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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - e^{2 x}$ und $g(x) =$ $20$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

20

|

- 20

e^{4 x} - e^{2 x} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $20$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 3 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 3 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$2 e^{3 x} - 1 + 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{2 x} - 18$ = $- e^{4 x}$

Lösung einblenden

3 e^{2 x} - 18

=

- e^{4 x}

|

+ e^{4 x}

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{4 x}{3 x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{7 x - 2}{2 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{7 x - 2}{2 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{7 x - 2}{2 x} \cdot (3 x + 2) - 6 \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{(7 x - 2) (3 x + 2)}{2 x} - 18 x - 12$	=
$4 x + \frac{21 x^{2} + 8 x - 4}{2 x} - 18 x - 12$	=
$\frac{21 x^{2} + 8 x - 4}{2 x} + 4 x - 18 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x^{2} + 8 x - 4}{2 x} + 4 x - 18 x - 12$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x^{2} + 8 x - 4}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 18 x \cdot 2 x - 12 \cdot 2 x$	=
$21 x^{2} + 8 x - 4 + 8 x \cdot x - 36 x \cdot x - 24 x$	=
$21 x^{2} + 8 x - 4 + 8 x^{2} - 36 x^{2} - 24 x$	=
$- 7 x^{2} - 16 x - 4$	=

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 112}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{144}}{- 14}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16+12}{- 14}$ = $\frac{28}{- 14}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{144}}{- 14}$ = $\frac{16-12}{- 14}$ = $\frac{4}{- 14}$ = $- \frac{2}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 16 x - 4$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{16}{7} x + \frac{4}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{7})}^{2} - (\frac{4}{7})$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{4}{7}$ = $\frac{64}{49}$ $-$ $\frac{28}{49}$ = $\frac{36}{49}$

x_1,2 = $- \frac{8}{7}$ ± $\sqrt{\frac{36}{49}}$

x₁ = $- \frac{8}{7}$ - $\frac{6}{7}$ = $- \frac{14}{7}$ = -2

x₂ = $- \frac{8}{7}$ + $\frac{6}{7}$ = $- \frac{2}{7}$ = -0.28571428571429

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 8 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 8 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 8 x - 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 4 | + 1$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 4 \| + 1$	=	$- 2$	\| $- 1$
$- \frac{1}{2} \| - x - 4 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

$- x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- (- 10) - 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 4$ < 0:

$- (- x - 4)$	=	$6$
$x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 - 4$ = -6 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 3 x + 3 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 - 12 t$ = 0 wird.

$9 - 12 t$	=	0
$- 12 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 12 t$	=	$- 9$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{3}{4}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $9 - 12 \cdot 2$ = -15 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 - 12 t$ für t > $\frac{3}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{3}{4}$ größer 0

Für t < $\frac{3}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -4 ≥ 0:

2. Fall: -x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 4$ < 0: