$\text{f(x)}=$ $-3x^2·\sin \left(-x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-3·2x·\sin \left(-x\right)-3x^2·\cos \left(-x\right)·\left(-1\right)$

= $-6x·\sin \left(-x\right)-3x^2·\left(-\cos \left(-x\right)\right)$

= $-6x·\sin \left(-x\right)+3x^2·\cos \left(-x\right)$

$\text{f(x)}=$ $2x·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2·1·\sin \left(-2x\right)+2x·\cos \left(-2x\right)·\left(-2\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)+2x·\left(-2\cdot \cos \left(-2x\right)\right)$

= $2\cdot \sin \left(-2x\right)-4x·\cos \left(-2x\right)$

= ${\left[\frac{3}{4}\cdot \cos \left(4x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(4\cdot \pi \right)-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot 1-\frac{3}{4}\cdot 1$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{4}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ und $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-3) und einen bei ( $\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{2}{3}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{2}{3}\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\pi$|-1) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(3(x+\pi )\right)-1$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $-\frac{1}{2}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|0) und bei ( $\frac{5}{6}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(4x\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,0763}$; $\mathrm{0,7093}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{1}{2}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,0763}$ und x₂ = $\mathrm{0,7093}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{50}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 100

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 14 nach oben und eine Amplitude von a = 11 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 11 um 14. Somit ist der tiefste Wert bei 14 m - 11 m = 3 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 19.5

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19.5 gleich:

   $11\cdot \sin \left(\frac{1}{50}\pi \left(t-10\right)\right)+14$ = 19.5

   $11\cdot \sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{0,6283}\right)+14$ = $\mathrm{19,5}$ | $-14$

   $11\cdot \sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{0,6283}\right)$

   =

   $\mathrm{5,5}$

   |:$11$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{0,6283}\right)$

   =

   $\mathrm{0,5}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0628}x-\mathrm{0,6283}$	=	$\frac{5}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,6283}$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{0,6283}+\frac{5}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{3,2463}$	|:$\mathrm{0,0628}$
   x1	=	$\mathrm{51,6927}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0628}t-\mathrm{0,6283}\right)$ = $\mathrm{0,5}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6}\pi$= $\frac{1}{6}\pi$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0628}x-\mathrm{0,6283}$	=	$\frac{1}{6}\pi$	| $+\mathrm{0,6283}$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{0,6283}+\frac{1}{6}\pi$
   $\mathrm{0,0628}x$	=	$\mathrm{1,1519}$	|:$\mathrm{0,0628}$
   x2	=	$\mathrm{18,3424}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 18.34 s den Wert 19.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 51.69 s zum zweiten mal den Wert 19.5 erreicht. Während dieser 51.69 - 18.34 = 33.35 s ist der Wert der Funktion also höher als 19.5.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$⋅p = $\frac{3}{2}\pi$ |⋅$2$

Demnach muss also die Periode p =$2$ ⋅ $\frac{3}{2}\pi$ = $3\pi$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $3\pi$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $\cos \left(ax\right)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{2}{3}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $\cos (\frac{2}{3}·x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{3}{2}\pi$|-1) hat.