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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 4} + 2 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x - 4} + 2 x^{3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x - 4} \cdot 1 + 6 x^{2}$

= $3 e^{x - 4} + 6 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 20 x^{4} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- 4 x^{5} - 2 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{5} + 4 x^{3} + (- 20 x^{4} - 6 x^{2}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x^{5} - 20 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2})$

= $(8 x^{5} - 20 x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x^{2} - 2) \cdot (4 x + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (2 x^{2} - 2) \cdot (4 x)$

= $- 12 \sin (2 x^{2} - 2) x$

= $- 12 x \cdot \sin (2 x^{2} - 2)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} - 1$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 9,6)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 13,6)$

= $(- 1,6 x + 13,6) \cdot e^{- 0,4 x}$