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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{7}{9} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 + 2 e^{\frac{7}{9} x}$

$f'(x) =$ $0 + 2 e^{\frac{7}{9} x} \cdot \frac{7}{9}$

= $\frac{14}{9} e^{\frac{7}{9} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 3 x + 5} + 3 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 3 x + 5} + 3 x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- 3 x + 5} \cdot (- 3) + 15 x^{4}$

= $- 3 e^{- 3 x + 5} + 15 x^{4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x - 1}$

$f'(x) =$ $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x - 1} + (x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x - 1} \cdot 2$

= $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x - 1} + (x^{3} - 2 x) \cdot 2 e^{2 x - 1}$

= $(3 x^{2} - 2) \cdot e^{2 x - 1} + 2 (x^{3} - 2 x) \cdot e^{2 x - 1}$

= $e^{2 x - 1} \cdot (2 x^{3} - 4 x + 3 x^{2} - 2)$

= $e^{2 x - 1} \cdot (2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 2)$

= $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 2) \cdot e^{2 x - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \ln (7 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \ln (7 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 1}{7 x} \cdot 7$

= $- \frac{1}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) - 4)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\cos (x) - 4)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot (- \sin (x) + 0)$

= $- 15 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot (- \sin (x))$

= $15 {(\cos (x) - 4)}^{4} \cdot \sin (x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 76-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,05 x}$

f'(x) = $e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,05 e^{1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1025 e^{1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,1576 e^{1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{1,05 x} \cdot 1,05$ = $1,2155 e^{1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,05$ multipliziert wird. Bei der 76-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 76 mal mit $1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,05}^{76}$

Somit gilt für die 76-te Ableitung:

f⁽⁷⁶⁾(x) = ${1,05}^{76} \cdot e^{1,05 x}$

≈ $40,774 e^{1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 1$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $e^{- 0,3 x} + (x - 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $e^{- 0,3 x} - 0,3 (x - 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (1 - 0,3 x + 1,5)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3 x + 2,5)$

= $(- 0,3 x + 2,5) \cdot e^{- 0,3 x}$