$\text{f(x)}=$ $x^2·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\cos \left(-5x\right)+x^2·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $2x·\cos \left(-5x\right)+x^2·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $2x·\cos \left(-5x\right)+5x^2·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f(x)}=$ $x^2·\sin \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $2x·\sin \left(3x\right)+x^2·\cos \left(3x\right)·3$

= $2x·\sin \left(3x\right)+x^2·3\cdot \cos \left(3x\right)$

= $2x·\sin \left(3x\right)+3x^2·\cos \left(3x\right)$

= ${\left[4\cdot \sin \left(x-\frac{3}{2}\pi \right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $4\cdot \sin \left(\pi -\frac{3}{2}\pi \right)-4\cdot \sin \left(0-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)-4\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \left(-1\right)-4\cdot 1$

= $-4-4$

= $-8$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|-1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{4}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{4}\pi$|1).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{4}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{7}{4}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{4}\pi$ + $6\pi$ ≈ $\frac{23}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{7}{4}\pi +8\pi$ = $\frac{39}{4}\pi$ und $\frac{23}{4}\pi +8\pi$ = $\frac{55}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{7}{4}\pi$|-2) und bei ( $\frac{23}{4}\pi$|-2) und bei ( $\frac{39}{4}\pi$|-2) und bei ( $\frac{55}{4}\pi$|-2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(3x\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,644}$
bzw. bei - $\mathrm{0,644}$+2π= $\mathrm{5,64}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,2147}$; $\mathrm{1,88}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{2}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,2147}$ und x₂ = $\mathrm{1,88}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 366

1. t-Werte mit f(t) ≥ 16

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16 gleich:

   $5\cdot \sin (\frac{1}{183}\pi ·\left(t-10\right))+12$ = 16

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)+12$ = $16$ | $-12$

   $5\cdot \sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $4$

   |:$5$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$

   =

   $\mathrm{0,8}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{0,927}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{1,0987}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x1	=	$\mathrm{63,8779}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0172}t-\mathrm{0,1717}\right)$ = $\mathrm{0,8}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,927}$= $\mathrm{2,214}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0172}x-\mathrm{0,1717}$	=	$\mathrm{2,214}$	| $+\mathrm{0,1717}$
   $\mathrm{0,0172}x$	=	$\mathrm{2,3857}$	|:$\mathrm{0,0172}$
   x2	=	$\mathrm{138,7035}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 d nach oben und erreicht erstmals nach 63.88 d den Wert 16. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 138.7 d zum zweiten mal den Wert 16 erreicht. Während dieser 138.7 - 63.88 = 74.82 d ist der Wert der Funktion also höher als 16.

2. y-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 5 h = 17 h.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\left(a^2+5\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+5$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+5$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+5$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+5$)' = $2a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^2+5$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+5}$ maximal .

Für a = 0 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{0^2+5}$ = $\frac{2\pi }{0+5}$ = $\frac{2}{5}\pi$.