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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{7}{3} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}} - 3 e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}} - 3 e^{- x + 2}$

= $x^{- 3} - 3 e^{- x + 2}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 4} - 3 e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}} - 3 e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $- \frac{3}{x^{4}} + 3 e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x^{3} + 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 6 \cdot e^{- x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 6 x^{2} e^{- x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 7) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 7) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 7) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${(- 0,95)}^{71} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,026 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 5$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 5$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x + 2,4) - 5$

= $- 5 + (0,8 x - 4 + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 5 + (0,8 x - 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$