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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 53 und p = 0.9
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 53 und p = 0.9 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 53 ⋅ 0.9 = 47.7
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.18
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,65 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 51 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips nicht mehr als 10% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=51⋅0.65 = 33.15
Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 33.15, also 0.9⋅ 33.15 = 29.835 und 110% von 33.15, also 1.1⋅ 33.15 = 36.465
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 33.15 entfernt sein darf als 29.835 bzw. 36.465, muss sie also zwischen 30 und 36 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=51 und p=0.65.
=
(TI-Befehl: binomcdf(51,0.65,36) - binomcdf(51,0.65,29))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 71 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 71⋅ ≈ 11.83,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.14
14.97 (11.83 + 3.14) und 8.69 (11.83 - 3.14) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.83 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=71 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(71,,14) - binomcdf(71,,8))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 15. Somit gilt:
15 = n ⋅ |⋅
n = 24
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 18 und p = 0.75.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 11 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 18 ⋅ 0.75 = 13.5 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 19 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer bei 18 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.45 + 0.42+ 0.36 ≈ 1.23 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 4 | 16 | 19 | 20 |
| P(X) | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=4)⋅4 + P(X=16)⋅16 + P(X=19)⋅19 + P(X=20)⋅20
= 0,3⋅4 + 0,3⋅16 + 0,2⋅19 + 0,2⋅20
= 1,2 + 4,8 + 3,8 + 4
= 13,8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=4)⋅(13,8-4)2 + P(X=16)⋅(13,8-16)2 + P(X=19)⋅(13,8-19)2 + P(X=20)⋅(13,8-20)2
= 0,3⋅(9,8)2 + 0,3⋅(-2,2)2 + 0,2⋅(-5,2)2 + 0,2⋅(-6,2)2
= 0,3⋅96,04 + 0,3⋅4,84 + 0,2⋅27,04 + 0,2⋅38,44
= 28,812 + 1,452 + 5,408 + 7,688
= 43.36
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 6,585
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.6⋅0 + 0.2⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.2 + 0.4
= 0.6
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.6-0)2 + P(X=1)⋅(0.6-1)2 + P(X=2)⋅(0.6-2)2
= 0.6⋅(0.6)2 + 0.2⋅(-0.4)2 + 0.2⋅(-1.4)2
= 0.6⋅0.36 + 0.2⋅0.16 + 0.2⋅1.96
= 0.216 + 0.032 + 0.392
= 0.64
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.8