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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x + 5) + 4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x + 5) + 4$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x + 5) \cdot (- 2 + 0) + 0$

= $- 3 \cdot \cos (- 2 x + 5) \cdot (- 2)$

= $6 \cdot \cos (- 2 x + 5)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (3 (x + \frac{2}{3} π)) + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (3 (x + \frac{2}{3} π)) + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (3 (x + \frac{2}{3} π)) \cdot (3 (1 + 0)) + 0$

= $2 \cdot \cos (3 (x + \frac{2}{3} π)) \cdot 3$

= $6 \cdot \cos (3 (x + \frac{2}{3} π))$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π) + 3 \cdot \cos (0 - \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot \cos (0) + 3 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot 1 + 3 \cdot 0$

= $- 3 + 0$

= $- 3$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (3 x) + 1$ im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6} π$ ≈ $\frac{1}{6} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6} π$ |2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \cos (4 x)$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8} π$ ≈ $\frac{1}{8} π$ . und bei x₂= $\frac{3}{8} π$ ≈ $\frac{3}{8} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{8} π$ |0) und einen bei ( $\frac{3}{8} π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (3 (x + \frac{1}{2} π)) - 2$ im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{2} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{2} π$ |-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{2} π$ + $\frac{1}{3} π$ ≈ $- \frac{1}{6} π$ .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ) liegt,
also x₁= $- \frac{1}{6} π + \frac{2}{3} π$ ≈ $\frac{1}{2} π$ .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2} π$ |-3)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (\frac{3}{4} x) + 0,8$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 2 \cdot \cos (\frac{3}{4} x) + 0,8

= 0 |

- 0,8

- 2 \cdot \cos (\frac{3}{4} x)

=

- 0,8

|:

- 2

\cos (\frac{3}{4} x)

=

0,4

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

$\frac{3}{4} x$	=	$1,159$	\|⋅ 4
$3 x$	=	$4,636$	\|: $3$
x₁	=	$1,5453$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{3}{4} x)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,159$
bzw. bei - $1,159$ +2π= $5,124$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{3}{4} x$	=	$5,124$	\|⋅ 4
$3 x$	=	$20,496$	\|: $3$
x₂	=	$6,832$

L={ $1,5453$ ; $6,832$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3} π$ ) sind also
bei x₁ = $1,5453$ und x₂ = $6,832$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 30)) + 12$ (0 < t ≤ 366) angeben.

Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 15 h?
Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

t-Werte mit f(t) ≥ 15

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15 gleich:

$5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 30)) + 12$ = 15

5 \cdot \sin (0,0172 t - 0,515) + 12

=

15

|

- 12

5 \cdot \sin (0,0172 t - 0,515)

=

3

|:

5

\sin (0,0172 t - 0,515)

=

0,6

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

$0,0172 x - 0,515$	=	$0,644$	\| $+ 0,515$
$0,0172 x$	=	$1,159$	\|: $0,0172$
x₁	=	$67,3837$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,0172 t - 0,515)$ = $0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,644$ = $2,498$ liegen muss.

2. Fall:

$0,0172 x - 0,515$	=	$2,498$	\| $+ 0,515$
$0,0172 x$	=	$3,013$	\|: $0,0172$
x₂	=	$175,1744$

Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 67.38 d den Wert 15. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 175.17 d zum zweiten mal den Wert 15 erreicht. Während dieser 175.17 - 67.38 = 107.79 d ist der Wert der Funktion also höher als 15.

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $- \cos (a x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $2 π$ |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Kosinius wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$ ⋅p = $2 π$ |⋅ $2$

Demnach muss also die Periode p = $2$ ⋅ $2 π$ = $4 π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $4 π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

4 π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

4 π

b =

\frac{2 π}{4 π}

=

\frac{1}{2}

Da bei $- \cos (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{2}} (x) =$ $- \cos (\frac{1}{2} \cdot x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $2 π$ |1) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden