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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x 5 und g(x)= 16x . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 5 = 16x | -16x
x 5 -16x = 0
x ( x 4 -16 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 -16 = 0 | +16
x 4 = 16 | 4
x2 = - 16 4 = -2
x3 = 16 4 = 2

L={ -2 ; 0; 2 }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = -2 : f( -2 )= 16( -2 ) = -32 Somit gilt: S1( -2 |-32)

x2 = 0: f(0)= 160 = 0 Somit gilt: S2(0|0)

x3 = 2 : f( 2 )= 162 = 32 Somit gilt: S3( 2 |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= 1 5 x 5 + 7 3 x 3 parallel zur Geraden y = 8x +7 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 8x +7 gilt m = 8

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= 1 5 x 5 + 7 3 x 3

f'(x)= x 4 +7 x 2

Also muss gelten:

x 4 +7 x 2 = 8 | -8
x 4 +7 x 2 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +7u -8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -7 ± 7 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

u1,2 = -7 ± 49 +32 2

u1,2 = -7 ± 81 2

u1 = -7 + 81 2 = -7 +9 2 = 2 2 = 1

u2 = -7 - 81 2 = -7 -9 2 = -16 2 = -8

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -8

x 2 = -8 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 8 und sind somit parallel zur Geraden y = 8x +7 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

( 7 e -3x -7 ) · ( x 5 -9 x 3 ) = 0

Lösung einblenden
( 7 e -3x -7 ) ( x 5 -9 x 3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

7 e -3x -7 = 0 | +7
7 e -3x = 7 |:7
e -3x = 1 |ln(⋅)
-3x = 0 |:-3
x1 = 0 ≈ 0

2. Fall:

x 5 -9 x 3 = 0
x 3 ( x 2 -9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x2 = 0

2. Fall:

x 2 -9 = 0 | +9
x 2 = 9 | 2
x3 = - 9 = -3
x4 = 9 = 3

L={ -3 ; 0; 3 }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x +1 2x -2 + 3x -1 3x -7 + 7x -1 -2x +2 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 7 3 ; 1 }

3x -1 3x -7 + x +1 2x -2 + 7x -1 -2x +2 = 0
3x -1 3x -7 + x +1 2( x -1 ) + 7x -1 2( -x +1 ) = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 3x -7 weg!

3x -1 3x -7 + x +1 2( x -1 ) + 7x -1 2( -x +1 ) = 0 |⋅( 3x -7 )
3x -1 3x -7 · ( 3x -7 ) + x +1 2( x -1 ) · ( 3x -7 ) + 7x -1 2( -x +1 ) · ( 3x -7 ) = 0
3x -1 + ( x +1 ) ( 3x -7 ) 2( x -1 ) + ( 7x -1 ) ( 3x -7 ) 2( -x +1 ) = 0
3x -1 + 3 x 2 -4x -7 2( x -1 ) + 21 x 2 -52x +7 2( -x +1 ) = 0
21 x 2 -52x +7 2( -x +1 ) + 3 x 2 -4x -7 2( x -1 ) +3x -1 = 0
3 x 2 -4x -7 2( x -1 ) + 21 x 2 -52x +7 2( -x +1 ) +3x -1 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2( x -1 ) weg!

3 x 2 -4x -7 2( x -1 ) + 21 x 2 -52x +7 2( -x +1 ) +3x -1 = 0 |⋅( 2( x -1 ) )
3 x 2 -4x -7 2( x -1 ) · ( 2( x -1 ) ) + 21 x 2 -52x +7 2( -x +1 ) · ( 2( x -1 ) ) + 3x · ( 2( x -1 ) ) -1 · ( 2( x -1 ) ) = 0
3 x 2 -4x -7 +2 ( 21 x 2 -52x +7 ) ( x -1 ) 2( -x +1 ) +6 x ( x -1 ) -2x +2 = 0
3 x 2 -4x -7 -21 x 2 +52x -7 +6 x ( x -1 ) -2x +2 = 0
3 x 2 -4x -7 -21 x 2 +52x -7 + ( 6 x 2 -6x ) -2x +2 = 0
-12 x 2 +40x -12 = 0
-12 x 2 +40x -12 = 0 |:4

-3 x 2 +10x -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · ( -3 ) · ( -3 ) 2( -3 )

x1,2 = -10 ± 100 -36 -6

x1,2 = -10 ± 64 -6

x1 = -10 + 64 -6 = -10 +8 -6 = -2 -6 = 1 3 ≈ 0.33

x2 = -10 - 64 -6 = -10 -8 -6 = -18 -6 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 3 ; 3 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 -3x -2 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von x 3 -3x -2 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds -2 .

-1 ist eine Lösung, denn ( -1 ) 3 -3( -1 ) -2 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x+1) durch.

( x 3 -3x -2 ) : (x+1) = x 2 - x -2
-( x 3 + x 2 )
- x 2 -3x
-( - x 2 - x )
-2x -2
-( -2x -2 )
0

es gilt also:

x 3 -3x -2 = ( x 2 - x -2 ) · ( x +1 )

( x 2 - x -2 ) ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 - x -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +8 2

x1,2 = +1 ± 9 2

x1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

x2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1


2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x3 = -1

Polynomdivision mit 2

L={ -1 ; 2 }

-1 ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 3 | 2x +8 | -2 = 0

Lösung einblenden
1 3 | 2x +8 | -2 = 0 | +2
1 3 | 2x +8 | = 2 |⋅3
| 2x +8 | = 6

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2x +8 = 6 | -8
2x = -2 |:2
x1 = -1

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 2x +8 ≥ 0) genügt:

2( -1 ) +8 = 6 ≥ 0

Die Lösung -1 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: 2x +8 < 0:

-( 2x +8 ) = 6
-2x -8 = 6 | +8
-2x = 14 |:(-2 )
x2 = -7

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 2x +8 < 0) genügt:

2( -7 ) +8 = -6 < 0

Die Lösung -7 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -7 ; -1 }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit ft(x)= ln( x 2 + x +5 t ) genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e0=u, also 1 = u ist:

ln( x 2 + x +5 t ) = 0

x 2 + x +5 t = 1 |-1

x 2 + x +5 t - 1 = 0

x 2 + x + 5t -1 =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( 5t -1 ) 21 = -1 ± 1 + ( -20t +4 ) 2

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

  • Ist 1 + ( -20t +4 ) > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
  • Ist 1 + ( -20t +4 ) = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
  • Ist 1 + ( -20t +4 ) <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand 1 + ( -20t +4 ) = 0 wird.

1 -20t +4 = 0
-20t +5 = 0 | -5
-20t = -5 |:(-20 )
t = 1 4 = 0.25

Für t = 1 4 ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.