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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{2}{3} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{2}{3} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{2}{3} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{4}{3} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(6 x^{2} - 5) \cdot e^{- x - 2} + (2 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $(6 x^{2} - 5) \cdot e^{- x - 2} + (2 x^{3} - 5 x) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $(6 x^{2} - 5) \cdot e^{- x - 2} - (2 x^{3} - 5 x) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 2 x^{3} + 5 x + 6 x^{2} - 5)$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 5)$

= $(- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 5) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{3} + 2} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 18 \cdot e^{- 2 x^{3} + 2} x^{2}$

= $- 18 x^{2} e^{- 2 x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 4) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{3 x} + (2 x + 4) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 e^{3 x} + (2 x + 4) \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 e^{3 x} + 3 (2 x + 4) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (2 + 6 x + 12)$

= $e^{3 x} \cdot (6 x + 14)$

= $(6 x + 14) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 3 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,55 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 2,55 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,1675 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 2,1675 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,8424 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,8424 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 1,566 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${0,85}^{47} \cdot (- 3 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,001 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 7$

= $4 e^{- 0,2 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 7$

= $4 e^{- 0,2 x} - 0,8 (x - 7) \cdot e^{- 0,2 x} + 7$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (4 - 0,8 x + 5,6) + 7$

= $7 + (- 0,8 x + 4 + 5,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $7 + (- 0,8 x + 9,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

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e-Funktionen ableiten

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