Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{2}$

= $-3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $-1^2+3\cdot 1+1$ = $-1+3+1$ = 3 und
f(4) = $-4^2+3\cdot 4+1$ = $-16+12+1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-3\; -\; <mn>3</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-6}}{3}$

= $-2$

60 min sind 1 h, also sind 30 min eben $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{2}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 25

f($\frac{1}{2}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 25 |⋅ $\frac{1}{2}$

f($\frac{1}{2}$) -0 = $\frac{25}{2}$ |+0

f($\frac{1}{2}$) = 12.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{-2x^2-1-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2-1\right)}{x+2}$

= $\frac{-2x^2-1+2\cdot {\left(-2\right)}^2+1}{x+2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot {\left(-2\right)}^2}{x+2}$

= $\frac{-2\left(x^2-{\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x-2\right)·\left(x+2\right)}{x+2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $-2\left(x-2\right)$ = $-2\left(-2-2\right)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2-1-\left(-2\cdot {\left(-2\right)}^2-1\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(-2+h\right)}^2-1+2\cdot {\left(-2\right)}^2+1}{h}$

= $\frac{-2{\left(h-2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2-4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2+8h}{h}$

= $\frac{2h·\left(-h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2\left(-h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-2+h)\; -\; f(-2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $2\left(-h+4\right)$ = $2\left(-0+4\right)$ = 8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-\frac{2}{x^3}+\frac{2}{{\left(-1\right)}^3}}{x+1}$ = $\frac{-\frac{2}{x^3}-2}{x+1}$ = $\frac{-2-\frac{2}{x^3}}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{-2-\frac{2}{{\left(-\mathrm{0,9}\right)}^3}}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 7.43484

x = -0.99: $\frac{-2-\frac{2}{{\left(-\mathrm{0,99}\right)}^3}}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 6.12203

x = -0.999: $\frac{-2-\frac{2}{{\left(-\mathrm{0,999}\right)}^3}}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 6.01202

x = -0.9999: $\frac{-2-\frac{2}{{\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^3}}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 6.0012

x = -0.99999: $\frac{-2-\frac{2}{{\left(-1\right)}^3}}{0.00001}$ ≈ 6.00012

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{-2-\frac{2}{x^3}}{x+1}$ ≈ 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2+2-\left(-5u^2+2\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+2+5u^2-2}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{5x^2+4x-\left(5u^2+4u\right)}{x-u}$

= $\frac{5x^2+4x-5u^2-4u}{x-u}$

= $\frac{5x^2-5u^2+4x-4u}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)+4\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{4\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $5·(x+u)+4$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $5·(x+u)+4$ = $5·(u+u)+4$ = $10u+4$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10u+4$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10x+4$.