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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{9} e^{\frac{7}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + \frac{7}{9} e^{\frac{7}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{\frac{7}{5} x} \cdot \frac{7}{5}$

= $\frac{49}{45} e^{\frac{7}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3} + (4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3} \cdot 5$

= $(12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3} + (4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot 5 e^{5 x + 3}$

= $(12 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3} + 5 (4 x^{3} + 2 x^{2}) \cdot e^{5 x + 3}$

= $e^{5 x + 3} \cdot (20 x^{3} + 10 x^{2} + (12 x^{2} + 4 x))$

= $e^{5 x + 3} \cdot (20 x^{3} + 22 x^{2} + 4 x)$

= $(20 x^{3} + 22 x^{2} + 4 x) \cdot e^{5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} + 4} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} + 4} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} + 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} + 5 x^{2}} \cdot (- 12 x^{2} + 10 x)$

= $\frac{- 12 x^{2} + 10 x}{- 4 x^{3} + 5 x^{2}}$

= $\frac{- 2 \cdot 1 \cdot (6 x - 5)}{- x \cdot (4 x - 5)}$

= $\frac{- 2 (6 x - 5)}{- x \cdot (4 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(e^{- 3 x} + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(e^{- 3 x} + 2)}^{4} \cdot (e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0)$

= $15 {(e^{- 3 x} + 2)}^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $- 45 {(e^{- 3 x} + 2)}^{4} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $2,55 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $2,55 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 2,1675 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,8424 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,8424 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,566 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 0,85)}^{34} \cdot (- 3 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,012 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 6$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 6$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 6$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 1,8) - 6$

= $- 6 + (0,3 x - 3 + 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 6 + (0,3 x - 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

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