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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 17% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 80%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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n	P(X≤k)
...	...
14	0.4341
15	0.2429
16	0.1211
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.83 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ = 1 - $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ oder $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 83% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{12}{0.83}$ ≈ 14 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.83⋅14) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=14:
$P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≈ 0.4341 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit $P_{0.83}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.83}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 23 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
27	0.652
28	0.4995
29	0.3571
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 23)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{0.8}$ ≈ 29 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.8⋅29) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=29:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.3571 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 28 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,06. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 70% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
1	0.94
2	0.8836
3	0.8306
4	0.7807
5	0.7339
6	0.6899
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 6% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.06}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.06⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.06}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 20 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% unter den 20 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{5}{33}$	0.6404
$\frac{5}{34}$	0.662
$\frac{5}{35}$	0.6822
$\frac{5}{36}$	0.7012
$\frac{5}{37}$	0.7189
$\frac{5}{38}$	0.7354
$\frac{5}{39}$	0.7509
$\frac{5}{40}$	0.7653
$\frac{5}{41}$	0.7788
$\frac{5}{42}$	0.7915
$\frac{5}{43}$	0.8032
$\frac{5}{44}$	0.8143
$\frac{5}{45}$	0.8246
$\frac{5}{46}$	0.8342
$\frac{5}{47}$	0.8433
$\frac{5}{48}$	0.8517
$\frac{5}{49}$	0.8596
$\frac{5}{50}$	0.867
$\frac{5}{51}$	0.874
$\frac{5}{52}$	0.8805
$\frac{5}{53}$	0.8867
$\frac{5}{54}$	0.8924
$\frac{5}{55}$	0.8978
$\frac{5}{56}$	0.9029
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ =0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 20 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{20}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{20}$ ⋅20 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{20} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{20}$ mit $\frac{5}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 5 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{5}{33}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{56}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 56 sein.

Also werden noch 51 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 10%. Für einen bestimmten Betrag darf man 12 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 6% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.2824
1	0.659
2	0.8891
3	0.9744
4	0.9957
5	0.9995
6	0.9999
7	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{12} (X \geq k)$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.1}^{12} (X \leq k-1)$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{12} (X \leq 3)$ nimmt mit 97.44% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.1}^{12} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.1}^{12} (X \leq k-1)$ < 0.06 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 40 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 2% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
8	0.5931
9	0.7318
10	0.8392
11	0.9125
12	0.9568
13	0.9806
14	0.9921
15	0.9971
16	0.999
17	0.9997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{40} (X \geq k)$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{40} (X \leq k-1)$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 12 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{40} (X \leq 13)$ nimmt mit 98.06% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{40} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{40} (X \leq k-1)$ < 0.02 ist somit k = 14.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 14 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 16% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 90 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 15% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
5	0.0024
6	0.0069
7	0.0173
8	0.0379
9	0.0736
10	0.1287
11	0.205
12	0.3006
13	0.41
14	0.5245
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 90.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{90} (X \leq k)$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 10 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.16}^{90} (X \leq 11)$ nimmt mit 20.5% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.16}^{90} (X \leq k)$ < 0.15 ist somit k = 10.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 10 sein.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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