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cosh
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Exponentialgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |lg(⋅) | ||
| = | ≈ 0.9031 |
L={ }
Exponentialgl. mit 2 e-Termen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ -1.0986 |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 10.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10.9% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,891 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,891.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.891() ≈ 6.01 Tage
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
≈ 0.6486 |
u2:
|
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
