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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (5 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (5 x)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (5 x) \cdot 5$

= $- 10 \cdot \cos (5 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot \cos (- 5 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 x \cdot \cos (- 5 x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot 1 \cdot \cos (- 5 x) + 3 x \cdot (- \sin (- 5 x) \cdot (- 5))$

= $3 \cdot \cos (- 5 x) + 3 x \cdot 5 \cdot \sin (- 5 x)$

= $3 \cdot \cos (- 5 x) + 15 x \cdot \sin (- 5 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} - 3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π + \frac{1}{2} π) - 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π)$

= $3 \cdot \cos (2 π) - 3 \cdot \cos (π)$

= $3 \cdot 1 - 3 \cdot (- 1)$

= $3 + 3$

= $6$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{2} x) - 3$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = $4 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3 π$ ≈ $3 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $8 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $3 π + 4 π$ = $7 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3 π$ |-6) und einen bei ( $7 π$ |-6)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \sin (2 x)$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{2}$ = $π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $\frac{1}{2} π$ ≈ $\frac{1}{2} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |0) und einen bei ( $\frac{1}{2} π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (2 (x - 3)) - 3$ im Intervall [0; $2 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $3$ |-1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{2}$ = $π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $3$ + $\frac{1}{2} π$ ≈ $4,571$ .
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x₁= $4,571 - π$ ≈ $1,429$ .

Weil das gesuchte Interval [0; $2 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $1,429 + π$ ≈ 4.571 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $1,429$ |-5) und bei (4.571|-5)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \sin (\frac{2}{3} x) + 1,2$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $3 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 4 \cdot \sin (\frac{2}{3} x) + 1,2

= 0 |

- 1,2

- 4 \cdot \sin (\frac{2}{3} x)

=

- 1,2

|:

- 4

\sin (\frac{2}{3} x)

=

0,3

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$0,305$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$0,915$	\|: $2$
x₁	=	$0,4575$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (\frac{2}{3} x)$ = $0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,305$ = $2,837$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$2,837$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$8,511$	\|: $2$
x₂	=	$4,2555$

L={ $0,4575$ ; $4,2555$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $3 π$ ) sind also
bei x₁ = $0,4575$ und x₂ = $4,2555$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $18 \cdot \sin (\frac{1}{30} π (t - 20)) + 19$ (0 < t ≤ 60) angeben.

Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 35,2 m?
Zu welcher Zeit (in s) gewinnt die Gondel am stärksten an Höhe?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{30} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{30} π}$ = 60
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 19 nach oben und eine Amplitude von a = 18 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 18 um 19. Somit ist der tiefste Wert bei 19 m - 18 m = 1 m.

t-Werte mit f(t) ≥ 35.2

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 35.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 35.2 gleich:

$18 \cdot \sin (\frac{1}{30} π (t - 20)) + 19$ = 35.2

18 \cdot \sin (0,1047 t - 2,0944) + 19

=

35,2

|

- 19

18 \cdot \sin (0,1047 t - 2,0944)

=

16,2

|:

18

\sin (0,1047 t - 2,0944)

=

0,9

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

1. Fall:

$0,1047 x - 2,0944$	=	$1,12$	\| $+ 2,0944$
$0,1047 x$	=	$3,2144$	\|: $0,1047$
x₁	=	$30,7011$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,1047 t - 2,0944)$ = $0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $1,12$ = $2,022$ liegen muss.

2. Fall:

$0,1047 x - 2,0944$	=	$2,022$	\| $+ 2,0944$
$0,1047 x$	=	$4,1164$	\|: $0,1047$
x₂	=	$39,3161$

Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 30.7 s den Wert 35.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 39.32 s zum zweiten mal den Wert 35.2 erreicht. Während dieser 39.32 - 30.7 = 8.62 s ist der Wert der Funktion also höher als 35.2.

t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 20 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 20 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 20 s. Die Lösung ist also: 20 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{a^{2} - 6 a + 12} x)$ gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $3 \cdot \cos (\frac{1}{a^{2} - 6 a + 12} x)$ :

p = $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{\frac{1}{a^{2} - 6 a + 12}}$ = $2 π \cdot (a^{2} - 6 a + 12)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^{2} - 6 a + 12$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^{2} - 6 a + 12$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^{2} - 6 a + 12$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^{2} - 6 a + 12$ )' = $2 a - 6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^{2} - 6 a + 12$ minimal und somit auch die Periode $2 π \cdot (a^{2} - 6 a + 12)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2 π \cdot (3^{2} - 6 \cdot 3 + 12)$ = $2 π \cdot (9 - 18 + 12)$ = $6 π$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden