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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Der Starspieler der gegnerischen Basketballmannschaft hat bei Freiwürfen eine Trefferquote von p=0,9. Wie viele Freiwürfe darf man bei ihm durch Fouls höchstens zulassen, wenn man ihn mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht über 36 Freiwurfpunkte kommen lassen will?

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n	P(X≤k)
...	...
39	0.7622
40	0.5769
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenen Freiwürfe an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{n} (X \leq 36)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{36}{0.9}$ ≈ 40 Versuchen auch ungefähr 36 (≈0.9⋅40) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=40:
$P_{0.9}^{n} (X \leq 36)$ ≈ 0.5769 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=39 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 13% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 50% Wahrscheinlichkeit, 35 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?

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n	P(X≤k)
...	...
266	0.5032
267	0.4937
268	0.4843
269	0.4749
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.5

Weil man ja aber $P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ = 1 - $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≥ 0.5 |+ $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ - 0.5

0.5 ≥ $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ oder $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 13% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{35}{0.13}$ ≈ 269 Versuchen auch ungefähr 35 (≈0.13⋅269) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=269:
$P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≈ 0.4749 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=267 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.5 ist.

n muss also mindestens 267 sein, damit $P_{0.13}^{n} (X \leq 34)$ ≤ 0.5 oder eben $P_{0.13}^{n} (X \geq 35)$ ≥ 0.5 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 85%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 70% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 30 grüne Kugeln gezogen werden?

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n	P(X≤k)
...	...
34	0.7715
35	0.6193
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.85 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≥ 0.7

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 85% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{30}{0.85}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.85⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.85}^{n} (X \leq 30)$ ≈ 0.6193 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.7 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.7 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 70% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und einige schwarze Kugeln. Es soll 14 mal mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele schwarze Kugeln müssen in der Urne mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% unter den 14 gezogenen Kugeln nicht mehr als 3 rote sind?

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p	P(X≤3)
...	...
$\frac{2}{9}$	0.6202
$\frac{2}{10}$	0.6982
$\frac{2}{11}$	0.759
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe rot an. X ist binomialverteilt mit n=14 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ =0.75 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 2 sein muss, da es ja genau 2 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ ('höchstens 3 Treffer bei 14 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p= $\frac{3}{14}$ . Mit diesem p wäre ja 3= $\frac{3}{14}$ ⋅14 der Erwartungswert und somit $P_{p}^{14} (X \leq 3)$ irgendwo in der nähe von 50%. Wenn wir nun p= $\frac{3}{14}$ mit $\frac{2}{3}$ erweitern (so dass wir auf den Zähler 2 kommen) und den Nenner abrunden, müssten wir mit p= $\frac{2}{9}$ einen brauchbaren Einstiegswert für dieses Probieren erhalten.

In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{2}{11}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% steigt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Kugeln, muss also mindestens 11 sein.

Also werden noch 9 zusätzliche Optionen (also schwarze Kugeln) benötigt.

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 30 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 6 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 4% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
4	0.4243
5	0.6164
6	0.7765
7	0.8863
8	0.9494
9	0.9803
10	0.9933
11	0.998
12	0.9995
13	0.9999
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \geq k)$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \leq k-1)$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 8 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \leq 9)$ nimmt mit 98.03% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \leq k-1)$ < 0.04 ist somit k = 10.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 10 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 9%. Für einen bestimmten Betrag darf man 10 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 11% ausgegeben werden muss?

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k	P(X≤k)
0	0.3894
1	0.7746
2	0.946
3	0.9912
4	0.999
5	0.9999
6	1
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.09 und n = 10.

Es muss gelten: $P_{0.09}^{10} (X \geq k)$ < 0.11 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.09}^{10} (X \leq k-1)$ ≥ 0.89 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.89 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.09}^{10} (X \leq 2)$ nimmt mit 94.6% einen Wert über 0.89 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.09}^{10} (X \geq k)$ = 1 - $P_{0.09}^{10} (X \leq k-1)$ < 0.11 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 16% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 80 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 20% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
4	0.0024
5	0.0077
6	0.0203
7	0.0456
8	0.0896
9	0.1566
10	0.2472
11	0.3571
12	0.4774
13	0.5973
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 80.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{80} (X \leq k)$ < 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 9 immer noch weniger als 0.2 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.16}^{80} (X \leq 10)$ nimmt mit 24.72% einen Wert über 0.2 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.16}^{80} (X \leq k)$ < 0.2 ist somit k = 9.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 9 sein.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

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Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

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