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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $- 16$

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2^{x}

- 16

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 16$ sein.

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\ln (x) + 11$

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$\ln (x) + 11$	=	0	\| $- 11$
$\ln (x)$	=	$- 11$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e^{11}}

L={ $\frac{1}{e^{11}}$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 3% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

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Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.97( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 22.76 Jahre

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 18 e^{x}$ = 0

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$e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 18 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 9 e^{x} + 18) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 9 e^{x} + 18

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (6)$ }