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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 8$ und $g(x) =$ $2 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 8

=

2 x^{2}

|

- 2 x^{2}

x^{4} - 2 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $2 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 8 Somit gilt: S₁( $- 2$ |8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $2 \cdot 2^{2}$ = 8 Somit gilt: S₂( $2$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $28 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 3 x

=

28

|

- 28

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $- 4$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 24$ = $2 e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 24

=

2 e^{x}

|

- 2 e^{x}

e^{2 x} - 2 e^{x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{x - 2}{x} + \frac{- 13 x - 2}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

$\frac{- 13 x - 2}{2 x} + \frac{x - 2}{x} + \frac{6 x}{3 x + 3}$	=	0
$\frac{- 13 x - 2}{2 x} + \frac{x - 2}{x} + \frac{6 x}{3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 2}{2 x} + \frac{x - 2}{x} + \frac{6 x}{3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 13 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{6 x}{3 (x + 1)} \cdot 2 x$	=
$- 13 x - 2 + 2 x - 4 + 2 \frac{2 x \cdot x}{x + 1}$	=
$- 13 x - 2 + 2 x - 4 + \frac{4 x^{2}}{x + 1}$	=
$\frac{4 x^{2}}{x + 1} - 13 x + 2 x - 2 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2}}{x + 1} - 13 x + 2 x - 2 - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) - 13 x \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$4 x^{2} - 13 x (x + 1) + 2 x (x + 1) - 2 x - 2 - 4 x - 4$	=
$4 x^{2} + (- 13 x^{2} - 13 x) + (2 x^{2} + 2 x) - 2 x - 2 - 4 x - 4$	=
$- 7 x^{2} - 17 x - 6$	=

$- 7 x^{2} - 17 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 168}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{121}}{- 14}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{17+11}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{121}}{- 14}$ = $\frac{17-11}{- 14}$ = $\frac{6}{- 14}$ = $- \frac{3}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 17 x - 6$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{17}{7} x + \frac{6}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{14})}^{2} - (\frac{6}{7})$ = $\frac{289}{196}$ $-$ $\frac{6}{7}$ = $\frac{289}{196}$ $-$ $\frac{168}{196}$ = $\frac{121}{196}$

x_1,2 = $- \frac{17}{14}$ ± $\sqrt{\frac{121}{196}}$

x₁ = $- \frac{17}{14}$ - $\frac{11}{14}$ = $- \frac{28}{14}$ = -2

x₂ = $- \frac{17}{14}$ + $\frac{11}{14}$ = $- \frac{6}{14}$ = -0.42857142857143

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{3}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 16 | - 4$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \| - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 16 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 16 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

$4 x - 16$	=	$32$	\| $+ 16$
$4 x$	=	$48$	\|: $4$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 12 - 16$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 16$ < 0:

$- (4 x - 16)$	=	$32$
$- 4 x + 16$	=	$32$	\| $- 16$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) - 16$ = -32 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{4} + 4 t x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- x^{4} + 4 t x^{2}$	=	0
$x^{2} (- x^{2} + 4 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 4 t$	=	0	\| - ( $4 t$ )
$- x^{2}$	=	$- 4 t$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(4 t)}$	= $- 2 \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(4 t)}$	= $2 \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -16 ≥ 0:

2. Fall: 4x -16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 16$ < 0: