Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $- \frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x) - e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 \cdot \cos (x) + e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{x^{3} - 4} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{x^{3} - 4} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} + (3 x^{2} - 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (3 x^{2} - 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 24 + 6 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x + 24)$

= $(- 9 x^{2} + 6 x + 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 42-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 42-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 42 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{42}$

Somit gilt für die 42-te Ableitung:

f⁽⁴²⁾(x) = ${(- 1,15)}^{42} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $354,25 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x - 1,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 0,8)$

= $(- 0,6 x + 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$