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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \cos (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \cos (4 x)$

$f'(x) =$ $\sin (4 x) \cdot 4$

= $4 \cdot \sin (4 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (\frac{2}{3} (x + 2))$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (\frac{2}{3} (x + 2))$

$f'(x) =$ $\cos (\frac{2}{3} (x + 2)) \cdot (\frac{2}{3} (1 + 0))$

= $\cos (\frac{2}{3} (x + 2)) \cdot (\frac{2}{3} (1))$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{2}{3} (x + 2))$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (x - π) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - 2 \cdot \sin (x - π) ⅆ x

= ${[2 \cdot \cos (x - π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \cos (\frac{1}{2} π - π) - 2 \cdot \cos (0 - π)$

= $2 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π) - 2 \cdot \cos (- π)$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1)$

= $0 + 2$

= $2$

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (4 x) + 1$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8} π$ ≈ $\frac{1}{8} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8} π$ |2)

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x) - 3$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{2}$ = $π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 2 \cdot \cos (2 (x + 0)) - 3$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -3, also bei y=-5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$ |-5)

Extrempunkte bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{3} (x + π)) - 1$ im Intervall [0; $12 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $- π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- π$ |1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $- π$ |-3) wird.

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ = $6 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{3} (x + π)) - 1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- π$ + $3 π$ ≈ $2 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $12 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2 π + 6 π$ = $8 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -1, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2 π$ |1) und bei ( $8 π$ |1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $\sin (3 x) - 0,4$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

\sin (3 x) - 0,4

= 0 |

+ 0,4

\sin (3 x)

=

0,4

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

$3 x$	=	$0,412$	\|: $3$
x₁	=	$0,1373$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,412$ = $2,73$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x$	=	$2,73$	\|: $3$
x₂	=	$0,91$

L={ $0,1373$ ; $0,91$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ) sind also
bei x₁ = $0,1373$ und x₂ = $0,91$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $14 \cdot \sin (\frac{1}{80} π (t - 30)) + 15$ (0 ≤ t ≤ 160) angeben.

Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
Zu welcher Zeit (in s) gewinnt die Gondel am stärksten an Höhe?
Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{80} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{80} π}$ = 160
t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 30 s. Die Lösung ist also: 30 s.
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 40 s.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 40 + 30 s = 70 s. Die Lösung ist also: 70 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\cos (a x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{8} π$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{1}{8} π$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{1}{8} π$ = $\frac{1}{2} π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $\frac{1}{2} π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

\frac{1}{2} π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

\frac{1}{2} π

b =

\frac{2 π}{\frac{1}{2} π}

=

\frac{4}{1}

Da bei $\cos (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $4$ sein,
damit der Graph von $f_{4} (x) =$ $\cos (4 \cdot x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{8} π$ |0) hat.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden