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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 2 e^{x}$ und $g(x) =$ $3$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 2 e^{x}

=

3

|

- 3

e^{2 x} + 2 e^{x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $3$ Somit gilt: S₁(0|3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $4 e^{- 2 x} - 1 - 8 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 2 x} - 1 - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$4 e^{- 2 x} - 1 + 1 - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 e^{- 2 x} - 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 64$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{11 x - 1}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $2$ }

\frac{5 x - 1 - 11 x + 1}{2 x} + \frac{9 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x - 1 - 11 x + 1}{2 x} + \frac{9 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x - 1 - 11 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{9 x}{x - 2} \cdot 2 x$	=
$5 x - 1 - 11 x + 1 + 2 \frac{9 x \cdot x}{x - 2}$	=
$5 x - 1 - 11 x + 1 + \frac{18 x^{2}}{x - 2}$	=
$\frac{18 x^{2}}{x - 2} + 5 x - 11 x - 1 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{18 x^{2}}{x - 2} + 5 x - 11 x - 1 + 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{18 x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 2) + 5 x \cdot (x - 2) - 11 x \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (x - 2)$	=
$18 x^{2} + 5 x (x - 2) - 11 x (x - 2) - x + 2 + x - 2$	=
$18 x^{2} + (5 x^{2} - 10 x) + (- 11 x^{2} + 22 x) - x + 2 + x - 2$	=
$12 x^{2} + 12 x$	=

$12 x^{2} + 12 x$	=	0
$12 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 7 x^{2} - 14 x - 48$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} - 14 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 7 \cdot {(- 2)}^{2} - 14 \cdot (- 2) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 14 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 5 x - 24$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 24 x$	$- 48$
		-( $- 24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 14 x - 48$ = $(x^{2} + 5 x - 24) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 5 x - 24) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 7 \cdot 3^{2} - 14 \cdot 3 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 14 x$	$- 48$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- 14 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$16 x$	$- 48$
		-( $16 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 14 x - 48$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 10 x + 16) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 7 \cdot {(- 8)}^{2} - 14 \cdot (- 8) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 14 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 14 x$
	-( $- x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 6 x$	$- 48$
		-( $- 6 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 14 x - 48$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - x - 6) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 3 | + 6$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x - 3 \| + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| - x - 3 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| - x - 3 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

$- x - 3$	=	$12$	\| $+ 3$
$- x$	=	$15$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 15) - 3$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 3$ < 0:

$- (- x - 3)$	=	$12$
$x + 3$	=	$12$	\| $- 3$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ < 0) genügt:

$- 9 - 3$ = -12 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x - 4 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x - 4 t)$ = 0

$x^{2} + x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$16 t$	=	$- 5$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{5}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{16}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + (16 \cdot 1 + 4)$ = 21 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 16 t + 4$ für t > $- \frac{5}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{16}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{5}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

2. Fall: -x -3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 3$ < 0: