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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - 12 e^{x}$ und $g(x) =$ $- e^{2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - 12 e^{x}$	=	$- e^{2 x}$	\| $+ e^{2 x}$
$e^{3 x} + e^{2 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} + e^{x} - 12) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} + e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $3$

$e^{x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (3)$	≈ 1.0986

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\ln (3)$ : f( $\ln (3)$ )= $- e^{2 \cdot (\ln (3))}$ = -9 Somit gilt: S₁( $\ln (3)$ |-9)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 6$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 3 + 12 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $- 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{3} x} + 24 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 6 x) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $6$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{x} + 6) \cdot (x^{2} - 4)$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{x} + 6) (x^{2} - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 8 e^{x}$	=	$- 6$	\|: $- 8$
$e^{x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{3}{4})$	≈ -0.2877

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $\ln (\frac{3}{4})$ ; $2$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3} + \frac{12 x}{x - 2} + \frac{- 60 x}{3 x - 9}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{x - 3} - \frac{60 x}{3 x - 9}$	=	0
$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{x - 3} - \frac{60 x}{3 (x - 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + \frac{4 x}{x - 3} - \frac{60 x}{3 (x - 3)}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + \frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 2) - \frac{60 x}{3 (x - 3)} \cdot (x - 2)$	=
$12 x + \frac{4 x (x - 2)}{x - 3} - \frac{20 x (x - 2)}{x - 3}$	=
$12 x + \frac{4 x^{2} - 8 x}{x - 3} - \frac{20 x^{2} - 40 x}{x - 3}$	=
$\frac{4 x^{2} - 8 x - 20 x^{2} + 40 x}{x - 3} + 12 x$	=

\frac{4 x^{2} - 20 x^{2} - 8 x + 40 x}{x - 3} + 12 x

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 20 x^{2} - 8 x + 40 x}{x - 3} + 12 x$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{4 x^{2} - 20 x^{2} - 8 x + 40 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + 12 x \cdot (x - 3)$	=
$4 x^{2} - 20 x^{2} - 8 x + 40 x + 12 x (x - 3)$	=
$4 x^{2} - 20 x^{2} - 8 x + 40 x + (12 x^{2} - 36 x)$	=
$- 4 x^{2} - 4 x$	=

$- 4 x^{2} - 4 x$	=	0
$- 4 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 11 x^{2} + 24 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 11 x^{2} + 24 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 36$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 12 x + 36$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$12 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $12 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$36 x$	$- 36$
		-( $36 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 24 x - 36$ = $(x^{2} + 12 x + 36) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 12 x + 36) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 6$ ± 0 = $- 6$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 11 \cdot {(- 6)}^{2} + 24 \cdot (- 6) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 11 x^{2}$	$+ 24 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 5 x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 24 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 30 x$ )
		$- 6 x$	$- 36$
		-( $- 6 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 11 x^{2} + 24 x - 36$ = $(x^{2} + 5 x - 6) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 5 x - 6) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $1$ }

$- 6$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x + 2 | - 3$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x + 2 \| - 3$	=	$- 5$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| - x + 2 \|$	=	$- 2$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x + 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

$- x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ ≥ 0) genügt:

$- (- 4) + 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x + 2$ < 0:

$- (- x + 2)$	=	$6$
$x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
x₂	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x + 2$ < 0) genügt:

$- 8 + 2$ = -6 < 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - x + 3 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 - 12 t$ = 0 wird.

$1 - 12 t$	=	0
$- 12 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 12 t$	=	$- 1$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{1}{12}$

Für t = $\frac{1}{12}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x +2 ≥ 0:

2. Fall: -x +2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $- x + 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- x + 2$ < 0: