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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{77}{72} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 2 x + 1} + (- x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1} \cdot (- 2)$

= $(- 5 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 2 x + 1} + (- x^{5} + 4 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 1})$

= $(- 5 x^{4} + 8 x) \cdot e^{- 2 x + 1} - 2 (- x^{5} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 1}$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (2 x^{5} - 8 x^{2} + (- 5 x^{4} + 8 x))$

= $e^{- 2 x + 1} \cdot (2 x^{5} - 5 x^{4} - 8 x^{2} + 8 x)$

= $(2 x^{5} - 5 x^{4} - 8 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 4} + (5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 4} + (5 x^{5} + x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $(25 x^{4} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 (5 x^{5} + x^{2}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 10 x^{5} - 2 x^{2} + (25 x^{4} + 2 x))$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 10 x^{5} + 25 x^{4} - 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 10 x^{5} + 25 x^{4} - 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 5) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 5) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 5) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 5) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${0,85}^{33} \cdot 3 e^{0,85 x}$

≈ $0,014 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 4$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 4$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 9,6) + 4$

= $4 + (1,6 x - 2 - 9,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $4 + (1,6 x - 11,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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