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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{2 x}$ = $4$

Lösung einblenden

$9 e^{2 x}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{2 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.4055

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{4}{9})$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{2 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{2 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$5 e^{2 x}$	=	$6$	\|: $5$
$e^{2 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{6}{5})$	≈ 0.0912

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{6}{5})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $3 e^{t x - 2 t} + 3 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ |0) in f mit $f(x) =$ $3 e^{t x - 2 t} + 3 t$ :

0 = f( $2$ )

0 = $3 e^{t \cdot 2 - 2 t} + 3 t$

0 = $3 e^{2 t - 2 t} + 3 t$

0 = $3 e^{0} + 3 t$

0 = $3 + 3 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $3 t + 3$ = 0 nach t auflösen.

$3 t + 3$	=	0	\| $- 3$
$3 t$	=	$- 3$	\|: $3$
$t$	=	$- 1$

Für t= $- 1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 10 e^{x} + 21$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 10 e^{x} + 21

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (7)$ }