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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} - 9 x^{4}$ und $g(x) =$ $- 8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} - 9 x^{4}$	=	$- 8 x$	\| $+ 8 x$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 8 \cdot 1$ = -8 Somit gilt: S₂( $1$ |-8)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 8 \cdot 2$ = -16 Somit gilt: S₃( $2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- x} + 8 x \cdot e^{- x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- x} - 3) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- x} - 3) \cdot (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$8 e^{- x}$	=	$3$	\|: $8$
$e^{- x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.9808

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \ln (\frac{3}{8})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{3 x}{x - 2} + \frac{6 x}{x - 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{6 x}{x - 1} - 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$	=
$3 x + \frac{6 x \cdot (x - 2)}{x - 1} - 4 x + 8$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} - 4 x + 8$	=
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} + 3 x - 4 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} + 3 x - 4 x + 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 12 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 3 x \cdot (x - 1) - 4 x \cdot (x - 1) + 8 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 3 x \cdot (x - 1) - 4 x \cdot (x - 1) + 8 x - 8$	=
$6 x^{2} - 12 x + (3 x^{2} - 3 x) + (- 4 x^{2} + 4 x) + 8 x - 8$	=
$5 x^{2} - 3 x - 8$	=

$5 x^{2} - 3 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{3+13}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{3-13}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 3 x - 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{3}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{10})}^{2} - (- \frac{8}{5})$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{160}{100}$ = $\frac{169}{100}$

x_1,2 = $\frac{3}{10}$ ± $\sqrt{\frac{169}{100}}$

x₁ = $\frac{3}{10}$ - $\frac{13}{10}$ = $- \frac{10}{10}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{10}$ + $\frac{13}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = 1.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 16 \cdot (- 1) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 16$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 16 x$
	-(0	0)
		$- 16 x$	$- 16$
		-( $- 16 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = $(x^{2} + 0 - 16) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 16) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 16) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2} - 16 \cdot (- 4) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 4 x$	$- 16$
		-( $- 4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4^{2} - 16 \cdot 4 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$4 x$	$- 16$
		-( $4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 16 x - 16$ = $(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 1 | + 4$ = $5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 1 \| + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$- \frac{1}{2} \| - x + 1 \|$	=	$1$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 1 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 x^{5} + 5 t x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 2 x^{5} + 5 t x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (- 2 x^{2} + 5 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- 2 x^{2} + 5 t$	=	0	\| - ( $5 t$ )
$- 2 x^{2}$	=	$- 5 t$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$\frac{5}{2} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{5}{2} t)}$	= $- \frac{2,2361}{1,4142} \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{5}{2} t)}$	= $\frac{2,2361}{1,4142} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $4$