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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x 8 + x 2 und g(x)= 2 x 5 . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 8 + x 2 = 2 x 5 | -2 x 5
x 8 -2 x 5 + x 2 = 0
x 2 ( x 6 -2 x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 6 -2 x 3 +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 1

x 3 = 1 | 3
x2 = 1 3 = 1

u2: x 3 = 1

x 3 = 1 | 3
x3 = 1 3 = 1

L={0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung! 1 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = 0: f(0)= 2 0 5 = 0 Somit gilt: S1(0|0)

x2 = 1 : f( 1 )= 2 1 5 = 2 Somit gilt: S2( 1 |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2 parallel zur Geraden y = 4x +5 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 4x +5 gilt m = 4

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= 1 3 x 3 - 3 2 x 2

f'(x)= x 2 -3x

Also muss gelten:

x 2 -3x = 4 | -4

x 2 -3x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

x1,2 = +3 ± 9 +16 2

x1,2 = +3 ± 25 2

x1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

x2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = 3 2 ± 25 4

x1 = 3 2 - 5 2 = - 2 2 = -1

x2 = 3 2 + 5 2 = 8 2 = 4

L={ -1 ; 4 }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 4 und sind somit parallel zur Geraden y = 4x +5 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 5 -10 x 3 +9x = 0

Lösung einblenden
x 5 -10 x 3 +9x = 0
x ( x 4 -10 x 2 +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 4 -10 x 2 +9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -10u +9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 9 21

u1,2 = +10 ± 100 -36 2

u1,2 = +10 ± 64 2

u1 = 10 + 64 2 = 10 +8 2 = 18 2 = 9

u2 = 10 - 64 2 = 10 -8 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 9 = 25 - 9 = 16

x1,2 = 5 ± 16

x1 = 5 - 4 = 1

x2 = 5 + 4 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | 2
x2 = - 9 = -3
x3 = 9 = 3

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x4 = - 1 = -1
x5 = 1 = 1

L={ -3 ; -1 ; 0; 1 ; 3 }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x -2 2x -2 = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 2x weg!

3x -2 2x -2 = 0 |⋅( 2x )
3x -2 2x · 2x -2 · 2x = 0
3x -2 -4x = 0
-x -2 = 0
-x -2 = 0 | +2
-x = 2 |:(-1 )
x = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x 3 -16 x 2 -17x +30 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von 3 x 3 -16 x 2 -17x +30 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds 30 .

1 ist eine Lösung, denn 3 1 3 -16 1 2 -171 +30 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x-1) durch.

( 3 x 3 -16 x 2 -17x +30 ) : (x-1) = 3 x 2 -13x -30
-( 3 x 3 -3 x 2 )
-13 x 2 -17x
-( -13 x 2 +13x )
-30x +30
-( -30x +30 )
0

es gilt also:

3 x 3 -16 x 2 -17x +30 = ( 3 x 2 -13x -30 ) · ( x -1 )

( 3 x 2 -13x -30 ) ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 x 2 -13x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 3 · ( -30 ) 23

x1,2 = +13 ± 169 +360 6

x1,2 = +13 ± 529 6

x1 = 13 + 529 6 = 13 +23 6 = 36 6 = 6

x2 = 13 - 529 6 = 13 -23 6 = -10 6 = - 5 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 -13x -30 = 0 |: 3

x 2 - 13 3 x -10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 6 ) 2 - ( -10 ) = 169 36 + 10 = 169 36 + 360 36 = 529 36

x1,2 = 13 6 ± 529 36

x1 = 13 6 - 23 6 = - 10 6 = -1.6666666666667

x2 = 13 6 + 23 6 = 36 6 = 6


2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x3 = 1

Polynomdivision mit 6

L={ - 5 3 ; 1 ; 6 }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 2 | 2x -6 | +4 = -8

Lösung einblenden
- 1 2 | 2x -6 | +4 = -8 | -4
- 1 2 | 2x -6 | = -12 |⋅ ( -2 )
| 2x -6 | = 24

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2x -6 = 24 | +6
2x = 30 |:2
x1 = 15

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 2x -6 ≥ 0) genügt:

215 -6 = 24 ≥ 0

Die Lösung 15 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: 2x -6 < 0:

-( 2x -6 ) = 24
-2x +6 = 24 | -6
-2x = 18 |:(-2 )
x2 = -9

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 2x -6 < 0) genügt:

2( -9 ) -6 = -24 < 0

Die Lösung -9 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -9 ; 15 }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit ft(x)= ln( x 2 -5x -2 t ) genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e0=u, also 1 = u ist:

ln( x 2 -5x -2 t ) = 0

x 2 -5x -2 t = 1 |-1

x 2 -5x -2 t - 1 = 0

x 2 -5x + ( -2t -1 ) =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · ( -2t -1 ) 21 = +5 ± 25 + 8t +4 2

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

  • Ist 25 + 8t +4 > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
  • Ist 25 + 8t +4 = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
  • Ist 25 + 8t +4 <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand 25 + 8t +4 = 0 wird.

25 +8t +4 = 0
8t +29 = 0 | -29
8t = -29 |:8
t = - 29 8

Für t = - 29 8 ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.