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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \sin (- x + 1) + 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \cdot \sin (- x + 1) + 3 x$

$f'(x) =$ $4 \cdot \cos (- x + 1) \cdot (- 1 + 0) + 3$

= $4 \cdot \cos (- x + 1) \cdot (- 1) + 3$

= $- 4 \cdot \cos (- x + 1) + 3$

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (3 (x + \frac{2}{3} π)) + 2$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $3 \cdot \sin (3 (x + \frac{2}{3} π)) + 2$

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (3 (x + \frac{2}{3} π)) \cdot (3 (1 + 0)) + 0$

= $3 \cdot \cos (3 (x + \frac{2}{3} π)) \cdot 3$

= $9 \cdot \cos (3 (x + \frac{2}{3} π))$

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral $\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \sin (- 3 x) ⅆ x$ .

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\int_{\frac{1}{2} π}^{π} 4 \cdot \sin (- 3 x) ⅆ x

= ${[\frac{4}{3} \cdot \cos (- 3 x)]}_{\frac{1}{2} π}^{π}$

$=$ $\frac{4}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot π) - \frac{4}{3} \cdot \cos (- 3 \cdot (\frac{1}{2} π))$

= $\frac{4}{3} \cdot (- 1) - \frac{4}{3} \cdot 0$

= $- \frac{4}{3} + 0$

= $- \frac{4}{3}$

≈ -1,333

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (3 x) - 2$ im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|-2).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6} π$ ≈ $\frac{1}{6} π$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=1) über -2, also bei y=-1.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( $\frac{1}{6} π$ |-1)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (3 x) - 3$ im Intervall [0; $\frac{4}{3} π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=-3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|-3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{3}$ = $\frac{2}{3} π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei cos(x) nach der Hälfte der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{3} π$ ≈ $\frac{1}{3} π$ . .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3} π$ ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{3} π + \frac{2}{3} π$ = $π$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=-3 um y=-3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter -3, also bei y=-4.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{1}{3} π$ |-4) und einen bei ( $π$ |-4)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \sin (\frac{1}{2} (x + 2)) + 1$ im Intervall [0; $4 π$ ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= $- 2$ nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( $- 2$ |1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -1 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 1 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( $- 2$ |1) wird.

Mit Hilfe von b= $\frac{1}{2}$ und der Periodenformel p= $\frac{2π}{b}$ erhalten wir als Periode:
p= $\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = $4 π$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion $- \sin (\frac{1}{2} (x + 2)) + 1$ aber nach einem Viertel der Periode,
also bei x₁= $- 2$ + $π$ ≈ $1,142$ . .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 1, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $1,142$ |0)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $- \cos (x) - 0,1$ innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; $2 π$ [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

- \cos (x) - 0,1

= 0 |

+ 0,1

- \cos (x)

=

0,1

|:

- 1

\cos (x)

=

- 0,1

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

x₁

=

1,671

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,671$
bzw. bei - $1,671$ +2π= $4,612$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

4,612

L={ $1,671$ ; $4,612$ }

Die Nullstellen in der Periode [0; $2 π$ ) sind also
bei x₁ = $1,671$ und x₂ = $4,612$ .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit $f(t) =$ $15 \cdot \sin (\frac{2}{3} π t) + 90$ (0 < t ≤ 3) angeben.

Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
Zu welcher Zeit (in s) ist die Wasserhöhe am höchsten?

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Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3} π$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{2 π}{b}$ = $\frac{2 π}{\frac{2}{3} π}$ = 3
t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 0.75 s.

Die Lösung ist also: 0.75 s.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph f_a mit $f_{a} (x) =$ $\cos (a π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{3}{4}$ |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer $\frac{1}{4}$ Periode. Es gilt somit $\frac{1}{4}$ ⋅p = $\frac{3}{4}$ |⋅ $4$

Demnach muss also die Periode p = $4$ ⋅ $\frac{3}{4}$ = $3$ lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = $\frac{2π}{b}$ also $3$ = $\frac{2π}{b}$ nach b auflösen:

3

=

\frac{2π}{b}

|⋅b :

3

b =

\frac{2 π}{3}

=

\frac{2}{3} π

Da bei $\cos (a π x)$ das b ja $a π$ ist, muss also a = $\frac{2}{3}$ sein,
damit der Graph von $f_{\frac{2}{3}} (x) =$ $\cos (\frac{2}{3} \cdot π x)$ seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( $\frac{3}{4}$ |0) hat.

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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Integral über trigon. Funktion

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

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HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Nullstellen mit dem WTR

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Parameter für best. Periode finden