Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{2}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{8}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x}$	=	$\frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 2 x$	=	$8$

x^{2} - 2 x

=

8

|

- 8

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{8}{{(- 2)}^{2}}$ = 2 Somit gilt: S₁( $- 2$ |2)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{8}{4^{2}}$ = 0.5 Somit gilt: S₂( $4$ |0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 7$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 5 e^{3 x}$ = $14 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 5 e^{3 x}$	=	$14 e^{x}$	\| $- 14 e^{x}$
$e^{5 x} + 5 e^{3 x} - 14 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $3$ }

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 5$	=	0
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 5$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} \cdot (2 x - 5) - 5 \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x - 2 + \frac{(2 x + 1) (2 x - 5)}{3 (x - 3)} - 10 x + 25$	=
$2 x - 2 + \frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} - 10 x + 25$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} + 2 x - 10 x - 2 + 25$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} + 2 x - 10 x - 2 + 25$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 5}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + 2 x \cdot (3 (x - 3)) - 10 x \cdot (3 (x - 3)) - 2 \cdot (3 (x - 3)) + 25 \cdot (3 (x - 3))$	=
$4 x^{2} - 8 x - 5 + 6 x (x - 3) - 30 x (x - 3) - 6 x + 18 + 75 x - 225$	=
$4 x^{2} - 8 x - 5 + (6 x^{2} - 18 x) + (- 30 x^{2} + 90 x) - 6 x + 18 + 75 x - 225$	=
$- 20 x^{2} + 133 x - 212$	=

$- 20 x^{2} + 133 x - 212$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 133 \pm \sqrt{133^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot (- 212)}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 133 \pm \sqrt{17 689 - 16 960}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 133 \pm \sqrt{729}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 133 + \sqrt{729}}{- 40}$ = $\frac{- 133+27}{- 40}$ = $\frac{- 106}{- 40}$ = $2,65$

x₂ = $\frac{- 133 - \sqrt{729}}{- 40}$ = $\frac{- 133-27}{- 40}$ = $\frac{- 160}{- 40}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 133 x - 212$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{133}{20} x + \frac{53}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{133}{40})}^{2} - (\frac{53}{5})$ = $\frac{17689}{1600}$ $-$ $\frac{53}{5}$ = $\frac{17689}{1600}$ $-$ $\frac{16960}{1600}$ = $\frac{729}{1600}$

x_1,2 = $\frac{133}{40}$ ± $\sqrt{\frac{729}{1600}}$

x₁ = $\frac{133}{40}$ - $\frac{27}{40}$ = $\frac{106}{40}$ = 2.65

x₂ = $\frac{133}{40}$ + $\frac{27}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,65$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 4 | - 2$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \| - x - 4 \| - 2$	=	$- 4$	\| $+ 2$
$- \| - x - 4 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 4 \|$	=	$2$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

$- x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 6) - 4$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 4$ < 0:

$- (- x - 4)$	=	$2$
$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ < 0) genügt:

$- (- 2) - 4$ = -2 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$x^{2} - 5 t$	=	0	\| - ( $- 5 t$ )
$x^{2}$	=	$5 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(5 t)}$	= $- 2,2361 \sqrt{t}$
x₂	=	$\sqrt{(5 t)}$	= $2,2361 \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -4 ≥ 0:

2. Fall: -x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 4$ < 0: