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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} - 18$ und $g(x) =$ $- 3 e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} - 18

=

- 3 e^{3 x}

|

+ 3 e^{3 x}

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $- 3 e^{3 \cdot (\frac{1}{3} \ln (3))}$ = -9 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$ parallel zur Geraden y = $6 x - 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $6 x - 7$ gilt m = $6$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{2} e^{2 x} - e^{x}$

f'(x)= $e^{2 x} - e^{x}$

Also muss gelten:

e^{2 x} - e^{x}

=

6

|

- 6

e^{2 x} - e^{x} - 6

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $6$ und sind somit parallel zur Geraden y = $6 x - 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} + 8 x^{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} + 8 x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 5-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{x}{2 x - 4} + \frac{2 x - 2}{3 x - 9} - 3$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{2 x - 2}{3 (x - 3)} \cdot (2 (x - 2)) - 3 \cdot (2 (x - 2))$	=
$x + 2 \frac{(2 x - 2) (x - 2)}{3 (x - 3)} - 6 x + 12$	=
$x + \frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{3 (x - 3)} - 6 x + 12$	=
$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{3 (x - 3)} + x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{3 (x - 3)} + x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{2 (2 x^{2} - 6 x + 4)}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + x \cdot (3 (x - 3)) - 6 x \cdot (3 (x - 3)) + 12 \cdot (3 (x - 3))$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + 3 x (x - 3) - 18 x (x - 3) + 36 x - 108$	=
$4 x^{2} - 12 x + 8 + (3 x^{2} - 9 x) + (- 18 x^{2} + 54 x) + 36 x - 108$	=
$- 11 x^{2} + 69 x - 100$	=

$- 11 x^{2} + 69 x - 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 69 \pm \sqrt{69^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 100)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 69 \pm \sqrt{4 761 - 4 400}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 69 \pm \sqrt{361}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 69 + \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{- 69+19}{- 22}$ = $\frac{- 50}{- 22}$ = $\frac{25}{11}$ ≈ 2.27

x₂ = $\frac{- 69 - \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{- 69-19}{- 22}$ = $\frac{- 88}{- 22}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} + 69 x - 100$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} - \frac{69}{11} x + \frac{100}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{69}{22})}^{2} - (\frac{100}{11})$ = $\frac{4761}{484}$ $-$ $\frac{100}{11}$ = $\frac{4761}{484}$ $-$ $\frac{4400}{484}$ = $\frac{361}{484}$

x_1,2 = $\frac{69}{22}$ ± $\sqrt{\frac{361}{484}}$

x₁ = $\frac{69}{22}$ - $\frac{19}{22}$ = $\frac{50}{22}$ = 2.2727272727273

x₂ = $\frac{69}{22}$ + $\frac{19}{22}$ = $\frac{88}{22}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{25}{11}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 2 x^{3} - 31 x^{2} + 92 x - 60$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 2 x^{3} - 31 x^{2} + 92 x - 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 60$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 2 \cdot 1^{3} - 31 \cdot 1^{2} + 92 \cdot 1 - 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$	$- 31 x^{2}$	$+ 92 x$	$- 60$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 31 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$+ x^{2}$ )
		$- 32 x^{2}$	$+ 92 x$
		-( $- 32 x^{2}$	$+ 32 x$ )
			$60 x$	$- 60$
			-( $60 x$	$- 60$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 2 x^{3} - 31 x^{2} + 92 x - 60$ = $(x^{3} - x^{2} - 32 x + 60) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - x^{2} - 32 x + 60) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $60$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2^{2} - 32 \cdot 2 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 32 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + x - 30$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- 32 x$
	-( $x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 30 x$	$+ 60$
		-( $- 30 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = $(x^{2} + x - 30) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + x - 30) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 5^{2} - 32 \cdot 5 + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 32 x$	$+ 60$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 12 x$	$+ 60$
		-( $- 12 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 4 x - 12) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - {(- 6)}^{2} - 32 \cdot (- 6) + 60$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 32 x$	$+ 60$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 7 x + 10$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$10 x$	$+ 60$
		-( $10 x$	$+ 60$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 32 x + 60$ = $(x^{2} - 7 x + 10) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 7 x + 10) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 6$ ; $1$ ; $2$ ; $5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x - 6 | - 1$ = $- 13$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x - 6 \| - 1$	=	$- 13$	\| $+ 1$
$- \frac{1}{3} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 12$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$36$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$36$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$42$	\|: $3$
x₁	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 14 - 6$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$36$
$- 3 x + 6$	=	$36$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$30$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 10) - 6$ = -36 < 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 4 t x + 3 t$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 t x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{{(- 4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} - 12 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} - 12 t$	=	0
$4 t (4 t - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$4 t - 3$	=	0	\| $+ 3$
$4 t$	=	$3$	\|: $4$
t₂	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Da bei $16 t^{2} - 12 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} - 12 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für t < $0$ oder für t > $\frac{3}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: