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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (3 (x - 1)) + 3$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 \cdot \sin (3 (x - 1)) + 3$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (3 (x - 1)) \cdot (3 (1 + 0)) + 0$

= $3 \cdot \cos (3 (x - 1)) \cdot (3 (1))$

= $9 \cdot \cos (3 (x - 1))$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\sin (2 x))}^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ ${(\sin (2 x))}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\sin (2 x)) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $2 (\sin (2 x)) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $4 \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \sin (- 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \sin (- 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \cos (- 3 x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π)) - \frac{4}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (0))$

= $\frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot 1$

= $0 - \frac{4}{3}$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x)$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{2} π$ ≈ $\frac{3}{2} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{2} π + 2 π$ = $\frac{7}{2} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 0, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{2} π$ |-2) und einen bei ( $\frac{7}{2} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{4} x)$ im Intervall [0; $\frac{16}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= $\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{4}{3} π$ ≈ $\frac{4}{3} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3} π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{4}{3} π + \frac{8}{3} π$ = $4 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 0, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{4}{3} π$ |-3) und einen bei ( $4 π$ |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{3} (x + \frac{1}{4} π)) + 1$ im Intervall [0; $6 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{4} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{4} π$ |1).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$ = $6 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{4} π$ + $0$ ≈ $- \frac{1}{4} π$ .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $6 π$ ) liegt,
also x₁= $- \frac{1}{4} π + 6 π$ ≈ $\frac{23}{4} π$ und bei x₂= $- \frac{1}{4} π$ + $3 π$ ≈ $\frac{11}{4} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{23}{4} π$ |1) und bei ( $\frac{11}{4} π$ |1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (\frac{2}{3} x) - 0,4$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $3 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

4 \cdot \cos (\frac{2}{3} x) - 0,4

= 0 |

+ 0,4

4 \cdot \cos (\frac{2}{3} x)

=

0,4

|:

4

\cos (\frac{2}{3} x)

=

0,1

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.4706289056333

1. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$1,471$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$4,413$	\|: $2$
x₁	=	$2,2065$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{2}{3} x)$ = $0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,471$
bzw. bei - $1,471$ +2π= $4,813$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{2}{3} x$	=	$4,813$	\|⋅ 3
$2 x$	=	$14,439$	\|: $2$
x₂	=	$7,2195$

L={ $2,2065$ ; $7,2195$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $3 π$ ) sind also
bei x₁ = $2,2065$ und x₂ = $7,2195$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $30 \cdot \sin (\frac{1}{2} π t) + 75$ (0 < t ≤ 4) angeben.

Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 90cm?
Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{2} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{2} π}$ = 4

t-Werte mit f(t) ≥ 90

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 90 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 90 gleich:

$30 \cdot \sin (\frac{1}{2} π t) + 75$ = 90

30 \cdot \sin (1,5708 t) + 75

=

90

|

- 75

30 \cdot \sin (1,5708 t)

=

15

|:

30

\sin (1,5708 t)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

$1,5708 x$	=	$\frac{5}{6} π$	\|: $1,5708$
x₁	=	$0,5305 π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (1,5708 t)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

$1,5708 x$	=	$\frac{1}{6} π$	\|: $1,5708$
x₂	=	$0,1061 π$

Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.33 s den Wert 90. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.67 s zum zweiten mal den Wert 90 erreicht. Während dieser 1.67 - 0.33 = 1.34 s ist der Wert der Funktion also höher als 90.

t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 1 s.

Die Lösung ist also: 1 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\cos (a x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{1}{2} π$ |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$ ⋅p = $\frac{1}{2} π$ |⋅ $2$

Demnach muss also die Periode p = $2$ ⋅ $\frac{1}{2} π$ = $π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

π

b =

\frac{2 π}{π}

=

\frac{2}{1}

Da bei $\cos (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $2$ sein,
damit der Graph von $f_{2} (x) =$ $\cos (2 \cdot x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{1}{2} π$ |-1) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden