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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + 3 e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + 3 e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 3 e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 4 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1}$

$f'(x) =$ $(- 12 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x - 1} + (- 4 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1} \cdot 4$

= $(- 12 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x - 1} + (- 4 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot 4 e^{4 x - 1}$

= $(- 12 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x - 1} + 4 (- 4 x^{3} + 5 x^{2}) \cdot e^{4 x - 1}$

= $e^{4 x - 1} \cdot (- 16 x^{3} + 20 x^{2} + (- 12 x^{2} + 10 x))$

= $e^{4 x - 1} \cdot (- 16 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x)$

= $(- 16 x^{3} + 8 x^{2} + 10 x) \cdot e^{4 x - 1}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2}$

$f'(x) =$ $3 e^{x^{3} + 2} \cdot 3 x^{2}$

= $9 \cdot e^{x^{3} + 2} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{x^{3} + 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{2} + 5 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{2} + 5 x} \cdot (- 4 x + 5)$

= $\frac{- 4 x + 5}{- 2 x^{2} + 5 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{- 4 x + 2}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x + 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x + 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{- 4 x + 2} + \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x + 2} \cdot (- 4)$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x + 2}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 4 e^{- 4 x + 2})$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{- 4 x + 2}}{\sqrt{x}} - 4 \sqrt{x} \cdot e^{- 4 x + 2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 63-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{1,05 x}$

f'(x) = $- e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $- 1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 63-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 63 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{63}$

Somit gilt für die 63-te Ableitung:

f⁽⁶³⁾(x) = ${1,05}^{63} \cdot (- e^{1,05 x})$

≈ $- 21,623 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} + 6$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $4 e^{- 0,5 x} + 4 (x + 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $4 e^{- 0,5 x} - 2 (x + 2) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (4 - 2 x - 4)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x + 0)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2 x)$

= $x \cdot (- 2 e^{- 0,5 x})$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

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