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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $49 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $49 x - 4$ gilt m = $49$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

L={ $- 7$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $49$ und sind somit parallel zur Geraden y = $49 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 9 x^{2}$ = $8 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6} - 9 x^{2}$	=	$8 x^{4}$	\| $- 8 x^{4}$
$x^{6} - 8 x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 8 x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 8 x^{2} - 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 3}{x} + \frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{- 10 x}{4 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; 0}

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{x - 3}{x} - \frac{10 x}{4 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{x - 3}{x} - \frac{10 x}{2 (2 x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{x - 3}{x} - \frac{10 x}{2 (2 x + 3)}$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{x - 3}{x} \cdot (2 x + 3) - \frac{10 x}{2 (2 x + 3)} \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{(x - 3) (2 x + 3)}{x} - 5 x$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} - 3 x - 9}{x} - 5 x$	=
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 9}{x} + 3 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 9}{x} + 3 x - 5 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x^{2} - 3 x - 9}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$2 x^{2} - 3 x - 9 + 3 x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$2 x^{2} - 3 x - 9 + 3 x^{2} - 5 x^{2}$	=
$- 3 x - 9$	=

$- 3 x - 9$	=	0	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 8 x^{2} - 15 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} - 15 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 15 \cdot (- 2) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 15 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 6 x - 27$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 27 x$	$- 54$
		-( $- 27 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - 15 x - 54$ = $(x^{2} + 6 x - 27) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 6 x - 27) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 8 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 15 x$	$- 54$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 33 x$ )
		$18 x$	$- 54$
		-( $18 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - 15 x - 54$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 11 x + 18) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 8 \cdot {(- 9)}^{2} - 15 \cdot (- 9) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 15 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 6 x$	$- 54$
		-( $- 6 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - 15 x - 54$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - x - 6) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x - 15 | + 6$ = $3$

Lösung einblenden

$\| 3 x - 15 \| + 6$	=	$3$	\| $- 6$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 5 x - 5 t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 5 x - 5 t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 5 x - 5 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 5 x - 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 5 x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 20 t$ = 0 wird.

$25 + 20 t$	=	0
$20 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$20 t$	=	$- 25$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{5}{4}$ = -1.25

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{4}$ beispielsweise für t = -0 der Radikand $25 + 20 \cdot 0$ = 25 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 20 t$ für t > $- \frac{5}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{4}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{5}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit -9

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 9$