Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).
Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
≈
. .
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 1, also bei y=-1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( |-1) und einen bei ( |-1)
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 0, also bei y=2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in
y-Richtung und um c=
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.92729521800161
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen,
addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
|
= |
|
|⋅ 4 |
x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
|
= |
|
|⋅ 4 |
x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
- Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 117cm?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
2 3 π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
2 π b 2 π 2 3 π - t-Werte mit f(t) ≥ 117
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 117 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 117 gleich:
30 ⋅ sin ( 2 3 π t ) + 90 30 ⋅ sin ( 2,0944 t ) + 90 = 117 | - 90 30 ⋅ sin ( 2,0944 t ) = 27 |: 30 sin ( 2,0944 t ) = 0,9 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986
1. Fall:
2,0944 x = 1,12 |: 2,0944 x1 = 0,5348 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
sin ( 2,0944 t ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,9 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
1,12 2,022 2. Fall:
2,0944 x = 2,022 |: 2,0944 x2 = 0,9654 Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.53 s den Wert 117. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.97 s zum zweiten mal den Wert 117 erreicht. Während dieser 0.97 - 0.53 = 0.44 s ist der Wert der Funktion also höher als 117.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von fa mit
Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.
Wir berechnen zuerst die Periode von fa mit
p =
Man erkennt jetzt gut, dass je größer
Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:
(
Für dieses a = 2 wird also
Für a = 2 ist dann die maximale Periode pmax
=