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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $32$

$2 \cdot 4^{x}$	=	$32$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{4 x} - 5) \cdot (x^{2} + 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{4 x} - 5) (x^{2} + 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{4 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$8 e^{4 x}$	=	$5$	\|: $8$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{8}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{8})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{8})$	≈ -0.1175

2. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{8})$ ; 0}

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $150 \cdot {(\frac{26}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $150$

f(1) = $150$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $150$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $150$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $150$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{104}{100}$ -fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. vermischt

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):