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cosh
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).
Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-2) wird.
Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -2.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 0, also bei y=3.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |: |
|
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.77539749661075
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen,
addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
|
|
= |
|
|: |
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
|
|
= |
|
|: |
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit
- Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
- Wie groß ist die tiefste Temperatur?
- Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 20,8°C?
- Zu welcher Uhrzeit ist es am wärmsten?
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
Somit gilt für die Periodenlänge: p =
- t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.
- y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 16 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 16. Somit ist der tiefste Wert bei 16 ° C - 6 ° C = 10 ° C.
- t-Werte mit f(t) ≥ 20.8
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20.8 gleich:
= 20.86 ⋅ sin ( 1 12 π ( t - 11 ) ) + 16 6 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,8798 ) + 16 = 20,8 | - 16 6 ⋅ sin ( 0,2618 t - 2,8798 ) = 4,8 |: 6 sin ( 0,2618 t - 2,8798 ) = 0,8 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161
1. Fall:
0,2618 x - 2,8798 = 0,927 | + 2,8798 0,2618 x = 3,8068 |: 0,2618 x1 = 14,5409 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 0,2618 t - 2,8798 ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,8 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,927 liegen muss.2,214 2. Fall:
0,2618 x - 2,8798 = 2,214 | + 2,8798 0,2618 x = 5,0938 |: 0,2618 x2 = 19,4568 Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 14.54 h den Wert 20.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.46 h zum zweiten mal den Wert 20.8 erreicht. Während dieser 19.46 - 14.54 = 4.92 h ist der Wert der Funktion also höher als 20.8.
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
