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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 20 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
126	0.3689
127	0.3542
128	0.3399
129	0.3258
130	0.3121
131	0.2987
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 20)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 20)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 20)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 19)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 19)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 19)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 19)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{20}{\frac{1}{6}}$ ≈ 120 Versuchen auch ungefähr 20 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅120) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=120:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 19)$ ≈ 0.462 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=131 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 131 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 19)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 20)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 10% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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n	P(X≤k)
...	...
13	0.3787
14	0.1584
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.9}^{n} (X \geq 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.9}^{n} (X \geq 12)$ = 1 - $P_{0.9}^{n} (X \leq 11)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.9}^{n} (X \leq 11)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.9}^{n} (X \leq 11)$ oder $P_{0.9}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{12}{0.9}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.9⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 11)$ ≈ 0.3787 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=14 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 14 sein, damit $P_{0.9}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.9}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 21 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
99	0.908
100	0.8998
101	0.8912
102	0.8821
103	0.8726
104	0.8627
105	0.8523
106	0.8414
107	0.8302
108	0.8185
109	0.8064
110	0.794
111	0.7811
112	0.7679
113	0.7544
114	0.7406
115	0.7264
116	0.712
117	0.6973
118	0.6824
119	0.6673
120	0.652
121	0.6366
122	0.621
123	0.6053
124	0.5896
125	0.5738
126	0.5579
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{\frac{1}{6}}$ ≈ 126 Versuchen auch ungefähr 21 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅126) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=126:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.5579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=99 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 3 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 75%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 3 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{3}{11}$	0.9995
$\frac{3}{12}$	0.9978
$\frac{3}{13}$	0.9928
$\frac{3}{14}$	0.9819
$\frac{3}{15}$	0.9622
$\frac{3}{16}$	0.9319
$\frac{3}{17}$	0.8905
$\frac{3}{18}$	0.8391
$\frac{3}{19}$	0.7795
$\frac{3}{20}$	0.7147
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 11)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{3}{11}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{19}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 19 sein.

Also wären noch 16 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 35 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 6 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 10% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
4	0.2843
5	0.4602
6	0.6361
7	0.7818
8	0.8838
9	0.945
10	0.9768
11	0.9913
12	0.9971
13	0.9991
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \geq k)$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \leq k-1)$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \leq 9)$ nimmt mit 94.5% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{35} (X \leq k-1)$ < 0.1 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 11%. Für einen bestimmten Betrag darf man 10 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 13% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.3118
1	0.6972
2	0.9116
3	0.9822
4	0.9975
5	0.9997
6	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{10} (X \geq k)$ < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.11}^{10} (X \leq k-1)$ ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{10} (X \leq 2)$ nimmt mit 91.16% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.11}^{10} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.11}^{10} (X \leq k-1)$ < 0.13 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65. Das Zufallsexperiment soll 83 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 83 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 75% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
51	0.2839
52	0.3656
53	0.4543
54	0.5458
55	0.6354
56	0.7186
57	0.7918
58	0.8528
59	0.9008
60	0.9364
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und n = 83.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{83} (X \leq k)$ < 0.75

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 56 immer noch weniger als 0.75 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.65}^{83} (X \leq 57)$ nimmt mit 79.18% einen Wert über 0.75 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.65}^{83} (X \leq k)$ < 0.75 ist somit k = 56.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 56 sein.

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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