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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{4 x - 7}$ = $e$

$e^{4 x - 7}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{4 x - 7}$ = $e$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$4 x - 7$	=	$1$	\| $+ 7$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 \cdot 4^{x} + 3$ = $- 2 \cdot 4^{x + 1}$

Lösung einblenden

$- 11 \cdot 4^{x} + 3$ = $- 2 \cdot 4^{x + 1}$ | $+ 2 \cdot 4^{x + 1}$ $- 3$

$2 \cdot 4^{x + 1} - 11 \cdot 4^{x}$ = $- 3$

Wir müssen $2 \cdot 4^{x + 1}$ in $2 \cdot 4^{x} \cdot 4$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 4^{x} \cdot 4 - 11 \cdot 4^{x}$ = $- 3$

$8 \cdot 4^{x} - 11 \cdot 4^{x}$ = $- 3$

$- 3 \cdot 4^{x}$	=	$- 3$	\|: $- 3$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

=

0

L={0}

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $117 \cdot {0,9}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $117$

f(1) = $117$ ⋅ $0,9$

f(2) = $117$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(3) = $117$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(4) = $117$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,9$ multipliziert. Da $0,9$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,9$ -fache, also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 4) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):