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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{-3 -3}{3 -0}$

= $\frac{-6}{3}$

= $- 2$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x + 5} - 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-5;4].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -5 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-5) = $3 \sqrt{- 5 + 5} - 5$ = $3 \sqrt{0} - 5$ = -5 und
f(4) = $3 \sqrt{4 + 5} - 5$ = $3 \sqrt{9} - 5$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(-5)}{4 -(-5)}$

= $\frac{4 -(-5)}{4 -(-5)}$

= $\frac{9}{9}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 1.Es gilt: f(0) = -4. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(0)}{2,5-0}$ = 1

f( $2,5$ ) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -(-4)}{2,5}$ = 1 |⋅ $2,5$

f( $2,5$ ) +4 = $2,5$ |-4

f( $2,5$ ) = -1.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 1$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- x^{2} + 1 - (- {(- 2)}^{2} + 1)}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} + 1 + {(- 2)}^{2} - 1}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} + {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- (x - 2)$ = $- (- 2 - 2)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} + 1 - (- {(- 2)}^{2} + 1)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} + 1 + {(- 2)}^{2} - 1}{h}$

= $\frac{- {(h - 2)}^{2} + 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} - 4 h + 4) + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h - 4 + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- h + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- h + 4$ = $- 0 + 4$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$ . Bestimme f'(2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\frac{\frac{2}{x^{3}} - \frac{2}{2^{3}}}{x - 2}$ = $\frac{\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{4}}{x - 2}$ = $\frac{- \frac{1}{4} + \frac{2}{x^{3}}}{x - 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{- \frac{1}{4} + \frac{2}{{2,1}^{3}}}{0,1}$ ≈ -0.34041

x = 2.01: $\frac{- \frac{1}{4} + \frac{2}{{2,01}^{3}}}{0,01}$ ≈ -0.37128

x = 2.001: $\frac{- \frac{1}{4} + \frac{2}{{2,001}^{3}}}{0,001}$ ≈ -0.37463

x = 2.0001: $\frac{- \frac{1}{4} + \frac{2}{{2,0001}^{3}}}{0,0001}$ ≈ -0.37496

x = 2.00001: $\frac{- \frac{1}{4} + \frac{2}{2^{3}}}{0.00001}$ ≈ -0.375

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $\frac{- \frac{1}{4} + \frac{2}{x^{3}}}{x - 2}$ ≈ -0.375

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 5 - (- 4 u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 5 + 4 u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 4 (x + u)$ = $- 4 \cdot (u + u)$ = $- 8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 8 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 1 - (- 3 u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 1 + 3 u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 3 (x + u)$ = $- 3 \cdot (u + u)$ = $- 6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 6 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)