Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $2$

$2 \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

=

0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 \cdot 4^{x} - 7 \cdot 6^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$6 \cdot 4^{x} - 7 \cdot 6^{x}$ = 0| $- 6 \cdot 4^{x}$

$- 7 \cdot 6^{x}$ = $- 6 \cdot 4^{x}$ | : $- 7$ : $4^{x}$

$\frac{6^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{6}{7}$

${(\frac{6}{4})}^{x}$ = $\frac{6}{7}$

${(\frac{3}{2})}^{x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{3}{2})}^{x})$	=	$\lg (\frac{6}{7})$
$x \cdot \lg (\frac{3}{2})$	=	$\lg (\frac{6}{7})$	\|: $\lg (\frac{3}{2})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{6}{7})}{\lg (\frac{3}{2})}$

x

=

- 0,3802

L={ $- 0,3802$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $83 \cdot {1,45}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $83$

f(1) = $83$ ⋅ $1,45$

f(2) = $83$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(3) = $83$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

f(4) = $83$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$ ⋅ $1,45$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,45$ multipliziert. Da $1,45$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,45$ -fache, also auf $145$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 145% - 100% = 45 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):