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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 3 x +4 = 22

Lösung einblenden
2 3 x +4 = 22 | -4
2 3 x = 18 |:2
3 x = 9 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 9 )
x · lg( 3 ) = lg( 9 ) |: lg( 3 )
x = lg( 9 ) lg( 3 )
x = 2

L={ 2 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

3 x = 9

3 x = 3 2

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 3 x + 9 x = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

-3 3 x + 9 x = 0| +3 3 x

9 x = 3 3 x | : 1 : 3 x

9 x 3 x = 3

( 9 3 ) x = 3

3 x = 3 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 3 )
x · lg( 3 ) = lg( 3 ) |: lg( 3 )
x = lg( 3 ) lg( 3 )
x = 1

L={ 1 }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 6.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.4% dazukommen,
also Bneu = B + 6.4 100 ⋅B = (1 + 6.4 100 ) ⋅ B = 1,064 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,064.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.064(2) ≈ 11.17 Jahre

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -14 e x +49 = 0

Lösung einblenden
e 2x -14 e x +49 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -14u +49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +14 ± ( -14 ) 2 -4 · 1 · 49 21

u1,2 = +14 ± 196 -196 2

u1,2 = +14 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 14 2 = 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -7 ) 2 - 49 = 49 - 49 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 7 ± 0 = 7

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x2 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

L={ ln( 7 ) }

ln( 7 ) ist 2-fache Lösung!