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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 e^{- x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

$9 e^{- x} - 7$	=	0	\| $+ 7$
$9 e^{- x}$	=	$7$	\|: $9$
$e^{- x}$	=	$\frac{7}{9}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{7}{9})$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (\frac{7}{9})$	≈ 0.2513

L={ $- \ln (\frac{7}{9})$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{7 x} + 7$ = 0

Lösung einblenden

$- 5 e^{7 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 5 e^{7 x}$	=	$- 7$	\|: $- 5$
$e^{7 x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{7}{5})$	\|: $7$
$x$	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{5})$	≈ 0.0481

L={ $\frac{1}{7} \ln (\frac{7}{5})$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $5 e^{- t x} - 10 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ |0) in f mit $f(x) =$ $5 e^{- t x} - 10 t$ :

0 = f( $0$ )

0 = $5 e^{- t \cdot (0)} - 10 t$

0 = $5 e^{0} - 10 t$

0 = $5 - 10 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 10 t + 5$ = 0 nach t auflösen.

$- 10 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 10 t$	=	$- 5$	\|:( $- 10$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t= $\frac{1}{2}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 35

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }