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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 5} + \sin (x) - 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 5} + \sin (x) - 2 x^{3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2) + \cos (x) - 6 x^{2}$

= $- 4 e^{- 2 x - 5} + \cos (x) - 6 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 4 x} \cdot (- 12 x^{2} + 4)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 4}{- 4 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 2 x^{2} - 5)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 2 x^{2} - 5)}^{3}}$

= $- {(- 2 x^{2} - 5)}^{- 3}$

=> f'(x) = $3 {(- 2 x^{2} - 5)}^{- 4} \cdot (- 4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 2 x^{2} - 5)}^{4}} \cdot (- 4 x + 0)$

= $\frac{3}{{(- 2 x^{2} - 5)}^{4}} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \frac{x}{{(- 2 x^{2} - 5)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${(- 1,1)}^{63} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $- 405,265 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} + 7$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- e^{- 0,1 x} - (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- e^{- 0,1 x} + 0,1 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 1 + 0,1 x - 0,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,1 x - 1,5)$

= $(0,1 x - 1,5) \cdot e^{- 0,1 x}$