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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-1) - f(-3)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{1 -(-1)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^{3} - 4$ = $0 - 4$ = -4 und
f(2) = $2^{3} - 4$ = $8 - 4$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(0)}{2 -0}$

= $\frac{4 -(-4)}{2 -0}$

= $\frac{8}{2}$

= $4$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 2.Es gilt: f(1) = -4. Bestimme f(3,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(3,5) - f(1)}{3,5-1}$ = 2

f( $3,5$ ) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(3,5) -(-4)}{2,5}$ = 2 |⋅ $2,5$

f( $3,5$ ) +4 = $5$ |-4

f( $3,5$ ) = 1

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 5$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 - (2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5)}{x + 2}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5}{x + 2}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{2 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $2 (x - 2)$ = $2 (- 2 - 2)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{2 {(- 2 + h)}^{2} + 5 - (2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5)}{h}$

= $\frac{2 {(- 2 + h)}^{2} + 5 - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5}{h}$

= $\frac{2 {(h - 2)}^{2} - 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2 (h^{2} - 4 h + 4) - 8}{h}$

= $\frac{2 h^{2} - 8 h + 8 - 8}{h}$

= $\frac{2 h^{2} - 8 h}{h}$

= $\frac{2 h (h - 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (h - 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (h - 4)$ = $2 (0 - 4)$ = -8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(25) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 25 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\frac{- 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{25}}{x - 25}$ = $\frac{- 2 \sqrt{x} + 10}{x - 25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{- 2 \sqrt{25,1} + 10}{0,1}$ ≈ -0.1998

x = 25.01: $\frac{- 2 \sqrt{25,01} + 10}{0,01}$ ≈ -0.19998

x = 25.001: $\frac{- 2 \sqrt{25,001} + 10}{0,001}$ ≈ -0.2

x = 25.0001: $\frac{- 2 \sqrt{25,0001} + 10}{0,0001}$ ≈ -0.2

x = 25.00001: $\frac{- 2 \sqrt{25} + 10}{0.00001}$ ≈ -0.2

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\lim_{x → 25}$ $\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\lim_{x → 25}$ $\frac{- 2 \sqrt{x} + 10}{x - 25}$ ≈ -0.2

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} - 3 - (- u^{2} - 3)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} - 3 + u^{2} + 3}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- (x + u)$ = $- 1 \cdot (u + u)$ = $- 2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{\frac{3}{x} + 3 - (\frac{3}{u} + 3)}{x - u}$

= $\frac{\frac{3}{x} + 3 - \frac{3}{u} - 3}{x - u}$

= $\frac{\frac{3}{x} - \frac{3}{u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{3 u}{x \cdot u} + \frac{- 3 x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{3 u - 3 x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{- 3 x + 3 u}{u \cdot x}}{\frac{x - u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -3 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{- 3 (x - u)}{x \cdot u} \cdot \frac{1}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ diagonal rauskürzen:

= $- \frac{3}{x u}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- \frac{3}{x u}$ = $\frac{- 3}{u \cdot u}$ = $- \frac{3}{u^{2}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- \frac{3}{u^{2}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- \frac{3}{x^{2}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)