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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(1)}{4 -1}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -1}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x + 2} - 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $3 \sqrt{- 2 + 2} - 5$ = $3 \sqrt{0} - 5$ = -5 und
f(2) = $3 \sqrt{2 + 2} - 5$ = $3 \sqrt{4} - 5$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-2)}{2 -(-2)}$

= $\frac{1 -(-5)}{2 -(-2)}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=2 und x₂=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(2) = 4. Bestimme f(3,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(3,5) - f(2)}{3,5-2}$ = 3

f( $3,5$ ) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(3,5) -4}{1,5}$ = 3 |⋅ $1,5$

f( $3,5$ ) -4 = $4,5$ |+4

f( $3,5$ ) = 8.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2$ . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$

= $\frac{x^{2} - 2 - ({(- 1)}^{2} - 2)}{x + 1}$

= $\frac{x^{2} - 2 - {(- 1)}^{2} + 2}{x + 1}$

= $\frac{x^{2} - {(- 1)}^{2}}{x + 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 1$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x - 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $x - 1$ = $- 1 - 1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

= $\frac{{(- 1 + h)}^{2} - 2 - ({(- 1)}^{2} - 2)}{h}$

= $\frac{{(- 1 + h)}^{2} - 2 - {(- 1)}^{2} + 2}{h}$

= $\frac{{(h - 1)}^{2} - 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^{2} - 2 h + 1 - 1}{h}$

= $\frac{h^{2} - 2 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (h - 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h - 2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $h - 2$ = $0 - 2$ = -2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} - 3 x^{2}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{- 3 x^{4} - 3 x^{2} - (- 3 \cdot 1^{4} - 3 \cdot 1^{2})}{x - 1}$ = $\frac{- 3 x^{4} - 3 x^{2} + 3 + 3}{x - 1}$ = $\frac{- 3 x^{4} - 3 x^{2} + 6}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{- 3 \cdot {1,1}^{4} - 3 \cdot {1,1}^{2} + 6}{0,1}$ ≈ -20.223

x = 1.01: $\frac{- 3 \cdot {1,01}^{4} - 3 \cdot {1,01}^{2} + 6}{0,01}$ ≈ -18.2112

x = 1.001: $\frac{- 3 \cdot {1,001}^{4} - 3 \cdot {1,001}^{2} + 6}{0,001}$ ≈ -18.02101

x = 1.0001: $\frac{- 3 \cdot {1,0001}^{4} - 3 \cdot {1,0001}^{2} + 6}{0,0001}$ ≈ -18.0021

x = 1.00001: $\frac{- 3 \cdot 1^{4} - 3 \cdot 1^{2} + 6}{0.00001}$ ≈ -18.00021

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{- 3 x^{4} - 3 x^{2} + 6}{x - 1}$ ≈ -18

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 - (- 3 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 + 3 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 3 (x + u)$ = $- 3 \cdot (u + u)$ = $- 6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 6 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 4 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 4 x - (3 u^{2} + 4 u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 4 x - 3 u^{2} - 4 u}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2} + 4 x - 4 u}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2}) + 4 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{4 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u) + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 \cdot (x + u) + 4$ = $3 \cdot (u + u) + 4$ = $6 u + 4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u + 4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x + 4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)