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nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $- 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x} - x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $- 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x} - x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x} \cdot \frac{1}{3}$
= $- 2 x \cdot e^{\frac{1}{3} x} - \frac{1}{3} x^{2} \cdot e^{\frac{1}{3} x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{\frac{1}{3} x} \cdot (- 2 x - \frac{1}{3} x^{2})$
= $e^{\frac{1}{3} x} \cdot (- \frac{1}{3} x^{2} - 2 x)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{\frac{1}{3} x} \cdot (- \frac{1}{3} x^{2} - 2 x)$	=	0
$(- \frac{1}{3} x^{2} - 2 x) \cdot e^{\frac{1}{3} x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- \frac{1}{3} x^{2} - 2 x$	=	\|⋅ 3
$3 (- \frac{1}{3} x^{2} - 2 x)$	=
$- x^{2} - 6 x$	=
$- x \cdot (x + 6)$	=

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

2. Fall:

e^{\frac{1}{3} x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $- 6$ ; 0}

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $(x + 2) \cdot e^{- 0,25 x} + 6$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{- 0,25 x} + (x + 2) \cdot e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25) + 0$
= $e^{- 0,25 x} - 0,25 (x + 2) \cdot e^{- 0,25 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 0,25 x} \cdot (1 - 0,25 (x + 2))$
= $e^{- 0,25 x} \cdot (1 - 0,25 x - 0,5)$
= $e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25 x + 0,5)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 0,25 x} \cdot (- 0,25 x + 0,5)$	=	0
$(- 0,25 x + 0,5) \cdot e^{- 0,25 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 0,25 x + 0,5$	=	0	\| $- 0,5$
$- 0,25 x$	=	$- 0,5$	\|:( $- 0,25$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

e^{- 0,25 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $2$ }