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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{4}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{4}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{4}{3} x} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{11}{6} e^{\frac{4}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + x^{5} \cdot e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + x^{5} \cdot 2 e^{2 x + 4}$

= $5 x^{4} \cdot e^{2 x + 4} + 2 x^{5} \cdot e^{2 x + 4}$

= $e^{2 x + 4} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{2 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $6 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $6 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x - 2}$

= $2 {(3 x - 2)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(3 x - 2)}^{- 2} \cdot (3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} \cdot (3 + 0)$

= $- \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} \cdot (3)$

= $- \frac{6}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- x}$

f'(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f'''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 5$

= $- 3 e^{- 0,4 x} - 3 (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 5$

= $- 3 e^{- 0,4 x} + 1,2 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 3 + 1,2 x + 6) + 5$

= $5 + (1,2 x - 3 + 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $5 + (1,2 x + 3) \cdot e^{- 0,4 x}$