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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Ein Lebensmittelhersteller wirbt damit, dass sich in jeder 7. Verpackung eine Überraschung befindet. Wie viele Packungen muss man mindestens kaufen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 1 Überraschung(en) zu erhalten.

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n	P(X≤k)
...	...
10	0.2141
11	0.1835
12	0.1573
13	0.1348
14	0.1155
15	0.099
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Überraschungen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{7}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ = 1 - $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.9 |+ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ oder $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{7}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{1}{\frac{1}{7}}$ ≈ 7 Versuchen auch ungefähr 1 (≈ $\frac{1}{7}$ ⋅7) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=7:
$P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 0.3399 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=15 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 15 sein, damit $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \leq 0)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{\frac{1}{7}}^{n} (X \geq 1)$ ≥ 0.9 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% 36 oder mehr 6er zu erzielen?

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n	P(X≤k)
...	...
227	0.345
228	0.3343
229	0.3237
230	0.3134
231	0.3032
232	0.2932
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≥ 0.7 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{\frac{1}{6}}$ ≈ 216 Versuchen auch ungefähr 36 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅216) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=216:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≈ 0.4717 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=232 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 232 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 35)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 36)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Eine Fluggesellschaft geht davon aus, dass 14% der gekauften Tickets gar nicht eingelöst werden. Wieviel Tickets kann sie für ihre 38-Platzmaschine höchstens verkaufen, so dass es zu mindestens 60% Wahrscheinlichkeit zu keiner Überbelegung kommt.

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n	P(X≤k)
...	...
43	0.7378
44	0.5935
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Ticketbesitzer, die tatsächlich fliegen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.86 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.86}^{n} (X \leq 38)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 86% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{38}{0.86}$ ≈ 44 Versuchen auch ungefähr 38 (≈0.86⋅44) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=44:
$P_{0.86}^{n} (X \leq 38)$ ≈ 0.5935 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=43 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 4 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 12 mal am Tag eines ihrer eigenen 4 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥12)=1-P(X≤11)
...	...
$\frac{4}{14}$	0.9998
$\frac{4}{15}$	0.9993
$\frac{4}{16}$	0.9978
$\frac{4}{17}$	0.9945
$\frac{4}{18}$	0.9883
$\frac{4}{19}$	0.9779
$\frac{4}{20}$	0.9622
$\frac{4}{21}$	0.9405
$\frac{4}{22}$	0.9126
$\frac{4}{23}$	0.8786
$\frac{4}{24}$	0.8391
$\frac{4}{25}$	0.795
$\frac{4}{26}$	0.7476
$\frac{4}{27}$	0.698
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 11)$ = 0.7 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 4 sein muss, da es ja genau 4 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 12)$ ('mindestens 12 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{4}{14}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{4}{26}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 26 sein.

Also wären noch 22 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,55. Das Zufallsexperiment soll 87 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 87 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 70% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
44	0.2347
45	0.3055
46	0.3844
47	0.4685
48	0.5542
49	0.6376
50	0.7151
51	0.7837
52	0.8419
53	0.8888
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.55 und n = 87.

Es muss gelten: $P_{0.55}^{87} (X \leq k)$ < 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 49 immer noch weniger als 0.7 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.55}^{87} (X \leq 50)$ nimmt mit 71.51% einen Wert über 0.7 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.55}^{87} (X \leq k)$ < 0.7 ist somit k = 49.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 49 sein.

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 15%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% ausgegeben werden muss?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
0	0.0536
1	0.2241
2	0.4797
3	0.7202
4	0.8794
5	0.9581
6	0.9882
7	0.9973
8	0.9995
9	0.9999
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{18} (X \geq k)$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.15}^{18} (X \leq k-1)$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 4 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.15}^{18} (X \leq 5)$ nimmt mit 95.81% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.15}^{18} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.15}^{18} (X \leq k-1)$ < 0.05 ist somit k = 6.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 6 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 13% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 95 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 20% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
4	0.0039
5	0.0116
6	0.029
7	0.062
8	0.1163
9	0.1947
10	0.2954
11	0.4117
12	0.5333
13	0.6494
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und n = 95.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{95} (X \leq k)$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.13}^{95} (X \leq 10)$ nimmt mit 29.54% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.13}^{95} (X \leq k)$ < 0.2 ist somit k = 9.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 9 sein.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

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21

22

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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