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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{8} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{8} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} - \frac{9}{4 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} - \frac{9}{4 x^{3}}$

= $- 3 e^{- 3 x + 5} - \frac{9}{4} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{27}{4} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + \frac{27}{4 x^{4}}$

= $9 e^{- 3 x + 5} + \frac{27}{4 x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{2} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{2} - 5}$

$f'(x) =$ $e^{x^{2} - 5} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{x^{2} - 5} x$

= $2 x e^{x^{2} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 1}$

= ${(2 x^{2} - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- {(2 x^{2} - 1)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{1}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $- 4 \frac{x}{{(2 x^{2} - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 5 e^{- 0,9 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 5 e^{- 0,9 x} + 4,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 5 + 4,5 x - 13,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4,5 x - 18,5)$

= $(4,5 x - 18,5) \cdot e^{- 0,9 x}$