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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{x - 5} + x^{3} \cdot e^{x - 5} \cdot 1$

= $3 x^{2} \cdot e^{x - 5} + x^{3} \cdot e^{x - 5}$

= $e^{x - 5} \cdot (x^{3} + 3 x^{2})$

= $(x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} + (x^{4} + 5 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(4 x^{3} + 10 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{4} + 5 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} - 10 x^{2} + (4 x^{3} + 10 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 10 x)$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3} - 10 x^{2} + 10 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 2} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 2} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{4 x + 2}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 2}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{4 x + 2} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{4 x + 2} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{4 x + 2}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{4 x + 2}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + 4 \frac{e^{4 x + 2}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${0,9}^{50} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,005 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x - 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x - 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x + 10)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x + 15)$

= $(- 2,5 x + 15) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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