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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $- e^{- 2 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{2 x + 2} + 3 x^{5} + \frac{7}{3 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{2 x + 2} + 3 x^{5} + \frac{7}{3 x^{3}}$

= $3 e^{2 x + 2} + 3 x^{5} + \frac{7}{3} x^{- 3}$

=> f'(x) = $3 e^{2 x + 2} \cdot 2 + 15 x^{4} - 7 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{2 x + 2} \cdot 2 + 15 x^{4} - \frac{7}{x^{4}}$

= $6 e^{2 x + 2} + 15 x^{4} - \frac{7}{x^{4}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 3)$

$f'(x) =$ $e^{2 x} \cdot 2 \cdot (- 5 x^{5} - 3) + e^{2 x} \cdot (- 25 x^{4} + 0)$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 3) + e^{2 x} \cdot (- 25 x^{4})$

= $2 \cdot e^{2 x} \cdot (- 5 x^{5} - 3) - 25 \cdot e^{2 x} x^{4}$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} - 6 - 25 x^{4})$

= $e^{2 x} \cdot (- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 6)$

= $(- 10 x^{5} - 25 x^{4} - 6) \cdot e^{2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 3}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{3}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(x^{2} - 4) \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 4) \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) + (x^{2} - 4) \cdot (- 2 \cdot \cos (- 2 x))$

= $2 x \cdot \sin (- 2 x) - 2 (x^{2} - 4) \cdot \cos (- 2 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 81-te Ableitung der Funktion f(x)= $x \cdot e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $x \cdot e^{x}$

f'(x) = $1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}$ = $e^{x} \cdot (x + 1)$

f''(x) = $e^{x} \cdot (x + 1) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 2)$

f'''(x) = $e^{x} \cdot (x + 2) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 3)$

f⁽⁴⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 3) + e^{x} \cdot (1 + 0)$ = $e^{x} \cdot (x + 4)$

...

Wir erkennen, dass mit jeder Ableitung die hintere Zahl in der Klammer um 1 wächst.

Somit gilt für die 81-te Ableitung:

f⁽⁸¹⁾(x) = $e^{x} \cdot (x + 81)$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 7 x$

$f'(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} + 3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 7$

= $3 e^{- 0,3 x} + 3 (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) + 7$

= $3 e^{- 0,3 x} - 0,9 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} + 7$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (3 - 0,9 x - 5,4) + 7$

= $7 + (- 0,9 x + 3 - 5,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $7 + (- 0,9 x - 2,4) \cdot e^{- 0,3 x}$

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