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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x + 5) - 5 x^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x + 5) - 5 x^{2}$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \cos (- 2 x + 5) \cdot (- 2 + 0) - 10 x$

= $- 3 \cdot \cos (- 2 x + 5) \cdot (- 2) - 10 x$

= $6 \cdot \cos (- 2 x + 5) - 10 x$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \cdot \cos (- 4 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $5 \cdot \cos (- 4 x)$

$f'(x) =$ $- 5 \cdot \sin (- 4 x) \cdot (- 4)$

= $20 \cdot \sin (- 4 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \sin (x) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 5 \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (4 x) - 1$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8} π$ ≈ $\frac{3}{8} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{8} π + \frac{1}{2} π$ = $\frac{7}{8} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8} π$ |-2) und einen bei ( $\frac{7}{8} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (4 x) + 3$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$ |4)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (4 (x + 2)) - 2$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $- 2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- 2$ |1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $- 2$ |-5) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 3 \cdot \cos (4 (x + 2)) - 2$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- 2$ + $\frac{1}{4} π$ ≈ $- 1,215$ .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $π$ ) liegt,
also x₁= $- 1,215 + \frac{1}{2} π$ ≈ $0,356$ .

Weil das gesuchte Interval [0; $π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0,356 + \frac{1}{2} π$ ≈ 1.927 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0,356$ |1) und bei (1.927|1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (\frac{2}{3} x) - 2,4$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $3 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

3 \cdot \cos (\frac{2}{3} x) - 2,4

= 0 |

+ 2,4

3 \cdot \cos (\frac{2}{3} x)

=

2,4

|:

3

\cos (\frac{2}{3} x)

=

0,8

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$0,644$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$1,932$	\|: $2$
x₁	=	$0,966$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{2}{3} x)$ = $0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,644$
bzw. bei - $0,644$ +2π= $5,64$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$5,64$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$16,92$	\|: $2$
x₂	=	$8,46$

L={ $0,966$ ; $8,46$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $3 π$ ) sind also
bei x₁ = $0,966$ und x₂ = $8,46$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $8 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 7)) + 12$ (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Wie groß ist die tiefste Temperatur?
Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 16°C?
Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 ° C - 8 ° C = 4 ° C.

t-Werte mit f(t) ≥ 16

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16 gleich:

$8 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 7)) + 12$ = 16

8 \cdot \sin (0,2618 t - 1,8326) + 12

=

16

|

- 12

8 \cdot \sin (0,2618 t - 1,8326)

=

4

|:

8

\sin (0,2618 t - 1,8326)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

$0,2618 x - 1,8326$	=	$\frac{5}{6} π$	\| $+ 1,8326$
$0,2618 x$	=	$1,8326 + \frac{5}{6} π$
$0,2618 x$	=	$4,4506$	\|: $0,2618$
x₁	=	$17$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,2618 t - 1,8326)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

$0,2618 x - 1,8326$	=	$\frac{1}{6} π$	\| $+ 1,8326$
$0,2618 x$	=	$1,8326 + \frac{1}{6} π$
$0,2618 x$	=	$2,3562$	\|: $0,2618$
x₂	=	$9$

Da die Sinus-Funktion ja um 7 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 7 h nach oben und erreicht erstmals nach 9 h den Wert 16. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 17 h zum zweiten mal den Wert 16 erreicht. Während dieser 17 - 9 = 8 h ist der Wert der Funktion also höher als 16.

y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 ° C + 8 ° C = 20 ° C.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\sin (a π x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $6$ |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{3}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{3}{4}$ ⋅p = $6$ |⋅ $\frac{4}{3}$

Demnach muss also die Periode p = $\frac{4}{3}$ ⋅ $6$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $8$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

8

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

8

b =

\frac{2 π}{8}

=

\frac{1}{4} π

Da bei $\sin (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{4}} (x) =$ $\sin (\frac{1}{4} \cdot π x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $6$ |-1) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

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