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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 4}$

$f'(x) =$ $(25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 4} + (5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 4} \cdot (- 4)$

= $(25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 4} + (5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot (- 4 e^{- 4 x + 4})$

= $(25 x^{4} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 4} - 4 (5 x^{5} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x + 4}$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (25 x^{4} + 6 x + (- 20 x^{5} - 12 x^{2}))$

= $e^{- 4 x + 4} \cdot (- 20 x^{5} + 25 x^{4} - 12 x^{2} + 6 x)$

= $(- 20 x^{5} + 25 x^{4} - 12 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 4 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(8 x + 2) \cdot e^{- x} + (4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $(8 x + 2) \cdot e^{- x} + (4 x^{2} + 2 x) \cdot (- e^{- x})$

= $(8 x + 2) \cdot e^{- x} - (4 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (8 x + 2 + (- 4 x^{2} - 2 x))$

= $e^{- x} \cdot (- 4 x^{2} + 6 x + 2)$

= $(- 4 x^{2} + 6 x + 2) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + x^{3} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $3 x^{2} \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{3} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (3 x^{2} + 5 x^{3})$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(5 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{5 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 82-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 82-te Ableitung:

f⁽⁸²⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 82)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 5$

= $- e^{- 0,4 x} - (x + 5) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) + 5$

= $- e^{- 0,4 x} + 0,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,4 x} + 5$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (0,4 x + 2 - 1) + 5$

= $5 + (0,4 x + 2 - 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $5 + (0,4 x + 1) \cdot e^{- 0,4 x}$

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e-Funktionen ableiten

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