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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $10$

$2 \cdot 5^{x}$	=	$10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

=

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 \cdot 6^{x} + 7 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 7 \cdot 6^{x} + 7 \cdot 4^{x}$ = 0| $+ 7 \cdot 6^{x}$

$7 \cdot 4^{x}$ = $7 \cdot 6^{x}$ | : $7$ : $6^{x}$

$\frac{4^{x}}{6^{x}}$ = $\frac{7}{7}$

${(\frac{4}{6})}^{x}$ = $1$

${(\frac{2}{3})}^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{2}{3})}^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (\frac{2}{3})$	=	0	\|: $\lg (\frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (\frac{2}{3})}$

x

=

0

L={0}

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- 1$ ) und B(2| $- 16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- 1$ ) und B(2| $- 16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot 1$
II: $- 16$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 16$ = $- a^{2}$

$- a^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - e^{x} - 20$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - e^{x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):