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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $1$

$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x

=

0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 1

$5^{x}$ = 5⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 \cdot 4^{2 x - 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $256$

Lösung einblenden

$- 4 \cdot 4^{2 x - 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $256$

Wir müssen $- 4 \cdot 4^{2 x - 1}$ in $- 4 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 4 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $256$

$- 4^{2 x} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $256$

$4^{2 x}$	=	$256$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (256)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (256)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (256)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$4$	\|: $2$
$x$	=	$2$

L={ $2$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ | $18$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $3 x \cdot e^{2 t x + 4 t} + 12 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ | $18$ ) in f mit $f(x) =$ $3 x \cdot e^{2 t x + 4 t} + 12 t$ :

$18$ = f( $- 2$ )

$18$ = $3 \cdot (- 2) \cdot e^{2 t \cdot (- 2) + 4 t} + 12 t$

$18$ = $3 \cdot (- 2) \cdot e^{- 4 t + 4 t} + 12 t$

$18$ = $3 \cdot (- 2) \cdot e^{0} + 12 t$

$18$ = $3 \cdot (- 2) \cdot 1 + 12 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $12 t - 6$ = $18$ nach t auflösen.

$12 t - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$12 t$	=	$24$	\|: $12$
$t$	=	$2$

Für t= $2$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + e^{x} - 20 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} + e^{x} - 20 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 20) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):