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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{3}{5} e^{\frac{9}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{3}{5} e^{\frac{9}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{5} e^{\frac{9}{7} x} \cdot \frac{9}{7}$

= $\frac{27}{35} e^{\frac{9}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 6 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 6 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x} + (- 2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 6 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x} + 2 (- 2 x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 8 x^{2} + (- 6 x^{2} + 8 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x)$

= $(- 4 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{4} + 3 x) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{4} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x^{3} + 3) \cdot e^{3 x} + (x^{4} + 3 x) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(4 x^{3} + 3) \cdot e^{3 x} + (x^{4} + 3 x) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(4 x^{3} + 3) \cdot e^{3 x} + 3 (x^{4} + 3 x) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 9 x + 4 x^{3} + 3)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x + 3)$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3} + 9 x + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 2} \cdot 1$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^{x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${(- 0,95)}^{80} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,017 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 5$

= $4 e^{- 0,3 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 5$

= $4 e^{- 0,3 x} - 1,2 (x + 2) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (4 - 1,2 x - 2,4) + 5$

= $5 + (- 1,2 x + 4 - 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $5 + (- 1,2 x + 1,6) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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