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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $8$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$8$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

=

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 16

$2^{x}$ = $2^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $2 \cdot 2^{2 x}$ in $2 \cdot 2^{2 x}$ = $2 \cdot 2^{x + x}$ = $2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$2 \cdot 2^{2 x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2 \cdot 2^{x + x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (2 \cdot 2^{x} - 2)$	=	0
$(2 \cdot 2^{x} - 2) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 \cdot 2^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x₁

=

0

2. Fall:

2^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $13 \cdot {(\frac{23}{25})}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $13$

f(1) = $13$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(2) = $13$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(3) = $13$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

f(4) = $13$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$ ⋅ $\frac{23}{25}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{23}{25}$ multipliziert. Da $\frac{23}{25}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{23}{25}$ -fache (oder auf das $\frac{92}{100}$ -fache), also auf $92$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 92% = 8 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

prozentale Änderung bestimmen

Exponentialgl. Substitution BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):