Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-3)}{1 -(-3)}$

= $\frac{2 -0}{1 -(-3)}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 3 x^{2} + 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $- {(- 3)}^{3} - 3 \cdot {(- 3)}^{2} + 1$ = $- (- 27) - 3 \cdot 9 + 1$ = 1 und
f(-1) = $- {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 1$ = $- (- 1) - 3 \cdot 1 + 1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-1) - f(-3)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{-1 -1}{-1 -(-3)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-1 und x₂=0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(-1) = 0. Bestimme f(0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(0,5) - f(-1)}{0,5-(-1)}$ = 3

f( $0,5$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(0,5) -0}{1,5}$ = 3 |⋅ $1,5$

f( $0,5$ ) -0 = $4,5$ |+0

f( $0,5$ ) = 4.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 3$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{x^{2} + 3 - ({(- 2)}^{2} + 3)}{x + 2}$

= $\frac{x^{2} + 3 - {(- 2)}^{2} - 3}{x + 2}$

= $\frac{x^{2} - {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $x - 2$ = $- 2 - 2$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{{(- 2 + h)}^{2} + 3 - ({(- 2)}^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{{(- 2 + h)}^{2} + 3 - {(- 2)}^{2} - 3}{h}$

= $\frac{{(h - 2)}^{2} - 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^{2} - 4 h + 4 - 4}{h}$

= $\frac{h^{2} - 4 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (h - 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h - 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $h - 4$ = $0 - 4$ = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{4} - 4 x^{2}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{2 x^{4} - 4 x^{2} - (2 \cdot {(- 1)}^{4} - 4 \cdot {(- 1)}^{2})}{x + 1}$ = $\frac{2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 + 4}{x + 1}$ = $\frac{2 x^{4} - 4 x^{2} + 2}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{2 \cdot {(- 0,9)}^{4} - 4 \cdot {(- 0,9)}^{2} + 2}{0,1}$ ≈ 0.722

x = -0.99: $\frac{2 \cdot {(- 0,99)}^{4} - 4 \cdot {(- 0,99)}^{2} + 2}{0,01}$ ≈ 0.0792

x = -0.999: $\frac{2 \cdot {(- 0,999)}^{4} - 4 \cdot {(- 0,999)}^{2} + 2}{0,001}$ ≈ 0.00799

x = -0.9999: $\frac{2 \cdot {(- 0,9999)}^{4} - 4 \cdot {(- 0,9999)}^{2} + 2}{0,0001}$ ≈ 0.0008

x = -0.99999: $\frac{2 \cdot {(- 1)}^{4} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 2}{0.00001}$ ≈ 8.0E-5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{2 x^{4} - 4 x^{2} + 2}{x + 1}$ ≈ 0

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 - (- 5 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 + 5 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 3 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 3 x - (- u^{2} + 3 u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 3 x + u^{2} - 3 u}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + u^{2} + 3 x - 3 u}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2}) + 3 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + u) + 3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 1 \cdot (x + u) + 3$ = $- 1 \cdot (u + u) + 3$ = $- 2 u + 3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 2 u + 3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 2 x + 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)