Wir können insgesamt 9 Quadrate erkennen.

Davon sind 2 eingefärbt.

Es sind also 2 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{2}{9}$

Wir können insgesamt 4 Sektoren erkennen.

Davon sind 2 eingefärbt.

Es sind also 2 von 4 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{2}{4}$

Wir haben eine Tabelle mit 4 Spalten und 4 Zeilen, also insgesamt 16 Zellen. $\frac{1}{8}$ von 16 ist 2.

Somit müssen 2 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 min sind ja 60 s.

Also sind eine $\frac{1}{\mathrm{10}}$ min doch gerade 60 s : 10 = 6 s.

Ein $\frac{1}{2}$ von 40 Mädchen sind 40 : 2 = 20 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{1}{2}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{7}$ von 56 Brötchen sind 56 : 7 = 8 Brötchen.

Also sind $\frac{4}{7}$ von 56 Brötchen 4 ⋅ 8 = 32 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1m in 100 cm um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 100 cm sind 100 cm : 2 = 50 cm.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 60 s sind 60 s : 4 = 15 s.

$\frac{3}{4}$ von 60 s sind also 3 ⋅ 15 s = 45 s.

Zuerst rechnen wir in s um.

Eine $\frac{1}{12}$ min ist ein $\frac{1}{12}$ von 60 s, also 60 s : 12 = 5 s
Eine $\frac{7}{12}$ min sind also 7 ⋅ 5 s = 35 s

Eine $\frac{1}{3}$ min ist ein $\frac{1}{3}$ von 60 s, also 60 s : 3 = 20 s
Eine $\frac{2}{3}$ min sind also 2 ⋅ 20 s = 40 s

Insgesamt haben wir somit 35 s + 40 s = 75 s

Um herauszufinden wie viele volle min in den 75 s stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 75 ist. Wir teilen also 75 als 60 + 15 auf und erhalten somit:
75 s = 1 min und 15 s

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 9:

$\frac{5}{3}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 9}}{\mathrm{3\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{45}{27}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (35) und Nenner (30) sind:

$\frac{35}{30}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{7}{6}$

$\frac{35}{30}$ = $\frac{7}{6}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 6 wird.

Wir müssen also mit 6 : 3 = 2 erweitern.

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 2}}{\mathrm{3\; \cdot \; 2}}$ = $\frac{4}{6}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{2}{2}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 3, weil die Markierung eben auf dem 3-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{3}{2}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{100}}$ = 20%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 4 und 5 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen 4 und 5 liegt, muss der gemischte Bruch $4\frac{3}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $4\frac{3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ $+\frac{3}{4}$ = $\frac{19}{4}$

Vergleich von $\frac{10}{9}$ und $\frac{11}{9}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 9 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 9 teilt). Es gilt hier also $\frac{10}{9}$ < $\frac{11}{9}$

Vergleich von $\frac{20}{11}$ und $2$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$2$ = $\frac{22}{11}$

Also gilt: $\frac{20}{11}$ < $\frac{22}{11}$ = $2$.

Vergleich von $\frac{5}{8}$ und $\frac{5}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{8}$ < $\frac{5}{7}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 21 und 22.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{21}{13}$ = $\frac{42}{26}$ und $\frac{22}{13}$ = $\frac{44}{26}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 42 und 44, nämlich 43, somit ist also $\frac{\mathrm{43}}{\mathrm{26}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{21}{13}$ = $\frac{42}{26}$ und $\frac{22}{13}$ = $\frac{44}{26}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 4 im neunen Nenner steht:

$\frac{5}{4}$ = $\frac{5}{4}$ und $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{4}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 6.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{5}{4}$ = $\frac{10}{8}$ und $\frac{6}{4}$ = $\frac{12}{8}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 10 und 12, nämlich 11, somit ist also $\frac{11}{8}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{5}{4}$ = $\frac{10}{8}$ und $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{8}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{9}{4}$ = $\frac{\mathrm{8\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{8}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $2$ + $\frac{1}{4}$ = $2\frac{1}{4}$

$\frac{7}{3}$ = $\frac{\mathrm{6\; +\; 1}}{3}$ = $\frac{6}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $2$ + $\frac{1}{3}$ = $2\frac{1}{3}$

$2\frac{2}{3}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 2 und 3 liegen. $2\frac{2}{3}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $2\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{3}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $2\frac{1}{4}$ oder $2\frac{1}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{4}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2\frac{1}{4}$ < $2\frac{1}{3}$ < $2\frac{2}{3}$ , also

$\frac{9}{4}$ < $\frac{7}{3}$ < $2\frac{2}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

31 = 30 + 1 = 5⋅6 + 1

also gilt:

$\frac{31}{6}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 6\; +\; 1}}{6}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 6}}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = 5 + $\frac{1}{6}$

Somit gilt: $\frac{31}{6}$ = $5\frac{1}{6}$