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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{- x + 1}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$2^{- x + 1}$ = $\frac{1}{2}$

$2^{- x + 1}$ = $2^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 2.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) - \frac{1}{4}$

Lösung einblenden

$\ln (x) - \frac{1}{4}$	=	0	\| $+ \frac{1}{4}$
$\ln (x)$	=	$\frac{1}{4}$	\|e^(⋅)

x

\sqrt[4]{e}

L={ $\sqrt[4]{e}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 5,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 5.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{5.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,948 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,948.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.948( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 12.98 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }