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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{4 -(-5)}{3 -0}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x - 3$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;2].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = ${(- 1)}^{2} - 1 - 3$ = $1 - 1 - 3$ = -3 und
f(2) = $2^{2} + 2 - 3$ = $4 + 2 - 3$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 -(-1)}$

= $\frac{3 -(-3)}{2 -(-1)}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 2.Es gilt: f(-1) = -2. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(-1)}{1,5-(-1)}$ = 2

f( $1,5$ ) = -2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -(-2)}{2,5}$ = 2 |⋅ $2,5$

f( $1,5$ ) +2 = $5$ |-2

f( $1,5$ ) = 3

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 3$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - (3 \cdot {(- 2)}^{2} + 3)}{x + 2}$

= $\frac{3 x^{2} + 3 - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 3}{x + 2}$

= $\frac{3 x^{2} - 3 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{3 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $3 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $3 (x - 2)$ = $3 (- 2 - 2)$ = -12

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{3 {(- 2 + h)}^{2} + 3 - (3 \cdot {(- 2)}^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{3 {(- 2 + h)}^{2} + 3 - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 3}{h}$

= $\frac{3 {(h - 2)}^{2} - 12}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3 (h^{2} - 4 h + 4) - 12}{h}$

= $\frac{3 h^{2} - 12 h + 12 - 12}{h}$

= $\frac{3 h^{2} - 12 h}{h}$

= $\frac{3 h \cdot (h - 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (h - 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (h - 4)$ = $3 (0 - 4)$ = -12

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(4) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 4 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\frac{- 4 \sqrt{x} + 4 \sqrt{4}}{x - 4}$ = $\frac{- 4 \sqrt{x} + 8}{x - 4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{- 4 \sqrt{4,1} + 8}{0,1}$ ≈ -0.99383

x = 4.01: $\frac{- 4 \sqrt{4,01} + 8}{0,01}$ ≈ -0.99938

x = 4.001: $\frac{- 4 \sqrt{4,001} + 8}{0,001}$ ≈ -0.99994

x = 4.0001: $\frac{- 4 \sqrt{4,0001} + 8}{0,0001}$ ≈ -0.99999

x = 4.00001: $\frac{- 4 \sqrt{4} + 8}{0.00001}$ ≈ -1

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\lim_{x → 4}$ $\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\lim_{x → 4}$ $\frac{- 4 \sqrt{x} + 8}{x - 4}$ ≈ -1

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 2 - (5 u^{2} + 2)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 2 - 5 u^{2} - 2}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \sqrt{x} - 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- \sqrt{x} - 5 - (- \sqrt{u} - 5)}{x - u}$

= $\frac{- \sqrt{x} - 5 + \sqrt{u} + 5}{x - u}$

= $\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{u}}{x - u}$

= $\frac{- (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{x - u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${(\sqrt{x})}^{2}$ statt x und ${(\sqrt{u})}^{2}$ statt u:

= $\frac{- (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{u})}^{2}}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{(\sqrt{x} - \sqrt{u}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{u})}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x} - \sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{- 1}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $\frac{- 1}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$ = $\frac{- 1}{\sqrt{u} + \sqrt{u}}$ = $- \frac{1}{2 \sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- \frac{1}{2 \sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)