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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{4}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $5$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{2} + \frac{4}{x^{2}}$	=	$5$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{2} \cdot x^{2} + \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$5 \cdot x^{2}$
$x^{2} \cdot x^{2} + 4$	=	$5 x^{2}$
$x^{4} + 4$	=	$5 x^{2}$

x^{4} + 4

=

5 x^{2}

|

- 5 x^{2}

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5$ Somit gilt: S₁( $- 2$ |5)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5$ Somit gilt: S₂( $- 1$ |5)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $5$ Somit gilt: S₃( $1$ |5)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $5$ Somit gilt: S₄( $2$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 1 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 1 + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $2 e^{- 2 x} + 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- 2 x} + 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 e^{- 2 x} + 2 - 2 - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 e^{- 2 x} - 4 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$2 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 6 x} - 6) \cdot (x^{4} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 6 x} - 6) (x^{4} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 6 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$e^{- 6 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (6)$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (6)$	≈ -0.2986

2. Fall:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{6} \ln (6)$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x} + \frac{- 7 x - 2}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $1$ }

\frac{2 x - 2}{x} + \frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{- 7 x - 2}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 x - 2}{x} + \frac{5 x + 1}{x - 1} + \frac{- 7 x - 2}{x}$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 x - 2}{x} \cdot x + \frac{5 x + 1}{x - 1} \cdot x + \frac{- 7 x - 2}{x} \cdot x$	=
$2 x - 2 + \frac{(5 x + 1) x}{x - 1} - 7 x - 2$	=
$2 x - 2 + \frac{5 x^{2} + x}{x - 1} - 7 x - 2$	=
$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} + 2 x - 7 x - 2 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} + 2 x - 7 x - 2 - 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{5 x^{2} + x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 7 x \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1) - 2 \cdot (x - 1)$	=
$5 x^{2} + x + 2 x (x - 1) - 7 x (x - 1) - 2 x + 2 - 2 x + 2$	=
$5 x^{2} + x + (2 x^{2} - 2 x) + (- 7 x^{2} + 7 x) - 2 x + 2 - 2 x + 2$	=
$2 x + 4$	=

$2 x + 4$	=	0	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ x$
	-(0	0)
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ = $(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 1) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 1) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - x + 5 | + 3$ = $- 1$

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$- \frac{1}{2} \| - x + 5 \| + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- \frac{1}{2} \| - x + 5 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - x + 5 \|$	=	$8$

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

$- x + 5$	=	$8$	\| $- 5$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 3) + 5$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 5$ < 0:

$- (- x + 5)$	=	$8$
$x - 5$	=	$8$	\| $+ 5$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 5$ < 0) genügt:

$- 13 + 5$ = -8 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $13$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + x - 3 t$ genau 0 Nullstellen?

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$x^{2} + x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 12 t$ = 0 wird.

$1 + 12 t$	=	0
$12 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$12 t$	=	$- 1$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{1}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{1}{12}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + 12 \cdot 1$ = 13 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 12 t$ für t > $- \frac{1}{12}$ größer 0 und für t < $- \frac{1}{12}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{1}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +5 ≥ 0:

2. Fall: -x +5 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x + 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 5$ < 0: