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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + x^{4}$ und $g(x) =$ $20 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + x^{4}$	=	$20 x^{2}$	\| $- 20 x^{2}$
$x^{6} + x^{4} - 20 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + x^{2} - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + x^{2} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $20 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 80 Somit gilt: S₁( $- 2$ |80)

x₂ = 0: f(0)= $20 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $20 \cdot 2^{2}$ = 80 Somit gilt: S₃( $2$ |80)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 3$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 x^{2} \cdot e^{x} + 6 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 3$ }

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} - 6$	=	0
$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} - 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (x + 1) - 6 \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 1 + \frac{(2 x + 2) (x + 1)}{2 (x + 3)} - 6 x - 6$	=
$2 x - 1 + \frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 3)} - 6 x - 6$	=
$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 3)} + 2 x - 6 x - 1 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 3)} + 2 x - 6 x - 1 - 6$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + 2 x \cdot (2 (x + 3)) - 6 x \cdot (2 (x + 3)) - 1 \cdot (2 (x + 3)) - 6 \cdot (2 (x + 3))$	=
$2 x^{2} + 4 x + 2 + 4 x (x + 3) - 12 x (x + 3) - 2 x - 6 - 12 x - 36$	=
$2 x^{2} + 4 x + 2 + (4 x^{2} + 12 x) + (- 12 x^{2} - 36 x) - 2 x - 6 - 12 x - 36$	=
$- 6 x^{2} - 34 x - 40$	=

- 6 x^{2} - 34 x - 40

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 17 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{17+7}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{17-7}{- 6}$ = $\frac{10}{- 6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 17 x - 20$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 25 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 25 x + 25$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $25$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 25 \cdot 1 + 25$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 25 x$	$+ 25$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 25$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- 25 x$
	-(0	0)
		$- 25 x$	$+ 25$
		-( $- 25 x$	$+ 25$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 25 x + 25$ = $(x^{2} + 0 - 25) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 25) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 25) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} - {(- 5)}^{2} - 25 \cdot (- 5) + 25$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 25 x$	$+ 25$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$5 x$	$+ 25$
		-( $5 x$	$+ 25$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 25 x + 25$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 6 x + 5) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 5^{2} - 25 \cdot 5 + 25$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 25 x$	$+ 25$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 5 x$	$+ 25$
		-( $- 5 x$	$+ 25$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 25 x + 25$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 5$ ; $1$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x + 8 | - 7$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \| - 7$	=	$- 11$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 8 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$4$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 1) + 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$12$
$4 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 5 + 8$ = -12 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 1$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 5 t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 5 t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 5 t x - 2 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 5 t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 5 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{{(- 5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} + 8 t$	=	0
$t (25 t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$25 t$	=	$- 8$	\|: $25$
t₂	=	$- \frac{8}{25}$ = -0.32

Da bei $25 t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- \frac{8}{25}$ < t < $0$ , also für t > $- \frac{8}{25}$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: