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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 4 e^{x}$ und $g(x) =$ $5 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 4 e^{x}$	=	$5 e^{- x}$	\| $- 5 e^{- x}$
$e^{3 x} - 4 e^{x} - 5 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 5) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $5 e^{- (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 2.236 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |2.236)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - 2 e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 5 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 5 x - 5$ gilt m = $- 5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 6 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 6 e^{3 x}

=

- 5

|

+ 5

e^{6 x} - 6 e^{3 x} + 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 5 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{- 6 x} + 6) \cdot (x^{2} - 10 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{- 6 x} + 6) \cdot (x^{2} - 10 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{- 6 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 e^{- 6 x}$	=	$- 6$	\|: $- 3$
$e^{- 6 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (2)$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (2)$	≈ -0.1155

2. Fall:

$x^{2} - 10 x$	=	0
$x \cdot (x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 10$	=	0	\| $+ 10$
x₃	=	$10$

L={ $- \frac{1}{6} \ln (2)$ ; 0; $10$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{x - 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{2 x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x - 1}{2 x} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x - 1}{2 x} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x - 1) \cdot (x - 2)}{2 x} - 5 x + 10$	=
$6 x + \frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} - 5 x + 10$	=
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} + 6 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} + 6 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 11 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + 6 x \cdot 2 x - 5 x \cdot 2 x + 10 \cdot 2 x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 12 x \cdot x - 10 x \cdot x + 20 x$	=
$5 x^{2} - 11 x + 2 + 12 x^{2} - 10 x^{2} + 20 x$	=
$7 x^{2} + 9 x + 2$	=

$7 x^{2} + 9 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{14}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{14}$ = $\frac{- 9+5}{14}$ = $\frac{- 4}{14}$ = $- \frac{2}{7}$ ≈ -0.29

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{14}$ = $\frac{- 9-5}{14}$ = $\frac{- 14}{14}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 9 x + 2$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{9}{7} x + \frac{2}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{14})}^{2} - (\frac{2}{7})$ = $\frac{81}{196}$ $-$ $\frac{2}{7}$ = $\frac{81}{196}$ $-$ $\frac{56}{196}$ = $\frac{25}{196}$

x_1,2 = $- \frac{9}{14}$ ± $\sqrt{\frac{25}{196}}$

x₁ = $- \frac{9}{14}$ - $\frac{5}{14}$ = $- \frac{14}{14}$ = -1

x₂ = $- \frac{9}{14}$ + $\frac{5}{14}$ = $- \frac{4}{14}$ = -0.28571428571429

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{2}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $98$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 49 \cdot 2 + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 49 x$	$+ 98$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 49$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 49 x$
	-(0	0)
		$- 49 x$	$+ 98$
		-( $- 49 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = $(x^{2} + 0 - 49) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 49) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 49) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 49$	=	0	\| $+ 49$
$x^{2}$	=	$49$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{49}$	= $- 7$
x₂	=	$\sqrt{49}$	= $7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} - 2 \cdot {(- 7)}^{2} - 49 \cdot (- 7) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 49 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 63 x$ )
		$14 x$	$+ 98$
		-( $14 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = $(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 9 x + 14) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 2 \cdot 7^{2} - 49 \cdot 7 + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 49 x$	$+ 98$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 49 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 35 x$ )
		$- 14 x$	$+ 98$
		-( $- 14 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 49 x + 98$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 7$ ; $2$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x + 12 | + 9$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \| 4 x + 12 \| + 9$	=	$- 11$	\| $- 9$
$- \| 4 x + 12 \|$	=	$- 20$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x + 12 \|$	=	$20$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

$4 x + 12$	=	$20$	\| $- 12$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 2 + 12$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 12$ < 0:

$- (4 x + 12)$	=	$20$
$- 4 x - 12$	=	$20$	\| $+ 12$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) + 12$ = -20 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - t x + 3 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - t x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} - 12 t$ = 0 wird.

$t^{2} - 12 t$	=	0
$t \cdot (t - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 12$	=	0	\| $+ 12$
t₂	=	$12$

Für t = $0$ oder für t = $12$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +12 ≥ 0:

2. Fall: 4x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 12$ < 0: