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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-1)}{0 -(-1)}$

= $\frac{0 -(-3)}{0 -(-1)}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x - 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^{2} - 3 \cdot 1 - 1$ = $1 - 3 - 1$ = -3 und
f(4) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 1$ = $16 - 12 - 1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(1)}{4 -1}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -1}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(1) = 5. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(1)}{1,5-1}$ = 5

f( $1,5$ ) = 5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -5}{0,5}$ = 5 |⋅ $0,5$

f( $1,5$ ) -5 = $2,5$ |+5

f( $1,5$ ) = 7.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{x^{2} - 1 - (1^{2} - 1)}{x - 1}$

= $\frac{x^{2} - 1 - 1^{2} + 1}{x - 1}$

= $\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $x + 1$ = $1 + 1$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{{(1 + h)}^{2} - 1 - (1^{2} - 1)}{h}$

= $\frac{{(1 + h)}^{2} - 1 - 1^{2} + 1}{h}$

= $\frac{{(h + 1)}^{2} - 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^{2} + 2 h + 1 - 1}{h}$

= $\frac{h^{2} + 2 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h + 2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $h + 2$ = $0 + 2$ = 2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(4) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 4 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{4}}{x - 4}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 6}{x - 4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{3 \sqrt{4,1} - 6}{0,1}$ ≈ 0.74537

x = 4.01: $\frac{3 \sqrt{4,01} - 6}{0,01}$ ≈ 0.74953

x = 4.001: $\frac{3 \sqrt{4,001} - 6}{0,001}$ ≈ 0.74995

x = 4.0001: $\frac{3 \sqrt{4,0001} - 6}{0,0001}$ ≈ 0.75

x = 4.00001: $\frac{3 \sqrt{4} - 6}{0.00001}$ ≈ 0.75

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\lim_{x → 4}$ $\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\lim_{x → 4}$ $\frac{3 \sqrt{x} - 6}{x - 4}$ ≈ 0.75

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} - 2 - (- 4 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} - 2 + 4 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 4 (x + u)$ = $- 4 \cdot (u + u)$ = $- 8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 8 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{\frac{1}{x} + 2 - (\frac{1}{u} + 2)}{x - u}$

= $\frac{\frac{1}{x} + 2 - \frac{1}{u} - 2}{x - u}$

= $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{u}{x \cdot u} + \frac{- x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{u - x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{- x + u}{u \cdot x}}{\frac{x - u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -1 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{- (x - u)}{x \cdot u} \cdot \frac{1}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ diagonal rauskürzen:

= $- \frac{1}{x u}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- \frac{1}{x u}$ = $\frac{- 1}{u \cdot u}$ = $- \frac{1}{u^{2}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- \frac{1}{u^{2}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- \frac{1}{x^{2}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)