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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 8 x + 0) \cdot e^{3 x + 4} + (- 4 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 4} \cdot 3$

= $- 8 x \cdot e^{3 x + 4} + (- 4 x^{2} + 3) \cdot 3 e^{3 x + 4}$

= $- 8 x \cdot e^{3 x + 4} + 3 (- 4 x^{2} + 3) \cdot e^{3 x + 4}$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 12 x^{2} + 9 - 8 x)$

= $e^{3 x + 4} \cdot (- 12 x^{2} - 8 x + 9)$

= $(- 12 x^{2} - 8 x + 9) \cdot e^{3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x} \cdot 1$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(2 x + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(2 x + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 10 {(2 x + 5)}^{4} \cdot (2 + 0)$

= $- 10 {(2 x + 5)}^{4} \cdot (2)$

= $- 20 {(2 x + 5)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} + 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x - 6) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x + 9,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x + 11,6)$

= $(- 1,6 x + 11,6) \cdot e^{- 0,8 x}$