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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $4$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$4$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{2 x}$ = $- 4 e^{- x}$

Lösung einblenden

$- 9 e^{2 x}$	=	$- 4 e^{- x}$	\| $+ 4 e^{- x}$
$- 9 e^{2 x} + 4 e^{- x}$	=	0
$(- 9 e^{3 x} + 4) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{3 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 9 e^{3 x}$	=	$- 4$	\|: $- 9$
$e^{3 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.2703

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (\frac{4}{9})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $2$ ) und B(-3| $\frac{1}{8}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $2$ ) und B(-3| $\frac{1}{8}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $c \cdot a$
II: $\frac{1}{8}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{8}$ = $\frac{2}{a} \cdot \frac{1}{a^{3}}$

also

II: $\frac{1}{8}$ = $\frac{2}{a^{4}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{4}$ weg!

$\frac{2}{a^{4}}$	=	$\frac{1}{8}$	\|⋅( $a^{4}$ )
$\frac{2}{a^{4}} \cdot a^{4}$	=	$\frac{1}{8} \cdot a^{4}$
$2$	=	$\frac{1}{8} a^{4}$

$2$	=	$\frac{1}{8} a^{4}$	\| $- 2$ $- \frac{1}{8} a^{4}$
$- \frac{1}{8} a^{4}$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 8)$
$a^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
a₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $2$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $2^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 15 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):