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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} + 2 e^{x - 1} + 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} + 2 e^{x - 1} + 2 \sqrt{x}$

= $- 2 x^{- 2} + 2 e^{x - 1} + 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $4 x^{- 3} + 2 e^{x - 1} \cdot 1 + x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x^{3}} + 2 e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $\frac{4}{x^{3}} + 2 e^{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} + 2} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (- 6 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{- 6 x^{2} - 10 x}{- 2 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (3 x + 5)}{- x \cdot (2 x + 5)}$

= $\frac{- 2 (3 x + 5)}{- x \cdot (2 x + 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 5) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${0,95}^{65} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,036 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 2$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 2$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 6) - 2$

= $- 2 + (2 x - 4 - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 2 + (2 x - 10) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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