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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

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Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-1].

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Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -3 und x2 = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

f(-1) - f(-3) -1 - ( - 3 )

= 1 - ( - 1 ) -1 - ( - 3 )

= 2 2

= 1

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 2 +2x +4 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = 1 und x2 = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = - 1 2 +21 +4 = -1 +2 +4 = 5 und
f(4) = - 4 2 +24 +4 = -16 +8 +4 = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

f(4) - f(1) 4 - 1

= -4 - 5 4 - 1

= -9 3

= -3

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 15 Minuten seiner Fahrt 15 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

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60 min sind 1 h, also sind 15 min eben 15 60 h = 1 4 h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f( 1 4 ) - f(0) 1 4 - 0 = 15

f( 1 4 ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f( 1 4 ) - 0 1 4 = 15 |⋅ 1 4

f( 1 4 ) -0 = 15 4 |+0

f( 1 4 ) = 3.75

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +4 . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(1) x - 1

= x 2 +4 - ( 1 2 +4 ) x -1

= x 2 +4 - 1 2 -4 x -1

= x 2 - 1 2 x -1

= x 2 - 1 2 x -1

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= ( x +1 ) · ( x -1 ) x -1

Jetzt lässt sich der Nenner x -1 rauskürzen:

= 1 · ( x +1 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = lim x → 1 f(x) - f(1) x - 1 = lim x → 1 x +1 = 1 +1 = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

f(1+h) - f(1) h

= ( 1 + h ) 2 +4 - ( 1 2 +4 ) h

= ( 1 + h ) 2 +4 - 1 2 -4 h

= ( h +1 ) 2 -1 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= h 2 +2h +1 -1 h

= h 2 +2h h

= h ( h +2 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= h +2

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = lim h → 0 f(1+h) - f(1) h = lim h → 0 h +2 = 0 +2 = 2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 3 +4x . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(-2) x - ( - 2 ) = -2 x 3 +4x - ( -2 ( -2 ) 3 +4( -2 ) ) x +2 = -2 x 3 +4x -16 +8 x +2 = -2 x 3 +4x -8 x +2

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: -2 ( -1,9 ) 3 +4( -1,9 ) -8 0,1 ≈ -18.82

x = -1.99: -2 ( -1,99 ) 3 +4( -1,99 ) -8 0,01 ≈ -19.8802

x = -1.999: -2 ( -1,999 ) 3 +4( -1,999 ) -8 0,001 ≈ -19.988

x = -1.9999: -2 ( -1,9999 ) 3 +4( -1,9999 ) -8 0,0001 ≈ -19.9988

x = -1.99999: -2 ( -2 ) 3 +4( -2 ) -8 0.00001 ≈ -19.99988

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = lim x → -2 f(x) - f(-2) x - ( - 2 ) = lim x → -2 -2 x 3 +4x -8 x +2 -20

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 2 +5 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= - x 2 +5 - ( - u 2 +5 ) x - u

= - x 2 +5 + u 2 -5 x - u

= - x 2 + u 2 x - u

= -( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= - ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -1 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -( x + u) = -1 · ( u + u ) = -2u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -2u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -2x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -5 x 2 +2 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -5 x 2 +2 - ( -5 u 2 +2 ) x - u

= -5 x 2 +2 +5 u 2 -2 x - u

= -5 x 2 +5 u 2 x - u

= -5( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -5 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -5 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -5( x + u) = -5 · ( u + u ) = -10u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -10u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -10x .