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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,65. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 23 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
35	0.4577
36	0.3708
37	0.2926
38	0.2251
39	0.1689
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.65}^{n} (X \geq 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.65}^{n} (X \geq 23)$ = 1 - $P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ oder $P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.65}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.65⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.4577 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 39 sein, damit $P_{0.65}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.65}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 34 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
214	0.352
215	0.3409
216	0.3299
217	0.3192
218	0.3086
219	0.2982
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{\frac{1}{6}}$ ≈ 204 Versuchen auch ungefähr 34 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅204) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=204:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4709 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=219 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 219 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 14% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 34-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 50% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
39	0.6537
40	0.4958
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.86 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.86}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 86% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.86}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.86⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.86}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4958 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 8 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 8 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% für die 65 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤8)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.5741
$\frac{1}{9}$	0.7062
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \leq 8)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{65} (X \leq 8)$ ('höchstens 8 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{8}{65}$ . Mit diesem p wäre ja 8= $\frac{8}{65}$ ⋅65 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{65} (X \leq 8)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{8}{65}$ mit $\frac{1}{8}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 15%. Für einen bestimmten Betrag darf man 10 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 9% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.1969
1	0.5443
2	0.8202
3	0.95
4	0.9901
5	0.9986
6	0.9999
7	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{10} (X \geq k)$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.15}^{10} (X \leq k-1)$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{10} (X \leq 3)$ nimmt mit 95% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.15}^{10} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.15}^{10} (X \leq k-1)$ < 0.09 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 12%. Für einen bestimmten Betrag darf man 12 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.2157
1	0.5686
2	0.8333
3	0.9536
4	0.9905
5	0.9986
6	0.9998
7	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.12 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.12}^{12} (X \geq k)$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.12}^{12} (X \leq k-1)$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.12}^{12} (X \leq 3)$ nimmt mit 95.36% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.12}^{12} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.12}^{12} (X \leq k-1)$ < 0.05 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 14% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 85 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 15% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
3	0.0014
4	0.0053
5	0.0154
6	0.0375
7	0.0779
8	0.1422
9	0.2316
10	0.3423
11	0.4652
12	0.5885
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 85.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{85} (X \leq k)$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{85} (X \leq 9)$ nimmt mit 23.16% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{85} (X \leq k)$ < 0.15 ist somit k = 8.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 8 sein.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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