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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - \frac{8}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $7 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} - \frac{8}{x^{2}}$	=	$7 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} - 8$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{6} - 8$	=	$7 x \cdot x^{2}$
$x^{6} - 8$	=	$7 x^{3}$

x^{6} - 8

=

7 x^{3}

|

- 7 x^{3}

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $7 \cdot (- 1)$ = -7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-7)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $7 \cdot 2$ = 14 Somit gilt: S₂( $2$ |14)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{9}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 14 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 14 x - 4$ gilt m = $- 14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{9}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 9 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 9 e^{2 x}

=

- 14

|

+ 14

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 14 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{3} - 32 x$ = $- x^{5}$

Lösung einblenden

$4 x^{3} - 32 x$	=	$- x^{5}$	\| $+ x^{5}$
$x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 4 x^{2} - 32

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 6} + \frac{x}{2 x - 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x}{2 x - 6} - 5$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x}{2 (x - 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x}{2 (x - 3)} - 5$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{2 x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 2)) - 5 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 2 \frac{x \cdot (x - 2)}{x - 3} - 10 x + 20$	=
$x + \frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} - 10 x + 20$	=
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} + x - 10 x + 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} + x - 10 x + 20$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{x - 3} \cdot (x - 3) + x \cdot (x - 3) - 10 x \cdot (x - 3) + 20 \cdot (x - 3)$	=
$2 x^{2} - 4 x + x \cdot (x - 3) - 10 x \cdot (x - 3) + 20 x - 60$	=
$2 x^{2} - 4 x + (x^{2} - 3 x) + (- 10 x^{2} + 30 x) + 20 x - 60$	=
$- 7 x^{2} + 43 x - 60$	=

$- 7 x^{2} + 43 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 680}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{169}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{- 43+13}{- 14}$ = $\frac{- 30}{- 14}$ = $\frac{15}{7}$ ≈ 2.14

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{- 43-13}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 43 x - 60$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{43}{7} x + \frac{60}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{43}{14})}^{2} - (\frac{60}{7})$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{60}{7}$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{1680}{196}$ = $\frac{169}{196}$

x_1,2 = $\frac{43}{14}$ ± $\sqrt{\frac{169}{196}}$

x₁ = $\frac{43}{14}$ - $\frac{13}{14}$ = $\frac{30}{14}$ = 2.1428571428571

x₂ = $\frac{43}{14}$ + $\frac{13}{14}$ = $\frac{56}{14}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{15}{7}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 6 x^{2} - 19 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} - 19 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 6 \cdot 1^{2} - 19 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 5 x - 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 24 x$	$+ 24$
		-( $- 24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 19 x + 24$ = $(x^{2} - 5 x - 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 5 x - 24) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 6 \cdot {(- 3)}^{2} - 19 \cdot (- 3) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 27 x$ )
		$8 x$	$+ 24$
		-( $8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 19 x + 24$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 6 \cdot 8^{2} - 19 \cdot 8 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 19 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$- 3 x$	$+ 24$
		-( $- 3 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} - 19 x + 24$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 3$ ; $1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 2 | + 9$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 2 \| + 9$	=	$1$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 2 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$- 24$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x + 4 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x + 4 t)$ = 0

$x^{2} + 3 x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 16 t$	=	$- 13$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{13}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{13}{16}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $9 + (- 16 \cdot 2 + 4)$ = -19 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + (- 16 t + 4)$ für t > $\frac{13}{16}$ kleiner 0 und für t < $\frac{13}{16}$ größer 0

Für t < $\frac{13}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $8$