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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + x^{2}$ und $g(x) =$ $- 2 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + x^{2}$	=	$- 2 x^{5}$	\| $+ 2 x^{5}$
$x^{8} + 2 x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} + 2 x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} + 2 x^{3} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

$- 1$ ist 2-fache Lösung! 0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 2 \cdot {(- 1)}^{5}$ = 2 Somit gilt: S₁( $- 1$ |2)

x₂ = 0: f(0)= $- 2 \cdot 0^{5}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 1$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

8

|

- 8

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 16 x^{3} + 64$ = 0

Lösung einblenden

x^{6} + 16 x^{3} + 64

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 8$ ± 0 = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 4 \cdot (2 (x - 1))$	=
$5 x + 1 - 8 x + 8$	=
$- 3 x + 9$	=

$- 3 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ x$	$- 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 2$
		-( $x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x - 10 | - 5$ = $1$

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$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \| - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$\frac{1}{3} \| 2 x - 10 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| 2 x - 10 \|$	=	$18$

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

$2 x - 10$	=	$18$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$28$	\|: $2$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 14 - 10$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 10$ < 0:

$- (2 x - 10)$	=	$18$
$- 2 x + 10$	=	$18$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 10$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) - 10$ = -18 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $14$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 2 x - t)$ genau 2 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 2 x - t)$ = 0

$x^{2} - 2 x - t$ = 1 |-1

$x^{2} - 2 x - t$ - 1 = 0

$x^{2} - 2 x + (- t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 4 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + 4 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + 4 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + 4 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + 4 t + 4$ = 0 wird.

$4 + 4 t + 4$	=	0
$4 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$4 t$	=	$- 8$	\|: $4$
$t$	=	$- 2$

Da rechts der Nullstelle t= $- 2$ beispielsweise für t = -1 der Radikand $4 + (4 \cdot (- 1) + 4)$ = 4 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + 4 t + 4$ für t > $- 2$ größer 0 und für t < $- 2$ kleiner 0

Für t > $- 2$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -10 ≥ 0:

2. Fall: 2x -10 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x - 10$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 10$ < 0: