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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 5 x} + 2) \cdot (x^{2} - 9 x)$ = 0

(- 2 e^{- 5 x} + 2) \cdot (x^{2} - 9 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 5 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 e^{- 5 x}$	=	$- 2$	\|: $- 2$
$e^{- 5 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	0	\|: $- 5$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{2} - 9 x$	=	0
$x \cdot (x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={0; $9$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 5^{x} + 2 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $2 \cdot 5^{2 x}$ in $2 \cdot 5^{2 x}$ = $2 \cdot 5^{x + x}$ = $2 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$2 \cdot 5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$2 \cdot 5^{x + x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$2 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$5^{x} \cdot (2 \cdot 5^{x} - 2)$	=	0
$(2 \cdot 5^{x} - 2) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 \cdot 5^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 \cdot 5^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x₁

=

0

2. Fall:

5^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $\frac{140}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{5}{2} x \cdot e^{2 t x} + 20 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $\frac{140}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2} x \cdot e^{2 t x} + 20 t$ :

$\frac{140}{3}$ = f( $0$ )

$\frac{140}{3}$ = $- \frac{5}{2} \cdot (0) \cdot e^{2 t \cdot (0)} + 20 t$

$\frac{140}{3}$ = $- \frac{5}{2} \cdot (0) \cdot e^{0} + 20 t$

$\frac{140}{3}$ = $- \frac{5}{2} \cdot (0) \cdot 1 + 20 t$

$\frac{140}{3}$ = $0 + 20 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $20 t$ = $\frac{140}{3}$ nach t auflösen.

$20 t$	=	$\frac{140}{3}$	\|: $20$
$t$	=	$\frac{7}{3}$

Für t= $\frac{7}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 4 e^{2 x} - 5 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 4 e^{2 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 5) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):