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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{4 -(-5)}{3 -0}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2} + 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 1$ = $1 - 2 \cdot 1 + 1$ = 0 und
f(2) = $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 1$ = $8 - 2 \cdot 4 + 1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(1)}{2 -1}$

= $\frac{1 -0}{2 -1}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=2 und x₂=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 4.Es gilt: f(2) = 4. Bestimme f(3,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(3,5) - f(2)}{3,5-2}$ = 4

f( $3,5$ ) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(3,5) -4}{1,5}$ = 4 |⋅ $1,5$

f( $3,5$ ) -4 = $6$ |+4

f( $3,5$ ) = 10

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 5$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- x^{2} - 5 - (- 1^{2} - 5)}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} - 5 + 1^{2} + 5}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- (x + 1)$ = $- (1 + 1)$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} - 5 - (- 1^{2} - 5)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} - 5 + 1^{2} + 5}{h}$

= $\frac{- {(h + 1)}^{2} + 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 2 h + 1) + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h - 1 + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h}{h}$

= $\frac{- h (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 2)$ = $- (0 + 2)$ = -2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(16) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 16 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\frac{- 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{16}}{x - 16}$ = $\frac{- 3 \sqrt{x} + 12}{x - 16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{- 3 \sqrt{16,1} + 12}{0,1}$ ≈ -0.37442

x = 16.01: $\frac{- 3 \sqrt{16,01} + 12}{0,01}$ ≈ -0.37494

x = 16.001: $\frac{- 3 \sqrt{16,001} + 12}{0,001}$ ≈ -0.37499

x = 16.0001: $\frac{- 3 \sqrt{16,0001} + 12}{0,0001}$ ≈ -0.375

x = 16.00001: $\frac{- 3 \sqrt{16} + 12}{0.00001}$ ≈ -0.375

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\lim_{x → 16}$ $\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\lim_{x → 16}$ $\frac{- 3 \sqrt{x} + 12}{x - 16}$ ≈ -0.375

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 5 - (u^{2} - 5)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 5 - u^{2} + 5}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 x - (- 2 u^{2} + 2 u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 2 u^{2} - 2 u}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2} + 2 x - 2 u}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2}) + 2 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{2 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{2 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u) + 2$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 \cdot (x + u) + 2$ = $- 2 \cdot (u + u) + 2$ = $- 4 u + 2$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u + 2$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x + 2$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)