Mathebattle EduRandomtasks

Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=2 und der Standardabweichung σ=2.2 .

Berechne P(-2.4 ≤ X ≤ -0.2).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(-2.4 ≤ X ≤ -0.2) ≈ 0.1359

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=50 und der Standardabweichung σ=4.5 .

Es gilt P(X ≥ k) = 0.55. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

Lösung einblenden

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.55, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.45 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.55 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.45 liefert der WTR k ≈ 49.435.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 30 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube zwischen 30 und 30,1 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 30 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(30 ≤ X ≤ 30.1) ≈ 0.0568

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 85% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.85 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.85, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.15 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.85 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.15 liefert der WTR k ≈ 84.454.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 4}{1})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(3 ≤ X ≤ 7) ≈ 0.9545

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.266.

Bestimme P(1 ≤ X ≤ 2).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 2.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ 1) entspricht: P( X ≤ 1) = 0.266.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.266 - 0.266 = 0.468

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(1 ≤ X ≤ 2) = $\frac{0.468}{2}$ = 0.234

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-5|0.3989) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -5.

Bestimme die Standardabweichung σ.

Lösung einblenden

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -5 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.3989}$ ≈ 1.253 und runden diesen auf σ₁ = 1.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -5 und σ₁=1) an der gegebenen Stelle x = -5 und erhalten f₁(-5) = 0.3989
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Da dieser Wert tatsächlich dem gegebenen y-Wert 0.3989 entspricht, haben wir bereits unser gesuchtes σ gefunden.

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 1 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 210 und σ. Es gilt P(203 ≤ X ≤ 217) ≈ 0,683. Bestimme σ.

Lösung einblenden

Es gilt: P(203 ≤ X ≤ 217) ≈ 0,683
oder anders ausgedrückt:
P(μ - 7 ≤ X ≤ μ + 7) ≈ 0,683

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ - 1⋅σ) ≈ 0.683
muss also 1⋅σ = 7 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 7 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 3 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens die 4 min lang ist?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.9 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6306

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.7475

μ = 243: P(X ≥ 240) = 0.8413

μ = 244: P(X ≥ 240) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 244 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Maschine soll Schrauben der Länge 10 mm herstellen. Ein Kunde will die Maschine aber nur kaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit kleiner als 15% ist, dass die Länge einer Schraube um mehr als 1 mm von den geforderten 10 mm abweicht. Man kann davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 10. Welche Standardabweichung (auf eine Stelle hinter dem Komma genau) darf die Normalverteilung dieser Maschine höchstens haben?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 9) + P(X ≥ 11) < 15% oder eben, dass P(9 ≤ X ≤ 11) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 1 mm eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 1 weniger als 2 σ entsprechen.

1 < 2⋅σ |:2
0.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 0.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(9 ≤X ≤ 11) unter die 0.85 sinkt:

σ = 0.5: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.9545

σ = 0.6: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.9044

σ = 0.7: P(9 ≤ X ≤ 11) ≈ 0.8469

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 0.6 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Eine Firma produziert 80 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozesse treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,3 mm. Wie kurz darf dann eine Schraube höchstens sein, damit sie zu den kürzesten 50% der Schrauben gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 80 und der Standardabweichung σ = 0.3.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.5 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.5 den Wert k ≈ 80.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Durchschnitt 10,3 cm als maximalen Durchmesser und eine Standardabweichung von 2,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 80 Äpfel eines Erntehelfers mindestens 36 Stück in den Großhandel kommen?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 10.3 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.4315 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 80 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 80 und p = 0.4315 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.431}^{80} (X \geq 36)$ =

1 - $P_{0.431}^{80} (X \leq 35)$ ≈ 1 - 0.5895 = 0.4105

(TI-Befehl: binomcdf(80,0.4315,80) - binomcdf(80,0.4315,35))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 41,1%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Wie viele Menschen müsste man zufällig wählen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens 65% beträgt, dass darunter mindestens 2 Hochbegabte (mit einem IQ von mindestens 130) sind?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.02275 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.02275 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
92	0.3782
93	0.3723
94	0.3665
95	0.3608
96	0.3551
97	0.3496
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02275 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.65

Weil man ja aber $P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ = 1 - $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≥ 0.65 |+ $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ - 0.65

0.35 ≥ $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ oder $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.35

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2.275% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{2}{0.02275}$ ≈ 88 Versuchen auch ungefähr 2 (≈0.02275⋅88) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=88:
$P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≈ 0.4023 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.35 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.35 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=97 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.35 ist.

n muss also mindestens 97 sein, damit $P_{0.023}^{n} (X \leq 1)$ ≤ 0.35 oder eben $P_{0.023}^{n} (X \geq 2)$ ≥ 0.65 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw