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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x +20 = 47

Lösung einblenden
3 x +20 = 47 | -20
3 x = 27 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 27 )
x · lg( 3 ) = lg( 27 ) |: lg( 3 )
x = lg( 27 ) lg( 3 )
x = 3

L={ 3 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

3 x = 27

3 x = 3 3

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 3 x +3 3 2x = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man 3 3 2x in 3 3 2x = 3 3 x + x = 3 3 x · 3 x auf::

3 3 2x -9 3 x = 0

3 3 x + x -9 3 x = 0

3 3 x · 3 x -9 3 x = 0

3 x ( -9 +3 3 x ) = 0
3 x ( 3 3 x -9 ) = 0
( 3 3 x -9 ) · 3 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 3 x -9 = 0 | +9
3 3 x = 9 |:3
3 x = 3 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 3 )
x · lg( 3 ) = lg( 3 ) |: lg( 3 )
x1 = lg( 3 ) lg( 3 )
x1 = 1

2. Fall:

3 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| 2 3 ) und B(2| 4 3 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= c · a x (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| 2 3 ) und B(2| 4 3 ) in den Funktionsterm f(x)= c · a x ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 2 3 = c · a
II: 4 3 = c · a 2

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: 2 3 1 a = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: 4 3 = 2 3 a · a 2

also

II: 4 3 = 2 3 a

2 3 a = 4 3 |⋅ 3
2a = 4 |:2
a = 2

Von oben (I) wissen wir bereits: 2 3 1 a = c

mit a=2 eingesetzt erhalten wir so: 1 3 = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: f(x)= 1 3 2 x

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 8x -8 e 5x +7 e 2x = 0

Lösung einblenden
e 8x -8 e 5x +7 e 2x = 0
( e 6x -8 e 3x +7 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 6x -8 e 3x +7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 3x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -8u +7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 7 21

u1,2 = +8 ± 64 -28 2

u1,2 = +8 ± 36 2

u1 = 8 + 36 2 = 8 +6 2 = 14 2 = 7

u2 = 8 - 36 2 = 8 -6 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 7 = 16 - 7 = 9

x1,2 = 4 ± 9

x1 = 4 - 3 = 1

x2 = 4 + 3 = 7

Rücksubstitution:

u1: e 3x = 7

e 3x = 7 |ln(⋅)
3x = ln( 7 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 7 ) ≈ 0.6486

u2: e 3x = 1

e 3x = 1 |ln(⋅)
3x = 0 |:3
x2 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; 1 3 ln( 7 ) }