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Kursstufe
cosh
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Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Gegegben sind die Funktionen f und g mit und . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.
Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
= | | | ||
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | | ||
= | | | ||
x2 | = |
|
=
|
x3 | = |
|
=
|
L={
Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:
x1 =
x2 =
x3 =
Steigung gleichsetzen
Beispiel:
Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit
Für die Steigung der Geraden y =
Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.
f(x)=
f'(x)=
Also muss gelten:
|
= |
|
|
|
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
u2:
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung
vermischte Gleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |: |
|
|
= | |ln(⋅) | |
|
= | |: |
|
x1 | = | ≈ 0 |
2. Fall:
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |
|
|
x2 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= | |
|
|
x3 | = |
|
=
|
x4 | = |
|
=
|
L={
Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
|
= | ||
|
= | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner
|
= | |⋅(
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
|
= |
Wir multiplizieren den Nenner
|
= | |⋅(
|
|
|
= | ||
|
= | ||
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
Gleichungen mit Polynomdivision
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen)
des Absolutglieds
Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x
(
|
|
|
: | (x |
= |
|
|
-(
|
|
||||||
|
|
||||||
-(
|
|
||||||
|
|
||||||
-(
|
|
||||||
es gilt also:
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
2. Fall:
|
= | |
|
|
x3 | = |
|
Polynomdivision mit 2
Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x
(
|
|
|
: | (x |
= |
|
|
-(
|
|
||||||
|
|
||||||
-(
|
|
||||||
|
|
||||||
-(
|
|
||||||
es gilt also:
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
x =
2. Fall:
|
= | |
|
|
x2 | = |
|
L={
Betragsgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|⋅ |
|
= |
|
1. Fall:
2 x
+ 8
≥ 0:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
x1 | = |
|
2. Fall:
2 x
+ 8
< 0:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
x2 | = |
|
Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung
(
Die Lösung
L={
Lösungsanzahl in Abh. von Parameter
Beispiel:
Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit
ln(u) ist genau dann = 0, wenn e0=u, also 1 = u ist:
x1,2 =
Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:
- Ist
1 + ( - 20 t + 4 ) - Ist
1 + ( - 20 t + 4 ) - Ist
1 + ( - 20 t + 4 )
Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand
|
= | ||
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Für t =
Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung (
2 x
+ 8
≥ 0) genügt:
Die Lösung
- 1
genügt also der obigen Bedingung.