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cosh
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Exponentialgl. elementar
Beispiel:
Löse die Gleichung ohne WTR: =
=
Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.
=
Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:
| = | |⋅ 2 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Exponentialgleichungen (schwer)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:
=
= | : :
=
=
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
L={ }
Term bestimmen (2 Punktproben)
Beispiel:
Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0|) und B(2|) auf dem Graphen der Funktion f mit (a>0) liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0|) und B(2|) in den Funktionsterm ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: =
II: =
Aus I ergibt sich ja sofort = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:
II: =
| = | |⋅ | ||
| = | | | ||
| a1 | = | = | |
| a2 | = | = |
Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.
Von oben (I) wissen wir bereits: = c
Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit:
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = 1
x2 = + = 3
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.0986 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x2 | = | ≈ 0 |
L={