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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;4].

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Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = 2 und x2 = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

f(4) - f(2) 4 - 2

= -3 - 3 4 - 2

= -6 2

= -3

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x -5 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = 1 und x2 = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = 2 1 -5 = 21 -5 = -3 und
f(4) = 2 4 -5 = 22 -5 = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

f(4) - f(1) 4 - 1

= -1 - ( - 3 ) 4 - 1

= 2 3

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x1=2 und x2=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 1.Es gilt: f(2) = 2. Bestimme f(3,5).

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Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f(3,5) - f(2) 3,5 - 2 = 1

f(3,5) = 2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f(3,5) - 2 1,5 = 1 |⋅ 1,5

f(3,5) -2 = 1,5 |+2

f(3,5) = 3.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -2 . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(-2) x - ( - 2 )

= x 2 -2 - ( ( -2 ) 2 -2 ) x +2

= x 2 -2 - ( -2 ) 2 +2 x +2

= x 2 - ( -2 ) 2 x +2

= x 2 - ( -2 ) 2 x +2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= ( x -2 ) · ( x +2 ) x +2

Jetzt lässt sich der Nenner x +2 rauskürzen:

= 1 · ( x -2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = lim x → -2 f(x) - f(-2) x - ( - 2 ) = lim x → -2 x -2 = -2 -2 = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

f(-2+h) - f(-2) h

= ( -2 + h ) 2 -2 - ( ( -2 ) 2 -2 ) h

= ( -2 + h ) 2 -2 - ( -2 ) 2 +2 h

= ( h -2 ) 2 -4 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= h 2 -4h +4 -4 h

= h 2 -4h h

= h ( h -4 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= h -4

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = lim h → 0 f(-2+h) - f(-2) h = lim h → 0 h -4 = 0 -4 = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 - x 2 . Bestimme f'(2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 2 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(2) x - 2 = x 4 - x 2 - ( 2 4 - 2 2 ) x -2 = x 4 - x 2 -16 +4 x -2 = x 4 - x 2 -12 x -2

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: 2,1 4 - 2,1 2 -12 0,1 ≈ 30.381

x = 2.01: 2,01 4 - 2,01 2 -12 0,01 ≈ 28.2308

x = 2.001: 2,001 4 - 2,001 2 -12 0,001 ≈ 28.02301

x = 2.0001: 2,0001 4 - 2,0001 2 -12 0,0001 ≈ 28.0023

x = 2.00001: 2 4 - 2 2 -12 0.00001 ≈ 28.00023

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = lim x → 2 f(x) - f(2) x - 2 = lim x → 2 x 4 - x 2 -12 x -2 28

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 x 2 -2 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= 3 x 2 -2 - ( 3 u 2 -2 ) x - u

= 3 x 2 -2 -3 u 2 +2 x - u

= 3 x 2 -3 u 2 x - u

= 3( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 3 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= 3 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u 3( x + u) = 3 · ( u + u ) = 6u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 6u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 6x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -4 x +3 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -4 x +3 - ( -4 u +3 ) x - u

= -4 x +3 +4 u -3 x - u

= -4 x +4 u x - u

= -4( x - u ) x - u

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ( x ) 2 statt x und ( u ) 2 statt u:

= -4( x - u ) ( x ) 2 - ( u ) 2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -4( x - u ) ( x - u ) · ( x + u )

Jetzt lässt sich x - u diagonal rauskürzen:

= -4 x + u

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -4 x + u = -4 u + u = - 2 u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = - 2 u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = - 2 x .