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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $- \frac{5}{2} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 e^{- 2 x - 2} - \frac{7}{3} \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2 e^{- 2 x - 2} - \frac{7}{3} \sqrt[4]{x}$

= $- 4 x^{2} + 2 e^{- 2 x - 2} - \frac{7}{3} x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- 8 x + 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2) - \frac{7}{12} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- 8 x + 2 e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2) - \frac{7}{12 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $- 8 x - 4 e^{- 2 x - 2} - \frac{7}{12 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 5} \cdot 2$

= $4 e^{2 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} + 3} \cdot (- 10 x + 0)$

= $\frac{1}{- 5 x^{2} + 3} \cdot (- 10 x)$

= $- 10 \frac{x}{- 5 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + (x^{2} + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 (x^{2} + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 12 + 2 x)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x + 12)$

= $(3 x^{2} + 2 x + 12) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 84-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 84-te Ableitung:

f⁽⁸⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 84)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 5$

= $- 5 e^{- 0,1 x} - 5 (x + 2) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 5$

= $- 5 e^{- 0,1 x} + 0,5 (x + 2) \cdot e^{- 0,1 x} - 5$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 5 + 0,5 x + 1) - 5$

= $- 5 + (0,5 x - 5 + 1) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 5 + (0,5 x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$