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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 - 2 e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $- \frac{6}{5} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4} + 2 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4} + 2 x^{4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3) + 8 x^{3}$

= $- 9 e^{- 3 x + 4} + 8 x^{3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{4} + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot (2 x^{4} + 1)$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot (2 x^{4} + 1) + e^{3 x} \cdot (8 x^{3} + 0)$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (2 x^{4} + 1) + e^{3 x} \cdot (8 x^{3})$

= $3 \cdot e^{3 x} \cdot (2 x^{4} + 1) + 8 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} + 3 + 8 x^{3})$

= $e^{3 x} \cdot (6 x^{4} + 8 x^{3} + 3)$

= $(6 x^{4} + 8 x^{3} + 3) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} + x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} + x^{2}} \cdot (- 15 x^{2} + 2 x)$

= $\frac{- 15 x^{2} + 2 x}{- 5 x^{3} + x^{2}}$

= $\frac{- 1 \cdot (15 x - 2)}{- x \cdot (5 x - 1)}$

= $\frac{- (15 x - 2)}{- x \cdot (5 x - 1)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 8) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (2 x) + (3 x + 8) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $3 \cdot \sin (2 x) + (3 x + 8) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $3 \cdot \sin (2 x) + 2 (3 x + 8) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 85)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 7$

= $e^{- 0,1 x} + (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 7$

= $e^{- 0,1 x} - 0,1 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 7$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (1 - 0,1 x - 0,6) - 7$

= $- 7 + (- 0,1 x + 1 - 0,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 7 + (- 0,1 x + 0,4) \cdot e^{- 0,1 x}$