Wir können insgesamt 12 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{12}$

Wir können insgesamt 7 Sektoren erkennen.

Davon sind 6 eingefärbt.

Es sind also 6 von 7 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{6}{7}$

Wir haben eine Tabelle mit 8 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 48 Zellen. $\frac{2}{3}$ von 48 ist 32, weil $\frac{1}{3}$ von 48 ja = 16 ist und 2⋅16 = 32 ist.

Somit müssen 32 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 2 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind eine Hälfte des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{2}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{2}$ links im Rechteck abgetragen.

1 d sind ja 24 h.

Also sind ein $\frac{1}{3}$ d doch gerade 24 h : 3 = 8 h.

Ein $\frac{1}{2}$ von 200 Mädchen sind 200 : 2 = 100 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{1}{2}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{2}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{2}$

Ein $\frac{1}{3}$ von 15 Birnen sind 15 : 3 = 5 Birnen.

Also sind $\frac{2}{3}$ von 15 Birnen 2 ⋅ 5 = 10 Birnen.

Zuerst rechnen wir 1m in 100 cm um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 100 cm sind 100 cm : 5 = 20 cm.

$\frac{4}{5}$ von 100 cm sind also 4 ⋅ 20 cm = 80 cm.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{3}$ von 60 s sind 60 s : 3 = 20 s.

$\frac{2}{3}$ von 60 s sind also 2 ⋅ 20 s = 40 s.

Zuerst rechnen wir in h um.

Ein $\frac{1}{2}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{2}$ von 24 h, also 24 h : 2 = 12 h

Ein $\frac{1}{3}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{3}$ von 24 h, also 24 h : 3 = 8 h
Ein $\frac{2}{3}$ d(Tage) sind also 2 ⋅ 8 h = 16 h

Insgesamt haben wir somit 12 h + 16 h = 28 h

Um herauszufinden wie viele volle d(Tage) in den 28 h stecken, suchen wir das größte Vielfache von 24, das nicht größer als 28 ist. Wir teilen also 28 als 24 + 4 auf und erhalten somit:
28 h = 1 d(Tage) und 4 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 7:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 7}}{\mathrm{2\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{7}{14}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (50) und Nenner (35) sind:

$\frac{50}{35}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{10}{7}$

$\frac{50}{35}$ = $\frac{10}{7}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 8 nachher der neue Nenner 40 wird.

Wir müssen also mit 40 : 8 = 5 erweitern.

$\frac{5}{8}$ = $\frac{\mathrm{5\; \cdot \; 5}}{\mathrm{8\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{25}{40}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{5}{5}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 7, weil die Markierung eben auf dem 7-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{7}{5}$

15% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

15% = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{20}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Da die Markierung auf dem 4-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{4}{5}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{4}{5}$ = $-\frac{15}{5}$ $-\frac{4}{5}$ = $-\frac{19}{5}$

Vergleich von $\frac{1}{3}$ und $0$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$0$ = $\frac{0}{3}$

Also gilt: $\frac{1}{3}$ > $\frac{0}{3}$ = $0$.

Vergleich von $\frac{4}{7}$ und $\frac{5}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{4}{7}$ < $\frac{5}{7}$

Vergleich von $\frac{6}{5}$ und $\frac{13}{10}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{6}{5}$ = $\frac{12}{10}$

Also gilt: $\frac{6}{5}$ = $\frac{12}{10}$ < $\frac{13}{10}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{19}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{33}{19}$ und $\frac{35}{19}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 4.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{5}{3}$ = $-\frac{10}{6}$ und $-\frac{4}{3}$ = $-\frac{8}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -10 und -8, nämlich -9, somit ist also $-\frac{9}{6}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{5}{3}$ = $-\frac{10}{6}$ und $-\frac{4}{3}$ = $-\frac{8}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$5\frac{1}{5}$

$\frac{16}{3}$ = $\frac{\mathrm{15\; +\; 1}}{3}$ = $\frac{15}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $5$ + $\frac{1}{3}$ = $5\frac{1}{3}$

$\frac{17}{3}$ = $\frac{\mathrm{15\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{15}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $5$ + $\frac{2}{3}$ = $5\frac{2}{3}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 5 und 6 liegen. $5\frac{2}{3}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $5\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{3}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $5\frac{1}{5}$ oder $5\frac{1}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 5 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{5}$ und $\frac{1}{3}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{5}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{3}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$5\frac{1}{5}$ < $5\frac{1}{3}$ < $5\frac{2}{3}$ , also

$5\frac{1}{5}$ < $\frac{16}{3}$ < $\frac{17}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

7 = 6 + 1 = 1⋅6 + 1

also gilt:

$\frac{7}{6}$ = $\frac{\mathrm{1\cdot 6\; +\; 1}}{6}$ = $\frac{\mathrm{1\cdot 6}}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = 1 + $\frac{1}{6}$

Somit gilt: $\frac{7}{6}$ = $1\frac{1}{6}$