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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 21 x$ und $g(x) =$ $10 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 21 x$	=	$10 x^{2}$	\| $- 10 x^{2}$
$x^{3} - 10 x^{2} + 21 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 10 x + 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

L={0; $3$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $10 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $3$ : f( $3$ )= $10 \cdot 3^{2}$ = 90 Somit gilt: S₂( $3$ |90)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $10 \cdot 7^{2}$ = 490 Somit gilt: S₃( $7$ |490)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 + 4 x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 + 4 x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $4 e^{- x} - 4 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$4 e^{- x} - 4 x \cdot e^{- x}$	=	0
$4 (- x + 1) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - e^{3 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 6} + \frac{3 x}{2 x + 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 2$ }

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{3 x + 6} - 7$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{3 (x + 2)} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{3 (x + 2)} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{4 x}{3 (x + 2)} \cdot (2 x + 3) - 7 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{4 x \cdot (2 x + 3)}{3 (x + 2)} - 14 x - 21$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 12 x}{3 (x + 2)} - 14 x - 21$	=
$\frac{8 x^{2} + 12 x}{3 (x + 2)} + 3 x - 14 x - 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 12 x}{3 (x + 2)} + 3 x - 14 x - 21$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{8 x^{2} + 12 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + 3 x \cdot (3 (x + 2)) - 14 x \cdot (3 (x + 2)) - 21 \cdot (3 (x + 2))$	=
$8 x^{2} + 12 x + 9 x \cdot (x + 2) - 42 x \cdot (x + 2) - 63 x - 126$	=
$8 x^{2} + 12 x + (9 x^{2} + 18 x) + (- 42 x^{2} - 84 x) - 63 x - 126$	=
$- 25 x^{2} - 117 x - 126$	=

$- 25 x^{2} - 117 x - 126$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 117 \pm \sqrt{{(- 117)}^{2} - 4 \cdot (- 25) \cdot (- 126)}}{2 \cdot (- 25)}$

x_1,2 = $\frac{+ 117 \pm \sqrt{13 689 - 12 600}}{- 50}$

x_1,2 = $\frac{+ 117 \pm \sqrt{1 089}}{- 50}$

x₁ = $\frac{117 + \sqrt{1 089}}{- 50}$ = $\frac{117+33}{- 50}$ = $\frac{150}{- 50}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{117 - \sqrt{1 089}}{- 50}$ = $\frac{117-33}{- 50}$ = $\frac{84}{- 50}$ = $- 1,68$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 25$ " teilen:

$- 25 x^{2} - 117 x - 126$ = 0 |: $- 25$

$x^{2} + \frac{117}{25} x + \frac{126}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{117}{50})}^{2} - (\frac{126}{25})$ = $\frac{13689}{2500}$ $-$ $\frac{126}{25}$ = $\frac{13689}{2500}$ $-$ $\frac{12600}{2500}$ = $\frac{1089}{2500}$

x_1,2 = $- \frac{117}{50}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{2500}}$

x₁ = $- \frac{117}{50}$ - $\frac{33}{50}$ = $- \frac{150}{50}$ = -3

x₂ = $- \frac{117}{50}$ + $\frac{33}{50}$ = $- \frac{84}{50}$ = -1.68

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,68$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + x - 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 1$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 1 - 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ x$	$- 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$- 1$
		-( $x$	$- 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x - 12 | - 3$ = $- 9$

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$\frac{1}{3} \| 3 x - 12 \| - 3$	=	$- 9$	\| $+ 3$
$\frac{1}{3} \| 3 x - 12 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $3$
$\| 3 x - 12 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 4 x + 3 t)$ genau 1 Nullstelle?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 4 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} + 4 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 4 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 4 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 12 t$	=	$- 20$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Für t = $\frac{5}{3}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

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Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter