Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 5 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $14 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 5 e^{5 x}$	=	$14 e^{2 x}$	\| $- 14 e^{2 x}$
$e^{8 x} - 5 e^{5 x} - 14 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 14) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $14 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 51.23 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |51.23)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 3 + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 3 + x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$(- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 4 e^{2 x}$ = $12$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 4 e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{3 x}{3 x + 4} + \frac{- 23 x - 1}{9 x + 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{4}{3}$ }

$\frac{3 x}{3 x + 3} + \frac{- 23 x - 1}{9 x + 9} + \frac{3 x}{3 x + 4}$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{- 23 x - 1}{9 (x + 1)} + \frac{3 x}{3 x + 4}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $9 (x + 1)$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 1)} + \frac{- 23 x - 1}{9 (x + 1)} + \frac{3 x}{3 x + 4}$	=	\|⋅( $9 (x + 1)$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} \cdot (9 (x + 1)) + \frac{- 23 x - 1}{9 (x + 1)} \cdot (9 (x + 1)) + \frac{3 x}{3 x + 4} \cdot (9 (x + 1))$	=
$9 x - 23 x - 1 + 9 \frac{3 x (x + 1)}{3 x + 4}$	=
$9 x - 23 x - 1 + \frac{9 (3 x^{2} + 3 x)}{3 x + 4}$	=
$\frac{9 (3 x^{2} + 3 x)}{3 x + 4} + 9 x - 23 x - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{9 (3 x^{2} + 3 x)}{3 x + 4} + 9 x - 23 x - 1$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{9 (3 x^{2} + 3 x)}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + 9 x \cdot (3 x + 4) - 23 x \cdot (3 x + 4) - 1 \cdot (3 x + 4)$	=
$27 x^{2} + 27 x + 9 x (3 x + 4) - 23 x (3 x + 4) - 3 x - 4$	=
$27 x^{2} + 27 x + (27 x^{2} + 36 x) + (- 69 x^{2} - 92 x) - 3 x - 4$	=
$- 15 x^{2} - 32 x - 4$	=

$- 15 x^{2} - 32 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{{(- 32)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{1 024 - 240}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 32 \pm \sqrt{784}}{- 30}$

x₁ = $\frac{32 + \sqrt{784}}{- 30}$ = $\frac{32+28}{- 30}$ = $\frac{60}{- 30}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{32 - \sqrt{784}}{- 30}$ = $\frac{32-28}{- 30}$ = $\frac{4}{- 30}$ = $- \frac{2}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 32 x - 4$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{32}{15} x + \frac{4}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{16}{15})}^{2} - (\frac{4}{15})$ = $\frac{256}{225}$ $-$ $\frac{4}{15}$ = $\frac{256}{225}$ $-$ $\frac{60}{225}$ = $\frac{196}{225}$

x_1,2 = $- \frac{16}{15}$ ± $\sqrt{\frac{196}{225}}$

x₁ = $- \frac{16}{15}$ - $\frac{14}{15}$ = $- \frac{30}{15}$ = -2

x₂ = $- \frac{16}{15}$ + $\frac{14}{15}$ = $- \frac{2}{15}$ = -0.13333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{15}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 4 x^{3} - 32 x^{2} + 144 x - 144$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 4 x^{3} - 32 x^{2} + 144 x - 144$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 144$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 4 \cdot 2^{3} - 32 \cdot 2^{2} + 144 \cdot 2 - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 32 x^{2}$	$+ 144 x$	$- 144$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 36 x + 72$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 32 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 36 x^{2}$	$+ 144 x$
		-( $- 36 x^{2}$	$+ 72 x$ )
			$72 x$	$- 144$
			-( $72 x$	$- 144$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 32 x^{2} + 144 x - 144$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 36 x + 72) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 36 x + 72) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 36 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 36 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 36$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 36 x$
	-(0	0)
		$- 36 x$	$+ 72$
		-( $- 36 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 36 x + 72$ = $(x^{2} + 0 - 36) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 36) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 36) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 36$	=	0	\| $+ 36$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - 2 \cdot {(- 6)}^{2} - 36 \cdot (- 6) + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 36 x$	$+ 72$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$12 x$	$+ 72$
		-( $12 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 36 x + 72$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 2 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 36 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$- 12 x$	$+ 72$
		-( $- 12 x$	$+ 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 36 x + 72$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{4} - 4 \cdot {(- 6)}^{3} - 32 \cdot {(- 6)}^{2} + 144 \cdot (- 6) - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 32 x^{2}$	$+ 144 x$	$- 144$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$
-( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$ )
	$- 10 x^{3}$	$- 32 x^{2}$
	-( $- 10 x^{3}$	$- 60 x^{2}$ )
		$28 x^{2}$	$+ 144 x$
		-( $28 x^{2}$	$+ 168 x$ )
			$- 24 x$	$- 144$
			-( $- 24 x$	$- 144$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 32 x^{2} + 144 x - 144$ = $(x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24) \cdot (x + 6)$

(x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 10 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$- 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$12 x$	$- 24$
		-( $12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 10 \cdot 6^{2} + 28 \cdot 6 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$- 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$4 x$	$- 24$
		-( $4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 28 x - 24$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{4} - 4 \cdot 6^{3} - 32 \cdot 6^{2} + 144 \cdot 6 - 144$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 32 x^{2}$	$+ 144 x$	$- 144$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 24$
-( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$ )
	$2 x^{3}$	$- 32 x^{2}$
	-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
		$- 20 x^{2}$	$+ 144 x$
		-( $- 20 x^{2}$	$+ 120 x$ )
			$24 x$	$- 144$
			-( $24 x$	$- 144$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 32 x^{2} + 144 x - 144$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 24) \cdot (x - 6)$

(x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 24) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 20 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 12 x$	$+ 24$
		-( $- 12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 24$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 2 \cdot {(- 6)}^{2} - 20 \cdot (- 6) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 20 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$4 x$	$+ 24$
		-( $4 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 24$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 6$ ; $2$ ; $6$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x + 2 | - 7$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \| 2 x + 2 \| - 7$	=	$- 11$	\| $+ 7$
$- \| 2 x + 2 \|$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$4$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

$2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 1 + 2$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 2$ < 0:

$- (2 x + 2)$	=	$4$
$- 2 x - 2$	=	$4$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 3) + 2$ = -4 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{5} + 3 x^{3}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$3 t x^{5} + 3 x^{3}$	=	0
$3 x^{3} (t x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$t x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$t x^{2}$	=	$- 1$	\|: $t$
$x^{2}$	=	$- 1 \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- 1 \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- 1 \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$3 x^{3}$	=	$0$	\|: $3$
$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t < 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +2 ≥ 0:

2. Fall: 2x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 2$ < 0: