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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{6} e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{6} e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{15}{14} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot e^{5 x + 2} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 2}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 2} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 2}$

= $e^{5 x + 2} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 9)$

= $(- 9 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{71} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 31,948 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 6)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 9)$

= $(- 1,5 x + 9) \cdot e^{- 0,5 x}$