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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{5 x} - 7$ = 0

$6 e^{5 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$6 e^{5 x}$	=	$7$	\|: $6$
$e^{5 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $5$
$x$	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 0.0308

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{6})$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{- 7 x} + 2) \cdot (x^{5} - 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{- 7 x} + 2) (x^{5} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{- 7 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 e^{- 7 x}$	=	$- 2$	\|: $- 3$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.0579

2. Fall:

$x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{2}{3})$ ; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-2| $- \frac{4}{27}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-2| $- \frac{4}{27}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{4}{27}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 4$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{4}{27}$ = $- \frac{4}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{4}{27}$ = $- \frac{4}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{4}{a^{3}}$	=	$- \frac{4}{27}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{4}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{4}{27} \cdot a^{3}$
$- 4$	=	$- \frac{4}{27} a^{3}$

$- 4$	=	$- \frac{4}{27} a^{3}$	\| $+ 4$ $+ \frac{4}{27} a^{3}$
$\frac{4}{27} a^{3}$	=	$4$	\|⋅ $\frac{27}{4}$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 4$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{4}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{4}{3} \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 4 e^{4 x} - 5 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 4 e^{4 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. vermischt

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):