$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)-3$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)·\left(\frac{2}{3}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)·\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(\frac{2}{3}(x+\pi )\right)$

$\text{f(x)}=$ $x·\sin \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\sin \left(-x\right)+x·\cos \left(-x\right)·\left(-1\right)$

= $\sin \left(-x\right)+x·\left(-\cos \left(-x\right)\right)$

= $\sin \left(-x\right)-x·\cos \left(-x\right)$

= ${\left[\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)-\frac{2}{3}\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{2}{3}\cdot 0-\frac{2}{3}\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|4)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{1}{4}\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{1}$ = $2\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{4}\pi$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{5}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|1) und bei ( $\frac{5}{4}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.8754889808103

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(2x\right)$ = $-\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,875}$
bzw. bei - $\mathrm{1,875}$+2π= $\mathrm{4,408}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,9375}$; $\mathrm{2,204}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,9375}$ und x₂ = $\mathrm{2,204}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 15.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 15.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 15.2 gleich:

   $4\cdot \sin (\frac{1}{183}\pi ·\left(t-50\right))+12$ = 15.2

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)+12$ = $\mathrm{15,2}$ | $-12$

   $4\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{3,2}$

   |:$4$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,7854}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{103,8023}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,8584}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,8584}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{0,8584}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{3,0724}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{178,6279}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 50 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 50 d nach oben und erreicht erstmals nach 103.8 d den Wert 15.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 178.63 d zum zweiten mal den Wert 15.2 erreicht. Während dieser 178.63 - 103.8 = 74.83 d ist der Wert der Funktion also höher als 15.2.

3. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\cos \left(\frac{1}{a^2-6a+10}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+10\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+10$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+10$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+10$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+10$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+10$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+10\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+10\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+10\right)$ = $2\pi$.