Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}} - 3 e^{- x - 5} - 4 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}} - 3 e^{- x - 5} - 4 \sqrt{x}$

= $- 4 x^{- 2} - 3 e^{- x - 5} - 4 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8 x^{- 3} - 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1) - 2 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x^{3}} - 3 e^{- x - 5} \cdot (- 1) - \frac{2}{\sqrt{x}}$

= $\frac{8}{x^{3}} + 3 e^{- x - 5} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 8}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 7$

= $- e^{- 0,7 x} - (x - 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 7$

= $- e^{- 0,7 x} + 0,7 (x - 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 1 + 0,7 x - 4,9) + 7$

= $7 + (0,7 x - 1 - 4,9) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $7 + (0,7 x - 5,9) \cdot e^{- 0,7 x}$