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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 83 und p = 0.6
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 83 und p = 0.6 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 83 ⋅ 0.6 = 49.8
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 4.46
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 81 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=81⋅0.45 = 36.45
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 36.45, also 0.8⋅ 36.45 = 29.16 und 120% von 36.45, also 1.2⋅ 36.45 = 43.74
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 36.45 entfernt sein darf als 29.16 bzw. 43.74, muss sie also zwischen 30 und 43 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=81 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(81,0.45,43) - binomcdf(81,0.45,29))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 64 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 64⋅ ≈ 10.67,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.98
13.65 (10.67 + 2.98) und 7.69 (10.67 - 2.98) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 10.67 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 8 und 13 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 8 und 13 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=64 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(64,,13) - binomcdf(64,,7))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 14. Somit gilt:
14 = n ⋅ |⋅
n = 21
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 14 und p = 0.85.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 14 ⋅ 0.85 = 11.9 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort die Gesamtwahrscheinlichkeit viel zu niedrig ist. Selbst wenn alle 6 sichtbare Säulen so groß wie die größte mit 0.12 wären, wäre die Summe (also die Gesamtwahrscheinlichkeit) nur ca. 6 ⋅ 0.12 ≈ 0.7 und damit viel zu wenig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 15 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bei 14 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 6 | 9 | 20 |
| P(X) | 0,6 | 0,2 | 0,2 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=6)⋅6 + P(X=9)⋅9 + P(X=20)⋅20
= 0,6⋅6 + 0,2⋅9 + 0,2⋅20
= 3,6 + 1,8 + 4
= 9,4
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=6)⋅(9,4-6)2 + P(X=9)⋅(9,4-9)2 + P(X=20)⋅(9,4-20)2
= 0,6⋅(3,4)2 + 0,2⋅(0,4)2 + 0,2⋅(-10,6)2
= 0,6⋅11,56 + 0,2⋅0,16 + 0,2⋅112,36
= 6,936 + 0,032 + 22,472
= 29.44
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 5,426
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.2⋅0 + 0.1⋅1 + 0.3⋅2 + 0.3⋅3 + 0.1⋅4
= 0 + 0.1 + 0.6 + 0.9 + 0.4
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.2⋅(2)2 + 0.1⋅(1)2 + 0.3⋅(0)2 + 0.3⋅(-1)2 + 0.1⋅(-2)2
= 0.2⋅4 + 0.1⋅1 + 0.3⋅0 + 0.3⋅1 + 0.1⋅4
= 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4
= 1.6
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.265