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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 5 x^{2}$ und $g(x) =$ $36$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 5 x^{2}

=

36

|

- 36

x^{4} - 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $36$ Somit gilt: S₁( $- 3$ |36)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $36$ Somit gilt: S₂( $3$ |36)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 3 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 3$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 3 + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $6 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$6 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$6 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 1 - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$6 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$2 (- x + 3) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

$x^{2}$	=	$3 x$	\| $- 3 x$
$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{3 x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x + 1}{3 x} - 2$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x + 1}{3 x} \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$	=
$5 x + 1 - 6 x$	=
$- x + 1$	=

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 24 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 24 x - 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 6 \cdot {(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 24 \cdot (- 2) - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$- 16 x^{2}$ )
		$20 x^{2}$	$+ 24 x$
		-( $20 x^{2}$	$+ 40 x$ )
			$- 16 x$	$- 32$
			-( $- 16 x$	$- 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 24 x - 32$ = $(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 8 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 20 \cdot 4 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$4 x$	$- 16$
		-( $4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 6 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 24 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
			$16 x$	$- 32$
			-( $16 x$	$- 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 24 x - 32$ = $(x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$8 x$	$+ 16$
		-( $8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 8 x$	$+ 16$
		-( $- 8 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x - 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 4 \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 16$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 16$
		-( $- 4 x$	$+ 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 4)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{4} - 6 \cdot 4^{3} + 4 \cdot 4^{2} + 24 \cdot 4 - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 32$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$
-( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$+ 24 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$+ 16 x$ )
			$8 x$	$- 32$
			-( $8 x$	$- 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + 24 x - 32$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) \cdot (x - 4)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $2$ ; $4$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 4 x + 20 | + 1$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 4 x + 20 \| + 1$	=	$- 15$	\| $- 1$
$- \frac{1}{2} \| 4 x + 20 \|$	=	$- 16$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 4 x + 20 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

$4 x + 20$	=	$32$	\| $- 20$
$4 x$	=	$12$	\|: $4$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 3 + 20$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 20$ < 0:

$- (4 x + 20)$	=	$32$
$- 4 x - 20$	=	$32$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$52$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 20$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 13) + 20$ = -32 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 3 t x + 3 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 t x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{{(- 3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 12 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 12 t$	=	0
$3 t (3 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$3 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 t$	=	$4$	\|: $3$
t₂	=	$\frac{4}{3}$

Für t = $0$ oder für t = $\frac{4}{3}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +20 ≥ 0:

2. Fall: 4x +20 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 20$ < 0: