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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{6}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$6^{2 x + 1}$ = $\frac{1}{6}$

$6^{2 x + 1}$ = $6^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 6.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 3$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 3$	=	0	\| $- 3$
$\ln (x)$	=	$- 3$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e^{3}}

L={ $\frac{1}{e^{3}}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- 4$ ) und B(2| $- 36$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- 4$ ) und B(2| $- 36$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $c \cdot 1$
II: $- 36$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 4$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 36$ = $- 4 a^{2}$

$- 4 a^{2}$	=	$- 36$	\|: $(- 4)$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 4$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 4 \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }