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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 12$ und $g(x) =$ $4 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 12

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

L={ $- 2$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $4 \cdot (- 2)$ = -8 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-8)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $4 \cdot 6$ = 24 Somit gilt: S₂( $6$ |24)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x + 7$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - 7 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - 7 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - 7 e^{x}

=

- 12

|

+ 12

e^{2 x} - 7 e^{x} + 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $2 \ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} - 9 e^{3 x}$ = $- 18 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} - 9 e^{3 x}$	=	$- 18 e^{x}$	\| $+ 18 e^{x}$
$e^{5 x} - 9 e^{3 x} + 18 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 18) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 9 e^{2 x} + 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9+3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{9-3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{2 x}{x - 1} + \frac{- 6 x}{x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

\frac{2 x}{x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - \frac{6 x}{x - 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - \frac{6 x}{x - 1}$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (x - 1) - \frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(5 x - 1) \cdot (x - 1)}{3 x} - 6 x$	=
$2 x + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} - 6 x$	=
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 2 x \cdot 3 x - 6 x \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 6 x \cdot x - 18 x \cdot x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 6 x^{2} - 18 x^{2}$	=
$- 7 x^{2} - 6 x + 1$	=

$- 7 x^{2} - 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot 1}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{- 14}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{6+8}{- 14}$ = $\frac{14}{- 14}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{- 14}$ = $\frac{6-8}{- 14}$ = $\frac{- 2}{- 14}$ = $\frac{1}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 6 x + 1$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{6}{7} x - \frac{1}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{7})}^{2} - (- \frac{1}{7})$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{1}{7}$ = $\frac{9}{49}$ $+$ $\frac{7}{49}$ = $\frac{16}{49}$

x_1,2 = $- \frac{3}{7}$ ± $\sqrt{\frac{16}{49}}$

x₁ = $- \frac{3}{7}$ - $\frac{4}{7}$ = $- \frac{7}{7}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $\frac{1}{7}$ = 0.14285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$15 x$	$+ 15$
		-( $15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 17 \cdot {(- 3)}^{2} + 29 \cdot (- 3) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$5 x$	$+ 15$
		-( $5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 2 | + 9$ = $11$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 2 \| + 9$	=	$11$	\| $- 9$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$2$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
x₁	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (0) + 2$ = 2 ≥ 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$2$
$2 x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 2 + 2$ = -2 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 2 x - 4 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 2 x - 4 t)$ = 0

$x^{2} - 2 x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 2 x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 2 x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$4 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$16 t$	=	$- 8$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t = $- \frac{1}{2}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: