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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $3 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 9 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1)$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} + x^{5} \cdot (- e^{- x + 4})$

= $5 x^{4} \cdot e^{- x + 4} - x^{5} \cdot e^{- x + 4}$

= $e^{- x + 4} \cdot (- x^{5} + 5 x^{4})$

= $(- x^{5} + 5 x^{4}) \cdot e^{- x + 4}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x + 4})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x + 4} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x + 4}$

= $e^{- 2 x + 4} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 3)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\ln (2 x^{2} + 3)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2} + 3} \cdot (4 x + 0)$

= $\frac{1}{2 x^{2} + 3} \cdot (4 x)$

= $4 \frac{x}{2 x^{2} + 3}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(3 x + 7) \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot \sin (- 3 x) + (3 x + 7) \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) + (3 x + 7) \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $3 \cdot \sin (- 3 x) - 3 (3 x + 7) \cdot \cos (- 3 x)$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 80-te Ableitung der Funktion f(x)= $5 e^{x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $5 e^{x}$

f'(x) = $5 e^{x}$

f''(x) = $5 e^{x}$

f'''(x) = $5 e^{x}$

f⁽⁴⁾(x) = $5 e^{x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung gleich bleibt.

Somit gilt für die 80-te Ableitung:

f⁽⁸⁰⁾(x) = $5 e^{x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} - 5$

$f'(x) =$ $2 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) + 0$

= $2 e^{- 0,9 x} + 2 (x - 2) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x})$

= $2 e^{- 0,9 x} - 1,8 (x - 2) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (2 - 1,8 x + 3,6)$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (- 1,8 x + 5,6)$

= $(- 1,8 x + 5,6) \cdot e^{- 0,9 x}$