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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 3$ und $g(x) =$ $4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 3

=

4 e^{x}

|

- 4 e^{x}

e^{2 x} - 4 e^{x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $4 e^{0}$ = 4 Somit gilt: S₁(0|4)

x₂ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $4 e^{\ln (3)}$ = 12 Somit gilt: S₂( $\ln (3)$ |12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 4 x} + 6) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 4 x} + 6) \cdot (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 4 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 8 e^{- 4 x}$	=	$- 6$	\|: $- 8$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 0.0719

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{4})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{3 x + 7} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; $- \frac{3}{2}$ }

\frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{4 x}{2 x + 3} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{4 x}{2 x + 3} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 x}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{4 x}{2 x + 3} \cdot (3 x + 7) - 7 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (3 x + 7)}{2 x + 3} - 21 x - 49$	=
$2 x + \frac{12 x^{2} + 28 x}{2 x + 3} - 21 x - 49$	=
$\frac{12 x^{2} + 28 x}{2 x + 3} + 2 x - 21 x - 49$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 28 x}{2 x + 3} + 2 x - 21 x - 49$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{12 x^{2} + 28 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + 2 x \cdot (2 x + 3) - 21 x \cdot (2 x + 3) - 49 \cdot (2 x + 3)$	=
$12 x^{2} + 28 x + 2 x \cdot (2 x + 3) - 21 x \cdot (2 x + 3) - 98 x - 147$	=
$12 x^{2} + 28 x + (4 x^{2} + 6 x) + (- 42 x^{2} - 63 x) - 98 x - 147$	=
$- 26 x^{2} - 127 x - 147$	=

$- 26 x^{2} - 127 x - 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 127 \pm \sqrt{{(- 127)}^{2} - 4 \cdot (- 26) \cdot (- 147)}}{2 \cdot (- 26)}$

x_1,2 = $\frac{+ 127 \pm \sqrt{16 129 - 15 288}}{- 52}$

x_1,2 = $\frac{+ 127 \pm \sqrt{841}}{- 52}$

x₁ = $\frac{127 + \sqrt{841}}{- 52}$ = $\frac{127+29}{- 52}$ = $\frac{156}{- 52}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{127 - \sqrt{841}}{- 52}$ = $\frac{127-29}{- 52}$ = $\frac{98}{- 52}$ = $- \frac{49}{26}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 26$ " teilen:

$- 26 x^{2} - 127 x - 147$ = 0 |: $- 26$

$x^{2} + \frac{127}{26} x + \frac{147}{26}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{127}{52})}^{2} - (\frac{147}{26})$ = $\frac{16129}{2704}$ $-$ $\frac{147}{26}$ = $\frac{16129}{2704}$ $-$ $\frac{15288}{2704}$ = $\frac{841}{2704}$

x_1,2 = $- \frac{127}{52}$ ± $\sqrt{\frac{841}{2704}}$

x₁ = $- \frac{127}{52}$ - $\frac{29}{52}$ = $- \frac{156}{52}$ = -3

x₂ = $- \frac{127}{52}$ + $\frac{29}{52}$ = $- \frac{98}{52}$ = -1.8846153846154

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{49}{26}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 16 \cdot 1^{2} - 17 \cdot 1 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$- 30 x$	$+ 30$
		-( $- 30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $10$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 16 \cdot 6^{2} - 17 \cdot 6 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 5 x$	$+ 30$
		-( $- 5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x - 3 | - 7$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x - 3 \| - 7$	=	$- 2$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{2} \| x - 3 \|$	=	$5$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x - 3 \|$	=	$- 10$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{4} - 2 t x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$x^{4} - 2 t x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 2 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 2 t$	=	0	\| - ( $- 2 t$ )
$x^{2}$	=	$2 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(2 t)}$	= $- 1,4142 \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(2 t)}$	= $1,4142 \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $6$