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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (2 x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 x \cdot \cos (2 x) + x^{2} \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $2 x \cdot \cos (2 x) - 2 x^{2} \cdot \sin (2 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (x))}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (x))}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\cos (x)) \cdot (- \sin (x))$

= $- 2 \cos (x) \cdot \sin (x)$

= $- 2 \sin (x) \cdot \cos (x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} \cos (- 3 x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot π) + \frac{1}{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 1$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0,333

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{3} x)$ im Intervall [0; $12 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ = $6 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $3 π$ ≈ $3 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $12 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 6 π$ = $6 π$ und $3 π + 6 π$ = $9 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |0) und einen bei ( $3 π$ |0) und einen bei ( $6 π$ |0) und einen bei ( $9 π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (\frac{1}{3} x) + 1$ im Intervall [0; $12 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ = $6 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $12 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 6 π$ = $6 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$ |3) und einen bei ( $6 π$ |3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (\frac{1}{3} (x - 2)) - 3$ im Intervall [0; $6 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $2$ |-2).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ = $6 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2$ + $\frac{3}{2} π$ ≈ $6,712$ . und bei x₂= $2$ + $\frac{9}{2} π$ ≈ $16,137$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $6,712$ |-3) und bei ( $16,137$ |-3)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (\frac{1}{3} x) + 1,2$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $6 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 3 \cdot \sin (\frac{1}{3} x) + 1,2

= 0 |

- 1,2

- 3 \cdot \sin (\frac{1}{3} x)

=

- 1,2

|:

- 3

\sin (\frac{1}{3} x)

=

0,4

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

$\frac{1}{3} x$	=	$0,412$	\|⋅ 3
x₁	=	$1,236$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (\frac{1}{3} x)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,412$ = $2,73$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{3} x$	=	$2,73$	\|⋅ 3
x₂	=	$8,19$

L={ $1,236$ ; $8,19$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $6 π$ ) sind also
bei x₁ = $1,236$ und x₂ = $8,19$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $4 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 40)) + 12$ (0 < t ≤ 366) angeben.

Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 14,4 h?
Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn werden die Tage am schnellsten kürzer?

Lösung einblenden

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.

t-Werte mit f(t) ≥ 14.4

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14.4 gleich:

$4 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 40)) + 12$ = 14.4

4 \cdot \sin (0,0172 t - 0,6867) + 12

=

14,4

|

- 12

4 \cdot \sin (0,0172 t - 0,6867)

=

2,4

|:

4

\sin (0,0172 t - 0,6867)

=

0,6

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

$0,0172 x - 0,6867$	=	$0,644$	\| $+ 0,6867$
$0,0172 x$	=	$1,3307$	\|: $0,0172$
x₁	=	$77,3663$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,0172 t - 0,6867)$ = $0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,644$ = $2,498$ liegen muss.

2. Fall:

$0,0172 x - 0,6867$	=	$2,498$	\| $+ 0,6867$
$0,0172 x$	=	$3,1847$	\|: $0,0172$
x₂	=	$185,157$

Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 d nach oben und erreicht erstmals nach 77.37 d den Wert 14.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 185.16 d zum zweiten mal den Wert 14.4 erreicht. Während dieser 185.16 - 77.37 = 107.79 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.4.

t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist die Stelle mit der größten Abnahme, also der minimalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der negativen Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer genau nach einer halben Periode, also nach 183 d.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 40 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 40 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren fallenenden Wendepunkt nach 183 + 40 d = 223 d. Die Lösung ist also: 223 d.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $- \sin (a x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $4 π$ |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $4 π$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $4 π$ = $16 π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $16 π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

16 π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

16 π

b =

\frac{2 π}{16 π}

=

\frac{1}{8}

Da bei $- \sin (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{8}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{8}} (x) =$ $- \sin (\frac{1}{8} \cdot x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $4 π$ |-1) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden