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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 \cdot 10^{x}$ = $11$

Lösung einblenden

$5 \cdot 10^{x}$	=	$11$	\|: $5$
$10^{x}$	=	$\frac{11}{5}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{11}{5})$	≈ 0.3424

L={ $\lg (\frac{11}{5})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x} - 32 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$2 \cdot 2^{x} - 32 \cdot 4^{x}$ = 0| $- 2 \cdot 2^{x}$

$- 32 \cdot 4^{x}$ = $- 2 \cdot 2^{x}$ | : $- 32$ : $2^{x}$

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$ = $\frac{2}{32}$

${(\frac{4}{2})}^{x}$ = $\frac{1}{16}$

$2^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (2)}$

x

- 4

L={ $- 4$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 7,2% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 7.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7.2}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{7.2}{100}$ ) ⋅ B = 0,928 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,928.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.928( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.28 Tage

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 4 e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }