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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=4 und der Standardabweichung σ=3 .

Berechne P(X ≤ 4.6).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 4.6) ≈ 0.5793

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=50 und der Standardabweichung σ=6 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.65. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.65 den Wert k ≈ 52.312.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 90 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 89,9 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 89.9) ≈ 0.5662

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 4 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1 cm. Wie lang muss dann ein solches Insekt mindestens sein, damit es zu den längsten 90% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 4 und der Standardabweichung σ = 1.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.9 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.9, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.1 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.9 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.1 liefert der WTR k ≈ 2.718.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -3 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{2 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 3}{2})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= -2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-4 ≤ X ≤ 4) ≈ 0.6247

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.028.

Bestimme P(-7 ≤ X ≤ 1).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -3.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -7) entspricht: P( X ≤ -7) = 0.028.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.028 - 0.028 = 0.944,

also P(-7 ≤ X ≤ 1) = 0.944

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(7|0.0499) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 7.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 7 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0499}$ ≈ 10.02 und runden diesen auf σ₁ = 10.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 7 und σ₁=10) an der gegebenen Stelle x = 7 und erhalten f₁(7) = 0.0399
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=10 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 7 berechnen:

μ = 7	σ = 9	f(7) = 0.0443
μ = 7	σ = 8	f(7) = 0.0499

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 8 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 140 und σ. Es gilt P(126 ≤ X ≤ 154) ≈ 0,954. Bestimme σ.

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Es gilt: P(126 ≤ X ≤ 154) ≈ 0,954
oder anders ausgedrückt:
P(μ - 14 ≤ X ≤ μ + 14) ≈ 0,954

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ - 2⋅σ) ≈ 0.954
muss also 2⋅σ = 14 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 7 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens die 4 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.75 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6554

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.7881

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 242 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 180 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 180 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 9 oder mehr Minuten bei unter 10% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 189) < 10% gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Wegen der Symmetrie der Glockenkurve folgt aus P(X ≥ 189) < 10% , dass P(171 ≤ X ≤ 189) > 80 % gelten muss.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 9 min eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 9 weniger als 2 σ entsprechen.

9 < 2⋅σ |:2
4.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 4.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≥ 189) über die 0.1 steigt:

σ = 4.5: P( X ≥ 189) ≈ 0.0227

σ = 4.6: P( X ≥ 189) ≈ 0.0252

...

σ = 6.7: P( X ≥ 189) ≈ 0.0896

σ = 6.8: P( X ≥ 189) ≈ 0.0928

σ = 6.9: P( X ≥ 189) ≈ 0.0961

σ = 7: P( X ≥ 189) ≈ 0.0993

σ = 7.1: P( X ≥ 189) ≈ 0.1025

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 7 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 4 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,6 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 60% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 4 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.6 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.6 den Wert k ≈ 4.152.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 30 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 36 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 29,7 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 5 Schrauben zu kurz sind?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 30 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 29.7) ≈ 0.2266 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 36 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 36 und p = 0.2266 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.227}^{36} (X \leq 5)$ =

$P_{0.227}^{36} (X \leq 5)$ = 0.1434

(TI-Befehl: binomcdf(36,0.2266,5) - binomcdf(36,0.2266,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 14,3%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 80 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,3 mm. Ist eine Schraube kürzer als 79,9 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80%, mindestens 19 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 80 und der Standardabweichung σ = 0.3.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 79.9) ≈ 0.630559 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.630559 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
30	0.4311
31	0.3436
32	0.2664
33	0.2013
34	0.1484
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.630559 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.631}^{n} (X \geq 19)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.631}^{n} (X \geq 19)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.631}^{n} (X \geq 19)$ = 1 - $P_{0.631}^{n} (X \leq 18)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.631}^{n} (X \leq 18)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.631}^{n} (X \leq 18)$ oder $P_{0.631}^{n} (X \leq 18)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 63.0559% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{19}{0.630559}$ ≈ 30 Versuchen auch ungefähr 19 (≈0.630559⋅30) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=30:
$P_{0.631}^{n} (X \leq 18)$ ≈ 0.4311 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=34 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 34 sein, damit $P_{0.631}^{n} (X \leq 18)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.631}^{n} (X \geq 19)$ ≥ 0.8 gilt.

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Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw