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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 25 e^{- x}$ und $g(x) =$ $10 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 25 e^{- x}$	=	$10 e^{x}$	\| $- 10 e^{x}$
$e^{3 x} - 10 e^{x} + 25 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 25) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 25

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $5$ ± 0 = $5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

$\frac{1}{2} \ln (5)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $10 e^{\frac{1}{2} \ln (5)}$ = 22.361 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |22.361)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 4 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 4 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $3 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$3 e^{\frac{1}{3} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$3 e^{\frac{1}{3} x} + 2 - 2 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 e^{\frac{1}{3} x} + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$(x + 3) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 2 e^{5 x}$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 2 e^{5 x}$	=	$- e^{2 x}$	\| $+ e^{2 x}$
$e^{8 x} - 2 e^{5 x} + e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} + 1) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{x}{3 x + 6} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 2$	=	0
$\frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 2$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 2$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 (x + 2)) - 2 \cdot (3 (x + 2))$	=
$x + 3 \frac{(x + 1) \cdot (x + 2)}{3 x + 7} - 6 x - 12$	=
$x + \frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} - 6 x - 12$	=
$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} + x - 6 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} + x - 6 x - 12$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + x \cdot (3 x + 7) - 6 x \cdot (3 x + 7) - 12 \cdot (3 x + 7)$	=
$3 x^{2} + 9 x + 6 + x \cdot (3 x + 7) - 6 x \cdot (3 x + 7) - 36 x - 84$	=
$3 x^{2} + 9 x + 6 + (3 x^{2} + 7 x) + (- 18 x^{2} - 42 x) - 36 x - 84$	=
$- 12 x^{2} - 62 x - 78$	=

- 12 x^{2} - 62 x - 78

= 0 |:2

$- 6 x^{2} - 31 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 39)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 936}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{25}}{- 12}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{31+5}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{31-5}{- 12}$ = $\frac{26}{- 12}$ = $- \frac{13}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 31 x - 39$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{31}{6} x + \frac{13}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{12})}^{2} - (\frac{13}{2})$ = $\frac{961}{144}$ $-$ $\frac{13}{2}$ = $\frac{961}{144}$ $-$ $\frac{936}{144}$ = $\frac{25}{144}$

x_1,2 = $- \frac{31}{12}$ ± $\sqrt{\frac{25}{144}}$

x₁ = $- \frac{31}{12}$ - $\frac{5}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{31}{12}$ + $\frac{5}{12}$ = $- \frac{26}{12}$ = -2.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{13}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 13 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 13 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 13 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - x - 12$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- x^{2}$	$- x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x - 12$ = $(x^{2} - x - 12) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - x - 12) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 13 \cdot (- 3) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 13 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 4 x$	$- 12$
		-( $- 4 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x - 12$ = $(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 3 x - 4) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 13 \cdot 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 13 x$	$- 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$3 x$	$- 12$
		-( $3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x - 12$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 6 | - 8$ = $- 2$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 6 \| - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$\| - 2 x - 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

$- 2 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 6) - 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0:

$- (- 2 x - 6)$	=	$6$
$2 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 0 - 6$ = -6 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x + 5 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x + 5 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x + 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x + 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + 5 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + (- 20 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 20 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 20 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 20 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 20 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 20 t + 4$	=	0
$- 20 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 20 t$	=	$- 29$	\|:( $- 20$ )
$t$	=	$\frac{29}{20}$ = 1.45

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{29}{20}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $25 + (- 20 \cdot 2 + 4)$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + (- 20 t + 4)$ für t > $\frac{29}{20}$ kleiner 0 und für t < $\frac{29}{20}$ größer 0

Für t > $\frac{29}{20}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -6 ≥ 0:

2. Fall: -2x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0: