Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + \frac{5}{6} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + \frac{5}{6} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{x}$

= $\frac{5}{6} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{4 x + 3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 3} + x^{4} \cdot e^{4 x + 3} \cdot 4$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 3} + x^{4} \cdot 4 e^{4 x + 3}$

= $4 x^{3} \cdot e^{4 x + 3} + 4 x^{4} \cdot e^{4 x + 3}$

= $e^{4 x + 3} \cdot (4 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(4 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{4 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot 2 e^{2 x}$

= $3 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x^{3} \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 3 x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 3 x^{3} - 1} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 9 \frac{x^{2}}{- 3 x^{3} - 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(2 x^{3} + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(2 x^{3} + 2)}^{2} \cdot (6 x^{2} + 0)$

= $- 9 {(2 x^{3} + 2)}^{2} \cdot (6 x^{2})$

= $- 54 {(2 x^{3} + 2)}^{2} x^{2}$

= $- 54 {((2 x^{3} + 2) x)}^{2}$

= $- 54 {(x (2 x^{3} + 2))}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} + 8$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} + (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $e^{- 0,2 x} + (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $e^{- 0,2 x} - 0,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (1 - 0,2 x + 0,8)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2 x + 1,8)$

= $(- 0,2 x + 1,8) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten