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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} x^{4} + e^{2 x} x^{3}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{2 x} x^{4} + e^{2 x} x^{3}$	=	0
$x^{4} \cdot e^{2 x} + x^{3} \cdot e^{2 x}$	=	0
$(x^{4} + x^{3}) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $1$ | $\frac{26}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $2 t e^{x - 1} + 4$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $1$ | $\frac{26}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $2 t e^{x - 1} + 4$ :

$\frac{26}{3}$ = f( $1$ )

$\frac{26}{3}$ = $2 t e^{1 - 1} + 4$

$\frac{26}{3}$ = $2 t e^{0} + 4$

$\frac{26}{3}$ = $2 t + 4$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $2 t + 4$ = $\frac{26}{3}$ nach t auflösen.

$2 t + 4$	=	$\frac{26}{3}$	\| $- 4$
$2 t$	=	$\frac{14}{3}$	\|: $2$
$t$	=	$\frac{7}{3}$

Für t= $\frac{7}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 35

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }