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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{2 x - 3}$ = $\frac{1}{5}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$5^{2 x - 3}$ = $\frac{1}{5}$

$5^{2 x - 3}$ = $5^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 5.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $2 x - 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$2 x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \cdot 2^{x} + 12 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 3 \cdot 2^{x} + 12 \cdot 4^{x}$ = 0| $+ 3 \cdot 2^{x}$

$12 \cdot 4^{x}$ = $3 \cdot 2^{x}$ | : $12$ : $2^{x}$

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$ = $\frac{3}{12}$

${(\frac{4}{2})}^{x}$ = $\frac{1}{4}$

$2^{x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{4})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{4})$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{4})}{\lg (2)}$

x

=

- 2

L={ $- 2$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 6,9% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 6.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6.9}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6.9}{100}$ ) ⋅ B = 0,931 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,931.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.931( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 9.69 Tage

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + e^{3 x} - 12 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + e^{3 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):