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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{6}{7} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{27}{28} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x - 1} + x^{5} \cdot e^{- x - 1} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 1} + x^{5} \cdot (- e^{- x - 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 1} - x^{5} \cdot e^{- x - 1}$

= $e^{- x - 1} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 8 x) \cdot e^{x} + (- 2 x^{4} + 4 x^{2}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{2} + (- 8 x^{3} + 8 x))$

= $e^{x} \cdot (- 2 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x)$

= $(- 2 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 4} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 4} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\cos (x^{2} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\cos (x^{2} + 5)$

$f'(x) =$ $- \sin (x^{2} + 5) \cdot (2 x + 0)$

= $- \sin (x^{2} + 5) \cdot (2 x)$

= $- 2 \sin (x^{2} + 5) x$

= $- 2 x \cdot \sin (x^{2} + 5)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 10,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x - 15,5)$

= $(3,5 x - 15,5) \cdot e^{- 0,7 x}$