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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{9}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $10$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} + \frac{9}{x^{2}}$	=	$10$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} + \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$10 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} + 9$	=	$10 x^{2}$
$x^{4} + 9$	=	$10 x^{2}$

x^{4} + 9

=

10 x^{2}

|

- 10 x^{2}

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $10$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |10)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $10$ Somit gilt: S₂( $- 1$ |10)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $10$ Somit gilt: S₃( $1$ |10)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $10$ Somit gilt: S₄( $3$ |10)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 5 + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 5 + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$(- x^{2} + 6 x) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 7 x} + 3) \cdot (x^{3} - 9 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 7 x} + 3) \cdot (x^{3} - 9 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 8 e^{- 7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 8$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.1401

2. Fall:

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{8})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{8 x}{x + 2} + \frac{- 16 x}{4 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{4 x}{2 x - 2} - \frac{16 x}{4 x - 4}$	=	0
$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{4 x}{2 (x - 1)} - \frac{16 x}{4 (x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{4 x}{2 (x - 1)} - \frac{16 x}{4 (x - 1)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x + 2) - \frac{16 x}{4 (x - 1)} \cdot (x + 2)$	=
$8 x + \frac{2 x \cdot (x + 2)}{x - 1} - \frac{4 x \cdot (x + 2)}{x - 1}$	=
$8 x + \frac{2 x^{2} + 4 x}{x - 1} - \frac{4 x^{2} + 8 x}{x - 1}$	=
$\frac{2 x^{2} + 4 x - 4 x^{2} - 8 x}{x - 1} + 8 x$	=

\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 8 x}{x - 1} + 8 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 8 x}{x - 1} + 8 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 8 x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 8 x + 8 x \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 8 x + (8 x^{2} - 8 x)$	=
$6 x^{2} - 12 x$	=

$6 x^{2} - 12 x$	=	0
$6 x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x - 9 | + 1$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \| + 1$	=	$- 5$	\| $- 1$
$- \frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x - 9 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

$3 x - 9$	=	$18$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 9 - 9$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 9$ < 0:

$- (3 x - 9)$	=	$18$
$- 3 x + 9$	=	$18$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 3) - 9$ = -18 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 5 t x + 4 t) \cdot e^{\frac{1}{4} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 5 t x + 4 t) \cdot e^{\frac{1}{4} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 5 t x + 4 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{4} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{4} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 5 t x + 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 5 t x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{{(- 5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 16 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 16 t$	=	0
$t \cdot (25 t - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t - 16$	=	0	\| $+ 16$
$25 t$	=	$16$	\|: $25$
t₂	=	$\frac{16}{25}$ = 0.64

Für t = $0$ oder für t = $\frac{16}{25}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -9 ≥ 0:

2. Fall: 3x -9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 9$ < 0: