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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + 3 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + 3 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $\frac{15}{8} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 2} + 9 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 e^{2 x + 2} + 9 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 x + 2} \cdot 2 + 18 x$

= $- 6 e^{2 x + 2} + 18 x$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $e^{x^{2} + 4} \cdot 2 x$

= $2 \cdot e^{x^{2} + 4} x$

= $2 x e^{x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 4}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{4}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(- 3 x^{3} + 2)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(- 3 x^{3} + 2)}^{5}$

$f'(x) =$ $15 {(- 3 x^{3} + 2)}^{4} \cdot (- 9 x^{2} + 0)$

= $15 {(- 3 x^{3} + 2)}^{4} \cdot (- 9 x^{2})$

= $- 135 {(- 3 x^{3} + 2)}^{4} x^{2}$

= $- 135 x^{2} {(- 3 x^{3} + 2)}^{4}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{62} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $20,594 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 3 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 7$

= $3 e^{- 0,8 x} + 3 (x + 5) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x}) + 7$

= $3 e^{- 0,8 x} - 2,4 (x + 5) \cdot e^{- 0,8 x} + 7$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (3 - 2,4 x - 12) + 7$

= $7 + (- 2,4 x + 3 - 12) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $7 + (- 2,4 x - 9) \cdot e^{- 0,8 x}$