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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -5 cos( -4x ) und vereinfache:

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f(x)= -5 cos( -4x )

f'(x)= 5 sin( -4x ) · ( -4 )

= -20 sin( -4x )

Ableiten von trigonometrischen Funktionen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 sin( 3 4 ( x +2 )) -3 und vereinfache:

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f(x)= 3 sin( 3 4 ( x +2 )) -3

f'(x)= 3 cos( 3 4 ( x +2 )) · ( 3 4 ( 1 +0) )+0

= 3 cos( 3 4 ( x +2 )) · ( 3 4 ( 1 ) )

= 9 4 cos( 3 4 ( x +2 ))

Integral über trigon. Funktion

Beispiel:

Bestimme das Integral 0 3 2 π 5 sin( -x ) x .

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0 3 2 π 5 sin( -x ) x

= [ 5 cos( -x ) ] 0 3 2 π

= 5 cos( -( 3 2 π ) ) -5 cos( -( 0 ) )

= 50 -51

= 0 -5

= -5

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)

Beispiel:

Bestimme die Tiefpunkte des Graphen von f mit f(x)= sin( 3x ) +3 im Intervall [0; 4 3 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 3 = 2 3 π

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 1 2 π 1 2 π . .

Weil das gesuchte Interval [0; 4 3 π ) zwei Perioden umfasst, ist auch noch 1 2 π + 2 3 π = 7 6 π eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=1) unter 3, also bei y=2.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( 1 2 π |2) und einen bei ( 7 6 π |2)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= -3 sin( 1 4 x ) +3 im Intervall [0; 8π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Weil aber das Vorzeichen von a = -3 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 3 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P(0|3) wird.

Mit Hilfe von b= 1 4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 1 4 = 8π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -3 sin( 1 4 ( x +0)) +3 aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= 6π 6π . .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=3) über 3, also bei y=6.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 6π |6)

HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)

Beispiel:

Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit f(x)= -2 sin(4( x + 1 2 π)) +1 im Intervall [0; 1 2 π ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)

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Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung und um c= - 1 2 π nach rechts verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P( - 1 2 π |1).

Weil aber das Vorzeichen von a = -2 aber negativ ist, wird die Original-funktion f(x)=sin(x) nicht nur um den Faktor 2 gestreckt sondern auch an der x-Achse gespiegelt, so dass aus dem steigender Wendepunkt in P ein fallender Wendepunkt in P( - 1 2 π |1) wird.

Mit Hilfe von b=4 und der Periodenformel p= b erhalten wir als Periode:
p= 4 = 1 2 π

Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode, bei der durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelte Funktion -2 sin(4( x + 1 2 π)) +1 aber nach Dreiviertel der Periode,
also bei x1= - 1 2 π + 3 8 π - 1 8 π .
Weil diese Stelle aber negativ ist, müssen wir noch (mindestens) eine Periode dazu addieren, damit der x-Wert im gesuchten Intervall [0; 1 2 π ) liegt,
also x1= - 1 8 π + 1 2 π 3 8 π .

Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über 1, also bei y=3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei ( 3 8 π |3)

Nullstellen mit dem WTR

Beispiel:

Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit f(x)= -2 cos( 1 2 x ) -2 innerhalb einer Periode, also im Intervall [0; 4π [.

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Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

-2 cos( 1 2 x ) -2 = 0 | +2
-2 cos( 1 2 x ) = 2 |:-2
canvas
cos( 1 2 x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1 2 x = π |⋅ 2
x = 2π

L={ 2π }

Die einzige Nullstelle in der Periode [0; 4π ) ist also bei x = 2π .

trigon. Anwendungsaufgabe 2

Beispiel:

An einem bestimmten Ort kann man die Durchschnittstemperatur zur Uhrzeit t (in h) durch die Funktion f mit f(t)= 6 sin( 1 12 π ( t -11 )) +14 (0 < t ≤ 24) näherungsweise angeben.

  1. Zu welcher Uhrzeit ist es am kältesten?
  2. Wie lange (in Stunden) ist es wärmer als 16,4°C?
  3. Zu welcher Uhrzeit ist es am wärmsten?
  4. Wie groß ist die höchste Temperatur?

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Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = 1 12 π herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = 2 π b = 2 π 1 12 π = 24

  1. t-Wert des Minimums (TP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.

  2. t-Werte mit f(t) ≥ 16.4

    Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 16.4 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 16.4 gleich:

    6 sin( 1 12 π ( t -11 )) +14 = 16.4

    6 sin( 0,2618t -2,8798 ) +14 = 16,4 | -14
    6 sin( 0,2618t -2,8798 ) = 2,4 |:6
    canvas
    sin( 0,2618t -2,8798 ) = 0,4 |sin-1(⋅)

    Der WTR liefert nun als Wert 0.41151684606749

    1. Fall:

    0,2618x -2,8798 = 0,412 | +2,8798
    0,2618x = 3,2918 |:0,2618
    x1 = 12,5737

    Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 0,2618t -2,8798 ) = 0,4 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

    Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,412 = 2,73 liegen muss.

    2. Fall:

    0,2618x -2,8798 = 2,73 | +2,8798
    0,2618x = 5,6098 |:0,2618
    x2 = 21,4278

    Da die Sinus-Funktion ja um 11 nach rechts verschoben ist, startet sie nach 11 h nach oben und erreicht erstmals nach 12.57 h den Wert 16.4. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 21.43 h zum zweiten mal den Wert 16.4 erreicht. Während dieser 21.43 - 12.57 = 8.86 h ist der Wert der Funktion also höher als 16.4.

  3. t-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

    Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.

  4. y-Wert des Maximums (HP)

    Gesucht ist der höchste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 14 nach oben und eine Amplitude von a = 6 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 6 um 14. Somit ist der höchste Wert bei 14 ° C + 6 ° C = 20 ° C.

Parameter für best. Periode finden

Beispiel:

Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit fa(x)= cos( a x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 2π |0), (also den Wendepunkt mit dem kleinsten positiven x-Wert)?

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Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer 1 4 Periode. Es gilt somit 1 4 ⋅p = 2π |⋅4

Demnach muss also die Periode p =42π = 8π lang sein.

Jetzt können wir die Periodenformel p = b also 8π = b nach b auflösen:

8π = b |⋅b : 8π

b = 2π 8π = 1 4

Da bei cos( a x ) das b ja a ist, muss also a = 1 4 sein,
damit der Graph von f 1 4 (x)= cos( 1 4 · x ) seinen ersten Wendepunkt mit positivem x-Wert, bei WP( 2π |0) hat.