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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + \frac{16}{x}$ und $g(x) =$ $8 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} + \frac{16}{x}$	=	$8 x$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x + \frac{16}{x} \cdot x$	=	$8 x \cdot x$
$x^{3} \cdot x + 16$	=	$8 x \cdot x$
$x^{4} + 16$	=	$8 x \cdot x$
$x^{4} + 16$	=	$8 x^{2}$

x^{4} + 16

=

8 x^{2}

|

- 8 x^{2}

x^{4} - 8 x^{2} + 16

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 8 u + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₄	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $8 \cdot (- 2)$ = -16 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-16)

x₂ = $2$ : f( $2$ )= $8 \cdot 2$ = 16 Somit gilt: S₂( $2$ |16)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $14 x + 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $14 x + 3$ gilt m = $14$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $- 2$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $14$ und sind somit parallel zur Geraden y = $14 x + 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} - x^{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{8} - x^{5}$	=	0
$x^{5} (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{5}$	=	$0$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 5-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x + 1}{3 x - 5} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ ; $1$ }

\frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{x - 1} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{x + 1}{3 x - 5} + \frac{x + 1}{x - 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{x + 1}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) + \frac{x + 1}{x - 1} \cdot (3 x - 5) - 3 \cdot (3 x - 5)$	=
$x + 1 + \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{x - 1} - 9 x + 15$	=
$x + 1 + \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} - 9 x + 15$	=
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} + x - 9 x + 1 + 15$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} + x - 9 x + 1 + 15$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x - 1} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) - 9 x \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1) + 15 \cdot (x - 1)$	=
$3 x^{2} - 2 x - 5 + x (x - 1) - 9 x (x - 1) + x - 1 + 15 x - 15$	=
$3 x^{2} - 2 x - 5 + (x^{2} - x) + (- 9 x^{2} + 9 x) + x - 1 + 15 x - 15$	=
$- 5 x^{2} + 22 x - 21$	=

$- 5 x^{2} + 22 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{64}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 22+8}{- 10}$ = $\frac{- 14}{- 10}$ = $1,4$

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{64}}{- 10}$ = $\frac{- 22-8}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 22 x - 21$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{22}{5} x + \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{5})}^{2} - (\frac{21}{5})$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{11}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{11}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

x₂ = $\frac{11}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,4$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} - 3 x^{3} - 62 x^{2} + 192 x - 128$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} - 3 x^{3} - 62 x^{2} + 192 x - 128$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 128$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} - 3 \cdot 1^{3} - 62 \cdot 1^{2} + 192 \cdot 1 - 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$- 3 x^{3}$	$- 62 x^{2}$	$+ 192 x$	$- 128$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} - 2 x^{2} - 64 x + 128$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$- 2 x^{3}$	$- 62 x^{2}$
	-( $- 2 x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
		$- 64 x^{2}$	$+ 192 x$
		-( $- 64 x^{2}$	$+ 64 x$ )
			$128 x$	$- 128$
			-( $128 x$	$- 128$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} - 3 x^{3} - 62 x^{2} + 192 x - 128$ = $(x^{3} - 2 x^{2} - 64 x + 128) \cdot (x - 1)$

(x^{3} - 2 x^{2} - 64 x + 128) (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 2 x^{2} - 64 x + 128$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $128$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 64 \cdot 2 + 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 64 x$	$+ 128$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 0 - 64$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	0	$- 64 x$
	-(0	0)
		$- 64 x$	$+ 128$
		-( $- 64 x$	$+ 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 64 x + 128$ = $(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x - 2)$

$(x^{2} + 0 - 64) \cdot (x - 2)$	=	0
$(x^{2} - 64) (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{2}$	=	$64$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{64}$	= $- 8$
x₂	=	$\sqrt{64}$	= $8$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} - 2 \cdot {(- 8)}^{2} - 64 \cdot (- 8) + 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 64 x$	$+ 128$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 10 x + 16$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 10 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $- 10 x^{2}$	$- 80 x$ )
		$16 x$	$+ 128$
		-( $16 x$	$+ 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 64 x + 128$ = $(x^{2} - 10 x + 16) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 10 x + 16) (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

Polynomdivision mit $8$

$8$ ist eine Lösung, denn $8^{3} - 2 \cdot 8^{2} - 64 \cdot 8 + 128$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$	$- 64 x$	$+ 128$ )	:	(x $- 8$ )	=	$x^{2} + 6 x - 16$
-( $x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
	$6 x^{2}$	$- 64 x$
	-( $6 x^{2}$	$- 48 x$ )
		$- 16 x$	$+ 128$
		-( $- 16 x$	$+ 128$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 2 x^{2} - 64 x + 128$ = $(x^{2} + 6 x - 16) \cdot (x - 8)$

(x^{2} + 6 x - 16) (x - 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₃	=	$8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

L={ $- 8$ ; $1$ ; $2$ ; $8$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- | - 2 x - 2 | + 8$ = $18$

Lösung einblenden

$- \| - 2 x - 2 \| + 8$	=	$18$	\| $- 8$
$- \| - 2 x - 2 \|$	=	$10$	\|: $(- 1)$
$\| - 2 x - 2 \|$	=	$- 10$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 2 x + 3 t)$ genau 2 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 2 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} - 2 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 2 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 2 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$4 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 12 t$	=	$- 8$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{2}{3}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{2}{3}$ beispielsweise für t = 2 der Radikand $4 + (- 12 \cdot 2 + 4)$ = -16 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $4 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{2}{3}$ kleiner 0 und für t < $\frac{2}{3}$ größer 0

Für t < $\frac{2}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel positiv und es gibt zwei Lösungen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $8$