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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + 15 e^{x}$ und $g(x) =$ $8 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + 15 e^{x}$	=	$8 e^{2 x}$	\| $- 8 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 8 e^{2 x} + 15 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 8 e^{x} + 15) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 8 e^{x} + 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $8 e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = 72 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |72)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $8 e^{2 \cdot (\ln (5))}$ = 200 Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |200)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} - 7 x^{5} - 8 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} - 7 x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{6} - 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} - 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 3} + \frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{60 x}{- 6 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 3$ }

$\frac{12 x}{2 x + 2} + \frac{8 x}{x + 3} + \frac{60 x}{- 6 x - 6}$	=	0
$\frac{12 x}{2 (x + 1)} + \frac{8 x}{x + 3} + \frac{60 x}{- 6 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{2 (x + 1)} + \frac{8 x}{x + 3} + \frac{60 x}{- 6 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{12 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{8 x}{x + 3} \cdot (x + 1) + \frac{60 x}{- 6 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{8 x \cdot (x + 1)}{x + 3} - 10 x$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} - 10 x$	=
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} + 6 x - 10 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} + 6 x - 10 x$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 6 x \cdot (x + 3) - 10 x \cdot (x + 3)$	=
$8 x^{2} + 8 x + 6 x \cdot (x + 3) - 10 x \cdot (x + 3)$	=
$8 x^{2} + 8 x + (6 x^{2} + 18 x) + (- 10 x^{2} - 30 x)$	=
$4 x^{2} - 4 x$	=

$4 x^{2} - 4 x$	=	0
$4 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 10 \cdot (- 2) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 10 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 10 x$
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 12 x$	$- 24$
		-( $- 12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ = $(x^{2} + x - 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 12) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 3 \cdot 3^{2} - 10 \cdot 3 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 10 x$	$- 24$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$8 x$	$- 24$
		-( $8 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 3 \cdot {(- 4)}^{2} - 10 \cdot (- 4) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 10 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 6 x$	$- 24$
		-( $- 6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - x - 6) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 2 | + 5$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \| + 5$	=	$- 7$	\| $- 5$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$24$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$26$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 13) - 2$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$24$
$2 x + 2$	=	$24$	\| $- 2$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 11 - 2$ = -24 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x - 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x - 2 t)$ = 0

$x^{2} + x - 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x - 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + (- 2 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 8 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 8 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 8 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 8 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 8 t + 4$	=	0
$8 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$8 t$	=	$- 5$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{5}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{8}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $1 + (8 \cdot 0 + 4)$ = 5 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 8 t + 4$ für t > $- \frac{5}{8}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{8}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{5}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: