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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{- x - 3}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$2^{- x - 3}$ = $\frac{1}{2}$

$2^{- x - 3}$ = $2^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 2.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- x - 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- x - 3$	=	$- 1$	\| $+ 3$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 \cdot 4^{x - 1} + 192$ = $- 4^{x}$

Lösung einblenden

$- 7 \cdot 4^{x - 1} + 192$ = $- 4^{x}$ | $+ 4^{x}$ $- 192$

$- 7 \cdot 4^{x - 1} + 4^{x}$ = $- 192$

Wir müssen $- 7 \cdot 4^{x - 1}$ in $- 7 \cdot 4^{x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 7 \cdot 4^{x} \cdot 4^{- 1} + 4^{x}$ = $- 192$

$- \frac{7}{4} \cdot 4^{x} + 4^{x}$ = $- 192$ | ⋅ 4

$- 7 \cdot 4^{x} + 4 \cdot 4^{x}$ = $- 768$

$- 3 \cdot 4^{x}$	=	$- 768$	\|: $- 3$
$4^{x}$	=	$256$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (256)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (256)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (256)}{\lg (4)}$

x

=

4

L={ $4$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ | $- \frac{28}{3}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $4 t x \cdot e^{x + 2} + 12$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ | $- \frac{28}{3}$ ) in f mit $f(x) =$ $4 t x \cdot e^{x + 2} + 12$ :

$- \frac{28}{3}$ = f( $- 2$ )

$- \frac{28}{3}$ = $4 t \cdot (- 2) \cdot e^{- 2 + 2} + 12$

$- \frac{28}{3}$ = $4 t \cdot (- 2) \cdot e^{0} + 12$

$- \frac{28}{3}$ = $4 t \cdot (- 2) \cdot 1 + 12$

$- \frac{28}{3}$ = $- 8 t + 12$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $- 8 t + 12$ = $- \frac{28}{3}$ nach t auflösen.

$- 8 t + 12$	=	$- \frac{28}{3}$	\| $- 12$
$- 8 t$	=	$- \frac{64}{3}$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{8}{3}$

Für t= $\frac{8}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):