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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 4}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

$e^{x - 4}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 4}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 \cdot 4^{x} + 12$ = $- 4^{x + 1}$

Lösung einblenden

$- 7 \cdot 4^{x} + 12$ = $- 4^{x + 1}$ | $+ 4^{x + 1}$ $- 12$

$4^{x + 1} - 7 \cdot 4^{x}$ = $- 12$

Wir müssen $4^{x + 1}$ in $4^{x} \cdot 4$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$4^{x} \cdot 4 - 7 \cdot 4^{x}$ = $- 12$

$4 \cdot 4^{x} - 7 \cdot 4^{x}$ = $- 12$

$- 3 \cdot 4^{x}$	=	$- 12$	\|: $- 3$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

=

1

L={ $1$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- 1$ ) und B(-2| $- \frac{1}{25}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- 1$ ) und B(-2| $- \frac{1}{25}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{1}{25}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{25}$ = $- a^{- 2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{2}$ weg!

$- \frac{1}{a^{2}}$	=	$- \frac{1}{25}$	\|⋅( $a^{2}$ )
$- \frac{1}{a^{2}} \cdot a^{2}$	=	$- \frac{1}{25} \cdot a^{2}$
$- 1$	=	$- \frac{1}{25} a^{2}$

$- 1$	=	$- \frac{1}{25} a^{2}$	\| $+ 1$ $+ \frac{1}{25} a^{2}$
$\frac{1}{25} a^{2}$	=	$1$	\|⋅ $25$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 5^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - e^{2 x} - 42$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - e^{2 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution