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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 2$ und $g(x) =$ $8 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 2

=

8 e^{- x}

|

- 8 e^{- x}

e^{x} - 8 e^{- x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 8 e^{- x} - 2$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 2 e^{x} - 8$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $8 e^{- (2 \ln (2))}$ = 2 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x - 7$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{7 x} - 2) \cdot (x^{3} + 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{7 x} - 2) \cdot (x^{3} + 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{7 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$7 e^{7 x}$	=	$2$	\|: $7$
$e^{7 x}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{7})$	≈ -0.179

2. Fall:

$x^{3} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{7})$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} - 2$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2)$	=
$6 x - 2 x - 4$	=
$4 x - 4$	=

$4 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ x$	$- 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 2$
		-( $x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 4 | - 2$ = $6$

Lösung einblenden

$\| 2 x - 4 \| - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

$2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 6 - 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 4$ < 0:

$- (2 x - 4)$	=	$8$
$- 2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 4$ = -8 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 x - 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 8 t$ = 0 wird.

$25 + 8 t$	=	0
$8 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$8 t$	=	$- 25$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{25}{8}$

Für t = $- \frac{25}{8}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -4 ≥ 0:

2. Fall: 2x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 4$ < 0: