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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + x^{4} \cdot e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x + 2} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x + 2}$

= $e^{2 x + 2} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$

= $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1)$

= $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x}$

= $e^{x} \cdot (1 + x + 1)$

= $e^{x} \cdot (x + 2)$

= $(x + 2) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 5} \cdot (10 x + 0)$

= $\frac{1}{5 x^{2} - 5} \cdot (10 x)$

= $10 \frac{x}{5 x^{2} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 7$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 7$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 7$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x - 9) - 7$

= $- 7 + (- 1,5 x + 5 - 9) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 7 + (- 1,5 x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

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