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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3}$ und $g(x) =$ $3 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 2 x^{3}$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3 x^{2}$
$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} + 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $3 \cdot {(- 3)}^{2}$ = 27 Somit gilt: S₁( $- 3$ |27)

x₂ = 0: f(0)= $3 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $3 \cdot 1^{2}$ = 3 Somit gilt: S₃( $1$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 2 x} - 4) \cdot (x + 4)$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 2 x} - 4) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 2 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$e^{- 2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (4)$	≈ -0.6931
x₁	=	$- \ln (2)$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{3 x - 10} + \frac{x}{3 x - 8} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{x}{3 x - 8} + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x - 2}{3 x - 10} \cdot (3 x - 8) - 4 \cdot (3 x - 8)$	=
$x + \frac{(2 x - 2) \cdot (3 x - 8)}{3 x - 10} - 12 x + 32$	=
$x + \frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{3 x - 10} - 12 x + 32$	=
$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{3 x - 10} + x - 12 x + 32$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{3 x - 10} + x - 12 x + 32$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{6 x^{2} - 22 x + 16}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + x \cdot (3 x - 10) - 12 x \cdot (3 x - 10) + 32 \cdot (3 x - 10)$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + x \cdot (3 x - 10) - 12 x \cdot (3 x - 10) + 96 x - 320$	=
$6 x^{2} - 22 x + 16 + (3 x^{2} - 10 x) + (- 36 x^{2} + 120 x) + 96 x - 320$	=
$- 27 x^{2} + 184 x - 304$	=

$- 27 x^{2} + 184 x - 304$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 184 \pm \sqrt{184^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 304)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 184 \pm \sqrt{33 856 - 32 832}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 184 \pm \sqrt{1 024}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 184 + \sqrt{1 024}}{- 54}$ = $\frac{- 184+32}{- 54}$ = $\frac{- 152}{- 54}$ = $\frac{76}{27}$ ≈ 2.81

x₂ = $\frac{- 184 - \sqrt{1 024}}{- 54}$ = $\frac{- 184-32}{- 54}$ = $\frac{- 216}{- 54}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} + 184 x - 304$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} - \frac{184}{27} x + \frac{304}{27}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{92}{27})}^{2} - (\frac{304}{27})$ = $\frac{8464}{729}$ $-$ $\frac{304}{27}$ = $\frac{8464}{729}$ $-$ $\frac{8208}{729}$ = $\frac{256}{729}$

x_1,2 = $\frac{92}{27}$ ± $\sqrt{\frac{256}{729}}$

x₁ = $\frac{92}{27}$ - $\frac{16}{27}$ = $\frac{76}{27}$ = 2.8148148148148

x₂ = $\frac{92}{27}$ + $\frac{16}{27}$ = $\frac{108}{27}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{76}{27}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x - 4 | + 5$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \| 4 x - 4 \| + 5$	=	$- 15$	\| $- 5$
$- \| 4 x - 4 \|$	=	$- 20$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 6 - 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$20$
$- 4 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) - 4$ = -20 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 3 t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 3 t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 3 t x - 2 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 3 t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 3 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{{(3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} + 8 t$	=	0
$t \cdot (9 t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$9 t$	=	$- 8$	\|: $9$
t₂	=	$- \frac{8}{9}$

Für t = $- \frac{8}{9}$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: