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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{6 x - 13}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{6 x - 13}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{6 x - 13}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$6 x - 13$	=	$- 1$	\| $+ 13$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x + 1} - 9 \cdot 4^{x}$ = $- 64$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x + 1} - 9 \cdot 4^{x}$ = $- 64$

Wir müssen $2 \cdot 4^{x + 1}$ in $2 \cdot 4^{x} \cdot 4$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 4^{x} \cdot 4 - 9 \cdot 4^{x}$ = $- 64$

$8 \cdot 4^{x} - 9 \cdot 4^{x}$ = $- 64$

$- 4^{x}$	=	$- 64$	\|: $- 1$
$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

=

3

L={ $3$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $169 \cdot {1,3}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $169$

f(1) = $169$ ⋅ $1,3$

f(2) = $169$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(3) = $169$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(4) = $169$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,3$ multipliziert. Da $1,3$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,3$ -fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 5 e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):