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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2}$ und $g(x) =$ $18 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 3 x^{2}$	=	$18 x$	\| $- 18 x$
$x^{3} - 3 x^{2} - 18 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 3 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $- 3$ ; 0; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $18 \cdot (- 3)$ = -54 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-54)

x₂ = 0: f(0)= $18 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $6$ : f( $6$ )= $18 \cdot 6$ = 108 Somit gilt: S₃( $6$ |108)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 3 + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 4 x) \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 5 e^{5 x} - 6 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 5 e^{5 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{36 x}{- 4 x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; 0}

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{36 x}{- 4 x + 2}$	=	0
$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{36 x}{2 (- 2 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x - 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{36 x}{2 (- 2 x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{6 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (2 x - 1) + \frac{36 x}{2 (- 2 x + 1)} \cdot (2 x - 1)$	=
$6 x + \frac{(7 x - 1) \cdot (2 x - 1)}{2 x} + \frac{18 x \cdot (2 x - 1)}{- 2 x + 1}$	=
$6 x + \frac{(7 x - 1) \cdot (2 x - 1)}{2 x} - 18 x$	=
$6 x + \frac{14 x^{2} - 9 x + 1}{2 x} - 18 x$	=
$\frac{14 x^{2} - 9 x + 1}{2 x} + 6 x - 18 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{14 x^{2} - 9 x + 1}{2 x} + 6 x - 18 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{14 x^{2} - 9 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 18 x \cdot 2 x$	=
$14 x^{2} - 9 x + 1 + 12 x \cdot x - 36 x \cdot x$	=
$14 x^{2} - 9 x + 1 + 12 x^{2} - 36 x^{2}$	=
$- 10 x^{2} - 9 x + 1$	=

$- 10 x^{2} - 9 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 1}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{- 20}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{9+11}{- 20}$ = $\frac{20}{- 20}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{9-11}{- 20}$ = $\frac{- 2}{- 20}$ = $0,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 9 x + 1$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{9}{10} x - \frac{1}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{20})}^{2} - (- \frac{1}{10})$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{1}{10}$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{40}{400}$ = $\frac{121}{400}$

x_1,2 = $- \frac{9}{20}$ ± $\sqrt{\frac{121}{400}}$

x₁ = $- \frac{9}{20}$ - $\frac{11}{20}$ = $- \frac{20}{20}$ = -1

x₂ = $- \frac{9}{20}$ + $\frac{11}{20}$ = $\frac{2}{20}$ = 0.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 5 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 5 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 6$
		-( $- 3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 5 x + 6$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x - 1 | - 1$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x - 1 \| - 1$	=	$- 6$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| - x - 1 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x - 1 \|$	=	$15$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$15$	\| $+ 1$
$- x$	=	$16$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 16) - 1$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$15$
$x + 1$	=	$15$	\| $- 1$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 14 - 1$ = -15 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $14$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x^{2} + 1$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 2 t x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 t x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 2 t)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \frac{1}{1,4142} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\frac{1}{1,4142} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$1$	=	0	\| $- 1$
0	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t ≤ 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: