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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - \frac{3}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{x - \frac{3}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - \frac{3}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - \frac{3}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2})$	=	$1$
$2 x - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{2 x + 1} - 625$ = $5 \cdot 5^{2 x}$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{2 x + 1} - 625$ = $5 \cdot 5^{2 x}$ | $- 5 \cdot 5^{2 x}$ $+ 625$

$2 \cdot 5^{2 x + 1} - 5 \cdot 5^{2 x}$ = $625$

Wir müssen $2 \cdot 5^{2 x + 1}$ in $2 \cdot 5^{2 x} \cdot 5$ aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 5^{2 x} \cdot 5 - 5 \cdot 5^{2 x}$ = $625$

$10 \cdot 5^{2 x} - 5 \cdot 5^{2 x}$ = $625$

$5 \cdot 5^{2 x}$	=	$625$	\|: $5$
$5^{2 x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{2 x})$	=	$\lg (125)$
$2 x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

$2 x$	=	$3$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={ $\frac{3}{2}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $\frac{2}{3}$ ) und B(-3| $\frac{1}{24}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{2}{3}$ ) und B(-3| $\frac{1}{24}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{2}{3}$ = $c \cdot a$
II: $\frac{1}{24}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{24}$ = $\frac{2}{3 a} \cdot \frac{1}{a^{3}}$

also

II: $\frac{1}{24}$ = $\frac{2}{3 a^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{4}$ weg!

$\frac{2}{3 a^{4}}$	=	$\frac{1}{24}$	\|⋅( $a^{4}$ )
$\frac{2}{3 a^{4}} \cdot a^{4}$	=	$\frac{1}{24} \cdot a^{4}$
$\frac{2}{3}$	=	$\frac{1}{24} a^{4}$

$\frac{2}{3}$	=	$\frac{1}{24} a^{4}$	\| $- \frac{2}{3}$ $- \frac{1}{24} a^{4}$
$- \frac{1}{24} a^{4}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅ $(- 24)$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 20$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):