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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{2}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 1) \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 1) \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- x - 2} + (- x - 1) \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $- e^{- x - 2} + (- x - 1) \cdot (- e^{- x - 2})$

= $- e^{- x - 2} - (- x - 1) \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (- 1 + x + 1)$

= $e^{- x - 2} \cdot (x + 0)$

= $e^{- x - 2} \cdot x$

= $x \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 2}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} - 8 x) \cdot e^{2 x - 2} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 2} \cdot 2$

= $(- 8 x^{3} - 8 x) \cdot e^{2 x - 2} + (- 2 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x - 2}$

= $(- 8 x^{3} - 8 x) \cdot e^{2 x - 2} + 2 (- 2 x^{4} - 4 x^{2}) \cdot e^{2 x - 2}$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 4 x^{4} - 8 x^{2} + (- 8 x^{3} - 8 x))$

= $e^{2 x - 2} \cdot (- 4 x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x)$

= $(- 4 x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x) \cdot e^{2 x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 5) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (x + 5) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $\sin (- 3 x) + (x + 5) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $\sin (- 3 x) - 3 (x + 5) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${(- 0,95)}^{74} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,022 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 7$

= $e^{- 0,5 x} + (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 7$

= $e^{- 0,5 x} - 0,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 7$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1 - 0,5 x + 1,5) - 7$

= $- 7 + (- 0,5 x + 1 + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 7 + (- 0,5 x + 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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