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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \cos (- 3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \cos (- 3 x)$

$f'(x) =$ $4 \cdot 2 x \cdot \cos (- 3 x) + 4 x^{2} \cdot (- \sin (- 3 x) \cdot (- 3))$

= $8 x \cdot \cos (- 3 x) + 4 x^{2} \cdot 3 \cdot \sin (- 3 x)$

= $8 x \cdot \cos (- 3 x) + 12 x^{2} \cdot \sin (- 3 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (- 5 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- \cos (- 5 x)$

$f'(x) =$ $\sin (- 5 x) \cdot (- 5)$

= $- 5 \cdot \sin (- 5 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 5 \cdot \cos (x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - 5 \cdot \cos (x) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (π) + 5 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $- 5 \cdot 0 + 5 \cdot 1$

= $0 + 5$

= $5$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (4 x) + 2$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8} π$ ≈ $\frac{1}{8} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8} π$ |5)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (4 x)$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$ |2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x + \frac{1}{2} π)) - 2$ im Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{2} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{2} π$ |-2).

Mit Hilfe von b= $\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8}{3} π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{2} π$ + $0$ ≈ $- \frac{1}{2} π$ .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ ) liegt,
also x₁= $- \frac{1}{2} π + \frac{8}{3} π$ ≈ $\frac{13}{6} π$ und bei x₂= $- \frac{1}{2} π$ + $\frac{4}{3} π$ ≈ $\frac{5}{6} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{13}{6} π$ |-2) und bei ( $\frac{5}{6} π$ |-2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (\frac{3}{4} x) - 0,8$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 4 \cdot \cos (\frac{3}{4} x) - 0,8

= 0 |

+ 0,8

- 4 \cdot \cos (\frac{3}{4} x)

=

0,8

|:

- 4

\cos (\frac{3}{4} x)

=

- 0,2

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

$\frac{3}{4} x$	=	$1,772$	\|⋅ 4
$3 x$	=	$7,088$	\|: $3$
x₁	=	$2,3627$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{3}{4} x)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,772$
bzw. bei - $1,772$ +2π= $4,511$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{3}{4} x$	=	$4,511$	\|⋅ 4
$3 x$	=	$18,044$	\|: $3$
x₂	=	$6,0147$

L={ $2,3627$ ; $6,0147$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3} π$ ) sind also
bei x₁ = $2,3627$ und x₂ = $6,0147$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 8)) + 15$ (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Wie groß ist die tiefste Temperatur?
Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 15,5°C?
Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 15. Somit ist der tiefste Wert bei 15 ° C - 5 ° C = 10 ° C.

t-Werte mit f(t) ≥ 15.5

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.5 gleich:

$5 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 8)) + 15$ = 15.5

5 \cdot \sin (0,2618 t - 2,0944) + 15

=

15,5

|

- 15

5 \cdot \sin (0,2618 t - 2,0944)

=

0,5

|:

5

\sin (0,2618 t - 2,0944)

=

0,1

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

1. Fall:

$0,2618 x - 2,0944$	=	$0,1$	\| $+ 2,0944$
$0,2618 x$	=	$2,1944$	\|: $0,2618$
x₁	=	$8,382$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,2618 t - 2,0944)$ = $0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,1$ = $3,041$ liegen muss.

2. Fall:

$0,2618 x - 2,0944$	=	$3,041$	\| $+ 2,0944$
$0,2618 x$	=	$5,1354$	\|: $0,2618$
x₂	=	$19,6157$

Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 8.38 h den Wert 15.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.62 h zum zweiten mal den Wert 15.5 erreicht. Während dieser 19.62 - 8.38 = 11.24 h ist der Wert der Funktion also höher als 15.5.

y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 15 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 15. Somit ist der höchste Wert bei 15 ° C + 5 ° C = 20 ° C.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $3 \cdot \sin ((a^{2} - 6 a + 12) x)$ gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $3 \cdot \sin ((a^{2} - 6 a + 12) x)$ :

p = $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{a^{2} - 6 a + 12}$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^{2} - 6 a + 12$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^{2} - 6 a + 12$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^{2} - 6 a + 12$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^{2} - 6 a + 12$ )' = $2 a - 6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^{2} - 6 a + 12$ minimal und somit die Periode $\frac{2 π}{a^{2} - 6 a + 12}$ maximal .

Für a = 3 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2 π}{3^{2} - 6 \cdot 3 + 12}$ = $\frac{2 π}{9 - 18 + 12}$ = $\frac{2}{3} π$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden