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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x = 8

Lösung einblenden
2 x = 8 |lg(⋅)
lg( 2 x ) = lg( 8 )
x · lg( 2 ) = lg( 8 ) |: lg( 2 )
x = lg( 8 ) lg( 2 )
x = 3

L={ 3 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

2 x = 8

2 x = 2 3

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 3x x 4 -9 · e 3x x 3 = 0

Lösung einblenden
e 3x x 4 -9 · e 3x x 3 = 0
x 4 · e 3x -9 x 3 · e 3x = 0
( x 4 -9 x 3 ) e 3x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 4 -9 x 3 = 0
x 3 ( x -9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x -9 = 0 | +9
x2 = 9

2. Fall:

e 3x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; 9 }

0 ist 3-fache Lösung!

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5,5% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 5.5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.5% weggehen,
also Bneu = B - 5.5 100 ⋅B = (1 - 5.5 100 ) ⋅ B = 0,945 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,945.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.945( 1 2 ) ≈ 12.25 Tage

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 8x + e 5x -30 e 2x = 0

Lösung einblenden
e 8x + e 5x -30 e 2x = 0
( e 6x + e 3x -30 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 6x + e 3x -30 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 3x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -30 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +120 2

u1,2 = -1 ± 121 2

u1 = -1 + 121 2 = -1 +11 2 = 10 2 = 5

u2 = -1 - 121 2 = -1 -11 2 = -12 2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = - 1 2 ± 121 4

x1 = - 1 2 - 11 2 = - 12 2 = -6

x2 = - 1 2 + 11 2 = 10 2 = 5

Rücksubstitution:

u1: e 3x = 5

e 3x = 5 |ln(⋅)
3x = ln( 5 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 5 ) ≈ 0.5365

u2: e 3x = -6

e 3x = -6

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 3 ln( 5 ) }