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Differenzenquotient aus Graph ablesen

Beispiel:

Im Schaubild ist der Graph der Funktion f abgebildet. Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-5;-4].

Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -5 und x₂ = -4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(-4) - f(-5) in den Zähler und die Differenz der x-Werte -4 - ( - 5 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(-4) - f(-5)}{-4 -(-5)}$

= $\frac{0 -(-3)}{-4 -(-5)}$

= $\frac{3}{1}$

= $3$

Differenzenquotient aus Term ablesen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 3 x + 1$ . Bestimme den Differenzenquotient von f im Intervall I=[-2;1].

Lösung einblenden

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = -2 und x₂ = 1 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(-2) = $- {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) + 1$ = $- 4 + 6 + 1$ = 3 und
f(1) = $- 1^{2} - 3 \cdot 1 + 1$ = $- 1 - 3 + 1$ = -3
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(1) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 1 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{f(1) - f(-2)}{1 -(-2)}$

= $\frac{-3 -3}{1 -(-2)}$

= $\frac{-6}{3}$

= $- 2$

Differenzenquotient rückwärts

Beispiel:

Die durchschnittliche Änderungsrate zwischen x₁=-1 und x₂=-0,5 hat bei einer Funktion f den Wert 1.Es gilt: f(-1) = 1. Bestimme f(-0,5).

Lösung einblenden

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{f(- 0,5) - f(-1)}{- 0,5-(-1)}$ = 1

f( $- 0,5$ ) = 1 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{f(- 0,5) -1}{0,5}$ = 1 |⋅ $0,5$

f( $- 0,5$ ) -1 = $0,5$ |+1

f( $- 0,5$ ) = 1.5

Ableitung mit Differenzenquotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 3$ . Berechne f'(2) mithilfe des Differenzenquotienten.

Lösung einblenden

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 3 - (- 2 \cdot 2^{2} + 3)}{x - 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 3 + 2 \cdot 2^{2} - 3}{x - 2}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2^{2}}{x - 2}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - 2$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + 2)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 2 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{x → 2}$ $\frac{f(x) - f(2)}{x -2}$ = $\lim_{x → 2}$ $- 2 (x + 2)$ = $- 2 (2 + 2)$ = -8

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 + h und 2 auf:

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

= $\frac{- 2 {(2 + h)}^{2} + 3 - (- 2 \cdot 2^{2} + 3)}{h}$

= $\frac{- 2 {(2 + h)}^{2} + 3 + 2 \cdot 2^{2} - 3}{h}$

= $\frac{- 2 {(h + 2)}^{2} + 8}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{- 2 (h^{2} + 4 h + 4) + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} - 8 h - 8 + 8}{h}$

= $\frac{- 2 h^{2} - 8 h}{h}$

= $\frac{- 2 h (h + 4)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $- 2 (h + 4)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(2) = $\lim_{h → 0}$ $\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ = $\lim_{h → 0}$ $- 2 (h + 4)$ = $- 2 (0 + 4)$ = -8

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}}$ . Bestimme f'(1) auf 3 Stellen nach dem Komma genau, indem du Zahlen in den Differenzenquotient einsetzt, die sich der 1 immer mehr annähern.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\frac{- \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{1^{2}}}{x - 1}$ = $\frac{- \frac{4}{x^{2}} + 4}{x - 1}$ = $\frac{4 - \frac{4}{x^{2}}}{x - 1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{4 - \frac{4}{{1,1}^{2}}}{0,1}$ ≈ 6.94215

x = 1.01: $\frac{4 - \frac{4}{{1,01}^{2}}}{0,01}$ ≈ 7.88158

x = 1.001: $\frac{4 - \frac{4}{{1,001}^{2}}}{0,001}$ ≈ 7.98802

x = 1.0001: $\frac{4 - \frac{4}{{1,0001}^{2}}}{0,0001}$ ≈ 7.9988

x = 1.00001: $\frac{4 - \frac{4}{1^{2}}}{0.00001}$ ≈ 7.99988

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\lim_{x → 1}$ $\frac{f(x) - f(1)}{x -1}$ = $\lim_{x → 1}$ $\frac{4 - \frac{4}{x^{2}}}{x - 1}$ ≈ 8

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 4$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 4 - (2 u^{2} - 4)}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 4 - 2 u^{2} + 4}{x - u}$

= $\frac{2 x^{2} - 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $2 (x + u)$ = $2 \cdot (u + u)$ = $4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4 x$ .

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 2$ . Berechne die Ableitungsfunktion f'(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u.

Lösung einblenden

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 2 - (- 2 u^{2} - 2)}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} - 2 + 2 u^{2} + 2}{x - u}$

= $\frac{- 2 x^{2} + 2 u^{2}}{x - u}$

= $\frac{- 2 (x^{2} - u^{2})}{x - u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{- 2 (x - u) \cdot (x + u)}{x - u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x - u$ rauskürzen:

= $- 2 \cdot (x + u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\lim_{x → u}$ $\frac{f(x) - f(u)}{x - u}$ = $\lim_{x → u}$ $- 2 (x + u)$ = $- 2 \cdot (u + u)$ = $- 4 u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $- 4 u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $- 4 x$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Differenzenquotient aus Graph ablesen

Differenzenquotient aus Term ablesen

Differenzenquotient rückwärts

Ableitung mit Differenzenquotient

1. Weg

2. Weg

Ableitung mit Differenzenquotient (numerisch)

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient

Ableitungsfunktion mit Diff.-Quotient (schwer)