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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 1$ und $g(x) =$ $2 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 1

=

2 e^{- 2 x}

|

- 2 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 2 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + e^{2 x} - 2$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $2 e^{- 2 \cdot 0}$ = 2 Somit gilt: S₁(0|2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 2 + x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 7$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 2 + x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$(x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 6 e^{- 4 x} + 5) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(- 6 e^{- 4 x} + 5) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 e^{- 4 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 6 e^{- 4 x}$	=	$- 5$	\|: $- 6$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{5}{6}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{5}{6})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{6})$	≈ 0.0456

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{4} \ln (\frac{5}{6})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{2 x - 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{1}{2}$ }

- \frac{2 x - 2}{x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{2 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{2 x - 2}{x} + \frac{x - 2}{2 x} + \frac{3 x}{2 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{2 x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{3 x}{2 x + 1} \cdot 2 x$	=
$- 4 x + 4 + x - 2 + 2 \frac{3 x \cdot x}{2 x + 1}$	=
$- 4 x + 4 + x - 2 + \frac{6 x^{2}}{2 x + 1}$	=
$\frac{6 x^{2}}{2 x + 1} - 4 x + x + 4 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2}}{2 x + 1} - 4 x + x + 4 - 2$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x^{2}}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - 4 x \cdot (2 x + 1) + x \cdot (2 x + 1) + 4 \cdot (2 x + 1) - 2 \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x^{2} - 4 x (2 x + 1) + x (2 x + 1) + 8 x + 4 - 4 x - 2$	=
$6 x^{2} + (- 8 x^{2} - 4 x) + (2 x^{2} + x) + 8 x + 4 - 4 x - 2$	=
$x + 2$	=

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $18$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 18$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 18 x$	$+ 18$
		-( $- 18 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ = $(x^{2} - 3 x - 18) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 3 x - 18) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 15 \cdot (- 3) + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 18$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$6 x$	$+ 18$
		-( $6 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ = $(x^{2} - 7 x + 6) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 7 x + 6) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $6$

$6$ ist eine Lösung, denn $6^{3} - 4 \cdot 6^{2} - 15 \cdot 6 + 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 18$ )	:	(x $- 6$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 3 x$	$+ 18$
		-( $- 3 x$	$+ 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 6)$

(x^{2} + 2 x - 3) (x - 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₃	=	$6$

L={ $- 3$ ; $1$ ; $6$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 3 | - 4$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 3 \| - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 3 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 3 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x + 3$ ≥ 0:

$3 x + 3$	=	$36$	\| $- 3$
$3 x$	=	$33$	\|: $3$
x₁	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 11 + 3$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 3$ < 0:

$- (3 x + 3)$	=	$36$
$- 3 x - 3$	=	$36$	\| $+ 3$
$- 3 x$	=	$39$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 3$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 13) + 3$ = -36 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $11$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - t x + t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$t^{2} - 4 t$	=	0
$t (t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 4$	=	0	\| $+ 4$
t₂	=	$4$

Da bei $t^{2} - 4 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $t^{2} - 4 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $4$ , also für t > $0$ und t < $4$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +3 ≥ 0:

2. Fall: 3x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $6$

1. Fall: $3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 3$ < 0: