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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $1$

Lösung einblenden

$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 5 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{5 x} - 5) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{5 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$e^{5 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (5)$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (5)$	≈ 0.3219

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (5)$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $57 \cdot {1,25}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $57$

f(1) = $57$ ⋅ $1,25$

f(2) = $57$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(3) = $57$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

f(4) = $57$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$ ⋅ $1,25$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,25$ multipliziert. Da $1,25$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,25$ -fache, also auf $125$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 125% - 100% = 25 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 35

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }