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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 8 e^{- x} + 1$ und $g(x) =$ $- 15 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 8 e^{- x} + 1

=

- 15 e^{- 2 x}

|

+ 15 e^{- 2 x}

- 8 e^{- x} + 15 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- 8 e^{- x} + 15 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - 8 e^{x} + 15$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

u₂: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

L={ $\ln (3)$ ; $\ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- 15 e^{- 2 \cdot (\ln (3))}$ = -1.667 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-1.667)

x₂ = $\ln (5)$ : f( $\ln (5)$ )= $- 15 e^{- 2 \cdot (\ln (5))}$ = -0.6 Somit gilt: S₂( $\ln (5)$ |-0.6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = $20 x + 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $20 x + 4$ gilt m = $20$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} + x^{2}$

Also muss gelten:

x^{4} + x^{2}

=

20

|

- 20

x^{4} + x^{2} - 20

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 5$

x^{2}

=

- 5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $20$ und sind somit parallel zur Geraden y = $20 x + 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(e^{- 2 x} - 5) \cdot (x^{4} + 3 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(e^{- 2 x} - 5) \cdot (x^{4} + 3 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{- 2 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$e^{- 2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (5)$	≈ -0.8047

2. Fall:

$x^{4} + 3 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{2} \ln (5)$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 1} + \frac{4 x}{3 x - 6} - 7$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{2 x}{x - 1} - 7$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{2 x}{x - 1} - 7$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{2 x}{x - 1} - 7$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{2 x}{x - 1} \cdot (3 (x - 2)) - 7 \cdot (3 (x - 2))$	=
$4 x + 3 \frac{2 x \cdot (x - 2)}{x - 1} - 21 x + 42$	=
$4 x + \frac{3 (2 x^{2} - 4 x)}{x - 1} - 21 x + 42$	=
$\frac{3 (2 x^{2} - 4 x)}{x - 1} + 4 x - 21 x + 42$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 (2 x^{2} - 4 x)}{x - 1} + 4 x - 21 x + 42$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 (2 x^{2} - 4 x)}{x - 1} \cdot (x - 1) + 4 x \cdot (x - 1) - 21 x \cdot (x - 1) + 42 \cdot (x - 1)$	=
$6 x^{2} - 12 x + 4 x \cdot (x - 1) - 21 x \cdot (x - 1) + 42 x - 42$	=
$6 x^{2} - 12 x + (4 x^{2} - 4 x) + (- 21 x^{2} + 21 x) + 42 x - 42$	=
$- 11 x^{2} + 47 x - 42$	=

$- 11 x^{2} + 47 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{47^{2} - 4 \cdot (- 11) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 11)}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{2 209 - 1 848}}{- 22}$

x_1,2 = $\frac{- 47 \pm \sqrt{361}}{- 22}$

x₁ = $\frac{- 47 + \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{- 47+19}{- 22}$ = $\frac{- 28}{- 22}$ = $\frac{14}{11}$ ≈ 1.27

x₂ = $\frac{- 47 - \sqrt{361}}{- 22}$ = $\frac{- 47-19}{- 22}$ = $\frac{- 66}{- 22}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 11$ " teilen:

$- 11 x^{2} + 47 x - 42$ = 0 |: $- 11$

$x^{2} - \frac{47}{11} x + \frac{42}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{22})}^{2} - (\frac{42}{11})$ = $\frac{2209}{484}$ $-$ $\frac{42}{11}$ = $\frac{2209}{484}$ $-$ $\frac{1848}{484}$ = $\frac{361}{484}$

x_1,2 = $\frac{47}{22}$ ± $\sqrt{\frac{361}{484}}$

x₁ = $\frac{47}{22}$ - $\frac{19}{22}$ = $\frac{28}{22}$ = 1.2727272727273

x₂ = $\frac{47}{22}$ + $\frac{19}{22}$ = $\frac{66}{22}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{14}{11}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 1^{2} - 10 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 10 \cdot 2 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 4 x$	$+ 8$
		-( $- 4 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + {(- 4)}^{2} - 10 \cdot (- 4) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 10 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 10 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$2 x$	$+ 8$
		-( $2 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 10 x + 8$ = $(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 3 x + 2) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x + 2 | - 5$ = $- 10$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x + 2 \| - 5$	=	$- 10$	\| $+ 5$
$\frac{1}{2} \| x + 2 \|$	=	$- 5$	\|⋅ $2$
$\| x + 2 \|$	=	$- 10$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $4 x^{4} + 5 t x^{2}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$4 x^{4} + 5 t x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (4 x^{2} + 5 t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$4 x^{2} + 5 t$	=	0	\| - ( $5 t$ )
$4 x^{2}$	=	$- 5 t$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$- \frac{5}{4} t$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(- \frac{5}{4} t)}$	= $- \sqrt{(- \frac{5}{4} t)}$
x₃	=	$\sqrt{(- \frac{5}{4} t)}$	= $\sqrt{(- \frac{5}{4} t)}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t < 0 ist. Für t > 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 fallen die beiden Lösungen mit den Wurzeln zu einer einzigen Lösung x=0 zusammen.

Für t < 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 4$