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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{1}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{6}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{1}{x}$	=	$\frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + x$	=	$6$

x^{2} + x

=

6

|

- 6

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $\frac{6}{{(- 3)}^{2}}$ = 0.667 Somit gilt: S₁( $- 3$ |0.667)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{6}{2^{2}}$ = 1.5 Somit gilt: S₂( $2$ |1.5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + 3 x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 6$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + 3 x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $3 e^{- x} - 1 - 3 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- x} - 1 - 3 x \cdot e^{- x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{- x} - 1 + 1 - 3 x \cdot e^{- x}$	=	0
$3 e^{- x} - 3 x \cdot e^{- x}$	=	0
$3 (- x + 1) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{7}$	=	$0$	\| $\sqrt[7]{\cdot}$
$x$	=	0

L={0}

0 ist 7-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2} + \frac{6 x}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- 2$ }

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{x + 2} - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{6 x \cdot (x + 1)}{x + 2} - 5 x - 5$	=
$6 x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} - 5 x - 5$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} + 6 x - 5 x - 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} + 6 x - 5 x - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) - 5 x \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$6 x^{2} + 6 x + 6 x \cdot (x + 2) - 5 x \cdot (x + 2) - 5 x - 10$	=
$6 x^{2} + 6 x + (6 x^{2} + 12 x) + (- 5 x^{2} - 10 x) - 5 x - 10$	=
$7 x^{2} + 3 x - 10$	=

$7 x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{14}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{14}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{14}$ = $\frac{- 3+17}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{14}$ = $\frac{- 3-17}{14}$ = $\frac{- 20}{14}$ = $- \frac{10}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} + 3 x - 10$ = 0 |: $7$

$x^{2} + \frac{3}{7} x - \frac{10}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{14})}^{2} - (- \frac{10}{7})$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{10}{7}$ = $\frac{9}{196}$ $+$ $\frac{280}{196}$ = $\frac{289}{196}$

x_1,2 = $- \frac{3}{14}$ ± $\sqrt{\frac{289}{196}}$

x₁ = $- \frac{3}{14}$ - $\frac{17}{14}$ = $- \frac{20}{14}$ = -1.4285714285714

x₂ = $- \frac{3}{14}$ + $\frac{17}{14}$ = $\frac{14}{14}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{7}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 16 x^{2} + 73 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 16 x^{2} + 73 x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 16 \cdot {(- 2)}^{2} + 73 \cdot (- 2) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 16 x^{2}$	$+ 73 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 14 x + 45$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 73 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$45 x$	$+ 90$
		-( $45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 16 x^{2} + 73 x + 90$ = $(x^{2} + 14 x + 45) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 14 x + 45) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14+4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14-4}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 7$ - $2$ = -9

x₂ = $- 7$ + $2$ = -5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 16 \cdot {(- 5)}^{2} + 73 \cdot (- 5) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 16 x^{2}$	$+ 73 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 73 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 55 x$ )
		$18 x$	$+ 90$
		-( $18 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 16 x^{2} + 73 x + 90$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 16 \cdot {(- 9)}^{2} + 73 \cdot (- 9) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 16 x^{2}$	$+ 73 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 73 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$10 x$	$+ 90$
		-( $10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 16 x^{2} + 73 x + 90$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 5$ ; $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 8 | - 1$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 8 \| - 1$	=	$- 9$	\| $+ 1$
$- \| - 2 x + 8 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (0) + 8$ = 8 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$8$
$2 x - 8$	=	$8$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 8 + 8$ = -8 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 3 x + 2 t) \cdot e^{- x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 3 x + 2 t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 3 x + 2 t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 3 x + 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 3 x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 - 8 t$ = 0 wird.

$9 - 8 t$	=	0
$- 8 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 8 t$	=	$- 9$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{9}{8}$

Für t = $\frac{9}{8}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: