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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $10$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{- x}$ = $- 6 e^{- 5 x}$

Lösung einblenden

$- 7 e^{- x}$	=	$- 6 e^{- 5 x}$	\| $+ 6 e^{- 5 x}$
$- 7 e^{- x} + 6 e^{- 5 x}$	=	0
$(- 7 e^{4 x} + 6) e^{- 5 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{4 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 7 e^{4 x}$	=	$- 6$	\|: $- 7$
$e^{4 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{6}{7})$	≈ -0.0385

2. Fall:

e^{- 5 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{6}{7})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 1$ | $- 1$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $e^{- t x - t} - 2 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 1$ | $- 1$ ) in f mit $f(x) =$ $e^{- t x - t} - 2 t$ :

$- 1$ = f( $- 1$ )

$- 1$ = $e^{- t \cdot (- 1) - t} - 2 t$

$- 1$ = $e^{t - t} - 2 t$

$- 1$ = $e^{0} - 2 t$

$- 1$ = $1 - 2 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 2 t + 1$ = $- 1$ nach t auflösen.

$- 2 t + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- 2 t$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 5 e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 5 e^{x} - 6

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }