Wir können insgesamt 12 Quadrate erkennen.

Davon sind 6 eingefärbt.

Es sind also 6 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{6}{12}$

Wir können insgesamt 3 Sektoren erkennen.

Davon sind 1 eingefärbt.

Es sind also 1 von 3 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{1}{3}$

Wir haben eine Tabelle mit 7 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 42 Zellen. $\frac{5}{21}$ von 42 ist 10, weil $\frac{1}{\mathrm{21}}$ von 42 ja = 2 ist und 5⋅2 = 10 ist.

Somit müssen 10 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 5 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind einFünftel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{5}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{5}$ links im Rechteck abgetragen.

1 cm² sind ja 100 mm².

Also sind ein $\frac{1}{4}$ cm² doch gerade 100 mm² : 4 = 25 mm².

Ein $\frac{1}{2}$ von 100 Apfelbäume sind 100 : 2 = 50 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{1}{2}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 12 Euro sind 12 : 2 = 6 Euro.

Zuerst rechnen wir 1m² in 100 dm² um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 100 dm² sind 100 dm² : 2 = 50 dm².

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 24 h sind 24 h : 4 = 6 h.

$\frac{3}{4}$ von 24 h sind also 3 ⋅ 6 h = 18 h.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{12}$ h ist ein $\frac{1}{12}$ von 60 min, also 60 min : 12 = 5 min
Eine $\frac{11}{12}$ h sind also 11 ⋅ 5 min = 55 min

Eine $\frac{1}{4}$ h ist ein $\frac{1}{4}$ von 60 min, also 60 min : 4 = 15 min
Eine $\frac{3}{4}$ h sind also 3 ⋅ 15 min = 45 min

Insgesamt haben wir somit 55 min - 45 min = 10 min

Weil 10 min kleiner als 1 h à 60 min ist, ist das Ergebnis somit 0 h und 10 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 9:

$\frac{3}{7}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 9}}{\mathrm{7\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{27}{63}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (16) und Nenner (12) sind:

$\frac{16}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{8}{6}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{3}$

$\frac{16}{12}$ = $\frac{4}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 4 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 2 nachher der neue Nenner 56 wird.

Wir müssen also mit 56 : 2 = 28 erweitern.

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 28}}{\mathrm{2\; \cdot \; 28}}$ = $\frac{28}{56}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{3}$

90% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

90% = $\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{9}{10}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 3 und 4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 6 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{6}$ hat.

Da die Markierung auf dem 5-ten Strichchen zwischen 3 und 4 liegt, muss der gemischte Bruch $3\frac{5}{6}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $3\frac{5}{6}$ = $\frac{18}{6}$ $+\frac{5}{6}$ = $\frac{23}{6}$

Vergleich von $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{5}$ > $\frac{2}{5}$

Vergleich von $\frac{2}{5}$ und $\frac{1}{3}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{6}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{2}{5}$ > $\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{5}$ > $\frac{1}{3}$

Vergleich von $\frac{7}{5}$ und $\frac{7}{4}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{5}$ < $\frac{7}{4}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{2}{\mathrm{19}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{19}$ und $\frac{3}{19}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{4}{7}$ = $\frac{36}{63}$ und $\frac{7}{9}$ = $\frac{49}{63}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 36 und 49.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{36}{63}$ = $\frac{72}{126}$ und $\frac{49}{63}$ = $\frac{98}{126}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 72 und 98, nämlich $\frac{\mathrm{72\; +\; 98}}{2}$ = 85, somit ist also $\frac{85}{126}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{4}{7}$ = $\frac{72}{126}$ und $\frac{7}{9}$ = $\frac{98}{126}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$3\frac{2}{3}$

$\frac{10}{3}$ = $\frac{\mathrm{9\; +\; 1}}{3}$ = $\frac{9}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $3$ + $\frac{1}{3}$ = $3\frac{1}{3}$

$\frac{13}{4}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{12}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $3$ + $\frac{1}{4}$ = $3\frac{1}{4}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 3 und 4 liegen. $3\frac{2}{3}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $3\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{3}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $3\frac{1}{4}$ oder $3\frac{1}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 3 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{4}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{1}{4}$ < $3\frac{1}{3}$ < $3\frac{2}{3}$ , also

$\frac{13}{4}$ < $\frac{10}{3}$ < $3\frac{2}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

39 = 35 + 4 = 5⋅7 + 4

also gilt:

$\frac{39}{7}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 7\; +\; 4}}{7}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 7}}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = 5 + $\frac{4}{7}$

Somit gilt: $\frac{39}{7}$ = $5\frac{4}{7}$