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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-6 e 3x +7 = 0

Lösung einblenden
-6 e 3x +7 = 0 | -7
-6 e 3x = -7 |:-6
e 3x = 7 6 |ln(⋅)
3x = ln( 7 6 ) |:3
x = 1 3 ln( 7 6 ) ≈ 0.0514

L={ 1 3 ln( 7 6 ) }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit f(x)= ln( x ) +1

Lösung einblenden
ln( x ) +1 = 0 | -1
ln( x ) = -1 |e(⋅)
x = 1 e

L={ 1 e }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A(-1| 22 3 ) auf dem Graph der Funktion f mit ft(x)= -2 t x · e x +1 +4 ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(-1| 22 3 ) in f mit f(x)= -2 t x · e x +1 +4 :

22 3 = f(-1)

22 3 = -2 t · ( -1 ) · e -1 +1 +4

22 3 = -2 t · ( -1 ) · e 0 +4

22 3 = -2 t · ( -1 ) · 1 +4

22 3 = 2 t +4

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung 2t +4 = 22 3 nach t auflösen.

2t +4 = 22 3 | -4
2t = 10 3 |:2
t = 5 3

Für t= 5 3 liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 7x + e 4x -42 e x = 0

Lösung einblenden
e 7x + e 4x -42 e x = 0
( e 6x + e 3x -42 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 6x + e 3x -42 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 3x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -42 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -42 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +168 2

u1,2 = -1 ± 169 2

u1 = -1 + 169 2 = -1 +13 2 = 12 2 = 6

u2 = -1 - 169 2 = -1 -13 2 = -14 2 = -7

Rücksubstitution:

u1: e 3x = 6

e 3x = 6 |ln(⋅)
3x = ln( 6 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 6 ) ≈ 0.5973

u2: e 3x = -7

e 3x = -7

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 3 ln( 6 ) }