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cosh
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Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
L={ }
Man erkennt bereits bei = 5 die Lösung x = 1.
Exponentialgleichungen (schwer)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= |
=
Wir müssen in aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:
=
=
| = | |: | ||
| = | |lg(⋅) | ||
| = | |||
| = | |: | ||
| = |
| = |
L={ }
Term bestimmen (2 Punktproben)
Beispiel:
Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0|) und B(-4|) auf dem Graphen der Funktion f mit (a>0) liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0|) und B(-4|) in den Funktionsterm ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: =
II: =
Aus I ergibt sich ja sofort = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:
II: =
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = |
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = | | | ||
| a1 | = | = | |
| a2 | = | = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.
Von oben (I) wissen wir bereits: = c
Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit:
Exponentialgl. Substitution BF
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = 2
x2 = + = = 7
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.9459 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x2 | = | ≈ 0.6931 |
L={ ; }