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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 24$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{4} - 24

=

- 2 x^{2}

|

+ 2 x^{2}

x^{4} + 2 x^{2} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 6$

x^{2}

=

- 6

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $- 2 \cdot {(- 2)}^{2}$ = -8 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-8)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $- 2 \cdot 2^{2}$ = -8 Somit gilt: S₂( $2$ |-8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x + 5 + 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 5$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x + 5 + 2 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$2 e^{- \frac{1}{2} x} - 2 + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 e^{- \frac{1}{2} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$(- x + 2) e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(6 e^{- x} - 4) \cdot (x^{4} - 9 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(6 e^{- x} - 4) (x^{4} - 9 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$6 e^{- x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$6 e^{- x}$	=	$4$	\|: $6$
$e^{- x}$	=	$\frac{2}{3}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{2}{3})$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (\frac{2}{3})$	≈ 0.4055

2. Fall:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₄	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $- \ln (\frac{2}{3})$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 10} + \frac{x}{x + 2} + \frac{- 9 x}{3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- \frac{10}{3}$ }

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 10} - \frac{9 x}{3 x + 6}$	=	0
$\frac{x}{x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 10} - \frac{9 x}{3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{x}{x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 10} - \frac{9 x}{3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{2 x}{3 x + 10} \cdot (x + 2) - \frac{9 x}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$x + \frac{2 x (x + 2)}{3 x + 10} - 3 x$	=
$x + \frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 10} - 3 x$	=
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 10} + x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 10$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 10} + x - 3 x$	=	\|⋅( $3 x + 10$ )
$\frac{2 x^{2} + 4 x}{3 x + 10} \cdot (3 x + 10) + x \cdot (3 x + 10) - 3 x \cdot (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 4 x + x (3 x + 10) - 3 x (3 x + 10)$	=
$2 x^{2} + 4 x + (3 x^{2} + 10 x) + (- 9 x^{2} - 30 x)$	=
$- 4 x^{2} - 16 x$	=

$- 4 x^{2} - 16 x$	=	0
$- 4 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $90$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 28 \cdot 2^{2} - 2 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- x$
	-( $- 22 x^{2}$	$+ 44 x$ )
		$- 45 x$	$+ 90$
		-( $- 45 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{22}{3} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{3})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $15$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{256}{9}$

x_1,2 = $\frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{256}{9}}$

x₁ = $\frac{11}{3}$ - $\frac{16}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{11}{3}$ + $\frac{16}{3}$ = $\frac{27}{3}$ = 9

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 28 \cdot 9^{2} - 9 + 90$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 28 x^{2}$	$- x$	$+ 90$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- x$
	-( $- x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 10 x$	$+ 90$
		-( $- 10 x$	$+ 90$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 28 x^{2} - x + 90$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} - x - 10) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - 4 x + 20 | + 6$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 20 \| + 6$	=	$- 14$	\| $- 6$
$- \frac{1}{3} \| - 4 x + 20 \|$	=	$- 20$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - 4 x + 20 \|$	=	$60$

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

$- 4 x + 20$	=	$60$	\| $- 20$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 10) + 20$ = 60 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0:

$- (- 4 x + 20)$	=	$60$
$4 x - 20$	=	$60$	\| $+ 20$
$4 x$	=	$80$	\|: $4$
x₂	=	$20$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 20 + 20$ = -60 < 0

Die Lösung $20$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $20$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 4 x - 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 4 x - 4 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 4 x - 4 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 4 x - 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 4 x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 16 t$ = 0 wird.

$16 + 16 t$	=	0
$16 t + 16$	=	0	\| $- 16$
$16 t$	=	$- 16$	\|: $16$
$t$	=	$- 1$

Da rechts der Nullstelle t= $- 1$ beispielsweise für t = 0 der Radikand $16 + 16 \cdot 0$ = 16 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + 16 t$ für t > $- 1$ größer 0 und für t < $- 1$ kleiner 0

Für t < $- 1$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +20 ≥ 0:

2. Fall: -4x +20 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 4 x + 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 20$ < 0: