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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=1 und der Standardabweichung σ=1.8 .

Berechne P(X ≤ -0.5).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ -0.5) ≈ 0.2023

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=30 und der Standardabweichung σ=9.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.55. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.55 den Wert k ≈ 31.194.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient kleiner oder gleich 106 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 106) ≈ 0.6554

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 65% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.65 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.65, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.35 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.65 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.35 liefert der WTR k ≈ 94.22.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 3}{2})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(0 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.4401

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.238.

Bestimme P(3 ≤ X ≤ 5).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 4.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ 3) entspricht: P( X ≤ 3) = 0.238.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.238 - 0.238 = 0.524,

also P(3 ≤ X ≤ 5) = 0.524

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-5|0.0798) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -5.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -5 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0798}$ ≈ 6.266 und runden diesen auf σ₁ = 6.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -5 und σ₁=6) an der gegebenen Stelle x = -5 und erhalten f₁(-5) = 0.0665
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=6 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -5 berechnen:

μ = -5

σ = 5

f(-5) = 0.0798

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 5 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 10. Es gilt P(180 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,023. Bestimme μ.

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Es gilt: P(180 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,023

wegen P(μ ≤ X ≤ ∞) = 0,5 gilt somit:
P(μ ≤ X ≤ 180) ≈ 0,5 - 0,023 ≈ 0.477 ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ $\frac{0.954}{2}$ sein.
Mit σ = 10 gilt somit: P(μ ≤ X ≤ μ + 20) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wenn man dies mit der 3 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 180 um 20 größer als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 180 - 20 = 160 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 60 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 60 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 60) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 60) mindestens 0.75 ist:

μ = 60: P(X ≥ 60) = 0.5

μ = 61: P(X ≥ 60) = 0.7475

μ = 62: P(X ≥ 60) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 62 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 600 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 600 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10% um mehr als 6 ml von den geforderten 600 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 594) + P(X ≥ 606) < 10% oder eben, dass P(594 ≤ X ≤ 606) ≥ 0.9 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 6 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 6 weniger als 2 σ entsprechen.

6 < 2⋅σ |:2
3 < σ

Wir starten also mal bei σ = 3 und erhöhen dieses so lange, bis P(594 ≤X ≤ 606) unter die 0.9 sinkt:

σ = 3: P(594 ≤ X ≤ 606) ≈ 0.9545

σ = 3.1: P(594 ≤ X ≤ 606) ≈ 0.9471

...

σ = 3.4: P(594 ≤ X ≤ 606) ≈ 0.9224

σ = 3.5: P(594 ≤ X ≤ 606) ≈ 0.9135

σ = 3.6: P(594 ≤ X ≤ 606) ≈ 0.9044

σ = 3.7: P(594 ≤ X ≤ 606) ≈ 0.8951

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 3.6 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 800 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 800 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 800) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 800) mindestens 0.9 ist:

μ = 800: P(X ≥ 800) = 0.5

μ = 801: P(X ≥ 800) = 0.6554

μ = 802: P(X ≥ 800) = 0.7881

μ = 803: P(X ≥ 800) = 0.8849

μ = 804: P(X ≥ 800) = 0.9452

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 804 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Es werden 95 Menschen zufällig ausgesucht und getestet. Wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 3 Hochbegabte, also mit einem IQ von mindestens 130, sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 95 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 95 und p = 0.0228 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.023}^{95} (X \geq 3)$ =

1 - $P_{0.023}^{95} (X \leq 2)$ ≈ 1 - 0.6326 = 0.3674

(TI-Befehl: binomcdf(95,0.0228,95) - binomcdf(95,0.0228,2))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 36,7%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Wie viele Menschen müsste man zufällig wählen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens 45% beträgt, dass darunter mindestens 2 Hochbegabte (mit einem IQ von mindestens 130) sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
66	0.5554
67	0.5477
68	0.5401
69	0.5326
70	0.5251
71	0.5177
72	0.5104
73	0.5031
74	0.4959
75	0.4888
76	0.4817
77	0.4747
78	0.4678
79	0.4609
80	0.4541
81	0.4474
82	0.4408
83	0.4342
84	0.4277
85	0.4212
86	0.4149
87	0.4086
88	0.4023
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02275 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.45

Weil man ja aber $P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ = 1 - $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≥ 0.45 |+ $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ - 0.45

0.55 ≥ $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ oder $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2.275% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{0.02275}$ ≈ 88 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.02275⋅88) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=88:
$P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≈ 0.4023 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.55 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.55 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=67 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.55 ist.

n muss also mindestens 67 sein, damit $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.55 oder eben $P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.45 gilt.

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Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw