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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x^{2}$ und $g(x) =$ $5 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 4 x^{2}$	=	$5 x$	\| $- 5 x$
$x^{3} - 4 x^{2} - 5 x$	=	0
$x (x^{2} - 4 x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

L={ $- 1$ ; 0; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot (- 1)$ = -5 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-5)

x₂ = 0: f(0)= $5 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $5$ : f( $5$ )= $5 \cdot 5$ = 25 Somit gilt: S₃( $5$ |25)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $18 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x + 5$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 3 e^{3 x}

=

18

|

- 18

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{4 x} + 2) \cdot (x - 5)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{4 x} + 2) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{4 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 8 e^{4 x}$	=	$- 2$	\|: $- 8$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$	≈ -0.3466

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{7 x + 1}{- 4 x - 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{3}{2}$ }

$\frac{7 x + 1}{- 4 x - 8} + \frac{x - 1}{2 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 3}$	=	0
$\frac{7 x + 1}{- 4 (x + 2)} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} + \frac{3 x}{2 x + 3}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{7 x + 1}{- 4 (x + 2)} + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} + \frac{3 x}{2 x + 3}$	=	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{7 x + 1}{- 4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{x - 1}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (4 (x + 2))$	=
$- 7 x - 1 + 2 x - 2 + 4 \frac{3 x (x + 2)}{2 x + 3}$	=
$- 7 x - 1 + 2 x - 2 + \frac{4 (3 x^{2} + 6 x)}{2 x + 3}$	=
$\frac{4 (3 x^{2} + 6 x)}{2 x + 3} - 7 x + 2 x - 1 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{4 (3 x^{2} + 6 x)}{2 x + 3} - 7 x + 2 x - 1 - 2$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{4 (3 x^{2} + 6 x)}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) - 7 x \cdot (2 x + 3) + 2 x \cdot (2 x + 3) - 1 \cdot (2 x + 3) - 2 \cdot (2 x + 3)$	=
$12 x^{2} + 24 x - 7 x (2 x + 3) + 2 x (2 x + 3) - 2 x - 3 - 4 x - 6$	=
$12 x^{2} + 24 x + (- 14 x^{2} - 21 x) + (4 x^{2} + 6 x) - 2 x - 3 - 4 x - 6$	=
$2 x^{2} + 3 x - 9$	=

$2 x^{2} + 3 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3+9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3-9}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 17 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 46 x$ )
		$30 x$	$- 60$
		-( $30 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - 10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} - 16 \cdot (- 6) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$- 60$
		-( $- 10 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 2 | - 6$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 2 \| - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$- \| 2 x - 2 \|$	=	$4$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + t x + t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- t \pm \sqrt{{(t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- t \pm \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$t^{2} - 4 t$	=	0
$t (t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 4$	=	0	\| $+ 4$
t₂	=	$4$

Da bei $t^{2} - 4 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $t^{2} - 4 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $4$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$