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cosh
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).
Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( |-2)
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |1)
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= nach rechts verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( |3).
Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1=
+
≈
.
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine
Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt,
also x1=
≈
.
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 0, also bei y=3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |3)
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; [.
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
| = | |: |
| = | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935
1. Fall:
| = | |⋅ 4 | ||
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
+2π=
liegen muss.
2. Fall:
| = | |⋅ 4 | ||
| x2 | = |
L={ ; }
Die Nullstellen in der Periode [0;
) sind also
bei x1 =
und x2 =
.
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.
- Wie groß ist die tiefste Temperatur?
- Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 18,6°C?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:
Somit gilt für die Periodenlänge: p = = = 24
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 13 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 13. Somit ist der tiefste Wert bei 13 ° C - 8 ° C = 5 ° C.
- t-Werte mit f(t) ≥ 18.6
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 18.6 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 18.6 gleich:
= 18.68 ⋅ sin ( 1 12 π ( t - 9 ) ) + 13 8 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) + 13 = 18,6 | - 13 8 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) = 5,6 |: 8 sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) = 0,7 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075
1. Fall:
0,2618 x - 2,3562 = 0,775 | + 2,3562 0,2618 x = 3,1312 |: 0,2618 x1 = 11,9603 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,7 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,775 liegen muss.2,366 2. Fall:
0,2618 x - 2,3562 = 2,366 | + 2,3562 0,2618 x = 4,7222 |: 0,2618 x2 = 18,0374 Da die Sinus-Funktion ja um 9 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 9 h nach oben und erreicht erstmals nach 11.96 h den Wert 18.6. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.04 h zum zweiten mal den Wert 18.6 erreicht. Während dieser 18.04 - 11.96 = 6.08 h ist der Wert der Funktion also höher als 18.6.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
