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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=3 und der Standardabweichung σ=0.8 .

Berechne P(X ≥ 3).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 3) ≈ 0.5

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=40 und der Standardabweichung σ=6.5 .

Es gilt P(X ≥ k) = 0.75. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.75, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.25 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.75 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.25 liefert der WTR k ≈ 35.616.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,3 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube kleiner oder gleich 69,8 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.3.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 69.8) ≈ 0.2525

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 55% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.55 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.55, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.45 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.55 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.45 liefert der WTR k ≈ 98.115.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 4}{2})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(3 ≤ X ≤ 4) ≈ 0.3413

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.477.

Bestimme P(X ≤ -8).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -5.

Somit gilt: P( X ≤ -5) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(-8 ≤ X ≤ -5) = 0.477 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ -8), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(X ≤ -8) = 0,5 - 0.477 = 0.023

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(2|0.1995) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 2.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 2 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.1995}$ ≈ 2.506 und runden diesen auf σ₁ = 3.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 2 und σ₁=3) an der gegebenen Stelle x = 2 und erhalten f₁(2) = 0.133
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=3 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 2 berechnen:

μ = 2

σ = 2

f(2) = 0.1995

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 2 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 15. Es gilt P(180 ≤ X ≤ 240) ≈ 0,954. Bestimme μ.

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Es gilt: P(180 ≤ X ≤ 240) ≈ 0,954

Die entsprechende Sigma-Regel ist P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954.

Und da die 4 σ Abstand zwischen μ - 2⋅σ und μ + 2⋅σ genau den 4⋅15 = 60 zwischen 180 und 240 entspricht, muss der Erwartungswert genau in der Mitte zwischen 180 und 240 liegen.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = $\frac{180+240}{2}$ = 210 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 55 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 55 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 55) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 55) mindestens 0.75 ist:

μ = 55: P(X ≥ 55) = 0.5

μ = 56: P(X ≥ 55) = 0.7475

μ = 57: P(X ≥ 55) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 57 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Maschine soll Schrauben der Länge 8 mm herstellen. Ein Kunde will die Maschine aber nur kaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit kleiner als 5% ist, dass die Länge einer Schraube um mehr als 0,5 mm von den geforderten 8 mm abweicht. Man kann davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 8. Welche Standardabweichung (auf eine Stelle hinter dem Komma genau) darf die Normalverteilung dieser Maschine höchstens haben?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 7.5) + P(X ≥ 8.5) < 5% oder eben, dass P(7.5 ≤ X ≤ 8.5) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 0.5 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 0.5 weniger als 2 σ entsprechen.

0.5 < 2⋅σ |:2
0.25 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.25 und erhöhen dieses so lange, bis P(7.5 ≤X ≤ 8.5) unter die 0.95 sinkt:

σ = 0.2: P(7.5 ≤ X ≤ 8.5) ≈ 0.9876

σ = 0.3: P(7.5 ≤ X ≤ 8.5) ≈ 0.9044

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.2 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 3 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 800 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 800 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 800) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 800) mindestens 0.75 ist:

μ = 800: P(X ≥ 800) = 0.5

μ = 801: P(X ≥ 800) = 0.6306

μ = 802: P(X ≥ 800) = 0.7475

μ = 803: P(X ≥ 800) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 803 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 30 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 24 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 29,8 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 9 Schrauben zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 30 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 29.8) ≈ 0.3875 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 24 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 24 und p = 0.3875 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.388}^{24} (X \leq 9)$ =

$P_{0.388}^{24} (X \leq 9)$ = 0.5394

(TI-Befehl: binomcdf(24,0.3875,9) - binomcdf(24,0.3875,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 53,9%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Ist eine Schraube kürzer als 39,8 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70%, mindestens 14 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 39.8) ≈ 0.691463 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.691463 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
20	0.4249
21	0.307
22	0.2116
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.691463 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.691}^{n} (X \geq 14)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.691}^{n} (X \geq 14)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.691}^{n} (X \geq 14)$ = 1 - $P_{0.691}^{n} (X \leq 13)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.691}^{n} (X \leq 13)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.691}^{n} (X \leq 13)$ oder $P_{0.691}^{n} (X \leq 13)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 69.1463% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{14}{0.691463}$ ≈ 20 Versuchen auch ungefähr 14 (≈0.691463⋅20) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=20:
$P_{0.691}^{n} (X \leq 13)$ ≈ 0.4249 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 22 sein, damit $P_{0.691}^{n} (X \leq 13)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.691}^{n} (X \geq 14)$ ≥ 0.7 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw