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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$x$	\| $- x$
$x^{4} - x$	=	0
$x \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $1$ Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $5 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x + 5$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 4 e^{2 x}

=

5

|

- 5

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{3 x} - 5) \cdot (x^{4} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{3 x} - 5) \cdot (x^{4} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{3 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$9 e^{3 x}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{3 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.1959

2. Fall:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{9})$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{11 x - 1}{3 x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{12 x}{x - 2} + \frac{11 x - 1}{3 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{11 x - 1}{3 x} - 8$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{11 x - 1}{3 x} \cdot (x - 2) - 8 \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{(11 x - 1) \cdot (x - 2)}{3 x} - 8 x + 16$	=
$12 x + \frac{11 x^{2} - 23 x + 2}{3 x} - 8 x + 16$	=
$\frac{11 x^{2} - 23 x + 2}{3 x} + 12 x - 8 x + 16$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x^{2} - 23 x + 2}{3 x} + 12 x - 8 x + 16$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x^{2} - 23 x + 2}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 8 x \cdot 3 x + 16 \cdot 3 x$	=
$11 x^{2} - 23 x + 2 + 36 x \cdot x - 24 x \cdot x + 48 x$	=
$11 x^{2} - 23 x + 2 + 36 x^{2} - 24 x^{2} + 48 x$	=
$23 x^{2} + 25 x + 2$	=

$23 x^{2} + 25 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 23 \cdot 2}}{2 \cdot 23}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 184}}{46}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{441}}{46}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{441}}{46}$ = $\frac{- 25+21}{46}$ = $\frac{- 4}{46}$ = $- \frac{2}{23}$ ≈ -0.09

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{441}}{46}$ = $\frac{- 25-21}{46}$ = $\frac{- 46}{46}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $23$ " teilen:

$23 x^{2} + 25 x + 2$ = 0 |: $23$

$x^{2} + \frac{25}{23} x + \frac{2}{23}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{46})}^{2} - (\frac{2}{23})$ = $\frac{625}{2116}$ $-$ $\frac{2}{23}$ = $\frac{625}{2116}$ $-$ $\frac{184}{2116}$ = $\frac{441}{2116}$

x_1,2 = $- \frac{25}{46}$ ± $\sqrt{\frac{441}{2116}}$

x₁ = $- \frac{25}{46}$ - $\frac{21}{46}$ = $- \frac{46}{46}$ = -1

x₂ = $- \frac{25}{46}$ + $\frac{21}{46}$ = $- \frac{4}{46}$ = -0.08695652173913

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{23}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 6 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 6 x$	$- 6$
		-( $- 6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 6$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 6$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 6 \cdot {(- 6)}^{2} - (- 6) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- x$	$- 6$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 6$
		-( $- x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 6$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 6)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 6)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x + 3 | + 5$ = 0

Lösung einblenden

$\| - x + 3 \| + 5$	=	0	\| $- 5$
$\| - x + 3 \|$	=	$- 5$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 x + 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 x + 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 x + 4 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{4} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{4} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 x + 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 16 t$ = 0 wird.

$25 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 16 t$	=	$- 25$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{25}{16}$

Für t = $\frac{25}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 6$