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Kursstufe
cosh
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Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= | |lg(⋅) | ||
= | |||
= | |: | ||
= |
= |
L={ }
Man erkennt bereits bei = 4 die Lösung x = 1.
Exponentialgl. mit 2 e-Termen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= | | | ||
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
x1 | = | ≈ -0.1469 |
2. Fall:
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?
f(0) =
f(1) = ⋅
f(2) = ⋅ ⋅
f(3) = ⋅ ⋅ ⋅
f(4) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit multipliziert. Da > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das -fache (oder auf das -fache), also auf % des vorherigen Funktionswertes.
Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %
Exponentialgl. Substitution BF
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |ln(⋅) | |
x1 | = |
|
≈ 0.6931 |
u2:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={