Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-2)}{1 -(-2)}$

= $\frac{-1 -2}{1 -(-2)}$

= $\frac{-3}{3}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 2$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;0].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2$ = $(- 8) + 3 \cdot 4 - 2$ = 2 und
f(0) = $0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 2$ = $0 + 3 \cdot 0 - 2$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-2)}{0 -(-2)}$

= $\frac{-2 -2}{0 -(-2)}$

= $\frac{-4}{2}$

= $- 2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 30 Minuten seiner Fahrt 15 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{30}{60}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{2}) - f(0)}{\frac{1}{2}-0}$ = 15

f( $\frac{1}{2}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{2}) -0}{\frac{1}{2}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{2}$

f( $\frac{1}{2}$ ) -0 = $\frac{15}{2}$ |+0

f( $\frac{1}{2}$ ) = 7.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- x^{2} + 4 - (- 1^{2} + 4)}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} + 4 + 1^{2} - 4}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- (x + 1)$ = $- (1 + 1)$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} + 4 - (- 1^{2} + 4)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} + 4 + 1^{2} - 4}{h}$

= $\frac{- {(h + 1)}^{2} + 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 2 h + 1) + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h - 1 + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h}{h}$

= $\frac{- h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 2)$ = $- (0 + 2)$ = -2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ . Bestimme f'(25) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 25 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{25}}{x - 25}$ = $\frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{\sqrt{25,1} - 5}{0,1}$ ≈ 0.0999

x = 25.01: $\frac{\sqrt{25,01} - 5}{0,01}$ ≈ 0.09999

x = 25.001: $\frac{\sqrt{25,001} - 5}{0,001}$ ≈ 0.1

x = 25.0001: $\frac{\sqrt{25,0001} - 5}{0,0001}$ ≈ 0.1

x = 25.00001: $\frac{\sqrt{25} - 5}{0.00001}$ ≈ 0.1

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\lim_{x → 25}$ $\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\lim_{x → 25}$ $\frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ ≈ 0.1

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} + 5 - (4 u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} + 5 - 4 u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $4 (x + u)$ = $4 \cdot (u + u)$ = $8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4 - (- 3 u^{2} - 4)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4 + 3 u^{2} + 4}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 3 (x + u)$ = $- 3 \cdot (u + u)$ = $- 6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 6 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)