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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $2 e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{12}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (5 x^{4} - 3 x^{5})$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x + 5} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x} \cdot 1$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 2) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (3 x) + (x + 2) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $\cos (3 x) + (x + 2) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $\cos (3 x) - 3 (x + 2) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 9$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x - 1) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 9$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x - 1) \cdot e^{- 0,3 x} - 9$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 0,9 - 3) - 9$

= $- 9 + (0,9 x - 0,9 - 3) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 9 + (0,9 x - 3,9) \cdot e^{- 0,3 x}$