Wir können insgesamt 10 Quadrate erkennen.

Davon sind 6 eingefärbt.

Es sind also 6 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{6}{10}$

1 km sind ja 1000 m.

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{1000}}$ km doch gerade 1 m.

Ein $\frac{1}{5}$ von 25 Brötchen sind 25 : 5 = 5 Brötchen.

Also sind $\frac{4}{5}$ von 25 Brötchen 4 ⋅ 5 = 20 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1m in 100 cm um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 100 cm sind 100 cm : 2 = 50 cm.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{10}$ von 60 min sind 60 min : 10 = 6 min.

$\frac{3}{10}$ von 1min sind also 3 ⋅ 6 min = 18 min.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 3:

$\frac{3}{7}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 3}}{\mathrm{7\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{9}{21}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (12) und Nenner (8) sind:

$\frac{12}{8}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{6}{4}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{3}{2}$

$\frac{12}{8}$ = $\frac{3}{2}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 4 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 5 nachher der neue Nenner 30 wird.

Wir müssen also mit 30 : 5 = 6 erweitern.

$\frac{4}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 6}}{\mathrm{5\; \cdot \; 6}}$ = $\frac{24}{30}$

60% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

60% = $\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Das die Markierung auf dem 2-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 2 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{2}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{1}{2}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{1}{2}$ = $-\frac{6}{2}$ $-\frac{1}{2}$ = $-\frac{7}{2}$

Vergleich von $\frac{3}{5}$ und $\frac{3}{4}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{5}$ < $\frac{3}{4}$

Vergleich von $\frac{12}{7}$ und $\frac{11}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{12}{7}$ > $\frac{11}{7}$

Vergleich von $\frac{5}{11}$ und $\frac{10}{21}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{5}{11}$ = $\frac{10}{22}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{5}{11}$=$\frac{10}{22}$ < $\frac{10}{21}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{11}$ < $\frac{10}{21}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 24 und 25.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{24}{17}$ = $\frac{48}{34}$ und $\frac{25}{17}$ = $\frac{50}{34}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 48 und 50, nämlich 49, somit ist also $\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{34}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{24}{17}$ = $\frac{48}{34}$ und $\frac{25}{17}$ = $\frac{50}{34}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$ und $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{6}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 2 und 3.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{2}{6}$ = $\frac{4}{12}$ und $\frac{3}{6}$ = $\frac{6}{12}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 4 und 6, nämlich 5, somit ist also $\frac{5}{12}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{12}$ und $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{12}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{21}{4}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{20}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $5$ + $\frac{1}{4}$ = $5\frac{1}{4}$

$5\frac{1}{6}$

$\frac{45}{8}$ = $\frac{\mathrm{40\; +\; 5}}{8}$ = $\frac{40}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $5$ + $\frac{5}{8}$ = $5\frac{5}{8}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 5 und 6 liegen. $5\frac{5}{8}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $5\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{5}{8}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $5\frac{1}{6}$ oder $5\frac{1}{4}$ größer ist.
Da ja beide die 5 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{6}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{4}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$5\frac{1}{6}$ < $5\frac{1}{4}$ < $5\frac{5}{8}$ , also

$5\frac{1}{6}$ < $\frac{21}{4}$ < $\frac{45}{8}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

37 = 30 + 7 = 3⋅10 + 7

also gilt:

$\frac{37}{10}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 10\; +\; 7}}{\mathrm{10}}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 10}}{\mathrm{10}}$ + $\frac{7}{\mathrm{10}}$ = 3 + $\frac{7}{\mathrm{10}}$

Somit gilt: $\frac{37}{10}$ = $3\frac{7}{10}$