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Kursstufe
cosh
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Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= | |⋅ | ||
= | |lg(⋅) | ||
= | |||
= | |: | ||
= |
= |
L={ }
Im Idealfall erkennt man bereits:
= 8
=
und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.
Exponentialgl. mit 2 e-Termen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= | | | ||
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | | ||
= | |: | ||
= | |ln(⋅) | ||
= | |: | ||
x1 | = | ≈ -0.2703 |
2. Fall:
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
Term bestimmen (2 Punktproben)
Beispiel:
Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1|) und B(-3|) auf dem Graphen der Funktion f mit (a>0) liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|) und B(-3|) in den Funktionsterm ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: =
II: =
Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir
I: ⋅ = c.
Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:
II: =
also
II: =
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
= | |⋅( ) | ||
= | |||
= |
= | | | ||
= | |⋅ | ||
= | | | ||
a1 | = |
|
=
|
a2 | = |
|
=
|
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.
Von oben (I) wissen wir bereits:
mit a=
Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit:
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |ln(⋅) | |
x1 | = |
|
≈ 1.0986 |
u2:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={