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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $- e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $- \frac{4}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x + 4} + (- 5 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $(- 20 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x + 4} + (- 5 x^{4} + x) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $(- 20 x^{3} + 1) \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 (- 5 x^{4} + x) \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (15 x^{4} - 3 x - 20 x^{3} + 1)$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (15 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x + 1)$

= $(15 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x + 1) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{3} - 4 x} \cdot (- 12 x^{2} - 4)$

= $\frac{- 12 x^{2} - 4}{- 4 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 3) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 3) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 3) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,4 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 3,4 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,89 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,89 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,4565 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,4565 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,088 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${0,85}^{49} \cdot (- 4 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} - 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 7)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 12)$

= $(- x + 12) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten