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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 5}$

$f'(x) =$ $(12 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x - 5} + (4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 5} \cdot (- 2)$

= $(12 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x - 5} + (4 x^{3} - 5 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 5})$

= $(12 x^{2} - 5) \cdot e^{- 2 x - 5} - 2 (4 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- 2 x - 5}$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 8 x^{3} + 10 x + 12 x^{2} - 5)$

= $e^{- 2 x - 5} \cdot (- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x - 5)$

= $(- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x - 5) \cdot e^{- 2 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{2} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{2} - 3 x} \cdot (- 6 x - 3)$

= $\frac{- 6 x - 3}{- 3 x^{2} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 1) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 1) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} - 1) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 65-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 65-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 65 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{65}$

Somit gilt für die 65-te Ableitung:

f⁽⁶⁵⁾(x) = ${1,05}^{65} \cdot 4 e^{1,05 x}$

≈ $95,36 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $3 e^{- 0,6 x} + 3 (x - 5) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $3 e^{- 0,6 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (3 - 1,8 x + 9)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1,8 x + 12)$

= $(- 1,8 x + 12) \cdot e^{- 0,6 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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