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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{6 x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

$- e^{6 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- e^{6 x}$	=	$- 6$	\|: $- 1$
$e^{6 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (6)$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (6)$	≈ 0.2986

L={ $\frac{1}{6} \ln (6)$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 6 e^{x} - 7

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $189 \cdot {0,65}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $189$

f(1) = $189$ ⋅ $0,65$

f(2) = $189$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(3) = $189$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(4) = $189$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,65$ multipliziert. Da $0,65$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,65$ -fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }