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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 9 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 9 e^{- 2 x}$	=	$6 e^{x}$	\| $- 6 e^{x}$
$e^{4 x} - 6 e^{x} + 9 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 9) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

$\frac{1}{3} \ln (3)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $6 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = 8.653 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |8.653)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 4 + 4 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{x} + 8 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 (x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 15$ = $8 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} + 15

=

8 e^{3 x}

|

- 8 e^{3 x}

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{- 15 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{6 x - 15 x}{x - 2} + \frac{9 x}{2 x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x - 15 x}{x - 2} + \frac{9 x}{2 x - 1}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x - 15 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (x - 2)$	=
$6 x - 15 x + \frac{9 x (x - 2)}{2 x - 1}$	=
$6 x - 15 x + \frac{9 x^{2} - 18 x}{2 x - 1}$	=
$\frac{9 x^{2} - 18 x}{2 x - 1} + 6 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 18 x}{2 x - 1} + 6 x - 15 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 18 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 6 x \cdot (2 x - 1) - 15 x \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} - 18 x + 6 x (2 x - 1) - 15 x (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} - 18 x + (12 x^{2} - 6 x) + (- 30 x^{2} + 15 x)$	=
$- 9 x^{2} - 9 x$	=

$- 9 x^{2} - 9 x$	=	0
$- 9 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x - 9 | + 7$ = $16$

Lösung einblenden

$\| - 3 x - 9 \| + 7$	=	$16$	\| $- 7$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$9$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

$- 3 x - 9$	=	$9$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 6) - 9$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0:

$- (- 3 x - 9)$	=	$9$
$3 x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 0 - 9$ = -9 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 4 x^{5} + 5 t x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 4 x^{5} + 5 t x^{3}$	=	0
$x^{3} (- 4 x^{2} + 5 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- 4 x^{2} + 5 t$	=	0	\| - ( $5 t$ )
$- 4 x^{2}$	=	$- 5 t$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{5}{4} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{5}{4} t)}$	= $- \frac{2,2361}{2} \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{5}{4} t)}$	= $\frac{2,2361}{2} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -9 ≥ 0:

2. Fall: -3x -9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0: