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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{- 5 x}$ = 0

$7 e^{- 5 x}$	=	$0$	\|: $7$
$e^{- 5 x}$	=	$0$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{x}$ = $- 4 e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$- 7 e^{x}$	=	$- 4 e^{- 2 x}$	\| $+ 4 e^{- 2 x}$
$- 7 e^{x} + 4 e^{- 2 x}$	=	0
$(- 7 e^{3 x} + 4) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{3 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 7 e^{3 x}$	=	$- 4$	\|: $- 7$
$e^{3 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{7})$	≈ -0.1865

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{7})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-3| $- \frac{4}{81}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-3| $- \frac{4}{81}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{4}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{4}{81}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{4}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{4}{81}$ = $- \frac{4}{3} a^{- 3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{4}{3 a^{3}}$	=	$- \frac{4}{81}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{4}{3 a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{4}{81} \cdot a^{3}$
$- \frac{4}{3}$	=	$- \frac{4}{81} a^{3}$

$- \frac{4}{3}$	=	$- \frac{4}{81} a^{3}$	\| $+ \frac{4}{3}$ $+ \frac{4}{81} a^{3}$
$\frac{4}{81} a^{3}$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅ $\frac{81}{4}$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} + 4 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} + 4) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):