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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 15 e^{x}$ und $g(x) =$ $2 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 15 e^{x}$	=	$2 e^{3 x}$	\| $- 2 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $2 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 22.361 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |22.361)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $35 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $35 x + 3$ gilt m = $35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 2 e^{x}

=

35

|

- 35

e^{2 x} + 2 e^{x} - 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $35 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 x + 30$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

- 11 x + 30

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{3 x + 1}{- 3 x - 7}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; $- 2$ }

$\frac{3 x + 1}{- 3 x - 7} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{2 x}{3 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x + 1}{- (3 x + 7)} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{2 x}{3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{3 x + 1}{- (3 x + 7)} + \frac{x - 1}{3 x + 7} + \frac{2 x}{3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{3 x + 1}{- (3 x + 7)} \cdot (3 x + 7) + \frac{x - 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{2 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 x + 7)$	=
$- 3 x - 1 + x - 1 + \frac{2 x (3 x + 7)}{3 (x + 2)}$	=
$- 3 x - 1 + x - 1 + \frac{6 x^{2} + 14 x}{3 (x + 2)}$	=
$\frac{6 x^{2} + 14 x}{3 (x + 2)} - 3 x + x - 1 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 14 x}{3 (x + 2)} - 3 x + x - 1 - 1$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{6 x^{2} + 14 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - 3 x \cdot (3 (x + 2)) + x \cdot (3 (x + 2)) - 1 \cdot (3 (x + 2)) - 1 \cdot (3 (x + 2))$	=
$6 x^{2} + 14 x - 9 x (x + 2) + 3 x (x + 2) - 3 x - 6 - 3 x - 6$	=
$6 x^{2} + 14 x + (- 9 x^{2} - 18 x) + (3 x^{2} + 6 x) - 3 x - 6 - 3 x - 6$	=
$- 4 x - 12$	=

$- 4 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 10 x^{2} + 3 x - 54$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 3 x - 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 54$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 10 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 54$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 12 x + 27$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$12 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $12 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$27 x$	$- 54$
		-( $27 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 3 x - 54$ = $(x^{2} + 12 x + 27) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 12 x + 27) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 6$ - $3$ = -9

x₂ = $- 6$ + $3$ = -3

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 10 \cdot {(- 3)}^{2} + 3 \cdot (- 3) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 21 x$ )
		$- 18 x$	$- 54$
		-( $- 18 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 3 x - 54$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 10 \cdot {(- 9)}^{2} + 3 \cdot (- 9) - 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 54$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 6 x$	$- 54$
		-( $- 6 x$	$- 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 3 x - 54$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + x - 6) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 3$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 6 | - 8$ = $- 20$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \| - 8$	=	$- 20$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 6 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

$3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 10 + 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 6$ < 0:

$- (3 x + 6)$	=	$36$
$- 3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$42$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 14) + 6$ = -36 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 t x - 4 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 t x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 16 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 16 t$	=	0
$16 t (t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 1$	=	0	\| $- 1$
t₂	=	$- 1$

Da bei $16 t^{2} + 16 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} + 16 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- 1$ < t < $0$ , also für t > $- 1$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +6 ≥ 0:

2. Fall: 3x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 6$ < 0: