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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(2)}{3 -2}$

= $\frac{-2 -2}{3 -2}$

= $\frac{-4}{1}$

= $- 4$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${(- 1)}^{2} - 3$ = $1 - 3$ = -2 und
f(2) = $2^{2} - 3$ = $4 - 3$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{1 -(-2)}{2 -(-1)}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(1) = -1. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(1)}{1,5-1}$ = 5

f( $1,5$ ) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -(-1)}{0,5}$ = 5 |⋅ $0,5$

f( $1,5$ ) +1 = $2,5$ |-1

f( $1,5$ ) = 1.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 2$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{2 x^{2} + 2 - (2 \cdot 1^{2} + 2)}{x - 1}$

= $\frac{2 x^{2} + 2 - 2 \cdot 1^{2} - 2}{x - 1}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 \cdot 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $2 (x + 1)$ = $2 (1 + 1)$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{2 {(1 + h)}^{2} + 2 - (2 \cdot 1^{2} + 2)}{h}$

= $\frac{2 {(1 + h)}^{2} + 2 - 2 \cdot 1^{2} - 2}{h}$

= $\frac{2 {(h + 1)}^{2} - 2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2 (h^{2} + 2 h + 1) - 2}{h}$

= $\frac{2 h^{2} + 4 h + 2 - 2}{h}$

= $\frac{2 h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{2 h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (h + 2)$ = $2 (0 + 2)$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{4} - 5 x$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- x^{4} - 5 x - (- {(- 1)}^{4} - 5 \cdot (- 1))}{x + 1}$ = $\frac{- x^{4} - 5 x + 1 - 5}{x + 1}$ = $\frac{- x^{4} - 5 x - 4}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{- {(- 0,9)}^{4} - 5 \cdot (- 0,9) - 4}{0,1}$ ≈ -1.561

x = -0.99: $\frac{- {(- 0,99)}^{4} - 5 \cdot (- 0,99) - 4}{0,01}$ ≈ -1.0596

x = -0.999: $\frac{- {(- 0,999)}^{4} - 5 \cdot (- 0,999) - 4}{0,001}$ ≈ -1.006

x = -0.9999: $\frac{- {(- 0,9999)}^{4} - 5 \cdot (- 0,9999) - 4}{0,0001}$ ≈ -1.0006

x = -0.99999: $\frac{- {(- 1)}^{4} - 5 \cdot (- 1) - 4}{0.00001}$ ≈ -1.00006

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{- x^{4} - 5 x - 4}{x + 1}$ ≈ -1

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 1 - (u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 1 - u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 5 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 x - (2 u^{2} + 5 u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 u^{2} - 5 u}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 u^{2} + 5 x - 5 u}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2}) + 5 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{5 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{5 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + u) + 5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $2 \cdot (x + u) + 5$ = $2 \cdot (u + u) + 5$ = $4 u + 5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4 u + 5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4 x + 5$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)