Wir können insgesamt 6 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 6 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{6}$

Wir können insgesamt 12 Sektoren erkennen.

Davon sind 8 eingefärbt.

Es sind also 8 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{8}{12}$

Wir haben eine Tabelle mit 5 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 30 Zellen. $\frac{2}{3}$ von 30 ist 20, weil $\frac{1}{3}$ von 30 ja = 10 ist und 2⋅10 = 20 ist.

Somit müssen 20 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 km sind ja 1000 m.

Also sind ein $\frac{1}{5}$ km doch gerade 1000 m : 5 = 200 m.

Somit sind ein $\frac{2}{5}$ km das gleiche wie 200 m ⋅ 2 = 400 m.

Ein $\frac{1}{2}$ von 140 Apfelbäume sind 140 : 2 = 70 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{1}{2}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{5}$ von 30 Brötchen sind 30 : 5 = 6 Brötchen.

Also sind $\frac{4}{5}$ von 30 Brötchen 4 ⋅ 6 = 24 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 1000 m sind 1000 m : 5 = 200 m.

$\frac{3}{5}$ von 1000 m sind also 3 ⋅ 200 m = 600 m.

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 24 h sind 24 h : 4 = 6 h.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{2}$ h ist ein $\frac{1}{2}$ von 60 min, also 60 min : 2 = 30 min

2,5 h sind 2 h + $\frac{1}{2}$ h, also 2⋅60 + $\frac{1}{2}$⋅60 = 120 + 30 = 150 min

Insgesamt haben wir somit 30 min + 150 min = 180 min

Um herauszufinden wie viele volle h in den 180 min stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 180 ist. Wir teilen also 180 als 180 + 0 auf und erhalten somit:
180 min = 3 h und 0 min

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 5:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 5}}{\mathrm{4\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{15}{20}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (6) und Nenner (24) sind:

$\frac{6}{24}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{3}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{1}{4}$

$\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 6 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 12 wird.

Wir müssen also mit 12 : 3 = 4 erweitern.

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 4}}{\mathrm{3\; \cdot \; 4}}$ = $\frac{8}{12}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{4}{4}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 7, weil die Markierung eben auf dem 7-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{7}{4}$

30% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

30% = $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{10}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und -2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -1 und -2 liegt, muss der gemischte Bruch $-1\frac{1}{5}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-1\frac{1}{5}$ = $-\frac{5}{5}$ $-\frac{1}{5}$ = $-\frac{6}{5}$

Vergleich von $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{4}$

Vergleich von $\frac{4}{7}$ und $\frac{5}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{4}{7}$ < $\frac{5}{7}$

Vergleich von $\frac{7}{9}$ und $\frac{2}{3}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$

Also gilt: $\frac{7}{9}$ > $\frac{6}{9}$ = $\frac{2}{3}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 2.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$ und $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 4, nämlich 3, somit ist also $\frac{3}{6}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$ und $\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{6}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 12 im neunen Nenner steht:

$\frac{17}{12}$ = $\frac{17}{12}$ und $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{12}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 17 und 4.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{17}{12}$ = $\frac{34}{24}$ und $\frac{4}{12}$ = $\frac{8}{24}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 34 und 8, nämlich $\frac{\mathrm{34\; +\; 8}}{2}$ = 21, somit ist also $\frac{21}{24}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{17}{12}$ = $\frac{34}{24}$ und $\frac{1}{3}$ = $\frac{8}{24}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{31}{7}$ = $\frac{\mathrm{28\; +\; 3}}{7}$ = $\frac{28}{7}$ + $\frac{3}{7}$ = $4$ + $\frac{3}{7}$ = $4\frac{3}{7}$

$4\frac{3}{5}$

$\frac{31}{8}$ = $\frac{\mathrm{24\; +\; 7}}{8}$ = $\frac{24}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $3$ + $\frac{7}{8}$ = $3\frac{7}{8}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{7}{8}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{3}{7}$ oder $4\frac{3}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{3}{7}$ und $\frac{3}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 3 im Zähler haben, muss $\frac{3}{7}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 3 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{3}{5}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{7}{8}$ < $4\frac{3}{7}$ < $4\frac{3}{5}$ , also

$\frac{31}{8}$ < $\frac{31}{7}$ < $4\frac{3}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

18 = 14 + 4 = 2⋅7 + 4

also gilt:

$\frac{18}{7}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 7\; +\; 4}}{7}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 7}}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = 2 + $\frac{4}{7}$

Somit gilt: $\frac{18}{7}$ = $2\frac{4}{7}$