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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{4}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{4}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{4}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $4 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 1} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 1})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x - 1} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x - 1}$

= $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} + 2} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{{(- x - 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{{(- x - 4)}^{2}}$

= $- 3 {(- x - 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $6 {(- x - 4)}^{- 3} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{{(- x - 4)}^{3}} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{6}{{(- x - 4)}^{3}} \cdot (- 1)$

= $- \frac{6}{{(- x - 4)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${1,15}^{40} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $267,864 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 31,5) - 5$

= $- 5 + (4,5 x - 5 - 31,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (4,5 x - 36,5) \cdot e^{- 0,9 x}$