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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 2}$ = $e^{2}$

Lösung einblenden

$e^{x + 2}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x$	=	0

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 e^{x}$	=	$4$	\|: $5$
$e^{x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$x$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	≈ -0.2231

L={ $\ln (\frac{4}{5})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $- 33$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x \cdot e^{- t x + 2 t} - 9 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $- 33$ ) in f mit $f(x) =$ $- 3 x \cdot e^{- t x + 2 t} - 9 t$ :

$- 33$ = f( $2$ )

$- 33$ = $- 3 \cdot 2 \cdot e^{- t \cdot 2 + 2 t} - 9 t$

$- 33$ = $- 3 \cdot 2 \cdot e^{- 2 t + 2 t} - 9 t$

$- 33$ = $- 3 \cdot 2 \cdot e^{0} - 9 t$

$- 33$ = $- 3 \cdot 2 \cdot 1 - 9 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 9 t - 6$ = $- 33$ nach t auflösen.

$- 9 t - 6$	=	$- 33$	\| $+ 6$
$- 9 t$	=	$- 27$	\|:( $- 9$ )
$t$	=	$3$

Für t= $3$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }