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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 30$ und $g(x) =$ $- e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 30

=

- e^{x}

|

+ e^{x}

e^{2 x} + e^{x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- e^{\ln (5)}$ = -5 Somit gilt: S₁( $\ln (5)$ |-5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $18 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x - 6$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 3 e^{3 x}

=

18

|

- 18

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{- 5 x} + 5) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{- 5 x} + 5) \cdot (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{- 5 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- e^{- 5 x}$	=	$- 5$	\|: $- 1$
$e^{- 5 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (5)$	≈ -0.3219

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{5} \ln (5)$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{10 x}{- 9 x - 21}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{10 x}{- 9 x - 21}$	=	0
$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{10 x}{- 3 (3 x + 7)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x - 1}{x - 1} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{10 x}{- 3 (3 x + 7)}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (x - 1) + \frac{10 x}{- 3 (3 x + 7)} \cdot (x - 1)$	=
$5 x - 1 + \frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{3 x + 7} - \frac{10 x \cdot (x - 1)}{3 (3 x + 7)}$	=
$5 x - 1 + \frac{x^{2} - 1}{3 x + 7} - \frac{10 x^{2} - 10 x}{3 (3 x + 7)}$	=
$- \frac{10 x^{2} - 10 x}{3 (3 x + 7)} + \frac{x^{2} - 1}{3 x + 7} + 5 x - 1$	=

\frac{x^{2} - 1}{3 x + 7} - \frac{10 x^{2} - 10 x}{3 (3 x + 7)} + 5 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (3 x + 7)$ weg!

$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 7} - \frac{10 x^{2} - 10 x}{3 (3 x + 7)} + 5 x - 1$	=	\|⋅( $3 (3 x + 7)$ )
$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 7} \cdot (3 (3 x + 7)) - \frac{10 x^{2} - 10 x}{3 (3 x + 7)} \cdot (3 (3 x + 7)) + 5 x \cdot (3 (3 x + 7)) - 1 \cdot (3 (3 x + 7))$	=
$3 x^{2} - 3 - 10 x^{2} + 10 x + 15 x \cdot (3 x + 7) - 9 x - 21$	=
$3 x^{2} - 3 - 10 x^{2} + 10 x + (45 x^{2} + 105 x) - 9 x - 21$	=
$38 x^{2} + 106 x - 24$	=

38 x^{2} + 106 x - 24

= 0 |:2

$19 x^{2} + 53 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 53 \pm \sqrt{53^{2} - 4 \cdot 19 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 19}$

x_1,2 = $\frac{- 53 \pm \sqrt{2 809 + 912}}{38}$

x_1,2 = $\frac{- 53 \pm \sqrt{3 721}}{38}$

x₁ = $\frac{- 53 + \sqrt{3 721}}{38}$ = $\frac{- 53+61}{38}$ = $\frac{8}{38}$ = $\frac{4}{19}$ ≈ 0.21

x₂ = $\frac{- 53 - \sqrt{3 721}}{38}$ = $\frac{- 53-61}{38}$ = $\frac{- 114}{38}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $19$ " teilen:

$19 x^{2} + 53 x - 12$ = 0 |: $19$

$x^{2} + \frac{53}{19} x - \frac{12}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{53}{38})}^{2} - (- \frac{12}{19})$ = $\frac{2809}{1444}$ $+$ $\frac{12}{19}$ = $\frac{2809}{1444}$ $+$ $\frac{912}{1444}$ = $\frac{3721}{1444}$

x_1,2 = $- \frac{53}{38}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{1444}}$

x₁ = $- \frac{53}{38}$ - $\frac{61}{38}$ = $- \frac{114}{38}$ = -3

x₂ = $- \frac{53}{38}$ + $\frac{61}{38}$ = $\frac{8}{38}$ = 0.21052631578947

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{4}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 25 x - 25$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 25$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 25 \cdot (- 1) - 25$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 25 x$	$- 25$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 25$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- 25 x$
	-(0	0)
		$- 25 x$	$- 25$
		-( $- 25 x$	$- 25$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25$ = $(x^{2} + 0 - 25) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 25) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 25) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{2} - 25 \cdot (- 5) - 25$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 25 x$	$- 25$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 5 x$	$- 25$
		-( $- 5 x$	$- 25$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 5^{2} - 25 \cdot 5 - 25$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 25 x$	$- 25$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$5 x$	$- 25$
		-( $5 x$	$- 25$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 25 x - 25$ = $(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 12 | + 7$ = $1$

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 12 \| + 7$	=	$1$	\| $- 7$
$\| - 3 x + 12 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x + t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x + t)$ = 0

$x^{2} + x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$1 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 4 t$	=	$- 5$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{5}{4}$ = 1.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{4}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $1 + (- 4 \cdot 2 + 4)$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + (- 4 t + 4)$ für t > $\frac{5}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{4}$ größer 0

Für t > $\frac{5}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $5$