Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{8}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{8}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{8}{9} e^{x}$

= $\frac{8}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- x + 1} + (- 4 x + 5) \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- 4 e^{- x + 1} + (- 4 x + 5) \cdot (- e^{- x + 1})$

= $- 4 e^{- x + 1} - (- 4 x + 5) \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- 4 + 4 x - 5)$

= $e^{- x + 1} \cdot (4 x - 9)$

= $(4 x - 9) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sin (- 3 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sin (- 3 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $- \cos (- 3 x^{2} + 1) \cdot (- 6 x + 0)$

= $- \cos (- 3 x^{2} + 1) \cdot (- 6 x)$

= $6 \cos (- 3 x^{2} + 1) x$

= $6 x \cdot \cos (- 3 x^{2} + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 40-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $2 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,7 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 1,7 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,445 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $1,445 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,2283 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,2283 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,044 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 40-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 40 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{40}$

Somit gilt für die 40-te Ableitung:

f⁽⁴⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{40} \cdot 2 e^{- 0,85 x}$

≈ $0,003 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 8$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 8$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 8$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 6) + 8$

= $8 + (1,2 x - 4 + 6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $8 + (1,2 x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten