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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- x + 3} + x^{4} \cdot e^{- x + 3} \cdot (- 1)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x + 3} + x^{4} \cdot (- e^{- x + 3})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- x + 3} - x^{4} \cdot e^{- x + 3}$

= $e^{- x + 3} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{x^{3} + 4}$

= $- {(x^{3} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(x^{3} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3} + 4}} \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3} + 4}} \cdot (3 x^{2})$

= $- \frac{3}{2} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 93)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 8$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 8$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 8$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 7,2) + 8$

= $8 + (1,2 x - 3 + 7,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $8 + (1,2 x + 4,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

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