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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 + \frac{42}{x^{2}}$ und $g(x) =$ $\frac{13}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{42}{x^{2}}$	=	$\frac{13}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{42}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{13}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 42$	=	$13 x$

x^{2} + 42

=

13 x

|

- 13 x

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $6$ : f( $6$ )= $\frac{13}{6}$ = 2.167 Somit gilt: S₁( $6$ |2.167)

x₂ = $7$ : f( $7$ )= $\frac{13}{7}$ = 1.857 Somit gilt: S₂( $7$ |1.857)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 2 x - 5 + 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- 2 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2 x - 4$ gilt m = $- 2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 2 x - 5 + 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $3 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$3 e^{- \frac{1}{3} x} - 2 + 2 - x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$3 e^{- \frac{1}{3} x} - x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$(- x + 3) \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 4 x} + 6) \cdot (x - 7)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 4 x} + 6) \cdot (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 4 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 5 e^{- 4 x}$	=	$- 6$	\|: $- 5$
$e^{- 4 x}$	=	$\frac{6}{5}$	\|ln(⋅)
$- 4 x$	=	$\ln (\frac{6}{5})$	\|: $- 4$
x₁	=	$- \frac{1}{4} \ln (\frac{6}{5})$	≈ -0.0456

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₂	=	$7$

L={ $- \frac{1}{4} \ln (\frac{6}{5})$ ; $7$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{6 x}{- 2 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ }

$\frac{2 x}{2 x + 2} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{- 2 x - 2}$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 1)} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{- 2 (x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 1)} + \frac{6 x}{2 x + 1} + \frac{6 x}{- 2 (x + 1)}$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{2 x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{6 x}{- 2 (x + 1)} \cdot (x + 1)$	=
$x + \frac{6 x \cdot (x + 1)}{2 x + 1} - 3 x$	=
$x + \frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} - 3 x$	=
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} + x - 3 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} + x - 3 x$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{6 x^{2} + 6 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + x \cdot (2 x + 1) - 3 x \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x^{2} + 6 x + x \cdot (2 x + 1) - 3 x \cdot (2 x + 1)$	=
$6 x^{2} + 6 x + (2 x^{2} + x) + (- 6 x^{2} - 3 x)$	=
$2 x^{2} + 4 x$	=

$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $9$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 9 \cdot (- 1) + 9$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 9 x$	$+ 9$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 9$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 9 x$
	-(0	0)
		$9 x$	$+ 9$
		-( $9 x$	$+ 9$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 9 x + 9$ = $(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 9) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 9) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9$	=	0	\| $- 9$
$x^{2}$	=	$- 9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 3 x - 3 | + 3$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \| + 3$	=	0	\| $- 3$
$\frac{1}{2} \| - 3 x - 3 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $2$
$\| - 3 x - 3 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 2 x - 4 t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 2 x - 4 t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 2 x - 4 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 2 x - 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 2 x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + 16 t$ = 0 wird.

$4 + 16 t$	=	0
$16 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$16 t$	=	$- 4$	\|: $16$
$t$	=	$- \frac{1}{4}$ = -0.25

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{1}{4}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $4 + 16 \cdot 1$ = 20 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + 16 t$ für t > $- \frac{1}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{1}{4}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{1}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter