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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
55	0.9007
56	0.8758
57	0.8473
58	0.8154
59	0.7803
60	0.7424
61	0.702
62	0.6597
63	0.6159
64	0.5713
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.45}$ ≈ 64 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.45⋅64) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=64:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5713 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=55 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,5. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% 33 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
68	0.3582
69	0.3152
70	0.2752
71	0.2383
72	0.2048
73	0.1746
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{33}{0.5}$ ≈ 66 Versuchen auch ungefähr 33 (≈0.5⋅66) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=66:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.4511 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=73 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 73 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 32)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 33)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
97	0.7061
98	0.6823
99	0.6579
100	0.6331
101	0.6079
102	0.5825
103	0.5569
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.3}$ ≈ 103 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.3⋅103) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=103:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5569 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=97 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 2 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 120 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 2 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{2}{9}$	0.999
$\frac{2}{10}$	0.9944
$\frac{2}{11}$	0.9803
$\frac{2}{12}$	0.9499
$\frac{2}{13}$	0.8991
$\frac{2}{14}$	0.8285
$\frac{2}{15}$	0.7431
$\frac{2}{16}$	0.6497
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=120 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{120} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{120} (X \leq 13)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{120} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 120 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{2}{9}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{15}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 15 sein.

Also wären noch 13 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 14% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 80 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 15% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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k	P(X≤k)
...	...
2	0.0006
3	0.0026
4	0.009
5	0.0248
6	0.057
7	0.1123
8	0.1946
9	0.3017
10	0.4255
11	0.5538
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{80} (X \leq k)$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{80} (X \leq 8)$ nimmt mit 19.46% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{80} (X \leq k)$ < 0.15 ist somit k = 7.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 7 sein.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 11%. Für einen bestimmten Betrag darf man 16 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.155
1	0.4614
2	0.7455
3	0.9093
4	0.9752
5	0.9947
6	0.9991
7	0.9999
8	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 16.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{16} (X \geq k)$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.11}^{16} (X \leq k-1)$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{16} (X \leq 4)$ nimmt mit 97.52% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.11}^{16} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.11}^{16} (X \leq k-1)$ < 0.05 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75. Das Zufallsexperiment soll 62 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 62 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 75% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
43	0.1879
44	0.2735
45	0.3762
46	0.4902
47	0.6065
48	0.7156
49	0.809
50	0.882
51	0.9334
52	0.9661
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 62.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{62} (X \leq k)$ < 0.75

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 48 immer noch weniger als 0.75 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{62} (X \leq 49)$ nimmt mit 80.9% einen Wert über 0.75 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{62} (X \leq k)$ < 0.75 ist somit k = 48.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 48 sein.

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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