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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{3} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}} - 2 e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}} - 2 e^{- 2 x + 4}$

= $2 x^{- 4} - 2 e^{- 2 x + 4}$

=> f'(x) = $- 8 x^{- 5} - 2 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $- \frac{8}{x^{5}} - 2 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $- \frac{8}{x^{5}} + 4 e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{4} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{4} + 15 - 12 x^{3})$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{4} - 12 x^{3} + 15)$

= $(9 x^{4} - 12 x^{3} + 15) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - 4 x} \cdot (6 x - 4)$

= $\frac{6 x - 4}{3 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 3 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 3 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (- 3 x^{3} - 4) \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot \sin (- 3 x^{3} - 4) \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \sin (- 3 x^{3} - 4) x^{2}$

= $- 18 x^{2} \cdot \sin (- 3 x^{3} - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 7$

= $- 2 e^{- 0,4 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 7$

= $- 2 e^{- 0,4 x} + 0,8 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 7$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 2 + 0,8 x + 4) + 7$

= $7 + (0,8 x - 2 + 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $7 + (0,8 x + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$