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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% nicht mehr als 32 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
158	0.9035
159	0.8969
160	0.8901
161	0.883
162	0.8756
163	0.8679
164	0.8599
165	0.8516
166	0.8431
167	0.8342
168	0.8252
169	0.8158
170	0.8062
171	0.7963
172	0.7862
173	0.7758
174	0.7652
175	0.7544
176	0.7433
177	0.7321
178	0.7207
179	0.709
180	0.6972
181	0.6853
182	0.6732
183	0.661
184	0.6486
185	0.6362
186	0.6236
187	0.611
188	0.5983
189	0.5855
190	0.5727
191	0.5599
192	0.547
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 32)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{\frac{1}{6}}$ ≈ 192 Versuchen auch ungefähr 32 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅192) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=192:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 32)$ ≈ 0.547 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=158 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 91% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 70% Wahrscheinlichkeit in mindestens 3 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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n	P(X≤k)
...	...
35	0.3789
36	0.3596
37	0.341
38	0.3231
39	0.3059
40	0.2894
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.09}^{n} (X \geq 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.09}^{n} (X \geq 3)$ = 1 - $P_{0.09}^{n} (X \leq 2)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.09}^{n} (X \leq 2)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.09}^{n} (X \leq 2)$ oder $P_{0.09}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 9% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{0.09}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 3 (≈0.09⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.09}^{n} (X \leq 2)$ ≈ 0.4196 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=40 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 40 sein, damit $P_{0.09}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.09}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 90% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 38 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
49	0.9079
50	0.861
51	0.8023
52	0.7332
53	0.6563
54	0.5747
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.7}$ ≈ 54 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.7⋅54) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=54:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5747 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=49 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 9 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 70 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 9 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 70 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤9)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.4482
$\frac{1}{8}$	0.6228
$\frac{1}{9}$	0.7528
$\frac{1}{10}$	0.8414
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=70 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{70} (X \leq 9)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{70} (X \leq 9)$ ('höchstens 9 Treffer bei 70 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{9}{70}$ . Mit diesem p wäre ja 9= $\frac{9}{70}$ ⋅70 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{70} (X \leq 9)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{9}{70}$ mit $\frac{1}{9}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75. Das Zufallsexperiment soll 63 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 63 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 65% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
43	0.1383
44	0.2093
45	0.2992
46	0.4047
47	0.5192
48	0.6338
49	0.7389
50	0.8273
51	0.8948
52	0.9416
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 63.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{63} (X \leq k)$ < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 48 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{63} (X \leq 49)$ nimmt mit 73.89% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{63} (X \leq k)$ < 0.65 ist somit k = 48.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 48 sein.

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 15%. Für einen bestimmten Betrag darf man 12 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.1422
1	0.4435
2	0.7358
3	0.9078
4	0.9761
5	0.9954
6	0.9993
7	0.9999
8	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 12.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{12} (X \geq k)$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.15}^{12} (X \leq k-1)$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 3 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{12} (X \leq 4)$ nimmt mit 97.61% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.15}^{12} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.15}^{12} (X \leq k-1)$ < 0.05 ist somit k = 5.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 17% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 55 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 20% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

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k	P(X≤k)
...	...
1	0.0004
2	0.0026
3	0.0106
4	0.0319
5	0.0763
6	0.1521
7	0.2608
8	0.3944
9	0.5373
10	0.6719
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.17 und n = 55.

Es muss gelten: $P_{0.17}^{55} (X \leq k)$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.17}^{55} (X \leq 7)$ nimmt mit 26.08% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.17}^{55} (X \leq k)$ < 0.2 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

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19

20

21

22

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

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