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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 6$ und $g(x) =$ $e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{4 x} - 6

=

e^{2 x}

|

- e^{2 x}

e^{4 x} - e^{2 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 3 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$ parallel zur Geraden y = $30 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x - 6$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + e^{x}

=

30

|

- 30

e^{2 x} + e^{x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{- 4 x} + 5) \cdot (x^{4} + 3 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{- 4 x} + 5) (x^{4} + 3 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{- 4 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 3 e^{- 4 x}$	=	$- 5$	\|: $- 3$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{3})$	≈ -0.1277

2. Fall:

$x^{4} + 3 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{3})$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 3} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{3 x}{3 (x + 1)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 1)} - 2$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1)$	=
$x - 2 x - 2$	=
$- x - 2$	=

$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 11 x^{3} + 20 x^{2} - 44 x - 96$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 11 x^{3} + 20 x^{2} - 44 x - 96$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 96$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 11 \cdot {(- 2)}^{3} + 20 \cdot {(- 2)}^{2} - 44 \cdot (- 2) - 96$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 11 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$- 44 x$	$- 96$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
		$2 x^{2}$	$- 44 x$
		-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$- 48 x$	$- 96$
			-( $- 48 x$	$- 96$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 11 x^{3} + 20 x^{2} - 44 x - 96$ = $(x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 48$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 48$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 24$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$24 x$	$- 48$
		-( $24 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = $(x^{2} + 11 x + 24) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 11 x + 24) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11+5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 11-5}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 9 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$- 16 x$	$- 48$
		-( $- 16 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 9 \cdot {(- 8)}^{2} + 2 \cdot (- 8) - 48$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 48$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 6 x$	$- 48$
		-( $- 6 x$	$- 48$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 2 x - 48$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + x - 6) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 8$ ; $- 3$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 4 x - 4 | - 1$ = $3$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 4 x - 4 \| - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| 4 x - 4 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 4 - 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$12$
$- 4 x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 2) - 4$ = -12 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x + 3 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 4 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} - 4 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 4 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 4 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 12 t$	=	$- 20$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Für t = $\frac{5}{3}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: