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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 5} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 5} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 5} \cdot 1 - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

= $3 e^{x - 5} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $12 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $12 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5} \cdot (- 15 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{3} + 5} \cdot (- 15 x^{2})$

= $- 15 \frac{x^{2}}{- 5 x^{3} + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} + 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- 3 x} + 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(e^{- 3 x} + 4)}^{2} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $- 6 {(e^{- 3 x} + 4)}^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $18 {(e^{- 3 x} + 4)}^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 0,4)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 2,4)$

= $(0,2 x - 2,4) \cdot e^{- 0,1 x}$