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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{\frac{3}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{4} e^{\frac{3}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4} e^{\frac{3}{4} x} \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{21}{16} e^{\frac{3}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x^{4} + 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (3 x^{4} + 4)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (3 x^{4} + 4) + e^{2 x} \cdot (12 x^{3} + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (3 x^{4} + 4) + e^{2 x} \cdot (12 x^{3})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (3 x^{4} + 4) + 12 \cdot e^{2 x} x^{3}$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 8 + 12 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (6 x^{4} + 12 x^{3} + 8)$

= $(6 x^{4} + 12 x^{3} + 8) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 5}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x^{2} + 5} \cdot (- 6 x)$

= $12 \cdot e^{- 3 x^{2} + 5} x$

= $12 x e^{- 3 x^{2} + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x - 4)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x - 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 0,85)}^{37} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,002 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x - 5) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x - 5) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x + 2,5)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 7,5)$

= $(- 0,5 x + 7,5) \cdot e^{- 0,1 x}$