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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 0) \cdot e^{- x} + (- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- x} + (- 4 x^{3} + 4) \cdot (- e^{- x})$

= $- 12 x^{2} \cdot e^{- x} - (- 4 x^{3} + 4) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{3} - 4 - 12 x^{2})$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{3} - 12 x^{2} - 4)$

= $(4 x^{3} - 12 x^{2} - 4) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $3 e^{- x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - x} \cdot (10 x - 1)$

= $\frac{10 x - 1}{5 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 2 x^{3} + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 2 x^{3} + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $12 {(- 2 x^{3} + 5)}^{3} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $12 {(- 2 x^{3} + 5)}^{3} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 72 {(- 2 x^{3} + 5)}^{3} x^{2}$

= $- 72 x^{2} {(- 2 x^{3} + 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) - 1$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) - 1$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 1$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 4,2) - 1$

= $- 1 + (0,6 x - 1 - 4,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $- 1 + (0,6 x - 5,2) \cdot e^{- 0,6 x}$