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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{7}{16} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 4} - 6 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 4} - 6 x^{4}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3) - 24 x^{3}$

= $6 e^{- 3 x + 4} - 24 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $- e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $e^{- x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (3 x) + (x + 6) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $\cos (3 x) + (x + 6) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $\cos (3 x) - 3 (x + 6) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 92-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 92-te Ableitung:

f⁽⁹²⁾(x) = $4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 3$

= $- 3 e^{- 0,1 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 3$

= $- 3 e^{- 0,1 x} + 0,3 (x + 4) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 3 + 0,3 x + 1,2) - 3$

= $- 3 + (0,3 x - 3 + 1,2) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 3 + (0,3 x - 1,8) \cdot e^{- 0,1 x}$