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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{9}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $10$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} + \frac{9}{x^{2}}$	=	$10$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} + \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$10 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} + 9$	=	$10 x^{2}$
$x^{4} + 9$	=	$10 x^{2}$

x^{4} + 9

=

10 x^{2}

|

- 10 x^{2}

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $10$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |10)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $10$ Somit gilt: S₂( $- 1$ |10)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $10$ Somit gilt: S₃( $1$ |10)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $10$ Somit gilt: S₄( $3$ |10)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x + 7$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

6

|

- 6

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 16$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{x}{3 x - 6} + \frac{3 x - 1}{- x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{- x + 1} + \frac{x}{3 x - 6}$	=	0
$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{- x + 1} + \frac{x}{3 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{3 x - 1}{- x + 1} + \frac{x}{3 (x - 2)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{- x + 1} \cdot (x - 1) + \frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) (x - 1)}{- x + 1} + \frac{x (x - 1)}{3 (x - 2)}$	=
$2 x - 3 x + 1 + \frac{x (x - 1)}{3 (x - 2)}$	=
$2 x - 3 x + 1 + \frac{x^{2} - x}{3 (x - 2)}$	=
$\frac{x^{2} - x}{3 (x - 2)} + 2 x - 3 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x^{2} - x}{3 (x - 2)} + 2 x - 3 x + 1$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x^{2} - x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + 2 x \cdot (3 (x - 2)) - 3 x \cdot (3 (x - 2)) + 1 \cdot (3 (x - 2))$	=
$x^{2} - x + 6 x (x - 2) - 9 x (x - 2) + 3 x - 6$	=
$x^{2} - x + (6 x^{2} - 12 x) + (- 9 x^{2} + 18 x) + 3 x - 6$	=
$- 2 x^{2} + 8 x - 6$	=

- 2 x^{2} + 8 x - 6

= 0 |:2

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 7$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 7 \cdot 1 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 7 x$	$- 7$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 7$
		-( $7 x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x - 5 | - 2$ = 0

Lösung einblenden

$\| - x - 5 \| - 2$	=	0	\| $+ 2$
$\| - x - 5 \|$	=	$2$

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

$- x - 5$	=	$2$	\| $+ 5$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 7) - 5$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 5$ < 0:

$- (- x - 5)$	=	$2$
$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ < 0) genügt:

$- (- 3) - 5$ = -2 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - x - t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - x - t)$ = 0

$x^{2} - x - t$ = 1 |-1

$x^{2} - x - t$ - 1 = 0

$x^{2} - x + (- t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 4 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 4 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 4 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 4 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 4 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 4 t + 4$	=	0
$4 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$4 t$	=	$- 5$	\|: $4$
$t$	=	$- \frac{5}{4}$ = -1.25

Für t = $- \frac{5}{4}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -5 ≥ 0:

2. Fall: -x -5 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 5$ < 0: