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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $24 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 2 e^{3 x}$	=	$24 e^{2 x}$	\| $- 24 e^{2 x}$
$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 24) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $24 e^{2 \cdot (2 \ln (2))}$ = 384 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |384)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 1 + 2 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $- 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$- 6 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 4 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$2 (- 3 x^{2} + 2 x) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\frac{2}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 5 e^{3 x}$ = $- 4 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 5 e^{3 x}$	=	$- 4 e^{x}$	\| $+ 4 e^{x}$
$e^{5 x} - 5 e^{3 x} + 4 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 5 e^{2 x} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{12 x}{3 x - 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ }

\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{3 x - 1} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{12 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=
$12 x + \frac{3 x \cdot (3 x - 1)}{2 x - 1} - 12 x + 4$	=
$12 x + \frac{9 x^{2} - 3 x}{2 x - 1} - 12 x + 4$	=
$\frac{9 x^{2} - 3 x}{2 x - 1} + 12 x - 12 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{2 x - 1} + 12 x - 12 x + 4$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 12 x \cdot (2 x - 1) - 12 x \cdot (2 x - 1) + 4 \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} - 3 x + 12 x \cdot (2 x - 1) - 12 x \cdot (2 x - 1) + 8 x - 4$	=
$9 x^{2} - 3 x + (24 x^{2} - 12 x) + (- 24 x^{2} + 12 x) + 8 x - 4$	=
$9 x^{2} + 5 x - 4$	=

$9 x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{18}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{18}$ = $\frac{- 5+13}{18}$ = $\frac{8}{18}$ = $\frac{4}{9}$ ≈ 0.44

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{18}$ = $\frac{- 5-13}{18}$ = $\frac{- 18}{18}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{5}{9} x - \frac{4}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{18})}^{2} - (- \frac{4}{9})$ = $\frac{25}{324}$ $+$ $\frac{4}{9}$ = $\frac{25}{324}$ $+$ $\frac{144}{324}$ = $\frac{169}{324}$

x_1,2 = $- \frac{5}{18}$ ± $\sqrt{\frac{169}{324}}$

x₁ = $- \frac{5}{18}$ - $\frac{13}{18}$ = $- \frac{18}{18}$ = -1

x₂ = $- \frac{5}{18}$ + $\frac{13}{18}$ = $\frac{8}{18}$ = 0.44444444444444

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{4}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 20$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 8 \cdot 1^{3} + 15 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$- 4 x$	$- 20$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
		$24 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $24 x^{2}$	$- 24 x$ )
			$20 x$	$- 20$
			-( $20 x$	$- 20$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = $(x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 9 \cdot {(- 2)}^{2} + 24 \cdot (- 2) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 24 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$10 x$	$+ 20$
		-( $10 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 9 \cdot {(- 5)}^{2} + 24 \cdot (- 5) + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 24 x$	$+ 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$4 x$	$+ 20$
		-( $4 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 20$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 8 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$- 4 x$	$- 20$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
		$3 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
			$- 10 x$	$- 20$
			-( $- 10 x$	$- 20$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = $(x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$10 x$	$- 10$
		-( $10 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 7 x + 10) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 5 x$	$- 10$
		-( $- 5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 6 \cdot {(- 5)}^{2} + 3 \cdot (- 5) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 3 x$
	-( $x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 2 x$	$- 10$
		-( $- 2 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 10$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{4} + 8 \cdot {(- 5)}^{3} + 15 \cdot {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 5) - 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$- 4 x$	$- 20$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$ )
		0	$- 4 x$
		-(0	0)
			$- 4 x$	$- 20$
			-( $- 4 x$	$- 20$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 20$ = $(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 5)$

$(x^{3} + 3 x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 5)$	=	0
$(x^{3} + 3 x^{2} - 4) \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	0
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$		$- 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	0
	-( $x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 2 x$	$- 4$
		-( $- 2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 4$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 2$ ; $1$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x - 6 | - 4$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x - 6 \| - 4$	=	$- 10$	\| $+ 4$
$- \frac{1}{3} \| 2 x - 6 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$18$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$18$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$24$	\|: $2$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 12 - 6$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$18$
$- 2 x + 6$	=	$18$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 6) - 6$ = -18 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 3 x - 5 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 20 t$ = 0 wird.

$9 + 20 t$	=	0
$20 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$20 t$	=	$- 9$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{9}{20}$ = -0.45

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{9}{20}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $9 + 20 \cdot 1$ = 29 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + 20 t$ für t > $- \frac{9}{20}$ größer 0 und für t < $- \frac{9}{20}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{9}{20}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 2$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: