Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
L={
Im Idealfall erkennt man bereits:
= 1
= 40
und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.
Nullstellen bei ln-Funktionen
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit
| = | | | ||
| = | |e(⋅) |
| = |
L={ }
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 1% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?
Die prozentuale Abnahme um 1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,99 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,99.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.99() ≈ 68.97 Jahre
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ 0.4621 | |
| x1 | = |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x2 | = | ≈ 0.4621 | |
| x2 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
ist 2-fache Lösung!
