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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=4 und der Standardabweichung σ=0.8 .

Berechne P(X ≤ 4.1).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 4.1) ≈ 0.5497

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=7 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.2. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.2 den Wert k ≈ 4.109.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 2 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,4 cm.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt zwischen 1,3 und 1,5 cm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(1.3 ≤ X ≤ 1.5) ≈ 0.0656

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 65% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.65 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.65, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.35 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.65 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.35 liefert der WTR k ≈ 94.22.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{2})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-4 ≤ X ≤ 1) ≈ 0.3057

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.443.

Bestimme P( X ≥ 6).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 3.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(3 ≤ X ≤ 6) entspricht: P(3 ≤ X ≤ 6) = 0.443.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.443 - 0.443 = 0.114

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P( X ≥ 6) = $\frac{0.114}{2}$ = 0.057

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-5|0.3989) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -5.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -5 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.3989}$ ≈ 1.253 und runden diesen auf σ₁ = 1.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -5 und σ₁=1) an der gegebenen Stelle x = -5 und erhalten f₁(-5) = 0.3989
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Da dieser Wert tatsächlich dem gegebenen y-Wert 0.3989 entspricht, haben wir bereits unser gesuchtes σ gefunden.

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 1 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 13. Es gilt P(256 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,023. Bestimme μ.

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Es gilt: P(256 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,023

wegen P(μ ≤ X ≤ ∞) = 0,5 gilt somit:
P(μ ≤ X ≤ 256) ≈ 0,5 - 0,023 ≈ 0.477 ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ $\frac{0.954}{2}$ sein.
Mit σ = 13 gilt somit: P(μ ≤ X ≤ μ + 26) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wenn man dies mit der 3 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 256 um 26 größer als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 256 - 26 = 230 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 35 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 35 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 35) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 35) mindestens 0.75 ist:

μ = 35: P(X ≥ 35) = 0.5

μ = 36: P(X ≥ 35) = 0.7475

μ = 37: P(X ≥ 35) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 37 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 120 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 120 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 5 oder mehr Minuten bei unter 5% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 125) < 5% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 125) < 5% , dass P(115 ≤ X ≤ 125) > 90 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 5 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 5 weniger als 2 σ entsprechen.

5 < 2⋅σ |:2
2.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 2.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 125) über die 0.05 steigt:

σ = 2.5: P( X ≥ 125) ≈ 0.0227

σ = 2.6: P( X ≥ 125) ≈ 0.0272

σ = 2.7: P( X ≥ 125) ≈ 0.032

σ = 2.8: P( X ≥ 125) ≈ 0.0371

σ = 2.9: P( X ≥ 125) ≈ 0.0423

σ = 3: P( X ≥ 125) ≈ 0.0478

σ = 3.1: P( X ≥ 125) ≈ 0.0534

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 3 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ darf man höchstens haben, um zu den dümmsten 15% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.15 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.15 den Wert k ≈ 84.454.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 35 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 7 mm. Ein Forscher entdeckt insgesamt 60 solcher Insekten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2, aber nicht mehr als 8 dieser Insekten größer als 43,4 mm sind.

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 35 und der Standardabweichung σ = 7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 43.4) ≈ 0.1151 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 60 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 60 und p = 0.1151 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.115}^{60} (2 \leq X \leq 8)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

$P_{0.115}^{60} (X \leq 8)$ - $P_{0.115}^{60} (X \leq 1)$ ≈ 0.7505 - 0.0057 = 0.7448

(TI-Befehl: binomcdf(60,0.1151,8) - binomcdf(60,0.1151,1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 74,5%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 55 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 5 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 63,5 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 4 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% gewährleistet ist?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 55 und der Standardabweichung σ = 5.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 63.5) ≈ 0.044565 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.044565 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
45	0.951
46	0.9469
47	0.9427
48	0.9383
49	0.9337
50	0.9289
51	0.9239
52	0.9188
53	0.9134
54	0.9079
55	0.9022
56	0.8964
57	0.8903
58	0.8842
59	0.8778
60	0.8713
61	0.8646
62	0.8578
63	0.8508
64	0.8437
65	0.8365
66	0.8291
67	0.8216
68	0.8139
69	0.8062
70	0.7984
71	0.7904
72	0.7824
73	0.7742
74	0.766
75	0.7577
76	0.7493
77	0.7408
78	0.7323
79	0.7237
80	0.715
81	0.7063
82	0.6976
83	0.6888
84	0.68
85	0.6712
86	0.6623
87	0.6534
88	0.6445
89	0.6356
90	0.6267
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.044565 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.045}^{n} (X \leq 4)$ ≥ 0.95

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 4.4565% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{4}{0.044565}$ ≈ 90 Versuchen auch ungefähr 4 (≈0.044565⋅90) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=90:
$P_{0.045}^{n} (X \leq 4)$ ≈ 0.6267 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.95 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.95 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=45 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 95% ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw