Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 e^{- 3 x} + 2$ = 0

Lösung einblenden

$- 8 e^{- 3 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 8 e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\|: $- 8$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $- 3$
$x$	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{4})$	≈ 0.4621

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{4})$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 \ln (x) + 20$

Lösung einblenden

$- 2 \ln (x) + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 2 \ln (x)$	=	$- 20$	\|: $(- 2)$
$\ln (x)$	=	$10$	\|e^(⋅)

x

e^{10}

L={ $e^{10}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $1$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $3 x \cdot e^{- t x + t} - 3 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $1$ |0) in f mit $f(x) =$ $3 x \cdot e^{- t x + t} - 3 t$ :

0 = f( $1$ )

0 = $3 \cdot 1 \cdot e^{- t \cdot 1 + t} - 3 t$

0 = $3 \cdot 1 \cdot e^{- t + t} - 3 t$

0 = $3 \cdot 1 \cdot e^{0} - 3 t$

0 = $3 \cdot 1 \cdot 1 - 3 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 3 t + 3$ = 0 nach t auflösen.

$- 3 t + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 t$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} + 6 - 7 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} + 6 - 7 e^{- x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 7 e^{- x} + 6$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 6 e^{x} - 7$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}