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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{8} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{8} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{8} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{9}{4} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- 4 x^{2} + 4 x) + e^{- x} \cdot (- 8 x + 4)$

= $- e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} + 4 x) + e^{- x} \cdot (- 8 x + 4)$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{2} - 4 x - 8 x + 4)$

= $e^{- x} \cdot (4 x^{2} - 12 x + 4)$

= $(4 x^{2} - 12 x + 4) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 5} \cdot (12 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{3} - 5} \cdot (12 x^{2})$

= $12 \frac{x^{2}}{4 x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} - 1) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} - 3 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x - 3)$

= $(3 x^{2} + 2 x - 3) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $- e^{- 0,8 x} - (x - 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $- e^{- 0,8 x} + 0,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1 + 0,8 x - 4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (0,8 x - 5)$

= $(0,8 x - 5) \cdot e^{- 0,8 x}$