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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{3 x - 3}$ = $\frac{1}{4}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$4^{3 x - 3}$ = $\frac{1}{4}$

$4^{3 x - 3}$ = $4^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x - 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$2$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{2}{3}$

L={ $\frac{2}{3}$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 5 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 5 \cdot 5^{2 x}$ in $- 5 \cdot 5^{2 x}$ = $- 5 \cdot 5^{x + x}$ = $- 5 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$- 5 \cdot 5^{2 x} + 5^{x}$ = 0

$- 5 \cdot 5^{x + x} + 5^{x}$ = 0

$- 5 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} + 5^{x}$ = 0

$5^{x} (- 5 \cdot 5^{x} + 1)$	=	0
$(- 5 \cdot 5^{x} + 1) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 \cdot 5^{x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 5 \cdot 5^{x}$	=	$- 1$	\|: $- 5$
$5^{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (5)}$

x₁

=

- 1

2. Fall:

5^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $77 \cdot {(\frac{26}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $77$

f(1) = $77$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(2) = $77$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(3) = $77$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

f(4) = $77$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$ ⋅ $\frac{26}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{26}{25}$ multipliziert. Da $\frac{26}{25}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{26}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{104}{100}$ -fache), also auf $104$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 104% - 100% = 4 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 4 e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):