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cosh
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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Exponentialgleichungen (einfach)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ 0.4055 |
2. Fall:
| = | | | ||
| = | | | ||
| x2 | = | = | |
| x3 | = | = |
L={ ; ; }
Exponentialgl. vermischt
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | |ln(⋅) | ||
| = | |: | ||
| x1 | = | ≈ -0.0411 |
2. Fall:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x3 | = |
L={
;
;
Term bestimmen (2 Punktproben)
Beispiel:
Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1|) und B(-2|) auf dem Graphen der Funktion f mit (a>0) liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|) und B(-2|) in den Funktionsterm ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: =
II: =
Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir
I: ⋅ = c.
Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:
II: =
also
II: =
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = |
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = | | | ||
| = | = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Von oben (I) wissen wir bereits: ⋅ = c
mit a= eingesetzt erhalten wir so: = c
Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit:
Exponentialgl. Substitution BF
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = 3
x2 = + = = 4
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.3863 | |
| x1 | = |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x2 | = | ≈ 1.0986 |
L={ ; }