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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $- \frac{7}{8} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(10 x + 2) \cdot e^{2 x + 3} + (5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $(10 x + 2) \cdot e^{2 x + 3} + (5 x^{2} + 2 x) \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $(10 x + 2) \cdot e^{2 x + 3} + 2 (5 x^{2} + 2 x) \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (10 x^{2} + 4 x + 10 x + 2)$

= $e^{2 x + 3} \cdot (10 x^{2} + 14 x + 2)$

= $(10 x^{2} + 14 x + 2) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (x^{5} + 2 x^{4})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (x^{5} + 2 x^{4})$

$f'(x) =$ $e^{- 2 x} \cdot (- 2) \cdot (x^{5} + 2 x^{4}) + e^{- 2 x} \cdot (5 x^{4} + 8 x^{3})$

= $- 2 \cdot e^{- 2 x} (x^{5} + 2 x^{4}) + e^{- 2 x} (5 x^{4} + 8 x^{3})$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} - 4 x^{4} + (5 x^{4} + 8 x^{3}))$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{5} + x^{4} + 8 x^{3})$

= $(- 2 x^{5} + x^{4} + 8 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x + 5} \cdot (1 + 0)$

= $\frac{1}{x + 5} \cdot (1)$

= $\frac{1}{x + 5}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} + (2 x^{2} + 8) \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $4 x \cdot e^{- 3 x} - 3 (2 x^{2} + 8) \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} - 24 + 4 x)$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 6 x^{2} + 4 x - 24)$

= $(- 6 x^{2} + 4 x - 24) \cdot e^{- 3 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 90-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{x}$

f'(x) = $- 2 e^{x}$

f''(x) = $- 2 e^{x}$

f'''(x) = $- 2 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 2 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 90-te Ableitung:

f⁽⁹⁰⁾(x) = $- 2 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} - 8$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $2 e^{- 0,3 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $2 e^{- 0,3 x} - 0,6 (x - 2) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (2 - 0,6 x + 1,2)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,6 x + 3,2)$

= $(- 0,6 x + 3,2) \cdot e^{- 0,3 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

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