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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} + 3 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $18 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} + 3 e^{2 x}$	=	$18 e^{- x}$	\| $- 18 e^{- x}$
$e^{5 x} + 3 e^{2 x} - 18 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $18 e^{- (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = 12.481 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |12.481)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 3 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$- 2 + 2 - x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 6 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$(- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} + 5 x^{3} - 14 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 5 x - 14)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 7$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{x + 3} + \frac{5 x + 1}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 3$ }

- \frac{5 x + 1}{x} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{x + 3}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$- \frac{5 x + 1}{x} + \frac{8 x + 1}{3 x} + \frac{12 x}{x + 3}$	=	\|⋅( $3 x$ )
$- \frac{5 x + 1}{x} \cdot 3 x + \frac{8 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + \frac{12 x}{x + 3} \cdot 3 x$	=
$- 15 x - 3 + 8 x + 1 + 3 \frac{12 x \cdot x}{x + 3}$	=
$- 15 x - 3 + 8 x + 1 + \frac{36 x^{2}}{x + 3}$	=
$\frac{36 x^{2}}{x + 3} - 15 x + 8 x - 3 + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{36 x^{2}}{x + 3} - 15 x + 8 x - 3 + 1$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{36 x^{2}}{x + 3} \cdot (x + 3) - 15 x \cdot (x + 3) + 8 x \cdot (x + 3) - 3 \cdot (x + 3) + 1 \cdot (x + 3)$	=
$36 x^{2} - 15 x (x + 3) + 8 x (x + 3) - 3 x - 9 + x + 3$	=
$36 x^{2} + (- 15 x^{2} - 45 x) + (8 x^{2} + 24 x) - 3 x - 9 + x + 3$	=
$29 x^{2} - 23 x - 6$	=

$29 x^{2} - 23 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 29 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 29}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 696}}{58}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1 225}}{58}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1 225}}{58}$ = $\frac{23+35}{58}$ = $\frac{58}{58}$ = $1$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1 225}}{58}$ = $\frac{23-35}{58}$ = $\frac{- 12}{58}$ = $- \frac{6}{29}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $29$ " teilen:

$29 x^{2} - 23 x - 6$ = 0 |: $29$

$x^{2} - \frac{23}{29} x - \frac{6}{29}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{58})}^{2} - (- \frac{6}{29})$ = $\frac{529}{3364}$ $+$ $\frac{6}{29}$ = $\frac{529}{3364}$ $+$ $\frac{696}{3364}$ = $\frac{1225}{3364}$

x_1,2 = $\frac{23}{58}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{3364}}$

x₁ = $\frac{23}{58}$ - $\frac{35}{58}$ = $- \frac{12}{58}$ = -0.20689655172414

x₂ = $\frac{23}{58}$ + $\frac{35}{58}$ = $\frac{58}{58}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{6}{29}$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 18$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 - 18$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 9 x$	$- 18$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 18$
		-( $9 x$	$- 18$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 18$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 9) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 1 | - 8$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 1 \| - 8$	=	$- 4$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 1 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x + 3 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} + 5 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 12 t$	=	$- 29$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{29}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{29}{12}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $25 + (- 12 \cdot 3 + 4)$ = -7 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{29}{12}$ kleiner 0 und für t < $\frac{29}{12}$ größer 0

Für t < $\frac{29}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter