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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 5$ und $g(x) =$ $4 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 5

=

4 e^{3 x}

|

- 4 e^{3 x}

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $4 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = 20 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $8 x - 7$ gilt m = $8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 7 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 7 x^{2}

=

8

|

- 8

x^{4} + 7 x^{2} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $8 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{4 x}{3 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ ; $- 2$ }

\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{8 x}{x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x - 2} + \frac{8 x}{x + 2} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{4 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + \frac{8 x}{x + 2} \cdot (3 x - 2) - 6 \cdot (3 x - 2)$	=
$4 x + \frac{8 x (3 x - 2)}{x + 2} - 18 x + 12$	=
$4 x + \frac{24 x^{2} - 16 x}{x + 2} - 18 x + 12$	=
$\frac{24 x^{2} - 16 x}{x + 2} + 4 x - 18 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{24 x^{2} - 16 x}{x + 2} + 4 x - 18 x + 12$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{24 x^{2} - 16 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 4 x \cdot (x + 2) - 18 x \cdot (x + 2) + 12 \cdot (x + 2)$	=
$24 x^{2} - 16 x + 4 x (x + 2) - 18 x (x + 2) + 12 x + 24$	=
$24 x^{2} - 16 x + (4 x^{2} + 8 x) + (- 18 x^{2} - 36 x) + 12 x + 24$	=
$10 x^{2} - 32 x + 24$	=

10 x^{2} - 32 x + 24

= 0 |:2

$5 x^{2} - 16 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{16+4}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{16-4}{10}$ = $\frac{12}{10}$ = $1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 16 x + 12$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{16}{5} x + \frac{12}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{5})}^{2} - (\frac{12}{5})$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{12}{5}$ = $\frac{64}{25}$ $-$ $\frac{60}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $\frac{8}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $\frac{8}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $\frac{6}{5}$ = 1.2

x₂ = $\frac{8}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,2$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} + 8 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 4$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 12 | + 7$ = $31$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \| + 7$	=	$31$	\| $- 7$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 12 \|$	=	$24$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$72$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$72$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$84$	\|: $4$
x₁	=	$21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 21 - 12$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $21$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$72$
$- 4 x + 12$	=	$72$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$60$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 15) - 12$ = -72 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $21$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 3 t x + 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 3 t x + 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 3 t x + 2 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{2} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{2} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 3 t x + 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 3 t x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{{(3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 8 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 8 t$	=	0
$t (9 t - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t - 8$	=	0	\| $+ 8$
$9 t$	=	$8$	\|: $9$
t₂	=	$\frac{8}{9}$

Für t = $0$ oder für t = $\frac{8}{9}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: