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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{6}{7} e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{6}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{48}{49} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 e^{- 3 x + 5} - \frac{5}{2 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{4} - 2 e^{- 3 x + 5} - \frac{5}{2 x^{3}}$

= $\frac{3}{2} x^{4} - 2 e^{- 3 x + 5} - \frac{5}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $6 x^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{15}{2} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $6 x^{3} - 2 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{15}{2 x^{4}}$

= $6 x^{3} + 6 e^{- 3 x + 5} + \frac{15}{2 x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- 2 x + 1)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- 2 x + 1)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(- 2 x + 1)}^{3} \cdot (- 2 + 0)$

= $- 4 {(- 2 x + 1)}^{3} \cdot (- 2)$

= $8 {(- 2 x + 1)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{60} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $304,482 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x + 1,5 - 5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,5 x - 3,5)$

= $(0,5 x - 3,5) \cdot e^{- 0,1 x}$