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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 4 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 4 e^{- x}

=

- 3

|

+ 3

e^{x} - 4 e^{- x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 4 e^{- x} + 3$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 4$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 3$ Somit gilt: S₁(0|-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{5}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 4$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{5}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 5 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 5 e^{3 x}

=

6

|

- 6

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{- 2 x} + 6) \cdot (x^{2} + 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{- 2 x} + 6) \cdot (x^{2} + 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{- 2 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 6 e^{- 2 x}$	=	$- 6$	\|: $- 6$
$e^{- 2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	0	\|: $- 2$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x - 1}{3 x} - 3$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x - 1}{3 x} \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$	=
$8 x - 1 - 9 x$	=
$- x - 1$	=

$- x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{3} - 62 x^{2} - 192 x - 128$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 3 x^{3} - 62 x^{2} - 192 x - 128$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 128$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 3 \cdot {(- 1)}^{3} - 62 \cdot {(- 1)}^{2} - 192 \cdot (- 1) - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$	$- 62 x^{2}$	$- 192 x$	$- 128$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$2 x^{3}$	$- 62 x^{2}$
	-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 64 x^{2}$	$- 192 x$
		-( $- 64 x^{2}$	$- 64 x$ )
			$- 128 x$	$- 128$
			-( $- 128 x$	$- 128$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 3 x^{3} - 62 x^{2} - 192 x - 128$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 128$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 64 \cdot (- 2) - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 64 x$	$- 128$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 64$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- 64 x$
	-(0	0)
		$- 64 x$	$- 128$
		-( $- 64 x$	$- 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = $(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 64) \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 2 \cdot {(- 8)}^{2} - 64 \cdot (- 8) - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 64 x$	$- 128$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$- 16 x$	$- 128$
		-( $- 16 x$	$- 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} + 2 \cdot 8^{2} - 64 \cdot 8 - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 64 x$	$- 128$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 80 x$ )
		$16 x$	$- 128$
		-( $16 x$	$- 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 64 x - 128$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 8$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 8 | - 1$ = $15$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \| - 1$	=	$15$	\| $+ 1$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$32$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$32$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) + 8$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$32$
$4 x - 8$	=	$32$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 10 + 8$ = -32 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + x + 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + x + 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + x + 2 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + x + 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 - 8 t$ = 0 wird.

$1 - 8 t$	=	0
$- 8 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 8 t$	=	$- 1$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{1}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{8}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 - 8 \cdot 1$ = -7 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 - 8 t$ für t > $\frac{1}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{8}$ größer 0

Für t < $\frac{1}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: