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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{x} - 3$ = 0

$9 e^{x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$9 e^{x}$	=	$3$	\|: $9$
$e^{x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|ln(⋅)
$x$	=	$\ln (\frac{1}{3})$	≈ -1.0986

L={ $\ln (\frac{1}{3})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 75 \cdot 5^{x} + 3 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 5^{2 x}$ in $3 \cdot 5^{2 x}$ = $3 \cdot 5^{x + x}$ = $3 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$3 \cdot 5^{2 x} - 75 \cdot 5^{x}$ = 0

$3 \cdot 5^{x + x} - 75 \cdot 5^{x}$ = 0

$3 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} - 75 \cdot 5^{x}$ = 0

$5^{x} (3 \cdot 5^{x} - 75)$	=	0
$(3 \cdot 5^{x} - 75) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 5^{x} - 75$	=	0	\| $+ 75$
$3 \cdot 5^{x}$	=	$75$	\|: $3$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x₁

=

2

2. Fall:

5^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $133 \cdot {1,35}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $133$

f(1) = $133$ ⋅ $1,35$

f(2) = $133$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(3) = $133$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

f(4) = $133$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$ ⋅ $1,35$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,35$ multipliziert. Da $1,35$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,35$ -fache, also auf $135$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 135% - 100% = 35 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 3 e^{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 3 e^{x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):