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Abstände

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(0|3), B(5|1), C(8|2) und D(3|4) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und verbinde die Punkte A und B zu einer Geraden g sowie die Punkte C und D zu einer Geraden h.

Miss dann den Abstand zwischen A und C, sowie den Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden gAB und hCD.

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Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man den Abstand zwischen A und C sofort abmessen: d(A,C)=8.1

Es gibt ja beliebig viele Abstände zwischen einem Punkt auf der Geraden g und einem auf der Geraden h. Als Abstand der beiden Geraden ist der kleinst-mögliche Abstand zwischen 2 solchen Punkten definiert. Diesen erhalten wir auf einer Orthogonalen (Senkrechten) zu den Geraden.

Deswegen muss man zuerst einmal eine Orthogonale (Senkrechte) zu einer der Geraden einzeichnen, um den Abstand zwischen den beiden parallen Geraden abzumessen.
Jetzt können wir den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten (zwischen je einer Geraden und deren Orthogonalen,
z.B. C und L in der Abbildung rechts) abmessen:
d(g.h) = 2 cm

Abstand von Punkt und Gerade

Beispiel:

Zeichne den Punkt A(6|4) und eine Gerade g durch die Punkte B(2|1) und C(9|1) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Finde dann die beiden Punkte P und Q, die vom Punkt A den Abstand 3 cm und von der Geraden g den Abstand 2 cm haben.

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Zuerst zeichnet man die Punkte und die Gerade durch B und C ins Koordinatensystem ein.

Für die gesuchten Punkte muss gelten, dass sie 2 cm Abstand von der (in blau eingezeichneten) Geraden durch B und C haben. Das bedeutet doch, dass sie auf einer parallelen Geraden im Abstand 2 cm liegen müssen. Weil ja unsere Gerade parallel zur x-Achse liegt, kann man diese beiden Geraden leicht einzeichnen (im Schaubild rechts in rot).

Außerdem muss noch gelten, dass die beiden gesuchten Punkte den Abstand 3 cm vom Punkt A haben. Also müssen sie auf einem Kreis um A mit Radius 3 cm liegen müssen, denn dort liegen ja alle Punkte mit Abstand 3 cm zu A.

Wenn man die parallelen Geraden (blau) und den Kreis (grün) eingezeichnet hat, erkennt man die gesuchten Punkte als die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) von Kreis und paralellen Geraden:

Die gesuchten Punkte haben somit die Koordinaten P(3.2|3) und Q(8.8|3).

Lotfußpunkt für Höhe

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|3), B(9|1) und C(6|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Zeichne die Höhe hc ein und bestimme den Lotfußpunkt, also den Punkt in dem die Höhe auf die Gerade durch A und B trifft.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Jetzt muss man einfach eine zu AB orthogonale Gerade durch den Punkt C einzeichnen.
Diese schneidet die Gerade durch A und B im gesuchten Lotfußpunkt LC(5|2).

Höhe im Dreieck

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(3|2), B(9|4) und C(7|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Zeichne die Höhe hb ein und miss deren Länge ab.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Jetzt muss man einfach eine zur Gerade durch C und A orthogonale Gerade durch den Punkt B einzeichnen.
Diese schneidet die Gerade durch C und A im Lotfußpunkt (7|6).

Die gesuchte Höhe (in der Abbildung rechts in rot eingezeichnet) misst dann die Strecke zwischen diesem Punkt und dem Punkt B.
Sie ist ungefähr hb ≈ 2.8 cm lang.

Dreieck Flächeninhalt

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|2), B(7|7) und C(1|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Überlege, welche Höhe am einfachsten einzuzeichnen ist und eine ganzzahlige Länge hat. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecke b (zwischen C und A) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlänge b als auch die (im Schaubild in rot eingezeichnete) Höhe darauf sehr leicht ablesen:

b = 4 cm und hb = 6 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = 1 2 bhb
= 1 2 4 cm6 cm
= 1 2 ⋅ 24 cm²
= 12 cm².

Flächeninhalt rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Seitenlängen und Höhen hc = 4 cm, c = 9 cm und ha = 6 cm. Berechne a.

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Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = 1 2 ⋅ c ⋅ hc = 1 2 ⋅ b ⋅ hb = 1 2 ⋅ a ⋅ ha.

Da ja sowohl die Seitenlänge c = 9 cm als auch die dazugehörende Höhe hc = 4 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = 1 2 ⋅ c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 9 cm ⋅ 4 cm = 18 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A = 1 2 ⋅ a ⋅ ha, also
18 cm² = 1 2 ⋅ a ⋅ 6 cm

Wenn 18 cm² die Hälfte von a ⋅ 6 cm ist, muss doch 2 ⋅ 18 cm² = a ⋅ 6 cm sein.

Also gilt: 36 cm² = a ⋅ 6 cm .

Somit muss gelten: a = 6 cm

Flächeninhalt Parallelogramm

Beispiel:

Zeichne das Parallelogramm ABCD mit A(4|3), B(7|2), C(7|5) und D(4|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

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Zuerst zeichnet man das Parallelogramm ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecke b (zwischen B und C) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlänge b als auch die Höhe hb darauf sehr leicht ablesen:

b = 3 cm und hb = 3 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = bhb
= 3 cm3 cm
= 9 cm².

Flächeninhalt Parallelogramm rw

Beispiel:

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit den Seitenlängen und Höhen hb = 5 cm, b = 12 cm und a = 10 cm. Berechne ha.

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Für den Flächeninhalt im Parallelogramm gilt: A = a ⋅ ha = b ⋅ hb.

Da ja sowohl die Seitenlänge b = 12 cm als auch die dazugehörende Höhe hb = 5 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = b ⋅ hb = 12 cm ⋅ 5 cm = 60 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A =a ⋅ ha, also
60 cm² = 10 cm ⋅ ha

Wenn 60 das 10-fache von ha ist, muss ha = 60 : 10 sein.

Somit muss gelten: ha = 6 cm

Flächeninhalt eines Trapez

Beispiel:

Zeichne das Trapez ABCD mit A(5|2), B(10|1), C(10|6) und D(5|5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

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Zuerst zeichnet man das Trapez ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecken b (zwischen B und C) und d (zwischen D und A) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlängen b und d als auch die Höhe hb darauf sehr leicht ablesen:

b = 5 cm, d = 3 cm, und hb = 5 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = 1 2 (b + d)hb
= 1 2 (5 cm + 3 cm)5 cm
= 1 2 8 cm5 cm
= 20 cm².

Flächeninhalt Trapez rückwärts

Beispiel:

Ein Trapez hat den Flächeninhalt A = 51 cm². Die beiden parallelen Seiten sind 10 cm und 7 cm lang.

Berechne die Länge der Höhe des Trapezes.

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Für den Flächeninhalt eines Trapez gilt:
A = 1 2 (a + c)ha

In diesem Fall gilt somit:

51 = 1 2 (10 cm + 7 cm)h
51 = 1 2 17 cmh
51 = 8.5 cmh

Die Höhe h muss also die Zahl sein, mit der man 8.5 multiplizieren muss, um auf 51 zu kommen, also 51 : 8.5

h = 51 cm² : 8.5 cm = 6 cm.

Umfang eines Kreises

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 5 mm. Bestimme seinen Umfang.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und erhalten so:

U ≈ 3,1 ⋅5 mm
15,5 mm

Umfang Kreis rückwärts

Beispiel:

Ein Kreis hat den Umfang U = 18.6 m. Bestimme seinen Radius.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
18.6 ≈ 3,1 ⋅ d

Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:

d ≈ 18.6 m : 3,1
= 6 m

Für den Radius gilt dann r = d 2 = 3 m.

Umfang Kreis am Bild

Beispiel:

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Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Man erkennt hier einen 1 2 -Kreisring. Dabei hat der äußere Kreisringbogen den Radius r1 = 3 cm und der innere den Radius r2 = 1 cm.

Für die Länge des äußeren Kreisbogen gilt somit U1 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r1
1 2 ⋅ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 3 cm ≈ 3⋅ 3,1 cm ≈ 9,3 cm .

Für die Länge des inneren Kreisbogen gilt somit U2 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r2
1 2 ⋅ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm ≈ 1⋅ 3,1 cm ≈ 3,1 cm .

Dazu kommen noch die beiden Geradenstücke an den Enden des Kreisringbogens, die ja gerade die Differenz der beiden Radien als Länge haben,
also U3 = 2 ⋅ (3 cm - 1 cm) = 2 ⋅2cm = 4 cm

Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 9,3 cm + 3,1 cm + 4 cm = 16,4 cm.

Flächeninhalt Kreis

Beispiel:

Ein Kreis hat den Radius 2 m. Bestimme seinen Flächeninhalt.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r2
an und erhalten so:

A = π ⋅ 22
≈ 3,1 ⋅ 4 m²
12,4 m²

Flächeninhalt Kreis am Bild

Beispiel:

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Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Man kann hier erkennen, dass ein Halbkreis aus einem Rechteck herausgeschnitten wurde. Das ganze Rechteck hat dabei eine Höhe von 4 cm und eine Breite von 6 cm.
Somit gilt für dessen Flächeninhalt A1 = 4 cm ⋅ 6 cm = 24 cm²,

Für den Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius r =3 cm, der aus dem Rechteck unten herausgeschnitten wurde, gilt:
A2 = 1 2 ⋅ π ⋅ r2 1 2 ⋅ 3,1 ⋅ 32 cm² = 1 2 ⋅ 3,1 ⋅ 9 cm² = 13.95 cm².

Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 24 cm² - 13,95 cm² = 10,05 cm².

Flächeninhalt zusammengesetzt

Beispiel:

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Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 4 cm und der Höhe h = 2 cm berechnet werden:
A1 = 4 cm ⋅ 2 cm = 8 cm²

Der Flächeninhalt des blauen Dreiecks oben kann man berechnen mit:
A2 = 1 2 ⋅ g ⋅ hg = 1 2 ⋅ 4 cm ⋅ 1 cm = 1 2 ⋅ 4 cm ²
= 2 cm²

Der Flächeninhalt des grünen Dreiecks links kann man berechnen mit:
A3 = 1 2 ⋅ b ⋅ hb = 1 2 ⋅ 2 cm ⋅ 1 cm = 1 2 ⋅ 2 cm² = 1 cm²

Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A1 + A2 + A3
= 8 cm² + 2 cm² + 1 cm²
= 11 cm².