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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{4} π))$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{4} π))$

$f'(x) =$ $\cos (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{4} π)) \cdot (\frac{3}{4} (1 + 0))$

= $\cos (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{4} π)) \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4} \cdot \cos (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{4} π))$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (4 (x + π)) + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (4 (x + π)) + 1$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (4 (x + π)) \cdot (4 (1 + 0)) + 0$

= $2 \cdot \cos (4 (x + π)) \cdot 4$

= $8 \cdot \cos (4 (x + π))$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \sin (- 4 x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \sin (- 4 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{4} \cdot \cos (- 4 x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{4} \cdot \cos (- 4 \cdot π) - \frac{1}{4} \cdot \cos (- 4 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1$

= $\frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - 2$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $π$ ≈ $π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 2 π$ = $2 π$ und $π + 2 π$ = $3 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |-2) und einen bei ( $π$ |-2) und einen bei ( $2 π$ |-2) und einen bei ( $3 π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x) - 1$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{2}$ = $π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4} π$ ≈ $\frac{1}{4} π$ . und bei x₂= $\frac{3}{4} π$ ≈ $\frac{3}{4} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4} π$ |-1) und einen bei ( $\frac{3}{4} π$ |-1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{3} (x - 1)) + 2$ im Intervall [0; $6 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $1$ |5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $1$ |-1) wird.

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ = $6 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $1$ + $\frac{3}{2} π$ ≈ $5,712$ . und bei x₂= $1$ + $\frac{9}{2} π$ ≈ $15,137$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $5,712$ |2) und bei ( $15,137$ |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} x) + 2,1$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $4 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

3 \cdot \cos (\frac{1}{2} x) + 2,1

= 0 |

- 2,1

3 \cdot \cos (\frac{1}{2} x)

=

- 2,1

|:

3

\cos (\frac{1}{2} x)

=

- 0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.3461938234056

1. Fall:

$\frac{1}{2} x$	=	$2,346$	\|⋅ 2
x₁	=	$4,692$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{1}{2} x)$ = $- 0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,346$
bzw. bei - $2,346$ +2π= $3,937$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{2} x$	=	$3,937$	\|⋅ 2
x₂	=	$7,874$

L={ $4,692$ ; $7,874$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $4 π$ ) sind also
bei x₁ = $4,692$ und x₂ = $7,874$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $11 \cdot \sin (\frac{1}{30} π \cdot (t - 30)) + 12$ (0 < t ≤ 60) angeben.

Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
Zu welcher Zeit (in s) gewinnt die Gondel am stärksten an Höhe?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{30} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{30} π}$ = 60
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 11 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 11 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 m - 11 m = 1 m.
t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 30 s. Die Lösung ist also: 30 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $- \cos (a x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{2} π$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{1}{2} π$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{1}{2} π$ = $2 π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $2 π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

2 π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

2 π

b =

\frac{2 π}{2 π}

=

\frac{1}{1}

Da bei $- \cos (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{1} (x) =$ $- \cos (1 \cdot x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{2} π$ |0) hat.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden