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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x 3 +4 x 2 und g(x)= 5x . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 3 +4 x 2 = 5x | -5x
x 3 +4 x 2 -5x = 0
x ( x 2 +4x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 +4x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 21

x2,3 = -4 ± 16 +20 2

x2,3 = -4 ± 36 2

x2 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

x3 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = -2 ± 9

x1 = -2 - 3 = -5

x2 = -2 + 3 = 1

L={ -5 ; 0; 1 }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = -5 : f( -5 )= 5( -5 ) = -25 Somit gilt: S1( -5 |-25)

x2 = 0: f(0)= 50 = 0 Somit gilt: S2(0|0)

x3 = 1 : f( 1 )= 51 = 5 Somit gilt: S3( 1 |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= -4 +2 x 2 · e 2x parallel zur Geraden y = 7 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 7 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= -4 +2 x 2 · e 2x

f'(x)= 4 x 2 · e 2x +4 x · e 2x

Also muss gelten:

4 x 2 · e 2x +4 x · e 2x = 0
4 ( x 2 + x ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 + x = 0
x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ -1 ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 7 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 = x 2

Lösung einblenden
x 4 = x 2 | - x 2
x 4 - x 2 = 0
x 2 ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | 2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x 2x +4 + 2x 3x +7 -6 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ - 7 3 ; -2 }

2x 3x +7 + 2x 2x +4 -6 = 0
2x 3x +7 + 2x 2( x +2 ) -6 = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 3x +7 weg!

2x 3x +7 + 2x 2( x +2 ) -6 = 0 |⋅( 3x +7 )
2x 3x +7 · ( 3x +7 ) + 2x 2( x +2 ) · ( 3x +7 ) -6 · ( 3x +7 ) = 0
2x + x ( 3x +7 ) x +2 -18x -42 = 0
2x + 3 x 2 +7x x +2 -18x -42 = 0
3 x 2 +7x x +2 +2x -18x -42 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +2 weg!

3 x 2 +7x x +2 +2x -18x -42 = 0 |⋅( x +2 )
3 x 2 +7x x +2 · ( x +2 ) + 2x · ( x +2 ) -18x · ( x +2 ) -42 · ( x +2 ) = 0
3 x 2 +7x +2 x ( x +2 )-18 x ( x +2 ) -42x -84 = 0
3 x 2 +7x + ( 2 x 2 +4x ) + ( -18 x 2 -36x ) -42x -84 = 0
-13 x 2 -67x -84 = 0

-13 x 2 -67x -84 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +67 ± ( -67 ) 2 -4 · ( -13 ) · ( -84 ) 2( -13 )

x1,2 = +67 ± 4489 -4368 -26

x1,2 = +67 ± 121 -26

x1 = 67 + 121 -26 = 67 +11 -26 = 78 -26 = -3

x2 = 67 - 121 -26 = 67 -11 -26 = 56 -26 = - 28 13

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-13 " teilen:

-13 x 2 -67x -84 = 0 |: -13

x 2 + 67 13 x + 84 13 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 67 26 ) 2 - ( 84 13 ) = 4489 676 - 84 13 = 4489 676 - 4368 676 = 121 676

x1,2 = - 67 26 ± 121 676

x1 = - 67 26 - 11 26 = - 78 26 = -3

x2 = - 67 26 + 11 26 = - 56 26 = -2.1538461538462

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; - 28 13 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x 3 +26 x 2 +53x +30 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von 3 x 3 +26 x 2 +53x +30 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds 30 .

-1 ist eine Lösung, denn 3 ( -1 ) 3 +26 ( -1 ) 2 +53( -1 ) +30 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x+1) durch.

( 3 x 3 +26 x 2 +53x +30 ) : (x+1) = 3 x 2 +23x +30
-( 3 x 3 +3 x 2 )
23 x 2 +53x
-( 23 x 2 +23x )
30x +30
-( 30x +30 )
0

es gilt also:

3 x 3 +26 x 2 +53x +30 = ( 3 x 2 +23x +30 ) · ( x +1 )

( 3 x 2 +23x +30 ) ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 x 2 +23x +30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -23 ± 23 2 -4 · 3 · 30 23

x1,2 = -23 ± 529 -360 6

x1,2 = -23 ± 169 6

x1 = -23 + 169 6 = -23 +13 6 = -10 6 = - 5 3 ≈ -1.67

x2 = -23 - 169 6 = -23 -13 6 = -36 6 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 +23x +30 = 0 |: 3

x 2 + 23 3 x +10 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 23 6 ) 2 - 10 = 529 36 - 10 = 529 36 - 360 36 = 169 36

x1,2 = - 23 6 ± 169 36

x1 = - 23 6 - 13 6 = - 36 6 = -6

x2 = - 23 6 + 13 6 = - 10 6 = -1.6666666666667


2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x3 = -1

Polynomdivision mit -6

L={ -6 ; - 5 3 ; -1 }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 2 | 2x +6 | +6 = -2

Lösung einblenden
- 1 2 | 2x +6 | +6 = -2 | -6
- 1 2 | 2x +6 | = -8 |⋅ ( -2 )
| 2x +6 | = 16

1. Fall: 2x +6 ≥ 0:

2x +6 = 16 | -6
2x = 10 |:2
x1 = 5

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 2x +6 ≥ 0) genügt:

25 +6 = 16 ≥ 0

Die Lösung 5 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: 2x +6 < 0:

-( 2x +6 ) = 16
-2x -6 = 16 | +6
-2x = 22 |:(-2 )
x2 = -11

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 2x +6 < 0) genügt:

2( -11 ) +6 = -16 < 0

Die Lösung -11 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -11 ; 5 }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit ft(x)= - x 4 -3 t x 2 genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen ft(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

- x 4 -3 t x 2 = 0
- x 2 ( x 2 +3 t ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | 2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 +3 t = 0 | - ( 3 t )
x 2 = -3 t | 2
x2 = - ( -3 t ) = - ( -3t )
x3 = ( -3 t ) = ( -3t )

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).