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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{7} + x^{4}$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{7} + x^{4}$	=	0
$x^{4} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

0 ist 4-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 1$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 3 + 2 x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 3 + 2 x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 + 2 x^{2} \cdot e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 + 2 x^{2} \cdot e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + 2 x^{2} \cdot e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 x^{2} \cdot e^{x} + 4 x \cdot e^{x}$	=	0
$2 (x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{7 x} + 2) \cdot (x^{4} - x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{7 x} + 2) \cdot (x^{4} - x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{7 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 7 e^{7 x}$	=	$- 2$	\|: $- 7$
$e^{7 x}$	=	$\frac{2}{7}$	\|ln(⋅)
$7 x$	=	$\ln (\frac{2}{7})$	\|: $7$
x₁	=	$\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{7})$	≈ -0.179

2. Fall:

$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={ $\frac{1}{7} \ln (\frac{2}{7})$ ; 0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{2 x + 4} + \frac{x - 3}{x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- 2$ }

$\frac{x - 3}{x} + \frac{3 x + 1}{2 x + 4} - 6$	=	0
$\frac{x - 3}{x} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{x - 3}{x} + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} - 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{x - 3}{x} \cdot x + \frac{3 x + 1}{2 (x + 2)} \cdot x - 6 \cdot x$	=
$x - 3 + \frac{(3 x + 1) x}{2 (x + 2)} - 6 x$	=
$x - 3 + \frac{3 x^{2} + x}{2 (x + 2)} - 6 x$	=
$\frac{3 x^{2} + x}{2 (x + 2)} + x - 6 x - 3$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x^{2} + x}{2 (x + 2)} + x - 6 x - 3$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x^{2} + x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + x \cdot (2 (x + 2)) - 6 x \cdot (2 (x + 2)) - 3 \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x^{2} + x + 2 x \cdot (x + 2) - 12 x \cdot (x + 2) - 6 x - 12$	=
$3 x^{2} + x + (2 x^{2} + 4 x) + (- 12 x^{2} - 24 x) - 6 x - 12$	=
$- 7 x^{2} - 25 x - 12$	=

$- 7 x^{2} - 25 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 336}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{289}}{- 14}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{289}}{- 14}$ = $\frac{25+17}{- 14}$ = $\frac{42}{- 14}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{289}}{- 14}$ = $\frac{25-17}{- 14}$ = $\frac{8}{- 14}$ = $- \frac{4}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} - 25 x - 12$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} + \frac{25}{7} x + \frac{12}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{14})}^{2} - (\frac{12}{7})$ = $\frac{625}{196}$ $-$ $\frac{12}{7}$ = $\frac{625}{196}$ $-$ $\frac{336}{196}$ = $\frac{289}{196}$

x_1,2 = $- \frac{25}{14}$ ± $\sqrt{\frac{289}{196}}$

x₁ = $- \frac{25}{14}$ - $\frac{17}{14}$ = $- \frac{42}{14}$ = -3

x₂ = $- \frac{25}{14}$ + $\frac{17}{14}$ = $- \frac{8}{14}$ = -0.57142857142857

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{4}{7}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 4$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 4 \cdot 1 - 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 4 x$	$- 4$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 4 x$
	-(0	0)
		$4 x$	$- 4$
		-( $4 x$	$- 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 4 x - 4$ = $(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 4) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 4) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4$	=	0	\| $- 4$
$x^{2}$	=	$- 4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x - 16 | - 8$ = $- 16$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x - 16 \| - 8$	=	$- 16$	\| $+ 8$
$- \| - 4 x - 16 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x - 16 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

$- 4 x - 16$	=	$8$	\| $+ 16$
$- 4 x$	=	$24$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 6) - 16$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $- 6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0:

$- (- 4 x - 16)$	=	$8$
$4 x + 16$	=	$8$	\| $- 16$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
x₂	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 16$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 2) - 16$ = -8 < 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + x + t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 - 4 t$ = 0 wird.

$1 - 4 t$	=	0
$- 4 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 4 t$	=	$- 1$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{1}{4}$ = 0.25

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{1}{4}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 - 4 \cdot 1$ = -3 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 - 4 t$ für t > $\frac{1}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{1}{4}$ größer 0

Für t < $\frac{1}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -16 ≥ 0:

2. Fall: -4x -16 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x - 16$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 16$ < 0: