Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(2)}{4 -2}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -2}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x + 3} - 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = -2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $2 \sqrt{- 3 + 3} - 3$ = $2 \sqrt{0} - 3$ = -3 und
f(-2) = $2 \sqrt{- 2 + 3} - 3$ = $2 \sqrt{1} - 3$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-2) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -2 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-2) - f(-3)}{-2 -(-3)}$

= $\frac{-1 -(-3)}{-2 -(-3)}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=-1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(-2) = -3. Bestimme f(-1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(- 1,5) - f(-2)}{- 1,5-(-2)}$ = 3

f( $- 1,5$ ) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(- 1,5) -(-3)}{0,5}$ = 3 |⋅ $0,5$

f( $- 1,5$ ) +3 = $1,5$ |-3

f( $- 1,5$ ) = -1.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 2$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{3 x^{2} + 2 - (3 \cdot 1^{2} + 2)}{x - 1}$

= $\frac{3 x^{2} + 2 - 3 \cdot 1^{2} - 2}{x - 1}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 \cdot 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $3 (x + 1)$ = $3 (1 + 1)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{3 {(1 + h)}^{2} + 2 - (3 \cdot 1^{2} + 2)}{h}$

= $\frac{3 {(1 + h)}^{2} + 2 - 3 \cdot 1^{2} - 2}{h}$

= $\frac{3 {(h + 1)}^{2} - 3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3 (h^{2} + 2 h + 1) - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 6 h + 3 - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 6 h}{h}$

= $\frac{3 h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (h + 2)$ = $3 (0 + 2)$ = 6

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 2 x^{2}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{- x^{3} - 2 x^{2} - (- 1^{3} - 2 \cdot 1^{2})}{x - 1}$ = $\frac{- x^{3} - 2 x^{2} + 1 + 2}{x - 1}$ = $\frac{- x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{- {1,1}^{3} - 2 \cdot {1,1}^{2} + 3}{0,1}$ ≈ -7.51

x = 1.01: $\frac{- {1,01}^{3} - 2 \cdot {1,01}^{2} + 3}{0,01}$ ≈ -7.0501

x = 1.001: $\frac{- {1,001}^{3} - 2 \cdot {1,001}^{2} + 3}{0,001}$ ≈ -7.005

x = 1.0001: $\frac{- {1,0001}^{3} - 2 \cdot {1,0001}^{2} + 3}{0,0001}$ ≈ -7.0005

x = 1.00001: $\frac{- 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} + 3}{0.00001}$ ≈ -7.00005

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{- x^{3} - 2 x^{2} + 3}{x - 1}$ ≈ -7

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 5 - (u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 5 - u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 1 - (- u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 1 + u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- (x + u)$ = $- 1 \cdot (u + u)$ = $- 2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 2 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)