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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 4) \cdot e^{x} + (4 x^{3} - 4 x) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (12 x^{2} - 4 + (4 x^{3} - 4 x))$

= $e^{x} \cdot (4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x - 4)$

= $(4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x - 4) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot x^{5} + e^{2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $2 \cdot e^{2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (5 x^{4} + 2 x^{5})$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \sqrt{x + 2}$

= $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{\sqrt{x + 2}} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{\sqrt{x + 2}} \cdot (1)$

= $\frac{1}{\sqrt{x + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x - 2,4 + 2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,4 x - 0,4)$

= $(- 0,4 x - 0,4) \cdot e^{- 0,2 x}$