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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 1 3 ( x -2 )) +3 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 1 3 ( x -2 )) +3

f'(x)= 3 cos( 1 3 ( x -2 )) · ( 1 3 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 1 3 ( x -2 )) · ( 1 3 ( 1 ) )

= cos( 1 3 ( x -2 ))

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 sin( -4x ) und vereinfache:

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f(x)= -4 sin( -4x )

f'(x)= -4 cos( -4x ) · ( -4 )

= 16 cos( -4x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π - sin( x + 1 2 π) x .

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0 1 2 π - sin( x + 1 2 π) x

= [ cos( x + 1 2 π) ] 0 1 2 π

= cos( 1 2 π + 1 2 π) - cos( 0 + 1 2 π)

= cos(π) - cos( 1 2 π)

= -1 - 0

= -1

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 3 4 x ) +2 im Intervall [0; 8 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b= 3 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 4 = 8 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 4 3 π 4 3 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |2) und einen bei ( 4 3 π |2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 3x ) im Intervall [0; 2 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 1 3 π 1 3 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |0) und einen bei ( 1 3 π |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin(4( x +2π)) im Intervall [0; 1 2 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung und um c= -2π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( -2π |0).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 4 = 1 2 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= -2π + 0 -2π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 1 2 π ) liegt,
also x1= -2π + 1 2 π + 1 2 π + 1 2 π + 1 2 π 0 und bei x2= -2π + 1 4 π - 7 4 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 1 2 π ) liegt,
also x2= - 7 4 π + 1 2 π + 1 2 π + 1 2 π + 1 2 π 1 4 π .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (0|0) und bei ( 1 4 π |0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 4 sin( 2x ) +2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

4 sin( 2x ) +2 = 0 | -2
4 sin( 2x ) = -2 |:4
canvas
sin( 2x ) = -0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 11 6 π

1. Fall:

2x = 11 6 π |:2
x1 = 11 12 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 11 6 π =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= 7 6 π liegen muss.

2. Fall:

2x = 7 6 π |:2
x2 = 7 12 π

L={ 7 12 π ; 11 12 π }

Die Nullstellen in der Periode [0; π ) sind also
bei x1 = 7 12 π und x2 = 11 12 π .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 30 sin( 2 3 π t ) +90 (0 < t ≤ 3) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 2 3 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 2 3 π = 3

  2. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.75 s.

    Die Lösung ist also: 0.75 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= cos( a π x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 2 |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 2 |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 2 = 8 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 8 = b nach b auflösen:

8 = b |⋅b : 8

b = 2π 8 = 1 4 π

Da bei cos( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 4 sein,
damit der Graph von f 1 4 (x)= cos( 1 4 · π x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 2 |0) hat.