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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-3)}{0 -(-3)}$

= $\frac{-2 -1}{0 -(-3)}$

= $\frac{-3}{3}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $- 1^{2} + 5$ = $- 1 + 5$ = 4 und
f(3) = $- 3^{2} + 5$ = $- 9 + 5$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(1)}{3 -1}$

= $\frac{-4 -4}{3 -1}$

= $\frac{-8}{2}$

= $- 4$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 4.Es gilt: f(1) = -1. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(1)}{2,5-1}$ = 4

f( $2,5$ ) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -(-1)}{1,5}$ = 4 |⋅ $1,5$

f( $2,5$ ) +1 = $6$ |-1

f( $2,5$ ) = 5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- x^{2} + 4 - (- {(- 2)}^{2} + 4)}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} + 4 + {(- 2)}^{2} - 4}{x + 2}$

= $\frac{- x^{2} + {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- (x - 2)$ = $- (- 2 - 2)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} + 4 - (- {(- 2)}^{2} + 4)}{h}$

= $\frac{- {(- 2 + h)}^{2} + 4 + {(- 2)}^{2} - 4}{h}$

= $\frac{- {(h - 2)}^{2} + 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} - 4 h + 4) + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h - 4 + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- h + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- h + 4$ = $- 0 + 4$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{{(- 1)}^{2}}}{x + 1}$ = $\frac{- \frac{4}{x^{2}} + 4}{x + 1}$ = $\frac{4 - \frac{4}{x^{2}}}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{4 - \frac{4}{{(- 0,9)}^{2}}}{0,1}$ ≈ -9.38272

x = -0.99: $\frac{4 - \frac{4}{{(- 0,99)}^{2}}}{0,01}$ ≈ -8.12162

x = -0.999: $\frac{4 - \frac{4}{{(- 0,999)}^{2}}}{0,001}$ ≈ -8.01202

x = -0.9999: $\frac{4 - \frac{4}{{(- 0,9999)}^{2}}}{0,0001}$ ≈ -8.0012

x = -0.99999: $\frac{4 - \frac{4}{{(- 1)}^{2}}}{0.00001}$ ≈ -8.00012

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{4 - \frac{4}{x^{2}}}{x + 1}$ ≈ -8

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 4 - (- u^{2} + 4)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 4 + u^{2} - 4}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- (x + u)$ = $- 1 \cdot (u + u)$ = $- 2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt{x} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 \sqrt{x} + 5 - (- 5 \sqrt{u} + 5)}{x - u}$

= $\frac{- 5 \sqrt{x} + 5 + 5 \sqrt{u} - 5}{x - u}$

= $\frac{- 5 \sqrt{x} + 5 \sqrt{u}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{x - u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${(\sqrt{x})}^{2}$ statt x und ${(\sqrt{u})}^{2}$ statt u:

= $\frac{- 5 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{u})}^{2}}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{(\sqrt{x} - \sqrt{u}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{u})}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x} - \sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{- 5}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $\frac{- 5}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$ = $\frac{- 5}{\sqrt{u} + \sqrt{u}}$ = $- \frac{5}{2 \sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- \frac{5}{2 \sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- \frac{5}{2 \sqrt{x}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)