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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{-1 -1}{1 -(-1)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 2 x + 4$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $- 1^{2} + 2 \cdot 1 + 4$ = $- 1 + 2 + 4$ = 5 und
f(4) = $- 4^{2} + 2 \cdot 4 + 4$ = $- 16 + 8 + 4$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(1)}{4 -1}$

= $\frac{-4 -5}{4 -1}$

= $\frac{-9}{3}$

= $- 3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(0) = 4. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(0)}{2,5-0}$ = 3

f( $2,5$ ) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -4}{2,5}$ = 3 |⋅ $2,5$

f( $2,5$ ) -4 = $7,5$ |+4

f( $2,5$ ) = 11.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4 - (- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4)}{x + 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 4 + 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 4}{x + 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 3 (x - 2)$ = $- 3 (- 2 - 2)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 2 + h)}^{2} - 4 - (- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 2 + h)}^{2} - 4 + 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 4}{h}$

= $\frac{- 3 {(h - 2)}^{2} + 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} - 4 h + 4) + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 12 h - 12 + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 12 h}{h}$

= $\frac{3 h (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (- h + 4)$ = $3 (- 0 + 4)$ = 12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 3 x$ . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\frac{- 3 x^{4} + 3 x - (- 3 \cdot {(- 2)}^{4} + 3 \cdot (- 2))}{x + 2}$ = $\frac{- 3 x^{4} + 3 x + 48 + 6}{x + 2}$ = $\frac{- 3 x^{4} + 3 x + 54}{x + 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,9)}^{4} + 3 \cdot (- 1,9) + 54}{0,1}$ ≈ 92.037

x = -1.99: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,99)}^{4} + 3 \cdot (- 1,99) + 54}{0,01}$ ≈ 98.2824

x = -1.999: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,999)}^{4} + 3 \cdot (- 1,999) + 54}{0,001}$ ≈ 98.92802

x = -1.9999: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,9999)}^{4} + 3 \cdot (- 1,9999) + 54}{0,0001}$ ≈ 98.9928

x = -1.99999: $\frac{- 3 \cdot {(- 2)}^{4} + 3 \cdot (- 2) + 54}{0.00001}$ ≈ 98.99928

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $\frac{- 3 x^{4} + 3 x + 54}{x + 2}$ ≈ 99

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 5 - (- 3 u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 5 + 3 u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 3 (x + u)$ = $- 3 \cdot (u + u)$ = $- 6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 6 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 1 - (3 u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 1 - 3 u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 (x + u)$ = $3 \cdot (u + u)$ = $6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)