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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $64$

$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2^{x} + 8 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $8 \cdot 2^{2 x}$ in $8 \cdot 2^{2 x}$ = $8 \cdot 2^{x + x}$ = $8 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$8 \cdot 2^{2 x} - 2^{x}$ = 0

$8 \cdot 2^{x + x} - 2^{x}$ = 0

$8 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 2^{x}$ = 0

$2^{x} \cdot (8 \cdot 2^{x} - 1)$	=	0
$(8 \cdot 2^{x} - 1) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 \cdot 2^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$8 \cdot 2^{x}$	=	$1$	\|: $8$
$2^{x}$	=	$\frac{1}{8}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{8})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{8})$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{8})}{\lg (2)}$

x₁

=

- 3

2. Fall:

2^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-3| $- \frac{1}{4}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-3| $- \frac{1}{4}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{1}{4}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 4$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{a} \cdot \frac{1}{a^{3}}$

also

II: $- \frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{a^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{4}$ weg!

$- \frac{4}{a^{4}}$	=	$- \frac{1}{4}$	\|⋅( $a^{4}$ )
$- \frac{4}{a^{4}} \cdot a^{4}$	=	$- \frac{1}{4} \cdot a^{4}$
$- 4$	=	$- \frac{1}{4} a^{4}$

$- 4$	=	$- \frac{1}{4} a^{4}$	\| $+ 4$ $+ \frac{1}{4} a^{4}$
$\frac{1}{4} a^{4}$	=	$4$	\|⋅ $4$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 4$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $- 2$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 2 \cdot 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 5 e^{x} + 4$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):