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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - \frac{1}{7}$

Lösung einblenden

$\ln (x) - \frac{1}{7}$	=	0	\| $+ \frac{1}{7}$
$\ln (x)$	=	$\frac{1}{7}$	\|e^(⋅)

x

\sqrt[7]{e}

L={ $\sqrt[7]{e}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $1$ | $\frac{35}{2}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{5}{2} e^{t x - t} + 5 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $1$ | $\frac{35}{2}$ ) in f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} e^{t x - t} + 5 t$ :

$\frac{35}{2}$ = f( $1$ )

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} e^{t \cdot 1 - t} + 5 t$

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} e^{t - t} + 5 t$

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} e^{0} + 5 t$

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} + 5 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $5 t + \frac{5}{2}$ = $\frac{35}{2}$ nach t auflösen.

$5 t + \frac{5}{2}$	=	$\frac{35}{2}$	\|⋅ 2
$2 (5 t + \frac{5}{2})$	=	$35$
$10 t + 5$	=	$35$	\| $- 5$
$10 t$	=	$30$	\|: $10$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 3

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }