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Abstände

Beispiel:

Zeichne die Punkte A(1|1), B(7|1), C(10|6) und D(4|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und verbinde die Punkte A und B zu einer Geraden g sowie die Punkte C und D zu einer Geraden h.

Miss dann den Abstand zwischen A und C, sowie den Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden gAB und hCD.

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Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man den Abstand zwischen A und C sofort abmessen: d(A,C)=10.3

Es gibt ja beliebig viele Abstände zwischen einem Punkt auf der Geraden g und einem auf der Geraden h. Als Abstand der beiden Geraden ist der kleinst-mögliche Abstand zwischen 2 solchen Punkten definiert. Diesen erhalten wir auf einer Orthogonalen (Senkrechten) zu den Geraden.

Deswegen muss man zuerst einmal eine Orthogonale (Senkrechte) zu einer der Geraden einzeichnen, um den Abstand zwischen den beiden parallen Geraden abzumessen.
Jetzt können wir den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten (zwischen je einer Geraden und deren Orthogonalen,
z.B. C und L in der Abbildung rechts) abmessen:
d(g.h) = 5 cm

Abstand von Punkt und Gerade

Beispiel:

Zeichne den Punkt A(5|5) und eine Gerade g durch die Punkte B(3|2) und C(3|5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Finde dann die beiden Punkte P und Q, die vom Punkt A den Abstand 3 cm und von der Geraden g den Abstand 2 cm haben.

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Zuerst zeichnet man die Punkte und die Gerade durch B und C ins Koordinatensystem ein.

Für die gesuchten Punkte muss gelten, dass sie 2 cm Abstand von der (in blau eingezeichneten) Geraden durch B und C haben. Das bedeutet doch, dass sie auf einer parallelen Geraden im Abstand 2 cm liegen müssen. Weil ja unsere Gerade parallel zur y-Achse liegt, kann man diese beiden Geraden leicht einzeichnen (im Schaubild rechts in rot).

Außerdem muss noch gelten, dass die beiden gesuchten Punkte den Abstand 3 cm vom Punkt A haben. Also müssen sie auf einem Kreis um A mit Radius 3 cm liegen müssen, denn dort liegen ja alle Punkte mit Abstand 3 cm zu A.

Wenn man die parallelen Geraden (blau) und den Kreis (grün) eingezeichnet hat, erkennt man die gesuchten Punkte als die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte) von Kreis und paralellen Geraden:

Die gesuchten Punkte haben somit die Koordinaten P(5|2) und Q(5|8).

Lotfußpunkt für Höhe

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(2|7), B(6|1) und C(6|7.5) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Zeichne die Höhe hc ein und bestimme den Lotfußpunkt, also den Punkt in dem die Höhe auf die Gerade durch A und B trifft.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Jetzt muss man einfach eine zu AB orthogonale Gerade durch den Punkt C einzeichnen.
Diese schneidet die Gerade durch A und B im gesuchten Lotfußpunkt LC(3|5.5).

Höhe im Dreieck

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|3), B(7|1) und C(5|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Zeichne die Höhe ha ein und miss deren Länge ab.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Jetzt muss man einfach eine zur Gerade durch B und C orthogonale Gerade durch den Punkt A einzeichnen.
Diese schneidet die Gerade durch B und C im Lotfußpunkt (5.5|4.8).

Die gesuchte Höhe (in der Abbildung rechts in rot eingezeichnet) misst dann die Strecke zwischen diesem Punkt und dem Punkt A.
Sie ist ungefähr ha ≈ 4.8 cm lang.

Dreieck Flächeninhalt

Beispiel:

Zeichne das Dreieck ABC mit A(2|1), B(10|1) und C(3|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Überlege, welche Höhe am einfachsten einzuzeichnen ist und eine ganzzahlige Länge hat. Berechne damit den Flächeninhalt des Dreiecks.

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Zuerst zeichnet man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecke c (zwischen A und B) parallel zur x-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlänge c als auch die (im Schaubild in rot eingezeichnete) Höhe darauf sehr leicht ablesen:

c = 8 cm und hc = 5 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = 1 2 chc
= 1 2 8 cm5 cm
= 1 2 ⋅ 40 cm²
= 20 cm².

Flächeninhalt rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Seitenlängen und Höhen hc = 3 cm, c = 16 cm und ha = 4 cm. Berechne a.

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Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = 1 2 ⋅ c ⋅ hc = 1 2 ⋅ b ⋅ hb = 1 2 ⋅ a ⋅ ha.

Da ja sowohl die Seitenlänge c = 16 cm als auch die dazugehörende Höhe hc = 3 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = 1 2 ⋅ c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 16 cm ⋅ 3 cm = 24 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A = 1 2 ⋅ a ⋅ ha, also
24 cm² = 1 2 ⋅ a ⋅ 4 cm

Wenn 24 cm² die Hälfte von a ⋅ 4 cm ist, muss doch 2 ⋅ 24 cm² = a ⋅ 4 cm sein.

Also gilt: 48 cm² = a ⋅ 4 cm .

Somit muss gelten: a = 12 cm

Flächeninhalt Parallelogramm

Beispiel:

Zeichne das Parallelogramm ABCD mit A(3|2), B(9|1), C(9|6) und D(3|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

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Zuerst zeichnet man das Parallelogramm ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecke b (zwischen B und C) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlänge b als auch die Höhe hb darauf sehr leicht ablesen:

b = 5 cm und hb = 6 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = bhb
= 5 cm6 cm
= 30 cm².

Flächeninhalt Parallelogramm rw

Beispiel:

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD mit den Seitenlängen und Höhen hb = 3 cm, b = 14 cm und ha = 6 cm. Berechne a.

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Für den Flächeninhalt im Parallelogramm gilt: A = a ⋅ ha = b ⋅ hb.

Da ja sowohl die Seitenlänge b = 14 cm als auch die dazugehörende Höhe hb = 3 cm gegeben sind, können wir den Flächeninhalt A des Dreiecks berechnen:

A = b ⋅ hb = 14 cm ⋅ 3 cm = 42 cm².

Für den Flächeninhalt in diesem Dreieck gilt ja aber auch : A =a ⋅ ha, also
42 cm² = a ⋅ 6 cm

Wenn 42 das 6-fache von a ist, muss a = 42 : 6 sein.

Somit muss gelten: a = 7 cm

Flächeninhalt eines Trapez

Beispiel:

Zeichne das Trapez ABCD mit A(2|1), B(8|0), C(8|7) und D(2|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

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Zuerst zeichnet man das Trapez ABCD ins Koordinatensystem ein.

Spätestens dann erkennt man, dass die Strecken b (zwischen B und C) und d (zwischen D und A) parallel zur y-Achse ist. Dadurch kann man sowohl die Seitenlängen b und d als auch die Höhe hb darauf sehr leicht ablesen:

b = 7 cm, d = 5 cm, und hb = 6 cm
Der Flächeninhalt ist somit:
A = 1 2 (b + d)hb
= 1 2 (7 cm + 5 cm)6 cm
= 1 2 12 cm6 cm
= 36 cm².

Flächeninhalt Trapez rückwärts

Beispiel:

Ein Trapez hat den Flächeninhalt A = 26 cm². Die beiden parallelen Seiten sind 8 cm und 5 cm lang.

Berechne die Länge der Höhe des Trapezes.

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Für den Flächeninhalt eines Trapez gilt:
A = 1 2 (a + c)ha

In diesem Fall gilt somit:

26 = 1 2 (8 cm + 5 cm)h
26 = 1 2 13 cmh
26 = 6.5 cmh

Die Höhe h muss also die Zahl sein, mit der man 6.5 multiplizieren muss, um auf 26 zu kommen, also 26 : 6.5

h = 26 cm² : 6.5 cm = 4 cm.

Umfang eines Kreises

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser 5 cm. Bestimme seinen Umfang.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und erhalten so:

U ≈ 3,1 ⋅5 cm
15,5 cm

Umfang Kreis rückwärts

Beispiel:

Ein Kreis hat den Umfang U = 21.7 m. Bestimme seinen Durchmesser.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
21.7 ≈ 3,1 ⋅ d

Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:

d ≈ 21.7 m : 3,1
= 7 m

Umfang Kreis am Bild

Beispiel:

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Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Man erkennt zwei Viertelskreise mit Radius r = 1 cm.

Setzt man die zwei Viertelskreise zusammen, so erhält man einen Halbkreis mit einem Umfang von 1 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = π ⋅ r
≈ 3,1 ⋅ 1 cm = 3.1 cm

Dazu kommen noch die insgesamt 4 Radiuslängen (je zwei bei den zwei Viertelskreisen zum Mittelpunkt hin), also 4 ⋅ 1 cm = 4 cm.

Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 3,1 cm + 4 cm = 7,1 cm.

Flächeninhalt Kreis

Beispiel:

Ein Kreis hat den Radius 1 mm. Bestimme seinen Flächeninhalt.

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r2
an und erhalten so:

A = π ⋅ 12 mm²
≈ 3,1 ⋅ 1 mm²
3,1 mm²

Flächeninhalt Kreis am Bild

Beispiel:

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Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Man erkennt einen 1 4 Kreis mit Radius r = 1 cm.

Der Flächeninhalt eines vollen Kreises mit Radius 1 cm wäre ja A = π ⋅ r2
≈ 3,1 ⋅ 12 cm² ≈ 3,1 ⋅ 1 cm².
Da es ja aber nur eine 1 4 Kreis ist, beträgt der Flächeninhalt auch nur 1 4 ⋅ π ⋅ r2
1 4 ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm²
1 4 ⋅ 3,1 cm²
≈ 0.775 cm².

Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 0,775 cm².

Flächeninhalt zusammengesetzt

Beispiel:

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Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)

Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.

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Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 5 cm und der Höhe h = 2 cm berechnet werden:
A1 = 5 cm ⋅ 2 cm = 10 cm²

Der Flächeninhalt des blauen Dreiecks oben kann man berechnen mit:
A2 = 1 2 ⋅ g ⋅ hg = 1 2 ⋅ 3 cm ⋅ 1 cm = 1 2 ⋅ 3 cm ²
= 1.5 cm²

Der Flächeninhalt des grünen Viertelskreises links kann man mit der Kreisflächenformel A = π ⋅ r2 berechnen. Weil es ja aber nur ein Viertelskreis ist, müssen wir eben noch alles mit 1 4 multiplizieren:
A3 = 1 4 ⋅ π ⋅ r2 1 4 ⋅ 3,1 ⋅ 12 cm² ≈ 1 4 ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm²
= 0.775 cm²

Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A1 + A2 + A3
= 10 cm² + 1.5 cm² + 0.775 cm²
= 12,275 cm².