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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(-1)}{3 -(-1)}$

= $\frac{3 -(-3)}{3 -(-1)}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x - 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${(- 1)}^{2} - 1 - 3$ = $1 - 1 - 3$ = -3 und
f(2) = $2^{2} + 2 - 3$ = $4 + 2 - 3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{3 -(-3)}{2 -(-1)}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(0) = -2. Bestimme f(0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(0,5) - f(0)}{0,5-0}$ = 3

f( $0,5$ ) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(0,5) -(-2)}{0,5}$ = 3 |⋅ $0,5$

f( $0,5$ ) +2 = $1,5$ |-2

f( $0,5$ ) = -0.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 5$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- x^{2} + 5 - (- 1^{2} + 5)}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} + 5 + 1^{2} - 5}{x - 1}$

= $\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- (x + 1)$ = $- (1 + 1)$ = -2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} + 5 - (- 1^{2} + 5)}{h}$

= $\frac{- {(1 + h)}^{2} + 5 + 1^{2} - 5}{h}$

= $\frac{- {(h + 1)}^{2} + 1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 2 h + 1) + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h - 1 + 1}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 2 h}{h}$

= $\frac{- h (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 2)$ = $- (0 + 2)$ = -2

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 3 x^{2}$ . Bestimme f'(2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - (2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2})}{x - 2}$ = $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 16 - 12}{x - 2}$ = $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 28}{x - 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{2 \cdot {2,1}^{3} + 3 \cdot {2,1}^{2} - 28}{0,1}$ ≈ 37.52

x = 2.01: $\frac{2 \cdot {2,01}^{3} + 3 \cdot {2,01}^{2} - 28}{0,01}$ ≈ 36.1502

x = 2.001: $\frac{2 \cdot {2,001}^{3} + 3 \cdot {2,001}^{2} - 28}{0,001}$ ≈ 36.015

x = 2.0001: $\frac{2 \cdot {2,0001}^{3} + 3 \cdot {2,0001}^{2} - 28}{0,0001}$ ≈ 36.0015

x = 2.00001: $\frac{2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 28}{0.00001}$ ≈ 36.00015

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 28}{x - 2}$ ≈ 36

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} - 2 - (- 5 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} - 2 + 5 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 3 - (u^{2} - 3)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - 3 - u^{2} + 3}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)