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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x + 4$ und $g(x) =$ $\frac{12}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 4 x$	=	$12$
$x^{2} + 4 x$	=	$12$

x^{2} + 4 x

=

12

|

- 12

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 6$ : f( $- 6$ )= $\frac{12}{(- 6)}$ = -2 Somit gilt: S₁( $- 6$ |-2)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $\frac{12}{2}$ = 6 Somit gilt: S₂( $2$ |6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $12 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $12 x$ gilt m = $12$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - e^{2 x}

=

12

|

- 12

e^{4 x} - e^{2 x} - 12

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $12$ und sind somit parallel zur Geraden y = $12 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 36$ = $- x^{4}$

Lösung einblenden

- 5 x^{2} - 36

=

- x^{4}

|

+ x^{4}

x^{4} - 5 x^{2} - 36

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 4$

x^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{- 2 x}{2 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

$\frac{x + 2}{2 x + 6} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - \frac{2 x}{2 x + 6}$	=	0
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - \frac{2 x}{2 (x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{2 x + 2}{x + 2} - \frac{2 x}{2 (x + 3)}$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{2 x + 2}{x + 2} \cdot (2 (x + 3)) - \frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3))$	=
$x + 2 + 2 \frac{(2 x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 2} - 2 x$	=
$x + 2 + \frac{2 (2 x^{2} + 8 x + 6)}{x + 2} - 2 x$	=
$\frac{2 (2 x^{2} + 8 x + 6)}{x + 2} + x - 2 x + 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} + 8 x + 6)}{x + 2} + x - 2 x + 2$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{2 (2 x^{2} + 8 x + 6)}{x + 2} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2) - 2 x \cdot (x + 2) + 2 \cdot (x + 2)$	=
$4 x^{2} + 16 x + 12 + x \cdot (x + 2) - 2 x \cdot (x + 2) + 2 x + 4$	=
$4 x^{2} + 16 x + 12 + (x^{2} + 2 x) + (- 2 x^{2} - 4 x) + 2 x + 4$	=
$3 x^{2} + 16 x + 16$	=

$3 x^{2} + 16 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 16+8}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$ ≈ -1.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 16-8}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x + 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{4}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 17 x^{3} + 93 x^{2} + 175 x + 98$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 17 x^{3} + 93 x^{2} + 175 x + 98$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $98$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 17 \cdot {(- 1)}^{3} + 93 \cdot {(- 1)}^{2} + 175 \cdot (- 1) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 17 x^{3}$	$+ 93 x^{2}$	$+ 175 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 16 x^{2} + 77 x + 98$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$16 x^{3}$	$+ 93 x^{2}$
	-( $16 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
		$77 x^{2}$	$+ 175 x$
		-( $77 x^{2}$	$+ 77 x$ )
			$98 x$	$+ 98$
			-( $98 x$	$+ 98$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 17 x^{3} + 93 x^{2} + 175 x + 98$ = $(x^{3} + 16 x^{2} + 77 x + 98) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 16 x^{2} + 77 x + 98) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 16 x^{2} + 77 x + 98$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $98$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 16 \cdot {(- 2)}^{2} + 77 \cdot (- 2) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 16 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 14 x + 49$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$49 x$	$+ 98$
		-( $49 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 16 x^{2} + 77 x + 98$ = $(x^{2} + 14 x + 49) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 14 x + 49) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 7$ ± 0 = $- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 16 \cdot {(- 7)}^{2} + 77 \cdot (- 7) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 16 x^{2}$	$+ 77 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 77 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 63 x$ )
		$14 x$	$+ 98$
		-( $14 x$	$+ 98$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 16 x^{2} + 77 x + 98$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 17 \cdot {(- 2)}^{3} + 93 \cdot {(- 2)}^{2} + 175 \cdot (- 2) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 17 x^{3}$	$+ 93 x^{2}$	$+ 175 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 15 x^{2} + 63 x + 49$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$15 x^{3}$	$+ 93 x^{2}$
	-( $15 x^{3}$	$+ 30 x^{2}$ )
		$63 x^{2}$	$+ 175 x$
		-( $63 x^{2}$	$+ 126 x$ )
			$49 x$	$+ 98$
			-( $49 x$	$+ 98$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 17 x^{3} + 93 x^{2} + 175 x + 98$ = $(x^{3} + 15 x^{2} + 63 x + 49) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 15 x^{2} + 63 x + 49) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 15 x^{2} + 63 x + 49$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $49$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 15 \cdot {(- 1)}^{2} + 63 \cdot (- 1) + 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 63 x$	$+ 49$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 14 x + 49$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 63 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$49 x$	$+ 49$
		-( $49 x$	$+ 49$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 63 x + 49$ = $(x^{2} + 14 x + 49) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 14 x + 49) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 7$ ± 0 = $- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 15 \cdot {(- 7)}^{2} + 63 \cdot (- 7) + 49$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 15 x^{2}$	$+ 63 x$	$+ 49$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 63 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 56 x$ )
		$7 x$	$+ 49$
		-( $7 x$	$+ 49$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 15 x^{2} + 63 x + 49$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{4} + 17 \cdot {(- 7)}^{3} + 93 \cdot {(- 7)}^{2} + 175 \cdot (- 7) + 98$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 17 x^{3}$	$+ 93 x^{2}$	$+ 175 x$	$+ 98$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$
-( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$+ 93 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$+ 70 x^{2}$ )
		$23 x^{2}$	$+ 175 x$
		-( $23 x^{2}$	$+ 161 x$ )
			$14 x$	$+ 98$
			-( $14 x$	$+ 98$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 17 x^{3} + 93 x^{2} + 175 x + 98$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14) \cdot (x + 7)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 10 \cdot {(- 1)}^{2} + 23 \cdot (- 1) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 14$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $9 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$14 x$	$+ 14$
		-( $14 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = $(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 9 x + 14) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9+5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 9-5}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 10 \cdot {(- 2)}^{2} + 23 \cdot (- 2) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$7 x$	$+ 14$
		-( $7 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 10 \cdot {(- 7)}^{2} + 23 \cdot (- 7) + 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 21 x$ )
		$2 x$	$+ 14$
		-( $2 x$	$+ 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 23 x + 14$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₄	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 2$ ; $- 1$ }

$- 7$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 2 x + 8 | - 6$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \| - 6$	=	$- 12$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| 2 x + 8 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$18$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$18$	\| $- 8$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 5 + 8$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$18$
$- 2 x - 8$	=	$18$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$26$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 13) + 8$ = -18 < 0

Die Lösung $- 13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 13$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x + 3 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 4 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} - 4 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 4 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 4 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 12 t$	=	$- 20$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{3}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $16 + (- 12 \cdot 3 + 4)$ = -16 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{5}{3}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{3}$ größer 0

Für t > $\frac{5}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: