Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 7 x$ und $g(x) =$ $- 10$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{2} - 7 x

=

- 10

|

+ 10

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2$ : f( $2$ )= $- 10$ Somit gilt: S₁( $2$ |-10)

x₂ = $5$ : f( $5$ )= $- 10$ Somit gilt: S₂( $5$ |-10)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $- x + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $- x + 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- x + 1$ gilt m = $- 1$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $- x + 4 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

f'(x)= $- 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$- 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- 1 + 1 - 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$- 2 x^{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (- x^{2} + 4 x) \cdot e^{- \frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 1$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- x + 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} - 7 x^{2}$ = $- 6 x^{4}$

Lösung einblenden

$x^{6} - 7 x^{2}$	=	$- 6 x^{4}$	\| $+ 6 x^{4}$
$x^{6} + 6 x^{4} - 7 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{4} + 6 x^{2} - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{4} + 6 x^{2} - 7

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $- 7$

x^{2}

=

- 7

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 3} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{2 x + 2} - 6$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 3} + \frac{4 x}{2 (x + 1)} - 6$	=	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{3 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) + \frac{4 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 3) - 6 \cdot (2 x + 3)$	=
$3 x + \frac{2 x \cdot (2 x + 3)}{x + 1} - 12 x - 18$	=
$3 x + \frac{4 x^{2} + 6 x}{x + 1} - 12 x - 18$	=
$\frac{4 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 3 x - 12 x - 18$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x^{2} + 6 x}{x + 1} + 3 x - 12 x - 18$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x^{2} + 6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) - 18 \cdot (x + 1)$	=
$4 x^{2} + 6 x + 3 x \cdot (x + 1) - 12 x \cdot (x + 1) - 18 x - 18$	=
$4 x^{2} + 6 x + (3 x^{2} + 3 x) + (- 12 x^{2} - 12 x) - 18 x - 18$	=
$- 5 x^{2} - 21 x - 18$	=

$- 5 x^{2} - 21 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{81}}{- 10}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{21+9}{- 10}$ = $\frac{30}{- 10}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{81}}{- 10}$ = $\frac{21-9}{- 10}$ = $\frac{12}{- 10}$ = $- 1,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 21 x - 18$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{21}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $- \frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $- \frac{21}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{21}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $- \frac{12}{10}$ = -1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $28$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 25 \cdot 1 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} - 3 x - 28$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$- 3 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $- 3 x^{2}$	$+ 3 x$ )
		$- 28 x$	$+ 28$
		-( $- 28 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = $(x^{2} - 3 x - 28) \cdot (x - 1)$

(x^{2} - 3 x - 28) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} - 4 \cdot {(- 4)}^{2} - 25 \cdot (- 4) + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 28$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} - 8 x + 7$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$- 8 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $- 8 x^{2}$	$- 32 x$ )
		$7 x$	$+ 28$
		-( $7 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = $(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 4)$

(x^{2} - 8 x + 7) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 4 \cdot 7^{2} - 25 \cdot 7 + 28$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 25 x$	$+ 28$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 3 x - 4$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 25 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$- 4 x$	$+ 28$
		-( $- 4 x$	$+ 28$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x + 28$ = $(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 3 x - 4) \cdot (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 4$ ; $1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x + 9 | + 1$ = $13$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x + 9 \| + 1$	=	$13$	\| $- 1$
$\frac{1}{2} \| 3 x + 9 \|$	=	$12$	\|⋅ $2$
$\| 3 x + 9 \|$	=	$24$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

$3 x + 9$	=	$24$	\| $- 9$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
x₁	=	$5$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 5 + 9$ = 24 ≥ 0

Die Lösung $5$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x + 9$ < 0:

$- (3 x + 9)$	=	$24$
$- 3 x - 9$	=	$24$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$33$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x + 9$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 11) + 9$ = -24 < 0

Die Lösung $- 11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 11$ ; $5$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 4 t x - 2 t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{{(- 4 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 t \pm \sqrt{16 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$16 t^{2} + 8 t$	=	0
$8 t \cdot (2 t + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$2 t + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 1$	\|: $2$
t₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

Für t = $- \frac{1}{2}$ oder für t = $0$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x +9 ≥ 0:

2. Fall: 3x +9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $3 x + 9$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x + 9$ < 0: