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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $\frac{64}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5}$	=	$\frac{64}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x$	=	$\frac{64}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x$	=	$64$
$x^{6}$	=	$64$

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{64}{(- 2)}$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{64}{2}$ = 32 Somit gilt: S₂( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $45 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $45 x - 7$ gilt m = $45$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 4 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 4 x^{2}

=

45

|

- 45

x^{4} - 4 x^{2} - 45

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $2$ - $7$ = -5

x₂ = $2$ + $7$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $45$ und sind somit parallel zur Geraden y = $45 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{7} + 9 x^{4} + 8 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{7} + 9 x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{6} + 9 x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{6} + 9 x^{3} + 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; 0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 3}{x} + \frac{3 x + 1}{x + 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{3 x + 1}{x + 1} + \frac{3 x - 3}{x} - 8

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x + 1}{x + 1} + \frac{3 x - 3}{x} - 8$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{3 x - 3}{x} \cdot (x + 1) - 8 \cdot (x + 1)$	=
$3 x + 1 + \frac{(3 x - 3) \cdot (x + 1)}{x} - 8 x - 8$	=
$3 x + 1 + \frac{3 x^{2} - 3}{x} - 8 x - 8$	=
$\frac{3 x^{2} - 3}{x} + 3 x - 8 x + 1 - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 3}{x} + 3 x - 8 x + 1 - 8$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 3}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 8 x \cdot x + 1 \cdot x - 8 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 3 + 3 x \cdot x - 8 x \cdot x + x - 8 x$	=
$3 x^{2} - 3 + 3 x^{2} - 8 x^{2} + x - 8 x$	=
$- 2 x^{2} - 7 x - 3$	=

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 90$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} - 37 \cdot (- 2) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 45$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 45 x$	$- 90$
		-( $- 45 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} + 4 x - 45) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x - 45) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 2$ - $7$ = -9

x₂ = $- 2$ + $7$ = 5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 6 \cdot 5^{2} - 37 \cdot 5 - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 11 x + 18$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 55 x$ )
		$18 x$	$- 90$
		-( $18 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 11 x + 18) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11+7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 11-7}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 6 \cdot {(- 9)}^{2} - 37 \cdot (- 9) - 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 37 x$	$- 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 37 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 27 x$ )
		$- 10 x$	$- 90$
		-( $- 10 x$	$- 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 37 x - 90$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 4 | - 9$ = $- 17$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 4 \| - 9$	=	$- 17$	\| $+ 9$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 8$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$- 16$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - x + 3 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - x + 3 t)$ = 0

$x^{2} - x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$1 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 12 t$	=	$- 5$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{5}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{12}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + (- 12 \cdot 1 + 4)$ = -7 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{5}{12}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{12}$ größer 0

Für t < $\frac{5}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 9$