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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )=0 Somit gilt: S₃( $1$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x - 2 + x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 7$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x - 2 + x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $e^{3 x} - 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$e^{3 x} - 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$e^{3 x} - 1 + 1 + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$e^{3 x} + 3 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$(3 x + 1) \cdot e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{3 x} + 5) \cdot (x^{3} - 7 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{3 x} + 5) \cdot (x^{3} - 7 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{3 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 3 e^{3 x}$	=	$- 5$	\|: $- 3$
$e^{3 x}$	=	$\frac{5}{3}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{5}{3})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{3})$	≈ 0.1703

2. Fall:

$x^{3} - 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={0; $\frac{1}{3} \ln (\frac{5}{3})$ ; $7$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{2 x - 4} + \frac{4 x}{2 x - 3} - 6$ = 0

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D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $2$ }

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 x - 4} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 (x - 2)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{2 x - 3} + \frac{x + 1}{2 (x - 2)} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{4 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{x + 1}{2 (x - 2)} \cdot (2 x - 3) - 6 \cdot (2 x - 3)$	=
$4 x + \frac{(x + 1) \cdot (2 x - 3)}{2 (x - 2)} - 12 x + 18$	=
$4 x + \frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 2)} - 12 x + 18$	=
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 2)} + 4 x - 12 x + 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 2)} + 4 x - 12 x + 18$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{2 x^{2} - x - 3}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + 4 x \cdot (2 (x - 2)) - 12 x \cdot (2 (x - 2)) + 18 \cdot (2 (x - 2))$	=
$2 x^{2} - x - 3 + 8 x \cdot (x - 2) - 24 x \cdot (x - 2) + 36 x - 72$	=
$2 x^{2} - x - 3 + (8 x^{2} - 16 x) + (- 24 x^{2} + 48 x) + 36 x - 72$	=
$- 14 x^{2} + 67 x - 75$	=

$- 14 x^{2} + 67 x - 75$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 67 \pm \sqrt{67^{2} - 4 \cdot (- 14) \cdot (- 75)}}{2 \cdot (- 14)}$

x_1,2 = $\frac{- 67 \pm \sqrt{4 489 - 4 200}}{- 28}$

x_1,2 = $\frac{- 67 \pm \sqrt{289}}{- 28}$

x₁ = $\frac{- 67 + \sqrt{289}}{- 28}$ = $\frac{- 67+17}{- 28}$ = $\frac{- 50}{- 28}$ = $\frac{25}{14}$ ≈ 1.79

x₂ = $\frac{- 67 - \sqrt{289}}{- 28}$ = $\frac{- 67-17}{- 28}$ = $\frac{- 84}{- 28}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 14$ " teilen:

$- 14 x^{2} + 67 x - 75$ = 0 |: $- 14$

$x^{2} - \frac{67}{14} x + \frac{75}{14}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{67}{28})}^{2} - (\frac{75}{14})$ = $\frac{4489}{784}$ $-$ $\frac{75}{14}$ = $\frac{4489}{784}$ $-$ $\frac{4200}{784}$ = $\frac{289}{784}$

x_1,2 = $\frac{67}{28}$ ± $\sqrt{\frac{289}{784}}$

x₁ = $\frac{67}{28}$ - $\frac{17}{28}$ = $\frac{50}{28}$ = 1.7857142857143

x₂ = $\frac{67}{28}$ + $\frac{17}{28}$ = $\frac{84}{28}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{25}{14}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| 2 x - 6 | - 2$ = $8$

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$\| 2 x - 6 \| - 2$	=	$8$	\| $+ 2$
$\| 2 x - 6 \|$	=	$10$

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

$2 x - 6$	=	$10$	\| $+ 6$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 8 - 6$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 6$ < 0:

$- (2 x - 6)$	=	$10$
$- 2 x + 6$	=	$10$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 6$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 2) - 6$ = -10 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 3 x + 4 t)$ genau 0 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 3 x + 4 t)$ = 0

$x^{2} + 3 x + 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 3 x + 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 3 x + 4 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + (- 16 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + (- 16 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + (- 16 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + (- 16 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + (- 16 t + 4)$ = 0 wird.

$9 - 16 t + 4$	=	0
$- 16 t + 13$	=	0	\| $- 13$
$- 16 t$	=	$- 13$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{13}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{13}{16}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $9 + (- 16 \cdot 2 + 4)$ = -19 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 + (- 16 t + 4)$ für t > $\frac{13}{16}$ kleiner 0 und für t < $\frac{13}{16}$ größer 0

Für t > $\frac{13}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -6 ≥ 0:

2. Fall: 2x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $2 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 6$ < 0: