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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - e^{3 x}$ und $g(x) =$ $30 e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - e^{3 x}$	=	$30 e^{2 x}$	\| $- 30 e^{2 x}$
$e^{4 x} - e^{3 x} - 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 30) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $30 e^{2 \cdot (\ln (6))}$ = 1080 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |1080)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$ parallel zur Geraden y = $15 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $15 x - 1$ gilt m = $15$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 2 e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} + 2 e^{x}

=

15

|

- 15

e^{2 x} + 2 e^{x} - 15

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $15$ und sind somit parallel zur Geraden y = $15 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} - e^{3 x} - 6$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} - e^{3 x} - 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 2}{2 x} + \frac{2 x}{3 x + 2} + \frac{2 x - 2}{- x}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0; $- \frac{2}{3}$ }

- \frac{2 x - 2}{x} + \frac{3 x - 2}{2 x} + \frac{2 x}{3 x + 2}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$- \frac{2 x - 2}{x} + \frac{3 x - 2}{2 x} + \frac{2 x}{3 x + 2}$	=	\|⋅( $2 x$ )
$- \frac{2 x - 2}{x} \cdot 2 x + \frac{3 x - 2}{2 x} \cdot 2 x + \frac{2 x}{3 x + 2} \cdot 2 x$	=
$- 4 x + 4 + 3 x - 2 + 2 \frac{2 x \cdot x}{3 x + 2}$	=
$- 4 x + 4 + 3 x - 2 + \frac{4 x^{2}}{3 x + 2}$	=
$\frac{4 x^{2}}{3 x + 2} - 4 x + 3 x + 4 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2}}{3 x + 2} - 4 x + 3 x + 4 - 2$	=	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{4 x^{2}}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) - 4 x \cdot (3 x + 2) + 3 x \cdot (3 x + 2) + 4 \cdot (3 x + 2) - 2 \cdot (3 x + 2)$	=
$4 x^{2} - 4 x \cdot (3 x + 2) + 3 x \cdot (3 x + 2) + 12 x + 8 - 6 x - 4$	=
$4 x^{2} + (- 12 x^{2} - 8 x) + (9 x^{2} + 6 x) + 12 x + 8 - 6 x - 4$	=
$x^{2} + 4 x + 4$	=

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$+ 8 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 16$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} + 8) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

L={ $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 4 x + 4 | - 6$ = $- 18$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 4 x + 4 \| - 6$	=	$- 18$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| 4 x + 4 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 4 x + 4 \|$	=	$36$

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

$4 x + 4$	=	$36$	\| $- 4$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$4 \cdot 8 + 4$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $4 x + 4$ < 0:

$- (4 x + 4)$	=	$36$
$- 4 x - 4$	=	$36$	\| $+ 4$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $4 x + 4$ < 0) genügt:

$4 \cdot (- 10) + 4$ = -36 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x - 4 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x - 4 t)$ = 0

$x^{2} + 5 x - 4 t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x - 4 t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + (- 4 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 16 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 16 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 16 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 16 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 16 t + 4$ = 0 wird.

$25 + 16 t + 4$	=	0
$16 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$16 t$	=	$- 29$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{29}{16}$

Für t = $- \frac{29}{16}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: 4x +4 ≥ 0:

2. Fall: 4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $4 x + 4$ < 0: