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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - e^{2 x}$ und $g(x) =$ $42 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - e^{2 x}$	=	$42 e^{- x}$	\| $- 42 e^{- x}$
$e^{5 x} - e^{2 x} - 42 e^{- x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 42) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 42

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $42 e^{- (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 21.956 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |21.956)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $9 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $9 x - 4$ gilt m = $9$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $9$ und sind somit parallel zur Geraden y = $9 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 5 x^{2}$ = $- 4$

Lösung einblenden

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{3 x}{2 x + 5} + \frac{- 5 x + 1}{2 x + 5}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ ; $- 2$ }

$\frac{- 5 x + 1 + 3 x}{2 x + 5} + \frac{3 x}{2 x + 4}$	=	0
$\frac{- 5 x + 1 + 3 x}{2 x + 5} + \frac{3 x}{2 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{- 5 x + 1 + 3 x}{2 x + 5} + \frac{3 x}{2 (x + 2)}$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{- 5 x + 1 + 3 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + \frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 x + 5)$	=
$- 5 x + 1 + 3 x + \frac{3 x \cdot (2 x + 5)}{2 (x + 2)}$	=
$- 5 x + 1 + 3 x + \frac{6 x^{2} + 15 x}{2 (x + 2)}$	=
$\frac{6 x^{2} + 15 x}{2 (x + 2)} - 5 x + 3 x + 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 15 x}{2 (x + 2)} - 5 x + 3 x + 1$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{6 x^{2} + 15 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) - 5 x \cdot (2 (x + 2)) + 3 x \cdot (2 (x + 2)) + 1 \cdot (2 (x + 2))$	=
$6 x^{2} + 15 x - 10 x \cdot (x + 2) + 6 x \cdot (x + 2) + 2 x + 4$	=
$6 x^{2} + 15 x + (- 10 x^{2} - 20 x) + (6 x^{2} + 12 x) + 2 x + 4$	=
$2 x^{2} + 9 x + 4$	=

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9+7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9-7}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 6 \cdot 1 - 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 6 x$	$- 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 6 x$
	-(0	0)
		$6 x$	$- 6$
		-( $6 x$	$- 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 6 x - 6$ = $(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 6) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 6) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6$	=	0	\| $- 6$
$x^{2}$	=	$- 6$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 8 | + 8$ = $20$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 8 \| + 8$	=	$20$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 8 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$36$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$36$	\| $- 8$
$2 x$	=	$28$	\|: $2$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 14 + 8$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$36$
$- 2 x - 8$	=	$36$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$44$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 22) + 8$ = -36 < 0

Die Lösung $- 22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 22$ ; $14$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x + 3 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 12 t$	=	$- 29$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{29}{12}$

Für t = $\frac{29}{12}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: