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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + e^{5 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + e^{5 x}$	=	$6 e^{2 x}$	\| $- 6 e^{2 x}$
$e^{8 x} + e^{5 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $6 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 9.524 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |9.524)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} - 7 x^{5} - 8 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} - 7 x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} - 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{2 x}{x + 1} + \frac{30 x}{- 3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{30 x}{- 3 x - 3}$	=	0
$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{30 x}{- 3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{16 x}{3 x + 1} + \frac{30 x}{- 3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{16 x}{3 x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{30 x}{- 3 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{16 x (x + 1)}{3 x + 1} - 10 x$	=
$2 x + \frac{16 x^{2} + 16 x}{3 x + 1} - 10 x$	=
$\frac{16 x^{2} + 16 x}{3 x + 1} + 2 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} + 16 x}{3 x + 1} + 2 x - 10 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{16 x^{2} + 16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 2 x \cdot (3 x + 1) - 10 x \cdot (3 x + 1)$	=
$16 x^{2} + 16 x + 2 x (3 x + 1) - 10 x (3 x + 1)$	=
$16 x^{2} + 16 x + (6 x^{2} + 2 x) + (- 30 x^{2} - 10 x)$	=
$- 8 x^{2} + 8 x$	=

$- 8 x^{2} + 8 x$	=	0
$8 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 28 \cdot 2^{2} - 2 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 44 x$ )
		$- 45 x$	$+ 90$
		-( $- 45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{22}{3} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{3})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $15$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{256}{9}$

x_1,2 = $\frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{256}{9}}$

x₁ = $\frac{11}{3}$ - $\frac{16}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{11}{3}$ + $\frac{16}{3}$ = $\frac{27}{3}$ = 9

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 28 \cdot 9^{2} - 9 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- x$
	-( $- x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 10 x$	$+ 90$
		-( $- 10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x + 12 | - 4$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x + 12 \| - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| - 3 x + 12 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x + 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

$- 3 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (0) + 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0:

$- (- 3 x + 12)$	=	$12$
$3 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 8 + 12$ = -12 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 x - t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 4 t$ = 0 wird.

$16 + 4 t$	=	0
$4 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$4 t$	=	$- 16$	\|: $4$
$t$	=	$- 4$

Für t = $- 4$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +12 ≥ 0:

2. Fall: -3x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0: