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Kursstufe
cosh
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Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
= | ≈ -0.6931 | ||
= |
L={ }
Exponentialgl. vermischt
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |ln(⋅) | |
x1 | = |
|
≈ 1.9459 |
u2:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 13% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?
Die prozentuale Abnahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 13% weggehen,
also Bneu
= B -
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga(
Also TH = log0.87(
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |ln(⋅) | |
x1 | = | ≈ 0 |
u2:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={