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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 7$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
$x$	=	$7$

L={ $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $7$ : f( $7$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $7$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 1 + 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (- x + 4) \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 8 e^{4 x} + 12 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 8 e^{4 x} + 12 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 8 e^{3 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{- 6 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 2} - \frac{6 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 2} - \frac{6 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (x - 2) - \frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (x - 2)}{3 x + 2} - 6 x$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} - 6 x$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + 2 x \cdot (3 x + 2) - 6 x \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x^{2} - 8 x + 2 x \cdot (3 x + 2) - 6 x \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x^{2} - 8 x + (6 x^{2} + 4 x) + (- 18 x^{2} - 12 x)$	=
$- 8 x^{2} - 16 x$	=

$- 8 x^{2} - 16 x$	=	0
$- 8 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$8 x$	$+ 16$
		-( $8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 8 x$	$+ 16$
		-( $- 8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 16$
		-( $- 4 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$	=	0
$(x^{2} - 4) \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x + 12 | + 1$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \| + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| 4 x + 12 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$8$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$8$	\| $- 12$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) + 12$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$8$
$- 4 x - 12$	=	$8$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$20$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 5) + 12$ = -8 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x - 5 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x - 5 t)$ = 0

$x^{2} + 5 x - 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x - 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + (- 5 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 20 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 20 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 20 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 20 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 20 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 20 t + 4$	=	0
$20 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$20 t$	=	$- 29$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{29}{20}$ = -1.45

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{29}{20}$ beispielsweise für t = -0 der Radikand $25 + (20 \cdot 0 + 4)$ = 29 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 20 t + 4$ für t > $- \frac{29}{20}$ größer 0 und für t < $- \frac{29}{20}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{29}{20}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: