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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 12 e^{x}$ und $g(x) =$ $e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 12 e^{x}$	=	$e^{3 x}$	\| $- e^{3 x}$
$e^{5 x} - e^{3 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 12) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $e^{3 \cdot (\ln (2))}$ = 8 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 6 e^{x} - 7) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{3}{x} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

$\frac{x}{3 x - 6} - 2 + \frac{3}{x}$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} - 2 + \frac{3}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} - 2 + \frac{3}{x}$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - 2 \cdot (3 (x - 2)) + \frac{3}{x} \cdot (3 (x - 2))$	=
$x - 6 x + 12 + 9 \frac{x - 2}{x}$	=
$\frac{9 (x - 2)}{x} + x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 (x - 2)}{x} + x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 (x - 2)}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x + 12 \cdot x$	=
$9 x - 18 + x \cdot x - 6 x \cdot x + 12 x$	=
$9 x - 18 + x^{2} - 6 x^{2} + 12 x$	=
$- 5 x^{2} + 21 x - 18$	=

$- 5 x^{2} + 21 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 21+9}{- 10}$ = $\frac{- 12}{- 10}$ = $1,2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{- 21-9}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 21 x - 18$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = 1.2

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 2 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x - 15 | + 4$ = $- 11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 15 \| + 4$	=	$- 11$	\| $- 4$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 15 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x - 15 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 3 x - 15$ ≥ 0:

$- 3 x - 15$	=	$30$	\| $+ 15$
$- 3 x$	=	$45$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 15) - 15$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 15$ < 0:

$- (- 3 x - 15)$	=	$30$
$3 x + 15$	=	$30$	\| $- 15$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 15$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 5 - 15$ = -30 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 x + 2 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 8 t$ = 0 wird.

$25 - 8 t$	=	0
$- 8 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 8 t$	=	$- 25$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{25}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{25}{8}$ beispielsweise für t = 4 der Radikand $25 - 8 \cdot 4$ = -7 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 - 8 t$ für t > $\frac{25}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{25}{8}$ größer 0

Für t < $\frac{25}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -15 ≥ 0:

2. Fall: -3x -15 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 15$ < 0: