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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 2 x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $2 \cdot \sin (- 2 x)$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (- 2 x) \cdot (- 2)$

= $- 4 \cdot \cos (- 2 x)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \sin (3 x)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} \cdot \sin (3 x)$

$f'(x) =$ $4 \cdot 2 x \cdot \sin (3 x) + 4 x^{2} \cdot \cos (3 x) \cdot 3$

= $8 x \cdot \sin (3 x) + 4 x^{2} \cdot 3 \cdot \cos (3 x)$

= $8 x \cdot \sin (3 x) + 12 x^{2} \cdot \cos (3 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π} 3 \cdot \sin (x) ⅆ x

= ${[- 3 \cdot \cos (x)]}_{\frac{1}{2} π}^{\frac{3}{2} π}$

$=$ $- 3 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$

= $- 3 \cdot 0 + 3 \cdot 0$

= $0 + 0$

= 0

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{4} x)$ im Intervall [0; $8 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{4}}$ = $8 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $6 π$ ≈ $6 π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 0, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $6 π$ |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (4 x) + 1$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{8} π$ ≈ $\frac{3}{8} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 1, also bei y=-2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{8} π$ |-2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (\frac{1}{4} (x - 1)) - 1$ im Intervall [0; $16 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung und um c= $1$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $1$ |-1).

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{4}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{4}}$ = $8 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $1$ + $6 π$ ≈ $19,85$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $16 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $19,85 + 8 π$ ≈ 44.983 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter -1, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $19,85$ |-4) und bei (44.983|-4)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (x)$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $2 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $2 π$ ) sind also
bei x₁ = $\frac{1}{2} π$ und x₂ = $\frac{3}{2} π$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 70)) + 12$ (0 < t ≤ 366) angeben.

Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 14 h?
Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

t-Werte mit f(t) ≥ 14

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 14 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 14 gleich:

$5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π (t - 70)) + 12$ = 14

5 \cdot \sin (0,0172 t - 1,2017) + 12

=

14

|

- 12

5 \cdot \sin (0,0172 t - 1,2017)

=

2

|:

5

\sin (0,0172 t - 1,2017)

=

0,4

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

1. Fall:

$0,0172 x - 1,2017$	=	$0,412$	\| $+ 1,2017$
$0,0172 x$	=	$1,6137$	\|: $0,0172$
x₁	=	$93,8198$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,0172 t - 1,2017)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,412$ = $2,73$ liegen muss.

2. Fall:

$0,0172 x - 1,2017$	=	$2,73$	\| $+ 1,2017$
$0,0172 x$	=	$3,9317$	\|: $0,0172$
x₂	=	$228,5872$

Da die Sinus-Funktion ja um 70 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 70 d nach oben und erreicht erstmals nach 93.82 d den Wert 14. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 228.59 d zum zweiten mal den Wert 14 erreicht. Während dieser 228.59 - 93.82 = 134.77 d ist der Wert der Funktion also höher als 14.

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $- \cos (a π x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $4$ |1), (also den Hochpunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Tiefpunkt immmer nach einer $\frac{1}{2}$ Periode.
Wegen des Minus vor dem Kosinius wird ja aber der Graph an der x-Achse gespiegelt, so dass der Tiefpunkt zum Hochpunkt wird. Also ist hier der erste Hochpunkt nach einer $\frac{1}{2}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{2}$ ⋅p = $4$ |⋅ $2$

Demnach muss also die Periode p = $2$ ⋅ $4$ = $8$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $8$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

8

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

8

b =

\frac{2 π}{8}

=

\frac{1}{4} π

Da bei $- \cos (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $\frac{1}{4}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{1}{4}} (x) =$ $- \cos (\frac{1}{4} \cdot π x)$ seinen ersten Hochpunkt mit positivem x-Wert, bei HP( $4$ |1) hat.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden