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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + x^{5} \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 5} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 2) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} + 2) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} + 2) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 53-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 53-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 53 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{53}$

Somit gilt für die 53-te Ableitung:

f⁽⁵³⁾(x) = ${0,9}^{53} \cdot 3 e^{0,9 x}$

≈ $0,011 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $e^{- 0,1 x} + (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x + 0,2)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1 x + 1,2)$

= $(- 0,1 x + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$