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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 + 6 7 e 2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 + 6 7 e 2x

f'(x)= 0 + 6 7 e 2x · 2

= 12 7 e 2x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 e -3x +3 - 5 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 e -3x +3 - 5 x 4

= -2 e -3x +3 -5 x -4

=> f'(x) = -2 e -3x +3 · ( -3 ) +20 x -5

f'(x)= -2 e -3x +3 · ( -3 ) + 20 x 5

= 6 e -3x +3 + 20 x 5

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= e 3 x 3 +4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= e 3 x 3 +4

f'(x)= e 3 x 3 +4 · 9 x 2

= 9 · e 3 x 3 +4 x 2

= 9 x 2 e 3 x 3 +4

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ln( -5 x 2 -2x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ln( -5 x 2 -2x )

f'(x)= 1 -5 x 2 -2x · ( -10x -2 )

= -10x -2 -5 x 2 -2x

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 ( -2x -2 ) 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( -2x -2 ) 3

= 2 ( -2x -2 ) -3

=> f'(x) = -6 ( -2x -2 ) -4 · ( -2 +0 )

f'(x)= - 6 ( -2x -2 ) 4 · ( -2 +0 )

= - 6 ( -2x -2 ) 4 · ( -2 )

= 12 ( -2x -2 ) 4

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= x · e x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = x · e x

f'(x) = 1 · e x + x · e x = e x · ( x +1 )

f''(x) = e x · ( x +1 ) + e x · ( 1 +0 ) = e x · ( x +2 )

f'''(x) = e x · ( x +2 ) + e x · ( 1 +0 ) = e x · ( x +3 )

f(4)(x) = e x · ( x +3 ) + e x · ( 1 +0 ) = e x · ( x +4 )

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f(95)(x) = e x · ( x +95 )

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x +6 ) · e -0,5x -3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( x +6 ) · e -0,5x -3

f'(x)= ( 1 +0 ) · e -0,5x + ( x +6 ) · e -0,5x · ( -0,5 )+0

= e -0,5x + ( x +6 ) · ( -0,5 e -0,5x )

= e -0,5x -0,5 ( x +6 ) · e -0,5x

= e -0,5x · ( -0,5x -3 +1 )

= e -0,5x · ( -0,5x -2 )

= ( -0,5x -2 ) · e -0,5x