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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(0)}{1 -0}$

= $\frac{-1 -1}{1 -0}$

= $\frac{-2}{1}$

= $- 2$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x + 5}$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-5;-1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -5 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-5) = $\sqrt{- 5 + 5}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(-1) = $\sqrt{- 1 + 5}$ = $\sqrt{4}$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-1) - f(-5)}{-1 -(-5)}$

= $\frac{2 -0}{-1 -(-5)}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 1.Es gilt: f(1) = -1. Bestimme f(3,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(3,5) - f(1)}{3,5-1}$ = 1

f( $3,5$ ) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(3,5) -(-1)}{2,5}$ = 1 |⋅ $2,5$

f( $3,5$ ) +1 = $2,5$ |-1

f( $3,5$ ) = 1.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 5$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 5 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5)}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 5 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 2 (x - 2)$ = $- 2 (- 2 - 2)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} + 5 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} + 5 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5}{h}$

= $\frac{- 2 {(h - 2)}^{2} + 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 2 (h^{2} - 4 h + 4) + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h - 8 + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h}{h}$

= $\frac{2 h (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (- h + 4)$ = $2 (- 0 + 4)$ = 8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 5 x$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 5 x - (- 2 \cdot {(- 1)}^{4} - 5 \cdot (- 1))}{x + 1}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 5 x + 2 - 5}{x + 1}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 5 x - 3}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,9)}^{4} - 5 \cdot (- 0,9) - 3}{0,1}$ ≈ 1.878

x = -0.99: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,99)}^{4} - 5 \cdot (- 0,99) - 3}{0,01}$ ≈ 2.8808

x = -0.999: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,999)}^{4} - 5 \cdot (- 0,999) - 3}{0,001}$ ≈ 2.98801

x = -0.9999: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,9999)}^{4} - 5 \cdot (- 0,9999) - 3}{0,0001}$ ≈ 2.9988

x = -0.99999: $\frac{- 2 \cdot {(- 1)}^{4} - 5 \cdot (- 1) - 3}{0.00001}$ ≈ 2.99988

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{- 2 x^{4} - 5 x - 3}{x + 1}$ ≈ 3

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 1 - (- 2 u^{2} - 1)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 1 + 2 u^{2} + 1}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 4 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 4 x - (2 u^{2} + 4 u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 4 x - 2 u^{2} - 4 u}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 u^{2} + 4 x - 4 u}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2}) + 4 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + u) + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $2 \cdot (x + u) + 4$ = $2 \cdot (u + u) + 4$ = $4 u + 4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4 u + 4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4 x + 4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)