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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 3 e^{4 x}$ und $g(x) =$ $28 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{6 x} - 3 e^{4 x}$	=	$28 e^{2 x}$	\| $- 28 e^{2 x}$
$e^{6 x} - 3 e^{4 x} - 28 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (7)$ )= $28 e^{2 \cdot (\frac{1}{2} \ln (7))}$ = 196 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (7)$ |196)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 1 + 2 x^{2} \cdot e^{- x}$ parallel zur Geraden y = $5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 1 + 2 x^{2} \cdot e^{- x}$

f'(x)= $- 2 x^{2} \cdot e^{- x} + 4 x \cdot e^{- x}$

Also muss gelten:

$- 2 x^{2} \cdot e^{- x} + 4 x \cdot e^{- x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{3 x} - 3 e^{2 x} + 2 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{3 x} - 3 e^{2 x} + 2 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 3 e^{x} + 2) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 3 e^{x} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $2$

$e^{x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (2)$	≈ 0.6931

u₂: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₂	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{x + 2}{x} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; 0}

\frac{3 x}{x + 1} + \frac{x + 2}{x} - 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1} + \frac{x + 2}{x} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{x + 2}{x} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$3 x + \frac{(x + 2) \cdot (x + 1)}{x} - 4 x - 4$	=
$3 x + \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} - 4 x - 4$	=
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} + 3 x - 4 x - 4$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} + 3 x - 4 x - 4$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot x$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + 3 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 x$	=
$x^{2} + 3 x + 2 + 3 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$3 x^{2} - 4 x - 15$
-( $3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 15 x$	$+ 30$
		-( $- 15 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = $(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x - 2)$

(3 x^{2} - 4 x - 15) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4+14}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{4-14}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $5$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $3$

$3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 3^{3} - 10 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 10 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 30$ )	:	(x $- 3$ )	=	$3 x^{2} - x - 10$
-( $3 x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 7 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 10 x$	$+ 30$
		-( $- 10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x + 30$ = $(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 3)$

(3 x^{2} - x - 10) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1+11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{1-11}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $2$ ; $3$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 2 x + 10 | + 1$ = $3$

Lösung einblenden

$\| - 2 x + 10 \| + 1$	=	$3$	\| $- 1$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$2$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$2$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot 4 + 10$ = 2 ≥ 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$2$
$2 x - 10$	=	$2$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 6 + 10$ = -2 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $4$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- 4 x^{2} + t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- 4 x^{2} + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$- 4 x^{2}$	=	$- 1 t$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{4} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{(\frac{1}{4} t)}$	= $- \frac{1}{2} \sqrt{t}$
x₂	=	$\sqrt{(\frac{1}{4} t)}$	= $\frac{1}{2} \sqrt{t}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 0 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $3$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: