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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 + \frac{9}{7} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 + \frac{9}{7} e^{x}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{9}{7} e^{x}$

= $\frac{9}{7} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

$f'(x) =$ $(2 x + 2) \cdot e^{- 2 x - 4} + (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2)$

= $(2 x + 2) \cdot e^{- 2 x - 4} + (x^{2} + 2 x) \cdot (- 2 e^{- 2 x - 4})$

= $(2 x + 2) \cdot e^{- 2 x - 4} - 2 (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 2 x - 4}$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2 x^{2} - 4 x + 2 x + 2)$

= $e^{- 2 x - 4} \cdot (- 2 x^{2} - 2 x + 2)$

= $(- 2 x^{2} - 2 x + 2) \cdot e^{- 2 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (x + 1) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $e^{- 2 x} + (x + 1) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $e^{- 2 x} - 2 (x + 1) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (1 - 2 x - 2)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x - 1)$

= $(- 2 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $8 \ln (x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $8 \ln (x)$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x} \cdot 1$

= $\frac{8}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 1) \cdot e^{2 x} \cdot 2$

= $2 x \cdot e^{2 x} + (x^{2} - 1) \cdot 2 e^{2 x}$

= $2 x \cdot e^{2 x} + 2 (x^{2} - 1) \cdot e^{2 x}$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} - 2 + 2 x)$

= $e^{2 x} \cdot (2 x^{2} + 2 x - 2)$

= $(2 x^{2} + 2 x - 2) \cdot e^{2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 75-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 75-te Ableitung:

f⁽⁷⁵⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 75)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} + 3$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + 4 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $4 e^{- 0,7 x} + 4 (x - 5) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $4 e^{- 0,7 x} - 2,8 (x - 5) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (4 - 2,8 x + 14)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 2,8 x + 18)$

= $(- 2,8 x + 18) \cdot e^{- 0,7 x}$

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e-Funktionen einfach

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e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

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Höhere Ableitungen e-Funkt'n

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