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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 6 e^{x}$ und $g(x) =$ $e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 6 e^{x}$	=	$e^{3 x}$	\| $- e^{3 x}$
$e^{5 x} - e^{3 x} - 6 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - e^{2 x} - 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - e^{2 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (3))}$ = 5.196 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |5.196)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $35 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $35 x + 3$ gilt m = $35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

35

|

- 35

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $35 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 5 x^{2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

x^{4} + 5 x^{2} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; $- 1$ }

\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 7$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{3 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (2 x + 5) - 7 \cdot (2 x + 5)$	=
$3 x + \frac{(2 x - 1) (2 x + 5)}{x + 1} - 14 x - 35$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} + 8 x - 5}{x + 1} - 14 x - 35$	=
$\frac{4 x^{2} + 8 x - 5}{x + 1} + 3 x - 14 x - 35$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 8 x - 5}{x + 1} + 3 x - 14 x - 35$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 8 x - 5}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 14 x \cdot (x + 1) - 35 \cdot (x + 1)$	=
$4 x^{2} + 8 x - 5 + 3 x (x + 1) - 14 x (x + 1) - 35 x - 35$	=
$4 x^{2} + 8 x - 5 + (3 x^{2} + 3 x) + (- 14 x^{2} - 14 x) - 35 x - 35$	=
$- 7 x^{2} - 38 x - 40$	=

$- 7 x^{2} - 38 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{{(- 38)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{1 444 - 1 120}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 38 \pm \sqrt{324}}{- 14}$

x₁ = $\frac{38 + \sqrt{324}}{- 14}$ = $\frac{38+18}{- 14}$ = $\frac{56}{- 14}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{38 - \sqrt{324}}{- 14}$ = $\frac{38-18}{- 14}$ = $\frac{20}{- 14}$ = $- \frac{10}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 38 x - 40$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{38}{7} x + \frac{40}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{7})}^{2} - (\frac{40}{7})$ = $\frac{361}{49}$ $-$ $\frac{40}{7}$ = $\frac{361}{49}$ $-$ $\frac{280}{49}$ = $\frac{81}{49}$

x_1,2 = $- \frac{19}{7}$ ± $\sqrt{\frac{81}{49}}$

x₁ = $- \frac{19}{7}$ - $\frac{9}{7}$ = $- \frac{28}{7}$ = -4

x₂ = $- \frac{19}{7}$ + $\frac{9}{7}$ = $- \frac{10}{7}$ = -1.4285714285714

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{10}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 12 \cdot {(- 1)}^{2} + 41 \cdot (- 1) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 11 x + 30$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$30 x$	$+ 30$
		-( $30 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = $(x^{2} + 11 x + 30) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 11 x + 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 12 \cdot {(- 5)}^{2} + 41 \cdot (- 5) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 35 x$ )
		$6 x$	$+ 30$
		-( $6 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 7 x + 6) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 12 \cdot {(- 6)}^{2} + 41 \cdot (- 6) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$+ 41 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 41 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$5 x$	$+ 30$
		-( $5 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 12 x^{2} + 41 x + 30$ = $(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 6 x + 5) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 9 | + 4$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \| + 4$	=	$- 8$	\| $- 4$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$36$	\| $- 9$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 9 + 9$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$36$
$- 3 x - 9$	=	$36$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$45$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 15) + 9$ = -36 < 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x + 5 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 3 x + 5 t)$ = 0

$x^{2} - 3 x + 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 3 x + 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 3 x + 5 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + (- 20 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 20 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 20 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 20 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 20 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 20 t + 4$	=	0
$- 20 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 20 t$	=	$- 13$	\|:( $- 20$ )
$t$	=	$\frac{13}{20}$ = 0.65

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{13}{20}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $9 + (- 20 \cdot 2 + 4)$ = -27 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + (- 20 t + 4)$ für t > $\frac{13}{20}$ kleiner 0 und für t < $\frac{13}{20}$ größer 0

Für t < $\frac{13}{20}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: