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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=2 und der Standardabweichung σ=1 .

Berechne P(X ≤ 2).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 2) ≈ 0.5

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=40 und der Standardabweichung σ=4.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.75. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.75 den Wert k ≈ 43.035.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient größer oder gleich 91 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 91) ≈ 0.7257

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 3 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1 cm. Wie lang muss dann ein solches Insekt mindestens sein, damit es zu den längsten 75% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 3 und der Standardabweichung σ = 1.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.75 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.75, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.25 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.75 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.25 liefert der WTR k ≈ 2.326.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 1}{1})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-5 ≤ X ≤ 6) ≈ 0.8275

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.17.

Bestimme P(-2 ≤ X ≤ 0).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 0.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -2) entspricht: P( X ≤ -2) = 0.17.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.17 - 0.17 = 0.66

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(-2 ≤ X ≤ 0) = $\frac{0.66}{2}$ = 0.33

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-7|0.0399) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -7.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -7 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0399}$ ≈ 12.531 und runden diesen auf σ₁ = 13.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -7 und σ₁=13) an der gegebenen Stelle x = -7 und erhalten f₁(-7) = 0.0307
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=13 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -7 berechnen:

μ = -7	σ = 12	f(-7) = 0.0332
μ = -7	σ = 11	f(-7) = 0.0363
μ = -7	σ = 10	f(-7) = 0.0399

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 10 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 9. Es gilt P(-∞ ≤ X ≤ 112) ≈ 0,023. Bestimme μ.

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Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 112) ≈ 0,023

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(112 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,5 - 0,023 ≈ 0.477 ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.954}{2}$ sein.
Mit σ = 9 gilt somit: P(μ - 18 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wenn man dies mit der 3 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 112 um 18 kleiner als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 112 + 18 = 130 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 3,5 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens die 4 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.9 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6125

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.7161

μ = 243: P(X ≥ 240) = 0.8043

μ = 244: P(X ≥ 240) = 0.8735

μ = 245: P(X ≥ 240) = 0.9234

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 245 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 180 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 180 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 9 oder mehr Minuten bei unter 10% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 189) < 10% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 189) < 10% , dass P(171 ≤ X ≤ 189) > 80 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 9 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 9 weniger als 2 σ entsprechen.

9 < 2⋅σ |:2
4.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 4.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 189) über die 0.1 steigt:

σ = 4.5: P( X ≥ 189) ≈ 0.0227

σ = 4.6: P( X ≥ 189) ≈ 0.0252

...

σ = 6.7: P( X ≥ 189) ≈ 0.0896

σ = 6.8: P( X ≥ 189) ≈ 0.0928

σ = 6.9: P( X ≥ 189) ≈ 0.0961

σ = 7: P( X ≥ 189) ≈ 0.0993

σ = 7.1: P( X ≥ 189) ≈ 0.1025

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 7 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 800 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 800 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 800) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 800) mindestens 0.9 ist:

μ = 800: P(X ≥ 800) = 0.5

μ = 801: P(X ≥ 800) = 0.6554

μ = 802: P(X ≥ 800) = 0.7881

μ = 803: P(X ≥ 800) = 0.8849

μ = 804: P(X ≥ 800) = 0.9452

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 804 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 48 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 39,6 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 14 Schrauben zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 39.6) ≈ 0.2839 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 48 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 48 und p = 0.2839 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.284}^{48} (X \leq 14)$ =

$P_{0.284}^{48} (X \leq 14)$ = 0.6183

(TI-Befehl: binomcdf(48,0.2839,14) - binomcdf(48,0.2839,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 61,8%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Mittel einen "Durchmesser" von 9,1 cm und eine Standardabweichung von 2 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie viele Äpfel muss man mindestens ernten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 70% mindestens 71 Stück an den Großhandel verkaufen zu können?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9.1 und der Standardabweichung σ = 2.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.537784 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.537784 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
132	0.4652
133	0.4284
134	0.3925
135	0.3578
136	0.3244
137	0.2927
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Äpfel im geforderten Größenbereich an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.537784 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.538}^{n} (X \geq 71)$ ≥ 0.7

Weil man ja aber $P_{0.538}^{n} (X \geq 71)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.538}^{n} (X \geq 71)$ = 1 - $P_{0.538}^{n} (X \leq 70)$ ≥ 0.7 |+ $P_{0.538}^{n} (X \leq 70)$ - 0.7

0.3 ≥ $P_{0.538}^{n} (X \leq 70)$ oder $P_{0.538}^{n} (X \leq 70)$ ≤ 0.3

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 53.7784% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{71}{0.537784}$ ≈ 132 Versuchen auch ungefähr 71 (≈0.537784⋅132) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=132:
$P_{0.538}^{n} (X \leq 70)$ ≈ 0.4652 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.3 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.3 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=137 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.3 ist.

n muss also mindestens 137 sein, damit $P_{0.538}^{n} (X \leq 70)$ ≤ 0.3 oder eben $P_{0.538}^{n} (X \geq 71)$ ≥ 0.7 gilt.

Normalverteilung mehrstufig

Beispiel:

Ein Hersteller von Dubai-Schokolade möchte auf der Verpackung mit einem Mindestanteil der edlen Zutat namens Engelshaar werben. Aufgrund des aufwändigen Produktionsprozesses ist dieser nicht bei jeder Tafel genau gleich, sondern kann als normalverteilt mit einem Erwartungswert 50% und einer Standardabweichung 7% angenommen werden. Eine Verbraucherschutz-Organistion kauft gelegentlich 6 Tafeln dieser Dubai-Schokolade und kontrolliert, ob auch wirklich bei allen der angegebene Mindestanteil an Engelshaar enthalten ist. Wie hoch muss der Hersteller diesen Mindestanteil benennen, damit bei der Kontrolle mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% alle 6 Tafeln diese Mindestvorgabe erfüllen?
(Bitte auf 1 Stelle nach dem Komma runden)

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Der prozentuale Anteil an Engelshaar in der Dubai-Schokolade soll als normalverteilte Zufallsgröße X mit µ=50 und σ=7 bezeichnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schokoladentafel die Vorgabe (Mindestanteil) erfüllt, bezeichnen wir p.

Damit diese Vorgabe nun auch wirklich bei allen 6 kontrollierten Tafeln erfüllt wird, muss somit gelten:

p⁶ ≥ 0.8 (Die 6 kontrollierten Tafeln kann man als mehrstufiges Zufallsexperiment mit gleichbleibender Einzelwahrscheinlichkeit p interpretieren.)

Wenn wir jetzt hier die 6-te Wurzel ziehen, erhalten wir die notwendige Einzelwahrscheinlichkeit p, dass eine Schokoladentafel die Vorgabe (Mindestanteil) erfüllt:

Einzelwahrscheinlichkeit: p ≥ 0,9635

Wir suchen jetzt also in der Normalverteilung nach einem Mindestanteil, der mit der Wahrscheinlichkeit 0,9635 eingehalten wird;

also nach einem k mit P(X ≥ k) ≥ 0,9635

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0,9635, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0,0365 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0,9635 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0,0365 liefert der WTR k ≈ 37.451.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung VFT

Beispiel:

Eine Maschine produziert Schrauben, deren Länge man als normalverteilt mit Erwartungswert 120 mm und Standardabweichung 0,9 mm annehmen kann. 35% der Schrauben, die mit dieser Maschine hergestellt werden bestehen aus Stahl, der Rest aus Messing. Ist eine Schraube kürzer als eine bestimmte Mindestlänge, so gilt sie als zu kurz. Unter den zu kurzen Schrauben sind 78,79% aus Messing. Von den Schrauben aus Messing sind 8% zu kurz. Ab welcher Länge gelten solche Schrauben als zu kurz?
(Bitte auf 1 Stelle nach dem Komma runden)

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Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$ : Stahl

$\overline{A}$ : nicht Stahl, also Messing

$B$ : zu kurz

$\overline{B}$ : nicht zu kurz, also Länge ok

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (zu kurz)	$\overline{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\overline{A}$ (Messing)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P (A)$ + $P (\overline{A})$ = $P (B)$ + $P (\overline{B})$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\overline{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (zu kurz)	$\overline{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)			0,35
$\overline{A}$ (Messing)			0,65
			1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "Messing" sind es 8% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (\overline{A} \cap B)$ = 0,65 ⋅ 0,08 = 0,052 berechnen.

	$B$ (zu kurz)
$A$ (Stahl)		0,35
$\overline{A}$ (Messing)	0,052	0,65
		1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zu kurz" sind es 78.79% kann man die Wahrscheinlichkeit
$P (B \cap \overline{A})$ = $P (B)$ ⋅ 0,7879 = 0,052 herauslesen.
Daraus ergibt sich $P (B)$ = $\frac{0,052}{0,7879}$ ≈ 0,066.

	$B$ (zu kurz)
$A$ (Stahl)		0,35
$\overline{A}$ (Messing)	0,052	0,65
	0,066	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (zu kurz)	$\overline{B}$ (Länge ok)
$A$ (Stahl)	0,014	0,336	0,35
$\overline{A}$ (Messing)	0,052	0,598	0,65
	0,066	0,934	1

Wir wissen jetzt also, dass die Wahrscheinlichkeit für "zu kurz" ungefähr 0,066 beträgt.

Jetzt suchen wie in der Normalverteilung nach einem mm-Wert k, für den gilt P(X ≤ k) ≈ 0,066

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0,066 den Wert k ≈ 118.644.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Normalverteilung mehrstufig

Normalverteilung VFT