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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{3} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{2} \cdot \cos (x) - e^{- 3 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{2} \cdot \cos (x) - e^{- 3 x + 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) - e^{- 3 x + 3} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{2} \cdot \sin (x) + 3 e^{- 3 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} - 3} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} - 3} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{2} + 5 x} \cdot (2 x + 5)$

= $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x - 9) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x - 9) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x - 9) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x + 27)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 30)$

= $(- 9 x + 30) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,1 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 2,1 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,205 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $2,205 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 2,3153 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,3153 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $2,431 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${(- 1,05)}^{69} \cdot 2 e^{- 1,05 x}$

≈ $- 57,955 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- 4 e^{- 0,8 x} - 4 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- 4 e^{- 0,8 x} + 3,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 4 + 3,2 x + 16)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3,2 x + 12)$

= $(3,2 x + 12) \cdot e^{- 0,8 x}$