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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-2)}{0 -(-2)}$

= $\frac{-1 -1}{0 -(-2)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^{2} - 2 \cdot 0 - 2$ = $0 + 0 - 2$ = -2 und
f(3) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 2$ = $9 - 6 - 2$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{1 -(-2)}{3 -0}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(-2) = -4. Bestimme f(0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(0,5) - f(-2)}{0,5-(-2)}$ = 5

f( $0,5$ ) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(0,5) -(-4)}{2,5}$ = 5 |⋅ $2,5$

f( $0,5$ ) +4 = $12,5$ |-4

f( $0,5$ ) = 8.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 5$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 5 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5)}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 5 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 2 (x - 2)$ = $- 2 (- 2 - 2)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} - 5 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} - 5 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5}{h}$

= $\frac{- 2 {(h - 2)}^{2} + 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 2 (h^{2} - 4 h + 4) + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h - 8 + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h}{h}$

= $\frac{2 h (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (- h + 4)$ = $2 (- 0 + 4)$ = 8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 3 x^{2}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 3 x^{2} - (- 2 \cdot {(- 1)}^{4} - 3 \cdot {(- 1)}^{2})}{x + 1}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 3 x^{2} + 2 + 3}{x + 1}$ = $\frac{- 2 x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,9)}^{4} - 3 \cdot {(- 0,9)}^{2} + 5}{0,1}$ ≈ 12.578

x = -0.99: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,99)}^{4} - 3 \cdot {(- 0,99)}^{2} + 5}{0,01}$ ≈ 13.8508

x = -0.999: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,999)}^{4} - 3 \cdot {(- 0,999)}^{2} + 5}{0,001}$ ≈ 13.98501

x = -0.9999: $\frac{- 2 \cdot {(- 0,9999)}^{4} - 3 \cdot {(- 0,9999)}^{2} + 5}{0,0001}$ ≈ 13.9985

x = -0.99999: $\frac{- 2 \cdot {(- 1)}^{4} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 5}{0.00001}$ ≈ 13.99985

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{- 2 x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x + 1}$ ≈ 14

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 1 - (- 2 u^{2} - 1)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 1 + 2 u^{2} + 1}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 5 - (u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 5 - u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)