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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{22}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{3} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 20 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 20 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x} - (- 4 x^{5} - 3 x^{4}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{5} + 3 x^{4} + (- 20 x^{4} - 12 x^{3}))$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{5} - 17 x^{4} - 12 x^{3})$

= $(4 x^{5} - 17 x^{4} - 12 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} + 2 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 2 x}{- 4 x^{3} + x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (6 x - 1)}{- x \cdot (4 x - 1)}$

= $\frac{- 2 (6 x - 1)}{- x \cdot (4 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x^{2} - 1}$

= $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{x^{2} - 1}} \cdot (2 x)$

= $3 \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 36-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 36-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 36 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{36}$

Somit gilt für die 36-te Ableitung:

f⁽³⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{36} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 1$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 1$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 1$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x - 3) - 1$

= $- 1 + (x - 2 - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 1 + (x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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