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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + 3 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{5} + e^{3 x} \cdot 5 x^{4}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{5} + 5 \cdot e^{3 x} x^{4}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 2 x + 3) \cdot e^{2 x} + (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 2 x + 3) \cdot e^{2 x} + (- x^{2} + 3 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 2 x + 3) \cdot e^{2 x} + 2 (- x^{2} + 3 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 6 x - 2 x + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 4 x + 3)$

= $(- 2 x^{2} + 4 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x) + x^{4} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x) + x^{4} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 3 x) - 3 x^{4} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${0,95}^{73} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,024 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 8$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 8$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x + 4,8) - 8$

= $- 8 + (1,6 x - 2 + 4,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 8 + (1,6 x + 2,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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