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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(20 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(20 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- x} + (5 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot (- e^{- x})$

= $(20 x^{3} - 4 x) \cdot e^{- x} - (5 x^{4} - 2 x^{2}) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 2 x^{2} + (20 x^{3} - 4 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 5 x^{4} + 20 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x)$

= $(- 5 x^{4} + 20 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 20 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2} + (- 4 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2} \cdot 3$

= $(- 20 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2} + (- 4 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x - 2}$

= $(- 20 x^{4} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2} + 3 (- 4 x^{5} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x - 2}$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 12 x^{5} + 12 x^{3} + (- 20 x^{4} + 12 x^{2}))$

= $e^{3 x - 2} \cdot (- 12 x^{5} - 20 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2})$

= $(- 12 x^{5} - 20 x^{4} + 12 x^{3} + 12 x^{2}) \cdot e^{3 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{3} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3} + 4 x} \cdot (6 x^{2} + 4)$

= $\frac{6 x^{2} + 4}{2 x^{3} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (2 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (2 x + 3)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x + 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (2 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (2 x + 3) \cdot (2 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (2 x + 3) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (2 x + 3) \cdot (2 + 0))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- \sin (2 x + 3) \cdot (2))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x + 3)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x + 3))$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (2 x + 3)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \sin (2 x + 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 4$

= $- 4 e^{- 0,5 x} - 4 (x - 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 4$

= $- 4 e^{- 0,5 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 4 + 2 x - 2) + 4$

= $4 + (2 x - 4 - 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $4 + (2 x - 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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