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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 +3 e -3x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 +3 e -3x

f'(x)= 0 + 3 e -3x · ( -3 )

= -9 e -3x

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 cos( x ) -3 e 3x +4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 2 cos( x ) -3 e 3x +4

f'(x)= -2 sin( x ) -3 e 3x +4 · 3

= -2 sin( x ) -9 e 3x +4

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 e 3 x 3 -4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -3 e 3 x 3 -4

f'(x)= -3 e 3 x 3 -4 · 9 x 2

= -27 · e 3 x 3 -4 x 2

= -27 x 2 e 3 x 3 -4

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= ln( - x 3 -4x ) und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= ln( - x 3 -4x )

f'(x)= 1 - x 3 -4x · ( -3 x 2 -4 )

= -3 x 2 -4 - x 3 -4x

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 1 2x +2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 1 2x +2

= ( 2x +2 ) -1

=> f'(x) = - ( 2x +2 ) -2 · ( 2 +0 )

f'(x)= - 1 ( 2x +2 ) 2 · ( 2 +0 )

= - 1 ( 2x +2 ) 2 · ( 2 )

= - 2 ( 2x +2 ) 2

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= x · e -x .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = x · e -x

f'(x) = 1 · e -x + x · e -x · ( -1 ) = e -x · ( -x +1 )

f''(x) = e -x · ( -1 ) · ( -x +1 ) + e -x · ( -1 +0 ) = - e -x · ( -x +2 )

f'''(x) = - e -x · ( -1 ) · ( -x +2 ) - e -x · ( -1 +0 ) = e -x · ( -x +3 )

f(4)(x) = e -x · ( -1 ) · ( -x +3 ) + e -x · ( -1 +0 ) = - e -x · ( -x +4 )

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst. Außerdem ändert sich mit jeder Ableitung das Vorzeichen. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f(76)(x) = - e -x · ( -x +76 )

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 ( x -1 ) · e -0,9x +9x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( x -1 ) · e -0,9x +9x

f'(x)= 3 · ( 1 +0 ) · e -0,9x +3 ( x -1 ) · e -0,9x · ( -0,9 ) +9

= 3 e -0,9x +3 ( x -1 ) · ( -0,9 e -0,9x ) +9

= 3 e -0,9x -2,7 ( x -1 ) · e -0,9x +9

= e -0,9x · ( -2,7x +2,7 +3 ) +9

= 9 + ( -2,7x +2,7 +3 ) · e -0,9x

= 9 + ( -2,7x +5,7 ) · e -0,9x