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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 4} + (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 4} + (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $(- 9 x^{2} - 4) \cdot e^{2 x + 4} + 2 (- 3 x^{3} - 4 x) \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 6 x^{3} - 8 x - 9 x^{2} - 4)$

= $e^{2 x + 4} \cdot (- 6 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 4)$

= $(- 6 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 4) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} - 3} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} - 3} x$

= $4 x e^{2 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 5 x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 10 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 10 x}{4 x^{3} - 5 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (6 x - 5)}{x \cdot (4 x - 5)}$

= $\frac{2 (6 x - 5)}{x \cdot (4 x - 5)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 2)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 2)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(\cos (x) - 2)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 8 {(\cos (x) - 2)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $8 {(\cos (x) - 2)}^{3} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 57-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,9 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,7 e^{0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,43 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $- 2,43 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 2,187 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $- 1,9683 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 57-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 57 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{57}$

Somit gilt für die 57-te Ableitung:

f⁽⁵⁷⁾(x) = ${0,9}^{57} \cdot (- 3 e^{0,9 x})$

≈ $- 0,007 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} - 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 0,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 5,5)$

= $(- 0,5 x + 5,5) \cdot e^{- 0,1 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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