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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $6$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 5 e^{2 x}

=

6

|

- 6

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $6$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x + 5$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 4 e^{3 x}

=

12

|

- 12

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 7 x} + 7) \cdot (x^{4} - 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 7 x} + 7) (x^{4} - 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 7 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 8 e^{- 7 x}$	=	$- 7$	\|: $- 8$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 0.0191

2. Fall:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{7}{8})$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{- 3 x}{4 x - 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{5}{2}$ }

$\frac{x - 1}{3 x - 9} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - \frac{3 x}{4 x - 10}$	=	0
$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - \frac{3 x}{2 (2 x - 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - \frac{3 x}{2 (2 x - 5)}$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x - 1}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{x - 1}{2 x - 5} \cdot (3 (x - 3)) - \frac{3 x}{2 (2 x - 5)} \cdot (3 (x - 3))$	=
$x - 1 + 3 \frac{(x - 1) (x - 3)}{2 x - 5} - 3 \frac{3 x (x - 3)}{2 (2 x - 5)}$	=
$x - 1 + \frac{3 (x^{2} - 4 x + 3)}{2 x - 5} - \frac{3 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (2 x - 5)}$	=
$- \frac{3 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (2 x - 5)} + \frac{3 (x^{2} - 4 x + 3)}{2 x - 5} + x - 1$	=

\frac{3 (x^{2} - 4 x + 3)}{2 x - 5} - \frac{3 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (2 x - 5)} + x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (2 x - 5)$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - 4 x + 3)}{2 x - 5} - \frac{3 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (2 x - 5)} + x - 1$	=	\|⋅( $2 (2 x - 5)$ )
$\frac{3 (x^{2} - 4 x + 3)}{2 x - 5} \cdot (2 (2 x - 5)) - \frac{3 (3 x^{2} - 9 x)}{2 (2 x - 5)} \cdot (2 (2 x - 5)) + x \cdot (2 (2 x - 5)) - 1 \cdot (2 (2 x - 5))$	=
$6 x^{2} - 24 x + 18 - 9 x^{2} + 27 x + 2 x (2 x - 5) - 4 x + 10$	=
$6 x^{2} - 24 x + 18 - 9 x^{2} + 27 x + (4 x^{2} - 10 x) - 4 x + 10$	=
$x^{2} - 11 x + 28$	=

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $7$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 8 | + 6$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 8 \| + 6$	=	$- 4$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 8 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$- 20$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 x - 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 8 t$ = 0 wird.

$16 + 8 t$	=	0
$8 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$8 t$	=	$- 16$	\|: $8$
$t$	=	$- 2$

Für t = $- 2$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter