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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 - e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 - e^{2 x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{2 x} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x - 4) \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x - 4) \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{2 x - 4} + (- 2 x - 4) \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x - 4} + (- 2 x - 4) \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $- 2 e^{2 x - 4} + 2 (- 2 x - 4) \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (- 4 x - 8 - 2)$

= $e^{2 x - 4} \cdot (- 4 x - 10)$

= $(- 4 x - 10) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (5 x^{4} - 2 x^{5})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x^{3} - 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3} - 5 x} \cdot (3 x^{2} - 5)$

= $\frac{3 x^{2} - 5}{x^{3} - 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \sin (x^{2})$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (x^{2}) + (x + 6) \cdot \cos (x^{2}) \cdot 2 x$

= $\sin (x^{2}) + (x + 6) \cdot 2 \cos (x^{2}) x$

= $\sin (x^{2}) + 2 (x + 6) \cos (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 50-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,1 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 1,1 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,21 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $1,21 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 1,331 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,331 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $1,4641 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 50-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 50 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{50}$

Somit gilt für die 50-te Ableitung:

f⁽⁵⁰⁾(x) = ${(- 1,1)}^{50} \cdot e^{- 1,1 x}$

≈ $117,391 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} + 8$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x - 2) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 1,2 - 1)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x - 2,2)$

= $(0,6 x - 2,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten