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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 25 x + 25$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 25 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 25+15}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 25-15}{8}$ = $\frac{- 40}{8}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 25 x + 25$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{25}{4} x + \frac{25}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{8})}^{2} - (\frac{25}{4})$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{25}{4}$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{400}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $- \frac{25}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{40}{8}$ = -5

x₂ = $- \frac{25}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

L={ $- 5$ ; $- 1,25$ }

lineare Gleichungen (schwerer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$- 6 (4 x + 4) - 3 x - 3$ = $- 10 (2 + 2 x)$

Lösung einblenden

$- 6 (4 x + 4) - 3 x - 3$	=	$- 10 (2 + 2 x)$
$- 24 x - 24 - 3 x - 3$	=	$- 20 - 20 x$
$- 27 x - 27$	=	$- 20 x - 20$	\| $+ 27$
$- 27 x$	=	$- 20 x + 7$	\| $+ 20 x$
$- 7 x$	=	$7$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }