Sammelkorb: 
Klasse 5 (G9)
- Klasse 6 (G9)
- Klasse 7 (G9)
- Klasse 8 (G8)
Klasse 9-10 (G8)
- Kursstufe (G8)
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 24 und p = 0.75
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 24 und p = 0.75 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 24 ⋅ 0.75 = 18
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.12
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 89 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=89⋅0.45 = 40.05
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 40.05, also 0.8⋅ 40.05 = 32.04 und 120% von 40.05, also 1.2⋅ 40.05 = 48.06
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 40.05 entfernt sein darf als 32.04 bzw. 48.06, muss sie also zwischen 33 und 48 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(89,0.45,48) - binomcdf(89,0.45,32))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 58 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 58⋅ ≈ 9.67,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.84
12.5 (9.67 + 2.84) und 6.83 (9.67 - 2.84) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.67 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=58 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(58,,12) - binomcdf(58,,6))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 20.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:
10 = 20 ⋅ p |:20
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 13 und p = 0.9.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 14 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer bei 13 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 13 ⋅ 0.9 = 11.7 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.75 + 0.56+ 0.46 ≈ 1.78 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 3 | 16 | 19 |
| P(X) | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=3)⋅3 + P(X=16)⋅16 + P(X=19)⋅19
= 0,4⋅3 + 0,3⋅16 + 0,3⋅19
= 1,2 + 4,8 + 5,7
= 11,7
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=3)⋅(11,7-3)2 + P(X=16)⋅(11,7-16)2 + P(X=19)⋅(11,7-19)2
= 0,4⋅(8,7)2 + 0,3⋅(-4,3)2 + 0,3⋅(-7,3)2
= 0,4⋅75,69 + 0,3⋅18,49 + 0,3⋅53,29
= 30,276 + 5,547 + 15,987
= 51.81
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 7,198
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.3⋅0 + 0.5⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.5 + 0.4
= 0.9
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.9-0)2 + P(X=1)⋅(0.9-1)2 + P(X=2)⋅(0.9-2)2
= 0.3⋅(0.9)2 + 0.5⋅(-0.1)2 + 0.2⋅(-1.1)2
= 0.3⋅0.81 + 0.5⋅0.01 + 0.2⋅1.21
= 0.243 + 0.005 + 0.242
= 0.49
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.7