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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 + 4 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 3 + 4 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $4 e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$4 e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$4 (x + 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 18$ = $- 3 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} - 18

=

- 3 e^{3 x}

|

+ 3 e^{3 x}

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{3 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 x}{x - 2} + \frac{7 x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$3 x + \frac{(7 x - 1) \cdot (x - 2)}{2 x} - 5 x + 10$	=
$3 x + \frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} - 5 x + 10$	=
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 3 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} + 3 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x^{2} - 15 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 3 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x + 10 \cdot 2 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 6 x \cdot x - 10 x \cdot x + 20 x$	=
$7 x^{2} - 15 x + 2 + 6 x^{2} - 10 x^{2} + 20 x$	=
$3 x^{2} + 5 x + 2$	=

$3 x^{2} + 5 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 5+1}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 5-1}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 5 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 20 \cdot {(- 2)}^{2} + 43 \cdot (- 2) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 43 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 43 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$15 x$	$+ 30$
		-( $15 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 20 \cdot {(- 3)}^{2} + 43 \cdot (- 3) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 43 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 43 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 33 x$ )
		$10 x$	$+ 30$
		-( $10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x - 5 | - 2$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x - 5 \| - 2$	=	$- 7$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| x - 5 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x - 5 \|$	=	$10$

1. Fall: $x - 5$ ≥ 0:

$x - 5$	=	$10$	\| $+ 5$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 5$ ≥ 0) genügt:

$15 - 5$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x - 5$ < 0:

$- (x - 5)$	=	$10$
$- x + 5$	=	$10$	\| $- 5$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x - 5$ < 0) genügt:

$- 5 - 5$ = -10 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $15$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 4 x + 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 - 16 t$ = 0 wird.

$16 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 16 t$	=	$- 16$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$1$

Für t = $1$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x -5 ≥ 0:

2. Fall: x -5 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $x - 5$ ≥ 0:

2. Fall: $x - 5$ < 0: