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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{2 x - \frac{7}{2}}$ = $\sqrt{e}$

$e^{2 x - \frac{7}{2}}$ = $\sqrt{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{2 x - \frac{7}{2}}$ = $e^{\frac{1}{2}}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$2 x - \frac{7}{2}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{7}{2})$	=	$1$
$4 x - 7$	=	$1$	\| $+ 7$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{6 x} + 7) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{6 x} + 7) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{6 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 4 e^{6 x}$	=	$- 7$	\|: $- 4$
$e^{6 x}$	=	$\frac{7}{4}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{7}{4})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{7}{4})$	≈ 0.0933

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{6} \ln (\frac{7}{4})$ ; $2$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- \frac{5}{2}$ ) und B(-2| $- \frac{1}{50}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{5}{2}$ ) und B(-2| $- \frac{1}{50}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{5}{2}$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{1}{50}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- \frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{50}$ = $- \frac{5}{2 a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{1}{50}$ = $- \frac{5}{2 a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{5}{2 a^{3}}$	=	$- \frac{1}{50}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{5}{2 a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{1}{50} \cdot a^{3}$
$- \frac{5}{2}$	=	$- \frac{1}{50} a^{3}$

$- \frac{5}{2}$	=	$- \frac{1}{50} a^{3}$	\| $+ \frac{5}{2}$ $+ \frac{1}{50} a^{3}$
$\frac{1}{50} a^{3}$	=	$\frac{5}{2}$	\|⋅ $50$
$a^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- \frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $5$ eingesetzt erhalten wir so: $- \frac{1}{2}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \cdot 5^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 7 e^{x} + 10$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 7 e^{x} + 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

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Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. vermischt

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):