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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x + 1} + x^{5} \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $5 x^{4} \cdot e^{x + 1} + x^{5} \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (3 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{3 x^{2} + 4 x}{x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (3 x + 4)}{x \cdot (x + 2)}$

= $\frac{3 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (3 x) + (x - 1) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $\cos (3 x) + (x - 1) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $\cos (3 x) - 3 (x - 1) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 48-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,15 x}$

f'(x) = $5 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,75 e^{1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,6125 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $6,6125 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $7,6044 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $8,745 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 48-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 48 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{48}$

Somit gilt für die 48-te Ableitung:

f⁽⁴⁸⁾(x) = ${1,15}^{48} \cdot 5 e^{1,15 x}$

≈ $4097,004 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 4$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x - 3,2)$

= $(- 0,7 x - 3,2) \cdot e^{- 0,7 x}$