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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-2)}{1 -(-2)}$

= $\frac{1 -(-2)}{1 -(-2)}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $- {(- 1)}^{2} + 3$ = $- 1 + 3$ = 2 und
f(2) = $- 2^{2} + 3$ = $- 4 + 3$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{-1 -2}{2 -(-1)}$

= $\frac{-3}{3}$

= $- 1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 15 Minuten seiner Fahrt 20 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{15}{60}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{4}) - f(0)}{\frac{1}{4}-0}$ = 20

f( $\frac{1}{4}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{4}) -0}{\frac{1}{4}}$ = 20 |⋅ $\frac{1}{4}$

f( $\frac{1}{4}$ ) -0 = $5$ |+0

f( $\frac{1}{4}$ ) = 5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{x^{2} - 4 - (2^{2} - 4)}{x - 2}$

= $\frac{x^{2} - 4 - 2^{2} + 4}{x - 2}$

= $\frac{x^{2} - 2^{2}}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $x + 2$ = $2 + 2$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{{(2 + h)}^{2} - 4 - (2^{2} - 4)}{h}$

= $\frac{{(2 + h)}^{2} - 4 - 2^{2} + 4}{h}$

= $\frac{{(h + 2)}^{2} - 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^{2} + 4 h + 4 - 4}{h}$

= $\frac{h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{h (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $h + 4$ = $0 + 4$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x}$ . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\frac{\frac{4}{x} - \frac{4}{(- 2)}}{x + 2}$ = $\frac{\frac{4}{x} + 2}{x + 2}$ = $\frac{2 + \frac{4}{x}}{x + 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{2 + \frac{4}{(- 1,9)}}{0,1}$ ≈ -1.05263

x = -1.99: $\frac{2 + \frac{4}{(- 1,99)}}{0,01}$ ≈ -1.00503

x = -1.999: $\frac{2 + \frac{4}{(- 1,999)}}{0,001}$ ≈ -1.0005

x = -1.9999: $\frac{2 + \frac{4}{(- 1,9999)}}{0,0001}$ ≈ -1.00005

x = -1.99999: $\frac{2 + \frac{4}{(- 2)}}{0.00001}$ ≈ -1.00001

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $\frac{2 + \frac{4}{x}}{x + 2}$ ≈ -1

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - (3 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - 3 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 (x + u)$ = $3 \cdot (u + u)$ = $6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 4 - (u^{2} - 4)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 4 - u^{2} + 4}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)