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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= -18 e -2x +1 und g(x)= 3 e -x . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-18 e -2x +1 = 3 e -x | -3 e -x
-3 e -x -18 e -2x +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

-3 e -x -18 e -2x +1 = 0 |⋅ e 2x
e 2x -3 e x -18 = 0

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -18 ) 21

u1,2 = +3 ± 9 +72 2

u1,2 = +3 ± 81 2

u1 = 3 + 81 2 = 3 +9 2 = 12 2 = 6

u2 = 3 - 81 2 = 3 -9 2 = -6 2 = -3

Rücksubstitution:

u1: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x1 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

u2: e x = -3

e x = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 6 ) }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = ln( 6 ) : f( ln( 6 ) )= 3 e -( ln( 6 ) ) = 0.5 Somit gilt: S1( ln( 6 ) |0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= 1 2 e 2x -7 e x parallel zur Geraden y = -10x -1 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = -10x -1 gilt m = -10

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= 1 2 e 2x -7 e x

f'(x)= e 2x -7 e x

Also muss gelten:

e 2x -7 e x = -10 | +10
e 2x -7 e x +10 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u +10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 10 21

u1,2 = +7 ± 49 -40 2

u1,2 = +7 ± 9 2

u1 = 7 + 9 2 = 7 +3 2 = 10 2 = 5

u2 = 7 - 9 2 = 7 -3 2 = 4 2 = 2

Rücksubstitution:

u1: e x = 5

e x = 5 |ln(⋅)
x1 = ln( 5 ) ≈ 1.6094

u2: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x2 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

L={ ln( 2 ) ; ln( 5 ) }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung -10 und sind somit parallel zur Geraden y = -10x -1 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( - e 7x +2 ) · ( x 4 -9 x 2 ) = 0

Lösung einblenden
( - e 7x +2 ) ( x 4 -9 x 2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- e 7x +2 = 0 | -2
- e 7x = -2 |:-1
e 7x = 2 |ln(⋅)
7x = ln( 2 ) |:7
x1 = 1 7 ln( 2 ) ≈ 0.099

2. Fall:

x 4 -9 x 2 = 0
x 2 ( x 2 -9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x2 = 0

2. Fall:

x 2 -9 = 0 | +9
x 2 = 9 | 2
x3 = - 9 = -3
x4 = 9 = 3

L={ -3 ; 0; 1 7 ln( 2 ) ; 3 }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x x +2 + 8x x +3 -3 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ -3 ; -2 }

8x x +3 + 3x x +2 -3 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +3 weg!

8x x +3 + 3x x +2 -3 = 0 |⋅( x +3 )
8x x +3 · ( x +3 ) + 3x x +2 · ( x +3 ) -3 · ( x +3 ) = 0
8x + 3 x ( x +3 ) x +2 -3x -9 = 0
8x + 3 x 2 +9x x +2 -3x -9 = 0
3 x 2 +9x x +2 +8x -3x -9 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +2 weg!

3 x 2 +9x x +2 +8x -3x -9 = 0 |⋅( x +2 )
3 x 2 +9x x +2 · ( x +2 ) + 8x · ( x +2 ) -3x · ( x +2 ) -9 · ( x +2 ) = 0
3 x 2 +9x +8 x ( x +2 )-3 x ( x +2 ) -9x -18 = 0
3 x 2 +9x + ( 8 x 2 +16x ) + ( -3 x 2 -6x ) -9x -18 = 0
8 x 2 +10x -18 = 0
8 x 2 +10x -18 = 0 |:2

4 x 2 +5x -9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 4 · ( -9 ) 24

x1,2 = -5 ± 25 +144 8

x1,2 = -5 ± 169 8

x1 = -5 + 169 8 = -5 +13 8 = 8 8 = 1

x2 = -5 - 169 8 = -5 -13 8 = -18 8 = -2,25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2,25 ; 1 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 -4 x 2 -25x +28 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von x 3 -4 x 2 -25x +28 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds 28 .

1 ist eine Lösung, denn 1 3 -4 1 2 -251 +28 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x-1) durch.

( x 3 -4 x 2 -25x +28 ) : (x-1) = x 2 -3x -28
-( x 3 - x 2 )
-3 x 2 -25x
-( -3 x 2 +3x )
-28x +28
-( -28x +28 )
0

es gilt also:

x 3 -4 x 2 -25x +28 = ( x 2 -3x -28 ) · ( x -1 )

( x 2 -3x -28 ) ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 -3x -28 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -28 ) 21

x1,2 = +3 ± 9 +112 2

x1,2 = +3 ± 121 2

x1 = 3 + 121 2 = 3 +11 2 = 14 2 = 7

x2 = 3 - 121 2 = 3 -11 2 = -8 2 = -4


2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x3 = 1

Polynomdivision mit -4

Polynomdivision mit 7

L={ -4 ; 1 ; 7 }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 3 | 4x -20 | -1 = 23

Lösung einblenden
1 3 | 4x -20 | -1 = 23
-1 + 1 3 | 4x -20 | = 23 | +1
1 3 | 4x -20 | = 24 |⋅3
| 4x -20 | = 72

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

4x -20 = 72 | +20
4x = 92 |:4
x1 = 23

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 4x -20 ≥ 0) genügt:

423 -20 = 72 ≥ 0

Die Lösung 23 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: 4x -20 < 0:

-( 4x -20 ) = 72
-4x +20 = 72 | -20
-4x = 52 |:(-4 )
x2 = -13

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 4x -20 < 0) genügt:

4( -13 ) -20 = -72 < 0

Die Lösung -13 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -13 ; 23 }