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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $- 27$

Lösung einblenden

3^{x}

- 27

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$3^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 27$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x} - 10 \cdot 25^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$2 \cdot 5^{x} - 10 \cdot 25^{x}$ = 0| $- 2 \cdot 5^{x}$

$- 10 \cdot 25^{x}$ = $- 2 \cdot 5^{x}$ | : $- 10$ : $5^{x}$

$\frac{25^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{2}{10}$

${(\frac{25}{5})}^{x}$ = $\frac{1}{5}$

$5^{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (5)}$

x

- 1

L={ $- 1$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $174 \cdot {0,95}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $174$

f(1) = $174$ ⋅ $0,95$

f(2) = $174$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(3) = $174$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

f(4) = $174$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$ ⋅ $0,95$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,95$ multipliziert. Da $0,95$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,95$ -fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 6 e^{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }