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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{9}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{9}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{\frac{9}{8} x} \cdot \frac{9}{8}$

= $\frac{9}{16} e^{\frac{9}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{3} + 0) \cdot e^{- x - 2} + (- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- 20 x^{3} \cdot e^{- x - 2} + (- 5 x^{4} - 2) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $- 20 x^{3} \cdot e^{- x - 2} - (- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (5 x^{4} + 2 - 20 x^{3})$

= $e^{- x - 2} \cdot (5 x^{4} - 20 x^{3} + 2)$

= $(5 x^{4} - 20 x^{3} + 2) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $(- 8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x} + (- 2 x^{4} - 3 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $(- 8 x^{3} - 3) \cdot e^{- 3 x} - 3 (- 2 x^{4} - 3 x) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} + 9 x - 8 x^{3} - 3)$

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x^{4} - 8 x^{3} + 9 x - 3)$

= $(6 x^{4} - 8 x^{3} + 9 x - 3) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{3} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{3} - x} \cdot (15 x^{2} - 1)$

= $\frac{15 x^{2} - 1}{5 x^{3} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 9$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x - 1,2)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 2,2)$

= $(0,6 x - 2,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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