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Bruch erkennen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Gib den im Schaubild eingefärbten Bruch an.

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Wir können insgesamt 5 Sektoren erkennen.

Davon sind 2 eingefärbt.

Es sind also 2 von 5 eingefärbt, somit ist der Bruch: 2 5

Bruch in natürliche Zahl umrechnen

Beispiel:

Gib 1 5 g ohne Bruch in mg an.

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1 g sind ja 1000 mg.

Also sind ein 1 5 g doch gerade 1000 mg : 5 = 200 mg.

Anteile von ganzen Dingen

Beispiel:

Wie viel sind 1 6 von 18 Kartoffeln ?

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Ein 1 6 von 18 Kartoffeln sind 18 : 6 = 3 Kartoffeln.

Anteile von Zehnereinheiten

Beispiel:

Wie viel sind 9 20 von 1 g ?

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Zuerst rechnen wir 1g in 1000 mg um.

Ein 1 20 von 1000 mg sind 1000 mg : 20 = 50 mg.

9 20 von 1000 mg sind also 9 ⋅ 50 mg = 450 mg.

Anteile von Zeiteinheiten

Beispiel:

Wie viel sind 11 12 von 1 min ?

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Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein 1 12 von 60 s sind 60 s : 12 = 5 s.

11 12 von 60 s sind also 11 ⋅ 5 s = 55 s.

Erweitern einfach

Beispiel:

Erweitere den Bruch 4 7 mit 8

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Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

4 7 = 4 ⋅ 8 7 ⋅ 8 = 32 56

Kürzen (einzel)

Beispiel:

Kürze vollständig: 64 56

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Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (64) und Nenner (56) sind:

64 56 = k(2) 32 28 = k(2) 16 14 = k(2) 8 7

64 56 = 8 7

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 8 kürzen können).

Erweitern

Beispiel:

Erweitere den Bruch 5 6 auf den Nenner 42

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Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 6 nachher der neue Nenner 42 wird.

Wir müssen also mit 42 : 6 = 7 erweitern.

5 6 = 5 ⋅ 7 6 ⋅ 7 = 35 42

Darstellungwechsel Bruch - Prozent

Beispiel:

Gib 30 % als gekürzten Bruch an.

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30% bedeutet ja einfach 30 100 . Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

30% = 30 100 = 3 10

Bruch an der Zahlengerade

Beispiel:

Gib den markierten Bruch an der Zahlengeraden an:

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Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge 1 4 hat.

Das die Markierung auf dem 3-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 3 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: - 3 4

gemischter Bruch an der Zahlengerade

Beispiel:

Gib den markierten Bruch an der Zahlengeraden als vollständig gekürzten gemeinen (gewöhnlichen) Bruch und als gemischten Bruch an:

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Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 2 und 3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge 1 3 hat.

Da die Markierung auf dem 2-ten Strichchen zwischen 2 und 3 liegt, muss der gemischte Bruch 2 2 3 sein.

Der gesuchte Bruch ist also: 2 2 3 = 6 3 + 2 3 = 8 3

Brüche vergleichen

Beispiel:

Entscheide in allen drei Zeilen welcher Bruch größer ist, bzw. ob die beiden Brüche gleich groß sind:

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Vergleich von 2 3 und 1 2

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: 1 2 = 2 4

Jetzt kann man gut erkennen, dass 2 3 > 2 4 = 1 2 , weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also 2 3 > 1 2

Vergleich von 13 11 und 14 11

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 11 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 11 teilt). Es gilt hier also 13 11 < 14 11

Vergleich von 10 11 und 5 6

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: 5 6 = 10 12

Jetzt kann man gut erkennen, dass 10 11 > 10 12 = 5 6 , weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also 10 11 > 5 6

Mitte finden (von 2 Brüchen)

Beispiel:

Welcher Bruch liegt in der Mitte von 32 17 und 34 17 ?

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Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also 33 17 genau in der Mitte zwischen 32 17 und 34 17 .

Mitte finden (von 2 versch. Brüchen)

Beispiel:

Welcher Bruch liegt in der Mitte von - 1 3 und 0 ?

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Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

- 1 3 = - 1 3 und 0 = 0 3

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 0.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: - 1 3 = - 2 6 und 0 3 = 0 6

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -2 und 0, nämlich -1, somit ist also - 1 6 genau in der Mitte zwischen - 1 3 = - 2 6 und 0 = 0 6 .

3 Brüche sortieren

Beispiel:

Sortiere die drei Brüche -2 2 3 , -2 und - 14 5 von klein nach groß.

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Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

-2 2 3

-2

- 14 5 = 10 + 4 5 = 10 5 + 4 5 = 2 + 4 5 = -2 4 5

Jetzt sieht man sofort, dass -2 die betragsmäßig kleinste Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens größte Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob -2 2 3 oder -2 4 5 größer ist.
Da ja beide die -2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche - 2 3 und - 4 5 betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass - 2 3 die betragsmäßig kleinere Zahl sein muss. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl - 2 3 die größere von beiden.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: - 2 3 = - 10 15 < - 12 15 = - 4 5

2 3
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(Alle Sektoren sind gleich groß)

4 5
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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

-2 4 5 < -2 2 3 < -2 , also

- 14 5 < -2 2 3 < -2

Umwandlung echter - gemischter Bruch

Beispiel:

Gib den unechten Bruch 22 9 als gemischten Bruch an.

(Der Bruch soll in gekürzter Form bleiben.)

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Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

22 = 18 + 4 = 2⋅9 + 4

also gilt:

22 9 = 2⋅9 + 4 9 = 2⋅9 9 + 4 9 = 2 + 4 9

Somit gilt: 22 9 = 2 4 9