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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{11}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{11}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4} e^{\frac{11}{9} x} \cdot \frac{11}{9}$

= $\frac{11}{12} e^{\frac{11}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 4} + x^{2} \cdot e^{- x - 4} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 4} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- x - 4} - x^{2} \cdot e^{- x - 4}$

= $e^{- x - 4} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 2) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(6 x + 2) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} + 2 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(6 x + 2) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} - 4 x + 6 x + 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 2 x + 2)$

= $(- 6 x^{2} + 2 x + 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $- 3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{61} \cdot (- 4 e^{- 0,9 x})$

≈ $0,006 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 4$

= $- e^{- 0,4 x} - (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 4$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 4$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1 + 0,4 x - 1,6) + 4$

= $4 + (0,4 x - 1 - 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $4 + (0,4 x - 2,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

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