Wir können insgesamt 8 Sektoren erkennen.

Davon sind 7 eingefärbt.

Es sind also 7 von 8 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{7}{8}$

Wir können insgesamt 12 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{12}$

Wir haben eine Tabelle mit 4 Spalten und 5 Zeilen, also insgesamt 20 Zellen. $\frac{3}{5}$ von 20 ist 12, weil $\frac{1}{5}$ von 20 ja = 4 ist und 3⋅4 = 12 ist.

Somit müssen 12 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 m sind ja 100 cm.

Also sind ein $\frac{1}{4}$ m doch gerade 100 cm : 4 = 25 cm.

Somit sind ein $\frac{3}{4}$ m das gleiche wie 25 cm ⋅ 3 = 75 cm.

Ein $\frac{1}{4}$ von 200 Apfelbäume sind 200 : 4 = 50 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{1}{4}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{3}{4}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{3}{4}$

Ein $\frac{1}{7}$ von 49 Kartoffeln sind 49 : 7 = 7 Kartoffeln.

Also sind $\frac{3}{7}$ von 49 Kartoffeln 3 ⋅ 7 = 21 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1cm in 10 mm um.

Ein $\frac{1}{10}$ von 10 mm sind 10 mm : 10 = 1 mm.

$\frac{7}{10}$ von 10 mm sind also 7 ⋅ 1 mm = 7 mm.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 60 s sind 60 s : 2 = 30 s.

Zuerst rechnen wir in s um.

Eine $\frac{1}{3}$ min ist ein $\frac{1}{3}$ von 60 s, also 60 s : 3 = 20 s
Eine $\frac{2}{3}$ min sind also 2 ⋅ 20 s = 40 s

Eine $\frac{1}{6}$ min ist ein $\frac{1}{6}$ von 60 s, also 60 s : 6 = 10 s

Insgesamt haben wir somit 40 s - 10 s = 30 s

Weil 30 s kleiner als 1 min à 60 s ist, ist das Ergebnis somit 0 min und 30 min

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 5:

$\frac{4}{3}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 5}}{\mathrm{3\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{20}{15}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (24) und Nenner (18) sind:

$\frac{24}{18}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{12}{9}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{4}{3}$

$\frac{24}{18}$ = $\frac{4}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 6 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 4 nachher der neue Nenner 36 wird.

Wir müssen also mit 36 : 4 = 9 erweitern.

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 9}}{\mathrm{4\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{27}{36}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{5}{5}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 8, weil die Markierung eben auf dem 8-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{8}{5}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{20}$ = $\frac{5}{\mathrm{100}}$ = 5%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 3 und 4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen 3 und 4 liegt, muss der gemischte Bruch $3\frac{3}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $3\frac{3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ $+\frac{3}{4}$ = $\frac{15}{4}$

Vergleich von $\frac{7}{9}$ und $\frac{8}{9}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 9 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 9 teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{9}$ < $\frac{8}{9}$

Vergleich von $\frac{9}{17}$ und $\frac{9}{16}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{9}{17}$ < $\frac{9}{16}$

Vergleich von $\frac{12}{11}$ und $\frac{6}{5}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{6}{5}$ = $\frac{12}{10}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{12}{11}$ < $\frac{12}{10}$=$\frac{6}{5}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{12}{11}$ < $\frac{6}{5}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 7 und 8.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 14 und 16, nämlich 15, somit ist also $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 3 und 4.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$ und $\frac{4}{7}$ = $\frac{8}{14}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 6 und 8, nämlich 7, somit ist also $\frac{7}{14}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$ und $\frac{4}{7}$ = $\frac{8}{14}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$2\frac{1}{4}$

$\frac{7}{3}$ = $\frac{\mathrm{6\; +\; 1}}{3}$ = $\frac{6}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $2$ + $\frac{1}{3}$ = $2\frac{1}{3}$

$\frac{8}{3}$ = $\frac{\mathrm{6\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{6}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $2$ + $\frac{2}{3}$ = $2\frac{2}{3}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 2 und 3 liegen. $2\frac{2}{3}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $2\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{3}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $2\frac{1}{4}$ oder $2\frac{1}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{4}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2\frac{1}{4}$ < $2\frac{1}{3}$ < $2\frac{2}{3}$ , also

$2\frac{1}{4}$ < $\frac{7}{3}$ < $\frac{8}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

11 = 10 + 1 = 2⋅5 + 1

also gilt:

$\frac{11}{5}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 5\; +\; 1}}{5}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 5}}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = 2 + $\frac{1}{5}$

Somit gilt: $\frac{11}{5}$ = $2\frac{1}{5}$