Wir können insgesamt 10 Sektoren erkennen.

Davon sind 9 eingefärbt.

Es sind also 9 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{9}{10}$

Wir können insgesamt 12 Sektoren erkennen.

Davon sind 5 eingefärbt.

Es sind also 5 von 12 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{5}{12}$

Wir haben eine Tabelle mit 5 Spalten und 4 Zeilen, also insgesamt 20 Zellen. $\frac{7}{10}$ von 20 ist 14, weil $\frac{1}{\mathrm{10}}$ von 20 ja = 2 ist und 7⋅2 = 14 ist.

Somit müssen 14 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 3 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Drittel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{3}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{3}$ links im Rechteck abgetragen.

1 m sind ja 100 cm.

Also sind ein $\frac{1}{2}$ m doch gerade 100 cm : 2 = 50 cm.

Ein $\frac{1}{4}$ von 120 Apfelbäume sind 120 : 4 = 30 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{1}{4}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{3}{4}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{3}{4}$

Ein $\frac{1}{5}$ von 50 Kartoffeln sind 50 : 5 = 10 Kartoffeln.

Also sind $\frac{3}{5}$ von 50 Kartoffeln 3 ⋅ 10 = 30 Kartoffeln.

Zuerst rechnen wir 1g in 1000 mg um.

Ein $\frac{1}{20}$ von 1000 mg sind 1000 mg : 20 = 50 mg.

$\frac{11}{20}$ von 1000 mg sind also 11 ⋅ 50 mg = 550 mg.

Zuerst rechnen wir 1min in 60 s um.

Ein $\frac{1}{10}$ von 60 s sind 60 s : 10 = 6 s.

Zuerst rechnen wir in h um.

Ein $\frac{1}{4}$ d(Tage) ist ein $\frac{1}{4}$ von 24 h, also 24 h : 4 = 6 h

1,5 d(Tage) sind 1 d(Tage) + $\frac{1}{2}$ d(Tage), also 1⋅24 + $\frac{1}{2}$⋅24 = 24 + 12 = 36 h

Insgesamt haben wir somit 6 h + 36 h = 42 h

Um herauszufinden wie viele volle d(Tage) in den 42 h stecken, suchen wir das größte Vielfache von 24, das nicht größer als 42 ist. Wir teilen also 42 als 24 + 18 auf und erhalten somit:
42 h = 1 d(Tage) und 18 h

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 6:

$\frac{11}{8}$ = $\frac{\mathrm{11\; \cdot \; 6}}{\mathrm{8\; \cdot \; 6}}$ = $\frac{66}{48}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (72) und Nenner (56) sind:

$\frac{72}{56}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{36}{28}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{18}{14}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{9}{7}$

$\frac{72}{56}$ = $\frac{9}{7}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 8 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 7 nachher der neue Nenner 49 wird.

Wir müssen also mit 49 : 7 = 7 erweitern.

$\frac{11}{7}$ = $\frac{\mathrm{11\; \cdot \; 7}}{\mathrm{7\; \cdot \; 7}}$ = $\frac{77}{49}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Man könnte jetzt einfach die Strichchen von der 0 bis zur Markierung zählen; schneller geht's aber, wenn man die ganzen Einheiten als $\frac{3}{3}$ zählt. In beiden Fällen erhält man als Zähler 4, weil die Markierung eben auf dem 4-ten Strichchen liegt.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{4}{3}$

15% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

15% = $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{3}{20}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und -2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -1 und -2 liegt, muss der gemischte Bruch $-1\frac{1}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-1\frac{1}{4}$ = $-\frac{4}{4}$ $-\frac{1}{4}$ = $-\frac{5}{4}$

Vergleich von $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{3}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{1}{4}$ < $\frac{1}{3}$

Vergleich von $\frac{21}{19}$ und $\frac{22}{19}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 19 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 19 teilt). Es gilt hier also $\frac{21}{19}$ < $\frac{22}{19}$

Vergleich von $\frac{11}{12}$ und $\frac{22}{24}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{11}{12}$ = $\frac{22}{24}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{11}{12}$=$\frac{22}{24}$ = $\frac{22}{24}$. Es gilt hier also $\frac{11}{12}$ = $\frac{22}{24}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{8}{5}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{7}{5}$ und $\frac{9}{5}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{5}{20}$ und $\frac{6}{5}$ = $\frac{24}{20}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 24.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{5}{20}$ = $\frac{10}{40}$ und $\frac{24}{20}$ = $\frac{48}{40}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 10 und 48, nämlich $\frac{\mathrm{10\; +\; 48}}{2}$ = 29, somit ist also $\frac{29}{40}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{4}$ = $\frac{10}{40}$ und $\frac{6}{5}$ = $\frac{48}{40}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{8}{3}$ = $\frac{\mathrm{6\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{6}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $2$ + $\frac{2}{3}$ = $2\frac{2}{3}$

$\frac{5}{2}$ = $\frac{\mathrm{4\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $2$ + $\frac{1}{2}$ = $2\frac{1}{2}$

$2\frac{1}{6}$

Man erkennt, dass alle drei Brüche zwischen 2 und 3 liegen. $2\frac{2}{3}$ ist dabei aber die größte Zahl, weil sie als einzige größer als $2\frac{1}{2}$ ist. Das erkennt man daran, dass bei $\frac{2}{3}$ der Zähler über der Hälfte vom Nenner ist.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $2\frac{1}{6}$ oder $2\frac{1}{2}$ größer ist.
Da ja beide die 2 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{2}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 1 im Zähler haben, muss $\frac{1}{6}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 1 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{1}{2}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2\frac{1}{6}$ < $2\frac{1}{2}$ < $2\frac{2}{3}$ , also

$2\frac{1}{6}$ < $\frac{5}{2}$ < $\frac{8}{3}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

31 = 28 + 3 = 4⋅7 + 3

also gilt:

$\frac{31}{7}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 7\; +\; 3}}{7}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 7}}{7}$ + $\frac{3}{7}$ = 4 + $\frac{3}{7}$

Somit gilt: $\frac{31}{7}$ = $4\frac{3}{7}$