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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 2 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $3 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 2 e^{5 x}$	=	$3 e^{2 x}$	\| $- 3 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 2 e^{5 x} - 3 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 3) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $3 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 6.24 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |6.24)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 5$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 2 e^{x}

=

8

|

- 8

e^{2 x} - 2 e^{x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} - 3$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=
$9 x - 3 x + 6$	=
$6 x + 6$	=

$6 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$6 x$	=	$- 6$	\|: $6$
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ x$
	-( $11 x^{2}$	$- 11 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 3 x$	$- 12$
		-( $- 3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 16 | + 3$ = $15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 16 \| + 3$	=	$15$	\| $- 3$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 16 \|$	=	$12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$- 24$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x - 3 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x - 3 t)$ = 0

$x^{2} + 5 x - 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x - 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + (- 3 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 12 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 12 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 12 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 12 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 12 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 12 t + 4$	=	0
$12 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$12 t$	=	$- 29$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{29}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{29}{12}$ beispielsweise für t = -1 der Radikand $25 + (12 \cdot (- 1) + 4)$ = 17 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 12 t + 4$ für t > $- \frac{29}{12}$ größer 0 und für t < $- \frac{29}{12}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{29}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$