Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $2\sqrt{-1+1}-5$ = $2\sqrt{0}-5$ = -5 und
f(0) = $2\sqrt{0+1}-5$ = $2\sqrt{1}-5$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>5</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 1

f($\mathrm{1,5}$) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{1,5}$) +3 = $\mathrm{2,5}$ |-3

f($\mathrm{1,5}$) = -0.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-x^2-4-\left(-2^2-4\right)}{x-2}$

= $\frac{-x^2-4+2^2+4}{x-2}$

= $\frac{-x^2+2^2}{x-2}$

= $\frac{-\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-1·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-\left(x+2\right)$ = $-\left(2+2\right)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-{\left(2+h\right)}^2-4-\left(-2^2-4\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(2+h\right)}^2-4+2^2+4}{h}$

= $\frac{-{\left(h+2\right)}^2+4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2+4h+4\right)+4}{h}$

= $\frac{-h^2-4h-4+4}{h}$

= $\frac{-h^2-4h}{h}$

= $\frac{-h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-\left(h+4\right)$ = $-\left(0+4\right)$ = -4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{\frac{4}{x^2}-\frac{4}{{\left(-2\right)}^2}}{x+2}$ = $\frac{\frac{4}{x^2}-1}{x+2}$ = $\frac{-1+\frac{4}{x^2}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-1+\frac{4}{{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 1.08033

x = -1.99: $\frac{-1+\frac{4}{{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 1.00755

x = -1.999: $\frac{-1+\frac{4}{{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 1.00075

x = -1.9999: $\frac{-1+\frac{4}{{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 1.00008

x = -1.99999: $\frac{-1+\frac{4}{{\left(-2\right)}^2}}{0.00001}$ ≈ 1.00001

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-1+\frac{4}{x^2}}{x+2}$ ≈ 1

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-2-\left(-3u^2-2\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-2+3u^2+2}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3\sqrt{x}+1-\left(3\sqrt{u}+1\right)}{x-u}$

= $\frac{3\sqrt{x}+1-3\sqrt{u}-1}{x-u}$

= $\frac{3\sqrt{x}-3\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{3}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{3}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $\frac{3}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{3}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{3}{2\sqrt{x}}$.