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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;2].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(0)}{2 -0}$

= $\frac{4 -(-4)}{2 -0}$

= $\frac{8}{2}$

= $4$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 2 x^{2} + 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $- 0^{3} + 2 \cdot 0^{2} + 5$ = $- 0 + 2 \cdot 0 + 5$ = 5 und
f(3) = $- 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 5$ = $- 27 + 2 \cdot 9 + 5$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{-4 -5}{3 -0}$

= $\frac{-9}{3}$

= $- 3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=-1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(-2) = 2. Bestimme f(-1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(- 1,5) - f(-2)}{- 1,5-(-2)}$ = 3

f( $- 1,5$ ) = 2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(- 1,5) -2}{0,5}$ = 3 |⋅ $0,5$

f( $- 1,5$ ) -2 = $1,5$ |+2

f( $- 1,5$ ) = 3.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 5$ . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5)}{x + 1}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5}{x + 1}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 \cdot {(- 1)}^{2}}{x + 1}$

= $\frac{2 (x^{2} - {(- 1)}^{2})}{x + 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 1$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x - 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $2 (x - 1)$ = $2 (- 1 - 1)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

= $\frac{2 {(- 1 + h)}^{2} + 5 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5)}{h}$

= $\frac{2 {(- 1 + h)}^{2} + 5 - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5}{h}$

= $\frac{2 {(h - 1)}^{2} - 2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2 (h^{2} - 2 h + 1) - 2}{h}$

= $\frac{2 h^{2} - 4 h + 2 - 2}{h}$

= $\frac{2 h^{2} - 4 h}{h}$

= $\frac{2 h (h - 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (h - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (h - 2)$ = $2 (0 - 2)$ = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{\frac{4}{x} - \frac{4}{1}}{x - 1}$ = $\frac{\frac{4}{x} - 4}{x - 1}$ = $\frac{- 4 + \frac{4}{x}}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{- 4 + \frac{4}{1,1}}{0,1}$ ≈ -3.63636

x = 1.01: $\frac{- 4 + \frac{4}{1,01}}{0,01}$ ≈ -3.9604

x = 1.001: $\frac{- 4 + \frac{4}{1,001}}{0,001}$ ≈ -3.996

x = 1.0001: $\frac{- 4 + \frac{4}{1,0001}}{0,0001}$ ≈ -3.9996

x = 1.00001: $\frac{- 4 + \frac{4}{1}}{0.00001}$ ≈ -3.99996

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{- 4 + \frac{4}{x}}{x - 1}$ ≈ -4

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 4 - (3 u^{2} - 4)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 4 - 3 u^{2} + 4}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 (x + u)$ = $3 \cdot (u + u)$ = $6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 3 x - (2 u^{2} + 3 u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 3 x - 2 u^{2} - 3 u}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 u^{2} + 3 x - 3 u}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2}) + 3 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + u) + 3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $2 \cdot (x + u) + 3$ = $2 \cdot (u + u) + 3$ = $4 u + 3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4 u + 3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4 x + 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)