Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -4 und x₂ = -3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-3) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -3 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(-3)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^2+0+3$ = $-0+0+3$ = 3 und
f(3) = $-3^2+3+3$ = $-9+3+3$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

60 min sind 1 h, also sind 12 min eben $\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{5}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 20

f($\frac{1}{5}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>5</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{5}$

f($\frac{1}{5}$) -0 = $4$ |+0

f($\frac{1}{5}$) = 4

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-x^2+5-\left(-{\left(-1\right)}^2+5\right)}{x+1}$

= $\frac{-x^2+5+{\left(-1\right)}^2-5}{x+1}$

= $\frac{-x^2+{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-\left(x-1\right)$ = $-\left(-1-1\right)$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2+5-\left(-{\left(-1\right)}^2+5\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2+5+{\left(-1\right)}^2-5}{h}$

= $\frac{-{\left(h-1\right)}^2+1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2-2h+1\right)+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h-1+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h}{h}$

= $\frac{h·\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-h+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-h+2$ = $-0+2$ = 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{x^4-4x-\left(2^4-4\cdot 2\right)}{x-2}$ = $\frac{x^4-4x-16+8}{x-2}$ = $\frac{x^4-4x-8}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{{\mathrm{2,1}}^4-4\cdot \mathrm{2,1}-8}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 30.481

x = 2.01: $\frac{{\mathrm{2,01}}^4-4\cdot \mathrm{2,01}-8}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 28.2408

x = 2.001: $\frac{{\mathrm{2,001}}^4-4\cdot \mathrm{2,001}-8}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 28.02401

x = 2.0001: $\frac{{\mathrm{2,0001}}^4-4\cdot \mathrm{2,0001}-8}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 28.0024

x = 2.00001: $\frac{2^4-4\cdot 2-8}{0.00001}$ ≈ 28.00024

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{x^4-4x-8}{x-2}$ ≈ 28

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+3-\left(-2u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+3+2u^2-3}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{4}{x}-2-\left(\frac{4}{u}-2\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}-2-\frac{4}{u}+2}{x-u}$

= $\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u}{x·u}+\frac{-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{4u-4x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-4x+4u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -4 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-4(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{4}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{4}{xu}$ = $\frac{-4}{u·u}$ = $-\frac{4}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{4}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{4}{x^2}$.