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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x} + 1$ = $9$

Lösung einblenden

$2^{x} + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 10$

Lösung einblenden

$\ln (x) - 10$	=	0	\| $+ 10$
$\ln (x)$	=	$10$	\|e^(⋅)

x

e^{10}

L={ $e^{10}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{5}{2} x \cdot e^{2 t x + 4 t} + 10 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ |0) in f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} x \cdot e^{2 t x + 4 t} + 10 t$ :

0 = f( $- 2$ )

0 = $\frac{5}{2} \cdot (- 2) \cdot e^{2 t \cdot (- 2) + 4 t} + 10 t$

0 = $\frac{5}{2} \cdot (- 2) \cdot e^{- 4 t + 4 t} + 10 t$

0 = $\frac{5}{2} \cdot (- 2) \cdot e^{0} + 10 t$

0 = $\frac{5}{2} \cdot (- 2) \cdot 1 + 10 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $10 t - 5$ = 0 nach t auflösen.

$10 t - 5$	=	0	\| $+ 5$
$10 t$	=	$5$	\|: $10$
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t= $\frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }