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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 9 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 20 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 9 e^{2 x}$	=	$- 20 e^{x}$	\| $+ 20 e^{x}$
$e^{3 x} - 9 e^{2 x} + 20 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 9 e^{x} + 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 9 e^{x} + 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 20 e^{2 \ln (2)}$ = -80 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-80)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- 20 e^{\ln (5)}$ = -100 Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |-100)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $20 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + x^{2}

=

20

|

- 20

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x}{2 x - 6} + \frac{6 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $2$ }

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{6 x}{- 2 x + 4}$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{6 x}{2 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} + \frac{2 x}{x - 2} + \frac{6 x}{2 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{2 x}{x - 2} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{6 x}{2 (- x + 2)} \cdot (2 (x - 3))$	=
$x + 2 \frac{2 x (x - 3)}{x - 2} + 2 \frac{3 x (x - 3)}{- x + 2}$	=
$x + \frac{2 (2 x^{2} - 6 x)}{x - 2} + \frac{2 (3 x^{2} - 9 x)}{- x + 2}$	=
$\frac{2 (3 x^{2} - 9 x)}{- x + 2} + \frac{2 (2 x^{2} - 6 x)}{x - 2} + x$	=

\frac{2 (2 x^{2} - 6 x)}{x - 2} + \frac{2 (3 x^{2} - 9 x)}{- x + 2} + x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x)}{x - 2} + \frac{2 (3 x^{2} - 9 x)}{- x + 2} + x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x)}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 (3 x^{2} - 9 x)}{- x + 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2)$	=
$4 x^{2} - 12 x + \frac{2 (3 x^{2} - 9 x) (x - 2)}{- x + 2} + x (x - 2)$	=
$4 x^{2} - 12 x - 6 x (x - 3) + x (x - 2)$	=
$4 x^{2} - 12 x + (- 6 x^{2} + 18 x) + (x^{2} - 2 x)$	=
$- x^{2} + 4 x$	=

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 16 x^{3} + 74 x^{2} - 104 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 16 x^{3} + 74 x^{2} - 104 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 16 \cdot 1^{3} + 74 \cdot 1^{2} - 104 \cdot 1 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 16 x^{3}$	$+ 74 x^{2}$	$- 104 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 15 x^{3}$	$+ 74 x^{2}$
	-( $- 15 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$ )
		$59 x^{2}$	$- 104 x$
		-( $59 x^{2}$	$- 59 x$ )
			$- 45 x$	$+ 45$
			-( $- 45 x$	$+ 45$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 16 x^{3} + 74 x^{2} - 104 x + 45$ = $(x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 15 \cdot 1^{2} + 59 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 59 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 14 x + 45$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 59 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = $(x^{2} - 14 x + 45) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 14 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14+4}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14-4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 59 \cdot 5 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 59 x$	$- 45$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 59 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 50 x$ )
		$9 x$	$- 45$
		-( $9 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 15 \cdot 9^{2} + 59 \cdot 9 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 59 x$	$- 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 59 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 54 x$ )
		$5 x$	$- 45$
		-( $5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{4} - 16 \cdot 5^{3} + 74 \cdot 5^{2} - 104 \cdot 5 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 16 x^{3}$	$+ 74 x^{2}$	$- 104 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$
-( $x^{4}$	$- 5 x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$+ 74 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$+ 55 x^{2}$ )
		$19 x^{2}$	$- 104 x$
		-( $19 x^{2}$	$- 95 x$ )
			$- 9 x$	$+ 45$
			-( $- 9 x$	$+ 45$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 16 x^{3} + 74 x^{2} - 104 x + 45$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) \cdot (x - 5)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 11 \cdot 9^{2} + 19 \cdot 9 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$x$	$- 9$
		-( $x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 16 \cdot 9^{3} + 74 \cdot 9^{2} - 104 \cdot 9 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 16 x^{3}$	$+ 74 x^{2}$	$- 104 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$- 7 x^{3}$	$+ 74 x^{2}$
	-( $- 7 x^{3}$	$+ 63 x^{2}$ )
		$11 x^{2}$	$- 104 x$
		-( $11 x^{2}$	$- 99 x$ )
			$- 5 x$	$+ 45$
			-( $- 5 x$	$+ 45$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 16 x^{3} + 74 x^{2} - 104 x + 45$ = $(x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5) \cdot (x - 9)$

(x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 7 \cdot 5^{2} + 11 \cdot 5 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 5$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$x$	$- 5$
		-( $x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 5$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $5$ ; $9$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x - 8 | + 4$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x - 8 \| + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- \frac{1}{2} \| 2 x - 8 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$20$	\|: $2$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 10 - 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$12$
$- 2 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 8$ = -12 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 x^{3} + 3 t x$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 x^{3} + 3 t x$	=	0
$x (- 5 x^{2} + 3 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 5 x^{2} + 3 t$	=	0	\| - ( $3 t$ )
$- 5 x^{2}$	=	$- 3 t$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$\frac{3}{5} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{3}{5} t)}$	= $- \frac{1,7321}{2,2361} \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{3}{5} t)}$	= $\frac{1,7321}{2,2361} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: