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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{-1 -1}{1 -(-1)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x + 2} - 4$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $3 \sqrt{- 2 + 2} - 4$ = $3 \sqrt{0} - 4$ = -4 und
f(2) = $3 \sqrt{2 + 2} - 4$ = $3 \sqrt{4} - 4$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-2)}{2 -(-2)}$

= $\frac{2 -(-4)}{2 -(-2)}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 12 Minuten seiner Fahrt 30 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 12 min eben $\frac{12}{60}$ h = $\frac{1}{5}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{5}) - f(0)}{\frac{1}{5}-0}$ = 30

f( $\frac{1}{5}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{5}) -0}{\frac{1}{5}}$ = 30 |⋅ $\frac{1}{5}$

f( $\frac{1}{5}$ ) -0 = $6$ |+0

f( $\frac{1}{5}$ ) = 6

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 5$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{2 x^{2} - 5 - (2 \cdot 2^{2} - 5)}{x - 2}$

= $\frac{2 x^{2} - 5 - 2 \cdot 2^{2} + 5}{x - 2}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 \cdot 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{2 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $2 (x + 2)$ = $2 (2 + 2)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{2 {(2 + h)}^{2} - 5 - (2 \cdot 2^{2} - 5)}{h}$

= $\frac{2 {(2 + h)}^{2} - 5 - 2 \cdot 2^{2} + 5}{h}$

= $\frac{2 {(h + 2)}^{2} - 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{2 (h^{2} + 4 h + 4) - 8}{h}$

= $\frac{2 h^{2} + 8 h + 8 - 8}{h}$

= $\frac{2 h^{2} + 8 h}{h}$

= $\frac{2 h (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (h + 4)$ = $2 (0 + 4)$ = 8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(16) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 16 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\frac{2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{16}}{x - 16}$ = $\frac{2 \sqrt{x} - 8}{x - 16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{2 \sqrt{16,1} - 8}{0,1}$ ≈ 0.24961

x = 16.01: $\frac{2 \sqrt{16,01} - 8}{0,01}$ ≈ 0.24996

x = 16.001: $\frac{2 \sqrt{16,001} - 8}{0,001}$ ≈ 0.25

x = 16.0001: $\frac{2 \sqrt{16,0001} - 8}{0,0001}$ ≈ 0.25

x = 16.00001: $\frac{2 \sqrt{16} - 8}{0.00001}$ ≈ 0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\lim_{x → 16}$ $\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\lim_{x → 16}$ $\frac{2 \sqrt{x} - 8}{x - 16}$ ≈ 0.25

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 1 - (2 u^{2} + 1)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} + 1 - 2 u^{2} - 1}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $2 (x + u)$ = $2 \cdot (u + u)$ = $4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 - (- 5 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 3 + 5 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)