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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 5} + x^{2} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 5} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\sin (x) - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\sin (x) - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(\sin (x) - 4)}^{4} \cdot (\cos (x) + 0)$

= $15 {(\sin (x) - 4)}^{4} \cdot (\cos (x))$

= $15 {(\sin (x) - 4)}^{4} \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 2$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} + 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x - 2) + 2$

= $2 + (2 x - 5 - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $2 + (2 x - 7) \cdot e^{- 0,4 x}$