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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{5}{6} e^{\frac{8}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{5}{6} e^{\frac{8}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{5}{6} e^{\frac{8}{9} x} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{20}{27} e^{\frac{8}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} + x^{5} \cdot (- 3 e^{- 3 x - 5})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- 3 x - 5} - 3 x^{5} \cdot e^{- 3 x - 5}$

= $e^{- 3 x - 5} \cdot (- 3 x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- 3 x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- 3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (4 x - 1)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (4 x - 1) + e^{2 x} \cdot (4 + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (4 x - 1) + e^{2 x} \cdot (4)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (4 x - 1) + 4 e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (4 + 8 x - 2)$

= $e^{2 x} \cdot (8 x + 2)$

= $(8 x + 2) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{3} - 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{3} - 4 x} \cdot (- 15 x^{2} - 4)$

= $\frac{- 15 x^{2} - 4}{- 5 x^{3} - 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x^{3} - 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x^{3} - 1)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x^{3} - 1) \cdot (3 x^{2} + 0)$

= $2 \cdot \cos (x^{3} - 1) \cdot (3 x^{2})$

= $6 \cos (x^{3} - 1) x^{2}$

= $6 x^{2} \cdot \cos (x^{3} - 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 47-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,15 x}$

f'(x) = $e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,15 e^{- 1,15 x}$

f''(x) = $- 1,15 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,3225 e^{- 1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $- 1,5209 e^{- 1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,5209 e^{- 1,15 x} \cdot (- 1,15)$ = $1,749 e^{- 1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,15$ multipliziert wird. Bei der 47-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 47 mal mit $- 1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,15)}^{47}$

Somit gilt für die 47-te Ableitung:

f⁽⁴⁷⁾(x) = ${(- 1,15)}^{47} \cdot e^{- 1,15 x}$

≈ $- 712,522 e^{- 1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 6$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x - 2) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 6$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x - 2) \cdot e^{- 0,5 x} - 6$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x + 3) - 6$

= $- 6 + (- 1,5 x + 3 + 3) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 6 + (- 1,5 x + 6) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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