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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + (x^{2} - 2) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 6 + 2 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x + 6)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x + 6) \cdot e^{- 3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- x^{2} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 2 x + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2) + e^{- 2 x} \cdot (- 2 x)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- x^{2} + 2) - 2 \cdot e^{- 2 x} x$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} - 4 - 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{2} - 2 x - 4)$

= $(2 x^{2} - 2 x - 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 4 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 4 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 4 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 8 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 8 x}{- 5 x^{3} + 4 x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x - 8)}{- x \cdot (5 x - 4)}$

= $\frac{- (15 x - 8)}{- x \cdot (5 x - 4)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(e^{- x} + 2)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(e^{- x} + 2)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (e^{- x} + 2) \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $2 (e^{- x} + 2) \cdot (- e^{- x})$

= $- 2 (e^{- x} + 2) \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 2 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $2,3 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $2,3 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 2,645 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 2,645 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $3,0418 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,0418 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 3,498 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${(- 1,15)}^{34} \cdot (- 2 e^{- 1,15 x})$

≈ $- 231,61 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} + 6$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $5 e^{- 0,2 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $5 e^{- 0,2 x} - (x - 5) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (5 - x + 5)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- x + 10)$

= $(- x + 10) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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