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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{- 4 x}$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- 4 e^{- 4 x}$	=	$- 7$	\|: $- 4$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $- 4$
$x$	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{4})$	≈ -0.1399

L={ $- \frac{1}{4} \ln (\frac{7}{4})$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} x^{2} - 3 \cdot e^{2 x} x$ = 0

Lösung einblenden

$e^{2 x} x^{2} - 3 \cdot e^{2 x} x$	=	0
$x^{2} \cdot e^{2 x} - 3 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(x^{2} - 3 x) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

e^{2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $3$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $- 12$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 4 t x \cdot e^{x - 2} + 12$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $- 12$ ) in f mit $f(x) =$ $- 4 t x \cdot e^{x - 2} + 12$ :

$- 12$ = f( $2$ )

$- 12$ = $- 4 t \cdot 2 \cdot e^{2 - 2} + 12$

$- 12$ = $- 4 t \cdot 2 \cdot e^{0} + 12$

$- 12$ = $- 4 t \cdot 2 \cdot 1 + 12$

$- 12$ = $- 8 t + 12$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 8 t + 12$ = $- 12$ nach t auflösen.

$- 8 t + 12$	=	$- 12$	\| $- 12$
$- 8 t$	=	$- 24$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$3$

Für t= $3$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 - 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 10 e^{x} + 24$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (6)$ }