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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 2 3 ( x +2 )) +3 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 2 3 ( x +2 )) +3

f'(x)= 3 cos( 2 3 ( x +2 )) · ( 2 3 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 2 3 ( x +2 )) · ( 2 3 ( 1 ) )

= 2 cos( 2 3 ( x +2 ))

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 sin( 4x ) und vereinfache:

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f(x)= -2 sin( 4x )

f'(x)= -2 cos( 4x ) · 4

= -8 cos( 4x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 π 4 sin( -2x ) x .

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0 π 4 sin( -2x ) x

= [ 2 cos( -2x ) ] 0 π

= 2 cos( -2π ) -2 cos( -2( 0 ) )

= 21 -21

= 2 -2

= 0

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 1 4 x ) -2 im Intervall [0; 16π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 6π 6π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 16π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 6π+8π = 14π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 6π |-3) und einen bei ( 14π |-3)

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( 2 3 x ) +1 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b= 2 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 3 = 3π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 9 4 π 9 4 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 6π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 9 4 π+3π = 21 4 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 9 4 π |-2) und einen bei ( 21 4 π |-2)

Extrempunkte bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 sin( 1 2 ( x + π)) -3 im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= -π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( -π |-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( -π |-3) wird.

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -2 sin( 1 2 ( x + π)) -3 aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= -π + π 0. .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (0|-5)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -4 cos( 3x ) +3,2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 2 3 π ).

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-4 cos( 3x ) +3,2 = 0 | -3,2
-4 cos( 3x ) = -3,2 |:-4
canvas
cos( 3x ) = 0,8 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

3x = 0,644 |:3
x1 = 0,2147

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x ) = 0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,644
bzw. bei - 0,644 +2π= 5,64 liegen muss.

2. Fall:

3x = 5,64 |:3
x2 = 1,88

L={ 0,2147 ; 1,88 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 2 3 π ) sind also
bei x1 = 0,2147 und x2 = 1,88 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 15 sin( 2 3 π t ) +90 (0 ≤ t ≤ 3) angeben.

  1. Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
  2. Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 97,5cm?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 2 3 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 2 3 π = 3

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 97.5

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 97.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 97.5 gleich:

    15 sin( 2 3 π t ) +90 = 97.5

    15 sin( 2,0944t ) +90 = 97,5 | -90
    15 sin( 2,0944t ) = 7,5 |:15
    canvas
    sin( 2,0944t ) = 0,5 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

    1. Fall:

    2,0944x = 5 6 π |:2,0944
    x1 = 0,3979π

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2,0944t ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

    2. Fall:

    2,0944x = 1 6 π |:2,0944
    x2 = 0,0796π

    Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.25 s den Wert 97.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.25 s zum zweiten mal den Wert 97.5 erreicht. Während dieser 1.25 - 0.25 = 1 s ist der Wert der Funktion also höher als 97.5.