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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{8}{7} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $- e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x - 4} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{- 3 x - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 6)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 9)$

= $(- 6 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $5 e^{- 0,3 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $5 e^{- 0,3 x} - 1,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (5 - 1,5 x + 7,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,5 x + 12,5)$

= $(- 1,5 x + 12,5) \cdot e^{- 0,3 x}$