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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x - 3} + \sqrt[3]{x} - \frac{3}{2} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x - 3} + \sqrt[3]{x} - \frac{3}{2} x^{3}$

= $e^{x - 3} + x^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{2} x^{3}$

=> f'(x) = $e^{x - 3} \cdot 1 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - \frac{9}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x - 3} \cdot 1 + \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \frac{9}{2} x^{2}$

= $e^{x - 3} + \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} - \frac{9}{2} x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 2) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 2) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 2) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 61-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 61-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 61 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{61}$

Somit gilt für die 61-te Ableitung:

f⁽⁶¹⁾(x) = ${1,1}^{61} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $334,93 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x + 0,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 1,6)$

= $(- 0,2 x + 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$