Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{2 x} \cdot 2$

= $6 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x + 5) \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $(4 + 0) \cdot e^{- 5 x - 5} + (4 x + 5) \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $4 e^{- 5 x - 5} + (4 x + 5) \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $4 e^{- 5 x - 5} - 5 (4 x + 5) \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (4 - 20 x - 25)$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 20 x - 21)$

= $(- 20 x - 21) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + x^{5} \cdot 3 e^{3 x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{3 x} + 3 x^{5} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 3 x - 2}$

= $3 {(- 3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 2}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{2 \sqrt{- 3 x - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 58-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 58-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 58 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{58}$

Somit gilt für die 58-te Ableitung:

f⁽⁵⁸⁾(x) = ${0,9}^{58} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,002 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 3$

= $2 e^{- 0,1 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,1 x} - 0,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,1 x} + 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (2 - 0,2 x - 0,2) + 3$

= $3 + (- 0,2 x + 2 - 0,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $3 + (- 0,2 x + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten