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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{7 x} + 36 e^{x}$ und $g(x) =$ $12 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{7 x} + 36 e^{x}$	=	$12 e^{4 x}$	\| $- 12 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 12 e^{4 x} + 36 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 12 e^{3 x} + 36

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

$\frac{1}{3} \ln (6)$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $12 e^{4 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 130.833 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |130.833)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

f'(x)= $- 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$- 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0
$(x^{2} + 8 x) e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 8$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x^{4} - 7 x^{2}$ = $- x^{6}$

Lösung einblenden

$6 x^{4} - 7 x^{2}$	=	$- x^{6}$	\| $+ x^{6}$
$x^{6} + 6 x^{4} - 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} + 6 x^{2} - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 6 x^{2} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 3}{x} + \frac{x}{2 x + 3} + \frac{- 16 x - 3}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{3}{2}$ }

\frac{- 16 x - 3}{3 x} + \frac{3 x - 3}{x} + \frac{x}{2 x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 16 x - 3}{3 x} + \frac{3 x - 3}{x} + \frac{x}{2 x + 3}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 16 x - 3}{3 x} \cdot 3 x + \frac{3 x - 3}{x} \cdot 3 x + \frac{x}{2 x + 3} \cdot 3 x$	=
$- 16 x - 3 + 9 x - 9 + 3 \frac{x \cdot x}{2 x + 3}$	=
$- 16 x - 3 + 9 x - 9 + \frac{3 x^{2}}{2 x + 3}$	=
$\frac{3 x^{2}}{2 x + 3} - 16 x + 9 x - 3 - 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x^{2}}{2 x + 3} - 16 x + 9 x - 3 - 9$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x^{2}}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) - 16 x \cdot (2 x + 3) + 9 x \cdot (2 x + 3) - 3 \cdot (2 x + 3) - 9 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x^{2} - 16 x (2 x + 3) + 9 x (2 x + 3) - 6 x - 9 - 18 x - 27$	=
$3 x^{2} + (- 32 x^{2} - 48 x) + (18 x^{2} + 27 x) - 6 x - 9 - 18 x - 27$	=
$- 11 x^{2} - 45 x - 36$	=

$- 11 x^{2} - 45 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 45 \pm \sqrt{{(- 45)}^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{+ 45 \pm \sqrt{2 025 - 1 584}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{+ 45 \pm \sqrt{441}}{- 22}$

x₁ = $\frac{45 + \sqrt{441}}{- 22}$ = $\frac{45+21}{- 22}$ = $\frac{66}{- 22}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{45 - \sqrt{441}}{- 22}$ = $\frac{45-21}{- 22}$ = $\frac{24}{- 22}$ = $- \frac{12}{11}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} - 45 x - 36$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} + \frac{45}{11} x + \frac{36}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{45}{22})}^{2} - (\frac{36}{11})$ = $\frac{2025}{484}$ $-$ $\frac{36}{11}$ = $\frac{2025}{484}$ $-$ $\frac{1584}{484}$ = $\frac{441}{484}$

x_1,2 = $- \frac{45}{22}$ ± $\sqrt{\frac{441}{484}}$

x₁ = $- \frac{45}{22}$ - $\frac{21}{22}$ = $- \frac{66}{22}$ = -3

x₂ = $- \frac{45}{22}$ + $\frac{21}{22}$ = $- \frac{24}{22}$ = -1.0909090909091

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{12}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 8 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} - 8 \cdot (- 3) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$4 x$	$+ 12$
		-( $4 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | x + 2 | + 4$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| x + 2 \| + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$\frac{1}{3} \| x + 2 \|$	=	$1$	\|⋅ $3$
$\| x + 2 \|$	=	$3$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ ≥ 0) genügt:

$1 + 2$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 2$ < 0:

$- (x + 2)$	=	$3$
$- x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 2$ < 0) genügt:

$- 5 + 2$ = -3 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 t x^{2} + 5$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 t x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 5 t x^{2}$	=	$- 5$	\|: $(- 5 t)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{1}{t})}$	= $- \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{1}{t})}$	= $\frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$5$	=	0	\| $- 5$
0	=	$- 5$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t > 0 gibt es also 2 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +2 ≥ 0:

2. Fall: x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 2$ < 0: