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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x + 8}$ = $e^{2}$

$e^{3 x + 8}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x} + 36$ = $22 \cdot 3^{x - 2}$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x} + 36$ = $22 \cdot 3^{x - 2}$ | $- 22 \cdot 3^{x - 2}$ $- 36$

$- 22 \cdot 3^{x - 2} + 2 \cdot 3^{x}$ = $- 36$

Wir müssen $- 22 \cdot 3^{x - 2}$ in $- 22 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- 2}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 22 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- 2} + 2 \cdot 3^{x}$ = $- 36$

$- \frac{22}{9} \cdot 3^{x} + 2 \cdot 3^{x}$ = $- 36$ | ⋅ 9

$- 22 \cdot 3^{x} + 18 \cdot 3^{x}$ = $- 324$

$- 4 \cdot 3^{x}$	=	$- 324$	\|: $- 4$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x

=

4

L={ $4$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $4$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t e^{x} + 6$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $4$ ) in f mit $f(x) =$ $- 2 t e^{x} + 6$ :

$4$ = f( $0$ )

$4$ = $- 2 t e^{0} + 6$

$4$ = $- 2 t + 6$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 2 t + 6$ = $4$ nach t auflösen.

$- 2 t + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 t$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 - 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 10 e^{- x} + 24 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 10 e^{x} + 24$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (6)$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):