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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₃( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $64 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $64 x + 1$ gilt m = $64$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $64$ und sind somit parallel zur Geraden y = $64 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 4$ = $- 3 e^{2 x}$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 4

=

- 3 e^{2 x}

|

+ 3 e^{2 x}

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{- 48 x}{9 x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - \frac{48 x}{9 x + 3}$	=	0
$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - \frac{48 x}{3 (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - \frac{48 x}{3 (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (2 x + 1) - \frac{48 x}{3 (3 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x + \frac{4 x \cdot (2 x + 1)}{3 x + 1} - \frac{16 x \cdot (2 x + 1)}{3 x + 1}$	=
$9 x + \frac{8 x^{2} + 4 x}{3 x + 1} - \frac{32 x^{2} + 16 x}{3 x + 1}$	=
$\frac{8 x^{2} + 4 x - 32 x^{2} - 16 x}{3 x + 1} + 9 x$	=

\frac{8 x^{2} - 32 x^{2} + 4 x - 16 x}{3 x + 1} + 9 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 32 x^{2} + 4 x - 16 x}{3 x + 1} + 9 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 32 x^{2} + 4 x - 16 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 9 x \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 32 x^{2} + 4 x - 16 x + 9 x \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 32 x^{2} + 4 x - 16 x + (27 x^{2} + 9 x)$	=
$3 x^{2} - 3 x$	=

$3 x^{2} - 3 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 13 \cdot {(- 1)}^{2} + 23 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$12 x$	$+ 12$
		-( $12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 13 \cdot {(- 4)}^{2} + 23 \cdot (- 4) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$3 x$	$+ 12$
		-( $3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 9 | - 1$ = $17$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 9 \| - 1$	=	$17$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$18$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$54$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$54$	\| $- 9$
$3 x$	=	$45$	\|: $3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 15 + 9$ = 54 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$54$
$- 3 x - 9$	=	$54$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$63$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 21) + 9$ = -54 < 0

Die Lösung $- 21$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 21$ ; $15$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 t x + t) \cdot e^{- x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 t x + t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 t x + t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 t x + t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 4 t$	=	0
$t \cdot (25 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$25 t$	=	$4$	\|: $25$
t₂	=	$\frac{4}{25}$ = 0.16

Da bei $25 t^{2} - 4 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} - 4 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{4}{25}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{4}{25}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: