Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 13 x$ und $g(x) =$ $- \frac{36}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 13 x$	=	$- \frac{36}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 13 x \cdot x$	=	$- \frac{36}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 13 x \cdot x$	=	$- 36$
$x^{4} - 13 x^{2}$	=	$- 36$

x^{4} - 13 x^{2}

=

- 36

|

+ 36

x^{4} - 13 x^{2} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 13 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13+5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{13-5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{36}{(- 3)}$ = 12 Somit gilt: S₁( $- 3$ |12)

x₂ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{36}{(- 2)}$ = 18 Somit gilt: S₂( $- 2$ |18)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{36}{2}$ = -18 Somit gilt: S₃( $2$ |-18)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{36}{3}$ = -12 Somit gilt: S₄( $3$ |-12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 3 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 3 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $3 e^{x} + 1 + 3 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$3 e^{x} + 1 + 3 x \cdot e^{x}$	=	$1$	\| $- 1$
$3 e^{x} + 1 - 1 + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 e^{x} + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x + 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{7 x} + 2) \cdot (x^{2} - 3 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{7 x} + 2) \cdot (x^{2} - 3 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{7 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 7 e^{7 x}$	=	$- 2$	\|: $- 7$
$e^{7 x}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{7})$	≈ -0.179

2. Fall:

$x^{2} - 3 x$	=	0
$x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{7})$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 3}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x + 3}{x} - 2$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x + 3}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=
$x + 3 - 2 x$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 13 x^{2} + 46 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x^{2} + 46 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 13 \cdot 2^{2} + 46 \cdot 2 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 46 x$	$- 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 24$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 46 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$24 x$	$- 48$
		-( $24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 46 x - 48$ = $(x^{2} - 11 x + 24) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 11 x + 24) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 13 \cdot 3^{2} + 46 \cdot 3 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 46 x$	$- 48$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 46 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$16 x$	$- 48$
		-( $16 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 46 x - 48$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 13 \cdot 8^{2} + 46 \cdot 8 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 46 x$	$- 48$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 46 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$6 x$	$- 48$
		-( $6 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 46 x - 48$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $2$ ; $3$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 4 | + 5$ = $9$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 4 \| + 5$	=	$9$	\| $- 5$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 4) - 4$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$4$
$2 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 0 - 4$ = -4 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 2 x + 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 - 8 t$ = 0 wird.

$4 - 8 t$	=	0
$- 8 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 8 t$	=	$- 4$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t = $\frac{1}{2}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: