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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 20 x$ und $g(x) =$ $x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 20 x$	=	$x^{2}$	\| $- x^{2}$
$x^{3} - x^{2} - 20 x$	=	0
$x (x^{2} - x - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 4$ ; 0; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 4$ : f( $- 4$ )= ${(- 4)}^{2}$ = 16 Somit gilt: S₁( $- 4$ |16)

x₂ = 0: f(0)= $0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $5$ : f( $5$ )= $5^{2}$ = 25 Somit gilt: S₃( $5$ |25)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 1 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 1 + 8 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 21 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{- 5 x}{2 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

$\frac{4 x - 5 x}{2 x + 2} - \frac{2}{x}$	=	0
$\frac{4 x - 5 x}{2 (x + 1)} - \frac{2}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{4 x - 5 x}{2 (x + 1)} - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{4 x - 5 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) - \frac{2}{x} \cdot (2 (x + 1))$	=
$4 x - 5 x - 4 \frac{x + 1}{x}$	=
$4 x - 5 x - \frac{4 (x + 1)}{x}$	=
$- \frac{4 (x + 1)}{x} + 4 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4 (x + 1)}{x} + 4 x - 5 x$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4 (x + 1)}{x} \cdot x + 4 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$- 4 x - 4 + 4 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$- 4 x - 4 + 4 x^{2} - 5 x^{2}$	=
$- x^{2} - 4 x - 4$	=

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} - 40 x + 64$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 40 x + 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $64$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 40 \cdot 2 + 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 40 x$	$+ 64$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 32$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 40 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 32 x$	$+ 64$
		-( $- 32 x$	$+ 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 40 x + 64$ = $(x^{2} + 4 x - 32) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x - 32) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 2 \cdot 4^{2} - 40 \cdot 4 + 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 40 x$	$+ 64$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 40 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$- 16 x$	$+ 64$
		-( $- 16 x$	$+ 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 40 x + 64$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 2 \cdot {(- 8)}^{2} - 40 \cdot (- 8) + 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 40 x$	$+ 64$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 40 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$8 x$	$+ 64$
		-( $8 x$	$+ 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 40 x + 64$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 16 | - 3$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 16 \| - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 16 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$36$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$36$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₁	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 13 - 16$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$36$
$- 4 x + 16$	=	$36$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 5) - 16$ = -36 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $13$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 4 x + t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 4 x + t)$ = 0

$x^{2} + 4 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + 4 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + 4 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 4 t$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$5$

Da rechts der Nullstelle t= $5$ beispielsweise für t = 6 der Radikand $16 + (- 4 \cdot 6 + 4)$ = -4 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + (- 4 t + 4)$ für t > $5$ kleiner 0 und für t < $5$ größer 0

Für t < $5$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: