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Bruch erkennen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Gib den im Schaubild eingefärbten Bruch an.

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Wir können insgesamt 6 Quadrate erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 6 eingefärbt, somit ist der Bruch: 3 6

Bruch in natürliche Zahl umrechnen

Beispiel:

Gib 1 4 t ohne Bruch in kg an.

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1 t sind ja 1000 kg.

Also sind eine 1 4 t doch gerade 1000 kg : 4 = 250 kg.

Anteile von ganzen Dingen

Beispiel:

Wie viel sind 4 5 von 25 Brötchen ?

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Ein 1 5 von 25 Brötchen sind 25 : 5 = 5 Brötchen.

Also sind 4 5 von 25 Brötchen 4 ⋅ 5 = 20 Brötchen.

Anteile von Zehnereinheiten

Beispiel:

Wie viel sind 1 2 von 1 cm ?

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Zuerst rechnen wir 1cm in 10 mm um.

Ein 1 2 von 10 mm sind 10 mm : 2 = 5 mm.

Anteile von Zeiteinheiten

Beispiel:

Wie viel sind 2 3 von 1 h ?

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Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein 1 3 von 60 min sind 60 min : 3 = 20 min.

2 3 von 60 min sind also 2 ⋅ 20 min = 40 min.

Erweitern einfach

Beispiel:

Erweitere den Bruch 3 4 mit 7

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Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 7:

3 4 = 3 ⋅ 7 4 ⋅ 7 = 21 28

Kürzen (einzel)

Beispiel:

Kürze vollständig: 22 16

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Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (22) und Nenner (16) sind:

22 16 = k(2) 11 8

22 16 = 11 8

Erweitern

Beispiel:

Erweitere den Bruch 5 4 auf den Nenner 8

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Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 4 nachher der neue Nenner 8 wird.

Wir müssen also mit 8 : 4 = 2 erweitern.

5 4 = 5 ⋅ 2 4 ⋅ 2 = 10 8

Darstellungwechsel Bruch - Prozent

Beispiel:

Gib 17 20 als Prozentzahl an.

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Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

17 20 = 85 100 = 85%

Bruch an der Zahlengerade

Beispiel:

Gib den markierten Bruch an der Zahlengeraden an:

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Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 10 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge 1 10 hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als 10 10 zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 13, weil die Markierung eben auf dem 13-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: 13 10

gemischter Bruch an der Zahlengerade

Beispiel:

Gib den markierten Bruch an der Zahlengeraden als vollständig gekürzten gemeinen (gewöhnlichen) Bruch und als gemischten Bruch an:

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Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -2 und -3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge 1 4 hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen -2 und -3 liegt, muss der gemischte Bruch -2 3 4 sein.

Der gesuchte Bruch ist also: -2 3 4 = - 8 4 - 3 4 = - 11 4

Brüche vergleichen

Beispiel:

Entscheide in allen drei Zeilen welcher Bruch größer ist, bzw. ob die beiden Brüche gleich groß sind:

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Vergleich von 4 5 und 3 5

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also 4 5 > 3 5

Vergleich von 13 17 und 13 18

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also 13 17 > 13 18

Vergleich von 9 7 und 19 14

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

9 7 = 18 14

Also gilt: 9 7 = 18 14 < 19 14 .

Es gilt hier also 9 7 < 19 14

Mitte finden (von 2 Brüchen)

Beispiel:

Welcher Bruch liegt in der Mitte von 22 19 und 23 19 ?

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Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 22 und 23.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: 22 19 = 44 38 und 23 19 = 46 38

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 44 und 46, nämlich 45, somit ist also 45 38 genau in der Mitte zwischen 22 19 = 44 38 und 23 19 = 46 38 .

Mitte finden (von 2 versch. Brüchen)

Beispiel:

Welcher Bruch liegt in der Mitte von 5 3 und 2 ?

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Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

5 3 = 5 3 und 2 = 6 3

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 6.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: 5 3 = 10 6 und 6 3 = 12 6

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 10 und 12, nämlich 11, somit ist also 11 6 genau in der Mitte zwischen 5 3 = 10 6 und 2 = 12 6 .

3 Brüche sortieren

Beispiel:

Sortiere die drei Brüche - 17 6 , - 7 2 und - 11 3 von klein nach groß.

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Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

- 17 6 = 12 + 5 6 = 12 6 + 5 6 = 2 + 5 6 = -2 5 6

- 7 2 = 6 + 1 2 = 6 2 + 1 2 = 3 + 1 2 = -3 1 2

- 11 3 = 9 + 2 3 = 9 3 + 2 3 = 3 + 2 3 = -3 2 3

Jetzt sieht man sofort, dass -2 5 6 die betragsmäßig kleinste Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens größte Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob -3 1 2 oder -3 2 3 größer ist.
Da ja beide die -3 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche - 1 2 und - 2 3 betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass - 1 2 die betragsmäßig kleinere Zahl sein muss. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl - 1 2 die größere von beiden.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: - 1 2 = - 3 6 < - 4 6 = - 2 3

1 2
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(Alle Sektoren sind gleich groß)

2 3
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(Alle Sektoren sind gleich groß)

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

-3 2 3 < -3 1 2 < -2 5 6 , also

- 11 3 < - 7 2 < - 17 6

Umwandlung echter - gemischter Bruch

Beispiel:

Gib den unechten Bruch 19 4 als gemischten Bruch an.

(Der Bruch soll in gekürzter Form bleiben.)

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Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

19 = 16 + 3 = 4⋅4 + 3

also gilt:

19 4 = 4⋅4 + 3 4 = 4⋅4 4 + 3 4 = 4 + 3 4

Somit gilt: 19 4 = 4 3 4