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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 2 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} - 2) \cdot e^{- 5 x + 5} + (- 3 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- 5 x + 5} \cdot (- 5)$

= $(- 15 x^{4} - 2) \cdot e^{- 5 x + 5} + (- 3 x^{5} - 2 x) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 5})$

= $(- 15 x^{4} - 2) \cdot e^{- 5 x + 5} - 5 (- 3 x^{5} - 2 x) \cdot e^{- 5 x + 5}$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (15 x^{5} + 10 x - 15 x^{4} - 2)$

= $e^{- 5 x + 5} \cdot (15 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x - 2)$

= $(15 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x - 2) \cdot e^{- 5 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $3 e^{3 x + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x - 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x - 3} \cdot (- 1 + 0)$

= $\frac{1}{- x - 3} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{- x - 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $3 e^{- 3 x} + (3 x + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $3 e^{- 3 x} - 3 (3 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x - 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x - 21)$

= $(- 9 x - 21) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,9 x}$

f'(x) = $e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,9 e^{0,9 x}$

f''(x) = $0,9 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,81 e^{0,9 x}$

f'''(x) = $0,81 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,729 e^{0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,729 e^{0,9 x} \cdot 0,9$ = $0,6561 e^{0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,9$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,9}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${0,9}^{62} \cdot e^{0,9 x}$

≈ $0,001 e^{0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 1$

= $2 e^{- 0,2 x} + 2 (x + 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 1$

= $2 e^{- 0,2 x} - 0,4 (x + 2) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (2 - 0,4 x - 0,8) - 1$

= $- 1 + (- 0,4 x + 2 - 0,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 1 + (- 0,4 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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