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Parameter bei Integral bestimmen

Beispiel:

Für ein bestimmtes t>0 gilt : 0 4 ( -3 x 3 +9 t x 2 ) x = 0 .

Bestimme einen Wert für dieses t.

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It = 0 4 ( -3 x 3 +9 t x 2 ) x

= [ - 3 4 x 4 +3 t x 3 ] 0 4

= - 3 4 4 4 +3 t 4 3 - ( - 3 4 0 4 +3 t 0 3 )

= - 3 4 256 +3 t 64 - ( - 3 4 0 +3 t 0 )

= -192 +192 t - (0+0)

= 192t -192 +0

= 192t -192

Dieses Integral 192t -192 muss nun gleich 0 sein:

192t -192 = 0 | +192
192t = 192 |:192
t = 1

Der gesuchte t-Wert ist somit 1 .

Fläche mit x-Achse rw (Schar)

Beispiel:

Der Graph der Funktion ft mit ft(x)= -3 x 2 +6 t x schließt für ein bestimmtes t>0 mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt A = 4 ein.

Bestimme dieses t.

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Zuerst muss man die Nullstellen von ft berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

-3 x 2 +6 t x = 0
3 x ( -x +2 t ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +2 t = 0 | - ( 2 t )
-x = -2 t |:(-1 )
x2 = 2 t

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

At = 0 2 t ( -3 x 2 +6 t x ) x

= [ - x 3 +3 t x 2 ] 0 2 t

= -8 t 3 +12 t 3 - ( - 0 3 +3 t 0 2 )

= 4 t 3 - ( -0 +3 t 0 )

= 4 t 3 - (0+0)

= 4 t 3 +0

= 4 t 3

Dieser Flächeninhalt 4 t 3 muss nun gleich 4 sein:

4 t 3 = 4 |:4
t 3 = 1 | 3
t = 1 3 = 1

Der gesuchte t-Wert ist somit 1 .

Fläche zwischen 2 Kurven rw (Schar)

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen ft mit ft(x)= - 1 2 x 3 + t 2 x und gt mit gt(x)= 1 2 x 3 schließen für ein bestimmtes t>0 Flächen mit dem Inhalt A = 81 32 ein.

Bestimme dieses t.

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Zuerst muss man die Schnittstellen von ft und gt berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

- 1 2 x 3 + t 2 x = 1 2 x 3 |- 1 2 x 3

- x 3 + t 2 x = 0
x ( - x 2 + t 2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

- x 2 + t 2 = 0 | - ( t 2 )
- x 2 = -1 t 2 |: ( -1 )
x 2 = t 2 | 2
x2 = - ( t 2 ) = - t
x3 = ( t 2 ) = t

Die Fläche zwischen zwei Kurven kann man als Differenz der beiden Integrale oder eben mit dem Integral der Differenzfunktion berechnen.

Die Grenzen der Fläche zwischen den beiden Kurven haben wir ja bereits mit den Schnittstellen berechnet, die wir nun in das Integral einsetzen müssen:

Weil ja f und g nur ungerade Potenzen haben und somit punktsymmetrisch zu O(0|0) sind, genügt es, wenn wir nur eine der beiden gleichgroßen Flächen betrachten:

At = 0 t ( - 1 2 x 3 + t 2 x ) x - 0 t 1 2 x 3 x
= 0 t ( - 1 2 x 3 + t 2 x - 1 2 x 3 ) x

= 0 t ( - x 3 + t 2 x ) x

= [ - 1 4 x 4 + 1 2 t 2 x 2 ] 0 t

= - 1 4 t 4 + 1 2 t 4 - ( - 1 4 0 4 + 1 2 t 2 0 2 )

= - 1 4 t 4 + 2 4 t 4 - ( - 1 4 0 + 1 2 t 2 0 )

= 1 4 t 4 - (0+0)

= 1 4 t 4 +0

= 1 4 t 4

Dieser Flächeninhalt 1 4 t 4 muss nun ja gerade halb so groß wie die geforderten 81 32 (für beide gleichgroße Flächen zusammen), also = 81 64 sein:

1 4 t 4 = 81 64 |⋅4
t 4 = 81 16 | 4
t1 = - 81 16 4 = - 3 2
t2 = 81 16 4 = 3 2

Der gesuchte t-Wert ist somit 3 2 = 1,5.

Minimum eines Integrals (Schar)

Beispiel:

Der Graph der Funktion ft mit ft(x)= 108 x 2 -16 t x +3 t 2 schließt mit der x-Achse und den Geraden x = 1 und x = 2 eine Fläche ein. Bestimme den minimalen Inhalt dieser Fläche.

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Wir können einfach mal den gesuchten Flächeninhalt in Abhängigkeit von t mit Integralrechnung bestimmen:

At = 1 2 ( 108 x 2 -16 t x +3 t 2 ) x

= [ 36 x 3 -8 t x 2 +3 t 2 x ] 1 2

= 36 2 3 -8 t 2 2 +3 t 2 2 - ( 36 1 3 -8 t 1 2 +3 t 2 1 )

= 368 -8 t 4 +6 t 2 - ( 361 -8 t 1 +3 t 2 )

= 288 -32 t +6 t 2 - ( 36 -8 t +3 t 2 )

= 6 t 2 -32t +288 -1 · ( 3 t 2 -8t +36 )

= 6 t 2 -32t +288 + ( -3 t 2 +8t -36 )

= 3 t 2 -24t +252

Diesen Fläscheninhalt können wir ja auch als Funktion in Abhängigkeit von t sehen: A(t)= 3 t 2 -24t +252 . Man kann schnell erkennen, dass der Graph dieser Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit hat der Graph von A genau einen Tiefpunkt als Extrempunkt.

Diesen Tiefpunkt können wir also recht einfach bestimmen, indem wir die Ableitung A'(t) = 0 setzen und so die einzige Extremstelle erhalten:

A'(t)= 6t -24

6t -24 = 0 | +24
6t = 24 |:6
t = 4

t = 4 ist somit Minimumstelle von A.

Den minmalen Flächeninhalt erhalten wir dann, wenn wir dieses t = 4 in A(t) einsetzen:
A(4 ) = 3 4 2 -244 +252 = 204 .