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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{3 x} \cdot 3$

= $6 e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} - \frac{1}{x^{3}} + e^{- 3 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{4} - \frac{1}{x^{3}} + e^{- 3 x - 3}$

= $- 4 x^{4} - x^{- 3} + e^{- 3 x - 3}$

=> f'(x) = $- 16 x^{3} + 3 x^{- 4} + e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

$f'(x) =$ $- 16 x^{3} + \frac{3}{x^{4}} + e^{- 3 x - 3} \cdot (- 3)$

= $- 16 x^{3} + \frac{3}{x^{4}} - 3 e^{- 3 x - 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x - 5} + (x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x - 5} + (x^{3} - 2 x) \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 (x^{3} - 2 x) \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{3} + 6 x + 3 x^{2} - 2)$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 2)$

= $(- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 2) \cdot e^{- 3 x - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 5}{2 x} \cdot 2$

= $- \frac{5}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 66-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 4 e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 4 e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- 4 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,2 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $4,2 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,41 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 4,41 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $4,6305 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4,6305 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 4,862 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 66-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 66 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{66}$

Somit gilt für die 66-te Ableitung:

f⁽⁶⁶⁾(x) = ${(- 1,05)}^{66} \cdot (- 4 e^{- 1,05 x})$

≈ $- 100,128 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} - 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 7) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x})$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 7) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (4 - 0,4 x + 2,8)$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 6,8)$

= $(- 0,4 x + 6,8) \cdot e^{- 0,1 x}$

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