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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x - \frac{17}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{3 x - \frac{17}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x - \frac{17}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x - \frac{17}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{17}{2})$	=	$1$
$6 x - 17$	=	$1$	\| $+ 17$
$6 x$	=	$18$	\|: $6$
$x$	=	$3$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 \cdot 4^{x} + 6 \cdot 6^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 5 \cdot 4^{x} + 6 \cdot 6^{x}$ = 0| $+ 5 \cdot 4^{x}$

$6 \cdot 6^{x}$ = $5 \cdot 4^{x}$ | : $6$ : $4^{x}$

$\frac{6^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{5}{6}$

${(\frac{6}{4})}^{x}$ = $\frac{5}{6}$

${(\frac{3}{2})}^{x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{3}{2})}^{x})$	=	$\lg (\frac{5}{6})$
$x \cdot \lg (\frac{3}{2})$	=	$\lg (\frac{5}{6})$	\|: $\lg (\frac{3}{2})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{6})}{\lg (\frac{3}{2})}$

x

=

- 0,4497

L={ $- 0,4497$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $- 1$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- t x \cdot e^{x - 2} + 1$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $- 1$ ) in f mit $f(x) =$ $- t x \cdot e^{x - 2} + 1$ :

$- 1$ = f( $2$ )

$- 1$ = $- t \cdot 2 \cdot e^{2 - 2} + 1$

$- 1$ = $- t \cdot 2 \cdot e^{0} + 1$

$- 1$ = $- t \cdot 2 \cdot 1 + 1$

$- 1$ = $- 2 t + 1$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 2 t + 1$ = $- 1$ nach t auflösen.

$- 2 t + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- 2 t$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 2 e^{x} - 35 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 2 e^{x} - 35 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):