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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{6}{7} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot e^{5 x - 3} \cdot 5$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + x^{2} \cdot 5 e^{5 x - 3}$

= $2 x \cdot e^{5 x - 3} + 5 x^{2} \cdot e^{5 x - 3}$

= $e^{5 x - 3} \cdot (5 x^{2} + 2 x)$

= $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{5 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 6}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{6}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 76)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 3 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $- 3 e^{- 0,7 x} - 3 (x + 2) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $- 3 e^{- 0,7 x} + 2,1 (x + 2) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 3 + 2,1 x + 4,2)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (2,1 x + 1,2)$

= $(2,1 x + 1,2) \cdot e^{- 0,7 x}$