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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 6 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $- e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 6 e^{- 2 x}$	=	$- e^{x}$	\| $+ e^{x}$
$e^{4 x} + e^{x} - 6 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 6) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$ = -1.26 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-1.26)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 1 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 1 + 4 x \cdot e^{- 3 x}$

f'(x)= $4 e^{- 3 x} - 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- 3 x} - 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$4 e^{- 3 x} - 2 + 2 - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 e^{- 3 x} - 12 x \cdot e^{- 3 x}$	=	0
$4 (- 3 x + 1) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$- 1$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 4 e^{3 x}$ = $5 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 4 e^{3 x}$	=	$5 e^{x}$	\| $- 5 e^{x}$
$e^{5 x} + 4 e^{3 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; $1$ }

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 x - 3} - 6$	=	0
$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{3 x}{3 x - 4} + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{3 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{5 x - 1}{3 (x - 1)} \cdot (3 x - 4) - 6 \cdot (3 x - 4)$	=
$3 x + \frac{(5 x - 1) (3 x - 4)}{3 (x - 1)} - 18 x + 24$	=
$3 x + \frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} - 18 x + 24$	=
$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} + 3 x - 18 x + 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} + 3 x - 18 x + 24$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{15 x^{2} - 23 x + 4}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + 3 x \cdot (3 (x - 1)) - 18 x \cdot (3 (x - 1)) + 24 \cdot (3 (x - 1))$	=
$15 x^{2} - 23 x + 4 + 9 x (x - 1) - 54 x (x - 1) + 72 x - 72$	=
$15 x^{2} - 23 x + 4 + (9 x^{2} - 9 x) + (- 54 x^{2} + 54 x) + 72 x - 72$	=
$- 30 x^{2} + 94 x - 68$	=

- 30 x^{2} + 94 x - 68

= 0 |:2

$- 15 x^{2} + 47 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{47^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 34)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{2 209 - 2 040}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{169}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 47 + \sqrt{169}}{- 30}$ = $\frac{- 47+13}{- 30}$ = $\frac{- 34}{- 30}$ = $\frac{17}{15}$ ≈ 1.13

x₂ = $\frac{- 47 - \sqrt{169}}{- 30}$ = $\frac{- 47-13}{- 30}$ = $\frac{- 60}{- 30}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 47 x - 34$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{47}{15} x + \frac{34}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{30})}^{2} - (\frac{34}{15})$ = $\frac{2209}{900}$ $-$ $\frac{34}{15}$ = $\frac{2209}{900}$ $-$ $\frac{2040}{900}$ = $\frac{169}{900}$

x_1,2 = $\frac{47}{30}$ ± $\sqrt{\frac{169}{900}}$

x₁ = $\frac{47}{30}$ - $\frac{13}{30}$ = $\frac{34}{30}$ = 1.1333333333333

x₂ = $\frac{47}{30}$ + $\frac{13}{30}$ = $\frac{60}{30}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{17}{15}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 19 x^{3} + 107 x^{2} - 161 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 19 x^{3} + 107 x^{2} - 161 x + 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $72$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 19 \cdot 1^{3} + 107 \cdot 1^{2} - 161 \cdot 1 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 19 x^{3}$	$+ 107 x^{2}$	$- 161 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 18 x^{2} + 89 x - 72$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 18 x^{3}$	$+ 107 x^{2}$
	-( $- 18 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
		$89 x^{2}$	$- 161 x$
		-( $89 x^{2}$	$- 89 x$ )
			$- 72 x$	$+ 72$
			-( $- 72 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 19 x^{3} + 107 x^{2} - 161 x + 72$ = $(x^{3} - 18 x^{2} + 89 x - 72) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 18 x^{2} + 89 x - 72) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 18 x^{2} + 89 x - 72$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 72$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 89 \cdot 1 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 89 x$	$- 72$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 17 x + 72$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 17 x^{2}$	$+ 89 x$
	-( $- 17 x^{2}$	$+ 17 x$ )
		$72 x$	$- 72$
		-( $72 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 18 x^{2} + 89 x - 72$ = $(x^{2} - 17 x + 72) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 17 x + 72) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 18 \cdot 8^{2} + 89 \cdot 8 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 89 x$	$- 72$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 89 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 80 x$ )
		$9 x$	$- 72$
		-( $9 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 18 x^{2} + 89 x - 72$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 18 \cdot 9^{2} + 89 \cdot 9 - 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 18 x^{2}$	$+ 89 x$	$- 72$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 89 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 81 x$ )
		$8 x$	$- 72$
		-( $8 x$	$- 72$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 18 x^{2} + 89 x - 72$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{4} - 19 \cdot 8^{3} + 107 \cdot 8^{2} - 161 \cdot 8 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 19 x^{3}$	$+ 107 x^{2}$	$- 161 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$
-( $x^{4}$	$- 8 x^{3}$ )
	$- 11 x^{3}$	$+ 107 x^{2}$
	-( $- 11 x^{3}$	$+ 88 x^{2}$ )
		$19 x^{2}$	$- 161 x$
		-( $19 x^{2}$	$- 152 x$ )
			$- 9 x$	$+ 72$
			-( $- 9 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 19 x^{3} + 107 x^{2} - 161 x + 72$ = $(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) \cdot (x - 8)$

(x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 11 \cdot 9^{2} + 19 \cdot 9 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 11 x^{2}$	$+ 19 x$	$- 9$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 19 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$x$	$- 9$
		-( $x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 11 x^{2} + 19 x - 9$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} - 19 \cdot 9^{3} + 107 \cdot 9^{2} - 161 \cdot 9 + 72$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 19 x^{3}$	$+ 107 x^{2}$	$- 161 x$	$+ 72$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$- 10 x^{3}$	$+ 107 x^{2}$
	-( $- 10 x^{3}$	$+ 90 x^{2}$ )
		$17 x^{2}$	$- 161 x$
		-( $17 x^{2}$	$- 153 x$ )
			$- 8 x$	$+ 72$
			-( $- 8 x$	$+ 72$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 19 x^{3} + 107 x^{2} - 161 x + 72$ = $(x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8) \cdot (x - 9)$

(x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 10 \cdot 1^{2} + 17 \cdot 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 9 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$ = $(x^{2} - 9 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 9 x + 8) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 10 \cdot 8^{2} + 17 \cdot 8 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$+ 17 x$	$- 8$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 17 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$x$	$- 8$
		-( $x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 10 x^{2} + 17 x - 8$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 8)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $8$ ; $9$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 6 | + 9$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \| + 9$	=	$1$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 6 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 6 \|$	=	$- 16$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{4} - 3 t x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- x^{4} - 3 t x^{2}$	=	0
$- x^{2} (x^{2} + 3 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3 t$	=	0	\| - ( $3 t$ )
$x^{2}$	=	$- 3 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- 3 t)}$	= $- \sqrt{(- 3 t)}$
x₃	=	$\sqrt{(- 3 t)}$	= $\sqrt{(- 3 t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $8$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $8$