Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x) - \frac{2}{7}$

Lösung einblenden

$- 2 \ln (x) - \frac{2}{7}$	=	0	\| $+ \frac{2}{7}$
$- 2 \ln (x)$	=	$\frac{2}{7}$	\|: $(- 2)$
$\ln (x)$	=	$- \frac{1}{7}$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{\sqrt[7]{e}}

L={ $\frac{1}{\sqrt[7]{e}}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $3$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{3}{2} x \cdot e^{t x} + 3 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $3$ ) in f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x \cdot e^{t x} + 3 t$ :

$3$ = f( $0$ )

$3$ = $- \frac{3}{2} \cdot (0) \cdot e^{t \cdot (0)} + 3 t$

$3$ = $- \frac{3}{2} \cdot (0) \cdot e^{0} + 3 t$

$3$ = $- \frac{3}{2} \cdot (0) \cdot 1 + 3 t$

$3$ = $0 + 3 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $3 t$ = $3$ nach t auflösen.

$3 t$	=	$3$	\|: $3$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 30

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }