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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 4 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $21 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 4 e^{2 x}$	=	$21 e^{- x}$	\| $- 21 e^{- x}$
$e^{5 x} - 4 e^{2 x} - 21 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 21

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $21 e^{- (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 10.978 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |10.978)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 7$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 2 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$4 (- x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 e^{x} + 4$ = $- e^{2 x}$

Lösung einblenden

- 5 e^{x} + 4

=

- e^{2 x}

|

+ e^{2 x}

e^{2 x} - 5 e^{x} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{x + 2} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{- 13 x + 1}{3 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

\frac{- 13 x + 1}{3 x} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{9 x}{x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $6 x$ weg!

$\frac{- 13 x + 1}{3 x} + \frac{x + 1}{2 x} + \frac{9 x}{x + 2}$	=	\|⋅( $6 x$ )
$\frac{- 13 x + 1}{3 x} \cdot 6 x + \frac{x + 1}{2 x} \cdot 6 x + \frac{9 x}{x + 2} \cdot 6 x$	=
$- 26 x + 2 + 3 x + 3 + 6 \frac{9 x \cdot x}{x + 2}$	=
$- 26 x + 2 + 3 x + 3 + \frac{54 x^{2}}{x + 2}$	=
$\frac{54 x^{2}}{x + 2} - 26 x + 3 x + 2 + 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{54 x^{2}}{x + 2} - 26 x + 3 x + 2 + 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{54 x^{2}}{x + 2} \cdot (x + 2) - 26 x \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) + 2 \cdot (x + 2) + 3 \cdot (x + 2)$	=
$54 x^{2} - 26 x \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) + 2 x + 4 + 3 x + 6$	=
$54 x^{2} + (- 26 x^{2} - 52 x) + (3 x^{2} + 6 x) + 2 x + 4 + 3 x + 6$	=
$31 x^{2} - 41 x + 10$	=

$31 x^{2} - 41 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot 31 \cdot 10}}{2 \cdot 31}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{1 681 - 1 240}}{62}$

x_1,2 = $\frac{+ 41 \pm \sqrt{441}}{62}$

x₁ = $\frac{41 + \sqrt{441}}{62}$ = $\frac{41+21}{62}$ = $\frac{62}{62}$ = $1$

x₂ = $\frac{41 - \sqrt{441}}{62}$ = $\frac{41-21}{62}$ = $\frac{20}{62}$ = $\frac{10}{31}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $31$ " teilen:

$31 x^{2} - 41 x + 10$ = 0 |: $31$

$x^{2} - \frac{41}{31} x + \frac{10}{31}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{62})}^{2} - (\frac{10}{31})$ = $\frac{1681}{3844}$ $-$ $\frac{10}{31}$ = $\frac{1681}{3844}$ $-$ $\frac{1240}{3844}$ = $\frac{441}{3844}$

x_1,2 = $\frac{41}{62}$ ± $\sqrt{\frac{441}{3844}}$

x₁ = $\frac{41}{62}$ - $\frac{21}{62}$ = $\frac{20}{62}$ = 0.32258064516129

x₂ = $\frac{41}{62}$ + $\frac{21}{62}$ = $\frac{62}{62}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{10}{31}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $2$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$2 x$	$+ 2$
		-( $2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- x$
	-( $- x^{2}$	$+ x$ )
		$- 2 x$	$+ 2$
		-( $- 2 x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 2 + 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- x$	$+ 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 2$
		-( $- x$	$+ 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x - 4 | - 1$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x - 4 \| - 1$	=	$- 13$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| 2 x - 4 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x - 4 \|$	=	$36$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

$2 x - 4$	=	$36$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$40$	\|: $2$
x₁	=	$20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 20 - 4$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $20$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 4$ < 0:

$- (2 x - 4)$	=	$36$
$- 2 x + 4$	=	$36$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$32$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 4$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 16) - 4$ = -36 < 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $20$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 3 t x + t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 3 t x + t) \cdot e^{- \frac{1}{4} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 3 t x + t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{4} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{4} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 3 t x + t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 3 t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{{(3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 4 t$	=	0
$t \cdot (9 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$9 t$	=	$4$	\|: $9$
t₂	=	$\frac{4}{9}$

Für t = $0$ oder für t = $\frac{4}{9}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -4 ≥ 0:

2. Fall: 2x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $2 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 4$ < 0: