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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{5}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{4} \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{4} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 x^{4} \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 5 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 4} x$

= $12 x e^{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{2 x} + (x + 2) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $e^{2 x} + (x + 2) \cdot 2 e^{2 x}$

= $e^{2 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (1 + 2 x + 4)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x + 5)$

= $(2 x + 5) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,1}^{65} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $490,371 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 8$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 8$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 8$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 2,1) - 8$

= $- 8 + (- 2,1 x + 3 + 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 8 + (- 2,1 x + 5,1) \cdot e^{- 0,7 x}$