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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 41 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 41 und p = 0.5 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 41 ⋅ 0.5 = 20.5
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.2
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 49 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=49⋅0.75 = 36.75
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 36.75, also 0.8⋅ 36.75 = 29.4 und 120% von 36.75, also 1.2⋅ 36.75 = 44.1
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 36.75 entfernt sein darf als 29.4 bzw. 44.1, muss sie also zwischen 30 und 44 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=0.75.
=
(TI-Befehl: binomcdf(49,0.75,44) - binomcdf(49,0.75,29))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass bei 86 Versuchen die Anzahl seiner Treffer um nicht mehr als eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 86⋅0.75 ≈ 64.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 4.02
68.52 (64.5 + 4.02) und 60.48 (64.5 - 4.02) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 64.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 61 und 68 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 61 und 68 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=86 und p=0.75.
=
(TI-Befehl: binomcdf(86,0.75,68) - binomcdf(86,0.75,60))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 18.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 6. Somit gilt:
6 = 18 ⋅ p |:18
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 13 und p = 0.8.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 8 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 13 ⋅ 0.8 = 10.4 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 14 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer bei 13 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.57 + 0.47+ 0.41 ≈ 1.45 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Zufallsgröße X | 6 | 7 | 20 |
P(X) | 0,3 | 0,3 | 0,4 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=6)⋅6 + P(X=7)⋅7 + P(X=20)⋅20
= 0,3⋅6 + 0,3⋅7 + 0,4⋅20
= 1,8 + 2,1 + 8
= 11,9
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=6)⋅(11,9-6)2 + P(X=7)⋅(11,9-7)2 + P(X=20)⋅(11,9-20)2
= 0,3⋅(5,9)2 + 0,3⋅(4,9)2 + 0,4⋅(-8,1)2
= 0,3⋅34,81 + 0,3⋅24,01 + 0,4⋅65,61
= 10,443 + 7,203 + 26,244
= 43.89
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 6,625
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.7⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.1 + 0.4
= 0.5
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.5-0)2 + P(X=1)⋅(0.5-1)2 + P(X=2)⋅(0.5-2)2
= 0.7⋅(0.5)2 + 0.1⋅(-0.5)2 + 0.2⋅(-1.5)2
= 0.7⋅0.25 + 0.1⋅0.25 + 0.2⋅2.25
= 0.175 + 0.025 + 0.45
= 0.65
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.806