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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2} - 22 x + 21$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} - 22 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 21}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{10}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{10}$ = $\frac{22+8}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = $3$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{10}$ = $\frac{22-8}{10}$ = $\frac{14}{10}$ = $1,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 22 x + 21$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{22}{5} x + \frac{21}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{5})}^{2} - (\frac{21}{5})$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{21}{5}$ = $\frac{121}{25}$ $-$ $\frac{105}{25}$ = $\frac{16}{25}$

x_1,2 = $\frac{11}{5}$ ± $\sqrt{\frac{16}{25}}$

x₁ = $\frac{11}{5}$ - $\frac{4}{5}$ = $\frac{7}{5}$ = 1.4

x₂ = $\frac{11}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $\frac{15}{5}$ = 3

L={ $1,4$ ; $3$ }

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2}$ = $- 15,8 x$

Lösung einblenden

$2 x^{2}$	=	$- 15,8 x$	\| $+ 15,8 x$
$2 x^{2} + 15,8 x$	=	0
$x (2 x + 15,8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$2 x + 15,8$	=	0	\| $- 15,8$
$2 x$	=	$- 15,8$	\|: $2$
x₂	=	$- 7,9$

L={ $- 7,9$ ; 0}