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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 + 2 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{5}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{2 x + 1} + x^{2} \cdot e^{2 x + 1} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x + 1} + x^{2} \cdot 2 e^{2 x + 1}$

= $2 x \cdot e^{2 x + 1} + 2 x^{2} \cdot e^{2 x + 1}$

= $e^{2 x + 1} \cdot (2 x^{2} + 2 x)$

= $(2 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x^{5} + x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- x^{5} + x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- x^{5} + x^{4}) + e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- x^{5} + x^{4}) + e^{2 x} \cdot (- 5 x^{4} + 4 x^{3})$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} + 2 x^{4} + (- 5 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 2 x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{9}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 3 x} + (x + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $e^{- 3 x} + (x + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $e^{- 3 x} - 3 (x + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (1 - 3 x - 24)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x - 23)$

= $(- 3 x - 23) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 91-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- x}$

f'(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f''(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

f'''(x) = $- 5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $5 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 5 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 91-te Ableitung:

f⁽⁹¹⁾(x) = $5 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} - 6$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $3 e^{- 0,7 x} + 3 (x + 4) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $3 e^{- 0,7 x} - 2,1 (x + 4) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (3 - 2,1 x - 8,4)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,1 x - 5,4)$

= $(- 2,1 x - 5,4) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten