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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 54 und p = 0.65
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 54 und p = 0.65 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 54 ⋅ 0.65 = 35.1
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.5
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 85 Versuchen nicht mehr als 20% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=85⋅0.7 = 59.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 59.5, also 0.8⋅ 59.5 = 47.6 und 120% von 59.5, also 1.2⋅ 59.5 = 71.4
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 59.5 entfernt sein darf als 47.6 bzw. 71.4, muss sie also zwischen 48 und 71 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=85 und p=0.7.
=
(TI-Befehl: binomcdf(85,0.7,71) - binomcdf(85,0.7,47))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 57⋅ ≈ 9.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.81
12.31 (9.5 + 2.81) und 6.69 (9.5 - 2.81) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(57,,12) - binomcdf(57,,6))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 18.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 6. Somit gilt:
6 = 18 ⋅ p |:18
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 15 und p = 0.85.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 15 ⋅ 0.85 = 12.75 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 16 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 16 Treffer bei 15 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.58 + 0.51+ 0.41 ≈ 1.5 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 4 | 6 | 18 |
| P(X) | 0,1 | 0,1 | 0,8 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=4)⋅4 + P(X=6)⋅6 + P(X=18)⋅18
= 0,1⋅4 + 0,1⋅6 + 0,8⋅18
= 0,4 + 0,6 + 14,4
= 15,4
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=4)⋅(15,4-4)2 + P(X=6)⋅(15,4-6)2 + P(X=18)⋅(15,4-18)2
= 0,1⋅(11,4)2 + 0,1⋅(9,4)2 + 0,8⋅(-2,6)2
= 0,1⋅129,96 + 0,1⋅88,36 + 0,8⋅6,76
= 12,996 + 8,836 + 5,408
= 27.24
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 5,219
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.3⋅1 + 0.2⋅2 + 0.3⋅3 + 0.1⋅4
= 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 0.4
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.1⋅(2)2 + 0.3⋅(1)2 + 0.2⋅(0)2 + 0.3⋅(-1)2 + 0.1⋅(-2)2
= 0.1⋅4 + 0.3⋅1 + 0.2⋅0 + 0.3⋅1 + 0.1⋅4
= 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.4
= 1.4
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.183