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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{x} + 2) \cdot (x^{2} - 8 x)$ = 0

(- 4 e^{x} + 2) (x^{2} - 8 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 4 e^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 4$
$e^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.6931

2. Fall:

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $\ln (\frac{1}{2})$ ; 0; $8$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{- 2 x}$ = $- 4 e^{- 3 x}$

Lösung einblenden

$- 5 e^{- 2 x}$	=	$- 4 e^{- 3 x}$	\| $+ 4 e^{- 3 x}$
$- 5 e^{- 2 x} + 4 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 5 e^{x} + 4) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 5 e^{x}$	=	$- 4$	\|: $- 5$
$e^{x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{4}{5})$	≈ -0.2231

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{4}{5})$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $154 \cdot {1,05}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $154$

f(1) = $154$ ⋅ $1,05$

f(2) = $154$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(3) = $154$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

f(4) = $154$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$ ⋅ $1,05$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,05$ multipliziert. Da $1,05$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,05$ -fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 3 e^{x} - 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 3 e^{x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):