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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + \frac{5}{6} e^{\frac{5}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + \frac{5}{6} e^{\frac{5}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{5}{3} x} \cdot \frac{5}{3}$

= $\frac{25}{18} e^{\frac{5}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 5 x + 4} + (x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 4} + (x^{2} + 3) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 (x^{2} + 3) \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5 x^{2} - 15 + 2 x)$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x - 15)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x - 15) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 5} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 5} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - 4 x^{2}} \cdot (15 x^{2} - 8 x)$

= $\frac{15 x^{2} - 8 x}{5 x^{3} - 4 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (15 x - 8)}{x \cdot (5 x - 4)}$

= $\frac{15 x - 8}{x \cdot (5 x - 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x - 1)$

= $(2 x - 1) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 2$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 2$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 7,2) - 2$

= $- 2 + (- 2,4 x + 4 - 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 2 + (- 2,4 x - 3,2) \cdot e^{- 0,6 x}$