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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{10}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - e^{- x + 1} + \frac{9}{4} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (x) - e^{- x + 1} + \frac{9}{4} x^{3}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) - e^{- x + 1} \cdot (- 1) + \frac{27}{4} x^{2}$

= $- \frac{1}{3} \cdot \sin (x) + e^{- x + 1} + \frac{27}{4} x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 1} \cdot 9 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{x} \cdot 1$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (\cos (x) + 2) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 6 (\cos (x) + 2) \cdot (- \sin (x))$

= $6 (\cos (x) + 2) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${1,05}^{76} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $40,774 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 3$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 3$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 7,2) - 3$

= $- 3 + (- 1,2 x + 4 - 7,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 3 + (- 1,2 x - 3,2) \cdot e^{- 0,3 x}$