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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{5 x} - 28 e^{x}$ und $g(x) =$ $3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{5 x} - 28 e^{x}$	=	$3 e^{3 x}$	\| $- 3 e^{3 x}$
$e^{5 x} - 3 e^{3 x} - 28 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $3 e^{3 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 55.561 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |55.561)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{6 x} - 3) \cdot (x^{3} - 16 x)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{6 x} - 3) (x^{3} - 16 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{6 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 e^{6 x}$	=	$3$	\|: $3$
$e^{6 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

$x^{3} - 16 x$	=	0
$x (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $4$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{x - 1} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{3 x + 1} + \frac{8 x}{x - 1} - 6$	=	\|⋅( $3 x + 1$ )
$\frac{4 x}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) + \frac{8 x}{x - 1} \cdot (3 x + 1) - 6 \cdot (3 x + 1)$	=
$4 x + \frac{8 x (3 x + 1)}{x - 1} - 18 x - 6$	=
$4 x + \frac{24 x^{2} + 8 x}{x - 1} - 18 x - 6$	=
$\frac{24 x^{2} + 8 x}{x - 1} + 4 x - 18 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{24 x^{2} + 8 x}{x - 1} + 4 x - 18 x - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{24 x^{2} + 8 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 18 x \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$24 x^{2} + 8 x + 4 x (x - 1) - 18 x (x - 1) - 6 x + 6$	=
$24 x^{2} + 8 x + (4 x^{2} - 4 x) + (- 18 x^{2} + 18 x) - 6 x + 6$	=
$10 x^{2} + 16 x + 6$	=

10 x^{2} + 16 x + 6

= 0 |:2

$5 x^{2} + 8 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{- 8+2}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{- 8-2}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 8 x + 3$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{8}{5} x + \frac{3}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{5})}^{2} - (\frac{3}{5})$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{3}{5}$ = $\frac{16}{25}$ $-$ $\frac{15}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $- \frac{4}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $- \frac{4}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{4}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ = -0.6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,6$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{3} - 16 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 4 x^{3} - 16 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 4 \cdot {(- 2)}^{3} - 16 \cdot (- 2) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$		$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$2 x^{3}$		0
	-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$- 16 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 8 x$ )
			$- 8 x$	$- 16$
			-( $- 8 x$	$- 16$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 16 x - 16$ = $(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 2 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 8$
		-( $- 4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$	$- 4 x$	$- 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 8 x$ )
		$4 x$	$- 8$
		-( $4 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} + 4 \cdot 2^{3} - 16 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$		$- 16 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$6 x^{3}$		0
	-( $6 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
		$12 x^{2}$	$- 16 x$
		-( $12 x^{2}$	$- 24 x$ )
			$8 x$	$- 16$
			-( $8 x$	$- 16$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 16 x - 16$ = $(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot (- 2) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$+ 12 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 12 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$4 x$	$+ 8$
		-( $4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

$- 2$ ist 3-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 4 x - 4 | + 2$ = $18$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 4 x - 4 \| + 2$	=	$18$	\| $- 2$
$\frac{1}{2} \| 4 x - 4 \|$	=	$16$	\|⋅ $2$
$\| 4 x - 4 \|$	=	$32$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

$4 x - 4$	=	$32$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$36$	\|: $4$
x₁	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 9 - 4$ = 32 ≥ 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x - 4$ < 0:

$- (4 x - 4)$	=	$32$
$- 4 x + 4$	=	$32$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$28$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x - 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 7) - 4$ = -32 < 0

Die Lösung $- 7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 7$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 2 x + 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 2 x + 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 2 x + 2 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 2 x + 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 2 x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 - 8 t$ = 0 wird.

$4 - 8 t$	=	0
$- 8 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 8 t$	=	$- 4$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{2}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $4 - 8 \cdot 2$ = -12 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 - 8 t$ für t > $\frac{1}{2}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{2}$ größer 0

Für t < $\frac{1}{2}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x -4 ≥ 0:

2. Fall: 4x -4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $4 x - 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x - 4$ < 0: