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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{5} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{5} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{5} e^{x}$

= $\frac{7}{5} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{4} + e^{2 x} \cdot 4 x^{3}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{4} + 4 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{2} - 1} \cdot 2 x$

= $- 6 \cdot e^{x^{2} - 1} x$

= $- 6 x e^{x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 3 x} \cdot (- 12 x^{2} + 3)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 3}{- 4 x^{3} + 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} + 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} + 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 6 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x + 6)$

= $(2 x^{2} + 2 x + 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 64-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,9 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 0,9 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,81 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 0,729 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,729 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $0,6561 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 64-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 64 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{64}$

Somit gilt für die 64-te Ableitung:

f⁽⁶⁴⁾(x) = ${(- 0,9)}^{64} \cdot e^{- 0,9 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x + 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x + 4,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x + 0,8)$

= $(1,2 x + 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$