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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 40 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
50	0.4164
51	0.3148
52	0.2283
53	0.1592
54	0.1068
55	0.0691
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 40)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 39)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 39)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{40}{0.8}$ ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.8⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.4164 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 55 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 39)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 40)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 28 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.4367
44	0.359
45	0.2887
46	0.2271
47	0.1749
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.65}^{n} (X \geq 28)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.65}^{n} (X \geq 28)$ = 1 - $P_{0.65}^{n} (X \leq 27)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.65}^{n} (X \leq 27)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.65}^{n} (X \leq 27)$ oder $P_{0.65}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{28}{0.65}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 28 (≈0.65⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 27)$ ≈ 0.4367 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=47 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 47 sein, damit $P_{0.65}^{n} (X \leq 27)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.65}^{n} (X \geq 28)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 23 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
27	0.8177
28	0.6851
29	0.5366
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.8}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.8⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 23)$ ≈ 0.5366 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=27 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 29 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 29 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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p	P(X≤24)
...	...
$\frac{5}{9}$	0.9995
$\frac{6}{10}$	0.9978
$\frac{7}{11}$	0.9932
$\frac{8}{12}$	0.9839
$\frac{9}{13}$	0.9686
$\frac{10}{14}$	0.9468
$\frac{11}{15}$	0.9186
$\frac{12}{16}$	0.8847
$\frac{13}{17}$	0.8462
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=29 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{29} (X \leq 24)$ = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 4 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{29} (X \leq 24)$ ('höchstens 24 Treffer bei 29 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{12}{16}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 13%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 9% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.0815
1	0.3008
2	0.5794
3	0.8014
4	0.9257
5	0.9778
6	0.9946
7	0.9989
8	0.9998
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{18} (X \geq k)$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.13}^{18} (X \leq k-1)$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{18} (X \leq 4)$ nimmt mit 92.57% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.13}^{18} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.13}^{18} (X \leq k-1)$ < 0.09 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 35 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 4 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 4% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
8	0.4743
9	0.6263
10	0.7581
11	0.8579
12	0.9244
13	0.9637
14	0.9842
15	0.9938
16	0.9978
17	0.9993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \geq k)$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \leq k-1)$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \leq 13)$ nimmt mit 96.37% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \leq k-1)$ < 0.04 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,85. Das Zufallsexperiment soll 68 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 68 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 50% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
52	0.0417
53	0.077
54	0.1326
55	0.2127
56	0.3181
57	0.4438
58	0.5789
59	0.7087
60	0.819
61	0.901
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und n = 68.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{68} (X \leq k)$ < 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 57 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.85}^{68} (X \leq 58)$ nimmt mit 57.89% einen Wert über 0.5 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.85}^{68} (X \leq k)$ < 0.5 ist somit k = 57.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 57 sein.

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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