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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=4 und der Standardabweichung σ=0.4 .

Berechne P(X ≥ 3.4).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 3.4) ≈ 0.9332

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=8 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.55. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.55 den Wert k ≈ 11.005.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 39,8 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 39.8) ≈ 0.6915

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ darf man höchstens haben, um zu den dümmsten 60% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.6 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.6 den Wert k ≈ 103.8.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{3 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 3}{3})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-5 ≤ X ≤ 8) ≈ 0.8716

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.423.

Bestimme P( X ≥ 5).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 2.

Somit gilt: P( X ≥ 2) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(2 ≤ X ≤ 5) = 0.423 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 5), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P( X ≥ 5) = 0,5 - 0.423 = 0.077

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(0|0.0363) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 0.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 0 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0363}$ ≈ 13.774 und runden diesen auf σ₁ = 14.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 0 und σ₁=14) an der gegebenen Stelle x = 0 und erhalten f₁(0) = 0.0285
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=14 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 0 berechnen:

μ = 0	σ = 13	f(0) = 0.0307
μ = 0	σ = 12	f(0) = 0.0332
μ = 0	σ = 11	f(0) = 0.0363

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 11 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 12. Es gilt P(118 ≤ X ≤ 142) ≈ 0,683. Bestimme μ.

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Es gilt: P(118 ≤ X ≤ 142) ≈ 0,683

Die entsprechende Sigma-Regel ist P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ + 1⋅σ) ≈ 0.683.

Und da die 2 σ Abstand zwischen μ - 1⋅σ und μ + 1⋅σ genau den 2⋅12 = 24 zwischen 118 und 142 entspricht, muss der Erwartungswert genau in der Mitte zwischen 118 und 142 liegen.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = $\frac{118+142}{2}$ = 130 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,6 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 75 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 75 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 75) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 75) mindestens 0.9 ist:

μ = 75: P(X ≥ 75) = 0.5

μ = 76: P(X ≥ 75) = 0.734

μ = 77: P(X ≥ 75) = 0.8944

μ = 78: P(X ≥ 75) = 0.9696

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 78 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Maschine soll Schrauben der Länge 11 mm herstellen. Ein Kunde will die Maschine aber nur kaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit kleiner als 5% ist, dass die Länge einer Schraube um mehr als 0,8 mm von den geforderten 11 mm abweicht. Man kann davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 11. Welche Standardabweichung (auf eine Stelle hinter dem Komma genau) darf die Normalverteilung dieser Maschine höchstens haben?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 10.2) + P(X ≥ 11.8) < 5% oder eben, dass P(10.2 ≤ X ≤ 11.8) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 0.8 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 0.8 weniger als 2 σ entsprechen.

0.8 < 2⋅σ |:2
0.4 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.4 und erhöhen dieses so lange, bis P(10.2 ≤X ≤ 11.8) unter die 0.95 sinkt:

σ = 0.4: P(10.2 ≤ X ≤ 11.8) ≈ 0.9545

σ = 0.5: P(10.2 ≤ X ≤ 11.8) ≈ 0.8904

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.4 einstellen.

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient größer oder gleich 100 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 100) ≈ 0.5

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 40 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 4 mm. Ein Forscher entdeckt insgesamt 45 solcher Insekten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2, aber nicht mehr als 10 dieser Insekten größer als 44,8 mm sind.

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 44.8) ≈ 0.1151 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 45 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 45 und p = 0.1151 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.115}^{45} (2 \leq X \leq 10)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

$P_{0.115}^{45} (X \leq 10)$ - $P_{0.115}^{45} (X \leq 1)$ ≈ 0.9885 - 0.028 = 0.9605

(TI-Befehl: binomcdf(45,0.1151,10) - binomcdf(45,0.1151,1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 96,1%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Wie viele Menschen müsste man zufällig wählen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens 55% beträgt, dass darunter mindestens 3 Hochbegabte (mit einem IQ von mindestens 130) sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
126	0.4514
127	0.4461
128	0.4408
129	0.4355
130	0.4303
131	0.4251
132	0.4199
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02275 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.55

Weil man ja aber $P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ = 1 - $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≥ 0.55 |+ $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ - 0.55

0.45 ≥ $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ oder $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.45

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2.275% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{0.02275}$ ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 3 (≈0.02275⋅132) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
$P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≈ 0.4199 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.45 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.45 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=127 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.45 ist.

n muss also mindestens 127 sein, damit $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.45 oder eben $P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.55 gilt.

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Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw