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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{3 x + 7}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Lösung einblenden

$e^{3 x + 7}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{3 x + 7}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$3 x + 7$	=	$- 2$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - 11$

Lösung einblenden

$\ln (x) - 11$	=	0	\| $+ 11$
$\ln (x)$	=	$11$	\|e^(⋅)

x

e^{11}

L={ $e^{11}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $16$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 4 x \cdot e^{2 t x - 4 t} + 24 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $16$ ) in f mit $f(x) =$ $- 4 x \cdot e^{2 t x - 4 t} + 24 t$ :

$16$ = f( $2$ )

$16$ = $- 4 \cdot 2 \cdot e^{2 t \cdot 2 - 4 t} + 24 t$

$16$ = $- 4 \cdot 2 \cdot e^{4 t - 4 t} + 24 t$

$16$ = $- 4 \cdot 2 \cdot e^{0} + 24 t$

$16$ = $- 4 \cdot 2 \cdot 1 + 24 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $24 t - 8$ = $16$ nach t auflösen.

$24 t - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$24 t$	=	$24$	\|: $24$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 30

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }