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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x -2 = 1 3

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

3 x -2 = 1 3

3 x -2 = 3 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 3.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: x -2 und rechts: -1) gleichsetzen:

x -2 = -1 | +2
x = 1

L={ 1 }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-11 5 x +125 = -2 5 x +1

Lösung einblenden

-11 5 x +125 = -2 5 x +1 | +2 5 x +1 -125

2 5 x +1 -11 5 x = -125

Wir müssen 2 5 x +1 in 2 5 x · 5 aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

2 5 x · 5 -11 5 x = -125

10 5 x -11 5 x = -125

- 5 x = -125 |:-1
5 x = 125 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 125 )
x · lg( 5 ) = lg( 125 ) |: lg( 5 )
x = lg( 125 ) lg( 5 )
x = 3

L={ 3 }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 26%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also Bneu = B + 26 100 ⋅B = (1 + 26 100 ) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.26(2) ≈ 3 Stunden

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 -5 e -x -14 e -2x = 0

Lösung einblenden
1 -5 e -x -14 e -2x = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

-5 e -x -14 e -2x +1 = 0 |⋅ e 2x
e 2x -5 e x -14 = 0

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u -14 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -14 ) 21

u1,2 = +5 ± 25 +56 2

u1,2 = +5 ± 81 2

u1 = 5 + 81 2 = 5 +9 2 = 14 2 = 7

u2 = 5 - 81 2 = 5 -9 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - ( -14 ) = 25 4 + 14 = 25 4 + 56 4 = 81 4

x1,2 = 5 2 ± 81 4

x1 = 5 2 - 9 2 = - 4 2 = -2

x2 = 5 2 + 9 2 = 14 2 = 7

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = -2

e x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 7 ) }