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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (- 4 x - 5) - 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (- 4 x - 5) - 5$

$f'(x) =$ $\cos (- 4 x - 5) \cdot (- 4 + 0) + 0$

= $\cos (- 4 x - 5) \cdot (- 4)$

= $- 4 \cdot \cos (- 4 x - 5)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sin (3 (x + \frac{1}{4} π)) - 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sin (3 (x + \frac{1}{4} π)) - 1$

$f'(x) =$ $\cos (3 (x + \frac{1}{4} π)) \cdot (3 (1 + 0)) + 0$

= $\cos (3 (x + \frac{1}{4} π)) \cdot 3$

= $3 \cdot \cos (3 (x + \frac{1}{4} π))$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (- 4 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 3 \cdot \cos (- 4 x) ⅆ x

= ${[- \frac{3}{4} \cdot \sin (- 4 x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{3}{4} \cdot \sin (- 4 \cdot π) + \frac{3}{4} \cdot \sin (- 4 \cdot (0))$

= $- \frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (3 x) + 2$ im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{2} π$ ≈ $\frac{1}{2} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 2, also bei y=1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{2} π$ |1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (\frac{1}{2} x) - 2$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = $4 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $2 π$ ≈ $2 π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $8 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2 π + 4 π$ = $6 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2 π$ |-3) und einen bei ( $6 π$ |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (x + \frac{1}{3} π) - 1$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{3} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{3} π$ |0).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{3} π$ + $π$ ≈ $\frac{2}{3} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{2}{3} π + 2 π$ = $\frac{8}{3} π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{2}{3} π$ |-2) und bei ( $\frac{8}{3} π$ |-2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{4} x) - 2,8$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $8 π$ [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 4 \cdot \cos (\frac{1}{4} x) - 2,8

= 0 |

+ 2,8

- 4 \cdot \cos (\frac{1}{4} x)

=

2,8

|:

- 4

\cos (\frac{1}{4} x)

=

- 0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.3461938234056

1. Fall:

$\frac{1}{4} x$	=	$2,346$	\|⋅ 4
x₁	=	$9,384$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{1}{4} x)$ = $- 0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,346$
bzw. bei - $2,346$ +2π= $3,937$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{4} x$	=	$3,937$	\|⋅ 4
x₂	=	$15,748$

L={ $9,384$ ; $15,748$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $8 π$ ) sind also
bei x₁ = $9,384$ und x₂ = $15,748$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{12} π \cdot (t - 8)) + 19$ (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
Wie groß ist die tiefste Temperatur?
Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 20,2°C?
Zu welcher Uhrzeit nimmt die Temperatur am stärksten ab?
Zu welcher Uhrzeit ist es am wärmsten?

Lösung einblenden

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 8 h = 26 h. Weil aber 26 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 26 - 24 = 2 h. Die Lösung ist also: 2 Uhr.
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 19 nach oben und eine Amplitude von a = 3 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 3 um 19. Somit ist der tiefste Wert bei 19 ° C - 3 ° C = 16 ° C.

t-Werte mit f(t) ≥ 20.2

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 20.2 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 20.2 gleich:

$3 \cdot \sin (\frac{1}{12} π \cdot (t - 8)) + 19$ = 20.2

3 \cdot \sin (0,2618 t - 2,0944) + 19

=

20,2

|

- 19

3 \cdot \sin (0,2618 t - 2,0944)

=

1,2

|:

3

\sin (0,2618 t - 2,0944)

=

0,4

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

$0,2618 x - 2,0944$	=	$0,412$	\| $+ 2,0944$
$0,2618 x$	=	$2,5064$	\|: $0,2618$
x₁	=	$9,5737$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,2618 t - 2,0944)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,412$ = $2,73$ liegen muss.

2. Fall:

$0,2618 x - 2,0944$	=	$2,73$	\| $+ 2,0944$
$0,2618 x$	=	$4,8244$	\|: $0,2618$
x₂	=	$18,4278$

Da die Sinus-Funktion ja um 8 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 8 h nach oben und erreicht erstmals nach 9.57 h den Wert 20.2. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 18.43 h zum zweiten mal den Wert 20.2 erreicht. Während dieser 18.43 - 9.57 = 8.86 h ist der Wert der Funktion also höher als 20.2.

t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist die Stelle mit der größten Abnahme, also der minimalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der negativen Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer genau nach einer halben Periode, also nach 12 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren fallenenden Wendepunkt nach 12 + 8 h = 20 h. Die Lösung ist also: 20 Uhr.
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 8 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 8 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 8 h = 14 h. Die Lösung ist also: 14 Uhr.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\sin (a x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{2}{3} π$ |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{2}{3} π$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{8}{3} π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $\frac{8}{3} π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

\frac{8}{3} π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

\frac{8}{3} π

b =

\frac{2 π}{\frac{8}{3} π}

=

\frac{3}{4}

Da bei $\sin (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{3}{4}} (x) =$ $\sin (\frac{3}{4} \cdot x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $\frac{2}{3} π$ |1) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

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