Wir können insgesamt 5 Sektoren erkennen.

Davon sind 1 eingefärbt.

Es sind also 1 von 5 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{1}{5}$

Wir können insgesamt 8 Sektoren erkennen.

Davon sind 6 eingefärbt.

Es sind also 6 von 8 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{6}{8}$

Wir haben eine Tabelle mit 6 Spalten und 5 Zeilen, also insgesamt 30 Zellen. $\frac{2}{3}$ von 30 ist 20, weil $\frac{1}{3}$ von 30 ja = 10 ist und 2⋅10 = 20 ist.

Somit müssen 20 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 d sind ja 24 h.

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{24}}$ d doch gerade 1 h.

Ein $\frac{1}{5}$ von 200 Mädchen sind 200 : 5 = 40 Mädchen.

Also sind $\frac{2}{5}$ von 200 Mädchen 2 ⋅ 40 = 80 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{2}{5}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{3}{5}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{3}{5}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 18 Birnen sind 18 : 2 = 9 Birnen.

Zuerst rechnen wir 1cm in 10 mm um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 10 mm sind 10 mm : 2 = 5 mm.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{30}$ von 60 min sind 60 min : 30 = 2 min.

Zuerst rechnen wir in h um.

Ein $\frac{1}{6}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{6}$ von 24 h, also 24 h : 6 = 4 h
Ein $\frac{5}{6}$ d(Tage) sind also 5 ⋅ 4 h = 20 h

Ein $\frac{1}{4}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{4}$ von 24 h, also 24 h : 4 = 6 h

Insgesamt haben wir somit 20 h + 6 h = 26 h

Um herauszufinden wie viele volle d(Tage) in den 26 h stecken, suchen wir das größte Vielfache von 24, das nicht größer als 26 ist. Wir teilen also 26 als 24 + 2 auf und erhalten somit:
26 h = 1 d(Tage) und 2 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 4:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 4}}{\mathrm{3\; \cdot \; 4}}$ = $\frac{8}{12}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (8) und Nenner (20) sind:

$\frac{8}{20}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{10}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{2}{5}$

$\frac{8}{20}$ = $\frac{2}{5}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 4 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 4 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 4 = 25 erweitern.

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 25}}{\mathrm{4\; \cdot \; 25}}$ = $\frac{75}{100}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{5}{5}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 6, weil die Markierung eben auf dem 6-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{6}{5}$

75% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

75% = $\frac{\mathrm{75}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{4}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 6 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{6}$ hat.

Da die Markierung auf dem 5-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{5}{6}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{5}{6}$ = $-\frac{18}{6}$ $-\frac{5}{6}$ = $-\frac{23}{6}$

Vergleich von $\frac{6}{7}$ und $\frac{3}{4}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{6}{7}$ > $\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{6}{7}$ > $\frac{3}{4}$

Vergleich von $\frac{7}{5}$ und $\frac{8}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{5}$ < $\frac{8}{5}$

Vergleich von $\frac{5}{7}$ und $\frac{6}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{7}$ < $\frac{6}{7}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 25 und 26.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{25}{17}$ = $\frac{50}{34}$ und $\frac{26}{17}$ = $\frac{52}{34}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 50 und 52, nämlich 51, somit ist also $\frac{\mathrm{51}}{\mathrm{34}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{25}{17}$ = $\frac{50}{34}$ und $\frac{26}{17}$ = $\frac{52}{34}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$-\frac{13}{7}$ = $-\frac{26}{14}$ und $-\frac{1}{2}$ = $-\frac{7}{14}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 26 und 7.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{26}{14}$ = $-\frac{52}{28}$ und $-\frac{7}{14}$ = $-\frac{14}{28}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -52 und -14, nämlich $\frac{\mathrm{52\; +\; 14}}{2}$ = -33, somit ist also $-\frac{33}{28}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{13}{7}$ = $-\frac{52}{28}$ und $-\frac{1}{2}$ = $-\frac{14}{28}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$-\frac{21}{4}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{20}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $5$ + $\frac{1}{4}$ = $-5\frac{1}{4}$

$-\frac{31}{6}$ = $\frac{\mathrm{30\; +\; 1}}{6}$ = $\frac{30}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $5$ + $\frac{1}{6}$ = $-5\frac{1}{6}$

$-\frac{45}{8}$ = $\frac{\mathrm{40\; +\; 5}}{8}$ = $\frac{40}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $5$ + $\frac{5}{8}$ = $-5\frac{5}{8}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen -6 und -5 liegen. $-5\frac{5}{8}$ ist dabei aber die betragsmäßig größte Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens kleinste Zahl, weil sie als einzige größer als $-5\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{3}{8}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $-5\frac{1}{6}$ oder $-5\frac{1}{4}$ größer ist.
Da ja beide die -5 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $-\frac{1}{6}$ und $-\frac{1}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $-\frac{1}{6}$ die betragsmäßig kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $-\frac{1}{4}$. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl $-\frac{1}{6}$ die größere von beiden.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$-5\frac{5}{8}$ < $-5\frac{1}{4}$ < $-5\frac{1}{6}$ , also

$-\frac{45}{8}$ < $-\frac{21}{4}$ < $-\frac{31}{6}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

3 = 2 + 1 = 1⋅2 + 1

also gilt:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\cdot 2\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\cdot 2}}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 1 + $\frac{1}{2}$

Somit gilt: $\frac{3}{2}$ = $1\frac{1}{2}$