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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 1 2 ( x +2 )) +2 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 1 2 ( x +2 )) +2

f'(x)= 3 cos( 1 2 ( x +2 )) · ( 1 2 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 1 2 ( x +2 )) · ( 1 2 ( 1 ) )

= 3 2 cos( 1 2 ( x +2 ))

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 2 · cos( 2x ) und vereinfache:

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f(x)= - x 2 · cos( 2x )

f'(x)= - 2x · cos( 2x ) - x 2 · ( - sin( 2x ) · 2 )

= -2 x · cos( 2x ) - x 2 · ( -2 sin( 2x ) )

= -2 x · cos( 2x ) +2 x 2 · sin( 2x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 1 2 π -2 sin( -4x ) x .

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0 1 2 π -2 sin( -4x ) x

= [ - 1 2 cos( -4x ) ] 0 1 2 π

= - 1 2 cos( -4( 1 2 π ) ) + 1 2 cos( -4( 0 ) )

= - 1 2 1 + 1 2 1

= - 1 2 + 1 2

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 sin( 2 3 x ) -3 im Intervall [0; 6π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b= 2 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 3 = 3π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 3 2 π 3 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 6π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0+3π = 3π und 3 2 π+3π = 9 2 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |-3) und einen bei ( 3 2 π |-3) und einen bei ( 3π |-3) und einen bei ( 9 2 π |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 2 cos( 3x ) +1 im Intervall [0; 4 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 1 6 π 1 6 π . und bei x2= 1 2 π 1 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 6 π + 2 3 π = 5 6 π und 1 2 π + 2 3 π = 7 6 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 1 6 π |1) und einen bei ( 1 2 π |1) und einen bei ( 5 6 π |1) und einen bei ( 7 6 π |1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 cos( 1 3 ( x + 2 3 π)) -1 im Intervall [0; 12π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= - 2 3 π nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( - 2 3 π |2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( - 2 3 π |-4) wird.

Mit Hilfe von b= 1 3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 3 = 6π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -3 cos( 1 3 ( x + 2 3 π)) -1 aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= - 2 3 π + 3π 7 3 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 12π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 7 3 π+6π = 25 3 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 7 3 π |2) und bei ( 25 3 π |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 4 sin( 2x ) -1,2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

4 sin( 2x ) -1,2 = 0 | +1,2
4 sin( 2x ) = 1,2 |:4
canvas
sin( 2x ) = 0,3 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

2x = 0,305 |:2
x1 = 0,1525

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x ) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,305 = 2,837 liegen muss.

2. Fall:

2x = 2,837 |:2
x2 = 1,4185

L={ 0,1525 ; 1,4185 }

Die Nullstellen in der Periode [0; π ) sind also
bei x1 = 0,1525 und x2 = 1,4185 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 20 sin( 1 30 π ( t -10 )) +21 (0 < t ≤ 60) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Wie hoch ist die Gondel an ihrem tiefsten Punkt über dem Erdboden?
  3. Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 39 m?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 30 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 30 π = 60

  2. y-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 20 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 20 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 m - 20 m = 1 m.

  3. t-Werte mit f(t) ≥ 39

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 39 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 39 gleich:

    20 sin( 1 30 π ( t -10 )) +21 = 39

    20 sin( 0,1047t -1,0472 ) +21 = 39 | -21
    20 sin( 0,1047t -1,0472 ) = 18 |:20
    canvas
    sin( 0,1047t -1,0472 ) = 0,9 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

    1. Fall:

    0,1047x -1,0472 = 1,12 | +1,0472
    0,1047x = 2,1672 |:0,1047
    x1 = 20,6991

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,1047t -1,0472 ) = 0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 1,12 = 2,022 liegen muss.

    2. Fall:

    0,1047x -1,0472 = 2,022 | +1,0472
    0,1047x = 3,0692 |:0,1047
    x2 = 29,3142

    Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 20.7 s den Wert 39. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 29.31 s zum zweiten mal den Wert 39 erreicht. Während dieser 29.31 - 20.7 = 8.61 s ist der Wert der Funktion also höher als 39.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= - cos( a π x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 3 4 |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 3 4 |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 3 4 = 3 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 3 = b nach b auflösen:

3 = b |⋅b : 3

b = 2π 3 = 2 3 π

Da bei - cos( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 2 3 sein,
damit der Graph von f 2 3 (x)= - cos( 2 3 · π x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 3 4 |0) hat.