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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2$ und $g(x) =$ $- x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

x^{4} + x^{2} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- {(- 1)}^{2}$ = -1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-1)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 1^{2}$ = -1 Somit gilt: S₂( $1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $42 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x + 5$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

42

|

- 42

e^{4 x} - e^{2 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 4 e^{5 x} - 12 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 4 e^{5 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 5} + \frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{- 7 x - 1}{x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{5}{3}$ }

\frac{3 x + 1 - 7 x - 1}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 5}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x + 1 - 7 x - 1}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 5}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x + 1 - 7 x - 1}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{3 x + 5} \cdot (x - 1)$	=
$3 x + 1 - 7 x - 1 + \frac{4 x \cdot (x - 1)}{3 x + 5}$	=
$3 x + 1 - 7 x - 1 + \frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 5}$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 5} + 3 x - 7 x + 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 5} + 3 x - 7 x + 1 - 1$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 3 x \cdot (3 x + 5) - 7 x \cdot (3 x + 5) + 1 \cdot (3 x + 5) - 1 \cdot (3 x + 5)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 3 x \cdot (3 x + 5) - 7 x \cdot (3 x + 5) + 3 x + 5 - 3 x - 5$	=
$4 x^{2} - 4 x + (9 x^{2} + 15 x) + (- 21 x^{2} - 35 x) + 3 x + 5 - 3 x - 5$	=
$- 8 x^{2} - 24 x$	=

$- 8 x^{2} - 24 x$	=	0
$- 8 x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 6 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 6 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 6 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 3 x - 9 | + 4$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 3 x - 9 \| + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$- \frac{1}{3} \| - 3 x - 9 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

$- 3 x - 9$	=	$36$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$45$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 15) - 9$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0:

$- (- 3 x - 9)$	=	$36$
$3 x + 9$	=	$36$	\| $- 9$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 9 - 9$ = -36 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 4 t x - 2 t) \cdot e^{x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 4 t x - 2 t) \cdot e^{x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 4 t x - 2 t$ = 0 oder $e^{x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 4 t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 4 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 8 t$	=	0
$8 t \cdot (2 t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 1$	\|: $2$
t₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Da bei $16 t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- \frac{1}{2}$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -9 ≥ 0:

2. Fall: -3x -9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0: