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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $25$

$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 \cdot 5^{x} - 125$ = $- 2 \cdot 5^{x + 1}$

Lösung einblenden

$- 9 \cdot 5^{x} - 125$ = $- 2 \cdot 5^{x + 1}$ | $+ 2 \cdot 5^{x + 1}$ $+ 125$

$2 \cdot 5^{x + 1} - 9 \cdot 5^{x}$ = $125$

Wir müssen $2 \cdot 5^{x + 1}$ in $2 \cdot 5^{x} \cdot 5$ aufspalten um die beiden 5er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 5^{x} \cdot 5 - 9 \cdot 5^{x}$ = $125$

$10 \cdot 5^{x} - 9 \cdot 5^{x}$ = $125$

$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

=

3

L={ $3$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $109 \cdot {(\frac{49}{50})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $109$

f(1) = $109$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(2) = $109$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(3) = $109$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

f(4) = $109$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$ ⋅ $\frac{49}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{49}{50}$ multipliziert. Da $\frac{49}{50}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{49}{50}$ -fache (oder auf das $\frac{98}{100}$ -fache), also auf $98$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 98% = 2 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} - 4 - 12 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} - 4 - 12 e^{- x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 12 e^{- x} - 4$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 4 e^{x} - 12$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):