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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{2} \cdot \cos (- 4 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- x^{2} \cdot \cos (- 4 x)$

$f'(x) =$ $- 2 x \cdot \cos (- 4 x) - x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x) \cdot (- 4))$

= $- 2 x \cdot \cos (- 4 x) - x^{2} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x)$

= $- 2 x \cdot \cos (- 4 x) - 4 x^{2} \cdot \sin (- 4 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \cos (3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \cos (3 x)$

$f'(x) =$ $4 \cdot 2 x \cdot \cos (3 x) + 4 x^{2} \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $8 x \cdot \cos (3 x) + 4 x^{2} \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $8 x \cdot \cos (3 x) - 12 x^{2} \cdot \sin (3 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 2 \cdot \sin (2 x) ⅆ x

= ${[- \cos (2 x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $- \cos (2 \cdot π) + \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (3 x) - 3$ im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $\frac{1}{3} π$ ≈ $\frac{1}{3} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |-3) und einen bei ( $\frac{1}{3} π$ |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (4 x) - 1$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8} π$ ≈ $\frac{3}{8} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \cos (x - 1) - 1$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $1$ |0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $1$ |-2) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- \cos (x - 1) - 1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $1$ + $π$ ≈ $4,142$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $4,142 + 2 π$ ≈ 10.425 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $4,142$ |0) und bei (10.425|0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (\frac{1}{4} x) + 1,2$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $8 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 3 \cdot \sin (\frac{1}{4} x) + 1,2

= 0 |

- 1,2

- 3 \cdot \sin (\frac{1}{4} x)

=

- 1,2

|:

- 3

\sin (\frac{1}{4} x)

=

0,4

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

$\frac{1}{4} x$	=	$0,412$	\|⋅ 4
x₁	=	$1,648$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (\frac{1}{4} x)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,412$ = $2,73$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{4} x$	=	$2,73$	\|⋅ 4
x₂	=	$10,92$

L={ $1,648$ ; $10,92$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $8 π$ ) sind also
bei x₁ = $1,648$ und x₂ = $10,92$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $30 \cdot \sin (\frac{1}{2} π t) + 95$ (0 < t ≤ 4) angeben.

Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 101cm?
Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?
Bestimme die maximale Wasserhöhe.

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{2} π}$ = 4
t-Werte mit f(t) ≥ 101
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 101 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 101 gleich:

$30 \cdot \sin (\frac{1}{2} π t) + 95$ = 101
$30 \cdot \sin (1,5708 t) + 95$ = $101$ | $- 95$

$30 \cdot \sin (1,5708 t)$ = $6$ |: $30$

$\sin (1,5708 t)$ = $0,2$ |sin^-1(⋅)
Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033
1. Fall:

$1,5708 x$ = $0,201$ |: $1,5708$

x₁ = $0,128$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (1,5708 t)$ = $0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,201$ = $2,94$ liegen muss.
2. Fall:

$1,5708 x$ = $2,94$ |: $1,5708$

x₂ = $1,8717$

Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.13 s den Wert 101. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.87 s zum zweiten mal den Wert 101 erreicht. Während dieser 1.87 - 0.13 = 1.74 s ist der Wert der Funktion also höher als 101.
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

Die Lösung ist also: 1 s.
y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 95 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 95. Somit ist der höchste Wert bei 95 cm + 30 cm = 125 cm.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\cos (a π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $2$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $2$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $8$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

8

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

8

b =

\frac{2 π}{8}

=

\frac{1}{4} π

Da bei $\cos (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{4}} (x) =$ $\cos (\frac{1}{4} \cdot π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $2$ |0) hat.

$1,5708 x$	=	$0,201$	\|: $1,5708$
x₁	=	$0,128$

$1,5708 x$	=	$2,94$	\|: $1,5708$
x₂	=	$1,8717$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden