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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 6 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 6 x^{3}$	=	$- 8 x^{2}$	\| $+ 8 x^{2}$
$x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 6 x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={0; $2$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 8 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- 8 \cdot 2^{2}$ = -32 Somit gilt: S₂( $2$ |-32)

x₃ = $4$ : f( $4$ )= $- 8 \cdot 4^{2}$ = -128 Somit gilt: S₃( $4$ |-128)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 4 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 4 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$e^{2 x} - 1 + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{- 3 x} - 5) \cdot (x - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{- 3 x} - 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{- 3 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$3 e^{- 3 x}$	=	$5$	\|: $3$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{3})$	≈ -0.1703

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

L={ $- \frac{1}{3} \ln (\frac{5}{3})$ ; $9$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 4}{x} - 4$ = 0

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D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x + 4}{x} - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x + 4}{x} \cdot x - 4 \cdot x$	=
$3 x + 4 - 4 x$	=
$- x + 4$	=

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 6 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 6 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 8 | + 5$ = $- 7$

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$- \| 2 x - 8 \| + 5$	=	$- 7$	\| $- 5$
$- \| 2 x - 8 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$12$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$12$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$20$	\|: $2$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 10 - 8$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$12$
$- 2 x + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 8$ = -12 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x + t)$ genau 0 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x + t)$ = 0

$x^{2} + 5 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 4 t$	=	$- 29$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{29}{4}$ = 7.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{29}{4}$ beispielsweise für t = 8 der Radikand $25 + (- 4 \cdot 8 + 4)$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + (- 4 t + 4)$ für t > $\frac{29}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{29}{4}$ größer 0

Für t > $\frac{29}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: