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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 4 x + 1} + (3 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 1} \cdot (- 4)$

= $3 e^{- 4 x + 1} + (3 x + 5) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 1})$

= $3 e^{- 4 x + 1} - 4 (3 x + 5) \cdot e^{- 4 x + 1}$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (3 - 12 x - 20)$

= $e^{- 4 x + 1} \cdot (- 12 x - 17)$

= $(- 12 x - 17) \cdot e^{- 4 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x^{2} + 5} \cdot 4 x$

= $- 8 \cdot e^{2 x^{2} + 5} x$

= $- 8 x e^{2 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 4 x} \cdot (6 x + 4)$

= $\frac{6 x + 4}{3 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x + 12)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x + 14)$

= $(- 6 x + 14) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x + 1,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,8 x - 2,4)$

= $(0,8 x - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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