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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 2 · cos( 2x ) und vereinfache:

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f(x)= 5 x 2 · cos( 2x )

f'(x)= 5 · 2x · cos( 2x ) +5 x 2 · ( - sin( 2x ) · 2 )

= 10 x · cos( 2x ) +5 x 2 · ( -2 sin( 2x ) )

= 10 x · cos( 2x ) -10 x 2 · sin( 2x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 sin( 2 3 ( x +3 )) -2 und vereinfache:

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f(x)= 2 sin( 2 3 ( x +3 )) -2

f'(x)= 2 cos( 2 3 ( x +3 )) · ( 2 3 ( 1 +0) )+0

= 2 cos( 2 3 ( x +3 )) · ( 2 3 ( 1 ) )

= 4 3 cos( 2 3 ( x +3 ))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π cos( 5x ) x .

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0 3 2 π cos( 5x ) x

= [ 1 5 sin( 5x ) ] 0 3 2 π

= 1 5 sin( 5( 3 2 π ) ) - 1 5 sin( 5( 0 ) )

= 1 5 ( -1 ) - 1 5 0

= - 1 5 +0

= - 1 5 +0

= - 1 5


= -0,2

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit f(x)= 3 sin( x ) +3 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1= 0 0 . und bei x2= π π . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( 0 |3) und einen bei ( π |3)

Extrempunkte bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( x ) +2 im Intervall [0; 4π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 = 2π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 3 2 π 3 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 3 2 π+2π = 7 2 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 3 2 π |1) und einen bei ( 7 2 π |1)

Extrempunkte bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= - sin(2( x -1 )) +2 im Intervall [0; 2π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= 1 nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( 1 |2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( 1 |2) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 2 = π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion - sin(2( x -1 )) +2 aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 1 + 3 4 π 3,356 .
Weil diese Stelle aber größer als die Periode ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode davon abziehen, damit der x-Wert in der ersten Periode liegt, also x1= 3,356 - π 0,214 .

Weil das gesuchte Interval [0; 2π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 0,214 + π ≈ 3.356 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 2, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 0,214 |3) und bei (3.356|3)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -3 sin( 3x ) +2,7 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 2 3 π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-3 sin( 3x ) +2,7 = 0 | -2,7
-3 sin( 3x ) = -2,7 |:-3
canvas
sin( 3x ) = 0,9 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

1. Fall:

3x = 1,12 |:3
x1 = 0,3733

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x ) = 0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 1,12 = 2,022 liegen muss.

2. Fall:

3x = 2,022 |:3
x2 = 0,674

L={ 0,3733 ; 0,674 }

Die Nullstellen in der Periode [0; 2 3 π ) sind also
bei x1 = 0,3733 und x2 = 0,674 .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Höhe einer Gondel (in m) über dem Erdboden zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 12 sin( 1 80 π ( t -30 )) +14 (0 ≤ t ≤ 160) angeben.

  1. Bestimme die Zeit (in s), die eine Gondel für eine Umdrehung braucht.
  2. Zu welcher Zeit (in s) ist die Gondel am tiefsten Punkt?
  3. Zu welcher Zeit (in s) gewinnt die Gondel am stärksten an Höhe?

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  1. Periodenlänge

    Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 80 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

    Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 80 π = 160

  2. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 120 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 120 + 30 s = 150 s. Die Lösung ist also: 150 s.

  3. t-Wert beim stärksten Zuwachs

    Gesucht ist die Stelle mit der größten Zunahme, also der maximalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der positiven Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer zu Beginn der Periode, also nach 0 s.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 s mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren steigenden Wendepunkt nach 30 s. Die Lösung ist also: 30 s.