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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 27 x$ und $g(x) =$ $6 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - 27 x$	=	$6 x^{3}$	\| $- 6 x^{3}$
$x^{5} - 6 x^{3} - 27 x$	=	0
$x (x^{4} - 6 x^{2} - 27)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 6 x^{2} - 27

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $6 \cdot {(- 3)}^{3}$ = -162 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-162)

x₂ = 0: f(0)= $6 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $6 \cdot 3^{3}$ = 162 Somit gilt: S₃( $3$ |162)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} + 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} + 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$2 e^{3 x} + 1 - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 12 e^{3 x}$ = $- 36$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 12 e^{3 x}

=

- 36

|

+ 36

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

$\frac{1}{3} \ln (6)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{3 x - 3} + \frac{x}{3 x - 4} + \frac{- 6 x}{3 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{4}{3}$ }

$\frac{5 x - 1 - 6 x}{3 x - 3} + \frac{x}{3 x - 4}$	=	0
$\frac{5 x - 1 - 6 x}{3 (x - 1)} + \frac{x}{3 x - 4}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{5 x - 1 - 6 x}{3 (x - 1)} + \frac{x}{3 x - 4}$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{5 x - 1 - 6 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 (x - 1))$	=
$5 x - 1 - 6 x + 3 \frac{x (x - 1)}{3 x - 4}$	=
$5 x - 1 - 6 x + \frac{3 (x^{2} - x)}{3 x - 4}$	=
$\frac{3 (x^{2} - x)}{3 x - 4} + 5 x - 6 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - x)}{3 x - 4} + 5 x - 6 x - 1$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 (x^{2} - x)}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + 5 x \cdot (3 x - 4) - 6 x \cdot (3 x - 4) - 1 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x^{2} - 3 x + 5 x (3 x - 4) - 6 x (3 x - 4) - 3 x + 4$	=
$3 x^{2} - 3 x + (15 x^{2} - 20 x) + (- 18 x^{2} + 24 x) - 3 x + 4$	=
$- 2 x + 4$	=

$- 2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x + 4 | - 6$ = $14$

Lösung einblenden

$\| 4 x + 4 \| - 6$	=	$14$	\| $+ 6$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 4 + 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$20$
$- 4 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 6) + 4$ = -20 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x + 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 8 t$	=	$- 29$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{29}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{29}{8}$ beispielsweise für t = 5 der Radikand $25 + (- 8 \cdot 5 + 4)$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + (- 8 t + 4)$ für t > $\frac{29}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{29}{8}$ größer 0

Für t < $\frac{29}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: