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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{- x}$

$f'(x) =$ $- e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $2 x \cdot e^{3 x} + x^{2} \cdot 3 e^{3 x}$

= $2 x \cdot e^{3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{2} + 2 x)$

= $(3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{3 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $6 e^{- 2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 3 x} + \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 3 x}}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 89-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{x}$

f'(x) = $- e^{x}$

f''(x) = $- e^{x}$

f'''(x) = $- e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 89-te Ableitung:

f⁽⁸⁹⁾(x) = $- e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 7$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 7$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 1) \cdot e^{- 0,7 x} + 7$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 2,1) + 7$

= $7 + (2,1 x - 3 + 2,1) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $7 + (2,1 x - 0,9) \cdot e^{- 0,7 x}$