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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $2$

$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

=

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 7 \cdot 6^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$5^{x} - 7 \cdot 6^{x}$ = 0| $- 5^{x}$

$- 7 \cdot 6^{x}$ = $- 5^{x}$ | : $- 7$ : $5^{x}$

$\frac{6^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{1}{7}$

${(\frac{6}{5})}^{x}$ = $\frac{1}{7}$

${(\frac{6}{5})}^{x}$	=	$\frac{1}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{6}{5})}^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{7})$
$x \cdot \lg (\frac{6}{5})$	=	$\lg (\frac{1}{7})$	\|: $\lg (\frac{6}{5})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{7})}{\lg (\frac{6}{5})}$

x

=

- 10,673

L={ $- 10,673$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $\frac{2}{3}$ ) und B(-3| $\frac{1}{12}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $\frac{2}{3}$ ) und B(-3| $\frac{1}{12}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{2}{3}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{1}{12}$ = $c \cdot a^{- 3}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{2}{3}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{1}{12}$ = $\frac{2}{3} a^{- 3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$\frac{2}{3 a^{3}}$	=	$\frac{1}{12}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$\frac{2}{3 a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$\frac{1}{12} \cdot a^{3}$
$\frac{2}{3}$	=	$\frac{1}{12} a^{3}$

$\frac{2}{3}$	=	$\frac{1}{12} a^{3}$	\| $- \frac{2}{3}$ $- \frac{1}{12} a^{3}$
$- \frac{1}{12} a^{3}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|⋅ $(- 12)$
$a^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{2}{3}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{2}{3} \cdot 2^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):