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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 12}$ = $e$

$e^{x + 12}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 12}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 12$	=	$1$	\| $- 12$
$x$	=	$- 11$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{- 2 x} + 5) \cdot (x^{4} + 3 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{- 2 x} + 5) \cdot (x^{4} + 3 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{- 2 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 9 e^{- 2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 9$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 0.2939

2. Fall:

$x^{4} + 3 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{5}{9})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $10$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $2 x \cdot e^{t x} + 6 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $10$ ) in f mit $f(x) =$ $2 x \cdot e^{t x} + 6 t$ :

$10$ = f( $0$ )

$10$ = $2 \cdot (0) \cdot e^{t \cdot (0)} + 6 t$

$10$ = $2 \cdot (0) \cdot e^{0} + 6 t$

$10$ = $2 \cdot (0) \cdot 1 + 6 t$

$10$ = $0 + 6 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $6 t$ = $10$ nach t auflösen.

$6 t$	=	$10$	\|: $6$
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Für t= $\frac{5}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - e^{5 x} - 30 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - e^{5 x} - 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 30) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. vermischt

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):