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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{2 x}$ = $- 7$

$- 5 e^{2 x}$	=	$- 7$	\|: $- 5$
$e^{2 x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 0.1682

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{7}{5})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 \cdot 3^{x} - 3 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 3 \cdot 3^{2 x}$ in $- 3 \cdot 3^{2 x}$ = $- 3 \cdot 3^{x + x}$ = $- 3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$- 3 \cdot 3^{2 x} + 9 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 3^{x + x} + 9 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} + 9 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} \cdot (- 3 \cdot 3^{x} + 9)$	=	0
$(- 3 \cdot 3^{x} + 9) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 \cdot 3^{x} + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 3 \cdot 3^{x}$	=	$- 9$	\|: $- 3$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x₁

=

1

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- 1$ ) und B(-4| $- \frac{1}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- 1$ ) und B(-4| $- \frac{1}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{1}{16}$ = $c \cdot a^{- 4}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{16}$ = $- a^{- 4}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{4}$ weg!

$- \frac{1}{a^{4}}$	=	$- \frac{1}{16}$	\|⋅( $a^{4}$ )
$- \frac{1}{a^{4}} \cdot a^{4}$	=	$- \frac{1}{16} \cdot a^{4}$
$- 1$	=	$- \frac{1}{16} a^{4}$

$- 1$	=	$- \frac{1}{16} a^{4}$	\| $+ 1$ $+ \frac{1}{16} a^{4}$
$\frac{1}{16} a^{4}$	=	$1$	\|⋅ $16$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 12 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 4 e^{4 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):