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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 4$ und $g(x) =$ $5 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 4

=

5 e^{x}

|

- 5 e^{x}

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $5 e^{0}$ = 5 Somit gilt: S₁(0|5)

x₂ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $5 e^{2 \ln (2)}$ = 20 Somit gilt: S₂( $2 \ln (2)$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $3 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x - 4$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 2 e^{2 x}

=

3

|

- 3

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 4 x} + 4) \cdot (x^{2} - 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 4 x} + 4) (x^{2} - 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 4 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 5 e^{- 4 x}$	=	$- 4$	\|: $- 5$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{4}{5}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{4}{5})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{4}{5})$	≈ 0.0558

2. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{4}{5})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 3}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 3}{x} - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 3}{x} \cdot x - 4 \cdot x$	=
$3 x - 3 - 4 x$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 16 x^{3} + 83 x^{2} + 152 x + 84$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 16 x^{3} + 83 x^{2} + 152 x + 84$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $84$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 16 \cdot {(- 1)}^{3} + 83 \cdot {(- 1)}^{2} + 152 \cdot (- 1) + 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 16 x^{3}$	$+ 83 x^{2}$	$+ 152 x$	$+ 84$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 15 x^{2} + 68 x + 84$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$15 x^{3}$	$+ 83 x^{2}$
	-( $15 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$ )
		$68 x^{2}$	$+ 152 x$
		-( $68 x^{2}$	$+ 68 x$ )
			$84 x$	$+ 84$
			-( $84 x$	$+ 84$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 16 x^{3} + 83 x^{2} + 152 x + 84$ = $(x^{3} + 15 x^{2} + 68 x + 84) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 15 x^{2} + 68 x + 84) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 15 x^{2} + 68 x + 84$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $84$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 68 \cdot (- 2) + 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 68 x$	$+ 84$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 13 x + 42$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$13 x^{2}$	$+ 68 x$
	-( $13 x^{2}$	$+ 26 x$ )
		$42 x$	$+ 84$
		-( $42 x$	$+ 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 68 x + 84$ = $(x^{2} + 13 x + 42) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 13 x + 42) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 15 \cdot {(- 6)}^{2} + 68 \cdot (- 6) + 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 68 x$	$+ 84$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 68 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 54 x$ )
		$14 x$	$+ 84$
		-( $14 x$	$+ 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 68 x + 84$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 15 \cdot {(- 7)}^{2} + 68 \cdot (- 7) + 84$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 68 x$	$+ 84$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 68 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 56 x$ )
		$12 x$	$+ 84$
		-( $12 x$	$+ 84$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 68 x + 84$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 6$ ; $- 2$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x - 3 | + 9$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \| + 9$	=	$12$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$3$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

$- 3 x - 3$	=	$6$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 3) - 3$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0:

$- (- 3 x - 3)$	=	$6$
$3 x + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 1 - 3$ = -6 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{2} + 4$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$t x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$t x^{2}$	=	$- 4$	\|: $t$
$x^{2}$	=	$- 4 \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- 4 \cdot \frac{1}{t})}$	= $- 2 \sqrt{(- \frac{1}{t})}$
x₂	=	$\sqrt{(- 4 \cdot \frac{1}{t})}$	= $2 \sqrt{(- \frac{1}{t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$4$	=	0	\| $- 4$
0	=	$- 4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t < 0 gibt es also 2 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -3 ≥ 0:

2. Fall: -3x -3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 3 x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 3$ < 0: