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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 29 und p = 0.95
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 29 und p = 0.95 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 29 ⋅ 0.95 = 27.55
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 1.17
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,55. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 87 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=87⋅0.55 = 47.85
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 47.85, also 0.8⋅ 47.85 = 38.28 und 120% von 47.85, also 1.2⋅ 47.85 = 57.42
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 47.85 entfernt sein darf als 38.28 bzw. 57.42, muss sie also zwischen 39 und 57 liegen.
=
(TI-Befehl: binomcdf(87,0.55,57) - binomcdf(87,0.55,38))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 95 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Chips um nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 95⋅0.3 ≈ 28.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 4.47
32.97 (28.5 + 4.47) und 24.03 (28.5 - 4.47) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 28.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 25 und 32 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 25 und 32 liegt.
=
(TI-Befehl: binomcdf(95,0.3,32) - binomcdf(95,0.3,24))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 14. Somit gilt:
14 = n ⋅ |⋅
n = 21
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 11 und p = 0.7.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 6 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 11 ⋅ 0.7 = 7.7 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrschinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 12 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 12 Treffer bei 11 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.53 + 0.47+ 0.4 ≈ 1.4 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 8 | 14 | 19 |
| P(X) | 0,4 | 0,2 | 0,4 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=8)⋅8 + P(X=14)⋅14 + P(X=19)⋅19
= 0,4⋅8 + 0,2⋅14 + 0,4⋅19
= 3,2 + 2,8 + 7,6
= 13,6
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=8)⋅(13,6-8)2 + P(X=14)⋅(13,6-14)2 + P(X=19)⋅(13,6-19)2
= 0,4⋅(5,6)2 + 0,2⋅(-0,4)2 + 0,4⋅(-5,4)2
= 0,4⋅31,36 + 0,2⋅0,16 + 0,4⋅29,16
= 12,544 + 0,032 + 11,664
= 24.24
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 4,923
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.2⋅0 + 0.3⋅1 + 0.1⋅2 + 0.1⋅3 + 0.3⋅4
= 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 1.2
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.2⋅(2)2 + 0.3⋅(1)2 + 0.1⋅(0)2 + 0.1⋅(-1)2 + 0.3⋅(-2)2
= 0.2⋅4 + 0.3⋅1 + 0.1⋅0 + 0.1⋅1 + 0.3⋅4
= 0.8 + 0.3 + 0 + 0.1 + 1.2
= 2.4
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.549