Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -4 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-4) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 4 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-4)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{2}{4}$

= $\frac{1}{2}$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 2 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(2) = $2^2-3\cdot 2-1$ = $4-6-1$ = -3 und
f(4) = $4^2-3\cdot 4-1$ = $16-12-1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(2)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{3\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>3</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>2</mn>}}$

= $\frac{6}{2}$

= $3$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 4

f($\mathrm{0,5}$) = 2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 4 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($\mathrm{0,5}$) -2 = $2$ |+2

f($\mathrm{0,5}$) = 4

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{3x^2-1-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^2-1\right)}{x+1}$

= $\frac{3x^2-1-3\cdot {\left(-1\right)}^2+1}{x+1}$

= $\frac{3x^2-3\cdot {\left(-1\right)}^2}{x+1}$

= $\frac{3\left(x^2-{\left(-1\right)}^2\right)}{x+1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x-1\right)·\left(x+1\right)}{x+1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x+1$ rauskürzen:

= $3·\left(x-1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-1)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>1</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -1}}{\lim }$ $3\left(x-1\right)$ = $3\left(-1-1\right)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$

= $\frac{3{\left(-1+h\right)}^2-1-\left(3\cdot {\left(-1\right)}^2-1\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(-1+h\right)}^2-1-3\cdot {\left(-1\right)}^2+1}{h}$

= $\frac{3{\left(h-1\right)}^2-3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2-2h+1\right)-3}{h}$

= $\frac{3h^2-6h+3-3}{h}$

= $\frac{3h^2-6h}{h}$

= $\frac{3h\left(h-2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h-2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(-1+h)\; -\; f(-1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h-2\right)$ = $3\left(0-2\right)$ = -6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\frac{2x^4+x-\left(2\cdot {\left(-2\right)}^4-2\right)}{x+2}$ = $\frac{2x^4+x-32+2}{x+2}$ = $\frac{2x^4+x-30}{x+2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{1,9}\right)}^4-\mathrm{1,9}-30}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -58.358

x = -1.99: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{1,99}\right)}^4-\mathrm{1,99}-30}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -62.5216

x = -1.999: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{1,999}\right)}^4-\mathrm{1,999}-30}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -62.95202

x = -1.9999: $\frac{2\cdot {\left(-\mathrm{1,9999}\right)}^4-\mathrm{1,9999}-30}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -62.9952

x = -1.99999: $\frac{2\cdot {\left(-2\right)}^4-\mathrm{1,99999}-30}{0.00001}$ ≈ -62.99952

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{x\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; -2}}{\lim }$ $\frac{2x^4+x-30}{x+2}$ ≈ -63

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-4x^2+3-\left(-4u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+3+4u^2-3}{x-u}$

= $\frac{-4x^2+4u^2}{x-u}$

= $\frac{-4\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-4(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-4·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-4(x+u)$ = $-4·(u+u)$ = $-8u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-8u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-8x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5\sqrt{x}+4-\left(-5\sqrt{u}+4\right)}{x-u}$

= $\frac{-5\sqrt{x}+4+5\sqrt{u}-4}{x-u}$

= $\frac{-5\sqrt{x}+5\sqrt{u}}{x-u}$

= $\frac{-5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{x-u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${\left(\sqrt{x}\right)}^2$ statt x und ${\left(\sqrt{u}\right)}^2$ statt u:

= $\frac{-5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{u}\right)}^2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{u}\right)·\left(\sqrt{x}+\sqrt{u}\right)}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x}-\sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{-5}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $\frac{-5}{\sqrt{x}+\sqrt{u}}$ = $\frac{-5}{\sqrt{u}+\sqrt{u}}$ = $-\frac{5}{2\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-\frac{5}{2\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-\frac{5}{2\sqrt{x}}$.