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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;4].

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Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -4 und x2 = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

f(4) - f(-4) 4 - ( - 4 )

= 6 - 0 4 - ( - 4 )

= 6 8

= 3 4

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x +4 -3 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;5].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = -4 und x2 = 5 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = 2 -4 +4 -3 = 2 0 -3 = -3 und
f(5) = 2 5 +4 -3 = 2 9 -3 = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 5 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

f(5) - f(-4) 5 - ( - 4 )

= 3 - ( - 3 ) 5 - ( - 4 )

= 6 9

= 2 3

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x1=1 und x2=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 2.Es gilt: f(1) = -5. Bestimme f(3,5).

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Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f(3,5) - f(1) 3,5 - 1 = 2

f(3,5) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f(3,5) - ( - 5 ) 2,5 = 2 |⋅ 2,5

f(3,5) +5 = 5 |-5

f(3,5) = 0

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +3 . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(2) x - 2

= x 2 +3 - ( 2 2 +3 ) x -2

= x 2 +3 - 2 2 -3 x -2

= x 2 - 2 2 x -2

= x 2 - 2 2 x -2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= ( x +2 ) · ( x -2 ) x -2

Jetzt lässt sich der Nenner x -2 rauskürzen:

= 1 · ( x +2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = lim x → 2 f(x) - f(2) x - 2 = lim x → 2 x +2 = 2 +2 = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

f(2+h) - f(2) h

= ( 2 + h ) 2 +3 - ( 2 2 +3 ) h

= ( 2 + h ) 2 +3 - 2 2 -3 h

= ( h +2 ) 2 -4 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= h 2 +4h +4 -4 h

= h 2 +4h h

= h ( h +4 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= h +4

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = lim h → 0 f(2+h) - f(2) h = lim h → 0 h +4 = 0 +4 = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - x . Bestimme f'(4) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 4 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(4) x - 4 = - x + 4 x -4 = - x +2 x -4

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: - 4,1 +2 0,1 ≈ -0.24846

x = 4.01: - 4,01 +2 0,01 ≈ -0.24984

x = 4.001: - 4,001 +2 0,001 ≈ -0.24998

x = 4.0001: - 4,0001 +2 0,0001 ≈ -0.25

x = 4.00001: - 4 +2 0.00001 ≈ -0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = lim x → 4 f(x) - f(4) x - 4 = lim x → 4 - x +2 x -4 -0.25

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -4 x 2 +2 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -4 x 2 +2 - ( -4 u 2 +2 ) x - u

= -4 x 2 +2 +4 u 2 -2 x - u

= -4 x 2 +4 u 2 x - u

= -4( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -4 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -4 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -4( x + u) = -4 · ( u + u ) = -8u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -8u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -8x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 x 2 + x . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= 3 x 2 + x - ( 3 u 2 + u) x - u

= 3 x 2 + x -3 u 2 - u x - u

= 3 x 2 -3 u 2 + x - u x - u

= 3( x 2 - u 2 ) + ( x - u ) x - u

= 3( x 2 - u 2 ) x - u + x - u x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= 3 ( x - u ) · ( x + u ) x - u + x - u x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= 3 · ( x + u ) +1

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u 3 · ( x + u ) +1 = 3 · ( u + u ) +1 = 6u +1

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = 6u +1 beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = 6x +1 .