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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{15+1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{8}$ = $\frac{15-1}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = $1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 15 x + 14$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{224}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $\frac{14}{8}$ = 1.75

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

L={ $1,75$ ; $2$ }

lineare Gleichungen (schwerer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- (2 x + 6) - 4 x - 5$ = $4 (x - 1) - 3 x$

Lösung einblenden

$- (2 x + 6) - 4 x - 5$	=	$4 (x - 1) - 3 x$
$- 2 x - 6 - 4 x - 5$	=	$4 x - 4 - 3 x$
$- 6 x - 11$	=	$x - 4$	\| $+ 11$
$- 6 x$	=	$x + 7$	\| $- x$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }