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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3$

= $3 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x + 4} + x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x + 4} + x^{3}$

$f'(x) =$ $e^{- x + 4} \cdot (- 1) + 3 x^{2}$

= $- e^{- x + 4} + 3 x^{2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(6 x - 2) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(6 x - 2) \cdot e^{- 2 x} + (3 x^{2} - 2 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(6 x - 2) \cdot e^{- 2 x} - 2 (3 x^{2} - 2 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x + 6 x - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x^{2} + 10 x - 2)$

= $(- 6 x^{2} + 10 x - 2) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- x - 3)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \sin (- x - 3) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \cdot \sin (- x - 3) \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot \sin (- x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $- 4 e^{- 0,6 x} - 4 (x + 7) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $- 4 e^{- 0,6 x} + 2,4 (x + 7) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 4 + 2,4 x + 16,8)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (2,4 x + 12,8)$

= $(2,4 x + 12,8) \cdot e^{- 0,6 x}$