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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x + 5) \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{x + 3} + (- 4 x + 5) \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $- 4 e^{x + 3} + (- 4 x + 5) \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (- 4 - 4 x + 5)$

= $e^{x + 3} \cdot (- 4 x + 1)$

= $(- 4 x + 1) \cdot e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{x + 5} \cdot 1$

= $2 e^{x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{x} \cdot 1$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- x - 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(- x - 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (- x - 4) \cdot (- 1 + 0)$

= $- 6 (- x - 4) \cdot (- 1)$

= $6 (- x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 6$

= $- 4 e^{- 0,7 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 6$

= $- 4 e^{- 0,7 x} + 2,8 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 4 + 2,8 x + 2,8) - 6$

= $- 6 + (2,8 x - 4 + 2,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 6 + (2,8 x - 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$