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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5)$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} + x^{2} \cdot (- 5 e^{- 5 x + 3})$

= $2 x \cdot e^{- 5 x + 3} - 5 x^{2} \cdot e^{- 5 x + 3}$

= $e^{- 5 x + 3} \cdot (- 5 x^{2} + 2 x)$

= $(- 5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 5 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 4) \cdot e^{x - 2}$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot e^{x - 2} + (2 x - 4) \cdot e^{x - 2} \cdot 1$

= $2 e^{x - 2} + (2 x - 4) \cdot e^{x - 2}$

= $e^{x - 2} \cdot (2 + 2 x - 4)$

= $e^{x - 2} \cdot (2 x - 2)$

= $(2 x - 2) \cdot e^{x - 2}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 4 x} \cdot (- 8 x + 4)$

= $\frac{- 8 x + 4}{- 4 x^{2} + 4 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{{(3 x^{3} - 4)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{{(3 x^{3} - 4)}^{2}}$

= $3 {(3 x^{3} - 4)}^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 {(3 x^{3} - 4)}^{- 3} \cdot (9 x^{2} + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{{(3 x^{3} - 4)}^{3}} \cdot (9 x^{2} + 0)$

= $- \frac{6}{{(3 x^{3} - 4)}^{3}} \cdot (9 x^{2})$

= $- 54 \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 4)}^{3}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 77)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} - 5$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,6 x} + (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6) + 0$

= $e^{- 0,6 x} + (x + 1) \cdot (- 0,6 e^{- 0,6 x})$

= $e^{- 0,6 x} - 0,6 (x + 1) \cdot e^{- 0,6 x}$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (1 - 0,6 x - 0,6)$

= $e^{- 0,6 x} \cdot (- 0,6 x + 0,4)$

= $(- 0,6 x + 0,4) \cdot e^{- 0,6 x}$