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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{2} + x) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 5 x^{2} + x) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 10 x + 1) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{2} + x) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 10 x + 1) \cdot e^{2 x} + (- 5 x^{2} + x) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 10 x + 1) \cdot e^{2 x} + 2 (- 5 x^{2} + x) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} + 2 x - 10 x + 1)$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{2} - 8 x + 1)$

= $(- 10 x^{2} - 8 x + 1) \cdot e^{2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(- 15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $(- 15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x} + (- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot 2 e^{2 x}$

= $(- 15 x^{4} + 4 x) \cdot e^{2 x} + 2 (- 3 x^{5} + 2 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} + 4 x^{2} + (- 15 x^{4} + 4 x))$

= $e^{2 x} \cdot (- 6 x^{5} - 15 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x)$

= $(- 6 x^{5} - 15 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (5 x^{2} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{5 x^{2} - 4 x} \cdot (10 x - 4)$

= $\frac{10 x - 4}{5 x^{2} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 5)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\cos (x) - 5)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 8 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 8 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot (- \sin (x))$

= $8 {(\cos (x) - 5)}^{3} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 86-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 86-te Ableitung:

f⁽⁸⁶⁾(x) = $- 5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 3$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 3$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 1) \cdot e^{- 0,7 x} - 3$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 2,1) - 3$

= $- 3 + (- 2,1 x + 3 + 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 3 + (- 2,1 x + 5,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

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