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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 8% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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nP(X≤k)
......
120.6323
130.2794
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.92 und variablem n.

Es muss gelten: P0.92n (X12) ≥ 0.7

Weil man ja aber P0.92n (X12) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.92n (X12) = 1 - P0.92n (X11) ≥ 0.7 |+ P0.92n (X11) - 0.7

0.3 ≥ P0.92n (X11) oder P0.92n (X11) ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 92% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 12 0.92 ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.92⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
P0.92n (X11) ≈ 0.2794 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 13 sein, damit P0.92n (X11) ≤ 0.3 oder eben P0.92n (X12) ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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nP(X≤k)
......
100.2141
110.1835
120.1573
130.1348
140.1155
150.099
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 7 n (X1) ≥ 0.9

Weil man ja aber P 1 7 n (X1) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 7 n (X1) = 1 - P 1 7 n (X0) ≥ 0.9 |+ P 1 7 n (X0) - 0.9

0.1 ≥ P 1 7 n (X0) oder P 1 7 n (X0) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 7 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 1 1 7 ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ 1 7 ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
P 1 7 n (X0) ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit P 1 7 n (X0) ≤ 0.1 oder eben P 1 7 n (X1) ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 34 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
410.739
420.6223
430.4997
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X34) ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 34 0.8 ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.8⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
P0.8n (X34) ≈ 0.4997 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 26 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 26 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
8 12 0.9996
9 13 0.9991
10 14 0.9982
11 15 0.9967
12 16 0.9945
13 17 0.9916
14 18 0.9878
15 19 0.983
16 20 0.9773
17 21 0.9707
18 22 0.9633
19 23 0.9549
20 24 0.9458
21 25 0.936
22 26 0.9256
23 27 0.9146
24 28 0.9031
25 29 0.8912
26 30 0.8789
27 31 0.8664
28 32 0.8536
29 33 0.8406
30 34 0.8275
31 35 0.8144
32 36 0.8012
33 37 0.788
34 38 0.7748
35 39 0.7617
36 40 0.7487
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=26 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp26 (X24) = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp26 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 26 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 8 12 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 35 39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 35 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 17% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 60 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 15% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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kP(X≤k)
......
10.0002
20.0012
30.0053
40.0173
50.0448
60.0963
70.1778
80.2884
90.4193
100.556
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und n = 60.

Es muss gelten: P0.1760 (Xk) < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.1760 (X7) nimmt mit 17.78% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit P0.1760 (Xk) < 0.15 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 6%. Für einen bestimmten Betrag darf man 16 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 11% ausgegeben werden muss?

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kP(X≤k)
00.3716
10.7511
20.9327
30.9868
40.9981
50.9998
61
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 16.

Es muss gelten: P0.0616 (Xk) < 0.11 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P0.0616 (Xk-1) ≥ 0.89 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.89 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.0616 (X2) nimmt mit 93.27% einen Wert über 0.89 an.

Das kleinstmögliche k mit P0.0616 (Xk) = 1 - P0.0616 (Xk-1) < 0.11 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 13% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 65 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 20% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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kP(X≤k)
00.0001
10.0013
20.0067
30.0238
40.0633
50.1354
60.2431
70.3788
80.5257
90.6648
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 65.

Es muss gelten: P0.1365 (Xk) < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 5 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.1365 (X6) nimmt mit 24.31% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit P0.1365 (Xk) < 0.2 ist somit k = 5.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 5 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)