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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (5 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{2} \cdot \cos (5 x)$

$f'(x) =$ $2 x \cdot \cos (5 x) + x^{2} \cdot (- \sin (5 x) \cdot 5)$

= $2 x \cdot \cos (5 x) + x^{2} \cdot (- 5 \cdot \sin (5 x))$

= $2 x \cdot \cos (5 x) - 5 x^{2} \cdot \sin (5 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x \cdot \cos (4 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x \cdot \cos (4 x)$

$f'(x) =$ $- 3 \cdot 1 \cdot \cos (4 x) - 3 x \cdot (- \sin (4 x) \cdot 4)$

= $- 3 \cdot \cos (4 x) - 3 x \cdot (- 4 \cdot \sin (4 x))$

= $- 3 \cdot \cos (4 x) + 12 x \cdot \sin (4 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (- x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (- x) ⅆ x

= ${[- 5 \cdot \sin (- x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 5 \cdot \sin (- (\frac{3}{2} π)) + 5 \cdot \sin (- (\frac{1}{2} π))$

= $- 5 \cdot 1 + 5 \cdot (- 1)$

= $- 5 - 5$

= $- 10$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (\frac{3}{4} x) + 1$ im Intervall [0; $\frac{16}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b= $\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2 π$ ≈ $2 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3} π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2 π + \frac{8}{3} π$ = $\frac{14}{3} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2 π$ |-2) und einen bei ( $\frac{14}{3} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \cos (\frac{3}{4} x)$ im Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= $\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{4}{3} π$ ≈ $\frac{4}{3} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 0, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{4}{3} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (\frac{1}{2} (x - 3)) - 1$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $3$ |-1).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = $4 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $3$ + $π$ ≈ $6,142$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $8 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $6,142 + 4 π$ ≈ 18.708 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $6,142$ |0) und bei (18.708|0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (\frac{3}{4} x) + 2,7$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

3 \cdot \cos (\frac{3}{4} x) + 2,7

= 0 |

- 2,7

3 \cdot \cos (\frac{3}{4} x)

=

- 2,7

|:

3

\cos (\frac{3}{4} x)

=

- 0,9

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

$\frac{3}{4} x$	=	$2,691$	\|⋅ 4
$3 x$	=	$10,764$	\|: $3$
x₁	=	$3,588$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{3}{4} x)$ = $- 0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,691$
bzw. bei - $2,691$ +2π= $3,593$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{3}{4} x$	=	$3,593$	\|⋅ 4
$3 x$	=	$14,372$	\|: $3$
x₂	=	$4,7907$

L={ $3,588$ ; $4,7907$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3} π$ ) sind also
bei x₁ = $3,588$ und x₂ = $4,7907$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $20 \cdot \sin (\frac{1}{100} π (t - 30)) + 22$ (0 < t ≤ 200) angeben.

Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am tiefsten Punkt?
Wie lange (in Sekunden) hat das Riesenrad eine Höhe von mindestens 30 m?
Zu welcher Zeit (in s) gewinnt die Gondel am stärksten an Höhe?
Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am höchsten?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{100} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{100} π}$ = 200
t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 150 s.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 150 + 30 s = 180 s. Die Lösung ist also: 180 s.

t-Werte mit f(t) ≥ 30

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 30 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 30 gleich:

$20 \cdot \sin (\frac{1}{100} π (t - 30)) + 22$ = 30

20 \cdot \sin (0,0314 t - 0,9425) + 22

=

30

|

- 22

20 \cdot \sin (0,0314 t - 0,9425)

=

8

|:

20

\sin (0,0314 t - 0,9425)

=

0,4

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

$0,0314 x - 0,9425$	=	$0,412$	\| $+ 0,9425$
$0,0314 x$	=	$1,3545$	\|: $0,0314$
x₁	=	$43,1369$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,0314 t - 0,9425)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,412$ = $2,73$ liegen muss.

2. Fall:

$0,0314 x - 0,9425$	=	$2,73$	\| $+ 0,9425$
$0,0314 x$	=	$3,6725$	\|: $0,0314$
x₂	=	$116,9586$

Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 s nach oben und erreicht erstmals nach 43.14 s den Wert 30. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 116.96 s zum zweiten mal den Wert 30 erreicht. Während dieser 116.96 - 43.14 = 73.82 s ist der Wert der Funktion also höher als 30.

t-Wert beim stärksten Zuwachs
Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 30 s. Die Lösung ist also: 30 s.
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 50 s.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 50 + 30 s = 80 s. Die Lösung ist also: 80 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\sin (a π x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{1}{4}$ |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

Lösung einblenden

Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{1}{4}$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{1}{4}$ = $1$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $1$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

1

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

1

b =

\frac{2 π}{1}

=

2 π

Da bei $\sin (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $2$ sein,
damit der Graph von $f_{2} (x) =$ $\sin (2 \cdot π x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{1}{4}$ |1) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

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