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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 1 - e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 1 - e^{x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{x}$

= $- e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} + e^{x - 5} + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} + e^{x - 5} + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}} + e^{x - 5} + \frac{2}{3} \cdot \cos (x)$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} + e^{x - 5} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}} + e^{x - 5} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

= $- \frac{3}{2 \sqrt{x}} + e^{x - 5} - \frac{2}{3} \cdot \sin (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x^{2} - 1} \cdot (- 6 x)$

= $- 6 \cdot e^{- 3 x^{2} - 1} x$

= $- 6 x e^{- 3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - x^{2}} \cdot (12 x^{2} - 2 x)$

= $\frac{12 x^{2} - 2 x}{4 x^{3} - x^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 1 \cdot (6 x - 1)}{x \cdot (4 x - 1)}$

= $\frac{2 (6 x - 1)}{x \cdot (4 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 2 x - 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 2} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 2 x - 2}}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot e^{- 2 x - 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 4$

= $- 5 e^{- 0,5 x} - 5 (x - 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 4$

= $- 5 e^{- 0,5 x} + 2,5 (x - 3) \cdot e^{- 0,5 x} - 4$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 5 + 2,5 x - 7,5) - 4$

= $- 4 + (2,5 x - 5 - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 4 + (2,5 x - 12,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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