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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=1 und der Standardabweichung σ=1.2 .

Berechne P(X ≥ 1).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 1) ≈ 0.5

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=30 und der Standardabweichung σ=4.5 .

Es gilt P(X ≥ k) = 0.35. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.35, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.65 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.35 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.65 liefert der WTR k ≈ 31.734.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 2 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1 cm.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt kleiner oder gleich 2 cm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 1.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 2) ≈ 0.5

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Eine Firma produziert 80 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozesse treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,3 mm. Wie kurz darf dann eine Schraube höchstens sein, damit sie zu den kürzesten 75% der Schrauben gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 80 und der Standardabweichung σ = 0.3.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.75 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.75 den Wert k ≈ 80.202.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{5 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 2}{5})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-7 ≤ X ≤ -1) ≈ 0.8664

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.234.

Bestimme P( X ≥ -4).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -5.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(-5 ≤ X ≤ -4) entspricht: P(-5 ≤ X ≤ -4) = 0.234.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.234 - 0.234 = 0.532

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P( X ≥ -4) = $\frac{0.532}{2}$ = 0.266

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(7|0.0997) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 7.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 7 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0997}$ ≈ 5.015 und runden diesen auf σ₁ = 5.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 7 und σ₁=5) an der gegebenen Stelle x = 7 und erhalten f₁(7) = 0.0798
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=5 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 7 berechnen:

μ = 7

σ = 4

f(7) = 0.0997

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 4 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 13. Es gilt P(-∞ ≤ X ≤ 231) ≈ 0,0015. Bestimme μ.

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Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 231) ≈ 0,0015

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(231 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,5 - 0,0015 ≈ 0.4985 ≈ $\frac{0.997}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ + 3⋅σ) ≈ 0.997 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.997}{2}$ sein.
Mit σ = 13 gilt somit: P(μ - 39 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.997}{2}$

Wenn man dies mit der 3 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 231 um 39 kleiner als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 231 + 39 = 270 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 8 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens die 8 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 480 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 480) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 480) mindestens 0.75 ist:

μ = 480: P(X ≥ 480) = 0.5

μ = 481: P(X ≥ 480) = 0.6554

μ = 482: P(X ≥ 480) = 0.7881

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 482 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 500 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 500 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 15% um mehr als 4,5 ml von den geforderten 500 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 495.5) + P(X ≥ 504.5) < 15% oder eben, dass P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 4.5 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 4.5 weniger als 2 σ entsprechen.

4.5 < 2⋅σ |:2
2.25 < σ

Wir starten also mal bei σ = 2.25 und erhöhen dieses so lange, bis P(495.5 ≤X ≤ 504.5) unter die 0.85 sinkt:

σ = 2.2: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.9592

σ = 2.3: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.9496

...

σ = 2.9: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.8793

σ = 3: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.8664

σ = 3.1: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.8534

σ = 3.2: P(495.5 ≤ X ≤ 504.5) ≈ 0.8404

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 3.1 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 4 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1,2 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 35% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 4 und der Standardabweichung σ = 1.2.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.35 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.35 den Wert k ≈ 3.538.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Durchschnitt 9 cm als maximalen Durchmesser und eine Standardabweichung von 2,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 105 Äpfel eines Erntehelfers mindestens 50 Stück in den Großhandel kommen?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.4436 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 105 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 105 und p = 0.4436 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.444}^{105} (X \geq 50)$ =

1 - $P_{0.444}^{105} (X \leq 49)$ ≈ 1 - 0.718 = 0.282

(TI-Befehl: binomcdf(105,0.4436,105) - binomcdf(105,0.4436,49))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 28,2%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 60 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 5 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 67,5 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 6 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% gewährleistet ist?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 5.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 67.5) ≈ 0.066807 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.066807 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
71	0.8048
72	0.7953
73	0.7856
74	0.7758
75	0.7658
76	0.7557
77	0.7454
78	0.735
79	0.7245
80	0.7139
81	0.7032
82	0.6924
83	0.6815
84	0.6706
85	0.6596
86	0.6486
87	0.6376
88	0.6265
89	0.6154
90	0.6043
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.066807 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.067}^{n} (X \leq 6)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 6.6807% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{6}{0.066807}$ ≈ 90 Versuchen auch ungefähr 6 (≈0.066807⋅90) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=90:
$P_{0.067}^{n} (X \leq 6)$ ≈ 0.6043 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=71 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw