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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (2 (x + 1)) - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (2 (x + 1)) - 1$

$f'(x) =$ $\cos (2 (x + 1)) \cdot (2 (1 + 0)) + 0$

= $\cos (2 (x + 1)) \cdot (2 (1))$

= $2 \cdot \cos (2 (x + 1))$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 x \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot \sin (3 x) + 2 x \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 2 x \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $2 \cdot \sin (3 x) + 6 x \cdot \cos (3 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (- 4 x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (- 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} \cdot \cos (- 4 x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $- \frac{1}{4} \cdot \cos (- 4 \cdot (\frac{1}{2} π)) + \frac{1}{4} \cdot \cos (- 4 \cdot (0))$

= $- \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1$

= $- \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{1}{4} x) - 3$ im Intervall [0; $16 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{4}}$ = $8 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6 π$ ≈ $6 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $16 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $6 π + 8 π$ = $14 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $6 π$ |-5) und einen bei ( $14 π$ |-5)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (\frac{2}{3} x) - 3$ im Intervall [0; $3 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b= $\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{2}{3}}$ = $3 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 3 \cdot \cos (\frac{2}{3} (x + 0)) - 3$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2} π$ ≈ $\frac{3}{2} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2} π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (x + \frac{1}{4} π) - 1$ im Intervall [0; $2 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{4} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{4} π$ |0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{4} π$ + $π$ ≈ $\frac{3}{4} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4} π$ |-2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\sin (x) + 0,1$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $2 π$ [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

\sin (x) + 0,1

= 0 |

- 0,1

\sin (x)

=

- 0,1

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.10016742116156

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,183$

1. Fall:

x₁

=

6,183

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,183$ =-3.0414 bzw. bei -3.0414+2π= $3,242$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,242

L={ $3,242$ ; $6,183$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $2 π$ ) sind also
bei x₁ = $3,242$ und x₂ = $6,183$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $4 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 8)) + 10$ (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 11,2°C?

Lösung einblenden

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.

t-Werte mit f(t) ≥ 11.2

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 11.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 11.2 gleich:

$4 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 8)) + 10$ = 11.2

4 \cdot \sin (0,2618 t - 2,0944) + 10

=

11,2

|

- 10

4 \cdot \sin (0,2618 t - 2,0944)

=

1,2

|:

4

\sin (0,2618 t - 2,0944)

=

0,3

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

$0,2618 x - 2,0944$	=	$0,305$	\| $+ 2,0944$
$0,2618 x$	=	$2,3994$	\|: $0,2618$
x₁	=	$9,165$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,2618 t - 2,0944)$ = $0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,305$ = $2,837$ liegen muss.

2. Fall:

$0,2618 x - 2,0944$	=	$2,837$	\| $+ 2,0944$
$0,2618 x$	=	$4,9314$	\|: $0,2618$
x₂	=	$18,8365$

Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 9.17 h den Wert 11.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.84 h zum zweiten mal den Wert 11.2 erreicht. Während dieser 18.84 - 9.17 = 9.67 h ist der Wert der Funktion also höher als 11.2.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $- 2 \cdot \sin ((a^{2} - 2 a + 2) x)$ gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $- 2 \cdot \sin ((a^{2} - 2 a + 2) x)$ :

p = $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{a^{2} - 2 a + 2}$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^{2} - 2 a + 2$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^{2} - 2 a + 2$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^{2} - 2 a + 2$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^{2} - 2 a + 2$ )' = $2 a - 2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^{2} - 2 a + 2$ minimal und somit die Periode $\frac{2 π}{a^{2} - 2 a + 2}$ maximal .

Für a = 1 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2 π}{1^{2} - 2 \cdot 1 + 2}$ = $\frac{2 π}{1 - 2 + 2}$ = $2 π$ .

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden