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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x} - 3$ = $13$

$4^{x} - 3$	=	$13$	\| $+ 3$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 48 \cdot 4^{x} + 3 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 4^{2 x}$ in $3 \cdot 4^{2 x}$ = $3 \cdot 4^{x + x}$ = $3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$3 \cdot 4^{2 x} - 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$3 \cdot 4^{x + x} - 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} - 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} (3 \cdot 4^{x} - 48)$	=	0
$(3 \cdot 4^{x} - 48) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 4^{x} - 48$	=	0	\| $+ 48$
$3 \cdot 4^{x}$	=	$48$	\|: $3$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x₁

=

2

2. Fall:

4^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ | $16$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $- 4 x \cdot e^{2 t x} + 8 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ | $16$ ) in f mit $f(x) =$ $- 4 x \cdot e^{2 t x} + 8 t$ :

$16$ = f( $0$ )

$16$ = $- 4 \cdot (0) \cdot e^{2 t \cdot (0)} + 8 t$

$16$ = $- 4 \cdot (0) \cdot e^{0} + 8 t$

$16$ = $- 4 \cdot (0) \cdot 1 + 8 t$

$16$ = $0 + 8 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $8 t$ = $16$ nach t auflösen.

$8 t$	=	$16$	\|: $8$
$t$	=	$2$

Für t= $2$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 4 e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 4 e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):