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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 64 und p = 0.9
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 64 und p = 0.9 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 64 ⋅ 0.9 = 57.6
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.4
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 95 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=95⋅0.7 = 66.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 66.5, also 0.8⋅ 66.5 = 53.2 und 120% von 66.5, also 1.2⋅ 66.5 = 79.8
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 66.5 entfernt sein darf als 53.2 bzw. 79.8, muss sie also zwischen 54 und 79 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=95 und p=0.7.
=
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.7,79) - binomcdf(95,0.7,53))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 71 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 71⋅ ≈ 11.83,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.14
14.97 (11.83 + 3.14) und 8.69 (11.83 - 3.14) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.83 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(71,,14) - binomcdf(71,,8))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 21.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 7. Somit gilt:
7 = 21 ⋅ p |:21
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 18 und p = 0.7.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.42 + 0.41+ 0.33 ≈ 1.16 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 19 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer bei 18 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 18 ⋅ 0.7 = 12.6 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 2 | 9 | 19 | 20 |
| P(X) | 0,6 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=2)⋅2 + P(X=9)⋅9 + P(X=19)⋅19 + P(X=20)⋅20
= 0,6⋅2 + 0,1⋅9 + 0,1⋅19 + 0,2⋅20
= 1,2 + 0,9 + 1,9 + 4
= 8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=2)⋅(8-2)2 + P(X=9)⋅(8-9)2 + P(X=19)⋅(8-19)2 + P(X=20)⋅(8-20)2
= 0,6⋅(6)2 + 0,1⋅(-1)2 + 0,1⋅(-11)2 + 0,2⋅(-12)2
= 0,6⋅36 + 0,1⋅1 + 0,1⋅121 + 0,2⋅144
= 21,6 + 0,1 + 12,1 + 28,8
= 62.6
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 7,912
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.2⋅0 + 0.4⋅1 + 0.4⋅2
= 0 + 0.4 + 0.8
= 1.2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(1.2-0)2 + P(X=1)⋅(1.2-1)2 + P(X=2)⋅(1.2-2)2
= 0.2⋅(1.2)2 + 0.4⋅(0.2)2 + 0.4⋅(-0.8)2
= 0.2⋅1.44 + 0.4⋅0.04 + 0.4⋅0.64
= 0.288 + 0.016 + 0.256
= 0.56
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.748