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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $1 - \frac{1}{x}$ und $g(x) =$ $\frac{12}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{1}{x}$	=	$\frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - x$	=	$12$

x^{2} - x

=

12

|

- 12

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $\frac{12}{{(- 3)}^{2}}$ = 1.333 Somit gilt: S₁( $- 3$ |1.333)

x₂ = $4$ : f( $4$ )= $\frac{12}{4^{2}}$ = 0.75 Somit gilt: S₂( $4$ |0.75)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- 4 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$ parallel zur Geraden y = $3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $3$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- 4 + 3 x \cdot e^{- 2 x}$

f'(x)= $3 e^{- 2 x} - 6 x \cdot e^{- 2 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{- 2 x} - 6 x \cdot e^{- 2 x}$	=	0
$3 (- 2 x + 1) e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$- 1$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 2 e^{4 x} + 5) \cdot (x^{4} + 6 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 e^{4 x} + 5) (x^{4} + 6 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{4 x} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 2 e^{4 x}$	=	$- 5$	\|: $- 2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{5}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{2})$	≈ 0.2291

2. Fall:

$x^{4} + 6 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0; $\frac{1}{4} \ln (\frac{5}{2})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{x + 1} + \frac{2 x}{2 x + 6} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{2 x + 6} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 7$	=	0
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 (x + 3)} + \frac{2 x - 1}{x + 1} - 7$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{2 (x + 3)} \cdot (x + 3) + \frac{2 x - 1}{x + 1} \cdot (x + 3) - 7 \cdot (x + 3)$	=
$x + \frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x + 1} - 7 x - 21$	=
$x + \frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x + 1} - 7 x - 21$	=
$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x + 1} + x - 7 x - 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x + 1} + x - 7 x - 21$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) - 7 x \cdot (x + 1) - 21 \cdot (x + 1)$	=
$2 x^{2} + 5 x - 3 + x (x + 1) - 7 x (x + 1) - 21 x - 21$	=
$2 x^{2} + 5 x - 3 + (x^{2} + x) + (- 7 x^{2} - 7 x) - 21 x - 21$	=
$- 4 x^{2} - 22 x - 24$	=

- 4 x^{2} - 22 x - 24

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11+5}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{11-5}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x - 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} + 5 \cdot 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$+ 5 x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$+ 5 x$
	-(0	0)
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} + 5 x - 5$ = $(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 + 5) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} + 5) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

L={ $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x + 4 | + 5$ = $29$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \| + 5$	=	$29$	\| $- 5$
$\frac{1}{3} \| - 4 x + 4 \|$	=	$24$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x + 4 \|$	=	$72$

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

$- 4 x + 4$	=	$72$	\| $- 4$
$- 4 x$	=	$68$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 17) + 4$ = 72 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0:

$- (- 4 x + 4)$	=	$72$
$4 x - 4$	=	$72$	\| $+ 4$
$4 x$	=	$76$	\|: $4$
x₂	=	$19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 4$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 19 + 4$ = -72 < 0

Die Lösung $19$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $19$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 x - t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x - t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 4 t$ = 0 wird.

$25 + 4 t$	=	0
$4 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$4 t$	=	$- 25$	\|: $4$
$t$	=	$- \frac{25}{4}$ = -6.25

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{25}{4}$ beispielsweise für t = -5 der Radikand $25 + 4 \cdot (- 5)$ = 5 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 4 t$ für t > $- \frac{25}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{25}{4}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{25}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +4 ≥ 0:

2. Fall: -4x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 4$ < 0: