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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 22 x - 80$ = 0

Lösung einblenden

4 x^{2} - 22 x - 80

= 0 |:2

$2 x^{2} - 11 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 320}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{11+21}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{11-21}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x - 40$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $20$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{320}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $- 2,5$ ; $8$ }

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 x^{2} - 7,5 x$ = 0

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} - 7,5 x$	=	0
$- x \cdot (5 x + 7,5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$5 x + 7,5$	=	0	\| $- 7,5$
$5 x$	=	$- 7,5$	\|: $5$
x₂	=	$- 1,5$

L={ $- 1,5$ ; 0}