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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x - 5) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (- x - 5) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x} + (- x - 5) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $- e^{- 2 x} - 2 (- x - 5) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 1 + 2 x + 10)$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x + 9)$

= $(2 x + 9) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{2} - 1}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{2} - 1} \cdot 6 x$

= $6 \cdot e^{3 x^{2} - 1} x$

= $6 x e^{3 x^{2} - 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (3 x + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3 + 0)$

= $\frac{1}{3 x + 3} \cdot (3)$

= $\frac{3}{3 x + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + x^{3} \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + x^{3} \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{3} \cos (x^{3}) x^{2}$

= $3 x^{2} \cdot \sin (x^{3}) + 3 x^{5} \cdot \cos (x^{3})$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 78-te Ableitung der Funktion f(x)= $- e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $- e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $- 1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 78-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 78 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{78}$

Somit gilt für die 78-te Ableitung:

f⁽⁷⁸⁾(x) = ${(- 1,05)}^{78} \cdot (- e^{- 1,05 x})$

≈ $- 44,954 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 6 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 6$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 5) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) + 6$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,9 x} + 6$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 9) + 6$

= $6 + (- 1,8 x + 2 + 9) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $6 + (- 1,8 x + 11) \cdot e^{- 0,9 x}$