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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 7 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 7 e^{- 2 x}$	=	$6 e^{x}$	\| $- 6 e^{x}$
$e^{4 x} - 6 e^{x} - 7 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $6 e^{\frac{1}{3} \ln (7)}$ = 11.478 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |11.478)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x - 6$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} + 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} + 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} + 4 e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 5 x^{2}$ = $- 4$

Lösung einblenden

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{4 x}{3 x - 6} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{3}{2}$ }

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 8$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 8$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (3 (x - 2)) - 8 \cdot (3 (x - 2))$	=
$4 x + 3 \frac{4 x (x - 2)}{2 x - 3} - 24 x + 48$	=
$4 x + \frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} - 24 x + 48$	=
$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} + 4 x - 24 x + 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} + 4 x - 24 x + 48$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 (4 x^{2} - 8 x)}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + 4 x \cdot (2 x - 3) - 24 x \cdot (2 x - 3) + 48 \cdot (2 x - 3)$	=
$12 x^{2} - 24 x + 4 x (2 x - 3) - 24 x (2 x - 3) + 96 x - 144$	=
$12 x^{2} - 24 x + (8 x^{2} - 12 x) + (- 48 x^{2} + 72 x) + 96 x - 144$	=
$- 28 x^{2} + 132 x - 144$	=

- 28 x^{2} + 132 x - 144

= 0 |:4

$- 7 x^{2} + 33 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 1 008}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{81}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{81}}{- 14}$ = $\frac{- 33+9}{- 14}$ = $\frac{- 24}{- 14}$ = $\frac{12}{7}$ ≈ 1.71

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{81}}{- 14}$ = $\frac{- 33-9}{- 14}$ = $\frac{- 42}{- 14}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 33 x - 36$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{33}{7} x + \frac{36}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{14})}^{2} - (\frac{36}{7})$ = $\frac{1089}{196}$ $-$ $\frac{36}{7}$ = $\frac{1089}{196}$ $-$ $\frac{1008}{196}$ = $\frac{81}{196}$

x_1,2 = $\frac{33}{14}$ ± $\sqrt{\frac{81}{196}}$

x₁ = $\frac{33}{14}$ - $\frac{9}{14}$ = $\frac{24}{14}$ = 1.7142857142857

x₂ = $\frac{33}{14}$ + $\frac{9}{14}$ = $\frac{42}{14}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{12}{7}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 1 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ x$	$- 15$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ x$
	-( $14 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$15 x$	$- 15$
		-( $15 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 11 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ x$	$- 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 5 x$	$- 15$
		-( $- 5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 11 x^{2} + x - 15$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 6 | + 7$ = $9$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 6 \| + 7$	=	$9$	\| $- 7$
$\| - 2 x + 6 \|$	=	$2$

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

$- 2 x + 6$	=	$2$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot 2 + 6$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0:

$- (- 2 x + 6)$	=	$2$
$2 x - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 6$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 4 + 6$ = -2 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $2$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 2 t x + 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 t x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 t \pm \sqrt{{(2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 t^{2} - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 t^{2} - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 t^{2} - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 t^{2} - 16 t$ = 0 wird.

$4 t^{2} - 16 t$	=	0
$4 t (t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 4$	=	0	\| $+ 4$
t₂	=	$4$

Für t = $0$ oder für t = $4$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +6 ≥ 0:

2. Fall: -2x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- 2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 6$ < 0: