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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - e^{- 3 x - 2} + 3 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - e^{- 3 x - 2} + 3 \cdot \sin (x)$

= $- 3 x^{- 2} - e^{- 3 x - 2} + 3 \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $6 x^{- 3} - e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{3}} - e^{- 3 x - 2} \cdot (- 3) + 3 \cdot \cos (x)$

= $\frac{6}{x^{3}} + 3 e^{- 3 x - 2} + 3 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{3} + 2) \cdot e^{- 4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{3} + 2) \cdot e^{- 4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(15 x^{2} + 0) \cdot e^{- 4 x - 1} + (5 x^{3} + 2) \cdot e^{- 4 x - 1} \cdot (- 4)$

= $15 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1} + (5 x^{3} + 2) \cdot (- 4 e^{- 4 x - 1})$

= $15 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 1} - 4 (5 x^{3} + 2) \cdot e^{- 4 x - 1}$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 20 x^{3} - 8 + 15 x^{2})$

= $e^{- 4 x - 1} \cdot (- 20 x^{3} + 15 x^{2} - 8)$

= $(- 20 x^{3} + 15 x^{2} - 8) \cdot e^{- 4 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $2 x \cdot \sin (x^{2}) + 2 (x^{2} - 2) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 7$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 7$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 7$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 3) - 7$

= $- 7 + (0,6 x - 1 + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 7 + (0,6 x + 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

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