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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 4$ und $g(x) =$ $5 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} + 4

=

5 x^{2}

|

- 5 x^{2}

x^{4} - 5 x^{2} + 4

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $1$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 20 Somit gilt: S₁( $- 2$ |20)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $5 \cdot {(- 1)}^{2}$ = 5 Somit gilt: S₂( $- 1$ |5)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $5 \cdot 1^{2}$ = 5 Somit gilt: S₃( $1$ |5)

x₄ = $2$ : f( $2$ )= $5 \cdot 2^{2}$ = 20 Somit gilt: S₄( $2$ |20)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 7 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 49 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 49 x + 6$ gilt m = $- 49$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 7 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 14 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 14 e^{2 x}

=

- 49

|

+ 49

e^{4 x} - 14 e^{2 x} + 49

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 14 u + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

$\frac{1}{2} \ln (7)$ ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 49$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 49 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} - e^{5 x}$ = $2 e^{2 x}$

Lösung einblenden

$e^{8 x} - e^{5 x}$	=	$2 e^{2 x}$	\| $- 2 e^{2 x}$
$e^{8 x} - e^{5 x} - 2 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - e^{3 x} - 2) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - e^{3 x} - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 2}{x} + \frac{6 x}{3 x + 2} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ ; 0}

\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{x - 2}{x} - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{3 x + 2} + \frac{x - 2}{x} - 5$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{6 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) + \frac{x - 2}{x} \cdot (3 x + 2) - 5 \cdot (3 x + 2)$	=
$6 x + \frac{(x - 2) (3 x + 2)}{x} - 15 x - 10$	=
$6 x + \frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{x} - 15 x - 10$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{x} + 6 x - 15 x - 10$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{x} + 6 x - 15 x - 10$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{x} \cdot x + 6 x \cdot x - 15 x \cdot x - 10 \cdot x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 4 + 6 x \cdot x - 15 x \cdot x - 10 x$	=
$3 x^{2} - 4 x - 4 + 6 x^{2} - 15 x^{2} - 10 x$	=
$- 6 x^{2} - 14 x - 4$	=

- 6 x^{2} - 14 x - 4

= 0 |:2

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7+5}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7-5}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $6$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 6$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$+ 3 x$	$+ 6$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 3$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$+ 3 x$
	-(0	0)
		$3 x$	$+ 6$
		-( $3 x$	$+ 6$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$ = $(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 + 3) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} + 3) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x + 15 | + 2$ = $11$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \| + 2$	=	$11$	\| $- 2$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x + 15 \|$	=	$9$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 t x + t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 t x + t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 t x + t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 t x + t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 4 t$	=	0
$t (25 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$25 t$	=	$4$	\|: $25$
t₂	=	$\frac{4}{25}$ = 0.16

Da bei $25 t^{2} - 4 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} - 4 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $0$ < t < $\frac{4}{25}$ , also für t > $0$ und t < $\frac{4}{25}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter