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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$- 3 x^{3}$	\| $+ 3 x^{3}$
$x^{5} + 3 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 3-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 3 \cdot 0^{3}$ = -0 Somit gilt: S₁(0|-0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 12 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 12 x + 3$ gilt m = $- 12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 8 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 8 x

=

- 12

|

+ 12

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 12 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{6 x} - 5) \cdot (x^{4} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{6 x} - 5) (x^{4} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{6 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$3 e^{6 x}$	=	$5$	\|: $3$
$e^{6 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 0.0851

2. Fall:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $\frac{1}{6} \ln (\frac{5}{3})$ ; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 5$	=	0
$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x + \frac{2 x (3 x - 1)}{x + 1} - 15 x + 5$	=
$8 x + \frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} - 15 x + 5$	=
$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 8 x - 15 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} + 8 x - 15 x + 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} - 2 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 8 x \cdot (x + 1) - 15 x \cdot (x + 1) + 5 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} - 2 x + 8 x (x + 1) - 15 x (x + 1) + 5 x + 5$	=
$6 x^{2} - 2 x + (8 x^{2} + 8 x) + (- 15 x^{2} - 15 x) + 5 x + 5$	=
$- x^{2} - 4 x + 5$	=

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 7 x^{3} + 17 x^{2} - 17 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 7 x^{3} + 17 x^{2} - 17 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 7 \cdot 1^{3} + 17 \cdot 1^{2} - 17 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 6 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$
	-( $- 6 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
		$11 x^{2}$	$- 17 x$
		-( $11 x^{2}$	$- 11 x$ )
			$- 6 x$	$+ 6$
			-( $- 6 x$	$+ 6$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 7 x^{3} + 17 x^{2} - 17 x + 6$ = $(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 11 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 5 x + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ = $(x^{2} - 5 x + 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 5 x + 6) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 11 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 11 \cdot 3 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$+ 11 x$	$- 6$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 11 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$2 x$	$- 6$
		-( $2 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 7 \cdot 2^{3} + 17 \cdot 2^{2} - 17 \cdot 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$+ 10 x^{2}$ )
		$7 x^{2}$	$- 17 x$
		-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
			$- 3 x$	$+ 6$
			-( $- 3 x$	$+ 6$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 7 x^{3} + 17 x^{2} - 17 x + 6$ = $(x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) \cdot (x - 2)$

(x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 3$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 3$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 3$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$3 x$	$- 3$
		-( $3 x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ = $(x^{2} - 4 x + 3) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x + 3) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 7 \cdot 3 - 3$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 3$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$x$	$- 3$
		-( $x$	$- 3$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 3)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3^{4} - 7 \cdot 3^{3} + 17 \cdot 3^{2} - 17 \cdot 3 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 7 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$- 17 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 3$ )	=	$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$
-( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$ )
	$- 4 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$
	-( $- 4 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
		$5 x^{2}$	$- 17 x$
		-( $5 x^{2}$	$- 15 x$ )
			$- 2 x$	$+ 6$
			-( $- 2 x$	$+ 6$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 7 x^{3} + 17 x^{2} - 17 x + 6$ = $(x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2) \cdot (x - 3)$

(x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$+ 5 x$	$- 2$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$+ 5 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$x$	$- 2$
		-( $x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $1$ ; $2$ ; $3$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x + 10 | + 9$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \| + 9$	=	$7$	\| $- 9$
$\frac{1}{2} \| - 2 x + 10 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$- 4$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{2} - 5 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- x^{2} - 5 t$	=	0	\| - ( $- 5 t$ )
$- x^{2}$	=	$5 t$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$- 5 t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(- 5 t)}$	= $- \sqrt{(- 5 t)}$
x₂	=	$\sqrt{(- 5 t)}$	= $\sqrt{(- 5 t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t = 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $3$

Polynomdivision mit $2$