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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - \frac{21}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{x - \frac{21}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - \frac{21}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - \frac{21}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{21}{2})$	=	$1$
$2 x - 21$	=	$1$	\| $+ 21$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
$x$	=	$11$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 4 x} - 6) \cdot (x - 7)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 4 x} - 6) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 4 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 e^{- 4 x}$	=	$6$	\|: $3$
$e^{- 4 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (2)$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (2)$	≈ -0.1733

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

L={ $- \frac{1}{4} \ln (2)$ ; $7$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $\frac{55}{2}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{5}{2} e^{2 t x - 4 t} + 30 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $\frac{55}{2}$ ) in f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2} e^{2 t x - 4 t} + 30 t$ :

$\frac{55}{2}$ = f( $2$ )

$\frac{55}{2}$ = $- \frac{5}{2} e^{2 t \cdot 2 - 4 t} + 30 t$

$\frac{55}{2}$ = $- \frac{5}{2} e^{4 t - 4 t} + 30 t$

$\frac{55}{2}$ = $- \frac{5}{2} e^{0} + 30 t$

$\frac{55}{2}$ = $- \frac{5}{2} + 30 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $30 t - \frac{5}{2}$ = $\frac{55}{2}$ nach t auflösen.

$30 t - \frac{5}{2}$	=	$\frac{55}{2}$	\|⋅ 2
$2 (30 t - \frac{5}{2})$	=	$55$
$60 t - 5$	=	$55$	\| $+ 5$
$60 t$	=	$60$	\|: $60$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. vermischt

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):