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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 16$ und $g(x) =$ $8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 16

=

8 x^{2}

|

- 8 x^{2}

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $8 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |32)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2^{2}$ = 32 Somit gilt: S₂( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $63 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $63 x$ gilt m = $63$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 2 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 2 x^{2}

=

63

|

- 63

x^{4} - 2 x^{2} - 63

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $63$ und sind somit parallel zur Geraden y = $63 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 11 e^{3 x}$ = $- 28 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 11 e^{3 x}$	=	$- 28 e^{2 x}$	\| $+ 28 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 11 e^{3 x} + 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 11 e^{x} + 28) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 11 e^{x} + 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{6 x}{- 3 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{- 3 x - 4}$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{- (3 x + 4)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{- (3 x + 4)}$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + \frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (3 x + 4) + \frac{6 x}{- (3 x + 4)} \cdot (3 x + 4)$	=
$4 x + \frac{3 x \cdot (3 x + 4)}{2 x + 1} - 6 x$	=
$4 x + \frac{9 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} - 6 x$	=
$\frac{9 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} + 4 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} + 4 x - 6 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x^{2} + 12 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 4 x \cdot (2 x + 1) - 6 x \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x^{2} + 12 x + 4 x \cdot (2 x + 1) - 6 x \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x^{2} + 12 x + (8 x^{2} + 4 x) + (- 12 x^{2} - 6 x)$	=
$5 x^{2} + 10 x$	=

$5 x^{2} + 10 x$	=	0
$5 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 38 \cdot {(- 2)}^{2} + 109 \cdot (- 2) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 32 x + 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$32 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $32 x^{2}$	$+ 64 x$ )
		$45 x$	$+ 90$
		-( $45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 32 x + 45) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 45}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32+22}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 32-22}{6}$ = $\frac{- 54}{6}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 32 x + 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{32}{3} x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{3})}^{2} - 15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $15$ = $\frac{256}{9}$ $-$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{16}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{16}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{27}{3}$ = -9

x₂ = $- \frac{16}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 9)}^{3} + 38 \cdot {(- 9)}^{2} + 109 \cdot (- 9) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 38 x^{2}$	$+ 109 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 27 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 109 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 99 x$ )
		$10 x$	$+ 90$
		-( $10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 38 x^{2} + 109 x + 90$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 9)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x + 1 | + 5$ = $10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x + 1 \| + 5$	=	$10$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| x + 1 \|$	=	$5$	\|⋅ $2$
$\| x + 1 \|$	=	$10$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$10$	\| $- 1$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$9 + 1$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$10$
$- x - 1$	=	$10$	\| $+ 1$
$- x$	=	$11$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 11 + 1$ = -10 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 4 t x - t) \cdot e^{- x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 4 t x - t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 4 t x - t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 4 t x - t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 4 t x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{{(- 4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 4 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 4 t$	=	0
$4 t \cdot (4 t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$4 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$4 t$	=	$- 1$	\|: $4$
t₂	=	$- \frac{1}{4}$ = -0.25

Da bei $16 t^{2} + 4 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} + 4 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- \frac{1}{4}$ < t < $0$ , also für t > $- \frac{1}{4}$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: