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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + e^{2 x + 2}$

= $- x^{- 4} + e^{2 x + 2}$

=> f'(x) = $4 x^{- 5} + e^{2 x + 2} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{4}{x^{5}} + e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $\frac{4}{x^{5}} + 2 e^{2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x^{3} - 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + x} \cdot (- 8 x + 1)$

= $\frac{- 8 x + 1}{- 4 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} + 3) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 3) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + (3 x^{2} + 3) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $6 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (3 x^{2} + 3) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{68} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $27,598 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x - 2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 3)$

= $(- x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$