Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-2)}{0 -(-2)}$

= $\frac{-1 -1}{0 -(-2)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 2$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;0].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = ${(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 2$ = $9 - 6 - 2$ = 1 und
f(0) = $0^{2} + 2 \cdot 0 - 2$ = $0 + 0 - 2$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-3)}{0 -(-3)}$

= $\frac{-2 -1}{0 -(-3)}$

= $\frac{-3}{3}$

= $- 1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=-1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 4.Es gilt: f(-2) = -4. Bestimme f(-1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(- 1,5) - f(-2)}{- 1,5-(-2)}$ = 4

f( $- 1,5$ ) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(- 1,5) -(-4)}{0,5}$ = 4 |⋅ $0,5$

f( $- 1,5$ ) +4 = $2$ |-4

f( $- 1,5$ ) = -2

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3$ . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - (3 \cdot {(- 1)}^{2} + 3)}{x + 1}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 3}{x + 1}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 \cdot {(- 1)}^{2}}{x + 1}$

= $\frac{3 (x^{2} - {(- 1)}^{2})}{x + 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 1$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x - 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $3 (x - 1)$ = $3 (- 1 - 1)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

= $\frac{3 {(- 1 + h)}^{2} + 3 - (3 \cdot {(- 1)}^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{3 {(- 1 + h)}^{2} + 3 - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 3}{h}$

= $\frac{3 {(h - 1)}^{2} - 3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3 (h^{2} - 2 h + 1) - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} - 6 h + 3 - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} - 6 h}{h}$

= $\frac{3 h (h - 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (h - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (h - 2)$ = $3 (0 - 2)$ = -6

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$ . Bestimme f'(-1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\frac{\frac{3}{x^{3}} - \frac{3}{{(- 1)}^{3}}}{x + 1}$ = $\frac{\frac{3}{x^{3}} + 3}{x + 1}$ = $\frac{3 + \frac{3}{x^{3}}}{x + 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3 + \frac{3}{{(- 0,9)}^{3}}}{0,1}$ ≈ -11.15226

x = -0.99: $\frac{3 + \frac{3}{{(- 0,99)}^{3}}}{0,01}$ ≈ -9.18305

x = -0.999: $\frac{3 + \frac{3}{{(- 0,999)}^{3}}}{0,001}$ ≈ -9.01803

x = -0.9999: $\frac{3 + \frac{3}{{(- 0,9999)}^{3}}}{0,0001}$ ≈ -9.0018

x = -0.99999: $\frac{3 + \frac{3}{{(- 1)}^{3}}}{0.00001}$ ≈ -9.00018

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $\frac{3 + \frac{3}{x^{3}}}{x + 1}$ ≈ -9

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 5 - (5 u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 5 - 5 u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 2 - (3 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 2 - 3 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 (x + u)$ = $3 \cdot (u + u)$ = $6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)