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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 5} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x - 5} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 5}$

= $e^{- 5 x - 5} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 7) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 7) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 7) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 7) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- x}$

f'(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f'''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- 2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x + 6) - 7$

= $- 7 + (2 x - 4 + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 7 + (2 x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$