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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 3} + (x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $(2 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 3} + (x^{2} - 4 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 3})$

= $(2 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 3} - 3 (x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 3 x + 3}$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x^{2} + 12 x + 2 x - 4)$

= $e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3 x^{2} + 14 x - 4)$

= $(- 3 x^{2} + 14 x - 4) \cdot e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2} - 3}$

= $- {(2 x^{2} - 3)}^{- 1}$

=> f'(x) = ${(2 x^{2} - 3)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,1 x}$

f'(x) = $e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,1 e^{1,1 x}$

f''(x) = $1,1 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,21 e^{1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,331 e^{1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,331 e^{1,1 x} \cdot 1,1$ = $1,4641 e^{1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,1$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,1}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,1}^{60} \cdot e^{1,1 x}$

≈ $304,482 e^{1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 2) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 4,8)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 1,8)$

= $(- 2,4 x - 1,8) \cdot e^{- 0,8 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten