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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \cos (- 2 x)$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $8 \cdot \sin (- 2 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x \cdot \sin (- 4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x \cdot \sin (- 4 x)$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot 1 \cdot \sin (- 4 x) - 5 x \cdot \cos (- 4 x) \cdot (- 4)$

= $- 5 \cdot \sin (- 4 x) - 5 x \cdot (- 4 \cdot \cos (- 4 x))$

= $- 5 \cdot \sin (- 4 x) + 20 x \cdot \cos (- 4 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 5 x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 2 \cdot \cos (- 5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{2}{5} \cdot \sin (- 5 x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- \frac{2}{5} \cdot \sin (- 5 \cdot (\frac{3}{2} π)) + \frac{2}{5} \cdot \sin (- 5 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{2}{5} \cdot 1 + \frac{2}{5} \cdot (- 1)$

= $- \frac{2}{5} - \frac{2}{5}$

= $- \frac{4}{5}$

= -0,8

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{1}{3} x)$ im Intervall [0; $12 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ = $6 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{2} π$ ≈ $\frac{9}{2} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $12 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{9}{2} π + 6 π$ = $\frac{21}{2} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 0, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{2} π$ |-2) und einen bei ( $\frac{21}{2} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (\frac{1}{2} x) + 1$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = $4 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $8 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 4 π$ = $4 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$ |2) und einen bei ( $4 π$ |2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (3 (x + \frac{1}{3} π)) - 1$ im Intervall [0; $\frac{4}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{3} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{3} π$ |-1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{3} π$ + $\frac{1}{6} π$ ≈ $- \frac{1}{6} π$ .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3} π$ ) liegt,
also x₁= $- \frac{1}{6} π + \frac{2}{3} π$ ≈ $\frac{1}{2} π$ .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3} π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{2} π + \frac{2}{3} π$ = $\frac{7}{6} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -1, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{2} π$ |1) und bei ( $\frac{7}{6} π$ |1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 0,6$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $2 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

2 \cdot \sin (x) + 0,6

= 0 |

- 0,6

2 \cdot \sin (x)

=

- 0,6

|:

2

\sin (x)

=

- 0,3

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.3046926540154

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,978$

1. Fall:

x₁

=

5,978

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,978$ =-2.8364 bzw. bei -2.8364+2π= $3,446$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

3,446

L={ $3,446$ ; $5,978$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $2 π$ ) sind also
bei x₁ = $3,446$ und x₂ = $5,978$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $4,5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 40)) + 12$ (0 < t ≤ 366) angeben.

Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4.5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4.5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4.5 h = 7.5 h.
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 40 d = 131.5 d. Die Lösung ist also: 131.5 d.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $- \cos (a π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $2$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $8$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

8

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

8

b =

\frac{2 π}{8}

=

\frac{1}{4} π

Da bei $- \cos (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{4}} (x) =$ $- \cos (\frac{1}{4} \cdot π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2$ |0) hat.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden