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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} - 4$ = $4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x} - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$8$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 16

$2^{x}$ = $2^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{2 x}$ = $e^{- 2 x}$

Lösung einblenden

$4 e^{2 x}$	=	$e^{- 2 x}$	\| $- e^{- 2 x}$
$4 e^{2 x} - e^{- 2 x}$	=	0
$(4 e^{4 x} - 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{4 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$4 e^{4 x}$	=	$1$	\|: $4$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$	≈ -0.3466

2. Fall:

e^{- 2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,8% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 6.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6.8}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6.8}{100}$ ) ⋅ B = 0,932 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,932.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.932( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.84 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 14 e^{x} + 49$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 14 e^{x} + 49

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

L={ $\ln (7)$ }

$\ln (7)$ ist 2-fache Lösung!