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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{3 x}$ = $- 7$

$- e^{3 x}$	=	$- 7$	\|: $- 1$
$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{4 x}$ = $5 e^{x}$

Lösung einblenden

$7 e^{4 x}$	=	$5 e^{x}$	\| $- 5 e^{x}$
$7 e^{4 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(7 e^{3 x} - 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{3 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$7 e^{3 x}$	=	$5$	\|: $7$
$e^{3 x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{7})$	≈ -0.1122

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{7})$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $123 \cdot {(\frac{11}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $123$

f(1) = $123$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(2) = $123$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(3) = $123$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(4) = $123$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{11}{10}$ multipliziert. Da $\frac{11}{10}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{11}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{110}{100}$ -fache), also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):