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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=2 und der Standardabweichung σ=1 .

Berechne P(X ≤ 0.6).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 0.6) ≈ 0.0808

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=7.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.3. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.3 den Wert k ≈ 6.067.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient zwischen 94 und 103 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(94 ≤ X ≤ 103) ≈ 0.2347

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 4 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,8 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 35% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 4 und der Standardabweichung σ = 0.8.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.35 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.35 den Wert k ≈ 3.692.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{3 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 5}{3})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-4 ≤ X ≤ -3) ≈ 0.0388

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.308.

Bestimme P(X ≤ -1).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 1.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(-1 ≤ X ≤ 1) entspricht: P(-1 ≤ X ≤ 1) = 0.308.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.308 - 0.308 = 0.384

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(X ≤ -1) = $\frac{0.384}{2}$ = 0.192

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(8|0.0249) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 8.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 8 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0249}$ ≈ 20.08 und runden diesen auf σ₁ = 20.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 8 und σ₁=20) an der gegebenen Stelle x = 8 und erhalten f₁(8) = 0.0199
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=20 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 8 berechnen:

μ = 8	σ = 19	f(8) = 0.021
μ = 8	σ = 18	f(8) = 0.0222
μ = 8	σ = 17	f(8) = 0.0235
μ = 8	σ = 16	f(8) = 0.0249

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 16 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 10. Es gilt P(-∞ ≤ X ≤ 160) ≈ 0,0015. Bestimme μ.

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Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 160) ≈ 0,0015

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(160 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,5 - 0,0015 ≈ 0.4985 ≈ $\frac{0.997}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ + 3⋅σ) ≈ 0.997 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.997}{2}$ sein.
Mit σ = 10 gilt somit: P(μ - 30 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.997}{2}$

Wenn man dies mit der 3 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 160 um 30 kleiner als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 160 + 30 = 190 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 45 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 45 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 45) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 45) mindestens 0.9 ist:

μ = 45: P(X ≥ 45) = 0.5

μ = 46: P(X ≥ 45) = 0.7475

μ = 47: P(X ≥ 45) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 47 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 300 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 300 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 9 oder mehr Minuten bei unter 5% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 309) < 5% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 309) < 5% , dass P(291 ≤ X ≤ 309) > 90 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 9 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 9 weniger als 2 σ entsprechen.

9 < 2⋅σ |:2
4.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 4.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 309) über die 0.05 steigt:

σ = 4.5: P( X ≥ 309) ≈ 0.0227

σ = 4.6: P( X ≥ 309) ≈ 0.0252

...

σ = 5.2: P( X ≥ 309) ≈ 0.0417

σ = 5.3: P( X ≥ 309) ≈ 0.0447

σ = 5.4: P( X ≥ 309) ≈ 0.0478

σ = 5.5: P( X ≥ 309) ≈ 0.0509

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 5.4 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,1 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 70 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 70 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 70) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 70) mindestens 0.75 ist:

μ = 70: P(X ≥ 70) = 0.5

μ = 71: P(X ≥ 70) = 0.8183

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 71 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Durchschnitt 9,6 cm als maximalen Durchmesser und eine Standardabweichung von 1,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 105 Äpfel eines Erntehelfers mindestens 68 Stück in den Großhandel kommen?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.6 und der Standardabweichung σ = 1.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.6816 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 105 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 105 und p = 0.6816 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.682}^{105} (X \geq 68)$ =

1 - $P_{0.682}^{105} (X \leq 67)$ ≈ 1 - 0.196 = 0.804

(TI-Befehl: binomcdf(105,0.6816,105) - binomcdf(105,0.6816,67))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 80,4%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Wie viele Menschen müsste man zufällig wählen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens 45% beträgt, dass darunter mindestens 3 Hochbegabte (mit einem IQ von mindestens 130) sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
108	0.5535
109	0.5476
110	0.5417
111	0.5358
112	0.53
113	0.5241
114	0.5183
115	0.5126
116	0.5069
117	0.5012
118	0.4955
119	0.4899
120	0.4843
121	0.4787
122	0.4732
123	0.4677
124	0.4622
125	0.4568
126	0.4514
127	0.4461
128	0.4408
129	0.4355
130	0.4303
131	0.4251
132	0.4199
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02275 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.45

Weil man ja aber $P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ = 1 - $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≥ 0.45 |+ $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ - 0.45

0.55 ≥ $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ oder $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2.275% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{0.02275}$ ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 3 (≈0.02275⋅132) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
$P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≈ 0.4199 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.55 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.55 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=109 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.55 ist.

n muss also mindestens 109 sein, damit $P_{0.023}^{n} (X \leq 2)$ ≤ 0.55 oder eben $P_{0.023}^{n} (X \geq 3)$ ≥ 0.45 gilt.

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Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw