Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$10^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (2)$	≈ 0.301

L={ $\lg (2)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 5 x} + 4) \cdot (x^{2} - 7 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 5 x} + 4) (x^{2} - 7 x)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 5 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 5 e^{- 5 x}$	=	$- 4$	\|: $- 5$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 0.0446

2. Fall:

$x^{2} - 7 x$	=	0
$x (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{4}{5})$ ; $7$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{1}{2} t x \cdot e^{x + 2} - 1$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ |0) in f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} t x \cdot e^{x + 2} - 1$ :

0 = f( $- 2$ )

0 = $\frac{1}{2} t \cdot (- 2) \cdot e^{- 2 + 2} - 1$

0 = $\frac{1}{2} t \cdot (- 2) \cdot e^{0} - 1$

0 = $\frac{1}{2} t \cdot (- 2) \cdot 1 - 1$

0 = $- t - 1$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- t - 1$ = 0 nach t auflösen.

$- t - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- t$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$t$	=	$- 1$

Für t= $- 1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}