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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 4 x = 1 2

Lösung einblenden
1 2 4 x = 1 2 |⋅2
4 x = 1 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = 0
x · lg( 4 ) = 0 |: lg( 4 )
x = 0 lg( 4 )
x = 0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

4 x = 1

4 x = 40

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -4 e x +3 = 0

Lösung einblenden
e 2x -4 e x +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 21

u1,2 = +4 ± 16 -12 2

u1,2 = +4 ± 4 2

u1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

u2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

Rücksubstitution:

u1: e x = 3

e x = 3 |ln(⋅)
x1 = ln( 3 ) ≈ 1.0986

u2: e x = 1

e x = 1 |ln(⋅)
x2 = 0 ≈ 0

L={0; ln( 3 ) }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 12,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 12.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12.9% weggehen,
also Bneu = B - 12.9 100 ⋅B = (1 - 12.9 100 ) ⋅ B = 0,871 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in f(t)= c · a t ): a=0,871.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: TH = loga( 1 2 ).

Also TH = log0.871( 1 2 ) ≈ 5.02 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +2 e x -3 = 0

Lösung einblenden
e 2x +2 e x -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: e x = 1

e x = 1 |ln(⋅)
x1 = 0 ≈ 0

u2: e x = -3

e x = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}