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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- \frac{1}{2} e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} + x^{5} \cdot e^{- x + 2} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 2})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 2} - x^{5} \cdot e^{- x + 2}$

= $e^{- x + 2} \cdot (5 x^{4} - x^{5})$

= $e^{- x + 2} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{2} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{2} - 1)$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot (4 x^{2} - 1) + e^{x} \cdot (8 x + 0)$

= $e^{x} (4 x^{2} - 1) + e^{x} \cdot (8 x)$

= $e^{x} (4 x^{2} - 1) + 8 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (8 x + 4 x^{2} - 1)$

= $e^{x} \cdot (4 x^{2} + 8 x - 1)$

= $(4 x^{2} + 8 x - 1) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 7}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(e^{- 2 x} - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 (e^{- 2 x} - 1) \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $- 2 (e^{- 2 x} - 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 (e^{- 2 x} - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 5$

= $- e^{- 0,9 x} - (x + 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 5$

= $- e^{- 0,9 x} + 0,9 (x + 2) \cdot e^{- 0,9 x} + 5$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (0,9 x + 1,8 - 1) + 5$

= $5 + (0,9 x + 1,8 - 1) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $5 + (0,9 x + 0,8) \cdot e^{- 0,9 x}$