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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $- 32$

$2 \cdot 2^{x}$	=	$- 32$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$- 16$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 16$ sein.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 3$

Lösung einblenden

$\ln (x) - 3$	=	0	\| $+ 3$
$\ln (x)$	=	$3$	\|e^(⋅)

x

=

e^{3}

L={ $e^{3}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-2| $- \frac{1}{48}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-2| $- \frac{1}{48}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{4}{3}$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{1}{48}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- \frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{48}$ = $- \frac{4}{3 a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{1}{48}$ = $- \frac{4}{3 a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{4}{3 a^{3}}$	=	$- \frac{1}{48}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{4}{3 a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{1}{48} \cdot a^{3}$
$- \frac{4}{3}$	=	$- \frac{1}{48} a^{3}$

$- \frac{4}{3}$	=	$- \frac{1}{48} a^{3}$	\| $+ \frac{4}{3}$ $+ \frac{1}{48} a^{3}$
$\frac{1}{48} a^{3}$	=	$\frac{4}{3}$	\|⋅ $48$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{4}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 3 e^{x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Nullstellen bei ln-Funktionen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):