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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 1$ und $g(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 1

=

2 e^{- 2 x}

|

- 2 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + e^{2 x} - 2$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $2 e^{- 2 \cdot 0}$ = 2 Somit gilt: S₁(0|2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 5$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 e^{\frac{1}{2} x} + 2 - 2 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$2 e^{\frac{1}{2} x} + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$(x + 2) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - x^{3} - 20 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} - x^{3} - 20 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - x - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 4$ ; 0; $5$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6$ = 0

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D=R\{ $- 1$ ; $2$ }

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{4 x}{x - 2} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{4 x}{x - 2} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{4 x}{x - 2} - 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{4 x}{x - 2} \cdot (x + 1) - 6 \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (x + 1)}{x - 2} - 6 x - 6$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} - 6 x - 6$	=
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} + 2 x - 6 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} + 2 x - 6 x - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x^{2} + 4 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - 6 x \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$4 x^{2} + 4 x + 2 x \cdot (x - 2) - 6 x \cdot (x - 2) - 6 x + 12$	=
$4 x^{2} + 4 x + (2 x^{2} - 4 x) + (- 6 x^{2} + 12 x) - 6 x + 12$	=
$6 x + 12$	=

$6 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$6 x$	=	$- 12$	\|: $6$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x - 2 | + 2$ = $6$

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$\frac{1}{2} \| - x - 2 \| + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$\frac{1}{2} \| - x - 2 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| - x - 2 \|$	=	$8$

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

$- x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$- x$	=	$10$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 10) - 2$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 2$ < 0:

$- (- x - 2)$	=	$8$
$x + 2$	=	$8$	\| $- 2$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ < 0) genügt:

$- 6 - 2$ = -8 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - t x - 3 t$ genau 2 Nullstellen?

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$x^{2} - t x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} + 12 t$ = 0 wird.

$t^{2} + 12 t$	=	0
$t \cdot (t + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 12$	=	0	\| $- 12$
t₂	=	$- 12$

Da bei $t^{2} + 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $t^{2} + 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- 12$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -2 ≥ 0:

2. Fall: -x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 2$ < 0: