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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 25 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $10 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 25 e^{2 x}$	=	$10 e^{3 x}$	\| $- 10 e^{3 x}$
$e^{4 x} - 10 e^{3 x} + 25 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 10 e^{x} + 25) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 10 e^{x} + 25

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

$\ln (5)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $10 e^{3 \cdot (\ln (5))}$ = 1250 Somit gilt: S₁( $\ln (5)$ |1250)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 1 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 1 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$2 e^{3 x} - 1 + 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 36 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 36 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 12 e^{x} + 36) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 12 e^{x} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

$\ln (6)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{3 x}{x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{3 x}{x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{6 x}{2 x - 1} - 3$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=
$3 x + \frac{6 x (x - 2)}{2 x - 1} - 3 x + 6$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} - 3 x + 6$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 3 x - 3 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} + 3 x - 3 x + 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 3 x \cdot (2 x - 1) - 3 x \cdot (2 x - 1) + 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 3 x (2 x - 1) - 3 x (2 x - 1) + 12 x - 6$	=
$6 x^{2} - 12 x + (6 x^{2} - 3 x) + (- 6 x^{2} + 3 x) + 12 x - 6$	=
$6 x^{2} - 6$	=

$6 x^{2} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x^{2}$	=	$6$	\|: $6$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 81 x - 81$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 81 x - 81$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 81$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 81 \cdot (- 1) - 81$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 81 x$	$- 81$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 81$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 81 x$
	-(0	0)
		$- 81 x$	$- 81$
		-( $- 81 x$	$- 81$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 81 x - 81$ = $(x^{2} + 0 - 81) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 81) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 81) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$x^{2}$	=	$81$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{81}$	= $- 9$
x₂	=	$\sqrt{81}$	= $9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{2} - 81 \cdot (- 9) - 81$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 81 x$	$- 81$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 81 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$- 9 x$	$- 81$
		-( $- 9 x$	$- 81$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 81 x - 81$ = $(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 8 x - 9) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} + 9^{2} - 81 \cdot 9 - 81$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 81 x$	$- 81$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 81 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 90 x$ )
		$9 x$	$- 81$
		-( $9 x$	$- 81$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 81 x - 81$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 10 x + 9) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 5$ - $4$ = -9

x₂ = $- 5$ + $4$ = -1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 9$ ; $- 1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x - 15 | - 3$ = $9$

Lösung einblenden

$\| - 3 x - 15 \| - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$\| - 3 x - 15 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x - 15$ ≥ 0:

$- 3 x - 15$	=	$12$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$27$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 9) - 15$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 15$ < 0:

$- (- 3 x - 15)$	=	$12$
$3 x + 15$	=	$12$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 15$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 1) - 15$ = -12 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $5 t x^{2} + 4$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$5 t x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$5 t x^{2}$	=	$- 4$	\|: $5 t$
$x^{2}$	=	$- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{4}{5 t})}$
x₂	=	$\sqrt{(- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{4}{5 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$4$	=	0	\| $- 4$
0	=	$- 4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t ≥ 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -15 ≥ 0:

2. Fall: -3x -15 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 15$ < 0: