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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 35 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $2 e^{4 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 35 e^{2 x}$	=	$2 e^{4 x}$	\| $- 2 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 2 e^{4 x} - 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 35) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $2 e^{4 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 98 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |98)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x + 5 + x \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x + 5 + x \cdot e^{- x}$

f'(x)= $e^{- x} + 2 - x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$e^{- x} + 2 - x \cdot e^{- x}$	=	$2$	\| $- 2$
$e^{- x} + 2 - 2 - x \cdot e^{- x}$	=	0
$e^{- x} - x \cdot e^{- x}$	=	0
$(- x + 1) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$1$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 6 e^{3 x} - 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 6 e^{x} - 7) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 6 e^{x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{5}{2}$ }

\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{(2 x - 2) \cdot (x - 2)}{2 x - 5} - 6 x + 12$	=
$2 x + \frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} - 6 x + 12$	=
$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} + 2 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} + 2 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + 2 x \cdot (2 x - 5) - 6 x \cdot (2 x - 5) + 12 \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + 2 x \cdot (2 x - 5) - 6 x \cdot (2 x - 5) + 24 x - 60$	=
$2 x^{2} - 6 x + 4 + (4 x^{2} - 10 x) + (- 12 x^{2} + 30 x) + 24 x - 60$	=
$- 6 x^{2} + 38 x - 56$	=

- 6 x^{2} + 38 x - 56

= 0 |:2

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 28)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19+5}{- 6}$ = $\frac{- 14}{- 6}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 19-5}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x - 28$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x + \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (\frac{28}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = 2.3333333333333

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 2$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 2 x$	$- 2$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 2$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 2 x$
	-(0	0)
		$2 x$	$- 2$
		-( $2 x$	$- 2$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 2 x - 2$ = $(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 2) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 2) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2$	=	0	\| $- 2$
$x^{2}$	=	$- 2$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 4 x + 4 | + 9$ = $- 15$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \| + 9$	=	$- 15$	\| $- 9$
$- \frac{1}{2} \| - 4 x + 4 \|$	=	$- 24$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$48$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$44$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 11) + 4$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$48$
$4 x - 4$	=	$48$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$52$	\|: $4$
x₂	=	$13$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 13 + 4$ = -48 < 0

Die Lösung $13$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $13$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 5 t x + t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 5 t x + t) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 5 t x + t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 5 t x + t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 5 t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{{(- 5 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 t \pm \sqrt{25 t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$25 t^{2} - 4 t$	=	0
$t \cdot (25 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$25 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$25 t$	=	$4$	\|: $25$
t₂	=	$\frac{4}{25}$ = 0.16

Für t = $0$ oder für t = $\frac{4}{25}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: