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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{5 x + \frac{21}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{5 x + \frac{21}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{5 x + \frac{21}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$5 x + \frac{21}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (5 x + \frac{21}{2})$	=	$1$
$10 x + 21$	=	$1$	\| $- 21$
$10 x$	=	$- 20$	\|: $10$
$x$	=	$- 2$

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 e^{- 2 x} + 7 e^{- 7 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 6 e^{- 2 x} + 7 e^{- 7 x}$	=	0
$(- 6 e^{5 x} + 7) \cdot e^{- 7 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{5 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 6 e^{5 x}$	=	$- 7$	\|: $- 6$
$e^{5 x}$	=	$\frac{7}{6}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{7}{6})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{6})$	≈ 0.0308

2. Fall:

e^{- 7 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{5} \ln (\frac{7}{6})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 1$ | $- \frac{8}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $4 t e^{x + 1} - 8$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 1$ | $- \frac{8}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $4 t e^{x + 1} - 8$ :

$- \frac{8}{3}$ = f( $- 1$ )

$- \frac{8}{3}$ = $4 t e^{- 1 + 1} - 8$

$- \frac{8}{3}$ = $4 t e^{0} - 8$

$- \frac{8}{3}$ = $4 t - 8$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $4 t - 8$ = $- \frac{8}{3}$ nach t auflösen.

$4 t - 8$	=	$- \frac{8}{3}$	\| $+ 8$
$4 t$	=	$\frac{16}{3}$	\|: $4$
$t$	=	$\frac{4}{3}$

Für t= $\frac{4}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 6 e^{4 x} + 8 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 6 e^{4 x} + 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):