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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 16% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 36-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
42	0.6829
43	0.544
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.84}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.84}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.84⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.84}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.544 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 3 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
31	0.1604
32	0.1449
33	0.1307
34	0.1178
35	0.106
36	0.0953
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\frac{1}{7}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,4.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 35 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
82	0.7301
83	0.6986
84	0.666
85	0.6325
86	0.5983
87	0.5636
88	0.5289
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.4 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.4}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 40% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.4}$ ≈ 88 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.4⋅88) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=88:
$P_{0.4}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5289 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 5 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 5 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% für die 75 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤5)
...	...
$\frac{1}{15}$	0.616
$\frac{1}{16}$	0.6725
$\frac{1}{17}$	0.721
$\frac{1}{18}$	0.7625
$\frac{1}{19}$	0.7978
$\frac{1}{20}$	0.8276
$\frac{1}{21}$	0.8528
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{75} (X \leq 5)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{75} (X \leq 5)$ ('höchstens 5 Treffer bei 75 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{5}{75}$ . Mit diesem p wäre ja 5= $\frac{5}{75}$ ⋅75 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{75} (X \leq 5)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{5}{75}$ mit $\frac{1}{5}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{15}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{21}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 21 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75. Das Zufallsexperiment soll 67 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 67 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
47	0.2162
48	0.3046
49	0.4075
50	0.5187
51	0.6298
52	0.7324
53	0.8195
54	0.8872
55	0.9353
56	0.9661
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 67.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{67} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 52 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{67} (X \leq 53)$ nimmt mit 81.95% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{67} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 52.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 52 sein.

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 45 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 3 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 6% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
15	0.5695
16	0.687
17	0.7872
18	0.8652
19	0.9206
20	0.9566
21	0.978
22	0.9897
23	0.9955
24	0.9982
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 45.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{45} (X \geq k)$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{45} (X \leq k-1)$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 19 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{45} (X \leq 20)$ nimmt mit 95.66% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{45} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{45} (X \leq k-1)$ < 0.06 ist somit k = 21.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 21 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 14% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 80 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 15% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
2	0.0006
3	0.0026
4	0.009
5	0.0248
6	0.057
7	0.1123
8	0.1946
9	0.3017
10	0.4255
11	0.5538
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{80} (X \leq k)$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{80} (X \leq 8)$ nimmt mit 19.46% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{80} (X \leq k)$ < 0.15 ist somit k = 7.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 7 sein.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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