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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 35 und p = 0.95
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 35 und p = 0.95 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 35 ⋅ 0.95 = 33.25
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 1.29
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,7 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 61 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=61⋅0.7 = 42.7
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 42.7, also 0.8⋅ 42.7 = 34.16 und 120% von 42.7, also 1.2⋅ 42.7 = 51.24
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 42.7 entfernt sein darf als 34.16 bzw. 51.24, muss sie also zwischen 35 und 51 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=61 und p=0.7.
=
(TI-Befehl: binomcdf(61,0.7,51) - binomcdf(61,0.7,34))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 56 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 56⋅ ≈ 9.33,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.79
12.12 (9.33 + 2.79) und 6.54 (9.33 - 2.79) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.33 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(56,,12) - binomcdf(56,,6))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 20.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 18. Somit gilt:
18 = 20 ⋅ p |:20
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 17 und p = 0.9.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 18 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 18 Treffer bei 17 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.69 + 0.53+ 0.41 ≈ 1.63 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 12 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 17 ⋅ 0.9 = 15.3 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 7 | 12 | 14 |
| P(X) | 0,2 | 0,2 | 0,6 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=7)⋅7 + P(X=12)⋅12 + P(X=14)⋅14
= 0,2⋅7 + 0,2⋅12 + 0,6⋅14
= 1,4 + 2,4 + 8,4
= 12,2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=7)⋅(12,2-7)2 + P(X=12)⋅(12,2-12)2 + P(X=14)⋅(12,2-14)2
= 0,2⋅(5,2)2 + 0,2⋅(0,2)2 + 0,6⋅(-1,8)2
= 0,2⋅27,04 + 0,2⋅0,04 + 0,6⋅3,24
= 5,408 + 0,0079999999999999 + 1,944
= 7.36
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 2,713
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.1⋅0 + 0.2⋅1 + 0.7⋅2
= 0 + 0.2 + 1.4
= 1.6
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(1.6-0)2 + P(X=1)⋅(1.6-1)2 + P(X=2)⋅(1.6-2)2
= 0.1⋅(1.6)2 + 0.2⋅(0.6)2 + 0.7⋅(-0.4)2
= 0.1⋅2.56 + 0.2⋅0.36 + 0.7⋅0.16
= 0.256 + 0.072 + 0.112
= 0.44
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.663