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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(1)}{4 -1}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -1}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x^{2} - 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^{3} + 0^{2} - 1$ = $0 + 0 - 1$ = -1 und
f(1) = $1^{3} + 1^{2} - 1$ = $1 + 1 - 1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(0)}{1 -0}$

= $\frac{1 -(-1)}{1 -0}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 12 Minuten seiner Fahrt 20 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 12 min eben $\frac{12}{60}$ h = $\frac{1}{5}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{5}) - f(0)}{\frac{1}{5}-0}$ = 20

f( $\frac{1}{5}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{5}) -0}{\frac{1}{5}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{5}$

f( $\frac{1}{5}$ ) -0 = $4$ |+0

f( $\frac{1}{5}$ ) = 4

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 3$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- x^{2} + 3 - (- {(- 2)}^{2} + 3)}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} + 3 + {(- 2)}^{2} - 3}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} + {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- (x - 2)$ = $- (- 2 - 2)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} + 3 - (- {(- 2)}^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} + 3 + {(- 2)}^{2} - 3}{h}$

= $\frac{- {(h - 2)}^{2} + 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} - 4 h + 4) + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h - 4 + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- h + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- h + 4$ = $- 0 + 4$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(25) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 25 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\frac{- 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{25}}{x - 25}$ = $\frac{- 3 \sqrt{x} + 15}{x - 25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{- 3 \sqrt{25,1} + 15}{0,1}$ ≈ -0.2997

x = 25.01: $\frac{- 3 \sqrt{25,01} + 15}{0,01}$ ≈ -0.29997

x = 25.001: $\frac{- 3 \sqrt{25,001} + 15}{0,001}$ ≈ -0.3

x = 25.0001: $\frac{- 3 \sqrt{25,0001} + 15}{0,0001}$ ≈ -0.3

x = 25.00001: $\frac{- 3 \sqrt{25} + 15}{0.00001}$ ≈ -0.3

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\lim_{x → 25}$ $\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\lim_{x → 25}$ $\frac{- 3 \sqrt{x} + 15}{x - 25}$ ≈ -0.3

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 4 - (5 u^{2} + 4)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 4 - 5 u^{2} - 4}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 3 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 x - (- 3 u^{2} + 3 u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 x + 3 u^{2} - 3 u}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 u^{2} + 3 x - 3 u}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2}) + 3 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + u) + 3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 3 \cdot (x + u) + 3$ = $- 3 \cdot (u + u) + 3$ = $- 6 u + 3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 6 u + 3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 6 x + 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)