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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x 5 -7 x 2 und g(x)= 8 x . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

x 5 -7 x 2 = 8 x |⋅( x )
x 5 · x -7 x 2 · x = 8 x · x
x 5 · x -7 x 2 · x = 8
x 6 -7 x 3 = 8
x 6 -7 x 3 = 8 | -8
x 6 -7 x 3 -8 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 3

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -7u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

u1,2 = +7 ± 49 +32 2

u1,2 = +7 ± 81 2

u1 = 7 + 81 2 = 7 +9 2 = 16 2 = 8

u2 = 7 - 81 2 = 7 -9 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - ( -8 ) = 49 4 + 8 = 49 4 + 32 4 = 81 4

x1,2 = 7 2 ± 81 4

x1 = 7 2 - 9 2 = - 2 2 = -1

x2 = 7 2 + 9 2 = 16 2 = 8

Rücksubstitution:

u1: x 3 = 8

x 3 = 8 | 3
x1 = 8 3 = 2

u2: x 3 = -1

x 3 = -1 | 3
x2 = - 1 3 = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 2 }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x1 = -1 : f( -1 )= 8 ( -1 ) = -8 Somit gilt: S1( -1 |-8)

x2 = 2 : f( 2 )= 8 2 = 4 Somit gilt: S2( 2 |4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit f(x)= 1 4 e 4x - 1 2 e 2x parallel zur Geraden y = 6x -3 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 6x -3 gilt m = 6

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= 1 4 e 4x - 1 2 e 2x

f'(x)= e 4x - e 2x

Also muss gelten:

e 4x - e 2x = 6 | -6
e 4x - e 2x -6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +24 2

u1,2 = +1 ± 25 2

u1 = 1 + 25 2 = 1 +5 2 = 6 2 = 3

u2 = 1 - 25 2 = 1 -5 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = 1 2 ± 25 4

x1 = 1 2 - 5 2 = - 4 2 = -2

x2 = 1 2 + 5 2 = 6 2 = 3

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 3

e 2x = 3 |ln(⋅)
2x = ln( 3 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 3 ) ≈ 0.5493

u2: e 2x = -2

e 2x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 ln( 3 ) }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 6 und sind somit parallel zur Geraden y = 6x -3 .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 4x - e 3x = 30 e 2x

Lösung einblenden
e 4x - e 3x = 30 e 2x | -30 e 2x
e 4x - e 3x -30 e 2x = 0
( e 2x - e x -30 ) e 2x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 2x - e x -30 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -30 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +120 2

u1,2 = +1 ± 121 2

u1 = 1 + 121 2 = 1 +11 2 = 12 2 = 6

u2 = 1 - 121 2 = 1 -11 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -30 ) = 1 4 + 30 = 1 4 + 120 4 = 121 4

x1,2 = 1 2 ± 121 4

x1 = 1 2 - 11 2 = - 10 2 = -5

x2 = 1 2 + 11 2 = 12 2 = 6

Rücksubstitution:

u1: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x1 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

u2: e x = -5

e x = -5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

e 2x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 6 ) }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x -1 2x -5 -1 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 5 2 }

Wir multiplizieren den Nenner 2x -5 weg!

x -1 2x -5 -1 = 0 |⋅( 2x -5 )
x -1 2x -5 · ( 2x -5 ) -1 · ( 2x -5 ) = 0
x -1 -2x +5 = 0
-x +4 = 0
-x +4 = 0 | -4
-x = -4 |:(-1 )
x = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 4 }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x 3 -19 x 2 -67x -45 = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von 3 x 3 -19 x 2 -67x -45 = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds -45 .

-1 ist eine Lösung, denn 3 ( -1 ) 3 -19 ( -1 ) 2 -67( -1 ) -45 = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x+1) durch.

( 3 x 3 -19 x 2 -67x -45 ) : (x+1) = 3 x 2 -22x -45
-( 3 x 3 +3 x 2 )
-22 x 2 -67x
-( -22 x 2 -22x )
-45x -45
-( -45x -45 )
0

es gilt also:

3 x 3 -19 x 2 -67x -45 = ( 3 x 2 -22x -45 ) · ( x +1 )

( 3 x 2 -22x -45 ) ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 x 2 -22x -45 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +22 ± ( -22 ) 2 -4 · 3 · ( -45 ) 23

x1,2 = +22 ± 484 +540 6

x1,2 = +22 ± 1024 6

x1 = 22 + 1024 6 = 22 +32 6 = 54 6 = 9

x2 = 22 - 1024 6 = 22 -32 6 = -10 6 = - 5 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 -22x -45 = 0 |: 3

x 2 - 22 3 x -15 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 3 ) 2 - ( -15 ) = 121 9 + 15 = 121 9 + 135 9 = 256 9

x1,2 = 11 3 ± 256 9

x1 = 11 3 - 16 3 = - 5 3 = -1.6666666666667

x2 = 11 3 + 16 3 = 27 3 = 9


2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x3 = -1

Polynomdivision mit 9

L={ - 5 3 ; -1 ; 9 }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 3 | x -4 | -1 = -4

Lösung einblenden
- 1 3 | x -4 | -1 = -4 | +1
- 1 3 | x -4 | = -3 |⋅ ( -3 )
| x -4 | = 9

1. Fall: x -4 ≥ 0:

x -4 = 9 | +4
x1 = 13

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( x -4 ≥ 0) genügt:

13 -4 = 9 ≥ 0

Die Lösung 13 genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: x -4 < 0:

-( x -4 ) = 9
-x +4 = 9 | -4
-x = 5 |:(-1 )
x2 = -5

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( x -4 < 0) genügt:

-5 -4 = -9 < 0

Die Lösung -5 genügt also der obigen Bedingung.

L={ -5 ; 13 }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion ft mit ft(x)= ln( x 2 -3x +4 t ) genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e0=u, also 1 = u ist:

ln( x 2 -3x +4 t ) = 0

x 2 -3x +4 t = 1 |-1

x 2 -3x +4 t - 1 = 0

x 2 -3x + 4t -1 =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( 4t -1 ) 21 = +3 ± 9 + ( -16t +4 ) 2

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

  • Ist 9 + ( -16t +4 ) > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
  • Ist 9 + ( -16t +4 ) = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
  • Ist 9 + ( -16t +4 ) <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand 9 + ( -16t +4 ) = 0 wird.

9 -16t +4 = 0
-16t +13 = 0 | -13
-16t = -13 |:(-16 )
t = 13 16

Da rechts der Nullstelle t= 13 16 beispielsweise für t = 2 der Radikand 9 + ( -162 +4 ) = -19 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von 9 + ( -16t +4 ) für t > 13 16 kleiner 0 und für t < 13 16 größer 0

Für t > 13 16 ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.