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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x - 1)) - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x - 1)) - 3$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{4} (x - 1)) \cdot (\frac{3}{4} (1 + 0)) + 0$

= $2 \cdot \cos (\frac{3}{4} (x - 1)) \cdot (\frac{3}{4} (1))$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{4} (x - 1))$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 x^{2} \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot 2 x \cdot \sin (3 x) - 2 x^{2} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $- 4 x \cdot \sin (3 x) - 2 x^{2} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $- 4 x \cdot \sin (3 x) - 6 x^{2} \cdot \cos (3 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (- x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{π} - 2 \cdot \sin (- x) ⅆ x

= ${[- 2 \cdot \cos (- x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- 2 \cdot \cos (- π) + 2 \cdot \cos (- (0))$

= $- 2 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1$

= $2 + 2$

= $4$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (3 x) + 3$ im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6} π$ ≈ $\frac{1}{6} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6} π$ |5)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (3 x) + 1$ im Intervall [0; $\frac{4}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2} π$ ≈ $\frac{1}{2} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3} π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2} π + \frac{2}{3} π$ = $\frac{7}{6} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2} π$ |0) und einen bei ( $\frac{7}{6} π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{4} π)) - 2$ im Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{4} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{4} π$ |-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $- \frac{1}{4} π$ |-2) wird.

Mit Hilfe von b= $\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 3 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{4} π)) - 2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{4} π$ + $\frac{2}{3} π$ ≈ $\frac{5}{12} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -2, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{5}{12} π$ |-5)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- \cos (\frac{2}{3} x) + 0,7$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $3 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- \cos (\frac{2}{3} x) + 0,7

= 0 |

- 0,7

- \cos (\frac{2}{3} x)

=

- 0,7

|:

- 1

\cos (\frac{2}{3} x)

=

0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.79539883018414

1. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$0,795$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$2,385$	\|: $2$
x₁	=	$1,1925$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{2}{3} x)$ = $0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,795$
bzw. bei - $0,795$ +2π= $5,488$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$5,488$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$16,464$	\|: $2$
x₂	=	$8,232$

L={ $1,1925$ ; $8,232$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $3 π$ ) sind also
bei x₁ = $1,1925$ und x₂ = $8,232$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $30 \cdot \sin (π t) + 70$ (0 < t ≤ 2) angeben.

Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
Bestimme die kleinste Wasserhöhe.
Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 88cm?
Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{π}$ = 2
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 70 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 70. Somit ist der tiefste Wert bei 70 cm - 30 cm = 40 cm.
t-Werte mit f(t) ≥ 88
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 88 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 88 gleich:

$30 \cdot \sin (π t) + 70$ = 88
$30 \cdot \sin (3,1416 t) + 70$ = $88$ | $- 70$

$30 \cdot \sin (3,1416 t)$ = $18$ |: $30$

$\sin (3,1416 t)$ = $0,6$ |sin^-1(⋅)
Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328
1. Fall:

$3,1416 x$ = $0,644$ |: $3,1416$

x₁ = $0,205$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3,1416 t)$ = $0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,644$ = $2,498$ liegen muss.
2. Fall:

$3,1416 x$ = $2,498$ |: $3,1416$

x₂ = $0,7951$

Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.21 s den Wert 88. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.8 s zum zweiten mal den Wert 88 erreicht. Während dieser 0.8 - 0.21 = 0.59 s ist der Wert der Funktion also höher als 88.
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.

Die Lösung ist also: 0.5 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $3 \cdot \sin ((a^{2} + 2) x)$ gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $3 \cdot \sin ((a^{2} + 2) x)$ :

p = $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{a^{2} + 2}$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^{2} + 2$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^{2} + 2$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^{2} + 2$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^{2} + 2$ )' = $2 a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^{2} + 2$ minimal und somit die Periode $\frac{2 π}{a^{2} + 2}$ maximal .

Für a = 0 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2 π}{0^{2} + 2}$ = $\frac{2 π}{0 + 2}$ = $π$ .

$3,1416 x$	=	$0,644$	\|: $3,1416$
x₁	=	$0,205$

$3,1416 x$	=	$2,498$	\|: $3,1416$
x₂	=	$0,7951$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden