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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x + 5}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{3 x + 5}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x + 5}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 81 \cdot 3^{x} + 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3^{2 x}$ in $3^{2 x}$ = $3^{x + x}$ = $3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$3^{2 x} - 81 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x + x} - 81 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} \cdot 3^{x} - 81 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} (3^{x} - 81)$	=	0
$(3^{x} - 81) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3^{x} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x₁

=

4

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $80 \cdot {0,75}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $80$

f(1) = $80$ ⋅ $0,75$

f(2) = $80$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(3) = $80$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

f(4) = $80$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$ ⋅ $0,75$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,75$ multipliziert. Da $0,75$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,75$ -fache, also auf $75$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 75% = 25 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):