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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 24 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $- 2 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 24 e^{- 2 x} + 1

=

- 2 e^{- x}

|

+ 2 e^{- x}

2 e^{- x} - 24 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$2 e^{- x} - 24 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 24$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 2 e^{- (2 \ln (2))}$ = -0.5 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 1 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 1 + 6 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $6 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$6 e^{\frac{1}{2} x} - 1 + 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$6 e^{\frac{1}{2} x} + 3 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$3 (x + 2) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 3 x} - 5) \cdot (x^{3} + 2 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 3 x} - 5) \cdot (x^{3} + 2 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 3 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$8 e^{- 3 x}$	=	$5$	\|: $8$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{5}{8}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{5}{8})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{8})$	≈ 0.1567

2. Fall:

$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{8})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{3 x}{3 x - 8} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $2$ }

\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{x - 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{x - 2} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (3 x - 8) - 7 \cdot (3 x - 8)$	=
$3 x + \frac{2 x \cdot (3 x - 8)}{x - 2} - 21 x + 56$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} - 21 x + 56$	=
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} + 3 x - 21 x + 56$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} + 3 x - 21 x + 56$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 21 x \cdot (x - 2) + 56 \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 16 x + 3 x \cdot (x - 2) - 21 x \cdot (x - 2) + 56 x - 112$	=
$6 x^{2} - 16 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 21 x^{2} + 42 x) + 56 x - 112$	=
$- 12 x^{2} + 76 x - 112$	=

- 12 x^{2} + 76 x - 112

= 0 |:4

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19+5}{- 6}$ = $\frac{- 14}{- 6}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19-5}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = 2.3333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 8 | - 1$ = $- 21$

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$\frac{1}{3} \| 4 x - 8 \| - 1$	=	$- 21$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 8 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$- 60$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x + 4 t)$ genau 2 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 2 x + 4 t)$ = 0

$x^{2} + 2 x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 2 x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 2 x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 16 t$	=	$- 8$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{2}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $4 + (- 16 \cdot 2 + 4)$ = -24 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + (- 16 t + 4)$ für t > $\frac{1}{2}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{2}$ größer 0

Für t < $\frac{1}{2}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter