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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 6 x$ und $g(x) =$ $\frac{7}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} + 6 x$	=	$\frac{7}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x + 6 x \cdot x$	=	$\frac{7}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x + 6 x \cdot x$	=	$7$
$x^{4} + 6 x^{2}$	=	$7$

x^{4} + 6 x^{2}

=

7

|

- 7

x^{4} + 6 x^{2} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $\frac{7}{(- 1)}$ = -7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-7)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{7}{1}$ = 7 Somit gilt: S₂( $1$ |7)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 1 + 4 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 1 + 4 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $4 e^{3 x} + 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{3 x} + 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$4 e^{3 x} + 2 - 2 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 e^{3 x} + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 4 x} + 6) \cdot (x^{3} + 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{- 4 x} + 6) (x^{3} + 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 4 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 e^{- 4 x}$	=	$- 6$	\|: $- 2$
$e^{- 4 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (3)$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (3)$	≈ -0.2747

2. Fall:

$x^{3} + 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{1}{4} \ln (3)$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{16 x}{x + 3} + \frac{- 7 x + 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 3$ }

\frac{- 7 x + 1}{x} + \frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{16 x}{x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 7 x + 1}{x} + \frac{3 x + 1}{2 x} + \frac{16 x}{x + 3}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 7 x + 1}{x} \cdot 2 x + \frac{3 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{16 x}{x + 3} \cdot 2 x$	=
$- 14 x + 2 + 3 x + 1 + 2 \frac{16 x \cdot x}{x + 3}$	=
$- 14 x + 2 + 3 x + 1 + \frac{32 x^{2}}{x + 3}$	=
$\frac{32 x^{2}}{x + 3} - 14 x + 3 x + 2 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{32 x^{2}}{x + 3} - 14 x + 3 x + 2 + 1$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{32 x^{2}}{x + 3} \cdot (x + 3) - 14 x \cdot (x + 3) + 3 x \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3) + 1 \cdot (x + 3)$	=
$32 x^{2} - 14 x (x + 3) + 3 x (x + 3) + 2 x + 6 + x + 3$	=
$32 x^{2} + (- 14 x^{2} - 42 x) + (3 x^{2} + 9 x) + 2 x + 6 + x + 3$	=
$21 x^{2} - 30 x + 9$	=

21 x^{2} - 30 x + 9

= 0 |:3

$7 x^{2} - 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{14}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{14}$ = $\frac{10+4}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{14}$ = $\frac{10-4}{14}$ = $\frac{6}{14}$ = $\frac{3}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 10 x + 3$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{10}{7} x + \frac{3}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{7})}^{2} - (\frac{3}{7})$ = $\frac{25}{49}$ $-$ $\frac{3}{7}$ = $\frac{25}{49}$ $-$ $\frac{21}{49}$ = $\frac{4}{49}$

x_1,2 = $\frac{5}{7}$ ± $\sqrt{\frac{4}{49}}$

x₁ = $\frac{5}{7}$ - $\frac{2}{7}$ = $\frac{3}{7}$ = 0.42857142857143

x₂ = $\frac{5}{7}$ + $\frac{2}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{3}{7}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 14 x^{2} + 41 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 14 x^{2} + 41 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 14 \cdot {(- 1)}^{2} + 41 \cdot (- 1) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 15 x + 56$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 15 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $- 15 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$56 x$	$+ 56$
		-( $56 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 41 x + 56$ = $(x^{2} - 15 x + 56) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 15 x + 56) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 15 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15+1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15-1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 14 \cdot 7^{2} + 41 \cdot 7 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} - 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 49 x$ )
		$- 8 x$	$+ 56$
		-( $- 8 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 41 x + 56$ = $(x^{2} - 7 x - 8) \cdot (x - 7)$

(x^{2} - 7 x - 8) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 14 \cdot 8^{2} + 41 \cdot 8 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 14 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 48 x$ )
		$- 7 x$	$+ 56$
		-( $- 7 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 14 x^{2} + 41 x + 56$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 1$ ; $7$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 6 | + 5$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 6 \| + 5$	=	$- 10$	\| $- 5$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 6 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

$- 3 x + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 8) + 6$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0:

$- (- 3 x + 6)$	=	$30$
$3 x - 6$	=	$30$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$36$	\|: $3$
x₂	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 12 + 6$ = -30 < 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 2 x - 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + 16 t$ = 0 wird.

$4 + 16 t$	=	0
$16 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$16 t$	=	$- 4$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{1}{4}$ = -0.25

Für t = $- \frac{1}{4}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +6 ≥ 0:

2. Fall: -3x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0: