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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} - 6 e^{- x}$ und $g(x) =$ $5$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} - 6 e^{- x}

=

5

|

- 5

e^{x} - 6 e^{- x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 6 e^{- x} - 5$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 5 e^{x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $5$ Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 4 x^{2} \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 4 x^{2} \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $- 2 + 8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$8 x^{2} \cdot e^{2 x} + 8 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$8 (x^{2} + x) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 2 x^{4} - 63 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 2 x^{4} - 63 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 2 x^{2} - 63)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} - 63

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{3 x}{3 x + 9} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- \frac{8}{3}$ }

$\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 3)} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 3)} + \frac{2 x}{3 x + 8} - 6$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 3)} \cdot (x + 3) + \frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (x + 3) - 6 \cdot (x + 3)$	=
$x + \frac{2 x (x + 3)}{3 x + 8} - 6 x - 18$	=
$x + \frac{2 x^{2} + 6 x}{3 x + 8} - 6 x - 18$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x}{3 x + 8} + x - 6 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x}{3 x + 8} + x - 6 x - 18$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + x \cdot (3 x + 8) - 6 x \cdot (3 x + 8) - 18 \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x^{2} + 6 x + x (3 x + 8) - 6 x (3 x + 8) - 54 x - 144$	=
$2 x^{2} + 6 x + (3 x^{2} + 8 x) + (- 18 x^{2} - 48 x) - 54 x - 144$	=
$- 13 x^{2} - 88 x - 144$	=

$- 13 x^{2} - 88 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 88 \pm \sqrt{{(- 88)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 88 \pm \sqrt{7 744 - 7 488}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 88 \pm \sqrt{256}}{- 26}$

x₁ = $\frac{88 + \sqrt{256}}{- 26}$ = $\frac{88+16}{- 26}$ = $\frac{104}{- 26}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{88 - \sqrt{256}}{- 26}$ = $\frac{88-16}{- 26}$ = $\frac{72}{- 26}$ = $- \frac{36}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 88 x - 144$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{88}{13} x + \frac{144}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{44}{13})}^{2} - (\frac{144}{13})$ = $\frac{1936}{169}$ $-$ $\frac{144}{13}$ = $\frac{1936}{169}$ $-$ $\frac{1872}{169}$ = $\frac{64}{169}$

x_1,2 = $- \frac{44}{13}$ ± $\sqrt{\frac{64}{169}}$

x₁ = $- \frac{44}{13}$ - $\frac{8}{13}$ = $- \frac{52}{13}$ = -4

x₂ = $- \frac{44}{13}$ + $\frac{8}{13}$ = $- \frac{36}{13}$ = -2.7692307692308

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{36}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x + 3 | - 8$ = $1$

Lösung einblenden

$\| 3 x + 3 \| - 8$	=	$1$	\| $+ 8$
$\| 3 x + 3 \|$	=	$9$

1. Fall: $3 x + 3$ ≥ 0:

$3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 2 + 3$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 3$ < 0:

$- (3 x + 3)$	=	$9$
$- 3 x - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 3$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 4) + 3$ = -9 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 4 x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 4 x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 4 x - 2 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 4 x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 4 x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 8 t$ = 0 wird.

$16 + 8 t$	=	0
$8 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$8 t$	=	$- 16$	\|: $8$
$t$	=	$- 2$

Für t = $- 2$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +3 ≥ 0:

2. Fall: 3x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 3$ < 0: