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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{x}$

= $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + x^{3} \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 4} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (2 x^{2} + 5 x) + e^{2 x} \cdot (4 x + 5)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 5 x) + e^{2 x} \cdot (4 x + 5)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 10 x + 4 x + 5)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} + 14 x + 5)$

= $(4 x^{2} + 14 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (2 x) + (x - 5) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $\cos (2 x) + (x - 5) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $\cos (2 x) - 2 (x - 5) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 1$

= $- e^{- 0,8 x} - (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 1$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x + 1,6) + 1$

= $1 + (0,8 x - 1 + 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $1 + (0,8 x + 0,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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