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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 e^{6 x} - 2$ = 0

$8 e^{6 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$8 e^{6 x}$	=	$2$	\|: $8$
$e^{6 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{1}{4})$	≈ -0.231

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{1}{4})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \cdot 2^{x} - 24 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 24 \cdot 2^{2 x}$ in $- 24 \cdot 2^{2 x}$ = $- 24 \cdot 2^{x + x}$ = $- 24 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$- 24 \cdot 2^{2 x} + 3 \cdot 2^{x}$ = 0

$- 24 \cdot 2^{x + x} + 3 \cdot 2^{x}$ = 0

$- 24 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} + 3 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} \cdot (- 24 \cdot 2^{x} + 3)$	=	0
$(- 24 \cdot 2^{x} + 3) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 24 \cdot 2^{x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 24 \cdot 2^{x}$	=	$- 3$	\|: $- 24$
$2^{x}$	=	$\frac{1}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{8})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{8})$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{8})}{\lg (2)}$

x₁

=

- 3

2. Fall:

2^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 5% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.95( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 13.51 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):