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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 6 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 6 e^{- x}$	=	$- e^{2 x}$	\| $+ e^{2 x}$
$e^{5 x} + e^{2 x} - 6 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} + e^{3 x} - 6) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $- e^{2 \cdot (\frac{1}{3} \ln (2))}$ = -1.587 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |-1.587)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 2 + 9 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 6$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 2 + 9 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $9 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$9 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$9 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$9 e^{- \frac{1}{3} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (- x + 3) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{5} + x^{3} - 20 x$ = 0

Lösung einblenden

$x^{5} + x^{3} - 20 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} + x^{2} - 20)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

x^{4} + x^{2} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{2 x - 3}{x} + \frac{- 9 x - 3}{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{7}{3}$ }

\frac{2 x - 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 9 x - 3}{2 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x} + \frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{- 9 x - 3}{2 x}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{2 x - 3}{x} \cdot 2 x + \frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot 2 x + \frac{- 9 x - 3}{2 x} \cdot 2 x$	=
$4 x - 6 + 2 \frac{(x + 1) x}{3 x + 7} - 9 x - 3$	=
$4 x - 6 + \frac{2 (x^{2} + x)}{3 x + 7} - 9 x - 3$	=
$\frac{2 (x^{2} + x)}{3 x + 7} + 4 x - 9 x - 6 - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{2 (x^{2} + x)}{3 x + 7} + 4 x - 9 x - 6 - 3$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{2 (x^{2} + x)}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + 4 x \cdot (3 x + 7) - 9 x \cdot (3 x + 7) - 6 \cdot (3 x + 7) - 3 \cdot (3 x + 7)$	=
$2 x^{2} + 2 x + 4 x \cdot (3 x + 7) - 9 x \cdot (3 x + 7) - 18 x - 42 - 9 x - 21$	=
$2 x^{2} + 2 x + (12 x^{2} + 28 x) + (- 27 x^{2} - 63 x) - 18 x - 42 - 9 x - 21$	=
$- 13 x^{2} - 60 x - 63$	=

$- 13 x^{2} - 60 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{{(- 60)}^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 63)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{3 600 - 3 276}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{+ 60 \pm \sqrt{324}}{- 26}$

x₁ = $\frac{60 + \sqrt{324}}{- 26}$ = $\frac{60+18}{- 26}$ = $\frac{78}{- 26}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{60 - \sqrt{324}}{- 26}$ = $\frac{60-18}{- 26}$ = $\frac{42}{- 26}$ = $- \frac{21}{13}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} - 60 x - 63$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} + \frac{60}{13} x + \frac{63}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{30}{13})}^{2} - (\frac{63}{13})$ = $\frac{900}{169}$ $-$ $\frac{63}{13}$ = $\frac{900}{169}$ $-$ $\frac{819}{169}$ = $\frac{81}{169}$

x_1,2 = $- \frac{30}{13}$ ± $\sqrt{\frac{81}{169}}$

x₁ = $- \frac{30}{13}$ - $\frac{9}{13}$ = $- \frac{39}{13}$ = -3

x₂ = $- \frac{30}{13}$ + $\frac{9}{13}$ = $- \frac{21}{13}$ = -1.6153846153846

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{21}{13}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 9$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 9 \cdot 1 - 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 9 x$	$- 9$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$- 9$
		-( $9 x$	$- 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 9 x - 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 4 x - 12 | + 3$ = $- 9$

Lösung einblenden

$- \| 4 x - 12 \| + 3$	=	$- 9$	\| $- 3$
$- \| 4 x - 12 \|$	=	$- 12$	\|: $(- 1)$
$\| 4 x - 12 \|$	=	$12$

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

$4 x - 12$	=	$12$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 6 - 12$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 12$ < 0:

$- (4 x - 12)$	=	$12$
$- 4 x + 12$	=	$12$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	0	\|:( $- 4$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 12$ < 0) genügt:

$4 \cdot (0) - 12$ = -12 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 4 t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 4 t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 4 t x - 2 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 4 t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 4 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 8 t$	=	0
$8 t \cdot (2 t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 1$	\|: $2$
t₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Da bei $16 t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- \frac{1}{2}$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

2. Fall: 4x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 12$ < 0: