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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x - 1$ und $g(x) =$ $\frac{12}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$12$
$x^{2} - x$	=	$12$

x^{2} - x

=

12

|

- 12

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $\frac{12}{(- 3)}$ = -4 Somit gilt: S₁( $- 3$ |-4)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{12}{4}$ = 3 Somit gilt: S₂( $4$ |3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 8 x + 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 8 x + 7$ gilt m = $- 8$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} - \frac{9}{4} x^{4}$

f'(x)= $x^{6} - 9 x^{3}$

Also muss gelten:

x^{6} - 9 x^{3}

=

- 8

|

+ 8

x^{6} - 9 x^{3} + 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 9 u + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9+7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{9-7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={ $1$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 8$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 8 x + 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{3 x} - 15$ = $- e^{6 x}$

Lösung einblenden

- 2 e^{3 x} - 15

=

- e^{6 x}

|

+ e^{6 x}

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 3$

e^{3 x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x - 1} + \frac{x + 1}{3 x + 7} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{7}{3}$ ; $1$ }

\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{3 x + 1}{x - 1} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x + 7} + \frac{3 x + 1}{x - 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{x + 1}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) + \frac{3 x + 1}{x - 1} \cdot (3 x + 7) - 3 \cdot (3 x + 7)$	=
$x + 1 + \frac{(3 x + 1) (3 x + 7)}{x - 1} - 9 x - 21$	=
$x + 1 + \frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x - 1} - 9 x - 21$	=
$\frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x - 1} + x - 9 x + 1 - 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x - 1} + x - 9 x + 1 - 21$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} + 24 x + 7}{x - 1} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) - 9 x \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1) - 21 \cdot (x - 1)$	=
$9 x^{2} + 24 x + 7 + x (x - 1) - 9 x (x - 1) + x - 1 - 21 x + 21$	=
$9 x^{2} + 24 x + 7 + (x^{2} - x) + (- 9 x^{2} + 9 x) + x - 1 - 21 x + 21$	=
$x^{2} + 12 x + 27$	=

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 6$ - $3$ = -9

x₂ = $- 6$ + $3$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $63$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 65 \cdot 1 + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 65 x$	$+ 63$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 63$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 63 x$	$+ 63$
		-( $- 63 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = $(x^{2} + 2 x - 63) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 63) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2+16}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{- 2-16}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $- 1$ - $8$ = -9

x₂ = $- 1$ + $8$ = 7

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} + 7^{2} - 65 \cdot 7 + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 65 x$	$+ 63$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 8 x - 9$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 56 x$ )
		$- 9 x$	$+ 63$
		-( $- 9 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = $(x^{2} + 8 x - 9) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 8 x - 9) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

Polynomdivision mit $- 9$

$- 9$ ist eine Lösung, denn ${(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{2} - 65 \cdot (- 9) + 63$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 65 x$	$+ 63$ )	:	(x $+ 9$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 65 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$7 x$	$+ 63$
		-( $7 x$	$+ 63$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 65 x + 63$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 9)$

(x^{2} - 8 x + 7) (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 3 x + 9 | + 2$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 3 x + 9 \| + 2$	=	$8$	\| $- 2$
$\frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$18$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$18$	\| $- 9$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
x₁	=	$3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 3 + 9$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$18$
$- 3 x - 9$	=	$18$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$27$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 9) + 9$ = -18 < 0

Die Lösung $- 9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 9$ ; $3$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x - 4 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x - 4 t)$ = 0

$x^{2} + x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$16 t$	=	$- 5$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{5}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{16}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + (16 \cdot 1 + 4)$ = 21 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 16 t + 4$ für t > $- \frac{5}{16}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{16}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{5}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $7$

Polynomdivision mit $- 9$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: