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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 30 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $e^{3 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 30 e^{2 x}$	=	$e^{3 x}$	\| $- e^{3 x}$
$e^{4 x} - e^{3 x} - 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 30) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1+11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{1-11}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 5$

e^{x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (6)$ : f( $\ln (6)$ )= $e^{3 \cdot (\ln (6))}$ = 216 Somit gilt: S₁( $\ln (6)$ |216)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$ parallel zur Geraden y = $- 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 2$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7} + 2 x^{4}$

f'(x)= $x^{6} + 8 x^{3}$

Also muss gelten:

$x^{6} + 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

0 ist 3-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 2 e^{4 x}$ = $24 e^{x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 2 e^{4 x}$	=	$24 e^{x}$	\| $- 24 e^{x}$
$e^{7 x} + 2 e^{4 x} - 24 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 2 e^{3 x} - 24

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 7} + \frac{19 x + 1}{- 4 x - 4}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ ; $- \frac{7}{3}$ }

$\frac{19 x + 1}{- 4 x - 4} + \frac{5 x - 1}{2 x + 2} + \frac{2 x}{3 x + 7}$	=	0
$\frac{19 x + 1}{- 4 (x + 1)} + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{2 x}{3 x + 7}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{19 x + 1}{- 4 (x + 1)} + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} + \frac{2 x}{3 x + 7}$	=	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{19 x + 1}{- 4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{5 x - 1}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{2 x}{3 x + 7} \cdot (4 (x + 1))$	=
$- 19 x - 1 + 10 x - 2 + 4 \frac{2 x \cdot (x + 1)}{3 x + 7}$	=
$- 19 x - 1 + 10 x - 2 + \frac{4 (2 x^{2} + 2 x)}{3 x + 7}$	=
$\frac{4 (2 x^{2} + 2 x)}{3 x + 7} - 19 x + 10 x - 1 - 2$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 7$ weg!

$\frac{4 (2 x^{2} + 2 x)}{3 x + 7} - 19 x + 10 x - 1 - 2$	=	\|⋅( $3 x + 7$ )
$\frac{4 (2 x^{2} + 2 x)}{3 x + 7} \cdot (3 x + 7) - 19 x \cdot (3 x + 7) + 10 x \cdot (3 x + 7) - 1 \cdot (3 x + 7) - 2 \cdot (3 x + 7)$	=
$8 x^{2} + 8 x - 19 x \cdot (3 x + 7) + 10 x \cdot (3 x + 7) - 3 x - 7 - 6 x - 14$	=
$8 x^{2} + 8 x + (- 57 x^{2} - 133 x) + (30 x^{2} + 70 x) - 3 x - 7 - 6 x - 14$	=
$- 19 x^{2} - 64 x - 21$	=

$- 19 x^{2} - 64 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 64 \pm \sqrt{{(- 64)}^{2} - 4 \cdot (- 19) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 19)}$

x_1,2 = $\frac{+ 64 \pm \sqrt{4 096 - 1 596}}{- 38}$

x_1,2 = $\frac{+ 64 \pm \sqrt{2 500}}{- 38}$

x₁ = $\frac{64 + \sqrt{2 500}}{- 38}$ = $\frac{64+50}{- 38}$ = $\frac{114}{- 38}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{64 - \sqrt{2 500}}{- 38}$ = $\frac{64-50}{- 38}$ = $\frac{14}{- 38}$ = $- \frac{7}{19}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 19$ " teilen:

$- 19 x^{2} - 64 x - 21$ = 0 |: $- 19$

$x^{2} + \frac{64}{19} x + \frac{21}{19}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{32}{19})}^{2} - (\frac{21}{19})$ = $\frac{1024}{361}$ $-$ $\frac{21}{19}$ = $\frac{1024}{361}$ $-$ $\frac{399}{361}$ = $\frac{625}{361}$

x_1,2 = $- \frac{32}{19}$ ± $\sqrt{\frac{625}{361}}$

x₁ = $- \frac{32}{19}$ - $\frac{25}{19}$ = $- \frac{57}{19}$ = -3

x₂ = $- \frac{32}{19}$ + $\frac{25}{19}$ = $- \frac{7}{19}$ = -0.36842105263158

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{7}{19}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 19 \cdot {(- 2)}^{2} + 48 \cdot (- 2) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 19 x^{2}$	$+ 48 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$2 x^{2} + 15 x + 18$
-( $2 x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$15 x^{2}$	$+ 48 x$
	-( $15 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$18 x$	$+ 36$
		-( $18 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = $(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 2)$

(2 x^{2} + 15 x + 18) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 18}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15+9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 15-9}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x + 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 19 \cdot {(- 6)}^{2} + 48 \cdot (- 6) + 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 19 x^{2}$	$+ 48 x$	$+ 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$2 x^{2} + 7 x + 6$
-( $2 x^{3}$	$+ 12 x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$+ 48 x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 42 x$ )
		$6 x$	$+ 36$
		-( $6 x$	$+ 36$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 19 x^{2} + 48 x + 36$ = $(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 6)$

(2 x^{2} + 7 x + 6) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7+1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 7-1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 6$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $- 1,5$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | 2 x + 8 | - 1$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| 2 x + 8 \| - 1$	=	$9$	\| $+ 1$
$\frac{1}{3} \| 2 x + 8 \|$	=	$10$	\|⋅ $3$
$\| 2 x + 8 \|$	=	$30$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

$2 x + 8$	=	$30$	\| $- 8$
$2 x$	=	$22$	\|: $2$
x₁	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$2 \cdot 11 + 8$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $2 x + 8$ < 0:

$- (2 x + 8)$	=	$30$
$- 2 x - 8$	=	$30$	\| $+ 8$
$- 2 x$	=	$38$	\|:( $- 2$ )
x₂	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $2 x + 8$ < 0) genügt:

$2 \cdot (- 19) + 8$ = -30 < 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $11$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 3 x - 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} + 3 x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 8 t$ = 0 wird.

$9 + 8 t$	=	0
$8 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$8 t$	=	$- 9$	\|: $8$
$t$	=	$- \frac{9}{8}$

Für t = $- \frac{9}{8}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 2x +8 ≥ 0:

2. Fall: 2x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $2 x + 8$ < 0: