Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - x^{3}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )=0 Somit gilt: S₂( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 6 x} - 2) \cdot (x^{4} - 8 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 6 x} - 2) (x^{4} - 8 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 6 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$9 e^{- 6 x}$	=	$2$	\|: $9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{2}{9})$	≈ 0.2507

2. Fall:

$x^{4} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{2}{9})$ ; $8$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x - 2}{2 x} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{7 x - 2}{2 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{7 x - 2}{2 x} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{7 x - 2}{2 x} \cdot (2 x + 1) - 7 \cdot (2 x + 1)$	=
$5 x + 1 + \frac{(7 x - 2) (2 x + 1)}{2 x} - 14 x - 7$	=
$5 x + 1 + \frac{14 x^{2} + 3 x - 2}{2 x} - 14 x - 7$	=
$\frac{14 x^{2} + 3 x - 2}{2 x} + 5 x - 14 x + 1 - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{14 x^{2} + 3 x - 2}{2 x} + 5 x - 14 x + 1 - 7$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{14 x^{2} + 3 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + 5 x \cdot 2 x - 14 x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x - 7 \cdot 2 x$	=
$14 x^{2} + 3 x - 2 + 10 x \cdot x - 28 x \cdot x + 2 x - 14 x$	=
$14 x^{2} + 3 x - 2 + 10 x^{2} - 28 x^{2} + 2 x - 14 x$	=
$- 4 x^{2} - 9 x - 2$	=

$- 4 x^{2} - 9 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9+7}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{9-7}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 9 x - 2$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,25$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 15$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 15 x$	$+ 15$
		-( $- 15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $5$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 7 \cdot 3^{2} - 11 \cdot 3 + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 5 x$	$+ 15$
		-( $- 5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 11 x + 15$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x + 1 | - 8$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \| x + 1 \| - 8$	=	$- 9$	\| $+ 8$
$- \| x + 1 \|$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$\| x + 1 \|$	=	$1$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$1$	\| $- 1$
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$0 + 1$ = 1 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$1$
$- x - 1$	=	$1$	\| $+ 1$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 2 + 1$ = -1 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; 0}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $5 t x^{3} + 2 x$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$5 t x^{3} + 2 x$	=	0
$x (5 t x^{2} + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$5 t x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$5 t x^{2}$	=	$- 2$	\|: $5 t$
$x^{2}$	=	$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \sqrt{(- \frac{2}{5 t})}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\sqrt{(- \frac{2}{5 t})}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Für t < 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: