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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{3 x - 4} - \frac{3}{2} x^{2} + \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{3 x - 4} - \frac{3}{2} x^{2} + \sqrt{x}$

= $- e^{3 x - 4} - \frac{3}{2} x^{2} + x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- e^{3 x - 4} \cdot 3 - 3 x + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- e^{3 x - 4} \cdot 3 - 3 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

= $- 3 e^{3 x - 4} - 3 x + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x + 2}$

$f'(x) =$ $- e^{x + 2} \cdot 1$

= $- e^{x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 2} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} - 4)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(e^{- x} - 4)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 6 {(e^{- x} - 4)}^{2} \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 6 {(e^{- x} - 4)}^{2} \cdot (- e^{- x})$

= $6 {(e^{- x} - 4)}^{2} \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 49-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $4 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,6 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 3,6 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,24 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $3,24 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,916 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,916 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,6244 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 49-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 49 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{49}$

Somit gilt für die 49-te Ableitung:

f⁽⁴⁹⁾(x) = ${(- 0,9)}^{49} \cdot 4 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,023 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 9$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 3) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 3) \cdot e^{- 0,2 x} - 9$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x - 2,4) - 9$

= $- 9 + (0,8 x - 4 - 2,4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 9 + (0,8 x - 6,4) \cdot e^{- 0,2 x}$