Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{1}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{1}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 3} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{2} + e^{- 2 x} \cdot 2 x$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{2} + 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{2} \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 4} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 2$

= $5 e^{- 0,4 x} + 5 (x - 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 2$

= $5 e^{- 0,4 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 2$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (5 - 2 x + 2) - 2$

= $- 2 + (- 2 x + 5 + 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 2 + (- 2 x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$