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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{x}$

$f'(x) =$ $2 e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{3 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + x^{3} \cdot e^{3 x - 5} \cdot 3$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + x^{3} \cdot 3 e^{3 x - 5}$

= $3 x^{2} \cdot e^{3 x - 5} + 3 x^{3} \cdot e^{3 x - 5}$

= $e^{3 x - 5} \cdot (3 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(3 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{3 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot e^{- x} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} + x^{5} \cdot (- e^{- x})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x} - x^{5} \cdot e^{- x}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - 2 x} \cdot (- 10 x - 2)$

= $\frac{- 10 x - 2}{- 5 x^{2} - 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} + 1)}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{3 x} + 1)}^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 {(e^{3 x} + 1)}^{2} \cdot (e^{3 x} \cdot 3 + 0)$

= $- 9 {(e^{3 x} + 1)}^{2} \cdot (3 e^{3 x})$

= $- 27 {(e^{3 x} + 1)}^{2} \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 46-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 0,85 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 0,85 x}$

f'(x) = $e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,85 e^{- 0,85 x}$

f''(x) = $- 0,85 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,7225 e^{- 0,85 x}$

f'''(x) = $0,7225 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $- 0,6141 e^{- 0,85 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 0,6141 e^{- 0,85 x} \cdot (- 0,85)$ = $0,522 e^{- 0,85 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 0,85$ multipliziert wird. Bei der 46-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 46 mal mit $- 0,85$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 0,85)}^{46}$

Somit gilt für die 46-te Ableitung:

f⁽⁴⁶⁾(x) = ${(- 0,85)}^{46} \cdot e^{- 0,85 x}$

≈ $0,001 e^{- 0,85 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 5 x$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 4 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 5$

= $- 4 e^{- 0,2 x} - 4 (x - 2) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x}) + 5$

= $- 4 e^{- 0,2 x} + 0,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,2 x} + 5$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 4 + 0,8 x - 1,6) + 5$

= $5 + (0,8 x - 4 - 1,6) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $5 + (0,8 x - 5,6) \cdot e^{- 0,2 x}$