Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7}$ und $g(x) =$ $64 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7}$	=	$64 x$	\| $- 64 x$
$x^{7} - 64 x$	=	0
$x (x^{6} - 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{6} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $64 \cdot (- 2)$ = -128 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-128)

x₂ = 0: f(0)= $64 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $64 \cdot 2$ = 128 Somit gilt: S₃( $2$ |128)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 2$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + 3 x^{3}$ = $28 x$

Lösung einblenden

$x^{5} + 3 x^{3}$	=	$28 x$	\| $- 28 x$
$x^{5} + 3 x^{3} - 28 x$	=	0
$x (x^{4} + 3 x^{2} - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 3 x^{2} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{3 x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{11 x - 1}{3 x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{11 x - 1}{3 x} - 8$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{11 x - 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) - 8 \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x + \frac{(11 x - 1) (3 x - 1)}{3 x} - 24 x + 8$	=
$16 x + \frac{33 x^{2} - 14 x + 1}{3 x} - 24 x + 8$	=
$\frac{33 x^{2} - 14 x + 1}{3 x} + 16 x - 24 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{33 x^{2} - 14 x + 1}{3 x} + 16 x - 24 x + 8$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{33 x^{2} - 14 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 16 x \cdot 3 x - 24 x \cdot 3 x + 8 \cdot 3 x$	=
$33 x^{2} - 14 x + 1 + 48 x \cdot x - 72 x \cdot x + 24 x$	=
$33 x^{2} - 14 x + 1 + 48 x^{2} - 72 x^{2} + 24 x$	=
$9 x^{2} + 10 x + 1$	=

$9 x^{2} + 10 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{18}$ = $\frac{- 10+8}{18}$ = $\frac{- 2}{18}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{18}$ = $\frac{- 10-8}{18}$ = $\frac{- 18}{18}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 10 x + 1$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{10}{9} x + \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{9})}^{2} - (\frac{1}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{16}{81}$

x_1,2 = $- \frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{16}{81}}$

x₁ = $- \frac{5}{9}$ - $\frac{4}{9}$ = $- \frac{9}{9}$ = -1

x₂ = $- \frac{5}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $- \frac{1}{9}$ = -0.11111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x - 8 | - 8$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x - 8 \| - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| 2 x - 8 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x + t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x + t)$ = 0

$x^{2} + 3 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 4 t$	=	$- 13$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{13}{4}$ = 3.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{13}{4}$ beispielsweise für t = 4 der Radikand $9 + (- 4 \cdot 4 + 4)$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + (- 4 t + 4)$ für t > $\frac{13}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{13}{4}$ größer 0

Für t < $\frac{13}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter