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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $- 8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$- 8 x^{2}$	\| $+ 8 x^{2}$
$x^{5} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 8 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 2$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 1 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $4 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{\frac{1}{2} x} + 2 - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 e^{\frac{1}{2} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (x + 2) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} + 4$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

- 5 x^{2} + 4

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{6 x}{x + 1} + \frac{24 x}{- 2 x - 2}$ = 0

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D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x}{x + 2} + \frac{24 x}{- 2 x - 2}$	=	0
$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x}{x + 2} + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x}{x + 2} + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 1) + \frac{24 x}{- 2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{8 x (x + 1)}{x + 2} - 12 x$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 2} - 12 x$	=
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 2} + 6 x - 12 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 2} + 6 x - 12 x$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2)$	=
$8 x^{2} + 8 x + 6 x (x + 2) - 12 x (x + 2)$	=
$8 x^{2} + 8 x + (6 x^{2} + 12 x) + (- 12 x^{2} - 24 x)$	=
$2 x^{2} - 4 x$	=

$2 x^{2} - 4 x$	=	0
$2 x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x - 2 | - 8$ = $- 2$

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$- \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \| - 8$	=	$- 2$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{2} \| 2 x - 2 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x - 2 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x + 4 t)$ genau 2 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 4 x + 4 t)$ = 0

$x^{2} - 4 x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 4 x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 4 x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 16 t$	=	$- 20$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{5}{4}$ = 1.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{4}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $16 + (- 16 \cdot 2 + 4)$ = -12 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + (- 16 t + 4)$ für t > $\frac{5}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{4}$ größer 0

Für t < $\frac{5}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

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Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter