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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x + \frac{36}{x}$ und $g(x) =$ $12$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + \frac{36}{x}$	=	$12$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + \frac{36}{x} \cdot x$	=	$12 \cdot x$
$x \cdot x + 36$	=	$12 x$
$x^{2} + 36$	=	$12 x$

x^{2} + 36

=

12 x

|

- 12 x

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $6$ : f( $6$ )= $12$ Somit gilt: S₁( $6$ |12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $10 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $10 x - 6$ gilt m = $10$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 3 x

=

10

|

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 2$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $10$ und sind somit parallel zur Geraden y = $10 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 6 x^{4} - 27 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 6 x^{4} - 27 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 6 x^{2} - 27)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 6 x^{2} - 27

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{2 x}{3 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{2 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{2 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (3 x + 1) - 4 \cdot (3 x + 1)$	=
$2 x + \frac{9 x (3 x + 1)}{2 x - 1} - 12 x - 4$	=
$2 x + \frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} - 12 x - 4$	=
$\frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} + 2 x - 12 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} + 2 x - 12 x - 4$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 2 x \cdot (2 x - 1) - 12 x \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x - 1)$	=
$27 x^{2} + 9 x + 2 x (2 x - 1) - 12 x (2 x - 1) - 8 x + 4$	=
$27 x^{2} + 9 x + (4 x^{2} - 2 x) + (- 24 x^{2} + 12 x) - 8 x + 4$	=
$7 x^{2} + 11 x + 4$	=

$7 x^{2} + 11 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 4}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{14}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{14}$ = $\frac{- 11+3}{14}$ = $\frac{- 8}{14}$ = $- \frac{4}{7}$ ≈ -0.57

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{14}$ = $\frac{- 11-3}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 11 x + 4$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{11}{7} x + \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{14})}^{2} - (\frac{4}{7})$ = $\frac{121}{196}$ $-$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{121}{196}$ $-$ $\frac{112}{196}$ = $\frac{9}{196}$

x_1,2 = $- \frac{11}{14}$ ± $\sqrt{\frac{9}{196}}$

x₁ = $- \frac{11}{14}$ - $\frac{3}{14}$ = $- \frac{14}{14}$ = -1

x₂ = $- \frac{11}{14}$ + $\frac{3}{14}$ = $- \frac{8}{14}$ = -0.57142857142857

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{4}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} - 43 \cdot (- 1) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 13 x$ )
		$- 30 x$	$- 30$
		-( $- 30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $10$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 10 \cdot 6^{2} - 43 \cdot 6 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 43 x$	$- 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 43 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$5 x$	$- 30$
		-( $5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 43 x - 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x + 10 | + 6$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \| + 6$	=	$- 4$	\| $- 6$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x + 10 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$30$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 10) + 10$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$30$
$2 x - 10$	=	$30$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$40$	\|: $2$
x₂	=	$20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 20 + 10$ = -30 < 0

Die Lösung $20$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $20$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x + 2 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 3 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} - 3 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 3 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 3 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 8 t$	=	$- 13$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{13}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{13}{8}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $9 + (- 8 \cdot 3 + 4)$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + (- 8 t + 4)$ für t > $\frac{13}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{13}{8}$ größer 0

Für t > $\frac{13}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: