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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{3 x} + 7$ = 0

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$- 6 e^{3 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 6 e^{3 x}$	=	$- 7$	\|: $- 6$
$e^{3 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 0.0514

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{7}{6})$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 1$

Lösung einblenden

$\ln (x) + 1$	=	0	\| $- 1$
$\ln (x)$	=	$- 1$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e}

L={ $\frac{1}{e}$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 1$ | $\frac{22}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x \cdot e^{x + 1} + 4$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 1$ | $\frac{22}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $- 2 t x \cdot e^{x + 1} + 4$ :

$\frac{22}{3}$ = f( $- 1$ )

$\frac{22}{3}$ = $- 2 t \cdot (- 1) \cdot e^{- 1 + 1} + 4$

$\frac{22}{3}$ = $- 2 t \cdot (- 1) \cdot e^{0} + 4$

$\frac{22}{3}$ = $- 2 t \cdot (- 1) \cdot 1 + 4$

$\frac{22}{3}$ = $2 t + 4$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $2 t + 4$ = $\frac{22}{3}$ nach t auflösen.

$2 t + 4$	=	$\frac{22}{3}$	\| $- 4$
$2 t$	=	$\frac{10}{3}$	\|: $2$
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Für t= $\frac{5}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + e^{4 x} - 42 e^{x}$ = 0

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$e^{7 x} + e^{4 x} - 42 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 42) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 42

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }