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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{81}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{81}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x

=

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 81

$3^{x}$ = $3^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 10$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 10$	=	0	\| $- 10$
$\ln (x)$	=	$- 10$	\|e^(⋅)

x

=

\frac{1}{e^{10}}

L={ $\frac{1}{e^{10}}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $\frac{15}{4}$ ) und B(-2| $\frac{3}{100}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{15}{4}$ ) und B(-2| $\frac{3}{100}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{15}{4}$ = $c \cdot a$
II: $\frac{3}{100}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{15}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{3}{100}$ = $\frac{15}{4 a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $\frac{3}{100}$ = $\frac{15}{4 a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$\frac{15}{4 a^{3}}$	=	$\frac{3}{100}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$\frac{15}{4 a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$\frac{3}{100} \cdot a^{3}$
$\frac{15}{4}$	=	$\frac{3}{100} a^{3}$

$\frac{15}{4}$	=	$\frac{3}{100} a^{3}$	\| $- \frac{15}{4}$ $- \frac{3}{100} a^{3}$
$- \frac{3}{100} a^{3}$	=	$- \frac{15}{4}$	\|⋅ $(- \frac{100}{3})$
$a^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{15}{4}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot 5^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 6 - 7 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 6 - 7 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 7 e^{- 2 x} + 6$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 6 e^{2 x} - 7$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Nullstellen bei ln-Funktionen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):