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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 7 x^{2}$ und $g(x) =$ $\frac{8}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} - 7 x^{2}$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x - 7 x^{2} \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x - 7 x^{2} \cdot x$	=	$8$
$x^{6} - 7 x^{3}$	=	$8$

x^{6} - 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{8}{(- 1)}$ = -8 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{8}{2}$ = 4 Somit gilt: S₂( $2$ |4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 1$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

L={ $- 2$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 7 x^{3}$ = $8$

Lösung einblenden

x^{6} - 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x - 5} + \frac{3 x}{2 x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $\frac{5}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} - 7$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{5 x + 1}{3 x - 5} \cdot (2 x - 3) - 7 \cdot (2 x - 3)$	=
$3 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (2 x - 3)}{3 x - 5} - 14 x + 21$	=
$3 x + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} - 14 x + 21$	=
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} + 3 x - 14 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} + 3 x - 14 x + 21$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + 3 x \cdot (3 x - 5) - 14 x \cdot (3 x - 5) + 21 \cdot (3 x - 5)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + 3 x \cdot (3 x - 5) - 14 x \cdot (3 x - 5) + 63 x - 105$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + (9 x^{2} - 15 x) + (- 42 x^{2} + 70 x) + 63 x - 105$	=
$- 23 x^{2} + 105 x - 108$	=

$- 23 x^{2} + 105 x - 108$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 105 \pm \sqrt{105^{2} - 4 \cdot (- 23) \cdot (- 108)}}{2 \cdot (- 23)}$

x_1,2 = $\frac{- 105 \pm \sqrt{11 025 - 9 936}}{- 46}$

x_1,2 = $\frac{- 105 \pm \sqrt{1 089}}{- 46}$

x₁ = $\frac{- 105 + \sqrt{1 089}}{- 46}$ = $\frac{- 105+33}{- 46}$ = $\frac{- 72}{- 46}$ = $\frac{36}{23}$ ≈ 1.57

x₂ = $\frac{- 105 - \sqrt{1 089}}{- 46}$ = $\frac{- 105-33}{- 46}$ = $\frac{- 138}{- 46}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 23$ " teilen:

$- 23 x^{2} + 105 x - 108$ = 0 |: $- 23$

$x^{2} - \frac{105}{23} x + \frac{108}{23}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{105}{46})}^{2} - (\frac{108}{23})$ = $\frac{11025}{2116}$ $-$ $\frac{108}{23}$ = $\frac{11025}{2116}$ $-$ $\frac{9936}{2116}$ = $\frac{1089}{2116}$

x_1,2 = $\frac{105}{46}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{2116}}$

x₁ = $\frac{105}{46}$ - $\frac{33}{46}$ = $\frac{72}{46}$ = 1.5652173913043

x₂ = $\frac{105}{46}$ + $\frac{33}{46}$ = $\frac{138}{46}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{36}{23}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 26 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 26 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 26 \cdot (- 1) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 26 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 24$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 24 x$	$- 24$
		-( $- 24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 26 x - 24$ = $(x^{2} - 2 x - 24) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x - 24) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - {(- 4)}^{2} - 26 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 26 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 26 x - 24$ = $(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 5 x - 6) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 6^{2} - 26 \cdot 6 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 26 x$	$- 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$4 x$	$- 24$
		-( $4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 26 x - 24$ = $(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 5 x + 4) \cdot (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 12 | - 1$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 12 \| - 1$	=	$- 7$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 12 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

$3 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 8 - 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 12$ < 0:

$- (3 x - 12)$	=	$12$
$- 3 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (0) - 12$ = -12 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 3 x - 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 8 t$ = 0 wird.

$9 + 8 t$	=	0
$8 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$8 t$	=	$- 9$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{9}{8}$

Für t = $- \frac{9}{8}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -12 ≥ 0:

2. Fall: 3x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 12$ < 0: