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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-5;4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(-5)}{4 -(-5)}$

= $\frac{0 -(-3)}{4 -(-5)}$

= $\frac{3}{9}$

= $\frac{1}{3}$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 3 x - 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[1;4].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 1 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(1) = $1^{2} - 3 \cdot 1 - 1$ = $1 - 3 - 1$ = -3 und
f(4) = $4^{2} - 3 \cdot 4 - 1$ = $16 - 12 - 1$ = 3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(1)}{4 -1}$

= $\frac{3 -(-3)}{4 -1}$

= $\frac{6}{3}$

= $2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-2 und x₂=0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 1.Es gilt: f(-2) = -1. Bestimme f(0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(0,5) - f(-2)}{0,5-(-2)}$ = 1

f( $0,5$ ) = -1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(0,5) -(-1)}{2,5}$ = 1 |⋅ $2,5$

f( $0,5$ ) +1 = $2,5$ |-1

f( $0,5$ ) = 1.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 4$ . Berechne f'(1) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4 - (- 3 \cdot 1^{2} + 4)}{x - 1}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4 + 3 \cdot 1^{2} - 4}{x - 1}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot 1^{2}}{x - 1}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - 1^{2})}{x - 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 1$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x + 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $- 3 (x + 1)$ = $- 3 (1 + 1)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

= $\frac{- 3 {(1 + h)}^{2} + 4 - (- 3 \cdot 1^{2} + 4)}{h}$

= $\frac{- 3 {(1 + h)}^{2} + 4 + 3 \cdot 1^{2} - 4}{h}$

= $\frac{- 3 {(h + 1)}^{2} + 3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} + 2 h + 1) + 3}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 6 h - 3 + 3}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} - 6 h}{h}$

= $\frac{- 3 h \cdot (h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- 3 (h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- 3 (h + 2)$ = $- 3 (0 + 2)$ = -6

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 5 x$ . Bestimme f'(-2) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der -2 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\frac{2 x^{3} - 5 x - (2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot (- 2))}{x + 2}$ = $\frac{2 x^{3} - 5 x + 16 - 10}{x + 2}$ = $\frac{2 x^{3} - 5 x + 6}{x + 2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der -2 annähern:

x = -1.9: $\frac{2 \cdot {(- 1,9)}^{3} - 5 \cdot (- 1,9) + 6}{0,1}$ ≈ 17.82

x = -1.99: $\frac{2 \cdot {(- 1,99)}^{3} - 5 \cdot (- 1,99) + 6}{0,01}$ ≈ 18.8802

x = -1.999: $\frac{2 \cdot {(- 1,999)}^{3} - 5 \cdot (- 1,999) + 6}{0,001}$ ≈ 18.988

x = -1.9999: $\frac{2 \cdot {(- 1,9999)}^{3} - 5 \cdot (- 1,9999) + 6}{0,0001}$ ≈ 18.9988

x = -1.99999: $\frac{2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot (- 2) + 6}{0.00001}$ ≈ 18.99988

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → -2 bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $\frac{2 x^{3} - 5 x + 6}{x + 2}$ ≈ 19

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 5$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 5 - (5 u^{2} + 5)}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} + 5 - 5 u^{2} - 5}{x - u}$

= $\frac{5 x^{2} - 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $5 (x + u)$ = $5 \cdot (u + u)$ = $10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 2 - (- 5 u^{2} + 2)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 2 + 5 u^{2} - 2}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)