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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 2 x$ und $g(x) =$ $- \frac{1}{x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x^{3} - 2 x$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x^{3} \cdot x - 2 x \cdot x$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x$
$x^{3} \cdot x - 2 x \cdot x$	=	$- 1$
$x^{4} - 2 x^{2}$	=	$- 1$

x^{4} - 2 x^{2}

=

- 1

|

+ 1

x^{4} - 2 x^{2} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

u₂: $x^{2}$ = $1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₃	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₄	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 1$ : f( $- 1$ )= $- \frac{1}{(- 1)}$ = 1 Somit gilt: S₁( $- 1$ |1)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $- \frac{1}{1}$ = -1 Somit gilt: S₂( $1$ |-1)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 4 x - 3$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 4 x - 3$ gilt m = $- 4$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 5 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 5 x

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $- 4$ und sind somit parallel zur Geraden y = $- 4 x - 3$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$ = $- e^{5 x}$

Lösung einblenden

$- 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	$- e^{5 x}$	\| $+ e^{5 x}$
$e^{5 x} - 2 e^{3 x} - 8 e^{x}$	=	0
$(e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{2 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $e^{2 x}$ = $4$

$e^{2 x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	$\ln (4)$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} \ln (4)$	≈ 0.6931
x₁	=	$\ln (2)$

u₂: $e^{2 x}$ = $- 2$

e^{2 x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (2)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{11 x + 1}{- 6 x + 15}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ ; $2$ }

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{11 x + 1}{- 6 x + 15}$	=	0
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{11 x + 1}{3 (- 2 x + 5)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} + \frac{2 x - 2}{x - 2} + \frac{11 x + 1}{3 (- 2 x + 5)}$	=	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{2 x - 2}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) + \frac{2 x - 2}{x - 2} \cdot (2 x - 5) + \frac{11 x + 1}{3 (- 2 x + 5)} \cdot (2 x - 5)$	=
$2 x - 2 + \frac{(2 x - 2) (2 x - 5)}{x - 2} + \frac{(11 x + 1) (2 x - 5)}{3 (- 2 x + 5)}$	=
$2 x - 2 + \frac{(2 x - 2) (2 x - 5)}{x - 2} - \frac{11}{3} x - \frac{1}{3}$	=
$2 x - 2 + \frac{4 x^{2} - 14 x + 10}{x - 2} - \frac{11}{3} x - \frac{1}{3}$	=
$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10}{x - 2} + 2 x - \frac{11}{3} x - 2 - \frac{1}{3}$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10}{x - 2} + 2 x - \frac{11}{3} x - 2 - \frac{1}{3}$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2) - \frac{11}{3} x \cdot (x - 2) - 2 \cdot (x - 2) - \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$	=
$4 x^{2} - 14 x + 10 + 2 x (x - 2) - \frac{11}{3} x (x - 2) - 2 x + 4 - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$	=
$4 x^{2} - 14 x + 10 + (2 x^{2} - 4 x) + (- \frac{11}{3} x^{2} + \frac{22}{3} x) - 2 x + 4 - \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$	=
$\frac{7}{3} x^{2} - 13 x + \frac{44}{3}$	=

$\frac{7}{3} x^{2} - 13 x + \frac{44}{3}$	=	0	\|⋅ 3
$3 (\frac{7}{3} x^{2} - 13 x + \frac{44}{3})$	=	0

$7 x^{2} - 39 x + 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 44}}{2 \cdot 7}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 - 1 232}}{14}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{289}}{14}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{289}}{14}$ = $\frac{39+17}{14}$ = $\frac{56}{14}$ = $4$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{289}}{14}$ = $\frac{39-17}{14}$ = $\frac{22}{14}$ = $\frac{11}{7}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $7$ " teilen:

$7 x^{2} - 39 x + 44$ = 0 |: $7$

$x^{2} - \frac{39}{7} x + \frac{44}{7}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{39}{14})}^{2} - (\frac{44}{7})$ = $\frac{1521}{196}$ $-$ $\frac{44}{7}$ = $\frac{1521}{196}$ $-$ $\frac{1232}{196}$ = $\frac{289}{196}$

x_1,2 = $\frac{39}{14}$ ± $\sqrt{\frac{289}{196}}$

x₁ = $\frac{39}{14}$ - $\frac{17}{14}$ = $\frac{22}{14}$ = 1.5714285714286

x₂ = $\frac{39}{14}$ + $\frac{17}{14}$ = $\frac{56}{14}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{11}{7}$ ; $4$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $56$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 2^{2} - 34 \cdot 2 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 34 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 3 x - 28$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 34 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 6 x$ )
		$- 28 x$	$+ 56$
		-( $- 28 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = $(x^{2} + 3 x - 28) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 3 x - 28) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $4$

$4$ ist eine Lösung, denn $4^{3} + 4^{2} - 34 \cdot 4 + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 34 x$	$+ 56$ )	:	(x $- 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$- 34 x$
	-( $5 x^{2}$	$- 20 x$ )
		$- 14 x$	$+ 56$
		-( $- 14 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x - 4)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + {(- 7)}^{2} - 34 \cdot (- 7) + 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ x^{2}$	$- 34 x$	$+ 56$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} - 6 x + 8$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 34 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 42 x$ )
		$8 x$	$+ 56$
		-( $8 x$	$+ 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + x^{2} - 34 x + 56$ = $(x^{2} - 6 x + 8) \cdot (x + 7)$

(x^{2} - 6 x + 8) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $2$ ; $4$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{3} | - 2 x + 8 | - 3$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \| - 3$	=	$9$	\| $+ 3$
$\frac{1}{3} \| - 2 x + 8 \|$	=	$12$	\|⋅ $3$
$\| - 2 x + 8 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

$- 2 x + 8$	=	$36$	\| $- 8$
$- 2 x$	=	$28$	\|:( $- 2$ )
x₁	=	$- 14$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ ≥ 0) genügt:

$- 2 \cdot (- 14) + 8$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 14$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0:

$- (- 2 x + 8)$	=	$36$
$2 x - 8$	=	$36$	\| $+ 8$
$2 x$	=	$44$	\|: $2$
x₂	=	$22$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 2 x + 8$ < 0) genügt:

$- 2 \cdot 22 + 8$ = -36 < 0

Die Lösung $22$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 14$ ; $22$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} - 2 x + t$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

$x^{2} - 2 x + t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot t}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 - 4 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 - 4 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 - 4 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 - 4 t$ = 0 wird.

$4 - 4 t$	=	0
$- 4 t + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 4 t$	=	$- 4$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$1$

Für t = $1$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -2x +8 ≥ 0:

2. Fall: -2x +8 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $4$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 2 x + 8$ ≥ 0:

2. Fall: $- 2 x + 8$ < 0: