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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $5 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 6 e^{x}$	=	$5 e^{2 x}$	\| $- 5 e^{2 x}$
$e^{3 x} - 5 e^{2 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 1$

e^{x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $5 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 180 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |180)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $12 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 3 x} + 7) \cdot (x^{2} + 6 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{- 3 x} + 7) (x^{2} + 6 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 3 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 2 e^{- 3 x}$	=	$- 7$	\|: $- 2$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{7}{2})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{2})$	≈ -0.4176

2. Fall:

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{2})$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{5 x - 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $3$ }

- \frac{5 x - 1}{x} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{x - 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{5 x - 1}{x} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{x - 3}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{5 x - 1}{x} \cdot 3 x + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{16 x}{x - 3} \cdot 3 x$	=
$- 15 x + 3 + 5 x - 1 + 3 \frac{16 x \cdot x}{x - 3}$	=
$- 15 x + 3 + 5 x - 1 + \frac{48 x^{2}}{x - 3}$	=
$\frac{48 x^{2}}{x - 3} - 15 x + 5 x + 3 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{48 x^{2}}{x - 3} - 15 x + 5 x + 3 - 1$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{48 x^{2}}{x - 3} \cdot (x - 3) - 15 x \cdot (x - 3) + 5 x \cdot (x - 3) + 3 \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$	=
$48 x^{2} - 15 x (x - 3) + 5 x (x - 3) + 3 x - 9 - x + 3$	=
$48 x^{2} + (- 15 x^{2} + 45 x) + (5 x^{2} - 15 x) + 3 x - 9 - x + 3$	=
$38 x^{2} + 32 x - 6$	=

38 x^{2} + 32 x - 6

= 0 |:2

$19 x^{2} + 16 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 19 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 19}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 228}}{38}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{484}}{38}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{484}}{38}$ = $\frac{- 16+22}{38}$ = $\frac{6}{38}$ = $\frac{3}{19}$ ≈ 0.16

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{484}}{38}$ = $\frac{- 16-22}{38}$ = $\frac{- 38}{38}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $19$ " teilen:

$19 x^{2} + 16 x - 3$ = 0 |: $19$

$x^{2} + \frac{16}{19} x - \frac{3}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{19})}^{2} - (- \frac{3}{19})$ = $\frac{64}{361}$ $+$ $\frac{3}{19}$ = $\frac{64}{361}$ $+$ $\frac{57}{361}$ = $\frac{121}{361}$

x_1,2 = $- \frac{8}{19}$ ± $\sqrt{\frac{121}{361}}$

x₁ = $- \frac{8}{19}$ - $\frac{11}{19}$ = $- \frac{19}{19}$ = -1

x₂ = $- \frac{8}{19}$ + $\frac{11}{19}$ = $\frac{3}{19}$ = 0.15789473684211

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{3}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 26 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 24 x$	$+ 24$
		-( $- 24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = $(x^{2} + 2 x - 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4^{2} - 26 \cdot 4 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 6 x$	$+ 24$
		-( $- 6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{2} - 26 \cdot (- 6) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 26 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 26 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$4 x$	$+ 24$
		-( $4 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 26 x + 24$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x - 2 | + 5$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x - 2 \| + 5$	=	$- 1$	\| $- 5$
$- \frac{1}{2} \| - x - 2 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x - 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

$- x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$- x$	=	$14$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 14) - 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 2$ < 0:

$- (- x - 2)$	=	$12$
$x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 2$ < 0) genügt:

$- 10 - 2$ = -12 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 t x + 5 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 t x + 5 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 t x + 5 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 t x + 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 t x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 20 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 20 t$	=	0
$5 t (5 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$5 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 t$	=	$4$	\|: $5$
t₂	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

Für t = $0$ oder für t = $\frac{4}{5}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -2 ≥ 0:

2. Fall: -x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 2$ < 0: