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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x + 3) + 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x + 3) + 2 x$

$f'(x) =$ $2 \cdot \sin (x + 3) + 2$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (3 x))}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (3 x))}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\cos (3 x)) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 (\cos (3 x)) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $- 6 \cos (3 x) \cdot \sin (3 x)$

= $- 6 \sin (3 x) \cdot \cos (3 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} - 5 \cdot \sin (x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{π} - 5 \cdot \sin (x) ⅆ x

= ${[5 \cdot \cos (x)]}_{0}^{π}$

$=$ $5 \cdot \cos (π) - 5 \cdot \cos (0)$

= $5 \cdot (- 1) - 5 \cdot 1$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (4 x) - 2$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $\frac{1}{4} π$ ≈ $\frac{1}{4} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + \frac{1}{2} π$ = $\frac{1}{2} π$ und $\frac{1}{4} π + \frac{1}{2} π$ = $\frac{3}{4} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |-2) und einen bei ( $\frac{1}{4} π$ |-2) und einen bei ( $\frac{1}{2} π$ |-2) und einen bei ( $\frac{3}{4} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \sin (\frac{2}{3} x)$ im Intervall [0; $3 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b= $\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{2}{3}}$ = $3 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- \sin (\frac{2}{3} (x + 0)) + 0$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{4} π$ ≈ $\frac{9}{4} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 0, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{9}{4} π$ |1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) - 3$ im Intervall [0; $2 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{2} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{2} π$ |0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{2} π$ + $0$ ≈ $- \frac{1}{2} π$ .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2 π$ ) liegt,
also x₁= $- \frac{1}{2} π + 2 π$ ≈ $\frac{3}{2} π$ .

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{2} π$ |0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- \sin (\frac{1}{4} x) - 0,6$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $8 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- \sin (\frac{1}{4} x) - 0,6

= 0 |

+ 0,6

- \sin (\frac{1}{4} x)

=

0,6

|:

- 1

\sin (\frac{1}{4} x)

=

- 0,6

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.64350110879328

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,64$

1. Fall:

$\frac{1}{4} x$	=	$5,64$	\|⋅ 4
x₁	=	$22,56$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (\frac{1}{4} x)$ = $- 0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,64$ =-2.4984 bzw. bei -2.4984+2π= $3,785$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{4} x$	=	$3,785$	\|⋅ 4
x₂	=	$15,14$

L={ $15,14$ ; $22,56$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $8 π$ ) sind also
bei x₁ = $15,14$ und x₂ = $22,56$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $17 \cdot \sin (\frac{1}{50} π (t - 10)) + 20$ (0 < t ≤ 100) angeben.

Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{50} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{50} π}$ = 100
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 25 s.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 10 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 10 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 25 + 10 s = 35 s. Die Lösung ist also: 35 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Untersuche, ob es einen maximalen oder minimalen Wert für die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{a^{2} - 2 a + 5} x)$ gibt.

Bestimme das zugehörige a und die extremale Periode.

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Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_{a} (x) =$ $- 3 \cdot \cos (\frac{1}{a^{2} - 2 a + 5} x)$ :

p = $\frac{2π}{b}$ = $\frac{2π}{\frac{1}{a^{2} - 2 a + 5}}$ = $2 π \cdot (a^{2} - 2 a + 5)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^{2} - 2 a + 5$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^{2} - 2 a + 5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^{2} - 2 a + 5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^{2} - 2 a + 5$ )' = $2 a - 2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^{2} - 2 a + 5$ minimal und somit auch die Periode $2 π \cdot (a^{2} - 2 a + 5)$ minimal .

Für a = 1 ist dann die minimale Periode p_min = $2 π \cdot (1^{2} - 2 \cdot 1 + 5)$ = $2 π \cdot (1 - 2 + 5)$ = $8 π$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden