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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 14 x$ und $g(x) =$ $5 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 14 x$	=	$5 x^{2}$	\| $- 5 x^{2}$
$x^{3} - 5 x^{2} - 14 x$	=	0
$x (x^{2} - 5 x - 14)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $- 2$ ; 0; $7$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $5 \cdot {(- 2)}^{2}$ = 20 Somit gilt: S₁( $- 2$ |20)

x₂ = 0: f(0)= $5 \cdot 0^{2}$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $7$ : f( $7$ )= $5 \cdot 7^{2}$ = 245 Somit gilt: S₃( $7$ |245)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 5 + 3 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 2$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 5 + 3 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $3 e^{3 x} + 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$3 e^{3 x} + 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	$2$	\| $- 2$
$3 e^{3 x} + 2 - 2 + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 e^{3 x} + 9 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$3 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} + 2 e^{2 x}$ = $24$

Lösung einblenden

e^{4 x} + 2 e^{2 x}

=

24

|

- 24

e^{4 x} + 2 e^{2 x} - 24

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 6$

e^{2 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 1$ }

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{3 x - 1}{x + 1} - 5$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{3 x - 1}{x + 1} \cdot (x - 1) - 5 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{(3 x - 1) (x - 1)}{x + 1} - 5 x + 5$	=
$2 x + \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{x + 1} - 5 x + 5$	=
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{x + 1} + 2 x - 5 x + 5$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{x + 1} + 2 x - 5 x + 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 5 x \cdot (x + 1) + 5 \cdot (x + 1)$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + 2 x (x + 1) - 5 x (x + 1) + 5 x + 5$	=
$3 x^{2} - 4 x + 1 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 5 x^{2} - 5 x) + 5 x + 5$	=
$- 2 x + 6$	=

$- 2 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$- 6 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
		$- 9 x^{2}$	$- 4 x$
		-( $- 9 x^{2}$	$- 9 x$ )
			$5 x$	$+ 5$
			-( $5 x$	$+ 5$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 5$ = $(x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $5$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 5 x$	$+ 5$
		-( $- 5 x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 9 \cdot (- 5) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 9 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$x$	$+ 5$
		-( $x$	$+ 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 5$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 5)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 4 \cdot 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$5 x^{3}$	$- 6 x^{2}$
	-( $5 x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 4 x$
		-( $- x^{2}$	$+ x$ )
			$- 5 x$	$+ 5$
			-( $- 5 x$	$+ 5$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 5$ = $(x^{3} + 5 x^{2} - x - 5) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 5 x^{2} - x - 5) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 5 x$	$- 5$
		-( $- 5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = $(x^{2} + 4 x - 5) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x - 5) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 1 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 5$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 6 x + 5$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- x$
	-( $6 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$5 x$	$- 5$
		-( $5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = $(x^{2} + 6 x + 5) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 6 x + 5) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 5 \cdot {(- 5)}^{2} - (- 5) - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- x$	$- 5$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 5$
		-( $- x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - x - 5$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 5)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 5)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{4} + 4 \cdot {(- 5)}^{3} - 6 \cdot {(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 5) + 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 6 x^{2}$	$- 4 x$	$+ 5$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{3} - x^{2} - x + 1$
-( $x^{4}$	$+ 5 x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 6 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 4 x$
		-( $- x^{2}$	$- 5 x$ )
			$x$	$+ 5$
			-( $x$	$+ 5$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x + 5$ = $(x^{3} - x^{2} - x + 1) \cdot (x + 5)$

(x^{3} - x^{2} - x + 1) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x + 1) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 1$
		-( $- x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

L={ $- 5$ ; $- 1$ ; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x - 5 | - 5$ = $- 3$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x - 5 \| - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| x - 5 \|$	=	$2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x - 5 \|$	=	$- 6$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x + 3 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x + 3 t)$ = 0

$x^{2} + x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} + x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$1 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 12 t$	=	$- 5$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{5}{12}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{12}$ beispielsweise für t = 1 der Radikand $1 + (- 12 \cdot 1 + 4)$ = -7 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{5}{12}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{12}$ größer 0

Für t < $\frac{5}{12}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $- 5$

Polynomdivision mit $1$