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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} + 2$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $3 \cdot 2 x \cdot e^{- 3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $3 \cdot 2 x \cdot e^{- 3 x} + 3 x^{2} \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3) + 0$
= $6 x \cdot e^{- 3 x} - 9 x^{2} \cdot e^{- 3 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 3 x} \cdot (6 x - 9 x^{2})$
= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 3 x} \cdot (- 9 x^{2} + 6 x)$	=	0
$(- 9 x^{2} + 6 x) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 x^{2} + 6 x$	=	0
$3 x \cdot (- 3 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- 3 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 2$	\|:( $- 3$ )
x₂	=	$\frac{2}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={0; $\frac{2}{3}$ }

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} - 9$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,4 x} + 4 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x} \cdot (- 0,4) + 0$
= $4 e^{- 0,4 x} - 1,6 (x - 4) \cdot e^{- 0,4 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 (x - 4))$
= $e^{- 0,4 x} \cdot (4 - 1,6 x + 6,4)$
= $e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 10,4)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,4 x} \cdot (- 1,6 x + 10,4)$	=	0
$(- 1,6 x + 10,4) \cdot e^{- 0,4 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 1,6 x + 10,4$	=	0	\| $- 10,4$
$- 1,6 x$	=	$- 10,4$	\|:( $- 1,6$ )
x₁	=	$6,5$

2. Fall:

e^{- 0,4 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $6,5$ }