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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 2}$ = $e^{2}$

$e^{x + 2}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x$	=	0

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{3 x} - 3 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$6 e^{3 x} - 3 e^{- x}$	=	0
$3 (2 e^{4 x} - 1) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{4 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$2 e^{4 x}$	=	$1$	\|: $2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.1733

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $\frac{2}{3}$ ) und B(-2| $\frac{2}{75}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $\frac{2}{3}$ ) und B(-2| $\frac{2}{75}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{2}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{2}{75}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{2}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{2}{75}$ = $\frac{2}{3} a^{- 2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{2}$ weg!

$\frac{2}{3 a^{2}}$	=	$\frac{2}{75}$	\|⋅( $a^{2}$ )
$\frac{2}{3 a^{2}} \cdot a^{2}$	=	$\frac{2}{75} \cdot a^{2}$
$\frac{2}{3}$	=	$\frac{2}{75} a^{2}$

$\frac{2}{3}$	=	$\frac{2}{75} a^{2}$	\| $- \frac{2}{3}$ $- \frac{2}{75} a^{2}$
$- \frac{2}{75} a^{2}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅ $(- \frac{75}{2})$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot 5^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):