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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 4$ und $g(x) =$ $21 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 4

=

21 e^{- 2 x}

|

- 21 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 21 e^{- 2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 21 e^{- 2 x} - 4$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 21$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $21 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 3 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $28 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 3 x

=

28

|

- 28

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 7$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{7 x} + 4) \cdot (x^{5} - 9 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{7 x} + 4) \cdot (x^{5} - 9 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{7 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 4 e^{7 x}$	=	$- 4$	\|: $- 4$
$e^{7 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	0	\|: $7$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{5} - 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 4}{x} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; 0}

\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{3 x + 4}{x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{3 x + 4}{x} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{3 x + 4}{x} \cdot (3 x - 10) - 7 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x - 2 + \frac{(3 x + 4) \cdot (3 x - 10)}{x} - 21 x + 70$	=
$2 x - 2 + \frac{9 x^{2} - 18 x - 40}{x} - 21 x + 70$	=
$\frac{9 x^{2} - 18 x - 40}{x} + 2 x - 21 x - 2 + 70$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 18 x - 40}{x} + 2 x - 21 x - 2 + 70$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} - 18 x - 40}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 21 x \cdot x - 2 \cdot x + 70 \cdot x$	=
$9 x^{2} - 18 x - 40 + 2 x \cdot x - 21 x \cdot x - 2 x + 70 x$	=
$9 x^{2} - 18 x - 40 + 2 x^{2} - 21 x^{2} - 2 x + 70 x$	=
$- 10 x^{2} + 50 x - 40$	=

- 10 x^{2} + 50 x - 40

= 0 |:10

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x + 16 | + 4$ = $20$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x + 16 \| + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| 4 x + 16 \|$	=	$16$	\|⋅ $3$
$\| 4 x + 16 \|$	=	$48$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

$4 x + 16$	=	$48$	\| $- 16$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 8 + 16$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 16$ < 0:

$- (4 x + 16)$	=	$48$
$- 4 x - 16$	=	$48$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$64$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 16) + 16$ = -48 < 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 t x - 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 8 t$	=	0
$8 t \cdot (2 t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 1$	\|: $2$
t₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t = $- \frac{1}{2}$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +16 ≥ 0:

2. Fall: 4x +16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 16$ < 0: