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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} + 8$ und $g(x) =$ $- 9 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{6} + 8

=

- 9 x^{3}

|

+ 9 x^{3}

x^{6} + 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 9 \cdot {(- 2)}^{3}$ = 72 Somit gilt: S₁( $- 2$ |72)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 9 \cdot {(- 1)}^{3}$ = 9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $5 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x - 2$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 4 e^{3 x}

=

5

|

- 5

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{- 6 x} + 5) \cdot (x^{2} - 4 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{- 6 x} + 5) \cdot (x^{2} - 4 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{- 6 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 7 e^{- 6 x}$	=	$- 5$	\|: $- 7$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{5}{7}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{5}{7})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{5}{7})$	≈ 0.0561

2. Fall:

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{5}{7})$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{x + 2}{2 x} + \frac{3 x + 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{4}{3}$ }

- \frac{3 x + 2}{x} + \frac{x + 2}{2 x} + \frac{3 x}{3 x - 4}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{3 x + 2}{x} + \frac{x + 2}{2 x} + \frac{3 x}{3 x - 4}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{3 x + 2}{x} \cdot 2 x + \frac{x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{3 x}{3 x - 4} \cdot 2 x$	=
$- 6 x - 4 + x + 2 + 2 \frac{3 x \cdot x}{3 x - 4}$	=
$- 6 x - 4 + x + 2 + \frac{6 x^{2}}{3 x - 4}$	=
$\frac{6 x^{2}}{3 x - 4} - 6 x + x - 4 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{6 x^{2}}{3 x - 4} - 6 x + x - 4 + 2$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{6 x^{2}}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 6 x \cdot (3 x - 4) + x \cdot (3 x - 4) - 4 \cdot (3 x - 4) + 2 \cdot (3 x - 4)$	=
$6 x^{2} - 6 x \cdot (3 x - 4) + x \cdot (3 x - 4) - 12 x + 16 + 6 x - 8$	=
$6 x^{2} + (- 18 x^{2} + 24 x) + (3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 + 6 x - 8$	=
$- 9 x^{2} + 14 x + 8$	=

$- 9 x^{2} + 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 8}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 288}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{484}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{484}}{- 18}$ = $\frac{- 14+22}{- 18}$ = $\frac{8}{- 18}$ = $- \frac{4}{9}$ ≈ -0.44

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{484}}{- 18}$ = $\frac{- 14-22}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 14 x + 8$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{14}{9} x - \frac{8}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{9})}^{2} - (- \frac{8}{9})$ = $\frac{49}{81}$ $+$ $\frac{8}{9}$ = $\frac{49}{81}$ $+$ $\frac{72}{81}$ = $\frac{121}{81}$

x_1,2 = $\frac{7}{9}$ ± $\sqrt{\frac{121}{81}}$

x₁ = $\frac{7}{9}$ - $\frac{11}{9}$ = $- \frac{4}{9}$ = -0.44444444444444

x₂ = $\frac{7}{9}$ + $\frac{11}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{9}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x^{2} - 4 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 3 x^{3} - 18 x^{2} - 4 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 3 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 18 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 20 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $- 20 x^{2}$	$+ 20 x$ )
			$- 24 x$	$+ 24$
			-( $- 24 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x^{2} - 4 x + 24$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 20 \cdot (- 2) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 12 x$	$- 24$
		-( $- 12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 2 \cdot 6^{2} - 20 \cdot 6 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 20 x$	$- 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 20 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$4 x$	$- 24$
		-( $4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 20 x - 24$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 18 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 18 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$- 10 x^{2}$ )
		$- 8 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $- 8 x^{2}$	$- 16 x$ )
			$12 x$	$+ 24$
			-( $12 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x^{2} - 4 x + 24$ = $(x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 12 x$	$+ 12$
		-( $- 12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12$ = $(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x - 12) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 8 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 8 \cdot 6 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 8 x$
	-( $x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 2 x$	$+ 12$
		-( $- 2 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{4} - 3 \cdot 6^{3} - 18 \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$- 18 x^{2}$ )
		0	$- 4 x$
		-(0	0)
			$- 4 x$	$+ 24$
			-( $- 4 x$	$+ 24$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x^{2} - 4 x + 24$ = $(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 6)$

$(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x - 6)$	=	0
$(x^{3} + 3 x^{2} - 4) \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	0
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	0
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 2 x$	$- 4$
		-( $- 2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $6$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 3 x - 6 | + 3$ = 0

Lösung einblenden

$\| 3 x - 6 \| + 3$	=	0	\| $- 3$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 2 t x - 5 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 t x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 t \pm \sqrt{{(2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 t^{2} + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 t^{2} + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 t^{2} + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 t^{2} + 20 t$ = 0 wird.

$4 t^{2} + 20 t$	=	0
$4 t \cdot (t + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 5$	=	0	\| $- 5$
t₂	=	$- 5$

Für t = $- 5$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $6$

Polynomdivision mit $- 2$