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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{\frac{10}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{\frac{10}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{10}{9} x} \cdot \frac{10}{9}$

= $\frac{20}{21} e^{\frac{10}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x - 5} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 3 e^{- 2 x - 5} + \frac{4}{3} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 3 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

= $3 \cdot \cos (x) - 6 e^{- 2 x - 5} - \frac{4}{3} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (2 x^{2} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (4 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (4 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} + 2) + 4 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} - 4 + 4 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x - 4)$

= $(- 4 x^{2} + 4 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 4 x} \cdot (- 12 x^{2} + 4)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 4}{- 4 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,9)}^{46} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,008 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $- e^{- 0,3 x} - (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x + 1,5) - 4$

= $- 4 + (0,3 x - 1 + 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (0,3 x + 0,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

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