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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;2].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(1)}{2 -1}$

= $\frac{3 -(-4)}{2 -1}$

= $\frac{7}{1}$

= $7$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 4$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 4$ = $1 - 2 - 4$ = -5 und
f(2) = $2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = $4 + 4 - 4$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{4 -(-5)}{2 -(-1)}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(-2) = 4. Bestimme f(0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(0,5) - f(-2)}{0,5-(-2)}$ = 3

f( $0,5$ ) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(0,5) -4}{2,5}$ = 3 |⋅ $2,5$

f( $0,5$ ) -4 = $7,5$ |+4

f( $0,5$ ) = 11.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - (3 \cdot 2^{2} + 3)}{x - 2}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2^{2} - 3}{x - 2}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 \cdot 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{3 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $3 (x + 2)$ = $3 (2 + 2)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{3 {(2 + h)}^{2} + 3 - (3 \cdot 2^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{3 {(2 + h)}^{2} + 3 - 3 \cdot 2^{2} - 3}{h}$

= $\frac{3 {(h + 2)}^{2} - 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3 (h^{2} + 4 h + 4) - 12}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 12 h + 12 - 12}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 12 h}{h}$

= $\frac{3 h (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (h + 4)$ = $3 (0 + 4)$ = 12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x}$ . Bestimme f'(4) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 4 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{4}}{x - 4}$ = $\frac{- \sqrt{x} + 2}{x - 4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{- \sqrt{4,1} + 2}{0,1}$ ≈ -0.24846

x = 4.01: $\frac{- \sqrt{4,01} + 2}{0,01}$ ≈ -0.24984

x = 4.001: $\frac{- \sqrt{4,001} + 2}{0,001}$ ≈ -0.24998

x = 4.0001: $\frac{- \sqrt{4,0001} + 2}{0,0001}$ ≈ -0.25

x = 4.00001: $\frac{- \sqrt{4} + 2}{0.00001}$ ≈ -0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\lim_{x → 4}$ $\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\lim_{x → 4}$ $\frac{- \sqrt{x} + 2}{x - 4}$ ≈ -0.25

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 2 - (u^{2} + 2)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 2 - u^{2} - 2}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{\frac{4}{x} + 2 - (\frac{4}{u} + 2)}{x - u}$

= $\frac{\frac{4}{x} + 2 - \frac{4}{u} - 2}{x - u}$

= $\frac{\frac{4}{x} - \frac{4}{u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{4 u}{x \cdot u} + \frac{- 4 x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{4 u - 4 x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{- 4 x + 4 u}{u \cdot x}}{\frac{x - u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -4 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{- 4 (x - u)}{x \cdot u} \cdot \frac{1}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ diagonal rauskürzen:

= $- \frac{4}{x u}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- \frac{4}{x u}$ = $\frac{- 4}{u \cdot u}$ = $- \frac{4}{u^{2}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- \frac{4}{u^{2}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- \frac{4}{x^{2}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)