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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-1) - f(-3)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{1 -(-1)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x} - 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $3 \sqrt{0} - 5$ = $3 \cdot 0 - 5$ = -5 und
f(1) = $3 \sqrt{1} - 5$ = $3 \cdot 1 - 5$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(0)}{1 -0}$

= $\frac{-2 -(-5)}{1 -0}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 4.Es gilt: f(0) = 1. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(0)}{2,5-0}$ = 4

f( $2,5$ ) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -1}{2,5}$ = 4 |⋅ $2,5$

f( $2,5$ ) -1 = $10$ |+1

f( $2,5$ ) = 11

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2$ . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$

= $\frac{x^{2} - 2 - ({(- 1)}^{2} - 2)}{x + 1}$

= $\frac{x^{2} - 2 - {(- 1)}^{2} + 2}{x + 1}$

= $\frac{x^{2} - {(- 1)}^{2}}{x + 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 1$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x - 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $x - 1$ = $- 1 - 1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

= $\frac{{(- 1 + h)}^{2} - 2 - ({(- 1)}^{2} - 2)}{h}$

= $\frac{{(- 1 + h)}^{2} - 2 - {(- 1)}^{2} + 2}{h}$

= $\frac{{(h - 1)}^{2} - 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^{2} - 2 h + 1 - 1}{h}$

= $\frac{h^{2} - 2 h}{h}$

= $\frac{h (h - 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h - 2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $h - 2$ = $0 - 2$ = -2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 3 x^{2}$ . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} - (- 2 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2})}{x + 2}$ = $\frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 16 + 12}{x + 2}$ = $\frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4}{x + 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{- 2 \cdot {(- 1,9)}^{3} - 3 \cdot {(- 1,9)}^{2} - 4}{0,1}$ ≈ -11.12

x = -1.99: $\frac{- 2 \cdot {(- 1,99)}^{3} - 3 \cdot {(- 1,99)}^{2} - 4}{0,01}$ ≈ -11.9102

x = -1.999: $\frac{- 2 \cdot {(- 1,999)}^{3} - 3 \cdot {(- 1,999)}^{2} - 4}{0,001}$ ≈ -11.991

x = -1.9999: $\frac{- 2 \cdot {(- 1,9999)}^{3} - 3 \cdot {(- 1,9999)}^{2} - 4}{0,0001}$ ≈ -11.9991

x = -1.99999: $\frac{- 2 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4}{0.00001}$ ≈ -11.99991

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $\frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4}{x + 2}$ ≈ -12

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 - (- 5 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 + 5 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 4 x - (u^{2} - 4 u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 4 x - u^{2} + 4 u}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2} - 4 x + 4 u}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2} - 4 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u} + \frac{- 4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{- 4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u) - 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $1 \cdot (x + u) - 4$ = $1 \cdot (u + u) - 4$ = $2 u - 4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u - 4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x - 4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)