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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 2 x - 3} + (3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $(12 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 2 x - 3} + (3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $(12 x^{3} - 6 x) \cdot e^{- 2 x - 3} - 2 (3 x^{4} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 6 x^{4} + 6 x^{2} + (12 x^{3} - 6 x))$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x)$

= $(- 6 x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (- 4 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (- 4 x + 2)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (- 4 x + 2)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 4 x + 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (- 4 x + 2) \cdot (- 4 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x + 2) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (- 4 x + 2) \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x + 2) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (- 4 x + 2) \cdot (- 4)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x + 2) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x + 2))$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (- 4 x + 2) - 4 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (- 4 x + 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $5 e^{- 0,6 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $5 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (5 - 3 x - 12)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 x - 7)$

= $(- 3 x - 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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