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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{5} + 3 e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{5} + 3 e^{3 x - 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{3} x^{4} + 3 e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- \frac{5}{3} x^{4} + 9 e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{2} + 3} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- x^{2} + 3} x$

= $- 2 x e^{- x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 9) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 9) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 9) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 18)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 19)$

= $(2 x + 19) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 7$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 7$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 2) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 1,4) - 7$

= $- 7 + (0,7 x - 1 - 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 7 + (0,7 x - 2,4) \cdot e^{- 0,7 x}$