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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{6} - 64$ und $g(x) =$ 0. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{6} - 64$	=	0	\| $+ 64$
$x^{6}$	=	$64$	\| $\sqrt[6]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[6]{64}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[6]{64}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = $- 2$ : f( $- 2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₁( $- 2$ |0)

x₂ = $2$ : f( $2$ )=0 = 0 Somit gilt: S₂( $2$ |0)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$ parallel zur Geraden y = 0 sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = 0 gilt m = 0

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}$

f'(x)= $x^{4} - x^{2}$

Also muss gelten:

$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; 0; $1$ }

0 ist 2-fache Lösung!

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung 0 und sind somit parallel zur Geraden y = 0.

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{6} + 5 x^{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{6} + 5 x^{4}$	=	0
$x^{4} (x^{2} + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{4}$	=	$0$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$x^{2}$	=	$- 5$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0}

0 ist 4-fache Lösung!

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{x - 1}{2 x} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; 0}

\frac{8 x}{x - 3} + \frac{x - 1}{2 x} - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8 x}{x - 3} + \frac{x - 1}{2 x} - 3$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{x - 1}{2 x} \cdot (x - 3) - 3 \cdot (x - 3)$	=
$8 x + \frac{(x - 1) (x - 3)}{2 x} - 3 x + 9$	=
$8 x + \frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} - 3 x + 9$	=
$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} + 8 x - 3 x + 9$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} + 8 x - 3 x + 9$	=	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{2 x} \cdot 2 x + 8 x \cdot 2 x - 3 x \cdot 2 x + 9 \cdot 2 x$	=
$x^{2} - 4 x + 3 + 16 x \cdot x - 6 x \cdot x + 18 x$	=
$x^{2} - 4 x + 3 + 16 x^{2} - 6 x^{2} + 18 x$	=
$11 x^{2} + 14 x + 3$	=

$11 x^{2} + 14 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 11 \cdot 3}}{2 \cdot 11}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 132}}{22}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{64}}{22}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{- 14+8}{22}$ = $\frac{- 6}{22}$ = $- \frac{3}{11}$ ≈ -0.27

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{64}}{22}$ = $\frac{- 14-8}{22}$ = $\frac{- 22}{22}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $11$ " teilen:

$11 x^{2} + 14 x + 3$ = 0 |: $11$

$x^{2} + \frac{14}{11} x + \frac{3}{11}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{11})}^{2} - (\frac{3}{11})$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{3}{11}$ = $\frac{49}{121}$ $-$ $\frac{33}{121}$ = $\frac{16}{121}$

x_1,2 = $- \frac{7}{11}$ ± $\sqrt{\frac{16}{121}}$

x₁ = $- \frac{7}{11}$ - $\frac{4}{11}$ = $- \frac{11}{11}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{11}$ + $\frac{4}{11}$ = $- \frac{3}{11}$ = -0.27272727272727

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{3}{11}$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 56$ .

$2$ ist eine Lösung, denn $2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 56$ )	:	(x $- 2$ )	=	$x^{2} + 11 x + 28$
-( $x^{3}$	$- 2 x^{2}$ )
	$11 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $11 x^{2}$	$- 22 x$ )
		$28 x$	$- 56$
		-( $28 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ = $(x^{2} + 11 x + 28) \cdot (x - 2)$

(x^{2} + 11 x + 28) (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 11 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 11+3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 11-3}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $28$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

Polynomdivision mit $- 4$

$- 4$ ist eine Lösung, denn ${(- 4)}^{3} + 9 \cdot {(- 4)}^{2} + 6 \cdot (- 4) - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 4$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 56$ )	:	(x $+ 4$ )	=	$x^{2} + 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ 4 x^{2}$ )
	$5 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $5 x^{2}$	$+ 20 x$ )
		$- 14 x$	$- 56$
		-( $- 14 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ = $(x^{2} + 5 x - 14) \cdot (x + 4)$

(x^{2} + 5 x - 14) (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₃	=	$- 4$

Polynomdivision mit $- 7$

$- 7$ ist eine Lösung, denn ${(- 7)}^{3} + 9 \cdot {(- 7)}^{2} + 6 \cdot (- 7) - 56$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$+ 9 x^{2}$	$+ 6 x$	$- 56$ )	:	(x $+ 7$ )	=	$x^{2} + 2 x - 8$
-( $x^{3}$	$+ 7 x^{2}$ )
	$2 x^{2}$	$+ 6 x$
	-( $2 x^{2}$	$+ 14 x$ )
		$- 8 x$	$- 56$
		-( $- 8 x$	$- 56$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ = $(x^{2} + 2 x - 8) \cdot (x + 7)$

(x^{2} + 2 x - 8) (x + 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

2. Fall:

$x + 7$	=	0	\| $- 7$
x₃	=	$- 7$

L={ $- 7$ ; $- 4$ ; $2$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{2} | - 3 x - 9 | + 1$ = $- 17$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \| + 1$	=	$- 17$	\| $- 1$
$- \frac{1}{2} \| - 3 x - 9 \|$	=	$- 18$	\|⋅ $(- 2)$
$\| - 3 x - 9 \|$	=	$36$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

$- 3 x - 9$	=	$36$	\| $+ 9$
$- 3 x$	=	$45$	\|:( $- 3$ )
x₁	=	$- 15$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ ≥ 0) genügt:

$- 3 \cdot (- 15) - 9$ = 36 ≥ 0

Die Lösung $- 15$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0:

$- (- 3 x - 9)$	=	$36$
$3 x + 9$	=	$36$	\| $- 9$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
x₂	=	$9$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $- 3 x - 9$ < 0) genügt:

$- 3 \cdot 9 - 9$ = -36 < 0

Die Lösung $9$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 15$ ; $9$ }

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Beispiel:

Für welche Werte von t hat die Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $x^{2} + 2 t x - 2 t$ genau 0 Nullstellen?

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 t x - 2 t$ =0 ist eine quadratische Gleichung, bei der wir am einfachsten die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) anwenden:

x_1,2 = $\frac{- 2 t \pm \sqrt{{(2 t)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 t)}}{2 \cdot 1}$ = $\frac{- 2 t \pm \sqrt{4 t^{2} + 8 t}}{2}$

Wie viele Nullstellen jetzt hier wirklich rauskommen, hängt vom Radikand, also vom Term unter der Wurzel ab:

Ist $4 t^{2} + 8 t$ > 0, so kann man die Wurzel bilden und es gibt (wegen dem ±) zwei Lösungen
Ist $4 t^{2} + 8 t$ = 0, so ist auch die Wurzel =0 und es gibt nur eine Lösung
Ist $4 t^{2} + 8 t$ <0, so existiert die Wurzel nicht und es gibt gar keine Lösung

Wir untersuchen also erstmal, wann der Radikand $4 t^{2} + 8 t$ = 0 wird.

$4 t^{2} + 8 t$	=	0
$4 t (t + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

t₁

=

0

2. Fall:

$t + 2$	=	0	\| $- 2$
t₂	=	$- 2$

Da bei $4 t^{2} + 8 t$ eine positive Zahl vor dem t² steht, ist der Graph von $4 t^{2} + 8 t$ eine nach oben geöffnete Parabel, bei der die Funktionswerte zwischen den Nullstellen negativ und jeweils links und rechts der Nullstellen positiv sind.

Für $- 2$ < t < $0$ , also für t > $- 2$ und t < $0$ ist also der Term unter der Wurzel < 0 und es gibt keine Lösung.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Gleichungen mit Polynomdivision

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -4

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polynomdivision mit -7

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Betragsgleichungen

1. Fall: -3x -9 ≥ 0:

2. Fall: -3x -9 < 0:

Lösungsanzahl in Abh. von Parameter

Polynomdivision mit $- 4$

Polynomdivision mit $- 7$

1. Fall: $- 3 x - 9$ ≥ 0:

2. Fall: $- 3 x - 9$ < 0: