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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x - 3}$ = $e^{2}$

$e^{x - 3}$ = $e^{2}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$x$	=	$5$

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 e^{2 x}$ = $e^{x}$

Lösung einblenden

$5 e^{2 x}$	=	$e^{x}$	\| $- e^{x}$
$5 e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(5 e^{x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$5 e^{x}$	=	$1$	\|: $5$
$e^{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{1}{5})$	≈ -1.6094

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{1}{5})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-2| $- \frac{1}{27}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-2| $- \frac{1}{27}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{1}{27}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 1$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{27}$ = $- \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{1}{27}$ = $- \frac{1}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{1}{a^{3}}$	=	$- \frac{1}{27}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{1}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{1}{27} \cdot a^{3}$
$- 1$	=	$- \frac{1}{27} a^{3}$

$- 1$	=	$- \frac{1}{27} a^{3}$	\| $+ 1$ $+ \frac{1}{27} a^{3}$
$\frac{1}{27} a^{3}$	=	$1$	\|⋅ $27$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 1$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{1}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{3} \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 24) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):