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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- 4 e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 3) \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 3) \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 0) \cdot e^{- x} + (- 2 x^{4} + 3) \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- x} + (- 2 x^{4} + 3) \cdot (- e^{- x})$

= $- 8 x^{3} \cdot e^{- x} - (- 2 x^{4} + 3) \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{4} - 3 - 8 x^{3})$

= $e^{- x} \cdot (2 x^{4} - 8 x^{3} - 3)$

= $(2 x^{4} - 8 x^{3} - 3) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot x^{2}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{2} + e^{- x} \cdot 2 x$

= $- e^{- x} x^{2} + 2 \cdot e^{- x} x$

= $e^{- x} \cdot (- x^{2} + 2 x)$

= $(- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 1)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 1} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 1}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 5) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 5) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + (3 x + 5) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (3 x + 5) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 45-te Ableitung der Funktion f(x)= $3 e^{- 0,9 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $3 e^{- 0,9 x}$

f'(x) = $3 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,7 e^{- 0,9 x}$

f''(x) = $- 2,7 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $2,43 e^{- 0,9 x}$

f'''(x) = $2,43 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $- 2,187 e^{- 0,9 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,187 e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9)$ = $1,9683 e^{- 0,9 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,9$ multipliziert wird. Bei der 45-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 45 mal mit $- 0,9$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,9)}^{45}$

Somit gilt für die 45-te Ableitung:

f⁽⁴⁵⁾(x) = ${(- 0,9)}^{45} \cdot 3 e^{- 0,9 x}$

≈ $- 0,026 e^{- 0,9 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 x$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 5 (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) - 2$

= $- 5 e^{- 0,2 x} - 5 (x + 1) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) - 2$

= $- 5 e^{- 0,2 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,2 x} - 2$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 5 + x + 1) - 2$

= $- 2 + (x - 5 + 1) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $- 2 + (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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