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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[2;3].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 2 und x₂ = 3 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 2 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(2)}{3 -2}$

= $\frac{-2 -2}{3 -2}$

= $\frac{-4}{1}$

= $- 4$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x^{2} - 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;3].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^{3} - 2 \cdot 0^{2} - 5$ = $0 - 2 \cdot 0 - 5$ = -5 und
f(3) = $3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 5$ = $27 - 2 \cdot 9 - 5$ = 4
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(3) - f(0)}{3 -0}$

= $\frac{4 -(-5)}{3 -0}$

= $\frac{9}{3}$

= $3$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Radfahrers beträgt in den ersten 20 Minuten seiner Fahrt 35 km/h. Wie viele km, ist er dabei gekommen? (Runde auf eine Stelle hinter dem Komma.)

Lösung einblenden

60 min sind 1 h, also sind 20 min eben $\frac{20}{60}$ h = $\frac{1}{3}$ h.

Die durchschnittliche Änderungsrate - hier: die Durchschnittsgeschwindigkeit - kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(\frac{1}{3}) - f(0)}{\frac{1}{3}-0}$ = 35

f( $\frac{1}{3}$ ) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(\frac{1}{3}) -0}{\frac{1}{3}}$ = 35 |⋅ $\frac{1}{3}$

f( $\frac{1}{3}$ ) -0 = $\frac{35}{3}$ |+0

f( $\frac{1}{3}$ ) ≈ 11.667

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 5$ . Berechne f'(-2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 5 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5)}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 5 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5}{x + 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot {(- 2)}^{2}}{x + 2}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - {(- 2)}^{2})}{x + 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - 2) \cdot (x + 2)}{x + 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x + 2$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x - 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → -2 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{x → -2}$ $\frac{f(x) - f(-2)}{x -(-2)}$ = $\lim_{x → -2}$ $- 2 (x - 2)$ = $- 2 (- 2 - 2)$ = 8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen -2 + h und -2 auf:

$\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} - 5 - (- 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5)}{h}$

= $\frac{- 2 {(- 2 + h)}^{2} - 5 + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5}{h}$

= $\frac{- 2 {(h - 2)}^{2} + 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 2 (h^{2} - 4 h + 4) + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h - 8 + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} + 8 h}{h}$

= $\frac{2 h (- h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $2 (- h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(-2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $2 (- h + 4)$ = $2 (- 0 + 4)$ = 8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{- 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{1}}{x - 1}$ = $\frac{- 3 \sqrt{x} + 3}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{- 3 \sqrt{1,1} + 3}{0,1}$ ≈ -1.46427

x = 1.01: $\frac{- 3 \sqrt{1,01} + 3}{0,01}$ ≈ -1.49627

x = 1.001: $\frac{- 3 \sqrt{1,001} + 3}{0,001}$ ≈ -1.49963

x = 1.0001: $\frac{- 3 \sqrt{1,0001} + 3}{0,0001}$ ≈ -1.49996

x = 1.00001: $\frac{- 3 \sqrt{1} + 3}{0.00001}$ ≈ -1.5

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{- 3 \sqrt{x} + 3}{x - 1}$ ≈ -1.5

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 4 - (- 5 u^{2} + 4)}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 4 + 5 u^{2} - 4}{x - u}$

= $\frac{- 5 x^{2} + 5 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 5 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 5 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 5 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 5 (x + u)$ = $- 5 \cdot (u + u)$ = $- 10 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 10 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 10 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 3$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 3 - (u^{2} + 3)}{x - u}$

= $\frac{x^{2} + 3 - u^{2} - 3}{x - u}$

= $\frac{x^{2} - u^{2}}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $1 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $x + u$ = $1 \cdot (u + u)$ = $2 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)