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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $32$

$2 \cdot 4^{x}$	=	$32$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{2 x + 1} - 6 \cdot 4^{2 x}$ = $- 32$

Lösung einblenden

$4^{2 x + 1} - 6 \cdot 4^{2 x}$ = $- 32$

Wir müssen $4^{2 x + 1}$ in $4^{2 x} \cdot 4$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$4^{2 x} \cdot 4 - 6 \cdot 4^{2 x}$ = $- 32$

$4 \cdot 4^{2 x} - 6 \cdot 4^{2 x}$ = $- 32$

$- 2 \cdot 4^{2 x}$	=	$- 32$	\|: $- 2$
$4^{2 x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (16)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 4 x \cdot e^{- 2 t x - 4 t} + 16 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ |0) in f mit $f(x) =$ $- 4 x \cdot e^{- 2 t x - 4 t} + 16 t$ :

0 = f( $- 2$ )

0 = $- 4 \cdot (- 2) \cdot e^{- 2 t \cdot (- 2) - 4 t} + 16 t$

0 = $- 4 \cdot (- 2) \cdot e^{4 t - 4 t} + 16 t$

0 = $- 4 \cdot (- 2) \cdot e^{0} + 16 t$

0 = $- 4 \cdot (- 2) \cdot 1 + 16 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $16 t + 8$ = 0 nach t auflösen.

$16 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$16 t$	=	$- 8$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t= $- \frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 5 e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):