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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} + 28 e^{- x}$ und $g(x) =$ $11$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} + 28 e^{- x}

=

11

|

- 11

e^{x} + 28 e^{- x} - 11

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} + 28 e^{- x} - 11$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} - 11 e^{x} + 28$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11+3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{11-3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $11$ Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |11)

x₂ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $11$ Somit gilt: S₂( $\ln (7)$ |11)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 9 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{- 3 x} - 5) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{- 3 x} - 5) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{- 3 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$4 e^{- 3 x}$	=	$5$	\|: $4$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{4})$	≈ -0.0744

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{4})$ ; 0; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{10 x}{- 6 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{3}$ }

$\frac{2 x}{2 x - 4} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{10 x}{- 6 x + 12}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{10 x}{6 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 2)} + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} + \frac{10 x}{6 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{3 x - 1}{3 x - 5} \cdot (x - 2) + \frac{10 x}{6 (- x + 2)} \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{(3 x - 1) (x - 2)}{3 x - 5} + \frac{5 x (x - 2)}{3 (- x + 2)}$	=
$x + \frac{(3 x - 1) (x - 2)}{3 x - 5} - \frac{5}{3} x$	=
$x + \frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{3 x - 5} - \frac{5}{3} x$	=
$\frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{3 x - 5} + x - \frac{5}{3} x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{3 x - 5} + x - \frac{5}{3} x$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + x \cdot (3 x - 5) - \frac{5}{3} x \cdot (3 x - 5)$	=
$3 x^{2} - 7 x + 2 + x (3 x - 5) - \frac{5}{3} x (3 x - 5)$	=
$3 x^{2} - 7 x + 2 + (3 x^{2} - 5 x) + (- 5 x^{2} + \frac{25}{3} x)$	=
$x^{2} - \frac{11}{3} x + 2$	=

$x^{2} - \frac{11}{3} x + 2$	=	0	\|⋅ 3
$3 (x^{2} - \frac{11}{3} x + 2)$	=	0

$3 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11+7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11-7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x + 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 13 x^{2} + 31 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 31 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 31 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 14 x + 45$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 31 x - 45$ = $(x^{2} + 14 x + 45) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 14 x + 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14+4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14-4}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 7$ - $2$ = -9

x₂ = $- 7$ + $2$ = -5

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 13 \cdot {(- 5)}^{2} + 31 \cdot (- 5) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 40 x$ )
		$- 9 x$	$- 45$
		-( $- 9 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 31 x - 45$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 8 x - 9) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 13 \cdot {(- 9)}^{2} + 31 \cdot (- 9) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 31 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 31 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$- 5 x$	$- 45$
		-( $- 5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 31 x - 45$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 5$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x + 2 | - 4$ = $2$

Lösung einblenden

$\| 2 x + 2 \| - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$\| 2 x + 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

$2 x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 2 + 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 2$ < 0:

$- (2 x + 2)$	=	$6$
$- 2 x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 2$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 4) + 2$ = -6 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 3 x + 5 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 - 20 t$ = 0 wird.

$9 - 20 t$	=	0
$- 20 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 20 t$	=	$- 9$	\|:( $- 20$ )
$t$	=	$\frac{9}{20}$ = 0.45

Für t = $\frac{9}{20}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +2 ≥ 0:

2. Fall: 2x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 2$ < 0: