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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{1 -(-2)}{3 -0}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - x + 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $- {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$ = $- 1 + 1 + 3$ = 3 und
f(2) = $- 2^{2} - 2 + 3$ = $- 4 - 2 + 3$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{-3 -3}{2 -(-1)}$

= $\frac{-6}{3}$

= $- 2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 4.Es gilt: f(0) = -4. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(0)}{1,5-0}$ = 4

f( $1,5$ ) = -4 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -(-4)}{1,5}$ = 4 |⋅ $1,5$

f( $1,5$ ) +4 = $6$ |-4

f( $1,5$ ) = 2

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{- x^{2} + 4 - (- 2^{2} + 4)}{x - 2}$

= $\frac{- x^{2} + 4 + 2^{2} - 4}{x - 2}$

= $\frac{- x^{2} + 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{- (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $- (x + 2)$ = $- (2 + 2)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{- {(2 + h)}^{2} + 4 - (- 2^{2} + 4)}{h}$

= $\frac{- {(2 + h)}^{2} + 4 + 2^{2} - 4}{h}$

= $\frac{- {(h + 2)}^{2} + 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 4 h + 4) + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 4 h - 4 + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 4 h}{h}$

= $\frac{- h \cdot (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 4)$ = $- (0 + 4)$ = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{4} + 4 x$ . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\frac{- x^{4} + 4 x - (- {(- 2)}^{4} + 4 \cdot (- 2))}{x + 2}$ = $\frac{- x^{4} + 4 x + 16 + 8}{x + 2}$ = $\frac{- x^{4} + 4 x + 24}{x + 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{- {(- 1,9)}^{4} + 4 \cdot (- 1,9) + 24}{0,1}$ ≈ 33.679

x = -1.99: $\frac{- {(- 1,99)}^{4} + 4 \cdot (- 1,99) + 24}{0,01}$ ≈ 35.7608

x = -1.999: $\frac{- {(- 1,999)}^{4} + 4 \cdot (- 1,999) + 24}{0,001}$ ≈ 35.97601

x = -1.9999: $\frac{- {(- 1,9999)}^{4} + 4 \cdot (- 1,9999) + 24}{0,0001}$ ≈ 35.9976

x = -1.99999: $\frac{- {(- 2)}^{4} + 4 \cdot (- 2) + 24}{0.00001}$ ≈ 35.99976

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $\frac{- x^{4} + 4 x + 24}{x + 2}$ ≈ 36

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 2 - (u^{2} + 2)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 2 - u^{2} - 2}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 4 - (- u^{2} + 4)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + 4 + u^{2} - 4}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- (x + u)$ = $- 1 \cdot (u + u)$ = $- 2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 2 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)