Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 10$ und $g(x) =$ $- \frac{24}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 10$	=	$- \frac{24}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 10 \cdot x$	=	$- \frac{24}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 10 x$	=	$- 24$
$x^{2} - 10 x$	=	$- 24$

x^{2} - 10 x

=

- 24

|

+ 24

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $6$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $4$ : f( $4$ )= $- \frac{24}{4}$ = -6 Somit gilt: S₁( $4$ |-6)

x₂ = $6$ : f( $6$ )= $- \frac{24}{6}$ = -4 Somit gilt: S₂( $6$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $42 x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $42 x - 6$ gilt m = $42$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

42

|

- 42

e^{4 x} - e^{2 x} - 42

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 42$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $42$ und sind somit parallel zur Geraden y = $42 x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(4 e^{3 x} - 2) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(4 e^{3 x} - 2) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 e^{3 x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$4 e^{3 x}$	=	$2$	\|: $4$
$e^{3 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.231

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{2 x + 5} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{5}{2}$ }

\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} - 6$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{2 x - 1}{2 x + 5} \cdot (x + 1) - 6 \cdot (x + 1)$	=
$2 x - 1 + \frac{(2 x - 1) (x + 1)}{2 x + 5} - 6 x - 6$	=
$2 x - 1 + \frac{2 x^{2} + x - 1}{2 x + 5} - 6 x - 6$	=
$\frac{2 x^{2} + x - 1}{2 x + 5} + 2 x - 6 x - 1 - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} + x - 1}{2 x + 5} + 2 x - 6 x - 1 - 6$	=	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{2 x^{2} + x - 1}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + 2 x \cdot (2 x + 5) - 6 x \cdot (2 x + 5) - 1 \cdot (2 x + 5) - 6 \cdot (2 x + 5)$	=
$2 x^{2} + x - 1 + 2 x (2 x + 5) - 6 x (2 x + 5) - 2 x - 5 - 12 x - 30$	=
$2 x^{2} + x - 1 + (4 x^{2} + 10 x) + (- 12 x^{2} - 30 x) - 2 x - 5 - 12 x - 30$	=
$- 6 x^{2} - 33 x - 36$	=

- 6 x^{2} - 33 x - 36

= 0 |:3

$- 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11+5}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11-5}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 8 \cdot (- 2) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} - x - 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 6 x$	$- 12$
		-( $- 6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} - x - 6) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} - x - 6) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1+7}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{1-7}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x - 12$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 9 | - 5$ = $10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \| - 5$	=	$10$
$- 5 - \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$10$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$15$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$- 45$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Betragsgleichungen

Polynomdivision mit $2$