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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 12 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $8 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} + 12 e^{2 x}$	=	$8 e^{4 x}$	\| $- 8 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 8 e^{4 x} + 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 8 e^{2 x} + 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $8 e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = 32 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |32)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $8 e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 288 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |288)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 2 + 3 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 1$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 2 + 3 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $3 e^{x} - 2 + 3 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$3 e^{x} - 2 + 3 x \cdot e^{x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$3 e^{x} - 2 + 2 + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 e^{x} + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 6 e^{2 x} - 7 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 6 e^{2 x} - 7 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} - 7) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{9 x}{x - 2} + \frac{- 18 x}{x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{9 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{2 x} - \frac{18 x}{x - 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{2 x} - \frac{18 x}{x - 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x - 1}{2 x} \cdot (x - 2) - \frac{18 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=
$9 x + \frac{(5 x - 1) (x - 2)}{2 x} - 18 x$	=
$9 x + \frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} - 18 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} + 9 x - 18 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} + 9 x - 18 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 9 x \cdot 2 x - 18 x \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 18 x \cdot x - 36 x \cdot x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 18 x^{2} - 36 x^{2}$	=
$- 13 x^{2} - 11 x + 2$	=

$- 13 x^{2} - 11 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot 2}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{225}}{- 26}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{225}}{- 26}$ = $\frac{11+15}{- 26}$ = $\frac{26}{- 26}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{225}}{- 26}$ = $\frac{11-15}{- 26}$ = $\frac{- 4}{- 26}$ = $\frac{2}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 11 x + 2$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{11}{13} x - \frac{2}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{26})}^{2} - (- \frac{2}{13})$ = $\frac{121}{676}$ $+$ $\frac{2}{13}$ = $\frac{121}{676}$ $+$ $\frac{104}{676}$ = $\frac{225}{676}$

x_1,2 = $- \frac{11}{26}$ ± $\sqrt{\frac{225}{676}}$

x₁ = $- \frac{11}{26}$ - $\frac{15}{26}$ = $- \frac{26}{26}$ = -1

x₂ = $- \frac{11}{26}$ + $\frac{15}{26}$ = $\frac{4}{26}$ = 0.15384615384615

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x - 6 | + 2$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| + 2$	=	$- 4$	\| $- 2$
$- \frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 6 - 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$12$
$- 3 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 2) - 6$ = -12 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 4 x - 5 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 4 x - 5 t)$ = 0

$x^{2} + 4 x - 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 4 x - 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 4 x + (- 5 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 20 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 20 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 20 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 20 t + 4$ = 0 wird.

$16 + 20 t + 4$	=	0
$20 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$20 t$	=	$- 20$	\|: $20$
$t$	=	$- 1$

Da rechts der Nullstelle t= $- 1$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $16 + (20 \cdot 0 + 4)$ = 20 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + 20 t + 4$ für t > $- 1$ größer 0 und für t < $- 1$ kleiner 0

Für t > $- 1$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: