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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 12 x^{2}$ und $g(x) =$ $- 35 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 12 x^{2}$	=	$- 35 x$	\| $+ 35 x$
$x^{3} - 12 x^{2} + 35 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 12 x + 35)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

L={0; $5$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 35 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $- 35 \cdot 5$ = -175 Somit gilt: S₂( $5$ |-175)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $- 35 \cdot 7$ = -245 Somit gilt: S₃( $7$ |-245)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{13}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 36 x - 4$ sind.

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Für die Steigung der Geraden y = $- 36 x - 4$ gilt m = $- 36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{13}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 13 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 13 x^{2}

=

- 36

|

+ 36

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 36 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(2 e^{- x} - 4) \cdot (x^{4} - 4 x^{3})$ = 0

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(2 e^{- x} - 4) \cdot (x^{4} - 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 e^{- x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$2 e^{- x}$	=	$4$	\|: $2$
$e^{- x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (2)$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (2)$	≈ -0.6931

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- \ln (2)$ ; 0; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 10} - 4$ = 0

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D=R\{ $- \frac{10}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) - 4 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x - 12 x - 40$	=
$- 10 x - 40$	=

$- 10 x - 40$	=	0	\| $+ 40$
$- 10 x$	=	$40$	\|:( $- 10$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 20 | - 9$ = $15$

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$\frac{1}{2} \| - 4 x + 20 \| - 9$	=	$15$	\| $+ 9$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 20 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 20 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

$- 4 x + 20$	=	$48$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 7) + 20$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0:

$- (- 4 x + 20)$	=	$48$
$4 x - 20$	=	$48$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$68$	\|: $4$
x₂	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 17 + 20$ = -48 < 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $17$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $2 x^{5} - t x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

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Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$2 x^{5} - t x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (2 x^{2} - t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$2 x^{2} - t$	=	0	\| - ( $- t$ )
$2 x^{2}$	=	$t$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{2} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{1}{2} t)}$	= $- \frac{1}{1,4142} \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{1}{2} t)}$	= $\frac{1}{1,4142} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +20 ≥ 0:

2. Fall: -4x +20 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0: