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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 4 x = 1 2

Lösung einblenden
1 2 4 x = 1 2 |⋅2
4 x = 1 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = 0
x · lg( 4 ) = 0 |: lg( 4 )
x = 0 lg( 4 )
x = 0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

4 x = 1

4 x = 40

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 e -5x -6 = 0

Lösung einblenden
9 e -5x -6 = 0 | +6
9 e -5x = 6 |:9
e -5x = 2 3 |ln(⋅)
-5x = ln( 2 3 ) |:-5
x = - 1 5 ln( 2 3 ) ≈ 0.0811

L={ - 1 5 ln( 2 3 ) }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 184 1,15 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 184

f(1) = 184 1,15

f(2) = 184 1,151,15

f(3) = 184 1,151,151,15

f(4) = 184 1,151,151,151,15

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 1,15 multipliziert. Da 1,15 > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das 1,15-fache, also auf 115 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 8x -12 e 5x +36 e 2x = 0

Lösung einblenden
e 8x -12 e 5x +36 e 2x = 0
( e 6x -12 e 3x +36 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 6x -12 e 3x +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 3x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -12u +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · 1 · 36 21

u1,2 = +12 ± 144 -144 2

u1,2 = +12 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 12 2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -6 ) 2 - 36 = 36 - 36 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 6 ± 0 = 6

Rücksubstitution:

u1: e 3x = 6

e 3x = 6 |ln(⋅)
3x = ln( 6 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 6 ) ≈ 0.5973

u2: e 3x = 6

e 3x = 6 |ln(⋅)
3x = ln( 6 ) |:3
x2 = 1 3 ln( 6 ) ≈ 0.5973

2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 3 ln( 6 ) }

1 3 ln( 6 ) ist 2-fache Lösung!