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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - \frac{8}{x}$ und $g(x) =$ $7 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{5} - \frac{8}{x}$	=	$7 x^{2}$	\|⋅( $x$ )
$x^{5} \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$7 x^{2} \cdot x$
$x^{5} \cdot x - 8$	=	$7 x^{2} \cdot x$
$x^{6} - 8$	=	$7 x^{2} \cdot x$
$x^{6} - 8$	=	$7 x^{3}$

x^{6} - 8

=

7 x^{3}

|

- 7 x^{3}

x^{6} - 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $- 1$

$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $7 \cdot {(- 1)}^{2}$ = 7 Somit gilt: S₁( $- 1$ |7)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $7 \cdot 2^{2}$ = 28 Somit gilt: S₂( $2$ |28)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $20 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x + 7$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

20

|

- 20

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $- 5$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 6$ = $5 e^{3 x}$

Lösung einblenden

e^{6 x} + 6

=

5 e^{3 x}

|

- 5 e^{3 x}

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{3 x + 9} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{3 x}{3 (x + 3)} - 4

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 3)} - 4$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 3)} \cdot (x + 3) - 4 \cdot (x + 3)$	=
$x - 4 x - 12$	=
$- 3 x - 12$	=

$- 3 x - 12$	=	0	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 8 x^{3} - 10 x^{2} - 8 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 8 x^{3} - 10 x^{2} - 8 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 8 \cdot {(- 1)}^{3} - 10 \cdot {(- 1)}^{2} - 8 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 8 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 7 x^{2} - 17 x + 9$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$7 x^{3}$	$- 10 x^{2}$
	-( $7 x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
		$- 17 x^{2}$	$- 8 x$
		-( $- 17 x^{2}$	$- 17 x$ )
			$9 x$	$+ 9$
			-( $9 x$	$+ 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} - 10 x^{2} - 8 x + 9$ = $(x^{3} + 7 x^{2} - 17 x + 9) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 7 x^{2} - 17 x + 9) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} - 17 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 17 \cdot 1 + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 9 x$	$+ 9$
		-( $- 9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 17 x + 9$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 7 \cdot {(- 9)}^{2} - 17 \cdot (- 9) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 17 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$x$	$+ 9$
		-( $x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} - 17 x + 9$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 8 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 8 x$	$+ 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$9 x^{3}$	$- 10 x^{2}$
	-( $9 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 8 x$
		-( $- x^{2}$	$+ x$ )
			$- 9 x$	$+ 9$
			-( $- 9 x$	$+ 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} - 10 x^{2} - 8 x + 9$ = $(x^{3} + 9 x^{2} - x - 9) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 9 x^{2} - x - 9) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 9 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- x$	$- 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 9 x$	$- 9$
		-( $- 9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$- x$
	-( $10 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = $(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 10 x + 9) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 5$ - $4$ = -9

x₂ = $- 5$ + $4$ = -1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 9 \cdot {(- 9)}^{2} - (- 9) - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$- x$	$- 9$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 9$
		-( $- x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} - x - 9$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 9)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 9)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{4} + 8 \cdot {(- 9)}^{3} - 10 \cdot {(- 9)}^{2} - 8 \cdot (- 9) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 8 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{3} - x^{2} - x + 1$
-( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 10 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 8 x$
		-( $- x^{2}$	$- 9 x$ )
			$x$	$+ 9$
			-( $x$	$+ 9$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} - 10 x^{2} - 8 x + 9$ = $(x^{3} - x^{2} - x + 1) \cdot (x + 9)$

(x^{3} - x^{2} - x + 1) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 1$
		-( $- x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 1$ ; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x + 2 | + 4$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x + 2 \| + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$\frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$1$	\|⋅ $2$
$\| - x + 2 \|$	=	$2$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (0) + 2$ = 2 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$2$
$x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 4 + 2$ = -2 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 x + 3 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 12 t$ = 0 wird.

$25 - 12 t$	=	0
$- 12 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 12 t$	=	$- 25$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{25}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{25}{12}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $25 - 12 \cdot 3$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 - 12 t$ für t > $\frac{25}{12}$ kleiner 0 und für t < $\frac{25}{12}$ größer 0

Für t < $\frac{25}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $- 9$

Polynomdivision mit $1$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: