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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{x + 2}$ = $\frac{1}{e}$

$e^{x + 2}$ = $\frac{1}{e}$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{x + 2}$ = $e^{- 1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 3$

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 4 x} - 4) \cdot (x^{4} + 8 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 4 x} - 4) (x^{4} + 8 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 4 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 e^{- 4 x}$	=	$4$	\|: $3$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{4}{3})$	≈ -0.0719

2. Fall:

$x^{4} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{4}{3})$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 8,1% seines Bestands. Bestimme die Halbwertszeit dieses radioaktives Elements.

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 8.1% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 8.1% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{8.1}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{8.1}{100}$ ) ⋅ B = 0,919 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,919.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.919( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 8.21 Tage

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 4 e^{2 x} - 21 e^{- x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 4 e^{2 x} - 21 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgl. elementar

Exponentialgl. vermischt

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):