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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{4 x}$ = $4$

$6 e^{4 x}$	=	$4$	\|: $6$
$e^{4 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.1014

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{2}{3})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{2 x} + 5 e^{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 6 e^{2 x} + 5 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 6 e^{5 x} + 5) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{5 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 6 e^{5 x}$	=	$- 5$	\|: $- 6$
$e^{5 x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{6})$	≈ -0.0365

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{6})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- \frac{3}{4}$ ) und B(2| $- 12$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- \frac{3}{4}$ ) und B(2| $- 12$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{4}$ = $c \cdot 1$
II: $- 12$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{3}{4}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 12$ = $- \frac{3}{4} a^{2}$

$- \frac{3}{4} a^{2}$	=	$- 12$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{3}{4} \cdot 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):