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cosh
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |5)
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( |2)
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= nach rechts verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( |-2).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
also x1=
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |: |
|
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852
1. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
|
|
= |
|
|⋅ 4 |
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit
- Wie groß ist die tiefste Temperatur?
- Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 15,5°C?
- Wie groß ist die höchste Temperatur?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 15. Somit ist der tiefste Wert bei 15 ° C - 5 ° C = 10 ° C.
- t-Werte mit f(t) ≥ 15.5
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.5 gleich:
= 15.55 ⋅ sin ( 1 12 π ( t - 8 ) ) + 15 5 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) + 15 = 15,5 | - 15 5 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) = 0,5 |: 5 sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) = 0,1 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156
1. Fall:
0,2618 x - 2,0944 = 0,1 | + 2,0944 0,2618 x = 2,1944 |: 0,2618 x1 = 8,382 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,2618 t - 2,0944 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,1 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,1 liegen muss.3,041 2. Fall:
0,2618 x - 2,0944 = 3,041 | + 2,0944 0,2618 x = 5,1354 |: 0,2618 x2 = 19,6157 Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 8.38 h den Wert 15.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.62 h zum zweiten mal den Wert 15.5 erreicht. Während dieser 19.62 - 8.38 = 11.24 h ist der Wert der Funktion also höher als 15.5.
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 15. Somit ist der höchste Wert bei 15 ° C + 5 ° C = 20 ° C.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 3 wird also
Für a = 3 ist dann die maximale Periode pmax
=
