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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 22 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
250.9018
260.7932
270.652
280.4995
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X22) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 22 0.8 ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.8⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
P0.8n (X22) ≈ 0.4995 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 23 oder mehr 6er zu erzielen?

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nP(X≤k)
......
1540.2509
1550.2399
1560.2292
1570.2189
1580.2088
1590.1991
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 6 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 6 n (X23) ≥ 0.8

Weil man ja aber P 1 6 n (X23) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 6 n (X23) = 1 - P 1 6 n (X22) ≥ 0.8 |+ P 1 6 n (X22) - 0.8

0.2 ≥ P 1 6 n (X22) oder P 1 6 n (X22) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 6 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 23 1 6 ≈ 138 Versuchen auch ungefähr 23 (≈ 1 6 ⋅138) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=138:
P 1 6 n (X22) ≈ 0.4646 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=159 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 159 sein, damit P 1 6 n (X22) ≤ 0.2 oder eben P 1 6 n (X23) ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 36 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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nP(X≤k)
......
390.7622
400.5769
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: P0.9n (X36) ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 36 0.9 ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.9⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
P0.9n (X36) ≈ 0.5769 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 28 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln dürfen in der Urne höchstens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 28 gezogenen Kugeln nicht mehr als 24 schwarze sind?

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pP(X≤24)
......
7 12 0.9996
8 13 0.9988
9 14 0.9971
10 15 0.9939
11 16 0.9889
12 17 0.9817
13 18 0.972
14 19 0.9597
15 20 0.9449
16 21 0.9276
17 22 0.9082
18 23 0.8869
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp28 (X24) = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp28 (X24) ('höchstens 24 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 7 12 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 17 22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 17 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 16% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 95 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 15% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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kP(X≤k)
......
60.0039
70.0104
80.0239
90.0487
100.0894
110.1493
120.2291
130.3262
140.4346
150.546
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 95.

Es muss gelten: P0.1695 (Xk) < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 11 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.1695 (X12) nimmt mit 22.91% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit P0.1695 (Xk) < 0.15 ist somit k = 11.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 11 sein.

6
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11
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31
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 6%. Für einen bestimmten Betrag darf man 12 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 14% ausgegeben werden muss?

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kP(X≤k)
00.4759
10.8405
20.9684
30.9957
40.9996
51
61
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 12.

Es muss gelten: P0.0612 (Xk) < 0.14 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P0.0612 (Xk-1) ≥ 0.86 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.86 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.0612 (X2) nimmt mit 96.84% einen Wert über 0.86 an.

Das kleinstmögliche k mit P0.0612 (Xk) = 1 - P0.0612 (Xk-1) < 0.14 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 16% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 80 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 20% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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kP(X≤k)
......
40.0024
50.0077
60.0203
70.0456
80.0896
90.1566
100.2472
110.3571
120.4774
130.5973
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 80.

Es muss gelten: P0.1680 (Xk) < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.1680 (X10) nimmt mit 24.72% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit P0.1680 (Xk) < 0.2 ist somit k = 9.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 9 sein.

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)