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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} + 1,5$ = $9,5$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} + 1,5$	=	$9,5$	\| $- 1,5$
$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$8$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

=

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 16

$2^{x}$ = $2^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$81 \cdot 3^{x} - 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 3^{2 x}$ in $- 3^{2 x}$ = $- 3^{x + x}$ = $- 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$- 3^{2 x} + 81 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 3^{x + x} + 81 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 3^{x} \cdot 3^{x} + 81 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} \cdot (- 3^{x} + 81)$	=	0
$(- 3^{x} + 81) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3^{x} + 81$	=	0	\| $- 81$
$- 3^{x}$	=	$- 81$	\|: $- 1$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x₁

=

4

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $- \frac{34}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x \cdot e^{x - 2} - 6$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $- \frac{34}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $- 2 t x \cdot e^{x - 2} - 6$ :

$- \frac{34}{3}$ = f( $2$ )

$- \frac{34}{3}$ = $- 2 t \cdot 2 \cdot e^{2 - 2} - 6$

$- \frac{34}{3}$ = $- 2 t \cdot 2 \cdot e^{0} - 6$

$- \frac{34}{3}$ = $- 2 t \cdot 2 \cdot 1 - 6$

$- \frac{34}{3}$ = $- 4 t - 6$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 4 t - 6$ = $- \frac{34}{3}$ nach t auflösen.

$- 4 t - 6$	=	$- \frac{34}{3}$	\| $+ 6$
$- 4 t$	=	$- \frac{16}{3}$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{4}{3}$

Für t= $\frac{4}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):