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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 6 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 6 e^{- 2 x} + 1

=

e^{- x}

|

- e^{- x}

- e^{- x} - 6 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$- e^{- x} - 6 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} - e^{x} - 6$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $e^{- (\ln (3))}$ = 0.333 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |0.333)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $30 x + 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $30 x + 2$ gilt m = $30$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + x$

Also muss gelten:

x^{2} + x

=

30

|

- 30

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 6$ ; $5$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $30$ und sind somit parallel zur Geraden y = $30 x + 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 30 e^{2 x}$ = $11 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{6 x} + 30 e^{2 x}$	=	$11 e^{4 x}$	\| $- 11 e^{4 x}$
$e^{6 x} - 11 e^{4 x} + 30 e^{2 x}$	=	0
$(e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 11 e^{2 x} + 30

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 11 u + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $6$

$e^{2 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (6)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (6)$	≈ 0.8959

u₂: $e^{2 x}$ = $5$

$e^{2 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (5)$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} \ln (5)$	≈ 0.8047

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (5)$ ; $\frac{1}{2} \ln (6)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} + \frac{- 48 x}{6 x - 2}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ ; 0}

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - \frac{48 x}{6 x - 2}$	=	0
$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - \frac{48 x}{2 (3 x - 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{16 x}{3 x - 1} + \frac{5 x - 1}{3 x} - \frac{48 x}{2 (3 x - 1)}$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{16 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) + \frac{5 x - 1}{3 x} \cdot (3 x - 1) - \frac{48 x}{2 (3 x - 1)} \cdot (3 x - 1)$	=
$16 x + \frac{(5 x - 1) (3 x - 1)}{3 x} - 24 x$	=
$16 x + \frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} - 24 x$	=
$\frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} + 16 x - 24 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} + 16 x - 24 x$	=	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{15 x^{2} - 8 x + 1}{3 x} \cdot 3 x + 16 x \cdot 3 x - 24 x \cdot 3 x$	=
$15 x^{2} - 8 x + 1 + 48 x \cdot x - 72 x \cdot x$	=
$15 x^{2} - 8 x + 1 + 48 x^{2} - 72 x^{2}$	=
$- 9 x^{2} - 8 x + 1$	=

$- 9 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 1}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{- 18}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{8+10}{- 18}$ = $\frac{18}{- 18}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{8-10}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 8 x + 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{8}{9} x - \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{9})}^{2} - (- \frac{1}{9})$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $- \frac{4}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $- \frac{4}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $- \frac{9}{9}$ = -1

x₂ = $- \frac{4}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $\frac{1}{9}$ = 0.11111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{9}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 112$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 112$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $112$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 54 \cdot 2 + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 54 x$	$+ 112$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 56$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 54 x$
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 56 x$	$+ 112$
		-( $- 56 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 112$ = $(x^{2} - x - 56) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 56) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1+15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1-15}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} - 3 \cdot {(- 7)}^{2} - 54 \cdot (- 7) + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 54 x$	$+ 112$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 54 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 70 x$ )
		$16 x$	$+ 112$
		-( $16 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 112$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 54 \cdot 8 + 112$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 54 x$	$+ 112$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 54 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 40 x$ )
		$- 14 x$	$+ 112$
		-( $- 14 x$	$+ 112$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 54 x + 112$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

L={ $- 7$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x + 15 | + 8$ = $5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x + 15 \| + 8$	=	$5$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| - 3 x + 15 \|$	=	$- 3$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x + 15 \|$	=	$- 9$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 4 t x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 4 t x - 2 t) \cdot e^{- \frac{1}{3} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 4 t x - 2 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{3} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{3} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 4 t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 4 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{{(- 4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 8 t$	=	0
$8 t (2 t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 1$	\|: $2$
t₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Da bei $16 t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $16 t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- \frac{1}{2}$ < t < $0$ , also für t > $- \frac{1}{2}$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $8$