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Kursstufe
cosh
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Exponentialgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= | |: | ||
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={}
muss immer >0 sein und kann daher nicht = sein.
Exponentialgleichungen (schwer)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
Zuerst spaltet man in = = auf::
=
=
=
= | |||
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
= | |: | ||
= | |lg(⋅) | ||
= | |||
= | |: | ||
x1 | = |
x1 | = |
2. Fall:
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?
f(0) =
f(1) = ⋅
f(2) = ⋅ ⋅
f(3) = ⋅ ⋅ ⋅
f(4) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit multipliziert. Da > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das -fache, also auf % des vorherigen Funktionswertes.
Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |ln(⋅) | |
x1 | = |
|
≈ 1.7918 |
u2:
|
= | |ln(⋅) | |
x2 | = |
|
≈ 0.6931 |
L={