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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{2} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + \frac{1}{2} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3} + x^{3} \cdot (- 5 e^{- 5 x - 3})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 5 x - 3} - 5 x^{3} \cdot e^{- 5 x - 3}$

= $e^{- 5 x - 3} \cdot (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x^{2} + 5} \cdot 2 x$

= $- 6 \cdot e^{x^{2} + 5} x$

= $- 6 x e^{x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} + 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} + 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} - 6 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x - 6)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x - 6) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${(- 0,95)}^{66} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,034 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 8$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 4,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 1,5 x + 7,5)$

= $(- 1,5 x + 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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