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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{3}{4} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{4} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{3}{2} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - 3 e^{- x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - 3 e^{- x + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) - 3 e^{- x + 5} \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot \sin (x) + 3 e^{- x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 4) \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 4) \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{x} + (- x - 4) \cdot e^{x}$

= $- e^{x} + (- x - 4) \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (- 1 - x - 4)$

= $e^{x} \cdot (- x - 5)$

= $(- x - 5) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 6) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 6) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 18 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 18)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 18) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 88-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 88-te Ableitung:

f⁽⁸⁸⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x + 13,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x + 8,5)$

= $(4,5 x + 8,5) \cdot e^{- 0,9 x}$