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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{42}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{42}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{42}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 42$	=	$- x$

x^{2} - 42

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )= $- \frac{1}{(- 7)}$ = 0.143 Somit gilt: S₁( $- 7$ |0.143)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $- \frac{1}{6}$ = -0.167 Somit gilt: S₂( $6$ |-0.167)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 8 x) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $8$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 6 e^{2 x}$ = $7$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 6 e^{2 x}

=

7

|

- 7

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{9 x}{x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{6 x}{x - 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{6 x}{x - 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{6 x (x - 2)}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$9 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} + 9 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} + 9 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 9 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) + 12 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 9 x (x - 1) - 6 x (x - 1) + 12 x - 12$	=
$6 x^{2} - 12 x + (9 x^{2} - 9 x) + (- 6 x^{2} + 6 x) + 12 x - 12$	=
$9 x^{2} - 3 x - 12$	=

9 x^{2} - 3 x - 12

= 0 |:3

$3 x^{2} - x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1+7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1-7}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = 1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{4}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$14 x$	$- 14$
		-( $14 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 8 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 7 x$	$- 14$
		-( $- 7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 6 x - 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 8 \cdot {(- 7)}^{2} + 5 \cdot (- 7) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 2 x$	$- 14$
		-( $- 2 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + x - 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 8 | - 7$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \| - 7$	=	$9$	\| $+ 7$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$16$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$48$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 14) - 8$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$48$
$4 x + 8$	=	$48$	\| $- 8$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 10 - 8$ = -48 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x + 4 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 2 x + 4 t)$ = 0

$x^{2} + 2 x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 2 x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 16 t$	=	$- 8$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t = $\frac{1}{2}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: