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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{15}{28} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{x} + (2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (2 x^{5} + 3 x^{4} + (10 x^{4} + 12 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (2 x^{5} + 13 x^{4} + 12 x^{3})$

= $(2 x^{5} + 13 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x^{3} + 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- 2 x^{3} + 5} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 3 x^{2} - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 3 x^{2} - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $4 {(- 3 x^{2} - 5)}^{3} \cdot (- 6 x + 0)$

= $4 {(- 3 x^{2} - 5)}^{3} \cdot (- 6 x)$

= $- 24 {(- 3 x^{2} - 5)}^{3} x$

= $- 24 x {(- 3 x^{2} - 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 8$

= $e^{- 0,3 x} + (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 8$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x - 1,8) - 8$

= $- 8 + (- 0,3 x + 1 - 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 8 + (- 0,3 x - 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$