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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-3;-1].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -3 und x₂ = -1 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-1) - f(-3) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -1 - ( - 3 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-1) - f(-3)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{1 -(-1)}{-1 -(-3)}$

= $\frac{2}{2}$

= $1$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x} - 5$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[0;4].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 4 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $3 \sqrt{0} - 5$ = $3 \cdot 0 - 5$ = -5 und
f(4) = $3 \sqrt{4} - 5$ = $3 \cdot 2 - 5$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{f(4) - f(0)}{4 -0}$

= $\frac{1 -(-5)}{4 -0}$

= $\frac{6}{4}$

= $\frac{3}{2}$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=1 und x₂=3,5 hat bei einer Funktion f den Wert 5.Es gilt: f(1) = 1. Bestimme f(3,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(3,5) - f(1)}{3,5-1}$ = 5

f( $3,5$ ) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(3,5) -1}{2,5}$ = 5 |⋅ $2,5$

f( $3,5$ ) -1 = $12,5$ |+1

f( $3,5$ ) = 13.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 4$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{- x^{2} - 4 - (- 2^{2} - 4)}{x - 2}$

= $\frac{- x^{2} - 4 + 2^{2} + 4}{x - 2}$

= $\frac{- x^{2} + 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{- (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $- 1 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $- (x + 2)$ = $- (2 + 2)$ = -4

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{- {(2 + h)}^{2} - 4 - (- 2^{2} - 4)}{h}$

= $\frac{- {(2 + h)}^{2} - 4 + 2^{2} + 4}{h}$

= $\frac{- {(h + 2)}^{2} + 4}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- (h^{2} + 4 h + 4) + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 4 h - 4 + 4}{h}$

= $\frac{- h^{2} - 4 h}{h}$

= $\frac{- h (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- (h + 4)$ = $- (0 + 4)$ = -4

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ . Bestimme f'(4) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 4 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 4 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{4}}{x - 4}$ = $\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 4 annähern:

x = 4.1: $\frac{\sqrt{4,1} - 2}{0,1}$ ≈ 0.24846

x = 4.01: $\frac{\sqrt{4,01} - 2}{0,01}$ ≈ 0.24984

x = 4.001: $\frac{\sqrt{4,001} - 2}{0,001}$ ≈ 0.24998

x = 4.0001: $\frac{\sqrt{4,0001} - 2}{0,0001}$ ≈ 0.25

x = 4.00001: $\frac{\sqrt{4} - 2}{0.00001}$ ≈ 0.25

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 4 bestimmen:

f'(4) = $\lim_{x → 4}$ $\frac{f(x) - f(4)}{x -4}$ = $\lim_{x → 4}$ $\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ ≈ 0.25

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 4 - (2 u^{2} - 4)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 4 - 2 u^{2} + 4}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $2 (x + u)$ = $2 \cdot (u + u)$ = $4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $4 \sqrt{x} + 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{4 \sqrt{x} + 4 - (4 \sqrt{u} + 4)}{x - u}$

= $\frac{4 \sqrt{x} + 4 - 4 \sqrt{u} - 4}{x - u}$

= $\frac{4 \sqrt{x} - 4 \sqrt{u}}{x - u}$

= $\frac{4 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{x - u}$

Um Zähler und Nenner ähnlicher zu machen, nutzt man jetzt einen Trick und schreibt ${(\sqrt{x})}^{2}$ statt x und ${(\sqrt{u})}^{2}$ statt u:

= $\frac{4 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{u})}^{2}}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{4 (\sqrt{x} - \sqrt{u})}{(\sqrt{x} - \sqrt{u}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{u})}$

Jetzt lässt sich $\sqrt{x} - \sqrt{u}$ diagonal rauskürzen:

= $\frac{4}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $\frac{4}{\sqrt{x} + \sqrt{u}}$ = $\frac{4}{\sqrt{u} + \sqrt{u}}$ = $\frac{2}{\sqrt{u}}$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $\frac{2}{\sqrt{u}}$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $\frac{2}{\sqrt{x}}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)