$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x-2\right)+4$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x-2\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(x-2\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1\right)\right)$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+1\right)\right)$

= ${\left[\frac{4}{3}\cdot \sin \left(3x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{4}{3}\cdot \sin \left(3\cdot \left(0\right)\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 1-\frac{4}{3}\cdot 0$

= $\frac{4}{3}+0$

= $\frac{4}{3}+0$

= $\frac{4}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $4\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3\pi$|-6)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. und bei x₂= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{15}{4}\pi$ und $\frac{9}{4}\pi +3\pi$ = $\frac{21}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{9}{4}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{15}{4}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{21}{4}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \sin \left(3(x+\pi )\right)-1$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $-\frac{5}{6}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{2}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{5}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.3694384060046

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{2}x\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,369}$
bzw. bei - $\mathrm{1,369}$+2π= $\mathrm{4,914}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,738}$; $\mathrm{9,828}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $4\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,738}$ und x₂ = $\mathrm{9,828}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $2\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 1

2. t-Werte mit f(t) ≥ 96.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 96.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 96.5 gleich:

   $15\cdot \sin \left(2\pi t\right)+95$ = 96.5

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)+95$ = $\mathrm{96,5}$ | $-95$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{1,5}$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,1}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

   1. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{0,1}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x1	=	$\mathrm{0,0159}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{6,2832}t\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,1}$= $\mathrm{3,041}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{6,2832}x$	=	$\mathrm{3,041}$	|:$\mathrm{6,2832}$
   x2	=	$\mathrm{0,484}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.02 s den Wert 96.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.48 s zum zweiten mal den Wert 96.5 erreicht. Während dieser 0.48 - 0.02 = 0.46 s ist der Wert der Funktion also höher als 96.5.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.25 s.

   Die Lösung ist also: 0.25 s.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\left(a^2-6a+14\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+14$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2-6a+14$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+14$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+14$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+14$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2-6a+14}$ maximal .

Für a = 3 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{3^2-6\cdot 3+14}$ = $\frac{2\pi }{9-18+14}$ = $\frac{2}{5}\pi$.