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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 6 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 6 e^{- 2 x} + 1

=

e^{- x}

|

- e^{- x}

- e^{- x} - 6 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- e^{- x} - 6 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $e^{- (\ln (3))}$ = 0.333 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |0.333)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $1 + 3 x \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $- 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $1 + 3 x \cdot e^{x}$

f'(x)= $3 e^{x} + 3 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$3 e^{x} + 3 x \cdot e^{x}$	=	0
$3 (x + 1) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 3 x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{4} + 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3$	=	0	\| $- 3$
$x^{2}$	=	$- 3$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 2} + \frac{3 x}{2 x - 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ ; $\frac{2}{3}$ }

\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{3 x - 2} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 1} + \frac{8 x}{3 x - 2} - 6$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{3 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + \frac{8 x}{3 x - 2} \cdot (2 x - 1) - 6 \cdot (2 x - 1)$	=
$3 x + \frac{8 x (2 x - 1)}{3 x - 2} - 12 x + 6$	=
$3 x + \frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x - 2} - 12 x + 6$	=
$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x - 2} + 3 x - 12 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x - 2} + 3 x - 12 x + 6$	=	\|⋅( $3 x - 2$ )
$\frac{16 x^{2} - 8 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + 3 x \cdot (3 x - 2) - 12 x \cdot (3 x - 2) + 6 \cdot (3 x - 2)$	=
$16 x^{2} - 8 x + 3 x (3 x - 2) - 12 x (3 x - 2) + 18 x - 12$	=
$16 x^{2} - 8 x + (9 x^{2} - 6 x) + (- 36 x^{2} + 24 x) + 18 x - 12$	=
$- 11 x^{2} + 28 x - 12$	=

$- 11 x^{2} + 28 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 528}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{256}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{256}}{- 22}$ = $\frac{- 28+16}{- 22}$ = $\frac{- 12}{- 22}$ = $\frac{6}{11}$ ≈ 0.55

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{256}}{- 22}$ = $\frac{- 28-16}{- 22}$ = $\frac{- 44}{- 22}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} + 28 x - 12$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} - \frac{28}{11} x + \frac{12}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{14}{11})}^{2} - (\frac{12}{11})$ = $\frac{196}{121}$ $-$ $\frac{12}{11}$ = $\frac{196}{121}$ $-$ $\frac{132}{121}$ = $\frac{64}{121}$

x_1,2 = $\frac{14}{11}$ ± $\sqrt{\frac{64}{121}}$

x₁ = $\frac{14}{11}$ - $\frac{8}{11}$ = $\frac{6}{11}$ = 0.54545454545455

x₂ = $\frac{14}{11}$ + $\frac{8}{11}$ = $\frac{22}{11}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{6}{11}$ ; $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = 0

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Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 5 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$+ 5$
		-( $5 x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | x - 1 | - 5$ = $- 2$

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$- \| x - 1 \| - 5$	=	$- 2$	\| $+ 5$
$- \| x - 1 \|$	=	$3$	\|: $(- 1)$
$\| x - 1 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x - 2 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x - 2 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x - 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x - 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + (- 2 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 8 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 8 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 8 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 8 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 8 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 8 t + 4$	=	0
$8 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$8 t$	=	$- 29$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{29}{8}$

Für t = $- \frac{29}{8}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

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Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter