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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{- 2 x}$ = $4$

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$e^{- 2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $- 2$
$x$	=	$- \frac{1}{2} \ln (4)$	≈ -0.6931
$x$	=	$- \ln (2)$

L={ $- \ln (2)$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 1$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 1$	=	0	\| $- 1$
$\ln (x)$	=	$- 1$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e}

L={ $\frac{1}{e}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,3% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 8.3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.3}{100}$ ) ⋅ B = 0,917 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,917.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.917( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8 Tage

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 35 e^{2 x}$ = 0

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$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 12 e^{x} + 35) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

2. Fall:

e^{2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }