Mathebattle EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, höchstens 31 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
42	0.9156
43	0.873
44	0.8196
45	0.7563
46	0.6851
47	0.6087
48	0.5301
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 65% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{31}{0.65}$ ≈ 48 Versuchen auch ungefähr 31 (≈0.65⋅48) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=48:
$P_{0.65}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.5301 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=42 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 13% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, 38 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
309	0.3319
310	0.324
311	0.3163
312	0.3087
313	0.3011
314	0.2937
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.13}^{n} (X \geq 38)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.13}^{n} (X \geq 38)$ = 1 - $P_{0.13}^{n} (X \leq 37)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.13}^{n} (X \leq 37)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.13}^{n} (X \leq 37)$ oder $P_{0.13}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 13% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.13}$ ≈ 292 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.13⋅292) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=292:
$P_{0.13}^{n} (X \leq 37)$ ≈ 0.4766 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=314 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 314 sein, damit $P_{0.13}^{n} (X \leq 37)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.13}^{n} (X \geq 38)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Beim MI6 (Arbeitsplatz von James Bond 007) soll eine Projektgruppe zur Aushebung einer multinationalen Superschurkenvereinigung eingerichtet werden. Bisherige Studien haben ergeben, dass diese kriminelle Vereinigung bereits alle wichtigen Regierungsbehörden infiltriert hat. Man geht davon aus, dass bereits jeder 50. MI6-Angestellte ein Spitzel dieser Organisiation ist. Wie groß darf diese Gruppe nun sein, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% kein Spitzel in dieser Projektgruppe ist?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
29	0.5566
30	0.5455
31	0.5346
32	0.5239
33	0.5134
34	0.5031
35	0.4931
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.02}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 17 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

Lösung einblenden

p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{8}$	0.6409
$\frac{1}{9}$	0.7089
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{17}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{8}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{9}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 9 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,7. Das Zufallsexperiment soll 84 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 84 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
56	0.2883
57	0.3731
58	0.4652
59	0.56
60	0.6521
61	0.7366
62	0.8098
63	0.8695
64	0.9151
65	0.9479
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und n = 84.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{84} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 61 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.7}^{84} (X \leq 62)$ nimmt mit 80.98% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.7}^{84} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 61.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 61 sein.

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 30 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 10% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
4	0.2552
5	0.4275
6	0.607
7	0.7608
8	0.8713
9	0.9389
10	0.9744
11	0.9905
12	0.9969
13	0.9991
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \geq k)$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \leq k-1)$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \leq 9)$ nimmt mit 93.89% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{30} (X \leq k-1)$ < 0.1 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 11% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 70 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 10% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
0	0.0003
1	0.0028
2	0.0133
3	0.043
4	0.1043
5	0.2043
6	0.3383
7	0.4897
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 70.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{70} (X \leq k)$ < 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{70} (X \leq 4)$ nimmt mit 10.43% einen Wert über 0.1 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.11}^{70} (X \leq k)$ < 0.1 ist somit k = 3.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 3 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)