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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} - 30$ und $g(x) =$ $- e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} - 30

=

- e^{x}

|

+ e^{x}

e^{2 x} + e^{x} - 30

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- e^{\ln (5)}$ = -5 Somit gilt: S₁( $\ln (5)$ |-5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 4 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4 x + 7$ gilt m = $- 4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{5}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 5 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 5 x^{2}

=

- 4

|

+ 4

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 2 x} - 6) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 2 x} - 6) \cdot (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 2 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$e^{- 2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (6)$	≈ -0.8959

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{2} \ln (6)$ ; 0; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x + 1} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{- 8 x - 1}{x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{1}{3}$ }

\frac{- 8 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{3 x + 1}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 8 x - 1}{x} + \frac{7 x - 1}{2 x} + \frac{6 x}{3 x + 1}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 8 x - 1}{x} \cdot 2 x + \frac{7 x - 1}{2 x} \cdot 2 x + \frac{6 x}{3 x + 1} \cdot 2 x$	=
$- 16 x - 2 + 7 x - 1 + 2 \frac{6 x \cdot x}{3 x + 1}$	=
$- 16 x - 2 + 7 x - 1 + \frac{12 x^{2}}{3 x + 1}$	=
$\frac{12 x^{2}}{3 x + 1} - 16 x + 7 x - 2 - 1$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{12 x^{2}}{3 x + 1} - 16 x + 7 x - 2 - 1$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{12 x^{2}}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - 16 x \cdot (3 x + 1) + 7 x \cdot (3 x + 1) - 2 \cdot (3 x + 1) - 1 \cdot (3 x + 1)$	=
$12 x^{2} - 16 x \cdot (3 x + 1) + 7 x \cdot (3 x + 1) - 6 x - 2 - 3 x - 1$	=
$12 x^{2} + (- 48 x^{2} - 16 x) + (21 x^{2} + 7 x) - 6 x - 2 - 3 x - 1$	=
$- 15 x^{2} - 18 x - 3$	=

- 15 x^{2} - 18 x - 3

= 0 |:3

$- 5 x^{2} - 6 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 10}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{6+4}{- 10}$ = $\frac{10}{- 10}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 10}$ = $\frac{6-4}{- 10}$ = $\frac{2}{- 10}$ = $- 0,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 6 x - 1$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 20 \cdot {(- 2)}^{2} + 43 \cdot (- 2) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 43 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 43 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$15 x$	$+ 30$
		-( $15 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 20 \cdot {(- 3)}^{2} + 43 \cdot (- 3) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 43 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 43 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 33 x$ )
		$10 x$	$+ 30$
		-( $10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 3 x - 12 | + 3$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \| 3 x - 12 \| + 3$	=	$- 6$	\| $- 3$
$- \| 3 x - 12 \|$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$\| 3 x - 12 \|$	=	$9$

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

$3 x - 12$	=	$9$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$21$	\|: $3$
x₁	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 7 - 12$ = 9 ≥ 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 12$ < 0:

$- (3 x - 12)$	=	$9$
$- 3 x + 12$	=	$9$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 12$ < 0) genügt:

$3 \cdot 1 - 12$ = -9 < 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 3 t x - 4 t) \cdot e^{t x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 3 t x - 4 t) \cdot e^{t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 3 t x - 4 t$ = 0 oder $e^{t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 3 t x - 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 3 t x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{{(- 3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} + 16 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} + 16 t$	=	0
$t \cdot (9 t + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$9 t$	=	$- 16$	\|: $9$
t₂	=	$- \frac{16}{9}$

Da bei $9 t^{2} + 16 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $9 t^{2} + 16 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- \frac{16}{9}$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -12 ≥ 0:

2. Fall: 3x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 12$ < 0: