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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 5 e^{x}$ und $g(x) =$ $14 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 5 e^{x}$	=	$14 e^{- 2 x}$	\| $- 14 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} + 5 e^{x} - 14 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 14) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $14 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 8.819 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |8.819)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $72 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $72 x + 4$ gilt m = $72$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - x^{2}

=

72

|

- 72

x^{4} - x^{2} - 72

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1+17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{1-17}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $72$ und sind somit parallel zur Geraden y = $72 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 7 x} - 3) \cdot (x^{3} + 4 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 7 x} - 3) (x^{3} + 4 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 7 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$8 e^{- 7 x}$	=	$3$	\|: $8$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.1401

2. Fall:

$x^{3} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{8})$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{3 x + 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x + 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{12 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - 3 \cdot (3 x + 1)$	=
$12 x - 9 x - 3$	=
$3 x - 3$	=

$3 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 59 x^{2} - 48 x + 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 59 x^{2} - 48 x + 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $108$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 59 \cdot 1^{2} - 48 \cdot 1 + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 59 x^{2}$	$- 48 x$	$+ 108$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 59 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 60 x^{2}$	$- 48 x$
		-( $- 60 x^{2}$	$+ 60 x$ )
			$- 108 x$	$+ 108$
			-( $- 108 x$	$+ 108$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 59 x^{2} - 48 x + 108$ = $(x^{3} - x^{2} - 60 x - 108) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - x^{2} - 60 x - 108) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 108$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 60 \cdot (- 2) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 54 x$	$- 108$
		-( $- 54 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} - 3 x - 54) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 3 x - 54) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - {(- 6)}^{2} - 60 \cdot (- 6) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 18 x$	$- 108$
		-( $- 18 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 9^{2} - 60 \cdot 9 - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$12 x$	$- 108$
		-( $12 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x - 4 | - 6$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \| - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$\frac{1}{3} \| - 2 x - 4 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x - 4 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

$- 2 x - 4$	=	$36$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$40$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 20) - 4$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 20$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0:

$- (- 2 x - 4)$	=	$36$
$2 x + 4$	=	$36$	\| $- 4$
$2 x$	=	$32$	\|: $2$
x₂	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 4$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 16 - 4$ = -36 < 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 20$ ; $16$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x + t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 2 x + t)$ = 0

$x^{2} + 2 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + 2 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + 2 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 4 t$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$2$

Für t = $2$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -4 ≥ 0:

2. Fall: -2x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 4$ < 0: