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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-1)}{0 -(-1)}$

= $\frac{-2 -(-5)}{0 -(-1)}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^{2} - 5$ = $0 - 5$ = -5 und
f(3) = $3^{2} - 5$ = $9 - 5$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{4 -(-5)}{3 -0}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 20 Minuten seiner Fahrt 35 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 20 min eben $\frac{20}{60}$ h = $\frac{1}{3}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{3}) - f(0)}{\frac{1}{3}-0}$ = 35

f( $\frac{1}{3}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{3}) -0}{\frac{1}{3}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{3}$

f( $\frac{1}{3}$ ) -0 = $\frac{35}{3}$ |+0

f( $\frac{1}{3}$ ) ≈ 11.667

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 4$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- x^{2} - 4 - (- 1^{2} - 4)}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} - 4 + 1^{2} + 4}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- (x + 1)$ = $- (1 + 1)$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} - 4 - (- 1^{2} - 4)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} - 4 + 1^{2} + 4}{h}$

= $\frac{- {(h + 1)}^{2} + 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 2 h + 1) + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h - 1 + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h}{h}$

= $\frac{- h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 2)$ = $- (0 + 2)$ = -2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 2 x$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- 3 x^{4} + 2 x - (- 3 \cdot {(- 1)}^{4} + 2 \cdot (- 1))}{x + 1}$ = $\frac{- 3 x^{4} + 2 x + 3 + 2}{x + 1}$ = $\frac{- 3 x^{4} + 2 x + 5}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{- 3 \cdot {(- 0,9)}^{4} + 2 \cdot (- 0,9) + 5}{0,1}$ ≈ 12.317

x = -0.99: $\frac{- 3 \cdot {(- 0,99)}^{4} + 2 \cdot (- 0,99) + 5}{0,01}$ ≈ 13.8212

x = -0.999: $\frac{- 3 \cdot {(- 0,999)}^{4} + 2 \cdot (- 0,999) + 5}{0,001}$ ≈ 13.98201

x = -0.9999: $\frac{- 3 \cdot {(- 0,9999)}^{4} + 2 \cdot (- 0,9999) + 5}{0,0001}$ ≈ 13.9982

x = -0.99999: $\frac{- 3 \cdot {(- 1)}^{4} + 2 \cdot (- 1) + 5}{0.00001}$ ≈ 13.99982

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{- 3 x^{4} + 2 x + 5}{x + 1}$ ≈ 14

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 4 - (5 u^{2} + 4)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 4 - 5 u^{2} - 4}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 3 x - (5 u^{2} - 3 u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5 u^{2} + 3 u}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2} - 3 x + 3 u}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2}) - 3 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{- 3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{- 3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u) - 3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 \cdot (x + u) - 3$ = $5 \cdot (u + u) - 3$ = $10 u - 3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u - 3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x - 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)