$\text{f(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(4x-4\right)-x^2$

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(4x-4\right)·\left(4+0\right)-2x$

= $-2\cdot \cos \left(4x-4\right)·\left(4\right)-2x$

= $-8\cdot \cos \left(4x-4\right)-2x$

$\text{f(x)}=$ $5x^2·\cos \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $5·2x·\cos \left(-5x\right)+5x^2·(-\sin \left(-5x\right)·\left(-5\right))$

= $10x·\cos \left(-5x\right)+5x^2·5\cdot \sin \left(-5x\right)$

= $10x·\cos \left(-5x\right)+25x^2·\sin \left(-5x\right)$

= ${\left[-\frac{3}{5}\cdot \sin \left(5x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{3}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{3}{5}\cdot \sin \left(5\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{3}{5}\cdot \left(-1\right)+\frac{3}{5}\cdot 0$

= $\frac{3}{5}+0$

= $\frac{3}{5}+0$

= $\frac{3}{5}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8}\pi$ ≈ $\frac{3}{8}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -2, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8}\pi$|-3)

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|2).

Mit Hilfe von b=$\frac{3}{4}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{3}\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $2\pi$ ≈ $2\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{16}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $2\pi +\frac{8}{3}\pi$ = $\frac{14}{3}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $2\pi$|0) und einen bei ( $\frac{14}{3}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $-2\pi$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-2\pi$|4).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $-2\pi$|0) wird.

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $-2\cdot \cos \left(\frac{1}{3}\left(x+2\pi \right)\right)+2$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $-2\pi$ + $0$ ≈ $-2\pi$.
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $6\pi$) liegt,
also x₁= $-2\pi +6\pi$ ≈ $4\pi$.

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter 2, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $4\pi$|0)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.4706289056333

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{1}{4}x\right)$ = $\mathrm{0,1}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,471}$
bzw. bei - $\mathrm{1,471}$+2π= $\mathrm{4,813}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{5,884}$; $\mathrm{19,252}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $8\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{5,884}$ und x₂ = $\mathrm{19,252}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{60}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 120

2. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 19 nach oben und eine Amplitude von a = 16 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 16 um 19. Somit ist der tiefste Wert bei 19 m - 16 m = 3 m.

3. t-Werte mit f(t) ≥ 33.4

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 33.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 33.4 gleich:

   $16\cdot \sin (\frac{1}{60}\pi ·\left(t-20\right))+19$ = 33.4

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)+19$ = $\mathrm{33,4}$ | $-19$

   $16\cdot \sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{14,4}$

   |:$16$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$

   =

   $\mathrm{0,9}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

   1. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{1,12}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{2,1672}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x1	=	$\mathrm{41,3588}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{0,0524}t-\mathrm{1,0472}\right)$ = $\mathrm{0,9}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{1,12}$= $\mathrm{2,022}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{0,0524}x-\mathrm{1,0472}$	=	$\mathrm{2,022}$	| $+\mathrm{1,0472}$
   $\mathrm{0,0524}x$	=	$\mathrm{3,0692}$	|:$\mathrm{0,0524}$
   x2	=	$\mathrm{58,5725}$

   Da die Sinus-Funktion ja um 20 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 20 s nach oben und erreicht erstmals nach 41.36 s den Wert 33.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 58.57 s zum zweiten mal den Wert 33.4 erreicht. Während dieser 58.57 - 41.36 = 17.21 s ist der Wert der Funktion also höher als 33.4.

Wir berechnen zuerst die Periode von f_a mit $f_a\mathrm{(x)}=$ $-\cos \left(\frac{1}{a^2-2a+3}x\right)$:

p = $\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ = = $2\pi ·\left(a^2-2a+3\right)$

Man erkennt jetzt gut, dass je größer $a^2-2a+3$ wird, desto größer wird auch die Periode.

$a^2-2a+3$ ist eine quadratische Funktion, ihr Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Tiefpunkt als Scheitel. Somit hat $a^2-2a+3$ also einen minimalen Wert, während es noch oben keine Grenze gibt.

Diesen minimalen Wert können wir schnell über die Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

( $a^2-2a+3$)' = $2a-2$ = 0 ⇔ a = 1

Für dieses a = 1 wird also $a^2-2a+3$ minimal und somit auch die Periode $2\pi ·\left(a^2-2a+3\right)$ minimal .

Für a = 1 ist dann die minimale Periode p_min = $2\pi ·\left(1^2-2\cdot 1+3\right)$ = $2\pi ·\left(1-2+3\right)$ = $4\pi$.