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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 30$ und $g(x) =$ $e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 30

=

e^{3 x}

|

- e^{3 x}

e^{6 x} - e^{3 x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (6)$ )= $e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (6))}$ = 6 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (6)$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 5$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 3 x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

f'(x)= $3 e^{\frac{1}{3} x} - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$3 e^{\frac{1}{3} x} - 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$3 e^{\frac{1}{3} x} - 1 + 1 + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$3 e^{\frac{1}{3} x} + x \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0
$(x + 3) e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 12 e^{4 x} + 35 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 12 e^{4 x} + 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 12 e^{2 x} + 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 12 e^{2 x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 10} + \frac{3 x}{2 x - 4} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{10}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x - 4} + \frac{x}{3 x - 10} - 5$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{3 x - 10} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{3 x - 10} - 5$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{x}{3 x - 10} \cdot (2 (x - 2)) - 5 \cdot (2 (x - 2))$	=
$3 x + 2 \frac{x (x - 2)}{3 x - 10} - 10 x + 20$	=
$3 x + \frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} - 10 x + 20$	=
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} + 3 x - 10 x + 20$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} + 3 x - 10 x + 20$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{2 (x^{2} - 2 x)}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + 3 x \cdot (3 x - 10) - 10 x \cdot (3 x - 10) + 20 \cdot (3 x - 10)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 3 x (3 x - 10) - 10 x (3 x - 10) + 60 x - 200$	=
$2 x^{2} - 4 x + (9 x^{2} - 30 x) + (- 30 x^{2} + 100 x) + 60 x - 200$	=
$- 19 x^{2} + 126 x - 200$	=

$- 19 x^{2} + 126 x - 200$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 126 \pm \sqrt{126^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 200)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{- 126 \pm \sqrt{15 876 - 15 200}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{- 126 \pm \sqrt{676}}{- 38}$

x₁ = $\frac{- 126 + \sqrt{676}}{- 38}$ = $\frac{- 126+26}{- 38}$ = $\frac{- 100}{- 38}$ = $\frac{50}{19}$ ≈ 2.63

x₂ = $\frac{- 126 - \sqrt{676}}{- 38}$ = $\frac{- 126-26}{- 38}$ = $\frac{- 152}{- 38}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 19$ " teilen:

$- 19 x^{2} + 126 x - 200$ = 0 |: $- 19$

$x^{2} - \frac{126}{19} x + \frac{200}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{63}{19})}^{2} - (\frac{200}{19})$ = $\frac{3969}{361}$ $-$ $\frac{200}{19}$ = $\frac{3969}{361}$ $-$ $\frac{3800}{361}$ = $\frac{169}{361}$

x_1,2 = $\frac{63}{19}$ ± $\sqrt{\frac{169}{361}}$

x₁ = $\frac{63}{19}$ - $\frac{13}{19}$ = $\frac{50}{19}$ = 2.6315789473684

x₂ = $\frac{63}{19}$ + $\frac{13}{19}$ = $\frac{76}{19}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{50}{19}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$12 x$	$- 12$
		-( $12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 8 x + 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 9 \cdot 6^{2} + 20 \cdot 6 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 18 x$ )
		$2 x$	$- 12$
		-( $2 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 6)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $1$ ; $2$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 4 | - 8$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 4 \| - 8$	=	$- 14$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| x + 4 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 4 \|$	=	$18$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$18$	\| $- 4$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$14 + 4$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$18$
$- x - 4$	=	$18$	\| $+ 4$
$- x$	=	$22$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 22 + 4$ = -18 < 0

Die Lösung $- 22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 22$ ; $14$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 5 x + 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 16 t$ = 0 wird.

$25 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 16 t$	=	$- 25$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{25}{16}$

Für t = $\frac{25}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: