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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{4}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{4}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{\frac{4}{5} x} \cdot \frac{4}{5}$

= $\frac{28}{25} e^{\frac{4}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (x) - e^{- 2 x - 3}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \sin (x) - e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $5 \cdot \sin (x) + 2 e^{- 2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot x^{5} + e^{- 2 x} \cdot 5 x^{4}$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} x^{5} + 5 \cdot e^{- 2 x} x^{4}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{2} + 3} \cdot (8 x + 0)$

= $\frac{1}{4 x^{2} + 3} \cdot (8 x)$

= $8 \frac{x}{4 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 6) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 6) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} + 6) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} + 6) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 6$

= $- e^{- 0,9 x} - (x - 6) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 6$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x - 6) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1 + 0,9 x - 5,4) + 6$

= $6 + (0,9 x - 1 - 5,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $6 + (0,9 x - 6,4) \cdot e^{- 0,9 x}$