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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 97 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 97 und p = 0.8 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 97 ⋅ 0.8 = 77.6
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.94
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 69 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=69⋅0.5 = 34.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 34.5, also 0.8⋅ 34.5 = 27.6 und 120% von 34.5, also 1.2⋅ 34.5 = 41.4
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 34.5 entfernt sein darf als 27.6 bzw. 41.4, muss sie also zwischen 28 und 41 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=0.5.
=
(TI-Befehl: binomcdf(69,0.5,41) - binomcdf(69,0.5,27))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 55 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 55⋅ ≈ 9.17,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.76
11.93 (9.17 + 2.76) und 6.4 (9.17 - 2.76) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.17 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 11 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 11 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(55,,11) - binomcdf(55,,6))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 20.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:
10 = 20 ⋅ p |:20
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 16 und p = 0.75.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 16 ⋅ 0.75 = 12 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 17 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 17 Treffer bei 16 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.48 + 0.44+ 0.36 ≈ 1.28 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 6 | 8 | 20 |
| P(X) | 0,3 | 0,1 | 0,6 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=6)⋅6 + P(X=8)⋅8 + P(X=20)⋅20
= 0,3⋅6 + 0,1⋅8 + 0,6⋅20
= 1,8 + 0,8 + 12
= 14,6
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=6)⋅(14,6-6)2 + P(X=8)⋅(14,6-8)2 + P(X=20)⋅(14,6-20)2
= 0,3⋅(8,6)2 + 0,1⋅(6,6)2 + 0,6⋅(-5,4)2
= 0,3⋅73,96 + 0,1⋅43,56 + 0,6⋅29,16
= 22,188 + 4,356 + 17,496
= 44.04
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 6,636
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.3⋅1 + 0.3⋅2 + 0.1⋅3 + 0.2⋅4
= 0 + 0.3 + 0.6 + 0.3 + 0.8
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.1⋅(2)2 + 0.3⋅(1)2 + 0.3⋅(0)2 + 0.1⋅(-1)2 + 0.2⋅(-2)2
= 0.1⋅4 + 0.3⋅1 + 0.3⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅4
= 0.4 + 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8
= 1.6
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.265