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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} \sqrt{x} - e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} \sqrt{x} - e^{3 x + 1}$

= $\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} - e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{1}{2}} - e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 \sqrt{x}} - e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $\frac{1}{4 \sqrt{x}} - 3 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x + 3}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x + 3} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (2 x) + (x^{2} + 2) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + (x^{2} + 2) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 (x^{2} + 2) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{45} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,009 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 2,1 - 3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,3 x - 5,1)$

= $(0,3 x - 5,1) \cdot e^{- 0,1 x}$