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e-Funktionen einfach

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 e^{- 3 x}$

$f'(x) =$ $2 e^{- 3 x} \cdot (- 3)$

= $- 6 e^{- 3 x}$

Ableiten e-Funktionen (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - e^{- x - 2} + \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3} - e^{- x - 2} + \sqrt[3]{x}$

= $- \frac{1}{3} x^{3} - e^{- x - 2} + x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- x^{2} - e^{- x - 2} \cdot (- 1) + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $- x^{2} - e^{- x - 2} \cdot (- 1) + \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

= $- x^{2} + e^{- x - 2} + \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

e-Funktionen ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 4}$

$f'(x) =$ $3 e^{3 x^{2} + 4} \cdot 6 x$

= $18 \cdot e^{3 x^{2} + 4} x$

= $18 x e^{3 x^{2} + 4}$

Ableiten ln-Funktion

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \ln (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \ln (3 x)$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x} \cdot 3$

= $\frac{7}{x}$

Ableiten (mit allem) LF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{- 3 x - 1}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{- 3 x - 1}$

= $3 {(- 3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} {(- 3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 3 + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3 + 0)$

= $\frac{3}{2 \sqrt{- 3 x - 1}} \cdot (- 3)$

= $- \frac{9}{2 \sqrt{- 3 x - 1}}$

Höhere Ableitungen e-Funkt'n

Beispiel:

Bestimme die 43-te Ableitung der Funktion f(x)= $e^{1,15 x}$ .

Lösung einblenden

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $e^{1,15 x}$

f'(x) = $e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,15 e^{1,15 x}$

f''(x) = $1,15 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,3225 e^{1,15 x}$

f'''(x) = $1,3225 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,5209 e^{1,15 x}$

f⁽⁴⁾(x) = $1,5209 e^{1,15 x} \cdot 1,15$ = $1,749 e^{1,15 x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $1,15$ multipliziert wird. Bei der 43-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 43 mal mit $1,15$ multipliziert, also insgeamt mit ${1,15}^{43}$

Somit gilt für die 43-te Ableitung:

f⁽⁴³⁾(x) = ${1,15}^{43} \cdot e^{1,15 x}$

≈ $407,387 e^{1,15 x}$

typischen Anwendungsterm ableiten

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 7 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,9 x} + 4 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} \cdot (- 0,9) - 7$

= $4 e^{- 0,9 x} + 4 (x - 3) \cdot (- 0,9 e^{- 0,9 x}) - 7$

= $4 e^{- 0,9 x} - 3,6 (x - 3) \cdot e^{- 0,9 x} - 7$

= $e^{- 0,9 x} \cdot (4 - 3,6 x + 10,8) - 7$

= $- 7 + (- 3,6 x + 4 + 10,8) \cdot e^{- 0,9 x}$

= $- 7 + (- 3,6 x + 14,8) \cdot e^{- 0,9 x}$