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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x + 3} - {(\sqrt{x})}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x + 3} - {(\sqrt{x})}^{3}$

= $2 e^{3 x + 3} - x^{\frac{3}{2}}$

=> f'(x) = $2 e^{3 x + 3} \cdot 3 - \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x + 3} \cdot 3 - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

= $6 e^{3 x + 3} - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x^{2} + 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 1} x$

= $- 18 x e^{- 3 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 3 x} \cdot (10 x - 3)$

= $\frac{10 x - 3}{5 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 92)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 6$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 6$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,4 x} + 6$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x - 6) + 6$

= $6 + (- 2 x + 5 - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $6 + (- 2 x - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$