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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 4} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 4}$

= $e^{- 5 x - 4} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{2} - 3} \cdot (- 2 x)$

= $6 \cdot e^{- x^{2} - 3} x$

= $6 x e^{- x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x} \cdot 1$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- x - 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(- x - 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(- x - 3)}^{3} \cdot (- 1 + 0)$

= $- 8 {(- x - 3)}^{3} \cdot (- 1)$

= $8 {(- x - 3)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 5$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 1) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 5$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 4,5) - 5$

= $- 5 + (- 4,5 x + 5 - 4,5) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 5 + (- 4,5 x + 0,5) \cdot e^{- 0,9 x}$