Wir können insgesamt 10 Quadrate erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{10}$

Wir können insgesamt 12 Sektoren erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{12}$

Wir haben eine Tabelle mit 4 Spalten und 6 Zeilen, also insgesamt 24 Zellen. $\frac{3}{4}$ von 24 ist 18, weil $\frac{1}{4}$ von 24 ja = 6 ist und 3⋅6 = 18 ist.

Somit müssen 18 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 d sind ja 24 h.

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{24}}$ d doch gerade 1 h.

Ein $\frac{1}{4}$ von 280 Mädchen sind 280 : 4 = 70 Mädchen.

Also sind $\frac{3}{4}$ von 280 Mädchen 3 ⋅ 70 = 210 Mädchen.

Wenn die Mädchen $\frac{3}{4}$ aller Schüler:innen ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{4}$ für die Jungs übrig.
Der Anteil der Jungs beträgt also: $\frac{1}{4}$

Ein $\frac{1}{5}$ von 40 Kartoffeln sind 40 : 5 = 8 Kartoffeln.

Also sind $\frac{2}{5}$ von 40 Kartoffeln 2 ⋅ 8 = 16 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1m in 100 cm um.

Ein $\frac{1}{50}$ von 100 cm sind 100 cm : 50 = 2 cm.

$\frac{41}{50}$ von 100 cm sind also 41 ⋅ 2 cm = 82 cm.

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 24 h sind 24 h : 2 = 12 h.

Zuerst rechnen wir in min um.

Eine $\frac{1}{6}$ h ist ein $\frac{1}{6}$ von 60 min, also 60 min : 6 = 10 min
Eine $\frac{5}{6}$ h sind also 5 ⋅ 10 min = 50 min

Eine $\frac{1}{12}$ h ist ein $\frac{1}{12}$ von 60 min, also 60 min : 12 = 5 min
Eine $\frac{7}{12}$ h sind also 7 ⋅ 5 min = 35 min

Insgesamt haben wir somit 50 min + 35 min = 85 min

Um herauszufinden wie viele volle h in den 85 min stecken, suchen wir das größte Vielfache von 60, das nicht größer als 85 ist. Wir teilen also 85 als 60 + 25 auf und erhalten somit:
85 min = 1 h und 25 min

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 6:

$\frac{2}{5}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 6}}{\mathrm{5\; \cdot \; 6}}$ = $\frac{12}{30}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (88) und Nenner (56) sind:

$\frac{88}{56}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{44}{28}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{22}{14}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{11}{7}$

$\frac{88}{56}$ = $\frac{11}{7}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 8 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 2 nachher der neue Nenner 100 wird.

Wir müssen also mit 100 : 2 = 50 erweitern.

$\frac{3}{2}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 50}}{\mathrm{2\; \cdot \; 50}}$ = $\frac{150}{100}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Das die Markierung auf dem 3-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 3 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{3}{5}$

60% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

60% = $\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 1 und 2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen 1 und 2 liegt, muss der gemischte Bruch $1\frac{3}{5}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $1\frac{3}{5}$ = $\frac{5}{5}$ $+\frac{3}{5}$ = $\frac{8}{5}$

Vergleich von $\frac{7}{9}$ und $\frac{7}{8}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{7}{9}$ < $\frac{7}{8}$

Vergleich von $\frac{32}{17}$ und $\frac{31}{17}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 17 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 17 teilt). Es gilt hier also $\frac{32}{17}$ > $\frac{31}{17}$

Vergleich von $\frac{5}{11}$ und $\frac{10}{21}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{5}{11}$ = $\frac{10}{22}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{5}{11}$=$\frac{10}{22}$ < $\frac{10}{21}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{11}$ < $\frac{10}{21}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 7 und 8.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 14 und 16, nämlich 15, somit ist also $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{10}$ und $\frac{8}{5}$ = $\frac{16}{10}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 15 im neunen Nenner steht:

$\frac{11}{15}$ = $\frac{11}{15}$ und $\frac{2}{3}$ = $\frac{10}{15}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 11 und 10.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{11}{15}$ = $\frac{22}{30}$ und $\frac{10}{15}$ = $\frac{20}{30}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 22 und 20, nämlich 21, somit ist also $\frac{21}{30}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{11}{15}$ = $\frac{22}{30}$ und $\frac{2}{3}$ = $\frac{20}{30}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$4\frac{1}{3}$

$\frac{31}{8}$ = $\frac{\mathrm{24\; +\; 7}}{8}$ = $\frac{24}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $3$ + $\frac{7}{8}$ = $3\frac{7}{8}$

$\frac{9}{2}$ = $\frac{\mathrm{8\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{8}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $4$ + $\frac{1}{2}$ = $4\frac{1}{2}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{7}{8}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{3}$ oder $4\frac{1}{2}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{3}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{2}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{7}{8}$ < $4\frac{1}{3}$ < $4\frac{1}{2}$ , also

$\frac{31}{8}$ < $4\frac{1}{3}$ < $\frac{9}{2}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

51 = 50 + 1 = 5⋅10 + 1

also gilt:

$\frac{51}{10}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 10\; +\; 1}}{\mathrm{10}}$ = $\frac{\mathrm{5\cdot 10}}{\mathrm{10}}$ + $\frac{1}{\mathrm{10}}$ = 5 + $\frac{1}{\mathrm{10}}$

Somit gilt: $\frac{51}{10}$ = $5\frac{1}{10}$