Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{6}{7} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{6}{7} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{12}{7} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x - 1} - 5 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x - 1} - 5 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3) + 5 \cdot \sin (x)$

= $- 3 e^{- 3 x - 1} + 5 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x^{3} + 4} \cdot 6 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{3 x - 2}$

= $- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}} \cdot (3)$

= $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 x - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,3153 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,3153 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,431 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${(- 1,05)}^{65} \cdot 2 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 47,68 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 6$

= $- 5 e^{- 0,3 x} - 5 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 6$

= $- 5 e^{- 0,3 x} + 1,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} + 6$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 5 + 1,5 x - 1,5) + 6$

= $6 + (1,5 x - 5 - 1,5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $6 + (1,5 x - 6,5) \cdot e^{- 0,3 x}$