Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{2 x} + 3$ und $g(x) =$ $10 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{2 x} + 3

=

10 e^{- 2 x}

|

- 10 e^{- 2 x}

e^{2 x} - 10 e^{- 2 x} + 3

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$e^{2 x} - 10 e^{- 2 x} + 3$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 10$	=	0

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $2$

$e^{2 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (2)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (2)$	≈ 0.3466

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (2)$ )= $10 e^{- 2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (2))}$ = 5 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (2)$ |5)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{7}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $18 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $18 x - 1$ gilt m = $18$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{7}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 7 x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} - 7 x^{2}

=

18

|

- 18

x^{4} - 7 x^{2} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 7 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 3$ ; $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $18$ und sind somit parallel zur Geraden y = $18 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} + 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x - 1} + \frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{11 x + 2}{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $\frac{1}{2}$ }

\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - \frac{11 x + 2}{2 x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{5 x + 2}{2 x} + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} - \frac{11 x + 2}{2 x}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{5 x + 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{5 x - 1}{2 x - 1} \cdot 2 x - \frac{11 x + 2}{2 x} \cdot 2 x$	=
$5 x + 2 + 2 \frac{(5 x - 1) x}{2 x - 1} - 11 x - 2$	=
$5 x + 2 + \frac{2 (5 x^{2} - x)}{2 x - 1} - 11 x - 2$	=
$\frac{2 (5 x^{2} - x)}{2 x - 1} + 5 x - 11 x + 2 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{2 (5 x^{2} - x)}{2 x - 1} + 5 x - 11 x + 2 - 2$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{2 (5 x^{2} - x)}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 5 x \cdot (2 x - 1) - 11 x \cdot (2 x - 1) + 2 \cdot (2 x - 1) - 2 \cdot (2 x - 1)$	=
$10 x^{2} - 2 x + 5 x (2 x - 1) - 11 x (2 x - 1) + 4 x - 2 - 4 x + 2$	=
$10 x^{2} - 2 x + (10 x^{2} - 5 x) + (- 22 x^{2} + 11 x) + 4 x - 2 - 4 x + 2$	=
$- 2 x^{2} + 4 x$	=

$- 2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Lösung x=0 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 9 x^{3} + 16 x^{2} - 36 x - 80$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 9 x^{3} + 16 x^{2} - 36 x - 80$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 80$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 9 \cdot {(- 2)}^{3} + 16 \cdot {(- 2)}^{2} - 36 \cdot (- 2) - 80$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 9 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$	$- 36 x$	$- 80$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$7 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$
	-( $7 x^{3}$	$+ 14 x^{2}$ )
		$2 x^{2}$	$- 36 x$
		-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
			$- 40 x$	$- 80$
			-( $- 40 x$	$- 80$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 9 x^{3} + 16 x^{2} - 36 x - 80$ = $(x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40) \cdot (x + 2)$

(x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 40$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 7 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 9 x + 20$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $9 x^{2}$	$- 18 x$ )
		$20 x$	$- 40$
		-( $20 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 9 x + 20) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 9 x + 20) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 7 \cdot {(- 4)}^{2} + 2 \cdot (- 4) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 10 x$	$- 40$
		-( $- 10 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 7 \cdot {(- 5)}^{2} + 2 \cdot (- 5) - 40$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$	$+ 2 x$	$- 40$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 2 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 10 x$ )
		$- 8 x$	$- 40$
		-( $- 8 x$	$- 40$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 7 x^{2} + 2 x - 40$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

L={ $- 5$ ; $- 4$ ; $- 2$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 1 | - 5$ = $- 4$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 1 \| - 5$	=	$- 4$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| x - 1 \|$	=	$1$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 1 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} t x}$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - t x - 2 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{{(- 1 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 t \pm \sqrt{t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$t^{2} + 8 t$	=	0
$t (t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 8$	=	0	\| $- 8$
t₂	=	$- 8$

Da bei $t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $- 8$ oder für t > $0$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 5$