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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$25 x^{2} + 70 x + 49$ = 0

Lösung einblenden

$25 x^{2} + 70 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 49}}{2 \cdot 25}$

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{4 900 - 4 900}}{50}$

x_1,2 = $\frac{- 70 \pm \sqrt{0}}{50}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 70}{50}$ = $- \frac{7}{5}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $25$ " teilen:

$25 x^{2} + 70 x + 49$ = 0 |: $25$

$x^{2} + \frac{14}{5} x + \frac{49}{25}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{5})}^{2} - (\frac{49}{25})$ = $\frac{49}{25}$ $-$ $\frac{49}{25}$ = $\frac{0}{25}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- \frac{7}{5}$ ± 0 = $- \frac{7}{5}$

L={ $- \frac{7}{5}$ }

$- \frac{7}{5}$ ist 2-fache Lösung!

reinquadratisch (+ Umformungen)II

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - \frac{80}{81}$ = $\frac{20}{81}$

Lösung einblenden

$4 x^{2} - \frac{80}{81}$	=	$\frac{20}{81}$	\| $+ \frac{80}{81}$
$4 x^{2}$	=	$\frac{100}{81}$	\|: $4$
$x^{2}$	=	$\frac{25}{81}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{25}{81}}$	≈ $- \frac{5}{9}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{25}{81}}$	≈ $\frac{5}{9}$

L={ $- \frac{5}{9}$ ; $\frac{5}{9}$ }