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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $125$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \cdot 6^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$3 \cdot 6^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0| $- 3 \cdot 6^{x}$

$- 2 \cdot 4^{x}$ = $- 3 \cdot 6^{x}$ | : $- 2$ : $6^{x}$

$\frac{4^{x}}{6^{x}}$ = $\frac{3}{2}$

${(\frac{4}{6})}^{x}$ = $\frac{3}{2}$

${(\frac{2}{3})}^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{2}{3})}^{x})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$x \cdot \lg (\frac{2}{3})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (\frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (\frac{2}{3})}$

x

- 1

L={ $- 1$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $0$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $e^{t x} + 3 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $0$ |0) in f mit $f(x) =$ $e^{t x} + 3 t$ :

0 = f( $0$ )

0 = $e^{t \cdot (0)} + 3 t$

0 = $e^{0} + 3 t$

0 = $1 + 3 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $3 t + 1$ = 0 nach t auflösen.

$3 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 t$	=	$- 1$	\|: $3$
$t$	=	$- \frac{1}{3}$

Für t= $- \frac{1}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{x} + 2 - 15 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{x} + 2 - 15 e^{- x}

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 15 e^{- x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }