Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{4 -(-5)}{3 -0}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 4$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5 und
f(2) = $2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = $4 + 4 - 4$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{4 -(-5)}{2 -(-1)}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=2 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(2) = 4. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(2)}{2,5-2}$ = 3

f( $2,5$ ) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -4}{0,5}$ = 3 |⋅ $0,5$

f( $2,5$ ) -4 = $1,5$ |+4

f( $2,5$ ) = 5.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 2$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 2 - (- 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 2)}{x + 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 2 + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2}{x + 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 3 (x - 2)$ = $- 3 (- 2 - 2)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 2 + h)}^{2} + 2 - (- 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 2)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 2 + h)}^{2} + 2 + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2}{h}$

= $\frac{- 3 {(h - 2)}^{2} + 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} - 4 h + 4) + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 12 h - 12 + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 12 h}{h}$

= $\frac{3 h \cdot (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (- h + 4)$ = $3 (- 0 + 4)$ = 12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- \frac{1}{x} + \frac{1}{(- 1)}}{x + 1}$ = $\frac{- \frac{1}{x} - 1}{x + 1}$ = $\frac{- 1 - \frac{1}{x}}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{- 1 - \frac{1}{(- 0,9)}}{0,1}$ ≈ 1.11111

x = -0.99: $\frac{- 1 - \frac{1}{(- 0,99)}}{0,01}$ ≈ 1.0101

x = -0.999: $\frac{- 1 - \frac{1}{(- 0,999)}}{0,001}$ ≈ 1.001

x = -0.9999: $\frac{- 1 - \frac{1}{(- 0,9999)}}{0,0001}$ ≈ 1.0001

x = -0.99999: $\frac{- 1 - \frac{1}{(- 1)}}{0.00001}$ ≈ 1.00001

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{- 1 - \frac{1}{x}}{x + 1}$ ≈ 1

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 - (- 5 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 + 5 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 1 - (5 u^{2} - 1)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 1 - 5 u^{2} + 1}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)