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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{\frac{2}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{\frac{2}{3} x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{\frac{2}{3} x} \cdot \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3} e^{\frac{2}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- 3 x - 5} + 3 \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- 3 x - 5} + 3 \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3) - 3 \cdot \sin (x)$

= $3 e^{- 3 x - 5} - 3 \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{3} + 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \cdot e^{- 3 x^{3} + 1} x^{2}$

= $- 9 x^{2} e^{- 3 x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} - x} \cdot (6 x - 1)$

= $\frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 e^{- 3 x} + (2 x + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 e^{- 3 x} - 3 (2 x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (2 - 6 x - 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x - 22)$

= $(- 6 x - 22) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 3 e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 3 e^{1,05 x}$

f'(x) = $- 3 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,15 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 3,15 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,3075 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 3,3075 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,4729 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,4729 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 3,6465 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 80-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 80 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{80}$

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = ${1,05}^{80} \cdot (- 3 e^{1,05 x})$

≈ $- 148,684 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 5$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- e^{- 0,6 x} - (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- e^{- 0,6 x} + 0,6 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 1 + 0,6 x + 1,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (0,6 x + 0,8)$

= $(0,6 x + 0,8) \cdot e^{- 0,6 x}$