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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{- 5 x}$ = $- 3$

$- 9 e^{- 5 x}$	=	$- 3$	\|: $- 9$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $- 5$
$x$	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{3})$	≈ 0.2197

L={ $- \frac{1}{5} \ln (\frac{1}{3})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{2 x + 1} - 8$ = $- 2 \cdot 2^{2 x}$

Lösung einblenden

$2^{2 x + 1} - 8$ = $- 2 \cdot 2^{2 x}$ | $+ 2 \cdot 2^{2 x}$ $+ 8$

$2^{2 x + 1} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $8$

Wir müssen $2^{2 x + 1}$ in $2^{2 x} \cdot 2$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2^{2 x} \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $8$

$2 \cdot 2^{2 x} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $8$

$4 \cdot 2^{2 x}$	=	$8$	\|: $4$
$2^{2 x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{2 x})$	=	$\lg (2)$
$2 x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $139 \cdot {(\frac{7}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $139$

f(1) = $139$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $139$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $139$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $139$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{140}{100}$ -fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 8 e^{x} + 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 8 e^{x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (6)$ }

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Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):