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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{6}{7} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{7} e^{3 x} \cdot 3$

= $\frac{18}{7} e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{2} \cdot \sin (x) - \frac{5}{3} \cdot \cos (x) - 3 e^{3 x - 4}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} \cdot \sin (x) - 3 e^{3 x - 4} \cdot 3$

= $\frac{5}{2} \cdot \cos (x) + \frac{5}{3} \cdot \sin (x) - 9 e^{3 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x + 3}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x + 3} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x + 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(x^{2} + 4)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(x^{2} + 4)}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (x^{2} + 4) \cdot (2 x + 0)$

= $6 (x^{2} + 4) \cdot (2 x)$

= $12 (x^{2} + 4) x$

= $12 x (x^{2} + 4)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{x}$

f'(x) = $3 e^{x}$

f''(x) = $3 e^{x}$

f'''(x) = $3 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $3 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $3 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 6$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 1,6)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x + 0,4)$

= $(- 1,6 x + 0,4) \cdot e^{- 0,8 x}$