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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 3 x + 3} + (- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- 4 e^{- 3 x + 3} + (- 4 x - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $- 4 e^{- 3 x + 3} - 3 (- 4 x - 2) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 4 + 12 x + 6)$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (12 x + 2)$

= $(12 x + 2) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 3} + x^{5} \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 3} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 3})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 3} - x^{5} \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} - 3 x} \cdot (- 2 x - 3)$

= $\frac{- 2 x - 3}{- x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 5 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot \sin (- 5 x - 4)$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 4) + x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 4) \cdot (- 5 + 0)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 4) + x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 4) \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 4) + x^{5} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x - 4))$

= $5 x^{4} \cdot \sin (- 5 x - 4) - 5 x^{5} \cdot \cos (- 5 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 5$

= $3 e^{- 0,1 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 5$

= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 x + 1,5) + 5$

= $5 + (- 0,3 x + 3 + 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $5 + (- 0,3 x + 4,5) \cdot e^{- 0,1 x}$