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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -4 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-4)}{0 -(-4)}$

= $\frac{2 -0}{0 -(-4)}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 2 x + 2$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;0].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3) + 2$ = $- 9 + 6 + 2$ = -1 und
f(0) = $- 0^{2} - 2 \cdot 0 + 2$ = $- 0 + 0 + 2$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-3)}{0 -(-3)}$

= $\frac{2 -(-1)}{0 -(-3)}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 15 Minuten seiner Fahrt 15 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{15}{60}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{4}) - f(0)}{\frac{1}{4}-0}$ = 15

f( $\frac{1}{4}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{4}) -0}{\frac{1}{4}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{4}$

f( $\frac{1}{4}$ ) -0 = $\frac{15}{4}$ |+0

f( $\frac{1}{4}$ ) = 3.75

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 5$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 5 - (- 3 \cdot 2^{2} - 5)}{x - 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 5 + 3 \cdot 2^{2} + 5}{x - 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $- 3 (x + 2)$ = $- 3 (2 + 2)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{- 3 {(2 + h)}^{2} - 5 - (- 3 \cdot 2^{2} - 5)}{h}$

= $\frac{- 3 {(2 + h)}^{2} - 5 + 3 \cdot 2^{2} + 5}{h}$

= $\frac{- 3 {(h + 2)}^{2} + 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} + 4 h + 4) + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 12 h - 12 + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 12 h}{h}$

= $\frac{- 3 h \cdot (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- 3 (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- 3 (h + 4)$ = $- 3 (0 + 4)$ = -12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 2 x$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 2 x - (- 2 \cdot {(- 1)}^{4} - 2 \cdot (- 1))}{x + 1}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 2 x + 2 - 2}{x + 1}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 2 x}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,9)}^{4} - 2 \cdot (- 0,9)}{0,1}$ ≈ 4.878

x = -0.99: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,99)}^{4} - 2 \cdot (- 0,99)}{0,01}$ ≈ 5.8808

x = -0.999: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,999)}^{4} - 2 \cdot (- 0,999)}{0,001}$ ≈ 5.98801

x = -0.9999: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,9999)}^{4} - 2 \cdot (- 0,9999)}{0,0001}$ ≈ 5.9988

x = -0.99999: $\frac{- 2 \cdot {(- 1)}^{4} - 2 \cdot (- 1)}{0.00001}$ ≈ 5.99988

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{- 2 x^{4} - 2 x}{x + 1}$ ≈ 6

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 5 - (5 u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 5 - 5 u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 - (- 5 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 + 5 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)