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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 10 e^{x}$ und $g(x) =$ $3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 10 e^{x}$	=	$3 e^{3 x}$	\| $- 3 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 3 e^{3 x} - 10 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 10) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $3 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = 33.541 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |33.541)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 2 + 2 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x + 4$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 2 + 2 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $2 e^{2 x} - 2 + 4 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{2 x} - 2 + 4 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{2 x} - 2 + 2 + 4 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 e^{2 x} + 4 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 (2 x + 1) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 4 e^{4 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{x} + \frac{x}{3 x - 4} + \frac{15 x}{- 9 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{3 x + 2}{x} + \frac{15 x}{- 9 x + 12}$	=	0
$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{3 x + 2}{x} + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 4)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{3 x + 2}{x} + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 4)}$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{3 x + 2}{x} \cdot (3 x - 4) + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 4)} \cdot (3 x - 4)$	=
$x + \frac{(3 x + 2) \cdot (3 x - 4)}{x} + \frac{5 x \cdot (3 x - 4)}{- 3 x + 4}$	=
$x + \frac{(3 x + 2) \cdot (3 x - 4)}{x} - 5 x$	=
$x + \frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} - 5 x$	=
$\frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} + x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} + x - 5 x$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} \cdot x + x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$9 x^{2} - 6 x - 8 + x \cdot x - 5 x \cdot x$	=
$9 x^{2} - 6 x - 8 + x^{2} - 5 x^{2}$	=
$5 x^{2} - 6 x - 8$	=

$5 x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{196}}{10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{6+14}{10}$ = $\frac{20}{10}$ = $2$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{196}}{10}$ = $\frac{6-14}{10}$ = $\frac{- 8}{10}$ = $- 0,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{6}{5} x - \frac{8}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{5})}^{2} - (- \frac{8}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{8}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $+$ $\frac{40}{25}$ = $\frac{49}{25}$

x_1,2 = $\frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{49}{25}}$

x₁ = $\frac{3}{5}$ - $\frac{7}{5}$ = $- \frac{4}{5}$ = -0.8

x₂ = $\frac{3}{5}$ + $\frac{7}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,8$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $80$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 14 \cdot (- 2) + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 80$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 13 x + 40$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 13 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 13 x^{2}$	$- 26 x$ )
		$40 x$	$+ 80$
		-( $40 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = $(x^{2} - 13 x + 40) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 13 x + 40) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13+3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13-3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 11 \cdot 5^{2} + 14 \cdot 5 + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 80$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$- 16 x$	$+ 80$
		-( $- 16 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = $(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 6 x - 16) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 11 \cdot 8^{2} + 14 \cdot 8 + 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 14 x$	$+ 80$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 14 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$- 10 x$	$+ 80$
		-( $- 10 x$	$+ 80$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 14 x + 80$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 2$ ; $5$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x - 4 | - 4$ = $- 16$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x - 4 \| - 4$	=	$- 16$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{3} \| 4 x - 4 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$36$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$36$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 10 - 4$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$36$
$- 4 x + 4$	=	$36$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 8) - 4$ = -36 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 2 x - 3 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + 12 t$ = 0 wird.

$4 + 12 t$	=	0
$12 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$12 t$	=	$- 4$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{1}{3}$

Für t = $- \frac{1}{3}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $8$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: