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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 5$ = $20$

$5^{x} - 5$	=	$20$	\| $+ 5$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x} + 4$ = $9 \cdot 4^{x - 1}$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x} + 4$ = $9 \cdot 4^{x - 1}$ | $- 9 \cdot 4^{x - 1}$ $- 4$

$- 9 \cdot 4^{x - 1} + 2 \cdot 4^{x}$ = $- 4$

Wir müssen $- 9 \cdot 4^{x - 1}$ in $- 9 \cdot 4^{x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 9 \cdot 4^{x} \cdot 4^{- 1} + 2 \cdot 4^{x}$ = $- 4$

$- \frac{9}{4} \cdot 4^{x} + 2 \cdot 4^{x}$ = $- 4$ | ⋅ 4

$- 9 \cdot 4^{x} + 8 \cdot 4^{x}$ = $- 16$

$- 4^{x}$	=	$- 16$	\|: $- 1$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ | $\frac{35}{2}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{5}{2} e^{- t x - 2 t} + 15 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ | $\frac{35}{2}$ ) in f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2} e^{- t x - 2 t} + 15 t$ :

$\frac{35}{2}$ = f( $- 2$ )

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} e^{- t \cdot (- 2) - 2 t} + 15 t$

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} e^{2 t - 2 t} + 15 t$

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} e^{0} + 15 t$

$\frac{35}{2}$ = $\frac{5}{2} + 15 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $15 t + \frac{5}{2}$ = $\frac{35}{2}$ nach t auflösen.

$15 t + \frac{5}{2}$	=	$\frac{35}{2}$	\|⋅ 2
$2 (15 t + \frac{5}{2})$	=	$35$
$30 t + 5$	=	$35$	\| $- 5$
$30 t$	=	$30$	\|: $30$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):