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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 4 e x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 4 e x

f'(x)= 3 4 e x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - e 2x -5 -4 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - e 2x -5 -4 x

= - e 2x -5 -4 x 1 2

=> f'(x) = - e 2x -5 · 2 -2 x - 1 2

f'(x)= - e 2x -5 · 2 - 2 x

= -2 e 2x -5 - 2 x

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 4 · e 3x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 4 · e 3x

f'(x)= 4 x 3 · e 3x + x 4 · e 3x · 3

= 4 x 3 · e 3x + x 4 · 3 e 3x

= 4 x 3 · e 3x +3 x 4 · e 3x

= e 3x · ( 4 x 3 +3 x 4 )

= e 3x · ( 3 x 4 +4 x 3 )

= ( 3 x 4 +4 x 3 ) · e 3x

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ln( -2x +4 ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ln( -2x +4 )

f'(x)= 1 -2x +4 · ( -2 +0 )

= 1 -2x +4 · ( -2 )

= - 2 -2x +4

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ( x 2 +2 ) · e 2x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ( x 2 +2 ) · e 2x

f'(x)= ( 2x +0 ) · e 2x + ( x 2 +2 ) · e 2x · 2

= 2x · e 2x + ( x 2 +2 ) · 2 e 2x

= 2 x · e 2x +2 ( x 2 +2 ) · e 2x

= e 2x · ( 2x +2 x 2 +4 )

= e 2x · ( 2 x 2 +2x +4 )

= ( 2 x 2 +2x +4 ) · e 2x

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 33-te Ableitung der Funktion f(x)= 5 e -1,15x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = 5 e -1,15x

f'(x) = 5 e -1,15x · ( -1,15 ) = -5,75 e -1,15x

f''(x) = -5,75 e -1,15x · ( -1,15 ) = 6,6125 e -1,15x

f'''(x) = 6,6125 e -1,15x · ( -1,15 ) = -7,6044 e -1,15x

f(4)(x) = -7,6044 e -1,15x · ( -1,15 ) = 8,745 e -1,15x

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit -1,15 multipliziert wird. Bei der 33-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 33 mal mit -1,15 multipliziert, also insgeamt mit ( -1,15 ) 33

Somit gilt für die 33-te Ableitung:

f(33)(x) = ( -1,15 ) 33 · 5 e -1,15x

-503,499 e -1,15x

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 ( x +3 ) · e -0,8x - x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -5 ( x +3 ) · e -0,8x - x

f'(x)= -5 · ( 1 +0 ) · e -0,8x -5 ( x +3 ) · e -0,8x · ( -0,8 ) -1

= -5 e -0,8x -5 ( x +3 ) · ( -0,8 e -0,8x ) -1

= -5 e -0,8x +4 ( x +3 ) · e -0,8x -1

= e -0,8x · ( 4x +12 -5 ) -1

= -1 + ( 4x +12 -5 ) · e -0,8x

= -1 + ( 4x +7 ) · e -0,8x