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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{3 x}$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- 3 e^{3 x}$	=	$- 4$	\|: $- 3$
$e^{3 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.0959

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{3 x}$ = $- 7 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$- 3 e^{3 x}$	=	$- 7 e^{2 x}$	\| $+ 7 e^{2 x}$
$- 3 e^{3 x} + 7 e^{2 x}$	=	0
$(- 3 e^{x} + 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 3 e^{x}$	=	$- 7$	\|: $- 3$
$e^{x}$	=	$\frac{7}{3}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{7}{3})$	≈ 0.8473

2. Fall:

e^{2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{7}{3})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$ ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.26( $2$ ) ≈ 3 Stunden

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 7 e^{x} + 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 7 e^{x} + 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $2 \ln (2)$ }