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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $42 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- e^{- x} + 1

=

42 e^{- 2 x}

|

- 42 e^{- 2 x}

- e^{- x} - 42 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- e^{- x} - 42 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 42$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $42 e^{- 2 \cdot (\ln (7))}$ = 0.857 Somit gilt: S₁( $\ln (7)$ |0.857)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 3 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 3 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $3 e^{2 x} - 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{2 x} - 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{2 x} - 1 + 1 + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$3 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{2 x} - 3) \cdot (x^{4} - 16 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{2 x} - 3) (x^{4} - 16 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{2 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{2 x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{2 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.1438

2. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{4})$ ; 0; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 3$ }

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 5$	=	0
$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 x + 8) - 5 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 1) (3 x + 8)}{3 (x + 3)} - 15 x - 40$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} - 15 x - 40$	=
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} + 2 x - 15 x - 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} + 2 x - 15 x - 40$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 2 x \cdot (3 (x + 3)) - 15 x \cdot (3 (x + 3)) - 40 \cdot (3 (x + 3))$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + 6 x (x + 3) - 45 x (x + 3) - 120 x - 360$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + (6 x^{2} + 18 x) + (- 45 x^{2} - 135 x) - 120 x - 360$	=
$- 33 x^{2} - 224 x - 368$	=

$- 33 x^{2} - 224 x - 368$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 224 \pm \sqrt{{(- 224)}^{2} - 4 \cdot (- 33) \cdot (- 368)}}{2 \cdot (- 33)}$

x_1,2 = $\frac{+ 224 \pm \sqrt{50 176 - 48 576}}{- 66}$

x_1,2 = $\frac{+ 224 \pm \sqrt{1 600}}{- 66}$

x₁ = $\frac{224 + \sqrt{1 600}}{- 66}$ = $\frac{224+40}{- 66}$ = $\frac{264}{- 66}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{224 - \sqrt{1 600}}{- 66}$ = $\frac{224-40}{- 66}$ = $\frac{184}{- 66}$ = $- \frac{92}{33}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 33$ " teilen:

$- 33 x^{2} - 224 x - 368$ = 0 |: $- 33$

$x^{2} + \frac{224}{33} x + \frac{368}{33}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{112}{33})}^{2} - (\frac{368}{33})$ = $\frac{12544}{1089}$ $-$ $\frac{368}{33}$ = $\frac{12544}{1089}$ $-$ $\frac{12144}{1089}$ = $\frac{400}{1089}$

x_1,2 = $- \frac{112}{33}$ ± $\sqrt{\frac{400}{1089}}$

x₁ = $- \frac{112}{33}$ - $\frac{20}{33}$ = $- \frac{132}{33}$ = -4

x₂ = $- \frac{112}{33}$ + $\frac{20}{33}$ = $- \frac{92}{33}$ = -2.7878787878788

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{92}{33}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 11 x^{3} + 26 x^{2} - 44 x - 120$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 11 x^{3} + 26 x^{2} - 44 x - 120$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 120$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 11 \cdot {(- 2)}^{3} + 26 \cdot {(- 2)}^{2} - 44 \cdot (- 2) - 120$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 11 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$- 44 x$	$- 120$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$- 44 x$
		-( $8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
			$- 60 x$	$- 120$
			-( $- 60 x$	$- 120$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 11 x^{3} + 26 x^{2} - 44 x - 120$ = $(x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$30 x$	$- 60$
		-( $30 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ = $(x^{2} + 11 x + 30) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 11 x + 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 9 \cdot {(- 5)}^{2} + 8 \cdot (- 5) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 12 x$	$- 60$
		-( $- 12 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 9 \cdot {(- 6)}^{2} + 8 \cdot (- 6) - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 10 x$	$- 60$
		-( $- 10 x$	$- 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 8 x - 60$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 6$ ; $- 5$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 4 | - 9$ = $- 7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x - 4 \| - 9$	=	$- 7$	\| $+ 9$
$\frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$2$	\|⋅ $2$
$\| - x - 4 \|$	=	$4$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

$- x - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
$- x$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 8) - 4$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 4$ < 0:

$- (- x - 4)$	=	$4$
$x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ < 0) genügt:

$- 0 - 4$ = -4 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 x^{5} - 4 t x^{3}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 x^{5} - 4 t x^{3}$	=	0
$- x^{3} (5 x^{2} + 4 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$5 x^{2} + 4 t$	=	0	\| - ( $4 t$ )
$5 x^{2}$	=	$- 4 t$	\|: $5$
$x^{2}$	=	$- \frac{4}{5} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$	= $- \sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$	= $\sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -4 ≥ 0:

2. Fall: -x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 4$ < 0: