Wir können insgesamt 12 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{12}$

Wir können insgesamt 3 Sektoren erkennen.

Davon sind 1 eingefärbt.

Es sind also 1 von 3 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{1}{3}$

Wir haben eine Tabelle mit 5 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 30 Zellen. $\frac{2}{3}$ von 30 ist 20, weil $\frac{1}{3}$ von 30 ja = 10 ist und 2⋅10 = 20 ist.

Somit müssen 20 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 4 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Viertel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{4}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{4}$ links im Rechteck abgetragen.

1 g sind ja 1000 mg.

Also sind ein $\frac{1}{5}$ g doch gerade 1000 mg : 5 = 200 mg.

Somit sind ein $\frac{3}{5}$ g das gleiche wie 200 mg ⋅ 3 = 600 mg.

Ein $\frac{1}{4}$ von 240 Mädchen sind 240 : 4 = 60 Mädchen.

Also sind $\frac{3}{4}$ von 240 Mädchen 3 ⋅ 60 = 180 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{3}{4}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{4}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{4}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 10 Kartoffeln sind 10 : 2 = 5 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1kg in 1000 g um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 1000 g sind 1000 g : 4 = 250 g.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{6}$ von 60 min sind 60 min : 6 = 10 min.

Zuerst rechnen wir in s um.

Eine $\frac{1}{2}$ min ist ein $\frac{1}{2}$ von 60 s, also 60 s : 2 = 30 s

Eine $\frac{1}{4}$ min ist ein $\frac{1}{4}$ von 60 s, also 60 s : 4 = 15 s
Eine $\frac{3}{4}$ min sind also 3 ⋅ 15 s = 45 s

Insgesamt haben wir somit 30 s + 45 s = 75 s

Um herauszufinden wie viele volle min in den 75 s stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 75 ist. Wir teilen also 75 als 60 + 15 auf und erhalten somit:
75 s = 1 min und 15 s

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

$\frac{5}{4}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 8}}{\mathrm{4\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{40}{32}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (32) und Nenner (64) sind:

$\frac{32}{64}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{16}{32}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{8}{16}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{8}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{2}{4}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{32}{64}$ = $\frac{1}{2}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 32 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 5 nachher der neue Nenner 40 wird.

Wir müssen also mit 40 : 5 = 8 erweitern.

$\frac{6}{5}$ = $\frac{\mathrm{6\; \cdot \; 8}}{\mathrm{5\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{48}{40}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 8 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{8}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{8}{8}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 9, weil die Markierung eben auf dem 9-ten Strichchen liegt.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{9}{8}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{2}{5}$ = $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{100}}$ = 40%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und -2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -1 und -2 liegt, muss der gemischte Bruch $-1\frac{1}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-1\frac{1}{4}$ = $-\frac{4}{4}$ $-\frac{1}{4}$ = $-\frac{5}{4}$

Vergleich von $\frac{8}{9}$ und $\frac{7}{9}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 9 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 9 teilt). Es gilt hier also $\frac{8}{9}$ > $\frac{7}{9}$

Vergleich von $\frac{11}{7}$ und $\frac{11}{6}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{11}{7}$ < $\frac{11}{6}$

Vergleich von $\frac{5}{12}$ und $\frac{10}{23}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{5}{12}$ = $\frac{10}{24}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{5}{12}$=$\frac{10}{24}$ < $\frac{10}{23}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{12}$ < $\frac{10}{23}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 6.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{5}{7}$ = $\frac{10}{14}$ und $\frac{6}{7}$ = $\frac{12}{14}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 10 und 12, nämlich 11, somit ist also $\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{14}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{5}{7}$ = $\frac{10}{14}$ und $\frac{6}{7}$ = $\frac{12}{14}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 4 und 5.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{6}$ und $\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 8 und 10, nämlich 9, somit ist also $\frac{9}{6}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{6}$ und $\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$-4\frac{4}{5}$

$-4$

$-\frac{32}{7}$ = $\frac{\mathrm{28\; +\; 4}}{7}$ = $\frac{28}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $4$ + $\frac{4}{7}$ = $-4\frac{4}{7}$

Jetzt sieht man sofort, dass $-4$ die betragsmäßig kleinste Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens größte Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $-4\frac{4}{7}$ oder $-4\frac{4}{5}$ größer ist.
Da ja beide die -4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $-\frac{4}{7}$ und $-\frac{4}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 4 im Zähler haben, muss $-\frac{4}{7}$ die betragsmäßig kleinere Zahl sein, weil ja die 4 durch mehr geteilt werden muss als bei $-\frac{4}{5}$. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl $-\frac{4}{7}$ die größere von beiden.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$-4\frac{4}{5}$ < $-4\frac{4}{7}$ < $-4$ , also

$-4\frac{4}{5}$ < $-\frac{32}{7}$ < $-4$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

22 = 20 + 2 = 4⋅5 + 2

also gilt:

$\frac{22}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 5\; +\; 2}}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 5}}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = 4 + $\frac{2}{5}$

Somit gilt: $\frac{22}{5}$ = $4\frac{2}{5}$