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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 5 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $14$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 5 e^{2 x}

=

14

|

- 14

e^{4 x} - 5 e^{2 x} - 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $14$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |14)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 2 + 3 x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 1$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 2 + 3 x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $3 e^{- x} - 2 - 3 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- x} - 2 - 3 x \cdot e^{- x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$3 e^{- x} - 2 + 2 - 3 x \cdot e^{- x}$	=	0
$3 e^{- x} - 3 x \cdot e^{- x}$	=	0
$3 (- x + 1) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{6 x} - 2) \cdot (x - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{6 x} - 2) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{6 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$9 e^{6 x}$	=	$2$	\|: $9$
$e^{6 x}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{9})$	≈ -0.2507

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

L={ $\frac{1}{6} \ln (\frac{2}{9})$ ; $9$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{x}{2 x + 3} + \frac{9 x}{- 9 x - 18}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 2$ }

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{9 x}{- 9 x - 18}$	=	0
$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{9 x}{- 9 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{x}{2 x + 3} + \frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{9 x}{- 9 (x + 2)}$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{2 x}{3 (x + 2)} \cdot (2 x + 3) + \frac{9 x}{- 9 (x + 2)} \cdot (2 x + 3)$	=
$x + \frac{2 x (2 x + 3)}{3 (x + 2)} - \frac{x (2 x + 3)}{x + 2}$	=
$x + \frac{4 x^{2} + 6 x}{3 (x + 2)} - \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 2}$	=
$- \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 2} + \frac{4 x^{2} + 6 x}{3 (x + 2)} + x$	=

\frac{4 x^{2} + 6 x}{3 (x + 2)} - \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 2} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 6 x}{3 (x + 2)} - \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 2} + x$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{4 x^{2} + 6 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - \frac{2 x^{2} + 3 x}{x + 2} \cdot (3 (x + 2)) + x \cdot (3 (x + 2))$	=
$4 x^{2} + 6 x - 6 x^{2} - 9 x + 3 x (x + 2)$	=
$4 x^{2} + 6 x - 6 x^{2} - 9 x + (3 x^{2} + 6 x)$	=
$x^{2} + 3 x$	=

$x^{2} + 3 x$	=	0
$x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 6 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 6 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 8 | - 1$ = $- 11$

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$- \| 2 x - 8 \| - 1$	=	$- 11$	\| $+ 1$
$- \| 2 x - 8 \|$	=	$- 10$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$10$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$10$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 9 - 8$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$10$
$- 2 x + 8$	=	$10$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 1) - 8$ = -10 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x^{5} - x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 2 t x^{5} - x^{3}$	=	0
$- x^{3} (2 t x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$2 t x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 t x^{2}$	=	$- 1$	\|: $2 t$
$x^{2}$	=	$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{2 t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{2 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- x^{3}$	=	$0$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t < 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: