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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 45%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 37 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
82	0.4661
83	0.4271
84	0.3892
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \geq 37)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.45}^{n} (X \geq 37)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.45}^{n} (X \geq 37)$ = 1 - $P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ oder $P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{37}{0.45}$ ≈ 82 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.45⋅82) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=82:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.4661 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=84 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 84 sein, damit $P_{0.45}^{n} (X \leq 36)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.45}^{n} (X \geq 37)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
7	0.3399
8	0.2914
9	0.2497
10	0.2141
11	0.1835
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.8 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{1}{\frac{1}{7}}$ ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=11 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 11 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 11% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 38-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
41	0.8436
42	0.6928
43	0.5188
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.89 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.89}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 89% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.89}$ ≈ 43 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.89⋅43) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=43:
$P_{0.89}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5188 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 19 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85% unter den 19 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{3}{19}$	0.6478
$\frac{3}{20}$	0.6841
$\frac{3}{21}$	0.7165
$\frac{3}{22}$	0.7452
$\frac{3}{23}$	0.7707
$\frac{3}{24}$	0.7933
$\frac{3}{25}$	0.8133
$\frac{3}{26}$	0.8312
$\frac{3}{27}$	0.847
$\frac{3}{28}$	0.8611
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=19 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ =0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 3 sein muss, da es ja genau 3 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 19 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{19}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{19}$ ⋅19 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{19} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{19}$ mit $\frac{3}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 3 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{3}{19}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{3}{28}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 28 sein.

Also werden noch 25 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 35 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 7 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 10% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
3	0.2435
4	0.4269
5	0.6163
6	0.7742
7	0.8832
8	0.9468
9	0.9786
10	0.9924
11	0.9976
12	0.9993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \geq k)$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \leq k-1)$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \leq 8)$ nimmt mit 94.68% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \leq k-1)$ < 0.1 ist somit k = 9.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 9 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 10%. Für einen bestimmten Betrag darf man 14 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 11% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.2288
1	0.5846
2	0.8416
3	0.9559
4	0.9908
5	0.9985
6	0.9998
7	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.1}^{14} (X \geq k)$ < 0.11 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.1}^{14} (X \leq k-1)$ ≥ 0.89 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.89 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.1}^{14} (X \leq 3)$ nimmt mit 95.59% einen Wert über 0.89 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.1}^{14} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.1}^{14} (X \leq k-1)$ < 0.11 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 14% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 80 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 25% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
3	0.0026
4	0.009
5	0.0248
6	0.057
7	0.1123
8	0.1946
9	0.3017
10	0.4255
11	0.5538
12	0.6738
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{80} (X \leq k)$ < 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.25 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{80} (X \leq 9)$ nimmt mit 30.17% einen Wert über 0.25 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{80} (X \leq k)$ < 0.25 ist somit k = 8.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 8 sein.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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