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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 5 x$ und $g(x) =$ $- 6$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 5 x

=

- 6

|

+ 6

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $- 6$ Somit gilt: S₁( $2$ |-6)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $- 6$ Somit gilt: S₂( $3$ |-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5}$ parallel zur Geraden y = $81 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $81 x - 4$ gilt m = $81$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5}$

f'(x)= $x^{4}$

Also muss gelten:

$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $81$ und sind somit parallel zur Geraden y = $81 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 e^{2 x} - 15 e^{x}$ = $- e^{3 x}$

Lösung einblenden

$2 e^{2 x} - 15 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{- 14 x}{4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{14 x}{4 x + 4}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{14 x}{4 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - \frac{14 x}{4 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (2 (x + 1)) - \frac{14 x}{4 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=
$4 x + 2 \frac{(5 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} - 7 x$	=
$4 x + \frac{2 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} - 7 x$	=
$\frac{2 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} + 4 x - 7 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{2 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} + 4 x - 7 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{2 (5 x^{2} + 6 x + 1)}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 4 x \cdot (2 x + 1) - 7 x \cdot (2 x + 1)$	=
$10 x^{2} + 12 x + 2 + 4 x (2 x + 1) - 7 x (2 x + 1)$	=
$10 x^{2} + 12 x + 2 + (8 x^{2} + 4 x) + (- 14 x^{2} - 7 x)$	=
$4 x^{2} + 9 x + 2$	=

$4 x^{2} + 9 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 9+7}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 9-7}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x + 2$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,25$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 16 \cdot 1^{2} - 17 \cdot 1 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 13 x - 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$+ 13 x$ )
		$- 30 x$	$+ 30$
		-( $- 30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} - 13 x - 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 13 x - 30) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13+23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{13-23}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $10$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 6^{3} - 16 \cdot 6^{2} - 17 \cdot 6 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 16 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 5 x$	$+ 30$
		-( $- 5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 17 x + 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x + 2 | + 5$ = $7$

Lösung einblenden

$\| x + 2 \| + 5$	=	$7$	\| $- 5$
$\| x + 2 \|$	=	$2$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ ≥ 0) genügt:

$0 + 2$ = 2 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 2$ < 0:

$- (x + 2)$	=	$2$
$- x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ < 0) genügt:

$- 4 + 2$ = -2 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 2 x - t) \cdot e^{- \frac{1}{3} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 2 x - t) \cdot e^{- \frac{1}{3} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 2 x - t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 2 x - t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 2 x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + 4 t$ = 0 wird.

$4 + 4 t$	=	0
$4 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$4 t$	=	$- 4$	\|: $4$
$t$	=	$- 1$

Für t = $- 1$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +2 ≥ 0:

2. Fall: x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 2$ < 0: