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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 7 x$ und $g(x) =$ $\frac{8}{x^{2}}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$x^{4} + 7 x$	=	$\frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$x^{4} \cdot x^{2} + 7 x \cdot x^{2}$	=	$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{4} \cdot x^{2} + 7 x \cdot x^{2}$	=	$8$
$x^{6} + 7 x^{3}$	=	$8$

x^{6} + 7 x^{3}

=

8

|

- 8

x^{6} + 7 x^{3} - 8

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 7 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $- 8$

$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $\frac{8}{{(- 2)}^{2}}$ = 2 Somit gilt: S₁( $- 2$ |2)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $\frac{8}{1^{2}}$ = 8 Somit gilt: S₂( $1$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ parallel zur Geraden y = $24 x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $24 x - 4$ gilt m = $24$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

f'(x)= $x^{2} + 2 x$

Also muss gelten:

x^{2} + 2 x

=

24

|

- 24

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

L={ $- 6$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $24$ und sind somit parallel zur Geraden y = $24 x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(9 e^{2 x} - 5) \cdot (x^{3} - x)$ = 0

Lösung einblenden

(9 e^{2 x} - 5) \cdot (x^{3} - x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$9 e^{2 x} - 5$	=	0	\| $+ 5$
$9 e^{2 x}$	=	$5$	\|: $9$
$e^{2 x}$	=	$\frac{5}{9}$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (\frac{5}{9})$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{9})$	≈ -0.2939

2. Fall:

$x^{3} - x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $\frac{1}{2} \ln (\frac{5}{9})$ ; 0; $1$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; 0}

\frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3 + \frac{4}{x}

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} - 3 + \frac{4}{x}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - 3 \cdot (2 x - 5) + \frac{4}{x} \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x - 2 - 6 x + 15 + 4 \frac{2 x - 5}{x}$	=
$\frac{4 (2 x - 5)}{x} + 2 x - 6 x - 2 + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4 (2 x - 5)}{x} + 2 x - 6 x - 2 + 15$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{4 (2 x - 5)}{x} \cdot x + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x - 2 \cdot x + 15 \cdot x$	=
$8 x - 20 + 2 x \cdot x - 6 x \cdot x - 2 x + 15 x$	=
$8 x - 20 + 2 x^{2} - 6 x^{2} - 2 x + 15 x$	=
$- 4 x^{2} + 21 x - 20$	=

$- 4 x^{2} + 21 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 320}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 21+11}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 21-11}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 21 x - 20$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - 5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $5$ = $\frac{441}{64}$ $-$ $\frac{320}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,25$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $12$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 1)}^{3} + 13 \cdot {(- 1)}^{2} + 23 \cdot (- 1) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$2 x^{2} + 11 x + 12$
-( $2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 11 x$ )
		$12 x$	$+ 12$
		-( $12 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 1)$

(2 x^{2} + 11 x + 12) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11+5}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 11-5}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - 6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $6$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn $2 \cdot {(- 4)}^{3} + 13 \cdot {(- 4)}^{2} + 23 \cdot (- 4) + 12$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $2 x^{3}$	$+ 13 x^{2}$	$+ 23 x$	$+ 12$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$2 x^{2} + 5 x + 3$
-( $2 x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 23 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$3 x$	$+ 12$
		-( $3 x$	$+ 12$ )
			0

es gilt also:

$2 x^{3} + 13 x^{2} + 23 x + 12$ = $(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 4)$

(2 x^{2} + 5 x + 3) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5+1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 5-1}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; $- 1,5$ ; $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 4 x - 20 | - 5$ = $11$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \| - 5$	=	$11$	\| $+ 5$
$\frac{1}{3} \| - 4 x - 20 \|$	=	$16$	\|⋅ $3$
$\| - 4 x - 20 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

$- 4 x - 20$	=	$48$	\| $+ 20$
$- 4 x$	=	$68$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 17) - 20$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0:

$- (- 4 x - 20)$	=	$48$
$4 x + 20$	=	$48$	\| $- 20$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x - 20$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 7 - 20$ = -48 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $3 t x^{4} - x^{2}$ genau 3 Nullstellen?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$3 t x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (3 t x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$3 t x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$3 t x^{2}$	=	$1$	\|: $3 t$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $- \frac{1}{1,7321} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t})}$	= $\frac{1}{1,7321} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$- x^{2}$	=	$0$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t > 0 gibt es also 3 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x -20 ≥ 0:

2. Fall: -4x -20 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

1. Fall: $- 4 x - 20$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x - 20$ < 0: