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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $28 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 3 e^{- x} + 1

=

28 e^{- 2 x}

|

- 28 e^{- 2 x}

- 3 e^{- x} - 28 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 3 e^{- x} - 28 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 3 e^{x} - 28$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $28 e^{- 2 \cdot (\ln (7))}$ = 0.571 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |0.571)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 2$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 4 e^{3 x} - 12 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 4 e^{3 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{3 x + 6} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{3}{2}$ }

$\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{2 x}{2 x + 3} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x + 2)} + \frac{2 x}{2 x + 3} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x + 2)} + \frac{2 x}{2 x + 3} - 6$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{2 x}{2 x + 3} \cdot (3 (x + 2)) - 6 \cdot (3 (x + 2))$	=
$4 x + 3 \frac{2 x (x + 2)}{2 x + 3} - 18 x - 36$	=
$4 x + \frac{3 (2 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3} - 18 x - 36$	=
$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3} + 4 x - 18 x - 36$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3} + 4 x - 18 x - 36$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x)}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + 4 x \cdot (2 x + 3) - 18 x \cdot (2 x + 3) - 36 \cdot (2 x + 3)$	=
$6 x^{2} + 12 x + 4 x (2 x + 3) - 18 x (2 x + 3) - 72 x - 108$	=
$6 x^{2} + 12 x + (8 x^{2} + 12 x) + (- 36 x^{2} - 54 x) - 72 x - 108$	=
$- 22 x^{2} - 102 x - 108$	=

- 22 x^{2} - 102 x - 108

= 0 |:2

$- 11 x^{2} - 51 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 51 \pm \sqrt{{(- 51)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 54)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 51 \pm \sqrt{2 601 - 2 376}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 51 \pm \sqrt{225}}{- 22}$

x₁ = $\frac{51 + \sqrt{225}}{- 22}$ = $\frac{51+15}{- 22}$ = $\frac{66}{- 22}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{51 - \sqrt{225}}{- 22}$ = $\frac{51-15}{- 22}$ = $\frac{36}{- 22}$ = $- \frac{18}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 51 x - 54$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{51}{11} x + \frac{54}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{51}{22})}^{2} - (\frac{54}{11})$ = $\frac{2601}{484}$ $-$ $\frac{54}{11}$ = $\frac{2601}{484}$ $-$ $\frac{2376}{484}$ = $\frac{225}{484}$

x_1,2 = $- \frac{51}{22}$ ± $\sqrt{\frac{225}{484}}$

x₁ = $- \frac{51}{22}$ - $\frac{15}{22}$ = $- \frac{66}{22}$ = -3

x₂ = $- \frac{51}{22}$ + $\frac{15}{22}$ = $- \frac{36}{22}$ = -1.6363636363636

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{18}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 49 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 49 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 49 \cdot (- 1) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 49 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 45$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 45 x$	$- 45$
		-( $- 45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 49 x - 45$ = $(x^{2} - 4 x - 45) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x - 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $2$ - $7$ = -5

x₂ = $2$ + $7$ = 9

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} - 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 49 \cdot (- 5) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 49 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 40 x$ )
		$- 9 x$	$- 45$
		-( $- 9 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 49 x - 45$ = $(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 8 x - 9) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 3 \cdot 9^{2} - 49 \cdot 9 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 49 x$	$- 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 54 x$ )
		$5 x$	$- 45$
		-( $5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 49 x - 45$ = $(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 6 x + 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 5$ ; $- 1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x - 10 | - 7$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x - 10 \| - 7$	=	$- 15$	\| $+ 7$
$- \| - 2 x - 10 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x - 10 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

$- 2 x - 10$	=	$8$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 9) - 10$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0:

$- (- 2 x - 10)$	=	$8$
$2 x + 10$	=	$8$	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 1) - 10$ = -8 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x - 4 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x - 4 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$16 t$	=	$- 29$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{29}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{29}{16}$ beispielsweise für t = -1 der Radikand $25 + (16 \cdot (- 1) + 4)$ = 13 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 16 t + 4$ für t > $- \frac{29}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{29}{16}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{29}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -10 ≥ 0:

2. Fall: -2x -10 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 10$ < 0: