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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 11 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 30 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 11 e^{2 x}$	=	$- 30 e^{- x}$	\| $+ 30 e^{- x}$
$e^{5 x} - 11 e^{2 x} + 30 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 30) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 11 e^{3 x} + 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- 30 e^{- (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = -17.544 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-17.544)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $- 30 e^{- (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = -16.51 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |-16.51)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $32 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $32 x + 6$ gilt m = $32$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 4 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 4 x^{2}

=

32

|

- 32

x^{4} + 4 x^{2} - 32

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $32$ und sind somit parallel zur Geraden y = $32 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{8 x}{x - 3} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) - 5 \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{(8 x - 1) \cdot (x - 3)}{3 x} - 5 x + 15$	=
$8 x + \frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} - 5 x + 15$	=
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 8 x - 5 x + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 8 x - 5 x + 15$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3 x + 15 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 24 x \cdot x - 15 x \cdot x + 45 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 24 x^{2} - 15 x^{2} + 45 x$	=
$17 x^{2} + 20 x + 3$	=

$17 x^{2} + 20 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 3}}{2 \cdot 17}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 204}}{34}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{196}}{34}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{196}}{34}$ = $\frac{- 20+14}{34}$ = $\frac{- 6}{34}$ = $- \frac{3}{17}$ ≈ -0.18

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{196}}{34}$ = $\frac{- 20-14}{34}$ = $\frac{- 34}{34}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $17$ " teilen:

$17 x^{2} + 20 x + 3$ = 0 |: $17$

$x^{2} + \frac{20}{17} x + \frac{3}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{17})}^{2} - (\frac{3}{17})$ = $\frac{100}{289}$ $-$ $\frac{3}{17}$ = $\frac{100}{289}$ $-$ $\frac{51}{289}$ = $\frac{49}{289}$

x_1,2 = $- \frac{10}{17}$ ± $\sqrt{\frac{49}{289}}$

x₁ = $- \frac{10}{17}$ - $\frac{7}{17}$ = $- \frac{17}{17}$ = -1

x₂ = $- \frac{10}{17}$ + $\frac{7}{17}$ = $- \frac{3}{17}$ = -0.17647058823529

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{17}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 26 \cdot {(- 1)}^{2} + 53 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $23 x^{2}$	$+ 23 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - 10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 26 \cdot {(- 6)}^{2} + 53 \cdot (- 6) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 26 x^{2}$	$+ 53 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 53 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$5 x$	$+ 30$
		-( $5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 26 x^{2} + 53 x + 30$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x - 12 | - 6$ = $18$

Lösung einblenden

$\| - 4 x - 12 \| - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$24$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 9) - 12$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$24$
$4 x + 12$	=	$24$	\| $- 12$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 3 - 12$ = -24 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - t x - 2 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$t^{2} + 8 t$	=	0
$t \cdot (t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 8$	=	0	\| $- 8$
t₂	=	$- 8$

Da bei $t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- 8$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: