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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{5}{6} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + e^{\frac{5}{6} x}$

$f'(x) =$ $0 + e^{\frac{5}{6} x} \cdot \frac{5}{6}$

= $\frac{5}{6} e^{\frac{5}{6} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- e^{x + 2} + 4 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- e^{x + 2} + 4 x^{2}$

$f'(x) =$ $- e^{x + 2} \cdot 1 + 8 x$

= $- e^{x + 2} + 8 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{x} \cdot x^{5} + e^{x} \cdot 5 x^{4}$

= $e^{x} x^{5} + 5 \cdot e^{x} x^{4}$

= $e^{x} \cdot (x^{5} + 5 x^{4})$

= $(x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} - 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 {(e^{- 2 x} - 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $6 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2} \cdot (e^{- 2 x} \cdot (- 2) + 0)$

= $6 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- 12 {(e^{- 2 x} - 1)}^{2} \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,95 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,95 x}$

f'(x) = $e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,95 e^{- 0,95 x}$

f''(x) = $- 0,95 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,9025 e^{- 0,95 x}$

f'''(x) = $0,9025 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $- 0,8574 e^{- 0,95 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,8574 e^{- 0,95 x} \cdot (- 0,95)$ = $0,8145 e^{- 0,95 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,95$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $- 0,95$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,95)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${(- 0,95)}^{77} \cdot e^{- 0,95 x}$

≈ $- 0,019 e^{- 0,95 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 9$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} - 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $- 3 e^{- 0,5 x} - 3 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $- 3 e^{- 0,5 x} + 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 3 + 1,5 x + 1,5)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (1,5 x - 1,5)$

= $(1,5 x - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$