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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 e^{- x}$ = $- 7$

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$- 8 e^{- x}$	=	$- 7$	\|: $- 8$
$e^{- x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (\frac{7}{8})$	≈ 0.1335

L={ $- \ln (\frac{7}{8})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 \cdot 2^{x} - 6$ = $- 2 \cdot 2^{x + 2}$

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$- 5 \cdot 2^{x} - 6$ = $- 2 \cdot 2^{x + 2}$ | $+ 2 \cdot 2^{x + 2}$ $+ 6$

$2 \cdot 2^{x + 2} - 5 \cdot 2^{x}$ = $6$

Wir müssen $2 \cdot 2^{x + 2}$ in $2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{2}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2^{x}$ = $6$

$8 \cdot 2^{x} - 5 \cdot 2^{x}$ = $6$

$3 \cdot 2^{x}$	=	$6$	\|: $3$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$ ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.25( $2$ ) ≈ 3.11 Wochen

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 12 e^{x} + 36$ = 0

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e^{2 x} - 12 e^{x} + 36

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

L={ $\ln (6)$ }

$\ln (6)$ ist 2-fache Lösung!