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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - 2 x^{2}$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} - 2 x^{2}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x - 2 x^{2} \cdot x$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x$
$x^{5} \cdot x - 2 x^{2} \cdot x$	=	$- 1$
$x^{6} - 2 x^{3}$	=	$- 1$

x^{6} - 2 x^{3}

=

- 1

|

+ 1

x^{6} - 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{1}{1}$ = -1 Somit gilt: S₁( $1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 7$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $1 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$1 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$1 - 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- x^{2} + x) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 21 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 21 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 21) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{2 x}{x + 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} + \frac{3 x + 1}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{3 x + 1}{2 x} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=
$2 x + \frac{(3 x + 1) (x + 1)}{2 x} - 3 x - 3$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} - 3 x - 3$	=
$\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} + 2 x - 3 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} + 2 x - 3 x - 3$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} \cdot 2 x + 2 x \cdot 2 x - 3 x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} + 4 x + 1 + 4 x \cdot x - 6 x \cdot x - 6 x$	=
$3 x^{2} + 4 x + 1 + 4 x^{2} - 6 x^{2} - 6 x$	=
$x^{2} - 2 x + 1$	=

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x + 4 | + 6$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \| + 6$	=	$- 14$	\| $- 6$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$60$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$60$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 14) + 4$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$60$
$4 x - 4$	=	$60$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$64$	\|: $4$
x₂	=	$16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 16 + 4$ = -60 < 0

Die Lösung $16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $16$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 3 t x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau 2 Nullstellen?

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Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 3 t x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 3 t x - 2 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 3 t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 3 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{{(- 3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} + 8 t$	=	0
$t (9 t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$9 t$	=	$- 8$	\|: $9$
t₂	=	$- \frac{8}{9}$

Da bei $9 t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $9 t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- \frac{8}{9}$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: