Wir können insgesamt 10 Quadrate erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 10 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{10}$

1 cm² sind ja 100 mm².

Also sind ein $\frac{1}{\mathrm{100}}$ cm² doch gerade 1 mm².

Ein $\frac{1}{3}$ von 12 Brötchen sind 12 : 3 = 4 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{25}$ von 1000 m sind 1000 m : 25 = 40 m.

$\frac{16}{25}$ von 1000 m sind also 16 ⋅ 40 m = 640 m.

Zuerst rechnen wir 1h in 60 min um.

Ein $\frac{1}{12}$ von 60 min sind 60 min : 12 = 5 min.

$\frac{7}{12}$ von 60 min sind also 7 ⋅ 5 min = 35 min.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 4:

$\frac{4}{7}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 4}}{\mathrm{7\; \cdot \; 4}}$ = $\frac{16}{28}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (55) und Nenner (35) sind:

$\frac{55}{35}$ $\stackrel{\mathrm{k(5)}}{=}$ $\frac{11}{7}$

$\frac{55}{35}$ = $\frac{11}{7}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 7 nachher der neue Nenner 14 wird.

Wir müssen also mit 14 : 7 = 2 erweitern.

$\frac{9}{7}$ = $\frac{\mathrm{9\; \cdot \; 2}}{\mathrm{7\; \cdot \; 2}}$ = $\frac{18}{14}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{1}{10}$ = $\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{100}}$ = 10%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{5}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und -2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 4 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{4}$ hat.

Da die Markierung auf dem 3-ten Strichchen zwischen -1 und -2 liegt, muss der gemischte Bruch $-1\frac{3}{4}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-1\frac{3}{4}$ = $-\frac{4}{4}$ $-\frac{3}{4}$ = $-\frac{7}{4}$

Vergleich von $\frac{2}{3}$ und $\frac{1}{2}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{2}{3}$ > $\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{3}$ > $\frac{1}{2}$

Vergleich von $\frac{15}{13}$ und $\frac{16}{13}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 13 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 13 teilt). Es gilt hier also $\frac{15}{13}$ < $\frac{16}{13}$

Vergleich von $\frac{5}{6}$ und $\frac{10}{11}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 2. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 1. ten. Wir erweitern deswegen 1-ten Bruch mit 2: $\frac{5}{6}$ = $\frac{10}{12}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{5}{6}$=$\frac{10}{12}$ < $\frac{10}{11}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{5}{6}$ < $\frac{10}{11}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{19}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{12}{19}$ und $\frac{14}{19}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$-\frac{11}{7}$ = $-\frac{99}{63}$ und $-\frac{7}{9}$ = $-\frac{49}{63}$

Die Mitte zwischen -99 und -49 ist $\frac{\mathrm{-99\; +\; -49}}{2}$ = -74

Somit ist also $-\frac{74}{63}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{99}{63}$ = $-\frac{11}{7}$ und $-\frac{49}{63}$ = $-\frac{7}{9}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{19}{5}$ = $\frac{\mathrm{15\; +\; 4}}{5}$ = $\frac{15}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $3$ + $\frac{4}{5}$ = $3\frac{4}{5}$

$4\frac{1}{2}$

$\frac{23}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $4$ + $\frac{3}{5}$ = $4\frac{3}{5}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{4}{5}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{2}$ oder $4\frac{3}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{3}{5}$ betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass $\frac{1}{2}$ die kleinere Zahl sein muss.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{10}$ < $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{4}{5}$ < $4\frac{1}{2}$ < $4\frac{3}{5}$ , also

$\frac{19}{5}$ < $4\frac{1}{2}$ < $\frac{23}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

23 = 20 + 3 = 4⋅5 + 3

also gilt:

$\frac{23}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 5\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 5}}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = 4 + $\frac{3}{5}$

Somit gilt: $\frac{23}{5}$ = $4\frac{3}{5}$