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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 x^{2} \cdot \cos (- 4 x)$

$f'(x) =$ $3 \cdot 2 x \cdot \cos (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot (- \sin (- 4 x) \cdot (- 4))$

= $6 x \cdot \cos (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 4 \cdot \sin (- 4 x)$

= $6 x \cdot \cos (- 4 x) + 12 x^{2} \cdot \sin (- 4 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (3 (x + 3)) - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (3 (x + 3)) - 2$

$f'(x) =$ $\cos (3 (x + 3)) \cdot (3 (1 + 0)) + 0$

= $\cos (3 (x + 3)) \cdot (3 (1))$

= $3 \cdot \cos (3 (x + 3))$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (3 x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 5 \cdot \cos (3 x) ⅆ x

= ${[\frac{5}{3} \cdot \sin (3 x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $\frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{3}{2} π)) - \frac{5}{3} \cdot \sin (3 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{5}{3} \cdot 1 - \frac{5}{3} \cdot (- 1)$

= $\frac{5}{3} + \frac{5}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3,333

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{1}{4} x) - 2$ im Intervall [0; $16 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{4}}$ = $8 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $2 π$ ≈ $2 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $16 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2 π + 8 π$ = $10 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $2 π$ |0) und einen bei ( $10 π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (\frac{1}{4} x)$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{4}}$ = $8 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2 π$ ≈ $2 π$ . und bei x₂= $6 π$ ≈ $6 π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $2 π$ |0) und einen bei ( $6 π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} (x + 3)) + 3$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $- 3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- 3$ |5).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $- 3$ |1) wird.

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = $4 π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 2 \cdot \cos (\frac{1}{2} (x + 3)) + 3$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- 3$ + $2 π$ ≈ $3,283$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 3, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $3,283$ |5)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- \cos (\frac{1}{2} x) - 0,9$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $4 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- \cos (\frac{1}{2} x) - 0,9

= 0 |

+ 0,9

- \cos (\frac{1}{2} x)

=

0,9

|:

- 1

\cos (\frac{1}{2} x)

=

- 0,9

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

$\frac{1}{2} x$	=	$2,691$	\|⋅ 2
x₁	=	$5,382$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{1}{2} x)$ = $- 0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,691$
bzw. bei - $2,691$ +2π= $3,593$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{2} x$	=	$3,593$	\|⋅ 2
x₂	=	$7,186$

L={ $5,382$ ; $7,186$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $4 π$ ) sind also
bei x₁ = $5,382$ und x₂ = $7,186$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $30 \cdot \sin (π t) + 80$ (0 < t ≤ 2) angeben.

Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?
Bestimme die maximale Wasserhöhe.

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{π}$ = 2
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.5 s.

Die Lösung ist also: 0.5 s.
y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 80 nach oben und eine Amplitude von a = 30 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 30 um 80. Somit ist der höchste Wert bei 80 cm + 30 cm = 110 cm.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\cos (a x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $π$ |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$ ⋅p = $π$ |⋅ $2$

Demnach muss also die Periode p = $2$ ⋅ $π$ = $2 π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $2 π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

2 π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

2 π

b =

\frac{2 π}{2 π}

=

\frac{1}{1}

Da bei $\cos (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{1} (x) =$ $\cos (1 \cdot x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $π$ |-1) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden