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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 20 e^{x}$ und $g(x) =$ $- e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 20 e^{x}$	=	$- e^{3 x}$	\| $+ e^{3 x}$
$e^{5 x} + e^{3 x} - 20 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 20) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $- e^{3 \cdot (\ln (2))}$ = -8 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 2 + x^{2} \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 2$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 2 + x^{2} \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$- 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 + 2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 x^{2} \cdot e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$2 (x^{2} + x) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{- 3 x} + 3) \cdot (x^{4} + 4 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{- 3 x} + 3) \cdot (x^{4} + 4 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{- 3 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- e^{- 3 x}$	=	$- 3$	\|: $- 1$
$e^{- 3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (3)$	≈ -0.3662

2. Fall:

$x^{4} + 4 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3} \ln (3)$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x - 2} + \frac{8 x}{3 x + 2} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $2$ }

\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 2} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{x - 2} - 7$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{8 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{6 x}{x - 2} \cdot (3 x + 2) - 7 \cdot (3 x + 2)$	=
$8 x + \frac{6 x \cdot (3 x + 2)}{x - 2} - 21 x - 14$	=
$8 x + \frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} - 21 x - 14$	=
$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} + 8 x - 21 x - 14$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} + 8 x - 21 x - 14$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{18 x^{2} + 12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 8 x \cdot (x - 2) - 21 x \cdot (x - 2) - 14 \cdot (x - 2)$	=
$18 x^{2} + 12 x + 8 x \cdot (x - 2) - 21 x \cdot (x - 2) - 14 x + 28$	=
$18 x^{2} + 12 x + (8 x^{2} - 16 x) + (- 21 x^{2} + 42 x) - 14 x + 28$	=
$5 x^{2} + 24 x + 28$	=

$5 x^{2} + 24 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 28}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 560}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 24+4}{10}$ = $\frac{- 20}{10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 24-4}{10}$ = $\frac{- 28}{10}$ = $- 2,8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 24 x + 28$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{24}{5} x + \frac{28}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{12}{5})}^{2} - (\frac{28}{5})$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{28}{5}$ = $\frac{144}{25}$ $-$ $\frac{140}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{12}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{12}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{14}{5}$ = -2.8

x₂ = $- \frac{12}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{10}{5}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,8$ ; $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$- 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$- 6$
		-( $3 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 2 x - 6 | - 6$ = $2$

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$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 6 \| - 6$	=	$2$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{2} \| - 2 x - 6 \|$	=	$8$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 2 x - 6 \|$	=	$- 16$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 4 x - 4 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 16 t$ = 0 wird.

$16 + 16 t$	=	0
$16 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$16 t$	=	$- 16$	\|: $16$
$t$	=	$- 1$

Für t = $- 1$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter