Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 16 x^{2}$ und $g(x) =$ $8 x^{3}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 16 x^{2}$	=	$8 x^{3}$	\| $- 8 x^{3}$
$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

L={0; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung! $4$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $8 \cdot 0^{3}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $8 \cdot 4^{3}$ = 512 Somit gilt: S₂( $4$ |512)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 3 x + 2$ gilt m = $- 3$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 2 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 4 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 4 e^{2 x}

=

- 3

|

+ 3

e^{4 x} - 4 e^{2 x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $1$

$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0	≈ 0

L={0; $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 3$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{- 3 x} + 5) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{- 3 x} + 5) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{- 3 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- e^{- 3 x}$	=	$- 5$	\|: $- 1$
$e^{- 3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- 3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 3$
x₁	=	$- \frac{1}{3} \ln (5)$	≈ -0.5365

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3} \ln (5)$ ; 0; $4$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{3 x - 9} + \frac{x - 2}{3 x - 10} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{10}{3}$ ; $3$ }

$\frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x + 1}{3 x - 9} - 4$	=	0
$\frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 10$ weg!

$\frac{x - 2}{3 x - 10} + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} - 4$	=	\|⋅( $3 x - 10$ )
$\frac{x - 2}{3 x - 10} \cdot (3 x - 10) + \frac{2 x + 1}{3 (x - 3)} \cdot (3 x - 10) - 4 \cdot (3 x - 10)$	=
$x - 2 + \frac{(2 x + 1) (3 x - 10)}{3 (x - 3)} - 12 x + 40$	=
$x - 2 + \frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} - 12 x + 40$	=
$\frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} + x - 12 x - 2 + 40$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} + x - 12 x - 2 + 40$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{6 x^{2} - 17 x - 10}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + x \cdot (3 (x - 3)) - 12 x \cdot (3 (x - 3)) - 2 \cdot (3 (x - 3)) + 40 \cdot (3 (x - 3))$	=
$6 x^{2} - 17 x - 10 + 3 x (x - 3) - 36 x (x - 3) - 6 x + 18 + 120 x - 360$	=
$6 x^{2} - 17 x - 10 + (3 x^{2} - 9 x) + (- 36 x^{2} + 108 x) - 6 x + 18 + 120 x - 360$	=
$- 27 x^{2} + 196 x - 352$	=

$- 27 x^{2} + 196 x - 352$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 196 \pm \sqrt{196^{2} - 4 \cdot (- 27) \cdot (- 352)}}{2 \cdot (- 27)}$

x_1,2 = $\frac{- 196 \pm \sqrt{38 416 - 38 016}}{- 54}$

x_1,2 = $\frac{- 196 \pm \sqrt{400}}{- 54}$

x₁ = $\frac{- 196 + \sqrt{400}}{- 54}$ = $\frac{- 196+20}{- 54}$ = $\frac{- 176}{- 54}$ = $\frac{88}{27}$ ≈ 3.26

x₂ = $\frac{- 196 - \sqrt{400}}{- 54}$ = $\frac{- 196-20}{- 54}$ = $\frac{- 216}{- 54}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 27$ " teilen:

$- 27 x^{2} + 196 x - 352$ = 0 |: $- 27$

$x^{2} - \frac{196}{27} x + \frac{352}{27}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{98}{27})}^{2} - (\frac{352}{27})$ = $\frac{9604}{729}$ $-$ $\frac{352}{27}$ = $\frac{9604}{729}$ $-$ $\frac{9504}{729}$ = $\frac{100}{729}$

x_1,2 = $\frac{98}{27}$ ± $\sqrt{\frac{100}{729}}$

x₁ = $\frac{98}{27}$ - $\frac{10}{27}$ = $\frac{88}{27}$ = 3.2592592592593

x₂ = $\frac{98}{27}$ + $\frac{10}{27}$ = $\frac{108}{27}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{88}{27}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2^{2} - 13 \cdot 2 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$- 13 x$
	-( $14 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$15 x$	$- 30$
		-( $15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 8 \cdot {(- 3)}^{2} - 13 \cdot (- 3) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- 13 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 13 x$
	-( $- x^{2}$	$- 3 x$ )
		$- 10 x$	$- 30$
		-( $- 10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 8 x^{2} - 13 x - 30$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} - x - 10) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | 2 x - 8 | - 7$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \| 2 x - 8 \| - 7$	=	$- 15$	\| $+ 7$
$- \| 2 x - 8 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| 2 x - 8 \|$	=	$8$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

$2 x - 8$	=	$8$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 8 - 8$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x - 8$ < 0:

$- (2 x - 8)$	=	$8$
$- 2 x + 8$	=	$8$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
x₂	=	0

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x - 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (0) - 8$ = -8 < 0

Die Lösung 0 genügt also der obigen Bedingung.

L={0; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 5 t x + 5 t) \cdot e^{- x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 5 t x + 5 t) \cdot e^{- x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 5 t x + 5 t$ = 0 oder $e^{- x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 5 t x + 5 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 5 t x + 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{{(5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 20 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 20 t$	=	0
$5 t (5 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$5 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$5 t$	=	$4$	\|: $5$
t₂	=	$\frac{4}{5}$ = 0.8

Da bei $25 t^{2} - 20 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $25 t^{2} - 20 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $\frac{4}{5}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x -8 ≥ 0:

2. Fall: 2x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x - 8$ < 0: