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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{2 x - 2}$ = $\frac{1}{4}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$4^{2 x - 2}$ = $\frac{1}{4}$

$4^{2 x - 2}$ = $4^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x - 2$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x - 2$	=	$- 1$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{- 3 x} + 2$ = 0

Lösung einblenden

$- 7 e^{- 3 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 7 e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\|: $- 7$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $- 3$
$x$	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{2}{7})$	≈ 0.4176

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{2}{7})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 8$ ) und B(-2| $- \frac{1}{8}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 8$ ) und B(-2| $- \frac{1}{8}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 8$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{1}{8}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{1}{8}$ = $- \frac{8}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{8}{a^{3}}$	=	$- \frac{1}{8}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{8}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{1}{8} \cdot a^{3}$
$- 8$	=	$- \frac{1}{8} a^{3}$

$- 8$	=	$- \frac{1}{8} a^{3}$	\| $+ 8$ $+ \frac{1}{8} a^{3}$
$\frac{1}{8} a^{3}$	=	$8$	\|⋅ $8$
$a^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 8$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $- 2$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 2 \cdot 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 18 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 3 e^{4 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgl. vermischt

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):