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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 7$ und $g(x) =$ $- 10 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 7

=

- 10 e^{- 2 x}

|

+ 10 e^{- 2 x}

e^{2 x} + 10 e^{- 2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 10 e^{- 2 x} - 7$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 10$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $- 10 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = -5 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |-5)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- 10 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = -2 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 3 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 3 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 3 e^{x}$ = $2 e^{3 x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 3 e^{x}$	=	$2 e^{3 x}$	\| $- 2 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 3 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 2} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) - 4 \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x - 12 x - 8$	=
$- 4 x - 8$	=

$- 4 x - 8$	=	0	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 35 \cdot {(- 1)}^{2} + 77 \cdot (- 1) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$45 x$	$+ 45$
		-( $45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{32}{3} x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{3})}^{2} - 15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{16}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{16}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{27}{3}$ = -9

x₂ = $- \frac{16}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 35 \cdot {(- 9)}^{2} + 77 \cdot (- 9) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$5 x$	$+ 45$
		-( $5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 16 | - 6$ = $18$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 16 \| - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 16 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 16 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

$- 4 x - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$64$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 16) - 16$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0:

$- (- 4 x - 16)$	=	$48$
$4 x + 16$	=	$48$	\| $- 16$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 8 - 16$ = -48 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x - 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x - 2 t)$ = 0

$x^{2} + 5 x - 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x - 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + (- 2 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 8 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 8 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 8 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 8 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 8 t + 4$	=	0
$8 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$8 t$	=	$- 29$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{29}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{29}{8}$ beispielsweise für t = -3 der Radikand $25 + (8 \cdot (- 3) + 4)$ = 5 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 8 t + 4$ für t > $- \frac{29}{8}$ größer 0 und für t < $- \frac{29}{8}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{29}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -16 ≥ 0:

2. Fall: -4x -16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0: