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cosh
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Exponentialgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
L={ }
Im Idealfall erkennt man bereits:
= 16
=
und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.
Exponentialgl. mit 2 e-Termen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | | ||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ -0.3466 |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,8% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.
Die prozentuale Abnahme um 6.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.8% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,932 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,932.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.932() ≈ 9.84 Tage
Exponentialgl. Substitution BF
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.9459 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x2 | = | ≈ 1.9459 |
L={ }
ist 2-fache Lösung!
