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cosh
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Ableiten von trigonometrischen Funktionen BF
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
Ableiten von trigonometrischen Funktionen
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF (einfach)
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit im Intervall [0; ).
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=0 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|0).
Mit Hilfe von b= und der Periodenformel p= erhalten wir als Periode:
p= =
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Weil das gesuchte Interval [0;
Die Funktion schwingt wegen d=0 um y=0. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn. BF
Beispiel:
Bestimme die Wendepunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=1 in y-Richtung verschoben ist.
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|1).
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Wendepunkt ist bei sin(x) zu Beginn und nach der Hälfte der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=1 um y=1. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 1.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei (
HP, TP oder WP bei trigon. Fktn (LF)
Beispiel:
Bestimme die Hochpunkte des Graphen von f mit
(Tipp: am schnellsten geht das ohne Ableitungen)
Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.
Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=-2 in
y-Richtung und um c=
Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(
Mit Hilfe von b=
p=
Der gesuchte Hochpunkt ist bei sin(x) nach einem Viertel der Periode,
also bei x1=
Die Funktion schwingt wegen d=-2 um y=-2. Der y-Wert des Hochpunkt ist also eine Amplitude (a=2) über -2, also bei y=0.
Wir erhalten also als Ergebnis einen Hochpunkt bei (
Nullstellen mit dem WTR
Beispiel:
Bestimme mit Hilfe eines Taschenrechners alle Nullstellen der Funktion f mit
Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
|
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882
1. Fall:
| x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
| x2 | = |
|
L={
Die Nullstellen in der Periode [0;
bei x1 =
trigon. Anwendungsaufgabe 2
Beispiel:
In einem Wellenbad kann man an einer bestimmten Stelle die Wasserhöhe zur Zeit t (in Sekunden) näherungsweise durch die Funktion f mit
- Bestimme die Periode dieses Vorgangs.
- Bestimme die kleinste Wasserhöhe.
- Wie lange (in Sekunden) ist die Wasserhöhe höher als 94cm?
- Periodenlänge
Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b =
herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:π Somit gilt für die Periodenlänge: p =
=2 π b = 22 π π - y-Wert des Minimums (TP)
Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 85 nach oben und eine Amplitude von a = 15 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 15 um 85. Somit ist der tiefste Wert bei 85 cm - 15 cm = 70 cm.
- t-Werte mit f(t) ≥ 94
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 94 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 94 gleich:
= 9415 ⋅ sin ( π t ) + 85 15 ⋅ sin ( 3,1416 t ) + 85 = 94 | - 85 15 ⋅ sin ( 3,1416 t ) = 9 |: 15 sin ( 3,1416 t ) = 0,6 |sin-1(⋅) Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328
1. Fall:
3,1416 x = 0,644 |: 3,1416 x1 = 0,205 Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
=sin ( 3,1416 t ) noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).0,6 Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π -
=0,644 liegen muss.2,498 2. Fall:
3,1416 x = 2,498 |: 3,1416 x2 = 0,7951 Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.21 s den Wert 94. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 0.8 s zum zweiten mal den Wert 94 erreicht. Während dieser 0.8 - 0.21 = 0.59 s ist der Wert der Funktion also höher als 94.
Parameter für best. Periode finden
Beispiel:
Für welchen Wert von a hat der Graph fa mit
Der Graph einer normalen Kosiniusfunktion hat ja seinen ersten Wendepunkt immmer nach einer
Demnach muss also die Periode p =
Jetzt können wir die Periodenformel p =
b =
Da bei
damit der Graph von
