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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{27} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} - 4 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} - 4 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} - 4 x^{3}) + e^{x} \cdot (- 16 x^{3} - 12 x^{2})$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} - 4 x^{3} + (- 16 x^{3} - 12 x^{2}))$

= $e^{x} \cdot (- 4 x^{4} - 20 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 4 x^{4} - 20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 2)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $(2 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,8 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $3,8 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,61 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $- 3,61 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $3,4295 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4295 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 3,258 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,95)}^{64} \cdot (- 4 e^{- 0,95 x})$

≈ $- 0,15 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} + 9$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 16,8)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x + 20,8)$

= $(- 2,8 x + 20,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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