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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{9} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{3} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 4}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 4} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 4} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 4})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 4} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 4}$

= $e^{- 5 x + 4} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 3}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 3} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 3} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x + 1} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $6 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 12 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} + 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x - 10,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x - 7,8)$

= $(- 1,8 x - 7,8) \cdot e^{- 0,6 x}$