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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - \frac{6}{x}$ und $g(x) =$ $- 5 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - \frac{6}{x}$	=	$- 5 x$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- 5 x \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 6$	=	$- 5 x \cdot x$
$x^{4} - 6$	=	$- 5 x \cdot x$
$x^{4} - 6$	=	$- 5 x^{2}$

x^{4} - 6

=

- 5 x^{2}

|

+ 5 x^{2}

x^{4} + 5 x^{2} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 5 \cdot (- 1)$ = 5 Somit gilt: S₁( $- 1$ |5)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 5 \cdot 1$ = -5 Somit gilt: S₂( $1$ |-5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $4 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4 x + 7$ gilt m = $4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $4 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 2 x^{3} - 63 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} - 2 x^{3} - 63 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} - 2 x^{2} - 63)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} - 63

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- \frac{5}{3}$ }

\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x + 3} + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} - 4$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{3 x + 1}{3 x + 5} \cdot (2 x + 3) - 4 \cdot (2 x + 3)$	=
$2 x + \frac{(3 x + 1) \cdot (2 x + 3)}{3 x + 5} - 8 x - 12$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} - 8 x - 12$	=
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} + 2 x - 8 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} + 2 x - 8 x - 12$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{6 x^{2} + 11 x + 3}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 2 x \cdot (3 x + 5) - 8 x \cdot (3 x + 5) - 12 \cdot (3 x + 5)$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + 2 x \cdot (3 x + 5) - 8 x \cdot (3 x + 5) - 36 x - 60$	=
$6 x^{2} + 11 x + 3 + (6 x^{2} + 10 x) + (- 24 x^{2} - 40 x) - 36 x - 60$	=
$- 12 x^{2} - 55 x - 57$	=

$- 12 x^{2} - 55 x - 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 55 \pm \sqrt{{(- 55)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 57)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 55 \pm \sqrt{3 025 - 2 736}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 55 \pm \sqrt{289}}{- 24}$

x₁ = $\frac{55 + \sqrt{289}}{- 24}$ = $\frac{55+17}{- 24}$ = $\frac{72}{- 24}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{55 - \sqrt{289}}{- 24}$ = $\frac{55-17}{- 24}$ = $\frac{38}{- 24}$ = $- \frac{19}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 55 x - 57$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{55}{12} x + \frac{19}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{55}{24})}^{2} - (\frac{19}{4})$ = $\frac{3025}{576}$ $-$ $\frac{19}{4}$ = $\frac{3025}{576}$ $-$ $\frac{2736}{576}$ = $\frac{289}{576}$

x_1,2 = $- \frac{55}{24}$ ± $\sqrt{\frac{289}{576}}$

x₁ = $- \frac{55}{24}$ - $\frac{17}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $- \frac{55}{24}$ + $\frac{17}{24}$ = $- \frac{38}{24}$ = -1.5833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{19}{12}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 12 | - 4$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 12 \| - 4$	=	0	\| $+ 4$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 12 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

$- 4 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) - 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0:

$- (- 4 x - 12)$	=	$12$
$4 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 0 - 12$ = -12 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + x + 2 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 - 8 t$ = 0 wird.

$1 - 8 t$	=	0
$- 8 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 8 t$	=	$- 1$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{1}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{8}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 - 8 \cdot 1$ = -7 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 - 8 t$ für t > $\frac{1}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{8}$ größer 0

Für t > $\frac{1}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -12 ≥ 0:

2. Fall: -4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 12$ < 0: