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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $1$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$1$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

=

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} x - 4 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{x} x - 4 e^{x}$	=	0
$- 4 e^{x} + x \cdot e^{x}$	=	0
$(x - 4) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $- \frac{25}{6}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{5}{2} e^{- t x + 2 t} - 5 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $- \frac{25}{6}$ ) in f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2} e^{- t x + 2 t} - 5 t$ :

$- \frac{25}{6}$ = f( $2$ )

$- \frac{25}{6}$ = $- \frac{5}{2} e^{- t \cdot 2 + 2 t} - 5 t$

$- \frac{25}{6}$ = $- \frac{5}{2} e^{- 2 t + 2 t} - 5 t$

$- \frac{25}{6}$ = $- \frac{5}{2} e^{0} - 5 t$

$- \frac{25}{6}$ = $- \frac{5}{2} - 5 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 5 t - \frac{5}{2}$ = $- \frac{25}{6}$ nach t auflösen.

$- 5 t - \frac{5}{2}$	=	$- \frac{25}{6}$	\|⋅ 2
$2 (- 5 t - \frac{5}{2})$	=	$- \frac{25}{3}$
$- 10 t - 5$	=	$- \frac{25}{3}$	\| $+ 5$
$- 10 t$	=	$- \frac{10}{3}$	\|:( $- 10$ )
$t$	=	$\frac{1}{3}$

Für t= $\frac{1}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 20$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. vermischt

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):