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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 5 x = -2

Lösung einblenden
2 5 x = -2 |:2
5 x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

5 x muss immer >0 sein und kann daher nicht = -1 sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 5 x -50 5 2x = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man -50 5 2x in -50 5 2x = -50 5 x + x = -50 5 x · 5 x auf::

-50 5 2x +2 5 x = 0

-50 5 x + x +2 5 x = 0

-50 5 x · 5 x +2 5 x = 0

5 x ( 2 -50 5 x ) = 0
5 x ( -50 5 x +2 ) = 0
( -50 5 x +2 ) · 5 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-50 5 x +2 = 0 | -2
-50 5 x = -2 |:-50
5 x = 1 25 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 1 25 )
x · lg( 5 ) = lg( 1 25 ) |: lg( 5 )
x1 = lg( 1 25 ) lg( 5 )
x1 = -2

2. Fall:

5 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ -2 }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 99 1,4 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 99

f(1) = 99 1,4

f(2) = 99 1,41,4

f(3) = 99 1,41,41,4

f(4) = 99 1,41,41,41,4

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,4 multipliziert. Da 1,4 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,4-fache, also auf 140 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -8 e x +12 = 0

Lösung einblenden
e 2x -8 e x +12 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 12 21

u1,2 = +8 ± 64 -48 2

u1,2 = +8 ± 16 2

u1 = 8 + 16 2 = 8 +4 2 = 12 2 = 6

u2 = 8 - 16 2 = 8 -4 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 12 = 16 - 12 = 4

x1,2 = 4 ± 4

x1 = 4 - 2 = 2

x2 = 4 + 2 = 6

Rücksubstitution:

u1: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x1 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

u2: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x2 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

L={ ln( 2 ) ; ln( 6 ) }