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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 3 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $28$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 3 e^{3 x}

=

28

|

- 28

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $28$ Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 x + 3} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{2 x + 1}{3 (x + 1)} \cdot (3 x + 4) - 5 \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x + \frac{(2 x + 1) \cdot (3 x + 4)}{3 (x + 1)} - 15 x - 20$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} - 15 x - 20$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} + 4 x - 15 x - 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} + 4 x - 15 x - 20$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 4}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 4 x \cdot (3 (x + 1)) - 15 x \cdot (3 (x + 1)) - 20 \cdot (3 (x + 1))$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + 12 x \cdot (x + 1) - 45 x \cdot (x + 1) - 60 x - 60$	=
$6 x^{2} + 11 x + 4 + (12 x^{2} + 12 x) + (- 45 x^{2} - 45 x) - 60 x - 60$	=
$- 27 x^{2} - 82 x - 56$	=

$- 27 x^{2} - 82 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 82 \pm \sqrt{{(- 82)}^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 56)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{+ 82 \pm \sqrt{6 724 - 6 048}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{+ 82 \pm \sqrt{676}}{- 54}$

x₁ = $\frac{82 + \sqrt{676}}{- 54}$ = $\frac{82+26}{- 54}$ = $\frac{108}{- 54}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{82 - \sqrt{676}}{- 54}$ = $\frac{82-26}{- 54}$ = $\frac{56}{- 54}$ = $- \frac{28}{27}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} - 82 x - 56$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} + \frac{82}{27} x + \frac{56}{27}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{41}{27})}^{2} - (\frac{56}{27})$ = $\frac{1681}{729}$ $-$ $\frac{56}{27}$ = $\frac{1681}{729}$ $-$ $\frac{1512}{729}$ = $\frac{169}{729}$

x_1,2 = $- \frac{41}{27}$ ± $\sqrt{\frac{169}{729}}$

x₁ = $- \frac{41}{27}$ - $\frac{13}{27}$ = $- \frac{54}{27}$ = -2

x₂ = $- \frac{41}{27}$ + $\frac{13}{27}$ = $- \frac{28}{27}$ = -1.037037037037

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{28}{27}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 16 | + 3$ = $27$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \| + 3$	=	$27$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$64$	\|: $4$
x₁	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 16 - 16$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$48$
$- 4 x + 16$	=	$48$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) - 16$ = -48 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $16$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{5} + t x^{3}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$2 x^{5} + t x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (2 x^{2} + t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$2 x^{2} + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$2 x^{2}$	=	$- 1 t$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$- \frac{1}{2} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{1}{2} t)}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{2} t)}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{1}{2} t)}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{2} t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: