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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{3}{5} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{3}{5} x}$

$f'(x) =$ $\frac{11}{8} e^{\frac{3}{5} x} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{33}{40} e^{\frac{3}{5} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + x^{4} \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + x^{4} \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $4 x^{3} \cdot e^{2 x - 1} + 2 x^{4} \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{2 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 3 x + 1)$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (- 3 x + 1) + e^{- 2 x} \cdot (- 3 + 0)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 3 x + 1) + e^{- 2 x} \cdot (- 3)$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (- 3 x + 1) - 3 e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 3 + 6 x - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (6 x - 5)$

= $(6 x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{x} \cdot 1$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 6) \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot \cos (- 3 x) + (x + 6) \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $\cos (- 3 x) + (x + 6) \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $\cos (- 3 x) + 3 (x + 6) \cdot \sin (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 85-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{- x}$

f'(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f''(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

f'''(x) = $4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 4 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 4 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $4 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen positiv, bei den ungeraden negativ .

Somit gilt für die 85-te Ableitung:

f⁽⁸⁵⁾(x) = $- 4 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} - 5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 2$

= $- 5 e^{- 0,7 x} - 5 (x + 7) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x}) + 2$

= $- 5 e^{- 0,7 x} + 3,5 (x + 7) \cdot e^{- 0,7 x} + 2$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 5 + 3,5 x + 24,5) + 2$

= $2 + (3,5 x - 5 + 24,5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $2 + (3,5 x + 19,5) \cdot e^{- 0,7 x}$