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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 9 x^{3}$ und $g(x) =$ $- 8$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $1$ : f( $1$ )= $- 8$ Somit gilt: S₁( $1$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- 8$ Somit gilt: S₂( $2$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x + 4$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 6 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 6 x

=

- 8

|

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{x} - 3) \cdot (x^{3} + 8 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{x} - 3) \cdot (x^{3} + 8 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 e^{x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.2877

2. Fall:

$x^{3} + 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $\ln (\frac{3}{4})$ ; 0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 3} + \frac{6 x}{x + 1} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 x - 3} - 8$	=	0
$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 (x - 1)} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{6 x}{3 (x - 1)} - 8$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{3 (x - 1)} \cdot (x + 1) - 8 \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{2 x \cdot (x + 1)}{x - 1} - 8 x - 8$	=
$6 x + \frac{2 x^{2} + 2 x}{x - 1} - 8 x - 8$	=
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x - 1} + 6 x - 8 x - 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x - 1} + 6 x - 8 x - 8$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 6 x \cdot (x - 1) - 8 x \cdot (x - 1) - 8 \cdot (x - 1)$	=
$2 x^{2} + 2 x + 6 x \cdot (x - 1) - 8 x \cdot (x - 1) - 8 x + 8$	=
$2 x^{2} + 2 x + (6 x^{2} - 6 x) + (- 8 x^{2} + 8 x) - 8 x + 8$	=
$- 4 x + 8$	=

$- 4 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 5 \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 5 x$	$- 6$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$x^{2}$	$- 5 x$
		-( $x^{2}$	$+ x$ )
			$- 6 x$	$- 6$
			-( $- 6 x$	$- 6$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 6$ = $(x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ x$
	-( $5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = $(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 5 x + 6) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ x$	$- 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 3 x$	$- 6$
		-( $- 3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 4 \cdot {(- 3)}^{2} - 3 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$+ x$	$- 6$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$+ x$
	-( $x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 2 x$	$- 6$
		-( $- 2 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ = $(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + x - 2) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 3 x - 9 | + 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \| - 3 x - 9 \| + 3$	=	$- 9$	\| $- 3$
$- \| - 3 x - 9 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

$- 3 x - 9$	=	$12$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 7) - 9$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0:

$- (- 3 x - 9)$	=	$12$
$3 x + 9$	=	$12$	\| $- 9$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 1 - 9$ = -12 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x - 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x - 2 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x - 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x - 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + (- 2 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 8 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 8 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 8 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 8 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 8 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 8 t + 4$	=	0
$8 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$8 t$	=	$- 29$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{29}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{29}{8}$ beispielsweise für t = -3 der Radikand $25 + (8 \cdot (- 3) + 4)$ = 5 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 8 t + 4$ für t > $- \frac{29}{8}$ größer 0 und für t < $- \frac{29}{8}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{29}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -9 ≥ 0:

2. Fall: -3x -9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0: