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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 5 x$ und $g(x) =$ $- 4 x^{2}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 5 x$	=	$- 4 x^{2}$	\| $+ 4 x^{2}$
$x^{3} + 4 x^{2} - 5 x$	=	0
$x (x^{2} + 4 x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

L={ $- 5$ ; 0; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 5$ : f( $- 5$ )= $- 4 \cdot {(- 5)}^{2}$ = -100 Somit gilt: S₁( $- 5$ |-100)

x₂ = 0: f(0)= $- 4 \cdot 0^{2}$ = -0 Somit gilt: S₂(0|-0)

x₃ = $1$ : f( $1$ )= $- 4 \cdot 1^{2}$ = -4 Somit gilt: S₃( $1$ |-4)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$ parallel zur Geraden y = $- 1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - 9 x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - 9 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{8} + 64 x^{2}$ = $16 x^{5}$

Lösung einblenden

$x^{8} + 64 x^{2}$	=	$16 x^{5}$	\| $- 16 x^{5}$
$x^{8} - 16 x^{5} + 64 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{6} - 16 x^{3} + 64)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} - 16 x^{3} + 64

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 16 u + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $8$ ± 0 = $8$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

u₂: $x^{3}$ = $8$

$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={0; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung! $2$ ist 2-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 1}{x - 1} - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{2 x + 1}{x - 1} - 1$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{2 x + 1}{x - 1} \cdot (x - 1) - 1 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + 1 - x + 1$	=
$x + 2$	=

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 7 x^{3} + 5 x^{2} - 31 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 7 x^{3} + 5 x^{2} - 31 x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 7 \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{2} - 31 \cdot (- 1) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$	$- 31 x$	$- 30$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$+ 5 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 31 x$
		-( $- x^{2}$	$- x$ )
			$- 30 x$	$- 30$
			-( $- 30 x$	$- 30$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} + 5 x^{2} - 31 x - 30$ = $(x^{3} + 6 x^{2} - x - 30) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 6 x^{2} - x - 30) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 30$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- x$	$- 30$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 8 x + 15$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$8 x^{2}$	$- x$
	-( $8 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$15 x$	$- 30$
		-( $15 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ = $(x^{2} + 8 x + 15) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 8 x + 15) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn ${(- 3)}^{3} + 6 \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- x$	$- 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$x^{2} + 3 x - 10$
-( $x^{3}$	$+ 3 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- x$
	-( $3 x^{2}$	$+ 9 x$ )
		$- 10 x$	$- 30$
		-( $- 10 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ = $(x^{2} + 3 x - 10) \cdot (x + 3)$

(x^{2} + 3 x - 10) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

Polynomdivision mit $- 5$

$- 5$ ist eine Lösung, denn ${(- 5)}^{3} + 6 \cdot {(- 5)}^{2} - (- 5) - 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- x$	$- 30$ )	:	(x $+ 5$ )	=	$x^{2} + x - 6$
-( $x^{3}$	$+ 5 x^{2}$ )
	$x^{2}$	$- x$
	-( $x^{2}$	$+ 5 x$ )
		$- 6 x$	$- 30$
		-( $- 6 x$	$- 30$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ = $(x^{2} + x - 6) \cdot (x + 5)$

(x^{2} + x - 6) (x + 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₃	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₄	=	$- 1$

L={ $- 5$ ; $- 3$ ; $- 1$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x + 12 | + 9$ = $15$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x + 12 \| + 9$	=	$15$	\| $- 9$
$\frac{1}{3} \| - 3 x + 12 \|$	=	$6$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x + 12 \|$	=	$18$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

$- 3 x + 12$	=	$18$	\| $- 12$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 2) + 12$ = 18 ≥ 0

Die Lösung $- 2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0:

$- (- 3 x + 12)$	=	$18$
$3 x - 12$	=	$18$	\| $+ 12$
$3 x$	=	$30$	\|: $3$
x₂	=	$10$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x + 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 10 + 12$ = -18 < 0

Die Lösung $10$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 2$ ; $10$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} + x - t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} + x - t)$ = 0

$x^{2} + x - t$ = 1 |-1

$x^{2} + x - t$ - 1 = 0

$x^{2} + x + (- t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $1 + 4 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $1 + 4 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $1 + 4 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $1 + 4 t + 4$ = 0 wird.

$1 + 4 t + 4$	=	0
$4 t + 5$	=	0	\| $- 5$
$4 t$	=	$- 5$	\|: $4$
$t$	=	$- \frac{5}{4}$ = -1.25

Da rechts der Nullstelle t= $- \frac{5}{4}$ beispielsweise für t = -0 der Radikand $1 + (4 \cdot 0 + 4)$ = 5 > 0 wird, sind also die Funktionswerte von $1 + 4 t + 4$ für t > $- \frac{5}{4}$ größer 0 und für t < $- \frac{5}{4}$ kleiner 0

Für t < $- \frac{5}{4}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x +12 ≥ 0:

2. Fall: -3x +12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

Polynomdivision mit $- 5$

1. Fall: $- 3 x + 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x + 12$ < 0: