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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{- 3 x}$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- 2 e^{- 3 x}$	=	$- 7$	\|: $- 2$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{7}{2})$	\|: $- 3$
$x$	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{2})$	≈ -0.4176

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{2})$ }

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 e^{- x} + 4$ = 0

Lösung einblenden

$- 9 e^{- x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 9 e^{- x}$	=	$- 4$	\|: $- 9$
$e^{- x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (\frac{4}{9})$	≈ 0.8109

L={ $- \ln (\frac{4}{9})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(0| $1$ ) und B(2| $16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(0| $1$ ) und B(2| $16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $c \cdot 1$
II: $16$ = $c \cdot a^{2}$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $16$ = $a^{2}$

$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Wegen a>0 fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $1$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $4^{x}$

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + e^{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + e^{x} - 6

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }