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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x - 2} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 6 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{3} - 2 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} - 6 x^{2} + (- 6 x^{2} - 4 x))$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x)$

= $(- 6 x^{3} - 12 x^{2} - 4 x) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2) \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (2 x) + (x^{2} + 2) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + (x^{2} + 2) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 (x^{2} + 2) \cdot \sin (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 70-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,95 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,85 e^{0,95 x}$

f''(x) = $- 2,85 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,7075 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $- 2,7075 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,5721 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,5721 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $- 2,4435 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 70-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 70 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{70}$

Somit gilt für die 70-te Ableitung:

f⁽⁷⁰⁾(x) = ${0,95}^{70} \cdot (- 3 e^{0,95 x})$

≈ $- 0,083 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $3 e^{- 0,4 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $3 e^{- 0,4 x} - 1,2 (x - 6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (3 - 1,2 x + 7,2)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,2 x + 10,2)$

= $(- 1,2 x + 10,2) \cdot e^{- 0,4 x}$

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