Wir können insgesamt 9 Sektoren erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{9}$

Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{10}$

Wir haben eine Tabelle mit 7 Spalten und 8 Zeilen, also insgesamt 56 Zellen. $\frac{2}{7}$ von 56 ist 16, weil $\frac{1}{7}$ von 56 ja = 8 ist und 2⋅8 = 16 ist.

Somit müssen 16 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 2 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind eine Hälfte des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{2}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{2}$ links im Rechteck abgetragen.

1 l sind ja 1000 ml.

Also sind ein $\frac{1}{2}$ l doch gerade 1000 ml : 2 = 500 ml.

Ein $\frac{1}{5}$ von 450 Apfelbäume sind 450 : 5 = 90 Apfelbäume.

Also sind $\frac{4}{5}$ von 450 Apfelbäume 4 ⋅ 90 = 360 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{4}{5}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{5}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{5}$

Ein $\frac{1}{7}$ von 28 Euro sind 28 : 7 = 4 Euro.

Also sind $\frac{4}{7}$ von 28 Euro 4 ⋅ 4 = 16 Euro.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 1000 m sind 1000 m : 4 = 250 m.

$\frac{3}{4}$ von 1000 m sind also 3 ⋅ 250 m = 750 m.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 60 s sind 60 s : 2 = 30 s.

Zuerst rechnen wir in s um.

Eine $\frac{1}{12}$ min ist ein $\frac{1}{12}$ von 60 s, also 60 s : 12 = 5 s
Eine $\frac{11}{12}$ min sind also 11 ⋅ 5 s = 55 s

2,5 min sind 2 min + $\frac{1}{2}$ min, also 2⋅60 + $\frac{1}{2}$⋅60 = 120 + 30 = 150 s

Insgesamt haben wir somit 55 s + 150 s = 205 s

Um herauszufinden wie viele volle min in den 205 s stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 205 ist. Wir teilen also 205 als 180 + 25 auf und erhalten somit:
205 s = 3 min und 25 s

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 7:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 7}}{\mathrm{3\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{14}{21}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (18) und Nenner (45) sind:

$\frac{18}{45}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{6}{15}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{2}{5}$

$\frac{18}{45}$ = $\frac{2}{5}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 9 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 8 nachher der neue Nenner 48 wird.

Wir müssen also mit 48 : 8 = 6 erweitern.

$\frac{11}{8}$ = $\frac{\mathrm{11\; \cdot \; 6}}{\mathrm{8\; \cdot \; 6}}$ = $\frac{66}{48}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 8 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{8}$ hat.

Das die Markierung auf dem 5-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 5 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{5}{8}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{20}$ = $\frac{5}{\mathrm{100}}$ = 5%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 4 und 5 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Da die Markierung auf dem 2-ten Strichchen zwischen 4 und 5 liegt, muss der gemischte Bruch $4\frac{2}{3}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $4\frac{2}{3}$ = $\frac{12}{3}$ $+\frac{2}{3}$ = $\frac{14}{3}$

Vergleich von $\frac{5}{4}$ und $\frac{5}{3}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{4}$ < $\frac{5}{3}$

Vergleich von $\frac{7}{5}$ und $\frac{8}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{5}$ < $\frac{8}{5}$

Vergleich von $\frac{6}{7}$ und $\frac{3}{4}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{6}{7}$ > $\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{6}{7}$ > $\frac{3}{4}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 8 und 9.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$ und $\frac{9}{5}$ = $\frac{18}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 16 und 18, nämlich 17, somit ist also $\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$ und $\frac{9}{5}$ = $\frac{18}{10}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$-\frac{5}{4}$ = $-\frac{5}{4}$ und $-1$ = $-\frac{4}{4}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 4.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{5}{4}$ = $-\frac{10}{8}$ und $-\frac{4}{4}$ = $-\frac{8}{8}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -10 und -8, nämlich -9, somit ist also $-\frac{9}{8}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{5}{4}$ = $-\frac{10}{8}$ und $-1$ = $-\frac{8}{8}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{25}{6}$ = $\frac{\mathrm{24\; +\; 1}}{6}$ = $\frac{24}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $4$ + $\frac{1}{6}$ = $4\frac{1}{6}$

$4\frac{1}{4}$

$\frac{37}{8}$ = $\frac{\mathrm{32\; +\; 5}}{8}$ = $\frac{32}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $4$ + $\frac{5}{8}$ = $4\frac{5}{8}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 4 und 5 liegen. $4\frac{5}{8}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $4\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{5}{8}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{6}$ oder $4\frac{1}{4}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{6}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{4}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$4\frac{1}{6}$ < $4\frac{1}{4}$ < $4\frac{5}{8}$ , also

$\frac{25}{6}$ < $4\frac{1}{4}$ < $\frac{37}{8}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

11 = 10 + 1 = 5⋅2 + 1

also gilt:

$\frac{11}{2}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 2\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 2}}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 5 + $\frac{1}{2}$

Somit gilt: $\frac{11}{2}$ = $5\frac{1}{2}$