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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 2 e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 2 e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{16}{9} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 5) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{x + 3} + (2 x^{2} + 5) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $4 x \cdot e^{x + 3} + (2 x^{2} + 5) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (2 x^{2} + 5 + 4 x)$

= $e^{x + 3} \cdot (2 x^{2} + 4 x + 5)$

= $(2 x^{2} + 4 x + 5) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x) + e^{x} \cdot (- 12 x^{3} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 5 x - 12 x^{3} - 5)$

= $e^{x} \cdot (- 3 x^{4} - 12 x^{3} - 5 x - 5)$

= $(- 3 x^{4} - 12 x^{3} - 5 x - 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \cos (- 4 x + 1)$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{3} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{3} \cdot (- \sin (- 4 x + 1) \cdot (- 4))$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + x^{3} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x + 1)$

= $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x + 1) + 4 x^{3} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{x}$

f'(x) = $2 e^{x}$

f''(x) = $2 e^{x}$

f'''(x) = $2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} + 9$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $4 e^{- 0,4 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 6,4)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 10,4)$

= $(- 1,6 x + 10,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten