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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} + 6 e^{- 2 x}$ und $g(x) =$ $5 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} + 6 e^{- 2 x}$	=	$5 e^{x}$	\| $- 5 e^{x}$
$e^{4 x} - 5 e^{x} + 6 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (2)$ )= $5 e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$ = 6.3 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (2)$ |6.3)

x₂ = $\frac{1}{3} \ln (3)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (3)$ )= $5 e^{\frac{1}{3} \ln (3)}$ = 7.211 Somit gilt: S₂( $\frac{1}{3} \ln (3)$ |7.211)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{7} x^{7}$ parallel zur Geraden y = $x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $x - 5$ gilt m = $1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{7} x^{7}$

f'(x)= $x^{6}$

Also muss gelten:

$x^{6}$	=	$1$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt[6]{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 5 e^{- 2 x} + 2) \cdot (x + 9)$ = 0

Lösung einblenden

(- 5 e^{- 2 x} + 2) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 e^{- 2 x} + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 5 e^{- 2 x}$	=	$- 2$	\|: $- 5$
$e^{- 2 x}$	=	$\frac{2}{5}$	\|ln(⋅)
$- 2 x$	=	$\ln (\frac{2}{5})$	\|: $- 2$
x₁	=	$- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{5})$	≈ 0.4581

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $- \frac{1}{2} \ln (\frac{2}{5})$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{3 x}{2 (x - 1)} - 3

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 1)} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - 3 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x - 6 x + 6$	=
$- 3 x + 6$	=

$- 3 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 45$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 1)}^{3} - 19 \cdot {(- 1)}^{2} - 67 \cdot (- 1) - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$3 x^{2} - 22 x - 45$
-( $3 x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$- 22 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $- 22 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$- 45 x$	$- 45$
		-( $- 45 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x + 1)$

(3 x^{2} - 22 x - 45) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 540}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22+32}{6}$ = $\frac{54}{6}$ = $9$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{22-32}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 22 x - 45$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{22}{3} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{3})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $15$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{135}{9}$ = $\frac{256}{9}$

x_1,2 = $\frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{256}{9}}$

x₁ = $\frac{11}{3}$ - $\frac{16}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{11}{3}$ + $\frac{16}{3}$ = $\frac{27}{3}$ = 9

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 9^{3} - 19 \cdot 9^{2} - 67 \cdot 9 - 45$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$- 19 x^{2}$	$- 67 x$	$- 45$ )	:	(x $- 9$ )	=	$3 x^{2} + 8 x + 5$
-( $3 x^{3}$	$- 27 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 67 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$5 x$	$- 45$
		-( $5 x$	$- 45$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} - 19 x^{2} - 67 x - 45$ = $(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 9)$

(3 x^{2} + 8 x + 5) \cdot (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8+2}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 8-2}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $- 1$ ; $9$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x - 2 | - 2$ = $- 8$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x - 2 \| - 2$	=	$- 8$	\| $+ 2$
$- \| - 2 x - 2 \|$	=	$- 6$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$6$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

$- 2 x - 2$	=	$6$	\| $+ 2$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 4) - 2$ = 6 ≥ 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0:

$- (- 2 x - 2)$	=	$6$
$2 x + 2$	=	$6$	\| $- 2$
$2 x$	=	$4$	\|: $2$
x₂	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x - 2$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 2 - 2$ = -6 < 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $2$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} + 3 x + 3 t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} + 3 x + 3 t) \cdot e^{\frac{1}{3} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} + 3 x + 3 t$ = 0 oder $e^{\frac{1}{3} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{\frac{1}{3} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} + 3 x + 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} + 3 x + 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 - 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 - 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 - 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 - 12 t$ = 0 wird.

$9 - 12 t$	=	0
$- 12 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 12 t$	=	$- 9$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{3}{4}$ = 0.75

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{3}{4}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $9 - 12 \cdot 2$ = -15 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $9 - 12 t$ für t > $\frac{3}{4}$ kleiner 0 und für t < $\frac{3}{4}$ größer 0

Für t > $\frac{3}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x -2 ≥ 0:

2. Fall: -2x -2 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 2 x - 2$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x - 2$ < 0: