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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} + 2 e^{5 x}$ und $g(x) =$ $8 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} + 2 e^{5 x}$	=	$8 e^{2 x}$	\| $- 8 e^{2 x}$
$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 8 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $8 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = 12.699 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |12.699)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $3 + 2 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $3 + 2 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 x^{2} \cdot e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 x^{2} \cdot e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 (x^{2} + 2 x) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - e^{2 x} - 30 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - e^{2 x} - 30 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 30) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{4 x}{2 x - 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{8}{3}$ }

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x}{3 x - 8} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{2 x (x - 2)}{3 x - 8} - 6 x + 12$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} - 6 x + 12$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} + 2 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} + 2 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + 2 x \cdot (3 x - 8) - 6 x \cdot (3 x - 8) + 12 \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 2 x (3 x - 8) - 6 x (3 x - 8) + 36 x - 96$	=
$2 x^{2} - 4 x + (6 x^{2} - 16 x) + (- 18 x^{2} + 48 x) + 36 x - 96$	=
$- 10 x^{2} + 64 x - 96$	=

- 10 x^{2} + 64 x - 96

= 0 |:2

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32+8}{- 10}$ = $\frac{- 24}{- 10}$ = $2,4$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32-8}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{12}{5}$ = 2.4

x₂ = $\frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,4$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 32 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 5 \cdot 9^{2} - 32 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

L={ $- 2$ ; $9$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x - 15 | - 1$ = $- 16$

Lösung einblenden

$- \| 3 x - 15 \| - 1$	=	$- 16$	\| $+ 1$
$- \| 3 x - 15 \|$	=	$- 15$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x - 15 \|$	=	$15$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

$3 x - 15$	=	$15$	\| $+ 15$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₁	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 10 - 15$ = 15 ≥ 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 15$ < 0:

$- (3 x - 15)$	=	$15$
$- 3 x + 15$	=	$15$	\| $- 15$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 15$ < 0) genügt:

$3 \cdot (0) - 15$ = -15 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - t x - 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - t x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} + 16 t$ = 0 wird.

$t^{2} + 16 t$	=	0
$t (t + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 16$	=	0	\| $- 16$
t₂	=	$- 16$

Für t = $- 16$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -15 ≥ 0:

2. Fall: 3x -15 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $3 x - 15$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 15$ < 0: