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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;2].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(0)}{2 -0}$

= $\frac{-3 -3}{2 -0}$

= $\frac{-6}{2}$

= $- 3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - x + 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $- 0^{2} - 0 + 3$ = $- 0 + 0 + 3$ = 3 und
f(2) = $- 2^{2} - 2 + 3$ = $- 4 - 2 + 3$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(0)}{2 -0}$

= $\frac{-3 -3}{2 -0}$

= $\frac{-6}{2}$

= $- 3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=2 und x₂=4,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(2) = -2. Bestimme f(4,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(4,5) - f(2)}{4,5-2}$ = 3

f( $4,5$ ) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(4,5) -(-2)}{2,5}$ = 3 |⋅ $2,5$

f( $4,5$ ) +2 = $7,5$ |-2

f( $4,5$ ) = 5.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 1$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 1 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 1)}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 1 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 1}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 2 (x - 2)$ = $- 2 (- 2 - 2)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} + 1 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 1)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} + 1 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 1}{h}$

= $\frac{- 2 {(h - 2)}^{2} + 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 2 (h^{2} - 4 h + 4) + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h - 8 + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h}{h}$

= $\frac{2 h (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (- h + 4)$ = $2 (- 0 + 4)$ = 8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{4 \sqrt{x} - 4 \sqrt{1}}{x - 1}$ = $\frac{4 \sqrt{x} - 4}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{4 \sqrt{1,1} - 4}{0,1}$ ≈ 1.95235

x = 1.01: $\frac{4 \sqrt{1,01} - 4}{0,01}$ ≈ 1.99502

x = 1.001: $\frac{4 \sqrt{1,001} - 4}{0,001}$ ≈ 1.9995

x = 1.0001: $\frac{4 \sqrt{1,0001} - 4}{0,0001}$ ≈ 1.99995

x = 1.00001: $\frac{4 \sqrt{1} - 4}{0.00001}$ ≈ 2

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{4 \sqrt{x} - 4}{x - 1}$ ≈ 2

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 - (- 2 u^{2} + 2)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 + 2 u^{2} - 2}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 2 - (- 3 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 2 + 3 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 3 (x + u)$ = $- 3 \cdot (u + u)$ = $- 6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 6 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)