Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $6$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$6$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 5$

Lösung einblenden

$\ln (x) - 5$	=	0	\| $+ 5$
$\ln (x)$	=	$5$	\|e^(⋅)

x

e^{5}

L={ $e^{5}$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $86 \cdot {(\frac{26}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $86$

f(1) = $86$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $86$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $86$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $86$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{104}{100}$ -fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 5

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }