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Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 68 und p = 0.55
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

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Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 68 und p = 0.55 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 68 ⋅ 0.55 = 37.4

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 68 ⋅ 0.55 ⋅ 0.45 = 16.83 ≈ 4.1

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,6 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 90 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=90⋅0.6 = 54

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 54, also 0.9⋅ 54 = 48.6 und 110% von 54, also 1.1⋅ 54 = 59.4

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 54 entfernt sein darf als 48.6 bzw. 59.4, muss sie also zwischen 49 und 59 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.6.

P0.690 (49≤X≤59) =

...
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
...

P0.690 (X≤59) - P0.690 (X≤48) ≈ 0.8824 - 0.1188 ≈ 0.7636
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.6,59) - binomcdf(90,0.6,48))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Würfel wird 69 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 69⋅ 1 6 ≈ 11.5,
die Standardabweichung mit σ = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 69 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ≈ 3.1

14.6 (11.5 + 3.1) und 8.4 (11.5 - 3.1) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p= 1 6 .

P 1 6 69 (9≤X≤14) =

...
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
...

P 1 6 69 (X≤14) - P 1 6 69 (X≤8) ≈ 0.8347 - 0.1665 ≈ 0.6682
(TI-Befehl: binomcdf(69, 1 6 ,14) - binomcdf(69, 1 6 ,8))

Parameter aus Erwartungswert berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = 1 2 .

Bestimme die Stichprobengröße n.

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Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:

10 = n ⋅ 1 2 |⋅2

n = 20

Histogramm untersuchen

Beispiel:

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 12 und p = 0.8.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.

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Histogramm B

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Histogramm A

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Histogramm D

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Histogramm C

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Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 13 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 13 Treffer bei 12 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.59 + 0.47+ 0.44 ≈ 1.51 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 8 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 12 ⋅ 0.8 = 9.6 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.

Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.

Erwartungswert, Standardabweichung allgemein

Beispiel:

Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zufallsgröße X71118
P(X)0,40,10,5

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Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=7)⋅7 + P(X=11)⋅11 + P(X=18)⋅18
= 0,4⋅7 + 0,1⋅11 + 0,5⋅18
= 2,8 + 1,1 + 9

= 12,9

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=7)⋅(12,9-7)2 + P(X=11)⋅(12,9-11)2 + P(X=18)⋅(12,9-18)2
= 0,4⋅(5,9)2 + 0,1⋅(1,9)2 + 0,5⋅(-5,1)2
= 0,4⋅34,81 + 0,1⋅3,61 + 0,5⋅26,01
= 13,924 + 0,361 + 13,005
= 27.29

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = Var(X) = 27.29 ≈ 5,224

Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm

Beispiel:

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Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.

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Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.3⋅1 + 0.3⋅2 + 0.1⋅3 + 0.2⋅4
= 0 + 0.3 + 0.6 + 0.3 + 0.8

= 2

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.1⋅(2)2 + 0.3⋅(1)2 + 0.3⋅(0)2 + 0.1⋅(-1)2 + 0.2⋅(-2)2
= 0.1⋅4 + 0.3⋅1 + 0.3⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅4
= 0.4 + 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8
= 1.6

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = Var(X) = 1.6 ≈ 1.265