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cosh
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Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ -0.8473 |
2. Fall:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
2. Fall:
|
|
= | |
|
|
| x3 | = |
|
L={
Exponentialgleichungen (schwer)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
Zuerst spaltet man
|
|
= | ||
|
|
= | ||
|
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
|
= | |
|
|
|
|
= | |: |
|
|
|
= | |lg(⋅) | |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:
|
| x1 | = |
|
| x1 | = |
|
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)
Beispiel:
Ein Konto wird mit 5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.
Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also Bneu
= B +
Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in
Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).
Also TV = log1.05(
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
|
|
= | ||
|
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
≈ 0.5493 |
u2:
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
|
= | |: |
|
| x2 | = | ≈ 0 |
2. Fall:
|
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
