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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot (- 2 x^{3} - x) + e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 1)$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 2 x^{3} - x) + e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x - 1)$

= $(6 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(2 x + 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(2 x + 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $5 {(2 x + 4)}^{4} \cdot (2 + 0)$

= $5 {(2 x + 4)}^{4} \cdot (2)$

= $10 {(2 x + 4)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${1,1}^{45} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $72,89 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 2$

= $- e^{- 0,5 x} - (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 2$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x - 2) + 2$

= $2 + (0,5 x - 1 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $2 + (0,5 x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$