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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 6 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 5 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 6 e^{4 x}$	=	$- 5 e^{2 x}$	\| $+ 5 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 6 e^{4 x} + 5 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 6 e^{2 x} + 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 5 e^{2 \cdot 0}$ = -5 Somit gilt: S₁(0|-5)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- 5 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = -25 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-25)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 4 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{- 10 x}{4 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{10 x}{4 x + 4}$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{10 x}{4 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x + 1)} + \frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{10 x}{4 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (2 (x + 1)) - \frac{10 x}{4 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=
$4 x + 2 \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x - 1} - 5 x$	=
$4 x + \frac{2 (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x - 1} - 5 x$	=
$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x - 1} + 4 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x - 1} + 4 x - 5 x$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 5 x \cdot (x - 1)$	=
$4 x^{2} + 6 x + 2 + 4 x (x - 1) - 5 x (x - 1)$	=
$4 x^{2} + 6 x + 2 + (4 x^{2} - 4 x) + (- 5 x^{2} + 5 x)$	=
$3 x^{2} + 7 x + 2$	=

$3 x^{2} + 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 7+5}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 7-5}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x + 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 9 x - 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} - 9 x - 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 9 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9+15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = $6$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{9-15}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x - 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 6^{3} - 5 \cdot 6^{2} - 36 \cdot 6 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 36 x$	$- 36$ )	:	(x $- 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 36 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$6 x$	$- 36$
		-( $6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x - 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x + 16 | - 4$ = $- 28$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x + 16 \| - 4$	=	$- 28$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{3} \| 4 x + 16 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x + 16 \|$	=	$72$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

$4 x + 16$	=	$72$	\| $- 16$
$4 x$	=	$56$	\|: $4$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 14 + 16$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 16$ < 0:

$- (4 x + 16)$	=	$72$
$- 4 x - 16$	=	$72$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$88$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 16$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 22) + 16$ = -72 < 0

Die Lösung $- 22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 22$ ; $14$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 x + 3 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 x + 3 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 x + 3 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 x + 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 12 t$ = 0 wird.

$25 - 12 t$	=	0
$- 12 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 12 t$	=	$- 25$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{25}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{25}{12}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $25 - 12 \cdot 3$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 - 12 t$ für t > $\frac{25}{12}$ kleiner 0 und für t < $\frac{25}{12}$ größer 0

Für t > $\frac{25}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +16 ≥ 0:

2. Fall: 4x +16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $4 x + 16$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 16$ < 0: