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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 6 x) \cdot e^{2 x - 4} + (3 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $(12 x^{3} + 6 x) \cdot e^{2 x - 4} + (3 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $(12 x^{3} + 6 x) \cdot e^{2 x - 4} + 2 (3 x^{4} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (6 x^{4} + 6 x^{2} + (12 x^{3} + 6 x))$

= $e^{2 x - 4} \cdot (6 x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x)$

= $(6 x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{3} + 4} \cdot 6 x^{2}$

= $- 12 \cdot e^{2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 12 x^{2} e^{2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- x - 1)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- x - 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- x - 1) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- x - 1) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1) \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- \cos (- x - 1))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- x - 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- x - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 3$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 3$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 1,8) - 3$

= $- 3 + (- 0,6 x + 1 - 1,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 3 + (- 0,6 x - 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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