Wir können insgesamt 15 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 15 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{15}$

Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{10}$

Wir haben eine Tabelle mit 7 Spalten und 8 Zeilen, also insgesamt 56 Zellen. $\frac{11}{14}$ von 56 ist 44, weil $\frac{1}{\mathrm{14}}$ von 56 ja = 4 ist und 11⋅4 = 44 ist.

Somit müssen 44 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 t sind ja 1000 kg.

Also sind eine $\frac{1}{5}$ t doch gerade 1000 kg : 5 = 200 kg.

Somit sind eine $\frac{3}{5}$ t das gleiche wie 200 kg ⋅ 3 = 600 kg.

Ein $\frac{1}{7}$ von 560 Apfelbäume sind 560 : 7 = 80 Apfelbäume.

Also sind $\frac{6}{7}$ von 560 Apfelbäume 6 ⋅ 80 = 480 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{6}{7}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{7}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{7}$

Ein $\frac{1}{2}$ von 4 Brötchen sind 4 : 2 = 2 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1g in 1000 mg um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 1000 mg sind 1000 mg : 5 = 200 mg.

$\frac{3}{5}$ von 1000 mg sind also 3 ⋅ 200 mg = 600 mg.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{5}$ von 60 s sind 60 s : 5 = 12 s.

$\frac{3}{5}$ von 60 s sind also 3 ⋅ 12 s = 36 s.

Zuerst rechnen wir in h um.

Ein $\frac{1}{6}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{6}$ von 24 h, also 24 h : 6 = 4 h
Ein $\frac{5}{6}$ d(Tage) sind also 5 ⋅ 4 h = 20 h

Ein $\frac{1}{3}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{3}$ von 24 h, also 24 h : 3 = 8 h
Ein $\frac{2}{3}$ d(Tage) sind also 2 ⋅ 8 h = 16 h

Insgesamt haben wir somit 20 h - 16 h = 4 h

Weil 4 h kleiner als 1 d(Tage) à 24 h ist, ist das Ergebnis somit 0 d(Tage) und 4 d(Tage)

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 8:

$\frac{11}{7}$ = $\frac{\mathrm{11\; \cdot \; 8}}{\mathrm{7\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{88}{56}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (18) und Nenner (42) sind:

$\frac{18}{42}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{9}{21}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{3}{7}$

$\frac{18}{42}$ = $\frac{3}{7}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 6 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 5 nachher der neue Nenner 35 wird.

Wir müssen also mit 35 : 5 = 7 erweitern.

$\frac{8}{5}$ = $\frac{\mathrm{8\; \cdot \; 7}}{\mathrm{5\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{56}{35}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 6 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{6}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{6}{6}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 11, weil die Markierung eben auf dem 11-ten Strichchen liegt.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{11}{6}$

65% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{65}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

65% = $\frac{\mathrm{65}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{13}{20}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -3 und -4 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Da die Markierung auf dem 2-ten Strichchen zwischen -3 und -4 liegt, muss der gemischte Bruch $-3\frac{2}{3}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-3\frac{2}{3}$ = $-\frac{9}{3}$ $-\frac{2}{3}$ = $-\frac{11}{3}$

Vergleich von $\frac{1}{2}$ und $0$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$0$ = $\frac{0}{2}$

Also gilt: $\frac{1}{2}$ > $\frac{0}{2}$ = $0$.

Vergleich von $\frac{5}{7}$ und $\frac{4}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{7}$ > $\frac{4}{7}$

Vergleich von $\frac{11}{12}$ und $\frac{11}{13}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{11}{12}$ > $\frac{11}{13}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 30 und 31.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{30}{19}$ = $\frac{60}{38}$ und $\frac{31}{19}$ = $\frac{62}{38}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 60 und 62, nämlich 61, somit ist also $\frac{\mathrm{61}}{\mathrm{38}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{30}{19}$ = $\frac{60}{38}$ und $\frac{31}{19}$ = $\frac{62}{38}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 18 im neunen Nenner steht:

$\frac{11}{18}$ = $\frac{11}{18}$ und $\frac{11}{9}$ = $\frac{22}{18}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 11 und 22.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{11}{18}$ = $\frac{22}{36}$ und $\frac{22}{18}$ = $\frac{44}{36}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 22 und 44, nämlich $\frac{\mathrm{22\; +\; 44}}{2}$ = 33, somit ist also $\frac{33}{36}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{11}{18}$ = $\frac{22}{36}$ und $\frac{11}{9}$ = $\frac{44}{36}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$3\frac{5}{8}$

$\frac{13}{4}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 1}}{4}$ = $\frac{12}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $3$ + $\frac{1}{4}$ = $3\frac{1}{4}$

$\frac{19}{6}$ = $\frac{\mathrm{18\; +\; 1}}{6}$ = $\frac{18}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $3$ + $\frac{1}{6}$ = $3\frac{1}{6}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 3 und 4 liegen. $3\frac{5}{8}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $3\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{5}{8}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $3\frac{1}{6}$ oder $3\frac{1}{4}$ größer ist.
Da ja beide die 3 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{4}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{6}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{4}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{1}{6}$ < $3\frac{1}{4}$ < $3\frac{5}{8}$ , also

$\frac{19}{6}$ < $\frac{13}{4}$ < $3\frac{5}{8}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

13 = 10 + 3 = 2⋅5 + 3

also gilt:

$\frac{13}{5}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 5\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{\mathrm{2\cdot 5}}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = 2 + $\frac{3}{5}$

Somit gilt: $\frac{13}{5}$ = $2\frac{3}{5}$