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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 3 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 3 e^{x}$	=	$- 2 e^{3 x}$	\| $+ 2 e^{3 x}$
$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 3 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 e^{3 \cdot 0}$ = -2 Somit gilt: S₁(0|-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 36 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 36 x$ gilt m = $- 36$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 12 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 12 x

=

- 36

|

+ 36

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

L={ $6$ }

$6$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 36$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 36 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{7 x} + 2) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{7 x} + 2) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{7 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 5 e^{7 x}$	=	$- 2$	\|: $- 5$
$e^{7 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{5})$	≈ -0.1309

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{5})$ ; 0; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 1}{2 x} + \frac{4 x}{x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (x - 1) - 3 \cdot (x - 1)$	=
$4 x + \frac{(x - 1) (x - 1)}{2 x} - 3 x + 3$	=
$4 x + \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} - 3 x + 3$	=
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} + 4 x - 3 x + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} + 4 x - 3 x + 3$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 3 x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 8 x \cdot x - 6 x \cdot x + 6 x$	=
$x^{2} - 2 x + 1 + 8 x^{2} - 6 x^{2} + 6 x$	=
$3 x^{2} + 4 x + 1$	=

$3 x^{2} + 4 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4+2}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 4-2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x + 1$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 12 \cdot {(- 1)}^{2} + 35 \cdot (- 1) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 11 x + 24$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$24 x$	$+ 24$
		-( $24 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = $(x^{2} + 11 x + 24) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 11 x + 24) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 12 \cdot {(- 3)}^{2} + 35 \cdot (- 3) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 27 x$ )
		$8 x$	$+ 24$
		-( $8 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 9 x + 8) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 12 \cdot {(- 8)}^{2} + 35 \cdot (- 8) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 35 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 35 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$3 x$	$+ 24$
		-( $3 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 24$ = $(x^{2} + 4 x + 3) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 4 x + 3) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 3$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 6 | - 6$ = 0

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 6 \| - 6$	=	0	\| $+ 6$
$\| - 3 x + 6 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

$- 3 x + 6$	=	$6$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (0) + 6$ = 6 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0:

$- (- 3 x + 6)$	=	$6$
$3 x - 6$	=	$6$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 6$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 4 + 6$ = -6 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 3 x - 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 3 x - 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 3 x - 3 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 3 x - 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 3 x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 12 t$ = 0 wird.

$9 + 12 t$	=	0
$12 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$12 t$	=	$- 9$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{3}{4}$ = -0.75

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{3}{4}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $9 + 12 \cdot 0$ = 9 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + 12 t$ für t > $- \frac{3}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{3}{4}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{3}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +6 ≥ 0:

2. Fall: -3x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $- 3 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 6$ < 0: