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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{7 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

$6 e^{7 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$6 e^{7 x}$	=	$2$	\|: $6$
$e^{7 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.1569

L={ $\frac{1}{7} \ln (\frac{1}{3})$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- \ln (x) + 5$

Lösung einblenden

$- \ln (x) + 5$	=	0	\| $- 5$
$- \ln (x)$	=	$- 5$	\|: $(- 1)$
$\ln (x)$	=	$5$	\|e^(⋅)

x

e^{5}

L={ $e^{5}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $5$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $t e^{x} + 2$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $5$ ) in f mit $f(x) =$ $t e^{x} + 2$ :

$5$ = f( $0$ )

$5$ = $t e^{0} + 2$

$5$ = $t + 2$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $t + 2$ = $5$ nach t auflösen.

$t + 2$	=	$5$	\| $- 2$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }