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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 2 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 4 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5} + x^{5} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 4 x + 5} - 4 x^{5} \cdot e^{- 4 x + 5}$

= $e^{- 4 x + 5} \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 4 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 4 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x^{2} + 2}$

$f'(x) =$ $e^{2 x^{2} + 2} \cdot 4 x$

= $4 \cdot e^{2 x^{2} + 2} x$

= $4 x e^{2 x^{2} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x - 2} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x - 2} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (x) - 1)}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (x) - 1)}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\cos (x) - 1) \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $2 (\cos (x) - 1) \cdot (- \sin (x))$

= $- 2 (\cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 41-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 41-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 41 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{41}$

Somit gilt für die 41-te Ableitung:

f⁽⁴¹⁾(x) = ${(- 0,85)}^{41} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $- 0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 3 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 6$

= $- 3 e^{- 0,6 x} - 3 (x + 4) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 6$

= $- 3 e^{- 0,6 x} + 1,8 (x + 4) \cdot e^{- 0,6 x} + 6$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 3 + 1,8 x + 7,2) + 6$

= $6 + (1,8 x - 3 + 7,2) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $6 + (1,8 x + 4,2) \cdot e^{- 0,6 x}$