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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{- 2 x} - 3$ = 0

$6 e^{- 2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 e^{- 2 x}$	=	$3$	\|: $6$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 2$
$x$	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.3466

L={ $- \frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 \cdot 3^{x - 1} + 12$ = $- 2 \cdot 3^{x}$

Lösung einblenden

$- 10 \cdot 3^{x - 1} + 12$ = $- 2 \cdot 3^{x}$ | $+ 2 \cdot 3^{x}$ $- 12$

$- 10 \cdot 3^{x - 1} + 2 \cdot 3^{x}$ = $- 12$

Wir müssen $- 10 \cdot 3^{x - 1}$ in $- 10 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- 1}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 10 \cdot 3^{x} \cdot 3^{- 1} + 2 \cdot 3^{x}$ = $- 12$

$- \frac{10}{3} \cdot 3^{x} + 2 \cdot 3^{x}$ = $- 12$ | ⋅ 3

$- 10 \cdot 3^{x} + 6 \cdot 3^{x}$ = $- 36$

$- 4 \cdot 3^{x}$	=	$- 36$	\|: $- 4$
$3^{x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (9)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

x

=

2

L={ $2$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-2| $- \frac{1}{9}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-2| $- \frac{1}{9}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $c \cdot a$
II: $- \frac{1}{9}$ = $c \cdot a^{- 2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $- 3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- \frac{1}{9}$ = $- \frac{3}{a} \cdot \frac{1}{a^{2}}$

also

II: $- \frac{1}{9}$ = $- \frac{3}{a^{3}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^{3}$ weg!

$- \frac{3}{a^{3}}$	=	$- \frac{1}{9}$	\|⋅( $a^{3}$ )
$- \frac{3}{a^{3}} \cdot a^{3}$	=	$- \frac{1}{9} \cdot a^{3}$
$- 3$	=	$- \frac{1}{9} a^{3}$

$- 3$	=	$- \frac{1}{9} a^{3}$	\| $+ 3$ $+ \frac{1}{9} a^{3}$
$\frac{1}{9} a^{3}$	=	$3$	\|⋅ $9$
$a^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $3$ eingesetzt erhalten wir so: $- 1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $- 3^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 2 e^{x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):