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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{8}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 4 x^{5} + 2 e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 4 x^{5} + 2 e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + 20 x^{4} + 2 e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 3 \cdot \sin (x) + 20 x^{4} + 4 e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{2} + 3} \cdot (- 4 x)$

= $4 \cdot e^{- 2 x^{2} + 3} x$

= $4 x e^{- 2 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 3)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x + 0)$

= $e^{3 x} \cdot 9 x$

= $x \cdot 9 e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,8 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 1,8 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,62 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $1,62 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 1,458 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,458 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,3122 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 0,9)}^{52} \cdot 2 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,008 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 8$

= $e^{- 0,5 x} + (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 8$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 8$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x - 2) + 8$

= $8 + (- 0,5 x + 1 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $8 + (- 0,5 x - 1) \cdot e^{- 0,5 x}$