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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - \frac{21}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{x - \frac{21}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - \frac{21}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - \frac{21}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{21}{2})$	=	$1$
$2 x - 21$	=	$1$	\| $+ 21$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
$x$	=	$11$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$192 \cdot 4^{x} - 3 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 3 \cdot 4^{2 x}$ in $- 3 \cdot 4^{2 x}$ = $- 3 \cdot 4^{x + x}$ = $- 3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$- 3 \cdot 4^{2 x} + 192 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 4^{x + x} + 192 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} + 192 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} (- 3 \cdot 4^{x} + 192)$	=	0
$(- 3 \cdot 4^{x} + 192) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 \cdot 4^{x} + 192$	=	0	\| $- 192$
$- 3 \cdot 4^{x}$	=	$- 192$	\|: $- 3$
$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x₁

=

3

2. Fall:

4^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $6$ ) und B(-4| $\frac{3}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $6$ ) und B(-4| $\frac{3}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $6$ = $c \cdot a$
II: $\frac{3}{16}$ = $c \cdot a^{- 4}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $6$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{3}{16}$ = $\frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a^{4}}$

also

II: $\frac{3}{16}$ = $\frac{6}{a^{5}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{5}$ weg!

$\frac{6}{a^{5}}$	=	$\frac{3}{16}$	\|⋅( $a^{5}$ )
$\frac{6}{a^{5}} \cdot a^{5}$	=	$\frac{3}{16} \cdot a^{5}$
$6$	=	$\frac{3}{16} a^{5}$

$6$	=	$\frac{3}{16} a^{5}$	\| $- 6$ $- \frac{3}{16} a^{5}$
$- \frac{3}{16} a^{5}$	=	$- 6$	\|⋅ $(- \frac{16}{3})$
$a^{5}$	=	$32$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{32}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $6$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $3$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $3 \cdot 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):