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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 3}$ = $1$

$e^{x + 3}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 3}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
$x$	=	$- 3$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 3 x} - 4) \cdot (x^{3} - 9 x)$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 3 x} - 4) \cdot (x^{3} - 9 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 3 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$7 e^{- 3 x}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 0.1865

2. Fall:

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{4}{7})$ ; $3$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $190 \cdot {(\frac{11}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $190$

f(1) = $190$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(2) = $190$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(3) = $190$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(4) = $190$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{11}{10}$ multipliziert. Da $\frac{11}{10}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{11}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{110}{100}$ -fache), also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 2 e^{2 x} - 8 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 2 e^{2 x} - 8 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. vermischt

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):