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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 0 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{1 -(-2)}{3 -0}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{3} - x^{2} + 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-1;1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -1 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-1) = $- {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 1$ = $- (- 1) - 1 + 1$ = 1 und
f(1) = $- 1^{3} - 1^{2} + 1$ = $- 1 - 1 + 1$ = -1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 1 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-1)}{1 -(-1)}$

= $\frac{-1 -1}{1 -(-1)}$

= $\frac{-2}{2}$

= $- 1$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-1 und x₂=1,5 hat bei einer Funktion f den Wert 3.Es gilt: f(-1) = -5. Bestimme f(1,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(1,5) - f(-1)}{1,5-(-1)}$ = 3

f( $1,5$ ) = -5 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(1,5) -(-5)}{2,5}$ = 3 |⋅ $2,5$

f( $1,5$ ) +5 = $7,5$ |-5

f( $1,5$ ) = 2.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 4$ . Berechne f'(-1) mithilfe des Differenzenquotienten.

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1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4 - (- 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 4)}{x + 1}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 4 + 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 4}{x + 1}$

= $\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2}}{x + 1}$

= $\frac{- 3 (x^{2} - {(- 1)}^{2})}{x + 1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 3 (x - 1) \cdot (x + 1)}{x + 1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 1$ rauskürzen:

= $- 3 \cdot (x - 1)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -1 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{x → -1}$ $\frac{f(x) - f(-1)}{x -(-1)}$ = $\lim_{x → -1}$ $- 3 (x - 1)$ = $- 3 (- 1 - 1)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -1 + h und -1 auf:

$\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 1 + h)}^{2} + 4 - (- 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 4)}{h}$

= $\frac{- 3 {(- 1 + h)}^{2} + 4 + 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 4}{h}$

= $\frac{- 3 {(h - 1)}^{2} + 3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 3 (h^{2} - 2 h + 1) + 3}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 6 h - 3 + 3}{h}$

= $\frac{- 3 h^{2} + 6 h}{h}$

= $\frac{3 h (- h + 2)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3 (- h + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-1) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $3 (- h + 2)$ = $3 (- 0 + 2)$ = 6

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(25) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 25 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 25 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\frac{4 \sqrt{x} - 4 \sqrt{25}}{x - 25}$ = $\frac{4 \sqrt{x} - 20}{x - 25}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 25 annähern:

x = 25.1: $\frac{4 \sqrt{25,1} - 20}{0,1}$ ≈ 0.3996

x = 25.01: $\frac{4 \sqrt{25,01} - 20}{0,01}$ ≈ 0.39996

x = 25.001: $\frac{4 \sqrt{25,001} - 20}{0,001}$ ≈ 0.4

x = 25.0001: $\frac{4 \sqrt{25,0001} - 20}{0,0001}$ ≈ 0.4

x = 25.00001: $\frac{4 \sqrt{25} - 20}{0.00001}$ ≈ 0.4

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 25 bestimmen:

f'(25) = $\lim_{x → 25}$ $\frac{f(x) - f(25)}{x -25}$ = $\lim_{x → 25}$ $\frac{4 \sqrt{x} - 20}{x - 25}$ ≈ 0.4

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 4 - (u^{2} + 4)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 4 - u^{2} - 4}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 - (- 2 u^{2} + 2)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 + 2 u^{2} - 2}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)