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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 1$ und $g(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 1

=

2 e^{- 2 x}

|

- 2 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + e^{2 x} - 2$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $2 e^{- 2 \cdot 0}$ = 2 Somit gilt: S₁(0|2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x + 3$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{8}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 8 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 8 e^{3 x}

=

- 12

|

+ 12

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{2} - 63$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} - 2 x^{2} - 63

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{- 4 x + 2}{3 x - 10}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $\frac{8}{3}$ }

\frac{- 4 x + 2 + 2 x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{3 x - 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{- 4 x + 2 + 2 x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{3 x - 8}$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{- 4 x + 2 + 2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{3 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 10)$	=
$- 4 x + 2 + 2 x + \frac{3 x \cdot (3 x - 10)}{3 x - 8}$	=
$- 4 x + 2 + 2 x + \frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8}$	=
$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} - 4 x + 2 x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} - 4 x + 2 x + 2$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{9 x^{2} - 30 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) - 4 x \cdot (3 x - 8) + 2 x \cdot (3 x - 8) + 2 \cdot (3 x - 8)$	=
$9 x^{2} - 30 x - 4 x \cdot (3 x - 8) + 2 x \cdot (3 x - 8) + 6 x - 16$	=
$9 x^{2} - 30 x + (- 12 x^{2} + 32 x) + (6 x^{2} - 16 x) + 6 x - 16$	=
$3 x^{2} - 8 x - 16$	=

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8+16}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8-16}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 7 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 8 | - 3$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 8 \| - 3$	=	$1$	\| $+ 3$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 8 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$8$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

$4 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 0 + 8$ = 8 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 8$ < 0:

$- (4 x + 8)$	=	$8$
$- 4 x - 8$	=	$8$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) + 8$ = -8 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $5 t x^{2} - 4$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$5 t x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 t x^{2}$	=	$4$	\|: $5 t$
$x^{2}$	=	$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \frac{2}{2,2361} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\frac{2}{2,2361} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- 4$	=	0	\| $+ 4$
0	=	$4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t > 0 gibt es also 2 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +8 ≥ 0:

2. Fall: 4x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 8$ < 0: