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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 4$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $2$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 4 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 4$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 4 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $4 e^{3 x} + 1 + 12 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$4 e^{3 x} + 1 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$4 e^{3 x} + 1 - 1 + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 e^{3 x} + 12 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$4 (3 x + 1) \cdot e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- x} - 4) \cdot (x^{2} - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- x} - 4) \cdot (x^{2} - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- x} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$e^{- x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (4)$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (4)$	≈ -1.3863
x₁	=	$- 2 \ln (2)$

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 2 \ln (2)$ ; $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 1}{3 x - 3} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} - 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} - 1$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{2 x - 1}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - 1 \cdot (3 (x - 1))$	=
$2 x - 1 - 3 x + 3$	=
$- x + 2$	=

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 108$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 60 \cdot (- 2) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 54 x$	$- 108$
		-( $- 54 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} - 3 x - 54) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 3 x - 54) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - {(- 6)}^{2} - 60 \cdot (- 6) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 18 x$	$- 108$
		-( $- 18 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 9^{2} - 60 \cdot 9 - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$12 x$	$- 108$
		-( $12 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - x + 4 | - 9$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \| - x + 4 \| - 9$	=	$- 6$	\| $+ 9$
$- \| - x + 4 \|$	=	$3$	\|: $(- 1)$
$\| - x + 4 \|$	=	$- 3$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 4 t x + 4 t) \cdot e^{\frac{1}{4} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 4 t x + 4 t) \cdot e^{\frac{1}{4} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 4 t x + 4 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{4} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{4} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 4 t x + 4 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 4 t x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{{(4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} - 16 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} - 16 t$	=	0
$16 t \cdot (t - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t - 1$	=	0	\| $+ 1$
t₂	=	$1$

Für t = $0$ oder für t = $1$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$