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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $- 32$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$- 32$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$- 16$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$4^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 16$ sein.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{- x}$ = $7 e^{- 4 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{- x}$	=	$7 e^{- 4 x}$	\| $- 7 e^{- 4 x}$
$4 e^{- x} - 7 e^{- 4 x}$	=	0
$(4 e^{3 x} - 7) e^{- 4 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{3 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$4 e^{3 x}$	=	$7$	\|: $4$
$e^{3 x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{4})$	≈ 0.1865

2. Fall:

e^{- 4 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{4})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 14,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 14.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{14.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,858 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,858.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.858( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.53 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }