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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{15}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x - 1} - 2 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x - 1} - 2 x^{5}$

$f'(x) =$ $- e^{- x - 1} \cdot (- 1) - 10 x^{4}$

= $e^{- x - 1} - 10 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 3} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{34} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,004 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x - 4,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,2 x - 7,8)$

= $(1,2 x - 7,8) \cdot e^{- 0,4 x}$