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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{x - 5} + \frac{7}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{x - 5} + \frac{7}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{x - 5} \cdot 1 + \frac{14}{3} x$

= $- 3 e^{x - 5} + \frac{14}{3} x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x} \cdot x^{4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x} \cdot 3 \cdot x^{4} + e^{3 x} \cdot 4 x^{3}$

= $3 \cdot e^{3 x} x^{4} + 4 \cdot e^{3 x} x^{3}$

= $e^{3 x} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- x^{3} - 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- x^{3} - 5} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \frac{x^{2}}{- x^{3} - 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 2) \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (3 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 x \cdot \cos (3 x) + (x^{2} - 2) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $2 x \cdot \cos (3 x) - 3 (x^{2} - 2) \cdot \sin (3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 4,4 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 4,4 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $4,84 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $4,84 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 5,324 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5,324 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $5,8564 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot 4 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 516,52 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 2$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 4) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 2$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,9 x} + 2$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 14,4) + 2$

= $2 + (- 3,6 x + 4 + 14,4) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $2 + (- 3,6 x + 18,4) \cdot e^{- 0,9 x}$