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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{4 x} - 2 e^{x}$ und $g(x) =$ $8 e^{- 2 x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{4 x} - 2 e^{x}$	=	$8 e^{- 2 x}$	\| $- 8 e^{- 2 x}$
$e^{4 x} - 2 e^{x} - 8 e^{- 2 x}$	=	0
$(e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $4$

$e^{3 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (4)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (4)$	≈ 0.4621
x₁	=	$\frac{2}{3} \ln (2)$

u₂: $e^{3 x}$ = $- 2$

e^{3 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{2}{3} \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $\frac{2}{3} \ln (2)$ : f( $\frac{2}{3} \ln (2)$ )= $8 e^{- 2 \cdot (\frac{2}{3} \ln (2))}$ = 3.175 Somit gilt: S₁( $\frac{2}{3} \ln (2)$ |3.175)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$ parallel zur Geraden y = $5 x - 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $5 x - 1$ gilt m = $5$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x}$

f'(x)= $e^{6 x} - 4 e^{3 x}$

Also muss gelten:

e^{6 x} - 4 e^{3 x}

=

5

|

- 5

e^{6 x} - 4 e^{3 x} - 5

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $5$

$e^{3 x}$	=	$5$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (5)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (5)$	≈ 0.5365

u₂: $e^{3 x}$ = $- 1$

e^{3 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (5)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $5$ und sind somit parallel zur Geraden y = $5 x - 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(3 e^{5 x} - 6) \cdot (x + 9)$ = 0

Lösung einblenden

(3 e^{5 x} - 6) \cdot (x + 9)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 e^{5 x} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 e^{5 x}$	=	$6$	\|: $3$
$e^{5 x}$	=	$2$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (2)$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (2)$	≈ 0.1386

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; $\frac{1}{5} \ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{2 x + 2} + \frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{15 x}{- 2 x - 1}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ ; $- 1$ }

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 x + 2} + \frac{15 x}{- 2 x - 1}$	=	0
$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 (x + 1)} + \frac{15 x}{- (2 x + 1)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{2 x + 1} + \frac{16 x}{2 (x + 1)} + \frac{15 x}{- (2 x + 1)}$	=	\|⋅( $2 x + 1$ )
$\frac{3 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + \frac{16 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 x + 1) + \frac{15 x}{- (2 x + 1)} \cdot (2 x + 1)$	=
$3 x + \frac{8 x \cdot (2 x + 1)}{x + 1} - 15 x$	=
$3 x + \frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} - 15 x$	=
$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} + 3 x - 15 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} + 3 x - 15 x$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{16 x^{2} + 8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 15 x \cdot (x + 1)$	=
$16 x^{2} + 8 x + 3 x \cdot (x + 1) - 15 x \cdot (x + 1)$	=
$16 x^{2} + 8 x + (3 x^{2} + 3 x) + (- 15 x^{2} - 15 x)$	=
$4 x^{2} - 4 x$	=

$4 x^{2} - 4 x$	=	0
$4 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $- 1$ )	=	$3 x^{2} + 23 x + 30$
-( $3 x^{3}$	$- 3 x^{2}$ )
	$23 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $23 x^{2}$	$- 23 x$ )
		$30 x$	$- 30$
		-( $30 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 1)$

(3 x^{2} + 23 x + 30) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23+13}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 23-13}{6}$ = $\frac{- 36}{6}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x + 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - 10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $10$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 6$

$- 6$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 6)}^{3} + 20 \cdot {(- 6)}^{2} + 7 \cdot (- 6) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 6$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 7 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 6$ )	=	$3 x^{2} + 2 x - 5$
-( $3 x^{3}$	$+ 18 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 7 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 12 x$ )
		$- 5 x$	$- 30$
		-( $- 5 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 7 x - 30$ = $(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 6)$

(3 x^{2} + 2 x - 5) \cdot (x + 6)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2+8}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 2-8}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₃	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; $- \frac{5}{3}$ ; $1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | x + 4 | - 8$ = $- 14$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| x + 4 \| - 8$	=	$- 14$	\| $+ 8$
$- \frac{1}{2} \| x + 4 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $(- 2)$
$\| x + 4 \|$	=	$12$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$12$	\| $- 4$
x₁	=	$8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$8 + 4$ = 12 ≥ 0

Die Lösung $8$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$12$
$- x - 4$	=	$12$	\| $+ 4$
$- x$	=	$16$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 16$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 16 + 4$ = -12 < 0

Die Lösung $- 16$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 16$ ; $8$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $(x^{2} - 3 x - 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Nach dem Satz vom Nullprodukt wird $(x^{2} - 3 x - 3 t) \cdot e^{- \frac{1}{2} t x}$ genau dann = 0, wenn $x^{2} - 3 x - 3 t$ = 0 oder $e^{- \frac{1}{2} t x}$ = 0 gilt:

Da ja aber $e^{- \frac{1}{2} t x}$ für alle t und alle x immer größer als 0 ist, genügt es die Nullstellen von $x^{2} - 3 x - 3 t$ zu untersuchen:

$x^{2} - 3 x - 3 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 12 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $9 + 12 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $9 + 12 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $9 + 12 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $9 + 12 t$ = 0 wird.

$9 + 12 t$	=	0
$12 t + 9$	=	0	\| $- 9$
$12 t$	=	$- 9$	\|: $12$
$t$	=	$- \frac{3}{4}$ = -0.75

Für t = $- \frac{3}{4}$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -6

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 6$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: