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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3}$ und $g(x) =$ $24 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

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Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 2 x^{3}$	=	$24 x^{2}$	\| $- 24 x^{2}$
$x^{4} + 2 x^{3} - 24 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 2 x - 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $24 \cdot {(- 6)}^{2}$ = 864 Somit gilt: S₁( $- 6$ |864)

x₂ = 0: f(0)= $24 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $4$ : f( $4$ )= $24 \cdot 4^{2}$ = 384 Somit gilt: S₃( $4$ |384)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

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Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + e^{5 x} - 2 e^{2 x}$ = 0

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$e^{8 x} + e^{5 x} - 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 2) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x + 5} + \frac{3 x - 4}{x} - 5$ = 0

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D=R\{0; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{3 x - 4}{x} + \frac{x + 1}{2 x + 5} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 4}{x} + \frac{x + 1}{2 x + 5} - 5$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 4}{x} \cdot x + \frac{x + 1}{2 x + 5} \cdot x - 5 \cdot x$	=
$3 x - 4 + \frac{(x + 1) x}{2 x + 5} - 5 x$	=
$3 x - 4 + \frac{x^{2} + x}{2 x + 5} - 5 x$	=
$\frac{x^{2} + x}{2 x + 5} + 3 x - 5 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{x^{2} + x}{2 x + 5} + 3 x - 5 x - 4$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{x^{2} + x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 3 x \cdot (2 x + 5) - 5 x \cdot (2 x + 5) - 4 \cdot (2 x + 5)$	=
$x^{2} + x + 3 x (2 x + 5) - 5 x (2 x + 5) - 8 x - 20$	=
$x^{2} + x + (6 x^{2} + 15 x) + (- 10 x^{2} - 25 x) - 8 x - 20$	=
$- 3 x^{2} - 17 x - 20$	=

$- 3 x^{2} - 17 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{17+7}{- 6}$ = $\frac{24}{- 6}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{17-7}{- 6}$ = $\frac{10}{- 6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 4 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} - x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1,5$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x + 2 | + 6$ = $1$

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$\| x + 2 \| + 6$	=	$1$	\| $- 6$
$\| x + 2 \|$	=	$- 5$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{3} - t x$ genau 1 Nullstelle?

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Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$x^{3} - t x$	=	0
$x (x^{2} - t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - t$	=	0	\| - ( $- t$ )
$x^{2}$	=	$t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(t)}$	= $- \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(t)}$	= $\sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

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Betragsgleichungen

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