Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(1)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $\sqrt{-1+1}$ = $\sqrt{0}$ = 0 und
f(3) = $\sqrt{3+1}$ = $\sqrt{4}$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

60 min sind 1 h, also sind 15 min eben $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{60}}$ h = $\frac{1}{4}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 35

f($\frac{1}{4}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>4</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{4}$

f($\frac{1}{4}$) -0 = $\frac{35}{4}$ |+0

f($\frac{1}{4}$) = 8.75

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{-2x^2+1-\left(-2\cdot 2^2+1\right)}{x-2}$

= $\frac{-2x^2+1+2\cdot 2^2-1}{x-2}$

= $\frac{-2x^2+2\cdot 2^2}{x-2}$

= $\frac{-2\left(x^2-2^2\right)}{x-2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}{x-2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-2$ rauskürzen:

= $-2·\left(x+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $-2\left(x+2\right)$ = $-2\left(2+2\right)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$

= $\frac{-2{\left(2+h\right)}^2+1-\left(-2\cdot 2^2+1\right)}{h}$

= $\frac{-2{\left(2+h\right)}^2+1+2\cdot 2^2-1}{h}$

= $\frac{-2{\left(h+2\right)}^2+8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-2\left(h^2+4h+4\right)+8}{h}$

= $\frac{-2h^2-8h-8+8}{h}$

= $\frac{-2h^2-8h}{h}$

= $\frac{-2h\left(h+4\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-2\left(h+4\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(2+h)\; -\; f(2)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-2\left(h+4\right)$ = $-2\left(0+4\right)$ = -8

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{x^3-3x^2-\left(1^3-3\cdot 1^2\right)}{x-1}$ = $\frac{x^3-3x^2-1+3}{x-1}$ = $\frac{x^3-3x^2+2}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{{\mathrm{1,1}}^3-3\cdot {\mathrm{1,1}}^2+2}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -2.99

x = 1.01: $\frac{{\mathrm{1,01}}^3-3\cdot {\mathrm{1,01}}^2+2}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -2.9999

x = 1.001: $\frac{{\mathrm{1,001}}^3-3\cdot {\mathrm{1,001}}^2+2}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -3

x = 1.0001: $\frac{{\mathrm{1,0001}}^3-3\cdot {\mathrm{1,0001}}^2+2}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -3

x = 1.00001: $\frac{1^3-3\cdot 1^2+2}{0.00001}$ ≈ -3

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{x^3-3x^2+2}{x-1}$ ≈ -3

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2-4-\left(-4u^2-4\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2-4+4u^2+4}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{\frac{1}{x}-4-\left(\frac{1}{u}-4\right)}{x-u}$

= $\frac{\frac{1}{x}-4-\frac{1}{u}+4}{x-u}$

= $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{u}{x·u}+\frac{-x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{u-x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-x+u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -1 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{-(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $-\frac{1}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-\frac{1}{xu}$ = $\frac{-1}{u·u}$ = $-\frac{1}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{1}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{1}{x^2}$.