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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{1}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + 2 e^{\frac{1}{4} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 5}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 5} + x^{2} \cdot e^{- x - 5} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 5})$

= $2 x \cdot e^{- x - 5} - x^{2} \cdot e^{- x - 5}$

= $e^{- x - 5} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{4 x} \cdot 4$

= $\frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 3 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 3 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,05 x}$

f'(x) = $4 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,2 e^{1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,41 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $4,41 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,6305 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $4,862 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${1,05}^{77} \cdot 4 e^{1,05 x}$

≈ $171,252 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 3$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x + 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 3$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x + 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x - 16,8) - 3$

= $- 3 + (- 2,8 x + 4 - 16,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 3 + (- 2,8 x - 12,8) \cdot e^{- 0,7 x}$

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