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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-7 e -4x = -4

Lösung einblenden
-7 e -4x = -4 |:-7
e -4x = 4 7 |ln(⋅)
-4x = ln( 4 7 ) |:-4
x = - 1 4 ln( 4 7 ) ≈ 0.1399

L={ - 1 4 ln( 4 7 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( -2 e -4x +5 ) · ( x 2 -1 ) = 0

Lösung einblenden
( -2 e -4x +5 ) ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2 e -4x +5 = 0 | -5
-2 e -4x = -5 |:-2
e -4x = 5 2 |ln(⋅)
-4x = ln( 5 2 ) |:-4
x1 = - 1 4 ln( 5 2 ) ≈ -0.2291

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; - 1 4 ln( 5 2 ) ; 1 }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit f(t)= 84 0,7 t die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = 84

f(1) = 84 0,7

f(2) = 84 0,70,7

f(3) = 84 0,70,70,7

f(4) = 84 0,70,70,70,7

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit 0,7 multipliziert. Da 0,7 < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das 0,7-fache, also auf 70 % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x + e x -20 = 0

Lösung einblenden
e 2x + e x -20 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -20 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -20 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +80 2

u1,2 = -1 ± 81 2

u1 = -1 + 81 2 = -1 +9 2 = 8 2 = 4

u2 = -1 - 81 2 = -1 -9 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -20 ) = 1 4 + 20 = 1 4 + 80 4 = 81 4

x1,2 = - 1 2 ± 81 4

x1 = - 1 2 - 9 2 = - 10 2 = -5

x2 = - 1 2 + 9 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: e x = 4

e x = 4 |ln(⋅)
x1 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x1 = 2 ln( 2 )

u2: e x = -5

e x = -5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 2 ln( 2 ) }