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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $6$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$6$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{3 x} + 4$ = 0

Lösung einblenden

$- 9 e^{3 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 9 e^{3 x}$	=	$- 4$	\|: $- 9$
$e^{3 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.2703

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{9})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3,2% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 3.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3.2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3.2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3.2}{100}$ ) ⋅ B = 1,032 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,032.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.032( $2$ ) ≈ 22.01 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }