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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $24$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

24

|

- 24

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $24$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |24)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $8 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x + 7$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

8

|

- 8

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{6 x} - 4) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{6 x} - 4) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{6 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$7 e^{6 x}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{6 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{7})$	≈ -0.0933

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{6} \ln (\frac{4}{7})$ ; 0; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{16 x}{x - 3} + \frac{32 x}{- 6 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{32 x}{- 6 x - 2}$	=	0
$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{32 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{8 x}{3 x + 1} + \frac{32 x}{- 2 (3 x + 1)}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{8 x}{3 x + 1} \cdot (x - 3) + \frac{32 x}{- 2 (3 x + 1)} \cdot (x - 3)$	=
$16 x + \frac{8 x \cdot (x - 3)}{3 x + 1} - \frac{16 x \cdot (x - 3)}{3 x + 1}$	=
$16 x + \frac{8 x^{2} - 24 x}{3 x + 1} - \frac{16 x^{2} - 48 x}{3 x + 1}$	=
$\frac{8 x^{2} - 24 x - 16 x^{2} + 48 x}{3 x + 1} + 16 x$	=

\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - 24 x + 48 x}{3 x + 1} + 16 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - 24 x + 48 x}{3 x + 1} + 16 x$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - 24 x + 48 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + 16 x \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x^{2} - 24 x + 48 x + 16 x \cdot (3 x + 1)$	=
$8 x^{2} - 16 x^{2} - 24 x + 48 x + (48 x^{2} + 16 x)$	=
$40 x^{2} + 40 x$	=

$40 x^{2} + 40 x$	=	0
$40 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 41 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 41 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} - 41 \cdot 1 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 41 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 45$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 41 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 45 x$	$+ 45$
		-( $- 45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 41 x + 45$ = $(x^{2} - 4 x - 45) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x - 45) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $2$ - $7$ = -5

x₂ = $2$ + $7$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} - 5 \cdot {(- 5)}^{2} - 41 \cdot (- 5) + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 41 x$	$+ 45$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 41 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 50 x$ )
		$9 x$	$+ 45$
		-( $9 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 41 x + 45$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 5 \cdot 9^{2} - 41 \cdot 9 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 41 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 41 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$- 5 x$	$+ 45$
		-( $- 5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 41 x + 45$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 5$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - x - 3 | + 4$ = $9$

Lösung einblenden

$\| - x - 3 \| + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$\| - x - 3 \|$	=	$5$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

$- x - 3$	=	$5$	\| $+ 3$
$- x$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ ≥ 0) genügt:

$- (- 8) - 3$ = 5 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 3$ < 0:

$- (- x - 3)$	=	$5$
$x + 3$	=	$5$	\| $- 3$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 3$ < 0) genügt:

$- 2 - 3$ = -5 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 3 t x + 3 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 t x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{{(- 3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 12 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 12 t$	=	0
$3 t \cdot (3 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$3 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 t$	=	$4$	\|: $3$
t₂	=	$\frac{4}{3}$

Da bei $9 t^{2} - 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $9 t^{2} - 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{4}{3}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{4}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -3 ≥ 0:

2. Fall: -x -3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- x - 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 3$ < 0: