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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{7}{6} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{7}{6} x} \cdot \frac{7}{6}$

= $\frac{7}{2} e^{\frac{7}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $5 x^{4} \cdot e^{x} + x^{5} \cdot e^{x}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 4}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{- 2 x^{2} - 4} \cdot (- 4 x)$

= $12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 4} x$

= $12 x e^{- 2 x^{2} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{x} \cdot 1$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (- 3 x - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x} \cdot \cos (- 3 x - 3)$

= $x^{\frac{1}{4}} \cdot \cos (- 3 x - 3)$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}} \cdot \cos (- 3 x - 3) + x^{\frac{1}{4}} \cdot (- \sin (- 3 x - 3) \cdot (- 3 + 0))$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} \cdot \cos (- 3 x - 3) + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (- 3 x - 3) \cdot (- 3 + 0))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (- 3 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot (- \sin (- 3 x - 3) \cdot (- 3))$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (- 3 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + \sqrt[4]{x} \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x - 3)$

= $\frac{1}{4} \frac{\cos (- 3 x - 3)}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot \sin (- 3 x - 3)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 71-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{0,95 x}$

f'(x) = $e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,95 e^{0,95 x}$

f''(x) = $0,95 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,9025 e^{0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8574 e^{0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $0,8574 e^{0,95 x} \cdot 0,95$ = $0,8145 e^{0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,95$ multipliziert wird. Bei der 71-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 71 mal mit $0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,95}^{71}$

Somit gilt für die 71-te Ableitung:

f⁽⁷¹⁾(x) = ${0,95}^{71} \cdot e^{0,95 x}$

≈ $0,026 e^{0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} - 4$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $- 2 e^{- 0,1 x} - 2 (x - 3) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $- 2 e^{- 0,1 x} + 0,2 (x - 3) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 2 + 0,2 x - 0,6)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (0,2 x - 2,6)$

= $(0,2 x - 2,6) \cdot e^{- 0,1 x}$

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e-Funktionen ableiten

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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