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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 2 x = 4

Lösung einblenden
1 2 2 x = 4 |⋅2
2 x = 8 |lg(⋅)
lg( 2 x ) = lg( 8 )
x · lg( 2 ) = lg( 8 ) |: lg( 2 )
x = lg( 8 ) lg( 2 )
x = 3

L={ 3 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

2 x = 8

2 x = 2 3

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9 e 2x = -4 e -x

Lösung einblenden
-9 e 2x = -4 e -x | +4 e -x
-9 e 2x +4 e -x = 0
( -9 e 3x +4 ) e -x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-9 e 3x +4 = 0 | -4
-9 e 3x = -4 |:-9
e 3x = 4 9 |ln(⋅)
3x = ln( 4 9 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 4 9 ) ≈ -0.2703

2. Fall:

e -x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 3 ln( 4 9 ) }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1|2 ) und B(-3| 1 8 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= c · a x (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|2 ) und B(-3| 1 8 ) in den Funktionsterm f(x)= c · a x ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 2 = c · a
II: 1 8 = c · a -3

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: 2 1 a = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: 1 8 = 2 a · 1 a 3

also

II: 1 8 = 2 a 4

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner a 4 weg!

2 a 4 = 1 8 |⋅( a 4 )
2 a 4 · a 4 = 1 8 · a 4
2 = 1 8 a 4
2 = 1 8 a 4 | -2 - 1 8 a 4
- 1 8 a 4 = -2 |⋅ ( -8 )
a 4 = 16 | 4
a1 = - 16 4 = -2
a2 = 16 4 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: 2 1 a = c

mit a=2 eingesetzt erhalten wir so: 1 = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: f(x)= 2 x

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 4x +2 e 3x -15 e 2x = 0

Lösung einblenden
e 4x +2 e 3x -15 e 2x = 0
( e 2x +2 e x -15 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x +2 e x -15 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -15 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +60 2

u1,2 = -2 ± 64 2

u1 = -2 + 64 2 = -2 +8 2 = 6 2 = 3

u2 = -2 - 64 2 = -2 -8 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = -1 ± 16

x1 = -1 - 4 = -5

x2 = -1 + 4 = 3

Rücksubstitution:

u1: e x = 3

e x = 3 |ln(⋅)
x1 = ln( 3 ) ≈ 1.0986

u2: e x = -5

e x = -5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 3 ) }