Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-3)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = ${\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)-2$ = $4-4-2$ = -2 und
f(1) = $1^2+2\cdot 1-2$ = $1+2-2$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 25

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 25 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{25}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 6.25

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{x^2-1-\left({\left(-1\right)}^2-1\right)}{x+1}$

= $\frac{x^2-1-{\left(-1\right)}^2+1}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{x^2-{\left(-1\right)}^2}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $1·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $x-1$ = $-1-1$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2-1-\left({\left(-1\right)}^2-1\right)}{h}$

= $\frac{{\left(-1+h\right)}^2-1-{\left(-1\right)}^2+1}{h}$

= $\frac{{\left(h-1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2-2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2-2h}{h}$

= $\frac{h·\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h-2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h-2$ = $0-2$ = -2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{-3x^3+5x-\left(-3\cdot {\left(-2\right)}^3+5\cdot \left(-2\right)\right)}{x+2}$ = $\frac{-3x^3+5x-24+10}{x+2}$ = $\frac{-3x^3+5x-14}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^3+5\cdot \left(-\mathrm{1,9}\right)-14}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -29.23

x = -1.99: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^3+5\cdot \left(-\mathrm{1,99}\right)-14}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -30.8203

x = -1.999: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^3+5\cdot \left(-\mathrm{1,999}\right)-14}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -30.982

x = -1.9999: $\frac{-3\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^3+5\cdot \left(-\mathrm{1,9999}\right)-14}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -30.9982

x = -1.99999: $\frac{-3\cdot {\left(-2\right)}^3+5\cdot \left(-2\right)-14}{0.00001}$ ≈ -30.99982

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{-3x^3+5x-14}{x+2}$ ≈ -31

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-3x^2-4-\left(-3u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-3x^2-4+3u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-3x^2+3u^2}{x-u}$

= $\frac{-3\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-3·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-3(x+u)$ = $-3·(u+u)$ = $-6u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-6u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-6x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{5}{x}+1-\left(-\frac{5}{u}+1\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{5}{x}+1+\frac{5}{u}-1}{x-u}$

= $\frac{-\frac{5}{x}+\frac{5}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5u}{x·u}+\frac{5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-5u+5x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{5x-5u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 5 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{5(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{5}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{5}{xu}$ = $\frac{5}{u·u}$ = $\frac{5}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{5}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{5}{x^2}$.