Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 5} + \frac{2}{3} x^{2} + 2 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 5} + \frac{2}{3} x^{2} + 2 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{4}{3} x + 2 \cdot \cos (x)$

= $- 3 e^{- 3 x + 5} + \frac{4}{3} x + 2 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $9 e^{3 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 4} \cdot (- 12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{3} - 4} \cdot (- 12 x^{2})$

= $- 12 \frac{x^{2}}{- 4 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x^{2} + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- 3 x^{2} + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(- 3 x^{2} + 1)}^{2} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- 9 {(- 3 x^{2} + 1)}^{2} \cdot (- 6 x)$

= $54 {(- 3 x^{2} + 1)}^{2} x$

= $54 x {(- 3 x^{2} + 1)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,05 x}$

f'(x) = $- e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,05}^{61} \cdot (- e^{1,05 x})$

≈ $- 19,613 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,2 x - 4,8 - 2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,2 x - 6,8)$

= $(1,2 x - 6,8) \cdot e^{- 0,6 x}$