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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{2 x + 1} + \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{2 x + 1} + \sqrt[4]{x}$

= $2 e^{2 x + 1} + x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $2 e^{2 x + 1} \cdot 2 + \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $2 e^{2 x + 1} \cdot 2 + \frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

= $4 e^{2 x + 1} + \frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $6 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 + 6 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 6 x + 4)$

= $(- 6 x^{2} + 6 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 73-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,75 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 4,75 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,5125 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $4,5125 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,2869 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,2869 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,0725 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 73-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 73 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{73}$

Somit gilt für die 73-te Ableitung:

f⁽⁷³⁾(x) = ${(- 0,95)}^{73} \cdot 5 e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,118 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 3$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 3 e^{- 0,3 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 3 e^{- 0,3 x} + 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 3 + 0,9 x + 1,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,9 x - 1,2)$

= $(0,9 x - 1,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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