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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 25 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} - 25 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 72}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{25+7}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{25-7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 25 x + 72$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{25}{2} x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{4})}^{2} - 36$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $36$ = $\frac{625}{16}$ $-$ $\frac{576}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{25}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{25}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

x₂ = $\frac{25}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

L={ $4,5$ ; $8$ }

lineare Gleichungen (schwerer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$7 (4 x + 2) - 3 x - 1$ = $- 7 (- 2 x - 7) + 5 x$

Lösung einblenden

$7 (4 x + 2) - 3 x - 1$	=	$- 7 (- 2 x - 7) + 5 x$
$28 x + 14 - 3 x - 1$	=	$14 x + 49 + 5 x$
$25 x + 13$	=	$19 x + 49$	\| $- 13$
$25 x$	=	$19 x + 36$	\| $- 19 x$
$6 x$	=	$36$	\|: $6$
$x$	=	$6$

L={ $6$ }