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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 39 und p = 0.5
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 39 und p = 0.5 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 39 ⋅ 0.5 = 19.5
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.12
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 78 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=78⋅0.75 = 58.5
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 58.5, also 0.8⋅ 58.5 = 46.8 und 120% von 58.5, also 1.2⋅ 58.5 = 70.2
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 58.5 entfernt sein darf als 46.8 bzw. 70.2, muss sie also zwischen 47 und 70 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=78 und p=0.75.
=
(TI-Befehl: binomcdf(78,0.75,70) - binomcdf(78,0.75,46))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 49 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 49⋅ ≈ 8.17,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.61
10.78 (8.17 + 2.61) und 5.56 (8.17 - 2.61) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 8.17 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 6 und 10 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 6 und 10 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=49 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(49,,10) - binomcdf(49,,5))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 18.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 14. Somit gilt:
14 = 18 ⋅ p |:18
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 12 und p = 0.7.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 7 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 12 ⋅ 0.7 = 8.4 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 13 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 13 Treffer bei 12 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort schon alleine die Summe der drei größten Werte 0.51 + 0.44+ 0.4 ≈ 1.35 > 1 (also über 100%) ist, was ja aber bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unmöglich ist.
Also kann nur das Histogramm D das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 1 | 3 | 12 | 17 |
| P(X) | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=1)⋅1 + P(X=3)⋅3 + P(X=12)⋅12 + P(X=17)⋅17
= 0,3⋅1 + 0,4⋅3 + 0,1⋅12 + 0,2⋅17
= 0,3 + 1,2 + 1,2 + 3,4
= 6,1
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=1)⋅(6,1-1)2 + P(X=3)⋅(6,1-3)2 + P(X=12)⋅(6,1-12)2 + P(X=17)⋅(6,1-17)2
= 0,3⋅(5,1)2 + 0,4⋅(3,1)2 + 0,1⋅(-5,9)2 + 0,2⋅(-10,9)2
= 0,3⋅26,01 + 0,4⋅9,61 + 0,1⋅34,81 + 0,2⋅118,81
= 7,803 + 3,844 + 3,481 + 23,762
= 38.89
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 6,236
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3
= 0.3⋅0 + 0.4⋅1 + 0.1⋅2 + 0.2⋅3
= 0 + 0.4 + 0.2 + 0.6
= 1.2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(1.2-0)2 + P(X=1)⋅(1.2-1)2 + P(X=2)⋅(1.2-2)2 + P(X=3)⋅(1.2-3)2
= 0.3⋅(1.2)2 + 0.4⋅(0.2)2 + 0.1⋅(-0.8)2 + 0.2⋅(-1.8)2
= 0.3⋅1.44 + 0.4⋅0.04 + 0.1⋅0.64 + 0.2⋅3.24
= 0.432 + 0.016 + 0.064 + 0.648
= 1.16
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.077