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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 42 und p = 0.35
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 42 und p = 0.35 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 42 ⋅ 0.35 = 14.7
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.09
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,75 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 93 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=93⋅0.75 = 69.75
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 69.75, also 0.9⋅ 69.75 = 62.775 und 110% von 69.75, also 1.1⋅ 69.75 = 76.725
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 69.75 entfernt sein darf als 62.775 bzw. 76.725, muss sie also zwischen 63 und 76 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=93 und p=0.75.
=
(TI-Befehl: binomcdf(93,0.75,76) - binomcdf(93,0.75,62))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 43 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 43⋅0.25 ≈ 10.75,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.84
13.59 (10.75 + 2.84) und 7.91 (10.75 - 2.84) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 10.75 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 8 und 13 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 8 und 13 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=43 und p=0.25.
=
(TI-Befehl: binomcdf(43,0.25,13) - binomcdf(43,0.25,7))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:
10 = n ⋅ |⋅
n = 20
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 15 und p = 0.7.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.46 + 0.39+ 0.39 ≈ 1.24 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 16 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 16 Treffer bei 15 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 8 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 15 ⋅ 0.7 = 10.5 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 2 | 3 | 4 | 20 |
| P(X) | 0,1 | 0,4 | 0,1 | 0,4 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4 + P(X=20)⋅20
= 0,1⋅2 + 0,4⋅3 + 0,1⋅4 + 0,4⋅20
= 0,2 + 1,2 + 0,4 + 8
= 9,8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=2)⋅(9,8-2)2 + P(X=3)⋅(9,8-3)2 + P(X=4)⋅(9,8-4)2 + P(X=20)⋅(9,8-20)2
= 0,1⋅(7,8)2 + 0,4⋅(6,8)2 + 0,1⋅(5,8)2 + 0,4⋅(-10,2)2
= 0,1⋅60,84 + 0,4⋅46,24 + 0,1⋅33,64 + 0,4⋅104,04
= 6,084 + 18,496 + 3,364 + 41,616
= 69.56
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 8,34
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.6⋅0 + 0.1⋅1 + 0.1⋅2 + 0.2⋅3
= 0 + 0.1 + 0.2 + 0.6
= 0.9
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.9-0)2 + P(X=1)⋅(0.9-1)2 + P(X=2)⋅(0.9-2)2 + P(X=3)⋅(0.9-3)2
= 0.6⋅(0.9)2 + 0.1⋅(-0.1)2 + 0.1⋅(-1.1)2 + 0.2⋅(-2.1)2
= 0.6⋅0.81 + 0.1⋅0.01 + 0.1⋅1.21 + 0.2⋅4.41
= 0.486 + 0.001 + 0.121 + 0.882
= 1.49
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.221