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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

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Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -1 und x2 = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

f(1) - f(-1) 1 - ( - 1 )

= -1 - 1 1 - ( - 1 )

= -2 2

= -1

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x 2 + x +1 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = -1 und x2 = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = - ( -1 ) 2 -1 +1 = -1 -1 +1 = -1 und
f(1) = - 1 2 +1 +1 = -1 +1 +1 = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

f(1) - f(-1) 1 - ( - 1 )

= 1 - ( - 1 ) 1 - ( - 1 )

= 2 2

= 1

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 15 Minuten seiner Fahrt 35 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

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60 min sind 1 h, also sind 15 min eben 15 60 h = 1 4 h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f( 1 4 ) - f(0) 1 4 - 0 = 35

f( 1 4 ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f( 1 4 ) - 0 1 4 = 35 |⋅ 1 4

f( 1 4 ) -0 = 35 4 |+0

f( 1 4 ) = 8.75

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 2 -4 . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(2) x - 2

= -2 x 2 -4 - ( -2 2 2 -4 ) x -2

= -2 x 2 -4 +2 2 2 +4 x -2

= -2 x 2 +2 2 2 x -2

= -2( x 2 - 2 2 ) x -2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -2 ( x +2 ) · ( x -2 ) x -2

Jetzt lässt sich der Nenner x -2 rauskürzen:

= -2 · ( x +2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = lim x → 2 f(x) - f(2) x - 2 = lim x → 2 -2( x +2 ) = -2( 2 +2 ) = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

f(2+h) - f(2) h

= -2 ( 2 + h ) 2 -4 - ( -2 2 2 -4 ) h

= -2 ( 2 + h ) 2 -4 +2 2 2 +4 h

= -2 ( h +2 ) 2 +8 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= -2( h 2 +4h +4 ) +8 h

= -2 h 2 -8h -8 +8 h

= -2 h 2 -8h h

= -2 h ( h +4 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= -2( h +4 )

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = lim h → 0 f(2+h) - f(2) h = lim h → 0 -2( h +4 ) = -2(0 +4 ) = -8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 x 3 +5 x 2 . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(-2) x - ( - 2 ) = -3 x 3 +5 x 2 - ( -3 ( -2 ) 3 +5 ( -2 ) 2 ) x +2 = -3 x 3 +5 x 2 -24 -20 x +2 = -3 x 3 +5 x 2 -44 x +2

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: -3 ( -1,9 ) 3 +5 ( -1,9 ) 2 -44 0,1 ≈ -53.73

x = -1.99: -3 ( -1,99 ) 3 +5 ( -1,99 ) 2 -44 0,01 ≈ -55.7703

x = -1.999: -3 ( -1,999 ) 3 +5 ( -1,999 ) 2 -44 0,001 ≈ -55.977

x = -1.9999: -3 ( -1,9999 ) 3 +5 ( -1,9999 ) 2 -44 0,0001 ≈ -55.9977

x = -1.99999: -3 ( -2 ) 3 +5 ( -2 ) 2 -44 0.00001 ≈ -55.99977

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = lim x → -2 f(x) - f(-2) x - ( - 2 ) = lim x → -2 -3 x 3 +5 x 2 -44 x +2 -56

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 2 +2 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -2 x 2 +2 - ( -2 u 2 +2 ) x - u

= -2 x 2 +2 +2 u 2 -2 x - u

= -2 x 2 +2 u 2 x - u

= -2( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -2 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -2 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -2( x + u) = -2 · ( u + u ) = -4u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -4u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -4x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 2 -4x . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -2 x 2 -4x - ( -2 u 2 -4u) x - u

= -2 x 2 -4x +2 u 2 +4u x - u

= -2 x 2 +2 u 2 -4x +4u x - u

= -2( x 2 - u 2 )-4( x - u ) x - u

= -2( x 2 - u 2 ) x - u + -4( x - u ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -2 ( x - u ) · ( x + u ) x - u + -4( x - u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -2 · ( x + u ) -4

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -2 · ( x + u ) -4 = -2 · ( u + u ) -4 = -4u -4

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -4u -4 beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -4x -4 .