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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $- \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} - 1) \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} - 1) \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 0) \cdot e^{- 4 x + 5} + (5 x^{5} - 1) \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $25 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5} + (5 x^{5} - 1) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $25 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 (5 x^{5} - 1) \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 20 x^{5} + 4 + 25 x^{4})$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 20 x^{5} + 25 x^{4} + 4)$

= $(- 20 x^{5} + 25 x^{4} + 4) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{4} + e^{- x} \cdot 4 x^{3}$

= $- e^{- x} x^{4} + 4 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - x} \cdot (4 x - 1)$

= $\frac{4 x - 1}{2 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 4) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 4) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x - 4) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x - 4) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 93-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 93-te Ableitung:

f⁽⁹³⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 9$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 9$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,2 x} - 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 2,4) - 9$

= $- 9 + (0,4 x - 2 - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 9 + (0,4 x - 4,4) \cdot e^{- 0,2 x}$