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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $- 162$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$- 162$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$- 81$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$3^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 81$ sein.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{- x}$ = $- 2 e^{- 6 x}$

Lösung einblenden

$- 5 e^{- x}$	=	$- 2 e^{- 6 x}$	\| $+ 2 e^{- 6 x}$
$- 5 e^{- x} + 2 e^{- 6 x}$	=	0
$(- 5 e^{5 x} + 2) e^{- 6 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{5 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 5 e^{5 x}$	=	$- 2$	\|: $- 5$
$e^{5 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$	≈ -0.1833

2. Fall:

e^{- 6 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $57 \cdot {0,95}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $0,95$

f(2) = $57$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(3) = $57$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(4) = $57$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,95$ multipliziert. Da $0,95$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,95$ -fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - 2 e^{- x} - 15 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 - 2 e^{- x} - 15 e^{- 2 x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 2 e^{- x} - 15 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 2 e^{x} - 15$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }