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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 5 x^{4}$ und $g(x) =$ $36 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} + 5 x^{4}$	=	$36 x^{2}$	\| $- 36 x^{2}$
$x^{6} + 5 x^{4} - 36 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + 5 x^{2} - 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 5 x^{2} - 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 9$

x^{2}

=

- 9

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $36 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 144 Somit gilt: S₁( $- 2$ |144)

x₂ = 0: f(0)= $36 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $36 \cdot 2^{2}$ = 144 Somit gilt: S₃( $2$ |144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $21 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x + 5$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 4 x

=

21

|

- 21

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

L={ $- 3$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5}$ = $x$

Lösung einblenden

$x^{5}$	=	$x$	\| $- x$
$x^{5} - x$	=	0
$x (x^{4} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{4} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{4}$	=	$1$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt[4]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{- 2 x - 1}{2 x - 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{2 x - 2 - 2 x - 1}{2 x - 5} + \frac{x - 2}{3 x - 10}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x - 2 - 2 x - 1}{2 x - 5} + \frac{x - 2}{3 x - 10}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x - 2 - 2 x - 1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x - 2 - 2 x - 1 + \frac{(x - 2) (2 x - 5)}{3 x - 10}$	=
$2 x - 2 - 2 x - 1 + \frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{3 x - 10}$	=
$\frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{3 x - 10} + 2 x - 2 x - 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{3 x - 10} + 2 x - 2 x - 2 - 1$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x^{2} - 9 x + 10}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 2 x \cdot (3 x - 10) - 2 x \cdot (3 x - 10) - 2 \cdot (3 x - 10) - 1 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x^{2} - 9 x + 10 + 2 x (3 x - 10) - 2 x (3 x - 10) - 6 x + 20 - 3 x + 10$	=
$2 x^{2} - 9 x + 10 + (6 x^{2} - 20 x) + (- 6 x^{2} + 20 x) - 6 x + 20 - 3 x + 10$	=
$2 x^{2} - 18 x + 40$	=

2 x^{2} - 18 x + 40

= 0 |:2

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x - 4 | - 1$ = $- 25$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x - 4 \| - 1$	=	$- 25$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| 4 x - 4 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$72$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$72$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$76$	\|: $4$
x₁	=	$19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 19 - 4$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$72$
$- 4 x + 4$	=	$72$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$68$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 17) - 4$ = -72 < 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $19$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 4 x + 3 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 4 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} + 4 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 4 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 4 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 12 t$	=	$- 20$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{3}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $16 + (- 12 \cdot 3 + 4)$ = -16 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{5}{3}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{3}$ größer 0

Für t < $\frac{5}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: