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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 28 und p = 0.2
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 28 und p = 0.2 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 28 ⋅ 0.2 = 5.6
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.12
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 88 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=88⋅0.7 = 61.6
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 61.6, also 0.85⋅ 61.6 = 52.36 und 115% von 61.6, also 1.15⋅ 61.6 = 70.84
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 61.6 entfernt sein darf als 52.36 bzw. 70.84, muss sie also zwischen 53 und 70 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=0.7.
=
(TI-Befehl: binomcdf(88,0.7,70) - binomcdf(88,0.7,52))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 48 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 48⋅ ≈ 8,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.58
10.58 (8 + 2.58) und 5.42 (8 - 2.58) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=48 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(48,,10) - binomcdf(48,,5))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 14. Somit gilt:
14 = n ⋅ |⋅
n = 18
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 10 und p = 0.7.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 11 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 11 Treffer bei 10 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.53 + 0.53+ 0.34 ≈ 1.41 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 6 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 10 ⋅ 0.7 = 7 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 4 | 8 | 20 |
| P(X) | 0,5 | 0,1 | 0,4 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=4)⋅4 + P(X=8)⋅8 + P(X=20)⋅20
= 0,5⋅4 + 0,1⋅8 + 0,4⋅20
= 2 + 0,8 + 8
= 10,8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=4)⋅(10,8-4)2 + P(X=8)⋅(10,8-8)2 + P(X=20)⋅(10,8-20)2
= 0,5⋅(6,8)2 + 0,1⋅(2,8)2 + 0,4⋅(-9,2)2
= 0,5⋅46,24 + 0,1⋅7,84 + 0,4⋅84,64
= 23,12 + 0,784 + 33,856
= 57.76
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 7,6
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.3⋅1 + 0.3⋅2 + 0.1⋅3 + 0.2⋅4
= 0 + 0.3 + 0.6 + 0.3 + 0.8
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.1⋅(2)2 + 0.3⋅(1)2 + 0.3⋅(0)2 + 0.1⋅(-1)2 + 0.2⋅(-2)2
= 0.1⋅4 + 0.3⋅1 + 0.3⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅4
= 0.4 + 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8
= 1.6
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.265