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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}} + 2 e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x^{3}} + 2 e^{3 x - 2}$

= $4 x^{- 3} + 2 e^{3 x - 2}$

=> f'(x) = $- 12 x^{- 4} + 2 e^{3 x - 2} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{4}} + 2 e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $- \frac{12}{x^{4}} + 6 e^{3 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} + 5 x} \cdot (- 9 x^{2} + 5)$

= $\frac{- 9 x^{2} + 5}{- 3 x^{3} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 8$

= $4 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 8$

= $4 e^{- 0,8 x} - 3,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 - 3,2 x - 6,4) + 8$

= $8 + (- 3,2 x + 4 - 6,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $8 + (- 3,2 x - 2,4) \cdot e^{- 0,8 x}$