Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(0)}{1 -0}$

= $\frac{1 -(-1)}{1 -0}$

= $\frac{2}{1}$

= $2$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - x^{2} + 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $- {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 1$ = $- (- 1) - 1 + 1$ = 1 und
f(1) = $- 1^{3} - 1^{2} + 1$ = $- 1 - 1 + 1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{-1 -1}{1 -(-1)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(1) = 3. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(1)}{1,5-1}$ = 5

f( $1,5$ ) = 3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -3}{0,5}$ = 5 |⋅ $0,5$

f( $1,5$ ) -3 = $2,5$ |+3

f( $1,5$ ) = 5.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 1$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{- x^{2} - 1 - (- 2^{2} - 1)}{x - 2}$

= $\frac{- x^{2} - 1 + 2^{2} + 1}{x - 2}$

= $\frac{- x^{2} + 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{- (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $- (x + 2)$ = $- (2 + 2)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{- {(2 + h)}^{2} - 1 - (- 2^{2} - 1)}{h}$

= $\frac{- {(2 + h)}^{2} - 1 + 2^{2} + 1}{h}$

= $\frac{- {(h + 2)}^{2} + 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 4 h + 4) + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 4 h - 4 + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 4 h}{h}$

= $\frac{- h (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 4)$ = $- (0 + 4)$ = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x$ . Bestimme f'(2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\frac{x^{3} + x - (2^{3} + 2)}{x - 2}$ = $\frac{x^{3} + x - 8 - 2}{x - 2}$ = $\frac{x^{3} + x - 10}{x - 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{{2,1}^{3} + 2,1 - 10}{0,1}$ ≈ 13.61

x = 2.01: $\frac{{2,01}^{3} + 2,01 - 10}{0,01}$ ≈ 13.0601

x = 2.001: $\frac{{2,001}^{3} + 2,001 - 10}{0,001}$ ≈ 13.006

x = 2.0001: $\frac{{2,0001}^{3} + 2,0001 - 10}{0,0001}$ ≈ 13.0006

x = 2.00001: $\frac{2^{3} + 2,00001 - 10}{0.00001}$ ≈ 13.00006

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $\frac{x^{3} + x - 10}{x - 2}$ ≈ 13

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 1 - (- 5 u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 1 + 5 u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 3 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 3 x - (5 u^{2} + 3 u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 3 x - 5 u^{2} - 3 u}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2} + 3 x - 3 u}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2}) + 3 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u) + 3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 \cdot (x + u) + 3$ = $5 \cdot (u + u) + 3$ = $10 u + 3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u + 3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x + 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)