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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{4 x}$ = $7$

Lösung einblenden

$2 e^{4 x}$	=	$7$	\|: $2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{7}{2})$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{7}{2})$	≈ 0.3132

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{7}{2})$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 5$

Lösung einblenden

$\ln (x) - 5$	=	0	\| $+ 5$
$\ln (x)$	=	$5$	\|e^(⋅)

x

e^{5}

L={ $e^{5}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 4% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 0,96 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,96.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.96( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 16.98 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 1 - 30 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 1 - 30 e^{- 2 x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 30 e^{- 2 x} - 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - e^{2 x} - 30$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }