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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 - e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 - e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(15 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(15 x^{4} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{5} + 2 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{5} + 4 x^{3} + (15 x^{4} + 6 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{5} + 15 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(6 x^{5} + 15 x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (3 x) + (x + 5) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $\sin (3 x) + (x + 5) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $\sin (3 x) + 3 (x + 5) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 52-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 52-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 52 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{52}$

Somit gilt für die 52-te Ableitung:

f⁽⁵²⁾(x) = ${(- 1,1)}^{52} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $142,043 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 3)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 4)$

= $(0,6 x - 4) \cdot e^{- 0,6 x}$