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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $2$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x} - 50 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 50 \cdot 5^{2 x}$ in $- 50 \cdot 5^{2 x}$ = $- 50 \cdot 5^{x + x}$ = $- 50 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$- 50 \cdot 5^{2 x} + 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$- 50 \cdot 5^{x + x} + 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$- 50 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} + 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$5^{x} (2 - 50 \cdot 5^{x})$	=	0
$5^{x} (- 50 \cdot 5^{x} + 2)$	=	0
$(- 50 \cdot 5^{x} + 2) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 50 \cdot 5^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 50 \cdot 5^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 50$
$5^{x}$	=	$\frac{1}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{25})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{25})$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{25})}{\lg (5)}$

x₁

=

- 2

2. Fall:

5^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $1$ ) und B(-2| $\frac{1}{16}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $1$ ) und B(-2| $\frac{1}{16}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{1}{16}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{16}$ = $a^{- 2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{2}$ weg!

$\frac{1}{a^{2}}$	=	$\frac{1}{16}$	\|⋅( $a^{2}$ )
$\frac{1}{a^{2}} \cdot a^{2}$	=	$\frac{1}{16} \cdot a^{2}$
$1$	=	$\frac{1}{16} a^{2}$

$1$	=	$\frac{1}{16} a^{2}$	\| $- 1$ $- \frac{1}{16} a^{2}$
$- \frac{1}{16} a^{2}$	=	$- 1$	\|⋅ $(- 16)$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):