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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{3} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 3} - 2 x^{3} \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{x + 5} \cdot 1$

= $e^{x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 3} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 3} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{3 x} + (3 x - 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x} + (3 x - 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 e^{3 x} + 3 (3 x - 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 + 9 x - 27)$

= $e^{3 x} \cdot (9 x - 24)$

= $(9 x - 24) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,45 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 3,45 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,9675 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $3,9675 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 4,5626 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,5626 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,247 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,15)}^{50} \cdot 3 e^{- 1,15 x}$

≈ $3250,972 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 7$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 7$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 8) - 7$

= $- 7 + (1,6 x - 2 - 8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 7 + (1,6 x - 10) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen ableiten

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