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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x - 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x - 3} + x^{5} \cdot e^{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 3} + x^{5} \cdot (- e^{- x - 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x - 3} - x^{5} \cdot e^{- x - 3}$

= $e^{- x - 3} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} + 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} + 5} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 1) \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \cos (- 2 x) + (3 x + 1) \cdot (- \sin (- 2 x) \cdot (- 2))$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + (3 x + 1) \cdot 2 \cdot \sin (- 2 x)$

= $3 \cdot \cos (- 2 x) + 2 (3 x + 1) \cdot \sin (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x + 0,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 1,6)$

= $(- 0,2 x + 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$