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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{2 x}$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- 5 e^{2 x}$	=	$- 3$	\|: $- 5$
$e^{2 x}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{5})$	≈ -0.2554

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{5})$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + \frac{1}{2}$

Lösung einblenden

$\ln (x) + \frac{1}{2}$	=	0	\| $- \frac{1}{2}$
$\ln (x)$	=	$- \frac{1}{2}$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{\sqrt{e}}

L={ $\frac{1}{\sqrt{e}}$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $15 \cdot {1,3}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $15$

f(1) = $15$ ⋅ $1,3$

f(2) = $15$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(3) = $15$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(4) = $15$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,3$ multipliziert. Da $1,3$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,3$ -fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 4 e^{x} - 21$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }