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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-4;-3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -4 und x₂ = -3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-3) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -3 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-3) - f(-4)}{-3 -(-4)}$

= $\frac{0 -(-3)}{-3 -(-4)}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x - 2$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^{2} - 2 \cdot 0 - 2$ = $0 + 0 - 2$ = -2 und
f(3) = $3^{2} - 2 \cdot 3 - 2$ = $9 - 6 - 2$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{1 -(-2)}{3 -0}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=0 und x₂=2,5 hat bei einer Funktion f den Wert 4.Es gilt: f(0) = 1. Bestimme f(2,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(2,5) - f(0)}{2,5-0}$ = 4

f( $2,5$ ) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(2,5) -1}{2,5}$ = 4 |⋅ $2,5$

f( $2,5$ ) -1 = $10$ |+1

f( $2,5$ ) = 11

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 1$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{x^{2} + 1 - (2^{2} + 1)}{x - 2}$

= $\frac{x^{2} + 1 - 2^{2} - 1}{x - 2}$

= $\frac{x^{2} - 2^{2}}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $x + 2$ = $2 + 2$ = 4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{{(2 + h)}^{2} + 1 - (2^{2} + 1)}{h}$

= $\frac{{(2 + h)}^{2} + 1 - 2^{2} - 1}{h}$

= $\frac{{(h + 2)}^{2} - 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{h^{2} + 4 h + 4 - 4}{h}$

= $\frac{h^{2} + 4 h}{h}$

= $\frac{h \cdot (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $h + 4$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $h + 4$ = $0 + 4$ = 4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 4 x^{2}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - (2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2})}{x - 1}$ = $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 - 4}{x - 1}$ = $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 6}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{2 \cdot {1,1}^{3} + 4 \cdot {1,1}^{2} - 6}{0,1}$ ≈ 15.02

x = 1.01: $\frac{2 \cdot {1,01}^{3} + 4 \cdot {1,01}^{2} - 6}{0,01}$ ≈ 14.1002

x = 1.001: $\frac{2 \cdot {1,001}^{3} + 4 \cdot {1,001}^{2} - 6}{0,001}$ ≈ 14.01

x = 1.0001: $\frac{2 \cdot {1,0001}^{3} + 4 \cdot {1,0001}^{2} - 6}{0,0001}$ ≈ 14.001

x = 1.00001: $\frac{2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} - 6}{0.00001}$ ≈ 14.0001

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 6}{x - 1}$ ≈ 14

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 2 - (5 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 2 - 5 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - (3 u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - 3 u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{3 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $3 (x + u)$ = $3 \cdot (u + u)$ = $6 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $6 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $6 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)