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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $6$

$2 \cdot 3^{x}$	=	$6$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

=

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 19 \cdot 3^{2 x - 2} + 27$ = $- 2 \cdot 3^{2 x}$

Lösung einblenden

$- 19 \cdot 3^{2 x - 2} + 27$ = $- 2 \cdot 3^{2 x}$ | $+ 2 \cdot 3^{2 x}$ $- 27$

$- 19 \cdot 3^{2 x - 2} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 27$

Wir müssen $- 19 \cdot 3^{2 x - 2}$ in $- 19 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 19 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 27$

$- \frac{19}{9} \cdot 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 27$ | ⋅ 9

$- 19 \cdot 3^{2 x} + 18 \cdot 3^{2 x}$ = $- 243$

$- 3^{2 x}$	=	$- 243$	\|: $- 1$
$3^{2 x}$	=	$243$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	$\lg (243)$
$2 x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (243)$	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (243)}{\lg (3)}$

$2 x$	=	$5$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

L={ $\frac{5}{2}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- \frac{5}{2}$ ) und B(2| $- \frac{25}{2}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{5}{2}$ ) und B(2| $- \frac{25}{2}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{5}{2}$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{25}{2}$ = $c \cdot a^{2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- \frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{25}{2}$ = $- \frac{5}{2 a} \cdot a^{2}$

also

II: $- \frac{25}{2}$ = $- \frac{5}{2} a$

$- \frac{5}{2} a$	=	$- \frac{25}{2}$	\|⋅ 2
$- 5 a$	=	$- 25$	\|:( $- 5$ )
$a$	=	$5$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 5^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 18$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):