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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 7 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $- 10$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 7 e^{3 x}

=

- 10

|

+ 10

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 10$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-10)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- 10$ Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-10)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 5 + 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 5 + 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 e^{- \frac{1}{2} x} + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- \frac{1}{2} x} + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 e^{- \frac{1}{2} x} + 2 - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 e^{- \frac{1}{2} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$(- x + 2) \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 3 e^{3 x}$ = $4 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 3 e^{3 x}$	=	$4 e^{2 x}$	\| $- 4 e^{2 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 4 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 4) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{15 x}{- 9 x + 24}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{15 x}{- 9 x + 24}$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 8)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 8)}$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{15 x}{3 (- 3 x + 8)} \cdot (2 (x - 2))$	=
$3 x + 2 \frac{2 x \cdot (x - 2)}{3 x - 8} + 2 \frac{5 x \cdot (x - 2)}{- 3 x + 8}$	=
$3 x + \frac{2 (2 x^{2} - 4 x)}{3 x - 8} + \frac{2 (5 x^{2} - 10 x)}{- 3 x + 8}$	=
$\frac{2 (5 x^{2} - 10 x)}{- 3 x + 8} + \frac{2 (2 x^{2} - 4 x)}{3 x - 8} + 3 x$	=

\frac{2 (2 x^{2} - 4 x)}{3 x - 8} + \frac{2 (5 x^{2} - 10 x)}{- 3 x + 8} + 3 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 4 x)}{3 x - 8} + \frac{2 (5 x^{2} - 10 x)}{- 3 x + 8} + 3 x$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 4 x)}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{2 (5 x^{2} - 10 x)}{- 3 x + 8} \cdot (3 x - 8) + 3 x \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x^{2} - 8 x + \frac{2 (5 x^{2} - 10 x) \cdot (3 x - 8)}{- 3 x + 8} + 3 x \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x^{2} - 8 x - 10 x \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (3 x - 8)$	=
$4 x^{2} - 8 x + (- 10 x^{2} + 20 x) + (9 x^{2} - 24 x)$	=
$3 x^{2} - 12 x$	=

$3 x^{2} - 12 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 6 x^{3} - 31 x^{2} - 24 x + 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 6 x^{3} - 31 x^{2} - 24 x + 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $108$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 6 \cdot {(- 2)}^{3} - 31 \cdot {(- 2)}^{2} - 24 \cdot (- 2) + 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$	$- 31 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 108$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 39 x + 54$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$- 31 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
		$- 39 x^{2}$	$- 24 x$
		-( $- 39 x^{2}$	$- 78 x$ )
			$54 x$	$+ 108$
			-( $54 x$	$+ 108$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 6 x^{3} - 31 x^{2} - 24 x + 108$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 39 x + 54) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 39 x + 54) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 39 x + 54$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $54$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 39 \cdot 2 + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 39 x$	$+ 54$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 6 x - 27$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 39 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 27 x$	$+ 54$
		-( $- 27 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 39 x + 54$ = $(x^{2} + 6 x - 27) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 6 x - 27) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 3$ - $6$ = -9

x₂ = $- 3$ + $6$ = 3

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 4 \cdot 3^{2} - 39 \cdot 3 + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 39 x$	$+ 54$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 39 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 18 x$	$+ 54$
		-( $- 18 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 39 x + 54$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 4 \cdot {(- 9)}^{2} - 39 \cdot (- 9) + 54$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 39 x$	$+ 54$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 39 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 45 x$ )
		$6 x$	$+ 54$
		-( $6 x$	$+ 54$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 39 x + 54$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 9$ ; $- 2$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 12 | + 3$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 12 \| + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 12 \|$	=	$6$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

$3 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 8 - 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 12$ < 0:

$- (3 x - 12)$	=	$12$
$- 3 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot (0) - 12$ = -12 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $t x^{4} - 3 x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$t x^{4} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (t x^{2} - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$t x^{2} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$t x^{2}$	=	$3$	\|: $t$
$x^{2}$	=	$3 \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(3 \cdot \frac{1}{t})}$	= $- 1,7321 \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₃	=	$\sqrt{(3 \cdot \frac{1}{t})}$	= $1,7321 \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- 3 x^{2}$	=	$0$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -12 ≥ 0:

2. Fall: 3x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 12$ < 0: