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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(1)}{3 -1}$

= $\frac{4 -(-4)}{3 -1}$

= $\frac{8}{2}$

= $4$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x + 2} - 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $3 \sqrt{- 1 + 2} - 3$ = $3 \sqrt{1} - 3$ = 0 und
f(2) = $3 \sqrt{2 + 2} - 3$ = $3 \sqrt{4} - 3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{3 -0}{2 -(-1)}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 20 Minuten seiner Fahrt 15 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 20 min eben $\frac{20}{60}$ h = $\frac{1}{3}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{3}) - f(0)}{\frac{1}{3}-0}$ = 15

f( $\frac{1}{3}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{3}) -0}{\frac{1}{3}}$ = 15 |⋅ $\frac{1}{3}$

f( $\frac{1}{3}$ ) -0 = $5$ |+0

f( $\frac{1}{3}$ ) = 5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 2$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{3 x^{2} + 2 - (3 \cdot 1^{2} + 2)}{x - 1}$

= $\frac{3 x^{2} + 2 - 3 \cdot 1^{2} - 2}{x - 1}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 \cdot 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $3 (x + 1)$ = $3 (1 + 1)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{3 {(1 + h)}^{2} + 2 - (3 \cdot 1^{2} + 2)}{h}$

= $\frac{3 {(1 + h)}^{2} + 2 - 3 \cdot 1^{2} - 2}{h}$

= $\frac{3 {(h + 1)}^{2} - 3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3 (h^{2} + 2 h + 1) - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 6 h + 3 - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 6 h}{h}$

= $\frac{3 h (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (h + 2)$ = $3 (0 + 2)$ = 6

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{4} - 4 x$ . Bestimme f'(2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\frac{3 x^{4} - 4 x - (3 \cdot 2^{4} - 4 \cdot 2)}{x - 2}$ = $\frac{3 x^{4} - 4 x - 48 + 8}{x - 2}$ = $\frac{3 x^{4} - 4 x - 40}{x - 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{3 \cdot {2,1}^{4} - 4 \cdot 2,1 - 40}{0,1}$ ≈ 99.443

x = 2.01: $\frac{3 \cdot {2,01}^{4} - 4 \cdot 2,01 - 40}{0,01}$ ≈ 92.7224

x = 2.001: $\frac{3 \cdot {2,001}^{4} - 4 \cdot 2,001 - 40}{0,001}$ ≈ 92.07202

x = 2.0001: $\frac{3 \cdot {2,0001}^{4} - 4 \cdot 2,0001 - 40}{0,0001}$ ≈ 92.0072

x = 2.00001: $\frac{3 \cdot 2^{4} - 4 \cdot 2 - 40}{0.00001}$ ≈ 92.00072

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $\frac{3 x^{4} - 4 x - 40}{x - 2}$ ≈ 92

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 4 - (3 u^{2} - 4)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 4 - 3 u^{2} + 4}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 (x + u)$ = $3 \cdot (u + u)$ = $6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 1 - (3 u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 1 - 3 u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 (x + u)$ = $3 \cdot (u + u)$ = $6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)