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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} + 1$ und $g(x) =$ $20 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} + 1

=

20 e^{- x}

|

- 20 e^{- x}

e^{x} - 20 e^{- x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 20 e^{- x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + e^{x} - 20$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $20 e^{- (2 \ln (2))}$ = 5 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 9 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 9 x + 2$ gilt m = $- 9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 10 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 10 x^{2}

=

- 9

|

+ 9

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 9 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 5 e^{3 x} - 6 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 5 e^{3 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(x - 2) (x - 2)}{3 x - 10} - 5 x + 10$	=
$2 x + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} - 5 x + 10$	=
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} + 2 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} + 2 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 2 x \cdot (3 x - 10) - 5 x \cdot (3 x - 10) + 10 \cdot (3 x - 10)$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + 2 x (3 x - 10) - 5 x (3 x - 10) + 30 x - 100$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + (6 x^{2} - 20 x) + (- 15 x^{2} + 50 x) + 30 x - 100$	=
$- 8 x^{2} + 56 x - 96$	=

- 8 x^{2} + 56 x - 96

= 0 |:8

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 35 \cdot {(- 1)}^{2} + 77 \cdot (- 1) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$45 x$	$+ 45$
		-( $45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{32}{3} x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{3})}^{2} - 15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{16}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{16}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{27}{3}$ = -9

x₂ = $- \frac{16}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 35 \cdot {(- 9)}^{2} + 77 \cdot (- 9) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 35 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 72 x$ )
		$5 x$	$+ 45$
		-( $5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 35 x^{2} + 77 x + 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x + 1 | - 9$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x + 1 \| - 9$	=	$- 13$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x + 1 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

$- x + 1$	=	$12$	\| $- 1$
$- x$	=	$11$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 11) + 1$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 1$ < 0:

$- (- x + 1)$	=	$12$
$x - 1$	=	$12$	\| $+ 1$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ < 0) genügt:

$- 13 + 1$ = -12 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $13$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 3 t x + 5 t) \cdot e^{x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 3 t x + 5 t) \cdot e^{x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 3 t x + 5 t$ = 0 oder $e^{x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 3 t x + 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 3 t x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{{(3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 20 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 20 t$	=	0
$t (9 t - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t - 20$	=	0	\| $+ 20$
$9 t$	=	$20$	\|: $9$
t₂	=	$\frac{20}{9}$

Da bei $9 t^{2} - 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $9 t^{2} - 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{20}{9}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{20}{9}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +1 ≥ 0:

2. Fall: -x +1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 1$ < 0: