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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 + 2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - 3 e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - 3 e^{- 3 x - 5}$

= $2 x^{- 2} - 3 e^{- 3 x - 5}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 3} - 3 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}} - 3 e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $- \frac{4}{x^{3}} + 9 e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 4} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{- x - 2}$

= $- 2 {(- x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- {(- x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1 + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{- x - 2}} \cdot (- 1 + 0)$

= $- \frac{1}{\sqrt{- x - 2}} \cdot (- 1)$

= $\frac{1}{\sqrt{- x - 2}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- x}$

f'(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

f'''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $- e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} - 7$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x - 6) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x - 6) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x + 12,6)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x + 15,6)$

= $(- 2,1 x + 15,6) \cdot e^{- 0,7 x}$