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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 9$ und $g(x) =$ $- 8 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 9

=

- 8 x^{2}

|

+ 8 x^{2}

x^{4} + 8 x^{2} - 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 8 u - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 9$

x^{2}

=

- 9

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- 8 \cdot {(- 1)}^{2}$ = -8 Somit gilt: S₁( $- 1$ |-8)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- 8 \cdot 1^{2}$ = -8 Somit gilt: S₂( $1$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $21 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x + 5$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 4 e^{3 x}

=

21

|

- 21

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{- 6 x} - 6) \cdot (x + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{- 6 x} - 6) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{- 6 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$9 e^{- 6 x}$	=	$6$	\|: $9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.0676

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{2}{3})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{2}$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 x - 5} - 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x - 1}{2 x - 5} \cdot (x - 2) - 5 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(x - 1) (x - 2)}{2 x - 5} - 5 x + 10$	=
$2 x + \frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x - 5} - 5 x + 10$	=
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x - 5} + 2 x - 5 x + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x - 5} + 2 x - 5 x + 10$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + 2 x \cdot (2 x - 5) - 5 x \cdot (2 x - 5) + 10 \cdot (2 x - 5)$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + 2 x (2 x - 5) - 5 x (2 x - 5) + 20 x - 50$	=
$x^{2} - 3 x + 2 + (4 x^{2} - 10 x) + (- 10 x^{2} + 25 x) + 20 x - 50$	=
$- 5 x^{2} + 32 x - 48$	=

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32+8}{- 10}$ = $\frac{- 24}{- 10}$ = $2,4$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32-8}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{12}{5}$ = 2.4

x₂ = $\frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,4$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 53 \cdot 2 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 53 x$	$+ 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x - 45$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 53 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 45 x$	$+ 90$
		-( $- 45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = $(x^{2} + 4 x - 45) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x - 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 2$ - $7$ = -9

x₂ = $- 2$ + $7$ = 5

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} + 2 \cdot 5^{2} - 53 \cdot 5 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 53 x$	$+ 90$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 53 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 35 x$ )
		$- 18 x$	$+ 90$
		-( $- 18 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 2 \cdot {(- 9)}^{2} - 53 \cdot (- 9) + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 53 x$	$+ 90$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 53 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 63 x$ )
		$10 x$	$+ 90$
		-( $10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 53 x + 90$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 4 | + 5$ = $3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 4 \| + 5$	=	$3$	\| $- 5$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$6$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$6$	\| $- 4$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 1 + 4$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$6$
$- 2 x - 4$	=	$6$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 5) + 4$ = -6 < 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x - 2 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x - 2 t)$ = 0

$x^{2} + x - 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x - 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + (- 2 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 8 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 8 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 8 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 8 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 8 t + 4$	=	0
$8 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$8 t$	=	$- 5$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{5}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{8}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $1 + (8 \cdot 0 + 4)$ = 5 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 8 t + 4$ für t > $- \frac{5}{8}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{8}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{5}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: