Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{\frac{5}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{7} e^{\frac{5}{7} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7} e^{\frac{5}{7} x} \cdot \frac{5}{7}$

= $\frac{40}{49} e^{\frac{5}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) - e^{2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) - e^{2 x - 3}$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x) - e^{2 x - 3} \cdot 2$

= $- 4 \cdot \cos (x) - 2 e^{2 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{2 x + 2}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{2 x + 2} \cdot 2$

= $- 4 e^{2 x + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 1) \cdot \sin (2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 1) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + (x^{2} + 1) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $2 x \cdot \sin (2 x) + 2 (x^{2} + 1) \cdot \cos (2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 83-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{- x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{- x} + x \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 1)$

f''(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 1) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 2)$

f'''(x) = $- e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 2) - e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $e^{- x} \cdot (- x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (- x + 3) + e^{- x} \cdot (- 1 + 0)$ = $- e^{- x} \cdot (- x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 83-te Ableitung:

f⁽⁸³⁾(x) = $e^{- x} \cdot (- x + 83)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} - 4$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 12)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 2,4 x - 9)$

= $(- 2,4 x - 9) \cdot e^{- 0,8 x}$