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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 42$ und $g(x) =$ $e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 42

=

e^{3 x}

|

- e^{3 x}

e^{6 x} - e^{3 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 7 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |7)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $4 e^{- 3 x} - 1 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 3 x} - 1 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{- 3 x} - 1 + 1 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 e^{- 3 x} - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 (- 3 x + 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{3 x} + 5) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{3 x} + 5) (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{3 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 9 e^{3 x}$	=	$- 5$	\|: $- 9$
$e^{3 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.1959

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{9})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{- 27 x}{6 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} - \frac{27 x}{6 x + 3}$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} - \frac{27 x}{3 (2 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{6 x}{2 x + 1} - \frac{27 x}{3 (2 x + 1)}$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (3 x + 1) - \frac{27 x}{3 (2 x + 1)} \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x + \frac{6 x (3 x + 1)}{2 x + 1} - \frac{9 x (3 x + 1)}{2 x + 1}$	=
$4 x + \frac{18 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} - \frac{27 x^{2} + 9 x}{2 x + 1}$	=
$\frac{18 x^{2} + 6 x - 27 x^{2} - 9 x}{2 x + 1} + 4 x$	=

\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 6 x - 9 x}{2 x + 1} + 4 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 6 x - 9 x}{2 x + 1} + 4 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 6 x - 9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 4 x \cdot (2 x + 1)$	=
$18 x^{2} - 27 x^{2} + 6 x - 9 x + 4 x (2 x + 1)$	=
$18 x^{2} - 27 x^{2} + 6 x - 9 x + (8 x^{2} + 4 x)$	=
$- x^{2} + x$	=

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 8 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - x - 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x - 4 | + 5$ = $21$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \| + 5$	=	$21$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| - 4 x - 4 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x - 4 \|$	=	$32$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

$- 4 x - 4$	=	$32$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 9) - 4$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0:

$- (- 4 x - 4)$	=	$32$
$4 x + 4$	=	$32$	\| $- 4$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 - 4$ = -32 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 t x^{4} + 2 x^{2}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 t x^{4} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (- 5 t x^{2} + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- 5 t x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 5 t x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 5 t)$
$x^{2}$	=	$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \frac{1,4142}{2,2361} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\frac{1,4142}{2,2361} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$2 x^{2}$	=	$0$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -4 ≥ 0:

2. Fall: -4x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- 4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 4$ < 0: