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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} - x^{5}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} - x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $64 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $64 x - 3$ gilt m = $64$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $64$ und sind somit parallel zur Geraden y = $64 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 7 x^{3} - 8$ = 0

Lösung einblenden

x^{6} + 7 x^{3} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; $- 2$ }

\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x}{x + 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{x}{x + 2} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{x}{x + 2} \cdot (2 x + 5) - 6 \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x + \frac{x (2 x + 5)}{x + 2} - 12 x - 30$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} + 5 x}{x + 2} - 12 x - 30$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x}{x + 2} + 3 x - 12 x - 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 5 x}{x + 2} + 3 x - 12 x - 30$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 x^{2} + 5 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2) - 30 \cdot (x + 2)$	=
$2 x^{2} + 5 x + 3 x (x + 2) - 12 x (x + 2) - 30 x - 60$	=
$2 x^{2} + 5 x + (3 x^{2} + 6 x) + (- 12 x^{2} - 24 x) - 30 x - 60$	=
$- 7 x^{2} - 43 x - 60$	=

$- 7 x^{2} - 43 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{{(- 43)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{1 849 - 1 680}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 43 \pm \sqrt{169}}{- 14}$

x₁ = $\frac{43 + \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{43+13}{- 14}$ = $\frac{56}{- 14}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{43 - \sqrt{169}}{- 14}$ = $\frac{43-13}{- 14}$ = $\frac{30}{- 14}$ = $- \frac{15}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 43 x - 60$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{43}{7} x + \frac{60}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{43}{14})}^{2} - (\frac{60}{7})$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{60}{7}$ = $\frac{1849}{196}$ $-$ $\frac{1680}{196}$ = $\frac{169}{196}$

x_1,2 = $- \frac{43}{14}$ ± $\sqrt{\frac{169}{196}}$

x₁ = $- \frac{43}{14}$ - $\frac{13}{14}$ = $- \frac{56}{14}$ = -4

x₂ = $- \frac{43}{14}$ + $\frac{13}{14}$ = $- \frac{30}{14}$ = -2.1428571428571

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{15}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 3 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x - 16 | + 6$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x - 16 \| + 6$	=	$- 2$	\| $- 6$
$- \| - 4 x - 16 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x - 16 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

$- 4 x - 16$	=	$8$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) - 16$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0:

$- (- 4 x - 16)$	=	$8$
$4 x + 16$	=	$8$	\| $- 16$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 2) - 16$ = -8 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 2 t x + 2 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 t x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{{(- 2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 t^{2} - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 t^{2} - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 t^{2} - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 t^{2} - 8 t$ = 0 wird.

$4 t^{2} - 8 t$	=	0
$4 t (t - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 2$	=	0	\| $+ 2$
t₂	=	$2$

Da bei $4 t^{2} - 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $4 t^{2} - 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $2$ , also für t > $0$ und t < $2$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -16 ≥ 0:

2. Fall: -4x -16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0: