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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{5 x}$ = $6$

Lösung einblenden

$6 e^{5 x}$	=	$6$	\|: $6$
$e^{5 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0	≈ 0

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{4 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

$7 e^{4 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$7 e^{4 x}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{4 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{4}{7})$	≈ -0.1399

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{4}{7})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $20$ ) und B(2| $100$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $20$ ) und B(2| $100$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $20$ = $c \cdot a$
II: $100$ = $c \cdot a^{2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $20$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $100$ = $\frac{20}{a} \cdot a^{2}$

also

II: $100$ = $20 a$

$20 a$	=	$100$	\|: $20$
$a$	=	$5$

Von oben (I) wissen wir bereits: $20$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $4$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $4 \cdot 5^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 - 12 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 - 12 e^{- 2 x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 12 e^{- 2 x} - 4$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }