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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{5}{3} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{5}{3} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{3} e^{x}$

= $\frac{5}{3} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x} + x^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $2 x \cdot e^{- x} - x^{2} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (2 x - x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x - 2 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x} \cdot 1$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 2 + 1)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 3)$

= $(2 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,05)}^{63} \cdot 4 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 86,494 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 5$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 5$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} + 5$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1,4 x - 5,6 + 2) + 5$

= $5 + (- 1,4 x - 5,6 + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $5 + (- 1,4 x - 3,6) \cdot e^{- 0,7 x}$

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