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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + 3 e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}} + 3 e^{- x + 4}$

= $- 2 x^{- 3} + 3 e^{- x + 4}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4} + 3 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}} + 3 e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $\frac{6}{x^{4}} - 3 e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x - 1} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 2 x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{3} + 2 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{3} + 2 x^{2}} \cdot (9 x^{2} + 4 x)$

= $\frac{9 x^{2} + 4 x}{3 x^{3} + 2 x^{2}}$

= $\frac{1 \cdot (9 x + 4)}{x \cdot (3 x + 2)}$

= $\frac{9 x + 4}{x \cdot (3 x + 2)}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 3 x + 3)}^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{{(- 3 x + 3)}^{3}}$

= $- {(- 3 x + 3)}^{- 3}$

=> f'(x) = $3 {(- 3 x + 3)}^{- 4} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{4}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{3}{{(- 3 x + 3)}^{4}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{{(- 3 x + 3)}^{4}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 4,5 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 4,5 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $4,05 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $4,05 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 3,645 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,645 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $3,2805 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 0,9)}^{62} \cdot 5 e^{- 0,9 x}$

≈ $0,007 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $- 2 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $- 2 e^{- 0,5 x} + (x + 5) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 + x + 5) + 9$

= $9 + (x - 2 + 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$