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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $1$

$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

=

0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{2 x + 1} + 16$ = $6 \cdot 2^{2 x}$

Lösung einblenden

$2^{2 x + 1} + 16$ = $6 \cdot 2^{2 x}$ | $- 6 \cdot 2^{2 x}$ $- 16$

$2^{2 x + 1} - 6 \cdot 2^{2 x}$ = $- 16$

Wir müssen $2^{2 x + 1}$ in $2^{2 x} \cdot 2$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2^{2 x} \cdot 2 - 6 \cdot 2^{2 x}$ = $- 16$

$2 \cdot 2^{2 x} - 6 \cdot 2^{2 x}$ = $- 16$

$- 4 \cdot 2^{2 x}$	=	$- 16$	\|: $- 4$
$2^{2 x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{2 x})$	=	$\lg (4)$
$2 x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $168 \cdot {0,85}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $168$

f(1) = $168$ ⋅ $0,85$

f(2) = $168$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(3) = $168$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

f(4) = $168$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$ ⋅ $0,85$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,85$ multipliziert. Da $0,85$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,85$ -fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 3 e^{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 3 e^{x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):