Wir können insgesamt 8 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 8 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{8}$

Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{10}$

Wir haben eine Tabelle mit 5 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 30 Zellen. $\frac{2}{3}$ von 30 ist 20, weil $\frac{1}{3}$ von 30 ja = 10 ist und 2⋅10 = 20 ist.

Somit müssen 20 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 4 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Viertel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{4}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{4}$ links im Rechteck abgetragen.

1 m sind ja 100 cm.

Also sind ein $\frac{1}{2}$ m doch gerade 100 cm : 2 = 50 cm.

Ein $\frac{1}{5}$ von 400 Apfelbäume sind 400 : 5 = 80 Apfelbäume.

Also sind $\frac{3}{5}$ von 400 Apfelbäume 3 ⋅ 80 = 240 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{3}{5}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{2}{5}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{2}{5}$

Ein $\frac{1}{5}$ von 10 Kartoffeln sind 10 : 5 = 2 Kartoffeln.

Also sind $\frac{3}{5}$ von 10 Kartoffeln 3 ⋅ 2 = 6 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1t in 1000 kg um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 1000 kg sind 1000 kg : 2 = 500 kg.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{12}$ von 60 min sind 60 min : 12 = 5 min.

$\frac{7}{12}$ von 60 min sind also 7 ⋅ 5 min = 35 min.

Zuerst rechnen wir in h um.

Ein $\frac{1}{3}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{3}$ von 24 h, also 24 h : 3 = 8 h
Ein $\frac{2}{3}$ d(Tage) sind also 2 ⋅ 8 h = 16 h

1,5 d(Tage) sind 1 d(Tage) + $\frac{1}{2}$ d(Tage), also 1⋅24 + $\frac{1}{2}$⋅24 = 24 + 12 = 36 h

Insgesamt haben wir somit 16 h + 36 h = 52 h

Um herauszufinden wie viele volle d(Tage) in den 52 h stecken, suchen wir das größte Vielfache von 24, das nicht größer als 52 ist. Wir teilen also 52 als 48 + 4 auf und erhalten somit:
52 h = 2 d(Tage) und 4 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 3:

$\frac{8}{7}$ = $\frac{\mathrm{8\; \cdot \; 3}}{\mathrm{7\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{24}{21}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (54) und Nenner (45) sind:

$\frac{54}{45}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{18}{15}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{6}{5}$

$\frac{54}{45}$ = $\frac{6}{5}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 9 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 5 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 5 = 20 erweitern.

$\frac{3}{5}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 20}}{\mathrm{5\; \cdot \; 20}}$ = $\frac{60}{100}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{3}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{9}{10}$ = $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{100}}$ = 90%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 4 und 5 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 10 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{\mathrm{10}}$ hat.

Da die Markierung auf dem 9-ten Strichchen zwischen 4 und 5 liegt, muss der gemischte Bruch $4\frac{9}{10}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $4\frac{9}{10}$ = $\frac{40}{10}$ $+\frac{9}{10}$ = $\frac{49}{10}$

Vergleich von $\frac{7}{9}$ und $\frac{7}{10}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{9}$ > $\frac{7}{10}$

Vergleich von $\frac{17}{11}$ und $\frac{18}{11}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 11 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 11 teilt). Es gilt hier also $\frac{17}{11}$ < $\frac{18}{11}$

Vergleich von $\frac{7}{10}$ und $\frac{4}{5}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{4}{5}$ = $\frac{8}{10}$

Also gilt: $\frac{7}{10}$ < $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 31 und 32.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{31}{19}$ = $\frac{62}{38}$ und $\frac{32}{19}$ = $\frac{64}{38}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 62 und 64, nämlich 63, somit ist also $\frac{\mathrm{63}}{\mathrm{38}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{31}{19}$ = $\frac{62}{38}$ und $\frac{32}{19}$ = $\frac{64}{38}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 2 und 1.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{2}{3}$ = $-\frac{4}{6}$ und $-\frac{1}{3}$ = $-\frac{2}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -4 und -2, nämlich -3, somit ist also $-\frac{3}{6}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{2}{3}$ = $-\frac{4}{6}$ und $-\frac{1}{3}$ = $-\frac{2}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{13}{4}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{12}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $3$ + $\frac{1}{4}$ = $3\frac{1}{4}$

$\frac{11}{3}$ = $\frac{\mathrm{9\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{9}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $3$ + $\frac{2}{3}$ = $3\frac{2}{3}$

$3\frac{1}{3}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 3 und 4 liegen. $3\frac{2}{3}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $3\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{3}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $3\frac{1}{4}$ oder $3\frac{1}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 3 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{4}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{1}{4}$ < $3\frac{1}{3}$ < $3\frac{2}{3}$ , also

$\frac{13}{4}$ < $3\frac{1}{3}$ < $\frac{11}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

7 = 6 + 1 = 2⋅3 + 1

also gilt:

$\frac{7}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 3\; +\; 1}}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 3}}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = 2 + $\frac{1}{3}$

Somit gilt: $\frac{7}{3}$ = $2\frac{1}{3}$