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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $- 8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$- 8$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$- 16$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$4^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 16$ sein.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - \frac{1}{7}$

Lösung einblenden

$\ln (x) - \frac{1}{7}$	=	0	\| $+ \frac{1}{7}$
$\ln (x)$	=	$\frac{1}{7}$	\|e^(⋅)

x

\sqrt[7]{e}

L={ $\sqrt[7]{e}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $2$ ) und B(2| $8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $2$ ) und B(2| $8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $c \cdot a$
II: $8$ = $c \cdot a^{2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $8$ = $\frac{2}{a} \cdot a^{2}$

also

II: $8$ = $2 a$

$2 a$	=	$8$	\|: $2$
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 10

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }