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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 18% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, 26 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
160	0.2524
161	0.241
162	0.23
163	0.2193
164	0.209
165	0.199
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.18 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ = 1 - $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ oder $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 18% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.18}$ ≈ 144 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.18⋅144) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=144:
$P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.4729 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=165 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 165 sein, damit $P_{0.18}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.18}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 3 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
24	0.3133
25	0.2862
26	0.261
27	0.2375
28	0.2158
29	0.1958
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\frac{1}{7}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=29 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 29 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 21 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
99	0.908
100	0.8998
101	0.8912
102	0.8821
103	0.8726
104	0.8627
105	0.8523
106	0.8414
107	0.8302
108	0.8185
109	0.8064
110	0.794
111	0.7811
112	0.7679
113	0.7544
114	0.7406
115	0.7264
116	0.712
117	0.6973
118	0.6824
119	0.6673
120	0.652
121	0.6366
122	0.621
123	0.6053
124	0.5896
125	0.5738
126	0.5579
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{\frac{1}{6}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=99 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 12 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 3 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 30% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{1}{4}$	0.6488
$\frac{1}{5}$	0.7946
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=12 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ =0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 12 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{12}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{12}$ ⋅12 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{12} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{12}$ mit $\frac{1}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{4}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{5}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 5 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 17% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 55 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 20% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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k	P(X≤k)
...	...
1	0.0004
2	0.0026
3	0.0106
4	0.0319
5	0.0763
6	0.1521
7	0.2608
8	0.3944
9	0.5373
10	0.6719
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und n = 55.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{55} (X \leq k)$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.17}^{55} (X \leq 7)$ nimmt mit 26.08% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.17}^{55} (X \leq k)$ < 0.2 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 9%. Für einen bestimmten Betrag darf man 12 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 11% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.3225
1	0.7052
2	0.9134
3	0.982
4	0.9973
5	0.9997
6	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{12} (X \geq k)$ < 0.11 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.09}^{12} (X \leq k-1)$ ≥ 0.89 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.89 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.09}^{12} (X \leq 2)$ nimmt mit 91.34% einen Wert über 0.89 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.09}^{12} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.09}^{12} (X \leq k-1)$ < 0.11 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3. Das Zufallsexperiment soll 99 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 99 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
28	0.4016
29	0.4884
30	0.5752
31	0.6579
32	0.7333
33	0.7989
34	0.8535
35	0.897
36	0.93
37	0.9542
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und n = 99.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{99} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 33 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.3}^{99} (X \leq 34)$ nimmt mit 85.35% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.3}^{99} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 33.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 33 sein.

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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