Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 6 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{2} + e^{x} \cdot 2 x$

= $e^{x} x^{2} + 2 \cdot e^{x} x$

= $e^{x} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- 3 x - 1} \cdot (- 3)$

= $6 e^{- 3 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(2 x + 2)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(2 x + 2)}^{3}$

$f'(x) =$ $9 {(2 x + 2)}^{2} \cdot (2 + 0)$

= $9 {(2 x + 2)}^{2} \cdot (2)$

= $18 {(2 x + 2)}^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $5 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,75 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 4,75 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,5125 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $4,5125 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 4,2869 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4,2869 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $4,0725 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${(- 0,95)}^{76} \cdot 5 e^{- 0,95 x}$

≈ $0,101 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3 x$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} - 2 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) - 3$

= $- 2 e^{- 0,8 x} - 2 (x - 1) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) - 3$

= $- 2 e^{- 0,8 x} + 1,6 (x - 1) \cdot e^{- 0,8 x} - 3$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2 + 1,6 x - 1,6) - 3$

= $- 3 + (1,6 x - 2 - 1,6) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $- 3 + (1,6 x - 3,6) \cdot e^{- 0,8 x}$