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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 6 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $5 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 6 e^{2 x}$	=	$5 e^{3 x}$	\| $- 5 e^{3 x}$
$e^{4 x} - 5 e^{3 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} - 6) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $5 e^{3 \cdot (\ln (6))}$ = 1080 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |1080)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 3$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

6

|

- 6

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{3 x} - 6) \cdot (x^{3} + 6 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{3 x} - 6) (x^{3} + 6 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{3 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$8 e^{3 x}$	=	$6$	\|: $8$
$e^{3 x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.0959

2. Fall:

$x^{3} + 6 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{3}{4})$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{6 x}{x + 2} + \frac{18 x}{- 6 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{18 x}{- 6 x + 6}$	=	0
$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{18 x}{6 (- x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{18 x}{6 (- x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (x + 2) + \frac{18 x}{6 (- x + 1)} \cdot (x + 2)$	=
$6 x + \frac{3 x (x + 2)}{2 (x - 1)} + \frac{3 x (x + 2)}{- x + 1}$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} + 6 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x^{2} + 6 x}{- x + 1}$	=
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{- x + 1} + \frac{3 x^{2} + 6 x}{2 (x - 1)} + 6 x$	=

\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x^{2} + 6 x}{- x + 1} + 6 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x^{2} + 6 x}{- x + 1} + 6 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x^{2} + 6 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{3 x^{2} + 6 x}{- x + 1} \cdot (2 (x - 1)) + 6 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x^{2} + 6 x + 2 \frac{(3 x^{2} + 6 x) (x - 1)}{- x + 1} + 12 x (x - 1)$	=
$3 x^{2} + 6 x - 6 x (x + 2) + 12 x (x - 1)$	=
$3 x^{2} + 6 x + (- 6 x^{2} - 12 x) + (12 x^{2} - 12 x)$	=
$9 x^{2} - 18 x$	=

$9 x^{2} - 18 x$	=	0
$9 x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 8 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 9 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$
	-( $- 9 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
		$26 x^{2}$	$+ 2 x$
		-( $26 x^{2}$	$+ 26 x$ )
			$- 24 x$	$- 24$
			-( $- 24 x$	$- 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} + 2 x - 24$ = $(x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 26 \cdot 2 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 26 x$	$- 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$12 x$	$- 24$
		-( $12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ = $(x^{2} - 7 x + 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 7 x + 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 26 \cdot 3 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 26 x$	$- 24$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$8 x$	$- 24$
		-( $8 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 9 \cdot 4^{2} + 26 \cdot 4 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 26 x$	$- 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 26 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$6 x$	$- 24$
		-( $6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 6 | + 6$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| + 6$	=	$- 3$	\| $- 6$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 8 - 6$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$18$
$- 3 x + 6$	=	$18$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 4) - 6$ = -18 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x + 3 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 2 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} + 2 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 2 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 2 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 12 t$	=	$- 8$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{2}{3}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{2}{3}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $4 + (- 12 \cdot 2 + 4)$ = -16 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{2}{3}$ kleiner 0 und für t < $\frac{2}{3}$ größer 0

Für t > $\frac{2}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: