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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x} + 30$ = $62$

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x} + 30$	=	$62$	\| $- 30$
$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$32$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{- 6 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

$5 e^{- 6 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$5 e^{- 6 x}$	=	$5$	\|: $5$
$e^{- 6 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	0	\|: $- 6$
$x$	=	0	≈ 0

L={0}

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $8$ ) und B(3| $32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $8$ ) und B(3| $32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $8$ = $c \cdot a$
II: $32$ = $c \cdot a^{3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $32$ = $\frac{8}{a} \cdot a^{3}$

also

II: $32$ = $8 a^{2}$

$8 a^{2}$	=	$32$	\|: $8$
$a^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $4$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $4 \cdot 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - e^{4 x} - 2 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - e^{4 x} - 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 2) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgl. vermischt

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):