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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 5}$ = $e^{2}$

$e^{x + 5}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
$x$	=	$- 3$

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{2 x - 1} - 4$ = $- 3^{2 x}$

Lösung einblenden

$3^{2 x - 1} - 4$ = $- 3^{2 x}$ | $+ 3^{2 x}$ $+ 4$

$3^{2 x - 1} + 3^{2 x}$ = $4$

Wir müssen $3^{2 x - 1}$ in $3^{2 x} \cdot 3^{- 1}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$3^{2 x} \cdot 3^{- 1} + 3^{2 x}$ = $4$

$\frac{1}{3} \cdot 3^{2 x} + 3^{2 x}$ = $4$ | ⋅ 3

$3^{2 x} + 3 \cdot 3^{2 x}$ = $12$

$4 \cdot 3^{2 x}$	=	$12$	\|: $4$
$3^{2 x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	$\lg (3)$
$2 x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

In einem Land hat man festgestellt, dass die Anzahl einer bestimmten Insektenart jedes Jahr um 15% abnimmt. Wann hat sich die Anzahl dieser Insektenart halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$ ) ⋅ B = 0,85 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,85.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.85( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 4.27 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - e^{3 x} - 30$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):