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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + 8 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 9 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + 8 x^{2}$	=	$- 9 x^{5}$	\| $+ 9 x^{5}$
$x^{8} + 9 x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{6} + 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} + 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{5}$ = 288 Somit gilt: S₁( $- 2$ |288)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{5}$ = 9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |9)

x₃ = 0: f(0)= $- 9 \cdot 0^{5}$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 6$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $3 e^{3 x} - 1 + 9 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{3 x} - 1 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{3 x} - 1 + 1 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 e^{3 x} + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 (3 x + 1) \cdot e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 36 x^{2}$ = $- 5 x^{4}$

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$x^{6} - 36 x^{2}$	=	$- 5 x^{4}$	\| $+ 5 x^{4}$
$x^{6} + 5 x^{4} - 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{4} + 5 x^{2} - 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 5 x^{2} - 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 9$

x^{2}

=

- 9

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{x}{3 x - 10} + \frac{- 3 x + 2}{x - 2}$ = 0

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D=R\{ $2$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{2 x - 2 - 3 x + 2}{x - 2} + \frac{x}{3 x - 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x - 2 - 3 x + 2}{x - 2} + \frac{x}{3 x - 10}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x - 2 - 3 x + 2}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x}{3 x - 10} \cdot (x - 2)$	=
$2 x - 2 - 3 x + 2 + \frac{x \cdot (x - 2)}{3 x - 10}$	=
$2 x - 2 - 3 x + 2 + \frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10}$	=
$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10} + 2 x - 3 x - 2 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10} + 2 x - 3 x - 2 + 2$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 2 x \cdot (3 x - 10) - 3 x \cdot (3 x - 10) - 2 \cdot (3 x - 10) + 2 \cdot (3 x - 10)$	=
$x^{2} - 2 x + 2 x \cdot (3 x - 10) - 3 x \cdot (3 x - 10) - 6 x + 20 + 6 x - 20$	=
$x^{2} - 2 x + (6 x^{2} - 20 x) + (- 9 x^{2} + 30 x) - 6 x + 20 + 6 x - 20$	=
$- 2 x^{2} + 8 x$	=

$- 2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x + 6 | + 6$ = $12$

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$\frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \| + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| - 3 x + 6 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

$- 3 x + 6$	=	$18$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 4) + 6$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0:

$- (- 3 x + 6)$	=	$18$
$3 x - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 8 + 6$ = -18 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x - 4 t)$ genau 0 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 3 x - 4 t)$ = 0

$x^{2} - 3 x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 3 x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 3 x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$9 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$16 t$	=	$- 13$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{13}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{13}{16}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $9 + (16 \cdot 0 + 4)$ = 13 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + 16 t + 4$ für t > $- \frac{13}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{13}{16}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{13}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +6 ≥ 0:

2. Fall: -3x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0: