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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x} + 4$ = $22$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x} + 4$	=	$22$	\| $- 4$
$2 \cdot 3^{x}$	=	$18$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (9)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 9

$3^{x}$ = $3^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \cdot 3^{x} + 9^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 3 \cdot 3^{x} + 9^{x}$ = 0| $+ 3 \cdot 3^{x}$

$9^{x}$ = $3 \cdot 3^{x}$ | : $1$ : $3^{x}$

$\frac{9^{x}}{3^{x}}$ = $3$

${(\frac{9}{3})}^{x}$ = $3$

$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6,4% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 6.4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 6.4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{6.4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{6.4}{100}$ ) ⋅ B = 1,064 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,064.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.064( $2$ ) ≈ 11.17 Jahre

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 14 e^{x} + 49$ = 0

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e^{2 x} - 14 e^{x} + 49

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

L={ $\ln (7)$ }

$\ln (7)$ ist 2-fache Lösung!