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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x 2 · sin( -4x ) und vereinfache:

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f(x)= 3 x 2 · sin( -4x )

f'(x)= 3 · 2x · sin( -4x ) +3 x 2 · cos( -4x ) · ( -4 )

= 6 x · sin( -4x ) +3 x 2 · ( -4 cos( -4x ) )

= 6 x · sin( -4x ) -12 x 2 · cos( -4x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 1 2 ( x + 1 2 π)) +2 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 1 2 ( x + 1 2 π)) +2

f'(x)= 3 cos( 1 2 ( x + 1 2 π)) · ( 1 2 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 1 2 ( x + 1 2 π)) · 1 2

= 3 2 cos( 1 2 ( x + 1 2 π))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π 5 sin( -5x ) x .

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0 3 2 π 5 sin( -5x ) x

= [ cos( -5x ) ] 0 3 2 π

= cos( -5( 3 2 π ) ) - cos( -5( 0 ) )

= 0 - 1

= -1

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( x ) im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= π π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0+2π = 2π und π+2π = 3π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |0) und einen bei ( π |0) und einen bei ( 2π |0) und einen bei ( 3π |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 cos( 1 2 x ) -1 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= π π . und bei x2= 3π 3π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 8π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch π+4π = 5π und 3π+4π = 7π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( π |-1) und einen bei ( 3π |-1) und einen bei ( 5π |-1) und einen bei ( 7π |-1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 sin( 1 4 ( x + 2 3 π)) -2 im Intervall [0; 16π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= - 2 3 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 2 3 π |-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( - 2 3 π |-2) wird.

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= - 2 3 π + 0 - 2 3 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 16π ) liegt,
also x1= - 2 3 π+8π 22 3 π und bei x2= - 2 3 π + 4π 10 3 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 16π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 22 3 π+8π = 46 3 π und 10 3 π+8π = 34 3 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 22 3 π |-2) und bei ( 10 3 π |-2) und bei ( 46 3 π |-2) und bei ( 34 3 π |-2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 3 sin( 2x ) +0,6 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

3 sin( 2x ) +0,6 = 0 | -0,6
3 sin( 2x ) = -0,6 |:3
canvas
sin( 2x ) = -0,2 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,082

1. Fall:

2x = 6,082 |:2
x1 = 3,041

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x ) = -0,2 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,082 =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= 3,343 liegen muss.

2. Fall:

2x = 3,343 |:2
x2 = 1,6715

L={ 1,6715 ; 3,041 }

Die Nullstellen in der Periode [0; π ) sind also
bei x1 = 1,6715 und x2 = 3,041 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 sin(π t ) +90 (0 < t ≤ 2) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Bestimme die kleinste Wasserhöhe.
  3. Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π π = 2

  2. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 90 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 90. Somit ist der tiefste Wert bei 90 cm - 15 cm = 75 cm.

  3. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.

    Die Lösung ist also: 0.5 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= 3 cos( ( a 2 -6a +11 )x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= 3 cos( ( a 2 -6a +11 )x ) :

p = b = a 2 -6a +11

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 -6a +11 wird, desto kleiner wird die Periode.

a 2 -6a +11 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 -6a +11 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 -6a +11 )' = 2a -6 = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also a 2 -6a +11 minimal und somit die Periode 2π a 2 -6a +11 maximal .

Für a = 3 ist dann die maximale Periode pmax = 2π 3 2 -63 +11 = 2π 9 -18 +11 = π .