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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{6 x} + 5) \cdot (x + 9)$ = 0

(- e^{6 x} + 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{6 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- e^{6 x}$	=	$- 5$	\|: $- 1$
$e^{6 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (5)$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (5)$	≈ 0.2682

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $\frac{1}{6} \ln (5)$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 5$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 5$	=	0	\| $- 5$
$\ln (x)$	=	$- 5$	\|e^(⋅)

x

=

\frac{1}{e^{5}}

L={ $\frac{1}{e^{5}}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 15% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 15% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 1,15 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,15.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.15( $2$ ) ≈ 4.96 Wochen

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + e^{x} - 20 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + e^{x} - 20 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 20) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Nullstellen bei ln-Funktionen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):