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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{4 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 4} + x^{3} \cdot e^{4 x - 4} \cdot 4$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 4} + x^{3} \cdot 4 e^{4 x - 4}$

= $3 x^{2} \cdot e^{4 x - 4} + 4 x^{3} \cdot e^{4 x - 4}$

= $e^{4 x - 4} \cdot (4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{4 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x + 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x + 5}$

= $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x + 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{6 x} \cdot 6$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 2$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 2$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 2$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x - 2,4) - 2$

= $- 2 + (0,6 x - 2 - 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 2 + (0,6 x - 4,4) \cdot e^{- 0,3 x}$