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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} - 3$ = $5$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$8$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

=

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 16

$2^{x}$ = $2^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{5 x}$ = $2 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$7 e^{5 x}$	=	$2 e^{2 x}$	\| $- 2 e^{2 x}$
$7 e^{5 x} - 2 e^{2 x}$	=	0
$(7 e^{3 x} - 2) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{3 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$7 e^{3 x}$	=	$2$	\|: $7$
$e^{3 x}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{2}{7})$	≈ -0.4176

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{2}{7})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- \frac{9}{2}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- \frac{9}{2}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{9}{2}$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{2}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{9}{2}$ = $- \frac{1}{2} a^{2}$

$- \frac{1}{2} a^{2}$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ $(- 2)$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):