Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = 5 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 5 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(5)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{4\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{6}{8}$

= $\frac{3}{4}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^3-3\cdot 1^2+1$ = $1-3\cdot 1+1$ = -1 und
f(3) = $3^3-3\cdot 3^2+1$ = $27-3\cdot 9+1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(1)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 2

f($\mathrm{3,5}$) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 2 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($\mathrm{3,5}$) +3 = $3$ |-3

f($\mathrm{3,5}$) = 0

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{x^2-3-\left(2^2-3\right)}{x-2}$

= $\frac{x^2-3-2^2+3}{x-2}$

= $\frac{x^2-2^2}{x-2}$

= $\frac{x^2-2^2}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $1·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $x+2$ = $2+2$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{{\left(2+h\right)}^2-3-\left(2^2-3\right)}{h}$

= $\frac{{\left(2+h\right)}^2-3-2^2+3}{h}$

= $\frac{{\left(h+2\right)}^2-4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2+4h+4-4}{h}$

= $\frac{h^2+4h}{h}$

= $\frac{h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h+4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h+4$ = $0+4$ = 4

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{1}{x}+\frac{1}{\left(-2\right)}}{x+2}$ = $\frac{-\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x+2}$ = $\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{x}}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(-\mathrm{1,9}\right)}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 0.26316

x = -1.99: $\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(-\mathrm{1,99}\right)}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 0.25126

x = -1.999: $\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(-\mathrm{1,999}\right)}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 0.25013

x = -1.9999: $\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 0.25001

x = -1.99999: $\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(-2\right)}}{0.00001}$ ≈ 0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{x}}{x+2}$ ≈ 0.25

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2-3-\left(u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-3-u^2+3}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $x+u$ = $1·(u+u)$ = $2u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{4x^2-2x-\left(4u^2-2u\right)}{x-u}$

= $\frac{4x^2-2x-4u^2+2u}{x-u}$

= $\frac{4x^2-4u^2-2x+2u}{x-u}$

= $\frac{4\left(x^2-u^2\right)-2\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-2\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $4·(x+u)-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $4·(x+u)-2$ = $4·(u+u)-2$ = $8u-2$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8u-2$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8x-2$.