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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 11 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $- 30 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 11 e^{4 x}$	=	$- 30 e^{2 x}$	\| $+ 30 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 11 e^{4 x} + 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (5)$ )= $- 30 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (5))}$ = -150 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (5)$ |-150)

x₂ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $- 30 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (6))}$ = -180 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |-180)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 6$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 + 4 x^{2} \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $- 8 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 8 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$- 8 x^{2} \cdot e^{- 2 x} + 8 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$8 (- x^{2} + x) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 16 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{4} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{3 x + 2}{2 x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{2 x}{2 x - 2} + \frac{3 x + 2}{2 x} - 4$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x + 2}{2 x} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x + 2}{2 x} - 4$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{3 x + 2}{2 x} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=
$x + \frac{(3 x + 2) \cdot (x - 1)}{2 x} - 4 x + 4$	=
$x + \frac{3 x^{2} - x - 2}{2 x} - 4 x + 4$	=
$\frac{3 x^{2} - x - 2}{2 x} + x - 4 x + 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - x - 2}{2 x} + x - 4 x + 4$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x^{2} - x - 2}{2 x} \cdot 2 x + x \cdot 2 x - 4 x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$	=
$3 x^{2} - x - 2 + 2 x \cdot x - 8 x \cdot x + 8 x$	=
$3 x^{2} - x - 2 + 2 x^{2} - 8 x^{2} + 8 x$	=
$- 3 x^{2} + 7 x - 2$	=

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7+5}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7-5}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 15 \cdot 1^{2} + 59 \cdot 1 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 59 x$	$- 45$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 14 x + 45$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 14 x^{2}$	$+ 59 x$
	-( $- 14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$45 x$	$- 45$
		-( $45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = $(x^{2} - 14 x + 45) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 14 x + 45) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14+4}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14-4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 15 \cdot 5^{2} + 59 \cdot 5 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 59 x$	$- 45$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} - 10 x + 9$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$+ 59 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$+ 50 x$ )
		$9 x$	$- 45$
		-( $9 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = $(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 5)$

(x^{2} - 10 x + 9) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 15 \cdot 9^{2} + 59 \cdot 9 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 15 x^{2}$	$+ 59 x$	$- 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} - 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$+ 59 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$+ 54 x$ )
		$5 x$	$- 45$
		-( $5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 15 x^{2} + 59 x - 45$ = $(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x - 9)$

(x^{2} - 6 x + 5) \cdot (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $1$ ; $5$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 8 | + 5$ = $21$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \| + 5$	=	$21$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 8 \|$	=	$16$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 8 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

$- 4 x - 8$	=	$48$	\| $+ 8$
$- 4 x$	=	$56$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 14) - 8$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0:

$- (- 4 x - 8)$	=	$48$
$4 x + 8$	=	$48$	\| $- 8$
$4 x$	=	$40$	\|: $4$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 10 - 8$ = -48 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 3 x + 2 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 3 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} - 3 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 3 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 3 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 8 t$	=	$- 13$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{13}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{13}{8}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $9 + (- 8 \cdot 3 + 4)$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + (- 8 t + 4)$ für t > $\frac{13}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{13}{8}$ größer 0

Für t > $\frac{13}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -8 ≥ 0:

2. Fall: -4x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 4 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 8$ < 0: