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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - \frac{81}{x}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - \frac{81}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - \frac{81}{x} \cdot x$	=
$x^{3} \cdot x - 81$	=
$x^{4} - 81$	=

$x^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 3$ |0)

x₂ = $3$ : f( $3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $3$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 8 x^{2} + 16

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 3$ }

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{x + 1}{3 x + 9} - 3$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{x + 1}{3 (x + 3)} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{x + 1}{3 (x + 3)} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{x + 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 x + 8) - 3 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (3 x + 8)}{3 (x + 3)} - 9 x - 24$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{3 (x + 3)} - 9 x - 24$	=
$\frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{3 (x + 3)} + 2 x - 9 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{3 (x + 3)} + 2 x - 9 x - 24$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{3 x^{2} + 11 x + 8}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 2 x \cdot (3 (x + 3)) - 9 x \cdot (3 (x + 3)) - 24 \cdot (3 (x + 3))$	=
$3 x^{2} + 11 x + 8 + 6 x (x + 3) - 27 x (x + 3) - 72 x - 216$	=
$3 x^{2} + 11 x + 8 + (6 x^{2} + 18 x) + (- 27 x^{2} - 81 x) - 72 x - 216$	=
$- 18 x^{2} - 124 x - 208$	=

- 18 x^{2} - 124 x - 208

= 0 |:2

$- 9 x^{2} - 62 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{{(- 62)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 104)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{3 844 - 3 744}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{100}}{- 18}$

x₁ = $\frac{62 + \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{62+10}{- 18}$ = $\frac{72}{- 18}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{62 - \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{62-10}{- 18}$ = $\frac{52}{- 18}$ = $- \frac{26}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 62 x - 104$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{62}{9} x + \frac{104}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{9})}^{2} - (\frac{104}{9})$ = $\frac{961}{81}$ $-$ $\frac{104}{9}$ = $\frac{961}{81}$ $-$ $\frac{936}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $- \frac{31}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $- \frac{31}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $- \frac{36}{9}$ = -4

x₂ = $- \frac{31}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $- \frac{26}{9}$ = -2.8888888888889

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{26}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 7 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$14 x$	$+ 28$
		-( $14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 9 x + 14) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 14 x$	$+ 28$
		-( $- 14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 7 \cdot 7^{2} - 4 \cdot 7 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 28$
		-( $- 4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 7)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 4 | - 3$ = $7$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 4 \| - 3$	=	$7$	\| $+ 3$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$10$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$10$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 3) + 4$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$10$
$2 x - 4$	=	$10$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 + 4$ = -10 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x + 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 2 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} + 2 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 2 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 2 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 8 t$	=	$- 8$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$1$

Da rechts der Nullstelle t= $1$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $4 + (- 8 \cdot 2 + 4)$ = -8 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + (- 8 t + 4)$ für t > $1$ kleiner 0 und für t < $1$ größer 0

Für t < $1$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: