Wenn der Punkt P$\left(4|-4|-4\right)$ mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ -5\end{array}\right)$ verschoben wird, so wird ja die x₁-Kooridnate um 5, die x₂-Kooridnate um 2 und die x₃-Kooridnate um -5 verschoben. Es gilt also Q(4+5|-4+2|-4-5) = Q$\left(9|-2|-9\right)$

Wenn der Punkt Q$\left(4|3|-5\right)$ durch den Vektor $\overrightarrow{v}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$ verschoben worden ist, so muss ja beim Ausgangspunkt P jeweils die x₁-Kooridnate um -3, die x₂-Kooridnate um 2 und die x₃-Kooridnate um 2 kleiner gewesen sein, als bei Q. Es gilt also P(4 - ( - 3 ) | 3 - 2 | -5 - 2) = P$\left(7|1|-7\right)$

Um vom Punkt P$\left(1|-4|3\right)$ zum Punkt Q$\left(2|-2|5\right)$ zu gelangen, mus...

• ... in x₁-Richtung die Differenz der x₁-Werte, also 2-1
• ... in x₂-Richtung die Differenz der x₂-Werte, also -2-( - 4 )
• ... in x₃-Richtung die Differenz der x₃-Werte, also 5-3

gegangen werden. Es gilt also $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Wir sehen in der Skizze, dass der Verbindungsvektor von A zu M der gleiche ist wie der von M zu B, also $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\\ -4\end{array}\right)$. Wir müssen also $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ zum Ortsvektor von M addieren, um den Ortsvektor von B zu erhalten:

Die Koordinaten des gesuchten Punkts sind somit B$\left(-8|1|-10\right)$.

Wir gehen einfach vom Punkt A zum Punkt E entlang der Vektoren.

Wenn wir in Pfeilrichtung gehen, nehmen wir hierfür einfach den Vektor, wenn wir gegen die Pfeilrichtung gehen müssen, nehmen wir den Gegenvektor, also den Vektor mit einem negativen Vorzeichen:

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ = 3⋅$\overrightarrow{a}$ +$\overrightarrow{d}$

Wir gehen einfach vom Punkt A zum Punkt E entlang der Vektoren.

Wenn wir in Pfeilrichtung gehen, nehmen wir hierfür einfach den Vektor, wenn wir gegen die Pfeilrichtung gehen müssen, nehmen wir den Gegenvektor, also den Vektor mit einem negativen Vorzeichen:

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ = $\overrightarrow{a}$ -$\overrightarrow{b}$ +$\overrightarrow{c}$ +$\overrightarrow{d}$

= $\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -5\end{array}\right)$ -$\left(\begin{array}{c}2\\ -5\\ 2\end{array}\right)$ +$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ +$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$
= $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\\ -7\end{array}\right)$ +$\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -2\end{array}\right)$ +$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$
= $\left(\begin{array}{c}-5\\ 9\\ -9\end{array}\right)$ +$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$
= $\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -6\end{array}\right)$

Jetzt müssen wir den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ eben noch auf den Ortsvektor von A draufaddieren:

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

= $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ 7\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ -5\end{array}\right)$

Somit gilt: E$\left(-1|8|-5\right)$.

Da die Koordinaten von A und E gegeben sind, können wir die Koordinaten des Verbindungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{EA}}$ (in der Skizze rechts in grau eingezeichnet) berechnen:

$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$ = = $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$

Wenn wir nun die Vektorkette $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ = -$\overrightarrow{a}$ -2⋅$\overrightarrow{b}$ -$\overrightarrow{d}$ von A nach E durchlaufen und dann den direkten Weg $\overrightarrow{\mathrm{EA}}$ wieder zurück gehen, landen wir ja wieder am Aufgangspunkt A, das heißt, wir haben effektiv den Nullvektor zurückgelegt:

-$\overrightarrow{a}$ -2⋅$\overrightarrow{b}$ -$\overrightarrow{d}$ + $\overrightarrow{\mathrm{EA}}$ = $\overrightarrow{0}$ | +2$\overrightarrow{b}$

Wenn wir nun den gesuchten Vektor $\overrightarrow{b}$ auf die andere Seite bringen erhalten wir:

-$\overrightarrow{a}$ -$\overrightarrow{d}$ + $\overrightarrow{\mathrm{EA}}$ = +2$\overrightarrow{b}$

-$\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ -$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ = +2$\overrightarrow{b}$
$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -9\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 5\end{array}\right)$ = +2$\overrightarrow{b}$
$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ = +2$\overrightarrow{b}$

Jetzt kennen wir den Vektor für +2$\overrightarrow{b}$. Um $\overrightarrow{b}$ zu erhalten, müssen wir nun lediglich den Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ -4\end{array}\right)$ durch $2$ teilen:

Somit gilt: $\overrightarrow{b}$ = $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right)$.

Für die Länge dieses Vektors $\overrightarrow{v}$ gilt: $\left|$ \overrightarrow{v}$\right|$ = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2}$ = $\sqrt{36}$ = 6

Für die Länge dieses Vektors $\overrightarrow{v}$ gilt: $\left|$ \overrightarrow{v}$\right|$ = $\left|$ \left(\begin{array}{c}5\\ 2\\ 1\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{5^2+2^2+1^2}$ = $\sqrt{30}$ ≈ 5.48

Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

Da die Pyramide gerade ist, liegt die Spitze genau über dem Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche der Pyramide. Diesen Diagonalenschnittpunkt können wir einfach als Mittelpunkt zweier gegenüberliegenden Punkte der Grundfläche berechen. Dazu brauchen wir aber noch mindestens einen weiteren Punkt der Grundfläche:

Der Punkt C muss natürlich auch als x₃-Koordinate den Wert 0 haben, da ja die Grundfläche parallel zur x₁-x₂-Ebene ist, außerdem muss er die gleiche x₂-Koordinate wie B haben. Da A und B den Abstand 4 haben, muss die x₁-Koordinate von C auch um 4 kleiner sein, somit gilt: C$\left(2|4|0\right)$ .

Jetzt können wir den Mittelpunkt von A und C berechnen:
M. $\left(\frac{6+2}{2}\right|\frac{0+4}{2}\left|\frac{0+0}{2}\right)$= M$\left(4|2|0\right)$

Dieser Mittelpunkt M liegt nun am Fuß der Höhe h, die ja 5 Einheiten hoch ist. Somit muss die Spitze S der Pyramide die gleichen x₁- und x₂-Koordinaten wie M haben, allerdings einen um 5 größeren x₃-Wert, also S$\left(4|2|5\right)$.

Aufgrund der Symmetrie sind alle 4 Kanten der Pyramide gleich lang. Wenn wir das Dreieck AMS anschauen, erkennen wir, dass es in M einen rechten Winkel hat und wir somit den Satz des Pythagoras anwenden können: $\stackrel{—}{\mathrm{AS}}$² = $\stackrel{—}{\mathrm{AM}}$² + $\stackrel{—}{\mathrm{MS}}$²

Wir brauchen also noch die Strecke AM, diese ist aber ja gerade die Hälfte der Strecke AC

Jetzt können wir die Strecke AM = $\frac{1}{2}$AC in die Pythagoras-Gleichung einsetzen:

$\stackrel{—}{\mathrm{AS}}$² = $\stackrel{—}{\mathrm{AM}}$² + $\stackrel{—}{\mathrm{MS}}$²
= ${\left(\frac{1}{2}\sqrt{32}\right)}^2+5^2$
= $8+25$
= $33$

Somit gilt für die gesuchte Kantenlänge: $\stackrel{—}{\mathrm{AS}}$ = $\sqrt{\mathrm{33}}$ ≈ 5.74

Wir sehen in der Skizze, dass wir - um den Ortsvektor $\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ des Schwerpunkts S zu erhalten - einfach einen Vektorzug vom Ursprung über A und die Seitenmitte M_AB zu S führen können.

Es gilt also:

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{A{M}_{\mathrm{AB}}}$ + $\overrightarrow{M_{\mathrm{AB}}S}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ +$\overrightarrow{A{M}_{\mathrm{AB}}}$ + $\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{M_{\mathrm{AB}}C}$

Um diese Vektoren und damit den Ortsvektor des Schwerpunkts S berechnen zu können, brauchen wir M_AB, den Mittelpunkt zwischen A und B. Hierfür können wir ja einfach in jeder Koordinate den Mittelwert bilden: . M AB$\left(\frac{5+9}{2}\right|\frac{-3+7}{2}\left|\frac{-1+(-5)}{2}\right)$ = M$\left(7|2|-3\right)$

Damit gilt für $\overrightarrow{A{M}_{\mathrm{AB}}}$ und $\overrightarrow{M_{\mathrm{AB}}C}$:

$\overrightarrow{A{M}_{\mathrm{AB}}}$= = $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$, $\overrightarrow{M_{\mathrm{AB}}C}$= = $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ -6\end{array}\right)$

Dies können wir nun in die obige Vektorgleichung einsetzen:

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ +$\overrightarrow{A{M}_{\mathrm{AB}}}$ + $\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{M_{\mathrm{AB}}C}$
= $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -1\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -2\end{array}\right)$ + $\frac{1}{3}$ $\left(\begin{array}{c}-12\\ -3\\ -6\end{array}\right)$
= $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-4\\ -1\\ -2\end{array}\right)$
= $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -5\end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Schwerpunkts sind somit S.

Wir berechnen zuerst einmal die drei Verbindungsvektoren jeweils zwischen zwei Punkten:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -8\\ 5\end{array}\right)$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = $\left(\begin{array}{c}9\\ -4\\ -1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ 4\\ -6\end{array}\right)$

Jetzt schauen wir uns die Längen der drei Vektoren an:

c=|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$| = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+{\mathrm{(-8)}}^2+5^2}=\sqrt{98}$

b=|$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\sqrt{9^2+{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-1)}}^2}=\sqrt{98}$

a=|$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$| = $\sqrt{{12}^2+4^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{196}=14$

Da |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$|=|$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$|, ist das Dreieck gleichschenklig.

Die Höhe h_a trifft also genau in der Mitte auf BC.

Wir berechnen also den Mittelpunkt M_a. $\left(\frac{-7+5}{2}\right|\frac{3+7}{2}\left|\frac{4+(-2)}{2}\right)$ = M_a$\left(-1|5|1\right)$.

Die Strecke M_aA mit dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{M_{a}A}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -2\end{array}\right)$ ist dann die Höhe auf die Seite a.

Die Höhe ist |$\overrightarrow{M_{a}A}$| = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+6^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{49}=7$

Für den Flächeninhalt gilt also:

A=$\frac{1}{2}$⋅|$\overrightarrow{M_{a}A}$| ⋅ a = $\frac{1}{2}$⋅7⋅14 = 49