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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 10 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $- 21 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 10 e^{- x} + 1

=

- 21 e^{- 2 x}

|

+ 21 e^{- 2 x}

- 10 e^{- x} + 21 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 10 e^{- x} + 21 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 10 e^{x} + 21$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- 21 e^{- 2 \cdot (\ln (3))}$ = -2.333 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-2.333)

x₂ = $\ln (7)$ : f( $\ln (7)$ )= $- 21 e^{- 2 \cdot (\ln (7))}$ = -0.429 Somit gilt: S₂( $\ln (7)$ |-0.429)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 4 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 4 + 2 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 e^{\frac{1}{2} x} + 2 - 2 + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$2 e^{\frac{1}{2} x} + x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$(x + 2) e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 6} + \frac{4}{x} + \frac{3 x - 2}{- 2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x - 6} + \frac{3 x - 2}{- 2 x + 6} + \frac{4}{x}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 3)} + \frac{3 x - 2}{2 (- x + 3)} + \frac{4}{x}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 3)} + \frac{3 x - 2}{2 (- x + 3)} + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3) + \frac{3 x - 2}{2 (- x + 3)} \cdot (x - 3) + \frac{4}{x} \cdot (x - 3)$	=
$x + \frac{(3 x - 2) (x - 3)}{2 (- x + 3)} + 4 \frac{x - 3}{x}$	=
$x - \frac{3}{2} x + 1 + 4 \frac{x - 3}{x}$	=
$\frac{4 (x - 3)}{x} + x - \frac{3}{2} x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 (x - 3)}{x} + x - \frac{3}{2} x + 1$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 (x - 3)}{x} \cdot x + x \cdot x - \frac{3}{2} x \cdot x + 1 \cdot x$	=
$4 x - 12 + x \cdot x - \frac{3}{2} x \cdot x + x$	=
$4 x - 12 + x^{2} - \frac{3}{2} x^{2} + x$	=
$- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 12$	=

$- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 12$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 12)$	=	0

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10+2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10-2}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 2 x^{3} - 33 x^{2} + 22 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 2 x^{3} - 33 x^{2} + 22 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 33 \cdot {(- 1)}^{2} + 22 \cdot (- 1) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$	$- 33 x^{2}$	$+ 22 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$x^{3}$	$- 33 x^{2}$
	-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 34 x^{2}$	$+ 22 x$
		-( $- 34 x^{2}$	$- 34 x$ )
			$56 x$	$+ 56$
			-( $56 x$	$+ 56$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 2 x^{3} - 33 x^{2} + 22 x + 56$ = $(x^{3} + x^{2} - 34 x + 56) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + x^{2} - 34 x + 56) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 34 \cdot 2 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 34 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 28$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 34 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 28 x$	$+ 56$
		-( $- 28 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = $(x^{2} + 3 x - 28) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 28) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4^{2} - 34 \cdot 4 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 34 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 34 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 14 x$	$+ 56$
		-( $- 14 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + {(- 7)}^{2} - 34 \cdot (- 7) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 34 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 34 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$8 x$	$+ 56$
		-( $8 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 7$ ; $- 1$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x - 8 | + 1$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x - 8 \| + 1$	=	$- 15$	\| $- 1$
$- \| - 4 x - 8 \|$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$16$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$16$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) - 8$ = 16 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$16$
$4 x + 8$	=	$16$	\| $- 8$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 2 - 8$ = -16 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 2 x + 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 2 x + 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 2 x + 3 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{4} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{4} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 2 x + 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 2 x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 - 12 t$ = 0 wird.

$4 - 12 t$	=	0
$- 12 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 12 t$	=	$- 4$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{1}{3}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{3}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $4 - 12 \cdot 1$ = -8 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 - 12 t$ für t > $\frac{1}{3}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{3}$ größer 0

Für t < $\frac{1}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: