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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(4 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4} + (2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $(4 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4} + (2 x^{2} - 4 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $(4 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 (2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 4 x^{2} + 8 x + 4 x - 4)$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 4 x^{2} + 12 x - 4)$

= $(- 4 x^{2} + 12 x - 4) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 0) \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 x \cdot e^{3 x} + (- 3 x^{2} + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $- 6 x \cdot e^{3 x} + 3 (- 3 x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 12 - 6 x)$

= $e^{3 x} \cdot (- 9 x^{2} - 6 x + 12)$

= $(- 9 x^{2} - 6 x + 12) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 4) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 4) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 3 e^{- 0,8 x} - 3 (x + 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 3 e^{- 0,8 x} + 2,4 (x + 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 3 + 2,4 x + 14,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2,4 x + 11,4)$

= $(2,4 x + 11,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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