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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 2$ und $g(x) =$ $8 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 2

=

8 e^{- 2 x}

|

- 8 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 8 e^{- 2 x} - 2

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 8 e^{- 2 x} - 2$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $8 e^{- 2 \cdot (\ln (2))}$ = 2 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{7 x} - 5) \cdot (x + 7)$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{7 x} - 5) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{7 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$8 e^{7 x}$	=	$5$	\|: $8$
$e^{7 x}$	=	$\frac{5}{8}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{5}{8})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{5}{8})$	≈ -0.0671

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $\frac{1}{7} \ln (\frac{5}{8})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 4} - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{2 x}{2 (x - 2)} - 2

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x - 2)} - 2$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) - 2 \cdot (x - 2)$	=
$x - 2 x + 4$	=
$- x + 4$	=

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 11 \cdot {(- 2)}^{2} + 20 \cdot (- 2) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 20 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 20 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$6 x$	$+ 12$
		-( $6 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 11 x^{2} + 20 x + 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - x + 1 | + 3$ = $7$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - x + 1 \| + 3$	=	$7$	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| - x + 1 \|$	=	$4$	\|⋅ $2$
$\| - x + 1 \|$	=	$8$

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

$- x + 1$	=	$8$	\| $- 1$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ ≥ 0) genügt:

$- (- 7) + 1$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 1$ < 0:

$- (- x + 1)$	=	$8$
$x - 1$	=	$8$	\| $+ 1$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 1$ < 0) genügt:

$- 9 + 1$ = -8 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 4 t x + 4 t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 4 t x + 4 t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 4 t x + 4 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 4 t x + 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 4 t x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} - 16 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} - 16 t$	=	0
$16 t \cdot (t - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 1$	=	0	\| $+ 1$
t₂	=	$1$

Da bei $16 t^{2} - 16 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} - 16 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $1$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +1 ≥ 0:

2. Fall: -x +1 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 1$ < 0: