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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 10 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $- 24 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 10 e^{2 x}$	=	$- 24 e^{x}$	\| $+ 24 e^{x}$
$e^{3 x} - 10 e^{2 x} + 24 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 10 e^{x} + 24) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 10 e^{x} + 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₂	=	$2 \ln (2)$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ ; $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $- 24 e^{2 \ln (2)}$ = -96 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |-96)

x₂ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $- 24 e^{\ln (6)}$ = -144 Somit gilt: S₂( $\ln (6)$ |-144)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $3 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3 x + 7$ gilt m = $3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 2 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 2 x^{2}

=

3

|

- 3

x^{4} + 2 x^{2} - 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $3 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{x} + 2) \cdot (x^{3} - 9 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{x} + 2) (x^{3} - 9 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 5 e^{x}$	=	$- 2$	\|: $- 5$
$e^{x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{2}{5})$	≈ -0.9163

2. Fall:

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $\ln (\frac{2}{5})$ ; 0; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x + 1}{2 x - 2} + \frac{x + 1}{3 x - 5} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $1$ }

$\frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{2 x - 2} - 5$	=	0
$\frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} - 5$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{5 x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (3 x - 5) - 5 \cdot (3 x - 5)$	=
$x + 1 + \frac{(5 x + 1) (3 x - 5)}{2 (x - 1)} - 15 x + 25$	=
$x + 1 + \frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 (x - 1)} - 15 x + 25$	=
$\frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 (x - 1)} + x - 15 x + 1 + 25$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 (x - 1)} + x - 15 x + 1 + 25$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{15 x^{2} - 22 x - 5}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + x \cdot (2 (x - 1)) - 15 x \cdot (2 (x - 1)) + 1 \cdot (2 (x - 1)) + 25 \cdot (2 (x - 1))$	=
$15 x^{2} - 22 x - 5 + 2 x (x - 1) - 30 x (x - 1) + 2 x - 2 + 50 x - 50$	=
$15 x^{2} - 22 x - 5 + (2 x^{2} - 2 x) + (- 30 x^{2} + 30 x) + 2 x - 2 + 50 x - 50$	=
$- 13 x^{2} + 58 x - 57$	=

$- 13 x^{2} + 58 x - 57$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 58 \pm \sqrt{58^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 57)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{- 58 \pm \sqrt{3 364 - 2 964}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{- 58 \pm \sqrt{400}}{- 26}$

x₁ = $\frac{- 58 + \sqrt{400}}{- 26}$ = $\frac{- 58+20}{- 26}$ = $\frac{- 38}{- 26}$ = $\frac{19}{13}$ ≈ 1.46

x₂ = $\frac{- 58 - \sqrt{400}}{- 26}$ = $\frac{- 58-20}{- 26}$ = $\frac{- 78}{- 26}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 13$ " teilen:

$- 13 x^{2} + 58 x - 57$ = 0 |: $- 13$

$x^{2} - \frac{58}{13} x + \frac{57}{13}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{13})}^{2} - (\frac{57}{13})$ = $\frac{841}{169}$ $-$ $\frac{57}{13}$ = $\frac{841}{169}$ $-$ $\frac{741}{169}$ = $\frac{100}{169}$

x_1,2 = $\frac{29}{13}$ ± $\sqrt{\frac{100}{169}}$

x₁ = $\frac{29}{13}$ - $\frac{10}{13}$ = $\frac{19}{13}$ = 1.4615384615385

x₂ = $\frac{29}{13}$ + $\frac{10}{13}$ = $\frac{39}{13}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{19}{13}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} - 25 \cdot 1^{2} - 23 \cdot 1 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 22 x$ )
		$- 45 x$	$+ 45$
		-( $- 45 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{22}{3} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{3})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $15$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{256}{9}$

x_1,2 = $\frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{256}{9}}$

x₁ = $\frac{11}{3}$ - $\frac{16}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{11}{3}$ + $\frac{16}{3}$ = $\frac{27}{3}$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 25 \cdot 9^{2} - 23 \cdot 9 + 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 25 x^{2}$	$- 23 x$	$+ 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 23 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$- 5 x$	$+ 45$
		-( $- 5 x$	$+ 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 25 x^{2} - 23 x + 45$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x + 3 | + 3$ = $6$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \| + 3$	=	$6$	\| $- 3$
$\frac{1}{3} \| - 3 x + 3 \|$	=	$3$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$9$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 2) + 3$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$9$
$3 x - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 4 + 3$ = -9 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 4 x - 5 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 20 t$ = 0 wird.

$16 + 20 t$	=	0
$20 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$20 t$	=	$- 16$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{4}{5}$ = -0.8

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{4}{5}$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $16 + 20 \cdot 0$ = 16 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + 20 t$ für t > $- \frac{4}{5}$ größer 0 und für t < $- \frac{4}{5}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{4}{5}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: