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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{4} e^{\frac{6}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 + \frac{7}{4} e^{\frac{6}{7} x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{7}{4} e^{\frac{6}{7} x} \cdot \frac{6}{7}$

= $\frac{3}{2} e^{\frac{6}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x - 3 e^{- x - 2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x - 3 e^{- x - 2}$

$f'(x) =$ $5 - 3 e^{- x - 2} \cdot (- 1)$

= $5 + 3 e^{- x - 2}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- 2 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

$f'(x) =$ $(- 8 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{3 x} \cdot 3$

= $(- 8 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + (- 2 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot 3 e^{3 x}$

= $(- 8 x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{3 x} + 3 (- 2 x^{4} + 3 x^{3}) \cdot e^{3 x}$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} + 9 x^{3} + (- 8 x^{3} + 9 x^{2}))$

= $e^{3 x} \cdot (- 6 x^{4} + x^{3} + 9 x^{2})$

= $(- 6 x^{4} + x^{3} + 9 x^{2}) \cdot e^{3 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (2 x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{2 x} \cdot 2$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x + 1)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \cdot \sin (- x + 1)$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- x + 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $3 \cdot \cos (- x + 1) \cdot (- 1)$

= $- 3 \cdot \cos (- x + 1)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $4 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4 e^{x}$

f'(x) = $4 e^{x}$

f''(x) = $4 e^{x}$

f'''(x) = $4 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $4 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $4 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} - 6$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,2 x} - 2 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x} \cdot (- 0,2) + 0$

= $- 2 e^{- 0,2 x} - 2 (x - 4) \cdot (- 0,2 e^{- 0,2 x})$

= $- 2 e^{- 0,2 x} + 0,4 (x - 4) \cdot e^{- 0,2 x}$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (- 2 + 0,4 x - 1,6)$

= $e^{- 0,2 x} \cdot (0,4 x - 3,6)$

= $(0,4 x - 3,6) \cdot e^{- 0,2 x}$