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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} (2 x^{4} - x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} (2 x^{4} - x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (2 x^{4} - x^{3}) + e^{- 2 x} \cdot (8 x^{3} - 3 x^{2})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (2 x^{4} - x^{3}) + e^{- 2 x} (8 x^{3} - 3 x^{2})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 x^{3} + (8 x^{3} - 3 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 10 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{4} + 10 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} - 2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{3} - 2} \cdot (6 x^{2})$

= $6 \frac{x^{2}}{2 x^{3} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(\cos (x) + 2)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 10 {(\cos (x) + 2)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $10 {(\cos (x) + 2)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${1,05}^{80} \cdot 5 e^{1,05 x}$

≈ $247,807 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 9,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1,6 x + 5,6)$

= $(1,6 x + 5,6) \cdot e^{- 0,4 x}$