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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $- 6$

$2 \cdot 3^{x}$	=	$- 6$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$- 3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$3^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 3$ sein.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{5 x}$ = $3 e^{x}$

Lösung einblenden

$9 e^{5 x}$	=	$3 e^{x}$	\| $- 3 e^{x}$
$9 e^{5 x} - 3 e^{x}$	=	0
$3 (3 e^{4 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{4 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$3 e^{4 x}$	=	$1$	\|: $3$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3})$	≈ -0.2747

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 32%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 32% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 32% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{32}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{32}{100}$ ) ⋅ B = 1,32 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,32.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.32( $2$ ) ≈ 2.5 Stunden

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 35 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 35 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):