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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 sin( 2x -4 ) +5 und vereinfache:

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f(x)= -4 sin( 2x -4 ) +5

f'(x)= -4 cos( 2x -4 ) · ( 2 +0 )+0

= -4 cos( 2x -4 ) · ( 2 )

= -8 cos( 2x -4 )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 cos( 5x ) und vereinfache:

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f(x)= 5 cos( 5x )

f'(x)= -5 sin( 5x ) · 5

= -25 sin( 5x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π -3 cos( 2x ) x .

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1 2 π 3 2 π -3 cos( 2x ) x

= [ - 3 2 sin( 2x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - 3 2 sin( 2( 3 2 π ) ) + 3 2 sin( 2( 1 2 π ) )

= - 3 2 0 + 3 2 0

= 0+0

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 1 3 x ) -2 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 3π 3π . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-2) und einen bei ( 3π |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= - cos( 2x ) +1 im Intervall [0; π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion - cos(2( x +0)) +1 aber zu Beginn der Periode,
also bei x1= 0 0 . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 0 |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= - cos( 2 3 ( x + π)) +3 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= -π nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( -π |4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( -π |2) wird.

Mit Hilfe von b= 2 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 3 = 3π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion - cos( 2 3 ( x + π)) +3 aber zu Beginn der Periode,
also bei x1= -π + 0 -π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 6π ) liegt,
also x1= -π+3π 2π .

Weil das gesuchte Interval [0; 6π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 2π+3π = 5π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 3, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 2π |2) und bei ( 5π |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -2 cos( 1 3 x ) +2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 6π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-2 cos( 1 3 x ) +2 = 0 | -2
-2 cos( 1 3 x ) = -2 |:-2
canvas
cos( 1 3 x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1 3 x = 0 |⋅ 3
x = 0

L={0}

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; 6π ) ist also bei x = 0.

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit f(t)= 6 sin( 1 12 π ( t -9 )) +21 (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

  1. Zu welcher Uhrzeit ist es am wärmsten?
  2. Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 12 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 12 π = 24

  1. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 9 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 9 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 9 h = 15 h. Die Lösung ist also: 15 Uhr.

  2. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 21. Somit ist der höchste Wert bei 21 ° C + 6 ° C = 27 ° C.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= - sin( a π x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 1 |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer 1 4 Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 1 |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 1 = 4 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 4 = b nach b auflösen:

4 = b |⋅b : 4

b = 2π 4 = 1 2 π

Da bei - sin( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 2 sein,
damit der Graph von f 1 2 (x)= - sin( 1 2 · π x ) seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( 1 |-1) hat.