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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 6$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$x$	=	$6$

L={ $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $6$ : f( $6$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $6$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 3 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 3 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 6 x) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 24 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} - 2 e^{4 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 3} + \frac{4 x}{3 x + 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{3 x + 3} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{3 (x + 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 2} + \frac{6 x}{3 (x + 1)} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{6 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 x + 2) - 6 \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x + \frac{2 x \cdot (3 x + 2)}{x + 1} - 18 x - 12$	=
$4 x + \frac{6 x^{2} + 4 x}{x + 1} - 18 x - 12$	=
$\frac{6 x^{2} + 4 x}{x + 1} + 4 x - 18 x - 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 4 x}{x + 1} + 4 x - 18 x - 12$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 4 x \cdot (x + 1) - 18 x \cdot (x + 1) - 12 \cdot (x + 1)$	=
$6 x^{2} + 4 x + 4 x \cdot (x + 1) - 18 x \cdot (x + 1) - 12 x - 12$	=
$6 x^{2} + 4 x + (4 x^{2} + 4 x) + (- 18 x^{2} - 18 x) - 12 x - 12$	=
$- 8 x^{2} - 22 x - 12$	=

- 8 x^{2} - 22 x - 12

= 0 |:2

$- 4 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{11+5}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{11-5}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 11 x - 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,75$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 20 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 20 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 7 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 8 x^{2}$	$+ 20 x$
		-( $- 8 x^{2}$	$+ 8 x$ )
			$12 x$	$- 12$
			-( $12 x$	$- 12$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - x^{2} - 8 x + 12) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 8 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 6 x$	$+ 12$
		-( $- 6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} - 8 \cdot (- 3) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 8 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$4 x$	$+ 12$
		-( $4 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} - 2 \cdot 2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 20 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 0 - 7 x + 6$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	0	$- 7 x^{2}$
	-(0	0)
		$- 7 x^{2}$	$+ 20 x$
		-( $- 7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
			$6 x$	$- 12$
			-( $6 x$	$- 12$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{3} + 0 - 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

$(x^{3} + 0 - 7 x + 6) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{3} - 7 x + 6) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 7 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 7 \cdot 1 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 7 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 7 x$
	-( $x^{2}$	$- x$ )
		$- 6 x$	$+ 6$
		-( $- 6 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x + 6$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + x - 6) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 7 \cdot 2 + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 7 x$	$+ 6$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 3$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 3 x$	$+ 6$
		-( $- 3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x + 6$ = $(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 2 x - 3) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} - 7 \cdot (- 3) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$		$- 7 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$2 x$	$+ 6$
		-( $2 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 7 x + 6$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 3)$

(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{4} - 2 \cdot {(- 3)}^{3} - 7 \cdot {(- 3)}^{2} + 20 \cdot (- 3) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$+ 20 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$
-( $x^{4}$	$+ 3 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 7 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$- 15 x^{2}$ )
		$8 x^{2}$	$+ 20 x$
		-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
			$- 4 x$	$- 12$
			-( $- 4 x$	$- 12$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 20 x - 12$ = $(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) \cdot (x + 3)$

(x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 8 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$+ 8 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 6 x$ )
		$2 x$	$- 4$
		-( $2 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $1$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x + 2 | + 8$ = $12$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x + 2 \| + 8$	=	$12$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| - 2 x + 2 \|$	=	$4$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x + 2 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

$- 2 x + 2$	=	$12$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 5) + 2$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0:

$- (- 2 x + 2)$	=	$12$
$2 x - 2$	=	$12$	\| $+ 2$
$2 x$	=	$14$	\|: $2$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 7 + 2$ = -12 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 5$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x + t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 3 x + t)$ = 0

$x^{2} - 3 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} - 3 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} - 3 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 4 t$	=	$- 13$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{13}{4}$ = 3.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{13}{4}$ beispielsweise für t = 4 der Radikand $9 + (- 4 \cdot 4 + 4)$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + (- 4 t + 4)$ für t > $\frac{13}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{13}{4}$ größer 0

Für t < $\frac{13}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +2 ≥ 0:

2. Fall: -2x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- 2 x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 2$ < 0: