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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x + 7}$ = $e$

Lösung einblenden

$e^{3 x + 7}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x + 7}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x + 7$	=	$1$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{- x}$ = $- e^{- 6 x}$

Lösung einblenden

$- 7 e^{- x}$	=	$- e^{- 6 x}$	\| $+ e^{- 6 x}$
$- 7 e^{- x} + e^{- 6 x}$	=	0
$(- 7 e^{5 x} + 1) e^{- 6 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{5 x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 7 e^{5 x}$	=	$- 1$	\|: $- 7$
$e^{5 x}$	=	$\frac{1}{7}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{1}{7})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{7})$	≈ -0.3892

2. Fall:

e^{- 6 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{7})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $2 e^{t x - 2 t} + 4 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ |0) in f mit $f(x) =$ $2 e^{t x - 2 t} + 4 t$ :

0 = f( $2$ )

0 = $2 e^{t \cdot 2 - 2 t} + 4 t$

0 = $2 e^{2 t - 2 t} + 4 t$

0 = $2 e^{0} + 4 t$

0 = $2 + 4 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $4 t + 2$ = 0 nach t auflösen.

$4 t + 2$	=	0	\| $- 2$
$4 t$	=	$- 2$	\|: $4$
$t$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t= $- \frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 21$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 21

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }