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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 1$ und $g(x) =$ $2 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 1

=

2 e^{3 x}

|

- 2 e^{3 x}

e^{6 x} - 2 e^{3 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $2 e^{3 \cdot 0}$ = 2 Somit gilt: S₁(0|2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$ parallel zur Geraden y = $28 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x - 6$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 3 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 3 x^{2}

=

28

|

- 28

x^{4} + 3 x^{2} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{3 x} + 5) \cdot (x^{4} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{3 x} + 5) (x^{4} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{3 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 4 e^{3 x}$	=	$- 5$	\|: $- 4$
$e^{3 x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 0.0744

2. Fall:

$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={0; $\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{4})$ ; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{- 15 x}{9 x - 24}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{3 x - 8} - \frac{15 x}{9 x - 24}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{3 x}{3 x - 8} - \frac{15 x}{3 (3 x - 8)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{3 x}{3 x - 8} - \frac{15 x}{3 (3 x - 8)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (x - 2) - \frac{15 x}{3 (3 x - 8)} \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{3 x (x - 2)}{3 x - 8} - \frac{5 x (x - 2)}{3 x - 8}$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x - 8} - \frac{5 x^{2} - 10 x}{3 x - 8}$	=
$\frac{3 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} + 10 x}{3 x - 8} + x$	=

\frac{3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x}{3 x - 8} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x}{3 x - 8} + x$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + x \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x + x (3 x - 8)$	=
$3 x^{2} - 5 x^{2} - 6 x + 10 x + (3 x^{2} - 8 x)$	=
$x^{2} - 4 x$	=

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 84$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 84$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 13 x + 42$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$13 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $13 x^{2}$	$- 26 x$ )
		$42 x$	$- 84$
		-( $42 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = $(x^{2} + 13 x + 42) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 13 x + 42) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 11 \cdot {(- 6)}^{2} + 16 \cdot (- 6) - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 84$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$- 14 x$	$- 84$
		-( $- 14 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 11 \cdot {(- 7)}^{2} + 16 \cdot (- 7) - 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 16 x$	$- 84$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 16 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$- 12 x$	$- 84$
		-( $- 12 x$	$- 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 16 x - 84$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 6$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x - 5 | + 4$ = $5$

Lösung einblenden

$\| x - 5 \| + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$\| x - 5 \|$	=	$1$

1. Fall: $x - 5$ ≥ 0:

$x - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 5$ ≥ 0) genügt:

$6 - 5$ = 1 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 5$ < 0:

$- (x - 5)$	=	$1$
$- x + 5$	=	$1$	\| $- 5$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 5$ < 0) genügt:

$4 - 5$ = -1 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $4$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + x + 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 - 16 t$ = 0 wird.

$1 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 16 t$	=	$- 1$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{1}{16}$

Für t = $\frac{1}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x -5 ≥ 0:

2. Fall: x -5 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $x - 5$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 5$ < 0: