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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=5 und der Standardabweichung σ=2.6 .

Berechne P(3.4 ≤ X ≤ 5).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(3.4 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.2308

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=50 und der Standardabweichung σ=9 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.05. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.05 den Wert k ≈ 35.196.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient kleiner oder gleich 103 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 103) ≈ 0.5793

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 2 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1,2 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 80% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 1.2.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.8 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.8 den Wert k ≈ 3.01.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{3 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 2}{3})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(4 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.3413

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.03.

Bestimme P(-1 ≤ X ≤ 5).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 2.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -1) entspricht: P( X ≤ -1) = 0.03.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.03 - 0.03 = 0.94,

also P(-1 ≤ X ≤ 5) = 0.94

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-10|0.0307) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -10.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -10 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0307}$ ≈ 16.287 und runden diesen auf σ₁ = 16.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -10 und σ₁=16) an der gegebenen Stelle x = -10 und erhalten f₁(-10) = 0.0249
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=16 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -10 berechnen:

μ = -10	σ = 15	f(-10) = 0.0266
μ = -10	σ = 14	f(-10) = 0.0285
μ = -10	σ = 13	f(-10) = 0.0307

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 13 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 170 und σ. Es gilt P(170 ≤ X ≤ 184) ≈ 0,3415. Bestimme σ.

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Es gilt: P(170 ≤ X ≤ 184) ≈ 0,3415
oder anders ausgedrückt:
P(μ ≤ X ≤ μ + 14) ≈ $\frac{0.683}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 14 ≤ X ≤ μ + 14) ≈ 0,683

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ - 1⋅σ) ≈ 0.683
muss also 1⋅σ = 14 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 14 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 8 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens die 8 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 480 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 480) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 480) mindestens 0.9 ist:

μ = 480: P(X ≥ 480) = 0.5

μ = 481: P(X ≥ 480) = 0.6554

μ = 482: P(X ≥ 480) = 0.7881

μ = 483: P(X ≥ 480) = 0.8849

μ = 484: P(X ≥ 480) = 0.9452

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 484 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Maschine soll Schrauben der Länge 8 mm herstellen. Ein Kunde will die Maschine aber nur kaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit kleiner als 5% ist, dass die Länge einer Schraube um mehr als 0,9 mm von den geforderten 8 mm abweicht. Man kann davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 8. Welche Standardabweichung (auf eine Stelle hinter dem Komma genau) darf die Normalverteilung dieser Maschine höchstens haben?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 7.1) + P(X ≥ 8.9) < 5% oder eben, dass P(7.1 ≤ X ≤ 8.9) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 0.9 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 0.9 weniger als 2 σ entsprechen.

0.9 < 2⋅σ |:2
0.45 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.45 und erhöhen dieses so lange, bis P(7.1 ≤X ≤ 8.9) unter die 0.95 sinkt:

σ = 0.4: P(7.1 ≤ X ≤ 8.9) ≈ 0.9756

σ = 0.5: P(7.1 ≤ X ≤ 8.9) ≈ 0.9281

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.4 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens die 4 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.9 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.7475

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 242 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Es werden 145 Menschen zufällig ausgesucht und getestet. Wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 4 Hochbegabte, also mit einem IQ von mindestens 130, sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 145 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 145 und p = 0.0228 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{145} (X \geq 4)$ =

1 - $P_{0.023}^{145} (X \leq 3)$ ≈ 1 - 0.5799 = 0.4201

(TI-Befehl: binomcdf(145,0.0228,145) - binomcdf(145,0.0228,3))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 42%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 55 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 7 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 64,8 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 10 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% gewährleistet ist?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 55 und der Standardabweichung σ = 7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 64.8) ≈ 0.080756 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.080756 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
88	0.9028
89	0.8968
90	0.8905
91	0.8841
92	0.8774
93	0.8705
94	0.8634
95	0.8561
96	0.8486
97	0.8409
98	0.833
99	0.8249
100	0.8167
101	0.8082
102	0.7996
103	0.7909
104	0.7819
105	0.7729
106	0.7636
107	0.7543
108	0.7448
109	0.7352
110	0.7254
111	0.7156
112	0.7056
113	0.6956
114	0.6855
115	0.6753
116	0.665
117	0.6547
118	0.6443
119	0.6339
120	0.6234
121	0.6129
122	0.6024
123	0.5919
124	0.5813
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.080756 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.081}^{n} (X \leq 10)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8.0756% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{10}{0.080756}$ ≈ 124 Versuchen auch ungefähr 10 (≈0.080756⋅124) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=124:
$P_{0.081}^{n} (X \leq 10)$ ≈ 0.5813 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=88 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw