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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -6x und g(x)= -9 . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -6x = -9 | +9

x 2 -6x +9 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 9 21

x1,2 = +6 ± 36 -36 2

x1,2 = +6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 6 2 = 3

L={ 3 }

3 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = 3 : f( 3 )= -9 Somit gilt: S1( 3 |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= 1 5 x 5 + 1 3 x 3 parallel zur Geraden y = 2x +6 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 2x +6 gilt m = 2

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= 1 5 x 5 + 1 3 x 3

f'(x)= x 4 + x 2

Also muss gelten:

x 4 + x 2 = 2 | -2
x 4 + x 2 -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -2

x 2 = -2 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 2 und sind somit parallel zur Geraden y = 2x +6 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-3 e 3x -28 e x = - e 5x

Lösung einblenden
-3 e 3x -28 e x = - e 5x | + e 5x
e 5x -3 e 3x -28 e x = 0
( e 4x -3 e 2x -28 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 4x -3 e 2x -28 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -28 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -28 ) 21

u1,2 = +3 ± 9 +112 2

u1,2 = +3 ± 121 2

u1 = 3 + 121 2 = 3 +11 2 = 14 2 = 7

u2 = 3 - 121 2 = 3 -11 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 7

e 2x = 7 |ln(⋅)
2x = ln( 7 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 7 ) ≈ 0.973

u2: e 2x = -4

e 2x = -4

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 ln( 7 ) }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2x 2x +2 + 6x x -2 + -10x x -2 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 2 ; -1 }

6x x -2 + 2x 2x +2 - 10x x -2 = 0
6x x -2 + 2x 2( x +1 ) - 10x x -2 = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner x -2 weg!

6x x -2 + 2x 2( x +1 ) - 10x x -2 = 0 |⋅( x -2 )
6x x -2 · ( x -2 ) + 2x 2( x +1 ) · ( x -2 )- 10x x -2 · ( x -2 ) = 0
6x + x ( x -2 ) x +1 -10x = 0
6x + x 2 -2x x +1 -10x = 0
x 2 -2x x +1 +6x -10x = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +1 weg!

x 2 -2x x +1 +6x -10x = 0 |⋅( x +1 )
x 2 -2x x +1 · ( x +1 ) + 6x · ( x +1 ) -10x · ( x +1 ) = 0
x 2 -2x +6 x ( x +1 )-10 x ( x +1 ) = 0
x 2 -2x + ( 6 x 2 +6x ) + ( -10 x 2 -10x ) = 0
-3 x 2 -6x = 0
-3 x 2 -6x = 0
-3 x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -7 x 3 -22 x 2 +28x +72 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von x 4 -7 x 3 -22 x 2 +28x +72 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds 72 .

-2 ist eine Lösung, denn ( -2 ) 4 -7 ( -2 ) 3 -22 ( -2 ) 2 +28( -2 ) +72 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x+2) durch.

( x 4 -7 x 3 -22 x 2 +28x +72 ) : (x+2) = x 3 -9 x 2 -4x +36
-( x 4 +2 x 3 )
-9 x 3 -22 x 2
-( -9 x 3 -18 x 2 )
-4 x 2 +28x
-( -4 x 2 -8x )
36x +72
-( 36x +72 )
0

es gilt also:

x 4 -7 x 3 -22 x 2 +28x +72 = ( x 3 -9 x 2 -4x +36 ) · ( x +2 )

( x 3 -9 x 2 -4x +36 ) ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von x 3 -9 x 2 -4x +36 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds 36 .

-2 ist eine Lösung, denn ( -2 ) 3 -9 ( -2 ) 2 -4( -2 ) +36 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x+2) durch.

( x 3 -9 x 2 -4x +36 ) : (x+2) = x 2 -11x +18
-( x 3 +2 x 2 )
-11 x 2 -4x
-( -11 x 2 -22x )
18x +36
-( 18x +36 )
0

es gilt also:

x 3 -9 x 2 -4x +36 = ( x 2 -11x +18 ) · ( x +2 )

( x 2 -11x +18 ) ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 -11x +18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 1 · 18 21

x1,2 = +11 ± 121 -72 2

x1,2 = +11 ± 49 2

x1 = 11 + 49 2 = 11 +7 2 = 18 2 = 9

x2 = 11 - 49 2 = 11 -7 2 = 4 2 = 2


2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x3 = -2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 9


2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x4 = -2

Polynomdivision mit 2

Polynomdivision mit 9

L={ -2 ; 2 ; 9 }

-2 ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 | -x -3 | +5 = 6

Lösung einblenden
1 2 | -x -3 | +5 = 6
5 + 1 2 | -x -3 | = 6 | -5
1 2 | -x -3 | = 1 |⋅2
| -x -3 | = 2

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

-x -3 = 2 | +3
-x = 5 |:(-1 )
x1 = -5

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( -x -3 ≥ 0) genügt:

-( -5 ) -3 = 2 ≥ 0

Die Lösung -5 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: -x -3 < 0:

-( -x -3 ) = 2
x +3 = 2 | -3
x2 = -1

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( -x -3 < 0) genügt:

-( -1 ) -3 = -2 < 0

Die Lösung -1 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -5 ; -1 }