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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{- x}$ = $7$

$2 e^{- x}$	=	$7$	\|: $2$
$e^{- x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{7}{2})$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (\frac{7}{2})$	≈ -1.2528

L={ $- \ln (\frac{7}{2})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x} - 32 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 32 \cdot 4^{2 x}$ in $- 32 \cdot 4^{2 x}$ = $- 32 \cdot 4^{x + x}$ = $- 32 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$- 32 \cdot 4^{2 x} + 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 32 \cdot 4^{x + x} + 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 32 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} + 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} \cdot (- 32 \cdot 4^{x} + 2)$	=	0
$(- 32 \cdot 4^{x} + 2) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 32 \cdot 4^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 32 \cdot 4^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 32$
$4^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (4)}$

x₁

=

- 2

2. Fall:

4^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $149 \cdot {(\frac{3}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $149$

f(1) = $149$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(2) = $149$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(3) = $149$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(4) = $149$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{3}{5}$ multipliziert. Da $\frac{3}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{3}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{60}{100}$ -fache), also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):