Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5} + (- x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $(- 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5} + (- x^{3} - 3 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x + 5}$

= $(- 3 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5} + 2 (- x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{2 x + 5}$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 2 x^{3} - 6 x^{2} + (- 3 x^{2} - 6 x))$

= $e^{2 x + 5} \cdot (- 2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x)$

= $(- 2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x) \cdot e^{2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{x} + (5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} + 5 x^{4} + (25 x^{4} + 20 x^{3}))$

= $e^{x} \cdot (5 x^{5} + 30 x^{4} + 20 x^{3})$

= $(5 x^{5} + 30 x^{4} + 20 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5 x} \cdot (- 3 x^{2} - 5)$

= $\frac{- 3 x^{2} - 5}{- x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 8) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 8) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 8) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 1,1)}^{46} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $80,18 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} + 2$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x + 6) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x + 6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x - 1,2)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x - 0,2)$

= $(- 0,2 x - 0,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten