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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} + \frac{1}{3} \cdot \sin (x)$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3) + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)$

= $6 e^{- 3 x - 5} + \frac{1}{3} \cdot \cos (x)$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{4} - 3) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{4} - 3) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(12 x^{3} + 0) \cdot e^{- x} + (3 x^{4} - 3) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $12 x^{3} \cdot e^{- x} + (3 x^{4} - 3) \cdot (- e^{- x})$

= $12 x^{3} \cdot e^{- x} - (3 x^{4} - 3) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 3 + 12 x^{3})$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 3)$

= $(- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 3) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x + 0)$

= $\frac{1}{- 4 x^{2} - 2} \cdot (- 8 x)$

= $- 8 \frac{x}{- 4 x^{2} - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 2 x} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 2 x} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 69-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 69-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 69 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{69}$

Somit gilt für die 69-te Ableitung:

f⁽⁶⁹⁾(x) = ${0,95}^{69} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,029 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} - 8$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} - 3 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $- 3 e^{- 0,9 x} - 3 (x + 7) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $- 3 e^{- 0,9 x} + 2,7 (x + 7) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 3 + 2,7 x + 18,9)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2,7 x + 15,9)$

= $(2,7 x + 15,9) \cdot e^{- 0,9 x}$

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