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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x - 7}$ = $\frac{1}{e}$

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$e^{3 x - 7}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x - 7}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x - 7$	=	$- 1$	\| $+ 7$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- \ln (x) - 5$

Lösung einblenden

$- \ln (x) - 5$	=	0	\| $+ 5$
$- \ln (x)$	=	$5$	\|: $(- 1)$
$\ln (x)$	=	$- 5$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e^{5}}

L={ $\frac{1}{e^{5}}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $15$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 5 e^{- 2 t x + 4 t} + 20 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $15$ ) in f mit $f(x) =$ $- 5 e^{- 2 t x + 4 t} + 20 t$ :

$15$ = f( $2$ )

$15$ = $- 5 e^{- 2 t \cdot 2 + 4 t} + 20 t$

$15$ = $- 5 e^{- 4 t + 4 t} + 20 t$

$15$ = $- 5 e^{0} + 20 t$

$15$ = $- 5 + 20 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $20 t - 5$ = $15$ nach t auflösen.

$20 t - 5$	=	$15$	\| $+ 5$
$20 t$	=	$20$	\|: $20$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }