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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (x + \frac{1}{3} π) - 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2 \cdot \sin (x + \frac{1}{3} π) - 2$

$f'(x) =$ $2 \cdot \cos (x + \frac{1}{3} π) + 0$

= $2 \cdot \cos (x + \frac{1}{3} π)$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 {(\sin (2 x))}^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 {(\sin (2 x))}^{2}$

$f'(x) =$ $6 (\sin (2 x)) \cdot \cos (2 x) \cdot 2$

= $6 (\sin (2 x)) \cdot 2 \cdot \cos (2 x)$

= $12 \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{0}^{π} 4 \cdot \sin (5 x) ⅆ x$ .

Lösung einblenden

\int_{0}^{π} 4 \cdot \sin (5 x) ⅆ x

= ${[- \frac{4}{5} \cdot \cos (5 x)]}_{0}^{π}$

$=$ $- \frac{4}{5} \cdot \cos (5 \cdot π) + \frac{4}{5} \cdot \cos (5 \cdot (0))$

= $- \frac{4}{5} \cdot (- 1) + \frac{4}{5} \cdot 1$

= $\frac{4}{5} + \frac{4}{5}$

= $\frac{8}{5}$

= 1,6

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $2 \cdot \sin (2 x) - 1$ im Intervall [0; $π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Mit Hilfe von b=2 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{2}$ = $π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{3}{4} π$ ≈ $\frac{3}{4} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -1, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{3}{4} π$ |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \cdot \cos (x) - 1$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-1 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P(0|-1) wird.

Mit Hilfe von b=1 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{1}$ = $2 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- 2 \cdot \cos (x + 0) - 1$ aber zu Beginn der Periode,
also bei x₁= $0$ ≈ $0$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $4 π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $0 + 2 π$ = $2 π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-1 um y=-1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=2) unter -1, also bei y=-3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $0$ |-3) und einen bei ( $2 π$ |-3)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \cos (4 (x + \frac{1}{4} π)) + 2$ im Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

Lösung einblenden

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=2 in y-Richtung und um c= $- \frac{1}{4} π$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $- \frac{1}{4} π$ |3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=cos(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem Hochpunkt in P ein Tiefpunkt in P( $- \frac{1}{4} π$ |1) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{4}$ = $\frac{1}{2} π$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $- \frac{1}{4} π$ + $\frac{1}{8} π$ ≈ $- \frac{1}{8} π$ .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; $\frac{1}{2} π$ ) liegt,
also x₁= $- \frac{1}{8} π + \frac{1}{2} π$ ≈ $\frac{3}{8} π$ und bei x₂= $- \frac{1}{4} π$ + $\frac{3}{8} π$ ≈ $\frac{1}{8} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=2 um y=2. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{3}{8} π$ |2) und bei ( $\frac{1}{8} π$ |2)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 \cdot \cos (\frac{1}{3} x) + 2$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $6 π$ [.

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- 4 \cdot \cos (\frac{1}{3} x) + 2

= 0 |

- 2

- 4 \cdot \cos (\frac{1}{3} x)

=

- 2

|:

- 4

\cos (\frac{1}{3} x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

$\frac{1}{3} x$	=	$\frac{1}{3} π$	\|⋅ 3
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (\frac{1}{3} x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

$\frac{1}{3} x$	=	$\frac{5}{3} π$	\|⋅ 3
x₂	=	$5 π$

L={ $π$ ; $5 π$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $6 π$ ) sind also
bei x₁ = $π$ und x₂ = $5 π$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann die Zeit (in h) zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang t Tage nach Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π \cdot (t - 30)) + 12$ (0 < t ≤ 366) angeben.

Bestimme die kürzeste Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang (in h)
Wie lange (in Tagen) haben die Tage eine Länge von mindestens 12,5 h?
Wie viele Tage nach Beobachtungsbeginn ist der Tag am längsten?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{183} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{1}{183} π}$ = 366

y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 12 nach oben und eine Amplitude von a = 5 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 5 um 12. Somit ist der tiefste Wert bei 12 h - 5 h = 7 h.

t-Werte mit f(t) ≥ 12.5

Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 12.5 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 12.5 gleich:

$5 \cdot \sin (\frac{1}{183} π \cdot (t - 30)) + 12$ = 12.5

5 \cdot \sin (0,0172 t - 0,515) + 12

=

12,5

|

- 12

5 \cdot \sin (0,0172 t - 0,515)

=

0,5

|:

5

\sin (0,0172 t - 0,515)

=

0,1

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

1. Fall:

$0,0172 x - 0,515$	=	$0,1$	\| $+ 0,515$
$0,0172 x$	=	$0,615$	\|: $0,0172$
x₁	=	$35,7558$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (0,0172 t - 0,515)$ = $0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,1$ = $3,041$ liegen muss.

2. Fall:

$0,0172 x - 0,515$	=	$3,041$	\| $+ 0,515$
$0,0172 x$	=	$3,556$	\|: $0,0172$
x₂	=	$206,7442$

Da die Sinus-Funktion ja um 30 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 30 d nach oben und erreicht erstmals nach 35.76 d den Wert 12.5. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 206.74 d zum zweiten mal den Wert 12.5 erreicht. Während dieser 206.74 - 35.76 = 170.98 d ist der Wert der Funktion also höher als 12.5.

t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 91.5 d.

Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 30 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 30 d mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 91.5 + 30 d = 121.5 d. Die Lösung ist also: 121.5 d.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\cos (a π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{2}$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

Lösung einblenden

Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{1}{2}$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{1}{2}$ = $2$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $2$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

2

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

2

b =

\frac{2 π}{2}

=

π

Da bei $\cos (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $1$ sein,
damit der Graph von $f_{1} (x) =$ $\cos (1 \cdot π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{1}{2}$ |0) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

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trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden