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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} \cdot \sin (- 3 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 4 x^{2} \cdot \sin (- 3 x)$

$f'(x) =$ $- 4 \cdot 2 x \cdot \sin (- 3 x) - 4 x^{2} \cdot \cos (- 3 x) \cdot (- 3)$

= $- 8 x \cdot \sin (- 3 x) - 4 x^{2} \cdot (- 3 \cdot \cos (- 3 x))$

= $- 8 x \cdot \sin (- 3 x) + 12 x^{2} \cdot \cos (- 3 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 {(\cos (x))}^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 {(\cos (x))}^{2}$

$f'(x) =$ $4 (\cos (x)) \cdot (- \sin (x))$

= $- 4 \cos (x) \cdot \sin (x)$

= $- 4 \sin (x) \cdot \cos (x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \cos (2 x) ⅆ x$ .

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\int_{0}^{\frac{1}{2} π} 4 \cdot \cos (2 x) ⅆ x

= ${[2 \cdot \sin (2 x)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $2 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π)) - 2 \cdot \sin (2 \cdot (0))$

= $2 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{1}{2} x) + 3$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = $4 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $3 π$ ≈ $3 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $8 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $3 π + 4 π$ = $7 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 3, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $3 π$ |1) und einen bei ( $7 π$ |1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 1$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $π$ ≈ $π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $π + 2 π$ = $3 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $π$ |-2) und einen bei ( $3 π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (\frac{3}{4} (x - 1)) + 2$ im Intervall [0; $\frac{8}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $1$ |2).

Mit Hilfe von b= $\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{8}{3} π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $1$ + $0$ ≈ $1$ . und bei x₂= $1$ + $\frac{4}{3} π$ ≈ $5,189$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $1$ |2) und bei ( $5,189$ |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (\frac{1}{3} x) - 1,4$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $6 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 2 \cdot \sin (\frac{1}{3} x) - 1,4

= 0 |

+ 1,4

- 2 \cdot \sin (\frac{1}{3} x)

=

1,4

|:

- 2

\sin (\frac{1}{3} x)

=

- 0,7

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.77539749661075

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,508$

1. Fall:

$\frac{1}{3} x$	=	$5,508$	\|⋅ 3
x₁	=	$16,524$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (\frac{1}{3} x)$ = $- 0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,508$ =-2.3664 bzw. bei -2.3664+2π= $3,917$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{3} x$	=	$3,917$	\|⋅ 3
x₂	=	$11,751$

L={ $11,751$ ; $16,524$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $6 π$ ) sind also
bei x₁ = $11,751$ und x₂ = $16,524$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $4 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 60)) + 12$ (0 < t ≤ 366) angeben.

Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn werden die Tage am schnellsten kürzer?
Bestimme die maximale Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h).

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 4 h = 8 h.
t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist die Stelle mit der größten Abnahme, also der minimalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der negativen Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer genau nach einer halben Periode, also nach 183 d.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 60 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 60 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren fallenenden Wendepunkt nach 183 + 60 d = 243 d. Die Lösung ist also: 243 d.
y-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 12. Somit ist der höchste Wert bei 12 h + 4 h = 16 h.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\sin (a x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $π$ |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $π$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $π$ = $4 π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $4 π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

4 π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

4 π

b =

\frac{2 π}{4 π}

=

\frac{1}{2}

Da bei $\sin (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{1}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{2}} (x) =$ $\sin (\frac{1}{2} \cdot x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $π$ |1) hat.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden