Mathebattle EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,35. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 27 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
78	0.4293
79	0.3974
80	0.3666
81	0.3369
82	0.3084
83	0.2814
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.35}^{n} (X \geq 27)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{n} (X \geq 27)$ = 1 - $P_{0.35}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.35}^{n} (X \leq 26)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.35}^{n} (X \leq 26)$ oder $P_{0.35}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{27}{0.35}$ ≈ 77 Versuchen auch ungefähr 27 (≈0.35⋅77) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=77:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.462 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=83 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 83 sein, damit $P_{0.35}^{n} (X \leq 26)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.35}^{n} (X \geq 27)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 19% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, 32 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
169	0.4604
170	0.4457
171	0.4312
172	0.4168
173	0.4026
174	0.3886
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.19 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.19}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.19}^{n} (X \geq 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.19}^{n} (X \geq 32)$ = 1 - $P_{0.19}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.19}^{n} (X \leq 31)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.19}^{n} (X \leq 31)$ oder $P_{0.19}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 19% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{0.19}$ ≈ 168 Versuchen auch ungefähr 32 (≈0.19⋅168) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=168:
$P_{0.19}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.4752 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=174 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 174 sein, damit $P_{0.19}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.19}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 12% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 34-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 70% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
37	0.8373
38	0.6842
39	0.5098
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.88 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.88}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 88% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.88}$ ≈ 39 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.88⋅39) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=39:
$P_{0.88}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.5098 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 50 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 50 Durchgänge reichen?

Lösung einblenden

p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.576
$\frac{1}{8}$	0.7165
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{50} (X \leq 7)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{50} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 50 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{50}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{50}$ ⋅50 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{50} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{50}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 8 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 11% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 90 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 20% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
1	0.0003
2	0.002
3	0.0082
4	0.0248
5	0.0602
6	0.122
7	0.2137
8	0.3314
9	0.4638
10	0.5964
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 90.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{90} (X \leq k)$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{90} (X \leq 7)$ nimmt mit 21.37% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.11}^{90} (X \leq k)$ < 0.2 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 14%. Für einen bestimmten Betrag darf man 14 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 11% ausgegeben werden muss?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
0	0.1211
1	0.3969
2	0.6889
3	0.879
4	0.9641
5	0.9918
6	0.9985
7	0.9998
8	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{14} (X \geq k)$ < 0.11 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.14}^{14} (X \leq k-1)$ ≥ 0.89 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.89 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{14} (X \leq 4)$ nimmt mit 96.41% einen Wert über 0.89 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.14}^{14} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.14}^{14} (X \leq k-1)$ < 0.11 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4. Das Zufallsexperiment soll 53 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 53 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 60% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
16	0.0923
17	0.1496
18	0.2259
19	0.3196
20	0.4259
21	0.5372
22	0.6451
23	0.7421
24	0.8229
25	0.8854
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und n = 53.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{53} (X \leq k)$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 21 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.4}^{53} (X \leq 22)$ nimmt mit 64.51% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.4}^{53} (X \leq k)$ < 0.6 ist somit k = 21.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 21 sein.

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)