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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x} - e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt{x} - e^{2 x - 2}$

= $4 x^{\frac{1}{2}} - e^{2 x - 2}$

=> f'(x) = $2 x^{- \frac{1}{2}} - e^{2 x - 2} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{2}{\sqrt{x}} - e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $\frac{2}{\sqrt{x}} - 2 e^{2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{2} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2) - 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} - 4 - 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} - 2 x - 4)$

= $(2 x^{2} - 2 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 9) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 9) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 9) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} + 9) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,75 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 4,75 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,5125 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 4,5125 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,2869 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,2869 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 4,0725 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 75-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 75 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{75}$

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = ${0,95}^{75} \cdot (- 5 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,107 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 3$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x - 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 3$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x - 1) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x + 0,8) + 3$

= $3 + (- 0,8 x + 4 + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $3 + (- 0,8 x + 4,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

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