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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 2 3 ( x + π)) -3 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 2 3 ( x + π)) -3

f'(x)= 3 cos( 2 3 ( x + π)) · ( 2 3 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 2 3 ( x + π)) · 2 3

= 2 cos( 2 3 ( x + π))

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 x · cos( -5x ) und vereinfache:

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f(x)= -5 x · cos( -5x )

f'(x)= -5 · 1 · cos( -5x ) -5 x · ( - sin( -5x ) · ( -5 ) )

= -5 cos( -5x ) -5 x · 5 sin( -5x )

= -5 cos( -5x ) -25 x · sin( -5x )

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 1 2 π 3 2 π cos( -x ) x .

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1 2 π 3 2 π cos( -x ) x

= [ - sin( -x ) ] 1 2 π 3 2 π

= - sin( -( 3 2 π ) ) + sin( -( 1 2 π ) )

= -1 -1

= -2

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 3 4 x ) im Intervall [0; 8 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= 3 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 4 = 8 3 π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= 4 3 π 4 3 π . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |0) und einen bei ( 4 3 π |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= - sin( 1 2 x ) +1 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|1) wird.

Mit Hilfe von b= 1 2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 2 = 4π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion - sin( 1 2 ( x +0)) +1 aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= π π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 8π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch π+4π = 5π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( π |0) und einen bei ( 5π |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= - sin( 1 4 ( x +2π)) +2 im Intervall [0; 16π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= -2π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( -2π |2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( -2π |2) wird.

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion - sin( 1 4 ( x +2π)) +2 aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x1= -2π + 2π 0. .

Weil das gesuchte Interval [0; 16π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0+8π = 8π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei (0|1) und bei ( 8π |1)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= 2 cos( 1 4 x ) +0,8 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 8π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

2 cos( 1 4 x ) +0,8 = 0 | -0,8
2 cos( 1 4 x ) = -0,8 |:2
canvas
cos( 1 4 x ) = -0,4 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.9823131728624

1. Fall:

1 4 x = 1,982 |⋅ 4
x1 = 7,928

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 1 4 x ) = -0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,982
bzw. bei - 1,982 +2π= 4,301 liegen muss.

2. Fall:

1 4 x = 4,301 |⋅ 4
x2 = 17,204

L={ 7,928 ; 17,204 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 8π ) sind also
bei x1 = 7,928 und x2 = 17,204 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit f(t)= 4 sin( 1 12 π ( t -7 )) +14 (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

  1. Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
  2. Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 12 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 12 π = 24

  1. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 7 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 7 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 7 h = 25 h. Weil aber 25 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 25 - 24 = 1 h. Die Lösung ist also: 1 Uhr.

  2. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 14 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 14. Somit ist der höchste Wert bei 14 ° C + 4 ° C = 18 ° C.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= sin( a π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 2 |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 2 |⋅4

Demnach muss also die Periode p =4 2 = 8 lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 8 = b nach b auflösen:

8 = b |⋅b : 8

b = 2π 8 = 1 4 π

Da bei sin( a π x ) das b ja a π ist, muss also a = 1 4 sein,
damit der Graph von f 1 4 (x)= sin( 1 4 · π x ) seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( 2 |1) hat.