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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 4) \cdot e^{x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 4) \cdot e^{x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 0) \cdot e^{x + 1} + (- x^{3} - 4) \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{x + 1} + (- x^{3} - 4) \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (- x^{3} - 4 - 3 x^{2})$

= $e^{x + 1} \cdot (- x^{3} - 3 x^{2} - 4)$

= $(- x^{3} - 3 x^{2} - 4) \cdot e^{x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x^{3} + 4} \cdot 9 x^{2}$

= $- 18 \cdot e^{3 x^{3} + 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{3 x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{2 x^{3} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{2 x^{3} + 3}$

= $3 {(2 x^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(2 x^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} + 3}} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{2 x^{3} + 3}} \cdot (6 x^{2})$

= $9 \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{3} + 3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 3$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 5,4) + 3$

= $3 + (0,9 x - 3 + 5,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $3 + (0,9 x + 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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