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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;2].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 2 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-2)}{2 -(-2)}$

= $\frac{1 -(-3)}{2 -(-2)}$

= $\frac{4}{4}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x - 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^{2} - 3 \cdot 1 - 1$ = $1 - 3 - 1$ = -3 und
f(4) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 1$ = $16 - 12 - 1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(1)}{4 -1}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -1}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 4.Es gilt: f(1) = -3. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(1)}{1,5-1}$ = 4

f( $1,5$ ) = -3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -(-3)}{0,5}$ = 4 |⋅ $0,5$

f( $1,5$ ) +3 = $2$ |-3

f( $1,5$ ) = -1

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 3$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 - (- 3 \cdot 2^{2} + 3)}{x - 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 + 3 \cdot 2^{2} - 3}{x - 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $- 3 (x + 2)$ = $- 3 (2 + 2)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{- 3 {(2 + h)}^{2} + 3 - (- 3 \cdot 2^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{- 3 {(2 + h)}^{2} + 3 + 3 \cdot 2^{2} - 3}{h}$

= $\frac{- 3 {(h + 2)}^{2} + 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} + 4 h + 4) + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 12 h - 12 + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 12 h}{h}$

= $\frac{- 3 h \cdot (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- 3 (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- 3 (h + 4)$ = $- 3 (0 + 4)$ = -12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{1}}{x - 1}$ = $\frac{3 \sqrt{x} - 3}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{3 \sqrt{1,1} - 3}{0,1}$ ≈ 1.46427

x = 1.01: $\frac{3 \sqrt{1,01} - 3}{0,01}$ ≈ 1.49627

x = 1.001: $\frac{3 \sqrt{1,001} - 3}{0,001}$ ≈ 1.49963

x = 1.0001: $\frac{3 \sqrt{1,0001} - 3}{0,0001}$ ≈ 1.49996

x = 1.00001: $\frac{3 \sqrt{1} - 3}{0.00001}$ ≈ 1.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{3 \sqrt{x} - 3}{x - 1}$ ≈ 1.5

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 - (5 u^{2} - 5)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 - 5 u^{2} + 5}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x} - 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{\frac{5}{x} - 5 - (\frac{5}{u} - 5)}{x - u}$

= $\frac{\frac{5}{x} - 5 - \frac{5}{u} + 5}{x - u}$

= $\frac{\frac{5}{x} - \frac{5}{u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{5 u}{x \cdot u} + \frac{- 5 x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{5 u - 5 x}{x \cdot u}}{x - u}$

= $\frac{\frac{- 5 x + 5 u}{u \cdot x}}{\frac{x - u}{1}}$

Beim Doppelbruch multipliziert man den Zähler (bei dem man noch -5 ausklammern kann) mit dem Kehrbruich des Nenners:

= $\frac{- 5 (x - u)}{x \cdot u} \cdot \frac{1}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ diagonal rauskürzen:

= $- \frac{5}{x u}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- \frac{5}{x u}$ = $\frac{- 5}{u \cdot u}$ = $- \frac{5}{u^{2}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- \frac{5}{u^{2}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- \frac{5}{x^{2}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)