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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + \frac{64}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $- 16 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + \frac{64}{x^{2}}$	=	$- 16 x$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 64$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 64$	=	$- 16 x \cdot x^{2}$
$x^{6} + 64$	=	$- 16 x^{3}$

x^{6} + 64

=

- 16 x^{3}

|

+ 16 x^{3}

x^{6} + 16 x^{3} + 64

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 16 u + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 8$ ± 0 = $- 8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 16 \cdot (- 2)$ = 32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 5 + 9 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 5 + 9 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 18 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 18 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 18 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 18 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$ = $- e^{4 x}$

Lösung einblenden

$3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	$- e^{4 x}$	\| $+ e^{4 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 28) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{x} + \frac{2 x}{3 x - 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ ; 0}

\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{3 x + 2}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 4} + \frac{3 x + 2}{x} - 6$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$\frac{2 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + \frac{3 x + 2}{x} \cdot (3 x - 4) - 6 \cdot (3 x - 4)$	=
$2 x + \frac{(3 x + 2) (3 x - 4)}{x} - 18 x + 24$	=
$2 x + \frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} - 18 x + 24$	=
$\frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} + 2 x - 18 x + 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} + 2 x - 18 x + 24$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{9 x^{2} - 6 x - 8}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x + 24 \cdot x$	=
$9 x^{2} - 6 x - 8 + 2 x \cdot x - 18 x \cdot x + 24 x$	=
$9 x^{2} - 6 x - 8 + 2 x^{2} - 18 x^{2} + 24 x$	=
$- 7 x^{2} + 18 x - 8$	=

$- 7 x^{2} + 18 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 224}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{100}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 18+10}{- 14}$ = $\frac{- 8}{- 14}$ = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.57

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 18-10}{- 14}$ = $\frac{- 28}{- 14}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 18 x - 8$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{18}{7} x + \frac{8}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{7})}^{2} - (\frac{8}{7})$ = $\frac{81}{49}$ $-$ $\frac{8}{7}$ = $\frac{81}{49}$ $-$ $\frac{56}{49}$ = $\frac{25}{49}$

x_1,2 = $\frac{9}{7}$ ± $\sqrt{\frac{25}{49}}$

x₁ = $\frac{9}{7}$ - $\frac{5}{7}$ = $\frac{4}{7}$ = 0.57142857142857

x₂ = $\frac{9}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{14}{7}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{7}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 6 x - 12$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 6) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 3 | - 2$ = $16$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 3 \| - 2$	=	$16$	\| $+ 2$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 3 \|$	=	$18$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 3 \|$	=	$54$

1. Fall: $3 x + 3$ ≥ 0:

$3 x + 3$	=	$54$	\| $- 3$
$3 x$	=	$51$	\|: $3$
x₁	=	$17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 17 + 3$ = 54 ≥ 0

Die Lösung $17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 3$ < 0:

$- (3 x + 3)$	=	$54$
$- 3 x - 3$	=	$54$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$57$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 3$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 19) + 3$ = -54 < 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $17$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x + t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x + t)$ = 0

$x^{2} + x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$1 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 4 t$	=	$- 5$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{5}{4}$ = 1.25

Für t = $\frac{5}{4}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +3 ≥ 0:

2. Fall: 3x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 3$ < 0: