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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $9$

$3^{x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (9)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 9

$3^{x}$ = $3^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{- 2 x}$ = $2 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$5 e^{- 2 x}$	=	$2 e^{- 3 x}$	\| $- 2 e^{- 3 x}$
$5 e^{- 2 x} - 2 e^{- 3 x}$	=	0
$(5 e^{x} - 2) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$5 e^{x}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{2}{5})$	≈ -0.9163

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{2}{5})$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $178 \cdot {(\frac{7}{5})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $178$

f(1) = $178$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(2) = $178$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(3) = $178$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

f(4) = $178$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$ ⋅ $\frac{7}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{7}{5}$ multipliziert. Da $\frac{7}{5}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{7}{5}$ -fache (oder auf das $\frac{140}{100}$ -fache), also auf $140$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 140% - 100% = 40 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 - 4 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 - 4 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} - 3$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 4$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):