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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 + 5 8 e -2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 + 5 8 e -2x

f'(x)= 0 + 5 8 e -2x · ( -2 )

= - 5 4 e -2x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x -3 e -2x +2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x -3 e -2x +2

= 5 x 1 2 -3 e -2x +2

=> f'(x) = 5 2 x - 1 2 -3 e -2x +2 · ( -2 )

f'(x)= 5 2 x -3 e -2x +2 · ( -2 )

= 5 2 x +6 e -2x +2

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 e 3 x 2 -5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 e 3 x 2 -5

f'(x)= -2 e 3 x 2 -5 · 6x

= -12 · e 3 x 2 -5 x

= -12 x e 3 x 2 -5

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ln( 3 x 3 +4 x 2 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ln( 3 x 3 +4 x 2 )

f'(x)= 1 3 x 3 +4 x 2 · ( 9 x 2 +8x )

= 9 x 2 +8x 3 x 3 +4 x 2

= 1 · ( 9x +8 ) x · ( 3x +4 )

= 9x +8 x · ( 3x +4 )

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x · sin( 2x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x · sin( 2x )

= x 1 2 · sin( 2x )

=> f'(x) = 1 2 x - 1 2 · sin( 2x ) + x 1 2 · cos( 2x ) · 2

f'(x)= 1 2 x · sin( 2x ) + x · cos( 2x ) · 2

= 1 2 sin( 2x ) x + x · 2 cos( 2x )

= 1 2 sin( 2x ) x +2 x · cos( 2x )

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= x · e -x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = x · e -x

f'(x) = 1 · e -x + x · e -x · ( -1 ) = e -x · ( -x +1 )

f''(x) = e -x · ( -1 ) · ( -x +1 ) + e -x · ( -1 +0 ) = - e -x · ( -x +2 )

f'''(x) = - e -x · ( -1 ) · ( -x +2 ) - e -x · ( -1 +0 ) = e -x · ( -x +3 )

f(4)(x) = e -x · ( -1 ) · ( -x +3 ) + e -x · ( -1 +0 ) = - e -x · ( -x +4 )

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f(75)(x) = e -x · ( -x +75 )

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x +1 ) · e -0,1x +8x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( x +1 ) · e -0,1x +8x

f'(x)= ( 1 +0 ) · e -0,1x + ( x +1 ) · e -0,1x · ( -0,1 ) +8

= e -0,1x + ( x +1 ) · ( -0,1 e -0,1x ) +8

= e -0,1x -0,1 ( x +1 ) · e -0,1x +8

= e -0,1x · ( -0,1x -0,1 +1 ) +8

= 8 + ( -0,1x -0,1 +1 ) · e -0,1x

= 8 + ( -0,1x +0,9 ) · e -0,1x