Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x + 0)$

= $\frac{1}{- x^{2} + 2} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \frac{x}{- x^{2} + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{- 3 x^{2} + 4}$

= $- 3 {(- 3 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} {(- 3 x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 6 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x^{2} + 4}} \cdot (- 6 x + 0)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{- 3 x^{2} + 4}} \cdot (- 6 x)$

= $9 \frac{x}{\sqrt{- 3 x^{2} + 4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,85 x}$

f'(x) = $- e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,85 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,7225 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 0,7225 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,6141 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 0,522 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${0,85}^{30} \cdot (- e^{0,85 x})$

≈ $- 0,008 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x - 17,5)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3,5 x - 22,5)$

= $(3,5 x - 22,5) \cdot e^{- 0,7 x}$