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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 10 x^{4}$ und $g(x) =$ $- 9 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 10 x^{4}$	=	$- 9 x^{2}$	\| $+ 9 x^{2}$
$x^{6} - 10 x^{4} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 10 x^{2} + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 10 x^{2} + 9

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 10\pm\sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10\pm\sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10\pm\sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- 9 \cdot {(- 3)}^{2}$ = -81 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-81)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-9)

x₃ = 0: f(0)= $- 9 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₃(0|-0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $- 9 \cdot 1^{2}$ = -9 Somit gilt: S₄( $1$ |-9)

x₅ = $3$ : f( $3$ )= $- 9 \cdot 3^{2}$ = -81 Somit gilt: S₅( $3$ |-81)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 3$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + e^{2 x}

=

30

|

- 30

e^{4 x} + e^{2 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + e^{3 x} - 42 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + e^{3 x} - 42 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 42) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1\pm\sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x} + \frac{6 x}{x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{6 x}{x - 1} - 5 - \frac{2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} - 5 - \frac{2}{x}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1) - \frac{2}{x} \cdot (x - 1)$	=
$6 x - 5 x + 5 - 2 \frac{x - 1}{x}$	=
$- 2 \frac{x - 1}{x} + 6 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 2 \frac{x - 1}{x} + 6 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $x$ )
$- 2 \frac{x - 1}{x} \cdot x + 6 x \cdot x - 5 x \cdot x + 5 \cdot x$	=
$- 2 x + 2 + 6 x \cdot x - 5 x \cdot x + 5 x$	=
$- 2 x + 2 + 6 x^{2} - 5 x^{2} + 5 x$	=
$x^{2} + 3 x + 2$	=

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3\pm\sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3\pm\sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3\pm\sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x - 6 | - 7$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x - 6 \| - 7$	=	$11$
$- 7 + \frac{1}{3} \| 3 x - 6 \|$	=	$11$	\| $+ 7$
$\frac{1}{3} \| 3 x - 6 \|$	=	$18$	\|⋅ $3$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$54$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$54$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$60$	\|: $3$
x₁	=	$20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 20 - 6$ = 54 ≥ 0

Die Lösung $20$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$54$
$- 3 x + 6$	=	$54$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$48$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 16) - 6$ = -54 < 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $20$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: