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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Glücksrad, ist die Wahrscheinlichkeit in den grünen Bereich zu kommen p=0,6. Wie oft muss man dieses Glückrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% 21 mal oder öfters in den grünen Bereich zu kommen?

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nP(X≤k)
......
360.3507
370.2819
380.2219
390.1713
400.1298
410.0965
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: P0.6n (X21) ≥ 0.9

Weil man ja aber P0.6n (X21) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.6n (X21) = 1 - P0.6n (X20) ≥ 0.9 |+ P0.6n (X20) - 0.9

0.1 ≥ P0.6n (X20) oder P0.6n (X20) ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 21 0.6 ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.6⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
P0.6n (X20) ≈ 0.4272 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit P0.6n (X20) ≤ 0.1 oder eben P0.6n (X21) ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens 3 Überraschung(en) zu erhalten.

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nP(X≤k)
......
180.5145
190.4767
200.4404
210.4058
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und variablem n.

Es muss gelten: P 1 7 n (X3) ≥ 0.5

Weil man ja aber P 1 7 n (X3) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P 1 7 n (X3) = 1 - P 1 7 n (X2) ≥ 0.5 |+ P 1 7 n (X2) - 0.5

0.5 ≥ P 1 7 n (X2) oder P 1 7 n (X2) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 1 7 der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 3 1 7 ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈ 1 7 ⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
P 1 7 n (X2) ≈ 0.4058 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=19 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 19 sein, damit P 1 7 n (X2) ≤ 0.5 oder eben P 1 7 n (X3) ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 13% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 38-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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nP(X≤k)
......
430.6732
440.5168
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.87 und variablem n.

Es muss gelten: P0.87n (X38) ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 87% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 38 0.87 ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.87⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
P0.87n (X38) ≈ 0.5168 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 7 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 65 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 7 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 65 Durchgänge reichen?

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pP(X≤7)
......
1 9 0.5638
1 10 0.6769
1 11 0.7637
1 12 0.8282
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp65 (X7) =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp65 (X7) ('höchstens 7 Treffer bei 65 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= 7 65 . Mit diesem p wäre ja 7= 7 65 ⋅65 der Erwartungswert und somit Pp65 (X7) irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= 7 65 mit 1 7 erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= 1 9 einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 1 12 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens 12 sein.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 13%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 6% ausgegeben werden muss?

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kP(X≤k)
00.0815
10.3008
20.5794
30.8014
40.9257
50.9778
60.9946
70.9989
80.9998
91
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 18.

Es muss gelten: P0.1318 (Xk) < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P0.1318 (Xk-1) ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.1318 (X5) nimmt mit 97.78% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit P0.1318 (Xk) = 1 - P0.1318 (Xk-1) < 0.06 ist somit k = 6.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 6 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 11%. Für einen bestimmten Betrag darf man 14 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 13% ausgegeben werden muss?

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kP(X≤k)
00.1956
10.5342
20.8061
30.9406
40.9863
50.9976
60.9997
71
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 14.

Es muss gelten: P0.1114 (Xk) < 0.13 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P0.1114 (Xk-1) ≥ 0.87 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.87 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.1114 (X3) nimmt mit 94.06% einen Wert über 0.87 an.

Das kleinstmögliche k mit P0.1114 (Xk) = 1 - P0.1114 (Xk-1) < 0.13 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3. Das Zufallsexperiment soll 50 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 50 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 65% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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kP(X≤k)
......
100.0789
110.139
120.2229
130.3279
140.4468
150.5692
160.6839
170.7822
180.8594
190.9152
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und n = 50.

Es muss gelten: P0.350 (Xk) < 0.65

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 15 immer noch weniger als 0.65 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.350 (X16) nimmt mit 68.39% einen Wert über 0.65 an.

Das größtmögliche k mit P0.350 (Xk) < 0.65 ist somit k = 15.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 15 sein.

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)