Mathebattle EduRandomtasks

Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 13}$ = $e^{2}$

$e^{x + 13}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 13$	=	$2$	\| $- 13$
$x$	=	$- 11$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 \cdot 2^{2 x - 2} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $- 24$

Lösung einblenden

$- 11 \cdot 2^{2 x - 2} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $- 24$

Wir müssen $- 11 \cdot 2^{2 x - 2}$ in $- 11 \cdot 2^{2 x} \cdot 2^{- 2}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 11 \cdot 2^{2 x} \cdot 2^{- 2} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $- 24$

$- \frac{11}{4} \cdot 2^{2 x} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = $- 24$ | ⋅ 4

$- 11 \cdot 2^{2 x} + 8 \cdot 2^{2 x}$ = $- 96$

$- 3 \cdot 2^{2 x}$	=	$- 96$	\|: $- 3$
$2^{2 x}$	=	$32$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{2 x})$	=	$\lg (32)$
$2 x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (32)$	\|: $\lg (2)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (32)}{\lg (2)}$

$2 x$	=	$5$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

L={ $\frac{5}{2}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4,6% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 4.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4.6}{100}$ ) ⋅ B = 0,954 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,954.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.954( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 14.72 Tage

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} - 12 + 35 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} - 12 + 35 e^{- x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} + 35 e^{- x} - 12$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 12 e^{x} + 35$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):