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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In Tschechien gilt absolutes Alkoholverbot in Lokalen für Jugendliche unter 18 Jahren. Ein paar trinkfreudige 17-jährige Jugendliche wollen bei einer Studienfahrt nach Prag trotzdem ihr Glück versuchen. 89% der Gaststätten setzen das Alkoholverbot konsequent um und schenken nur gegen Vorlage einer "ID" (Personalausweis) Bier aus. Wie viele Kneipen müssen die Jugenlichen nun mindestens aufsuchen, damit sie bei einer Kneipentour mit mindestens 60% Wahrscheinlichkeit in mindestens 2 Lokalen nicht mit Nachfragen zu ihrer "ID" gedemütigt werden und in Ruhe ein Bier trinken können?

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n	P(X≤k)
...	...
17	0.4277
18	0.3958
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.11}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.11}^{n} (X \geq 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.11}^{n} (X \geq 2)$ = 1 - $P_{0.11}^{n} (X \leq 1)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.11}^{n} (X \leq 1)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.11}^{n} (X \leq 1)$ oder $P_{0.11}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 11% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{0.11}$ ≈ 18 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.11⋅18) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=18:
$P_{0.11}^{n} (X \leq 1)$ ≈ 0.3958 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=18 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 18 sein, damit $P_{0.11}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.11}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 23 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
145	0.3633
146	0.3497
147	0.3364
148	0.3233
149	0.3105
150	0.298
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 23)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 23)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 22)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 22)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{23}{\frac{1}{6}}$ ≈ 138 Versuchen auch ungefähr 23 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅138) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=138:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.4646 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=150 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 150 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 22)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 23)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,3.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, höchstens 36 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
117	0.6159
118	0.5923
119	0.5687
120	0.5449
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.3 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.3}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 30% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.3}$ ≈ 120 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.3⋅120) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=120:
$P_{0.3}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5449 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=117 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 11er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.9995
$\frac{1}{3}$	0.9884
$\frac{1}{4}$	0.9578
$\frac{1}{5}$	0.9141
$\frac{1}{6}$	0.8654
$\frac{1}{7}$	0.8165
$\frac{1}{8}$	0.7698
$\frac{1}{9}$	0.7263
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=11 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{11} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{11} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 11 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{8}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 8 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55. Das Zufallsexperiment soll 68 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 68 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
35	0.3206
36	0.4118
37	0.5081
38	0.6041
39	0.6944
40	0.7744
41	0.8412
42	0.8937
43	0.9324
44	0.9594
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und n = 68.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{68} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 40 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.55}^{68} (X \leq 41)$ nimmt mit 84.12% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.55}^{68} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 40.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 40 sein.

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 25 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 6 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 10% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
2	0.1887
3	0.3816
4	0.5937
5	0.772
6	0.8908
7	0.9553
8	0.9843
9	0.9953
10	0.9988
11	0.9997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 25.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \geq k)$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \leq k-1)$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \leq 7)$ nimmt mit 95.53% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{25} (X \leq k-1)$ < 0.1 ist somit k = 8.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 8 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75. Das Zufallsexperiment soll 83 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 83 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
60	0.3227
61	0.4167
62	0.5168
63	0.6169
64	0.7107
65	0.793
66	0.8603
67	0.9116
68	0.9478
69	0.9713
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 83.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{83} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 65 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{83} (X \leq 66)$ nimmt mit 86.03% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{83} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 65.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 65 sein.

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

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79

80

81

82

83

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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