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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{1}{2} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{3}{2} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{3} + e^{3 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{3} + e^{3 x + 1}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{2} + e^{3 x + 1} \cdot 3$

= $- 4 x^{2} + 3 e^{3 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{4} + e^{x} \cdot 4 x^{3}$

= $e^{x} x^{4} + 4 \cdot e^{x} x^{3}$

= $e^{x} \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$

= $(x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 4 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot \sin (- 4 x + 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot \sin (- 4 x + 1) + x^{\frac{1}{3}} \cdot \cos (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot \sin (- 4 x + 1) + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 4 x + 1) \cdot (- 4 + 0)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 4 x + 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 4 x + 1) \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 4 x + 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x + 1))$

= $\frac{1}{3} \frac{\sin (- 4 x + 1)}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 4 \sqrt[3]{x} \cdot \cos (- 4 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 78)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 6$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 6$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 8) - 6$

= $- 6 + (- 1,6 x + 2 - 8) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 6 + (- 1,6 x - 6) \cdot e^{- 0,8 x}$

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