Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 \cdot 10^{x}$ = $11$

Lösung einblenden

$5 \cdot 10^{x}$	=	$11$	\|: $5$
$10^{x}$	=	$\frac{11}{5}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{11}{5})$	≈ 0.3424

L={ $\lg (\frac{11}{5})$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{6 x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 e^{6 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 e^{6 x}$	=	$- 6$	\|: $- 2$
$e^{6 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (3)$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (3)$	≈ 0.1831

L={ $\frac{1}{6} \ln (3)$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- 2$ ) und B(-3| $- \frac{1}{4}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- 2$ ) und B(-3| $- \frac{1}{4}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{1}{4}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 2$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{4}$ = $- 2 a^{- 3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{2}{a^{3}}$	=	$- \frac{1}{4}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{2}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{1}{4} \cdot a^{3}$
$- 2$	=	$- \frac{1}{4} a^{3}$

$- 2$	=	$- \frac{1}{4} a^{3}$	\| $+ 2$ $+ \frac{1}{4} a^{3}$
$\frac{1}{4} a^{3}$	=	$2$	\|⋅ $4$
$a^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 2$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 - 8 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 - 8 e^{- 2 x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 8 e^{- 2 x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }