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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $- 2 \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $4 \cdot \cos (- 2 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (3 x))}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ ${(\cos (3 x))}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\cos (3 x)) \cdot (- \sin (3 x) \cdot 3)$

= $2 (\cos (3 x)) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x))$

= $- 6 \cos (3 x) \cdot \sin (3 x)$

= $- 6 \sin (3 x) \cdot \cos (3 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{\frac{1}{2} π} - \sin (x + \frac{1}{2} π) ⅆ x

= ${[\cos (x + \frac{1}{2} π)]}_{0}^{\frac{1}{2} π}$

$=$ $\cos (\frac{1}{2} π + \frac{1}{2} π) - \cos (0 + \frac{1}{2} π)$

= $\cos (π) - \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 1 - 0$

= $- 1$

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (4 x) + 2$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{8} π$ ≈ $\frac{1}{8} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{8} π + \frac{1}{2} π$ = $\frac{5}{8} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 2, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{8} π$ |4) und einen bei ( $\frac{5}{8} π$ |4)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) + 2$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $π$ ≈ $π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 2 π$ = $2 π$ und $π + 2 π$ = $3 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |2) und einen bei ( $π$ |2) und einen bei ( $2 π$ |2) und einen bei ( $3 π$ |2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) + 3$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{2} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{2} π$ |6).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $- \frac{1}{2} π$ |0) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{2} π$ + $\frac{1}{2} π$ ≈ 0. und bei x₂= $- \frac{1}{2} π$ + $\frac{3}{2} π$ ≈ $π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 2 π$ = $2 π$ und $π + 2 π$ = $3 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (0|3) und bei ( $π$ |3) und bei ( $2 π$ |3) und bei ( $3 π$ |3)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (2 x) + 0,2$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $π$ [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 2 \cdot \cos (2 x) + 0,2

= 0 |

- 0,2

- 2 \cdot \cos (2 x)

=

- 0,2

|:

- 2

\cos (2 x)

=

0,1

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.4706289056333

1. Fall:

$2 x$	=	$1,471$	\|: $2$
x₁	=	$0,7355$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x)$ = $0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,471$
bzw. bei - $1,471$ +2π= $4,813$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x$	=	$4,813$	\|: $2$
x₂	=	$2,4065$

L={ $0,7355$ ; $2,4065$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $π$ ) sind also
bei x₁ = $0,7355$ und x₂ = $2,4065$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $8 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 11)) + 17$ (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Wie groß ist die tiefste Temperatur?
Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 23,4°C?
Zu welcher Uhrzeit ist es am wärmsten?

Lösung einblenden

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 17 nach oben und eine Amplitude von a = 8 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 8 um 17. Somit ist der tiefste Wert bei 17 ° C - 8 ° C = 9 ° C.

t-Werte mit f(t) ≥ 23.4

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 23.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 23.4 gleich:

$8 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 11)) + 17$ = 23.4

8 \cdot \sin (0,2618 t - 2,8798) + 17

=

23,4

|

- 17

8 \cdot \sin (0,2618 t - 2,8798)

=

6,4

|:

8

\sin (0,2618 t - 2,8798)

=

0,8

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

$0,2618 x - 2,8798$	=	$0,927$	\| $+ 2,8798$
$0,2618 x$	=	$3,8068$	\|: $0,2618$
x₁	=	$14,5409$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,2618 t - 2,8798)$ = $0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,927$ = $2,214$ liegen muss.

2. Fall:

$0,2618 x - 2,8798$	=	$2,214$	\| $+ 2,8798$
$0,2618 x$	=	$5,0938$	\|: $0,2618$
x₂	=	$19,4568$

Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 14.54 h den Wert 23.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.46 h zum zweiten mal den Wert 23.4 erreicht. Während dieser 19.46 - 14.54 = 4.92 h ist der Wert der Funktion also höher als 23.4.

t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $- \cos (a π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $3$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

Lösung einblenden

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $3$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $3$ = $12$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $12$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

12

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

12

b =

\frac{2 π}{12}

=

\frac{1}{6} π

Da bei $- \cos (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $\frac{1}{6}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{6}} (x) =$ $- \cos (\frac{1}{6} \cdot π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $3$ |0) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden