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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{15}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{5} - 2 x) \cdot e^{5 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{5} - 2 x) \cdot e^{5 x + 4}$

$f'(x) =$ $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{5 x + 4} + (- x^{5} - 2 x) \cdot e^{5 x + 4} \cdot 5$

= $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{5 x + 4} + (- x^{5} - 2 x) \cdot 5 e^{5 x + 4}$

= $(- 5 x^{4} - 2) \cdot e^{5 x + 4} + 5 (- x^{5} - 2 x) \cdot e^{5 x + 4}$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 5 x^{5} - 10 x - 5 x^{4} - 2)$

= $e^{5 x + 4} \cdot (- 5 x^{5} - 5 x^{4} - 10 x - 2)$

= $(- 5 x^{5} - 5 x^{4} - 10 x - 2) \cdot e^{5 x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x^{3} - 5}$

$f'(x) =$ $2 e^{x^{3} - 5} \cdot 3 x^{2}$

= $6 \cdot e^{x^{3} - 5} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{x^{3} - 5}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 2} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 2} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 8) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{2 x} + (2 x - 8) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 e^{2 x} + (2 x - 8) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 e^{2 x} + 2 (2 x - 8) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 + 4 x - 16)$

= $e^{2 x} \cdot (4 x - 14)$

= $(4 x - 14) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 5 e^{x}$

f'(x) = $- 5 e^{x}$

f''(x) = $- 5 e^{x}$

f'''(x) = $- 5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $- 5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 3 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} - 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 3$

= $- 5 e^{- 0,6 x} - 5 (x + 3) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x}) + 3$

= $- 5 e^{- 0,6 x} + 3 (x + 3) \cdot e^{- 0,6 x} + 3$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 5 + 3 x + 9) + 3$

= $3 + (3 x - 5 + 9) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $3 + (3 x + 4) \cdot e^{- 0,6 x}$