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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{4} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{4} x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{4} x} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{25}{24} e^{\frac{5}{4} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{3} + 0) \cdot e^{- 3 x + 4} + (- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 4} \cdot (- 3)$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} + (- 3 x^{4} - 5) \cdot (- 3 e^{- 3 x + 4})$

= $- 12 x^{3} \cdot e^{- 3 x + 4} - 3 (- 3 x^{4} - 5) \cdot e^{- 3 x + 4}$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (- 12 x^{3} + 9 x^{4} + 15)$

= $e^{- 3 x + 4} \cdot (9 x^{4} - 12 x^{3} + 15)$

= $(9 x^{4} - 12 x^{3} + 15) \cdot e^{- 3 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 4 x^{4} + 2 x^{3})$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 4 x^{4} + 2 x^{3}) + e^{2 x} \cdot (- 16 x^{3} + 6 x^{2})$

= $2 \cdot e^{2 x} (- 4 x^{4} + 2 x^{3}) + e^{2 x} (- 16 x^{3} + 6 x^{2})$

= $e^{2 x} \cdot (- 16 x^{3} + 6 x^{2} + (- 8 x^{4} + 4 x^{3}))$

= $e^{2 x} \cdot (- 8 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2})$

= $(- 8 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 5) \cdot \cos (x^{2})$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot (- \sin (x^{2}) \cdot 2 x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) + (x^{2} - 5) \cdot (- 2 \sin (x^{2}) x)$

= $2 x \cdot \cos (x^{2}) - 2 (x^{2} - 5) \sin (x^{2}) x$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{0,85 x}$

f'(x) = $- 5 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 4,25 e^{0,85 x}$

f''(x) = $- 4,25 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,6125 e^{0,85 x}$

f'''(x) = $- 3,6125 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 3,0706 e^{0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 3,0706 e^{0,85 x} \cdot 0,85$ = $- 2,61 e^{0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${0,85}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${0,85}^{46} \cdot (- 5 e^{0,85 x})$

≈ $- 0,003 e^{0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) - 2$

= $4 e^{- 0,1 x} + 4 (x - 6) \cdot (- 0,1 e^{- 0,1 x}) - 2$

= $4 e^{- 0,1 x} - 0,4 (x - 6) \cdot e^{- 0,1 x} - 2$

= $e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,4 x + 2,4 + 4) - 2$

= $- 2 + (- 0,4 x + 2,4 + 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

= $- 2 + (- 0,4 x + 6,4) \cdot e^{- 0,1 x}$

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