Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $9 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$9 x^{4}$	\| $- 9 x^{4}$
$x^{6} - 9 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $9 \cdot {(- 3)}^{4}$ = 729 Somit gilt: S₁( $- 3$ |729)

x₂ = 0: f(0)= $9 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $9 \cdot 3^{4}$ = 729 Somit gilt: S₃( $3$ |729)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 4 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 3$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 4 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 4 x) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 64$ = $- 16 x^{3}$

Lösung einblenden

x^{6} + 64

=

- 16 x^{3}

|

+ 16 x^{3}

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 8$ ± 0 = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{- 11 x + 1}{3 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{5}{2}$ }

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{- 11 x + 1}{3 x + 3}$	=	0
$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{- 11 x + 1}{3 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} + \frac{- 11 x + 1}{3 (x + 1)}$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{2 x + 2}{2 x + 5} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{- 11 x + 1}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=
$6 x - 3 + 3 \frac{(2 x + 2) (x + 1)}{2 x + 5} - 11 x + 1$	=
$6 x - 3 + \frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 2)}{2 x + 5} - 11 x + 1$	=
$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 2)}{2 x + 5} + 6 x - 11 x - 3 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 2)}{2 x + 5} + 6 x - 11 x - 3 + 1$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x + 2)}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 6 x \cdot (2 x + 5) - 11 x \cdot (2 x + 5) - 3 \cdot (2 x + 5) + 1 \cdot (2 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x (2 x + 5) - 11 x (2 x + 5) - 6 x - 15 + 2 x + 5$	=
$6 x^{2} + 12 x + 6 + (12 x^{2} + 30 x) + (- 22 x^{2} - 55 x) - 6 x - 15 + 2 x + 5$	=
$- 4 x^{2} - 17 x - 4$	=

$- 4 x^{2} - 17 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{17+15}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{17-15}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 17 x - 4$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - 1$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $1$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,25$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 9 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 9 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 10 | - 5$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \| - 5$	=	$- 1$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 10 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 10 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $5 x^{5} + 4 t x^{3}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$5 x^{5} + 4 t x^{3}$	=	0
$x^{3} (5 x^{2} + 4 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$5 x^{2} + 4 t$	=	0	\| - ( $4 t$ )
$5 x^{2}$	=	$- 4 t$	\|: $5$
$x^{2}$	=	$- \frac{4}{5} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$	= $- \sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$	= $\sqrt{(- \frac{4}{5} t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter