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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 3 x} - 7) \cdot (x^{2} + 2 x)$ = 0

(3 e^{- 3 x} - 7) (x^{2} + 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 3 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$3 e^{- 3 x}$	=	$7$	\|: $3$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{7}{3}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{7}{3})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{3})$	≈ -0.2824

2. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{3})$ ; 0}

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{2 x + 1} + 4$ = $5 \cdot 4^{2 x}$

Lösung einblenden

$4^{2 x + 1} + 4$ = $5 \cdot 4^{2 x}$ | $- 5 \cdot 4^{2 x}$ $- 4$

$4^{2 x + 1} - 5 \cdot 4^{2 x}$ = $- 4$

Wir müssen $4^{2 x + 1}$ in $4^{2 x} \cdot 4$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$4^{2 x} \cdot 4 - 5 \cdot 4^{2 x}$ = $- 4$

$4 \cdot 4^{2 x} - 5 \cdot 4^{2 x}$ = $- 4$

$- 4^{2 x}$	=	$- 4$	\|: $- 1$
$4^{2 x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (4)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 10,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 10.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 10.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{10.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{10.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,896 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,896.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.896( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 6.31 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):