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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} - 1$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $3 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $3 \cdot 2 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + 3 x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x} \cdot \frac{1}{4} + 0$
= $6 x \cdot e^{\frac{1}{4} x} + \frac{3}{4} x^{2} \cdot e^{\frac{1}{4} x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{4} x} \cdot (6 x + \frac{3}{4} x^{2})$
= $e^{\frac{1}{4} x} \cdot (\frac{3}{4} x^{2} + 6 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{4} x} \cdot (\frac{3}{4} x^{2} + 6 x)$	=	0
$(\frac{3}{4} x^{2} + 6 x) \cdot e^{\frac{1}{4} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$\frac{3}{4} x^{2} + 6 x$	=	\|⋅ 4
$4 (\frac{3}{4} x^{2} + 6 x)$	=
$3 x^{2} + 24 x$	=
$3 x \cdot (x + 8)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

2. Fall:

e^{\frac{1}{4} x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 8$ ; 0}

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $4 (x - 6) \cdot e^{- 0,125 x} - 9$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,125 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,125 x} \cdot (- 0,125) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $4 \cdot (1 + 0) \cdot e^{- 0,125 x} + 4 (x - 6) \cdot e^{- 0,125 x} \cdot (- 0,125) + 0$
= $4 e^{- 0,125 x} - 0,5 (x - 6) \cdot e^{- 0,125 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,125 x} \cdot (4 - 0,5 (x - 6))$
= $e^{- 0,125 x} \cdot (4 - 0,5 x + 3)$
= $e^{- 0,125 x} \cdot (- 0,5 x + 7)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,125 x} \cdot (- 0,5 x + 7)$	=	0
$(- 0,5 x + 7) \cdot e^{- 0,125 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,5 x + 7$	=	0	\| $- 7$
$- 0,5 x$	=	$- 7$	\|:( $- 0,5$ )
x₁	=	$14$

2. Fall:

e^{- 0,125 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $14$ }