Wir können insgesamt 16 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 16 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{16}$

Wir können insgesamt 6 Sektoren erkennen.

Davon sind 1 eingefärbt.

Es sind also 1 von 6 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{1}{6}$

Wir haben eine Tabelle mit 5 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 30 Zellen. $\frac{1}{15}$ von 30 ist 2.

Somit müssen 2 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 4 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Viertel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{4}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{4}$ links im Rechteck abgetragen.

1 km sind ja 1000 m.

Also sind ein $\frac{1}{2}$ km doch gerade 1000 m : 2 = 500 m.

Ein $\frac{1}{7}$ von 630 Apfelbäume sind 630 : 7 = 90 Apfelbäume.

Also sind $\frac{6}{7}$ von 630 Apfelbäume 6 ⋅ 90 = 540 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{6}{7}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{7}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{7}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 10 Brötchen sind 10 : 2 = 5 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1m in 100 cm um.

Ein $\frac{1}{25}$ von 100 cm sind 100 cm : 25 = 4 cm.

$\frac{22}{25}$ von 100 cm sind also 22 ⋅ 4 cm = 88 cm.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 60 min sind 60 min : 2 = 30 min.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{2}$ h ist ein $\frac{1}{2}$ von 60 min, also 60 min : 2 = 30 min

1,5 h sind 1 h + $\frac{1}{2}$ h, also 1⋅60 + $\frac{1}{2}$⋅60 = 60 + 30 = 90 min

Insgesamt haben wir somit 30 min + 90 min = 120 min

Um herauszufinden wie viele volle h in den 120 min stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 120 ist. Wir teilen also 120 als 120 + 0 auf und erhalten somit:
120 min = 2 h und 0 min

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 7:

$\frac{11}{7}$ = $\frac{\mathrm{11\; \cdot \; 7}}{\mathrm{7\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{77}{49}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (10) und Nenner (25) sind:

$\frac{10}{25}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{2}{5}$

$\frac{10}{25}$ = $\frac{2}{5}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 2 nachher der neue Nenner 32 wird.

Wir müssen also mit 32 : 2 = 16 erweitern.

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 16}}{\mathrm{2\; \cdot \; 16}}$ = $\frac{16}{32}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{2}{2}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 3, weil die Markierung eben auf dem 3-ten Strichchen liegt.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{3}{2}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{9}{10}$ = $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{100}}$ = 90%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 4 und 5 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen 4 und 5 liegt, muss der gemischte Bruch $4\frac{1}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $4\frac{1}{4}$ = $\frac{16}{4}$ $+\frac{1}{4}$ = $\frac{17}{4}$

Vergleich von $\frac{7}{8}$ und $\frac{3}{4}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$

Also gilt: $\frac{7}{8}$ > $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$.

Vergleich von $\frac{20}{17}$ und $\frac{19}{17}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 17 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 17 teilt). Es gilt hier also $\frac{20}{17}$ > $\frac{19}{17}$

Vergleich von $\frac{3}{5}$ und $\frac{6}{11}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{10}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{3}{5}$=$\frac{6}{10}$ > $\frac{6}{11}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{5}$ > $\frac{6}{11}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 24 und 25.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{24}{17}$ = $\frac{48}{34}$ und $\frac{25}{17}$ = $\frac{50}{34}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 48 und 50, nämlich 49, somit ist also $\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{34}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{24}{17}$ = $\frac{48}{34}$ und $\frac{25}{17}$ = $\frac{50}{34}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$-\frac{1}{3}$ = $-\frac{1}{3}$ und $0$ = $\frac{0}{3}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 0.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{1}{3}$ = $-\frac{2}{6}$ und $\frac{0}{3}$ = $\frac{0}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -2 und 0, nämlich -1, somit ist also $-\frac{1}{6}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{1}{3}$ = $-\frac{2}{6}$ und $0$ = $\frac{0}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{28}{5}$ = $\frac{\mathrm{25\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{25}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $5$ + $\frac{3}{5}$ = $5\frac{3}{5}$

$4\frac{3}{4}$

$\frac{23}{4}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 3}}{4}$ = $\frac{20}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $5$ + $\frac{3}{4}$ = $5\frac{3}{4}$

Jetzt sieht man sofort, dass $4\frac{3}{4}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $5\frac{3}{5}$ oder $5\frac{3}{4}$ größer ist.
Da ja beide die 5 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{3}{5}$ und $\frac{3}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 3 im Zähler haben, muss $\frac{3}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 3 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{3}{4}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$4\frac{3}{4}$ < $5\frac{3}{5}$ < $5\frac{3}{4}$ , also

$4\frac{3}{4}$ < $\frac{28}{5}$ < $\frac{23}{4}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

9 = 8 + 1 = 4⋅2 + 1

also gilt:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 2\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 2}}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 4 + $\frac{1}{2}$

Somit gilt: $\frac{9}{2}$ = $4\frac{1}{2}$