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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -4 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(-4)}{4 -(-4)}$

= $\frac{6 -0}{4 -(-4)}$

= $\frac{6}{8}$

= $\frac{3}{4}$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 \sqrt{x + 4} - 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;5].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -4 und x₂ = 5 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-4) = $2 \sqrt{- 4 + 4} - 3$ = $2 \sqrt{0} - 3$ = -3 und
f(5) = $2 \sqrt{5 + 4} - 3$ = $2 \sqrt{9} - 3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(5) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 5 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(5) - f(-4)}{5 -(-4)}$

= $\frac{3 -(-3)}{5 -(-4)}$

= $\frac{6}{9}$

= $\frac{2}{3}$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 2.Es gilt: f(1) = -5. Bestimme f(3,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(3,5) - f(1)}{3,5-1}$ = 2

f( $3,5$ ) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(3,5) -(-5)}{2,5}$ = 2 |⋅ $2,5$

f( $3,5$ ) +5 = $5$ |-5

f( $3,5$ ) = 0

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 3$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{x^{2} + 3 - (2^{2} + 3)}{x - 2}$

= $\frac{x^{2} + 3 - 2^{2} - 3}{x - 2}$

= $\frac{x^{2} - 2^{2}}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $x + 2$ = $2 + 2$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{{(2 + h)}^{2} + 3 - (2^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{{(2 + h)}^{2} + 3 - 2^{2} - 3}{h}$

= $\frac{{(h + 2)}^{2} - 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^{2} + 4 h + 4 - 4}{h}$

= $\frac{h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{h (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $h + 4$ = $0 + 4$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x}$ . Bestimme f'(4) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 4 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{4}}{x - 4}$ = $\frac{- \sqrt{x} + 2}{x - 4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{- \sqrt{4,1} + 2}{0,1}$ ≈ -0.24846

x = 4.01: $\frac{- \sqrt{4,01} + 2}{0,01}$ ≈ -0.24984

x = 4.001: $\frac{- \sqrt{4,001} + 2}{0,001}$ ≈ -0.24998

x = 4.0001: $\frac{- \sqrt{4,0001} + 2}{0,0001}$ ≈ -0.25

x = 4.00001: $\frac{- \sqrt{4} + 2}{0.00001}$ ≈ -0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\lim_{x → 4}$ $\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\lim_{x → 4}$ $\frac{- \sqrt{x} + 2}{x - 4}$ ≈ -0.25

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 2 - (- 4 u^{2} + 2)}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 2 + 4 u^{2} - 2}{x - u}$

= $\frac{- 4 x^{2} + 4 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 4 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 4 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 4 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 4 (x + u)$ = $- 4 \cdot (u + u)$ = $- 8 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 8 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 8 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + x - (3 u^{2} + u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + x - 3 u^{2} - u}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2} + x - u}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2}) + (x - u)}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{x - u}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{x - u}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u) + 1$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 \cdot (x + u) + 1$ = $3 \cdot (u + u) + 1$ = $6 u + 1$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u + 1$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x + 1$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)