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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 7 e^{x}$ und $g(x) =$ $- 10 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 7 e^{x}$	=	$- 10 e^{- 2 x}$	\| $+ 10 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} - 7 e^{x} + 10 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 10) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 7 e^{3 x} + 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- 10 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -6.3 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-6.3)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $- 10 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = -3.42 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |-3.42)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 + 3 x^{2} \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 + 3 x^{2} \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $- 2 + 6 x^{2} \cdot e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 6 x^{2} \cdot e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 6 x^{2} \cdot e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$6 x^{2} \cdot e^{2 x} + 6 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$6 (x^{2} + x) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 10 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} - 3 x^{3} - 10 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 2$ ; 0; $5$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 1} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{x + 1} - 1$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x + 1)$	=
$2 x - x - 1$	=
$x - 1$	=

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 65 x - 63$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 65 x - 63$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 63$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 65 \cdot (- 1) - 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 65 x$	$- 63$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x - 63$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 63 x$	$- 63$
		-( $- 63 x$	$- 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 65 x - 63$ = $(x^{2} - 2 x - 63) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x - 63) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} - {(- 7)}^{2} - 65 \cdot (- 7) - 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 65 x$	$- 63$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$- 9 x$	$- 63$
		-( $- 9 x$	$- 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 65 x - 63$ = $(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 8 x - 9) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $4$ - $5$ = -1

x₂ = $4$ + $5$ = 9

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 9^{2} - 65 \cdot 9 - 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 65 x$	$- 63$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$7 x$	$- 63$
		-( $7 x$	$- 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 65 x - 63$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 7$ ; $- 1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 2 | + 4$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - x + 2 \| + 4$	=	$- 1$	\| $- 4$
$- \frac{1}{2} \| - x + 2 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 2 \|$	=	$10$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$10$	\| $- 2$
$- x$	=	$8$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 8) + 2$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$10$
$x - 2$	=	$10$	\| $+ 2$
x₂	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 12 + 2$ = -10 < 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 x^{3} - 3 t x$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$3 x^{3} - 3 t x$	=	0
$3 x \cdot (x^{2} - t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - t$	=	0	\| - ( $- t$ )
$x^{2}$	=	$t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(t)}$	= $- \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(t)}$	= $\sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: