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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} + 4$ und $g(x) =$ $4 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} + 4

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

L={ $2$ }

$2$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $4 \cdot 2$ = 8 Somit gilt: S₁( $2$ |8)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 4 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x - 1$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 4 + 8 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 - 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 16 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$4 (- x^{2} + 4 x) \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 7 e^{- x} + 3) \cdot (x^{4} - 5 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 7 e^{- x} + 3) \cdot (x^{4} - 5 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 7 e^{- x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 7 e^{- x}$	=	$- 3$	\|: $- 7$
$e^{- x}$	=	$\frac{3}{7}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{3}{7})$	\|: $- 1$
x₁	=	$- \ln (\frac{3}{7})$	≈ 0.8473

2. Fall:

$x^{4} - 5 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₃	=	$5$

L={0; $- \ln (\frac{3}{7})$ ; $5$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x - 2}{x - 2} - 3$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$	=
$2 x - 2 - 3 x + 6$	=
$- x + 4$	=

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 36$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 5 \cdot {(- 2)}^{2} - 32 \cdot (- 2) - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 7 x - 18$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 7 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $- 7 x^{2}$	$- 14 x$ )
		$- 18 x$	$- 36$
		-( $- 18 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 7 x - 18) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $9$

$9$ ist eine Lösung, denn $9^{3} - 5 \cdot 9^{2} - 32 \cdot 9 - 36$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 9$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$	$- 32 x$	$- 36$ )	:	(x $- 9$ )	=	$x^{2} + 4 x + 4$
-( $x^{3}$	$- 9 x^{2}$ )
	$4 x^{2}$	$- 32 x$
	-( $4 x^{2}$	$- 36 x$ )
		$4 x$	$- 36$
		-( $4 x$	$- 36$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 5 x^{2} - 32 x - 36$ = $(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 9)$

(x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

2. Fall:

$x - 9$	=	0	\| $+ 9$
x₂	=	$9$

L={ $- 2$ ; $9$ }

$- 2$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | - 4 x + 8 | - 7$ = $17$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \| - 7$	=	$17$	\| $+ 7$
$\frac{1}{2} \| - 4 x + 8 \|$	=	$24$	\|⋅ $2$
$\| - 4 x + 8 \|$	=	$48$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

$- 4 x + 8$	=	$48$	\| $- 8$
$- 4 x$	=	$40$	\|:( $- 4$ )
x₁	=	$- 10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 4 \cdot (- 10) + 8$ = 48 ≥ 0

Die Lösung $- 10$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0:

$- (- 4 x + 8)$	=	$48$
$4 x - 8$	=	$48$	\| $+ 8$
$4 x$	=	$56$	\|: $4$
x₂	=	$14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 4 x + 8$ < 0) genügt:

$- 4 \cdot 14 + 8$ = -48 < 0

Die Lösung $14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 10$ ; $14$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 5 x + 4 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 5 x + 4 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 - 16 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 - 16 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 - 16 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 - 16 t$ = 0 wird.

$25 - 16 t$	=	0
$- 16 t + 25$	=	0	\| $- 25$
$- 16 t$	=	$- 25$	\|:( $- 16$ )
$t$	=	$\frac{25}{16}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{25}{16}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $25 - 16 \cdot 3$ = -23 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 - 16 t$ für t > $\frac{25}{16}$ kleiner 0 und für t < $\frac{25}{16}$ größer 0

Für t > $\frac{25}{16}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 9

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -4x +8 ≥ 0:

2. Fall: -4x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $9$

1. Fall: $- 4 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 4 x + 8$ < 0: