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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 30$ und $g(x) =$ $e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 30

=

e^{2 x}

|

- e^{2 x}

e^{4 x} - e^{2 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = 6 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 35$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x + 1}{3 x} + \frac{4 x}{3 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 1} + \frac{11 x + 1}{3 x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{11 x + 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) - 6 \cdot (3 x - 1)$	=
$4 x + \frac{(11 x + 1) (3 x - 1)}{3 x} - 18 x + 6$	=
$4 x + \frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} - 18 x + 6$	=
$\frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} + 4 x - 18 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} + 4 x - 18 x + 6$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{33 x^{2} - 8 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + 4 x \cdot 3 x - 18 x \cdot 3 x + 6 \cdot 3 x$	=
$33 x^{2} - 8 x - 1 + 12 x \cdot x - 54 x \cdot x + 18 x$	=
$33 x^{2} - 8 x - 1 + 12 x^{2} - 54 x^{2} + 18 x$	=
$- 9 x^{2} + 10 x - 1$	=

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10+8}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 10-8}{- 18}$ = $\frac{- 18}{- 18}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 10 x - 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{10}{9} x + \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{9})}^{2} - (\frac{1}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $-$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{16}{81}$

x_1,2 = $\frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{16}{81}}$

x₁ = $\frac{5}{9}$ - $\frac{4}{9}$ = $\frac{1}{9}$ = 0.11111111111111

x₂ = $\frac{5}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{9}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 29 \cdot {(- 2)}^{2} + 76 \cdot (- 2) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 76 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 76 x$
	-( $23 x^{2}$	$+ 46 x$ )
		$30 x$	$+ 60$
		-( $30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - 10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 29 \cdot {(- 6)}^{2} + 76 \cdot (- 6) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 29 x^{2}$	$+ 76 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 76 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 66 x$ )
		$10 x$	$+ 60$
		-( $10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 29 x^{2} + 76 x + 60$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 2 | - 7$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 2 \| - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 2 \|$	=	$- 8$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 x + 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 x + 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 x + 4 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{4} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{4} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 x + 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 16 t$ = 0 wird.

$25 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 16 t$	=	$- 25$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{25}{16}$

Für t = $\frac{25}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$