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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 6$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

30

|

- 30

e^{2 x} + e^{x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 6 x} + 4) \cdot (x^{2} + 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 6 x} + 4) (x^{2} + 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 6 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 8 e^{- 6 x}$	=	$- 4$	\|: $- 8$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{1}{2})$	≈ 0.1155

2. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{1}{2})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{7}{3}$ }

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 2$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 2$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{x - 1}{3 x - 7} - 2$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{x - 1}{3 x - 7} \cdot (3 (x - 2)) - 2 \cdot (3 (x - 2))$	=
$x + 3 \frac{(x - 1) (x - 2)}{3 x - 7} - 6 x + 12$	=
$x + \frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} - 6 x + 12$	=
$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} + x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} + x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + x \cdot (3 x - 7) - 6 x \cdot (3 x - 7) + 12 \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} - 9 x + 6 + x (3 x - 7) - 6 x (3 x - 7) + 36 x - 84$	=
$3 x^{2} - 9 x + 6 + (3 x^{2} - 7 x) + (- 18 x^{2} + 42 x) + 36 x - 84$	=
$- 12 x^{2} + 62 x - 78$	=

- 12 x^{2} + 62 x - 78

= 0 |:2

$- 6 x^{2} + 31 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 39)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 936}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{25}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{- 31+5}{- 12}$ = $\frac{- 26}{- 12}$ = $\frac{13}{6}$ ≈ 2.17

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{25}}{- 12}$ = $\frac{- 31-5}{- 12}$ = $\frac{- 36}{- 12}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 31 x - 39$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{31}{6} x + \frac{13}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{12})}^{2} - (\frac{13}{2})$ = $\frac{961}{144}$ $-$ $\frac{13}{2}$ = $\frac{961}{144}$ $-$ $\frac{936}{144}$ = $\frac{25}{144}$

x_1,2 = $\frac{31}{12}$ ± $\sqrt{\frac{25}{144}}$

x₁ = $\frac{31}{12}$ - $\frac{5}{12}$ = $\frac{26}{12}$ = 2.1666666666667

x₂ = $\frac{31}{12}$ + $\frac{5}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{13}{6}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 20$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 8 \cdot 1^{3} + 15 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$- 4 x$	$- 20$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
		$24 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $24 x^{2}$	$- 24 x$ )
			$20 x$	$- 20$
			-( $20 x$	$- 20$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = $(x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 24 \cdot (- 2) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 24 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$10 x$	$+ 20$
		-( $10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 9 \cdot {(- 5)}^{2} + 24 \cdot (- 5) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 24 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$4 x$	$+ 20$
		-( $4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 8 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$- 4 x$	$- 20$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
		$3 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
			$- 10 x$	$- 20$
			-( $- 10 x$	$- 20$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = $(x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$10 x$	$- 10$
		-( $10 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 7 x + 10) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 5 x$	$- 10$
		-( $- 5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 6 \cdot {(- 5)}^{2} + 3 \cdot (- 5) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 2 x$	$- 10$
		-( $- 2 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + x - 2) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{4} + 8 \cdot {(- 5)}^{3} + 15 \cdot {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 5) - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$- 4 x$	$- 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$ )
		0	$- 4 x$
		-(0	0)
			$- 4 x$	$- 20$
			-( $- 4 x$	$- 20$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = $(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 5)$

$(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 5)$	=	0
$(x^{3} + 3 x^{2} - 4) (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	0
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	0
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 2 x$	$- 4$
		-( $- 2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ ; $1$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 6 | + 7$ = $16$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 6 \| + 7$	=	$16$	\| $- 7$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 6 \|$	=	$9$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

$3 x + 6$	=	$18$	\| $- 6$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 4 + 6$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 6$ < 0:

$- (3 x + 6)$	=	$18$
$- 3 x - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 8) + 6$ = -18 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 x + t) \cdot e^{\frac{1}{2} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 x + t) \cdot e^{\frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 x + t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 x + t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 4 t$ = 0 wird.

$25 - 4 t$	=	0
$- 4 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 4 t$	=	$- 25$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{25}{4}$ = 6.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{25}{4}$ beispielsweise für t = 7 der Radikand $25 - 4 \cdot 7$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 - 4 t$ für t > $\frac{25}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{25}{4}$ größer 0

Für t > $\frac{25}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +6 ≥ 0:

2. Fall: 3x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 6$ < 0: