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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2 x^{2}$
$x^{4} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{11}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 30 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 30 x + 3$ gilt m = $- 30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{11}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 11 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 11 x

=

- 30

|

+ 30

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $5$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 30 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 4 e^{5 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x}{2 x - 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $2$ }

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{2 x - 4} - 6$	=	0
$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{2 (x - 2)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x}{2 (x - 2)} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 x - 5) - 6 \cdot (2 x - 5)$	=
$3 x + \frac{x \cdot (2 x - 5)}{x - 2} - 12 x + 30$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} - 5 x}{x - 2} - 12 x + 30$	=
$\frac{2 x^{2} - 5 x}{x - 2} + 3 x - 12 x + 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 5 x}{x - 2} + 3 x - 12 x + 30$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x^{2} - 5 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) + 30 \cdot (x - 2)$	=
$2 x^{2} - 5 x + 3 x \cdot (x - 2) - 12 x \cdot (x - 2) + 30 x - 60$	=
$2 x^{2} - 5 x + (3 x^{2} - 6 x) + (- 12 x^{2} + 24 x) + 30 x - 60$	=
$- 7 x^{2} + 43 x - 60$	=

$- 7 x^{2} + 43 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 680}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{169}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{- 43+13}{- 14}$ = $\frac{- 30}{- 14}$ = $\frac{15}{7}$ ≈ 2.14

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{- 43-13}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 43 x - 60$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{43}{7} x + \frac{60}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{43}{14})}^{2} - (\frac{60}{7})$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{60}{7}$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{1680}{196}$ = $\frac{169}{196}$

x_1,2 = $\frac{43}{14}$ ± $\sqrt{\frac{169}{196}}$

x₁ = $\frac{43}{14}$ - $\frac{13}{14}$ = $\frac{30}{14}$ = 2.1428571428571

x₂ = $\frac{43}{14}$ + $\frac{13}{14}$ = $\frac{56}{14}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{15}{7}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$- 12 x$	$- 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $15 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$18 x$	$- 36$
		-( $18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 11 \cdot {(- 6)}^{2} - 12 \cdot (- 6) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$- 12 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 6 x$	$- 36$
		-( $- 6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} - 12 x - 36$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x - 20 | + 1$ = $25$

Lösung einblenden

$\| - 4 x - 20 \| + 1$	=	$25$	\| $- 1$
$\| - 4 x - 20 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

$- 4 x - 20$	=	$24$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$44$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 11) - 20$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0:

$- (- 4 x - 20)$	=	$24$
$4 x + 20$	=	$24$	\| $- 20$
$4 x$	=	$4$	\|: $4$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 1 - 20$ = -24 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 3 t x + 3 t) \cdot e^{t x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 3 t x + 3 t) \cdot e^{t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 3 t x + 3 t$ = 0 oder $e^{t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 3 t x + 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 3 t x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{{(- 3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 12 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 12 t$	=	0
$3 t \cdot (3 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$3 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 t$	=	$4$	\|: $3$
t₂	=	$\frac{4}{3}$

Da bei $9 t^{2} - 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $9 t^{2} - 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $\frac{4}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -20 ≥ 0:

2. Fall: -4x -20 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0: