Wir können insgesamt 20 Quadrate erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 20 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{20}$

Wir können insgesamt 9 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{9}$

Wir haben eine Tabelle mit 5 Spalten und 4 Zeilen, also insgesamt 20 Zellen. $\frac{3}{10}$ von 20 ist 6, weil $\frac{1}{\mathrm{10}}$ von 20 ja = 2 ist und 3⋅2 = 6 ist.

Somit müssen 6 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 m sind ja 100 cm.

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{50}}$ m doch gerade 100 cm : 50 = 2 cm.

Ein $\frac{1}{2}$ von 160 Mädchen sind 160 : 2 = 80 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{1}{2}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{7}$ von 63 Kartoffeln sind 63 : 7 = 9 Kartoffeln.

Also sind $\frac{5}{7}$ von 63 Kartoffeln 5 ⋅ 9 = 45 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 1000 m sind 1000 m : 4 = 250 m.

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{3}$ von 24 h sind 24 h : 3 = 8 h.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{2}$ h ist ein $\frac{1}{2}$ von 60 min, also 60 min : 2 = 30 min

Eine $\frac{1}{4}$ h ist ein $\frac{1}{4}$ von 60 min, also 60 min : 4 = 15 min

Insgesamt haben wir somit 30 min - 15 min = 15 min

Weil 15 min kleiner als 1 h à 60 min ist, ist das Ergebnis somit 0 h und 15 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 3:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 3}}{\mathrm{4\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{9}{12}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (50) und Nenner (35) sind:

$\frac{50}{35}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{10}{7}$

$\frac{50}{35}$ = $\frac{10}{7}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 4 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 4 = 25 erweitern.

$\frac{5}{4}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 25}}{\mathrm{4\; \cdot \; 25}}$ = $\frac{125}{100}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 6 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{6}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{6}$

15% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

15% = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{20}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 4 und 5 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Da die Markierung auf dem 2-ten Strichchen zwischen 4 und 5 liegt, muss der gemischte Bruch $4\frac{2}{5}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $4\frac{2}{5}$ = $\frac{20}{5}$ $+\frac{2}{5}$ = $\frac{22}{5}$

Vergleich von $\frac{6}{7}$ und $\frac{5}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{6}{7}$ > $\frac{5}{7}$

Vergleich von $\frac{20}{17}$ und $\frac{10}{9}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{10}{9}$ = $\frac{20}{18}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{20}{17}$ > $\frac{20}{18}$=$\frac{10}{9}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{20}{17}$ > $\frac{10}{9}$

Vergleich von $\frac{10}{9}$ und $\frac{5}{4}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{5}{4}$ = $\frac{10}{8}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{10}{9}$ < $\frac{10}{8}$=$\frac{5}{4}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{10}{9}$ < $\frac{5}{4}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{11}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{20}{11}$ und $\frac{22}{11}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 9 im neunen Nenner steht:

$-\frac{5}{3}$ = $-\frac{15}{9}$ und $-\frac{7}{9}$ = $-\frac{7}{9}$

Die Mitte zwischen -15 und -7 ist $\frac{\mathrm{-15\; +\; -7}}{2}$ = -11

Somit ist also $-\frac{11}{9}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{15}{9}$ = $-\frac{5}{3}$ und $-\frac{7}{9}$ = $-\frac{7}{9}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$3\frac{7}{9}$

$\frac{23}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $4$ + $\frac{3}{5}$ = $4\frac{3}{5}$

$\frac{19}{4}$ = $\frac{\mathrm{16\; +\; 3}}{4}$ = $\frac{16}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $4$ + $\frac{3}{4}$ = $4\frac{3}{4}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{7}{9}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{3}{5}$ oder $4\frac{3}{4}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{3}{5}$ und $\frac{3}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 3 im Zähler haben, muss $\frac{3}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 3 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{3}{4}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{7}{9}$ < $4\frac{3}{5}$ < $4\frac{3}{4}$ , also

$3\frac{7}{9}$ < $\frac{23}{5}$ < $\frac{19}{4}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

8 = 6 + 2 = 2⋅3 + 2

also gilt:

$\frac{8}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 3\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 3}}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = 2 + $\frac{2}{3}$

Somit gilt: $\frac{8}{3}$ = $2\frac{2}{3}$