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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x} - 5$ = $3$

Lösung einblenden

$2^{x} - 5$	=	$3$	\| $+ 5$
$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{x}$ = $7 e^{- x}$

Lösung einblenden

$4 e^{x}$	=	$7 e^{- x}$	\| $- 7 e^{- x}$
$4 e^{x} - 7 e^{- x}$	=	0
$(4 e^{2 x} - 7) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{2 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$4 e^{2 x}$	=	$7$	\|: $4$
$e^{2 x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{4})$	≈ 0.2798

2. Fall:

e^{- x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{4})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $9$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $3 t e^{x} + 6$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $9$ ) in f mit $f(x) =$ $3 t e^{x} + 6$ :

$9$ = f( $0$ )

$9$ = $3 t e^{0} + 6$

$9$ = $3 t + 6$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $3 t + 6$ = $9$ nach t auflösen.

$3 t + 6$	=	$9$	\| $- 6$
$3 t$	=	$3$	\|: $3$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 4

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }