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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 5 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} + 5 e^{4 x}$	=	$6 e^{2 x}$	\| $- 6 e^{2 x}$
$e^{6 x} + 5 e^{4 x} - 6 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 5 e^{2 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $6 e^{2 \cdot 0}$ = 6 Somit gilt: S₁(0|6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 1 + x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 1 + x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $e^{- x} + 2 - x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$e^{- x} + 2 - x \cdot e^{- x}$	=	$2$	\| $- 2$
$e^{- x} + 2 - 2 - x \cdot e^{- x}$	=	0
$e^{- x} - x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x + 1) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 5 x^{4} + 4 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 5 x^{4} + 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{4} - 5 x^{2} + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 5 x^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₄	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₅	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0; $1$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{8 x}{- 2 x + 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $2$ }

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{8 x}{- 2 x + 4}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{8 x}{2 (- x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 10} + \frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{8 x}{2 (- x + 2)}$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 x}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (3 x - 10) + \frac{8 x}{2 (- x + 2)} \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x + \frac{2 x \cdot (3 x - 10)}{x - 2} + \frac{4 x \cdot (3 x - 10)}{- x + 2}$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} - 20 x}{x - 2} + \frac{12 x^{2} - 40 x}{- x + 2}$	=
$\frac{12 x^{2} - 40 x}{- x + 2} + \frac{6 x^{2} - 20 x}{x - 2} + 2 x$	=

\frac{6 x^{2} - 20 x}{x - 2} + \frac{12 x^{2} - 40 x}{- x + 2} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 20 x}{x - 2} + \frac{12 x^{2} - 40 x}{- x + 2} + 2 x$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x^{2} - 20 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{12 x^{2} - 40 x}{- x + 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 20 x + \frac{(12 x^{2} - 40 x) \cdot (x - 2)}{- x + 2} + 2 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 20 x - 4 x \cdot (3 x - 10) + 2 x \cdot (x - 2)$	=
$6 x^{2} - 20 x + (- 12 x^{2} + 40 x) + (2 x^{2} - 4 x)$	=
$- 4 x^{2} + 16 x$	=

$- 4 x^{2} + 16 x$	=	0
$4 x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 8 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 3 | + 5$ = $11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 3 \| + 5$	=	$11$	\| $- 5$
$- \frac{1}{2} \| - x + 3 \|$	=	$6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 3 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 x - 5 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 20 t$ = 0 wird.

$16 + 20 t$	=	0
$20 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$20 t$	=	$- 16$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{4}{5}$ = -0.8

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{4}{5}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $16 + 20 \cdot 0$ = 16 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + 20 t$ für t > $- \frac{4}{5}$ größer 0 und für t < $- \frac{4}{5}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{4}{5}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$