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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{11}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{11}{8} x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} e^{\frac{11}{8} x} \cdot \frac{11}{8}$

= $\frac{11}{24} e^{\frac{11}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} + 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2} \sqrt{x} + 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{x + 3}$

= $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot \cos (x) + 3 e^{x + 3}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot \sin (x) + 3 e^{x + 3} \cdot 1$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 \sqrt{x}} - 5 \cdot \sin (x) + 3 e^{x + 3} \cdot 1$

= $\frac{3}{4 \sqrt{x}} - 5 \cdot \sin (x) + 3 e^{x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{3} + 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{2} + 3)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x) + e^{2 x} \cdot (- 12 x^{2} + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} + 6 x - 12 x^{2} + 3)$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + 3)$

= $(- 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + 3) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{5 x} \cdot 5$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- {(- x^{3} + 3)}^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- {(- x^{3} + 3)}^{4}$

$f'(x) =$ $- 4 {(- x^{3} + 3)}^{3} \cdot (- 3 x^{2} + 0)$

= $- 4 {(- x^{3} + 3)}^{3} \cdot (- 3 x^{2})$

= $12 {(- x^{3} + 3)}^{3} x^{2}$

= $12 x^{2} {(- x^{3} + 3)}^{3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 37-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $- 5 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $5,75 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $5,75 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 6,6125 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $- 6,6125 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $7,6044 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $7,6044 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 8,745 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 37-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 37 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{37}$

Somit gilt für die 37-te Ableitung:

f⁽³⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{37} \cdot (- 5 e^{- 1,15 x})$

≈ $880,623 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} - 4 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) - 9$

= $- 4 e^{- 0,4 x} - 4 (x + 1) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x}) - 9$

= $- 4 e^{- 0,4 x} + 1,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 4 + 1,6 x + 1,6) - 9$

= $- 9 + (1,6 x - 4 + 1,6) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $- 9 + (1,6 x - 2,4) \cdot e^{- 0,4 x}$

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