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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 2 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 2 e^{2 x}$	=	$- e^{4 x}$	\| $+ e^{4 x}$
$e^{6 x} + e^{4 x} - 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 2) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- e^{4 \cdot 0}$ = -1 Somit gilt: S₁(0|-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $10 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $10 x - 1$ gilt m = $10$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 3 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 3 x

=

10

|

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 2$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $10$ und sind somit parallel zur Geraden y = $10 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} - 36 x$ = $- 5 x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{5} - 36 x$	=	$- 5 x^{3}$	\| $+ 5 x^{3}$
$x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} + 5 x^{2} - 36)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + 5 x^{2} - 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5+13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 5-13}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 9$

x^{2}

=

- 9

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x + 2} + \frac{3 x - 4}{x} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

\frac{3 x - 4}{x} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 4}{x} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - 7$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 4}{x} \cdot x + \frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot x - 7 \cdot x$	=
$3 x - 4 + \frac{(2 x + 2) x}{x + 2} - 7 x$	=
$3 x - 4 + \frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} - 7 x$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} + 3 x - 7 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} + 3 x - 7 x - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) - 7 x \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$2 x^{2} + 2 x + 3 x \cdot (x + 2) - 7 x \cdot (x + 2) - 4 x - 8$	=
$2 x^{2} + 2 x + (3 x^{2} + 6 x) + (- 7 x^{2} - 14 x) - 4 x - 8$	=
$- 2 x^{2} - 10 x - 8$	=

- 2 x^{2} - 10 x - 8

= 0 |:2

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 17 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 17 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} - 17 \cdot 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 17 x$	$- 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$3 x$	$- 12$
		-( $3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 17 x - 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x - 6 | - 9$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \| - 9$	=	$- 15$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 6 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x - 6 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

$- 3 x - 6$	=	$12$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 6) - 6$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0:

$- (- 3 x - 6)$	=	$12$
$3 x + 6$	=	$12$	\| $- 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 2 - 6$ = -12 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 x - 5 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 20 t$ = 0 wird.

$16 + 20 t$	=	0
$20 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$20 t$	=	$- 16$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{4}{5}$ = -0.8

Für t = $- \frac{4}{5}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -6 ≥ 0:

2. Fall: -3x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 6$ < 0: