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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 82 und p = 0.2
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 82 und p = 0.2 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 82 ⋅ 0.2 = 16.4
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.62
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 76 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=76⋅0.55 = 41.8
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 41.8, also 0.8⋅ 41.8 = 33.44 und 120% von 41.8, also 1.2⋅ 41.8 = 50.16
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 41.8 entfernt sein darf als 33.44 bzw. 50.16, muss sie also zwischen 34 und 50 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.55.
=
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.55,50) - binomcdf(76,0.55,33))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 54 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 54⋅0.7 ≈ 37.8,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.37
41.17 (37.8 + 3.37) und 34.43 (37.8 - 3.37) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 37.8 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 35 und 41 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 35 und 41 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=54 und p=0.7.
=
(TI-Befehl: binomcdf(54,0.7,41) - binomcdf(54,0.7,34))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 24.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 6. Somit gilt:
6 = 24 ⋅ p |:24
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 12 und p = 0.9.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 9 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 12 ⋅ 0.9 = 10.8 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 13 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 13 Treffer bei 12 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.77 + 0.63+ 0.43 ≈ 1.82 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 11 | 19 | 20 |
| P(X) | 0,4 | 0,3 | 0,3 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=11)⋅11 + P(X=19)⋅19 + P(X=20)⋅20
= 0,4⋅11 + 0,3⋅19 + 0,3⋅20
= 4,4 + 5,7 + 6
= 16,1
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=11)⋅(16,1-11)2 + P(X=19)⋅(16,1-19)2 + P(X=20)⋅(16,1-20)2
= 0,4⋅(5,1)2 + 0,3⋅(-2,9)2 + 0,3⋅(-3,9)2
= 0,4⋅26,01 + 0,3⋅8,41 + 0,3⋅15,21
= 10,404 + 2,523 + 4,563
= 17.49
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 4,182
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.4⋅1 + 0.1⋅2 + 0.2⋅3 + 0.2⋅4
= 0 + 0.4 + 0.2 + 0.6 + 0.8
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.1⋅(2)2 + 0.4⋅(1)2 + 0.1⋅(0)2 + 0.2⋅(-1)2 + 0.2⋅(-2)2
= 0.1⋅4 + 0.4⋅1 + 0.1⋅0 + 0.2⋅1 + 0.2⋅4
= 0.4 + 0.4 + 0 + 0.2 + 0.8
= 1.8
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.342