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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- \ln (x) + 8$

Lösung einblenden

$- \ln (x) + 8$	=	0	\| $- 8$
$- \ln (x)$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\ln (x)$	=	$8$	\|e^(⋅)

x

e^{8}

L={ $e^{8}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,2% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 6.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6.2}{100}$ ) ⋅ B = 1,062 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,062.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.062( $2$ ) ≈ 11.52 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + e^{4 x} - 20 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + e^{4 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 20

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }