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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{3}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{x - 4} \cdot 1$

= $2 e^{x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x} \cdot 1$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{2 x} + (3 x + 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 e^{2 x} + (3 x + 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 e^{2 x} + 2 (3 x + 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (3 + 6 x + 8)$

= $e^{2 x} \cdot (6 x + 11)$

= $(6 x + 11) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{33}$

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f⁽³³⁾(x) = ${1,15}^{33} \cdot 4 e^{1,15 x}$

≈ $402,799 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x - 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x - 5,4)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1,8 x - 8,4)$

= $(1,8 x - 8,4) \cdot e^{- 0,6 x}$