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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $4$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$4$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3^{x} + 3 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 3^{2 x}$ in $3 \cdot 3^{2 x}$ = $3 \cdot 3^{x + x}$ = $3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$3 \cdot 3^{2 x} - 3^{x}$ = 0

$3 \cdot 3^{x + x} - 3^{x}$ = 0

$3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} - 3^{x}$ = 0

$3^{x} \cdot (3 \cdot 3^{x} - 1)$	=	0
$(3 \cdot 3^{x} - 1) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 3^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$3 \cdot 3^{x}$	=	$1$	\|: $3$
$3^{x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (3)}$

x₁

=

- 1

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 5 x \cdot e^{- 2 t x - 4 t} - 20 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ |0) in f mit $f(x) =$ $- 5 x \cdot e^{- 2 t x - 4 t} - 20 t$ :

0 = f( $- 2$ )

0 = $- 5 \cdot (- 2) \cdot e^{- 2 t \cdot (- 2) - 4 t} - 20 t$

0 = $- 5 \cdot (- 2) \cdot e^{4 t - 4 t} - 20 t$

0 = $- 5 \cdot (- 2) \cdot e^{0} - 20 t$

0 = $- 5 \cdot (- 2) \cdot 1 - 20 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 20 t + 10$ = 0 nach t auflösen.

$- 20 t + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 20 t$	=	$- 10$	\|:( $- 20$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t= $\frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - 9 e^{- x} + 18 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 - 9 e^{- x} + 18 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 9 e^{- x} + 18 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 9 e^{x} + 18$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):