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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $8$

$2 \cdot 2^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 \cdot 2^{x - 2} + 2$ = $- 2 \cdot 2^{x}$

Lösung einblenden

$- 9 \cdot 2^{x - 2} + 2$ = $- 2 \cdot 2^{x}$ | $+ 2 \cdot 2^{x}$ $- 2$

$- 9 \cdot 2^{x - 2} + 2 \cdot 2^{x}$ = $- 2$

Wir müssen $- 9 \cdot 2^{x - 2}$ in $- 9 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- 2}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 9 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- 2} + 2 \cdot 2^{x}$ = $- 2$

$- \frac{9}{4} \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{x}$ = $- 2$ | ⋅ 4

$- 9 \cdot 2^{x} + 8 \cdot 2^{x}$ = $- 8$

$- 2^{x}$	=	$- 8$	\|: $- 1$
$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $4$ ) und B(-2| $\frac{4}{9}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $4$ ) und B(-2| $\frac{4}{9}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{4}{9}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $4$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{4}{9}$ = $4 a^{- 2}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{2}$ weg!

$\frac{4}{a^{2}}$	=	$\frac{4}{9}$	\|⋅( $a^{2}$ )
$\frac{4}{a^{2}} \cdot a^{2}$	=	$\frac{4}{9} \cdot a^{2}$
$4$	=	$\frac{4}{9} a^{2}$

$4$	=	$\frac{4}{9} a^{2}$	\| $- 4$ $- \frac{4}{9} a^{2}$
$- \frac{4}{9} a^{2}$	=	$- 4$	\|⋅ $(- \frac{9}{4})$
$a^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
a₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $4$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $4 \cdot 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 10 e^{2 x} + 21 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 10 e^{2 x} + 21 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 21) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):