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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 18 e^{- x}$ und $g(x) =$ $9 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 18 e^{- x}$	=	$9 e^{x}$	\| $- 9 e^{x}$
$e^{3 x} - 9 e^{x} + 18 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 18) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $9 e^{\frac{1}{2} \ln (3)}$ = 15.588 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |15.588)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $9 e^{\frac{1}{2} \ln (6)}$ = 22.045 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |22.045)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $15 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $15 x$ gilt m = $15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 2 e^{2 x}

=

15

|

- 15

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $15 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{7 x} + 3) \cdot (x^{5} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{7 x} + 3) \cdot (x^{5} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 e^{7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 3$
$e^{7 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	0	\|: $7$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{16 x}{2 x + 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{16 x}{2 x + 2} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 7$	=	0
$\frac{16 x}{2 (x + 1)} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{16 x}{2 (x + 1)} + \frac{6 x}{3 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{16 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (x + 1) - 7 \cdot (x + 1)$	=
$8 x + \frac{6 x \cdot (x + 1)}{3 x - 1} - 7 x - 7$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} - 7 x - 7$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} + 8 x - 7 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} + 8 x - 7 x - 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 8 x \cdot (3 x - 1) - 7 x \cdot (3 x - 1) - 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x^{2} + 6 x + 8 x \cdot (3 x - 1) - 7 x \cdot (3 x - 1) - 21 x + 7$	=
$6 x^{2} + 6 x + (24 x^{2} - 8 x) + (- 21 x^{2} + 7 x) - 21 x + 7$	=
$9 x^{2} - 16 x + 7$	=

$9 x^{2} - 16 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{18}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{18}$ = $\frac{16+2}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{18}$ = $\frac{16-2}{18}$ = $\frac{14}{18}$ = $\frac{7}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 16 x + 7$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{16}{9} x + \frac{7}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{9})}^{2} - (\frac{7}{9})$ = $\frac{64}{81}$ $-$ $\frac{7}{9}$ = $\frac{64}{81}$ $-$ $\frac{63}{81}$ = $\frac{1}{81}$

x_1,2 = $\frac{8}{9}$ ± $\sqrt{\frac{1}{81}}$

x₁ = $\frac{8}{9}$ - $\frac{1}{9}$ = $\frac{7}{9}$ = 0.77777777777778

x₂ = $\frac{8}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{9}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 8 | - 3$ = $7$

Lösung einblenden

$\| 2 x - 8 \| - 3$	=	$7$	\| $+ 3$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$10$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$10$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 9 - 8$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$10$
$- 2 x + 8$	=	$10$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 1) - 8$ = -10 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x^{5} - 4 x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

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Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 2 t x^{5} - 4 x^{3}$	=	0
$- 2 x^{3} \cdot (t x^{2} + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$t x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$t x^{2}$	=	$- 2$	\|: $t$
$x^{2}$	=	$- 2 \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- 2 \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{2}{t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- 2 \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{2}{t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- 4 x^{3}$	=	$0$	\|: $(- 4)$
$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t < 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: