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Parameter bei Integral bestimmen

Beispiel:

Für ein bestimmtes t>0 gilt : $\int_{0}^{2} (- 2 x^{3} + 4 t^{2} x) ⅆ x$ = $10$ .

Bestimme einen Wert für dieses t.

I_t =

\int_{0}^{2} (- 2 x^{3} + 4 t^{2} x) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{4} + 2 t^{2} x^{2}]}_{0}^{2}$

$=$ $- \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + 2 t^{2} \cdot 2^{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + 2 t^{2} \cdot 0^{2})$

= $- \frac{1}{2} \cdot 16 + 2 t^{2} \cdot 4 - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 t^{2} \cdot 0)$

= $- 8 + 8 t^{2} - (0 + 0)$

= $8 t^{2} - 8 + 0$

= $8 t^{2} - 8$

Dieses Integral $8 t^{2} - 8$ muss nun gleich $10$ sein:

$8 t^{2} - 8$	=	$10$	\| $+ 8$
$8 t^{2}$	=	$18$	\|: $8$
$t^{2}$	=	$\frac{9}{4}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{\frac{9}{4}}$	= $- \frac{3}{2}$
t₂	=	$\sqrt{\frac{9}{4}}$	= $\frac{3}{2}$

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{3}{2}$ = 1,5.

Fläche mit x-Achse rw (Schar)

Beispiel:

Der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $- x^{3} + t x^{2}$ schließt für ein bestimmtes t>0 mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt A = $\frac{1}{192}$ ein.

Bestimme dieses t.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Nullstellen von f_t berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:

$- x^{3} + t x^{2}$	=	0
$x^{2} (- x + t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$- x$	=	$- t$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$t$

Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:

A_t =

\int_{0}^{t} (- x^{3} + t x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} t x^{3}]}_{0}^{t}$

$=$ $- \frac{1}{4} t^{4} + \frac{1}{3} t^{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} t \cdot 0^{3})$

= $- \frac{3}{12} t^{4} + \frac{4}{12} t^{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{3} t \cdot 0)$

= $\frac{1}{12} t^{4} - (0 + 0)$

= $\frac{1}{12} t^{4} + 0$

= $\frac{1}{12} t^{4}$

Dieser Flächeninhalt $\frac{1}{12} t^{4}$ muss nun gleich $\frac{1}{192}$ sein:

$\frac{1}{12} t^{4}$	=	$\frac{1}{192}$	\|⋅ $12$
$t^{4}$	=	$\frac{1}{16}$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$	= $- \frac{1}{2}$
t₂	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$	= $\frac{1}{2}$

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{1}{2}$ = 0,5.

Fläche zwischen 2 Kurven rw (Schar)

Beispiel:

Die Graphen der Funktionen f_t mit $f_{t} (x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3} + 2 t x^{2}$ und g_t mit $g_{t} (x) =$ $\frac{1}{2} x^{3}$ schließen für ein bestimmtes t>0 eine Fläche mit dem Inhalt A = $\frac{27}{32}$ ein.

Bestimme dieses t.

Lösung einblenden

Zuerst muss man die Schnittstellen von f_t und g_t berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:

$- \frac{3}{2} x^{3} + 2 t x^{2}$ = $\frac{1}{2} x^{3}$ |- $\frac{1}{2} x^{3}$

$- 2 x^{3} + 2 t x^{2}$	=	0
$2 x^{2} (- x + t)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x + t$	=	0	\| - ( $t$ )
$- x$	=	$- t$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$t$

Die Fläche zwischen zwei Kurven kann man als Differenz der beiden Integrale oder eben mit dem Integral der Differenzfunktion berechnen.

Die Grenzen der Fläche zwischen den beiden Kurven haben wir ja bereits mit den Schnittstellen berechnet, die wir nun in das Integral einsetzen müssen:

A_t = $\int_{0}^{t} (- \frac{3}{2} x^{3} + 2 t x^{2}) ⅆ x$ - $\int_{0}^{t} \frac{1}{2} x^{3} ⅆ x$
= $\int_{0}^{t} (- \frac{3}{2} x^{3} + 2 t x^{2} - \frac{1}{2} x^{3}) ⅆ x$

=

\int_{0}^{t} (- 2 x^{3} + 2 t x^{2}) ⅆ x

= ${[- \frac{1}{2} x^{4} + \frac{2}{3} t x^{3}]}_{0}^{t}$

$=$ $- \frac{1}{2} t^{4} + \frac{2}{3} t^{4} - (- \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + \frac{2}{3} t \cdot 0^{3})$

= $- \frac{3}{6} t^{4} + \frac{4}{6} t^{4} - (- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} t \cdot 0)$

= $\frac{1}{6} t^{4} - (0 + 0)$

= $\frac{1}{6} t^{4} + 0$

= $\frac{1}{6} t^{4}$

Dieser Flächeninhalt $\frac{1}{6} t^{4}$ muss nun gleich $\frac{27}{32}$ sein:

$\frac{1}{6} t^{4}$	=	$\frac{27}{32}$	\|⋅ $6$
$t^{4}$	=	$\frac{81}{16}$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$	= $- \frac{3}{2}$
t₂	=	$\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$	= $\frac{3}{2}$

Der gesuchte t-Wert ist somit $\frac{3}{2}$ = 1,5.

Minimum eines Integrals (Schar)

Beispiel:

Der Graph der Funktion f_t mit $f_{t} (x) =$ $216 x^{2} - 16 t x + t^{2}$ schließt mit der x-Achse und den Geraden x = 0 und x = 1 eine Fläche ein. Für welches t wird der Inhalt dieser Fläche minimal ?

Lösung einblenden

Wir können einfach mal den gesuchten Flächeninhalt in Abhängigkeit von t mit Integralrechnung bestimmen:

A_t =

\int_{0}^{1} (216 x^{2} - 16 t x + t^{2}) ⅆ x

= ${[72 x^{3} - 8 t x^{2} + t^{2} x]}_{0}^{1}$

$=$ $72 \cdot 1^{3} - 8 t \cdot 1^{2} + t^{2} \cdot 1 - (72 \cdot 0^{3} - 8 t \cdot 0^{2} + t^{2} \cdot 0)$

= $72 \cdot 1 - 8 t \cdot 1 + t^{2} - (72 \cdot 0 - 8 t \cdot 0 + 0)$

= $72 - 8 t + t^{2} - (0 + 0 + 0)$

= $t^{2} - 8 t + 72 + 0$

= $t^{2} - 8 t + 72$

Diesen Fläscheninhalt können wir ja auch als Funktion in Abhängigkeit von t sehen: $A(t) =$ $t^{2} - 8 t + 72$ . Man kann schnell erkennen, dass der Graph dieser Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit hat der Graph von A genau einen Tiefpunkt als Extrempunkt.

Diesen Tiefpunkt können wir also recht einfach bestimmen, indem wir die Ableitung A'(t) = 0 setzen und so die einzige Extremstelle erhalten:

$A'(t) =$ $2 t - 8$

$2 t - 8$	=	0	\| $+ 8$
$2 t$	=	$8$	\|: $2$
$t$	=	$4$

t = $4$ ist somit Minimumstelle von A.

Den minmalen Flächeninhalt erhalten wir dann, wenn wir dieses t = $4$ in A(t) einsetzen:
A( $4$ ) = $4^{2} - 8 \cdot 4 + 72$ = $56$ .

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Parameter bei Integral bestimmen

Fläche mit x-Achse rw (Schar)

Fläche zwischen 2 Kurven rw (Schar)

Minimum eines Integrals (Schar)