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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{6}{7} e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{6}{7} e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{9}{14} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 0) \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 10 x \cdot e^{3 x} + (- 5 x^{2} + 2) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 10 x \cdot e^{3 x} + 3 (- 5 x^{2} + 2) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} + 6 - 10 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 15 x^{2} - 10 x + 6)$

= $(- 15 x^{2} - 10 x + 6) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 5} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 5) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 5) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} + 5) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} + 5) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 27)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x + 22)$

= $(4,5 x + 22) \cdot e^{- 0,9 x}$

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