Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $25$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 e^{- 4 x} + 3$ = 0

Lösung einblenden

$- 8 e^{- 4 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 8 e^{- 4 x}$	=	$- 3$	\|: $- 8$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 4$
$x$	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.2452

L={ $- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{8})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Konto wird mit 5,1% verzinst.Bestimme die Zeit bis sich der Kontostand verdoppelt hat.

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 5.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5.1% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5.1}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{5.1}{100}$ ) ⋅ B = 1,051 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,051.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.051( $2$ ) ≈ 13.93 Jahre

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 12$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 12

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }