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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(20 x^{4} - 3) \cdot e^{2 x - 4} + (4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $(20 x^{4} - 3) \cdot e^{2 x - 4} + (4 x^{5} - 3 x) \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $(20 x^{4} - 3) \cdot e^{2 x - 4} + 2 (4 x^{5} - 3 x) \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (20 x^{4} - 3 + (8 x^{5} - 6 x))$

= $e^{2 x - 4} \cdot (8 x^{5} + 20 x^{4} - 6 x - 3)$

= $(8 x^{5} + 20 x^{4} - 6 x - 3) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{2} + 5} \cdot 6 x$

= $- 6 \cdot e^{3 x^{2} + 5} x$

= $- 6 x e^{3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x + 2}$

= $3 {(2 x + 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(2 x + 2)}^{- 2} \cdot (2 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(2 x + 2)}^{2}} \cdot (2 + 0)$

= $- \frac{3}{{(2 x + 2)}^{2}} \cdot (2)$

= $- \frac{6}{{(2 x + 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,85 x}$

f'(x) = $e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${0,85}^{33} \cdot e^{0,85 x}$

≈ $0,005 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 5$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x - 7,5 + 5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x - 2,5)$

= $(- 1,5 x - 2,5) \cdot e^{- 0,3 x}$