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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{6 x} + 2 e^{3 x}$ und $g(x) =$ $35$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

e^{6 x} + 2 e^{3 x}

=

35

|

- 35

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 35

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2+12}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 2-12}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 1$ - $6$ = -7

x₂ = $- 1$ + $6$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 7$

e^{3 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (5)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (5)$ )= $35$ Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (5)$ |35)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 4 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 4 + 8 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $8 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{\frac{1}{2} x} + 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$8 e^{\frac{1}{2} x} + 2 - 2 + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$8 e^{\frac{1}{2} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (x + 2) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{5 x} + 3 e^{3 x}$ = $28 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{5 x} + 3 e^{3 x}$	=	$28 e^{x}$	\| $- 28 e^{x}$
$e^{5 x} + 3 e^{3 x} - 28 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} + 3 e^{2 x} - 28

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 7$

e^{2 x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{18 x}{- 6 x + 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{18 x}{- 6 x + 9}$	=	0
$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{18 x}{3 (- 2 x + 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + \frac{5 x + 1}{x + 1} + \frac{18 x}{3 (- 2 x + 3)}$	=	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + \frac{5 x + 1}{x + 1} \cdot (2 x - 3) + \frac{18 x}{3 (- 2 x + 3)} \cdot (2 x - 3)$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (2 x - 3)}{x + 1} + \frac{6 x \cdot (2 x - 3)}{- 2 x + 3}$	=
$2 x + \frac{(5 x + 1) \cdot (2 x - 3)}{x + 1} - 6 x$	=
$2 x + \frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} - 6 x$	=
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} + 2 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} + 2 x - 6 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{10 x^{2} - 13 x - 3}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + 2 x \cdot (x + 1) - 6 x \cdot (x + 1)$	=
$10 x^{2} - 13 x - 3 + (2 x^{2} + 2 x) + (- 6 x^{2} - 6 x)$	=
$6 x^{2} - 17 x - 3$	=

$6 x^{2} - 17 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{12}$ = $\frac{17+19}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = $3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{12}$ = $\frac{17-19}{12}$ = $\frac{- 2}{12}$ = $- \frac{1}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 17 x - 3$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{17}{6} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{12})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{72}{144}$ = $\frac{361}{144}$

x_1,2 = $\frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{361}{144}}$

x₁ = $\frac{17}{12}$ - $\frac{19}{12}$ = $- \frac{2}{12}$ = -0.16666666666667

x₂ = $\frac{17}{12}$ + $\frac{19}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{6}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 8 \cdot (- 1) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 4 x - 12$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 4 x$ )
		$- 12 x$	$- 12$
		-( $- 12 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 12$ = $(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 4 x - 12) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 7 x + 6$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 8 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$6 x$	$- 12$
		-( $6 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 12$ = $(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 5 \cdot {(- 6)}^{2} - 8 \cdot (- 6) - 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 8 x$	$- 12$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 8 x$
	-( $- x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 2 x$	$- 12$
		-( $- 2 x$	$- 12$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 5 x^{2} - 8 x - 12$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | 3 x + 6 | - 2$ = $7$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| 3 x + 6 \| - 2$	=	$7$	\| $+ 2$
$- \frac{1}{2} \| 3 x + 6 \|$	=	$9$	\|⋅ $(- 2)$
$\| 3 x + 6 \|$	=	$- 18$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 5 x + 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x + 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 8 t$ = 0 wird.

$25 - 8 t$	=	0
$- 8 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 8 t$	=	$- 25$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{25}{8}$

Für t = $\frac{25}{8}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 6$