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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 12 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 36 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 12 e^{2 x}$	=	$- 36 e^{- x}$	\| $+ 36 e^{- x}$
$e^{5 x} - 12 e^{2 x} + 36 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

$\frac{1}{3} \ln (6)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $- 36 e^{- (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = -19.812 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |-19.812)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 5$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - e^{3 x}

=

2

|

- 2

e^{6 x} - e^{3 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x}$ = $3$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x}

=

3

|

- 3

e^{2 x} - 2 e^{x} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{16 x}{2 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 6$	=	0
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{4 x (x - 1)}{3 x + 1} - 6 x + 6$	=
$8 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} - 6 x + 6$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} + 8 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} + 8 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 8 x \cdot (3 x + 1) - 6 x \cdot (3 x + 1) + 6 \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 8 x (3 x + 1) - 6 x (3 x + 1) + 18 x + 6$	=
$4 x^{2} - 4 x + (24 x^{2} + 8 x) + (- 18 x^{2} - 6 x) + 18 x + 6$	=
$10 x^{2} + 16 x + 6$	=

10 x^{2} + 16 x + 6

= 0 |:2

$5 x^{2} + 8 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{- 8+2}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{- 8-2}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 8 x + 3$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{8}{5} x + \frac{3}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{5})}^{2} - (\frac{3}{5})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{3}{5}$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{15}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $- \frac{4}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $- \frac{4}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{4}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 13 \cdot {(- 1)}^{2} + 23 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$12 x$	$+ 12$
		-( $12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 13 \cdot {(- 4)}^{2} + 23 \cdot (- 4) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$3 x$	$+ 12$
		-( $3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 2 | + 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \| + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 5) - 2$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$8$
$2 x + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
x₂	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 3 - 2$ = -8 < 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 t x - t) \cdot e^{- x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 t x - t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 t x - t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 t x - t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 t x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} + 4 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} + 4 t$	=	0
$t (25 t + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$25 t$	=	$- 4$	\|: $25$
t₂	=	$- \frac{4}{25}$ = -0.16

Da bei $25 t^{2} + 4 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} + 4 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- \frac{4}{25}$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: