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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 6 x^{2}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 6 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₁(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $28 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x - 5$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 3 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 3 e^{x}

=

28

|

- 28

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 8$ = $2 x$

Lösung einblenden

x^{2} - 8

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{x}{3 x - 6} + \frac{5 x}{- 3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{5 x}{- 3 x + 6}$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{5 x}{3 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{5 x}{3 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{5 x}{3 (- x + 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=
$x + 3 \frac{(5 x + 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} + 3 \frac{5 x (x - 2)}{3 (- x + 2)}$	=
$x + 3 \frac{(5 x + 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} - 5 x$	=
$x + \frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} - 5 x$	=
$\frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} + x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} + x - 5 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 (5 x^{2} - 9 x - 2)}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + x \cdot (2 (x - 1)) - 5 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$15 x^{2} - 27 x - 6 + 2 x (x - 1) - 10 x (x - 1)$	=
$15 x^{2} - 27 x - 6 + (2 x^{2} - 2 x) + (- 10 x^{2} + 10 x)$	=
$7 x^{2} - 19 x - 6$	=

$7 x^{2} - 19 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{529}}{14}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{529}}{14}$ = $\frac{19+23}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = $3$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{529}}{14}$ = $\frac{19-23}{14}$ = $\frac{- 4}{14}$ = $- \frac{2}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 19 x - 6$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{19}{7} x - \frac{6}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{14})}^{2} - (- \frac{6}{7})$ = $\frac{361}{196}$ $+$ $\frac{6}{7}$ = $\frac{361}{196}$ $+$ $\frac{168}{196}$ = $\frac{529}{196}$

x_1,2 = $\frac{19}{14}$ ± $\sqrt{\frac{529}{196}}$

x₁ = $\frac{19}{14}$ - $\frac{23}{14}$ = $- \frac{4}{14}$ = -0.28571428571429

x₂ = $\frac{19}{14}$ + $\frac{23}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{7}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 11 x^{2} + 34 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 34 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 34 \cdot 1 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 24$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 24$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$24 x$	$- 24$
		-( $24 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 34 x - 24$ = $(x^{2} - 10 x + 24) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 10 x + 24) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} - 11 \cdot 4^{2} + 34 \cdot 4 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$6 x$	$- 24$
		-( $6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 34 x - 24$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 4)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 11 \cdot 6^{2} + 34 \cdot 6 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 34 x$	$- 24$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 5 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$4 x$	$- 24$
		-( $4 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 34 x - 24$ = $(x^{2} - 5 x + 4) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 5 x + 4) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $1$ ; $4$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 15 | - 5$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \| - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$3$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 3 t x - t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 t x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{{(3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} + 4 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} + 4 t$	=	0
$t (9 t + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$9 t$	=	$- 4$	\|: $9$
t₂	=	$- \frac{4}{9}$

Für t = $- \frac{4}{9}$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $6$