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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 2 · cos( -4x ) und vereinfache:

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f(x)= 4 x 2 · cos( -4x )

f'(x)= 4 · 2x · cos( -4x ) +4 x 2 · ( - sin( -4x ) · ( -4 ) )

= 8 x · cos( -4x ) +4 x 2 · 4 sin( -4x )

= 8 x · cos( -4x ) +16 x 2 · sin( -4x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -4 x · cos( -2x ) und vereinfache:

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f(x)= -4 x · cos( -2x )

f'(x)= -4 · 1 · cos( -2x ) -4 x · ( - sin( -2x ) · ( -2 ) )

= -4 cos( -2x ) -4 x · 2 sin( -2x )

= -4 cos( -2x ) -8 x · sin( -2x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π cos( 4x ) x .

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1 2 π 3 2 π cos( 4x ) x

= [ 1 4 sin( 4x ) ] 1 2 π 3 2 π

= 1 4 sin( 4( 3 2 π ) ) - 1 4 sin( 4( 1 2 π ) )

= 1 4 0 - 1 4 0

= 0+0

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( 2x ) +1 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 4 π 3 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 2π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 3 4 π + π = 7 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 3 4 π |-2) und einen bei ( 7 4 π |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 cos( 1 3 x ) -3 im Intervall [0; 12π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x1= 0 0 . .

Weil das gesuchte Interval [0; 12π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0+6π = 6π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -3, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 0 |-1) und einen bei ( 6π |-1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= - cos(2( x + π)) +1 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= -π nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( -π |2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( -π |0) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= -π + 1 4 π - 3 4 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 2π ) liegt,
also x1= - 3 4 π + π 1 4 π und bei x2= -π + 3 4 π - 1 4 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 2π ) liegt,
also x2= - 1 4 π + π 3 4 π .

Weil das gesuchte Interval [0; 2π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 4 π + π = 5 4 π und 3 4 π + π = 7 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 1 4 π |1) und bei ( 3 4 π |1) und bei ( 5 4 π |1) und bei ( 7 4 π |1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= - cos( 2 3 x ) +0,3 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 3π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- cos( 2 3 x ) +0,3 = 0 | -0,3
- cos( 2 3 x ) = -0,3 |:-1
canvas
cos( 2 3 x ) = 0,3 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

2 3 x = 1,266 |⋅ 3
2x = 3,798 |:2
x1 = 1,899

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2 3 x ) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,266
bzw. bei - 1,266 +2π= 5,017 liegen muss.

2. Fall:

2 3 x = 5,017 |⋅ 3
2x = 15,051 |:2
x2 = 7,5255

L={ 1,899 ; 7,5255 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 3π ) sind also
bei x1 = 1,899 und x2 = 7,5255 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 14 sin( 1 80 π ( t -10 )) +17 (0 < t ≤ 160) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am tiefsten Punkt?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 80 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 80 π = 160

  2. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 120 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 120 + 10 s = 130 s. Die Lösung ist also: 130 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit fa(x)= 2 sin( 1 a 2 -6a +11 x ) gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit fa(x)= 2 sin( 1 a 2 -6a +11 x ) :

p = b = 1 a 2 -6a +11 = 2π · ( a 2 -6a +11 )

Man erkennt jetzt gut, dass je größer a 2 -6a +11 wird, desto größer wird auch die Periode.

a 2 -6a +11 ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat a 2 -6a +11 also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( a 2 -6a +11 )' = 2a -6 = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also a 2 -6a +11 minimal und somit auch die Periode 2π · ( a 2 -6a +11 ) minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode pmin = 2π · ( 3 2 -63 +11 ) = 2π · ( 9 -18 +11 ) = 4π .