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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{9} e^{x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} + x^{4} \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $4 x^{3} \cdot e^{- 2 x} - 2 x^{4} \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (- 2 x^{4} + 4 x^{3})$

= $(- 2 x^{4} + 4 x^{3}) \cdot e^{- 2 x}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $(- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

$f'(x) =$ $(- 3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$

= $(- 3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 2 x} + (- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot (- 2 e^{- 2 x})$

= $(- 3 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 2 x} - 2 (- x^{3} + 4 x^{2}) \cdot e^{- 2 x}$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 8 x^{2} + (- 3 x^{2} + 8 x))$

= $e^{- 2 x} \cdot (2 x^{3} - 11 x^{2} + 8 x)$

= $(2 x^{3} - 11 x^{2} + 8 x) \cdot e^{- 2 x}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{- 2}{3 x} \cdot 3$

= $- \frac{2}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 3}$

= $x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x - 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} \cdot e^{- 2 x - 3} + x^{\frac{1}{3}} \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} \cdot e^{- 2 x - 3} + \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 3} \cdot (- 2)$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x - 3}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot (- 2 e^{- 2 x - 3})$

= $\frac{1}{3} \frac{e^{- 2 x - 3}}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} \cdot e^{- 2 x - 3}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 77-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{- 1,05 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{- 1,05 x}$

f'(x) = $e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,05 e^{- 1,05 x}$

f''(x) = $- 1,05 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,1025 e^{- 1,05 x}$

f'''(x) = $1,1025 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $- 1,1576 e^{- 1,05 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $- 1,1576 e^{- 1,05 x} \cdot (- 1,05)$ = $1,2155 e^{- 1,05 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $- 1,05$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $- 1,05$ multipliziert, also insgeamt mit ${(- 1,05)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${(- 1,05)}^{77} \cdot e^{- 1,05 x}$

≈ $- 42,813 e^{- 1,05 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 4 x$

$f'(x) =$ $- (1 + 0) \cdot e^{- 0,3 x} - (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} \cdot (- 0,3) - 4$

= $- e^{- 0,3 x} - (x + 6) \cdot (- 0,3 e^{- 0,3 x}) - 4$

= $- e^{- 0,3 x} + 0,3 (x + 6) \cdot e^{- 0,3 x} - 4$

= $e^{- 0,3 x} \cdot (- 1 + 0,3 x + 1,8) - 4$

= $- 4 + (0,3 x - 1 + 1,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

= $- 4 + (0,3 x + 0,8) \cdot e^{- 0,3 x}$

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