Wir können insgesamt 16 Quadrate erkennen.

Davon sind 6 eingefärbt.

Es sind also 6 von 16 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{6}{16}$

1 t sind ja 1000 kg.

Also sind eine $\frac{1}{4}$ t doch gerade 1000 kg : 4 = 250 kg.

Somit sind eine $\frac{3}{4}$ t das gleiche wie 250 kg ⋅ 3 = 750 kg.

Ein $\frac{1}{3}$ von 9 Birnen sind 9 : 3 = 3 Birnen.

Zuerst rechnen wir 1m² in 100 dm² um.

Ein $\frac{1}{50}$ von 100 dm² sind 100 dm² : 50 = 2 dm².

$\frac{31}{50}$ von 100 dm² sind also 31 ⋅ 2 dm² = 62 dm².

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 24 h sind 24 h : 2 = 12 h.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 6:

$\frac{4}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 6}}{\mathrm{5\; \cdot \; 6}}$ = $\frac{24}{30}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (15) und Nenner (25) sind:

$\frac{15}{25}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{3}{5}$

$\frac{15}{25}$ = $\frac{3}{5}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 5 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 5 = 20 erweitern.

$\frac{4}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 20}}{\mathrm{5\; \cdot \; 20}}$ = $\frac{80}{100}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{10}$ = $\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{100}}$ = 10%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{2}{2}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 7, weil die Markierung eben auf dem 7-ten Strichchen liegt.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{7}{2}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 1 und 2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen 1 und 2 liegt, muss der gemischte Bruch $1\frac{3}{5}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $1\frac{3}{5}$ = $\frac{5}{5}$ $+\frac{3}{5}$ = $\frac{8}{5}$

Vergleich von $\frac{8}{9}$ und $\frac{4}{5}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{4}{5}$ = $\frac{8}{10}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{8}{9}$ > $\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{8}{9}$ > $\frac{4}{5}$

Vergleich von $\frac{3}{11}$ und $\frac{4}{11}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 11 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 11 teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{11}$ < $\frac{4}{11}$

Vergleich von $\frac{3}{5}$ und $\frac{6}{11}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{10}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{3}{5}$=$\frac{6}{10}$ > $\frac{6}{11}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{5}$ > $\frac{6}{11}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 28 und 29.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{28}{19}$ = $\frac{56}{38}$ und $\frac{29}{19}$ = $\frac{58}{38}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 56 und 58, nämlich 57, somit ist also $\frac{\mathrm{57}}{\mathrm{38}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{28}{19}$ = $\frac{56}{38}$ und $\frac{29}{19}$ = $\frac{58}{38}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 6 im neunen Nenner steht:

$\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{6}$

Somit ist also $\frac{2}{6}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6}$ und $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{17}{4}$ = $\frac{\mathrm{16\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{16}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $4$ + $\frac{1}{4}$ = $4\frac{1}{4}$

$4\frac{5}{8}$

$\frac{21}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 1}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $4$ + $\frac{1}{5}$ = $4\frac{1}{5}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 4 und 5 liegen. $4\frac{5}{8}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $4\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{5}{8}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{5}$ oder $4\frac{1}{4}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{5}$ und $\frac{1}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{4}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$4\frac{1}{5}$ < $4\frac{1}{4}$ < $4\frac{5}{8}$ , also

$\frac{21}{5}$ < $\frac{17}{4}$ < $4\frac{5}{8}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

23 = 16 + 7 = 2⋅8 + 7

also gilt:

$\frac{23}{8}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 8\; +\; 7}}{8}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 8}}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = 2 + $\frac{7}{8}$

Somit gilt: $\frac{23}{8}$ = $2\frac{7}{8}$