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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{5} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- \frac{6}{5} e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} + x^{5} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 5} - 2 x^{5} \cdot e^{- 2 x + 5}$

= $e^{- 2 x + 5} \cdot (- 2 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 2 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 2 x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 1}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x^{2} + 1} \cdot 4 x$

= $12 \cdot e^{2 x^{2} + 1} x$

= $12 x e^{2 x^{2} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{7 x} \cdot 7$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{4 x - 5}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 5}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{4 x - 5} + \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 5} \cdot 4$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x - 5}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 4 e^{4 x - 5}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{4 x - 5}}{\sqrt{x}} + 4 \sqrt{x} \cdot e^{4 x - 5}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 74-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 74-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 74 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{74}$

Somit gilt für die 74-te Ableitung:

f⁽⁷⁴⁾(x) = ${(- 0,95)}^{74} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $0,022 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 4 e^{- 0,3 x} - 4 (x - 4) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 4 e^{- 0,3 x} + 1,2 (x - 4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 4 + 1,2 x - 4,8)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1,2 x - 8,8)$

= $(1,2 x - 8,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen ableiten

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