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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 sin( x -4 ) +5 und vereinfache:

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f(x)= -3 sin( x -4 ) +5

f'(x)= -3 cos( x -4 ) +0

= -3 cos( x -4 )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= sin(2( x + 1 4 π)) +3 und vereinfache:

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f(x)= sin(2( x + 1 4 π)) +3

f'(x)= cos(2( x + 1 4 π)) · ( 2( 1 +0) )+0

= cos(2( x + 1 4 π)) · 2

= 2 cos(2( x + 1 4 π))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π 5 sin( 2x ) x .

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1 2 π 3 2 π 5 sin( 2x ) x

= [ - 5 2 cos( 2x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - 5 2 cos( 2( 3 2 π ) ) + 5 2 cos( 2( 1 2 π ) )

= - 5 2 ( -1 ) + 5 2 ( -1 )

= 5 2 - 5 2

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 3x ) +1 im Intervall [0; 4 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 1 2 π 1 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 2 π + 2 3 π = 7 6 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 1, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 1 2 π |-1) und einen bei ( 7 6 π |-1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 1 4 x ) im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= 2π 2π . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 2π |2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 cos( 1 3 ( x + 1 4 π)) +2 im Intervall [0; 12π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= - 1 4 π nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( - 1 4 π |5).

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= - 1 4 π + 3 2 π 5 4 π . und bei x2= - 1 4 π + 9 2 π 17 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 12π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 5 4 π+6π = 29 4 π und 17 4 π+6π = 41 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 5 4 π |2) und bei ( 17 4 π |2) und bei ( 29 4 π |2) und bei ( 41 4 π |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= sin( 1 4 x ) +0,8 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 8π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

sin( 1 4 x ) +0,8 = 0 | -0,8 canvas
sin( 1 4 x ) = -0,8 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,356

1. Fall:

1 4 x = 5,356 |⋅ 4
x1 = 21,424

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 1 4 x ) = -0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,356 =-2.2144 bzw. bei -2.2144+2π= 4,069 liegen muss.

2. Fall:

1 4 x = 4,069 |⋅ 4
x2 = 16,276

L={ 16,276 ; 21,424 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 8π ) sind also
bei x1 = 16,276 und x2 = 21,424 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 30 sin( 2 3 π t ) +90 (0 < t ≤ 3) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 117cm?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 2 3 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 2 3 π = 3

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 117

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 117 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 117 gleich:

    30 sin( 2 3 π t ) +90 = 117

    30 sin( 2,0944t ) +90 = 117 | -90
    30 sin( 2,0944t ) = 27 |:30
    canvas
    sin( 2,0944t ) = 0,9 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

    1. Fall:

    2,0944x = 1,12 |:2,0944
    x1 = 0,5348

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2,0944t ) = 0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 1,12 = 2,022 liegen muss.

    2. Fall:

    2,0944x = 2,022 |:2,0944
    x2 = 0,9654

    Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.53 s den Wert 117. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.97 s zum zweiten mal den Wert 117 erreicht. Während dieser 0.97 - 0.53 = 0.44 s ist der Wert der Funktion also höher als 117.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= cos( ( a 2 -4a +8 )x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= cos( ( a 2 -4a +8 )x ) :

p = b = a 2 -4a +8

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 -4a +8 wird, desto kleiner wird die Periode.

a 2 -4a +8 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 -4a +8 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 -4a +8 )' = 2a -4 = 0 ⇔ a = 2

Für dieses a = 2 wird also a 2 -4a +8 minimal und somit die Periode 2π a 2 -4a +8 maximal .

Für a = 2 ist dann die maximale Periode pmax = 2π 2 2 -42 +8 = 2π 4 -8 +8 = 1 2 π .