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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 71 und p = 0.3
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 71 und p = 0.3 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 71 ⋅ 0.3 = 21.3
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.86
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Würfel wird 75 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=75⋅ = 12.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 12.5, also 0.8⋅ 12.5 = 10 und 120% von 12.5, also 1.2⋅ 12.5 = 15
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 12.5 entfernt sein darf als 10 bzw. 15, muss sie also zwischen 10 und 15 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=75 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(75,,15) - binomcdf(75,,9))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 69 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 69⋅ ≈ 11.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.1
14.6 (11.5 + 3.1) und 8.4 (11.5 - 3.1) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=69 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(69,,14) - binomcdf(69,,8))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 21.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 7. Somit gilt:
7 = 21 ⋅ p |:21
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 19 und p = 0.7.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 11 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 19 ⋅ 0.7 = 13.3 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 20 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 20 Treffer bei 19 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.42 + 0.37+ 0.36 ≈ 1.15 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm C das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 3 | 7 | 15 | 18 |
| P(X) | 0,1 | 0,4 | 0,1 | 0,4 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=3)⋅3 + P(X=7)⋅7 + P(X=15)⋅15 + P(X=18)⋅18
= 0,1⋅3 + 0,4⋅7 + 0,1⋅15 + 0,4⋅18
= 0,3 + 2,8 + 1,5 + 7,2
= 11,8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=3)⋅(11,8-3)2 + P(X=7)⋅(11,8-7)2 + P(X=15)⋅(11,8-15)2 + P(X=18)⋅(11,8-18)2
= 0,1⋅(8,8)2 + 0,4⋅(4,8)2 + 0,1⋅(-3,2)2 + 0,4⋅(-6,2)2
= 0,1⋅77,44 + 0,4⋅23,04 + 0,1⋅10,24 + 0,4⋅38,44
= 7,744 + 9,216 + 1,024 + 15,376
= 33.36
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 5,776
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.5⋅0 + 0.2⋅1 + 0.3⋅2
= 0 + 0.2 + 0.6
= 0.8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.8-0)2 + P(X=1)⋅(0.8-1)2 + P(X=2)⋅(0.8-2)2
= 0.5⋅(0.8)2 + 0.2⋅(-0.2)2 + 0.3⋅(-1.2)2
= 0.5⋅0.64 + 0.2⋅0.04 + 0.3⋅1.44
= 0.32 + 0.008 + 0.432
= 0.76
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.872