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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 12 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 12 e^{2 x}$	=	$e^{4 x}$	\| $- e^{4 x}$
$e^{6 x} - e^{4 x} - 12 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 12) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $e^{4 \cdot (\ln (2))}$ = 16 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 5 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 21 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 21 x + 3$ gilt m = $- 21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 5 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 10 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 10 e^{2 x}

=

- 21

|

+ 21

e^{4 x} - 10 e^{2 x} + 21

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ ; $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 21 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 6 e^{2 x}$ = $7$

Lösung einblenden

e^{4 x} - 6 e^{2 x}

=

7

|

- 7

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $2$ }

\frac{3 x}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1} + \frac{2 x - 2}{x - 2} - 7$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + \frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot (x - 1) - 7 \cdot (x - 1)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 2) (x - 1)}{x - 2} - 7 x + 7$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{x - 2} - 7 x + 7$	=
$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{x - 2} + 3 x - 7 x + 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{x - 2} + 3 x - 7 x + 7$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2) - 7 x \cdot (x - 2) + 7 \cdot (x - 2)$	=
$2 x^{2} - 4 x + 2 + 3 x (x - 2) - 7 x (x - 2) + 7 x - 14$	=
$2 x^{2} - 4 x + 2 + (3 x^{2} - 6 x) + (- 7 x^{2} + 14 x) + 7 x - 14$	=
$- 2 x^{2} + 11 x - 12$	=

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11+5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 11-5}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x - 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 22 \cdot (- 2) - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 22 x$	$- 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 12 x$	$- 24$
		-( $- 12 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 4^{2} - 22 \cdot 4 - 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- x^{2}$	$- 22 x$	$- 24$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 22 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$6 x$	$- 24$
		-( $6 x$	$- 24$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - x^{2} - 22 x - 24$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x - 5 | - 7$ = $- 2$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x - 5 \| - 7$	=	$- 2$	\| $+ 7$
$- \frac{1}{3} \| - x - 5 \|$	=	$5$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x - 5 \|$	=	$- 15$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 x - t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 4 t$ = 0 wird.

$16 + 4 t$	=	0
$4 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$4 t$	=	$- 16$	\|: $4$
$t$	=	$- 4$

Da rechts der Nullstelle t= $- 4$ beispielsweise für t = -3 der Radikand $16 + 4 \cdot (- 3)$ = 4 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + 4 t$ für t > $- 4$ größer 0 und für t < $- 4$ kleiner 0

Für t < $- 4$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$