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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{- 3 x}$ = $- 2$

$- 4 e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\|: $- 4$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 3$
$x$	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.231

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{2 x}$ = $3 e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{2 x}$	=	$3 e^{- 2 x}$	\| $- 3 e^{- 2 x}$
$4 e^{2 x} - 3 e^{- 2 x}$	=	0
$(4 e^{4 x} - 3) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{4 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{4 x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{4 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.0719

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ | $- 6$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $x \cdot e^{t x + 2 t} - 3 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ | $- 6$ ) in f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{t x + 2 t} - 3 t$ :

$- 6$ = f( $- 2$ )

$- 6$ = $- 2 \cdot e^{t \cdot (- 2) + 2 t} - 3 t$

$- 6$ = $- 2 \cdot e^{- 2 t + 2 t} - 3 t$

$- 6$ = $- 2 \cdot e^{0} - 3 t$

$- 6$ = $- 2 \cdot 1 - 3 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 3 t - 2$ = $- 6$ nach t auflösen.

$- 3 t - 2$	=	$- 6$	\| $+ 2$
$- 3 t$	=	$- 4$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$\frac{4}{3}$

Für t= $\frac{4}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

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Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):