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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x = 4

Lösung einblenden
4 x = 4 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = lg( 4 )
x · lg( 4 ) = lg( 4 ) |: lg( 4 )
x = lg( 4 ) lg( 4 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 4 x = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 e 3x = 5 e -x

Lösung einblenden
9 e 3x = 5 e -x | -5 e -x
9 e 3x -5 e -x = 0
( 9 e 4x -5 ) e -x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

9 e 4x -5 = 0 | +5
9 e 4x = 5 |:9
e 4x = 5 9 |ln(⋅)
4x = ln( 5 9 ) |:4
x1 = 1 4 ln( 5 9 ) ≈ -0.1469

2. Fall:

e -x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 4 ln( 5 9 ) }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 71 ( 26 25 ) t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 71

f(1) = 71 26 25

f(2) = 71 26 25 26 25

f(3) = 71 26 25 26 25 26 25

f(4) = 71 26 25 26 25 26 25 26 25

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 26 25 multipliziert. Da 26 25 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 26 25 -fache (oder auf das 104 100 -fache), also auf 104 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x + e x -6 = 0

Lösung einblenden
e 2x + e x -6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +24 2

u1,2 = -1 ± 25 2

u1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

u2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -3

e x = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }