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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $- \frac{33}{8} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} + x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 8 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 8 x^{3} + 1 + (6 x^{4} - 3 x))$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 8 x^{3} - 3 x + 1)$

= $(6 x^{4} - 8 x^{3} - 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x} + 2 (3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (15 x^{4} + 4 x + (6 x^{5} + 4 x^{2}))$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{5} + 15 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x)$

= $(6 x^{5} + 15 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} + 1} \cdot (- 6 x + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{2} + 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 1) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) + (x^{2} + 1) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 3 x) - 3 (x^{2} + 1) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x - 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x - 7) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 22,4 - 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x - 26,4)$

= $(3,2 x - 26,4) \cdot e^{- 0,8 x}$

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e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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