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cosh
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Exponentialgl. elementar
Beispiel:
Löse die Gleichung ohne WTR: =
=
Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.
=
Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:
| = | | | ||
| = |
Exponentialgl. vermischt
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ -0.2703 |
2. Fall:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| = | | | ||
| x3 | = | = | |
| x4 | = | = |
L={
;
;
prozentale Änderung bestimmen
Beispiel:
Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?
f(0) =
f(1) = ⋅
f(2) = ⋅ ⋅
f(3) = ⋅ ⋅ ⋅
f(4) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit multipliziert. Da < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das -fache, also auf % des vorherigen Funktionswertes.
Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 55% = 45 %
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = 4
x2 = + = 6
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ 0.8959 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x2 | = | ≈ 0.6931 | |
| x2 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ ; }