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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $4$

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$4$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

=

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{- 7 x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

$- e^{- 7 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- e^{- 7 x}$	=	$- 6$	\|: $- 1$
$e^{- 7 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (6)$	\|: $- 7$
$x$	=	$- \frac{1}{7} \ln (6)$	≈ -0.256

L={ $- \frac{1}{7} \ln (6)$ }

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A( $- 2$ | $\frac{29}{2}$ ) auf dem Graph der Funktion f mit $f_{t} (x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 t x - 4 t} + 6 t$ ?

Lösung einblenden

Wir machen einfach eine Punktprobe mit A( $- 2$ | $\frac{29}{2}$ ) in f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{- 2 t x - 4 t} + 6 t$ :

$\frac{29}{2}$ = f( $- 2$ )

$\frac{29}{2}$ = $\frac{1}{2} e^{- 2 t \cdot (- 2) - 4 t} + 6 t$

$\frac{29}{2}$ = $\frac{1}{2} e^{4 t - 4 t} + 6 t$

$\frac{29}{2}$ = $\frac{1}{2} e^{0} + 6 t$

$\frac{29}{2}$ = $\frac{1}{2} + 6 t$

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung $6 t + \frac{1}{2}$ = $\frac{29}{2}$ nach t auflösen.

$6 t + \frac{1}{2}$	=	$\frac{29}{2}$	\|⋅ 2
$2 (6 t + \frac{1}{2})$	=	$29$
$12 t + 1$	=	$29$	\| $- 1$
$12 t$	=	$28$	\|: $12$
$t$	=	$\frac{7}{3}$

Für t= $\frac{7}{3}$ liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 6 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 7 e^{3 x} + 6 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. vermischt

Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)

Exponentialgl. Substitution

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):