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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $128$

$2 \cdot 4^{x}$	=	$128$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + \frac{1}{4}$

Lösung einblenden

$\ln (x) + \frac{1}{4}$	=	0	\| $- \frac{1}{4}$
$\ln (x)$	=	$- \frac{1}{4}$	\|e^(⋅)

x

=

\frac{1}{\sqrt[4]{e}}

L={ $\frac{1}{\sqrt[4]{e}}$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $\frac{1}{4}$ ) und B(-2| $\frac{1}{64}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $\frac{1}{4}$ ) und B(-2| $\frac{1}{64}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{4}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{1}{64}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{4}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{64}$ = $\frac{1}{4} a^{- 2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{2}$ weg!

$\frac{1}{4 a^{2}}$	=	$\frac{1}{64}$	\|⋅( $a^{2}$ )
$\frac{1}{4 a^{2}} \cdot a^{2}$	=	$\frac{1}{64} \cdot a^{2}$
$\frac{1}{4}$	=	$\frac{1}{64} a^{2}$

$\frac{1}{4}$	=	$\frac{1}{64} a^{2}$	\| $- \frac{1}{4}$ $- \frac{1}{64} a^{2}$
$- \frac{1}{64} a^{2}$	=	$- \frac{1}{4}$	\|⋅ $(- 64)$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{1}{4}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{4} \cdot 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Nullstellen bei ln-Funktionen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):