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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

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Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

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Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = 0 und x2 = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

f(3) - f(0) 3 - 0

= 4 - ( - 5 ) 3 - 0

= 9 3

= 3

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -2 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = 0 und x2 = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = 0 2 -20 -2 = 0 +0 -2 = -2 und
f(3) = 3 2 -23 -2 = 9 -6 -2 = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

f(3) - f(0) 3 - 0

= 1 - ( - 2 ) 3 - 0

= 3 3

= 1

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 30 Minuten seiner Fahrt 25 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

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60 min sind 1 h, also sind 30 min eben 30 60 h = 1 2 h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f( 1 2 ) - f(0) 1 2 - 0 = 25

f( 1 2 ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f( 1 2 ) - 0 1 2 = 25 |⋅ 1 2

f( 1 2 ) -0 = 25 2 |+0

f( 1 2 ) = 12.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +4 . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(-2) x - ( - 2 )

= 2 x 2 +4 - ( 2 ( -2 ) 2 +4 ) x +2

= 2 x 2 +4 -2 ( -2 ) 2 -4 x +2

= 2 x 2 -2 ( -2 ) 2 x +2

= 2( x 2 - ( -2 ) 2 ) x +2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 2 ( x -2 ) · ( x +2 ) x +2

Jetzt lässt sich der Nenner x +2 rauskürzen:

= 2 · ( x -2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = lim x → -2 f(x) - f(-2) x - ( - 2 ) = lim x → -2 2( x -2 ) = 2( -2 -2 ) = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

f(-2+h) - f(-2) h

= 2 ( -2 + h ) 2 +4 - ( 2 ( -2 ) 2 +4 ) h

= 2 ( -2 + h ) 2 +4 -2 ( -2 ) 2 -4 h

= 2 ( h -2 ) 2 -8 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= 2( h 2 -4h +4 ) -8 h

= 2 h 2 -8h +8 -8 h

= 2 h 2 -8h h

= 2 h ( h -4 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= 2( h -4 )

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = lim h → 0 f(-2+h) - f(-2) h = lim h → 0 2( h -4 ) = 2(0 -4 ) = -8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 x 4 -4 x 2 . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(1) x - 1 = 3 x 4 -4 x 2 - ( 3 1 4 -4 1 2 ) x -1 = 3 x 4 -4 x 2 -3 +4 x -1 = 3 x 4 -4 x 2 +1 x -1

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: 3 1,1 4 -4 1,1 2 +1 0,1 ≈ 5.523

x = 1.01: 3 1,01 4 -4 1,01 2 +1 0,01 ≈ 4.1412

x = 1.001: 3 1,001 4 -4 1,001 2 +1 0,001 ≈ 4.01401

x = 1.0001: 3 1,0001 4 -4 1,0001 2 +1 0,0001 ≈ 4.0014

x = 1.00001: 3 1 4 -4 1 2 +1 0.00001 ≈ 4.00014

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = lim x → 1 f(x) - f(1) x - 1 = lim x → 1 3 x 4 -4 x 2 +1 x -1 4

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 x 2 +2 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -3 x 2 +2 - ( -3 u 2 +2 ) x - u

= -3 x 2 +2 +3 u 2 -2 x - u

= -3 x 2 +3 u 2 x - u

= -3( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -3 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -3 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -3( x + u) = -3 · ( u + u ) = -6u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -6u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -6x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 5 x 2 -4 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= 5 x 2 -4 - ( 5 u 2 -4 ) x - u

= 5 x 2 -4 -5 u 2 +4 x - u

= 5 x 2 -5 u 2 x - u

= 5( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 5 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= 5 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u 5( x + u) = 5 · ( u + u ) = 10u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 10u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 10x .