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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6^{- 2 x + 1}$ = $\frac{1}{6}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$6^{- 2 x + 1}$ = $\frac{1}{6}$

$6^{- 2 x + 1}$ = $6^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 6.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- 2 x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- 2 x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 7$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 7$	=	0	\| $- 7$
$\ln (x)$	=	$- 7$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e^{7}}

L={ $\frac{1}{e^{7}}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 2$ ) und B(3| $- 18$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 2$ ) und B(3| $- 18$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $c \cdot a$
II: $- 18$ = $c \cdot a^{3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 18$ = $- \frac{2}{a} \cdot a^{3}$

also

II: $- 18$ = $- 2 a^{2}$

$- 2 a^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{2}{3} \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }