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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 21 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $10 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 21 e^{- 2 x}$	=	$10 e^{x}$	\| $- 10 e^{x}$
$e^{4 x} - 10 e^{x} + 21 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 21) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $10 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = 14.422 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |14.422)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $10 e^{\frac{1}{3} \ln (7)}$ = 19.129 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |19.129)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{5}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 5$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{5}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 5 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 5 e^{3 x}

=

6

|

- 6

e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 7$ = $- 6 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 7

=

- 6 e^{3 x}

|

+ 6 e^{3 x}

e^{6 x} + 6 e^{3 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{3 x + 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{2 x}{3 x + 6} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{2 x}{3 (x + 2)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{2 x}{3 (x + 2)} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{2 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 x + 5) - 5 \cdot (3 x + 5)$	=
$4 x + \frac{2 x \cdot (3 x + 5)}{3 (x + 2)} - 15 x - 25$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 10 x}{3 (x + 2)} - 15 x - 25$	=
$\frac{6 x^{2} + 10 x}{3 (x + 2)} + 4 x - 15 x - 25$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 10 x}{3 (x + 2)} + 4 x - 15 x - 25$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{6 x^{2} + 10 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + 4 x \cdot (3 (x + 2)) - 15 x \cdot (3 (x + 2)) - 25 \cdot (3 (x + 2))$	=
$6 x^{2} + 10 x + 12 x \cdot (x + 2) - 45 x \cdot (x + 2) - 75 x - 150$	=
$6 x^{2} + 10 x + (12 x^{2} + 24 x) + (- 45 x^{2} - 90 x) - 75 x - 150$	=
$- 27 x^{2} - 131 x - 150$	=

$- 27 x^{2} - 131 x - 150$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 131 \pm \sqrt{{(- 131)}^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 150)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{+ 131 \pm \sqrt{17 161 - 16 200}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{+ 131 \pm \sqrt{961}}{- 54}$

x₁ = $\frac{131 + \sqrt{961}}{- 54}$ = $\frac{131+31}{- 54}$ = $\frac{162}{- 54}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{131 - \sqrt{961}}{- 54}$ = $\frac{131-31}{- 54}$ = $\frac{100}{- 54}$ = $- \frac{50}{27}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} - 131 x - 150$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} + \frac{131}{27} x + \frac{50}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{131}{54})}^{2} - (\frac{50}{9})$ = $\frac{17161}{2916}$ $-$ $\frac{50}{9}$ = $\frac{17161}{2916}$ $-$ $\frac{16200}{2916}$ = $\frac{961}{2916}$

x_1,2 = $- \frac{131}{54}$ ± $\sqrt{\frac{961}{2916}}$

x₁ = $- \frac{131}{54}$ - $\frac{31}{54}$ = $- \frac{162}{54}$ = -3

x₂ = $- \frac{131}{54}$ + $\frac{31}{54}$ = $- \frac{100}{54}$ = -1.8518518518519

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{50}{27}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 26 \cdot 2^{2} - 19 \cdot 2 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$- 19 x$	$- 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 64 x$ )
		$45 x$	$- 90$
		-( $45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{32}{3} x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{3})}^{2} - 15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{16}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{16}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{27}{3}$ = -9

x₂ = $- \frac{16}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 26 \cdot {(- 9)}^{2} - 19 \cdot (- 9) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$- 19 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 10 x$	$- 90$
		-( $- 10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} - 19 x - 90$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x + 4 | + 8$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x + 4 \| + 8$	=	$- 8$	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} \| 4 x + 4 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$32$	\| $- 4$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 7 + 4$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$32$
$- 4 x - 4$	=	$32$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 9) + 4$ = -32 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 3 x - 3 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 12 t$ = 0 wird.

$9 + 12 t$	=	0
$12 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$12 t$	=	$- 9$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{3}{4}$ = -0.75

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{3}{4}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $9 + 12 \cdot 0$ = 9 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + 12 t$ für t > $- \frac{3}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{3}{4}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{3}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: