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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - e^{2 x}$ und $g(x) =$ $30 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - e^{2 x}$	=	$30 e^{x}$	\| $- 30 e^{x}$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $30 e^{\ln (6)}$ = 180 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |180)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 2 x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 2 x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $2 e^{2 x} + 4 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{2 x} + 4 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 (2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 4 e^{x} + 5) \cdot (x^{4} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 4 e^{x} + 5) (x^{4} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 e^{x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 4 e^{x}$	=	$- 5$	\|: $- 4$
$e^{x}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{5}{4})$	≈ 0.2231

2. Fall:

$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={0; $\ln (\frac{5}{4})$ ; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{11 x - 2}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 1$ }

$- \frac{11 x - 2}{2 x} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{2 x}{2 x + 2}$	=	0
$- \frac{11 x - 2}{2 x} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{2 x}{2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{11 x - 2}{2 x} + \frac{3 x - 2}{x} + \frac{2 x}{2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{11 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{3 x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{2 x}{2 (x + 1)} \cdot 2 x$	=
$- 11 x + 2 + 6 x - 4 + 2 \frac{x \cdot x}{x + 1}$	=
$- 11 x + 2 + 6 x - 4 + \frac{2 x^{2}}{x + 1}$	=
$\frac{2 x^{2}}{x + 1} - 11 x + 6 x + 2 - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2}}{x + 1} - 11 x + 6 x + 2 - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2}}{x + 1} \cdot (x + 1) - 11 x \cdot (x + 1) + 6 x \cdot (x + 1) + 2 \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} - 11 x (x + 1) + 6 x (x + 1) + 2 x + 2 - 4 x - 4$	=
$2 x^{2} + (- 11 x^{2} - 11 x) + (6 x^{2} + 6 x) + 2 x + 2 - 4 x - 4$	=
$- 3 x^{2} - 7 x - 2$	=

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7+5}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7-5}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{3} - 17 x^{2} - 24 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 4 x^{3} - 17 x^{2} - 24 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 4 \cdot 1^{3} - 17 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 17 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 36$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 17 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
		$- 12 x^{2}$	$- 24 x$
		-( $- 12 x^{2}$	$+ 12 x$ )
			$- 36 x$	$+ 36$
			-( $- 36 x$	$+ 36$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 17 x^{2} - 24 x + 36$ = $(x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 36) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 36) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 12 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 12 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 36$ = $(x^{2} + 3 x - 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 3 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 12 x$	$- 36$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 12 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 24 x$ )
		$12 x$	$- 36$
		-( $12 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 36$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 3)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 5 \cdot {(- 6)}^{2} - 12 \cdot (- 6) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 12 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 12 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 6 x$	$- 36$
		-( $- 6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 12 x - 36$ = $(x^{2} - x - 6) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - x - 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $1$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x - 9 | + 2$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x - 9 \| + 2$	=	$11$	\| $- 2$
$\frac{1}{3} \| 3 x - 9 \|$	=	$9$	\|⋅ $3$
$\| 3 x - 9 \|$	=	$27$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

$3 x - 9$	=	$27$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$36$	\|: $3$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 12 - 9$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 9$ < 0:

$- (3 x - 9)$	=	$27$
$- 3 x + 9$	=	$27$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 6) - 9$ = -27 < 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 5 x^{4} + t x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 5 x^{4} + t x^{2}$	=	0
$x^{2} (- 5 x^{2} + t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- 5 x^{2} + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$- 5 x^{2}$	=	$- 1 t$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{5} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{1}{5} t)}$	= $- \frac{1}{2,2361} \sqrt{t}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{1}{5} t)}$	= $\frac{1}{2,2361} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -9 ≥ 0:

2. Fall: 3x -9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 9$ < 0: