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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 94 und p = 0.8
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 94 und p = 0.8 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 94 ⋅ 0.8 = 75.2
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.88
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 51 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 15% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=51⋅0.45 = 22.95
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 22.95, also 0.85⋅ 22.95 = 19.508 und 115% von 22.95, also 1.15⋅ 22.95 = 26.393
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 22.95 entfernt sein darf als 19.508 bzw. 26.393, muss sie also zwischen 20 und 26 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.45,26) - binomcdf(51,0.45,19))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 42 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 42⋅ ≈ 7,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.42
9.42 (7 + 2.42) und 4.58 (7 - 2.42) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 7 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 5 und 9 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 5 und 9 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=42 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(42,,9) - binomcdf(42,,4))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 5. Somit gilt:
5 = n ⋅ |⋅
n = 20
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 15 und p = 0.8.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 15 ⋅ 0.8 = 12 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 16 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 16 Treffer bei 15 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort die Gesamtwahrscheinlichkeit viel zu niedrig ist. Selbst wenn alle 8 sichtbare Säulen so groß wie die größte mit 0.1 wären, wäre die Summe (also die Gesamtwahrscheinlichkeit) nur ca. 8 ⋅ 0.1 ≈ 0.8 und damit viel zu wenig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 7 | 10 | 18 | 19 |
| P(X) | 0,3 | 0,2 | 0,2 | 0,3 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=7)⋅7 + P(X=10)⋅10 + P(X=18)⋅18 + P(X=19)⋅19
= 0,3⋅7 + 0,2⋅10 + 0,2⋅18 + 0,3⋅19
= 2,1 + 2 + 3,6 + 5,7
= 13,4
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=7)⋅(13,4-7)2 + P(X=10)⋅(13,4-10)2 + P(X=18)⋅(13,4-18)2 + P(X=19)⋅(13,4-19)2
= 0,3⋅(6,4)2 + 0,2⋅(3,4)2 + 0,2⋅(-4,6)2 + 0,3⋅(-5,6)2
= 0,3⋅40,96 + 0,2⋅11,56 + 0,2⋅21,16 + 0,3⋅31,36
= 12,288 + 2,312 + 4,232 + 9,408
= 28.24
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 5,314
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.5⋅0 + 0.2⋅1 + 0.1⋅2 + 0.2⋅3
= 0 + 0.2 + 0.2 + 0.6
= 1
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(1-0)2 + P(X=1)⋅(1-1)2 + P(X=2)⋅(1-2)2 + P(X=3)⋅(1-3)2
= 0.5⋅(1)2 + 0.2⋅(0)2 + 0.1⋅(-1)2 + 0.2⋅(-2)2
= 0.5⋅1 + 0.2⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅4
= 0.5 + 0 + 0.1 + 0.8
= 1.4
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.183