$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)+2$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)·\left(\frac{1}{2}\left(1\right)\right)$

= $\frac{3}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $-x^2·\cos \left(2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-2x·\cos \left(2x\right)-x^2·(-\sin \left(2x\right)·2)$

= $-2x·\cos \left(2x\right)-x^2·\left(-2\cdot \sin \left(2x\right)\right)$

= $-2x·\cos \left(2x\right)+2x^2·\sin \left(2x\right)$

= ${\left[-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-4x\right)\right]}_0^{\frac{1}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-4\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)+\frac{1}{2}\cdot \cos \left(-4\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1$

= $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=$\frac{2}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $3\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $6\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+3\pi$ = $3\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +3\pi$ = $\frac{9}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $3\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{9}{2}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|1) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|1)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $-\frac{2}{3}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{2}{3}\pi$|2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-\frac{2}{3}\pi$|-4) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-3\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\pi \right)\right)-1$ aber nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $-\frac{2}{3}\pi$ + $3\pi$ ≈ $\frac{7}{3}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{7}{3}\pi +6\pi$ = $\frac{25}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über -1, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{7}{3}\pi$|2) und bei ( $\frac{25}{3}\pi$|2)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(2x\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,1525}$; $\mathrm{1,4185}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,1525}$ und x₂ = $\mathrm{1,4185}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{30}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 60

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 20 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 20 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 m - 20 m = 1 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 39

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 39 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 39 gleich:

   $20\cdot \sin \left(\frac{1}{30}\pi \left(t-10\right)\right)+21$ = 39

   $20\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)+21$ = $39$ | $-21$

   $20\cdot \sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $18$

   |:$20$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{2,1672}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x1	=	$\mathrm{20,6991}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,1047}t-\mathrm{1,0472}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,1047}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,1047}x$	=	$\mathrm{3,0692}$	|:$\mathrm{0,1047}$
   x2	=	$\mathrm{29,3142}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 10 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 10 s nach oben und erreicht erstmals nach 20.7 s den Wert 39. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 29.31 s zum zweiten mal den Wert 39 erreicht. Während dieser 29.31 - 20.7 = 8.61 s ist der Wert der Funktion also höher als 39.

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$⋅p = $\frac{3}{4}$ |⋅$4$

Demnach muss also die Periode p =$4$ ⋅ $\frac{3}{4}$ = $3$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ also $3$ = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ nach b auflösen:

Da bei $-\cos \left(a\pi x\right)$ das b ja $a\pi$ ist, muss also a = $\frac{2}{3}$ sein,
damit der Graph von $f_{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}\mathrm{(x)}=$ $-\cos (\frac{2}{3}·\pi x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{3}{4}$|0) hat.