Mathebattle EduRandomtasks

e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $1 + \frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{1}{2} e^{\frac{7}{8} x} \cdot \frac{7}{8}$

= $\frac{7}{16} e^{\frac{7}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{2 x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x + 5) \cdot e^{2 x + 3}$

$f'(x) =$ $(- 2 + 0) \cdot e^{2 x + 3} + (- 2 x + 5) \cdot e^{2 x + 3} \cdot 2$

= $- 2 e^{2 x + 3} + (- 2 x + 5) \cdot 2 e^{2 x + 3}$

= $- 2 e^{2 x + 3} + 2 (- 2 x + 5) \cdot e^{2 x + 3}$

= $e^{2 x + 3} \cdot (- 2 - 4 x + 10)$

= $e^{2 x + 3} \cdot (- 4 x + 8)$

= $(- 4 x + 8) \cdot e^{2 x + 3}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} + x^{2} \cdot (- 3 e^{- 3 x})$

= $2 x \cdot e^{- 3 x} - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

= $e^{- 3 x} \cdot (- 3 x^{2} + 2 x)$

= $(- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 4 x^{2} + 2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 4 x^{2} + 2 x} \cdot (- 8 x + 2)$

= $\frac{- 8 x + 2}{- 4 x^{2} + 2 x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x + 3}$

$f'(x) =$ $2 x \cdot e^{x + 3} + x^{2} \cdot e^{x + 3} \cdot 1$

= $2 x \cdot e^{x + 3} + x^{2} \cdot e^{x + 3}$

= $e^{x + 3} \cdot (x^{2} + 2 x)$

= $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x + 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 34-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{1,15 x}$

f'(x) = $4 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $4,6 e^{1,15 x}$

f''(x) = $4,6 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $5,29 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $5,29 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,0835 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $6,0835 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $6,996 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 34-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 34 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{34}$

Somit gilt für die 34-te Ableitung:

f⁽³⁴⁾(x) = ${1,15}^{34} \cdot 4 e^{1,15 x}$

≈ $463,219 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} - 7$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$

= $e^{- 0,4 x} + (x - 2) \cdot (- 0,4 e^{- 0,4 x})$

= $e^{- 0,4 x} - 0,4 (x - 2) \cdot e^{- 0,4 x}$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (1 - 0,4 x + 0,8)$

= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4 x + 1,8)$

= $(- 0,4 x + 1,8) \cdot e^{- 0,4 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten