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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 2$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} - 2$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} - 2 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} - 2 x^{2}$	=	$- 1$
$x^{4} - 2 x^{2}$	=	$- 1$

x^{4} - 2 x^{2}

=

- 1

|

+ 1

x^{4} - 2 x^{2} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{1}{1^{2}}$ = -1 Somit gilt: S₂( $1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 1$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 2 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 2 x^{2}

=

3

|

- 3

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 10 x^{3} + 9 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{6 x}{2 x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{x}{2 x + 2} - 5$	=	0
$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{x}{2 (x + 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{x}{2 (x + 1)} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) - 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x + \frac{x \cdot (2 x + 1)}{2 (x + 1)} - 10 x - 5$	=
$6 x + \frac{2 x^{2} + x}{2 (x + 1)} - 10 x - 5$	=
$\frac{2 x^{2} + x}{2 (x + 1)} + 6 x - 10 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + x}{2 (x + 1)} + 6 x - 10 x - 5$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{2 x^{2} + x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 6 x \cdot (2 (x + 1)) - 10 x \cdot (2 (x + 1)) - 5 \cdot (2 (x + 1))$	=
$2 x^{2} + x + 12 x \cdot (x + 1) - 20 x \cdot (x + 1) - 10 x - 10$	=
$2 x^{2} + x + (12 x^{2} + 12 x) + (- 20 x^{2} - 20 x) - 10 x - 10$	=
$- 6 x^{2} - 17 x - 10$	=

$- 6 x^{2} - 17 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{17+7}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 12}$ = $\frac{17-7}{- 12}$ = $\frac{10}{- 12}$ = $- \frac{5}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 17 x - 10$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{17}{6} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{12})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{289}{144}$ $-$ $\frac{240}{144}$ = $\frac{49}{144}$

x_1,2 = $- \frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{49}{144}}$

x₁ = $- \frac{17}{12}$ - $\frac{7}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{17}{12}$ + $\frac{7}{12}$ = $- \frac{10}{12}$ = -0.83333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{5}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 15 | - 7$ = $- 16$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 15 \| - 7$	=	$- 16$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 15 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$27$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$27$	\| $- 15$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 4 + 15$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$27$
$- 3 x - 15$	=	$27$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$42$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 14) + 15$ = -27 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 4 x^{5} - t x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 4 x^{5} - t x^{3}$	=	0
$- x^{3} \cdot (4 x^{2} + t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$4 x^{2} + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$4 x^{2}$	=	$- 1 t$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$- \frac{1}{4} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{4} t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: