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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 - 3 e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 3 e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{21}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 1}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1} + (- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 1} \cdot 5$

= $(- 20 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1} + (- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot 5 e^{5 x + 1}$

= $(- 20 x^{4} - 12 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1} + 5 (- 4 x^{5} - 4 x^{3}) \cdot e^{5 x + 1}$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 20 x^{5} - 20 x^{3} + (- 20 x^{4} - 12 x^{2}))$

= $e^{5 x + 1} \cdot (- 20 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{3} - 12 x^{2})$

= $(- 20 x^{5} - 20 x^{4} - 20 x^{3} - 12 x^{2}) \cdot e^{5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x - 5}$

$f'(x) =$ $e^{2 x - 5} \cdot 2$

= $2 e^{2 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 3} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} + 3} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} + x^{4} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{4} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${0,95}^{76} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,02 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 8 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 8$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 8$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 4,2) + 8$

= $8 + (0,6 x - 3 + 4,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $8 + (0,6 x + 1,2) \cdot e^{- 0,2 x}$

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