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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{6}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot e^{4 x + 2} \cdot 4$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + x^{5} \cdot 4 e^{4 x + 2}$

= $5 x^{4} \cdot e^{4 x + 2} + 4 x^{5} \cdot e^{4 x + 2}$

= $e^{4 x + 2} \cdot (4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{4 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{3} + e^{3 x} \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{3} + 3 \cdot e^{3 x} x^{2}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sin (x) - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 4 (\sin (x) - 1) \cdot (\cos (x) + 0)$

= $- 4 (\sin (x) - 1) \cdot (\cos (x))$

= $- 4 (\sin (x) - 1) \cdot \cos (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} + 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x - 3)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 2)$

= $(- x + 2) \cdot e^{- 0,2 x}$