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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{6} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{5}{6} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{2} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} (x^{4} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} (x^{4} + x^{2})$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (x^{4} + x^{2}) + e^{x} \cdot (4 x^{3} + 2 x)$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + x^{2} + (4 x^{3} + 2 x))$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2 x)$

= $(x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{3} - 4} \cdot 6 x^{2}$

= $6 \cdot e^{2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 3} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 3} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 3 e^{3 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{3 x}}{\sqrt{x}} + 3 \sqrt{x} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 44-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 44-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 44 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{44}$

Somit gilt für die 44-te Ableitung:

f⁽⁴⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{44} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $468,495 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 1$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 1$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 0,6) + 1$

= $1 + (0,6 x - 2 - 0,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $1 + (0,6 x - 2,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

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