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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 15 x - 50$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 15 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 400}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{625}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{15+25}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = $10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{625}}{4}$ = $\frac{15-25}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x - 50$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $25$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{400}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10

L={ $- 2,5$ ; $10$ }