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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{x}$

= $e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1} + x^{5} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 1})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 5 x + 1} - 5 x^{5} \cdot e^{- 5 x + 1}$

= $e^{- 5 x + 1} \cdot (- 5 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 5 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + x^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (3 x) + (2 x - 7) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + (2 x - 7) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 3 (2 x - 7) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 1,15)}^{41} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 308,043 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $e^{- 0,8 x} + (x + 7) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $e^{- 0,8 x} - 0,8 (x + 7) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (1 - 0,8 x - 5,6) - 6$

= $- 6 + (- 0,8 x + 1 - 5,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (- 0,8 x - 4,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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