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cosh
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
≈
. und bei x2=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( |0) und einen bei ( |0)
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).
Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.
Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
≈
. und bei x2=
≈
. .
Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( |3) und einen bei ( |3)
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= nach rechts verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( |2).
Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( |0) wird.
Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion
aber zu Beginn der Periode,
also bei x1=
+
≈
.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren,
damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0;
) liegt,
also x1=
≈
Weil das gesuchte Interval [0; ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch = eine Lösung.
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; [.
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
| = | |: |
| = | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749
1. Fall:
| = | |: | ||
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - = liegen muss.
2. Fall:
| = | |: | ||
| x2 | = |
L={ ; }
Die Nullstellen in der Periode [0;
) sind also
bei x1 =
und x2 =
.
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.
- Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
- Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 17,9°C?
- Zu welcher Uhrzeit ist es am wärmsten?
- Wie groß ist die höchste Temperatur?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:
Somit gilt für die Periodenlänge: p = = = 24
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 9 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 9 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 9 h = 27 h. Weil aber 27 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 27 - 24 = 3 h. Die Lösung ist also: 3 Uhr.
- t-Werte mit f(t) ≥ 17.9
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 17.9 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 17.9 gleich:
= 17.97 ⋅ sin ( 1 12 π ( t - 9 ) ) + 13 7 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) + 13 = 17,9 | - 13 7 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) = 4,9 |: 7 sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) = 0,7 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.77539749661075
1. Fall:
0,2618 x - 2,3562 = 0,775 | + 2,3562 0,2618 x = 3,1312 |: 0,2618 x1 = 11,9603 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,2618 t - 2,3562 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,7 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,775 liegen muss.2,366 2. Fall:
0,2618 x - 2,3562 = 2,366 | + 2,3562 0,2618 x = 4,7222 |: 0,2618 x2 = 18,0374 Da die Sinus-Funktion ja um 9 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 9 h nach oben und erreicht erstmals nach 11.96 h den Wert 17.9. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.04 h zum zweiten mal den Wert 17.9 erreicht. Während dieser 18.04 - 11.96 = 6.08 h ist der Wert der Funktion also höher als 17.9.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 9 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 9 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 9 h = 15 h. Die Lösung ist also: 15 Uhr.
- y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 13 nach oben und eine Amplitude von a = 7 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 7 um 13. Somit ist der höchste Wert bei 13 ° C + 7 ° C = 20 ° C.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
