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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 12 e^{- x}$ und $g(x) =$ $- e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 12 e^{- x}$	=	$- e^{x}$	\| $+ e^{x}$
$e^{3 x} + e^{x} - 12 e^{- x}$	=	0
$(e^{4 x} + e^{2 x} - 12) e^{- x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + e^{2 x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $3$

$e^{2 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (3)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (3)$	≈ 0.5493

u₂: $e^{2 x}$ = $- 4$

e^{2 x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{2} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{2} \ln (3)$ )= $- e^{\frac{1}{2} \ln (3)}$ = -1.732 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{2} \ln (3)$ |-1.732)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $35 x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $35 x + 1$ gilt m = $35$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} + \frac{2}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

35

|

- 35

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $35$ und sind somit parallel zur Geraden y = $35 x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- e^{5 x} + 3) \cdot (x^{5} - 16 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- e^{5 x} + 3) (x^{5} - 16 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- e^{5 x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- e^{5 x}$	=	$- 3$	\|: $- 1$
$e^{5 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (3)$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (3)$	≈ 0.2197

2. Fall:

$x^{5} - 16 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₄	=	$\sqrt{16}$	= $4$

L={ $- 4$ ; 0; $\frac{1}{5} \ln (3)$ ; $4$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 1} + \frac{6 x}{x + 1} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $\frac{1}{3}$ }

\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1} + \frac{8 x}{3 x - 1} - 7$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + \frac{8 x}{3 x - 1} \cdot (x + 1) - 7 \cdot (x + 1)$	=
$6 x + \frac{8 x (x + 1)}{3 x - 1} - 7 x - 7$	=
$6 x + \frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} - 7 x - 7$	=
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + 6 x - 7 x - 7$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} + 6 x - 7 x - 7$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{8 x^{2} + 8 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + 6 x \cdot (3 x - 1) - 7 x \cdot (3 x - 1) - 7 \cdot (3 x - 1)$	=
$8 x^{2} + 8 x + 6 x (3 x - 1) - 7 x (3 x - 1) - 21 x + 7$	=
$8 x^{2} + 8 x + (18 x^{2} - 6 x) + (- 21 x^{2} + 7 x) - 21 x + 7$	=
$5 x^{2} - 12 x + 7$	=

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{10}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{12+2}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{10}$ = $\frac{12-2}{10}$ = $\frac{10}{10}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 12 x + 7$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{12}{5} x + \frac{7}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{6}{5})}^{2} - (\frac{7}{5})$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{7}{5}$ = $\frac{36}{25}$ $-$ $\frac{35}{25}$ = $\frac{1}{25}$

x_1,2 = $\frac{6}{5}$ ± $\sqrt{\frac{1}{25}}$

x₁ = $\frac{6}{5}$ - $\frac{1}{5}$ = $\frac{5}{5}$ = 1

x₂ = $\frac{6}{5}$ + $\frac{1}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $1,4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 8 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 8 x$
	-(0	0)
		$8 x$	$+ 8$
		-( $8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 8 x + 8$ = $(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 8) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 8) (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{2}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 4 x + 12 | + 3$ = $- 1$

Lösung einblenden

$- \| - 4 x + 12 \| + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- \| - 4 x + 12 \|$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$\| - 4 x + 12 \|$	=	$4$

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

$- 4 x + 12$	=	$4$	\| $- 12$
$- 4 x$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot 2 + 12$ = 4 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0:

$- (- 4 x + 12)$	=	$4$
$4 x - 12$	=	$4$	\| $+ 12$
$4 x$	=	$16$	\|: $4$
x₂	=	$4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 12$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 4 + 12$ = -4 < 0

Die Lösung $4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $2$ ; $4$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 5 x - 5 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 5 x - 5 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 20 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + 20 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + 20 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + 20 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + 20 t$ = 0 wird.

$25 + 20 t$	=	0
$20 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$20 t$	=	$- 25$	\|: $20$
$t$	=	$- \frac{5}{4}$ = -1.25

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{4}$ beispielsweise für t = -0 der Radikand $25 + 20 \cdot 0$ = 25 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + 20 t$ für t > $- \frac{5}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{4}$ kleiner 0

Für t > $- \frac{5}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +12 ≥ 0:

2. Fall: -4x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $- 4 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 12$ < 0: