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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{5}{8} x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 - 2 e^{\frac{5}{8} x}$

$f'(x) =$ $0 - 2 e^{\frac{5}{8} x} \cdot \frac{5}{8}$

= $- \frac{5}{4} e^{\frac{5}{8} x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} x^{5}$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot x^{5} + e^{- x} \cdot 5 x^{4}$

= $- e^{- x} x^{5} + 5 \cdot e^{- x} x^{4}$

= $e^{- x} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 3}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 2 x^{2} - 3} \cdot (- 4 x)$

= $- 12 \cdot e^{- 2 x^{2} - 3} x$

= $- 12 x e^{- 2 x^{2} - 3}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 4)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (- 2 x^{3} - 4)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2} + 0)$

= $\frac{1}{- 2 x^{3} - 4} \cdot (- 6 x^{2})$

= $- 6 \frac{x^{2}}{- 2 x^{3} - 4}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} + 5)}^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(e^{- x} + 5)}^{5}$

$f'(x) =$ $- 15 {(e^{- x} + 5)}^{4} \cdot (e^{- x} \cdot (- 1) + 0)$

= $- 15 {(e^{- x} + 5)}^{4} \cdot (- e^{- x})$

= $15 {(e^{- x} + 5)}^{4} \cdot e^{- x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 62-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 62-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 62 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{62}$

Somit gilt für die 62-te Ableitung:

f⁽⁶²⁾(x) = ${(- 1,05)}^{62} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $20,594 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} + 8$

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,7 x} + (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7) + 0$

= $e^{- 0,7 x} + (x + 3) \cdot (- 0,7 e^{- 0,7 x})$

= $e^{- 0,7 x} - 0,7 (x + 3) \cdot e^{- 0,7 x}$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (1 - 0,7 x - 2,1)$

= $e^{- 0,7 x} \cdot (- 0,7 x - 1,1)$

= $(- 0,7 x - 1,1) \cdot e^{- 0,7 x}$