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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{- x} + 7$ = 0

Lösung einblenden

$- e^{- x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- e^{- x}$	=	$- 7$	\|: $- 1$
$e^{- x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (7)$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (7)$	≈ -1.9459

L={ $- \ln (7)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{- 4 x} + 2$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 e^{- 4 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 e^{- 4 x}$	=	$- 2$	\|: $- 2$
$e^{- 4 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	0	\|: $- 4$
$x$	=	0	≈ 0

L={0}

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $3$ ) und B(3| $27$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $3$ ) und B(3| $27$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $c \cdot a$
II: $27$ = $c \cdot a^{3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $27$ = $\frac{3}{a} \cdot a^{3}$

also

II: $27$ = $3 a^{2}$

$3 a^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $3^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (2)$ }