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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{6}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{6}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{18}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{4} + 2) \cdot e^{4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{4} + 2) \cdot e^{4 x + 4}$

$f'(x) =$ $(16 x^{3} + 0) \cdot e^{4 x + 4} + (4 x^{4} + 2) \cdot e^{4 x + 4} \cdot 4$

= $16 x^{3} \cdot e^{4 x + 4} + (4 x^{4} + 2) \cdot 4 e^{4 x + 4}$

= $16 x^{3} \cdot e^{4 x + 4} + 4 (4 x^{4} + 2) \cdot e^{4 x + 4}$

= $e^{4 x + 4} \cdot (16 x^{4} + 8 + 16 x^{3})$

= $e^{4 x + 4} \cdot (16 x^{4} + 16 x^{3} + 8)$

= $(16 x^{4} + 16 x^{3} + 8) \cdot e^{4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{2} + e^{3 x} \cdot 2 x$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{2} + 2 \cdot e^{3 x} x$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{30} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,008 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $- 2 e^{- 0,6 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $- 2 e^{- 0,6 x} + 1,2 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 2 + 1,2 x - 6) + 3$

= $3 + (1,2 x - 2 - 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (1,2 x - 8) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

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