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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,6. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 21 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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n	P(X≤k)
...	...
36	0.3507
37	0.2819
38	0.2219
39	0.1713
40	0.1298
41	0.0965
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ = 1 - $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ oder $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.6}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.6⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.4272 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 3 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
18	0.5145
19	0.4767
20	0.4404
21	0.4058
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≥ 0.5 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\frac{1}{7}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=19 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 19 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 13% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 38-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.6732
44	0.5168
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.87}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.87}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.87⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.87}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5168 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 65 Durchgänge reichen?

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p	P(X≤7)
...	...
$\frac{1}{9}$	0.5638
$\frac{1}{10}$	0.6769
$\frac{1}{11}$	0.7637
$\frac{1}{12}$	0.8282
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ ('höchstens 7 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{7}{65}$ . Mit diesem p wäre ja 7= $\frac{7}{65}$ ⋅65 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{65} (X \leq 7)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{7}{65}$ mit $\frac{1}{7}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{12}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 13%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 6% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.0815
1	0.3008
2	0.5794
3	0.8014
4	0.9257
5	0.9778
6	0.9946
7	0.9989
8	0.9998
9	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{18} (X \geq k)$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.13}^{18} (X \leq k-1)$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{18} (X \leq 5)$ nimmt mit 97.78% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.13}^{18} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.13}^{18} (X \leq k-1)$ < 0.06 ist somit k = 6.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 6 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 11%. Für einen bestimmten Betrag darf man 14 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 13% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.1956
1	0.5342
2	0.8061
3	0.9406
4	0.9863
5	0.9976
6	0.9997
7	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{14} (X \geq k)$ < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.11}^{14} (X \leq k-1)$ ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.11}^{14} (X \leq 3)$ nimmt mit 94.06% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.11}^{14} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.11}^{14} (X \leq k-1)$ < 0.13 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3. Das Zufallsexperiment soll 50 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 50 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 65% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
10	0.0789
11	0.139
12	0.2229
13	0.3279
14	0.4468
15	0.5692
16	0.6839
17	0.7822
18	0.8594
19	0.9152
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und n = 50.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{50} (X \leq k)$ < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 15 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.3}^{50} (X \leq 16)$ nimmt mit 68.39% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.3}^{50} (X \leq k)$ < 0.65 ist somit k = 15.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 15 sein.

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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