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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{3} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x^{3} + 5} \cdot 9 x^{2}$

= $- 9 \cdot e^{3 x^{3} + 5} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{3 x^{3} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5 + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $- \frac{5}{- 5 x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt{x^{2} + 2}$

= $- {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (2 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot (2 x + 0)$

= $- \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot (2 x)$

= $- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,85)}^{45} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x - 13,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x - 8,5)$

= $(- 4,5 x - 8,5) \cdot e^{- 0,9 x}$