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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (- x - 1) - 2 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \cdot \cos (- x - 1) - 2 x^{2}$

$f'(x) =$ $5 \cdot \sin (- x - 1) \cdot (- 1 + 0) - 4 x$

= $5 \cdot \sin (- x - 1) \cdot (- 1) - 4 x$

= $- 5 \cdot \sin (- x - 1) - 4 x$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x + \frac{2}{3} π)) + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x + \frac{2}{3} π)) + 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{4} (x + \frac{2}{3} π)) \cdot (\frac{3}{4} (1 + 0)) + 0$

= $2 \cdot \cos (\frac{3}{4} (x + \frac{2}{3} π)) \cdot \frac{3}{4}$

= $\frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{4} (x + \frac{2}{3} π))$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[- 4 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 4 \cdot \cos (π - \frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - \frac{1}{2} π)$

= $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{2} π) + 4 \cdot \cos (0)$

= $- 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$

= $0 + 4$

= $4$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - 3$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $π$ ≈ $π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 2 π$ = $2 π$ und $π + 2 π$ = $3 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |-3) und einen bei ( $π$ |-3) und einen bei ( $2 π$ |-3) und einen bei ( $3 π$ |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x) - 2$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 3 \cdot \cos (x + 0) - 2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $π$ ≈ $π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $π + 2 π$ = $3 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $π$ |1) und einen bei ( $3 π$ |1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (2 (x + \frac{1}{4} π)) + 2$ im Intervall [0; $2 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{4} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{4} π$ |2).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{2}$ = $π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{4} π$ + $\frac{1}{4} π$ ≈ 0. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + π$ = $π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (0|4) und bei ( $π$ |4)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (2 x) - 0,4$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

4 \cdot \cos (2 x) - 0,4

= 0 |

+ 0,4

4 \cdot \cos (2 x)

=

0,4

|:

4

\cos (2 x)

=

0,1

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.4706289056333

1. Fall:

$2 x$	=	$1,471$	\|: $2$
x₁	=	$0,7355$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x)$ = $0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,471$
bzw. bei - $1,471$ +2π= $4,813$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x$	=	$4,813$	\|: $2$
x₂	=	$2,4065$

L={ $0,7355$ ; $2,4065$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $π$ ) sind also
bei x₁ = $0,7355$ und x₂ = $2,4065$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $4 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 10)) + 12$ (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 10 h = 28 h. Weil aber 28 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 28 - 24 = 4 h. Die Lösung ist also: 4 Uhr.
y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 ° C + 4 ° C = 16 ° C.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\cos (a π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{3}{4}$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{3}{4}$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{3}{4}$ = $3$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $3$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

3

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

3

b =

\frac{2 π}{3}

=

\frac{2}{3} π

Da bei $\cos (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $\frac{2}{3}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{2}{3}} (x) =$ $\cos (\frac{2}{3} \cdot π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{3}{4}$ |0) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden