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Parameter bei Integral bestimmen
Beispiel:
Für ein bestimmtes t>0 gilt : = .
Bestimme einen Wert für dieses t.=
=
=
=
=
Dieses Integral muss nun gleich sein:
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Der gesuchte t-Wert ist somit .
Fläche mit x-Achse rw (Schar)
Beispiel:
Der Graph der Funktion ft mit schließt für ein bestimmtes t>0 mit der x-Achse Flächen mit dem Inhalt A = ein.
Bestimme dieses t.Zuerst muss man die Nullstellen von ft berechnen. Dazu setzt man einfach den Funktionsterm gleich Null:
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
= | | - ( ) | ||
= | |: | ||
= | | | ||
x2 | = |
|
=
|
x3 | = |
|
=
|
Damit haben wir die Grenzen der Fläche, die wir auch als Grenzen in das Integral einsetzen müssen:
Weil ja f nur ungerade Potenzen hat und somit punktsymmetrisch zu O(0|0) ist, genügt es, wenn wir nur eine der beiden gleichgroßen Flächen betrachten:
=
=
=
=
=
Dieser Flächeninhalt
|
= | |: |
|
|
= | |
|
|
t1 | = |
|
=
|
t2 | = |
|
=
|
Der gesuchte t-Wert ist somit
Fläche zwischen 2 Kurven rw (Schar)
Beispiel:
Die Graphen der Funktionen ft mit
Zuerst muss man die Schnittstellen von ft und gt berechnen. Dazu setzt man einfach die beiden Funktionsterme gleich:
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
|
= | | - (
|
|
|
= | |:
|
|
|
= |
|
|
|
x2 | = |
|
=
|
x3 | = |
|
=
|
Die Fläche zwischen zwei Kurven kann man als Differenz der beiden Integrale oder eben mit dem Integral der Differenzfunktion berechnen.
Die Grenzen der Fläche zwischen den beiden Kurven haben wir ja bereits mit den Schnittstellen berechnet, die wir nun in das Integral einsetzen müssen:
Weil ja f und g nur ungerade Potenzen haben und somit punktsymmetrisch zu O(0|0) sind, genügt es, wenn wir nur eine der beiden gleichgroßen Flächen betrachten:
At =
=
=
=
=
=
=
Dieser Flächeninhalt
|
= | |⋅ |
|
|
= | |
|
|
t1 | = |
|
=
|
t2 | = |
|
=
|
Der gesuchte t-Wert ist somit
Minimum eines Integrals (Schar)
Beispiel:
Der Graph der Funktion ft mit
Wir können einfach mal den gesuchten Flächeninhalt in Abhängigkeit von t mit Integralrechnung bestimmen:
=
=
=
=
=
Diesen Fläscheninhalt können wir ja auch als Funktion in Abhängigkeit von t sehen:
Diesen Tiefpunkt können wir also recht einfach bestimmen, indem wir die Ableitung A'(t) = 0 setzen und so die einzige Extremstelle erhalten:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
t =
Den minmalen Flächeninhalt erhalten wir dann, wenn wir dieses t =
A(