Mathebattle EduRandomtasks

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-2)}{0 -(-2)}$

= $\frac{-2 -2}{0 -(-2)}$

= $\frac{-4}{2}$

= $- 2$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x + 4}$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;0].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -3 und x₂ = 0 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-3) = $\sqrt{- 3 + 4}$ = $\sqrt{1}$ = 1 und
f(0) = $\sqrt{0 + 4}$ = $\sqrt{4}$ = 2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-3)}{0 -(-3)}$

= $\frac{2 -1}{0 -(-3)}$

= $\frac{1}{3}$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 2.Es gilt: f(0) = -1. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(0)}{2,5-0}$ = 2

f( $2,5$ ) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -(-1)}{2,5}$ = 2 |⋅ $2,5$

f( $2,5$ ) +1 = $5$ |-1

f( $2,5$ ) = 4

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 5$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{3 x^{2} + 5 - (3 \cdot 1^{2} + 5)}{x - 1}$

= $\frac{3 x^{2} + 5 - 3 \cdot 1^{2} - 5}{x - 1}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 \cdot 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $3 (x + 1)$ = $3 (1 + 1)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{3 {(1 + h)}^{2} + 5 - (3 \cdot 1^{2} + 5)}{h}$

= $\frac{3 {(1 + h)}^{2} + 5 - 3 \cdot 1^{2} - 5}{h}$

= $\frac{3 {(h + 1)}^{2} - 3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3 (h^{2} + 2 h + 1) - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 6 h + 3 - 3}{h}$

= $\frac{3 h^{2} + 6 h}{h}$

= $\frac{3 h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (h + 2)$ = $3 (0 + 2)$ = 6

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 5 x$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{- 3 x^{3} + 5 x - (- 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1)}{x - 1}$ = $\frac{- 3 x^{3} + 5 x + 3 - 5}{x - 1}$ = $\frac{- 3 x^{3} + 5 x - 2}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{- 3 \cdot {1,1}^{3} + 5 \cdot 1,1 - 2}{0,1}$ ≈ -4.93

x = 1.01: $\frac{- 3 \cdot {1,01}^{3} + 5 \cdot 1,01 - 2}{0,01}$ ≈ -4.0903

x = 1.001: $\frac{- 3 \cdot {1,001}^{3} + 5 \cdot 1,001 - 2}{0,001}$ ≈ -4.009

x = 1.0001: $\frac{- 3 \cdot {1,0001}^{3} + 5 \cdot 1,0001 - 2}{0,0001}$ ≈ -4.0009

x = 1.00001: $\frac{- 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1 - 2}{0.00001}$ ≈ -4.00009

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{- 3 x^{3} + 5 x - 2}{x - 1}$ ≈ -4

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} - 3 - (- u^{2} - 3)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} - 3 + u^{2} + 3}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- (x + u)$ = $- 1 \cdot (u + u)$ = $- 2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} + 1$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{\sqrt{x} + 1 - (\sqrt{u} + 1)}{x - u}$

= $\frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{u} - 1}{x - u}$

= $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{u}}{x - u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${(\sqrt{x})}^{2}$ statt x und ${(\sqrt{u})}^{2}$ statt u:

= $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{u}}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{u})}^{2}}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{u}}{(\sqrt{x} - \sqrt{u}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{u})}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x} - \sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$ = $\frac{1}{\sqrt{u} + \sqrt{u}}$ = $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)