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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{4} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} + 3 e^{- x - 5} - \frac{4}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} + 3 e^{- x - 5} - \frac{4}{x^{4}}$

= $x^{\frac{1}{4}} + 3 e^{- x - 5} - 4 x^{- 4}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} + 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1) + 16 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1) + \frac{16}{x^{5}}$

= $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 3 e^{- x - 5} + \frac{16}{x^{5}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{3} + e^{- x} \cdot 3 x^{2}$

= $- e^{- x} x^{3} + 3 \cdot e^{- x} x^{2}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 5 x} \cdot (8 x + 5)$

= $\frac{8 x + 5}{4 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\sqrt{x})}^{3} \cdot \sin (2 x)$

= $x^{\frac{3}{2}} \cdot \sin (2 x)$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (2 x) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (2 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (2 x) + {(\sqrt{x})}^{3} \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $\frac{3}{2} \sqrt{x} \cdot \sin (2 x) + 2 {(\sqrt{x})}^{3} \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 91)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $- 2 e^{- 0,9 x} - 2 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $- 2 e^{- 0,9 x} + 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 2 + 1,8 x - 9) + 5$

= $5 + (1,8 x - 2 - 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $5 + (1,8 x - 11) \cdot e^{- 0,9 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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