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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{7}{9} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{7}{9} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{7}{36} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x + 3} + (x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $(4 x^{3} + 2 x) \cdot e^{x + 3} + (x^{4} + x^{2}) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{4} + x^{2} + (4 x^{3} + 2 x))$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2 x)$

= $(x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2 x) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} + x^{3} \cdot (- e^{- x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- x} - x^{3} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 3} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{1}{x^{2} + 3} \cdot (2 x)$

= $2 \frac{x}{x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x - 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x - 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x - 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x - 16)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x - 13)$

= $(6 x - 13) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 1,1)}^{64} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $445,792 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x - 1,5) + 9$

= $9 + (1,5 x - 3 - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (1,5 x - 4,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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