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Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

=

0

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 1

$2^{x}$ = 2⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 e^{6 x} + 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 8 e^{6 x} + 4 e^{2 x}$	=	0
$4 (- 2 e^{4 x} + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{4 x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 e^{4 x}$	=	$- 1$	\|: $- 2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.1733

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$ }

Term bestimmen (2 Punktproben)

Beispiel:

Bestimme c und a>0 so, dass die Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $12$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ (a>0) liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $12$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $c \cdot a^{x}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $c \cdot a$
II: $12$ = $c \cdot a^{2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $12$ = $\frac{3}{a} \cdot a^{2}$

also

II: $12$ = $3 a$

$3 a$	=	$12$	\|: $3$
$a$	=	$4$

Von oben (I) wissen wir bereits: $3$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} \cdot 4^{x}$

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 8 e^{3 x} + 7 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 8 e^{3 x} + 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 8 e^{x} + 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 8 e^{x} + 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (7)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Term bestimmen (2 Punktproben)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):