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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 0) \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 3 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} + (- 3 x^{5} - 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $- 15 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 (- 3 x^{5} - 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (15 x^{5} + 15 - 15 x^{4})$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (15 x^{5} - 15 x^{4} + 15)$

= $(15 x^{5} - 15 x^{4} + 15) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 8) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x - 8) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x - 8) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x - 8) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${1,15}^{41} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $308,043 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 5 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 5 e^{- 0,8 x} - 5 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 5 e^{- 0,8 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 5 + 4 x - 24)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (4 x - 29)$

= $(4 x - 29) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten