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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{6 x - 11}$ = $e$

$e^{6 x - 11}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{6 x - 11}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$6 x - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{3 x} + 2 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 9 e^{3 x} + 2 e^{- 2 x}$	=	0
$(- 9 e^{5 x} + 2) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{5 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 9 e^{5 x}$	=	$- 2$	\|: $- 9$
$e^{5 x}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{9})$	≈ -0.3008

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{2}{9})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{3}{2} x \cdot e^{2 t x - 4 t} - 18 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ |0) in f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x \cdot e^{2 t x - 4 t} - 18 t$ :

0 = f( $2$ )

0 = $- \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot e^{2 t \cdot 2 - 4 t} - 18 t$

0 = $- \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot e^{4 t - 4 t} - 18 t$

0 = $- \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot e^{0} - 18 t$

0 = $- \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot 1 - 18 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 18 t - 3$ = 0 nach t auflösen.

$- 18 t - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- 18 t$	=	$3$	\|:( $- 18$ )
$t$	=	$- \frac{1}{6}$

Für t= $- \frac{1}{6}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):