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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x - 4} - 4 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x - 4} - 4 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $e^{3 x - 4} \cdot 3 + 4 \cdot \sin (x)$

= $3 e^{3 x - 4} + 4 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $18 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $18 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 6 (e^{- x} - 1) \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 6 (e^{- x} - 1) \cdot (- e^{- x})$

= $6 (e^{- x} - 1) \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 2$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 2$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x + 0,8) - 2$

= $- 2 + (- 0,4 x + 2 + 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 2 + (- 0,4 x + 2,8) \cdot e^{- 0,2 x}$