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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x \cdot e^{3 x}$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $- 2 \cdot 1 \cdot e^{3 x} - 2 x \cdot e^{3 x} \cdot 3$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $- 2 \cdot 1 \cdot e^{3 x} - 2 x \cdot e^{3 x} \cdot 3$
= $- 2 e^{3 x} - 6 x \cdot e^{3 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{3 x} \cdot (- 2 - 6 x)$
= $e^{3 x} \cdot (- 6 x - 2)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{3 x} \cdot (- 6 x - 2)$	=	0
$(- 6 x - 2) \cdot e^{3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 6 x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- 6 x$	=	$2$	\|:( $- 6$ )
x₁	=	$- \frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{3 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- \frac{1}{3}$ }

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)