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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nicht mehr als 29 6er zu würfeln?

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n	P(X≤k)
...	...
174	0.5494
175	0.5359
176	0.5224
177	0.509
178	0.4956
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{\frac{1}{6}}$ ≈ 174 Versuchen auch ungefähr 29 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅174) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=174:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5494 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=177 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit, mindestens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
78	0.455
79	0.4111
80	0.3688
81	0.3285
82	0.2906
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ = 1 - $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ oder $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 50% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.5}$ ≈ 78 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.5⋅78) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=78:
$P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.455 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=82 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 82 sein, damit $P_{0.5}^{n} (X \leq 38)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.5}^{n} (X \geq 39)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,8. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% nicht über 22 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
25	0.9018
26	0.7932
27	0.652
28	0.4995
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.8}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.8⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 22)$ ≈ 0.4995 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Ein neuer Multiple Choice Test mit 15 verschiedenen Fragen soll entwickelt werden. Dabei muss immer genau eine von mehreren Antwortmöglichkeiten richtig sein. Die Anzahl an Antwortmöglichkeiten soll bei allen Fragen gleich sein. Insgesamt soll der Test so konzipiert sein, dass die Wahrscheinlichkeit mehr als 2 Fragen nur durch Raten zufällig richtig zu beantworten (obwohl man keinerlei Wissen hat) bei höchstens 20% liegt. Bestimme die hierfür notwendige Mindestanzahl an Antwortmöglichkeiten bei jeder Frage.

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p	P(X≤2)
...	...
$\frac{1}{7}$	0.6355
$\frac{1}{8}$	0.7132
$\frac{1}{9}$	0.7717
$\frac{1}{10}$	0.8159
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=15 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{15} (X \leq 2)$ =0.8 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{15} (X \leq 2)$ ('höchstens 2 Treffer bei 15 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{2}{15}$ . Mit diesem p wäre ja 2= $\frac{2}{15}$ ⋅15 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{15} (X \leq 2)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{2}{15}$ mit $\frac{1}{2}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 1 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{1}{7}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{10}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, muss also mindestens 10 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65. Das Zufallsexperiment soll 83 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 83 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 50% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
48	0.1059
49	0.153
50	0.2124
51	0.2839
52	0.3656
53	0.4543
54	0.5458
55	0.6354
56	0.7186
57	0.7918
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und n = 83.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{83} (X \leq k)$ < 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 53 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.65}^{83} (X \leq 54)$ nimmt mit 54.58% einen Wert über 0.5 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.65}^{83} (X \leq k)$ < 0.5 ist somit k = 53.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 53 sein.

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 35 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 7 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 6% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
3	0.2435
4	0.4269
5	0.6163
6	0.7742
7	0.8832
8	0.9468
9	0.9786
10	0.9924
11	0.9976
12	0.9993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \geq k)$ < 0.06 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \leq k-1)$ ≥ 0.94 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.94 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \leq 8)$ nimmt mit 94.68% einen Wert über 0.94 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{35} (X \leq k-1)$ < 0.06 ist somit k = 9.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 9 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,5. Das Zufallsexperiment soll 73 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 73 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 50% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
30	0.0799
31	0.1208
32	0.1746
33	0.2414
34	0.32
35	0.4076
36	0.5
37	0.5924
38	0.68
39	0.7586
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.5 und n = 73.

Es muss gelten: $P_{0.5}^{73} (X \leq k)$ < 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 35 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.5}^{73} (X \leq 36)$ nimmt mit 50% einen Wert über 0.5 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.5}^{73} (X \leq k)$ < 0.5 ist somit k = 35.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 35 sein.

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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