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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $- 2 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 3 e^{- 2 x} + 1

=

- 2 e^{- x}

|

+ 2 e^{- x}

2 e^{- x} - 3 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$2 e^{- x} - 3 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 2 e^{x} - 3$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 2 e^{- 0}$ = -2 Somit gilt: S₁(0|-2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 5$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 2 + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} + 2 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$e^{2 x} + 2 - 2 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 28$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{16 x}{2 x - 2} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 6$	=	0
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{2 (x - 1)} + \frac{5 x - 1}{3 x} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{16 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$8 x + \frac{(5 x - 1) \cdot (x - 1)}{3 x} - 6 x + 6$	=
$8 x + \frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} - 6 x + 6$	=
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} + 8 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} + 8 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{5 x^{2} - 6 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 8 x \cdot 3 x - 6 x \cdot 3 x + 6 \cdot 3 x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 24 x \cdot x - 18 x \cdot x + 18 x$	=
$5 x^{2} - 6 x + 1 + 24 x^{2} - 18 x^{2} + 18 x$	=
$11 x^{2} + 12 x + 1$	=

$11 x^{2} + 12 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 44}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{100}}{22}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{100}}{22}$ = $\frac{- 12+10}{22}$ = $\frac{- 2}{22}$ = $- \frac{1}{11}$ ≈ -0.09

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{100}}{22}$ = $\frac{- 12-10}{22}$ = $\frac{- 22}{22}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} + 12 x + 1$ = 0 |: $11$

$x^{2} + \frac{12}{11} x + \frac{1}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{6}{11})}^{2} - (\frac{1}{11})$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{1}{11}$ = $\frac{36}{121}$ $-$ $\frac{11}{121}$ = $\frac{25}{121}$

x_1,2 = $- \frac{6}{11}$ ± $\sqrt{\frac{25}{121}}$

x₁ = $- \frac{6}{11}$ - $\frac{5}{11}$ = $- \frac{11}{11}$ = -1

x₂ = $- \frac{6}{11}$ + $\frac{5}{11}$ = $- \frac{1}{11}$ = -0.090909090909091

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 7$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 7 \cdot 1 - 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 7 x$	$- 7$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$- 7$
		-( $7 x$	$- 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 7 x - 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| x - 1 | + 5$ = $4$

Lösung einblenden

$\| x - 1 \| + 5$	=	$4$	\| $- 5$
$\| x - 1 \|$	=	$- 1$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x + 5 t)$ genau 2 Nullstellen?

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ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x + 5 t)$ = 0

$x^{2} + x + 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x + 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + 5 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + (- 20 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + (- 20 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + (- 20 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + (- 20 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + (- 20 t + 4)$ = 0 wird.

$1 - 20 t + 4$	=	0
$- 20 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 20 t$	=	$- 5$	\|:( $- 20$ )
$t$	=	$\frac{1}{4}$ = 0.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{4}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + (- 20 \cdot 1 + 4)$ = -15 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + (- 20 t + 4)$ für t > $\frac{1}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{4}$ größer 0

Für t < $\frac{1}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter