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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{27}{7} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 1} + x^{5} \cdot e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 1} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 1} - x^{5} \cdot e^{- x + 1}$

= $e^{- x + 1} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $- 3 e^{3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} - 1} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 1) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 1) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 3 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 3)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 32-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,7 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $1,7 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,445 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $- 1,445 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $1,2283 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,2283 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 1,044 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 32-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 32 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{32}$

Somit gilt für die 32-te Ableitung:

f⁽³²⁾(x) = ${(- 0,85)}^{32} \cdot (- 2 e^{- 0,85 x})$

≈ $- 0,011 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 2$

= $2 e^{- 0,5 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 2$

= $2 e^{- 0,5 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} - 2$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (2 - x - 5) - 2$

= $- 2 + (- x + 2 - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 2 + (- x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen ableiten

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