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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{-1 -1}{1 -(-1)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $- 1^{3} + 5$ = $- 1 + 5$ = 4 und
f(2) = $- 2^{3} + 5$ = $- 8 + 5$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(1)}{2 -1}$

= $\frac{-3 -4}{2 -1}$

= $\frac{-7}{1}$

= $- 7$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 2.Es gilt: f(1) = 3. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(1)}{1,5-1}$ = 2

f( $1,5$ ) = 3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -3}{0,5}$ = 2 |⋅ $0,5$

f( $1,5$ ) -3 = $1$ |+3

f( $1,5$ ) = 4

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 3$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- x^{2} - 3 - (- {(- 2)}^{2} - 3)}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} - 3 + {(- 2)}^{2} + 3}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} + {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- (x - 2)$ = $- (- 2 - 2)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} - 3 - (- {(- 2)}^{2} - 3)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} - 3 + {(- 2)}^{2} + 3}{h}$

= $\frac{- {(h - 2)}^{2} + 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} - 4 h + 4) + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h - 4 + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{h (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- h + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- h + 4$ = $- 0 + 4$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{4} + 4 x^{2}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{3 x^{4} + 4 x^{2} - (3 \cdot {(- 1)}^{4} + 4 \cdot {(- 1)}^{2})}{x + 1}$ = $\frac{3 x^{4} + 4 x^{2} - 3 - 4}{x + 1}$ = $\frac{3 x^{4} + 4 x^{2} - 7}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3 \cdot {(- 0,9)}^{4} + 4 \cdot {(- 0,9)}^{2} - 7}{0,1}$ ≈ -17.917

x = -0.99: $\frac{3 \cdot {(- 0,99)}^{4} + 4 \cdot {(- 0,99)}^{2} - 7}{0,01}$ ≈ -19.7812

x = -0.999: $\frac{3 \cdot {(- 0,999)}^{4} + 4 \cdot {(- 0,999)}^{2} - 7}{0,001}$ ≈ -19.97801

x = -0.9999: $\frac{3 \cdot {(- 0,9999)}^{4} + 4 \cdot {(- 0,9999)}^{2} - 7}{0,0001}$ ≈ -19.9978

x = -0.99999: $\frac{3 \cdot {(- 1)}^{4} + 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 7}{0.00001}$ ≈ -19.99978

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{3 x^{4} + 4 x^{2} - 7}{x + 1}$ ≈ -20

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} - 1 - (- 5 u^{2} - 1)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} - 1 + 5 u^{2} + 1}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 3 - (- 4 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 3 + 4 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 4 (x + u)$ = $- 4 \cdot (u + u)$ = $- 8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 8 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)