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cosh
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).
Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-3) wird.
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -3, also bei y=-4.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in
y-Richtung und um c=
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(
Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x)
nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P
ein Tiefpunkt in P(
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine
Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt,
also x2=
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |: |
|
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.41151684606749
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen,
addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
- Bestimme die kleinste Wasserhöhe.
- Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 98cm?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:2 3 π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
=2 π b = 32 π 2 3 π - y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 95. Somit ist der tiefste Wert bei 95 cm - 30 cm = 65 cm.
- t-Werte mit f(t) ≥ 98
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 98 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 98 gleich:
= 9830 ⋅ sin ( 2 3 π t ) + 95 30 ⋅ sin ( 2,0944 t ) + 95 = 98 | - 95 30 ⋅ sin ( 2,0944 t ) = 3 |: 30 sin ( 2,0944 t ) = 0,1 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156
1. Fall:
2,0944 x = 0,1 |: 2,0944 x1 = 0,0477 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 2,0944 t ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,1 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,1 liegen muss.3,041 2. Fall:
2,0944 x = 3,041 |: 2,0944 x2 = 1,452 Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.05 s den Wert 98. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.45 s zum zweiten mal den Wert 98 erreicht. Während dieser 1.45 - 0.05 = 1.4 s ist der Wert der Funktion also höher als 98.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 2 wird also
Für a = 2 ist dann die minimale Periode pmin
=
