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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 47 x - 30$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 47 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 600}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 809}}{10}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{47+53}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{2 809}}{10}$ = $\frac{47-53}{10}$ = $\frac{- 6}{10}$ = $- 0,6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 47 x - 30$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{47}{5} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{10})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{2209}{100}$ $+$ $6$ = $\frac{2209}{100}$ $+$ $\frac{600}{100}$ = $\frac{2809}{100}$

x_1,2 = $\frac{47}{10}$ ± $\sqrt{\frac{2809}{100}}$

x₁ = $\frac{47}{10}$ - $\frac{53}{10}$ = $- \frac{6}{10}$ = -0.6

x₂ = $\frac{47}{10}$ + $\frac{53}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = 10

L={ $- 0,6$ ; $10$ }

lineare Gleichungen (schwerer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$4 (6 x + 3) - 2 x + 5$ = $16 (5 + x) - 3$

Lösung einblenden

$4 (6 x + 3) - 2 x + 5$	=	$16 (5 + x) - 3$
$24 x + 12 - 2 x + 5$	=	$80 + 16 x - 3$
$22 x + 17$	=	$16 x + 77$	\| $- 17$
$22 x$	=	$16 x + 60$	\| $- 16 x$
$6 x$	=	$60$	\|: $6$
$x$	=	$10$

L={ $10$ }