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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 28 x$ und $g(x) =$ $11 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 28 x$	=	$11 x^{2}$	\| $- 11 x^{2}$
$x^{3} - 11 x^{2} + 28 x$	=	0
$x (x^{2} - 11 x + 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₂ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={0; $4$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $11 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $11 \cdot 4^{2}$ = 176 Somit gilt: S₂( $4$ |176)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $11 \cdot 7^{2}$ = 539 Somit gilt: S₃( $7$ |539)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 4 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 4$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 4 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 e^{- 2 x} - 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- 2 x} - 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{- 2 x} - 2 + 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 e^{- 2 x} - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{5 x} - 5) \cdot (x^{2} - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{5 x} - 5) (x^{2} - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{5 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$6 e^{5 x}$	=	$5$	\|: $6$
$e^{5 x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{6})$	≈ -0.0365

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{5} \ln (\frac{5}{6})$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x + 1} + \frac{6 x}{x - 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

\frac{6 x}{x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{x - 1} + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{5 x + 1}{2 x + 1} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} - 7 x + 7$	=
$6 x + \frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 1} - 7 x + 7$	=
$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 1} + 6 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 1} + 6 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 6 x \cdot (2 x + 1) - 7 x \cdot (2 x + 1) + 7 \cdot (2 x + 1)$	=
$5 x^{2} - 4 x - 1 + 6 x (2 x + 1) - 7 x (2 x + 1) + 14 x + 7$	=
$5 x^{2} - 4 x - 1 + (12 x^{2} + 6 x) + (- 14 x^{2} - 7 x) + 14 x + 7$	=
$3 x^{2} + 9 x + 6$	=

3 x^{2} + 9 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} + 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ x$
	-( $11 x^{2}$	$- 11 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ x$	$- 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ x$
	-( $x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 3 x$	$- 12$
		-( $- 3 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 9 x^{2} + x - 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + x - 3) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x + 3 | + 6$ = $4$

Lösung einblenden

$\| x + 3 \| + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$\| x + 3 \|$	=	$- 2$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 x - 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 16 t$ = 0 wird.

$25 + 16 t$	=	0
$16 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$16 t$	=	$- 25$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{25}{16}$

Für t = $- \frac{25}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$