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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 36 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 36 und p = 0.15 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 36 ⋅ 0.15 = 5.4
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 2.14
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=75%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 50 Versuchen nicht mehr als 15% von seinem Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=50⋅0.75 = 37.5
Die 15% Abweichung wären dann zwischen 85% von 37.5, also 0.85⋅ 37.5 = 31.875 und 115% von 37.5, also 1.15⋅ 37.5 = 43.125
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 37.5 entfernt sein darf als 31.875 bzw. 43.125, muss sie also zwischen 32 und 43 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.75.
=
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.75,43) - binomcdf(50,0.75,31))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 56 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 56⋅0.75 ≈ 42,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 3.24
45.24 (42 + 3.24) und 38.76 (42 - 3.24) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 42 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 39 und 45 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 39 und 45 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=56 und p=0.75.
=
(TI-Befehl: binomcdf(56,0.75,45) - binomcdf(56,0.75,38))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Einzelwahrscheinlichkeit von X: p = .
Bestimme die Stichprobengröße n.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:
10 = n ⋅ |⋅
n = 20
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 14 und p = 0.9.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil dort die Gesamtwahrscheinlichkeit viel zu niedrig ist. Selbst wenn alle 5 sichtbare Säulen so groß wie die größte mit 0.15 wären, wäre die Summe (also die Gesamtwahrscheinlichkeit) nur ca. 5 ⋅ 0.15 ≈ 0.7 und damit viel zu wenig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 10 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 14 ⋅ 0.9 = 12.6 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 15 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bei 14 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Also kann nur das Histogramm C das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 8 | 12 | 13 | 16 |
| P(X) | 0,5 | 0,1 | 0,1 | 0,3 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=8)⋅8 + P(X=12)⋅12 + P(X=13)⋅13 + P(X=16)⋅16
= 0,5⋅8 + 0,1⋅12 + 0,1⋅13 + 0,3⋅16
= 4 + 1,2 + 1,3 + 4,8
= 11,3
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=8)⋅(11,3-8)2 + P(X=12)⋅(11,3-12)2 + P(X=13)⋅(11,3-13)2 + P(X=16)⋅(11,3-16)2
= 0,5⋅(3,3)2 + 0,1⋅(-0,7)2 + 0,1⋅(-1,7)2 + 0,3⋅(-4,7)2
= 0,5⋅10,89 + 0,1⋅0,49 + 0,1⋅2,89 + 0,3⋅22,09
= 5,445 + 0,049 + 0,289 + 6,627
= 12.41
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 3,523
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.4⋅1 + 0.1⋅2 + 0.2⋅3 + 0.2⋅4
= 0 + 0.4 + 0.2 + 0.6 + 0.8
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.1⋅(2)2 + 0.4⋅(1)2 + 0.1⋅(0)2 + 0.2⋅(-1)2 + 0.2⋅(-2)2
= 0.1⋅4 + 0.4⋅1 + 0.1⋅0 + 0.2⋅1 + 0.2⋅4
= 0.4 + 0.4 + 0 + 0.2 + 0.8
= 1.8
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.342