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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 6 x$ und $g(x) =$ $- 5$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 6 x

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- 5$ Somit gilt: S₁( $1$ |-5)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $- 5$ Somit gilt: S₂( $5$ |-5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 1 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 1 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $12 e^{- \frac{1}{4} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 1 - 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{4 x} - 2) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{4 x} - 2) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{4 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$8 e^{4 x}$	=	$2$	\|: $8$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{4}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{4})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$	≈ -0.3466

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{9 x}{- 6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{9 x}{- 6 x - 6}$	=	0
$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{9 x}{- 6 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{9 x}{- 6 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{3 x}{3 (x + 1)} \cdot (x - 2) + \frac{9 x}{- 6 (x + 1)} \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{x (x - 2)}{x + 1} - \frac{3 x (x - 2)}{2 (x + 1)}$	=
$2 x + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} - \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x + 1)}$	=
$- \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x + 1)} + \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} + 2 x$	=

\frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} - \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x + 1)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} - \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x + 1)} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) - \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 2 x \cdot (2 (x + 1))$	=
$2 x^{2} - 4 x - 3 x^{2} + 6 x + 4 x (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x - 3 x^{2} + 6 x + (4 x^{2} + 4 x)$	=
$3 x^{2} + 6 x$	=

$3 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 17 x^{2} + 79 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 17 x^{2} + 79 x - 63$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 63$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 17 \cdot 1^{2} + 79 \cdot 1 - 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 17 x^{2}$	$+ 79 x$	$- 63$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 16 x + 63$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 16 x^{2}$	$+ 79 x$
	-( $- 16 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$63 x$	$- 63$
		-( $63 x$	$- 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 17 x^{2} + 79 x - 63$ = $(x^{2} - 16 x + 63) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 16 x + 63) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 17 \cdot 7^{2} + 79 \cdot 7 - 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 17 x^{2}$	$+ 79 x$	$- 63$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 79 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 70 x$ )
		$9 x$	$- 63$
		-( $9 x$	$- 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 17 x^{2} + 79 x - 63$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 17 \cdot 9^{2} + 79 \cdot 9 - 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 17 x^{2}$	$+ 79 x$	$- 63$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 79 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$7 x$	$- 63$
		-( $7 x$	$- 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 17 x^{2} + 79 x - 63$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $7$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x + 4 | - 4$ = $16$

Lösung einblenden

$\| 4 x + 4 \| - 4$	=	$16$	\| $+ 4$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 4 + 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$20$
$- 4 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 6) + 4$ = -20 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 t x + t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} - 4 t$	=	0
$4 t (4 t - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$4 t - 1$	=	0	\| $+ 1$
$4 t$	=	$1$	\|: $4$
t₂	=	$\frac{1}{4}$ = 0.25

Da bei $16 t^{2} - 4 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} - 4 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{1}{4}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{1}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: