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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7^{3 x + 2}$ = $\frac{1}{7}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$7^{3 x + 2}$ = $\frac{1}{7}$

$7^{3 x + 2}$ = $7^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 7.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x + 2$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 e^{x}$ = $7 e^{- x}$

Lösung einblenden

7 e^{x}

7 e^{- x}

Da links und rechts jeweils die gleiche Basis (und der gleiche Koeffizient) steht,
sind die linke und die rechte Seite genau dann gleich, wenn die Exponenten gleich sind.
Wir setzen also nur die Exponenten gleich:

$x$	=	$- x$	\| $+ x$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $2$ | $20$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 10 t e^{x - 2} + 30$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $2$ | $20$ ) in f mit $f(x) =$ $- 10 t e^{x - 2} + 30$ :

$20$ = f( $2$ )

$20$ = $- 10 t e^{2 - 2} + 30$

$20$ = $- 10 t e^{0} + 30$

$20$ = $- 10 t + 30$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 10 t + 30$ = $20$ nach t auflösen.

$- 10 t + 30$	=	$20$	\| $- 30$
$- 10 t$	=	$- 10$	\|:( $- 10$ )
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 8 e^{x} + 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 8 e^{x} + 7

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (7)$ }