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Erwartungswert, Standardabweichung best.

Beispiel:

Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 98 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .

Lösung einblenden

Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 98 und p = 0.15 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 98 ⋅ 0.15 = 14.7

Standardabweichung S(X) = n ⋅ p ⋅ (1-p) = 98 ⋅ 0.15 ⋅ 0.85 = 12.495 3.53

Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,4 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 93 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=93⋅0.4 = 37.2

Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 37.2, also 0.85⋅ 37.2 = 31.62 und 115% von 37.2, also 1.15⋅ 37.2 = 42.78

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 37.2 entfernt sein darf als 31.62 bzw. 42.78, muss sie also zwischen 32 und 42 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.4.

P0.493 (32X42) =

...
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
...

P0.493 (X42) - P0.493 (X31) ≈ 0.8687 - 0.1131 ≈ 0.7556
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.4,42) - binomcdf(93,0.4,31))

Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 73 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?

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Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 73⋅0.5 ≈ 36.5,
die Standardabweichung mit σ = n p (1-p) = 73 0.5 0.5 ≈ 4.27

40.77 (36.5 + 4.27) und 32.23 (36.5 - 4.27) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 36.5 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 33 und 40 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 33 und 40 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=73 und p=0.5.

P0.573 (33X40) =

...
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
...

P0.573 (X40) - P0.573 (X32) ≈ 0.8254 - 0.1746 ≈ 0.6508
(TI-Befehl: binomcdf(73,0.5,40) - binomcdf(73,0.5,32))

Parameter aus Erwartungswert berechnen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = 3 7 .

Bestimme die Stichprobengröße n.

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Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 9. Somit gilt:

9 = n ⋅ 3 7 |⋅ 7 3

n = 21

Histogramm untersuchen

Beispiel:

Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 16 und p = 0.85.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.

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Histogramm B

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Histogramm A

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Histogramm D

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Histogramm C

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Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 17 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 17 Treffer bei 16 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.58 + 0.51+ 0.41 ≈ 1.5 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 11 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 16 ⋅ 0.85 = 13.6 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrschinlichkeit) entfernt.

Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.

Erwartungswert, Standardabweichung allgemein

Beispiel:

Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zufallsgröße X31517
P(X)0,50,10,4

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Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=3)⋅3 + P(X=15)⋅15 + P(X=17)⋅17
= 0,5⋅3 + 0,1⋅15 + 0,4⋅17
= 1,5 + 1,5 + 6,8

= 9,8

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=3)⋅(9,8-3)2 + P(X=15)⋅(9,8-15)2 + P(X=17)⋅(9,8-17)2
= 0,5⋅(6,8)2 + 0,1⋅(-5,2)2 + 0,4⋅(-7,2)2
= 0,5⋅46,24 + 0,1⋅27,04 + 0,4⋅51,84
= 23,12 + 2,704 + 20,736
= 46.56

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = Var(X) = 46.56 ≈ 6,823

Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm

Beispiel:

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Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.

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Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.4⋅0 + 0.2⋅1 + 0.1⋅2 + 0.3⋅3
= 0 + 0.2 + 0.2 + 0.9

= 1.3

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(1.3-0)2 + P(X=1)⋅(1.3-1)2 + P(X=2)⋅(1.3-2)2 + P(X=3)⋅(1.3-3)2
= 0.4⋅(1.3)2 + 0.2⋅(0.3)2 + 0.1⋅(-0.7)2 + 0.3⋅(-1.7)2
= 0.4⋅1.69 + 0.2⋅0.09 + 0.1⋅0.49 + 0.3⋅2.89
= 0.676 + 0.018 + 0.049 + 0.867
= 1.61

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = Var(X) = 1.61 ≈ 1.269