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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $81 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$81 x$	\| $- 81 x$
$x^{5} - 81 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} - 81)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $81 \cdot (- 3)$ = -243 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-243)

x₂ = 0: f(0)= $81 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )= $81 \cdot 3$ = 243 Somit gilt: S₃( $3$ |243)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 11 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 30 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 30 x - 3$ gilt m = $- 30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 11 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 11 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 11 e^{x}

=

- 30

|

+ 30

e^{2 x} - 11 e^{x} + 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 30 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 15 e^{x}$ = $2 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 15 e^{x}$	=	$2 e^{4 x}$	\| $- 2 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{6 x}{x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{5 x + 1}{x - 1} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$6 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (x - 2)}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$6 x + \frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{x - 1} - 6 x + 12$	=
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{x - 1} + 6 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{x - 1} + 6 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} - 9 x - 2}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) + 12 \cdot (x - 1)$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + 6 x \cdot (x - 1) - 6 x \cdot (x - 1) + 12 x - 12$	=
$5 x^{2} - 9 x - 2 + (6 x^{2} - 6 x) + (- 6 x^{2} + 6 x) + 12 x - 12$	=
$5 x^{2} + 3 x - 14$	=

$5 x^{2} + 3 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{10}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{10}$ = $\frac{- 3+17}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{10}$ = $\frac{- 3-17}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 3 x - 14$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{3}{5} x - \frac{14}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{10})}^{2} - (- \frac{14}{5})$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{14}{5}$ = $\frac{9}{100}$ $+$ $\frac{280}{100}$ = $\frac{289}{100}$

x_1,2 = $- \frac{3}{10}$ ± $\sqrt{\frac{289}{100}}$

x₁ = $- \frac{3}{10}$ - $\frac{17}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{10}$ + $\frac{17}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = 1.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 7 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 7 x + 14$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 7) \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 4 x + 8 | + 6$ = $10$

Lösung einblenden

$\| 4 x + 8 \| + 6$	=	$10$	\| $- 6$
$\| 4 x + 8 \|$	=	$4$

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

$4 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$4 x$	=	$- 4$	\|: $4$
x₁	=	$- 1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot (- 1) + 8$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $- 1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 8$ < 0:

$- (4 x + 8)$	=	$4$
$- 4 x - 8$	=	$4$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$12$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 8$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 3) + 8$ = -4 < 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - x + 3 t) \cdot e^{x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - x + 3 t) \cdot e^{x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - x + 3 t$ = 0 oder $e^{x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - x + 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 - 12 t$ = 0 wird.

$1 - 12 t$	=	0
$- 12 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 12 t$	=	$- 1$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{1}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{12}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 - 12 \cdot 1$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 - 12 t$ für t > $\frac{1}{12}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{12}$ größer 0

Für t < $\frac{1}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +8 ≥ 0:

2. Fall: 4x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 8$ < 0: