Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (4 x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \sin (4 x - 4)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \sin (4 x - 4) + x^{2} \cdot \cos (4 x - 4) \cdot (4 + 0)$

= $2 x \cdot \sin (4 x - 4) + x^{2} \cdot \cos (4 x - 4) \cdot (4)$

= $2 x \cdot \sin (4 x - 4) + x^{2} \cdot 4 \cdot \cos (4 x - 4)$

= $2 x \cdot \sin (4 x - 4) + 4 x^{2} \cdot \cos (4 x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 2$

= $- 2 e^{- 0,7 x} + 1,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2 + 1,4 x + 7) - 2$

= $- 2 + (1,4 x - 2 + 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 2 + (1,4 x + 5) \cdot e^{- 0,7 x}$