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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 16 x$ und $g(x) =$ $- \frac{64}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + 16 x$	=	$- \frac{64}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + 16 x \cdot x^{2}$	=	$- \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 16 x \cdot x^{2}$	=	$- 64$
$x^{6} + 16 x^{3}$	=	$- 64$

x^{6} + 16 x^{3}

=

- 64

|

+ 64

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 8$ ± 0 = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- \frac{64}{{(- 2)}^{2}}$ = -16 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 5$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

6

|

- 6

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $5$ ; $6$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} + \frac{- 3}{x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ ; 0}

\frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 3 - \frac{3}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 3 - \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - 3 \cdot (3 x + 5) - \frac{3}{x} \cdot (3 x + 5)$	=
$3 x + 1 - 9 x - 15 - 3 \frac{3 x + 5}{x}$	=
$3 x + 1 - 9 x - 15 - \frac{3 (3 x + 5)}{x}$	=
$- \frac{3 (3 x + 5)}{x} + 3 x - 9 x + 1 - 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3 (3 x + 5)}{x} + 3 x - 9 x + 1 - 15$	=	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3 (3 x + 5)}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 9 x \cdot x + 1 \cdot x - 15 \cdot x$	=
$- 9 x - 15 + 3 x \cdot x - 9 x \cdot x + x - 15 x$	=
$- 9 x - 15 + 3 x^{2} - 9 x^{2} + x - 15 x$	=
$- 6 x^{2} - 23 x - 15$	=

$- 6 x^{2} - 23 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{169}}{- 12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{23+13}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{169}}{- 12}$ = $\frac{23-13}{- 12}$ = $\frac{10}{- 12}$ = $- \frac{5}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 23 x - 15$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{23}{6} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{12})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{360}{144}$ = $\frac{169}{144}$

x_1,2 = $- \frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{169}{144}}$

x₁ = $- \frac{23}{12}$ - $\frac{13}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{23}{12}$ + $\frac{13}{12}$ = $- \frac{10}{12}$ = -0.83333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{6}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 4 x^{2} - 31 x - 70$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 31 x - 70$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 70$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 31 \cdot (- 2) - 70$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 31 x$	$- 70$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 35$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 35 x$	$- 70$
		-( $- 35 x$	$- 70$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 31 x - 70$ = $(x^{2} + 2 x - 35) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 35) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 4 \cdot 5^{2} - 31 \cdot 5 - 70$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 31 x$	$- 70$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$14 x$	$- 70$
		-( $14 x$	$- 70$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 31 x - 70$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 9 x + 14) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 4 \cdot {(- 7)}^{2} - 31 \cdot (- 7) - 70$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 31 x$	$- 70$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 31 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 10 x$	$- 70$
		-( $- 10 x$	$- 70$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 31 x - 70$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 3 x - 10) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x - 8 | + 3$ = $27$

Lösung einblenden

$\| 4 x - 8 \| + 3$	=	$27$	\| $- 3$
$\| 4 x - 8 \|$	=	$24$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

$4 x - 8$	=	$24$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 8 - 8$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 8$ < 0:

$- (4 x - 8)$	=	$24$
$- 4 x + 8$	=	$24$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$16$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 4) - 8$ = -24 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - t x - 5 t) \cdot e^{- t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - t x - 5 t) \cdot e^{- t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - t x - 5 t$ = 0 oder $e^{- t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - t x - 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - t x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} + 20 t$ = 0 wird.

$t^{2} + 20 t$	=	0
$t (t + 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 20$	=	0	\| $- 20$
t₂	=	$- 20$

Da bei $t^{2} + 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $t^{2} + 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- 20$ < t < $0$ , also für t > $- 20$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -8 ≥ 0:

2. Fall: 4x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 8$ < 0: