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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + x^{5}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 5-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $24 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x + 5$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 2 e^{3 x}

=

24

|

- 24

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $6$

$e^{3 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (6)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (6)$	≈ 0.5973

u₂: $e^{3 x}$ = $- 4$

e^{3 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (6)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} + 2 e^{2 x}$ = $15 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{3 x} + 2 e^{2 x}$	=	$15 e^{x}$	\| $- 15 e^{x}$
$e^{3 x} + 2 e^{2 x} - 15 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 15) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{5 x - 2}{- 6 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $2$ }

$\frac{5 x - 2}{- 6 x + 15} + \frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{x}{2 x - 4}$	=	0
$\frac{5 x - 2}{3 (- 2 x + 5)} + \frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{x}{2 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (- 2 x + 5)$ weg!

$\frac{5 x - 2}{3 (- 2 x + 5)} + \frac{x - 1}{2 x - 5} + \frac{x}{2 (x - 2)}$	=	\|⋅( $3 (- 2 x + 5)$ )
$\frac{5 x - 2}{3 (- 2 x + 5)} \cdot (3 (- 2 x + 5)) + \frac{x - 1}{2 x - 5} \cdot (3 (- 2 x + 5)) + \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (3 (- 2 x + 5))$	=
$5 x - 2 + 3 \frac{(x - 1) (- 2 x + 5)}{2 x - 5} + 3 \frac{x (- 2 x + 5)}{2 (x - 2)}$	=
$5 x - 2 + \frac{3 (- 2 x^{2} + 7 x - 5)}{2 x - 5} + \frac{3 (- 2 x^{2} + 5 x)}{2 (x - 2)}$	=
$\frac{3 (- 2 x^{2} + 5 x)}{2 (x - 2)} + \frac{3 (- 2 x^{2} + 7 x - 5)}{2 x - 5} + 5 x - 2$	=

\frac{3 (- 2 x^{2} + 7 x - 5)}{2 x - 5} + \frac{3 (- 2 x^{2} + 5 x)}{2 (x - 2)} + 5 x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 7 x - 5)}{2 x - 5} + \frac{3 (- 2 x^{2} + 5 x)}{2 (x - 2)} + 5 x - 2$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{3 (- 2 x^{2} + 7 x - 5)}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{3 (- 2 x^{2} + 5 x)}{2 (x - 2)} \cdot (2 x - 5) + 5 x \cdot (2 x - 5) - 2 \cdot (2 x - 5)$	=
$- 6 x^{2} + 21 x - 15 + \frac{3 (- 2 x^{2} + 5 x) (2 x - 5)}{2 (x - 2)} + 5 x (2 x - 5) - 4 x + 10$	=
$- 6 x^{2} + 21 x - 15 + \frac{- 12 x^{3} + 60 x^{2} - 75 x}{2 (x - 2)} + (10 x^{2} - 25 x) - 4 x + 10$	=
$\frac{- 12 x^{3} + 60 x^{2} - 75 x}{2 (x - 2)} - 6 x^{2} + 10 x^{2} + 21 x - 25 x - 4 x - 15 + 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{- 12 x^{3} + 60 x^{2} - 75 x}{2 (x - 2)} - 6 x^{2} + 10 x^{2} + 21 x - 25 x - 4 x - 15 + 10$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{- 12 x^{3} + 60 x^{2} - 75 x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) - 6 x^{2} \cdot (2 (x - 2)) + 10 x^{2} \cdot (2 (x - 2)) + 21 x \cdot (2 (x - 2)) - 25 x \cdot (2 (x - 2)) - 4 x \cdot (2 (x - 2)) - 15 \cdot (2 (x - 2)) + 10 \cdot (2 (x - 2))$	=
$- 12 x^{3} + 60 x^{2} - 75 x - 12 x^{2} (x - 2) + 20 x^{2} (x - 2) + 42 x (x - 2) - 50 x (x - 2) - 8 x (x - 2) - 30 x + 60 + 20 x - 40$	=
$- 12 x^{3} + 60 x^{2} - 75 x + (- 12 x^{3} + 24 x^{2}) + (20 x^{3} - 40 x^{2}) + (42 x^{2} - 84 x) + (- 50 x^{2} + 100 x) + (- 8 x^{2} + 16 x) - 30 x + 60 + 20 x - 40$	=
$- 4 x^{3} + 28 x^{2} - 53 x + 20$	=

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $- 4 x^{3} + 28 x^{2} - 53 x + 20$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $20$ .

$4$ ist eine Lösung, denn $- 4 \cdot 4^{3} + 28 \cdot 4^{2} - 53 \cdot 4 + 20$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $- 4 x^{3}$	$+ 28 x^{2}$	$- 53 x$	$+ 20$ )	:	(x $- 4$ )	=	$- 4 x^{2} + 12 x - 5$
-( $- 4 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
	$12 x^{2}$	$- 53 x$
	-( $12 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$- 5 x$	$+ 20$
		-( $- 5 x$	$+ 20$ )
			0

es gilt also:

$- 4 x^{3} + 28 x^{2} - 53 x + 20$ = $(- 4 x^{2} + 12 x - 5) \cdot (x - 4)$

(- 4 x^{2} + 12 x - 5) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 4 x^{2} + 12 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{- 8}$ = $\frac{- 12+8}{- 8}$ = $\frac{- 4}{- 8}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{- 8}$ = $\frac{- 12-8}{- 8}$ = $\frac{- 20}{- 8}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 12 x - 5$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - 3 x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $1$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $1$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 108$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 13 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 108$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 15 x + 54$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $15 x^{2}$	$- 30 x$ )
		$54 x$	$- 108$
		-( $54 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108$ = $(x^{2} + 15 x + 54) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 15 x + 54) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15+3}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 15-3}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 13 \cdot {(- 6)}^{2} + 24 \cdot (- 6) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$- 18 x$	$- 108$
		-( $- 18 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108$ = $(x^{2} + 7 x - 18) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 7 x - 18) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + 13 \cdot {(- 9)}^{2} + 24 \cdot (- 9) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 36 x$ )
		$- 12 x$	$- 108$
		-( $- 12 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x + 9)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- 6$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - x - 5 | + 9$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - x - 5 \| + 9$	=	$11$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| - x - 5 \|$	=	$2$	\|⋅ $3$
$\| - x - 5 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

$- x - 5$	=	$6$	\| $+ 5$
$- x$	=	$11$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 11) - 5$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 5$ < 0:

$- (- x - 5)$	=	$6$
$x + 5$	=	$6$	\| $- 5$
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ < 0) genügt:

$- 1 - 5$ = -6 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $1$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 4 t x^{3} + 4 x$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 4 t x^{3} + 4 x$	=	0
$4 x (- t x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- t x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- t x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1 t)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{1}{t})}$	= $- \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{1}{t})}$	= $\frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$4 x$	=	0	\|: $4$
$x$	=	0

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -5 ≥ 0:

2. Fall: -x -5 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 5$ < 0: