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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht mehr als 21 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
109	0.8064
110	0.794
111	0.7811
112	0.7679
113	0.7544
114	0.7406
115	0.7264
116	0.712
117	0.6973
118	0.6824
119	0.6673
120	0.652
121	0.6366
122	0.621
123	0.6053
124	0.5896
125	0.5738
126	0.5579
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{\frac{1}{6}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=109 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,35.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit, mindestens 34 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
110	0.1587
111	0.1432
112	0.1287
113	0.1154
114	0.1032
115	0.0921
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.35 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ = 1 - $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ oder $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 35% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{34}{0.35}$ ≈ 97 Versuchen auch ungefähr 34 (≈0.35⋅97) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=97:
$P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≈ 0.4661 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=115 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 115 sein, damit $P_{0.35}^{n} (X \leq 33)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.35}^{n} (X \geq 34)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 16% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 35-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 90% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
38	0.9552
39	0.8903
40	0.789
41	0.6593
42	0.5175
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.84 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.84}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 84% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.84}$ ≈ 42 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.84⋅42) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=42:
$P_{0.84}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.5175 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=38 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 17 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% unter den 17 gezogenen Kugeln nicht mehr als 6 rote sind?

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p	P(X≤6)
...	...
$\frac{2}{5}$	0.4478
$\frac{2}{6}$	0.6739
$\frac{2}{7}$	0.8136
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=17 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ ('höchstens 6 Treffer bei 17 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{6}{17}$ . Mit diesem p wäre ja 6= $\frac{6}{17}$ ⋅17 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{17} (X \leq 6)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{6}{17}$ mit $\frac{2}{6}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{5}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 7 sein.

Also werden noch 5 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 20 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 6% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
2	0.2061
3	0.4114
4	0.6296
5	0.8042
6	0.9133
7	0.9679
8	0.99
9	0.9974
10	0.9994
11	0.9999
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 20.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{20} (X \geq k)$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{20} (X \leq k-1)$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{20} (X \leq 7)$ nimmt mit 96.79% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{20} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{20} (X \leq k-1)$ < 0.06 ist somit k = 8.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 8 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 40 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 3 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 8% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
13	0.5297
14	0.6578
15	0.7688
16	0.8556
17	0.9168
18	0.9559
19	0.9786
20	0.9904
21	0.9961
22	0.9986
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{40} (X \geq k)$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{40} (X \leq k-1)$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 17 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{40} (X \leq 18)$ nimmt mit 95.59% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{40} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{40} (X \leq k-1)$ < 0.08 ist somit k = 19.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 19 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 14% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 75 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 15% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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k	P(X≤k)
...	...
1	0.0002
2	0.0011
3	0.0046
4	0.0151
5	0.0392
6	0.085
7	0.1586
8	0.2603
9	0.3836
10	0.5161
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 75.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{75} (X \leq k)$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{75} (X \leq 7)$ nimmt mit 15.86% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{75} (X \leq k)$ < 0.15 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

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21

22

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26

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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