Sammelkorb: 
Klasse 5-6
- Klasse 7-8
Klasse 9-10
- Kursstufe
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 80 und p = 0.6
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 80 und p = 0.6 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 80 ⋅ 0.6 = 48
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 4.38
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 49 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=49⋅0.45 = 22.05
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 22.05, also 0.8⋅ 22.05 = 17.64 und 120% von 22.05, also 1.2⋅ 22.05 = 26.46
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 22.05 entfernt sein darf als 17.64 bzw. 26.46, muss sie also zwischen 18 und 26 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.45,26) - binomcdf(49,0.45,17))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=25%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 42 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 42⋅0.25 ≈ 10.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.81
13.31 (10.5 + 2.81) und 7.69 (10.5 - 2.81) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 10.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 8 und 13 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 8 und 13 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(42,0.25,13) - binomcdf(42,0.25,7))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 5. Somit gilt:
5 = n ⋅ |⋅
n = 20
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 0.9.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 15 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 20 ⋅ 0.9 = 18 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 21 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 21 Treffer bei 20 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.6 + 0.57+ 0.34 ≈ 1.5 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 5 | 6 | 7 |
| P(X) | 0,3 | 0,2 | 0,5 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=5)⋅5 + P(X=6)⋅6 + P(X=7)⋅7
= 0,3⋅5 + 0,2⋅6 + 0,5⋅7
= 1,5 + 1,2 + 3,5
= 6,2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=5)⋅(6,2-5)2 + P(X=6)⋅(6,2-6)2 + P(X=7)⋅(6,2-7)2
= 0,3⋅(1,2)2 + 0,2⋅(0,2)2 + 0,5⋅(-0,8)2
= 0,3⋅1,44 + 0,2⋅0,04 + 0,5⋅0,64
= 0,432 + 0,008 + 0,32
= 0.76
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0,872
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.2⋅0 + 0.1⋅1 + 0.3⋅2 + 0.3⋅3 + 0.1⋅4
= 0 + 0.1 + 0.6 + 0.9 + 0.4
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.2⋅(2)2 + 0.1⋅(1)2 + 0.3⋅(0)2 + 0.3⋅(-1)2 + 0.1⋅(-2)2
= 0.2⋅4 + 0.1⋅1 + 0.3⋅0 + 0.3⋅1 + 0.1⋅4
= 0.8 + 0.1 + 0 + 0.3 + 0.4
= 1.6
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.265