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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 + e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{7}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 6 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 2} + (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x + 2} \cdot (- 2)$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 2} + (- 3 x^{2} + x) \cdot (- 2 e^{- 2 x + 2})$

= $(- 6 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 2} - 2 (- 3 x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x + 2}$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (6 x^{2} - 2 x - 6 x + 1)$

= $e^{- 2 x + 2} \cdot (6 x^{2} - 8 x + 1)$

= $(6 x^{2} - 8 x + 1) \cdot e^{- 2 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 5 x} \cdot (4 x - 5)$

= $\frac{4 x - 5}{2 x^{2} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 4) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 4) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 8 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 8)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 8) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${0,95}^{69} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,029 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 5$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 4) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 5$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 6,4) - 5$

= $- 5 + (1,6 x - 4 + 6,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 5 + (1,6 x + 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen ableiten

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