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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{x - 3} + (- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{x - 3} \cdot 1$

= $(- 20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{x - 3} + (- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{x - 3}$

= $e^{x - 3} \cdot (- 4 x^{5} - 2 x^{3} + (- 20 x^{4} - 6 x^{2}))$

= $e^{x - 3} \cdot (- 4 x^{5} - 20 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(- 4 x^{5} - 20 x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} + 2} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} + 2} x$

= $6 x e^{x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (- 2 x) + x^{3} \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 2 x) + x^{3} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $3 x^{2} \cdot \sin (- 2 x) - 2 x^{3} \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 3,4 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 3,4 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,89 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $2,89 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,4565 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,4565 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,088 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{32} \cdot 4 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,022 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 6,3)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9 x - 5,3)$

= $(- 0,9 x - 5,3) \cdot e^{- 0,9 x}$