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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $- 2$

$2 \cdot 2^{x}$	=	$- 2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 1$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x} - 162 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 162 \cdot 3^{2 x}$ in $- 162 \cdot 3^{2 x}$ = $- 162 \cdot 3^{x + x}$ = $- 162 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$- 162 \cdot 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 162 \cdot 3^{x + x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 162 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} \cdot (- 162 \cdot 3^{x} + 2)$	=	0
$(- 162 \cdot 3^{x} + 2) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 162 \cdot 3^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 162 \cdot 3^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 162$
$3^{x}$	=	$\frac{1}{81}$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{81})$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (\frac{1}{81})$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{81})}{\lg (3)}$

x₁

=

- 4

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $144 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $144$

f(1) = $144$ ⋅ $1,35$

f(2) = $144$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $144$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $144$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 4 e^{x} - 21$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):