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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 42$ und $g(x) =$ $- x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 42

=

- x

|

+ x

$x^{2} + x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $- 7$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 7$ : f( $- 7$ )= $- (- 7)$ = 7 Somit gilt: S₁( $- 7$ |7)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $- 6$ = -6 Somit gilt: S₂( $6$ |-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{5}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 6 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6 x - 1$ gilt m = $- 6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{5}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 5 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 5 e^{2 x}

=

- 6

|

+ 6

e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 14 e^{4 x} + 49 e^{x}$ = $- e^{7 x}$

Lösung einblenden

$- 14 e^{4 x} + 49 e^{x}$	=	$- e^{7 x}$	\| $+ e^{7 x}$
$e^{7 x} - 14 e^{4 x} + 49 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 14 e^{3 x} + 49) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 14 e^{3 x} + 49

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

$\frac{1}{3} \ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 3}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x + 3}{x} - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x + 3}{x} \cdot x - 4 \cdot x$	=
$3 x + 3 - 4 x$	=
$- x + 3$	=

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2} + 28 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2} + 28 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 7 \cdot {(- 1)}^{3} - 12 \cdot {(- 1)}^{2} + 28 \cdot (- 1) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$	$- 12 x^{2}$	$+ 28 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$- 12 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 28 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
			$32 x$	$+ 32$
			-( $32 x$	$+ 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 7 x^{3} - 12 x^{2} + 28 x + 32$ = $(x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$16 x$	$+ 32$
		-( $16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 16 x$	$+ 32$
		-( $- 16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 8 \cdot 8^{2} - 4 \cdot 8 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 32$
		-( $- 4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 32$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 8)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 8)$	=	0
$(x^{2} - 4) \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x - 4 | + 5$ = $15$

Lösung einblenden

$\| - 2 x - 4 \| + 5$	=	$15$	\| $- 5$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$10$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$10$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 7) - 4$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$10$
$2 x + 4$	=	$10$	\| $- 4$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 3 - 4$ = -10 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x + 4 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x + 4 t)$ = 0

$x^{2} + x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$1 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 16 t$	=	$- 5$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{5}{16}$

Für t = $\frac{5}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: