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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{\frac{8}{7} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{\frac{8}{7} x}$

$f'(x) =$ $3 e^{\frac{8}{7} x} \cdot \frac{8}{7}$

= $\frac{24}{7} e^{\frac{8}{7} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} - e^{x + 5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 x^{3} - e^{x + 5}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{2} - e^{x + 5} \cdot 1$

= $- 12 x^{2} - e^{x + 5}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4}$

$f'(x) =$ $e^{3 x^{3} - 4} \cdot 9 x^{2}$

= $9 \cdot e^{3 x^{3} - 4} x^{2}$

= $9 x^{2} e^{3 x^{3} - 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \ln (6 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \ln (6 x)$

$f'(x) =$ $\frac{2}{6 x} \cdot 6$

= $\frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \sin (x^{3})$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(2 x - 3) \cdot \sin (x^{3})$

$f'(x) =$ $(2 + 0) \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 3) \cdot \cos (x^{3}) \cdot 3 x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + (2 x - 3) \cdot 3 \cos (x^{3}) x^{2}$

= $2 \cdot \sin (x^{3}) + 3 (2 x - 3) \cos (x^{3}) x^{2}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 79-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 79-te Ableitung:

f⁽⁷⁹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 79)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9 x$

$f'(x) =$ $5 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,5 x} + 5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} \cdot (- 0,5) + 9$

= $5 e^{- 0,5 x} + 5 (x + 3) \cdot (- 0,5 e^{- 0,5 x}) + 9$

= $5 e^{- 0,5 x} - 2,5 (x + 3) \cdot e^{- 0,5 x} + 9$

= $e^{- 0,5 x} \cdot (5 - 2,5 x - 7,5) + 9$

= $9 + (- 2,5 x + 5 - 7,5) \cdot e^{- 0,5 x}$

= $9 + (- 2,5 x - 2,5) \cdot e^{- 0,5 x}$