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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $7$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 6 e^{x}

=

7

|

- 7

e^{2 x} + 6 e^{x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $7$ Somit gilt: S₁(0|7)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{5}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 4$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{5}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 5 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 5 e^{3 x}

=

6

|

- 6

e^{6 x} + 5 e^{3 x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{4 x} - 15 e^{x}$ = $- e^{7 x}$

Lösung einblenden

$- 2 e^{4 x} - 15 e^{x}$	=	$- e^{7 x}$	\| $+ e^{7 x}$
$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 3$ }

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 x + 9} - 6$	=	0
$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{3 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{3 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x - 1}{3 (x + 3)} \cdot (3 x + 8) - 6 \cdot (3 x + 8)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 1) (3 x + 8)}{3 (x + 3)} - 18 x - 48$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} - 18 x - 48$	=
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} + 3 x - 18 x - 48$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} + 3 x - 18 x - 48$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 3 x \cdot (3 (x + 3)) - 18 x \cdot (3 (x + 3)) - 48 \cdot (3 (x + 3))$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + 9 x (x + 3) - 54 x (x + 3) - 144 x - 432$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + (9 x^{2} + 27 x) + (- 54 x^{2} - 162 x) - 144 x - 432$	=
$- 39 x^{2} - 266 x - 440$	=

$- 39 x^{2} - 266 x - 440$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 266 \pm \sqrt{{(- 266)}^{2} - 4 \cdot (- 39) \cdot (- 440)}}{2 \cdot (- 39)}$

x_1,2 = $\frac{+ 266 \pm \sqrt{70 756 - 68 640}}{- 78}$

x_1,2 = $\frac{+ 266 \pm \sqrt{2 116}}{- 78}$

x₁ = $\frac{266 + \sqrt{2 116}}{- 78}$ = $\frac{266+46}{- 78}$ = $\frac{312}{- 78}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{266 - \sqrt{2 116}}{- 78}$ = $\frac{266-46}{- 78}$ = $\frac{220}{- 78}$ = $- \frac{110}{39}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 39$ " teilen:

$- 39 x^{2} - 266 x - 440$ = 0 |: $- 39$

$x^{2} + \frac{266}{39} x + \frac{440}{39}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{133}{39})}^{2} - (\frac{440}{39})$ = $\frac{17689}{1521}$ $-$ $\frac{440}{39}$ = $\frac{17689}{1521}$ $-$ $\frac{17160}{1521}$ = $\frac{529}{1521}$

x_1,2 = $- \frac{133}{39}$ ± $\sqrt{\frac{529}{1521}}$

x₁ = $- \frac{133}{39}$ - $\frac{23}{39}$ = $- \frac{156}{39}$ = -4

x₂ = $- \frac{133}{39}$ + $\frac{23}{39}$ = $- \frac{110}{39}$ = -2.8205128205128

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{110}{39}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 7 x^{3} - 19 x^{2} + 7 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 7 x^{3} - 19 x^{2} + 7 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} - 7 \cdot {(- 1)}^{3} - 19 \cdot {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$- 8 x^{3}$	$- 19 x^{2}$
	-( $- 8 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
		$- 11 x^{2}$	$+ 7 x$
		-( $- 11 x^{2}$	$- 11 x$ )
			$18 x$	$+ 18$
			-( $18 x$	$+ 18$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 7 x^{3} - 19 x^{2} + 7 x + 18$ = $(x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18) \cdot (x + 1)$

(x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 11 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 8 \cdot {(- 2)}^{2} - 11 \cdot (- 2) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 11 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$9 x$	$+ 18$
		-( $9 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 10 x + 9) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 8 \cdot 9^{2} - 11 \cdot 9 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$	$- 11 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 11 x$
	-( $x^{2}$	$- 9 x$ )
		$- 2 x$	$+ 18$
		-( $- 2 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 8 x^{2} - 11 x + 18$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + x - 2) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 3 | - 3$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 3 \| - 3$	=	$- 5$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| x + 3 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 3 \|$	=	$6$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

$x + 3$	=	$6$	\| $- 3$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ ≥ 0) genügt:

$3 + 3$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 3$ < 0:

$- (x + 3)$	=	$6$
$- x - 3$	=	$6$	\| $+ 3$
$- x$	=	$9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ < 0) genügt:

$- 9 + 3$ = -6 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - x - 5 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 20 t$ = 0 wird.

$1 + 20 t$	=	0
$20 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$20 t$	=	$- 1$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{1}{20}$ = -0.05

Für t = $- \frac{1}{20}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +3 ≥ 0:

2. Fall: x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 3$ < 0: