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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{5}{6} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{5}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{5} + 5 x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{5} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(10 x^{4} + 5) \cdot e^{2 x} + (2 x^{5} + 5 x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(10 x^{4} + 5) \cdot e^{2 x} + (2 x^{5} + 5 x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(10 x^{4} + 5) \cdot e^{2 x} + 2 (2 x^{5} + 5 x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{5} + 10 x + 10 x^{4} + 5)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x + 5)$

= $(4 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x + 5) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{x} + x^{4} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 4} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 4} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x^{2} + 1)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x^{2} + 1)}^{2}}$

= $- 2 {(- 3 x^{2} + 1)}^{- 2}$

=> f'(x) = $4 {(- 3 x^{2} + 1)}^{- 3} \cdot (- 6 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{{(- 3 x^{2} + 1)}^{3}} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{4}{{(- 3 x^{2} + 1)}^{3}} \cdot (- 6 x)$

= $- 24 \frac{x}{{(- 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- x}$

f'(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 3,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 6,6)$

= $(- 1,8 x + 6,6) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten