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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 10 e^{- x}$ und $g(x) =$ $3 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 10 e^{- x}$	=	$3 e^{2 x}$	\| $- 3 e^{2 x}$
$e^{5 x} - 3 e^{2 x} - 10 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 10) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 10

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $3 e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (5))}$ = 8.772 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |8.772)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{- 3 x} + 7) \cdot (x^{2} - 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{- 3 x} + 7) \cdot (x^{2} - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{- 3 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 2 e^{- 3 x}$	=	$- 7$	\|: $- 2$
$e^{- 3 x}$	=	$\frac{7}{2}$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (\frac{7}{2})$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{2})$	≈ -0.4176

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{3} \ln (\frac{7}{2})$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{3 x}{- 4 x + 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{8}{3}$ ; $3$ }

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x - 2}{2 x - 6} + \frac{3 x}{- 4 x + 12}$	=	0
$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{3 x}{4 (- x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{2 x}{3 x - 8} + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} + \frac{3 x}{4 (- x + 3)}$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + \frac{x - 2}{2 (x - 3)} \cdot (3 x - 8) + \frac{3 x}{4 (- x + 3)} \cdot (3 x - 8)$	=
$2 x + \frac{(x - 2) \cdot (3 x - 8)}{2 (x - 3)} + \frac{3 x \cdot (3 x - 8)}{4 (- x + 3)}$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (- x + 3)}$	=
$\frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (- x + 3)} + \frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} + 2 x$	=

\frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (- x + 3)} + 2 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} + \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (- x + 3)} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{3 x^{2} - 14 x + 16}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{9 x^{2} - 24 x}{4 (- x + 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 2 x \cdot (2 (x - 3))$	=
$3 x^{2} - 14 x + 16 + 2 \frac{(9 x^{2} - 24 x) \cdot (x - 3)}{4 (- x + 3)} + 4 x \cdot (x - 3)$	=
$3 x^{2} - 14 x + 16 - \frac{3}{2} x \cdot (3 x - 8) + 4 x \cdot (x - 3)$	=
$3 x^{2} - 14 x + 16 + (- \frac{9}{2} x^{2} + 12 x) + (4 x^{2} - 12 x)$	=
$\frac{5}{2} x^{2} - 14 x + 16$	=

$\frac{5}{2} x^{2} - 14 x + 16$	=	0	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x^{2} - 14 x + 16)$	=	0

$5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 32}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 640}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{144}}{10}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{28+12}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{144}}{10}$ = $\frac{28-12}{10}$ = $\frac{16}{10}$ = $1,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 28 x + 32$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{28}{5} x + \frac{32}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{14}{5})}^{2} - (\frac{32}{5})$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{32}{5}$ = $\frac{196}{25}$ $-$ $\frac{160}{25}$ = $\frac{36}{25}$

x_1,2 = $\frac{14}{5}$ ± $\sqrt{\frac{36}{25}}$

x₁ = $\frac{14}{5}$ - $\frac{6}{5}$ = $\frac{8}{5}$ = 1.6

x₂ = $\frac{14}{5}$ + $\frac{6}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,6$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 10$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 13 \cdot (- 1) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 13 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 10$
		-( $- 10 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = $(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 3 x - 10) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 13 \cdot (- 2) - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 13 x$	$- 10$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$- 5 x$	$- 10$
		-( $- 5 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 2 \cdot 5^{2} - 13 \cdot 5 - 10$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 13 x$	$- 10$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 15 x$ )
		$2 x$	$- 10$
		-( $2 x$	$- 10$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 13 x - 10$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 2 x + 6 | - 4$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 2 x + 6 \| - 4$	=	0	\| $+ 4$
$\frac{1}{2} \| 2 x + 6 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| 2 x + 6 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

$2 x + 6$	=	$8$	\| $- 6$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 1 + 6$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 6$ < 0:

$- (2 x + 6)$	=	$8$
$- 2 x - 6$	=	$8$	\| $+ 6$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 7) + 6$ = -8 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t x^{2} + 5$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 2 t x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 2 t x^{2}$	=	$- 5$	\|: $(- 2 t)$
$x^{2}$	=	$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \frac{2,2361}{1,4142} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\frac{2,2361}{1,4142} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$5$	=	0	\| $- 5$
0	=	$- 5$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Für t ≤ 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +6 ≥ 0:

2. Fall: 2x +6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $2 x + 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 6$ < 0: