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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(1)}{3 -1}$

= $\frac{-1 -1}{3 -1}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - x + 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $- {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$ = $- 1 + 1 + 3$ = 3 und
f(2) = $- 2^{2} - 2 + 3$ = $- 4 - 2 + 3$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{-3 -3}{2 -(-1)}$

= $\frac{-6}{3}$

= $- 2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(0) = 3. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(0)}{1,5-0}$ = 5

f( $1,5$ ) = 3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -3}{1,5}$ = 5 |⋅ $1,5$

f( $1,5$ ) -3 = $7,5$ |+3

f( $1,5$ ) = 10.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 1$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 1 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 1)}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 1 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 1}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 2 (x - 2)$ = $- 2 (- 2 - 2)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} + 1 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 1)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} + 1 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 1}{h}$

= $\frac{- 2 {(h - 2)}^{2} + 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 2 (h^{2} - 4 h + 4) + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h - 8 + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h}{h}$

= $\frac{2 h \cdot (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (- h + 4)$ = $2 (- 0 + 4)$ = 8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{1^{2}}}{x - 1}$ = $\frac{- \frac{2}{x^{2}} + 2}{x - 1}$ = $\frac{2 - \frac{2}{x^{2}}}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{2 - \frac{2}{{1,1}^{2}}}{0,1}$ ≈ 3.47107

x = 1.01: $\frac{2 - \frac{2}{{1,01}^{2}}}{0,01}$ ≈ 3.94079

x = 1.001: $\frac{2 - \frac{2}{{1,001}^{2}}}{0,001}$ ≈ 3.99401

x = 1.0001: $\frac{2 - \frac{2}{{1,0001}^{2}}}{0,0001}$ ≈ 3.9994

x = 1.00001: $\frac{2 - \frac{2}{1^{2}}}{0.00001}$ ≈ 3.99994

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{2 - \frac{2}{x^{2}}}{x - 1}$ ≈ 4

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} + 3 - (4 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} + 3 - 4 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $4 (x + u)$ = $4 \cdot (u + u)$ = $8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 1 - (5 u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 1 - 5 u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)