Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{5 x} - 2) \cdot (x^{4} - 8 x^{3})$ = 0

(6 e^{5 x} - 2) (x^{4} - 8 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{5 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$6 e^{5 x}$	=	$2$	\|: $6$
$e^{5 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.2197

2. Fall:

$x^{4} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{3})$ ; 0; $8$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{2 x + 1} + 15$ = $8 \cdot 3^{2 x}$

Lösung einblenden

$3^{2 x + 1} + 15$ = $8 \cdot 3^{2 x}$ | $- 8 \cdot 3^{2 x}$ $- 15$

$3^{2 x + 1} - 8 \cdot 3^{2 x}$ = $- 15$

Wir müssen $3^{2 x + 1}$ in $3^{2 x} \cdot 3$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$3^{2 x} \cdot 3 - 8 \cdot 3^{2 x}$ = $- 15$

$3 \cdot 3^{2 x} - 8 \cdot 3^{2 x}$ = $- 15$

$- 5 \cdot 3^{2 x}$	=	$- 15$	\|: $- 5$
$3^{2 x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	$\lg (3)$
$2 x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 8.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,918 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,918.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.918( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.1 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 20$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):