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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{12}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{7}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{12}{x^{2}}$	=	$\frac{7}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{7}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 12$	=	$7 x$

x^{2} + 12

=

7 x

|

- 7 x

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $3$ : f( $3$ )= $\frac{7}{3}$ = 2.333 Somit gilt: S₁( $3$ |2.333)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{7}{4}$ = 1.75 Somit gilt: S₂( $4$ |1.75)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{4}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $32 x$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $32 x$ gilt m = $32$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{4}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + 4 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + 4 x^{2}

=

32

|

- 32

x^{4} + 4 x^{2} - 32

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 8$

x^{2}

=

- 8

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $32$ und sind somit parallel zur Geraden y = $32 x$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - 3 e^{4 x}$ = $18 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} - 3 e^{4 x}$	=	$18 e^{2 x}$	\| $- 18 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 3 e^{4 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 18) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 3$

e^{2 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 4}{x} + \frac{3 x}{3 x + 9} - 8$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; 0}

$\frac{3 x}{3 x + 9} + \frac{3 x - 4}{x} - 8$	=	0
$\frac{3 x}{3 (x + 3)} + \frac{3 x - 4}{x} - 8$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{3 (x + 3)} + \frac{3 x - 4}{x} - 8$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{3 x}{3 (x + 3)} \cdot (x + 3) + \frac{3 x - 4}{x} \cdot (x + 3) - 8 \cdot (x + 3)$	=
$x + \frac{(3 x - 4) (x + 3)}{x} - 8 x - 24$	=
$x + \frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} - 8 x - 24$	=
$\frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} + x - 8 x - 24$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} + x - 8 x - 24$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} + 5 x - 12}{x} \cdot x + x \cdot x - 8 x \cdot x - 24 \cdot x$	=
$3 x^{2} + 5 x - 12 + x \cdot x - 8 x \cdot x - 24 x$	=
$3 x^{2} + 5 x - 12 + x^{2} - 8 x^{2} - 24 x$	=
$- 4 x^{2} - 19 x - 12$	=

$- 4 x^{2} - 19 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{19+13}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{19-13}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 19 x - 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,75$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 1$ )	=	$2 x^{2} - 5 x - 12$
-( $2 x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 12 x$	$+ 12$
		-( $- 12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} - 5 x - 12) \cdot (x - 1)$

(2 x^{2} - 5 x - 12) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5+11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{5-11}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4^{2} - 7 \cdot 4 + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$- 7 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 12$ )	:	(x $- 4$ )	=	$2 x^{2} + x - 3$
-( $2 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 7 x$
	-( $x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 3 x$	$+ 12$
		-( $- 3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ = $(2 x^{2} + x - 3) \cdot (x - 4)$

(2 x^{2} + x - 3) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1+5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 1-5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

L={ $- 1,5$ ; $1$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 9 | - 9$ = $- 24$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 9 \| - 9$	=	$- 24$	\| $+ 9$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 9 \|$	=	$- 15$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 9 \|$	=	$30$

1. Fall: $- 3 x + 9$ ≥ 0:

$- 3 x + 9$	=	$30$	\| $- 9$
$- 3 x$	=	$21$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 7) + 9$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 9$ < 0:

$- (- 3 x + 9)$	=	$30$
$3 x - 9$	=	$30$	\| $+ 9$
$3 x$	=	$39$	\|: $3$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 13 + 9$ = -30 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $13$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x - 4 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x - 4 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$16 t$	=	$- 29$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{29}{16}$

Für t = $- \frac{29}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +9 ≥ 0:

2. Fall: -3x +9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

1. Fall: $- 3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 9$ < 0: