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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 2 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $15 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 2 e^{5 x}$	=	$15 e^{2 x}$	\| $- 15 e^{2 x}$
$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $15 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 31.201 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |31.201)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{5 x} - 6) \cdot (x^{2} - 6 x)$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{5 x} - 6) \cdot (x^{2} - 6 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{5 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$4 e^{5 x}$	=	$6$	\|: $4$
$e^{5 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$	≈ 0.0811

2. Fall:

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={0; $\frac{1}{5} \ln (\frac{3}{2})$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{5 x + 1}{3 x} - 5$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{5 x + 1}{3 x} \cdot (2 x + 1) - 5 \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (2 x + 1)}{3 x} - 10 x - 5$	=
$9 x + \frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x} - 10 x - 5$	=
$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x} + 9 x - 10 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x} + 9 x - 10 x - 5$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{10 x^{2} + 7 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 9 x \cdot 3 x - 10 x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$	=
$10 x^{2} + 7 x + 1 + 27 x \cdot x - 30 x \cdot x - 15 x$	=
$10 x^{2} + 7 x + 1 + 27 x^{2} - 30 x^{2} - 15 x$	=
$7 x^{2} - 8 x + 1$	=

$7 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{14}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{14}$ = $\frac{8+6}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{14}$ = $\frac{8-6}{14}$ = $\frac{2}{14}$ = $\frac{1}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 8 x + 1$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{8}{7} x + \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{7})}^{2} - (\frac{1}{7})$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{16}{49}$ $-$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{9}{49}$

x_1,2 = $\frac{4}{7}$ ± $\sqrt{\frac{9}{49}}$

x₁ = $\frac{4}{7}$ - $\frac{3}{7}$ = $\frac{1}{7}$ = 0.14285714285714

x₂ = $\frac{4}{7}$ + $\frac{3}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{7}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 21$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 21$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 21$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$21 x$	$- 21$
		-( $21 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = $(x^{2} + 10 x + 21) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 10 x + 21) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 11 \cdot (- 3) - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 21$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 7 x$	$- 21$
		-( $- 7 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = $(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 6 x - 7) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 9 \cdot {(- 7)}^{2} + 11 \cdot (- 7) - 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 21$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 3 x$	$- 21$
		-( $- 3 x$	$- 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 11 x - 21$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 3$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 12 | + 6$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 12 \| + 6$	=	$- 9$	\| $- 6$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 12 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 12 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

$3 x + 12$	=	$30$	\| $- 12$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 6 + 12$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 12$ < 0:

$- (3 x + 12)$	=	$30$
$- 3 x - 12$	=	$30$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$42$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 14) + 12$ = -30 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - x - 3 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - x - 3 t)$ = 0

$x^{2} - x - 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - x - 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - x + (- 3 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 12 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 12 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 12 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 12 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 12 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 12 t + 4$	=	0
$12 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$12 t$	=	$- 5$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{5}{12}$

Für t = $- \frac{5}{12}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +12 ≥ 0:

2. Fall: 3x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 12$ < 0: