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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

9 e 2x = 4

Lösung einblenden
9 e 2x = 4 |:9
e 2x = 4 9 |ln(⋅)
2x = ln( 4 9 ) |:2
x = 1 2 ln( 4 9 ) ≈ -0.4055

L={ 1 2 ln( 4 9 ) }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 e 2x -6 = 0

Lösung einblenden
5 e 2x -6 = 0 | +6
5 e 2x = 6 |:5
e 2x = 6 5 |ln(⋅)
2x = ln( 6 5 ) |:2
x = 1 2 ln( 6 5 ) ≈ 0.0912

L={ 1 2 ln( 6 5 ) }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A(2|0) auf dem Graph der Funktion f mit ft(x)= 3 e t x -2 t +3 t ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(2|0) in f mit f(x)= 3 e t x -2 t +3 t :

0 = f(2)

0 = 3 e t 2 -2 t +3 t

0 = 3 e 2 t -2 t +3 t

0 = 3 e 0 +3 t

0 = 3 +3 t

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung 3t +3 = 0 nach t auflösen.

3t +3 = 0 | -3
3t = -3 |:3
t = -1

Für t= -1 liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -10 e x +21 = 0

Lösung einblenden
e 2x -10 e x +21 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +21 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 21 21

u1,2 = +10 ± 100 -84 2

u1,2 = +10 ± 16 2

u1 = 10 + 16 2 = 10 +4 2 = 14 2 = 7

u2 = 10 - 16 2 = 10 -4 2 = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 21 = 25 - 21 = 4

x1,2 = 5 ± 4

x1 = 5 - 2 = 3

x2 = 5 + 2 = 7

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = 3

e x = 3 |ln(⋅)
x2 = ln( 3 ) ≈ 1.0986

L={ ln( 3 ) ; ln( 7 ) }