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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{9} e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + \frac{7}{9} e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{9} e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{14}{9} e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{5} - 3 e^{2 x - 3} + 3 \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{5} - 3 e^{2 x - 3} + 3 \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $15 x^{4} - 3 e^{2 x - 3} \cdot 2 + 3 \cdot \cos (x)$

= $15 x^{4} - 6 e^{2 x - 3} + 3 \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (4 x^{2} - 2) + e^{2 x} \cdot (8 x + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 2) + e^{2 x} \cdot (8 x)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (4 x^{2} - 2) + 8 \cdot e^{2 x} x$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{2} - 4 + 8 x)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x^{2} + 8 x - 4)$

= $(8 x^{2} + 8 x - 4) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 2) \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + (x^{2} - 2) \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 x \cdot \sin (3 x) + 3 (x^{2} - 2) \cdot \cos (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 86)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 1$

= $- 3 e^{- 0,2 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 1$

= $- 3 e^{- 0,2 x} + 0,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 1$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 3 + 0,6 x + 2,4) - 1$

= $- 1 + (0,6 x - 3 + 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 1 + (0,6 x - 0,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

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