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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{4} - 4 \sqrt{x} - 3 e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{4} - 4 \sqrt{x} - 3 e^{3 x + 1}$

= $4 x^{4} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 3 e^{3 x + 1}$

=> f'(x) = $16 x^{3} - 2 x^{- \frac{1}{2}} - 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

$f'(x) =$ $16 x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}} - 3 e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $16 x^{3} - \frac{2}{\sqrt{x}} - 9 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + x} \cdot (6 x + 1)$

= $\frac{6 x + 1}{3 x^{2} + x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x + 4) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + (x + 4) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $\sin (x^{3}) + 3 (x + 4) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 89)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 11,2)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x - 9,2)$

= $(- 1,6 x - 9,2) \cdot e^{- 0,8 x}$