Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;2].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(1)}{2 -1}$

= $\frac{3 -(-4)}{2 -1}$

= $\frac{7}{1}$

= $7$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^{2} - 0 - 3$ = $0 + 0 - 3$ = -3 und
f(3) = $3^{2} - 3 - 3$ = $9 - 3 - 3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{3 -(-3)}{3 -0}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(-1) = -1. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(-1)}{1,5-(-1)}$ = 5

f( $1,5$ ) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -(-1)}{2,5}$ = 5 |⋅ $2,5$

f( $1,5$ ) +1 = $12,5$ |-1

f( $1,5$ ) = 11.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 5$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{2 x^{2} - 5 - (2 \cdot 2^{2} - 5)}{x - 2}$

= $\frac{2 x^{2} - 5 - 2 \cdot 2^{2} + 5}{x - 2}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 \cdot 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{2 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $2 (x + 2)$ = $2 (2 + 2)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{2 {(2 + h)}^{2} - 5 - (2 \cdot 2^{2} - 5)}{h}$

= $\frac{2 {(2 + h)}^{2} - 5 - 2 \cdot 2^{2} + 5}{h}$

= $\frac{2 {(h + 2)}^{2} - 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2 (h^{2} + 4 h + 4) - 8}{h}$

= $\frac{2 h^{2} + 8 h + 8 - 8}{h}$

= $\frac{2 h^{2} + 8 h}{h}$

= $\frac{2 h \cdot (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (h + 4)$ = $2 (0 + 4)$ = 8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(25) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 25 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{25}}{x - 25}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 15}{x - 25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{3 \sqrt{25,1} - 15}{0,1}$ ≈ 0.2997

x = 25.01: $\frac{3 \sqrt{25,01} - 15}{0,01}$ ≈ 0.29997

x = 25.001: $\frac{3 \sqrt{25,001} - 15}{0,001}$ ≈ 0.3

x = 25.0001: $\frac{3 \sqrt{25,0001} - 15}{0,0001}$ ≈ 0.3

x = 25.00001: $\frac{3 \sqrt{25} - 15}{0.00001}$ ≈ 0.3

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\lim_{x → 25}$ $\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\lim_{x → 25}$ $\frac{3 \sqrt{x} - 15}{x - 25}$ ≈ 0.3

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 3 - (- 2 u^{2} - 3)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 3 + 2 u^{2} + 3}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 3 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 3 x - (4 u^{2} - 3 u)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 3 x - 4 u^{2} + 3 u}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 4 u^{2} - 3 x + 3 u}{x - u}$

= $\frac{4 (x^{2} - u^{2}) - 3 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{4 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{- 3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{- 3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $4 \cdot (x + u) - 3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $4 \cdot (x + u) - 3$ = $4 \cdot (u + u) - 3$ = $8 u - 3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8 u - 3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8 x - 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)