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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;0].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -1 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(0) - f(-1)}{0 -(-1)}$

= $\frac{-1 -(-4)}{0 -(-1)}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x^{2} - 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 1$ = $(- 1) + 1 - 1$ = -1 und
f(1) = $1^{3} + 1^{2} - 1$ = $1 + 1 - 1$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{1 -(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=-1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(-2) = 3. Bestimme f(-1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(- 1,5) - f(-2)}{- 1,5-(-2)}$ = 5

f( $- 1,5$ ) = 3 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(- 1,5) -3}{0,5}$ = 5 |⋅ $0,5$

f( $- 1,5$ ) -3 = $2,5$ |+3

f( $- 1,5$ ) = 5.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 5$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 5 - (- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 5)}{x + 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} - 5 + 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 5}{x + 2}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 3 (x - 2)$ = $- 3 (- 2 - 2)$ = 12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 2 + h)}^{2} - 5 - (- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 5)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 2 + h)}^{2} - 5 + 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 5}{h}$

= $\frac{- 3 {(h - 2)}^{2} + 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} - 4 h + 4) + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 12 h - 12 + 12}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 12 h}{h}$

= $\frac{3 h \cdot (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (- h + 4)$ = $3 (- 0 + 4)$ = 12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ . Bestimme f'(16) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 16 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 16 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{16}}{x - 16}$ = $\frac{\sqrt{x} - 4}{x - 16}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 16 annähern:

x = 16.1: $\frac{\sqrt{16,1} - 4}{0,1}$ ≈ 0.12481

x = 16.01: $\frac{\sqrt{16,01} - 4}{0,01}$ ≈ 0.12498

x = 16.001: $\frac{\sqrt{16,001} - 4}{0,001}$ ≈ 0.125

x = 16.0001: $\frac{\sqrt{16,0001} - 4}{0,0001}$ ≈ 0.125

x = 16.00001: $\frac{\sqrt{16} - 4}{0.00001}$ ≈ 0.125

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 16 bestimmen:

f'(16) = $\lim_{x → 16}$ $\frac{f(x) - f(16)}{x -16}$ = $\lim_{x → 16}$ $\frac{\sqrt{x} - 4}{x - 16}$ ≈ 0.125

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} - 4 - (- u^{2} - 4)}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} - 4 + u^{2} + 4}{x - u}$

= $\frac{- x^{2} + u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- (x + u)$ = $- 1 \cdot (u + u)$ = $- 2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 3 x$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 3 x - (5 u^{2} - 3 u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 3 x - 5 u^{2} + 3 u}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2} - 3 x + 3 u}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2}) - 3 (x - u)}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u} + \frac{- 3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u} + \frac{- 3 (x - u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u) - 3$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 \cdot (x + u) - 3$ = $5 \cdot (u + u) - 3$ = $10 u - 3$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u - 3$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x - 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)