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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 - 2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 - 2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{3 x} \cdot 3$

= $- 6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- x - 2} + x^{2} \cdot e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $2 x \cdot e^{- x - 2} + x^{2} \cdot (- e^{- x - 2})$

= $2 x \cdot e^{- x - 2} - x^{2} \cdot e^{- x - 2}$

= $e^{- x - 2} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} + 4 x)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (4 x^{4} + 4 x) + e^{- 2 x} \cdot (16 x^{3} + 4)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} \cdot (4 x^{4} + 4 x) + e^{- 2 x} \cdot (16 x^{3} + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{4} - 8 x + 16 x^{3} + 4)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 8 x^{4} + 16 x^{3} - 8 x + 4)$

= $(- 8 x^{4} + 16 x^{3} - 8 x + 4) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \ln (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \ln (5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 x} \cdot 5$

= $\frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 8) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 8) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 16 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 16)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 16) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 30-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 30-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 30 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{30}$

Somit gilt für die 30-te Ableitung:

f⁽³⁰⁾(x) = ${(- 0,85)}^{30} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,008 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) - 9$

= $2 e^{- 0,7 x} + 2 (x + 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) - 9$

= $2 e^{- 0,7 x} - 1,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,7 x} - 9$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2 - 1,4 x - 7) - 9$

= $- 9 + (- 1,4 x + 2 - 7) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $- 9 + (- 1,4 x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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e-Funktionen ableiten

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