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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{9} e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{8}{27} e^{\frac{1}{3} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x - 3} + \frac{1}{4} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x - 3} + \frac{1}{4} \sqrt{x}$

= $e^{- 2 x - 3} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2) + \frac{1}{8 \sqrt{x}}$

= $- 2 e^{- 2 x - 3} + \frac{1}{8 \sqrt{x}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} + 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} + 1}$

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x^{3} + 1} \cdot (- 3 x^{2})$

= $6 \cdot e^{- x^{3} + 1} x^{2}$

= $6 x^{2} e^{- x^{3} + 1}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \ln (4 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 9}{4 x} \cdot 4$

= $- \frac{9}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 9) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{3 x} + (x + 9) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x} + (x + 9) \cdot 3 e^{3 x}$

= $e^{3 x} + 3 (x + 9) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (1 + 3 x + 27)$

= $e^{3 x} \cdot (3 x + 28)$

= $(3 x + 28) \cdot e^{3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 90)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,8 x} + 2 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x} \cdot (- 0,8) + 0$

= $2 e^{- 0,8 x} + 2 (x + 4) \cdot (- 0,8 e^{- 0,8 x})$

= $2 e^{- 0,8 x} - 1,6 (x + 4) \cdot e^{- 0,8 x}$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (2 - 1,6 x - 6,4)$

= $e^{- 0,8 x} \cdot (- 1,6 x - 4,4)$

= $(- 1,6 x - 4,4) \cdot e^{- 0,8 x}$