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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x^{2} + 56 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$16 x^{2} + 56 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{56^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 49}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{3 136 - 3 136}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 56 \pm \sqrt{0}}{32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 56}{32}$ = $- \frac{7}{4}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 56 x + 49$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{49}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{49}{16})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{49}{16}$ = $\frac{0}{16}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{7}{4}$ ± 0 = $- \frac{7}{4}$

L={ $- \frac{7}{4}$ }

$- \frac{7}{4}$ ist 2-fache Lösung!

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5 x^{2}$ = $\frac{17}{2} x$

Lösung einblenden

$5 x^{2}$	=	$\frac{17}{2} x$	\| $- \frac{17}{2} x$
$5 x^{2} - \frac{17}{2} x$	=	0
$\frac{1}{2} x (10 x - 17)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$10 x - 17$	=	0	\| $+ 17$
$10 x$	=	$17$	\|: $10$
x₂	=	$\frac{17}{10}$ = 1.7

L={0; $\frac{17}{10}$ }