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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 15% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, 22 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
144	0.5016
145	0.4877
146	0.4738
147	0.4601
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.15}^{n} (X \geq 22)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.15}^{n} (X \geq 22)$ = 1 - $P_{0.15}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.15}^{n} (X \leq 21)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.15}^{n} (X \leq 21)$ oder $P_{0.15}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.15}$ ≈ 147 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.15⋅147) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=147:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.4601 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=145 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 145 sein, damit $P_{0.15}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.15}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 35 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
232	0.2343
233	0.2256
234	0.2171
235	0.2088
236	0.2008
237	0.193
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 35)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{\frac{1}{6}}$ ≈ 210 Versuchen auch ungefähr 35 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅210) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=210:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4713 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=237 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 237 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 33 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
176	0.8022
177	0.7924
178	0.7823
179	0.7721
180	0.7616
181	0.7508
182	0.7399
183	0.7288
184	0.7175
185	0.706
186	0.6944
187	0.6826
188	0.6706
189	0.6586
190	0.6464
191	0.6341
192	0.6217
193	0.6093
194	0.5968
195	0.5842
196	0.5716
197	0.559
198	0.5463
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{\frac{1}{6}}$ ≈ 198 Versuchen auch ungefähr 33 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅198) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=198:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.5463 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=176 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{4}{14}$	0.9998
$\frac{4}{15}$	0.9993
$\frac{4}{16}$	0.9978
$\frac{4}{17}$	0.9945
$\frac{4}{18}$	0.9883
$\frac{4}{19}$	0.9779
$\frac{4}{20}$	0.9622
$\frac{4}{21}$	0.9405
$\frac{4}{22}$	0.9126
$\frac{4}{23}$	0.8786
$\frac{4}{24}$	0.8391
$\frac{4}{25}$	0.795
$\frac{4}{26}$	0.7476
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 11)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{25}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 25 sein.

Also wären noch 21 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 12%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 13% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.1002
1	0.346
2	0.631
3	0.8382
4	0.9442
5	0.9846
6	0.9966
7	0.9994
8	0.9999
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.12 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.12}^{18} (X \geq k)$ < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.12}^{18} (X \leq k-1)$ ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.12}^{18} (X \leq 4)$ nimmt mit 94.42% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.12}^{18} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.12}^{18} (X \leq k-1)$ < 0.13 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 35 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 4 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 8% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
7	0.3223
8	0.4743
9	0.6263
10	0.7581
11	0.8579
12	0.9244
13	0.9637
14	0.9842
15	0.9938
16	0.9978
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{4}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \geq k)$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \leq k-1)$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 11 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \leq 12)$ nimmt mit 92.44% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{4}}^{35} (X \leq k-1)$ < 0.08 ist somit k = 13.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 13 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15. Das Zufallsexperiment soll 68 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 68 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
7	0.181
8	0.2913
9	0.4211
10	0.5562
11	0.6819
12	0.7873
13	0.8674
14	0.923
15	0.9583
16	0.9789
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 68.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{68} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{68} (X \leq 13)$ nimmt mit 86.74% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.15}^{68} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 12.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 12 sein.

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

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30

31

32

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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