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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{8 x} - 7 e^{2 x}$ und $g(x) =$ $6 e^{5 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{8 x} - 7 e^{2 x}$	=	$6 e^{5 x}$	\| $- 6 e^{5 x}$
$e^{8 x} - 6 e^{5 x} - 7 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7) e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 6 e^{3 x} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $7$

$e^{3 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (7)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (7)$	≈ 0.6486

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (7)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{1}{3} \ln (7)$ : f( $\frac{1}{3} \ln (7)$ )= $6 e^{5 \cdot (\frac{1}{3} \ln (7))}$ = 153.691 Somit gilt: S₁( $\frac{1}{3} \ln (7)$ |153.691)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 1 + 2 x \cdot e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x - 4$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 1 + 2 x \cdot e^{3 x}$

f'(x)= $2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$

Also muss gelten:

$2 e^{3 x} - 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$2 e^{3 x} - 1 + 1 + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 e^{3 x} + 6 x \cdot e^{3 x}$	=	0
$2 (3 x + 1) e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$3 x$	=	$- 1$	\|: $3$
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- \frac{1}{3}$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x - 4$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 6 e^{x}$ = $5 e^{4 x}$

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 6 e^{x}$	=	$5 e^{4 x}$	\| $- 5 e^{4 x}$
$e^{7 x} - 5 e^{4 x} + 6 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 5 e^{3 x} + 6

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $2$

$e^{3 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (2)$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} \ln (2)$	≈ 0.231

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (2)$ ; $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{- 5 x}{3 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $1$ }

$\frac{4 x}{3 x - 6} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - \frac{5 x}{3 x - 6}$	=	0
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - \frac{5 x}{3 (x - 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x - 2)} + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} - \frac{5 x}{3 (x - 2)}$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{4 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (3 (x - 2)) - \frac{5 x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=
$4 x + 3 \frac{(x + 1) (x - 2)}{2 (x - 1)} - 5 x$	=
$4 x + \frac{3 (x^{2} - x - 2)}{2 (x - 1)} - 5 x$	=
$\frac{3 (x^{2} - x - 2)}{2 (x - 1)} + 4 x - 5 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 (x^{2} - x - 2)}{2 (x - 1)} + 4 x - 5 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 (x^{2} - x - 2)}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + 4 x \cdot (2 (x - 1)) - 5 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + 8 x (x - 1) - 10 x (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 3 x - 6 + (8 x^{2} - 8 x) + (- 10 x^{2} + 10 x)$	=
$x^{2} - x - 6$	=

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + x^{3} - 62 x^{2} - 228 x - 216$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + x^{3} - 62 x^{2} - 228 x - 216$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 216$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{3} - 62 \cdot {(- 2)}^{2} - 228 \cdot (- 2) - 216$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ x^{3}$	$- 62 x^{2}$	$- 228 x$	$- 216$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$
-( $x^{4}$	$+ 2 x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 62 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
		$- 60 x^{2}$	$- 228 x$
		-( $- 60 x^{2}$	$- 120 x$ )
			$- 108 x$	$- 216$
			-( $- 108 x$	$- 216$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + x^{3} - 62 x^{2} - 228 x - 216$ = $(x^{3} - x^{2} - 60 x - 108) \cdot (x + 2)$

(x^{3} - x^{2} - 60 x - 108) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 108$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 60 \cdot (- 2) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 3 x - 54$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 54 x$	$- 108$
		-( $- 54 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} - 3 x - 54) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 3 x - 54) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} - {(- 6)}^{2} - 60 \cdot (- 6) - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$- 18 x$	$- 108$
		-( $- 18 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 6)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 9^{2} - 60 \cdot 9 - 108$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- 60 x$	$- 108$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- 60 x$
	-( $8 x^{2}$	$- 72 x$ )
		$12 x$	$- 108$
		-( $12 x$	$- 108$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - 60 x - 108$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₄	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{4} + {(- 6)}^{3} - 62 \cdot {(- 6)}^{2} - 228 \cdot (- 6) - 216$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ x^{3}$	$- 62 x^{2}$	$- 228 x$	$- 216$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$
-( $x^{4}$	$+ 6 x^{3}$ )
	$- 5 x^{3}$	$- 62 x^{2}$
	-( $- 5 x^{3}$	$- 30 x^{2}$ )
		$- 32 x^{2}$	$- 228 x$
		-( $- 32 x^{2}$	$- 192 x$ )
			$- 36 x$	$- 216$
			-( $- 36 x$	$- 216$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + x^{3} - 62 x^{2} - 228 x - 216$ = $(x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36) \cdot (x + 6)$

(x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 32 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x - 18) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 5 \cdot 9^{2} - 32 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{4} + 9^{3} - 62 \cdot 9^{2} - 228 \cdot 9 - 216$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ x^{3}$	$- 62 x^{2}$	$- 228 x$	$- 216$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$
-( $x^{4}$	$- 9 x^{3}$ )
	$10 x^{3}$	$- 62 x^{2}$
	-( $10 x^{3}$	$- 90 x^{2}$ )
		$28 x^{2}$	$- 228 x$
		-( $28 x^{2}$	$- 252 x$ )
			$24 x$	$- 216$
			-( $24 x$	$- 216$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + x^{3} - 62 x^{2} - 228 x - 216$ = $(x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24) \cdot (x - 9)$

(x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24) (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $24$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} + 10 \cdot {(- 2)}^{2} + 28 \cdot (- 2) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 12$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $8 x^{2}$	$+ 16 x$ )
		$12 x$	$+ 24$
		-( $12 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$ = $(x^{2} + 8 x + 12) \cdot (x + 2)$

(x^{2} + 8 x + 12) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn ${(- 6)}^{3} + 10 \cdot {(- 6)}^{2} + 28 \cdot (- 6) + 24$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 10 x^{2}$	$+ 28 x$	$+ 24$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$+ 28 x$
	-( $4 x^{2}$	$+ 24 x$ )
		$4 x$	$+ 24$
		-( $4 x$	$+ 24$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 10 x^{2} + 28 x + 24$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x + 6)$

(x^{2} + 4 x + 4) (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₃	=	$9$

L={ $- 6$ ; $- 2$ ; $9$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | 3 x + 9 | - 3$ = $- 12$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \| - 3$	=	$- 12$	\| $+ 3$
$- \frac{1}{3} \| 3 x + 9 \|$	=	$- 9$	\|⋅ $(- 3)$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$27$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$27$	\| $- 9$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 6 + 9$ = 27 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$27$
$- 3 x - 9$	=	$27$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$36$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 12) + 9$ = -27 < 0

Die Lösung $- 12$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 12$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x + 2 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 4 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} - 4 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 4 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 4 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 8 t$	=	$- 20$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{2}$ beispielsweise für t = 4 der Radikand $16 + (- 8 \cdot 4 + 4)$ = -12 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + (- 8 t + 4)$ für t > $\frac{5}{2}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{2}$ größer 0

Für t < $\frac{5}{2}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $- 6$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $9$

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: