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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 30 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 30 und p = 0.35 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 30 ⋅ 0.35 = 10.5
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.61
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 99 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=99⋅0.5 = 49.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 49.5, also 0.8⋅ 49.5 = 39.6 und 120% von 49.5, also 1.2⋅ 49.5 = 59.4
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 49.5 entfernt sein darf als 39.6 bzw. 59.4, muss sie also zwischen 40 und 59 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=99 und p=0.5.
=
(TI-Befehl: binomcdf(99,0.5,59) - binomcdf(99,0.5,39))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 56⋅ ≈ 9.33,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.79
12.12 (9.33 + 2.79) und 6.54 (9.33 - 2.79) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.33 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(56,,12) - binomcdf(56,,6))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 9. Somit gilt:
9 = n ⋅ |⋅
n = 18
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 10 und p = 0.75.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.6 + 0.47+ 0.45 ≈ 1.52 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 6 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 10 ⋅ 0.75 = 7.5 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 11 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 11 Treffer bei 10 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 18 | 19 | 20 |
| P(X) | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=18)⋅18 + P(X=19)⋅19 + P(X=20)⋅20
= 0,3⋅18 + 0,4⋅19 + 0,3⋅20
= 5,4 + 7,6 + 6
= 19
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=18)⋅(19-18)2 + P(X=19)⋅(19-19)2 + P(X=20)⋅(19-20)2
= 0,3⋅(1)2 + 0,4⋅(0)2 + 0,3⋅(-1)2
= 0,3⋅1 + 0,4⋅0 + 0,3⋅1
= 0,3 + 0 + 0,3
= 0.6
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0,775
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.2⋅0 + 0.5⋅1 + 0.1⋅2 + 0.2⋅3
= 0 + 0.5 + 0.2 + 0.6
= 1.3
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(1.3-0)2 + P(X=1)⋅(1.3-1)2 + P(X=2)⋅(1.3-2)2 + P(X=3)⋅(1.3-3)2
= 0.2⋅(1.3)2 + 0.5⋅(0.3)2 + 0.1⋅(-0.7)2 + 0.2⋅(-1.7)2
= 0.2⋅1.69 + 0.5⋅0.09 + 0.1⋅0.49 + 0.2⋅2.89
= 0.338 + 0.045 + 0.049 + 0.578
= 1.01
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.005