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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 e^{- 3 x}$ = $- 6$

$- 7 e^{- 3 x}$	=	$- 6$	\|: $- 7$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 3$
$x$	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.0514

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{6}{7})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{2 x}$ = $- 5 e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$- 3 e^{2 x}$	=	$- 5 e^{- 2 x}$	\| $+ 5 e^{- 2 x}$
$- 3 e^{2 x} + 5 e^{- 2 x}$	=	0
$(- 3 e^{4 x} + 5) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{4 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 3 e^{4 x}$	=	$- 5$	\|: $- 3$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 0.1277

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{3})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $- 1$ ) und B(-2| $- \frac{1}{9}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $- 1$ ) und B(-2| $- \frac{1}{9}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot 1$
II: $- \frac{1}{9}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{9}$ = $- a^{- 2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{2}$ weg!

$- \frac{1}{a^{2}}$	=	$- \frac{1}{9}$	\|⋅( $a^{2}$ )
$- \frac{1}{a^{2}} \cdot a^{2}$	=	$- \frac{1}{9} \cdot a^{2}$
$- 1$	=	$- \frac{1}{9} a^{2}$

$- 1$	=	$- \frac{1}{9} a^{2}$	\| $+ 1$ $+ \frac{1}{9} a^{2}$
$\frac{1}{9} a^{2}$	=	$1$	\|⋅ $9$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 11 e^{x} + 30 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 11 e^{x} + 30 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

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Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):