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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 24 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 2 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 24 e^{x}$	=	$- 2 e^{2 x}$	\| $+ 2 e^{2 x}$
$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 24) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 2 e^{2 \cdot (2 \ln (2))}$ = -32 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $24 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x - 2$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

24

|

- 24

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 7 x} + 3) \cdot (x^{2} - 5 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{- 7 x} + 3) \cdot (x^{2} - 5 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 7 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 2 e^{- 7 x}$	=	$- 3$	\|: $- 2$
$e^{- 7 x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|ln(⋅)
$- 7 x$	=	$\ln (\frac{3}{2})$	\|: $- 7$
x₁	=	$- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{2})$	≈ -0.0579

2. Fall:

$x^{2} - 5 x$	=	0
$x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- \frac{1}{7} \ln (\frac{3}{2})$ ; 0; $5$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x + 1} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{4 x + 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

- \frac{4 x + 1}{x} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{8 x}{x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{4 x + 1}{x} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{8 x}{x + 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{4 x + 1}{x} \cdot 2 x + \frac{x + 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{8 x}{x + 1} \cdot 2 x$	=
$- 8 x - 2 + x + 1 + 2 \frac{8 x \cdot x}{x + 1}$	=
$- 8 x - 2 + x + 1 + \frac{16 x^{2}}{x + 1}$	=
$\frac{16 x^{2}}{x + 1} - 8 x + x - 2 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2}}{x + 1} - 8 x + x - 2 + 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{16 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) - 8 x \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=
$16 x^{2} - 8 x \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 2 x - 2 + x + 1$	=
$16 x^{2} + (- 8 x^{2} - 8 x) + (x^{2} + x) - 2 x - 2 + x + 1$	=
$9 x^{2} - 8 x - 1$	=

$9 x^{2} - 8 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{18}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{18}$ = $\frac{8+10}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{18}$ = $\frac{8-10}{18}$ = $\frac{- 2}{18}$ = $- \frac{1}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 8 x - 1$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{9})}^{2} - (- \frac{1}{9})$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $\frac{4}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $\frac{4}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $- \frac{1}{9}$ = -0.11111111111111

x₂ = $\frac{4}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{9}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 12 x$	$+ 12$
		-( $- 12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4^{2} - 7 \cdot 4 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 7 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 3 x$	$+ 12$
		-( $- 3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x + 1 | - 3$ = $3$

Lösung einblenden

$\| x + 1 \| - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
$\| x + 1 \|$	=	$6$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$6$	\| $- 1$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$5 + 1$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$6$
$- x - 1$	=	$6$	\| $+ 1$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 7 + 1$ = -6 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 3 x - 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 3 x - 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 3 x - 3 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 3 x - 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 3 x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 12 t$ = 0 wird.

$9 + 12 t$	=	0
$12 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$12 t$	=	$- 9$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{3}{4}$ = -0.75

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{3}{4}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $9 + 12 \cdot 0$ = 9 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + 12 t$ für t > $- \frac{3}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{3}{4}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{3}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: