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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 4} + x^{2} \cdot e^{x - 4} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x - 4} + x^{2} \cdot e^{x - 4}$

= $e^{x - 4} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x^{3} - 1}$

$f'(x) =$ $- e^{- x^{3} - 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $3 \cdot e^{- x^{3} - 1} x^{2}$

= $3 x^{2} e^{- x^{3} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{2 x^{3} - 5}$

= $- 2 {(2 x^{3} - 5)}^{- 1}$

=> f'(x) = $2 {(2 x^{3} - 5)}^{- 2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{{(2 x^{3} - 5)}^{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{2}{{(2 x^{3} - 5)}^{2}} \cdot (6 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{{(2 x^{3} - 5)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 31-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 31-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 31 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{31}$

Somit gilt für die 31-te Ableitung:

f⁽³¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{31} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,006 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 7$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) + 7$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,5) + 7$

= $7 + (0,1 x - 1 - 0,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $7 + (0,1 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$