Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 6$ und $g(x) =$ $7 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 6

=

7 x

|

- 7 x

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

L={ $1$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $7 \cdot 1$ = 7 Somit gilt: S₁( $1$ |7)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $7 \cdot 6$ = 42 Somit gilt: S₂( $6$ |42)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $45 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $45 x - 7$ gilt m = $45$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 4 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 4 x^{2}

=

45

|

- 45

x^{4} - 4 x^{2} - 45

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $2$ - $7$ = -5

x₂ = $2$ + $7$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $45$ und sind somit parallel zur Geraden y = $45 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{x} + 4) \cdot (x^{4} + 7 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{x} + 4) \cdot (x^{4} + 7 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 9 e^{x}$	=	$- 4$	\|: $- 9$
$e^{x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{4}{9})$	≈ -0.8109

2. Fall:

$x^{4} + 7 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $\ln (\frac{4}{9})$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{8 x}{x - 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{8 x}{x - 1} + \frac{16 x}{3 x - 1} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{16 x}{3 x - 1} - 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{16 x}{3 x - 1} \cdot (x - 1) - 8 \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{16 x \cdot (x - 1)}{3 x - 1} - 8 x + 8$	=
$8 x + \frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} - 8 x + 8$	=
$\frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} + 8 x - 8 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} + 8 x - 8 x + 8$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{16 x^{2} - 16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 8 x \cdot (3 x - 1) - 8 x \cdot (3 x - 1) + 8 \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x^{2} - 16 x + 8 x \cdot (3 x - 1) - 8 x \cdot (3 x - 1) + 24 x - 8$	=
$16 x^{2} - 16 x + (24 x^{2} - 8 x) + (- 24 x^{2} + 8 x) + 24 x - 8$	=
$16 x^{2} + 8 x - 8$	=

16 x^{2} + 8 x - 8

= 0 |:8

$2 x^{2} + x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 4 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$+ 2 x$
		-( $- x^{2}$	$- x$ )
			$3 x$	$+ 3$
			-( $3 x$	$+ 3$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$3 x$	$+ 3$
		-( $3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 3$
		-( $- 3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 3 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 3$
		-( $- x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 3)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 3)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 4 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 5 x^{2}$	$+ 2 x$
		-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
			$- 3 x$	$+ 3$
			-( $- 3 x$	$+ 3$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3$ = $(x^{3} - x^{2} - 5 x - 3) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - x^{2} - 5 x - 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 5 x$	$- 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 5 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 3 x$	$- 3$
		-( $- 3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 3^{2} - 5 \cdot 3 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 5 x$	$- 3$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 5 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$x$	$- 3$
		-( $x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 5 x - 3$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{4} - 2 \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 3$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{3} + x^{2} - x - 1$
-( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$ )
	$x^{3}$	$- 4 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$+ 2 x$
		-( $- x^{2}$	$+ 3 x$ )
			$- x$	$+ 3$
			-( $- x$	$+ 3$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 3$ = $(x^{3} + x^{2} - x - 1) \cdot (x - 3)$

(x^{3} + x^{2} - x - 1) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 1$
		-( $- x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - x - 1$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x - 2 | + 9$ = $6$

Lösung einblenden

$\| - x - 2 \| + 9$	=	$6$	\| $- 9$
$\| - x - 2 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - t x + t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - t x + t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - t x + t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - t x + t$ zu untersuchen:

$x^{2} - t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$t^{2} - 4 t$	=	0
$t \cdot (t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 4$	=	0	\| $+ 4$
t₂	=	$4$

Für t = $0$ oder für t = $4$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $1$