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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 9 x$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} - 9 x$	=	0
$x (x^{2} - 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 9$	=	0	\| $+ 9$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₃	=	$\sqrt{9}$	= $3$

L={ $- 3$ ; 0; $3$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 3$ : f( $- 3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 3$ |0)

x₂ = 0: f(0)=0 = 0 Somit gilt: S₂(0|0)

x₃ = $3$ : f( $3$ )=0 = 0 Somit gilt: S₃( $3$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $5 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$ parallel zur Geraden y = $- 7$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $- 7$ gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $5 + 8 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

f'(x)= $8 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$

Also muss gelten:

$8 e^{- \frac{1}{4} x} - 2 x \cdot e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0
$2 (- x + 4) e^{- \frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$4$

2. Fall:

e^{- \frac{1}{4} x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $4$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = $- 7$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{7 x} + 4 e^{4 x} - 5 e^{x}$ = 0

Lösung einblenden

$e^{7 x} + 4 e^{4 x} - 5 e^{x}$	=	0
$(e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5) e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x + 3}{x} + \frac{x + 1}{2 x - 2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; 0}

$\frac{x + 1}{2 x - 2} + \frac{x + 3}{x} - 3$	=	0
$\frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{x + 3}{x} - 3$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x + 1}{2 (x - 1)} + \frac{x + 3}{x} - 3$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x + 1}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{x + 3}{x} \cdot (2 (x - 1)) - 3 \cdot (2 (x - 1))$	=
$x + 1 + 2 \frac{(x + 3) (x - 1)}{x} - 6 x + 6$	=
$x + 1 + \frac{2 (x^{2} + 2 x - 3)}{x} - 6 x + 6$	=
$\frac{2 (x^{2} + 2 x - 3)}{x} + x - 6 x + 1 + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2 (x^{2} + 2 x - 3)}{x} + x - 6 x + 1 + 6$	=	\|⋅( $x$ )
$\frac{2 (x^{2} + 2 x - 3)}{x} \cdot x + x \cdot x - 6 x \cdot x + 1 \cdot x + 6 \cdot x$	=
$2 x^{2} + 4 x - 6 + x \cdot x - 6 x \cdot x + x + 6 x$	=
$2 x^{2} + 4 x - 6 + x^{2} - 6 x^{2} + x + 6 x$	=
$- 3 x^{2} + 11 x - 6$	=

$- 3 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11+7}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11-7}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 11 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 5$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 9 x$	$- 5$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 4 x - 5$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 4 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $- 4 x^{2}$	$- 4 x$ )
		$- 5 x$	$- 5$
		-( $- 5 x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ = $(x^{2} - 4 x - 5) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 4 x - 5) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $5$

$5$ ist eine Lösung, denn $5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 - 5$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 5$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 3 x^{2}$	$- 9 x$	$- 5$ )	:	(x $- 5$ )	=	$x^{2} + 2 x + 1$
-( $x^{3}$	$- 5 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$- 9 x$
	-( $2 x^{2}$	$- 10 x$ )
		$x$	$- 5$
		-( $x$	$- 5$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ = $(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (x - 5)$

(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

L={ $- 1$ ; $5$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} | 3 x - 6 | - 6$ = $9$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \| - 6$	=	$9$	\| $+ 6$
$\frac{1}{2} \| 3 x - 6 \|$	=	$15$	\|⋅ $2$
$\| 3 x - 6 \|$	=	$30$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

$3 x - 6$	=	$30$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$36$	\|: $3$
x₁	=	$12$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ ≥ 0) genügt:

$3 \cdot 12 - 6$ = 30 ≥ 0

Die Lösung $12$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $3 x - 6$ < 0:

$- (3 x - 6)$	=	$30$
$- 3 x + 6$	=	$30$	\| $- 6$
$- 3 x$	=	$24$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$- 8$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $3 x - 6$ < 0) genügt:

$3 \cdot (- 8) - 6$ = -30 < 0

Die Lösung $- 8$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 8$ ; $12$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $\ln (x^{2} - 4 x + 3 t)$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

ln(u) ist genau dann = 0, wenn e⁰=u, also 1 = u ist:

$\ln (x^{2} - 4 x + 3 t)$ = 0

$x^{2} - 4 x + 3 t$ = 1 |-1

$x^{2} - 4 x + 3 t$ - 1 = 0

$x^{2} - 4 x + 3 t - 1$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 t - 1)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + (- 12 t + 4)}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $16 + (- 12 t + 4)$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $16 + (- 12 t + 4)$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $16 + (- 12 t + 4)$ = 0 wird.

$16 - 12 t + 4$	=	0
$- 12 t + 20$	=	0	\| $- 20$
$- 12 t$	=	$- 20$	\|:( $- 12$ )
$t$	=	$\frac{5}{3}$

Da rechts der Nullstelle t= $\frac{5}{3}$ beispielsweise für t = 3 der Radikand $16 + (- 12 \cdot 3 + 4)$ = -16 < 0 wird, sind also die Funktionswerte von $16 + (- 12 t + 4)$ für t > $\frac{5}{3}$ kleiner 0 und für t < $\frac{5}{3}$ größer 0

Für t > $\frac{5}{3}$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit 5

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: 3x -6 ≥ 0:

2. Fall: 3x -6 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $5$

1. Fall: $3 x - 6$ ≥ 0:

2. Fall: $3 x - 6$ < 0: