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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{11}{4} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2} + e^{3 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2} + e^{3 x + 2}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3} x + e^{3 x + 2} \cdot 3$

= $\frac{4}{3} x + 3 e^{3 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x - 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x - 4} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2} + 3} \cdot (6 x + 0)$

= $\frac{1}{3 x^{2} + 3} \cdot (6 x)$

= $6 \frac{x}{3 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x - 1}$

= $3 {(x - 1)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 3 {(x - 1)}^{- 2} \cdot (1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot (1 + 0)$

= $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} \cdot (1)$

= $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 94-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{x}$

f'(x) = $e^{x}$

f''(x) = $e^{x}$

f'''(x) = $e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 94-te Ableitung:

f⁽⁹⁴⁾(x) = $e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} + 2$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $5 e^{- 0,1 x} + 5 (x + 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $5 e^{- 0,1 x} - 0,5 (x + 6) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (5 - 0,5 x - 3)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,5 x + 2)$

= $(- 0,5 x + 2) \cdot e^{- 0,1 x}$