Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = 5 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 5 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(5)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{5\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{4}{8}$

= $\frac{1}{2}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $\sqrt{-1+1}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(3) = $\sqrt{3+1}$ = $\sqrt{4}$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 5

f($-\mathrm{0,5}$) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1,5</mn></mrow></math>}}$ = 5 |⋅ $\mathrm{1,5}$

f($-\mathrm{0,5}$) +3 = $\mathrm{7,5}$ |-3

f($-\mathrm{0,5}$) = 4.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2+5-\left({\left(-1\right)}^2+5\right)}{x+1}$

= $\frac{x^2+5-{\left(-1\right)}^2-5}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $x-1$ = $-1-1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+5-\left({\left(-1\right)}^2+5\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2+5-{\left(-1\right)}^2-5}{h}$

= $\frac{{\left(h-1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2-2h}{h}$

= $\frac{h·\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-2$ = $0-2$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-x^4+3x^2-\left(-{\left(-2\right)}^4+3\cdot {\left(-2\right)}^2\right)}{x+2}$ = $\frac{-x^4+3x^2+16-12}{x+2}$ = $\frac{-x^4+3x^2+4}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,9}\right)}^4+3\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^2+4}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 17.979

x = -1.99: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,99}\right)}^4+3\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^2+4}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 19.7908

x = -1.999: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,999}\right)}^4+3\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^2+4}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 19.97901

x = -1.9999: $\frac{-{\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^4+3\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^2+4}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 19.9979

x = -1.99999: $\frac{-{\left(-2\right)}^4+3\cdot {\left(-2\right)}^2+4}{0.00001}$ ≈ 19.99979

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-x^4+3x^2+4}{x+2}$ ≈ 20

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{3x^2+5-\left(3u^2+5\right)}{x-u}$

= $\frac{3x^2+5-3u^2-5}{x-u}$

= $\frac{3x^2-3u^2}{x-u}$

= $\frac{3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $3(x+u)$ = $3·(u+u)$ = $6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\sqrt{x}+5-\left(-\sqrt{u}+5\right)}{x-u}$

= $\frac{-\sqrt{x}+5+\sqrt{u}-5}{x-u}$

= $\frac{-\sqrt{x}+\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{-\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{-\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{-1}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $-\frac{1}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{1}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{1}{2\sqrt{x}}$.