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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x} + 20$ = $47$

$3^{x} + 20$	=	$47$	\| $- 20$
$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 3^{2 x}$ in $3 \cdot 3^{2 x}$ = $3 \cdot 3^{x + x}$ = $3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$3 \cdot 3^{2 x} - 9 \cdot 3^{x}$ = 0

$3 \cdot 3^{x + x} - 9 \cdot 3^{x}$ = 0

$3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} - 9 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} (- 9 + 3 \cdot 3^{x})$	=	0
$3^{x} (3 \cdot 3^{x} - 9)$	=	0
$(3 \cdot 3^{x} - 9) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 3^{x} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$3 \cdot 3^{x}$	=	$9$	\|: $3$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x₁

=

1

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $\frac{2}{3}$ ) und B(2| $\frac{4}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{2}{3}$ ) und B(2| $\frac{4}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{2}{3}$ = $c \cdot a$
II: $\frac{4}{3}$ = $c \cdot a^{2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3 a} \cdot a^{2}$

also

II: $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3} a$

$\frac{2}{3} a$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅ 3
$2 a$	=	$4$	\|: $2$
$a$	=	$2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 7 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 8 e^{5 x} + 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):