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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x} \cdot 3$

= $9 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(- 9 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x - 4} + (- 3 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 4} \cdot 2$

= $(- 9 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x - 4} + (- 3 x^{3} - x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 4}$

= $(- 9 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x - 4} + 2 (- 3 x^{3} - x^{2}) \cdot e^{2 x - 4}$

= $e^{2 x - 4} \cdot (- 6 x^{3} - 2 x^{2} + (- 9 x^{2} - 2 x))$

= $e^{2 x - 4} \cdot (- 6 x^{3} - 11 x^{2} - 2 x)$

= $(- 6 x^{3} - 11 x^{2} - 2 x) \cdot e^{2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} + 4} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} + 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(2 x + 4)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(2 x + 4)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 {(2 x + 4)}^{3} \cdot (2 + 0)$

= $- 12 {(2 x + 4)}^{3} \cdot (2)$

= $- 24 {(2 x + 4)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 60-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 5 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,25 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 5,25 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,5125 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 5,5125 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 5,7881 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,7881 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 6,0775 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 60-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 60 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{60}$

Somit gilt für die 60-te Ableitung:

f⁽⁶⁰⁾(x) = ${1,05}^{60} \cdot (- 5 e^{1,05 x})$

≈ $- 93,396 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 1$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $5 e^{- 0,9 x} + 5 (x - 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $5 e^{- 0,9 x} - 4,5 (x - 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (5 - 4,5 x + 31,5)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 4,5 x + 36,5)$

= $(- 4,5 x + 36,5) \cdot e^{- 0,9 x}$