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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{2}{3} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{2}{3} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{6} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 4 x + 0) \cdot e^{- 3 x - 4} + (- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- 4 x \cdot e^{- 3 x - 4} + (- 2 x^{2} + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 4})$

= $- 4 x \cdot e^{- 3 x - 4} - 3 (- 2 x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x - 4}$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (6 x^{2} - 6 - 4 x)$

= $e^{- 3 x - 4} \cdot (6 x^{2} - 4 x - 6)$

= $(6 x^{2} - 4 x - 6) \cdot e^{- 3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} - 3} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{2} - 3} \cdot (- 4 x)$

= $- 4 \frac{x}{- 2 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (3 x) + x^{5} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x) + x^{5} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (3 x) + 3 x^{5} \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${(- 0,9)}^{53} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,004 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 4,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 7,8)$

= $(1,2 x - 7,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen ableiten

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