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Erwartungswert, Standardabweichung best.
Beispiel:
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern n = 94 und p = 0.15
Bestimme den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X .
Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 94 und p = 0.15 einsetzen muss:
Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 94 ⋅ 0.15 = 14.1
Standardabweichung S(X) = = = ≈ 3.46
Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert
Beispiel:
Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 76 Versuchen, dass die Anzahl der Treffer im grünen Bereich nicht mehr als 20% vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=76⋅0.4 = 30.4
Die 20% Abweichung wären dann zwischen 80% von 30.4, also 0.8⋅ 30.4 = 24.32 und 120% von 30.4, also 1.2⋅ 30.4 = 36.48
Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 30.4 entfernt sein darf als 24.32 bzw. 36.48, muss sie also zwischen 25 und 36 liegen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.4.
=
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.4,36) - binomcdf(76,0.4,24))
Wahrscheinlichkeit von σ-Intervall um μ
Beispiel:
Ein Würfel wird 57 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gewürfelten 6er nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht?
Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 57⋅ ≈ 9.5,
die Standardabweichung mit σ =
=
≈ 2.81
12.31 (9.5 + 2.81) und 6.69 (9.5 - 2.81) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 9.5 entfernt.
Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 7 und 12 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.
Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 7 und 12 liegt.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=57 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(57,,12) - binomcdf(57,,6))
Parameter aus Erwartungswert berechnen
Beispiel:
Das Histogramm gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit ganzzahligem Erwartungswert. Bekannt ist die Stichprobengröße von X: n = 20.
Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeit p.
Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p
Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 10. Somit gilt:
10 = 20 ⋅ p |:20
p = =
Histogramm untersuchen
Beispiel:
Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 10 und p = 0.9.
Eines der 4 abgebildeten Histogramme bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ab.
Finde bei den drei anderen den Grund, warum sie nicht das zugehörige Histogramm sein können und entscheide Dich dann für das richtige.
Histogramm B
Histogramm A
Histogramm D
Histogramm C
Histogramm B kann nicht das richtige sein, weil dort die Gesamtwahrscheinlichkeit viel zu niedrig ist. Selbst wenn alle 4 sichtbare Säulen so groß wie die größte mit 0.15 wären, wäre die Summe (also die Gesamtwahrscheinlichkeit) nur ca. 4 ⋅ 0.15 ≈ 0.6 und damit viel zu wenig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 11 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 11 Treffer bei 10 Zufallsversuchen muss aber null sein.
Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 7 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 10 ⋅ 0.9 = 9 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit) entfernt.
Also kann nur das Histogramm A das richtige sein.
Erwartungswert, Standardabweichung allgemein
Beispiel:
Die Tabelle unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| Zufallsgröße X | 1 | 4 | 5 |
| P(X) | 0,3 | 0,1 | 0,6 |
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=1)⋅1 + P(X=4)⋅4 + P(X=5)⋅5
= 0,3⋅1 + 0,1⋅4 + 0,6⋅5
= 0,3 + 0,4 + 3
= 3,7
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=1)⋅(3,7-1)2 + P(X=4)⋅(3,7-4)2 + P(X=5)⋅(3,7-5)2
= 0,3⋅(2,7)2 + 0,1⋅(-0,3)2 + 0,6⋅(-1,3)2
= 0,3⋅7,29 + 0,1⋅0,09 + 0,6⋅1,69
= 2,187 + 0,009 + 1,014
= 3.21
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1,792
Erwartungsw., Standardabw. aus Histogramm
Beispiel:
Das Histogramm in der Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X (die NICHT binomialverteilt ist).
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Erwartungswert
Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:
E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=4)⋅4
= 0.1⋅0 + 0.3⋅1 + 0.3⋅2 + 0.1⋅3 + 0.2⋅4
= 0 + 0.3 + 0.6 + 0.3 + 0.8
= 2
Standardabweichung
Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:
Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
Var(X) = P(X=0)⋅(2-0)2 + P(X=1)⋅(2-1)2 + P(X=2)⋅(2-2)2 + P(X=3)⋅(2-3)2 + P(X=4)⋅(2-4)2
= 0.1⋅(2)2 + 0.3⋅(1)2 + 0.3⋅(0)2 + 0.1⋅(-1)2 + 0.2⋅(-2)2
= 0.1⋅4 + 0.3⋅1 + 0.3⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅4
= 0.4 + 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8
= 1.6
Somit gilt für die Standardabweichung:
σ = = ≈ 1.265