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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=1 und der Standardabweichung σ=0.4 .

Berechne P(X ≤ 1).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 1) ≈ 0.5

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=50 und der Standardabweichung σ=2 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.85. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.85 den Wert k ≈ 52.073.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient größer oder gleich 88 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 88) ≈ 0.7881

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 6 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,9 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 90% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 6 und der Standardabweichung σ = 0.9.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.9 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.9 den Wert k ≈ 7.153.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{3 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 5}{3})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-11 ≤ X ≤ -7) ≈ 0.1359

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.067.

Bestimme P(-7 ≤ X ≤ -4).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -4.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -7) entspricht: P( X ≤ -7) = 0.067.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.067 - 0.067 = 0.866

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(-7 ≤ X ≤ -4) = $\frac{0.866}{2}$ = 0.433

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(2|0.1995) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 2.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 2 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.1995}$ ≈ 2.506 und runden diesen auf σ₁ = 3.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 2 und σ₁=3) an der gegebenen Stelle x = 2 und erhalten f₁(2) = 0.133
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=3 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 2 berechnen:

μ = 2

σ = 2

f(2) = 0.1995

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 2 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 10. Es gilt P(μ ≤ X ≤ 230) ≈ 0,477. Bestimme μ.

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Es gilt: P(μ ≤ X ≤ 230) ≈ 0,477≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ $\frac{0.954}{2}$ sein.
Mit σ = 10 gilt somit: P(μ ≤ X ≤ μ + 20) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wenn man dies mit der 1 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 230 um 20 größer als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 230 - 20 = 210 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,6 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 70 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 70 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 70) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 70) mindestens 0.75 ist:

μ = 70: P(X ≥ 70) = 0.5

μ = 71: P(X ≥ 70) = 0.734

μ = 72: P(X ≥ 70) = 0.8944

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 72 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 500 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 500 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% um mehr als 1,5 ml von den geforderten 500 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 498.5) + P(X ≥ 501.5) < 5% oder eben, dass P(498.5 ≤ X ≤ 501.5) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 1.5 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 1.5 weniger als 2 σ entsprechen.

1.5 < 2⋅σ |:2
0.75 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.75 und erhöhen dieses so lange, bis P(498.5 ≤X ≤ 501.5) unter die 0.95 sinkt:

σ = 0.7: P(498.5 ≤ X ≤ 501.5) ≈ 0.9679

σ = 0.8: P(498.5 ≤ X ≤ 501.5) ≈ 0.9392

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.7 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 600 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 600 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 600) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 600) mindestens 0.9 ist:

μ = 600: P(X ≥ 600) = 0.5

μ = 601: P(X ≥ 600) = 0.7475

μ = 602: P(X ≥ 600) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 602 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Durchschnitt 9 cm als maximalen Durchmesser und eine Standardabweichung von 2,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 130 Äpfel eines Erntehelfers mindestens 62 Stück in den Großhandel kommen?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 9 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.4436 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 130 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 130 und p = 0.4436 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.444}^{130} (X \geq 62)$ =

1 - $P_{0.444}^{130} (X \leq 61)$ ≈ 1 - 0.7514 = 0.2486

(TI-Befehl: binomcdf(130,0.4436,130) - binomcdf(130,0.4436,61))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 24,9%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 40 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 4 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 44,4 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 7 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% gewährleistet ist?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 44.4) ≈ 0.135666 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.135666 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
41	0.8155
42	0.7974
43	0.7785
44	0.7591
45	0.7391
46	0.7187
47	0.6979
48	0.6767
49	0.6553
50	0.6337
51	0.612
52	0.5902
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.135666 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.136}^{n} (X \leq 7)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 13.5666% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{7}{0.135666}$ ≈ 52 Versuchen auch ungefähr 7 (≈0.135666⋅52) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=52:
$P_{0.136}^{n} (X \leq 7)$ ≈ 0.5902 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw