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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 10}$ = $e$

Lösung einblenden

$e^{x - 10}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 10}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 10$	=	$1$	\| $+ 10$
$x$	=	$11$

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{- x} - 2 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$2 e^{- x} - 2 e^{- 2 x}$	=	0
$2 (e^{x} - 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{- 2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $- 10$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 5 e^{t x} - 5 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $- 10$ ) in f mit $f(x) =$ $- 5 e^{t x} - 5 t$ :

$- 10$ = f( $0$ )

$- 10$ = $- 5 e^{t \cdot (0)} - 5 t$

$- 10$ = $- 5 e^{0} - 5 t$

$- 10$ = $- 5 - 5 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 5 t - 5$ = $- 10$ nach t auflösen.

$- 5 t - 5$	=	$- 10$	\| $+ 5$
$- 5 t$	=	$- 5$	\|:( $- 5$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} + 1 - 2 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} + 1 - 2 e^{- x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 2 e^{- x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + e^{x} - 2$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}