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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 1$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $4 \cdot 1 \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

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Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $4 \cdot 1 \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 4 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} + 0$
= $4 e^{\frac{1}{4} x} + x \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{4} x} \cdot (4 + x)$
= $e^{\frac{1}{4} x} \cdot (x + 4)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{4} x} \cdot (x + 4)$	=	0
$(x + 4) \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 4$ }

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)