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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 70%. Wie oft muss mindestens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit 35 oder mehr grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
49	0.5165
50	0.4308
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.7 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.7}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.7}^{n} (X \geq 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.7}^{n} (X \geq 35)$ = 1 - $P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ oder $P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 70% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.7}$ ≈ 50 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.7⋅50) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=50:
$P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4308 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=50 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 50 sein, damit $P_{0.7}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.7}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 22 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
27	0.4613
28	0.3216
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{22}{0.8}$ ≈ 28 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.8⋅28) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=28:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≈ 0.3216 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=28 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 28 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 21)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 22)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,05. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
8	0.6634
9	0.6302
10	0.5987
11	0.5688
12	0.5404
13	0.5133
14	0.4877
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.05 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.05}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 5% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.05}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.05⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.05}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 75% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

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p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{7}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 7 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65. Das Zufallsexperiment soll 69 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 69 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
42	0.2739
43	0.3626
44	0.4598
45	0.5602
46	0.6574
47	0.7458
48	0.821
49	0.8809
50	0.9254
51	0.9561
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und n = 69.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{69} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 47 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.65}^{69} (X \leq 48)$ nimmt mit 82.1% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.65}^{69} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 47.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 47 sein.

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 15%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 9% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.0536
1	0.2241
2	0.4797
3	0.7202
4	0.8794
5	0.9581
6	0.9882
7	0.9973
8	0.9995
9	0.9999
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{18} (X \geq k)$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.15}^{18} (X \leq k-1)$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{18} (X \leq 5)$ nimmt mit 95.81% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.15}^{18} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.15}^{18} (X \leq k-1)$ < 0.09 ist somit k = 6.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 6 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8. Das Zufallsexperiment soll 85 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 85 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 80% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
65	0.2443
66	0.3339
67	0.4356
68	0.5432
69	0.6493
70	0.7462
71	0.8282
72	0.8919
73	0.9373
74	0.9668
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und n = 85.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{85} (X \leq k)$ < 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 70 immer noch weniger als 0.8 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.8}^{85} (X \leq 71)$ nimmt mit 82.82% einen Wert über 0.8 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.8}^{85} (X \leq k)$ < 0.8 ist somit k = 70.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 70 sein.

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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