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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 5}$ = $1$

Lösung einblenden

$e^{x + 5}$ = $1$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 5}$ = $e^{0}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
$x$	=	$- 5$

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + \frac{1}{5}$

Lösung einblenden

$\ln (x) + \frac{1}{5}$	=	0	\| $- \frac{1}{5}$
$\ln (x)$	=	$- \frac{1}{5}$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{\sqrt[5]{e}}

L={ $\frac{1}{\sqrt[5]{e}}$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $106 \cdot {(\frac{11}{10})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $106$

f(1) = $106$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(2) = $106$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(3) = $106$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

f(4) = $106$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$ ⋅ $\frac{11}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{11}{10}$ multipliziert. Da $\frac{11}{10}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{11}{10}$ -fache (oder auf das $\frac{110}{100}$ -fache), also auf $110$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 110% - 100% = 10 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }