \cdot \cos (- 3 x) + 3 (2 x^{2} + 8) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x + 5)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (x + 0)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot x$

= $x \cdot e^{- 0,2 x}$