$\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)+3$

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\left(\frac{3}{4}\left(1+0\right)\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)·\frac{3}{4}$

= $\frac{9}{4}\cdot \cos \left(\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

$\text{f(x)}=$ $x·\cos \left(-3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $1·\cos \left(-3x\right)+x·(-\sin \left(-3x\right)·\left(-3\right))$

= $\cos \left(-3x\right)+x·3\cdot \sin \left(-3x\right)$

= $\cos \left(-3x\right)+3x·\sin \left(-3x\right)$

= ${\left[-4\cdot \sin \left(x\right)\right]}_0^{\pi }$

$=$ $-4\cdot \sin \left(\pi \right)+4\cdot \sin \left(0\right)$

= $-4\cdot 0+4\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{4}\pi$ ≈ $\frac{1}{4}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und $\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{3}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{4}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{3}{4}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei cos(x) zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 2, also bei y=5.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $0$|5) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|5)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $-\pi$|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $-\pi$|3) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-\sin \left(2(x+\pi )\right)+3$ aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\pi$ + $\frac{3}{4}\pi$ ≈ $-\frac{1}{4}\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $2\pi$) liegt,
also x₁= $-\frac{1}{4}\pi +\pi$ ≈ $\frac{3}{4}\pi$.

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{3}{4}\pi +\pi$ = $\frac{7}{4}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über 3, also bei y=4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{3}{4}\pi$|4) und bei ( $\frac{7}{4}\pi$|4)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{3}x\right)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2}\pi$
bzw. bei - $\frac{1}{2}\pi$+2π= $\frac{3}{2}\pi$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\frac{3}{2}\pi$; $\frac{9}{2}\pi$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $6\pi$) sind also
bei x₁ = $\frac{3}{2}\pi$ und x₂ = $\frac{9}{2}\pi$.

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 10 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 10. Somit ist der tiefste Wert bei 10 ° C - 6 ° C = 4 ° C.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 11.2

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 11.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 11.2 gleich:

   $6\cdot \sin (\frac{1}{12}\pi ·\left(t-11\right))+10$ = 11.2

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)+10$ = $\mathrm{11,2}$ | $-10$

   $6\cdot \sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{1,2}$

   |:$6$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{3,0808}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x1	=	$\mathrm{11,7678}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,2618}t-\mathrm{2,8798}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,2618}x-\mathrm{2,8798}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{2,8798}$
   $\mathrm{0,2618}x$	=	$\mathrm{5,8198}$	|:$\mathrm{0,2618}$
   x2	=	$\mathrm{22,2299}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 11.77 h den Wert 11.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 22.23 h zum zweiten mal den Wert 11.2 erreicht. Während dieser 22.23 - 11.77 = 10.46 h ist der Wert der Funktion also höher als 11.2.

4. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(\frac{1}{a^2+1}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+1\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+1$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+1$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+1$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+1$)' = $2a$ = 0 ⇔ a = 0

Für dieses a = 0 wird also $a^2+1$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+1\right)$ minimal .

Für a = 0 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(0^2+1\right)$ = $2\pi ·\left(0+1\right)$ = $2\pi$.