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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$ = $\frac{125}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$\frac{125}{2}$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 2 \cdot 3^{2 x}$ in $- 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 2 \cdot 3^{x + x}$ = $- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$- 2 \cdot 3^{2 x} + 6 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x + x} + 6 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} + 6 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} (- 2 \cdot 3^{x} + 6)$	=	0
$(- 2 \cdot 3^{x} + 6) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 \cdot 3^{x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 \cdot 3^{x}$	=	$- 6$	\|: $- 2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x₁

=

1

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 11%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$ ) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11( $2$ ) ≈ 6.64 Stunden

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 35 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 35 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 35) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):