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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 8 x$ und $g(x) =$ $- 12$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 8 x

=

- 12

|

+ 12

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $- 12$ Somit gilt: S₁( $2$ |-12)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $- 12$ Somit gilt: S₂( $6$ |-12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 2 + 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 1$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 2 + 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $1 - 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$1 - 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 6 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$3 (- 3 x^{2} + 2 x) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 6 e^{3 x} - 7 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 6 e^{3 x} - 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 6 e^{x} - 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{x + 3} + \frac{3 x + 1}{- x}$ = 0

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D=R\{0; $- 3$ }

- \frac{3 x + 1}{x} + \frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{3 x + 1}{x} + \frac{5 x + 1}{2 x} + \frac{4 x}{x + 3}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{3 x + 1}{x} \cdot 2 x + \frac{5 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{4 x}{x + 3} \cdot 2 x$	=
$- 6 x - 2 + 5 x + 1 + 2 \frac{4 x \cdot x}{x + 3}$	=
$- 6 x - 2 + 5 x + 1 + \frac{8 x^{2}}{x + 3}$	=
$\frac{8 x^{2}}{x + 3} - 6 x + 5 x - 2 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{8 x^{2}}{x + 3} - 6 x + 5 x - 2 + 1$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{8 x^{2}}{x + 3} \cdot (x + 3) - 6 x \cdot (x + 3) + 5 x \cdot (x + 3) - 2 \cdot (x + 3) + 1 \cdot (x + 3)$	=
$8 x^{2} - 6 x (x + 3) + 5 x (x + 3) - 2 x - 6 + x + 3$	=
$8 x^{2} + (- 6 x^{2} - 18 x) + (5 x^{2} + 15 x) - 2 x - 6 + x + 3$	=
$7 x^{2} - 4 x - 3$	=

$7 x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{14}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{14}$ = $\frac{4+10}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{14}$ = $\frac{4-10}{14}$ = $\frac{- 6}{14}$ = $- \frac{3}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{4}{7} x - \frac{3}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{7})}^{2} - (- \frac{3}{7})$ = $\frac{4}{49}$ $+$ $\frac{3}{7}$ = $\frac{4}{49}$ $+$ $\frac{21}{49}$ = $\frac{25}{49}$

x_1,2 = $\frac{2}{7}$ ± $\sqrt{\frac{25}{49}}$

x₁ = $\frac{2}{7}$ - $\frac{5}{7}$ = $- \frac{3}{7}$ = -0.42857142857143

x₂ = $\frac{2}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{3}{7}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 6 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 6 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 12 | + 5$ = $17$

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$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \| + 5$	=	$17$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$36$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$36$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$48$	\|: $4$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 12 - 12$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$36$
$- 4 x + 12$	=	$36$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 6) - 12$ = -36 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x - 4 t)$ genau 0 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x - 4 t)$ = 0

$x^{2} + x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$16 t$	=	$- 5$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{5}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{16}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + (16 \cdot 1 + 4)$ = 21 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 16 t + 4$ für t > $- \frac{5}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{16}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{5}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: