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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 3} + (- 3 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $(- 15 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 3} + (- 3 x^{5} + x^{4}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 3})$

= $(- 15 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 3} - 2 (- 3 x^{5} + x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 3}$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (6 x^{5} - 2 x^{4} + (- 15 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{- 2 x + 3} \cdot (6 x^{5} - 17 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(6 x^{5} - 17 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{x} + (5 x^{5} - x^{4}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} - x^{4} + (25 x^{4} - 4 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} + 24 x^{4} - 4 x^{3})$

= $(5 x^{5} + 24 x^{4} - 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{x} \cdot 1$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 4 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 4)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 0)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x)$

= $x \cdot (- 2 e^{- 0,5 x})$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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