$\text{f(x)}=$ $-3x^2·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·2x·\cos \left(-2x\right)-3x^2·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $-6x·\cos \left(-2x\right)-3x^2·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $-6x·\cos \left(-2x\right)-6x^2·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(3\left(x+3\right)\right)$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(3\left(x+3\right)\right)·\left(3\left(1+0\right)\right)$

= $3\cdot \cos \left(3\left(x+3\right)\right)·\left(3\left(1\right)\right)$

= $9\cdot \cos \left(3\left(x+3\right)\right)$

= ${\left[\frac{4}{3}\cdot \sin \left(-3x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{4}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \pi \right)-\frac{4}{3}\cdot \sin \left(-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{4}{3}\cdot 0-\frac{4}{3}\cdot 1$

= $0-\frac{4}{3}$

= $0-\frac{4}{3}$

= $-\frac{4}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4}\pi$ ≈ $\frac{9}{4}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{4}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $3\pi$ ≈ $3\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|1) und einen bei ( $3\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2\pi$|-2) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $\frac{1}{8}\pi$ ≈ $-\frac{15}{8}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{15}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{8}\pi$ und bei x₂= $-2\pi$ + $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $-\frac{13}{8}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\pi$) liegt,
also x₂= $-\frac{13}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{5}{8}\pi$ und $\frac{3}{8}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{7}{8}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{8}\pi$|1) und bei ( $\frac{3}{8}\pi$|1) und bei ( $\frac{5}{8}\pi$|1) und bei ( $\frac{7}{8}\pi$|1)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,2318}$; $\mathrm{0,5535}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,2318}$ und x₂ = $\mathrm{0,5535}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.

2. t-Werte mit f(t) ≥ 16.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16.5 gleich:

   $5\cdot \sin \left(\frac{1}{183}\pi \left(t-10\right)\right)+12$ = 16.5

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)+12$ = $\mathrm{16,5}$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $\mathrm{4,5}$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,2917}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{75,0988}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,1937}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{127,5407}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 d nach oben und erreicht erstmals nach 75.1 d den Wert 16.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 127.54 d zum zweiten mal den Wert 16.5 erreicht. Während dieser 127.54 - 75.1 = 52.44 d ist der Wert der Funktion also höher als 16.5.

3. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 10 d = 101.5 d. Die Lösung ist also: 101.5 d.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2-6a+10}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-6a+10\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-6a+10$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-6a+10$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-6a+10$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-6a+10$)' = $2a-6$ = 0 ⇔ a = 3

Für dieses a = 3 wird also $a^2-6a+10$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-6a+10\right)$ minimal .

Für a = 3 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(3^2-6\cdot 3+10\right)$ = $2\pi ·\left(9-18+10\right)$ = $2\pi$.