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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 1) \cdot e^{5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 1) \cdot e^{5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{5 x - 2} + (4 x + 1) \cdot e^{5 x - 2} \cdot 5$

= $4 e^{5 x - 2} + (4 x + 1) \cdot 5 e^{5 x - 2}$

= $4 e^{5 x - 2} + 5 (4 x + 1) \cdot e^{5 x - 2}$

= $e^{5 x - 2} \cdot (4 + 20 x + 5)$

= $e^{5 x - 2} \cdot (20 x + 9)$

= $(20 x + 9) \cdot e^{5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (- x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 1) + e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} (- x^{3} - 1) + e^{3 x} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{3 x} (- x^{3} - 1) - 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 3 - 3 x^{2})$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 3)$

= $(- 3 x^{3} - 3 x^{2} - 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $10 {(e^{- 2 x} + 5)}^{4} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $10 {(e^{- 2 x} + 5)}^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 20 {(e^{- 2 x} + 5)}^{4} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 0,8) - 6$

= $- 6 + (0,8 x - 1 - 0,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (0,8 x - 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$