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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{15} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} - 1)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (4 x^{4} - 1) + e^{- 2 x} \cdot (16 x^{3} + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} - 1) + e^{- 2 x} \cdot (16 x^{3})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} - 1) + 16 \cdot e^{- 2 x} x^{3}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{4} + 2 + 16 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{4} + 16 x^{3} + 2)$

= $(- 8 x^{4} + 16 x^{3} + 2) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 5 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} - 5 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{2} - 5) \cdot e^{x} + (- 5 x^{3} - 5 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 5 x - 15 x^{2} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- 5 x^{3} - 15 x^{2} - 5 x - 5)$

= $(- 5 x^{3} - 15 x^{2} - 5 x - 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x - 1}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 1} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x - 1} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x - 1}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x - 1}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x - 1}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 4$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x + 4) - 4$

= $- 4 + (2 x - 5 + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 4 + (2 x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

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