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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{8}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 2 x - 1} + 3 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 2 x - 1} + 3 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2) + 3 \cdot \cos (x)$

= $2 e^{- 2 x - 1} + 3 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x - 3) \cdot e^{- x} + (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(- 6 x - 3) \cdot e^{- x} + (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(- 6 x - 3) \cdot e^{- x} - (- 3 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 3)$

= $e^{- x} \cdot (3 x^{2} - 3 x - 3)$

= $(3 x^{2} - 3 x - 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + 3 x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 6 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 6 x}{- 5 x^{3} + 3 x^{2}}$

= $\frac{- 3 \cdot 1 \cdot (5 x - 2)}{- x \cdot (5 x - 3)}$

= $\frac{- 3 (5 x - 2)}{- x \cdot (5 x - 3)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{- 3 x - 1}$

= $2 {(- 3 x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(- 3 x - 1)}^{- 2} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(- 3 x - 1)}^{2}} \cdot (- 3 + 0)$

= $- \frac{2}{{(- 3 x - 1)}^{2}} \cdot (- 3)$

= $\frac{6}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${1,05}^{78} \cdot 3 e^{1,05 x}$

≈ $134,861 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 3$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 3$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x + 1,4) + 3$

= $3 + (- 1,4 x + 2 + 1,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $3 + (- 1,4 x + 3,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen ableiten

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