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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 21$ und $g(x) =$ $4 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 21

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

L={ $- 3$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $4 \cdot (- 3)$ = -12 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-12)

x₂ = $7$ : f( $7$ )= $4 \cdot 7$ = 28 Somit gilt: S₂( $7$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 4$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - e^{3 x}

=

30

|

- 30

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 4 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 4) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 7} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{11 x - 1}{- 4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{7}{3}$ }

$\frac{11 x - 1}{- 4 x + 4} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 7}$	=	0
$\frac{11 x - 1}{4 (- x + 1)} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{2 x}{3 x - 7}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (- x + 1)$ weg!

$\frac{11 x - 1}{4 (- x + 1)} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{2 x}{3 x - 7}$	=	\|⋅( $4 (- x + 1)$ )
$\frac{11 x - 1}{4 (- x + 1)} \cdot (4 (- x + 1)) + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (4 (- x + 1)) + \frac{2 x}{3 x - 7} \cdot (4 (- x + 1))$	=
$11 x - 1 + 4 \frac{(x + 1) (- x + 1)}{2 (x - 1)} + 4 \frac{2 x (- x + 1)}{3 x - 7}$	=
$11 x - 1 + \frac{2 (- x^{2} + 1)}{x - 1} + \frac{4 (- 2 x^{2} + 2 x)}{3 x - 7}$	=
$\frac{4 (- 2 x^{2} + 2 x)}{3 x - 7} + \frac{2 (- x^{2} + 1)}{x - 1} + 11 x - 1$	=

\frac{2 (- x^{2} + 1)}{x - 1} + \frac{4 (- 2 x^{2} + 2 x)}{3 x - 7} + 11 x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{x - 1} + \frac{4 (- 2 x^{2} + 2 x)}{3 x - 7} + 11 x - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 (- 2 x^{2} + 2 x)}{3 x - 7} \cdot (x - 1) + 11 x \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$- 2 x^{2} + 2 + \frac{4 (- 2 x^{2} + 2 x) (x - 1)}{3 x - 7} + 11 x (x - 1) - x + 1$	=
$- 2 x^{2} + 2 + \frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 8 x}{3 x - 7} + (11 x^{2} - 11 x) - x + 1$	=
$\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 8 x}{3 x - 7} - 2 x^{2} + 11 x^{2} - 11 x - x + 2 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 8 x}{3 x - 7} - 2 x^{2} + 11 x^{2} - 11 x - x + 2 + 1$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 8 x}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) - 2 x^{2} \cdot (3 x - 7) + 11 x^{2} \cdot (3 x - 7) - 11 x \cdot (3 x - 7) - x \cdot (3 x - 7) + 2 \cdot (3 x - 7) + 1 \cdot (3 x - 7)$	=
$- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} (3 x - 7) + 11 x^{2} (3 x - 7) - 11 x (3 x - 7) - x (3 x - 7) + 6 x - 14 + 3 x - 7$	=
$- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 8 x + (- 6 x^{3} + 14 x^{2}) + (33 x^{3} - 77 x^{2}) + (- 33 x^{2} + 77 x) + (- 3 x^{2} + 7 x) + 6 x - 14 + 3 x - 7$	=
$19 x^{3} - 83 x^{2} + 85 x - 21$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $19 x^{3} - 83 x^{2} + 85 x - 21$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 21$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $19 \cdot 1^{3} - 83 \cdot 1^{2} + 85 \cdot 1 - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $19 x^{3}$	$- 83 x^{2}$	$+ 85 x$	$- 21$ )	:	(x $- 1$ )	=	$19 x^{2} - 64 x + 21$
-( $19 x^{3}$	$- 19 x^{2}$ )
	$- 64 x^{2}$	$+ 85 x$
	-( $- 64 x^{2}$	$+ 64 x$ )
		$21 x$	$- 21$
		-( $21 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$19 x^{3} - 83 x^{2} + 85 x - 21$ = $(19 x^{2} - 64 x + 21) \cdot (x - 1)$

(19 x^{2} - 64 x + 21) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$19 x^{2} - 64 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 64 \pm \sqrt{{(- 64)}^{2} - 4 \cdot 19 \cdot 21}}{2 \cdot 19}$

x_1,2 = $\frac{+ 64 \pm \sqrt{4 096 - 1 596}}{38}$

x_1,2 = $\frac{+ 64 \pm \sqrt{2 500}}{38}$

x₁ = $\frac{64 + \sqrt{2 500}}{38}$ = $\frac{64+50}{38}$ = $\frac{114}{38}$ = $3$

x₂ = $\frac{64 - \sqrt{2 500}}{38}$ = $\frac{64-50}{38}$ = $\frac{14}{38}$ = $\frac{7}{19}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $19$ " teilen:

$19 x^{2} - 64 x + 21$ = 0 |: $19$

$x^{2} - \frac{64}{19} x + \frac{21}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{32}{19})}^{2} - (\frac{21}{19})$ = $\frac{1024}{361}$ $-$ $\frac{21}{19}$ = $\frac{1024}{361}$ $-$ $\frac{399}{361}$ = $\frac{625}{361}$

x_1,2 = $\frac{32}{19}$ ± $\sqrt{\frac{625}{361}}$

x₁ = $\frac{32}{19}$ - $\frac{25}{19}$ = $\frac{7}{19}$ = 0.36842105263158

x₂ = $\frac{32}{19}$ + $\frac{25}{19}$ = $\frac{57}{19}$ = 3

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $19 \cdot 3^{3} - 83 \cdot 3^{2} + 85 \cdot 3 - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $19 x^{3}$	$- 83 x^{2}$	$+ 85 x$	$- 21$ )	:	(x $- 3$ )	=	$19 x^{2} - 26 x + 7$
-( $19 x^{3}$	$- 57 x^{2}$ )
	$- 26 x^{2}$	$+ 85 x$
	-( $- 26 x^{2}$	$+ 78 x$ )
		$7 x$	$- 21$
		-( $7 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$19 x^{3} - 83 x^{2} + 85 x - 21$ = $(19 x^{2} - 26 x + 7) \cdot (x - 3)$

(19 x^{2} - 26 x + 7) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$19 x^{2} - 26 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 19 \cdot 7}}{2 \cdot 19}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 532}}{38}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{144}}{38}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{144}}{38}$ = $\frac{26+12}{38}$ = $\frac{38}{38}$ = $1$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{144}}{38}$ = $\frac{26-12}{38}$ = $\frac{14}{38}$ = $\frac{7}{19}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $19$ " teilen:

$19 x^{2} - 26 x + 7$ = 0 |: $19$

$x^{2} - \frac{26}{19} x + \frac{7}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{19})}^{2} - (\frac{7}{19})$ = $\frac{169}{361}$ $-$ $\frac{7}{19}$ = $\frac{169}{361}$ $-$ $\frac{133}{361}$ = $\frac{36}{361}$

x_1,2 = $\frac{13}{19}$ ± $\sqrt{\frac{36}{361}}$

x₁ = $\frac{13}{19}$ - $\frac{6}{19}$ = $\frac{7}{19}$ = 0.36842105263158

x₂ = $\frac{13}{19}$ + $\frac{6}{19}$ = $\frac{19}{19}$ = 1

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{19}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 8 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 8 \cdot 8^{2} - 8 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- x$	$+ 8$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 8$
		-( $- x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 8)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 8)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 3 | - 1$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \| - 1$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$12$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 3) + 3$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$12$
$3 x - 3$	=	$12$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 5 + 3$ = -12 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 2 t x + 5 t) \cdot e^{- x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 2 t x + 5 t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 2 t x + 5 t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 2 t x + 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 2 t x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{{(- 2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 t^{2} - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 t^{2} - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 t^{2} - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 t^{2} - 20 t$ = 0 wird.

$4 t^{2} - 20 t$	=	0
$4 t (t - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 5$	=	0	\| $+ 5$
t₂	=	$5$

Da bei $4 t^{2} - 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $4 t^{2} - 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $5$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: