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Abstände

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(1|2), B(7|3), C(8|7) und D(2|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und verbinde die Punkte A und B zu einer Geraden g sowie die Punkte C und D zu einer Geraden h.

Miss dann den Abstand zwischen A und C, sowie den Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden g_AB und h_CD.

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Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man den Abstand zwischen A und C sofort abmessen: d(A,C)=8.6

Es gibt ja beliebig viele Abstände zwischen einem Punkt auf der Geraden g und einem auf der Geraden h. Als Abstand der beiden Geraden ist der kleinst-mögliche Abstand zwischen 2 solchen Punkten definiert. Diesen erhalten wir auf einer Orthogonalen (Senkrechten) zu den Geraden.

Deswegen muss man zuerst einmal eine Orthogonale (Senkrechte) zu einer der Geraden einzeichnen, um den Abstand zwischen den beiden parallen Geraden abzumessen.
Jetzt können wir den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten (zwischen je einer Geraden und deren Orthogonalen,
z.B. C und L in der Abbildung rechts) abmessen:
d(g.h) = 3.8 cm

Abstand von Punkt und Gerade

Beispiel:

Zeichne den Punkt A(5|4) und eine Gerade g durch die Punkte B(2|0) und C(2|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Finde dann die beiden Punkte P und Q, die vom Punkt A den Abstand 3.5 cm und von der Geraden g den Abstand 1 cm haben.

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Zuerst zeichnet man die Punkte und die Gerade durch B und C ins Koordinatensystem ein.

Für die gesuchten Punkte muss gelten, dass sie 1 cm Abstand von der (in blau eingezeichneten) Geraden durch B und C haben. Das bedeutet doch, dass sie auf einer parallelen Geraden im Abstand 1 cm liegen müssen. Weil ja unsere Gerade parallel zur y-Achse liegt, kann man diese beiden Geraden leicht einzeichnen (im Schaubild rechts in rot).

Außerdem muss noch gelten, dass die beiden gesuchten Punkte den Abstand 3.5 cm vom Punkt A haben. Also müssen sie auf einem Kreis um A mit Radius 3.5 cm liegen müssen, denn dort liegen ja alle Punkte mit Abstand 3.5 cm zu A.

Wenn man die parallelen Geraden (blau) und den Kreis (grün) eingezeichnet hat, erkennt man die gesuchten Punkte als die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) von Kreis und paralellen Geraden:

Die gesuchten Punkte haben somit die Koordinaten P(3|1.1) und Q(3|6.9).

Lotfußpunkt für Höhe

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|3), B(9|1) und C(4|6.5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Zeichne die Höhe h_c ein und bestimme den Lotfußpunkt, also den Punkt in dem die Höhe auf die Gerade durch A und B trifft.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Jetzt muss man einfach eine zu AB orthogonale Gerade durch den Punkt C einzeichnen.
Diese schneidet die Gerade durch A und B im gesuchten Lotfußpunkt L_C(3|2.5).

Höhe im Dreieck

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(3|1), B(6|1) und C(3|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Zeichne die Höhe h_a ein und miss deren Länge ab.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Jetzt muss man einfach eine zur Gerade durch B und C orthogonale Gerade durch den Punkt A einzeichnen.
Diese schneidet die Gerade durch B und C im Lotfußpunkt (5.2|2.3).

Die gesuchte Höhe (in der Abbildung rechts in rot eingezeichnet) misst dann die Strecke zwischen diesem Punkt und dem Punkt A.
Sie ist ungefähr h_a ≈ 2.6 cm lang.

Dreieck Flächeninhalt

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|1), B(9|2) und C(1|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Überlege, welche Höhe am einfachsten einzuzeichnen ist und eine ganzzahlige Länge hat. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecke b (zwischen C und A) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlänge b als auch die (im Schaubild in rot eingezeichnete) Höhe darauf sehr leicht ablesen:

b = 5 cm und h_b = 8 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ b ⋅ h_b
= $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 cm ⋅ 8 cm
= $\frac{1}{2}$ ⋅ 40 cm²
= 20 cm².

Flächeninhalt rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Seitenlängen und Höhen h_b = 6 cm, b = 6 cm und c = 9 cm. Berechne h_c.

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Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ b ⋅ h_b = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ h_a.

Da ja sowohl die Seitenlänge b = 6 cm als auch die dazugehörende Höhe h_b = 6 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ b ⋅ h_b = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 cm ⋅ 6 cm = 18 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A = $\frac{1}{2}$ ⋅ c ⋅ h_c, also
18 cm² = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9 cm ⋅ h_c

Wenn 18 cm² die Hälfte von 9 cm ⋅ h_c ist, muss doch 2 ⋅ 18 cm² = 9 cm ⋅ h_c sein.

Also gilt: 36 cm² = 9 cm ⋅ h_c.

Somit muss gelten: h_c = 4 cm

Flächeninhalt Parallelogramm

Beispiel:

Zeichne das Parallelogramm ABCD mit A(1|0), B(9|0), C(10|3) und D(2|3) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

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Zuerst zeichnet man das Parallelogramm ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecke a (zwischen A und B) parallel zur x-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlänge a als auch die Höhe h_a darauf sehr leicht ablesen:

a = 8 cm und h_a = 3 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = a ⋅ h_a
= 8 cm ⋅ 3 cm
= 24 cm².

Flächeninhalt Parallelogramm rw

Beispiel:

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit den Seitenlängen und Höhen h_a = 6 cm, a = 9 cm und h_b = 3 cm. Berechne b.

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Für den Flächeninhalt im Parallelogramm gilt: A = a ⋅ h_a = b ⋅ h_b.

Da ja sowohl die Seitenlänge a = 9 cm als auch die dazugehörende Höhe h_a = 6 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = a ⋅ h_a = 9 cm ⋅ 6 cm = 54 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A =b ⋅ h_b, also
54 cm² = b ⋅ 3 cm

Wenn 54 das 3-fache von b ist, muss b = 54 : 3 sein.

Somit muss gelten: b = 18 cm

Flächeninhalt eines Trapez

Beispiel:

Zeichne das Trapez ABCD mit A(2|2), B(7|1), C(7|7) und D(2|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

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Zuerst zeichnet man das Trapez ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecken b (zwischen B und C) und d (zwischen D und A) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlängen b und d als auch die Höhe h_b darauf sehr leicht ablesen:

b = 6 cm, d = 4 cm, und h_b = 5 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ (b + d) ⋅ h_b
= $\frac{1}{2}$ ⋅ (6 cm + 4 cm) ⋅ 5 cm
= $\frac{1}{2}$ ⋅ 10 cm ⋅ 5 cm
= 25 cm².

Flächeninhalt Trapez rückwärts

Beispiel:

Ein Trapez hat den Flächeninhalt A = 11 cm². Die beiden parallelen Seiten sind 7 cm und 4 cm lang.

Berechne die Länge der Höhe des Trapezes.

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Für den Flächeninhalt eines Trapez gilt:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ (a + c) ⋅ h_a

In diesem Fall gilt somit:

11 = $\frac{1}{2}$ ⋅ (7 cm + 4 cm) ⋅ h
11 = $\frac{1}{2}$ ⋅ 11 cm ⋅ h
11 = 5.5 cm ⋅ h

Die Höhe h muss also die Zahl sein, mit der man 5.5 multiplizieren muss, um auf 11 zu kommen, also 11 : 5.5

h = 11 cm² : 5.5 cm = 2 cm.

Umfang eines Kreises

Beispiel:

Ein Kreis hat den Radius 1,5 cm. Bestimme seinen Umfang.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
U = 2 ⋅ π ⋅ r
oder näherungsweise
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ r
an und erhalten so:

U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 1,5 cm
≈ 3,1 ⋅3 cm
≈ 9,3 cm

Umfang Kreis rückwärts

Beispiel:

Ein Kreis hat den Umfang U = 18.6 cm. Bestimme seinen Durchmesser.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
18.6 ≈ 3,1 ⋅ d

Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:

d ≈ 18.6 cm : 3,1
= 6 cm

Umfang Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Man erkennt einen $\frac{1}{2}$ Kreis mit Radius r = 2 cm.

Der volle Umfang eines Kreises mit Radius 2 cm wäre ja U = 2 ⋅ π r ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 2 cm.
Da es ja aber nur eine $\frac{1}{2}$ Kreis ist, ist der Kreisbogen auch nur $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ π r
≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 2 cm
≈ $2$ ⋅ 3,1 cm
≈ 6.2 cm lang.

Dazu kommen noch die beiden Radiuslängen jeweils vom Anfang und Ende des Kreisbogens zum Mittelpunkt: 2 ⋅ 2 cm = 4 cm

Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 6,2 cm + 4 cm = 10,2 cm.

Flächeninhalt Kreis

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 2 mm. Bestimme seinen Flächeninhalt.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = $\frac{2}{2}$ mm = 1mm

Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r²
an und erhalten so:

A = π ⋅ 1² mm²
≈ 3,1 ⋅ 1 mm²
≈ 3,1 mm²

Flächeninhalt Kreis am Bild

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Man erkennt zwei Viertelskreise mit Radius r = 3 cm.

Setzt man die zwei Viertelskreise zusammen, so erhält man einen Halbkreis mit dem Flächeninhalt von $\frac{1}{2}$ π ⋅ r²
≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 3² cm²
= $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 9 cm²
= 13.95 cm²

Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 13,95 cm².

Flächeninhalt zusammengesetzt

Beispiel:

Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 5 cm und der Höhe h = 4 cm berechnet werden:
A₁ = 5 cm ⋅ 4 cm = 20 cm²

Der Flächeninhalt des blauen Dreiecks oben kann man berechnen mit:
A₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ g ⋅ h_g = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 cm ⋅ 1 cm = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 cm ²
= 2.5 cm²

Der Flächeninhalt des grünen Halbkreises rechts kann man mit der Kreisflächenformel A = π ⋅ r² berechnen. Weil es ja aber nur ein Halbkreis ist, müssen wir eben noch alles mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren:
A₃ = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 2² cm² ≈ $\frac{1}{2}$ ⋅ 3,1 ⋅ 4 cm²
= 6.2 cm²

Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A₁ + A₂ + A₃
= 20 cm² + 2.5 cm² + 6.2 cm²
= 28,7 cm².

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Abstände

Abstand von Punkt und Gerade

Lotfußpunkt für Höhe

Höhe im Dreieck

Dreieck Flächeninhalt

Flächeninhalt rückwärts

Flächeninhalt Parallelogramm

Flächeninhalt Parallelogramm rw

Flächeninhalt eines Trapez

Flächeninhalt Trapez rückwärts

Umfang eines Kreises

Umfang Kreis rückwärts

Umfang Kreis am Bild

Flächeninhalt Kreis

Flächeninhalt Kreis am Bild

Flächeninhalt zusammengesetzt