Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-5;-4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = -4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-4) - f(-5)}{-4 -(-5)}$

= $\frac{-1 -(-4)}{-4 -(-5)}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + x^{2} + 2$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $- 0^{3} + 0^{2} + 2$ = $- 0 + 0 + 2$ = 2 und
f(2) = $- 2^{3} + 2^{2} + 2$ = $- 8 + 4 + 2$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(0)}{2 -0}$

= $\frac{-2 -2}{2 -0}$

= $\frac{-4}{2}$

= $- 2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(0) = -2. Bestimme f(0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(0,5) - f(0)}{0,5-0}$ = 3

f( $0,5$ ) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(0,5) -(-2)}{0,5}$ = 3 |⋅ $0,5$

f( $0,5$ ) +2 = $1,5$ |-2

f( $0,5$ ) = -0.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 5$ . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5)}{x + 1}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5}{x + 1}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 \cdot {(- 1)}^{2}}{x + 1}$

= $\frac{2 (x^{2} - {(- 1)}^{2})}{x + 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 1$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x - 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $2 (x - 1)$ = $2 (- 1 - 1)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

= $\frac{2 {(- 1 + h)}^{2} + 5 - (2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5)}{h}$

= $\frac{2 {(- 1 + h)}^{2} + 5 - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 5}{h}$

= $\frac{2 {(h - 1)}^{2} - 2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2 (h^{2} - 2 h + 1) - 2}{h}$

= $\frac{2 h^{2} - 4 h + 2 - 2}{h}$

= $\frac{2 h^{2} - 4 h}{h}$

= $\frac{2 h (h - 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (h - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (h - 2)$ = $2 (0 - 2)$ = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} - 4 x^{2}$ . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\frac{- 3 x^{3} - 4 x^{2} - (- 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2})}{x + 2}$ = $\frac{- 3 x^{3} - 4 x^{2} - 24 + 16}{x + 2}$ = $\frac{- 3 x^{3} - 4 x^{2} - 8}{x + 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,9)}^{3} - 4 \cdot {(- 1,9)}^{2} - 8}{0,1}$ ≈ -18.63

x = -1.99: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,99)}^{3} - 4 \cdot {(- 1,99)}^{2} - 8}{0,01}$ ≈ -19.8603

x = -1.999: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,999)}^{3} - 4 \cdot {(- 1,999)}^{2} - 8}{0,001}$ ≈ -19.986

x = -1.9999: $\frac{- 3 \cdot {(- 1,9999)}^{3} - 4 \cdot {(- 1,9999)}^{2} - 8}{0,0001}$ ≈ -19.9986

x = -1.99999: $\frac{- 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 8}{0.00001}$ ≈ -19.99986

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $\frac{- 3 x^{3} - 4 x^{2} - 8}{x + 2}$ ≈ -20

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 4 - (- 5 u^{2} + 4)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 4 + 5 u^{2} - 4}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 2 - (5 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 2 - 5 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)