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a-b-c-Formel (MNF) - alles links

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 4 x + 1$ = 0 |: $4$

$x^{2} - x + \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{4})$ = $\frac{1}{4}$ $-$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{1}{2}$ ± 0 = $\frac{1}{2}$

L={ $\frac{1}{2}$ }

$\frac{1}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2}$ = $\frac{4}{3} x$

Lösung einblenden

$x^{2}$	=	$\frac{4}{3} x$	\| $- \frac{4}{3} x$
$x^{2} - \frac{4}{3} x$	=	0
$\frac{1}{3} x (3 x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$3 x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$3 x$	=	$4$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{4}{3}$

L={0; $\frac{4}{3}$ }