$\text{f(x)}=$ $\sin \left(\frac{3}{4}(x+\pi )\right)+1$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(\frac{3}{4}(x+\pi )\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $\cos \left(\frac{3}{4}(x+\pi )\right)·\frac{3}{4}$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}(x+\pi )\right)$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·2x·\sin \left(-5x\right)+5x^2·\cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $10x·\sin \left(-5x\right)+5x^2·\left(-5\cdot \cos \left(-5x\right)\right)$

= $10x·\sin \left(-5x\right)-25x^2·\cos \left(-5x\right)$

= ${\left[2\cdot \sin \left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)-2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)$

= $2\cdot \sin \left(2\pi \right)-2\cdot \sin \left(\pi \right)$

= $2\cdot 0-2\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{2}{3}\pi$ und $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-2) und einen bei ( $\frac{1}{3}\pi$|-2) und einen bei ( $\frac{2}{3}\pi$|-2) und einen bei ( $\pi$|-2)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|0) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. und bei x₂= $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{4}\pi +\pi$ = $\frac{5}{4}\pi$ und $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{4}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{5}{4}\pi$|0) und einen bei ( $\frac{7}{4}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2\pi$|0) wird.

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\cos \left(3\left(x+2\pi \right)\right)+1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $\frac{1}{3}\pi$ ≈ $-\frac{5}{3}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{4}{3}\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{5}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{3}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{3}\pi$|2) und bei ( $\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,6}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{0,927}$
bzw. bei - $\mathrm{0,927}$+2π= $\mathrm{5,356}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{1,236}$; $\mathrm{7,1413}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{1,236}$ und x₂ = $\mathrm{7,1413}$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 ° C - 4 ° C = 8 ° C.

2. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(\left(a^2+6a+11\right)x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ =

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+6a+11$ wird, desto kleiner wird die Periode.

$a^2+6a+11$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+6a+11$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+6a+11$)' = $2a+6$ = 0 ⇔ a = -3

Für dieses a = -3 wird also $a^2+6a+11$ minimal und somit die Periode $\frac{2\pi }{a^2+6a+11}$ maximal .

Für a = -3 ist dann die maximale Periode p_max = $\frac{2\pi }{{\left(-3\right)}^2+6\cdot \left(-3\right)+11}$ = $\frac{2\pi }{9-18+11}$ = $\pi$.