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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{6}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{6}{5} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{6}{5} x} \cdot \frac{6}{5}$

= $- \frac{6}{5} e^{\frac{6}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{2}} - 3 e^{3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{2}{x^{2}} - 3 e^{3 x - 3}$

= $- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - 2 x^{- 2} - 3 e^{3 x - 3}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + 4 x^{- 3} - 3 e^{3 x - 3} \cdot 3$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{3}} - 3 e^{3 x - 3} \cdot 3$

= $- \frac{1}{2} \cdot \cos (x) + \frac{4}{x^{3}} - 9 e^{3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + x^{4} \cdot 3 e^{3 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{3 x} + 3 x^{4} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (6 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{6 x^{2} + 4 x}{2 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (3 x + 2)}{2 x \cdot (x + 1)}$

= $\frac{2 (3 x + 2)}{2 x \cdot (x + 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} + 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} + 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} - 12 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x - 12)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x - 12) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 68-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 68-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 68 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{68}$

Somit gilt für die 68-te Ableitung:

f⁽⁶⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{68} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $27,598 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 9$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 9$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 1,5) - 9$

= $- 9 + (- 0,5 x + 1 + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 9 + (- 0,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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