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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{- x}$ = $8 e^{- 6 x}$

Lösung einblenden

$5 e^{- x}$	=	$8 e^{- 6 x}$	\| $- 8 e^{- 6 x}$
$5 e^{- x} - 8 e^{- 6 x}$	=	0
$(5 e^{5 x} - 8) \cdot e^{- 6 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{5 x} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$5 e^{5 x}$	=	$8$	\|: $5$
$e^{5 x}$	=	$\frac{8}{5}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{8}{5})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{8}{5})$	≈ 0.094

2. Fall:

e^{- 6 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{8}{5})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4,2% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 4.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4.2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4.2}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4.2}{100}$ ) ⋅ B = 1,042 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,042.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.042( $2$ ) ≈ 16.85 Jahre

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 8

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }