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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 3 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $10 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 3 e^{3 x}$	=	$10 e^{2 x}$	\| $- 10 e^{2 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{3 x} - 10 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 3 e^{x} - 10) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 3 e^{x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $10 e^{2 \cdot (\ln (2))}$ = 40 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |40)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - 3 e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- 14 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 14 x - 1$ gilt m = $- 14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 9 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 9 e^{3 x}

=

- 14

|

+ 14

e^{6 x} - 9 e^{3 x} + 14

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 14 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 12 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 4 e^{3 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 4 e^{x} - 12) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 4 e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{- 5 x}{3 x + 8}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{8}{3}$ ; $- 1$ }

\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - \frac{5 x}{3 x + 8}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 8} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - \frac{5 x}{3 x + 8}$	=	\|⋅( $3 x + 8$ )
$\frac{2 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (3 x + 8) - \frac{5 x}{3 x + 8} \cdot (3 x + 8)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 1) \cdot (3 x + 8)}{x + 1} - 5 x$	=
$2 x + \frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{x + 1} - 5 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{x + 1} + 2 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{x + 1} + 2 x - 5 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 13 x - 8}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 13 x - 8 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 5 x^{2} - 5 x)$	=
$3 x^{2} + 10 x - 8$	=

$3 x^{2} + 10 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 10+14}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 10-14}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{2}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 15 \cdot {(- 2)}^{2} + 34 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 34 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 15 \cdot {(- 4)}^{2} + 34 \cdot (- 4) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 34 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 34 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$6 x$	$+ 24$
		-( $6 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 15 x^{2} + 34 x + 24$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $- 1,5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x - 1 | - 3$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \| - x - 1 \| - 3$	=	$- 6$	\| $+ 3$
$- \| - x - 1 \|$	=	$- 3$	\|: $(- 1)$
$\| - x - 1 \|$	=	$3$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

$- x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) - 1$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 1$ < 0:

$- (- x - 1)$	=	$3$
$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 1$ < 0) genügt:

$- 2 - 1$ = -3 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 2 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$x^{2} - 2 t$	=	0	\| - ( $- 2 t$ )
$x^{2}$	=	$2 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(2 t)}$	= $- 1,4142 \sqrt{t}$
x₂	=	$\sqrt{(2 t)}$	= $1,4142 \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -1 ≥ 0:

2. Fall: -x -1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- x - 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 1$ < 0: