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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 30 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
189	0.3551
190	0.3432
191	0.3316
192	0.3201
193	0.3089
194	0.2979
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{\frac{1}{6}}$ ≈ 180 Versuchen auch ungefähr 30 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅180) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=180:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.469 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=194 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 194 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 30)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 84% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit in mindestens 2 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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n	P(X≤k)
...	...
13	0.3604
14	0.3193
15	0.2821
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.16}^{n} (X \geq 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.16}^{n} (X \geq 2)$ = 1 - $P_{0.16}^{n} (X \leq 1)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.16}^{n} (X \leq 1)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.16}^{n} (X \leq 1)$ oder $P_{0.16}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 16% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{0.16}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.16⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.16}^{n} (X \leq 1)$ ≈ 0.3604 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit $P_{0.16}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.16}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,08. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 90% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.92
2	0.8464
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.08}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=1 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 13 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 13 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{8}$	0.5843
$\frac{2}{9}$	0.6767
$\frac{2}{10}$	0.7473
$\frac{2}{11}$	0.801
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=13 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 13 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{13}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{13}$ ⋅13 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{13} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{13}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 11 sein.

Also werden noch 9 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 30 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 3 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 6% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
9	0.4317
10	0.5848
11	0.7239
12	0.834
13	0.9102
14	0.9565
15	0.9812
16	0.9928
17	0.9975
18	0.9993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{30} (X \geq k)$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{30} (X \leq k-1)$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 13 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{30} (X \leq 14)$ nimmt mit 95.65% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{30} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{30} (X \leq k-1)$ < 0.06 ist somit k = 15.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 15 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 30 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 6% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
5	0.4275
6	0.607
7	0.7608
8	0.8713
9	0.9389
10	0.9744
11	0.9905
12	0.9969
13	0.9991
14	0.9998
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \geq k)$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \leq k-1)$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \leq 10)$ nimmt mit 97.44% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \leq k-1)$ < 0.06 ist somit k = 11.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 11 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2. Das Zufallsexperiment soll 58 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 58 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 65% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
7	0.0837
8	0.1538
9	0.251
10	0.3702
11	0.5002
12	0.6275
13	0.7401
14	0.8305
15	0.8969
16	0.9415
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und n = 58.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{58} (X \leq k)$ < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.2}^{58} (X \leq 13)$ nimmt mit 74.01% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.2}^{58} (X \leq k)$ < 0.65 ist somit k = 12.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 12 sein.

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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