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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{11}{8} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{11}{8} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{11}{8} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{33}{28} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 2} \cdot (- 5)$

= $(- 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 2} + (- 4 x^{3} - 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 2})$

= $(- 12 x^{2} - 2) \cdot e^{- 5 x - 2} - 5 (- 4 x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 5 x - 2}$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (20 x^{3} + 10 x - 12 x^{2} - 2)$

= $e^{- 5 x - 2} \cdot (20 x^{3} - 12 x^{2} + 10 x - 2)$

= $(20 x^{3} - 12 x^{2} + 10 x - 2) \cdot e^{- 5 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{2} - 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 3 x^{2} - 1} x$

= $- 12 x e^{- 3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (- 4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (- 4 x - 4)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (- 4 x - 4)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (- 4 x - 4) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (- 4 x - 4) \cdot (- 4 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (- 4 x - 4) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (- 4 x - 4) \cdot (- 4 + 0))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (- 4 x - 4)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (- 4 x - 4) \cdot (- 4))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (- 4 x - 4)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x - 4)$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (- 4 x - 4)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot \sin (- 4 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${0,9}^{51} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 5$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 5$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x + 2) - 5$

= $- 5 + (2 x - 5 + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 5 + (2 x - 3) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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