Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6}$ und $g(x) =$ $4 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6}$	=	$4 x^{4}$	\| $- 4 x^{4}$
$x^{6} - 4 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $4 \cdot {(- 2)}^{4}$ = 64 Somit gilt: S₁( $- 2$ |64)

x₂ = 0: f(0)= $4 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $4 \cdot 2^{4}$ = 64 Somit gilt: S₃( $2$ |64)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 6 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} + 12 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (x^{2} + 6 x) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 6$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7} + 7 x^{4} - 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{7} + 7 x^{4} - 8 x$	=	0
$x (x^{6} + 7 x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} + 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $\frac{10}{3}$ }

\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{3 x - 10} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{2 x}{3 x - 10} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 8) - 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{2 x (3 x - 8)}{3 x - 10} - 18 x + 48$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} - 18 x + 48$	=
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} + 2 x - 18 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} + 2 x - 18 x + 48$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{6 x^{2} - 16 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 2 x \cdot (3 x - 10) - 18 x \cdot (3 x - 10) + 48 \cdot (3 x - 10)$	=
$6 x^{2} - 16 x + 2 x (3 x - 10) - 18 x (3 x - 10) + 144 x - 480$	=
$6 x^{2} - 16 x + (6 x^{2} - 20 x) + (- 54 x^{2} + 180 x) + 144 x - 480$	=
$- 42 x^{2} + 288 x - 480$	=

- 42 x^{2} + 288 x - 480

= 0 |:6

$- 7 x^{2} + 48 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{48^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 80)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{2 304 - 2 240}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 48 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 48 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 48+8}{- 14}$ = $\frac{- 40}{- 14}$ = $\frac{20}{7}$ ≈ 2.86

x₂ = $\frac{- 48 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{- 48-8}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 48 x - 80$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{48}{7} x + \frac{80}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{24}{7})}^{2} - (\frac{80}{7})$ = $\frac{576}{49}$ $-$ $\frac{80}{7}$ = $\frac{576}{49}$ $-$ $\frac{560}{49}$ = $\frac{16}{49}$

x_1,2 = $\frac{24}{7}$ ± $\sqrt{\frac{16}{49}}$

x₁ = $\frac{24}{7}$ - $\frac{4}{7}$ = $\frac{20}{7}$ = 2.8571428571429

x₂ = $\frac{24}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $\frac{28}{7}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{20}{7}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x - 4 | - 5$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x - 4 \| - 5$	=	$5$	\| $+ 5$
$\frac{1}{2} \| 2 x - 4 \|$	=	$10$	\|⋅ $2$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

$2 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$24$	\|: $2$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 12 - 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 4$ < 0:

$- (2 x - 4)$	=	$20$
$- 2 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$16$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 8) - 4$ = -20 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x + t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x + t)$ = 0

$x^{2} + 3 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 4 t$	=	$- 13$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{13}{4}$ = 3.25

Für t = $\frac{13}{4}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -4 ≥ 0:

2. Fall: 2x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 4$ < 0: