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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 16 x$ und $g(x) =$ $- \frac{64}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + 16 x$	=	$- \frac{64}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + 16 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 16 x \cdot x^{2}$	=	$- 64$
$x^{6} + 16 x^{3}$	=	$- 64$

x^{6} + 16 x^{3}

=

- 64

|

+ 64

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 8$ ± 0 = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{64}{{(- 2)}^{2}}$ = -16 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 4 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $3 e^{- 2 x} + 2 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- 2 x} + 2 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$3 e^{- 2 x} + 2 - 2 - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$3 e^{- 2 x} - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$3 (- 2 x + 1) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 3 e^{2 x}$ = $4 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 3 e^{2 x}$	=	$4 e^{x}$	\| $- 4 e^{x}$
$e^{3 x} + 3 e^{2 x} - 4 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 4) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{4 x}{- 3 x + 7}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{7}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{4 x}{- 3 x + 7}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} + \frac{4 x}{- 3 x + 7}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{3 x - 1}{3 x - 7} \cdot (2 x - 3) + \frac{4 x}{- 3 x + 7} \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) \cdot (2 x - 3)}{3 x - 7} + \frac{4 x \cdot (2 x - 3)}{- 3 x + 7}$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 7}$	=
$\frac{8 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 7} + \frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + 2 x$	=

\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 7} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 7} + 2 x$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{6 x^{2} - 11 x + 3}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- 3 x + 7} \cdot (3 x - 7) + 2 x \cdot (3 x - 7)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + \frac{(8 x^{2} - 12 x) \cdot (3 x - 7)}{- 3 x + 7} + 2 x \cdot (3 x - 7)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 - 4 x \cdot (2 x - 3) + 2 x \cdot (3 x - 7)$	=
$6 x^{2} - 11 x + 3 + (- 8 x^{2} + 12 x) + (6 x^{2} - 14 x)$	=
$4 x^{2} - 13 x + 3$	=

$4 x^{2} - 13 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13+11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{13-11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 13 x + 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 5 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 13 \cdot 1 + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 13 x$	$+ 10$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
		$3 x^{2}$	$- 13 x$
		-( $3 x^{2}$	$- 3 x$ )
			$- 10 x$	$+ 10$
			-( $- 10 x$	$+ 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10$ = $(x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$10 x$	$- 10$
		-( $10 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 5 x$	$- 10$
		-( $- 5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 6 \cdot {(- 5)}^{2} + 3 \cdot (- 5) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 2 x$	$- 10$
		-( $- 2 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 5 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 13 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 13 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
		$- 9 x^{2}$	$- 13 x$
		-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
			$5 x$	$+ 10$
			-( $5 x$	$+ 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10$ = $(x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 5 x$	$+ 5$
		-( $- 5 x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 9 \cdot (- 5) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$x$	$+ 5$
		-( $x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{4} + 5 \cdot {(- 5)}^{3} - 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 13 \cdot (- 5) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 13 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{3} + 0 - 3 x + 2$
-( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$ )
	0	$- 3 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 3 x^{2}$	$- 13 x$
		-( $- 3 x^{2}$	$- 15 x$ )
			$2 x$	$+ 10$
			-( $2 x$	$+ 10$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10$ = $(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x + 5)$

$(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x + 5)$	=	0
$(x^{3} - 3 x + 2) \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 3 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ ; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 10 | - 7$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \| - 7$	=	$- 17$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$30$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

$2 x + 10$	=	$30$	\| $- 10$
$2 x$	=	$20$	\|: $2$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 10 + 10$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 10$ < 0:

$- (2 x + 10)$	=	$30$
$- 2 x - 10$	=	$30$	\| $+ 10$
$- 2 x$	=	$40$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 20) + 10$ = -30 < 0

Die Lösung $- 20$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 20$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} t x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 x - 2 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 8 t$ = 0 wird.

$25 + 8 t$	=	0
$8 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$8 t$	=	$- 25$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{25}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{25}{8}$ beispielsweise für t = -2 der Radikand $25 + 8 \cdot (- 2)$ = 9 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 8 t$ für t > $- \frac{25}{8}$ größer 0 und für t < $- \frac{25}{8}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{25}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +10 ≥ 0:

2. Fall: 2x +10 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 10$ < 0: