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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 89 und p = 0.4
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 89 und p = 0.4 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 89 ⋅ 0.4 = 35.6
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 4.62
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 45 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=45⋅ = 7.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 7.5, also 0.8⋅ 7.5 = 6 und 120% von 7.5, also 1.2⋅ 7.5 = 9
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 7.5 entfernt sein darf als 6 bzw. 9, muss sie also zwischen 6 und 9 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(45,,9) - binomcdf(45,,5))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 74 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 74⋅0.75 ≈ 55.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.72
59.22 (55.5 + 3.72) und 51.78 (55.5 - 3.72) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 55.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 52 und 59 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 52 und 59 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.75.
=
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.75,59) - binomcdf(74,0.75,51))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 21.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 12. Somit gilt:
12 = 21 ⋅ p |:21
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 15 und p = 0.85.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.58 + 0.51+ 0.41 ≈ 1.5 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 15 ⋅ 0.85 = 12.75 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 16 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 16 Treffer bei 15 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 3 | 13 | 14 | 19 |
| P(X) | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,7 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=3)⋅3 + P(X=13)⋅13 + P(X=14)⋅14 + P(X=19)⋅19
= 0,1⋅3 + 0,1⋅13 + 0,1⋅14 + 0,7⋅19
= 0,3 + 1,3 + 1,4 + 13,3
= 16,3
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=3)⋅(16,3-3)2 + P(X=13)⋅(16,3-13)2 + P(X=14)⋅(16,3-14)2 + P(X=19)⋅(16,3-19)2
= 0,1⋅(13,3)2 + 0,1⋅(3,3)2 + 0,1⋅(2,3)2 + 0,7⋅(-2,7)2
= 0,1⋅176,89 + 0,1⋅10,89 + 0,1⋅5,29 + 0,7⋅7,29
= 17,689 + 1,089 + 0,529 + 5,103
= 24.41
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 4,941
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.6⋅0 + 0.2⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.2 + 0.4
= 0.6
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.6-0)2 + P(X=1)⋅(0.6-1)2 + P(X=2)⋅(0.6-2)2
= 0.6⋅(0.6)2 + 0.2⋅(-0.4)2 + 0.2⋅(-1.4)2
= 0.6⋅0.36 + 0.2⋅0.16 + 0.2⋅1.96
= 0.216 + 0.032 + 0.392
= 0.64
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.8