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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} + 5,5$ = $18$

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} + 5,5$	=	$18$	\| $- 5,5$
$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$12,5$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{- x}$ = $- 4 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$- 5 e^{- x}$	=	$- 4 e^{- 3 x}$	\| $+ 4 e^{- 3 x}$
$- 5 e^{- x} + 4 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 5 e^{2 x} + 4) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{2 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 5 e^{2 x}$	=	$- 4$	\|: $- 5$
$e^{2 x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{5})$	≈ -0.1116

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{5})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 10.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,898 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,898.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.898( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.44 Tage

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):