$\text{f(x)}=$ $-5\cdot \sin \left(-x+4\right)-4x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-5\cdot \cos \left(-x+4\right)·\left(-1+0\right)-8x$

= $-5\cdot \cos \left(-x+4\right)·\left(-1\right)-8x$

= $5\cdot \cos \left(-x+4\right)-8x$

$\text{f(x)}=$ $4x^2·\cos \left(3x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·2x·\cos \left(3x\right)+4x^2·(-\sin \left(3x\right)·3)$

= $8x·\cos \left(3x\right)+4x^2·\left(-3\cdot \sin \left(3x\right)\right)$

= $8x·\cos \left(3x\right)-12x^2·\sin \left(3x\right)$

= ${\left[-5\cdot \cos (x-\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-5\cdot \cos (\frac{3}{2}\pi -\pi )+5\cdot \cos (\frac{1}{2}\pi -\pi )$

= $-5\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+5\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-5\cdot 0+5\cdot 0$

= $0+0$

= 0

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $8\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6\pi$ ≈ $6\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $16\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $6\pi +8\pi$ = $14\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $6\pi$|-3) und einen bei ( $14\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|-3) wird.

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{2}$ = $\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $2\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0+\pi$ = $\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade -3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $0$|-3) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|-3) und einen bei ( $\pi$|-3) und einen bei ( $\frac{3}{2}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=0 in y-Richtung und um c= $-\frac{1}{2}\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-\frac{1}{2}\pi$|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-\frac{1}{2}\pi$ + $\frac{2}{3}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. und bei x₂= $-\frac{1}{2}\pi$ + $2\pi$ ≈ $\frac{3}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{17}{6}\pi$ und $\frac{3}{2}\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{25}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|0) und bei ( $\frac{3}{2}\pi$|0) und bei ( $\frac{17}{6}\pi$|0) und bei ( $\frac{25}{6}\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.9823131728624

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(2x\right)$ = $-\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,982}$
bzw. bei - $\mathrm{1,982}$+2π= $\mathrm{4,301}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{0,991}$; $\mathrm{2,1505}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{0,991}$ und x₂ = $\mathrm{2,1505}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{90}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 180

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 16 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 16. Somit ist der tiefste Wert bei 16 m - 15 m = 1 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 19

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 19 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 19 gleich:

   $15\cdot \sin \left(\frac{1}{90}\pi \left(t-40\right)\right)+16$ = 19

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)+16$ = $19$ | $-16$

   $15\cdot \sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$

   =

   $3$

   |:$15$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$

   =

   $\mathrm{0,2}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.20135792079033

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{1,3963}$	=	$\mathrm{0,201}$	| $+\mathrm{1,3963}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{1,5973}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x1	=	$\mathrm{45,7679}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0349}t-\mathrm{1,3963}\right)$ = $\mathrm{0,2}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,201}$= $\mathrm{2,94}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0349}x-\mathrm{1,3963}$	=	$\mathrm{2,94}$	| $+\mathrm{1,3963}$
   $\mathrm{0,0349}x$	=	$\mathrm{4,3363}$	|:$\mathrm{0,0349}$
   x2	=	$\mathrm{124,2493}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 40 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 40 s nach oben und erreicht erstmals nach 45.77 s den Wert 19. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 124.25 s zum zweiten mal den Wert 19 erreicht. Während dieser 124.25 - 45.77 = 78.48 s ist der Wert der Funktion also höher als 19.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\sin \left(\frac{1}{a^2+4a+9}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2+4a+9\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2+4a+9$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2+4a+9$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2+4a+9$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2+4a+9$)' = $2a+4$ = 0 ⇔ a = -2

Für dieses a = -2 wird also $a^2+4a+9$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2+4a+9\right)$ minimal .

Für a = -2 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left({\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+9\right)$ = $2\pi ·\left(4-8+9\right)$ = $10\pi$.