Sammelkorb: 
Klasse 5 (G9)
- Klasse 6 (G9)
- Klasse 7 (G9)
- Klasse 8 (G8)
Klasse 9-10 (G8)
- Kursstufe (G8)
- cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 30 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 30 und p = 0.15 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 30 ⋅ 0.15 = 4.5
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 1.96
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,45 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 91 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=91⋅0.45 = 40.95
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 40.95, also 0.8⋅ 40.95 = 32.76 und 120% von 40.95, also 1.2⋅ 40.95 = 49.14
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 40.95 entfernt sein darf als 32.76 bzw. 49.14, muss sie also zwischen 33 und 49 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=0.45.
=
(TI-Befehl: binomcdf(91,0.45,49) - binomcdf(91,0.45,32))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 51 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 51⋅ ≈ 8.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.66
11.16 (8.5 + 2.66) und 5.84 (8.5 - 2.66) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 11 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 11 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(51,,11) - binomcdf(51,,5))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:
10 = n ⋅ |⋅
n = 20
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 14 und p = 0.8.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.54 + 0.49+ 0.36 ≈ 1.38 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 15 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bei 14 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 9 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 14 ⋅ 0.8 = 11.2 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 4 | 13 | 17 |
| P(X) | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=4)⋅4 + P(X=13)⋅13 + P(X=17)⋅17
= 0,1⋅4 + 0,6⋅13 + 0,3⋅17
= 0,4 + 7,8 + 5,1
= 13,3
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=4)⋅(13,3-4)2 + P(X=13)⋅(13,3-13)2 + P(X=17)⋅(13,3-17)2
= 0,1⋅(9,3)2 + 0,6⋅(0,3)2 + 0,3⋅(-3,7)2
= 0,1⋅86,49 + 0,6⋅0,09 + 0,3⋅13,69
= 8,649 + 0,054 + 4,107
= 12.81
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 3,579
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.5⋅0 + 0.2⋅1 + 0.3⋅2
= 0 + 0.2 + 0.6
= 0.8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.8-0)2 + P(X=1)⋅(0.8-1)2 + P(X=2)⋅(0.8-2)2
= 0.5⋅(0.8)2 + 0.2⋅(-0.2)2 + 0.3⋅(-1.2)2
= 0.5⋅0.64 + 0.2⋅0.04 + 0.3⋅1.44
= 0.32 + 0.008 + 0.432
= 0.76
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.872