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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 30 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 30 e^{- 2 x}$	=	$- e^{x}$	\| $+ e^{x}$
$e^{4 x} + e^{x} - 30 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 30) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- e^{\frac{1}{3} \ln (5)}$ = -1.71 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-1.71)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $24 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x + 6$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 2 e^{2 x}

=

24

|

- 24

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 7 x} - 6) \cdot (x^{4} + 6 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 7 x} - 6) (x^{4} + 6 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 7 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$7 e^{- 7 x}$	=	$6$	\|: $7$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 0.022

2. Fall:

$x^{4} + 6 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $- \frac{1}{7} \ln (\frac{6}{7})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{- x + 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{- x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{- x + 3}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) + \frac{16 x}{- x + 3} \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{(5 x - 1) (x - 3)}{3 x} + \frac{16 x (x - 3)}{- x + 3}$	=
$8 x + \frac{(5 x - 1) (x - 3)}{3 x} - 16 x$	=
$8 x + \frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} - 16 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} + 8 x - 16 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} + 8 x - 16 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 16 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 16 x \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} - 16 x + 3 + 24 x \cdot x - 48 x \cdot x$	=
$5 x^{2} - 16 x + 3 + 24 x^{2} - 48 x^{2}$	=
$- 19 x^{2} - 16 x + 3$	=

$- 19 x^{2} - 16 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot 3}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 228}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{484}}{- 38}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{16+22}{- 38}$ = $\frac{38}{- 38}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{484}}{- 38}$ = $\frac{16-22}{- 38}$ = $\frac{- 6}{- 38}$ = $\frac{3}{19}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 19$ " teilen:

$- 19 x^{2} - 16 x + 3$ = 0 |: $- 19$

$x^{2} + \frac{16}{19} x - \frac{3}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{19})}^{2} - (- \frac{3}{19})$ = $\frac{64}{361}$ $+$ $\frac{3}{19}$ = $\frac{64}{361}$ $+$ $\frac{57}{361}$ = $\frac{121}{361}$

x_1,2 = $- \frac{8}{19}$ ± $\sqrt{\frac{121}{361}}$

x₁ = $- \frac{8}{19}$ - $\frac{11}{19}$ = $- \frac{19}{19}$ = -1

x₂ = $- \frac{8}{19}$ + $\frac{11}{19}$ = $\frac{3}{19}$ = 0.15789473684211

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{3}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 17 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 17 x + 21$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $21$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} - 17 \cdot 1 + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 21$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 21$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 21 x$	$+ 21$
		-( $- 21 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 17 x + 21$ = $(x^{2} - 4 x - 21) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x - 21) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 5 \cdot {(- 3)}^{2} - 17 \cdot (- 3) + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 21$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$7 x$	$+ 21$
		-( $7 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 17 x + 21$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 5 \cdot 7^{2} - 17 \cdot 7 + 21$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 21$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 3 x$	$+ 21$
		-( $- 3 x$	$+ 21$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 17 x + 21$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 2 x - 3) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 3$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 4 x - 8 | + 9$ = $13$

Lösung einblenden

$\| - 4 x - 8 \| + 9$	=	$13$	\| $- 9$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 3) - 8$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$4$
$4 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
x₂	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 1) - 8$ = -4 < 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 2 t x + 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 t x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{{(- 2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 t^{2} - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 t^{2} - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 t^{2} - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 t^{2} - 8 t$ = 0 wird.

$4 t^{2} - 8 t$	=	0
$4 t (t - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 2$	=	0	\| $+ 2$
t₂	=	$2$

Für t = $0$ oder für t = $2$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: