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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{x} + 2$ und $g(x) =$ $24 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{x} + 2

=

24 e^{- x}

|

- 24 e^{- x}

e^{x} - 24 e^{- x} + 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{x} - 24 e^{- x} + 2$	=	0	\|⋅ $e^{x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 24$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $24 e^{- (2 \ln (2))}$ = 6 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $10 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $10 x + 2$ gilt m = $10$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 3 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 3 e^{3 x}

=

10

|

- 10

e^{6 x} - 3 e^{3 x} - 10

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $10$ und sind somit parallel zur Geraden y = $10 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - 15 e^{2 x}$ = $- 2 e^{5 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - 15 e^{2 x}$	=	$- 2 e^{5 x}$	\| $+ 2 e^{5 x}$
$e^{8 x} + 2 e^{5 x} - 15 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 15

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 1} + \frac{2 x}{3 x + 6} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

$\frac{2 x}{3 x + 6} + \frac{4 x}{x - 1} - 5$	=	0
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{4 x}{x - 1} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{2 x}{3 (x + 2)} + \frac{4 x}{x - 1} - 5$	=	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{2 x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{4 x}{x - 1} \cdot (3 (x + 2)) - 5 \cdot (3 (x + 2))$	=
$2 x + 3 \frac{4 x (x + 2)}{x - 1} - 15 x - 30$	=
$2 x + \frac{3 (4 x^{2} + 8 x)}{x - 1} - 15 x - 30$	=
$\frac{3 (4 x^{2} + 8 x)}{x - 1} + 2 x - 15 x - 30$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 (4 x^{2} + 8 x)}{x - 1} + 2 x - 15 x - 30$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 (4 x^{2} + 8 x)}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1) - 15 x \cdot (x - 1) - 30 \cdot (x - 1)$	=
$12 x^{2} + 24 x + 2 x (x - 1) - 15 x (x - 1) - 30 x + 30$	=
$12 x^{2} + 24 x + (2 x^{2} - 2 x) + (- 15 x^{2} + 15 x) - 30 x + 30$	=
$- x^{2} + 7 x + 30$	=

$- x^{2} + 7 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 30}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7+13}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{- 2}$ = $\frac{- 7-13}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x + 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x - 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $10$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 2 x$	$+ 4$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$+ 4$
		-( $2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 4$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 2) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 4 | + 8$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \| + 8$	=	$- 12$	\| $- 8$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$40$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$40$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 9) + 4$ = 40 ≥ 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$40$
$4 x - 4$	=	$40$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$44$	\|: $4$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 11 + 4$ = -40 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $11$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 2 x + 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 2 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} - 2 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 2 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 2 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 8 t$	=	$- 8$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$1$

Da rechts der Nullstelle t= $1$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $4 + (- 8 \cdot 2 + 4)$ = -8 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + (- 8 t + 4)$ für t > $1$ kleiner 0 und für t < $1$ größer 0

Für t < $1$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: