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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{6 x}$ = 0

$- 6 e^{6 x}$	=	$0$	\|: $- 6$
$e^{6 x}$	=	$0$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 e^{4 x}$ = $- 3 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$- 8 e^{4 x}$	=	$- 3 e^{2 x}$	\| $+ 3 e^{2 x}$
$- 8 e^{4 x} + 3 e^{2 x}$	=	0
$(- 8 e^{2 x} + 3) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{2 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 8 e^{2 x}$	=	$- 3$	\|: $- 8$
$e^{2 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{8})$	≈ -0.4904

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{8})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $\frac{3}{4}$ ) und B(-3| $\frac{1}{36}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $\frac{3}{4}$ ) und B(-3| $\frac{1}{36}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{1}{36}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{36}$ = $\frac{3}{4} a^{- 3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$\frac{3}{4 a^{3}}$	=	$\frac{1}{36}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$\frac{3}{4 a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$\frac{1}{36} \cdot a^{3}$
$\frac{3}{4}$	=	$\frac{1}{36} a^{3}$

$\frac{3}{4}$	=	$\frac{1}{36} a^{3}$	\| $- \frac{3}{4}$ $- \frac{1}{36} a^{3}$
$- \frac{1}{36} a^{3}$	=	$- \frac{3}{4}$	\|⋅ $(- 36)$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):