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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 10 x$ und $g(x) =$ $- \frac{9}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 10 x$	=	$- \frac{9}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 10 x \cdot x$	=	$- \frac{9}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 10 x \cdot x$	=	$- 9$
$x^{4} - 10 x^{2}$	=	$- 9$

x^{4} - 10 x^{2}

=

- 9

|

+ 9

x^{4} - 10 x^{2} + 9

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 10 u + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $9$

$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ ; $1$ ; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )= $- \frac{9}{(- 3)}$ = 3 Somit gilt: S₁( $- 3$ |3)

x₂ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{9}{(- 1)}$ = 9 Somit gilt: S₂( $- 1$ |9)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{9}{1}$ = -9 Somit gilt: S₃( $1$ |-9)

x₄ = $3$ : f( $3$ )= $- \frac{9}{3}$ = -3 Somit gilt: S₄( $3$ |-3)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $x + 9 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $x + 9 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

f'(x)= $9 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$

Also muss gelten:

$9 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	$1$	\| $- 1$
$9 e^{- \frac{1}{3} x} + 1 - 1 - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$9 e^{- \frac{1}{3} x} - 3 x \cdot e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0
$3 (- x + 3) e^{- \frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$3$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{3} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $3$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 35 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{4 x} - 12 e^{3 x} + 35 e^{2 x}$	=	0
$(e^{2 x} - 12 e^{x} + 35) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - 12 e^{x} + 35

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 12 u + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $7$

$e^{x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (7)$	≈ 1.9459

u₂: $e^{x}$ = $5$

$e^{x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
x₂	=	$\ln (5)$	≈ 1.6094

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (5)$ ; $\ln (7)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 2}{x} + \frac{3 x}{2 x + 1} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; 0}

\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{3 x - 2}{x} - 6

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{3 x - 2}{x} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{3 x - 2}{x} \cdot (2 x + 1) - 6 \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{(3 x - 2) (2 x + 1)}{x} - 12 x - 6$	=
$3 x + \frac{6 x^{2} - x - 2}{x} - 12 x - 6$	=
$\frac{6 x^{2} - x - 2}{x} + 3 x - 12 x - 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{6 x^{2} - x - 2}{x} + 3 x - 12 x - 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{6 x^{2} - x - 2}{x} \cdot x + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x - 6 \cdot x$	=
$6 x^{2} - x - 2 + 3 x \cdot x - 12 x \cdot x - 6 x$	=
$6 x^{2} - x - 2 + 3 x^{2} - 12 x^{2} - 6 x$	=
$- 3 x^{2} - 7 x - 2$	=

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7+5}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{7-5}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 4 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 4 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 4 \cdot {(- 1)}^{3} - 21 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 21 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$3 x^{3}$	$- 21 x^{2}$
	-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
		$- 24 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 24 x^{2}$	$- 24 x$ )
			$28 x$	$+ 28$
			-( $28 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 28$ = $(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 3 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$- 14 x$	$+ 28$
		-( $- 14 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 3 \cdot {(- 7)}^{2} - 24 \cdot (- 7) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$	$- 24 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 24 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 28 x$ )
		$4 x$	$+ 28$
		-( $4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 28$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₂	=	$- 7$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{4} + 4 \cdot 2^{3} - 21 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 21 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$
-( $x^{4}$	$- 2 x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$- 21 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$- 12 x^{2}$ )
		$- 9 x^{2}$	$+ 4 x$
		-( $- 9 x^{2}$	$+ 18 x$ )
			$- 14 x$	$+ 28$
			-( $- 14 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 28$ = $(x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14) \cdot (x - 2)$

(x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 6 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 9 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 14 x$	$- 14$
		-( $- 14 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 9 x$	$- 14$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$7 x$	$- 14$
		-( $7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = $(x^{2} + 8 x + 7) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 8 x + 7) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 6 \cdot {(- 7)}^{2} - 9 \cdot (- 7) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 9 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 2 x$	$- 14$
		-( $- 2 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 14$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - x - 2) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₄	=	$2$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{4} + 4 \cdot {(- 7)}^{3} - 21 \cdot {(- 7)}^{2} + 4 \cdot (- 7) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 4 x^{3}$	$- 21 x^{2}$	$+ 4 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4$
-( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$ )
	$- 3 x^{3}$	$- 21 x^{2}$
	-( $- 3 x^{3}$	$- 21 x^{2}$ )
		0	$+ 4 x$
		-(0	0)
			$4 x$	$+ 28$
			-( $4 x$	$+ 28$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 4 x^{3} - 21 x^{2} + 4 x + 28$ = $(x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 7)$

$(x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 4) \cdot (x + 7)$	=	0
$(x^{3} - 3 x^{2} + 4) (x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $4$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$		$+ 4$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	0
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$4 x$	$+ 4$
		-( $4 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = $(x^{2} - 4 x + 4) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x + 4) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $2$

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 4$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$		$+ 4$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} - x - 2$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$- x^{2}$	0
	-( $- x^{2}$	$+ 2 x$ )
		$- 2 x$	$+ 4$
		-( $- 2 x$	$+ 4$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ = $(x^{2} - x - 2) \cdot (x - 2)$

(x^{2} - x - 2) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 1$ ; $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | - x - 5 | - 6$ = $- 10$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| - x - 5 \| - 6$	=	$- 10$	\| $+ 6$
$- \frac{1}{3} \| - x - 5 \|$	=	$- 4$	\|⋅ $(- 3)$
$\| - x - 5 \|$	=	$12$

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

$- x - 5$	=	$12$	\| $+ 5$
$- x$	=	$17$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 17$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ ≥ 0) genügt:

$- (- 17) - 5$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $- 17$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- x - 5$ < 0:

$- (- x - 5)$	=	$12$
$x + 5$	=	$12$	\| $- 5$
x₂	=	$7$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- x - 5$ < 0) genügt:

$- 7 - 5$ = -12 < 0

Die Lösung $7$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 17$ ; $7$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + t x - 2 t) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + t x - 2 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{2} x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{2} x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + t x - 2 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- t \pm \sqrt{{(t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- t \pm \sqrt{t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$t^{2} + 8 t$	=	0
$t (t + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 8$	=	0	\| $- 8$
t₂	=	$- 8$

Für t = $- 8$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -x -5 ≥ 0:

2. Fall: -x -5 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $2$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $- 7$

Polynomdivision mit $2$

1. Fall: $- x - 5$ ≥ 0:

2. Fall: $- x - 5$ < 0: