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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{4 x + 6}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Lösung einblenden

$e^{4 x + 6}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{4 x + 6}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$4 x + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{- 2 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

$7 e^{- 2 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$7 e^{- 2 x}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 2$
$x$	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.0771

L={ $- \frac{1}{2} \ln (\frac{6}{7})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $1$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 5 t e^{x - 1} + 5$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $1$ |0) in f mit $f(x) =$ $- 5 t e^{x - 1} + 5$ :

0 = f( $1$ )

0 = $- 5 t e^{1 - 1} + 5$

0 = $- 5 t e^{0} + 5$

0 = $- 5 t + 5$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 5 t + 5$ = 0 nach t auflösen.

$- 5 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 5 t$	=	$- 5$	\|:( $- 5$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 15 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }