Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $-1^3+2\cdot 1^2-1$ = $-1+2\cdot 1-1$ = 0 und
f(2) = $-2^3+2\cdot 2^2-1$ = $-8+2\cdot 4-1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(1)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-1}}{1}$

= $-1$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 15

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{15}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 3.75

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-x^2-2-\left(-{\left(-1\right)}^2-2\right)}{x+1}$

= $\frac{-x^2-2+{\left(-1\right)}^2+2}{x+1}$

= $\frac{-x^2+{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{-\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $-1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $-\left(x-1\right)$ = $-\left(-1-1\right)$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2-2-\left(-{\left(-1\right)}^2-2\right)}{h}$

= $\frac{-{\left(-1+h\right)}^2-2+{\left(-1\right)}^2+2}{h}$

= $\frac{-{\left(h-1\right)}^2+1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-\left(h^2-2h+1\right)+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h-1+1}{h}$

= $\frac{-h^2+2h}{h}$

= $\frac{h·\left(-h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-h+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-h+2$ = $-0+2$ = 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{x^3-3x^2-\left(2^3-3\cdot 2^2\right)}{x-2}$ = $\frac{x^3-3x^2-8+12}{x-2}$ = $\frac{x^3-3x^2+4}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{{\mathrm{2,1}}^3-3\cdot {\mathrm{2,1}}^2+4}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.31

x = 2.01: $\frac{{\mathrm{2,01}}^3-3\cdot {\mathrm{2,01}}^2+4}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.0301

x = 2.001: $\frac{{\mathrm{2,001}}^3-3\cdot {\mathrm{2,001}}^2+4}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.003

x = 2.0001: $\frac{{\mathrm{2,0001}}^3-3\cdot {\mathrm{2,0001}}^2+4}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.0003

x = 2.00001: $\frac{2^3-3\cdot 2^2+4}{0.00001}$ ≈ 3.0E-5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{x^3-3x^2+4}{x-2}$ ≈ 0

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3x^2+3-\left(3u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{3x^2+3-3u^2-3}{x-u}$

= $\frac{3x^2-3u^2}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $3(x+u)$ = $3·(u+u)$ = $6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-x-(2u^2-u)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-x-2u^2+u}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2-x+u}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)-\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)-1$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2·(x+u)-1$ = $2·(u+u)-1$ = $4u-1$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u-1$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x-1$.