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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + \frac{1}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $2 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + \frac{1}{x^{2}}$	=	$2 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$2 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 1$	=	$2 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 1$	=	$2 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 1$	=	$2 x^{3}$

x^{6} + 1

=

2 x^{3}

|

- 2 x^{3}

x^{6} - 2 x^{3} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $2 \cdot 1$ = 2 Somit gilt: S₁( $1$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $28 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $28 x - 1$ gilt m = $28$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 3 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 3 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 3 e^{x}

=

28

|

- 28

e^{2 x} - 3 e^{x} - 28

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $28$ und sind somit parallel zur Geraden y = $28 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 9 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{6 x}{- x + 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; 0}

\frac{4 x}{x - 2} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{6 x}{- x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{x - 2} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{6 x}{- x + 2}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x - 2}{2 x} \cdot (x - 2) + \frac{6 x}{- x + 2} \cdot (x - 2)$	=
$4 x + \frac{(x - 2) \cdot (x - 2)}{2 x} + \frac{6 x \cdot (x - 2)}{- x + 2}$	=
$4 x + \frac{(x - 2) \cdot (x - 2)}{2 x} - 6 x$	=
$4 x + \frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x} - 6 x$	=
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x} + 4 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x} + 4 x - 6 x$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x} \cdot 2 x + 4 x \cdot 2 x - 6 x \cdot 2 x$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + 8 x \cdot x - 12 x \cdot x$	=
$x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 12 x^{2}$	=
$- 3 x^{2} - 4 x + 4$	=

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4+8}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4-8}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $10$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 10$
		-( $5 x$	$+ 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 10$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 5) \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 3 | + 8$ = $2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 3 \| + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$- \frac{1}{3} \| x + 3 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 3 \|$	=	$18$

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

$x + 3$	=	$18$	\| $- 3$
x₁	=	$15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ ≥ 0) genügt:

$15 + 3$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 3$ < 0:

$- (x + 3)$	=	$18$
$- x - 3$	=	$18$	\| $+ 3$
$- x$	=	$21$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 21$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 3$ < 0) genügt:

$- 21 + 3$ = -18 < 0

Die Lösung $- 21$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 21$ ; $15$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 4 t x + 3 t) \cdot e^{\frac{1}{4} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 4 t x + 3 t) \cdot e^{\frac{1}{4} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 4 t x + 3 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{4} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{4} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 4 t x + 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 4 t x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} - 12 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} - 12 t$	=	0
$4 t \cdot (4 t - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$4 t - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 t$	=	$3$	\|: $4$
t₂	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Da bei $16 t^{2} - 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} - 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{3}{4}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{3}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +3 ≥ 0:

2. Fall: x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 3$ < 0: