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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 e^{4 x}$ = $- 3$

$- 4 e^{4 x}$	=	$- 3$	\|: $- 4$
$e^{4 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.0719

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + \frac{1}{6}$

Lösung einblenden

$\ln (x) + \frac{1}{6}$	=	0	\| $- \frac{1}{6}$
$\ln (x)$	=	$- \frac{1}{6}$	\|e^(⋅)

x

=

\frac{1}{\sqrt[6]{e}}

L={ $\frac{1}{\sqrt[6]{e}}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 6$ ) und B(-2| $- \frac{3}{32}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 6$ ) und B(-2| $- \frac{3}{32}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 6$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{3}{32}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 6$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{3}{32}$ = $- \frac{6}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{3}{32}$ = $- \frac{6}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{6}{a^{3}}$	=	$- \frac{3}{32}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{6}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{3}{32} \cdot a^{3}$
$- 6$	=	$- \frac{3}{32} a^{3}$

$- 6$	=	$- \frac{3}{32} a^{3}$	\| $+ 6$ $+ \frac{3}{32} a^{3}$
$\frac{3}{32} a^{3}$	=	$6$	\|⋅ $\frac{32}{3}$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 6$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{3}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{3}{2} \cdot 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Nullstellen bei ln-Funktionen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):