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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{1}{2} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} + (2 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $(10 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} + (2 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $(10 x^{4} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 (2 x^{5} + 3 x^{3}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 6 x^{5} - 9 x^{3} + (10 x^{4} + 9 x^{2}))$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 6 x^{5} + 10 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 6 x^{5} + 10 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x} \cdot (- 3) \cdot x^{3} + e^{- 3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $- 3 \cdot e^{- 3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{- 3 x} x^{2}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 5 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot \sin (- 5 x + 1)$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot \sin (- 5 x + 1) + x^{4} \cdot \cos (- 5 x + 1) \cdot (- 5 + 0)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 5 x + 1) + x^{4} \cdot \cos (- 5 x + 1) \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 5 x + 1) + x^{4} \cdot (- 5 \cdot \cos (- 5 x + 1))$

= $4 x^{3} \cdot \sin (- 5 x + 1) - 5 x^{4} \cdot \cos (- 5 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 2$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 1,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1,2 x + 2,8)$

= $(- 1,2 x + 2,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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