Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 2 eingefärbt.

Es sind also 2 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{2}{10}$

Wir können insgesamt 5 Sektoren erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 5 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{5}$

Wir haben eine Tabelle mit 7 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 42 Zellen. $\frac{5}{6}$ von 42 ist 35, weil $\frac{1}{6}$ von 42 ja = 7 ist und 5⋅7 = 35 ist.

Somit müssen 35 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 l sind ja 1000 ml.

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{1000}}$ l doch gerade 1 ml.

Ein $\frac{1}{3}$ von 180 Apfelbäume sind 180 : 3 = 60 Apfelbäume.

Also sind $\frac{2}{3}$ von 180 Apfelbäume 2 ⋅ 60 = 120 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{2}{3}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{3}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{3}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 14 Euro sind 14 : 2 = 7 Euro.

Zuerst rechnen wir 1g in 1000 mg um.

Ein $\frac{1}{4}$ von 1000 mg sind 1000 mg : 4 = 250 mg.

$\frac{3}{4}$ von 1000 mg sind also 3 ⋅ 250 mg = 750 mg.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{3}$ von 60 min sind 60 min : 3 = 20 min.

$\frac{2}{3}$ von 60 min sind also 2 ⋅ 20 min = 40 min.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{2}$ h ist ein $\frac{1}{2}$ von 60 min, also 60 min : 2 = 30 min

1,5 h sind 1 h + $\frac{1}{2}$ h, also 1⋅60 + $\frac{1}{2}$⋅60 = 60 + 30 = 90 min

Insgesamt haben wir somit 30 min + 90 min = 120 min

Um herauszufinden wie viele volle h in den 120 min stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 120 ist. Wir teilen also 120 als 120 + 0 auf und erhalten somit:
120 min = 2 h und 0 min

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 9:

$\frac{3}{5}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 9}}{\mathrm{5\; \cdot \; 9}}$ = $\frac{27}{45}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (18) und Nenner (42) sind:

$\frac{18}{42}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{9}{21}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{3}{7}$

$\frac{18}{42}$ = $\frac{3}{7}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 6 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 3 nachher der neue Nenner 36 wird.

Wir müssen also mit 36 : 3 = 12 erweitern.

$\frac{4}{3}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 12}}{\mathrm{3\; \cdot \; 12}}$ = $\frac{48}{36}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 0.5=$\frac{1}{2}$ und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 8 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{8}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{8}$

40% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

40% = $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{2}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Da die Markierung auf dem 2-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{2}{3}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{2}{3}$ = $-\frac{9}{3}$ $-\frac{2}{3}$ = $-\frac{11}{3}$

Vergleich von $\frac{9}{7}$ und $\frac{10}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{9}{7}$ < $\frac{10}{7}$

Vergleich von $\frac{3}{7}$ und $\frac{1}{2}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$

$\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{14}$

Also gilt: $\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$ < $\frac{7}{14}$ = $\frac{1}{2}$.

Vergleich von $\frac{5}{7}$ und $\frac{4}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{7}$ > $\frac{4}{7}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 6.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{5}{7}$ = $\frac{10}{14}$ und $\frac{6}{7}$ = $\frac{12}{14}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 10 und 12, nämlich 11, somit ist also $\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{14}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{5}{7}$ = $\frac{10}{14}$ und $\frac{6}{7}$ = $\frac{12}{14}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$-\frac{1}{3}$ = $-\frac{1}{3}$ und $0$ = $\frac{0}{3}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 0.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{1}{3}$ = $-\frac{2}{6}$ und $\frac{0}{3}$ = $\frac{0}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -2 und 0, nämlich -1, somit ist also $-\frac{1}{6}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{1}{3}$ = $-\frac{2}{6}$ und $0$ = $\frac{0}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$2\frac{2}{7}$

$\frac{13}{5}$ = $\frac{\mathrm{10\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{10}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $2$ + $\frac{3}{5}$ = $2\frac{3}{5}$

$\frac{12}{5}$ = $\frac{\mathrm{10\; +\; 2}}{5}$ = $\frac{10}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $2$ + $\frac{2}{5}$ = $2\frac{2}{5}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 2 und 3 liegen. $2\frac{3}{5}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $2\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{3}{5}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $2\frac{2}{7}$ oder $2\frac{2}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{2}{7}$ und $\frac{2}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 2 im Zähler haben, muss $\frac{2}{7}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 2 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{2}{5}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2\frac{2}{7}$ < $2\frac{2}{5}$ < $2\frac{3}{5}$ , also

$2\frac{2}{7}$ < $\frac{12}{5}$ < $\frac{13}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

15 = 12 + 3 = 3⋅4 + 3

also gilt:

$\frac{15}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 4\; +\; 3}}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 4}}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = 3 + $\frac{3}{4}$

Somit gilt: $\frac{15}{4}$ = $3\frac{3}{4}$