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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 78 und p = 0.05
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 78 und p = 0.05 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 78 ⋅ 0.05 = 3.9
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 1.92
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 97 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=97⋅0.7 = 67.9
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 67.9, also 0.8⋅ 67.9 = 54.32 und 120% von 67.9, also 1.2⋅ 67.9 = 81.48
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 67.9 entfernt sein darf als 54.32 bzw. 81.48, muss sie also zwischen 55 und 81 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.7.
=
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.7,81) - binomcdf(97,0.7,54))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 67 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 67⋅ ≈ 11.17,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.05
14.22 (11.17 + 3.05) und 8.12 (11.17 - 3.05) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 11.17 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 9 und 14 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 9 und 14 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(67,,14) - binomcdf(67,,8))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 18. Somit gilt:
18 = n ⋅ |⋅
n = 21
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 18 und p = 0.8.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 12 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 18 ⋅ 0.8 = 14.4 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 19 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 19 Treffer bei 18 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.49 + 0.42+ 0.4 ≈ 1.32 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 3 | 6 | 17 | 18 |
| P(X) | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=3)⋅3 + P(X=6)⋅6 + P(X=17)⋅17 + P(X=18)⋅18
= 0,2⋅3 + 0,1⋅6 + 0,4⋅17 + 0,3⋅18
= 0,6 + 0,6 + 6,8 + 5,4
= 13,4
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=3)⋅(13,4-3)2 + P(X=6)⋅(13,4-6)2 + P(X=17)⋅(13,4-17)2 + P(X=18)⋅(13,4-18)2
= 0,2⋅(10,4)2 + 0,1⋅(7,4)2 + 0,4⋅(-3,6)2 + 0,3⋅(-4,6)2
= 0,2⋅108,16 + 0,1⋅54,76 + 0,4⋅12,96 + 0,3⋅21,16
= 21,632 + 5,476 + 5,184 + 6,348
= 38.64
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 6,216
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.4⋅0 + 0.4⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.4 + 0.4
= 0.8
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(0.8-0)2 + P(X=1)⋅(0.8-1)2 + P(X=2)⋅(0.8-2)2
= 0.4⋅(0.8)2 + 0.4⋅(-0.2)2 + 0.2⋅(-1.2)2
= 0.4⋅0.64 + 0.4⋅0.04 + 0.2⋅1.44
= 0.256 + 0.016 + 0.288
= 0.56
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 0.748