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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x}$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- x + 3} + 2 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- x + 3} + 2 \sqrt{x}$

= $3 e^{- x + 3} + 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 e^{- x + 3} \cdot (- 1) + x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $3 e^{- x + 3} \cdot (- 1) + \frac{1}{\sqrt{x}}$

= $- 3 e^{- x + 3} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{2} - 3} \cdot 2 x$

= $6 \cdot e^{x^{2} - 3} x$

= $6 x e^{x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{x} \cdot 1$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{3 x - 1}$

= $- 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{3 x - 1}} \cdot (3)$

= $- \frac{3}{\sqrt{3 x - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,3153 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,3153 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,431 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{69} \cdot 2 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 57,955 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x - 12,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x - 10,6)$

= $(- 1,8 x - 10,6) \cdot e^{- 0,9 x}$