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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{3} - 4) \cdot e^{4 x + 5}$

$f'(x) =$ $(9 x^{2} + 0) \cdot e^{4 x + 5} + (3 x^{3} - 4) \cdot e^{4 x + 5} \cdot 4$

= $9 x^{2} \cdot e^{4 x + 5} + (3 x^{3} - 4) \cdot 4 e^{4 x + 5}$

= $9 x^{2} \cdot e^{4 x + 5} + 4 (3 x^{3} - 4) \cdot e^{4 x + 5}$

= $e^{4 x + 5} \cdot (12 x^{3} - 16 + 9 x^{2})$

= $e^{4 x + 5} \cdot (12 x^{3} + 9 x^{2} - 16)$

= $(12 x^{3} + 9 x^{2} - 16) \cdot e^{4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 3} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 3} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 3 x)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- 3 x)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- 3 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- 3 x) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 3 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 3 x)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{0,95 x}$

f'(x) = $- e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${0,95}^{66} \cdot (- e^{0,95 x})$

≈ $- 0,034 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 6$

= $4 e^{- 0,6 x} + 4 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 6$

= $4 e^{- 0,6 x} - 2,4 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (4 - 2,4 x - 7,2) - 6$

= $- 6 + (- 2,4 x + 4 - 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 6 + (- 2,4 x - 3,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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