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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - 2 e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - 2 e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{2}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} - e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3} - e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} - e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- 9 x^{2} + e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x + 5) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x + 5) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 + 0) \cdot e^{3 x} + (- 3 x + 5) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x} + (- 3 x + 5) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 3 e^{3 x} + 3 (- 3 x + 5) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 3 - 9 x + 15)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x + 12)$

= $(- 9 x + 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- x + 1}$

= $x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- x + 1}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}} \cdot e^{- x + 1} + x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 {(\sqrt{x})}^{3}} \cdot e^{- x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- x + 1}}{{(\sqrt{x})}^{3}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $- \frac{1}{2} \frac{e^{- x + 1}}{{(\sqrt{x})}^{3}} - \frac{e^{- x + 1}}{\sqrt{x}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{x}$

f'(x) = $- 3 e^{x}$

f''(x) = $- 3 e^{x}$

f'''(x) = $- 3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- 3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 6) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 12)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 x - 16)$

= $(2 x - 16) \cdot e^{- 0,5 x}$