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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{8} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{8} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{8} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{15}{8} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 4} + x^{4} \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 4} + x^{4} \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $4 x^{3} \cdot e^{5 x + 4} + 5 x^{4} \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5 + 0)$

= $\frac{1}{5 x + 2} \cdot (5)$

= $\frac{5}{5 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x - 2} + x^{2} \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x - 2} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $2 x \cdot e^{2 x - 2} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $115,805 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 3$

= $- e^{- 0,5 x} - (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 3$

= $- e^{- 0,5 x} + 0,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 3$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1 + 0,5 x + 0,5) + 3$

= $3 + (0,5 x - 1 + 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $3 + (0,5 x - 0,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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