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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 5 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- 4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 5 e^{- x}$	=	$- 4 e^{x}$	\| $+ 4 e^{x}$
$e^{3 x} + 4 e^{x} - 5 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 5) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 4 e^{2 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 4 e^{0}$ = -4 Somit gilt: S₁(0|-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 4$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + e^{3 x}

=

2

|

- 2

e^{6 x} + e^{3 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(7 e^{- 5 x} - 4) \cdot (x^{4} - 16 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(7 e^{- 5 x} - 4) \cdot (x^{4} - 16 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$7 e^{- 5 x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$7 e^{- 5 x}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{- 5 x}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 5 x$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 5$
x₁	=	$- \frac{1}{5} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 0.1119

2. Fall:

$x^{4} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $- \frac{1}{5} \ln (\frac{4}{7})$ ; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{x + 3}{x} + \frac{- 13 x + 3}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{7}{3}$ }

\frac{x + 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{- 13 x + 3}{3 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{x + 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x - 7} + \frac{- 13 x + 3}{3 x}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{x + 3}{x} \cdot 3 x + \frac{x + 1}{3 x - 7} \cdot 3 x + \frac{- 13 x + 3}{3 x} \cdot 3 x$	=
$3 x + 9 + 3 \frac{(x + 1) x}{3 x - 7} - 13 x + 3$	=
$3 x + 9 + \frac{3 (x^{2} + x)}{3 x - 7} - 13 x + 3$	=
$\frac{3 (x^{2} + x)}{3 x - 7} + 3 x - 13 x + 9 + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 7$ weg!

$\frac{3 (x^{2} + x)}{3 x - 7} + 3 x - 13 x + 9 + 3$	=	\|⋅( $3 x - 7$ )
$\frac{3 (x^{2} + x)}{3 x - 7} \cdot (3 x - 7) + 3 x \cdot (3 x - 7) - 13 x \cdot (3 x - 7) + 9 \cdot (3 x - 7) + 3 \cdot (3 x - 7)$	=
$3 x^{2} + 3 x + 3 x \cdot (3 x - 7) - 13 x \cdot (3 x - 7) + 27 x - 63 + 9 x - 21$	=
$3 x^{2} + 3 x + (9 x^{2} - 21 x) + (- 39 x^{2} + 91 x) + 27 x - 63 + 9 x - 21$	=
$- 27 x^{2} + 109 x - 84$	=

$- 27 x^{2} + 109 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 109 \pm \sqrt{109^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 84)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 109 \pm \sqrt{11 881 - 9 072}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 109 \pm \sqrt{2 809}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 109 + \sqrt{2 809}}{- 54}$ = $\frac{- 109+53}{- 54}$ = $\frac{- 56}{- 54}$ = $\frac{28}{27}$ ≈ 1.04

x₂ = $\frac{- 109 - \sqrt{2 809}}{- 54}$ = $\frac{- 109-53}{- 54}$ = $\frac{- 162}{- 54}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} + 109 x - 84$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} - \frac{109}{27} x + \frac{28}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{109}{54})}^{2} - (\frac{28}{9})$ = $\frac{11881}{2916}$ $-$ $\frac{28}{9}$ = $\frac{11881}{2916}$ $-$ $\frac{9072}{2916}$ = $\frac{2809}{2916}$

x_1,2 = $\frac{109}{54}$ ± $\sqrt{\frac{2809}{2916}}$

x₁ = $\frac{109}{54}$ - $\frac{53}{54}$ = $\frac{56}{54}$ = 1.037037037037

x₂ = $\frac{109}{54}$ + $\frac{53}{54}$ = $\frac{162}{54}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{28}{27}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 12 \cdot {(- 2)}^{2} + 36 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$10 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $10 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$16 x$	$+ 32$
		-( $16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = $(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 10 x + 16) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 12 \cdot {(- 8)}^{2} + 36 \cdot (- 8) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 36 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 36 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 32 x$ )
		$4 x$	$+ 32$
		-( $4 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 36 x + 32$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 8)$

(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 2 x + 4 | - 2$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \| - 2$	=	$- 12$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| 2 x + 4 \|$	=	$- 10$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 2 x + 4 \|$	=	$20$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

$2 x + 4$	=	$20$	\| $- 4$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 8 + 4$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 4$ < 0:

$- (2 x + 4)$	=	$20$
$- 2 x - 4$	=	$20$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	$24$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 12) + 4$ = -20 < 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 3 x^{2} - t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 3 x^{2} - t$	=	0	\| - ( $- t$ )
$- 3 x^{2}$	=	$t$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$- \frac{1}{3} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- \frac{1}{3} t)}$	= $- \sqrt{(- \frac{1}{3} t)}$
x₂	=	$\sqrt{(- \frac{1}{3} t)}$	= $\sqrt{(- \frac{1}{3} t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t = 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +4 ≥ 0:

2. Fall: 2x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 8$

1. Fall: $2 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 4$ < 0: