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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 2 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 2 e^{4 x}$	=	$- e^{x}$	\| $+ e^{x}$
$e^{7 x} - 2 e^{4 x} + e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- e^{0}$ = -1 Somit gilt: S₁(0|-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - e^{3 x} - 12 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - e^{3 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{- 10 x - 1}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{1}{2}$ }

\frac{- 10 x - 1}{3 x} + \frac{x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$\frac{- 10 x - 1}{3 x} + \frac{x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{2 x - 1}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$\frac{- 10 x - 1}{3 x} \cdot 6 x + \frac{x - 1}{2 x} \cdot 6 x + \frac{6 x}{2 x - 1} \cdot 6 x$	=
$- 20 x - 2 + 3 x - 3 + 6 \frac{6 x \cdot x}{2 x - 1}$	=
$- 20 x - 2 + 3 x - 3 + \frac{36 x^{2}}{2 x - 1}$	=
$\frac{36 x^{2}}{2 x - 1} - 20 x + 3 x - 2 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{36 x^{2}}{2 x - 1} - 20 x + 3 x - 2 - 3$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{36 x^{2}}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - 20 x \cdot (2 x - 1) + 3 x \cdot (2 x - 1) - 2 \cdot (2 x - 1) - 3 \cdot (2 x - 1)$	=
$36 x^{2} - 20 x (2 x - 1) + 3 x (2 x - 1) - 4 x + 2 - 6 x + 3$	=
$36 x^{2} + (- 40 x^{2} + 20 x) + (6 x^{2} - 3 x) - 4 x + 2 - 6 x + 3$	=
$2 x^{2} + 7 x + 5$	=

$2 x^{2} + 7 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 7+3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 7-3}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 21 x$	$- 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 21 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$9 x$	$- 18$
		-( $9 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 18$ = $(x^{2} - 6 x + 9) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x + 9) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 8 \cdot 3^{2} + 21 \cdot 3 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 21 x$	$- 18$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 21 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 15 x$ )
		$6 x$	$- 18$
		-( $6 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 18$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $2$ ; $3$ }

$3$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 2 | - 7$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 2 \| - 7$	=	$- 15$	\| $+ 7$
$- \| 2 x - 2 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

$2 x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 - 2$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 2$ < 0:

$- (2 x - 2)$	=	$8$
$- 2 x + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 3) - 2$ = -8 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 x^{4} + 5 t x^{2}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 x^{4} + 5 t x^{2}$	=	0
$5 x^{2} (- x^{2} + t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$- x^{2}$	=	$- 1 t$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(t)}$	= $- \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(t)}$	= $\sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -2 ≥ 0:

2. Fall: 2x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 2$ < 0: