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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{1 -(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 3 x - 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = ${(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - 1$ = $4 - 6 - 1$ = -3 und
f(1) = $1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$ = $1 + 3 - 1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-2)}{1 -(-2)}$

= $\frac{3 -(-3)}{1 -(-2)}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=2 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(2) = -2. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(2)}{2,5-2}$ = 5

f( $2,5$ ) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -(-2)}{0,5}$ = 5 |⋅ $0,5$

f( $2,5$ ) +2 = $2,5$ |-2

f( $2,5$ ) = 0.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 4$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- x^{2} - 4 - (- 1^{2} - 4)}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} - 4 + 1^{2} + 4}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- (x + 1)$ = $- (1 + 1)$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} - 4 - (- 1^{2} - 4)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} - 4 + 1^{2} + 4}{h}$

= $\frac{- {(h + 1)}^{2} + 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 2 h + 1) + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h - 1 + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h}{h}$

= $\frac{- h (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 2)$ = $- (0 + 2)$ = -2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{1}}{x - 1}$ = $\frac{2 \sqrt{x} - 2}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{2 \sqrt{1,1} - 2}{0,1}$ ≈ 0.97618

x = 1.01: $\frac{2 \sqrt{1,01} - 2}{0,01}$ ≈ 0.99751

x = 1.001: $\frac{2 \sqrt{1,001} - 2}{0,001}$ ≈ 0.99975

x = 1.0001: $\frac{2 \sqrt{1,0001} - 2}{0,0001}$ ≈ 0.99998

x = 1.00001: $\frac{2 \sqrt{1} - 2}{0.00001}$ ≈ 1

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{2 \sqrt{x} - 2}{x - 1}$ ≈ 1

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 5 - (u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 5 - u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} + 1 - (4 u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} + 1 - 4 u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $4 (x + u)$ = $4 \cdot (u + u)$ = $8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)