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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(1)}{4 -1}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -1}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + x^{2} + 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 1$ = $- (- 1) + 1 + 1$ = 3 und
f(2) = $- 2^{3} + 2^{2} + 1$ = $- 8 + 4 + 1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{-3 -3}{2 -(-1)}$

= $\frac{-6}{3}$

= $- 2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-1 und x₂=-0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(-1) = 1. Bestimme f(-0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(- 0,5) - f(-1)}{- 0,5-(-1)}$ = 5

f( $- 0,5$ ) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(- 0,5) -1}{0,5}$ = 5 |⋅ $0,5$

f( $- 0,5$ ) -1 = $2,5$ |+1

f( $- 0,5$ ) = 3.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4 - (- 3 \cdot 1^{2} - 4)}{x - 1}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4 + 3 \cdot 1^{2} + 4}{x - 1}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- 3 (x + 1)$ = $- 3 (1 + 1)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- 3 {(1 + h)}^{2} - 4 - (- 3 \cdot 1^{2} - 4)}{h}$

= $\frac{- 3 {(1 + h)}^{2} - 4 + 3 \cdot 1^{2} + 4}{h}$

= $\frac{- 3 {(h + 1)}^{2} + 3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} + 2 h + 1) + 3}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 6 h - 3 + 3}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 6 h}{h}$

= $\frac{- 3 h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- 3 (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- 3 (h + 2)$ = $- 3 (0 + 2)$ = -6

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{3} + x^{2}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{3 x^{3} + x^{2} - (3 \cdot {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2})}{x + 1}$ = $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 3 - 1}{x + 1}$ = $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 2}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3 \cdot {(- 0,9)}^{3} + {(- 0,9)}^{2} + 2}{0,1}$ ≈ 6.23

x = -0.99: $\frac{3 \cdot {(- 0,99)}^{3} + {(- 0,99)}^{2} + 2}{0,01}$ ≈ 6.9203

x = -0.999: $\frac{3 \cdot {(- 0,999)}^{3} + {(- 0,999)}^{2} + 2}{0,001}$ ≈ 6.992

x = -0.9999: $\frac{3 \cdot {(- 0,9999)}^{3} + {(- 0,9999)}^{2} + 2}{0,0001}$ ≈ 6.9992

x = -0.99999: $\frac{3 \cdot {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2}{0.00001}$ ≈ 6.99992

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{3 x^{3} + x^{2} + 2}{x + 1}$ ≈ 7

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 5 - (- 2 u^{2} - 5)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 5 + 2 u^{2} + 5}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 2 - (- 2 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 2 + 2 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)