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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-8 e -x = -7

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-8 e -x = -7 |:-8
e -x = 7 8 |ln(⋅)
-x = ln( 7 8 ) |:-1
x = - ln( 7 8 ) ≈ 0.1335

L={ - ln( 7 8 ) }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-5 2 x -6 = -2 2 x +2

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-5 2 x -6 = -2 2 x +2 | +2 2 x +2 +6

2 2 x +2 -5 2 x = 6

Wir müssen 2 2 x +2 in 2 2 x · 2 2 aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

2 2 x · 2 2 -5 2 x = 6

8 2 x -5 2 x = 6

3 2 x = 6 |:3
2 x = 2 |lg(⋅)
lg( 2 x ) = lg( 2 )
x · lg( 2 ) = lg( 2 ) |: lg( 2 )
x = lg( 2 ) lg( 2 )
x = 1

L={ 1 }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 25% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

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Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also Bneu = B + 25 100 ⋅B = (1 + 25 100 ) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: TV = loga(2).

Also TV = log1.25(2) ≈ 3.11 Wochen

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -12 e x +36 = 0

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e 2x -12 e x +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -12u +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · 1 · 36 21

u1,2 = +12 ± 144 -144 2

u1,2 = +12 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 12 2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -6 ) 2 - 36 = 36 - 36 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 6 ± 0 = 6

Rücksubstitution:

u1: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x1 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

u2: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x2 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

L={ ln( 6 ) }

ln( 6 ) ist 2-fache Lösung!