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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $6$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$6$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 \cdot 5^{x} - 6^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$6 \cdot 5^{x} - 6^{x}$ = 0| $- 6 \cdot 5^{x}$

$- 6^{x}$ = $- 6 \cdot 5^{x}$ | : $- 1$ : $5^{x}$

$\frac{6^{x}}{5^{x}}$ = $6$

${(\frac{6}{5})}^{x}$ = $6$

${(\frac{6}{5})}^{x}$	=	$6$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{6}{5})}^{x})$	=	$\lg (6)$
$x \cdot \lg (\frac{6}{5})$	=	$\lg (6)$	\|: $\lg (\frac{6}{5})$
$x$	=	$\frac{\lg (6)}{\lg (\frac{6}{5})}$

x

9,8275

L={ $9,8275$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 4 e^{t x} - 8 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ |0) in f mit $f(x) =$ $- 4 e^{t x} - 8 t$ :

0 = f( $0$ )

0 = $- 4 e^{t \cdot (0)} - 8 t$

0 = $- 4 e^{0} - 8 t$

0 = $- 4 - 8 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 8 t - 4$ = 0 nach t auflösen.

$- 8 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 8 t$	=	$4$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t= $- \frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 5 e^{x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 5 e^{x} + 6

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (3)$ }