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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 55%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit 20 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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nP(X≤k)
......
360.4578
370.3877
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und variablem n.

Es muss gelten: P0.55n (X20) ≥ 0.6

Weil man ja aber P0.55n (X20) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.55n (X20) = 1 - P0.55n (X19) ≥ 0.6 |+ P0.55n (X19) - 0.6

0.4 ≥ P0.55n (X19) oder P0.55n (X19) ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 55% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 20 0.55 ≈ 36 Versuchen auch ungefähr 20 (≈0.55⋅36) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=36:
P0.55n (X19) ≈ 0.4578 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=37 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 37 sein, damit P0.55n (X19) ≤ 0.4 oder eben P0.55n (X20) ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, mindestens 39 Treffer zu erzielen ?

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nP(X≤k)
......
470.6157
480.4998
490.3885
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: P0.8n (X39) ≥ 0.5

Weil man ja aber P0.8n (X39) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.8n (X39) = 1 - P0.8n (X38) ≥ 0.5 |+ P0.8n (X38) - 0.5

0.5 ≥ P0.8n (X38) oder P0.8n (X38) ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 39 0.8 ≈ 49 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.8⋅49) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=49:
P0.8n (X38) ≈ 0.3885 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=48 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 48 sein, damit P0.8n (X38) ≤ 0.5 oder eben P0.8n (X39) ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 18% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 22-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 80% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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nP(X≤k)
......
250.8533
260.7136
270.5501
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.82 und variablem n.

Es muss gelten: P0.82n (X22) ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 82% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 22 0.82 ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.82⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
P0.82n (X22) ≈ 0.5501 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 60 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 85%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 10 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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pP(X≥10)=1-P(X≤9)
......
4 11 0.9998
4 12 0.9988
4 13 0.9959
4 14 0.989
4 15 0.9759
4 16 0.9548
4 17 0.9249
4 18 0.8861
4 19 0.8395
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: Pp60 (X10) = 1- Pp60 (X9) = 0.85 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit Pp60 (X10) ('mindestens 10 Treffer bei 60 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= 4 11 . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= 4 18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 18 sein.

Also wären noch 14 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 30 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 7 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 2% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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kP(X≤k)
......
40.5691
50.7489
60.8737
70.945
80.9792
90.9931
100.998
110.9995
120.9999
131
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 7 und n = 30.

Es muss gelten: P 1 7 30 (Xk) < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P 1 7 30 (Xk-1) ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P 1 7 30 (X9) nimmt mit 99.31% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit P 1 7 30 (Xk) = 1 - P 1 7 30 (Xk-1) < 0.02 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 35 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 6% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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kP(X≤k)
......
60.4328
70.5993
80.745
90.8543
100.9253
110.9656
120.9858
130.9947
140.9982
150.9995
......

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 1 5 und n = 35.

Es muss gelten: P 1 5 35 (Xk) < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: P 1 5 35 (Xk-1) ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 10 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P 1 5 35 (X11) nimmt mit 96.56% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit P 1 5 35 (Xk) = 1 - P 1 5 35 (Xk-1) < 0.06 ist somit k = 12.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 12 sein.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6. Das Zufallsexperiment soll 77 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 77 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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kP(X≤k)
......
440.344
450.4324
460.5247
470.616
480.7016
490.7776
500.8414
510.8921
520.9301
530.957
......

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und n = 77.

Es muss gelten: P0.677 (Xk) < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 49 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst P0.677 (X50) nimmt mit 84.14% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit P0.677 (Xk) < 0.8 ist somit k = 49.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 49 sein.

44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)