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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 + \frac{1}{3} e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 + \frac{1}{3} e^{3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{3} e^{3 x} \cdot 3$

= $e^{3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

$f'(x) =$ $(- 10 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 2} \cdot (- 5)$

= $(- 10 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 2} + (- 2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot (- 5 e^{- 5 x + 2})$

= $(- 10 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 2} - 5 (- 2 x^{5} + 3 x^{4}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (10 x^{5} - 15 x^{4} + (- 10 x^{4} + 12 x^{3}))$

= $e^{- 5 x + 2} \cdot (10 x^{5} - 25 x^{4} + 12 x^{3})$

= $(10 x^{5} - 25 x^{4} + 12 x^{3}) \cdot e^{- 5 x + 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{- x^{3} - 4} \cdot (- 3 x^{2})$

= $- 3 \cdot e^{- x^{3} - 4} x^{2}$

= $- 3 x^{2} e^{- x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (4 x^{3} - 3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 x^{3} - 3 x} \cdot (12 x^{2} - 3)$

= $\frac{12 x^{2} - 3}{4 x^{3} - 3 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} + x^{\frac{1}{2}} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{2 x} + \sqrt{x} \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 2 e^{2 x}$

= $\frac{1}{2} \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} + 2 \sqrt{x} \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 3 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) - 5$

= $3 e^{- 0,5 x} + 3 (x + 1) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) - 5$

= $3 e^{- 0,5 x} - 1,5 (x + 1) \cdot e^{- 0,5 x} - 5$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (3 - 1,5 x - 1,5) - 5$

= $- 5 + (- 1,5 x + 3 - 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $- 5 + (- 1,5 x + 1,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

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