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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{12}{5} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(4 x - 3) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(4 x - 3) \cdot e^{- 2 x} + (2 x^{2} - 3 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(4 x - 3) \cdot e^{- 2 x} - 2 (2 x^{2} - 3 x) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 6 x + 4 x - 3)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 4 x^{2} + 10 x - 3)$

= $(- 4 x^{2} + 10 x - 3) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (5 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (5 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (5 x - 3) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (5 x - 3) \cdot (5 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (5 x - 3) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (5 x - 3) \cdot (5 + 0))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (5 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (5 x - 3) \cdot (5))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (5 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- 5 \cdot \sin (5 x - 3))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (5 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} - 5 \sqrt[4]{x} \cdot \sin (5 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 95)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x + 7) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x + 7) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x + 4,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x + 2,2)$

= $(0,6 x + 2,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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