Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 2 e^{2 x}$	=	$- e^{5 x}$	\| $+ e^{5 x}$
$e^{8 x} + e^{5 x} - 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 2) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- e^{5 \cdot 0}$ = -1 Somit gilt: S₁(0|-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 1$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

12

|

- 12

e^{6 x} + e^{3 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 25$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 25$	=	0	\| $+ 25$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x + 9} + \frac{2 x}{2 x + 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

$\frac{2 x}{2 x + 4} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 5$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{(2 x - 1) \cdot (x + 2)}{3 (x + 3)} - 5 x - 10$	=
$x + \frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} - 5 x - 10$	=
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} + x - 5 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} + x - 5 x - 10$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + x \cdot (3 (x + 3)) - 5 x \cdot (3 (x + 3)) - 10 \cdot (3 (x + 3))$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + 3 x \cdot (x + 3) - 15 x \cdot (x + 3) - 30 x - 90$	=
$2 x^{2} + 3 x - 2 + (3 x^{2} + 9 x) + (- 15 x^{2} - 45 x) - 30 x - 90$	=
$- 10 x^{2} - 63 x - 92$	=

$- 10 x^{2} - 63 x - 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot (- 92)}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 - 3 680}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{289}}{- 20}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{289}}{- 20}$ = $\frac{63+17}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{289}}{- 20}$ = $\frac{63-17}{- 20}$ = $\frac{46}{- 20}$ = $- 2,3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 63 x - 92$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{63}{10} x + \frac{46}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{63}{20})}^{2} - (\frac{46}{5})$ = $\frac{3969}{400}$ $-$ $\frac{46}{5}$ = $\frac{3969}{400}$ $-$ $\frac{3680}{400}$ = $\frac{289}{400}$

x_1,2 = $- \frac{63}{20}$ ± $\sqrt{\frac{289}{400}}$

x₁ = $- \frac{63}{20}$ - $\frac{17}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $- \frac{63}{20}$ + $\frac{17}{20}$ = $- \frac{46}{20}$ = -2.3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2,3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$10 x$	$+ 20$
		-( $10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 10 x$	$+ 20$
		-( $- 10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 5 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 20$
		-( $- 4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 5)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 5)$	=	0
$(x^{2} - 4) \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 12 | - 6$ = $18$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \| - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \|$	=	$24$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$72$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$72$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$84$	\|: $4$
x₁	=	$21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 21 - 12$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $21$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$72$
$- 4 x + 12$	=	$72$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$60$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 15) - 12$ = -72 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $21$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - x - 4 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - x - 4 t)$ = 0

$x^{2} - x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} - x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} - x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$16 t$	=	$- 5$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{5}{16}$

Für t = $- \frac{5}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: