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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

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Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x1 = -1 und x2 = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

f(2) - f(-1) 2 - ( - 1 )

= -3 - 3 2 - ( - 1 )

= -6 3

= -2

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 + x -1 . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;0].

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Wir setzen die Intervallgrenzen x1 = -2 und x2 = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = ( -2 ) 2 -2 -1 = 4 -2 -1 = 1 und
f(0) = 0 2 +0 -1 = 0 +0 -1 = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

f(0) - f(-2) 0 - ( - 2 )

= -1 - 1 0 - ( - 2 )

= -2 2

= -1

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 30 Minuten seiner Fahrt 15 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

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60 min sind 1 h, also sind 30 min eben 30 60 h = 1 2 h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

f( 1 2 ) - f(0) 1 2 - 0 = 15

f( 1 2 ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

f( 1 2 ) - 0 1 2 = 15 |⋅ 1 2

f( 1 2 ) -0 = 15 2 |+0

f( 1 2 ) = 7.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 x 2 +3 . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(2) x - 2

= -3 x 2 +3 - ( -3 2 2 +3 ) x -2

= -3 x 2 +3 +3 2 2 -3 x -2

= -3 x 2 +3 2 2 x -2

= -3( x 2 - 2 2 ) x -2

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -3 ( x +2 ) · ( x -2 ) x -2

Jetzt lässt sich der Nenner x -2 rauskürzen:

= -3 · ( x +2 )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = lim x → 2 f(x) - f(2) x - 2 = lim x → 2 -3( x +2 ) = -3( 2 +2 ) = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

f(2+h) - f(2) h

= -3 ( 2 + h ) 2 +3 - ( -3 2 2 +3 ) h

= -3 ( 2 + h ) 2 +3 +3 2 2 -3 h

= -3 ( h +2 ) 2 +12 h

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= -3( h 2 +4h +4 ) +12 h

= -3 h 2 -12h -12 +12 h

= -3 h 2 -12h h

= -3 h ( h +4 ) h

Jetzt können wir mit h kürzen:

= -3( h +4 )

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = lim h → 0 f(2+h) - f(2) h = lim h → 0 -3( h +4 ) = -3(0 +4 ) = -12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - 2 x 2 . Bestimme f'(2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 2 immer mehr annähern.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

f(x) - f(2) x - 2 = - 2 x 2 + 2 2 2 x -2 = - 2 x 2 + 1 2 x -2 = 1 2 - 2 x 2 x -2

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: 1 2 - 2 2,1 2 0,1 ≈ 0.46485

x = 2.01: 1 2 - 2 2,01 2 0,01 ≈ 0.49627

x = 2.001: 1 2 - 2 2,001 2 0,001 ≈ 0.49963

x = 2.0001: 1 2 - 2 2,0001 2 0,0001 ≈ 0.49996

x = 2.00001: 1 2 - 2 2 2 0.00001 ≈ 0.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = lim x → 2 f(x) - f(2) x - 2 = lim x → 2 1 2 - 2 x 2 x -2 0.5

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 x 2 -4 . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -2 x 2 -4 - ( -2 u 2 -4 ) x - u

= -2 x 2 -4 +2 u 2 +4 x - u

= -2 x 2 +2 u 2 x - u

= -2( x 2 - u 2 ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -2 ( x - u ) · ( x + u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -2 · ( x + u )

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -2( x + u) = -2 · ( u + u ) = -4u

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -4u beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -4x .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 x 2 -5x . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

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Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

f(x) - f(u) x - u

= -3 x 2 -5x - ( -3 u 2 -5u) x - u

= -3 x 2 -5x +3 u 2 +5u x - u

= -3 x 2 +3 u 2 -5x +5u x - u

= -3( x 2 - u 2 )-5( x - u ) x - u

= -3( x 2 - u 2 ) x - u + -5( x - u ) x - u

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= -3 ( x - u ) · ( x + u ) x - u + -5( x - u ) x - u

Jetzt lässt sich der Nenner x - u rauskürzen:

= -3 · ( x + u ) -5

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = lim x → u f(x) - f(u) x - u = lim x → u -3 · ( x + u ) -5 = -3 · ( u + u ) -5 = -6u -5

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = -6u -5 beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = -6x -5 .