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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$ und $g(x) =$ $72$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - x^{2}

=

72

|

- 72

x^{4} - x^{2} - 72

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $72$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |72)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $72$ Somit gilt: S₂( $3$ |72)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 1 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 1 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$(x^{2} + 4 x) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 7 x} + 3) \cdot (x^{2} - 16)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 7 x} + 3) (x^{2} - 16)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 5 e^{- 7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 5$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{3}{5}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{3}{5})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{5})$	≈ 0.073

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{5})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 3}{x} + \frac{4 x}{3 x - 5} + \frac{- 19 x + 3}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{5}{3}$ }

\frac{- 19 x + 3}{3 x} + \frac{2 x + 3}{x} + \frac{4 x}{3 x - 5}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 19 x + 3}{3 x} + \frac{2 x + 3}{x} + \frac{4 x}{3 x - 5}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 19 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + \frac{2 x + 3}{x} \cdot 3 x + \frac{4 x}{3 x - 5} \cdot 3 x$	=
$- 19 x + 3 + 6 x + 9 + 3 \frac{4 x \cdot x}{3 x - 5}$	=
$- 19 x + 3 + 6 x + 9 + \frac{12 x^{2}}{3 x - 5}$	=
$\frac{12 x^{2}}{3 x - 5} - 19 x + 6 x + 3 + 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{12 x^{2}}{3 x - 5} - 19 x + 6 x + 3 + 9$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{12 x^{2}}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - 19 x \cdot (3 x - 5) + 6 x \cdot (3 x - 5) + 3 \cdot (3 x - 5) + 9 \cdot (3 x - 5)$	=
$12 x^{2} - 19 x (3 x - 5) + 6 x (3 x - 5) + 9 x - 15 + 27 x - 45$	=
$12 x^{2} + (- 57 x^{2} + 95 x) + (18 x^{2} - 30 x) + 9 x - 15 + 27 x - 45$	=
$- 27 x^{2} + 101 x - 60$	=

$- 27 x^{2} + 101 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 101 \pm \sqrt{101^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 101 \pm \sqrt{10 201 - 6 480}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 101 \pm \sqrt{3 721}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 101 + \sqrt{3 721}}{- 54}$ = $\frac{- 101+61}{- 54}$ = $\frac{- 40}{- 54}$ = $\frac{20}{27}$ ≈ 0.74

x₂ = $\frac{- 101 - \sqrt{3 721}}{- 54}$ = $\frac{- 101-61}{- 54}$ = $\frac{- 162}{- 54}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} + 101 x - 60$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} - \frac{101}{27} x + \frac{20}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{101}{54})}^{2} - (\frac{20}{9})$ = $\frac{10201}{2916}$ $-$ $\frac{20}{9}$ = $\frac{10201}{2916}$ $-$ $\frac{6480}{2916}$ = $\frac{3721}{2916}$

x_1,2 = $\frac{101}{54}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{2916}}$

x₁ = $\frac{101}{54}$ - $\frac{61}{54}$ = $\frac{40}{54}$ = 0.74074074074074

x₂ = $\frac{101}{54}$ + $\frac{61}{54}$ = $\frac{162}{54}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{20}{27}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 4 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 16 | + 5$ = $25$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \| + 5$	=	$25$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 16 \|$	=	$20$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 16 \|$	=	$60$

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

$- 4 x + 16$	=	$60$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$44$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 11) + 16$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0:

$- (- 4 x + 16)$	=	$60$
$4 x - 16$	=	$60$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$76$	\|: $4$
x₂	=	$19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 19 + 16$ = -60 < 0

Die Lösung $19$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $19$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 3 x + t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 - 4 t$ = 0 wird.

$9 - 4 t$	=	0
$- 4 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 4 t$	=	$- 9$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{9}{4}$ = 2.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{9}{4}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $9 - 4 \cdot 3$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 - 4 t$ für t > $\frac{9}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{9}{4}$ größer 0

Für t > $\frac{9}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +16 ≥ 0:

2. Fall: -4x +16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 16$ < 0: