Mathebattle EduRandomtasks

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5}$ und $g(x) =$ $16 x$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5}$	=	$16 x$	\| $- 16 x$
$x^{5} - 16 x$	=	0
$x \cdot (x^{4} - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

L={ $- 2$ ; 0; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )= $16 \cdot (- 2)$ = -32 Somit gilt: S₁( $- 2$ |-32)

x₂ = 0: f(0)= $16 \cdot 0$ = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $2$ : f( $2$ )= $16 \cdot 2$ = 32 Somit gilt: S₃( $2$ |32)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$ parallel zur Geraden y = $7 x - 2$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $7 x - 2$ gilt m = $7$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{4} e^{4 x} - 3 e^{2 x}$

f'(x)= $e^{4 x} - 6 e^{2 x}$

Also muss gelten:

e^{4 x} - 6 e^{2 x}

=

7

|

- 7

e^{4 x} - 6 e^{2 x} - 7

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 6 u - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $7$

$e^{2 x}$	=	$7$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (7)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (7)$	≈ 0.973

u₂: $e^{2 x}$ = $- 1$

e^{2 x}

=

- 1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} \ln (7)$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $7$ und sind somit parallel zur Geraden y = $7 x - 2$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 9 e^{- 6 x} + 4) \cdot (x^{4} - 7 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 9 e^{- 6 x} + 4) \cdot (x^{4} - 7 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 e^{- 6 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 9 e^{- 6 x}$	=	$- 4$	\|: $- 9$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{4}{9}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{4}{9})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{4}{9})$	≈ 0.1352

2. Fall:

$x^{4} - 7 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{4}{9})$ ; $7$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} + \frac{4 x}{2 x - 4} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ ; $3$ }

$\frac{4 x}{2 x - 4} + \frac{x}{2 x - 6} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{2 (x - 3)} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 2)} + \frac{x}{2 (x - 3)} - 6$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (x - 2) - 6 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + \frac{x \cdot (x - 2)}{2 (x - 3)} - 6 x + 12$	=
$2 x + \frac{x^{2} - 2 x}{2 (x - 3)} - 6 x + 12$	=
$\frac{x^{2} - 2 x}{2 (x - 3)} + 2 x - 6 x + 12$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x^{2} - 2 x}{2 (x - 3)} + 2 x - 6 x + 12$	=	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x^{2} - 2 x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + 2 x \cdot (2 (x - 3)) - 6 x \cdot (2 (x - 3)) + 12 \cdot (2 (x - 3))$	=
$x^{2} - 2 x + 4 x \cdot (x - 3) - 12 x \cdot (x - 3) + 24 x - 72$	=
$x^{2} - 2 x + (4 x^{2} - 12 x) + (- 12 x^{2} + 36 x) + 24 x - 72$	=
$- 7 x^{2} + 46 x - 72$	=

$- 7 x^{2} + 46 x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot (- 7) \cdot (- 72)}}{2 \cdot (- 7)}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 - 2 016}}{- 14}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{100}}{- 14}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 46+10}{- 14}$ = $\frac{- 36}{- 14}$ = $\frac{18}{7}$ ≈ 2.57

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{100}}{- 14}$ = $\frac{- 46-10}{- 14}$ = $\frac{- 56}{- 14}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 7$ " teilen:

$- 7 x^{2} + 46 x - 72$ = 0 |: $- 7$

$x^{2} - \frac{46}{7} x + \frac{72}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{7})}^{2} - (\frac{72}{7})$ = $\frac{529}{49}$ $-$ $\frac{72}{7}$ = $\frac{529}{49}$ $-$ $\frac{504}{49}$ = $\frac{25}{49}$

x_1,2 = $\frac{23}{7}$ ± $\sqrt{\frac{25}{49}}$

x₁ = $\frac{23}{7}$ - $\frac{5}{7}$ = $\frac{18}{7}$ = 2.5714285714286

x₂ = $\frac{23}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{28}{7}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{18}{7}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $7$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 7 \cdot (- 1) + 7$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$+ 7 x$	$+ 7$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 0 + 7$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	0	$+ 7 x$
	-(0	0)
		$7 x$	$+ 7$
		-( $7 x$	$+ 7$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} + 7 x + 7$ = $(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$

$(x^{2} + 0 + 7) \cdot (x + 1)$	=	0
$(x^{2} + 7) \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7$	=	0	\| $- 7$
$x^{2}$	=	$- 7$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | x + 4 | + 4$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| x + 4 \| + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$\frac{1}{2} \| x + 4 \|$	=	$5$	\|⋅ $2$
$\| x + 4 \|$	=	$10$

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

$x + 4$	=	$10$	\| $- 4$
x₁	=	$6$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ ≥ 0) genügt:

$6 + 4$ = 10 ≥ 0

Die Lösung $6$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 4$ < 0:

$- (x + 4)$	=	$10$
$- x - 4$	=	$10$	\| $+ 4$
$- x$	=	$14$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 4$ < 0) genügt:

$- 14 + 4$ = -10 < 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $6$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 5 x + 2 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 5 x + 2 t)$ = 0

$x^{2} - 5 x + 2 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 5 x + 2 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 5 x + 2 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + (- 8 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $25 + (- 8 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $25 + (- 8 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $25 + (- 8 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $25 + (- 8 t + 4)$ = 0 wird.

$25 - 8 t + 4$	=	0
$- 8 t + 29$	=	0	\| $- 29$
$- 8 t$	=	$- 29$	\|:( $- 8$ )
$t$	=	$\frac{29}{8}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{29}{8}$ beispielsweise für t = 5 der Radikand $25 + (- 8 \cdot 5 + 4)$ = -11 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $25 + (- 8 t + 4)$ für t > $\frac{29}{8}$ kleiner 0 und für t < $\frac{29}{8}$ größer 0

Für t > $\frac{29}{8}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Betragsgleichungen

1. Fall: x +4 ≥ 0:

2. Fall: x +4 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

1. Fall: $x + 4$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 4$ < 0: