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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7}$ und $g(x) =$ $x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7}$	=	$x^{4}$	\| $- x^{4}$
$x^{7} - x^{4}$	=	0
$x^{4} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $1^{4}$ = 1 Somit gilt: S₂( $1$ |1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 2$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{2 x} + 4 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$- 1 + 4 x^{2} \cdot e^{2 x} + 4 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 + 4 x^{2} \cdot e^{2 x} + 4 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$4 x^{2} \cdot e^{2 x} + 4 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$4 (x^{2} + x) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 35$ = $- 2 e^{x}$

Lösung einblenden

e^{2 x} - 35

=

- 2 e^{x}

|

+ 2 e^{x}

e^{2 x} + 2 e^{x} - 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{3 x - 3}{x} + \frac{- 7 x - 1}{6 x + 14}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{3 x - 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 7 x - 1}{6 x + 14}$	=	0
$\frac{3 x - 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 7 x - 1}{2 (3 x + 7)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x - 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 7 x - 1}{2 (3 x + 7)}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x - 3}{x} \cdot x + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot x + \frac{- 7 x - 1}{2 (3 x + 7)} \cdot x$	=
$3 x - 3 + \frac{(x + 1) x}{3 x + 7} + \frac{(- 7 x - 1) x}{2 (3 x + 7)}$	=
$3 x - 3 + \frac{x^{2} + x}{3 x + 7} + \frac{- 7 x^{2} - x}{2 (3 x + 7)}$	=
$\frac{- 7 x^{2} - x}{2 (3 x + 7)} + \frac{x^{2} + x}{3 x + 7} + 3 x - 3$	=

\frac{x^{2} + x}{3 x + 7} + \frac{- 7 x^{2} - x}{2 (3 x + 7)} + 3 x - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (3 x + 7)$ weg!

$\frac{x^{2} + x}{3 x + 7} + \frac{- 7 x^{2} - x}{2 (3 x + 7)} + 3 x - 3$	=	\|⋅( $2 (3 x + 7)$ )
$\frac{x^{2} + x}{3 x + 7} \cdot (2 (3 x + 7)) + \frac{- 7 x^{2} - x}{2 (3 x + 7)} \cdot (2 (3 x + 7)) + 3 x \cdot (2 (3 x + 7)) - 3 \cdot (2 (3 x + 7))$	=
$2 x^{2} + 2 x - 7 x^{2} - x + 6 x \cdot (3 x + 7) - 18 x - 42$	=
$2 x^{2} + 2 x - 7 x^{2} - x + (18 x^{2} + 42 x) - 18 x - 42$	=
$13 x^{2} + 25 x - 42$	=

$13 x^{2} + 25 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 13 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 13}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 2 184}}{26}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{2 809}}{26}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{2 809}}{26}$ = $\frac{- 25+53}{26}$ = $\frac{28}{26}$ = $\frac{14}{13}$ ≈ 1.08

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{2 809}}{26}$ = $\frac{- 25-53}{26}$ = $\frac{- 78}{26}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $13$ " teilen:

$13 x^{2} + 25 x - 42$ = 0 |: $13$

$x^{2} + \frac{25}{13} x - \frac{42}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{26})}^{2} - (- \frac{42}{13})$ = $\frac{625}{676}$ $+$ $\frac{42}{13}$ = $\frac{625}{676}$ $+$ $\frac{2184}{676}$ = $\frac{2809}{676}$

x_1,2 = $- \frac{25}{26}$ ± $\sqrt{\frac{2809}{676}}$

x₁ = $- \frac{25}{26}$ - $\frac{53}{26}$ = $- \frac{78}{26}$ = -3

x₂ = $- \frac{25}{26}$ + $\frac{53}{26}$ = $\frac{28}{26}$ = 1.0769230769231

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{14}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2} + 48 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2} + 48 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 6 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 48 \cdot 1 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 6 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 48 x$	$- 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 7 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
		$- 12 x^{2}$	$+ 48 x$
		-( $- 12 x^{2}$	$+ 12 x$ )
			$36 x$	$- 36$
			-( $36 x$	$- 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 6 x^{3} - 7 x^{2} + 48 x - 36$ = $(x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 18 x$	$+ 36$
		-( $- 18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = $(x^{2} - 3 x - 18) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x - 18) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 5 \cdot {(- 3)}^{2} - 12 \cdot (- 3) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$12 x$	$+ 36$
		-( $12 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 12 \cdot 6 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 12 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 12 x$
	-( $x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 6 x$	$+ 36$
		-( $- 6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 12 x + 36$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 3$ ; $1$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x + 12 | + 2$ = $- 7$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x + 12 \| + 2$	=	$- 7$	\| $- 2$
$- \| - 3 x + 12 \|$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x + 12 \|$	=	$9$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

$- 3 x + 12$	=	$9$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot 1 + 12$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0:

$- (- 3 x + 12)$	=	$9$
$3 x - 12$	=	$9$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 7 + 12$ = -9 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 3 t x + 3 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 t x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{{(- 3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 12 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 12 t$	=	0
$3 t \cdot (3 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$3 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 t$	=	$4$	\|: $3$
t₂	=	$\frac{4}{3}$

Da bei $9 t^{2} - 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $9 t^{2} - 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $\frac{4}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +12 ≥ 0:

2. Fall: -3x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0: