Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 \cdot 4^{x} - 3^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$4 \cdot 4^{x} - 3^{x}$ = 0| $- 4 \cdot 4^{x}$

$- 3^{x}$ = $- 4 \cdot 4^{x}$ | : $- 1$ : $4^{x}$

$\frac{3^{x}}{4^{x}}$ = $4$

${(\frac{3}{4})}^{x}$ = $4$

${(\frac{3}{4})}^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{3}{4})}^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (\frac{3}{4})$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (\frac{3}{4})$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (\frac{3}{4})}$

x

- 4,8188

L={ $- 4,8188$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $138 \cdot {0,9}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $138$

f(1) = $138$ ⋅ $0,9$

f(2) = $138$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(3) = $138$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

f(4) = $138$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$ ⋅ $0,9$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,9$ multipliziert. Da $0,9$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,9$ -fache, also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }