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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 3 e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{x}$

= $3 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $(5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + (x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $(5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + (x^{5} + 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 3}$

= $(5 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3} + 2 (x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x - 3}$

= $e^{2 x - 3} \cdot (2 x^{5} + 4 x^{2} + (5 x^{4} + 4 x))$

= $e^{2 x - 3} \cdot (2 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x)$

= $(2 x^{5} + 5 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 4 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x} + (- 4 x - 2) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 4 e^{- 2 x} - 2 (- 4 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 + 8 x + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (8 x + 0)$

= $e^{- 2 x} \cdot 8 x$

= $x \cdot 8 e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} - 2 x} \cdot (4 x - 2)$

= $\frac{4 x - 2}{2 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 2) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + (x^{2} - 2) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 x \cdot \sin (x^{3}) + 3 (x^{2} - 2) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{37} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 176,125 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $- 5 e^{- 0,4 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $- 5 e^{- 0,4 x} + 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 5 + 2 x + 14)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (2 x + 9)$

= $(2 x + 9) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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