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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $27$

Lösung einblenden

$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{2 x} - 3) \cdot (x - 5)$ = 0

Lösung einblenden

(2 e^{2 x} - 3) \cdot (x - 5)

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 e^{2 x}$	=	$3$	\|: $2$
$e^{2 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.2027

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$ ; $5$ }

prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $27 \cdot {0,5}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $27$

f(1) = $27$ ⋅ $0,5$

f(2) = $27$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

f(3) = $27$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

f(4) = $27$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$ ⋅ $0,5$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,5$ multipliziert. Da $0,5$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,5$ -fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }