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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} + e^{x}$ und $g(x) =$ $20 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} + e^{x}$	=	$20 e^{- x}$	\| $- 20 e^{- x}$
$e^{3 x} + e^{x} - 20 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 20) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 20

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 5$

e^{2 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (2)$ : f( $\ln (2)$ )= $20 e^{- (\ln (2))}$ = 10 Somit gilt: S₁( $\ln (2)$ |10)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x - 1 + x \cdot e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x + 6$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x - 1 + x \cdot e^{2 x}$

f'(x)= $e^{2 x} + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$

Also muss gelten:

$e^{2 x} + 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	$1$	\| $- 1$
$e^{2 x} + 1 - 1 + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$e^{2 x} + 2 x \cdot e^{2 x}$	=	0
$(2 x + 1) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₁	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{2}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 9 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} - 9 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{3 x}{x + 2} + \frac{- 45 x}{3 x + 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - \frac{45 x}{3 x + 6}$	=	0
$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - \frac{45 x}{3 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{8 x}{3 x - 1} - \frac{45 x}{3 (x + 2)}$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{3 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (x + 2) - \frac{45 x}{3 (x + 2)} \cdot (x + 2)$	=
$3 x + \frac{8 x (x + 2)}{3 x - 1} - 15 x$	=
$3 x + \frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} - 15 x$	=
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} + 3 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} + 3 x - 15 x$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 3 x \cdot (3 x - 1) - 15 x \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 16 x + 3 x (3 x - 1) - 15 x (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 16 x + (9 x^{2} - 3 x) + (- 45 x^{2} + 15 x)$	=
$- 28 x^{2} + 28 x$	=

$- 28 x^{2} + 28 x$	=	0
$28 x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} - 32 x - 64$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} - 32 x - 64$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 64$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + 8 \cdot {(- 2)}^{3} + 12 \cdot {(- 2)}^{2} - 32 \cdot (- 2) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$- 32 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} + 0 - 32$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
		0	$- 32 x$
		-(0	0)
			$- 32 x$	$- 64$
			-( $- 32 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} - 32 x - 64$ = $(x^{3} + 6 x^{2} + 0 - 32) \cdot (x + 2)$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 0 - 32) \cdot (x + 2)$	=	0
$(x^{3} + 6 x^{2} - 32) (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 32$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$		$- 32$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 16$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	0
	-( $8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$16 x$	$- 32$
		-( $16 x$	$- 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 32$ = $(x^{2} + 8 x + 16) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 8 x + 16) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 6 \cdot {(- 4)}^{2} - 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$		$- 32$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	0
	-( $2 x^{2}$	$+ 8 x$ )
		$- 8 x$	$- 32$
		-( $- 8 x$	$- 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 32$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} + 8 \cdot 2^{3} + 12 \cdot 2^{2} - 32 \cdot 2 - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$- 32 x$	$- 64$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$- 20 x^{2}$ )
		$32 x^{2}$	$- 32 x$
		-( $32 x^{2}$	$- 64 x$ )
			$32 x$	$- 64$
			-( $32 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} - 32 x - 64$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $32$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 10 \cdot {(- 2)}^{2} + 32 \cdot (- 2) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 32 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 32 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$16 x$	$+ 32$
		-( $16 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32$ = $(x^{2} + 8 x + 16) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 8 x + 16) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 10 \cdot {(- 4)}^{2} + 32 \cdot (- 4) + 32$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 32 x$	$+ 32$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$+ 32 x$
	-( $6 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$8 x$	$+ 32$
		-( $8 x$	$+ 32$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{4} + 8 \cdot {(- 4)}^{3} + 12 \cdot {(- 4)}^{2} - 32 \cdot (- 4) - 64$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$	$- 32 x$	$- 64$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$
-( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$ )
	$4 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$
	-( $4 x^{3}$	$+ 16 x^{2}$ )
		$- 4 x^{2}$	$- 32 x$
		-( $- 4 x^{2}$	$- 16 x$ )
			$- 16 x$	$- 64$
			-( $- 16 x$	$- 64$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} - 32 x - 64$ = $(x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16) \cdot (x + 4)$

(x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 16$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 8 x$	$- 16$
		-( $- 8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 4 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$8 x$	$- 16$
		-( $8 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 6 x + 8) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 6 x + 8) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4) - 16$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$	$- 4 x$	$- 16$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 0 - 4$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	0	$- 4 x$
	-(0	0)
		$- 4 x$	$- 16$
		-( $- 4 x$	$- 16$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16$ = $(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 4)$

$(x^{2} + 0 - 4) \cdot (x + 4)$	=	0
$(x^{2} - 4) (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₄	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 2$ ; $2$ }

$- 4$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x + 10 | - 4$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x + 10 \| - 4$	=	$- 12$	\| $+ 4$
$- \| - 2 x + 10 \|$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x + 10 \|$	=	$8$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

$- 2 x + 10$	=	$8$	\| $- 10$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$1$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot 1 + 10$ = 8 ≥ 0

Die Lösung $1$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0:

$- (- 2 x + 10)$	=	$8$
$2 x - 10$	=	$8$	\| $+ 10$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 10$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 9 + 10$ = -8 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $1$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + 5 x + t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + 5 x + t)$ = 0

$x^{2} + 5 x + t$ = 1 |-1

$x^{2} + 5 x + t$ - 1 = 0

$x^{2} + 5 x + t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + (- 4 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 4 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 4 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 4 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 4 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 4 t + 4$	=	0
$- 4 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 4 t$	=	$- 29$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$\frac{29}{4}$ = 7.25

Für t = $\frac{29}{4}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +10 ≥ 0:

2. Fall: -2x +10 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 2 x + 10$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 10$ < 0: