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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7^{- 3 x + 1}$ = $\frac{1}{7}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$7^{- 3 x + 1}$ = $\frac{1}{7}$

$7^{- 3 x + 1}$ = $7^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 7.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- 3 x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- 3 x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{2}{3}$

L={ $\frac{2}{3}$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{x}$ = $- 8 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$- 2 e^{x}$	=	$- 8 e^{- 3 x}$	\| $+ 8 e^{- 3 x}$
$- 2 e^{x} + 8 e^{- 3 x}$	=	0
$2 (- e^{4 x} + 4) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{4 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- e^{4 x}$	=	$- 4$	\|: $- 1$
$e^{4 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (4)$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (4)$	≈ 0.3466
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $4$ ) und B(-2| $\frac{1}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $4$ ) und B(-2| $\frac{1}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $c \cdot a$
II: $\frac{1}{16}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $4$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{16}$ = $\frac{4}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $\frac{1}{16}$ = $\frac{4}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$\frac{4}{a^{3}}$	=	$\frac{1}{16}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$\frac{4}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$\frac{1}{16} \cdot a^{3}$
$4$	=	$\frac{1}{16} a^{3}$

$4$	=	$\frac{1}{16} a^{3}$	\| $- 4$ $- \frac{1}{16} a^{3}$
$- \frac{1}{16} a^{3}$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 16)$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $4$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):