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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 5 e^{x}$ und $g(x) =$ $6 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 5 e^{x}$	=	$6 e^{3 x}$	\| $- 6 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 6 e^{3 x} + 5 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 e^{3 \cdot 0}$ = 6 Somit gilt: S₁(0|6)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $6 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 67.082 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |67.082)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 2$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$(- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 14 e^{2 x}$ = $- 5 e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 14 e^{2 x}$	=	$- 5 e^{3 x}$	\| $+ 5 e^{3 x}$
$e^{4 x} + 5 e^{3 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 5 e^{x} - 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 4}{x} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{13 x - 4}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{3 x - 4}{x} - \frac{13 x - 4}{2 x}$	=	0
$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{3 x - 4}{x} - \frac{13 x - 4}{2 x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} + \frac{3 x - 4}{x} - \frac{13 x - 4}{2 x}$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (3 (x + 3)) - \frac{13 x - 4}{2 x} \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x - 1 + 3 \frac{(3 x - 4) (x + 3)}{x} - 3 \frac{(13 x - 4) (x + 3)}{2 x}$	=
$2 x - 1 + \frac{3 (3 x^{2} + 5 x - 12)}{x} - \frac{3 (13 x^{2} + 35 x - 12)}{2 x}$	=
$- \frac{3 (13 x^{2} + 35 x - 12)}{2 x} + \frac{3 (3 x^{2} + 5 x - 12)}{x} + 2 x - 1$	=

\frac{3 (3 x^{2} + 5 x - 12)}{x} - \frac{3 (13 x^{2} + 35 x - 12)}{2 x} + 2 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 (3 x^{2} + 5 x - 12)}{x} - \frac{3 (13 x^{2} + 35 x - 12)}{2 x} + 2 x - 1$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 (3 x^{2} + 5 x - 12)}{x} \cdot 2 x - \frac{3 (13 x^{2} + 35 x - 12)}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$	=
$18 x^{2} + 30 x - 72 - 39 x^{2} - 105 x + 36 + 4 x \cdot x - 2 x$	=
$18 x^{2} + 30 x - 72 - 39 x^{2} - 105 x + 36 + 4 x^{2} - 2 x$	=
$- 17 x^{2} - 77 x - 36$	=

$- 17 x^{2} - 77 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 77 \pm \sqrt{{(- 77)}^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{+ 77 \pm \sqrt{5 929 - 2 448}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{+ 77 \pm \sqrt{3 481}}{- 34}$

x₁ = $\frac{77 + \sqrt{3 481}}{- 34}$ = $\frac{77+59}{- 34}$ = $\frac{136}{- 34}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{77 - \sqrt{3 481}}{- 34}$ = $\frac{77-59}{- 34}$ = $\frac{18}{- 34}$ = $- \frac{9}{17}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 17$ " teilen:

$- 17 x^{2} - 77 x - 36$ = 0 |: $- 17$

$x^{2} + \frac{77}{17} x + \frac{36}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{77}{34})}^{2} - (\frac{36}{17})$ = $\frac{5929}{1156}$ $-$ $\frac{36}{17}$ = $\frac{5929}{1156}$ $-$ $\frac{2448}{1156}$ = $\frac{3481}{1156}$

x_1,2 = $- \frac{77}{34}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{1156}}$

x₁ = $- \frac{77}{34}$ - $\frac{59}{34}$ = $- \frac{136}{34}$ = -4

x₂ = $- \frac{77}{34}$ + $\frac{59}{34}$ = $- \frac{18}{34}$ = -0.52941176470588

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{9}{17}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 5 | + 2$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \| - x - 5 \| + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
$- \| - x - 5 \|$	=	$- 5$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 5 \|$	=	$5$

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

$- x - 5$	=	$5$	\| $+ 5$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 10) - 5$ = 5 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 5$ < 0:

$- (- x - 5)$	=	$5$
$x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ < 0) genügt:

$- 0 - 5$ = -5 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 x^{2} + 3 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 x^{2} + 3 t$	=	0	\| - ( $3 t$ )
$- 5 x^{2}$	=	$- 3 t$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$\frac{3}{5} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{3}{5} t)}$	= $- \frac{1,7321}{2,2361} \sqrt{t}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{3}{5} t)}$	= $\frac{1,7321}{2,2361} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -5 ≥ 0:

2. Fall: -x -5 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 5$ < 0: