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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-2)}{0 -(-2)}$

= $\frac{1 -(-1)}{0 -(-2)}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2} - 2$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 2 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(2) = $- 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 2$ = $- 8 + 3 \cdot 4 - 2$ = 2 und
f(3) = $- 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} - 2$ = $- 27 + 3 \cdot 9 - 2$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(2)}{3 -2}$

= $\frac{-2 -2}{3 -2}$

= $\frac{-4}{1}$

= $- 4$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-1 und x₂=0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 1.Es gilt: f(-1) = 4. Bestimme f(0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(0,5) - f(-1)}{0,5-(-1)}$ = 1

f( $0,5$ ) = 4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(0,5) -4}{1,5}$ = 1 |⋅ $1,5$

f( $0,5$ ) -4 = $1,5$ |+4

f( $0,5$ ) = 5.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 4 - (- 2 \cdot 1^{2} + 4)}{x - 1}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 4 + 2 \cdot 1^{2} - 4}{x - 1}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- 2 (x + 1)$ = $- 2 (1 + 1)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- 2 {(1 + h)}^{2} + 4 - (- 2 \cdot 1^{2} + 4)}{h}$

= $\frac{- 2 {(1 + h)}^{2} + 4 + 2 \cdot 1^{2} - 4}{h}$

= $\frac{- 2 {(h + 1)}^{2} + 2}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 2 (h^{2} + 2 h + 1) + 2}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} - 4 h - 2 + 2}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} - 4 h}{h}$

= $\frac{- 2 h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- 2 (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- 2 (h + 2)$ = $- 2 (0 + 2)$ = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(16) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 16 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{16}}{x - 16}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 12}{x - 16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{3 \sqrt{16,1} - 12}{0,1}$ ≈ 0.37442

x = 16.01: $\frac{3 \sqrt{16,01} - 12}{0,01}$ ≈ 0.37494

x = 16.001: $\frac{3 \sqrt{16,001} - 12}{0,001}$ ≈ 0.37499

x = 16.0001: $\frac{3 \sqrt{16,0001} - 12}{0,0001}$ ≈ 0.375

x = 16.00001: $\frac{3 \sqrt{16} - 12}{0.00001}$ ≈ 0.375

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\lim_{x → 16}$ $\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\lim_{x → 16}$ $\frac{3 \sqrt{x} - 12}{x - 16}$ ≈ 0.375

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 3 - (- 3 u^{2} - 3)}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 3 + 3 u^{2} + 3}{x - u}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 3 (x + u)$ = $- 3 \cdot (u + u)$ = $- 6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 6 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{2 \sqrt{x} - 4 - (2 \sqrt{u} - 4)}{x - u}$

= $\frac{2 \sqrt{x} - 4 - 2 \sqrt{u} + 4}{x - u}$

= $\frac{2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{u}}{x - u}$

= $\frac{2 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{x - u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${(\sqrt{x})}^{2}$ statt x und ${(\sqrt{u})}^{2}$ statt u:

= $\frac{2 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{u})}^{2}}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{(\sqrt{x} - \sqrt{u}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{u})}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x} - \sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $\frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$ = $\frac{2}{\sqrt{u} + \sqrt{u}}$ = $\frac{1}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)