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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 18 x$ und $g(x) =$ $- \frac{81}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 18 x$	=	$- \frac{81}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 18 x \cdot x$	=	$- \frac{81}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 18 x \cdot x$	=	$- 81$
$x^{4} - 18 x^{2}$	=	$- 81$

x^{4} - 18 x^{2}

=

- 81

|

+ 81

x^{4} - 18 x^{2} + 81

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 18 u + 81$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 81$ = $81$ $-$ $81$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $9$ ± 0 = $9$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{81}{(- 3)}$ = 27 Somit gilt: S₁( $- 3$ |27)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{81}{3}$ = -27 Somit gilt: S₂( $3$ |-27)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 4 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 4 + 12 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $12 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$12 e^{\frac{1}{4} x} - 2 + 2 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$12 e^{\frac{1}{4} x} + 3 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(5 e^{- 5 x} - 2) \cdot (x - 2)$ = 0

Lösung einblenden

(5 e^{- 5 x} - 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$5 e^{- 5 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$5 e^{- 5 x}$	=	$2$	\|: $5$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 0.1833

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={ $- \frac{1}{5} \ln (\frac{2}{5})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{x}{3 x + 6} + \frac{6 x}{- 9 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{6 x}{- 9 x - 18}$	=	0
$\frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{6 x}{- 9 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{6 x}{- 9 (x + 2)}$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{6 x}{- 9 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=
$x + 3 \frac{(x + 1) (x + 2)}{3 x + 7} - 2 x$	=
$x + \frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} - 2 x$	=
$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} + x - 2 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} + x - 2 x$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{3 (x^{2} + 3 x + 2)}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + x \cdot (3 x + 7) - 2 x \cdot (3 x + 7)$	=
$3 x^{2} + 9 x + 6 + x (3 x + 7) - 2 x (3 x + 7)$	=
$3 x^{2} + 9 x + 6 + (3 x^{2} + 7 x) + (- 6 x^{2} - 14 x)$	=
$2 x + 6$	=

$2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 29 \cdot 1^{2} + 13 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $32 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{32}{3} x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{3})}^{2} - 15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{16}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{16}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{27}{3}$ = -9

x₂ = $- \frac{16}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 29 \cdot {(- 9)}^{2} + 13 \cdot (- 9) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 13 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 5 x$	$- 45$
		-( $- 5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 13 x - 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 4 | + 7$ = $31$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \| + 7$	=	$31$	\| $- 7$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$48$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$44$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 11) + 4$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$48$
$4 x - 4$	=	$48$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 13 + 4$ = -48 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $13$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 x^{5} - 5 t x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 x^{5} - 5 t x^{3}$	=	0
$- 5 x^{3} (x^{2} + t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$x^{2}$	=	$- 1 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- 1 t)}$	= $- \sqrt{(- t)}$
x₃	=	$\sqrt{(- 1 t)}$	= $\sqrt{(- t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: