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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} \cdot e^{x} - 5$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} + 0$
= $2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{x} \cdot (2 x + x^{2})$
= $e^{x} (x^{2} + 2 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{x} (x^{2} + 2 x)$	=	0
$(x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

e^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 2$ ; 0}

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} + 8$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $3 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,1 x} + 3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x} \cdot (- 0,1) + 0$
= $3 e^{- 0,1 x} - 0,3 (x - 4) \cdot e^{- 0,1 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,1 x} \cdot (3 - 0,3 (x - 4))$
= $e^{- 0,1 x} (3 - 0,3 x + 1,2)$
= $e^{- 0,1 x} (- 0,3 x + 4,2)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,1 x} (- 0,3 x + 4,2)$	=	0
$(- 0,3 x + 4,2) \cdot e^{- 0,1 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,3 x + 4,2$	=	0	\| $- 4,2$
$- 0,3 x$	=	$- 4,2$	\|:( $- 0,3$ )
x₁	=	$14$

2. Fall:

e^{- 0,1 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $14$ }