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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 12 e^{- x}$ und $g(x) =$ $4 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 12 e^{- x}$	=	$4 e^{x}$	\| $- 4 e^{x}$
$e^{3 x} - 4 e^{x} - 12 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12) \cdot e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 4 e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (6)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (6)$ )= $4 e^{\frac{1}{2} \ln (6)}$ = 9.798 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (6)$ |9.798)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 2 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 3$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 2 + 12 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$12 e^{- \frac{1}{4} x} + 2 - 2 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$12 e^{- \frac{1}{4} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$3 (- x + 4) \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(8 e^{- 6 x} - 3) \cdot (x^{4} - 8 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(8 e^{- 6 x} - 3) \cdot (x^{4} - 8 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$8 e^{- 6 x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$8 e^{- 6 x}$	=	$3$	\|: $8$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{3}{8}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{3}{8})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{3}{8})$	≈ 0.1635

2. Fall:

$x^{4} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{3}{8})$ ; $8$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 8} + \frac{x}{x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $\frac{8}{3}$ }

\frac{x}{x - 2} + \frac{x}{3 x - 8} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{x}{x - 2} + \frac{x}{3 x - 8} - 3$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{x}{3 x - 8} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=
$x + \frac{x \cdot (x - 2)}{3 x - 8} - 3 x + 6$	=
$x + \frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 8} - 3 x + 6$	=
$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 8} + x - 3 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 8$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 8} + x - 3 x + 6$	=	\|⋅( $3 x - 8$ )
$\frac{x^{2} - 2 x}{3 x - 8} \cdot (3 x - 8) + x \cdot (3 x - 8) - 3 x \cdot (3 x - 8) + 6 \cdot (3 x - 8)$	=
$x^{2} - 2 x + x \cdot (3 x - 8) - 3 x \cdot (3 x - 8) + 18 x - 48$	=
$x^{2} - 2 x + (3 x^{2} - 8 x) + (- 9 x^{2} + 24 x) + 18 x - 48$	=
$- 5 x^{2} + 32 x - 48$	=

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{1 024 - 960}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 32 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 32 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32+8}{- 10}$ = $\frac{- 24}{- 10}$ = $2,4$

x₂ = $\frac{- 32 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 32-8}{- 10}$ = $\frac{- 40}{- 10}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 32 x - 48$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{32}{5} x + \frac{48}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{16}{5})}^{2} - (\frac{48}{5})$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{48}{5}$ = $\frac{256}{25}$ $-$ $\frac{240}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{16}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{16}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{12}{5}$ = 2.4

x₂ = $\frac{16}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{20}{5}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,4$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 23 x$ )
		$30 x$	$- 30$
		-( $30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - 10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 20 \cdot {(- 6)}^{2} + 7 \cdot (- 6) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 5 x$	$- 30$
		-( $- 5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$| - 3 x + 3 | - 4$ = $8$

Lösung einblenden

$\| - 3 x + 3 \| - 4$	=	$8$	\| $+ 4$
$\| - 3 x + 3 \|$	=	$12$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

$- 3 x + 3$	=	$12$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$9$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 3$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 3) + 3$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 3$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0:

$- (- 3 x + 3)$	=	$12$
$3 x - 3$	=	$12$	\| $+ 3$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₂	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 3$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 5 + 3$ = -12 < 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 3$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 4 t x - 4 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 t x - 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{{(- 4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 16 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 16 t$	=	0
$16 t \cdot (t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 1$	=	0	\| $- 1$
t₂	=	$- 1$

Da bei $16 t^{2} + 16 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} + 16 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- 1$ < t < $0$ , also für t > $- 1$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +3 ≥ 0:

2. Fall: -3x +3 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- 3 x + 3$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 3$ < 0: