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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 9$ und $g(x) =$ $10 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 9

=

10 x^{2}

|

- 10 x^{2}

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $10 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 90 Somit gilt: S₁( $- 3$ |90)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $10 \cdot {(- 1)}^{2}$ = 10 Somit gilt: S₂( $- 1$ |10)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $10 \cdot 1^{2}$ = 10 Somit gilt: S₃( $1$ |10)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $10 \cdot 3^{2}$ = 90 Somit gilt: S₄( $3$ |90)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 5 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $14 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $14 x - 2$ gilt m = $14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 5 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 5 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 5 e^{x}

=

14

|

- 14

e^{2 x} - 5 e^{x} - 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $14 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 7 x} - 4) \cdot (x^{2} - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 7 x} - 4) \cdot (x^{2} - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 7 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$9 e^{- 7 x}$	=	$4$	\|: $9$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 0.1158

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{4}{9})$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{3 x}{3 x - 4} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{x + 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{6 x}{x + 1} - 7$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{6 x}{x + 1} \cdot (3 x - 4) - 7 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x + \frac{6 x \cdot (3 x - 4)}{x + 1} - 21 x + 28$	=
$3 x + \frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} - 21 x + 28$	=
$\frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} + 3 x - 21 x + 28$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} + 3 x - 21 x + 28$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{18 x^{2} - 24 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 21 x \cdot (x + 1) + 28 \cdot (x + 1)$	=
$18 x^{2} - 24 x + 3 x \cdot (x + 1) - 21 x \cdot (x + 1) + 28 x + 28$	=
$18 x^{2} - 24 x + (3 x^{2} + 3 x) + (- 21 x^{2} - 21 x) + 28 x + 28$	=
$- 14 x + 28$	=

$- 14 x + 28$	=	0	\| $- 28$
$- 14 x$	=	$- 28$	\|:( $- 14$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x + 1 | + 9$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x + 1 \| + 9$	=	$11$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| - x + 1 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| - x + 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

$- x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 5) + 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 1$ < 0:

$- (- x + 1)$	=	$6$
$x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ < 0) genügt:

$- 7 + 1$ = -6 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{4} - 3 x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$t x^{4} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (t x^{2} - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$t x^{2} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$t x^{2}$	=	$3$	\|: $t$
$x^{2}$	=	$3 \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(3 \cdot \frac{1}{t})}$	= $- 1,7321 \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₃	=	$\sqrt{(3 \cdot \frac{1}{t})}$	= $1,7321 \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- 3 x^{2}$	=	$0$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +1 ≥ 0:

2. Fall: -x +1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 1$ < 0: