Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{4}{2}$

= $2$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3+2\cdot 0^2+5$ = $-0+2\cdot 0+5$ = 5 und
f(3) = $-3^3+2\cdot 3^2+5$ = $-27+2\cdot 9+5$ = -4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>2</mn>}}$ = 4

f($\mathrm{2,5}$) = 5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($\mathrm{2,5}$) -5 = $2$ |+5

f($\mathrm{2,5}$) = 7

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{x^2+5-\left(1^2+5\right)}{x-1}$

= $\frac{x^2+5-1^2-5}{x-1}$

= $\frac{x^2-1^2}{x-1}$

= $\frac{x^2-1^2}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $1·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $x+1$ = $1+1$ = 2

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{{\left(1+h\right)}^2+5-\left(1^2+5\right)}{h}$

= $\frac{{\left(1+h\right)}^2+5-1^2-5}{h}$

= $\frac{{\left(h+1\right)}^2-1}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^2+2h+1-1}{h}$

= $\frac{h^2+2h}{h}$

= $\frac{h·\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h+2$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $h+2$ = $0+2$ = 2

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{3x^4+2x^2-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^4+2\cdot {\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$ = $\frac{3x^4+2x^2-3-2}{x+1}$ = $\frac{3x^4+2x^2-5}{x+1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -1 annähern:

x = -0.9: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,9}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,9}\right)}^2-5}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -14.117

x = -0.99: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,99}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,99}\right)}^2-5}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -15.8012

x = -0.999: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,999}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,999}\right)}^2-5}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -15.98001

x = -0.9999: $\frac{3\cdot {\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^4+2\cdot {\left(-\mathrm{0,9999}\right)}^2-5}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -15.998

x = -0.99999: $\frac{3\cdot {\left(-1\right)}^4+2\cdot {\left(-1\right)}^2-5}{0.00001}$ ≈ -15.9998

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -1 bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $\frac{3x^4+2x^2-5}{x+1}$ ≈ -16

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-3-\left(-5u^2-3\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-3+5u^2+3}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-\frac{3}{x}+3-\left(-\frac{3}{u}+3\right)}{x-u}$

= $\frac{-\frac{3}{x}+3+\frac{3}{u}-3}{x-u}$

= $\frac{-\frac{3}{x}+\frac{3}{u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-3u}{x·u}+\frac{3x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{-3u+3x}{x·u}}{x-u}$

= $\frac{\frac{3x-3u}{u·x}}{\frac{x-u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch 3 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{3(x-u)}{x·u}·\frac{1}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{3}{xu}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{3}{xu}$ = $\frac{3}{u·u}$ = $\frac{3}{u^2}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{3}{u^2}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{3}{x^2}$.