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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}} + 3 e^{3 x + 4} + \frac{8}{3} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}} + 3 e^{3 x + 4} + \frac{8}{3} \sqrt{x}$

= $5 x^{- 3} + 3 e^{3 x + 4} + \frac{8}{3} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 15 x^{- 4} + 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 + \frac{4}{3} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{15}{x^{4}} + 3 e^{3 x + 4} \cdot 3 + \frac{4}{3 \sqrt{x}}$

= $- \frac{15}{x^{4}} + 9 e^{3 x + 4} + \frac{4}{3 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x^{3} - 4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(- 2 x^{2} - 3)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(- 2 x^{2} - 3)}^{3}$

$f'(x) =$ $3 {(- 2 x^{2} - 3)}^{2} \cdot (- 4 x + 0)$

= $3 {(- 2 x^{2} - 3)}^{2} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 {(- 2 x^{2} - 3)}^{2} x$

= $- 12 x {(- 2 x^{2} - 3)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- x}$

f'(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f'''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 1)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5 x + 2)$

= $(- 0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$