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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{2 x} - 6$ = 0

$3 e^{2 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 e^{2 x}$	=	$6$	\|: $3$
$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$162 \cdot 3^{x} - 2 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 2 \cdot 3^{2 x}$ in $- 2 \cdot 3^{2 x}$ = $- 2 \cdot 3^{x + x}$ = $- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$- 2 \cdot 3^{2 x} + 162 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x + x} + 162 \cdot 3^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} + 162 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} \cdot (- 2 \cdot 3^{x} + 162)$	=	0
$(- 2 \cdot 3^{x} + 162) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 \cdot 3^{x} + 162$	=	0	\| $- 162$
$- 2 \cdot 3^{x}$	=	$- 162$	\|: $- 2$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x₁

=

4

2. Fall:

3^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ |0) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $x \cdot e^{2 t x + 4 t} + 2 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ |0) in f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{2 t x + 4 t} + 2 t$ :

0 = f( $- 2$ )

0 = $- 2 \cdot e^{2 t \cdot (- 2) + 4 t} + 2 t$

0 = $- 2 \cdot e^{- 4 t + 4 t} + 2 t$

0 = $- 2 \cdot e^{0} + 2 t$

0 = $- 2 \cdot 1 + 2 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $2 t - 2$ = 0 nach t auflösen.

$2 t - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 t$	=	$2$	\|: $2$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 9 + 18 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 9 + 18 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 18 e^{- 2 x} - 9$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 18$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgleichungen (schwer)

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):