nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x 2 -8x und g(x)= -12 . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 2 -8x = -12 | +12

x 2 -8x +12 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 12 21

x1,2 = +8 ± 64 -48 2

x1,2 = +8 ± 16 2

x1 = 8 + 16 2 = 8 +4 2 = 12 2 = 6

x2 = 8 - 16 2 = 8 -4 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -4 ) 2 - 12 = 16 - 12 = 4

x1,2 = 4 ± 4

x1 = 4 - 2 = 2

x2 = 4 + 2 = 6

L={ 2 ; 6 }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = 2 : f( 2 )= -12 Somit gilt: S1( 2 |-12)

x2 = 6 : f( 6 )= -12 Somit gilt: S2( 6 |-12)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= x +2 +3 x 2 · e -3x parallel zur Geraden y = x +1 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = x +1 gilt m = 1

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= x +2 +3 x 2 · e -3x

f'(x)= 1 -9 x 2 · e -3x +6 x · e -3x

Also muss gelten:

1 -9 x 2 · e -3x +6 x · e -3x = 1 | -1
1 -1 -9 x 2 · e -3x +6 x · e -3x = 0
-9 x 2 · e -3x +6 x · e -3x = 0
3 ( -3 x 2 +2x ) e -3x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-3 x 2 +2x = 0
x ( -3x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-3x +2 = 0 | -2
-3x = -2 |:(-3 )
x2 = 2 3

2. Fall:

e -3x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; 2 3 }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 1 und sind somit parallel zur Geraden y = x +1 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 4x -6 e 3x -7 e 2x = 0

Lösung einblenden
e 4x -6 e 3x -7 e 2x = 0
( e 2x -6 e x -7 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x -6 e x -7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -6u -7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · ( -7 ) 21

u1,2 = +6 ± 36 +28 2

u1,2 = +6 ± 64 2

u1 = 6 + 64 2 = 6 +8 2 = 14 2 = 7

u2 = 6 - 64 2 = 6 -8 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - ( -7 ) = 9+ 7 = 16

x1,2 = 3 ± 16

x1 = 3 - 4 = -1

x2 = 3 + 4 = 7

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = -1

e x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 7 ) }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5x +1 2x + 4x x +3 + 3x +1 -x = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; -3 }

- 3x +1 x + 5x +1 2x + 4x x +3 = 0

Wir multiplizieren den Nenner 2x weg!

- 3x +1 x + 5x +1 2x + 4x x +3 = 0 |⋅( 2x )
- 3x +1 x · 2x + 5x +1 2x · 2x + 4x x +3 · 2x = 0
-6x -2 +5x +1 +2 4 x · x x +3 = 0
-6x -2 +5x +1 + 8 x 2 x +3 = 0
8 x 2 x +3 -6x +5x -2 +1 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x +3 weg!

8 x 2 x +3 -6x +5x -2 +1 = 0 |⋅( x +3 )
8 x 2 x +3 · ( x +3 ) -6x · ( x +3 ) + 5x · ( x +3 ) -2 · ( x +3 ) + 1 · ( x +3 ) = 0
8 x 2 -6 x ( x +3 )+5 x ( x +3 ) -2x -6 + x +3 = 0
8 x 2 + ( -6 x 2 -18x ) + ( 5 x 2 +15x ) -2x -6 + x +3 = 0
7 x 2 -4x -3 = 0

7 x 2 -4x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 7 · ( -3 ) 27

x1,2 = +4 ± 16 +84 14

x1,2 = +4 ± 100 14

x1 = 4 + 100 14 = 4 +10 14 = 14 14 = 1

x2 = 4 - 100 14 = 4 -10 14 = -6 14 = - 3 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "7 " teilen:

7 x 2 -4x -3 = 0 |: 7

x 2 - 4 7 x - 3 7 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 2 7 ) 2 - ( - 3 7 ) = 4 49 + 3 7 = 4 49 + 21 49 = 25 49

x1,2 = 2 7 ± 25 49

x1 = 2 7 - 5 7 = - 3 7 = -0.42857142857143

x2 = 2 7 + 5 7 = 7 7 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 3 7 ; 1 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 - x 2 +6x -6 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von x 3 - x 2 +6x -6 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds -6 .

1 ist eine Lösung, denn 1 3 - 1 2 +61 -6 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x-1) durch.

( x 3 - x 2 +6x -6 ) : (x-1) = x 2 +0 +6
-( x 3 - x 2 )
0 +6x
-(0 0)
6x -6
-( 6x -6 )
0

es gilt also:

x 3 - x 2 +6x -6 = ( x 2 +0 +6 ) · ( x -1 )

( x 2 +0 +6 ) · ( x -1 ) = 0
( x 2 +6 ) ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 +6 = 0 | -6
x 2 = -6 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!


2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x1 = 1

L={ 1 }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 3 | 4x -12 | +5 = 17

Lösung einblenden
1 3 | 4x -12 | +5 = 17 | -5
1 3 | 4x -12 | = 12 |⋅3
| 4x -12 | = 36

1. Fall: 4x -12 ≥ 0:

4x -12 = 36 | +12
4x = 48 |:4
x1 = 12

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 4x -12 ≥ 0) genügt:

412 -12 = 36 ≥ 0

Die Lösung 12 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: 4x -12 < 0:

-( 4x -12 ) = 36
-4x +12 = 36 | -12
-4x = 24 |:(-4 )
x2 = -6

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( 4x -12 < 0) genügt:

4( -6 ) -12 = -36 < 0

Die Lösung -6 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -6 ; 12 }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit ft(x)= ln( x 2 + x -4 t ) genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e0=u, also 1 = u ist:

ln( x 2 + x -4 t ) = 0

x 2 + x -4 t = 1 |-1

x 2 + x -4 t - 1 = 0

x 2 + x + ( -4t -1 ) =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -4t -1 ) 21 = -1 ± 1 + 16t +4 2

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

  • Ist 1 + 16t +4 > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
  • Ist 1 + 16t +4 = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
  • Ist 1 + 16t +4 <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand 1 + 16t +4 = 0 wird.

1 +16t +4 = 0
16t +5 = 0 | -5
16t = -5 |:16
t = - 5 16

Da rechts der Nullstelle t= - 5 16 beispielsweise für t = 1 der Radikand 1 + ( 161 +4 ) = 21 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von 1 + 16t +4 für t > - 5 16 größer 0 und für t < - 5 16 kleiner 0

Für t < - 5 16 ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.