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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 9 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 9 e^{2 x}$	=	$6 e^{5 x}$	\| $- 6 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 6 e^{5 x} + 9 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 9) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

$\frac{1}{3} \ln (3)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $6 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 37.442 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |37.442)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 7$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

6

|

- 6

e^{2 x} + e^{x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{3 x} + 2) \cdot (x^{4} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{3 x} + 2) (x^{4} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{3 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 2 e^{3 x}$	=	$- 2$	\|: $- 2$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{24 x}{- 6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{24 x}{- 6 x - 6}$	=	0
$\frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{24 x}{- 6 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{24 x}{- 6 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{x - 1}{3 x + 7} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{24 x}{- 6 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=
$5 x - 1 + 2 \frac{(x - 1) (x + 1)}{3 x + 7} - 8 x$	=
$5 x - 1 + \frac{2 (x^{2} - 1)}{3 x + 7} - 8 x$	=
$\frac{2 (x^{2} - 1)}{3 x + 7} + 5 x - 8 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{3 x + 7} + 5 x - 8 x - 1$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 (x^{2} - 1)}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + 5 x \cdot (3 x + 7) - 8 x \cdot (3 x + 7) - 1 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x^{2} - 2 + 5 x (3 x + 7) - 8 x (3 x + 7) - 3 x - 7$	=
$2 x^{2} - 2 + (15 x^{2} + 35 x) + (- 24 x^{2} - 56 x) - 3 x - 7$	=
$- 7 x^{2} - 24 x - 9$	=

$- 7 x^{2} - 24 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 252}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{324}}{- 14}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{324}}{- 14}$ = $\frac{24+18}{- 14}$ = $\frac{42}{- 14}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{324}}{- 14}$ = $\frac{24-18}{- 14}$ = $\frac{6}{- 14}$ = $- \frac{3}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 24 x - 9$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{24}{7} x + \frac{9}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{12}{7})}^{2} - (\frac{9}{7})$ = $\frac{144}{49}$ $-$ $\frac{9}{7}$ = $\frac{144}{49}$ $-$ $\frac{63}{49}$ = $\frac{81}{49}$

x_1,2 = $- \frac{12}{7}$ ± $\sqrt{\frac{81}{49}}$

x₁ = $- \frac{12}{7}$ - $\frac{9}{7}$ = $- \frac{21}{7}$ = -3

x₂ = $- \frac{12}{7}$ + $\frac{9}{7}$ = $- \frac{3}{7}$ = -0.42857142857143

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{3}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 8 | + 2$ = $22$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \| + 2$	=	$22$	\| $- 2$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$20$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$40$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$40$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 8) + 8$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$40$
$4 x - 8$	=	$40$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$48$	\|: $4$
x₂	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 12 + 8$ = -40 < 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 t x - 3 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 t x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{{(- 5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} + 12 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} + 12 t$	=	0
$t (25 t + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t + 12$	=	0	\| $- 12$
$25 t$	=	$- 12$	\|: $25$
t₂	=	$- \frac{12}{25}$ = -0.48

Da bei $25 t^{2} + 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} + 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- \frac{12}{25}$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: