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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{4 x + 7}$ = $\frac{1}{e}$

Lösung einblenden

$e^{4 x + 7}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{4 x + 7}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$4 x + 7$	=	$- 1$	\| $- 7$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 9$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 9$	=	0	\| $- 9$
$\ln (x)$	=	$- 9$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e^{9}}

L={ $\frac{1}{e^{9}}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,4% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 8.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.4}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.4}{100}$ ) ⋅ B = 0,916 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,916.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.916( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 7.9 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 24$ = 0

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e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }