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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 33 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.7571
43	0.661
44	0.5577
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.75}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.75⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.75}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5577 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,8. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% 28 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.5339
35	0.4007
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 28)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 27)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 27)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.8}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.8⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.4007 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 35 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 25 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
131	0.807
132	0.7957
133	0.7841
134	0.7722
135	0.76
136	0.7475
137	0.7347
138	0.7217
139	0.7085
140	0.6951
141	0.6814
142	0.6676
143	0.6537
144	0.6396
145	0.6253
146	0.611
147	0.5966
148	0.5822
149	0.5677
150	0.5531
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{\frac{1}{6}}$ ≈ 150 Versuchen auch ungefähr 25 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅150) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=150:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.5531 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=131 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥10)=1-P(X≤9)
...	...
$\frac{5}{14}$	0.9997
$\frac{5}{15}$	0.9988
$\frac{5}{16}$	0.9967
$\frac{5}{17}$	0.9924
$\frac{5}{18}$	0.9846
$\frac{5}{19}$	0.9724
$\frac{5}{20}$	0.9548
$\frac{5}{21}$	0.9316
$\frac{5}{22}$	0.9026
$\frac{5}{23}$	0.8683
$\frac{5}{24}$	0.8294
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{60} (X \geq 10)$ = 1- $P_{p}^{60} (X \leq 9)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{60} (X \geq 10)$ ('mindestens 10 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{23}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 23 sein.

Also wären noch 18 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3. Das Zufallsexperiment soll 53 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 53 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 60% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
11	0.0906
12	0.1537
13	0.2392
14	0.3437
15	0.4603
16	0.5789
17	0.6895
18	0.7844
19	0.8592
20	0.9138
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und n = 53.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{53} (X \leq k)$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 16 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.3}^{53} (X \leq 17)$ nimmt mit 68.95% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.3}^{53} (X \leq k)$ < 0.6 ist somit k = 16.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 16 sein.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 45 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 6 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 2% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
8	0.6689
9	0.793
10	0.8823
11	0.9391
12	0.9714
13	0.9877
14	0.9952
15	0.9983
16	0.9994
17	0.9998
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \geq k)$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq k-1)$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq 13)$ nimmt mit 98.77% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{45} (X \leq k-1)$ < 0.02 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.

0

1

2

3

4

5

6

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8

9

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12

13

14

15

16

17

18

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55. Das Zufallsexperiment soll 65 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 65 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 60% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
31	0.1447
32	0.2086
33	0.2866
34	0.3764
35	0.4735
36	0.5725
37	0.6673
38	0.7527
39	0.8249
40	0.8823
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und n = 65.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{65} (X \leq k)$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 36 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.55}^{65} (X \leq 37)$ nimmt mit 66.73% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.55}^{65} (X \leq k)$ < 0.6 ist somit k = 36.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 36 sein.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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