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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 \cdot 5^{x} - 3 \cdot 6^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$4 \cdot 5^{x} - 3 \cdot 6^{x}$ = 0| $- 4 \cdot 5^{x}$

$- 3 \cdot 6^{x}$ = $- 4 \cdot 5^{x}$ | : $- 3$ : $5^{x}$

$\frac{6^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{4}{3}$

${(\frac{6}{5})}^{x}$ = $\frac{4}{3}$

${(\frac{6}{5})}^{x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{6}{5})}^{x})$	=	$\lg (\frac{4}{3})$
$x \cdot \lg (\frac{6}{5})$	=	$\lg (\frac{4}{3})$	\|: $\lg (\frac{6}{5})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{3})}{\lg (\frac{6}{5})}$

x

1,5779

L={ $1,5779$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $12$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{3}{2} x \cdot e^{2 t x} + 12 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $12$ ) in f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x \cdot e^{2 t x} + 12 t$ :

$12$ = f( $0$ )

$12$ = $- \frac{3}{2} \cdot (0) \cdot e^{2 t \cdot (0)} + 12 t$

$12$ = $- \frac{3}{2} \cdot (0) \cdot e^{0} + 12 t$

$12$ = $- \frac{3}{2} \cdot (0) \cdot 1 + 12 t$

$12$ = $0 + 12 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $12 t$ = $12$ nach t auflösen.

$12 t$	=	$12$	\|: $12$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 8

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }