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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $1$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{2 x + 1} - 2 \cdot 3^{2 x}$ = $4$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{2 x + 1} - 2 \cdot 3^{2 x}$ = $4$

Wir müssen $2 \cdot 3^{2 x + 1}$ in $2 \cdot 3^{2 x} \cdot 3$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 3^{2 x} \cdot 3 - 2 \cdot 3^{2 x}$ = $4$

$6 \cdot 3^{2 x} - 2 \cdot 3^{2 x}$ = $4$

$4 \cdot 3^{2 x}$	=	$4$	\|: $4$
$3^{2 x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	0
$2 x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 e^{2 t x + 4 t} - 6 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ |0) in f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 t x + 4 t} - 6 t$ :

0 = f( $- 2$ )

0 = $- 3 e^{2 t \cdot (- 2) + 4 t} - 6 t$

0 = $- 3 e^{- 4 t + 4 t} - 6 t$

0 = $- 3 e^{0} - 6 t$

0 = $- 3 - 6 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 6 t - 3$ = 0 nach t auflösen.

$- 6 t - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- 6 t$	=	$3$	\|:( $- 6$ )
$t$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t= $- \frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - 4 e^{- x} - 5 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 - 4 e^{- x} - 5 e^{- 2 x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 4 e^{- x} - 5 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 4 e^{x} - 5$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }