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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 78 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 78 und p = 0.55 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 78 ⋅ 0.55 = 42.9
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 4.39
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 74 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=74⋅0.5 = 37
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 37, also 0.9⋅ 37 = 33.3 und 110% von 37, also 1.1⋅ 37 = 40.7
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 37 entfernt sein darf als 33.3 bzw. 40.7, muss sie also zwischen 34 und 40 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=74 und p=0.5.
=
(TI-Befehl: binomcdf(74,0.5,40) - binomcdf(74,0.5,33))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 54 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 54⋅ ≈ 9,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.74
11.74 (9 + 2.74) und 6.26 (9 - 2.74) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 11 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 11 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(54,,11) - binomcdf(54,,6))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 20.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:
10 = 20 ⋅ p |:20
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 15 und p = 0.75.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 9 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 15 ⋅ 0.75 = 11.25 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 16 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 16 Treffer bei 15 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort die Gesamtwahrscheinlichkeit viel zu niedrig ist. Selbst wenn alle 9 sichtbare Säulen so groß wie die größte mit 0.1 wären, wäre die Summe (also die Gesamtwahrscheinlichkeit) nur ca. 9 ⋅ 0.1 ≈ 0.9 und damit viel zu wenig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 2 | 3 | 7 | 17 |
| P(X) | 0,1 | 0,6 | 0,1 | 0,2 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=7)⋅7 + P(X=17)⋅17
= 0,1⋅2 + 0,6⋅3 + 0,1⋅7 + 0,2⋅17
= 0,2 + 1,8 + 0,7 + 3,4
= 6,1
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=2)⋅(6,1-2)2 + P(X=3)⋅(6,1-3)2 + P(X=7)⋅(6,1-7)2 + P(X=17)⋅(6,1-17)2
= 0,1⋅(4,1)2 + 0,6⋅(3,1)2 + 0,1⋅(-0,9)2 + 0,2⋅(-10,9)2
= 0,1⋅16,81 + 0,6⋅9,61 + 0,1⋅0,81 + 0,2⋅118,81
= 1,681 + 5,766 + 0,081 + 23,762
= 31.29
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 5,594
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.6⋅0 + 0.1⋅1 + 0.1⋅2 + 0.2⋅3
= 0 + 0.1 + 0.2 + 0.6
= 0.9
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.9-0)2 + P(X=1)⋅(0.9-1)2 + P(X=2)⋅(0.9-2)2 + P(X=3)⋅(0.9-3)2
= 0.6⋅(0.9)2 + 0.1⋅(-0.1)2 + 0.1⋅(-1.1)2 + 0.2⋅(-2.1)2
= 0.6⋅0.81 + 0.1⋅0.01 + 0.1⋅1.21 + 0.2⋅4.41
= 0.486 + 0.001 + 0.121 + 0.882
= 1.49
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.221