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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{9} e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{11}{36} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x - 5} + \frac{3}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x - 5} + \frac{3}{x^{4}}$

= $e^{2 x - 5} + 3 x^{- 4}$

=> f'(x) = $e^{2 x - 5} \cdot 2 - 12 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x - 5} \cdot 2 - \frac{12}{x^{5}}$

= $2 e^{2 x - 5} - \frac{12}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x^{2} - 1} \cdot 6 x$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{2} - 1} x$

= $- 18 x e^{3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{- x^{2} - 3}$

= ${(- x^{2} - 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} {(- x^{2} - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 3}} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{2 \sqrt{- x^{2} - 3}} \cdot (- 2 x)$

= $- \frac{x}{\sqrt{- x^{2} - 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 55-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,5 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $5,5 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 6,05 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $- 6,05 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $6,655 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,655 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 7,3205 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 55-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 55 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{55}$

Somit gilt für die 55-te Ableitung:

f⁽⁵⁵⁾(x) = ${(- 1,1)}^{55} \cdot (- 5 e^{- 1,1 x})$

≈ $945,296 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 3)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x - 2)$

= $(- 0,6 x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$