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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 9 x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 3$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₃( $3$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x - 6$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} + 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{2 x} - 6) \cdot (x^{3} - 5 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{2 x} - 6) \cdot (x^{3} - 5 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{2 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$8 e^{2 x}$	=	$6$	\|: $8$
$e^{2 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.1438

2. Fall:

$x^{3} - 5 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{4})$ ; 0; $5$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{x + 1}{2 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{x + 1}{2 x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{x + 1}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{x + 1}{2 x} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x + \frac{(x + 1) \cdot (3 x - 1)}{2 x} - 12 x + 4$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} - 12 x + 4$	=
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 6 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} + 6 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 12 x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 + 12 x \cdot x - 24 x \cdot x + 8 x$	=
$3 x^{2} + 2 x - 1 + 12 x^{2} - 24 x^{2} + 8 x$	=
$- 9 x^{2} + 10 x - 1$	=

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10+8}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10-8}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{10}{9} x + \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{9})}^{2} - (\frac{1}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{16}{81}$

x_1,2 = $\frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{16}{81}}$

x₁ = $\frac{5}{9}$ - $\frac{4}{9}$ = $\frac{1}{9}$ = 0.11111111111111

x₂ = $\frac{5}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{9}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} - 16 x^{2} - 68 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 5 x^{3} - 16 x^{2} - 68 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 5 \cdot {(- 1)}^{3} - 16 \cdot {(- 1)}^{2} - 68 \cdot (- 1) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 68 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 16 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 20 x^{2}$	$- 68 x$
		-( $- 20 x^{2}$	$- 20 x$ )
			$- 48 x$	$- 48$
			-( $- 48 x$	$- 48$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} - 16 x^{2} - 68 x - 48$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 20 \cdot (- 2) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 20 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 24$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 24 x$	$- 48$
		-( $- 24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = $(x^{2} + 2 x - 24) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 24) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4 \cdot 4^{2} - 20 \cdot 4 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 20 x$	$- 48$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$12 x$	$- 48$
		-( $12 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 4 \cdot {(- 6)}^{2} - 20 \cdot (- 6) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 20 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 8 x$	$- 48$
		-( $- 8 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 20 x - 48$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 4 | + 8$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \| + 8$	=	$- 4$	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$24$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 5) + 4$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$24$
$4 x - 4$	=	$24$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 + 4$ = -24 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 t x^{2} - 4$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 t x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- 5 t x^{2}$	=	$4$	\|: $(- 5 t)$
$x^{2}$	=	$- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{4}{5 t})}$
x₂	=	$\sqrt{(- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{4}{5 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- 4$	=	0	\| $+ 4$
0	=	$4$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t < 0 gibt es also 2 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: