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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 2$ und $g(x) =$ $15 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 2

=

15 e^{- 2 x}

|

- 15 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 15 e^{- 2 x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 15 e^{- 2 x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 15$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $15 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 5 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 7$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $- 2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$- 2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$- 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$2 (- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{5 x} - 10 e^{2 x}$ = $- e^{8 x}$

Lösung einblenden

$3 e^{5 x} - 10 e^{2 x}$	=	$- e^{8 x}$	\| $+ e^{8 x}$
$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 10 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{10}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{3 x - 4}{x} - 8$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (3 x + 10) - 8 \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 4) \cdot (3 x + 10)}{x} - 24 x - 80$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} - 24 x - 80$	=
$\frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} + 2 x - 24 x - 80$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} + 2 x - 24 x - 80$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} + 18 x - 40}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 24 x \cdot x - 80 \cdot x$	=
$9 x^{2} + 18 x - 40 + 2 x \cdot x - 24 x \cdot x - 80 x$	=
$9 x^{2} + 18 x - 40 + 2 x^{2} - 24 x^{2} - 80 x$	=
$- 13 x^{2} - 62 x - 40$	=

$- 13 x^{2} - 62 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{{(- 62)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{3 844 - 2 080}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 62 \pm \sqrt{1 764}}{- 26}$

x₁ = $\frac{62 + \sqrt{1 764}}{- 26}$ = $\frac{62+42}{- 26}$ = $\frac{104}{- 26}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{62 - \sqrt{1 764}}{- 26}$ = $\frac{62-42}{- 26}$ = $\frac{20}{- 26}$ = $- \frac{10}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 62 x - 40$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{62}{13} x + \frac{40}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{13})}^{2} - (\frac{40}{13})$ = $\frac{961}{169}$ $-$ $\frac{40}{13}$ = $\frac{961}{169}$ $-$ $\frac{520}{169}$ = $\frac{441}{169}$

x_1,2 = $- \frac{31}{13}$ ± $\sqrt{\frac{441}{169}}$

x₁ = $- \frac{31}{13}$ - $\frac{21}{13}$ = $- \frac{52}{13}$ = -4

x₂ = $- \frac{31}{13}$ + $\frac{21}{13}$ = $- \frac{10}{13}$ = -0.76923076923077

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{10}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 4 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 14 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
		$- 6 x^{2}$	$+ 14 x$
		-( $- 6 x^{2}$	$+ 6 x$ )
			$8 x$	$- 8$
			-( $8 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 6 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 6 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = $(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 2 x - 8) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 6 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 6 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 6 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 3 \cdot 4^{2} - 6 \cdot 4 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 6 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 6 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 2 x$	$+ 8$
		-( $- 2 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} - 4 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 14 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$- 3 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
		$9 x^{2}$	$+ 14 x$
		-( $9 x^{2}$	$+ 18 x$ )
			$- 4 x$	$- 8$
			-( $- 4 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 9 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + 9 \cdot 4 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 4$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 9 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$x$	$- 4$
		-( $x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{4} - 4 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} + 14 \cdot 4 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$	$- 8$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{3} + 0 - 3 x + 2$
-( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$ )
	0	$- 3 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$
		-( $- 3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
			$2 x$	$- 8$
			-( $2 x$	$- 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 14 x - 8$ = $(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x - 4)$

$(x^{3} + 0 - 3 x + 2) \cdot (x - 4)$	=	0
$(x^{3} - 3 x + 2) \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 3 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 3 \cdot (- 2) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 3 x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 3 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$x$	$+ 2$
		-( $x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x + 2$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $1$ ; $4$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 9 | + 4$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \| + 4$	=	$- 11$	\| $- 4$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$30$	\| $- 9$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 7 + 9$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$30$
$- 3 x - 9$	=	$30$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$39$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 13) + 9$ = -30 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x + 4 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x + 4 t)$ = 0

$x^{2} + 3 x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 16 t$	=	$- 13$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{13}{16}$

Für t = $\frac{13}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: