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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{4 x + 9}$ = $e$

$e^{4 x + 9}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{4 x + 9}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$4 x + 9$	=	$1$	\| $- 9$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{7 x} - 4) \cdot (x^{2} - 16)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{7 x} - 4) (x^{2} - 16)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{7 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 e^{7 x}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{7 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.0411

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{7} \ln (\frac{4}{3})$ ; $4$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $158 \cdot {0,6}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $158$

f(1) = $158$ ⋅ $0,6$

f(2) = $158$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(3) = $158$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

f(4) = $158$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$ ⋅ $0,6$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,6$ multipliziert. Da $0,6$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,6$ -fache, also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 9 e^{4 x} + 14 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 14) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. vermischt

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):