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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 7 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 10 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 7 e^{2 x}$	=	$- 10 e^{x}$	\| $+ 10 e^{x}$
$e^{3 x} - 7 e^{2 x} + 10 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 7 e^{x} + 10) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 7 e^{x} + 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- 10 e^{\ln (2)}$ = -20 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-20)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- 10 e^{\ln (5)}$ = -50 Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |-50)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 5 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $14 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $14 x + 3$ gilt m = $14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 5 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 5 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 5 e^{x}

=

14

|

- 14

e^{2 x} - 5 e^{x} - 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $14 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{- 5 x} + 3) \cdot (x^{2} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{- 5 x} + 3) \cdot (x^{2} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{- 5 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 4 e^{- 5 x}$	=	$- 3$	\|: $- 4$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 0.0575

2. Fall:

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{3}{4})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x + 1) - 4 \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{4 x \cdot (3 x + 1)}{3 x - 1} - 12 x - 4$	=
$6 x + \frac{12 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} - 12 x - 4$	=
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} + 6 x - 12 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} + 6 x - 12 x - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x^{2} + 4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1) - 12 x \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x^{2} + 4 x + 6 x \cdot (3 x - 1) - 12 x \cdot (3 x - 1) - 12 x + 4$	=
$12 x^{2} + 4 x + (18 x^{2} - 6 x) + (- 36 x^{2} + 12 x) - 12 x + 4$	=
$- 6 x^{2} - 2 x + 4$	=

- 6 x^{2} - 2 x + 4

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{1+5}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{1-5}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 13 \cdot 2 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$15 x$	$- 30$
		-( $15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 8 \cdot {(- 3)}^{2} - 13 \cdot (- 3) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 30$
		-( $- 10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x + 5 | - 6$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x + 5 \| - 6$	=	$- 5$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| x + 5 \|$	=	$1$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x + 5 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 5 t x + 5 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 t x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 20 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 20 t$	=	0
$5 t \cdot (5 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$5 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 t$	=	$4$	\|: $5$
t₂	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

Da bei $25 t^{2} - 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} - 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $\frac{4}{5}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$