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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 4}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Lösung einblenden

$e^{x - 4}$ = $\frac{1}{e^{2}}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x - 4}$ = $e^{- 2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
$x$	=	$2$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$e^{4 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (7)$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} \ln (7)$	≈ 0.4865

L={ $\frac{1}{4} \ln (7)$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $1$ | $\frac{1}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{t x - t} + 2 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $1$ | $\frac{1}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $- e^{t x - t} + 2 t$ :

$\frac{1}{3}$ = f( $1$ )

$\frac{1}{3}$ = $- e^{t \cdot 1 - t} + 2 t$

$\frac{1}{3}$ = $- e^{t - t} + 2 t$

$\frac{1}{3}$ = $- e^{0} + 2 t$

$\frac{1}{3}$ = $- 1 + 2 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $2 t - 1$ = $\frac{1}{3}$ nach t auflösen.

$2 t - 1$	=	$\frac{1}{3}$	\| $+ 1$
$2 t$	=	$\frac{4}{3}$	\|: $2$
$t$	=	$\frac{2}{3}$

Für t= $\frac{2}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 13 e^{2 x} + 42$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} - 13 e^{2 x} + 42

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }