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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x - 5} - 4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x - 5} - 4 \sqrt{x}$

= $- e^{2 x - 5} - 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- e^{2 x - 5} \cdot 2 - 2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x - 5} \cdot 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

= $- 2 e^{2 x - 5} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{4})$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x + 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x + 4} \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{2}{- 2 x + 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 2 x^{2} + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 4)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 4) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${(- 1,15)}^{33} \cdot 5 e^{- 1,15 x}$

≈ $- 503,499 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 1$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 1$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,8 x} - 1$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x + 12 - 5) - 1$

= $- 1 + (4 x + 12 - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 1 + (4 x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

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