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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 e^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$6 e^{x}$	=	$4$	\|: $6$
$e^{x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	≈ -0.4055

L={ $\ln (\frac{2}{3})$ }

Nullstellen bei ln-Funktionen

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 \ln (x) + 20$

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$2 \ln (x) + 20$	=	0	\| $- 20$
$2 \ln (x)$	=	$- 20$	\|: $2$
$\ln (x)$	=	$- 10$	\|e^(⋅)

x

\frac{1}{e^{10}}

L={ $\frac{1}{e^{10}}$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $49 \cdot {1,3}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $49$

f(1) = $49$ ⋅ $1,3$

f(2) = $49$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(3) = $49$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

f(4) = $49$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$ ⋅ $1,3$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $1,3$ multipliziert. Da $1,3$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $1,3$ -fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 8

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }