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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=4 und der Standardabweichung σ=1.6 .

Berechne P(1.1 ≤ X ≤ 1.7).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(1.1 ≤ X ≤ 1.7) ≈ 0.0403

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=50 und der Standardabweichung σ=2.5 .

Es gilt P(X ≥ k) = 0.45. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.45, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.55 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.45 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.55 liefert der WTR k ≈ 50.314.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 3 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,6 cm.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt kleiner oder gleich 3,2 cm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 3 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 3.2) ≈ 0.6306

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 45% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.45 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.45, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.55 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.45 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.55 liefert der WTR k ≈ 101.885.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{4 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 4}{4})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(0 ≤ X ≤ 2) ≈ 0.1915

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.057.

Bestimme P(-6 ≤ X ≤ 0).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -3.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 0) entspricht: P( X ≥ 0) = 0.057.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.057 - 0.057 = 0.886,

also P(-6 ≤ X ≤ 0) = 0.886

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(2|0.057) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 2.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 2 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.057}$ ≈ 8.772 und runden diesen auf σ₁ = 9.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 2 und σ₁=9) an der gegebenen Stelle x = 2 und erhalten f₁(2) = 0.0443
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=9 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 2 berechnen:

μ = 2	σ = 8	f(2) = 0.0499
μ = 2	σ = 7	f(2) = 0.057

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 7 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 270 und σ. Es gilt P(297 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,0015. Bestimme σ.

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Es gilt: P(297 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,0015
oder anders ausgedrückt:
P(μ + 27 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,5 - 0.4985 = 0,5 - $\frac{0.997}{2}$

wegen P(μ ≤ X ≤ ∞) = 0,5 gilt somit:
P(μ ≤ X ≤ μ + 27) ≈ $\frac{0.997}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 27 ≤ X ≤ μ + 27) ≈ 0,997

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ - 3⋅σ) ≈ 0.997
muss also 3⋅σ = 27 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 9 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 50 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 50 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 50) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 50) mindestens 0.9 ist:

μ = 50: P(X ≥ 50) = 0.5

μ = 51: P(X ≥ 50) = 0.7475

μ = 52: P(X ≥ 50) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 52 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 240 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 240 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 8 oder mehr Minuten bei unter 10% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 248) < 10% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 248) < 10% , dass P(232 ≤ X ≤ 248) > 80 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 8 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 8 weniger als 2 σ entsprechen.

8 < 2⋅σ |:2
4 < σ

Wir starten also mal bei σ = 4 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 248) über die 0.1 steigt:

σ = 4: P( X ≥ 248) ≈ 0.0227

σ = 4.1: P( X ≥ 248) ≈ 0.0255

...

σ = 5.9: P( X ≥ 248) ≈ 0.0876

σ = 6: P( X ≥ 248) ≈ 0.0912

σ = 6.1: P( X ≥ 248) ≈ 0.0948

σ = 6.2: P( X ≥ 248) ≈ 0.0985

σ = 6.3: P( X ≥ 248) ≈ 0.1021

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 6.2 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ darf man höchstens haben, um zu den dümmsten 90% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.9 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.9 den Wert k ≈ 119.223.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Es werden 95 Menschen zufällig ausgesucht und getestet. Wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 3 Hochbegabte, also mit einem IQ von mindestens 130, sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 95 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 95 und p = 0.0228 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{95} (X \geq 3)$ =

1 - $P_{0.023}^{95} (X \leq 2)$ ≈ 1 - 0.6326 = 0.3674

(TI-Befehl: binomcdf(95,0.0228,95) - binomcdf(95,0.0228,2))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 36,7%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Mittel einen "Durchmesser" von 9,7 cm und eine Standardabweichung von 2 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie viele Äpfel muss man mindestens ernten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 59 Stück an den Großhandel verkaufen zu können?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.7 und der Standardabweichung σ = 2.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.544491 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.544491 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
111	0.3551
112	0.3181
113	0.2832
114	0.2505
115	0.2201
116	0.1923
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Äpfel im geforderten Größenbereich an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.544491 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.544}^{n} (X \geq 59)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.544}^{n} (X \geq 59)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.544}^{n} (X \geq 59)$ = 1 - $P_{0.544}^{n} (X \leq 58)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.544}^{n} (X \leq 58)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.544}^{n} (X \leq 58)$ oder $P_{0.544}^{n} (X \leq 58)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 54.4491% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{59}{0.544491}$ ≈ 108 Versuchen auch ungefähr 59 (≈0.544491⋅108) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=108:
$P_{0.544}^{n} (X \leq 58)$ ≈ 0.4754 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=116 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 116 sein, damit $P_{0.544}^{n} (X \leq 58)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.544}^{n} (X \geq 59)$ ≥ 0.8 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw