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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 6$ und $g(x) =$ $5 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 6

=

5 x

|

- 5 x

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2$ = 10 Somit gilt: S₁( $2$ |10)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $5 \cdot 3$ = 15 Somit gilt: S₂( $3$ |15)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 5 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 5 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $4 e^{\frac{1}{2} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$4 e^{\frac{1}{2} x} - 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{\frac{1}{2} x} - 2 + 2 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 e^{\frac{1}{2} x} + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (x + 2) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 3 x} - 5) \cdot (x^{2} + 6 x)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 3 x} - 5) \cdot (x^{2} + 6 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 3 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$9 e^{- 3 x}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{9})$	≈ 0.1959

2. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{9})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 5} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{- 16 x + 1}{6 x - 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $2$ }

$\frac{- 16 x + 1}{6 x - 15} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 5}$	=	0
$\frac{- 16 x + 1}{3 (2 x - 5)} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 5}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (2 x - 5)$ weg!

$\frac{- 16 x + 1}{3 (2 x - 5)} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 5}$	=	\|⋅( $3 (2 x - 5)$ )
$\frac{- 16 x + 1}{3 (2 x - 5)} \cdot (3 (2 x - 5)) + \frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot (3 (2 x - 5)) + \frac{3 x}{2 x - 5} \cdot (3 (2 x - 5))$	=
$- 16 x + 1 + 3 \frac{(2 x - 2) \cdot (2 x - 5)}{x - 2} + 9 x$	=
$- 16 x + 1 + \frac{3 (4 x^{2} - 14 x + 10)}{x - 2} + 9 x$	=
$\frac{3 (4 x^{2} - 14 x + 10)}{x - 2} - 16 x + 9 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3 (4 x^{2} - 14 x + 10)}{x - 2} - 16 x + 9 x + 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3 (4 x^{2} - 14 x + 10)}{x - 2} \cdot (x - 2) - 16 x \cdot (x - 2) + 9 x \cdot (x - 2) + 1 \cdot (x - 2)$	=
$12 x^{2} - 42 x + 30 - 16 x \cdot (x - 2) + 9 x \cdot (x - 2) + x - 2$	=
$12 x^{2} - 42 x + 30 + (- 16 x^{2} + 32 x) + (9 x^{2} - 18 x) + x - 2$	=
$5 x^{2} - 27 x + 28$	=

$5 x^{2} - 27 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 28}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{10}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27+13}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{10}$ = $\frac{27-13}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 27 x + 28$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{27}{5} x + \frac{28}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{10})}^{2} - (\frac{28}{5})$ = $\frac{729}{100}$ $-$ $\frac{28}{5}$ = $\frac{729}{100}$ $-$ $\frac{560}{100}$ = $\frac{169}{100}$

x_1,2 = $\frac{27}{10}$ ± $\sqrt{\frac{169}{100}}$

x₁ = $\frac{27}{10}$ - $\frac{13}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = 1.4

x₂ = $\frac{27}{10}$ + $\frac{13}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,4$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x - 6 | - 4$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x - 6 \| - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| - 2 x - 6 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x - 6 \|$	=	$24$

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

$- 2 x - 6$	=	$24$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$30$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 15) - 6$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0:

$- (- 2 x - 6)$	=	$24$
$2 x + 6$	=	$24$	\| $- 6$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 9 - 6$ = -24 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x + 5 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x + 5 t)$ = 0

$x^{2} + 3 x + 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x + 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + 5 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + (- 20 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 20 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 20 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 20 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 20 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 20 t + 4$	=	0
$- 20 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 20 t$	=	$- 13$	\|:( $- 20$ )
$t$	=	$\frac{13}{20}$ = 0.65

Für t = $\frac{13}{20}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -6 ≥ 0:

2. Fall: -2x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 6$ < 0: