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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} - 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} - 6 e^{x}$	=	$e^{4 x}$	\| $- e^{4 x}$
$e^{7 x} - e^{4 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 4.327 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |4.327)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 5 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 5 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 16 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 16 x$	=	0
$x (x^{4} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{5 x - 1}{3 x + 5} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 2$ }

$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 8$	=	0
$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{5 x - 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot (3 x + 5) - 8 \cdot (3 x + 5)$	=
$5 x - 1 + \frac{(3 x + 1) (3 x + 5)}{2 (x + 2)} - 24 x - 40$	=
$5 x - 1 + \frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} - 24 x - 40$	=
$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} + 5 x - 24 x - 1 - 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} + 5 x - 24 x - 1 - 40$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{9 x^{2} + 18 x + 5}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + 5 x \cdot (2 (x + 2)) - 24 x \cdot (2 (x + 2)) - 1 \cdot (2 (x + 2)) - 40 \cdot (2 (x + 2))$	=
$9 x^{2} + 18 x + 5 + 10 x (x + 2) - 48 x (x + 2) - 2 x - 4 - 80 x - 160$	=
$9 x^{2} + 18 x + 5 + (10 x^{2} + 20 x) + (- 48 x^{2} - 96 x) - 2 x - 4 - 80 x - 160$	=
$- 29 x^{2} - 140 x - 159$	=

$- 29 x^{2} - 140 x - 159$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 140 \pm \sqrt{{(- 140)}^{2} - 4 \cdot (- 29) \cdot (- 159)}}{2 \cdot (- 29)}$

x_1,2 = $\frac{+ 140 \pm \sqrt{19 600 - 18 444}}{- 58}$

x_1,2 = $\frac{+ 140 \pm \sqrt{1 156}}{- 58}$

x₁ = $\frac{140 + \sqrt{1 156}}{- 58}$ = $\frac{140+34}{- 58}$ = $\frac{174}{- 58}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{140 - \sqrt{1 156}}{- 58}$ = $\frac{140-34}{- 58}$ = $\frac{106}{- 58}$ = $- \frac{53}{29}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 29$ " teilen:

$- 29 x^{2} - 140 x - 159$ = 0 |: $- 29$

$x^{2} + \frac{140}{29} x + \frac{159}{29}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{70}{29})}^{2} - (\frac{159}{29})$ = $\frac{4900}{841}$ $-$ $\frac{159}{29}$ = $\frac{4900}{841}$ $-$ $\frac{4611}{841}$ = $\frac{289}{841}$

x_1,2 = $- \frac{70}{29}$ ± $\sqrt{\frac{289}{841}}$

x₁ = $- \frac{70}{29}$ - $\frac{17}{29}$ = $- \frac{87}{29}$ = -3

x₂ = $- \frac{70}{29}$ + $\frac{17}{29}$ = $- \frac{53}{29}$ = -1.8275862068966

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{53}{29}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 17 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$- 16 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 46 x$ )
		$30 x$	$- 60$
		-( $30 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - 10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 17 \cdot {(- 6)}^{2} - 16 \cdot (- 6) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 16 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 16 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 10 x$	$- 60$
		-( $- 10 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} - 16 x - 60$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 2 x - 2 | + 3$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \| + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- \frac{1}{3} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 7) - 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$12$
$2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 5 - 2$ = -12 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x - 5 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x - 5 t)$ = 0

$x^{2} + 3 x - 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x - 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + (- 5 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 20 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 20 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 20 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 20 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 20 t + 4$ = 0 wird.

$9 + 20 t + 4$	=	0
$20 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$20 t$	=	$- 13$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{13}{20}$ = -0.65

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{13}{20}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $9 + (20 \cdot 0 + 4)$ = 13 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + 20 t + 4$ für t > $- \frac{13}{20}$ größer 0 und für t < $- \frac{13}{20}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{13}{20}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: