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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 8 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 8 e^{- x}$	=	$- 2 e^{x}$	\| $+ 2 e^{x}$
$e^{3 x} + 2 e^{x} - 8 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $- 2 e^{\frac{1}{2} \ln (2)}$ = -2.828 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |-2.828)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $42 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

42

|

- 42

e^{2 x} - e^{x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 4$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

- 5 x^{2} + 4

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 3}{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x} - 3$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 3}{x} \cdot x - 3 \cdot x$	=
$2 x - 3 - 3 x$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 7 \cdot {(- 1)}^{2} - 27 \cdot (- 1) - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 27 x$	$- 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 27 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 18 x$	$- 18$
		-( $- 18 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 7 \cdot 6^{2} - 27 \cdot 6 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 27 x$	$- 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 27 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$3 x$	$- 18$
		-( $3 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 27 x - 18$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x - 2 | + 6$ = $4$

Lösung einblenden

$\| x - 2 \| + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$\| x - 2 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 2 t x - 3 t) \cdot e^{- t x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 2 t x - 3 t) \cdot e^{- t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 2 t x - 3 t$ = 0 oder $e^{- t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 2 t x - 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 2 t x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{{(- 2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 t^{2} + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 t^{2} + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 t^{2} + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 t^{2} + 12 t$ = 0 wird.

$4 t^{2} + 12 t$	=	0
$4 t \cdot (t + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 3$	=	0	\| $- 3$
t₂	=	$- 3$

Da bei $4 t^{2} + 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $4 t^{2} + 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- 3$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $6$