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Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Gegegben sind die Funktionen f und g mit und . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.
Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | | |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = -9
x2 = + = = 4
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
u2: =
| = | | |
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:
x1 = : f( )= = 9 Somit gilt: S1( |9)
x2 = : f( )= = 9 Somit gilt: S2( |9)
Steigung gleichsetzen
Beispiel:
Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit parallel zur Geraden y = sind.
Für die Steigung der Geraden y = gilt m =
Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.
f(x)=
f'(x)=
Also muss gelten:
| = | | |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = -1
x2 = + = = 8
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | | ||
| x1 | = | = |
u2: =
| = | | | ||
| x2 | = | = |
L={ ; }
An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung und sind somit parallel zur Geraden y = .
vermischte Gleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | | ||
| x2 | = | = | |
| x3 | = | = |
u2: =
| = | | | ||
| x4 | = | = | |
| x5 | = | = |
L={
;
ist 2-fache Lösung!
Bruchgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{
;
| = | |||
| = | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "" teilen:
=
= 0
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = 0.5
x2 = + = = 2
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Gleichungen mit Polynomdivision
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von
=
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen)
des Absolutglieds
.
ist eine Lösung, denn = 0.
Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x) durch.
| ( | ) | : | (x) | = | |||
| -( | ) | ||||||
| -( |
|||||||
| -( | ) | ||||||
es gilt also:
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| = | | |
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
2. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
L={ }
Betragsgleichungen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = | | | ||
| = | |⋅ | ||
| = |
Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!
L={}
Lösungsanzahl in Abh. von Parameter
Beispiel:
Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit genau 3 Nullstellen?
Wir setzen ft(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | | ||
| x2 | = | = | |
| x3 | = | = |
Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.
Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:
| = | |: | ||
| = | | | ||
| = |
Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).