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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 70}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 560}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{27+13}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{27-13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 27 x + 70$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{27}{2} x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{4})}^{2} - 35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $35$ = $\frac{729}{16}$ $-$ $\frac{560}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{27}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{27}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{27}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10

L={ $3,5$ ; $10$ }

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + \frac{9}{5} x$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + \frac{9}{5} x$	=	0
$\frac{1}{5} x \cdot (- 10 x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- 10 x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- 10 x$	=	$- 9$	\|:( $- 10$ )
x₂	=	$\frac{9}{10}$ = 0.9

L={0; $\frac{9}{10}$ }