$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(3x-4\right)-3x$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(3x-4\right)·\left(3+0\right)-3$

= $3\cdot \cos \left(3x-4\right)·\left(3\right)-3$

= $9\cdot \cos \left(3x-4\right)-3$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(5x\right)+x^2·(-\sin \left(5x\right)·5)$

= $2x·\cos \left(5x\right)+x^2·\left(-5\cdot \sin \left(5x\right)\right)$

= $2x·\cos \left(5x\right)-5x^2·\sin \left(5x\right)$

= ${\left[-2\cdot \cos (x+\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-2\cdot \cos (\pi +\pi )+2\cdot \cos (\frac{1}{2}\pi +\pi )$

= $-2\cdot \cos \left(2\pi \right)+2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot 1+2\cdot 0$

= $-2+0$

= $-2$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{5}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{5}{2}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $4\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{5}{2}\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +2\pi$ = $\frac{7}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{5}{2}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{7}{2}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{3}\pi$|-1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{3}\pi$ + $0$ ≈ $-\frac{1}{3}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{3}\pi +\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$ und bei x₂= $-\frac{1}{3}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-1) und bei ( $\frac{1}{6}\pi$|-1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,2318}$; $\mathrm{0,5535}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,2318}$ und x₂ = $\mathrm{0,5535}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 200

2. t-Werte mit f(t) ≥ 24

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 24 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 24 gleich:

   $14\cdot \sin \left(\frac{1}{100}\pi \left(t-30\right)\right)+17$ = 24

   $14\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)+17$ = $24$ | $-17$

   $14\cdot \sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $7$

   |:$14$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{0,9425}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{3,5605}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x1	=	$\mathrm{113,3917}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0314}t-\mathrm{0,9425}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0314}x-\mathrm{0,9425}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,9425}$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{0,9425}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0314}x$	=	$\mathrm{1,4661}$	|:$\mathrm{0,0314}$
   x2	=	$\mathrm{46,6911}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 46.69 s den Wert 24. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 113.39 s zum zweiten mal den Wert 24 erreicht. Während dieser 113.39 - 46.69 = 66.7 s ist der Wert der Funktion also höher als 24.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 50 s.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 50 + 30 s = 80 s. Die Lösung ist also: 80 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{a^2-6a+11}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+11\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+11$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+11$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+11$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+11$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+11$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+11\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+11\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+11\right)$ = $4\pi$.