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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$0$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 6-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $- 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$0$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 6-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{2 x} + 5) \cdot (x^{2} - 5 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{2 x} + 5) (x^{2} - 5 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{2 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 3 e^{2 x}$	=	$- 5$	\|: $- 3$
$e^{2 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 0.2554

2. Fall:

$x^{2} - 5 x$	=	0
$x (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={0; $\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{3})$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{24 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{24 x}{- 6 x + 6}$	=	0
$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{24 x}{6 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{24 x}{6 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (2 x - 3) + \frac{24 x}{6 (- x + 1)} \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) (2 x - 3)}{2 (x - 1)} + \frac{4 x (2 x - 3)}{- x + 1}$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- x + 1}$	=
$\frac{8 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} + 2 x$	=

\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- x + 1} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{8 x^{2} - 12 x}{- x + 1} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + 2 \frac{(8 x^{2} - 12 x) (x - 1)}{- x + 1} + 4 x (x - 1)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 - 8 x (2 x - 3) + 4 x (x - 1)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + (- 16 x^{2} + 24 x) + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$- 2 x^{2} + 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7+5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 7-5}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 6 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 6 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 6 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 6 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 6 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 3 \cdot 4^{2} - 6 \cdot 4 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 6 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 6 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 2 x$	$+ 8$
		-( $- 2 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + x - 2) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x + 12 | - 1$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x + 12 \| - 1$	=	$7$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| 4 x + 12 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 3 + 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$24$
$- 4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 9) + 12$ = -24 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$x^{2} - t$	=	0	\| - ( $- t$ )
$x^{2}$	=	$t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(t)}$	= $- \sqrt{t}$
x₂	=	$\sqrt{(t)}$	= $\sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: