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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $- \frac{7}{3} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + e^{3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (x) + e^{3 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) + e^{3 x - 1} \cdot 3$

= $- 2 \cdot \cos (x) + 3 e^{3 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{5} - x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 15 x^{4} - 1) \cdot e^{- 3 x} + (- 3 x^{5} - x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 15 x^{4} - 1) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 3 x^{5} - x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} + 3 x - 15 x^{4} - 1)$

= $e^{- 3 x} \cdot (9 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x - 1)$

= $(9 x^{5} - 15 x^{4} + 3 x - 1) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(x^{2} + 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(x^{2} + 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(x^{2} + 5)}^{3} \cdot (2 x + 0)$

= $- 8 {(x^{2} + 5)}^{3} \cdot (2 x)$

= $- 16 {(x^{2} + 5)}^{3} x$

= $- 16 x {(x^{2} + 5)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{- x}$

f'(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f''(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

f'''(x) = $- 3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $3 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 3 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $3 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 6$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 6$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,9 x} - 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x + 5,4) - 6$

= $- 6 + (0,9 x - 1 + 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 6 + (0,9 x + 4,4) \cdot e^{- 0,9 x}$