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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $- x \cdot e^{- 2 x}$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $- 1 \cdot e^{- 2 x} - x \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

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Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $- 1 \cdot e^{- 2 x} - x \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2)$
= $- e^{- 2 x} + 2 x \cdot e^{- 2 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 2 x} \cdot (- 1 + 2 x)$
= $e^{- 2 x} \cdot (2 x - 1)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 2 x} \cdot (2 x - 1)$	=	0
$(2 x - 1) \cdot e^{- 2 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x - 1$	=	0	\| $+ 1$
$2 x$	=	$1$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

2. Fall:

e^{- 2 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $\frac{1}{2}$ }

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)