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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- 5$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - \frac{6}{x^{2}}$	=	$- 5$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 5 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 6$	=	$- 5 x^{2}$
$x^{4} - 6$	=	$- 5 x^{2}$

x^{4} - 6

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

x^{4} + 5 x^{2} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 5$ Somit gilt: S₁( $- 1$ |-5)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 5$ Somit gilt: S₂( $1$ |-5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $4 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $4 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{4} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{4} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 6 x} - 6) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 6 x} - 6) (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 6 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$8 e^{- 6 x}$	=	$6$	\|: $8$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{3}{4})$	≈ 0.0479

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{3}{4})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 7} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{7}{3}$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 4$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{2 x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 7) - 4 \cdot (3 x - 7)$	=
$2 x + \frac{(x + 1) (3 x - 7)}{2 (x - 1)} - 12 x + 28$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} - 12 x + 28$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} + 2 x - 12 x + 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} + 2 x - 12 x + 28$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 7}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1)) - 12 x \cdot (2 (x - 1)) + 28 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + 4 x (x - 1) - 24 x (x - 1) + 56 x - 56$	=
$3 x^{2} - 4 x - 7 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 24 x^{2} + 24 x) + 56 x - 56$	=
$- 17 x^{2} + 72 x - 63$	=

$- 17 x^{2} + 72 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot (- 63)}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{5 184 - 4 284}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{- 72 \pm \sqrt{900}}{- 34}$

x₁ = $\frac{- 72 + \sqrt{900}}{- 34}$ = $\frac{- 72+30}{- 34}$ = $\frac{- 42}{- 34}$ = $\frac{21}{17}$ ≈ 1.24

x₂ = $\frac{- 72 - \sqrt{900}}{- 34}$ = $\frac{- 72-30}{- 34}$ = $\frac{- 102}{- 34}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 17$ " teilen:

$- 17 x^{2} + 72 x - 63$ = 0 |: $- 17$

$x^{2} - \frac{72}{17} x + \frac{63}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{36}{17})}^{2} - (\frac{63}{17})$ = $\frac{1296}{289}$ $-$ $\frac{63}{17}$ = $\frac{1296}{289}$ $-$ $\frac{1071}{289}$ = $\frac{225}{289}$

x_1,2 = $\frac{36}{17}$ ± $\sqrt{\frac{225}{289}}$

x₁ = $\frac{36}{17}$ - $\frac{15}{17}$ = $\frac{21}{17}$ = 1.2352941176471

x₂ = $\frac{36}{17}$ + $\frac{15}{17}$ = $\frac{51}{17}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{21}{17}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 9 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 9 x + 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x - 15 | + 5$ = $2$

Lösung einblenden

$\| - 3 x - 15 \| + 5$	=	$2$	\| $- 5$
$\| - 3 x - 15 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - t x + 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - t x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} - 8 t$ = 0 wird.

$t^{2} - 8 t$	=	0
$t (t - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 8$	=	0	\| $+ 8$
t₂	=	$8$

Für t = $0$ oder für t = $8$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter