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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $e^{3 x} - e^{2 x}$ und $g(x) =$ $12 e^{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$e^{3 x} - e^{2 x}$	=	$12 e^{x}$	\| $- 12 e^{x}$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 12 e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - e^{x} - 12) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{2 x} - e^{x} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $2 \ln (2)$ : f( $2 \ln (2)$ )= $12 e^{2 \ln (2)}$ = 48 Somit gilt: S₁( $2 \ln (2)$ |48)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $2 x - 2 + x^{2} \cdot e^{x}$ parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $2 x + 6$ gilt m = $2$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $2 x - 2 + x^{2} \cdot e^{x}$

f'(x)= $2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$

Also muss gelten:

$2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	$2$	\| $- 2$
$2 - 2 + x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$x^{2} \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x}$	=	0
$(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $2$ und sind somit parallel zur Geraden y = $2 x + 6$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 8 e^{- 6 x} + 7) \cdot (x^{4} + 9 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 8 e^{- 6 x} + 7) \cdot (x^{4} + 9 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 8 e^{- 6 x} + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 8 e^{- 6 x}$	=	$- 7$	\|: $- 8$
$e^{- 6 x}$	=	$\frac{7}{8}$	\|ln(⋅)
$- 6 x$	=	$\ln (\frac{7}{8})$	\|: $- 6$
x₁	=	$- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{8})$	≈ 0.0223

2. Fall:

$x^{4} + 9 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₃	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; 0; $- \frac{1}{6} \ln (\frac{7}{8})$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{18 x}{- 6 x - 12}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $- 3$ }

$\frac{3 x}{2 x + 4} + \frac{2 x + 2}{2 x + 6} + \frac{18 x}{- 6 x - 12}$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{18 x}{- 6 (x + 2)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x + 2)} + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} + \frac{18 x}{- 6 (x + 2)}$	=	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{2 x + 2}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{18 x}{- 6 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=
$3 x + 2 \frac{(2 x + 2) \cdot (x + 2)}{2 (x + 3)} - 6 x$	=
$3 x + \frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{x + 3} - 6 x$	=
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{x + 3} + 3 x - 6 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{x + 3} + 3 x - 6 x$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x^{2} + 6 x + 4}{x + 3} \cdot (x + 3) + 3 x \cdot (x + 3) - 6 x \cdot (x + 3)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x \cdot (x + 3) - 6 x \cdot (x + 3)$	=
$2 x^{2} + 6 x + 4 + (3 x^{2} + 9 x) + (- 6 x^{2} - 18 x)$	=
$- x^{2} - 3 x + 4$	=

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $30$ .

$- 2$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 2)}^{3} + 20 \cdot {(- 2)}^{2} + 43 \cdot (- 2) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 43 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$3 x^{2} + 14 x + 15$
-( $3 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
	$14 x^{2}$	$+ 43 x$
	-( $14 x^{2}$	$+ 28 x$ )
		$15 x$	$+ 30$
		-( $15 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = $(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 2)$

(3 x^{2} + 14 x + 15) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{5}{3}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $- 3$

$- 3$ ist eine Lösung, denn $3 \cdot {(- 3)}^{3} + 20 \cdot {(- 3)}^{2} + 43 \cdot (- 3) + 30$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 3$ ) durch.

( $3 x^{3}$	$+ 20 x^{2}$	$+ 43 x$	$+ 30$ )	:	(x $+ 3$ )	=	$3 x^{2} + 11 x + 10$
-( $3 x^{3}$	$+ 9 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 43 x$
	-( $11 x^{2}$	$+ 33 x$ )
		$10 x$	$+ 30$
		-( $10 x$	$+ 30$ )
			0

es gilt also:

$3 x^{3} + 20 x^{2} + 43 x + 30$ = $(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 3)$

(3 x^{2} + 11 x + 10) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11+1}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 11-1}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 3 x - 12 | + 8$ = $23$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \| + 8$	=	$23$	\| $- 8$
$\frac{1}{3} \| - 3 x - 12 \|$	=	$15$	\|⋅ $3$
$\| - 3 x - 12 \|$	=	$45$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

$- 3 x - 12$	=	$45$	\| $+ 12$
$- 3 x$	=	$57$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 19$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 19) - 12$ = 45 ≥ 0

Die Lösung $- 19$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0:

$- (- 3 x - 12)$	=	$45$
$3 x + 12$	=	$45$	\| $- 12$
$3 x$	=	$33$	\|: $3$
x₂	=	$11$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 12$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 11 - 12$ = -45 < 0

Die Lösung $11$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 19$ ; $11$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- t x^{4} + x^{2}$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

Wir setzen f_t(x) = 0 und lösen die Gleichung einfach mal in Abhängigkeit von t:

$- t x^{4} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (- t x^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- t x^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- t x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1 t)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{t}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{(\frac{1}{t})}$	= $- \frac{1}{\sqrt{t}}$
x₃	=	$\sqrt{(\frac{1}{t})}$	= $\frac{1}{\sqrt{t}}$

Man erkennt schnell, dass die Wurzeln (und damit die beiden zugehörigen Lösungen) existieren, wenn t > 0 ist. Für t < 0 existieren die Wurzeln und die beiden Lösungen nicht, da etwas negatives unter der Wurzel steht.

Für t=0 ergibt sich folgende Lösung:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

Für t ≤ 0 gibt es also 1 Lösung(en).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -3

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -12 ≥ 0:

2. Fall: -3x -12 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 3$

1. Fall: $- 3 x - 12$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 12$ < 0: