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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 + \frac{7}{8} e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{8} e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- \frac{21}{8} e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

$f'(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4)$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} + x^{3} \cdot (- 4 e^{- 4 x - 5})$

= $3 x^{2} \cdot e^{- 4 x - 5} - 4 x^{3} \cdot e^{- 4 x - 5}$

= $e^{- 4 x - 5} \cdot (- 4 x^{3} + 3 x^{2})$

= $(- 4 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot e^{- 4 x - 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - 3) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $2 x \cdot e^{- 2 x} - 2 (x^{2} - 3) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 6 + 2 x)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{2} + 2 x + 6)$

= $(- 2 x^{2} + 2 x + 6) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 5 x^{2} - x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 5 x^{2} - x} \cdot (- 10 x - 1)$

= $\frac{- 10 x - 1}{- 5 x^{2} - x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \sin (- 2 x + 1)$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x + 1)$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \sin (- 2 x + 1) + x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (- 2 x + 1) \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \sin (- 2 x + 1) + \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 1) \cdot (- 2 + 0)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 1) \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x + 1)}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x + 1))$

= $\frac{1}{2} \frac{\sin (- 2 x + 1)}{\sqrt{x}} - 2 \sqrt{x} \cdot \cos (- 2 x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 51-te Ableitung der Funktion f(x)= $2 e^{- 1,1 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $2 e^{- 1,1 x}$

f'(x) = $2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,2 e^{- 1,1 x}$

f''(x) = $- 2,2 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,42 e^{- 1,1 x}$

f'''(x) = $2,42 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $- 2,662 e^{- 1,1 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2,662 e^{- 1,1 x} \cdot (- 1,1)$ = $2,9282 e^{- 1,1 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,1$ multipliziert wird. Bei der 51-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 51 mal mit $- 1,1$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,1)}^{51}$

Somit gilt für die 51-te Ableitung:

f⁽⁵¹⁾(x) = ${(- 1,1)}^{51} \cdot 2 e^{- 1,1 x}$

≈ $- 258,26 e^{- 1,1 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} + 4$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 0$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 4) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x})$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 4) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 10)$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (- 2,5 x - 5)$

= $(- 2,5 x - 5) \cdot e^{- 0,5 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

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Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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