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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 - e^{- x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 - e^{- x}$

$f'(x) =$ $0 - e^{- x} \cdot (- 1)$

= $e^{- x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{5 x - 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{5 x - 4}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{5 x - 4} + (3 x + 4) \cdot e^{5 x - 4} \cdot 5$

= $3 e^{5 x - 4} + (3 x + 4) \cdot 5 e^{5 x - 4}$

= $3 e^{5 x - 4} + 5 (3 x + 4) \cdot e^{5 x - 4}$

= $e^{5 x - 4} \cdot (3 + 15 x + 20)$

= $e^{5 x - 4} \cdot (15 x + 23)$

= $(15 x + 23) \cdot e^{5 x - 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $e^{- x} \cdot (3 x^{4} - 5)$

$f'(x) =$ $e^{- x} \cdot (- 1) \cdot (3 x^{4} - 5) + e^{- x} \cdot (12 x^{3} + 0)$

= $- e^{- x} (3 x^{4} - 5) + e^{- x} \cdot (12 x^{3})$

= $- e^{- x} (3 x^{4} - 5) + 12 \cdot e^{- x} x^{3}$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 5 + 12 x^{3})$

= $e^{- x} \cdot (- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 5)$

= $(- 3 x^{4} + 12 x^{3} + 5) \cdot e^{- x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x - 2)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x - 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x - 2} \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{2 x - 2} \cdot (2)$

= $\frac{2}{2 x - 2}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{- 2 x} + (3 x - 6) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $3 e^{- 2 x} + (3 x - 6) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $3 e^{- 2 x} - 2 (3 x - 6) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (3 - 6 x + 12)$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 6 x + 15)$

= $(- 6 x + 15) \cdot e^{- 2 x}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 95-te Ableitung der Funktion f(x)= $- 2 e^{- x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $- 2 e^{- x}$

f'(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f''(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

f'''(x) = $- 2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $2 e^{- x}$

f⁽⁴⁾(x) = $2 e^{- x} \cdot (- 1)$ = $- 2 e^{- x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung bis auf das Vorzeichen gleich bleibt. Dabei ist der Koeffizient immer bei den geraden Ableitungen negativ, bei den ungeraden positiv .

Somit gilt für die 95-te Ableitung:

f⁽⁹⁵⁾(x) = $2 e^{- x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} + 5$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - 2 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) + 0$

= $- 2 e^{- 0,3 x} - 2 (x + 5) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x})$

= $- 2 e^{- 0,3 x} + 0,6 (x + 5) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 2 + 0,6 x + 3)$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (0,6 x + 1)$

= $(0,6 x + 1) \cdot e^{- 0,3 x}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

e-Funktionen einfach

Ableiten e-Funktionen (BF)

e-Funktionen ableiten

Ableiten ln-Funktion

Ableiten (mit allem) LF

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

typischen Anwendungsterm ableiten