Wir können insgesamt 9 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 9 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{9}$

Wir können insgesamt 12 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{12}$

Wir haben eine Tabelle mit 8 Spalten und 5 Zeilen, also insgesamt 40 Zellen. $\frac{1}{4}$ von 40 ist 10.

Somit müssen 10 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 kg sind ja 1000 g.

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{1000}}$ kg doch gerade 1 g.

Ein $\frac{1}{2}$ von 80 Mädchen sind 80 : 2 = 40 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{1}{2}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 12 Brötchen sind 12 : 2 = 6 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1kg in 1000 g um.

Ein $\frac{1}{20}$ von 1000 g sind 1000 g : 20 = 50 g.

$\frac{9}{20}$ von 1000 g sind also 9 ⋅ 50 g = 450 g.

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{3}$ von 24 h sind 24 h : 3 = 8 h.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{4}$ h ist ein $\frac{1}{4}$ von 60 min, also 60 min : 4 = 15 min

Eine $\frac{1}{2}$ h ist ein $\frac{1}{2}$ von 60 min, also 60 min : 2 = 30 min

Insgesamt haben wir somit 15 min + 30 min = 45 min

Weil 45 min kleiner als 1 h à 60 min ist, ist das Ergebnis somit 0 h und 45 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 2:

$\frac{4}{3}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 2}}{\mathrm{3\; \cdot \; 2}}$ = $\frac{8}{6}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (21) und Nenner (49) sind:

$\frac{21}{49}$ $\stackrel{\mathrm{k(7)}}{=}$ $\frac{3}{7}$

$\frac{21}{49}$ = $\frac{3}{7}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 7 nachher der neue Nenner 49 wird.

Wir müssen also mit 49 : 7 = 7 erweitern.

$\frac{8}{7}$ = $\frac{\mathrm{8\; \cdot \; 7}}{\mathrm{7\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{56}{49}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{5}{5}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 9, weil die Markierung eben auf dem 9-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{9}{5}$

20% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

20% = $\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{1}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und -2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 2 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{2}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -1 und -2 liegt, muss der gemischte Bruch $-1\frac{1}{2}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-1\frac{1}{2}$ = $-\frac{2}{2}$ $-\frac{1}{2}$ = $-\frac{3}{2}$

Vergleich von $\frac{5}{3}$ und $\frac{4}{3}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 3 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 3 teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{3}$ > $\frac{4}{3}$

Vergleich von $\frac{10}{17}$ und $\frac{5}{8}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{5}{8}$ = $\frac{10}{16}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{10}{17}$ < $\frac{10}{16}$=$\frac{5}{8}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{10}{17}$ < $\frac{5}{8}$

Vergleich von $\frac{11}{7}$ und $\frac{10}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{11}{7}$ > $\frac{10}{7}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 7 und 8.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 14 und 16, nämlich 15, somit ist also $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 4 und 5.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{6}$ und $\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 8 und 10, nämlich 9, somit ist also $\frac{9}{6}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{6}$ und $\frac{5}{3}$ = $\frac{10}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$4\frac{1}{3}$

$\frac{21}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 1}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $4$ + $\frac{1}{5}$ = $4\frac{1}{5}$

$\frac{14}{3}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{12}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $4$ + $\frac{2}{3}$ = $4\frac{2}{3}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 4 und 5 liegen. $4\frac{2}{3}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $4\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{3}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{5}$ oder $4\frac{1}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{5}$ und $\frac{1}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$4\frac{1}{5}$ < $4\frac{1}{3}$ < $4\frac{2}{3}$ , also

$\frac{21}{5}$ < $4\frac{1}{3}$ < $\frac{14}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

33 = 32 + 1 = 4⋅8 + 1

also gilt:

$\frac{33}{8}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 8\; +\; 1}}{8}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 8}}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = 4 + $\frac{1}{8}$

Somit gilt: $\frac{33}{8}$ = $4\frac{1}{8}$