Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(2)}{4 -2}$

= $\frac{-3 -3}{4 -2}$

= $\frac{-6}{2}$

= $- 3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x - 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;4].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 2 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(2) = $2^{2} - 3 \cdot 2 - 1$ = $4 - 6 - 1$ = -3 und
f(4) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 1$ = $16 - 12 - 1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(2)}{4 -2}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -2}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 1.Es gilt: f(0) = -5. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(0)}{2,5-0}$ = 1

f( $2,5$ ) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -(-5)}{2,5}$ = 1 |⋅ $2,5$

f( $2,5$ ) +5 = $2,5$ |-5

f( $2,5$ ) = -2.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 5$ . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$

= $\frac{- x^{2} + 5 - (- {(- 1)}^{2} + 5)}{x + 1}$

= $\frac{- x^{2} + 5 + {(- 1)}^{2} - 5}{x + 1}$

= $\frac{- x^{2} + {(- 1)}^{2}}{x + 1}$

= $\frac{- (x^{2} - {(- 1)}^{2})}{x + 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 1$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x - 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $- (x - 1)$ = $- (- 1 - 1)$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

= $\frac{- {(- 1 + h)}^{2} + 5 - (- {(- 1)}^{2} + 5)}{h}$

= $\frac{- {(- 1 + h)}^{2} + 5 + {(- 1)}^{2} - 5}{h}$

= $\frac{- {(h - 1)}^{2} + 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} - 2 h + 1) + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 2 h - 1 + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 2 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (- h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- h + 2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- h + 2$ = $- 0 + 2$ = 2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ . Bestimme f'(16) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 16 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{16}}{x - 16}$ = $\frac{\sqrt{x} - 4}{x - 16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{\sqrt{16,1} - 4}{0,1}$ ≈ 0.12481

x = 16.01: $\frac{\sqrt{16,01} - 4}{0,01}$ ≈ 0.12498

x = 16.001: $\frac{\sqrt{16,001} - 4}{0,001}$ ≈ 0.125

x = 16.0001: $\frac{\sqrt{16,0001} - 4}{0,0001}$ ≈ 0.125

x = 16.00001: $\frac{\sqrt{16} - 4}{0.00001}$ ≈ 0.125

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\lim_{x → 16}$ $\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\lim_{x → 16}$ $\frac{\sqrt{x} - 4}{x - 16}$ ≈ 0.125

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 5 - (4 u^{2} - 5)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 5 - 4 u^{2} + 5}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $4 (x + u)$ = $4 \cdot (u + u)$ = $8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 4 x - (u^{2} + 4 u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 4 x - u^{2} - 4 u}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2} + 4 x - 4 u}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2} + 4 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u} + \frac{4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u) + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $1 \cdot (x + u) + 4$ = $1 \cdot (u + u) + 4$ = $2 u + 4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u + 4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x + 4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)