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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $1$

$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

=

0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{2 x} - e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$4 e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(4 e^{x} - 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$4 e^{x}$	=	$1$	\|: $4$
$e^{x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{1}{4})$	≈ -1.3863

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{1}{4})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $3$ ) und B(-3| $\frac{1}{9}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $3$ ) und B(-3| $\frac{1}{9}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{1}{9}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $3$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{9}$ = $3 a^{- 3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$\frac{3}{a^{3}}$	=	$\frac{1}{9}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$\frac{3}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$\frac{1}{9} \cdot a^{3}$
$3$	=	$\frac{1}{9} a^{3}$

$3$	=	$\frac{1}{9} a^{3}$	\| $- 3$ $- \frac{1}{9} a^{3}$
$- \frac{1}{9} a^{3}$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 9)$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $3$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $3 \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):