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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 10$ und $g(x) =$ $- 21 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 10

=

- 21 e^{- 2 x}

|

+ 21 e^{- 2 x}

e^{2 x} + 21 e^{- 2 x} - 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} + 21 e^{- 2 x} - 10$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- 21 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = -7 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-7)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $- 21 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = -3 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $5 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x + 3$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 4 x

=

5

|

- 5

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

L={ $- 1$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 24$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - 10 e^{3 x} + 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₂	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 3}{x} + \frac{3 x}{2 x + 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{3 x - 3}{x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{3 x - 3}{x} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{3 x - 3}{x} \cdot (2 x + 3) - 7 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{(3 x - 3) (2 x + 3)}{x} - 14 x - 21$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} + 3 x - 9}{x} - 14 x - 21$	=
$\frac{6 x^{2} + 3 x - 9}{x} + 3 x - 14 x - 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 3 x - 9}{x} + 3 x - 14 x - 21$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} + 3 x - 9}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 14 x \cdot x - 21 \cdot x$	=
$6 x^{2} + 3 x - 9 + 3 x \cdot x - 14 x \cdot x - 21 x$	=
$6 x^{2} + 3 x - 9 + 3 x^{2} - 14 x^{2} - 21 x$	=
$- 5 x^{2} - 18 x - 9$	=

$- 5 x^{2} - 18 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 180}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{144}}{- 10}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{18+12}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{144}}{- 10}$ = $\frac{18-12}{- 10}$ = $\frac{6}{- 10}$ = $- 0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 18 x - 9$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{18}{5} x + \frac{9}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{5})}^{2} - (\frac{9}{5})$ = $\frac{81}{25}$ $-$ $\frac{9}{5}$ = $\frac{81}{25}$ $-$ $\frac{45}{25}$ = $\frac{36}{25}$

x_1,2 = $- \frac{9}{5}$ ± $\sqrt{\frac{36}{25}}$

x₁ = $- \frac{9}{5}$ - $\frac{6}{5}$ = $- \frac{15}{5}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 19 \cdot (- 1) - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 15 x$	$- 15$
		-( $- 15 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $5$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 3^{2} - 19 \cdot 3 - 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 19 x$	$- 15$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$5 x$	$- 15$
		-( $5 x$	$- 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - x^{2} - 19 x - 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x + 4 | + 1$ = $9$

Lösung einblenden

$\| 2 x + 4 \| + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$8$	\| $- 4$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 2 + 4$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$8$
$- 2 x - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 6) + 4$ = -8 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} - t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- x^{2} - t$	=	0	\| - ( $- t$ )
$- x^{2}$	=	$t$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$- 1 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- 1 t)}$	= $- \sqrt{(- t)}$
x₂	=	$\sqrt{(- 1 t)}$	= $\sqrt{(- t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t > 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: