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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= e 3 4 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= e 3 4 x

f'(x)= e 3 4 x · 3 4

= 3 4 e 3 4 x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 2 · e 2x +3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 2 · e 2x +3

f'(x)= 2x · e 2x +3 + x 2 · e 2x +3 · 2

= 2 x · e 2x +3 + x 2 · 2 e 2x +3

= 2 x · e 2x +3 +2 x 2 · e 2x +3

= e 2x +3 · ( 2x +2 x 2 )

= e 2x +3 · ( 2 x 2 +2x )

= ( 2 x 2 +2x ) · e 2x +3

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 3 · e -2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 3 · e -2x

f'(x)= 3 x 2 · e -2x + x 3 · e -2x · ( -2 )

= 3 x 2 · e -2x + x 3 · ( -2 e -2x )

= 3 x 2 · e -2x -2 x 3 · e -2x

= e -2x · ( 3 x 2 -2 x 3 )

= e -2x · ( -2 x 3 +3 x 2 )

= ( -2 x 3 +3 x 2 ) · e -2x

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ln( -2 x 3 -3x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ln( -2 x 3 -3x )

f'(x)= 1 -2 x 3 -3x · ( -6 x 2 -3 )

= -6 x 2 -3 -2 x 3 -3x

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( 2x -6 ) · sin( 3x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( 2x -6 ) · sin( 3x )

f'(x)= ( 2 +0 ) · sin( 3x ) + ( 2x -6 ) · cos( 3x ) · 3

= 2 sin( 3x ) + ( 2x -6 ) · 3 cos( 3x )

= 2 sin( 3x ) +3 ( 2x -6 ) · cos( 3x )

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 59-te Ableitung der Funktion f(x)= e 0,9x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = e 0,9x

f'(x) = e 0,9x · 0,9 = 0,9 e 0,9x

f''(x) = 0,9 e 0,9x · 0,9 = 0,81 e 0,9x

f'''(x) = 0,81 e 0,9x · 0,9 = 0,729 e 0,9x

f(4)(x) = 0,729 e 0,9x · 0,9 = 0,6561 e 0,9x

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit 0,9 multipliziert wird. Bei der 59-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 59 mal mit 0,9 multipliziert, also insgeamt mit 0,9 59

Somit gilt für die 59-te Ableitung:

f(59)(x) = 0,9 59 · e 0,9x

0,002 e 0,9x

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 ( x +1 ) · e -0,1x +3x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 ( x +1 ) · e -0,1x +3x

f'(x)= 2 · ( 1 +0 ) · e -0,1x +2 ( x +1 ) · e -0,1x · ( -0,1 ) +3

= 2 e -0,1x +2 ( x +1 ) · ( -0,1 e -0,1x ) +3

= 2 e -0,1x -0,2 ( x +1 ) · e -0,1x +3

= e -0,1x · ( -0,2x -0,2 +2 ) +3

= 3 + ( -0,2x -0,2 +2 ) · e -0,1x

= 3 + ( -0,2x +1,8 ) · e -0,1x