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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 2 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 1$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{6} - 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} - 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- 1$ Somit gilt: S₁( $1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 5 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 5 + 9 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 1 - 1 + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$9 e^{\frac{1}{3} x} + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 21$ = $- 4 e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 21

=

- 4 e^{x}

|

+ 4 e^{x}

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 3 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x - 9 x + 12$	=
$- 6 x + 12$	=

$- 6 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 2 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 9 \cdot 4^{2} - 2 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 2 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 2 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 6 x$	$+ 24$
		-( $- 6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 24$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 1 | + 3$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 1 \| + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$3$	\|⋅ $3$
$\| x + 1 \|$	=	$9$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$8 + 1$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$9$
$- x - 1$	=	$9$	\| $+ 1$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 10 + 1$ = -9 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 x + 4 t) \cdot e^{- t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 x + 4 t) \cdot e^{- t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 x + 4 t$ = 0 oder $e^{- t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 x + 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 16 t$ = 0 wird.

$25 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 16 t$	=	$- 25$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{25}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{25}{16}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $25 - 16 \cdot 3$ = -23 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 - 16 t$ für t > $\frac{25}{16}$ kleiner 0 und für t < $\frac{25}{16}$ größer 0

Für t > $\frac{25}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: