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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 5 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 5 e^{3 x}$	=	$6 e^{2 x}$	\| $- 6 e^{2 x}$
$e^{4 x} - 5 e^{3 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} - 6) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $6 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 216 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |216)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 6$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - x$

Also muss gelten:

x^{2} - x

=

6

|

- 6

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $- 2$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4}$ = $x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{4}$	=	$x^{2}$	\| $- x^{2}$
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 6} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} - 6$	=	0
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} - 6$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (3 (x + 2)) - 6 \cdot (3 (x + 2))$	=
$2 x + 3 \frac{(5 x - 1) \cdot (x + 2)}{2 (x + 1)} - 18 x - 36$	=
$2 x + \frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{2 (x + 1)} - 18 x - 36$	=
$\frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{2 (x + 1)} + 2 x - 18 x - 36$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{2 (x + 1)} + 2 x - 18 x - 36$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{3 (5 x^{2} + 9 x - 2)}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + 2 x \cdot (2 (x + 1)) - 18 x \cdot (2 (x + 1)) - 36 \cdot (2 (x + 1))$	=
$15 x^{2} + 27 x - 6 + 4 x \cdot (x + 1) - 36 x \cdot (x + 1) - 72 x - 72$	=
$15 x^{2} + 27 x - 6 + (4 x^{2} + 4 x) + (- 36 x^{2} - 36 x) - 72 x - 72$	=
$- 17 x^{2} - 77 x - 78$	=

$- 17 x^{2} - 77 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 77 \pm \sqrt{{(- 77)}^{2} - 4 \cdot (- 17) \cdot (- 78)}}{2 \cdot (- 17)}$

x_1,2 = $\frac{+ 77 \pm \sqrt{5 929 - 5 304}}{- 34}$

x_1,2 = $\frac{+ 77 \pm \sqrt{625}}{- 34}$

x₁ = $\frac{77 + \sqrt{625}}{- 34}$ = $\frac{77+25}{- 34}$ = $\frac{102}{- 34}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{77 - \sqrt{625}}{- 34}$ = $\frac{77-25}{- 34}$ = $\frac{52}{- 34}$ = $- \frac{26}{17}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 17$ " teilen:

$- 17 x^{2} - 77 x - 78$ = 0 |: $- 17$

$x^{2} + \frac{77}{17} x + \frac{78}{17}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{77}{34})}^{2} - (\frac{78}{17})$ = $\frac{5929}{1156}$ $-$ $\frac{78}{17}$ = $\frac{5929}{1156}$ $-$ $\frac{5304}{1156}$ = $\frac{625}{1156}$

x_1,2 = $- \frac{77}{34}$ ± $\sqrt{\frac{625}{1156}}$

x₁ = $- \frac{77}{34}$ - $\frac{25}{34}$ = $- \frac{102}{34}$ = -3

x₂ = $- \frac{77}{34}$ + $\frac{25}{34}$ = $- \frac{52}{34}$ = -1.5294117647059

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{26}{17}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 9 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 11 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$18 x$	$+ 36$
		-( $18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = $(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 9 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 9 \cdot 9^{2} - 4 \cdot 9 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 36$
		-( $- 4 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} - 4 x + 36$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 9)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 9)$	=	0
$(x^{2} - 4) \cdot (x - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 2 | - 4$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 2 \| - 4$	=	$- 8$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

$2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 + 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 2$ < 0:

$- (2 x + 2)$	=	$12$
$- 2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 7) + 2$ = -12 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x - 3 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x - 3 t)$ = 0

$x^{2} + 3 x - 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x - 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + (- 3 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 12 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 12 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 12 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 12 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 12 t + 4$ = 0 wird.

$9 + 12 t + 4$	=	0
$12 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$12 t$	=	$- 13$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{13}{12}$

Für t = $- \frac{13}{12}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +2 ≥ 0:

2. Fall: 2x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 2$ < 0: