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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 2 x^{3}$ und $g(x) =$ $24 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 2 x^{3}$	=	$24 x$	\| $- 24 x$
$x^{5} + 2 x^{3} - 24 x$	=	0
$x (x^{4} + 2 x^{2} - 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 2 x^{2} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $24 \cdot (- 2)$ = -48 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-48)

x₂ = 0: f(0)= $24 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $24 \cdot 2$ = 48 Somit gilt: S₃( $2$ |48)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 1$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 e^{\frac{1}{2} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 e^{\frac{1}{2} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$2 e^{\frac{1}{2} x} + 1 - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$2 e^{\frac{1}{2} x} + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$(x + 2) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 6 e^{2 x}$ = $- e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 6 e^{2 x}$	=	$- e^{4 x}$	\| $+ e^{4 x}$
$e^{6 x} + e^{4 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} - 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x - 2)$	=
$2 x - x + 2$	=
$x + 2$	=

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 3 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 8 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$- 12 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$- 16 x$	$+ 16$
			-( $- 16 x$	$+ 16$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 16$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 8 x$	$- 16$
		-( $- 8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 16$
		-( $- 4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 4)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 4)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 2 | + 1$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \| + 1$	=	$7$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 2 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 5) + 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$12$
$2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 + 2$ = -12 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t x^{4} - x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 3 t x^{4} - x^{2}$	=	0
$- x^{2} (3 t x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$3 t x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 t x^{2}$	=	$- 1$	\|: $3 t$
$x^{2}$	=	$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{3 t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{3 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- x^{2}$	=	$0$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: