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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + e^{2 x}$ und $g(x) =$ $20 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + e^{2 x}$	=	$20 e^{x}$	\| $- 20 e^{x}$
$e^{3 x} + e^{2 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 20) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $20 e^{2 \ln (2)}$ = 80 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |80)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 + 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 + 3 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $- 1 - 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 6 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$6 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{4 x} + 2) \cdot (x^{3} + x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{4 x} + 2) (x^{3} + x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{4 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 9 e^{4 x}$	=	$- 2$	\|: $- 9$
$e^{4 x}$	=	$\frac{2}{9}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{2}{9})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{2}{9})$	≈ -0.376

2. Fall:

$x^{3} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{4} \ln (\frac{2}{9})$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{36 x}{- 6 x - 3}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{36 x}{- 6 x - 3}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{36 x}{- 3 (2 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{9 x}{2 x + 1} + \frac{36 x}{- 3 (2 x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{9 x}{2 x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{36 x}{- 3 (2 x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{9 x (x + 1)}{2 x + 1} - \frac{12 x (x + 1)}{2 x + 1}$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} + 9 x}{2 x + 1} - \frac{12 x^{2} + 12 x}{2 x + 1}$	=
$\frac{9 x^{2} + 9 x - 12 x^{2} - 12 x}{2 x + 1} + 2 x$	=

\frac{9 x^{2} - 12 x^{2} + 9 x - 12 x}{2 x + 1} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 12 x^{2} + 9 x - 12 x}{2 x + 1} + 2 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 12 x^{2} + 9 x - 12 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + 2 x \cdot (2 x + 1)$	=
$9 x^{2} - 12 x^{2} + 9 x - 12 x + 2 x (2 x + 1)$	=
$9 x^{2} - 12 x^{2} + 9 x - 12 x + (4 x^{2} + 2 x)$	=
$x^{2} - x$	=

$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 4 x^{3} - 33 x^{2} + 4 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 4 x^{3} - 33 x^{2} + 4 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 4 \cdot {(- 1)}^{3} - 33 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 4 x^{3}$	$- 33 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 33 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
		$- 28 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 28 x^{2}$	$- 28 x$ )
			$32 x$	$+ 32$
			-( $32 x$	$+ 32$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 4 x^{3} - 33 x^{2} + 4 x + 32$ = $(x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} - 28 \cdot 1 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 32$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 32 x$	$+ 32$
		-( $- 32 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = $(x^{2} - 4 x - 32) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x - 32) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 5 \cdot {(- 4)}^{2} - 28 \cdot (- 4) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$8 x$	$+ 32$
		-( $8 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 5 \cdot 8^{2} - 28 \cdot 8 + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 28 x$	$+ 32$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 28 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$- 4 x$	$+ 32$
		-( $- 4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 28 x + 32$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 3 x - 4) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 4$ ; $- 1$ ; $1$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x + 3 | + 5$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x + 3 \| + 5$	=	$2$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| x + 3 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $2$
$\| x + 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 5 t x + 5 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 t x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 20 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 20 t$	=	0
$5 t (5 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$5 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 t$	=	$4$	\|: $5$
t₂	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

Da bei $25 t^{2} - 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} - 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{4}{5}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{4}{5}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $8$