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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 4 x$ und $g(x) =$ $5 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 4 x$	=	$5 x^{3}$	\| $- 5 x^{3}$
$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$	=	0
$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{3}$ = -40 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-40)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{3}$ = -5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |-5)

x₃ = 0: f(0)= $5 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₃(0|0)

x₄ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{3}$ = 5 Somit gilt: S₄( $1$ |5)

x₅ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{3}$ = 40 Somit gilt: S₅( $2$ |40)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $4 e^{\frac{1}{4} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{\frac{1}{4} x} + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$4 e^{\frac{1}{4} x} + 1 - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$4 e^{\frac{1}{4} x} + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x + 4) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 12 e^{x} + 35$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 12 e^{x} + 35

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{12 x}{x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; 0}

\frac{12 x}{x + 2} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{12 x}{x + 2} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{3 x + 1}{2 x} \cdot (x + 2) - 6 \cdot (x + 2)$	=
$12 x + \frac{(3 x + 1) (x + 2)}{2 x} - 6 x - 12$	=
$12 x + \frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} - 6 x - 12$	=
$\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} + 12 x - 6 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} + 12 x - 6 x - 12$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} + 7 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 12 x \cdot 2 x - 6 x \cdot 2 x - 12 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} + 7 x + 2 + 24 x \cdot x - 12 x \cdot x - 24 x$	=
$3 x^{2} + 7 x + 2 + 24 x^{2} - 12 x^{2} - 24 x$	=
$15 x^{2} - 17 x + 2$	=

$15 x^{2} - 17 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 2}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{30}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{17+13}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = $1$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{30}$ = $\frac{17-13}{30}$ = $\frac{4}{30}$ = $\frac{2}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 17 x + 2$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{17}{15} x + \frac{2}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{30})}^{2} - (\frac{2}{15})$ = $\frac{289}{900}$ $-$ $\frac{2}{15}$ = $\frac{289}{900}$ $-$ $\frac{120}{900}$ = $\frac{169}{900}$

x_1,2 = $\frac{17}{30}$ ± $\sqrt{\frac{169}{900}}$

x₁ = $\frac{17}{30}$ - $\frac{13}{30}$ = $\frac{4}{30}$ = 0.13333333333333

x₂ = $\frac{17}{30}$ + $\frac{13}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{15}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} + 13 \cdot (- 1) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$6 x$	$+ 6$
		-( $6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 13 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 13 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 13 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + 13 x + 6$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x + 6 | - 5$ = $7$

Lösung einblenden

$\| 3 x + 6 \| - 5$	=	$7$	\| $+ 5$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

$3 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 2 + 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 6$ < 0:

$- (3 x + 6)$	=	$12$
$- 3 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 6) + 6$ = -12 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{3} + x$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$t x^{3} + x$	=	0
$x (t x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$t x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$t x^{2}$	=	$- 1$	\|: $t$
$x^{2}$	=	$- 1 \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- 1 \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- 1 \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

x

=

0

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +6 ≥ 0:

2. Fall: 3x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 6$ < 0: