Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{6 x} + 4) \cdot (x^{4} + 10 x^{3})$ = 0

(- e^{6 x} + 4) (x^{4} + 10 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{6 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- e^{6 x}$	=	$- 4$	\|: $- 1$
$e^{6 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (4)$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (4)$	≈ 0.231
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$

2. Fall:

$x^{4} + 10 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 10$	=	0	\| $- 10$
x₃	=	$- 10$

L={ $- 10$ ; 0; $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 7$

Lösung einblenden

$\ln (x) - 7$	=	0	\| $+ 7$
$\ln (x)$	=	$7$	\|e^(⋅)

x

=

e^{7}

L={ $e^{7}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- \frac{4}{3}$ ) und B(2| $- \frac{100}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- \frac{4}{3}$ ) und B(2| $- \frac{100}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{4}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{100}{3}$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{4}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{100}{3}$ = $- \frac{4}{3} a^{2}$

$- \frac{4}{3} a^{2}$	=	$- \frac{100}{3}$	\|⋅ $(- \frac{3}{4})$
$a^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
a₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{4}{3} \cdot 5^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 8 e^{4 x} + 7 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 8 e^{4 x} + 7 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Nullstellen bei ln-Funktionen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):