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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 4$ und $g(x) =$ $\frac{12}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 4 \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 4 x$	=	$12$
$x^{2} - 4 x$	=	$12$

x^{2} - 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{12}{(- 2)}$ = -6 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-6)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $\frac{12}{6}$ = 2 Somit gilt: S₂( $6$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 4 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 5$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 4 + 12 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (x^{2} + 6 x) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 3} + \frac{4 x - 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $3$ }

- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{4 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 3}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{4 x - 1}{x} \cdot 2 x + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{x - 3} \cdot 2 x$	=
$- 8 x + 2 + 7 x - 1 + 2 \frac{4 x \cdot x}{x - 3}$	=
$- 8 x + 2 + 7 x - 1 + \frac{8 x^{2}}{x - 3}$	=
$\frac{8 x^{2}}{x - 3} - 8 x + 7 x + 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x^{2}}{x - 3} - 8 x + 7 x + 2 - 1$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x^{2}}{x - 3} \cdot (x - 3) - 8 x \cdot (x - 3) + 7 x \cdot (x - 3) + 2 \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$	=
$8 x^{2} - 8 x \cdot (x - 3) + 7 x \cdot (x - 3) + 2 x - 6 - x + 3$	=
$8 x^{2} + (- 8 x^{2} + 24 x) + (7 x^{2} - 21 x) + 2 x - 6 - x + 3$	=
$7 x^{2} + 4 x - 3$	=

$7 x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{14}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{14}$ = $\frac{- 4+10}{14}$ = $\frac{6}{14}$ = $\frac{3}{7}$ ≈ 0.43

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{14}$ = $\frac{- 4-10}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{4}{7} x - \frac{3}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{7})}^{2} - (- \frac{3}{7})$ = $\frac{4}{49}$ $+$ $\frac{3}{7}$ = $\frac{4}{49}$ $+$ $\frac{21}{49}$ = $\frac{25}{49}$

x_1,2 = $- \frac{2}{7}$ ± $\sqrt{\frac{25}{49}}$

x₁ = $- \frac{2}{7}$ - $\frac{5}{7}$ = $- \frac{7}{7}$ = -1

x₂ = $- \frac{2}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{3}{7}$ = 0.42857142857143

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{3}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 98$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 16 \cdot 2^{2} + 77 \cdot 2 - 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 77 x$	$- 98$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 14 x + 49$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$49 x$	$- 98$
		-( $49 x$	$- 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = $(x^{2} - 14 x + 49) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 14 x + 49) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 16 \cdot 7^{2} + 77 \cdot 7 - 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$+ 77 x$	$- 98$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$14 x$	$- 98$
		-( $14 x$	$- 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 16 x^{2} + 77 x - 98$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $2$ ; $7$ }

$7$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 20 | + 4$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 20 \| + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 20 \|$	=	$8$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 20 \|$	=	$16$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

$4 x - 20$	=	$16$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 20$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 20$ < 0:

$- (4 x - 20)$	=	$16$
$- 4 x + 20$	=	$16$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot 1 - 20$ = -16 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x + 4 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x + 4 t)$ = 0

$x^{2} + 5 x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 16 t$	=	$- 29$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{29}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{29}{16}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $25 + (- 16 \cdot 3 + 4)$ = -19 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + (- 16 t + 4)$ für t > $\frac{29}{16}$ kleiner 0 und für t < $\frac{29}{16}$ größer 0

Für t < $\frac{29}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -20 ≥ 0:

2. Fall: 4x -20 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 20$ < 0: