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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - e^{5 x}$ und $g(x) =$ $30 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - e^{5 x}$	=	$30 e^{2 x}$	\| $- 30 e^{2 x}$
$e^{8 x} - e^{5 x} - 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 30) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $30 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 99.058 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |99.058)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $28 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 3 x

=

28

|

- 28

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 7$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 20$ = $9 x$

Lösung einblenden

x^{2} + 20

=

9 x

|

- 9 x

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $4$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{24 x}{- 3 x + 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{- 3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{24 x}{- 3 x + 1}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{6 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{24 x}{- 3 x + 1} \cdot (3 x + 1)$	=
$6 x + \frac{12 x \cdot (3 x + 1)}{3 x - 1} + \frac{24 x \cdot (3 x + 1)}{- 3 x + 1}$	=
$6 x + \frac{36 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} + \frac{72 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1}$	=
$\frac{72 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} + \frac{36 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} + 6 x$	=

\frac{36 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} + \frac{72 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{36 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} + \frac{72 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} + 6 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{36 x^{2} + 12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{72 x^{2} + 24 x}{- 3 x + 1} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1)$	=
$36 x^{2} + 12 x + \frac{(72 x^{2} + 24 x) \cdot (3 x - 1)}{- 3 x + 1} + 6 x \cdot (3 x - 1)$	=
$36 x^{2} + 12 x - 24 x \cdot (3 x + 1) + 6 x \cdot (3 x - 1)$	=
$36 x^{2} + 12 x + (- 72 x^{2} - 24 x) + (18 x^{2} - 6 x)$	=
$- 18 x^{2} - 18 x$	=

$- 18 x^{2} - 18 x$	=	0
$- 18 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 17 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 17 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} - 17 \cdot 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 17 x$	$- 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$3 x$	$- 12$
		-( $3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x - 4 | - 9$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \| x - 4 \| - 9$	=	$- 11$	\| $+ 9$
$- \| x - 4 \|$	=	$- 2$	\|: $(- 1)$
$\| x - 4 \|$	=	$2$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ ≥ 0) genügt:

$6 - 4$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 4$ < 0:

$- (x - 4)$	=	$2$
$- x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 4$ < 0) genügt:

$2 - 4$ = -2 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $2$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 t x^{2} - 3$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 t x^{2} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- 5 t x^{2}$	=	$3$	\|: $(- 5 t)$
$x^{2}$	=	$- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{3}{5 t})}$
x₂	=	$\sqrt{(- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{3}{5 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- 3$	=	0	\| $+ 3$
0	=	$3$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t < 0 gibt es also 2 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x -4 ≥ 0:

2. Fall: x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 4$ < 0: