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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{2 x} + 3$ = $21 \cdot 3^{2 x - 2}$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{2 x} + 3$ = $21 \cdot 3^{2 x - 2}$ | $- 21 \cdot 3^{2 x - 2}$ $- 3$

$- 21 \cdot 3^{2 x - 2} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 3$

Wir müssen $- 21 \cdot 3^{2 x - 2}$ in $- 21 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 21 \cdot 3^{2 x} \cdot 3^{- 2} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 3$

$- \frac{7}{3} \cdot 3^{2 x} + 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 3$ | ⋅ 3

$- 7 \cdot 3^{2 x} + 6 \cdot 3^{2 x}$ = $- 9$

$- 3^{2 x}$	=	$- 9$	\|: $- 1$
$3^{2 x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{2 x})$	=	$\lg (9)$
$2 x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 1$ | $5$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $5 t e^{x + 1} - 10$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 1$ | $5$ ) in f mit $f(x) =$ $5 t e^{x + 1} - 10$ :

$5$ = f( $- 1$ )

$5$ = $5 t e^{- 1 + 1} - 10$

$5$ = $5 t e^{0} - 10$

$5$ = $5 t - 10$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $5 t - 10$ = $5$ nach t auflösen.

$5 t - 10$	=	$5$	\| $+ 10$
$5 t$	=	$15$	\|: $5$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 15

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }