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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 6 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $7 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} + 6 e^{2 x}$	=	$7 e^{4 x}$	\| $- 7 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 7 e^{4 x} + 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 7 e^{2 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $7 e^{4 \cdot 0}$ = 7 Somit gilt: S₁(0|7)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $7 e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 252 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |252)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ parallel zur Geraden y = $35 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $35 x + 4$ gilt m = $35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 2 x

=

35

|

- 35

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

L={ $- 7$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $35 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- 5 x + 1}{3 x + 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{x - 1 - 5 x + 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{x - 1 - 5 x + 1}{3 x + 5} + \frac{2 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{x - 1 - 5 x + 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + \frac{2 x}{x + 1} \cdot (3 x + 5)$	=
$x - 1 - 5 x + 1 + \frac{2 x (3 x + 5)}{x + 1}$	=
$x - 1 - 5 x + 1 + \frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1}$	=
$\frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1} + x - 5 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1} + x - 5 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 10 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 10 x + x (x + 1) - 5 x (x + 1) - x - 1 + x + 1$	=
$6 x^{2} + 10 x + (x^{2} + x) + (- 5 x^{2} - 5 x) - x - 1 + x + 1$	=
$2 x^{2} + 6 x$	=

$2 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x + 4 | + 1$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \| + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$\frac{1}{3} \| - 2 x + 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

$- 2 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 4) + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0:

$- (- 2 x + 4)$	=	$12$
$2 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - x + 4 t) \cdot e^{- t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - x + 4 t) \cdot e^{- t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - x + 4 t$ = 0 oder $e^{- t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - x + 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 - 16 t$ = 0 wird.

$1 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 16 t$	=	$- 1$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{1}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{16}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 - 16 \cdot 1$ = -15 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 - 16 t$ für t > $\frac{1}{16}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{16}$ größer 0

Für t > $\frac{1}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +4 ≥ 0:

2. Fall: -2x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 4$ < 0: