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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{8} + x^{2}$ und $g(x) =$ $2 x^{5}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{8} + x^{2}$	=	$2 x^{5}$	\| $- 2 x^{5}$
$x^{8} - 2 x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{6} - 2 x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

x^{6} - 2 x^{3} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{3}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

u₂: $x^{3}$ = $1$

$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₃	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

L={0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung! $1$ ist 2-fache Lösung!

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $2 \cdot 0^{5}$ = 0 Somit gilt: S₁(0|0)

x₂ = $1$ : f( $1$ )= $2 \cdot 1^{5}$ = 2 Somit gilt: S₂( $1$ |2)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$ parallel zur Geraden y = $1$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $1$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 4 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

f'(x)= $2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$

Also muss gelten:

$2 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + 8 x \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0
$2 (x^{2} + 4 x) \cdot e^{\frac{1}{2} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{2} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 4$ ; 0}

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $1$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{8 x} + 3 e^{5 x} - 18 e^{2 x}$	=	0
$(e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18) \cdot e^{2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 3 e^{3 x} - 18

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $3$

$e^{3 x}$	=	$3$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	$\ln (3)$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} \ln (3)$	≈ 0.3662

u₂: $e^{3 x}$ = $- 6$

e^{3 x}

=

- 6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{2 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{3} \ln (3)$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 1}{x + 1} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x + 1}{x + 1} - 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x + 1}{x + 1} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=
$3 x + 1 - 4 x - 4$	=
$- x - 3$	=

$- x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{4} + 7 x^{3} - 9 x^{2} - 7 x + 8$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{4} + 7 x^{3} - 9 x^{2} - 7 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{4} + 7 \cdot {(- 1)}^{3} - 9 \cdot {(- 1)}^{2} - 7 \cdot (- 1) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$
-( $x^{4}$	$+ x^{3}$ )
	$6 x^{3}$	$- 9 x^{2}$
	-( $6 x^{3}$	$+ 6 x^{2}$ )
		$- 15 x^{2}$	$- 7 x$
		-( $- 15 x^{2}$	$- 15 x$ )
			$8 x$	$+ 8$
			-( $8 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} - 9 x^{2} - 7 x + 8$ = $(x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8) \cdot (x + 1)$

(x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $8$ .

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $7 x^{2}$	$- 7 x$ )
		$- 8 x$	$+ 8$
		-( $- 8 x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 6 \cdot {(- 8)}^{2} - 15 \cdot (- 8) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 6 x^{2}$	$- 15 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- 15 x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 16 x$ )
		$x$	$+ 8$
		-( $x$	$+ 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 8$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 8)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{4} + 7 \cdot 1^{3} - 9 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$
-( $x^{4}$	$- x^{3}$ )
	$8 x^{3}$	$- 9 x^{2}$
	-( $8 x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 7 x$
		-( $- x^{2}$	$+ x$ )
			$- 8 x$	$+ 8$
			-( $- 8 x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} - 9 x^{2} - 7 x + 8$ = $(x^{3} + 8 x^{2} - x - 8) \cdot (x - 1)$

(x^{3} + 8 x^{2} - x - 8) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 8$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} + 8 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- x$	$- 8$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} + 7 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$7 x^{2}$	$- x$
	-( $7 x^{2}$	$+ 7 x$ )
		$- 8 x$	$- 8$
		-( $- 8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = $(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x + 1)$

(x^{2} + 7 x - 8) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} + 8 \cdot 1^{2} - 1 - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- x$	$- 8$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 9 x + 8$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	$9 x^{2}$	$- x$
	-( $9 x^{2}$	$- 9 x$ )
		$8 x$	$- 8$
		-( $8 x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = $(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x - 1)$

(x^{2} + 9 x + 8) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 9 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9+7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 9-7}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{3} + 8 \cdot {(- 8)}^{2} - (- 8) - 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$	$- x$	$- 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$+ 8 x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$- 8$
		-( $- x$	$- 8$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 8 x^{2} - x - 8$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 8)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x + 8)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₄	=	$1$

Polynomdivision mit $- 8$

$- 8$ ist eine Lösung, denn ${(- 8)}^{4} + 7 \cdot {(- 8)}^{3} - 9 \cdot {(- 8)}^{2} - 7 \cdot (- 8) + 8$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 8$ ) durch.

( $x^{4}$	$+ 7 x^{3}$	$- 9 x^{2}$	$- 7 x$	$+ 8$ )	:	(x $+ 8$ )	=	$x^{3} - x^{2} - x + 1$
-( $x^{4}$	$+ 8 x^{3}$ )
	$- x^{3}$	$- 9 x^{2}$
	-( $- x^{3}$	$- 8 x^{2}$ )
		$- x^{2}$	$- 7 x$
		-( $- x^{2}$	$- 8 x$ )
			$x$	$+ 8$
			-( $x$	$+ 8$ )
				0

es gilt also:

$x^{4} + 7 x^{3} - 9 x^{2} - 7 x + 8$ = $(x^{3} - x^{2} - x + 1) \cdot (x + 8)$

(x^{3} - x^{2} - x + 1) \cdot (x + 8)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - x^{2} - x + 1$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $1$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 2 x^{2}$	$- x$
	-( $- 2 x^{2}$	$- 2 x$ )
		$x$	$+ 1$
		-( $x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 2 x + 1) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Polynomdivision mit $1$

$1$ ist eine Lösung, denn $1^{3} - 1^{2} - 1 + 1$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- x^{2}$	$- x$	$+ 1$ )	:	(x $- 1$ )	=	$x^{2} + 0 - 1$
-( $x^{3}$	$- x^{2}$ )
	0	$- x$
	-(0	0)
		$- x$	$+ 1$
		-( $- x$	$+ 1$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - x^{2} - x + 1$ = $(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$

$(x^{2} + 0 - 1) \cdot (x - 1)$	=	0
$(x^{2} - 1) \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₃	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; $- 1$ ; $1$ }

$1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 6 | + 6$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| + 6$	=	0	\| $- 6$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$- 6$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$- 12$

Da der Betrag links immer ≥ 0 sein muss, rechts aber eine negative Zahl steht, hat diese Gleichung keine Lösung!

L={}

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x - 5 t)$ genau 1 Nullstelle?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 4 x - 5 t)$ = 0

$x^{2} - 4 x - 5 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 4 x - 5 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 4 x + (- 5 t - 1)$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20 t + 4}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + 20 t + 4$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + 20 t + 4$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + 20 t + 4$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + 20 t + 4$ = 0 wird.

$16 + 20 t + 4$	=	0
$20 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$20 t$	=	$- 20$	\|: $20$
$t$	=	$- 1$

Für t = $- 1$ ist also die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -8

Polynomdivision mit -8

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 1

Betragsgleichungen

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $1$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $- 8$

Polynomdivision mit $1$