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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $24 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 2 e^{2 x}$	=	$24 e^{- x}$	\| $- 24 e^{- x}$
$e^{5 x} + 2 e^{2 x} - 24 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $24 e^{- (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 15.119 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |15.119)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $12 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$12 e^{\frac{1}{3} x} + 2 - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$12 e^{\frac{1}{3} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} + x^{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} + x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 5-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{3}{x} + \frac{8 x + 3}{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

$- \frac{8 x + 3}{3 x} + \frac{3 x - 1}{2 x - 2} + \frac{3}{x}$	=	0
$- \frac{8 x + 3}{3 x} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} + \frac{3}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{8 x + 3}{3 x} + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{8 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + \frac{3 x - 1}{2 (x - 1)} \cdot 3 x + \frac{3}{x} \cdot 3 x$	=
$- 8 x - 3 + 3 \frac{(3 x - 1) x}{2 (x - 1)} + 9$	=
$- 8 x - 3 + \frac{3 (3 x^{2} - x)}{2 (x - 1)} + 9$	=
$\frac{3 (3 x^{2} - x)}{2 (x - 1)} - 8 x - 3 + 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 (3 x^{2} - x)}{2 (x - 1)} - 8 x - 3 + 9$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 (3 x^{2} - x)}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 8 x \cdot (2 (x - 1)) - 3 \cdot (2 (x - 1)) + 9 \cdot (2 (x - 1))$	=
$9 x^{2} - 3 x - 16 x (x - 1) - 6 x + 6 + 18 x - 18$	=
$9 x^{2} - 3 x + (- 16 x^{2} + 16 x) - 6 x + 6 + 18 x - 18$	=
$- 7 x^{2} + 25 x - 12$	=

$- 7 x^{2} + 25 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 336}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{289}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{289}}{- 14}$ = $\frac{- 25+17}{- 14}$ = $\frac{- 8}{- 14}$ = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.57

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{289}}{- 14}$ = $\frac{- 25-17}{- 14}$ = $\frac{- 42}{- 14}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 25 x - 12$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{25}{7} x + \frac{12}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{14})}^{2} - (\frac{12}{7})$ = $\frac{625}{196}$ $-$ $\frac{12}{7}$ = $\frac{625}{196}$ $-$ $\frac{336}{196}$ = $\frac{289}{196}$

x_1,2 = $\frac{25}{14}$ ± $\sqrt{\frac{289}{196}}$

x₁ = $\frac{25}{14}$ - $\frac{17}{14}$ = $\frac{8}{14}$ = 0.57142857142857

x₂ = $\frac{25}{14}$ + $\frac{17}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{7}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 16 x^{3} + 84 x^{2} - 176 x + 128$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 16 x^{3} + 84 x^{2} - 176 x + 128$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $128$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 16 \cdot 2^{3} + 84 \cdot 2^{2} - 176 \cdot 2 + 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 16 x^{3}$	$+ 84 x^{2}$	$- 176 x$	$+ 128$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 14 x^{2} + 56 x - 64$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 14 x^{3}$	$+ 84 x^{2}$
	-( $- 14 x^{3}$	$+ 28 x^{2}$ )
		$56 x^{2}$	$- 176 x$
		-( $56 x^{2}$	$- 112 x$ )
			$- 64 x$	$+ 128$
			-( $- 64 x$	$+ 128$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 16 x^{3} + 84 x^{2} - 176 x + 128$ = $(x^{3} - 14 x^{2} + 56 x - 64) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 14 x^{2} + 56 x - 64) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 14 x^{2} + 56 x - 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 64$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 14 \cdot 2^{2} + 56 \cdot 2 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 56 x$	$- 64$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 12 x + 32$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 12 x^{2}$	$+ 56 x$
	-( $- 12 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$32 x$	$- 64$
		-( $32 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 56 x - 64$ = $(x^{2} - 12 x + 32) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 12 x + 32) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12+4}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{12-4}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 14 \cdot 4^{2} + 56 \cdot 4 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 56 x$	$- 64$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 56 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$16 x$	$- 64$
		-( $16 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 56 x - 64$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 14 \cdot 8^{2} + 56 \cdot 8 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 56 x$	$- 64$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 56 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$8 x$	$- 64$
		-( $8 x$	$- 64$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 56 x - 64$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{4} - 16 \cdot 4^{3} + 84 \cdot 4^{2} - 176 \cdot 4 + 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 16 x^{3}$	$+ 84 x^{2}$	$- 176 x$	$+ 128$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$
-( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$ )
	$- 12 x^{3}$	$+ 84 x^{2}$
	-( $- 12 x^{3}$	$+ 48 x^{2}$ )
		$36 x^{2}$	$- 176 x$
		-( $36 x^{2}$	$- 144 x$ )
			$- 32 x$	$+ 128$
			-( $- 32 x$	$+ 128$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 16 x^{3} + 84 x^{2} - 176 x + 128$ = $(x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32) \cdot (x - 4)$

(x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 32$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 12 \cdot 2^{2} + 36 \cdot 2 - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$16 x$	$- 32$
		-( $16 x$	$- 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 12 \cdot 8^{2} + 36 \cdot 8 - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$- 32$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$4 x$	$- 32$
		-( $4 x$	$- 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 12 x^{2} + 36 x - 32$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{4} - 16 \cdot 8^{3} + 84 \cdot 8^{2} - 176 \cdot 8 + 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 16 x^{3}$	$+ 84 x^{2}$	$- 176 x$	$+ 128$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$
-( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$+ 84 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$+ 64 x^{2}$ )
		$20 x^{2}$	$- 176 x$
		-( $20 x^{2}$	$- 160 x$ )
			$- 16 x$	$+ 128$
			-( $- 16 x$	$+ 128$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 16 x^{3} + 84 x^{2} - 176 x + 128$ = $(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \cdot (x - 8)$

(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 20 \cdot 4 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$4 x$	$- 16$
		-( $4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $2$ ; $4$ ; $8$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x - 2 | + 6$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \| + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$\frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$18$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$20$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 10) - 2$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$18$
$2 x + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 - 2$ = -18 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - x - 4 t) \cdot e^{- x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - x - 4 t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - x - 4 t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - x - 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 16 t$ = 0 wird.

$1 + 16 t$	=	0
$16 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$16 t$	=	$- 1$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{1}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{1}{16}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + 16 \cdot 1$ = 17 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 16 t$ für t > $- \frac{1}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{1}{16}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{1}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: