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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{3}{x}$ und $g(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{3}{x}$	=	$- \frac{2}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{3}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 3 x$	=	$- 2$

x^{2} - 3 x

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{2}{1^{2}}$ = -2 Somit gilt: S₁( $1$ |-2)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- \frac{2}{2^{2}}$ = -0.5 Somit gilt: S₂( $2$ |-0.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $36 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $36 x - 2$ gilt m = $36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

36

|

- 36

x^{4} - 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $36 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 12 x$ = $x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{5} - 12 x$	=	$x^{3}$	\| $- x^{3}$
$x^{5} - x^{3} - 12 x$	=	0
$x (x^{4} - x^{2} - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - x^{2} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{x + 3} + \frac{9 x + 1}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 3$ }

- \frac{9 x + 1}{2 x} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$- \frac{9 x + 1}{2 x} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{8 x}{x + 3}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$- \frac{9 x + 1}{2 x} \cdot 6 x + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot 6 x + \frac{8 x}{x + 3} \cdot 6 x$	=
$- 27 x - 3 + 16 x + 2 + 6 \frac{8 x \cdot x}{x + 3}$	=
$- 27 x - 3 + 16 x + 2 + \frac{48 x^{2}}{x + 3}$	=
$\frac{48 x^{2}}{x + 3} - 27 x + 16 x - 3 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{48 x^{2}}{x + 3} - 27 x + 16 x - 3 + 2$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{48 x^{2}}{x + 3} \cdot (x + 3) - 27 x \cdot (x + 3) + 16 x \cdot (x + 3) - 3 \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3)$	=
$48 x^{2} - 27 x (x + 3) + 16 x (x + 3) - 3 x - 9 + 2 x + 6$	=
$48 x^{2} + (- 27 x^{2} - 81 x) + (16 x^{2} + 48 x) - 3 x - 9 + 2 x + 6$	=
$37 x^{2} - 34 x - 3$	=

$37 x^{2} - 34 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{{(- 34)}^{2} - 4 \cdot 37 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 37}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{1 156 + 444}}{74}$

x_1,2 = $\frac{+ 34 \pm \sqrt{1 600}}{74}$

x₁ = $\frac{34 + \sqrt{1 600}}{74}$ = $\frac{34+40}{74}$ = $\frac{74}{74}$ = $1$

x₂ = $\frac{34 - \sqrt{1 600}}{74}$ = $\frac{34-40}{74}$ = $\frac{- 6}{74}$ = $- \frac{3}{37}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $37$ " teilen:

$37 x^{2} - 34 x - 3$ = 0 |: $37$

$x^{2} - \frac{34}{37} x - \frac{3}{37}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{37})}^{2} - (- \frac{3}{37})$ = $\frac{289}{1369}$ $+$ $\frac{3}{37}$ = $\frac{289}{1369}$ $+$ $\frac{111}{1369}$ = $\frac{400}{1369}$

x_1,2 = $\frac{17}{37}$ ± $\sqrt{\frac{400}{1369}}$

x₁ = $\frac{17}{37}$ - $\frac{20}{37}$ = $- \frac{3}{37}$ = -0.081081081081081

x₂ = $\frac{17}{37}$ + $\frac{20}{37}$ = $\frac{37}{37}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{37}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 11 x^{3} + 14 x^{2} + 44 x - 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 11 x^{3} + 14 x^{2} + 44 x - 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 72$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 11 \cdot {(- 2)}^{3} + 14 \cdot {(- 2)}^{2} + 44 \cdot (- 2) - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 11 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 44 x$	$- 72$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 13 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$
	-( $- 13 x^{3}$	$- 26 x^{2}$ )
		$40 x^{2}$	$+ 44 x$
		-( $40 x^{2}$	$+ 80 x$ )
			$- 36 x$	$- 72$
			-( $- 36 x$	$- 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 11 x^{3} + 14 x^{2} + 44 x - 72$ = $(x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 13 \cdot 2^{2} + 40 \cdot 2 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 40 x$	$- 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$+ 40 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$18 x$	$- 36$
		-( $18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 13 \cdot 9^{2} + 40 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 13 x^{2}$	$+ 40 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 40 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 13 x^{2} + 40 x - 36$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 11 \cdot 2^{3} + 14 \cdot 2^{2} + 44 \cdot 2 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 11 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 44 x$	$- 72$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 9 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$
	-( $- 9 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 44 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
			$36 x$	$- 72$
			-( $36 x$	$- 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 11 x^{3} + 14 x^{2} + 44 x - 72$ = $(x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 9 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$18 x$	$+ 36$
		-( $18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 11 x + 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 9 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 9 \cdot 9^{2} - 4 \cdot 9 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 36$
		-( $- 4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 9)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 9)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 11 \cdot 9^{3} + 14 \cdot 9^{2} + 44 \cdot 9 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 11 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$	$+ 44 x$	$- 72$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 44 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
			$8 x$	$- 72$
			-( $8 x$	$- 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 11 x^{3} + 14 x^{2} + 44 x - 72$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) \cdot (x - 9)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $9$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x - 12 | + 9$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x - 12 \| + 9$	=	$6$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 3 x - 12 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x - 12 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{3} + 2 x$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$3 t x^{3} + 2 x$	=	0
$x (3 t x^{2} + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$3 t x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$3 t x^{2}$	=	$- 2$	\|: $3 t$
$x^{2}$	=	$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{2}{3 t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{2}{3 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $2$