Wir können insgesamt 5 Sektoren erkennen.

Davon sind 1 eingefärbt.

Es sind also 1 von 5 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{1}{5}$

Wir können insgesamt 12 Sektoren erkennen.

Davon sind 8 eingefärbt.

Es sind also 8 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{8}{12}$

Wir haben eine Tabelle mit 7 Spalten und 8 Zeilen, also insgesamt 56 Zellen. $\frac{13}{14}$ von 56 ist 52, weil $\frac{1}{\mathrm{14}}$ von 56 ja = 4 ist und 13⋅4 = 52 ist.

Somit müssen 52 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 4 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Viertel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{4}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{4}$ links im Rechteck abgetragen.

1 min sind ja 60 s.

Also sind eine $\frac{1}{4}$ min doch gerade 60 s : 4 = 15 s.

Somit sind eine $\frac{3}{4}$ min das gleiche wie 15 s ⋅ 3 = 45 s.

Ein $\frac{1}{7}$ von 140 Mädchen sind 140 : 7 = 20 Mädchen.

Also sind $\frac{4}{7}$ von 140 Mädchen 4 ⋅ 20 = 80 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{4}{7}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{3}{7}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{3}{7}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 8 Kartoffeln sind 8 : 2 = 4 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1kg in 1000 g um.

Ein $\frac{1}{25}$ von 1000 g sind 1000 g : 25 = 40 g.

$\frac{6}{25}$ von 1000 g sind also 6 ⋅ 40 g = 240 g.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 60 min sind 60 min : 5 = 12 min.

$\frac{3}{5}$ von 60 min sind also 3 ⋅ 12 min = 36 min.

Zuerst rechnen wir in h um.

Ein $\frac{1}{3}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{3}$ von 24 h, also 24 h : 3 = 8 h
Ein $\frac{2}{3}$ d(Tage) sind also 2 ⋅ 8 h = 16 h

Ein $\frac{1}{2}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{2}$ von 24 h, also 24 h : 2 = 12 h

Insgesamt haben wir somit 16 h - 12 h = 4 h

Weil 4 h kleiner als 1 d(Tage) à 24 h ist, ist das Ergebnis somit 0 d(Tage) und 4 d(Tage)

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 9:

$\frac{10}{7}$ = $\frac{\mathrm{10\; \cdot \; 9}}{\mathrm{7\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{90}{63}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (18) und Nenner (45) sind:

$\frac{18}{45}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{6}{15}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{2}{5}$

$\frac{18}{45}$ = $\frac{2}{5}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 9 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 21 wird.

Wir müssen also mit 21 : 3 = 7 erweitern.

$\frac{4}{3}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 7}}{\mathrm{3\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{28}{21}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{4}$

25% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

25% = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{1}{4}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Da die Markierung auf dem 2-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{2}{3}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{2}{3}$ = $-\frac{9}{3}$ $-\frac{2}{3}$ = $-\frac{11}{3}$

Vergleich von $\frac{3}{4}$ und $\frac{3}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{4}$ > $\frac{3}{5}$

Vergleich von $\frac{8}{5}$ und $\frac{9}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{8}{5}$ < $\frac{9}{5}$

Vergleich von $\frac{11}{6}$ und $\frac{22}{12}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{11}{6}$ = $\frac{22}{12}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{11}{6}$=$\frac{22}{12}$ = $\frac{22}{12}$. Es gilt hier also $\frac{11}{6}$ = $\frac{22}{12}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{2}{\mathrm{17}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{17}$ und $\frac{3}{17}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{4}$ und $1$ = $\frac{4}{4}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 3 und 4.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$ und $\frac{4}{4}$ = $\frac{8}{8}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 6 und 8, nämlich 7, somit ist also $\frac{7}{8}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$ und $1$ = $\frac{8}{8}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$-\frac{26}{5}$ = $\frac{\mathrm{25\; +\; 1}}{5}$ = $\frac{25}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $5$ + $\frac{1}{5}$ = $-5\frac{1}{5}$

$-\frac{31}{6}$ = $\frac{\mathrm{30\; +\; 1}}{6}$ = $\frac{30}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $5$ + $\frac{1}{6}$ = $-5\frac{1}{6}$

$-\frac{28}{5}$ = $\frac{\mathrm{25\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{25}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $5$ + $\frac{3}{5}$ = $-5\frac{3}{5}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen -6 und -5 liegen. $-5\frac{3}{5}$ ist dabei aber die betragsmäßig größte Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens kleinste Zahl, weil sie als einzige größer als $-5\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{5}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $-5\frac{1}{6}$ oder $-5\frac{1}{5}$ größer ist.
Da ja beide die -5 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $-\frac{1}{6}$ und $-\frac{1}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $-\frac{1}{6}$ die betragsmäßig kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $-\frac{1}{5}$. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl $-\frac{1}{6}$ die größere von beiden.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$-5\frac{3}{5}$ < $-5\frac{1}{5}$ < $-5\frac{1}{6}$ , also

$-\frac{28}{5}$ < $-\frac{26}{5}$ < $-\frac{31}{6}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

9 = 8 + 1 = 2⋅4 + 1

also gilt:

$\frac{9}{4}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 4\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 4}}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = 2 + $\frac{1}{4}$

Somit gilt: $\frac{9}{4}$ = $2\frac{1}{4}$