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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $64$

$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \cdot 4^{x} + 3 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 4^{2 x}$ in $3 \cdot 4^{2 x}$ = $3 \cdot 4^{x + x}$ = $3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$3 \cdot 4^{2 x} - 3 \cdot 4^{x}$ = 0

$3 \cdot 4^{x + x} - 3 \cdot 4^{x}$ = 0

$3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} - 3 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} (3 \cdot 4^{x} - 3)$	=	0
$(3 \cdot 4^{x} - 3) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 4^{x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 \cdot 4^{x}$	=	$3$	\|: $3$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x₁

=

0

2. Fall:

4^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 5% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.95( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 13.51 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} + 1 - 20 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} + 1 - 20 e^{- x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 20 e^{- x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + e^{x} - 20$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):