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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \sin (4 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 x^{2} \cdot \sin (4 x)$

$f'(x) =$ $2 \cdot 2 x \cdot \sin (4 x) + 2 x^{2} \cdot \cos (4 x) \cdot 4$

= $4 x \cdot \sin (4 x) + 2 x^{2} \cdot 4 \cdot \cos (4 x)$

= $4 x \cdot \sin (4 x) + 8 x^{2} \cdot \cos (4 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ ${(\cos (2 x))}^{2}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ ${(\cos (2 x))}^{2}$

$f'(x) =$ $2 (\cos (2 x)) \cdot (- \sin (2 x) \cdot 2)$

= $2 (\cos (2 x)) \cdot (- 2 \cdot \sin (2 x))$

= $- 4 \cos (2 x) \cdot \sin (2 x)$

= $- 4 \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (5 x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} - \sin (5 x) ⅆ x

= ${[\frac{1}{5} \cdot \cos (5 x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{1}{5} \cdot \cos (5 \cdot π) - \frac{1}{5} \cdot \cos (5 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{1}{5} \cdot (- 1) - \frac{1}{5} \cdot 0$

= $- \frac{1}{5} + 0$

= $- \frac{1}{5}$

= -0,2

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{4} x)$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{4}}$ = $8 π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . und bei x₂= $4 π$ ≈ $4 π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$ |0) und einen bei ( $4 π$ |0)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) - 3$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $π$ ≈ $π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $π + 2 π$ = $3 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -3, also bei y=-6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $π$ |-6) und einen bei ( $3 π$ |-6)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \sin (2 (x - 1)) + 2$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $1$ |2).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $1$ |2) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{2}$ = $π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 2 \cdot \sin (2 (x - 1)) + 2$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $1$ + $\frac{1}{4} π$ ≈ $1,785$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $1,785$ |0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x) - 2$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $2 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

2 \cdot \sin (x) - 2

= 0 |

+ 2

2 \cdot \sin (x)

=

2

|:

2

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; $2 π$ ) ist also bei x = $\frac{1}{2} π$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit $f(t) =$ $6 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 11)) + 14$ (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
Wie groß ist die tiefste Temperatur?
Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 18,8°C?
Zu welcher Uhrzeit nimmt die Temperatur am stärksten ab?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{12} π}$ = 24

t-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.
y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 14 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 14. Somit ist der tiefste Wert bei 14 ° C - 6 ° C = 8 ° C.

t-Werte mit f(t) ≥ 18.8

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 18.8 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 18.8 gleich:

$6 \cdot \sin (\frac{1}{12} π (t - 11)) + 14$ = 18.8

6 \cdot \sin (0,2618 t - 2,8798) + 14

=

18,8

|

- 14

6 \cdot \sin (0,2618 t - 2,8798)

=

4,8

|:

6

\sin (0,2618 t - 2,8798)

=

0,8

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

$0,2618 x - 2,8798$	=	$0,927$	\| $+ 2,8798$
$0,2618 x$	=	$3,8068$	\|: $0,2618$
x₁	=	$14,5409$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,2618 t - 2,8798)$ = $0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,927$ = $2,214$ liegen muss.

2. Fall:

$0,2618 x - 2,8798$	=	$2,214$	\| $+ 2,8798$
$0,2618 x$	=	$5,0938$	\|: $0,2618$
x₂	=	$19,4568$

Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 14.54 h den Wert 18.8. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 19.46 h zum zweiten mal den Wert 18.8 erreicht. Während dieser 19.46 - 14.54 = 4.92 h ist der Wert der Funktion also höher als 18.8.

t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist die Stelle mit der größten Abnahme, also der minimalen Steigung. Die maximale und minimale Tangentensteigungen befinden sich immer in den Wendepunkten. Hier ist der Wendepunkt mit der negativen Steigung gesucht. Dieser ist bei einer Sinus-Funktion aber immer genau nach einer halben Periode, also nach 12 h.
Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren fallenenden Wendepunkt nach 12 + 11 h = 23 h. Die Lösung ist also: 23 Uhr.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $- \sin (a x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{1}{3} π$ |-1), (also den Tiefpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Sinusfunktion hat ja seinen ersten Hochpunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Sinus wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Hochpunkt zum Tiefpunkt wird. Also ist hier der erste Tiefpunkt nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{1}{3} π$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{1}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $\frac{4}{3} π$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

\frac{4}{3} π

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

\frac{4}{3} π

b =

\frac{2 π}{\frac{4}{3} π}

=

\frac{3}{2}

Da bei $- \sin (a x)$ das b ja $a$ ist, muss also a = $\frac{3}{2}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{3}{2}} (x) =$ $- \sin (\frac{3}{2} \cdot x)$ seinen ersten Tiefpunkt mit positivem x-Wert, bei TP( $\frac{1}{3} π$ |-1) hat.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden