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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3}$ und $g(x) =$ $9 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3}$	=	$9 x$	\| $- 9 x$
$x^{3} - 9 x$	=	0
$x (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $9 \cdot (- 3)$ = -27 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-27)

x₂ = 0: f(0)= $9 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $9 \cdot 3$ = 27 Somit gilt: S₃( $3$ |27)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $- 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 8 x^{2}$ = $9$

Lösung einblenden

x^{4} - 8 x^{2}

=

9

|

- 9

x^{4} - 8 x^{2} - 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 1$

x^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x + 1} + \frac{- 11 x + 1}{4 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{- 11 x + 1}{4 x - 4} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x + 1}$	=	0
$\frac{- 11 x + 1}{4 (x - 1)} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{x + 1}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{- 11 x + 1}{4 (x - 1)} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{- 11 x + 1}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{4 x}{x + 1} \cdot (4 (x - 1))$	=
$- 11 x + 1 + 2 x + 2 + 4 \frac{4 x (x - 1)}{x + 1}$	=
$- 11 x + 1 + 2 x + 2 + \frac{4 (4 x^{2} - 4 x)}{x + 1}$	=
$\frac{4 (4 x^{2} - 4 x)}{x + 1} - 11 x + 2 x + 1 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 (4 x^{2} - 4 x)}{x + 1} - 11 x + 2 x + 1 + 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 (4 x^{2} - 4 x)}{x + 1} \cdot (x + 1) - 11 x \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1)$	=
$16 x^{2} - 16 x - 11 x (x + 1) + 2 x (x + 1) + x + 1 + 2 x + 2$	=
$16 x^{2} - 16 x + (- 11 x^{2} - 11 x) + (2 x^{2} + 2 x) + x + 1 + 2 x + 2$	=
$7 x^{2} - 22 x + 3$	=

$7 x^{2} - 22 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 84}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{400}}{14}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{400}}{14}$ = $\frac{22+20}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = $3$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{400}}{14}$ = $\frac{22-20}{14}$ = $\frac{2}{14}$ = $\frac{1}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 22 x + 3$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{22}{7} x + \frac{3}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{7})}^{2} - (\frac{3}{7})$ = $\frac{121}{49}$ $-$ $\frac{3}{7}$ = $\frac{121}{49}$ $-$ $\frac{21}{49}$ = $\frac{100}{49}$

x_1,2 = $\frac{11}{7}$ ± $\sqrt{\frac{100}{49}}$

x₁ = $\frac{11}{7}$ - $\frac{10}{7}$ = $\frac{1}{7}$ = 0.14285714285714

x₂ = $\frac{11}{7}$ + $\frac{10}{7}$ = $\frac{21}{7}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{7}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $3$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$3 x$	$+ 3$
		-( $3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 3 x$	$+ 3$
		-( $- 3 x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} - 2 x - 3) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 2 x - 3) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 3 + 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- x$	$+ 3$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 3$
		-( $- x$	$+ 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 3)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 3)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 15 | - 6$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 15 \| - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 15 \|$	=	$18$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 15 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

$3 x + 15$	=	$36$	\| $- 15$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 7 + 15$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 15$ < 0:

$- (3 x + 15)$	=	$36$
$- 3 x - 15$	=	$36$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$51$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 17) + 15$ = -36 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 4 t x + 2 t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 4 t x + 2 t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 4 t x + 2 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 4 t x + 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 4 t x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} - 8 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} - 8 t$	=	0
$8 t (2 t - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$2 t - 1$	=	0	\| $+ 1$
$2 t$	=	$1$	\|: $2$
t₂	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Für t = $0$ oder für t = $\frac{1}{2}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +15 ≥ 0:

2. Fall: 3x +15 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $3 x + 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 15$ < 0: