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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 5$ und $g(x) =$ $6 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 5

=

6 e^{- 2 x}

|

- 6 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 6 e^{- 2 x} + 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 6 e^{- 2 x} + 5$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 e^{- 2 \cdot 0}$ = 6 Somit gilt: S₁(0|6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $1 - 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$1 - 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$3 (- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{- 4 x} - 5) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{- 4 x} - 5) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{- 4 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$6 e^{- 4 x}$	=	$5$	\|: $6$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 0.0456

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{6})$ ; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{12 x}{x + 3} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 1$ }

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 4$	=	0
$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12 x}{x + 3} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$	=
$12 x + \frac{2 x (x + 3)}{x + 1} - 4 x - 12$	=
$12 x + \frac{2 x^{2} + 6 x}{x + 1} - 4 x - 12$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 12 x - 4 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 12 x - 4 x - 12$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 12 x \cdot (x + 1) - 4 x \cdot (x + 1) - 12 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 12 x (x + 1) - 4 x (x + 1) - 12 x - 12$	=
$2 x^{2} + 6 x + (12 x^{2} + 12 x) + (- 4 x^{2} - 4 x) - 12 x - 12$	=
$10 x^{2} + 2 x - 12$	=

10 x^{2} + 2 x - 12

= 0 |:2

$5 x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{10}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 1+11}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{10}$ = $\frac{- 1-11}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + x - 6$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{1}{5} x - \frac{6}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{10})}^{2} - (- \frac{6}{5})$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{6}{5}$ = $\frac{1}{100}$ $+$ $\frac{120}{100}$ = $\frac{121}{100}$

x_1,2 = $- \frac{1}{10}$ ± $\sqrt{\frac{121}{100}}$

x₁ = $- \frac{1}{10}$ - $\frac{11}{10}$ = $- \frac{12}{10}$ = -1.2

x₂ = $- \frac{1}{10}$ + $\frac{11}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,2$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$24 x$	$- 24$
		-( $24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 10 x + 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 10 x + 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} + 14 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 9 \cdot {(- 6)}^{2} + 14 \cdot (- 6) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 4 x$	$- 24$
		-( $- 4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 14 x - 24$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 4$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 4 | + 8$ = $16$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 4 \| + 8$	=	$16$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 4 \|$	=	$8$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$24$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 - 4$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$24$
$- 4 x + 4$	=	$24$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 5) - 4$ = -24 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 5 t x + 5 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 t x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 20 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 20 t$	=	0
$5 t (5 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$5 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 t$	=	$4$	\|: $5$
t₂	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

Da bei $25 t^{2} - 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} - 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{4}{5}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{4}{5}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: