Wir können insgesamt 6 Quadrate erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 6 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{6}$

Wir können insgesamt 11 Sektoren erkennen.

Davon sind 3 eingefärbt.

Es sind also 3 von 11 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{3}{11}$

Wir haben eine Tabelle mit 7 Spalten und 8 Zeilen, also insgesamt 56 Zellen. $\frac{3}{7}$ von 56 ist 24, weil $\frac{1}{7}$ von 56 ja = 8 ist und 3⋅8 = 24 ist.

Somit müssen 24 Kästchen eingefärbt sein.

Wenn ein Beet von 4 Kindern gepflegt wird, muss ja jedes Kind ein Viertel des Beets pflegen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{1}{4}$

Der grüne Strich unten zeigt den $\frac{1}{4}$ links im Rechteck abgetragen.

1 cm² sind ja 100 mm².

Also sind ein $\frac{1}{5}$ cm² doch gerade 100 mm² : 5 = 20 mm².

Somit sind ein $\frac{4}{5}$ cm² das gleiche wie 20 mm² ⋅ 4 = 80 mm².

Ein $\frac{1}{3}$ von 270 Apfelbäume sind 270 : 3 = 90 Apfelbäume.

Also sind $\frac{2}{3}$ von 270 Apfelbäume 2 ⋅ 90 = 180 Apfelbäume.

Wenn die Apfelbäume $\frac{2}{3}$ aller Obstbäume ausmachen, bleiben ja noch $\frac{1}{3}$ für die Birnbäume übrig.
Der Anteil der Birnbäume beträgt also: $\frac{1}{3}$

Ein $\frac{1}{7}$ von 70 Brötchen sind 70 : 7 = 10 Brötchen.

Also sind $\frac{4}{7}$ von 70 Brötchen 4 ⋅ 10 = 40 Brötchen.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{25}$ von 1000 m sind 1000 m : 25 = 40 m.

$\frac{19}{25}$ von 1000 m sind also 19 ⋅ 40 m = 760 m.

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{6}$ von 24 h sind 24 h : 6 = 4 h.

$\frac{5}{6}$ von 24 h sind also 5 ⋅ 4 h = 20 h.

Zuerst rechnen wir in s um.

Eine $\frac{1}{3}$ min ist ein $\frac{1}{3}$ von 60 s, also 60 s : 3 = 20 s
Eine $\frac{2}{3}$ min sind also 2 ⋅ 20 s = 40 s

Eine $\frac{1}{4}$ min ist ein $\frac{1}{4}$ von 60 s, also 60 s : 4 = 15 s

Insgesamt haben wir somit 40 s + 15 s = 55 s

Weil 55 s kleiner als 1 min à 60 s ist, ist das Ergebnis somit 0 min und 55 min

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 3:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{\mathrm{1\; \cdot \; 3}}{\mathrm{2\; \cdot \; 3}}$ = $\frac{3}{6}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (81) und Nenner (72) sind:

$\frac{81}{72}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{27}{24}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{9}{8}$

$\frac{81}{72}$ = $\frac{9}{8}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 9 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 7 nachher der neue Nenner 28 wird.

Wir müssen also mit 28 : 7 = 4 erweitern.

$\frac{3}{7}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 4}}{\mathrm{7\; \cdot \; 4}}$ = $\frac{12}{28}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen 0 und 1 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 5 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{5}$ hat.

Das die Markierung auf dem 4-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 4 stehen.

Der gesuchte Bruch ist also: $\frac{4}{5}$

25% bedeutet ja einfach $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{100}}$. Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

25% = $\frac{\mathrm{25}}{\mathrm{100}}$ = $\frac{1}{4}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und -2 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 8 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{8}$ hat.

Da die Markierung auf dem 7-ten Strichchen zwischen -1 und -2 liegt, muss der gemischte Bruch $-1\frac{7}{8}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-1\frac{7}{8}$ = $-\frac{8}{8}$ $-\frac{7}{8}$ = $-\frac{15}{8}$

Vergleich von $\frac{1}{4}$ und $0$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$0$ = $\frac{0}{4}$

Also gilt: $\frac{1}{4}$ > $\frac{0}{4}$ = $0$.

Vergleich von $\frac{10}{7}$ und $\frac{11}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 7 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 7 teilt). Es gilt hier also $\frac{10}{7}$ < $\frac{11}{7}$

Vergleich von $\frac{3}{2}$ und $\frac{13}{8}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{8}$

Also gilt: $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{8}$ < $\frac{13}{8}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{4}{7}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{3}{7}$ und $\frac{5}{7}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu erweitern wir hier einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs:

$-\frac{4}{3}$ = $-\frac{4}{3}$ und $-1$ = $-\frac{3}{3}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 4 und 3.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $-\frac{4}{3}$ = $-\frac{8}{6}$ und $-\frac{3}{3}$ = $-\frac{6}{6}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen -8 und -6, nämlich -7, somit ist also $-\frac{7}{6}$ genau in der Mitte zwischen $-\frac{4}{3}$ = $-\frac{8}{6}$ und $-1$ = $-\frac{6}{6}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$-2\frac{4}{5}$

$-\frac{18}{5}$ = $\frac{\mathrm{15\; +\; 3}}{5}$ = $\frac{15}{5}$ + $\frac{3}{5}$ = $3$ + $\frac{3}{5}$ = $-3\frac{3}{5}$

$-\frac{7}{2}$ = $\frac{\mathrm{6\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{6}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $3$ + $\frac{1}{2}$ = $-3\frac{1}{2}$

Jetzt sieht man sofort, dass $-2\frac{4}{5}$ die betragsmäßig kleinste Zahl, also wegen des negativem Vorzeichens größte Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $-3\frac{1}{2}$ oder $-3\frac{3}{5}$ größer ist.
Da ja beide die -3 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $-\frac{1}{2}$ und $-\frac{3}{5}$ betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass $-\frac{1}{2}$ die betragsmäßig kleinere Zahl sein muss. Wegen des negativen Vorzeichens ist dann aber die betragsmäßig kleinere Zahl $-\frac{1}{2}$ die größere von beiden.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: $-\frac{1}{2}$ = $-\frac{5}{10}$ < $-\frac{6}{10}$ = $-\frac{3}{5}$

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$-3\frac{3}{5}$ < $-3\frac{1}{2}$ < $-2\frac{4}{5}$ , also

$-\frac{18}{5}$ < $-\frac{7}{2}$ < $-2\frac{4}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

9 = 8 + 1 = 4⋅2 + 1

also gilt:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 2\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{4\cdot 2}}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = 4 + $\frac{1}{2}$

Somit gilt: $\frac{9}{2}$ = $4\frac{1}{2}$