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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x 6 -1 und g(x)=0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 -1 = 0 | +1
x 6 = 1 | 6
x1 = - 1 6 = -1
x2 = 1 6 = 1

L={ -1 ; 1 }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = -1 : f( -1 )=0 = 0 Somit gilt: S1( -1 |0)

x2 = 1 : f( 1 )=0 = 0 Somit gilt: S2( 1 |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= 1 3 x 3 parallel zur Geraden y = 25x -7 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 25x -7 gilt m = 25

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= 1 3 x 3

f'(x)= x 2

Also muss gelten:

x 2 = 25 | 2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

L={ -5 ; 5 }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 25 und sind somit parallel zur Geraden y = 25x -7 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 8x -5 e 5x +4 e 2x = 0

Lösung einblenden
e 8x -5 e 5x +4 e 2x = 0
( e 6x -5 e 3x +4 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 6x -5 e 3x +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 3x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

u1,2 = +5 ± 25 -16 2

u1,2 = +5 ± 9 2

u1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

u2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: e 3x = 4

e 3x = 4 |ln(⋅)
3x = ln( 4 ) |:3
x1 = 1 3 ln( 4 ) ≈ 0.4621
x1 = 2 3 ln( 2 )

u2: e 3x = 1

e 3x = 1 |ln(⋅)
3x = 0 |:3
x2 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; 2 3 ln( 2 ) }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

8x +1 3x + 12x x +3 + 72x -3x -9 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ -3 ; 0}

12x x +3 + 8x +1 3x + 72x -3x -9 = 0
12x x +3 + 8x +1 3x + 72x -3( x +3 ) = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner x +3 weg!

12x x +3 + 8x +1 3x + 72x -3( x +3 ) = 0 |⋅( x +3 )
12x x +3 · ( x +3 ) + 8x +1 3x · ( x +3 ) + 72x -3( x +3 ) · ( x +3 ) = 0
12x + ( 8x +1 ) ( x +3 ) 3x -24x = 0
12x + 8 x 2 +25x +3 3x -24x = 0
8 x 2 +25x +3 3x +12x -24x = 0

Wir multiplizieren den Nenner 3x weg!

8 x 2 +25x +3 3x +12x -24x = 0 |⋅( 3x )
8 x 2 +25x +3 3x · 3x + 12x · 3x -24x · 3x = 0
8 x 2 +25x +3 +36 x · x -72 x · x = 0
8 x 2 +25x +3 +36 x 2 -72 x 2 = 0
-28 x 2 +25x +3 = 0

-28 x 2 +25x +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -25 ± 25 2 -4 · ( -28 ) · 3 2( -28 )

x1,2 = -25 ± 625 +336 -56

x1,2 = -25 ± 961 -56

x1 = -25 + 961 -56 = -25 +31 -56 = 6 -56 = - 3 28 ≈ -0.11

x2 = -25 - 961 -56 = -25 -31 -56 = -56 -56 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-28 " teilen:

-28 x 2 +25x +3 = 0 |: -28

x 2 - 25 28 x - 3 28 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 25 56 ) 2 - ( - 3 28 ) = 625 3136 + 3 28 = 625 3136 + 336 3136 = 961 3136

x1,2 = 25 56 ± 961 3136

x1 = 25 56 - 31 56 = - 6 56 = -0.10714285714286

x2 = 25 56 + 31 56 = 56 56 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 3 28 ; 1 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 +3 x 2 -70x -144 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von x 3 +3 x 2 -70x -144 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds -144 .

-2 ist eine Lösung, denn ( -2 ) 3 +3 ( -2 ) 2 -70( -2 ) -144 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x+2) durch.

( x 3 +3 x 2 -70x -144 ) : (x+2) = x 2 + x -72
-( x 3 +2 x 2 )
x 2 -70x
-( x 2 +2x )
-72x -144
-( -72x -144 )
0

es gilt also:

x 3 +3 x 2 -70x -144 = ( x 2 + x -72 ) · ( x +2 )

( x 2 + x -72 ) ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 + x -72 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -72 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +288 2

x1,2 = -1 ± 289 2

x1 = -1 + 289 2 = -1 +17 2 = 16 2 = 8

x2 = -1 - 289 2 = -1 -17 2 = -18 2 = -9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -72 ) = 1 4 + 72 = 1 4 + 288 4 = 289 4

x1,2 = - 1 2 ± 289 4

x1 = - 1 2 - 17 2 = - 18 2 = -9

x2 = - 1 2 + 17 2 = 16 2 = 8


2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x3 = -2

Polynomdivision mit 8

Polynomdivision mit -9

L={ -9 ; -2 ; 8 }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 3 | -3x +3 | -7 = -16

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- 1 3 | -3x +3 | -7 = -16 | +7
- 1 3 | -3x +3 | = -9 |⋅ ( -3 )
| -3x +3 | = 27

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

-3x +3 = 27 | -3
-3x = 24 |:(-3 )
x1 = -8

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( -3x +3 ≥ 0) genügt:

-3( -8 ) +3 = 27 ≥ 0

Die Lösung -8 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: -3x +3 < 0:

-( -3x +3 ) = 27
3x -3 = 27 | +3
3x = 30 |:3
x2 = 10

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( -3x +3 < 0) genügt:

-310 +3 = -27 < 0

Die Lösung 10 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -8 ; 10 }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit ft(x)= 4 t x 3 +5x genau 1 Nullstelle?

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Wir setzen ft(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

4 t x 3 +5x = 0
x ( 4 t x 2 +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

4 t x 2 +5 = 0 | -5
4 t x 2 = -5 |:4 t
x 2 = - 5 4 1 t | 2
x2 = - ( - 5 4 1 t ) = - ( - 5 4 t )
x3 = ( - 5 4 1 t ) = ( - 5 4 t )

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

5x = 0 |:5
x = 0

Für t ≥ 0 gibt es also 1 Lösung(en).