$\text{f(x)}=$ $-4-2e^{-x}$

$\text{f'(x)}=$ $0-2e^{-x}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(-3x^4+3\right)·e^{x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-12x^3+0\right)·e^{x-1}+\left(-3x^4+3\right)·e^{x-1}·1$

= $-12x^3·e^{x-1}+\left(-3x^4+3\right)·e^{x-1}$

= $-12x^3·e^{x-1}+\left(-3x^4+3\right)·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·\left(-12x^3-3x^4+3\right)$

= $e^{x-1}·\left(-3x^4-12x^3+3\right)$

= $\left(-3x^4-12x^3+3\right)·e^{x-1}$

$\text{f(x)}=$ $e^{-x}·x^3$

$\text{f'(x)}=$ $e^{-x}·\left(-1\right)·x^3+e^{-x}·3x^2$

= $-e^{-x}{x}^3+3·e^{-x}{x}^2$

= $e^{-x}·\left(3x^2-x^3\right)$

= $e^{-x}·\left(-x^3+3x^2\right)$

= $\left(-x^3+3x^2\right)·e^{-x}$

$\text{f(x)}=$ $-2\ln \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{-2}{2x}·2$

= $-\frac{2}{x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·\sin \left(5x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·\sin \left(5x+4\right)+x^5·\cos \left(5x+4\right)·\left(5+0\right)$

= $5x^4·\sin \left(5x+4\right)+x^5·\cos \left(5x+4\right)·\left(5\right)$

= $5x^4·\sin \left(5x+4\right)+x^5·5\cdot \cos \left(5x+4\right)$

= $5x^4·\sin \left(5x+4\right)+5x^5·\cos \left(5x+4\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x·e^x$

f'(x) = $1·e^x+x·e^x$ = $e^x·\left(x+1\right)$

f''(x) = $e^x·\left(x+1\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+2\right)$

f'''(x) = $e^x·\left(x+2\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+3\right)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^x·\left(x+3\right)+e^x·\left(1+0\right)$ = $e^x·\left(x+4\right)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^x·\left(x+79\right)$

$\text{f(x)}=$ $-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8x$

$\text{f'(x)}=$ $-4·\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(-\mathrm{0,3}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}-4\left(x+2\right)·\left(-\mathrm{0,3}{e}^{-\mathrm{0,3}x}\right)-8$

= $-4e^{-\mathrm{0,3}x}+\mathrm{1,2}\left(x+2\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}-8$

= $e^{-\mathrm{0,3}x}·\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}-4\right)-8$

= $-8+\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}-4\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$

= $-8+\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{1,6}\right)·e^{-\mathrm{0,3}x}$