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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 8 x^{2}$ und $g(x) =$ $2 x^{4}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 8 x^{2}$	=	$2 x^{4}$	\| $- 2 x^{4}$
$x^{6} - 2 x^{4} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{4} - 2 x^{2} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} - 2 x^{2} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 2$

x^{2}

=

- 2

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $2 \cdot {(- 2)}^{4}$ = 32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |32)

x₂ = 0: f(0)= $2 \cdot 0^{4}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $2 \cdot 2^{4}$ = 32 Somit gilt: S₃( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 5$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 5 x

=

6

|

- 6

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

L={ $- 6$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 24 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} + 2 e^{3 x} - 24 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} + 2 e^{x} - 24) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + 2 e^{x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 6$

e^{x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 1}{3 x} + \frac{16 x}{x - 3} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{16 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 7

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{8 x - 1}{3 x} - 7$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{8 x - 1}{3 x} \cdot (x - 3) - 7 \cdot (x - 3)$	=
$16 x + \frac{(8 x - 1) (x - 3)}{3 x} - 7 x + 21$	=
$16 x + \frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} - 7 x + 21$	=
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 16 x - 7 x + 21$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} + 16 x - 7 x + 21$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x^{2} - 25 x + 3}{3 x} \cdot 3 x + 16 x \cdot 3 x - 7 x \cdot 3 x + 21 \cdot 3 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 48 x \cdot x - 21 x \cdot x + 63 x$	=
$8 x^{2} - 25 x + 3 + 48 x^{2} - 21 x^{2} + 63 x$	=
$35 x^{2} + 38 x + 3$	=

$35 x^{2} + 38 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{38^{2} - 4 \cdot 35 \cdot 3}}{2 \cdot 35}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 444 - 420}}{70}$

x_1,2 = $\frac{- 38 \pm \sqrt{1 024}}{70}$

x₁ = $\frac{- 38 + \sqrt{1 024}}{70}$ = $\frac{- 38+32}{70}$ = $\frac{- 6}{70}$ = $- \frac{3}{35}$ ≈ -0.09

x₂ = $\frac{- 38 - \sqrt{1 024}}{70}$ = $\frac{- 38-32}{70}$ = $\frac{- 70}{70}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $35$ " teilen:

$35 x^{2} + 38 x + 3$ = 0 |: $35$

$x^{2} + \frac{38}{35} x + \frac{3}{35}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{35})}^{2} - (\frac{3}{35})$ = $\frac{361}{1225}$ $-$ $\frac{3}{35}$ = $\frac{361}{1225}$ $-$ $\frac{105}{1225}$ = $\frac{256}{1225}$

x_1,2 = $- \frac{19}{35}$ ± $\sqrt{\frac{256}{1225}}$

x₁ = $- \frac{19}{35}$ - $\frac{16}{35}$ = $- \frac{35}{35}$ = -1

x₂ = $- \frac{19}{35}$ + $\frac{16}{35}$ = $- \frac{3}{35}$ = -0.085714285714286

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{35}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $15$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 17 \cdot {(- 1)}^{2} + 29 \cdot (- 1) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$15 x$	$+ 15$
		-( $15 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 17 \cdot {(- 3)}^{2} + 29 \cdot (- 3) + 15$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 17 x^{2}$	$+ 29 x$	$+ 15$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 29 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$5 x$	$+ 15$
		-( $5 x$	$+ 15$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 17 x^{2} + 29 x + 15$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 2 x - 8 | + 5$ = $15$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \| + 5$	=	$15$	\| $- 5$
$\frac{1}{2} \| - 2 x - 8 \|$	=	$10$	\|⋅ $2$
$\| - 2 x - 8 \|$	=	$20$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

$- 2 x - 8$	=	$20$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$28$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 14) - 8$ = 20 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0:

$- (- 2 x - 8)$	=	$20$
$2 x + 8$	=	$20$	\| $- 8$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
x₂	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 6 - 8$ = -20 < 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 3 t x + t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 3 t x + t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 3 t x + t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 3 t x + t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 3 t x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{{(- 3 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 t \pm \sqrt{9 t^{2} - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 t^{2} - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 t^{2} - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 t^{2} - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 t^{2} - 4 t$ = 0 wird.

$9 t^{2} - 4 t$	=	0
$t (9 t - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$9 t - 4$	=	0	\| $+ 4$
$9 t$	=	$4$	\|: $9$
t₂	=	$\frac{4}{9}$

Für t = $0$ oder für t = $\frac{4}{9}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -8 ≥ 0:

2. Fall: -2x -8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- 2 x - 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 8$ < 0: