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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;-1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-1) - f(-2)}{-1 -(-2)}$

= $\frac{1 -0}{-1 -(-2)}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - 3 x^{2} + 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = -1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $- {(- 3)}^{3} - 3 \cdot {(- 3)}^{2} + 1$ = $- (- 27) - 3 \cdot 9 + 1$ = 1 und
f(-1) = $- {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 1$ = $- (- 1) - 3 \cdot 1 + 1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-1) - f(-3)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{-1 -1}{-1 -(-3)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=-1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(-2) = 2. Bestimme f(-1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(- 1,5) - f(-2)}{- 1,5-(-2)}$ = 3

f( $- 1,5$ ) = 2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(- 1,5) -2}{0,5}$ = 3 |⋅ $0,5$

f( $- 1,5$ ) -2 = $1,5$ |+2

f( $- 1,5$ ) = 3.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 2$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{3 x^{2} + 2 - (3 \cdot {(- 2)}^{2} + 2)}{x + 2}$

= $\frac{3 x^{2} + 2 - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2}{x + 2}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{3 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $3 (x - 2)$ = $3 (- 2 - 2)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{3 {(- 2 + h)}^{2} + 2 - (3 \cdot {(- 2)}^{2} + 2)}{h}$

= $\frac{3 {(- 2 + h)}^{2} + 2 - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 2}{h}$

= $\frac{3 {(h - 2)}^{2} - 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3 (h^{2} - 4 h + 4) - 12}{h}$

= $\frac{3 h^{2} - 12 h + 12 - 12}{h}$

= $\frac{3 h^{2} - 12 h}{h}$

= $\frac{3 h (h - 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (h - 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (h - 4)$ = $3 (0 - 4)$ = -12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{{(- 1)}^{2}}}{x + 1}$ = $\frac{- \frac{3}{x^{2}} + 3}{x + 1}$ = $\frac{3 - \frac{3}{x^{2}}}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3 - \frac{3}{{(- 0,9)}^{2}}}{0,1}$ ≈ -7.03704

x = -0.99: $\frac{3 - \frac{3}{{(- 0,99)}^{2}}}{0,01}$ ≈ -6.09122

x = -0.999: $\frac{3 - \frac{3}{{(- 0,999)}^{2}}}{0,001}$ ≈ -6.00901

x = -0.9999: $\frac{3 - \frac{3}{{(- 0,9999)}^{2}}}{0,0001}$ ≈ -6.0009

x = -0.99999: $\frac{3 - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}}{0.00001}$ ≈ -6.00009

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{3 - \frac{3}{x^{2}}}{x + 1}$ ≈ -6

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 2 - (- 2 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 2 + 2 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 3 - (4 u^{2} - 3)}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 3 - 4 u^{2} + 3}{x - u}$

= $\frac{4 x^{2} - 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $4 (x + u)$ = $4 \cdot (u + u)$ = $8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $8 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)