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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{x} + 3) \cdot (x^{4} - 6 x^{3})$ = 0

(- 7 e^{x} + 3) (x^{4} - 6 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 7 e^{x}$	=	$- 3$	\|: $- 7$
$e^{x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{3}{7})$	≈ -0.8473

2. Fall:

$x^{4} - 6 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $\ln (\frac{3}{7})$ ; 0; $6$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 \cdot 4^{x} - 2 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 2 \cdot 4^{2 x}$ in $- 2 \cdot 4^{2 x}$ = $- 2 \cdot 4^{x + x}$ = $- 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$- 2 \cdot 4^{2 x} + 8 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 4^{x + x} + 8 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} + 8 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} (8 - 2 \cdot 4^{x})$	=	0
$4^{x} (- 2 \cdot 4^{x} + 8)$	=	0
$(- 2 \cdot 4^{x} + 8) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 \cdot 4^{x} + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 2 \cdot 4^{x}$	=	$- 8$	\|: $- 2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x₁

=

1

2. Fall:

4^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$ ) ⋅ B = 1,05 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,05.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.05( $2$ ) ≈ 14.21 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 4 e^{3 x} + 3 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 4 e^{3 x} + 3 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):