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cosh
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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Exponentialgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
Wir schreiben einfach um:
=
=
Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 5.
Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: und rechts: -1) gleichsetzen:
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
L={ }
Exponentialgleichungen (schwer)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
Zuerst spaltet man in = = auf::
=
=
=
| = | |||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| x1 | = |
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?
Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also Bneu
= B - ⋅B = (1 - ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in ): a=0,97.
Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga().
Also TH = log0.97() ≈ 22.76 Jahre
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
| = | |⋅ | ||
| = |
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = -7
x2 = + = 5
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.6094 |
u2: =
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }