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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} - 9 x^{4}$ und $g(x) =$ $- 8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} - 9 x^{4}$	=	$- 8 x$	\| $+ 8 x$
$x^{7} - 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{6} - 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} - 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 8 \cdot 1$ = -8 Somit gilt: S₂( $1$ |-8)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $- 8 \cdot 2$ = -16 Somit gilt: S₃( $2$ |-16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $27 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $27 x - 3$ gilt m = $27$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 6 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 6 x^{2}

=

27

|

- 27

x^{4} - 6 x^{2} - 27

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $27$ und sind somit parallel zur Geraden y = $27 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} - 14 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 5 e^{2 x} - 14 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 5 e^{x} - 14) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 5 e^{x} - 14

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} + \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{3 x - 2}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{x - 2 - 3 x + 2}{2 x} + \frac{2 x + 1}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x - 2 - 3 x + 2}{2 x} + \frac{2 x + 1}{x - 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x - 2 - 3 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot 2 x$	=
$x - 2 - 3 x + 2 + 2 \frac{(2 x + 1) x}{x - 1}$	=
$x - 2 - 3 x + 2 + \frac{2 (2 x^{2} + x)}{x - 1}$	=
$\frac{2 (2 x^{2} + x)}{x - 1} + x - 3 x - 2 + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} + x)}{x - 1} + x - 3 x - 2 + 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 (2 x^{2} + x)}{x - 1} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) - 3 x \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} + 2 x + x \cdot (x - 1) - 3 x \cdot (x - 1) - 2 x + 2 + 2 x - 2$	=
$4 x^{2} + 2 x + (x^{2} - x) + (- 3 x^{2} + 3 x) - 2 x + 2 + 2 x - 2$	=
$2 x^{2} + 4 x$	=

$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 19 \cdot {(- 1)}^{2} - 67 \cdot (- 1) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$- 45 x$	$- 45$
		-( $- 45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{22}{3} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{3})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $15$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{256}{9}$

x_1,2 = $\frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{256}{9}}$

x₁ = $\frac{11}{3}$ - $\frac{16}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{11}{3}$ + $\frac{16}{3}$ = $\frac{27}{3}$ = 9

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 19 \cdot 9^{2} - 67 \cdot 9 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$5 x$	$- 45$
		-( $5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x + 1 | - 5$ = $- 7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x + 1 \| - 5$	=	$- 7$	\| $+ 5$
$\frac{1}{2} \| x + 1 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $2$
$\| x + 1 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 2 x - 3 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 2 x - 3 t)$ = 0

$x^{2} + 2 x - 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 2 x - 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 2 x + (- 3 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + 12 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + 12 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + 12 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + 12 t + 4$ = 0 wird.

$4 + 12 t + 4$	=	0
$12 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$12 t$	=	$- 8$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{2}{3}$

Für t = $- \frac{2}{3}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$