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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{6}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{6}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{x}$

= $\frac{6}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 3 x^{2}) + e^{x} \cdot (16 x^{3} + 6 x)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 3 x^{2} + (16 x^{3} + 6 x))$

= $e^{x} \cdot (4 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x)$

= $(4 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 6)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 5)$

= $(- 3 x - 5) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x^{2} + 4}$

= $- 2 {(3 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(3 x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{3 x^{2} + 4}} \cdot (6 x + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{3 x^{2} + 4}} \cdot (6 x)$

= $- 6 \frac{x}{\sqrt{3 x^{2} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 9$

= $e^{- 0,9 x} + (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 9$

= $e^{- 0,9 x} - 0,9 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 9$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (1 - 0,9 x - 6,3) - 9$

= $- 9 + (- 0,9 x + 1 - 6,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 9 + (- 0,9 x - 5,3) \cdot e^{- 0,9 x}$

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