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Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,45.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 25 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
57	0.3814
58	0.3379
59	0.2971
60	0.2592
61	0.2245
62	0.1931
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.45 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.45}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.45}^{n} (X \geq 25)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.45}^{n} (X \geq 25)$ = 1 - $P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ oder $P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 45% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{25}{0.45}$ ≈ 56 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.45⋅56) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=56:
$P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≈ 0.4272 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=62 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 62 sein, damit $P_{0.45}^{n} (X \leq 24)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.45}^{n} (X \geq 25)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Beim Biberacher Schützenfest läuft ein 12-köpfiger historischer Spielmannszug mit, der an die Schweden während des 30-Jährigen Kriegs erinnert. Dabei feiern dessen Mitglieder manchmal so ausgelassen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ausfall beim Umzug wegen unverhältnismäßigem Alkoholgenuss bei 8% liegt. Wie viele Schwedenmusiker muss die Schützendirektion mindestens ausbilden, damit beim Umzug mit mindestens 70%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Schweden einsatzfähig sind?

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n	P(X≤k)
...	...
12	0.6323
13	0.2794
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der einsatzfähigen Schwedenmusiker an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.92 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ = 1 - $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ oder $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 92% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{12}{0.92}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 12 (≈0.92⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≈ 0.2794 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=13 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 13 sein, damit $P_{0.92}^{n} (X \leq 11)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.92}^{n} (X \geq 12)$ ≥ 0.7 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Ein Mathelehrer möchte neue Taschenrechner für seine Klasse bestellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Taschenrechner ein Decepticon (bekannt aus dem Transformers-Filmen) ist, liegt bei p=0,07. Wie viele Rechner können bestellt werden, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 50% kein Descepticon unter ihnen ist?

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n	P(X≤k)
...	...
4	0.7481
5	0.6957
6	0.647
7	0.6017
8	0.5596
9	0.5204
10	0.484
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.07 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.07}^{n} (X \leq 0)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{0.07}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.07⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.07}^{n} (X \leq 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=9 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Die Homepage-AG einer Schule möchte auf der Startseite der Internetseite der Schule ein Zufallsbild integrieren. Dabei soll bei jedem Aufruf der Startseite ein zufälliges Bild aus einer Bilderdatenbank gezeigt werden. Alle Bilder der Datenbank sind immer gleich wahrscheinlich. Auf 5 Bildern der Datenbank sind Mitglieder der Homepage-AG zu sehen. Es wird geschätzt, dass die Seite täglich 90 mal aufgerufen wird. Die Mitglieder der Homepage-AG wollen dass mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkiet mindestens 14 mal am Tag eines ihrer eigenen 5 Bilder erscheint. Wie viele andere Bilder dürfen dann höchstens noch in der Datenbank sein?

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p	P(X≥14)=1-P(X≤13)
...	...
$\frac{5}{16}$	0.9998
$\frac{5}{17}$	0.9993
$\frac{5}{18}$	0.9979
$\frac{5}{19}$	0.9948
$\frac{5}{20}$	0.989
$\frac{5}{21}$	0.9793
$\frac{5}{22}$	0.9647
$\frac{5}{23}$	0.9443
$\frac{5}{24}$	0.9176
$\frac{5}{25}$	0.8848
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Bilder mit Homepage-AG-lern an. X ist binomialverteilt mit n=90 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ = 1- $P_{p}^{90} (X \leq 13)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 5 sein muss, da es ja genau 5 günstige Fälle gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{90} (X \geq 14)$ ('mindestens 14 Treffer bei 90 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{5}{16}$ . (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{5}{24}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Der Nenner, also die Anzahl aller Bilder in der Datenbank, darf also höchstens 24 sein.

Also wären noch 19 zusätzliche Optionen (also weitere Bilder) zulässig.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9. Das Zufallsexperiment soll 98 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 98 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 60% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
83	0.063
84	0.1098
85	0.1791
86	0.2734
87	0.3905
88	0.5222
89	0.6554
90	0.7753
91	0.8701
92	0.9351
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und n = 98.

Es muss gelten: $P_{0.9}^{98} (X \leq k)$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 88 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.9}^{98} (X \leq 89)$ nimmt mit 65.54% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.9}^{98} (X \leq k)$ < 0.6 ist somit k = 88.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 88 sein.

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 35 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 3 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 4% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

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k	P(X≤k)
...	...
12	0.6242
13	0.7479
14	0.8452
15	0.9133
16	0.9558
17	0.9796
18	0.9915
19	0.9968
20	0.9989
21	0.9997
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 35.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{35} (X \geq k)$ < 0.04 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{35} (X \leq k-1)$ ≥ 0.96 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 16 immer noch weniger als 0.96 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{35} (X \leq 17)$ nimmt mit 97.96% einen Wert über 0.96 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{35} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{35} (X \leq k-1)$ < 0.04 ist somit k = 18.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 18 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,65. Das Zufallsexperiment soll 65 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 65 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 60% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

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k	P(X≤k)
...	...
37	0.1094
38	0.1645
39	0.2354
40	0.321
41	0.4179
42	0.5207
43	0.6228
44	0.7177
45	0.7999
46	0.8662
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.65 und n = 65.

Es muss gelten: $P_{0.65}^{65} (X \leq k)$ < 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 42 immer noch weniger als 0.6 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.65}^{65} (X \leq 43)$ nimmt mit 62.28% einen Wert über 0.6 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.65}^{65} (X \leq k)$ < 0.6 ist somit k = 42.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 42 sein.

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

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