Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 1$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $25 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $25 x - 7$ gilt m = $25$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $25$ und sind somit parallel zur Geraden y = $25 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 5 e^{5 x} + 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 5 e^{5 x} + 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{x + 3} + \frac{72 x}{- 3 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{72 x}{- 3 x - 9}$	=	0
$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{72 x}{- 3 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{72 x}{- 3 (x + 3)}$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot (x + 3) + \frac{72 x}{- 3 (x + 3)} \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{(8 x + 1) (x + 3)}{3 x} - 24 x$	=
$12 x + \frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} - 24 x$	=
$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} + 12 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} + 12 x - 24 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} + 25 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 12 x \cdot 3 x - 24 x \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} + 25 x + 3 + 36 x \cdot x - 72 x \cdot x$	=
$8 x^{2} + 25 x + 3 + 36 x^{2} - 72 x^{2}$	=
$- 28 x^{2} + 25 x + 3$	=

$- 28 x^{2} + 25 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 28) \cdot 3}}{2 \cdot (- 28)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 336}}{- 56}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{961}}{- 56}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{961}}{- 56}$ = $\frac{- 25+31}{- 56}$ = $\frac{6}{- 56}$ = $- \frac{3}{28}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{961}}{- 56}$ = $\frac{- 25-31}{- 56}$ = $\frac{- 56}{- 56}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 28$ " teilen:

$- 28 x^{2} + 25 x + 3$ = 0 |: $- 28$

$x^{2} - \frac{25}{28} x - \frac{3}{28}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{56})}^{2} - (- \frac{3}{28})$ = $\frac{625}{3136}$ $+$ $\frac{3}{28}$ = $\frac{625}{3136}$ $+$ $\frac{336}{3136}$ = $\frac{961}{3136}$

x_1,2 = $\frac{25}{56}$ ± $\sqrt{\frac{961}{3136}}$

x₁ = $\frac{25}{56}$ - $\frac{31}{56}$ = $- \frac{6}{56}$ = -0.10714285714286

x₂ = $\frac{25}{56}$ + $\frac{31}{56}$ = $\frac{56}{56}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{28}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 3 x^{2} - 70 x - 144$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 70 x - 144$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 144$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 70 \cdot (- 2) - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 70 x$	$- 144$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 72$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 70 x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 72 x$	$- 144$
		-( $- 72 x$	$- 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 70 x - 144$ = $(x^{2} + x - 72) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 72) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} + 3 \cdot 8^{2} - 70 \cdot 8 - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 70 x$	$- 144$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 70 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 88 x$ )
		$18 x$	$- 144$
		-( $18 x$	$- 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 70 x - 144$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 3 \cdot {(- 9)}^{2} - 70 \cdot (- 9) - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 70 x$	$- 144$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 70 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 54 x$ )
		$- 16 x$	$- 144$
		-( $- 16 x$	$- 144$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 70 x - 144$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 6 x - 16) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x + 3 | - 7$ = $- 16$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \| - 7$	=	$- 16$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$27$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$27$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 8) + 3$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$27$
$3 x - 3$	=	$27$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 10 + 3$ = -27 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $4 t x^{3} + 5 x$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$4 t x^{3} + 5 x$	=	0
$x (4 t x^{2} + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$4 t x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$4 t x^{2}$	=	$- 5$	\|: $4 t$
$x^{2}$	=	$- \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{5}{4 t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{5}{4 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$5 x$	=	0	\|: $5$
$x$	=	0

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: