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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $1$

$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

=

0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 3 e^{x} - 18$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 3 e^{x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $61 \cdot {1,4}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $61$

f(1) = $61$ ⋅ $1,4$

f(2) = $61$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(3) = $61$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

f(4) = $61$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$ ⋅ $1,4$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,4$ multipliziert. Da $1,4$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,4$ -fache, also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 10 e^{x} + 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 10 e^{x} + 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. vermischt

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):