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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=3 und der Standardabweichung σ=0.2 .

Berechne P(X ≥ 2.9).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 2.9) ≈ 0.6915

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=3.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.1. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.1 den Wert k ≈ 5.515.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 6 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,7 cm.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt größer oder gleich 4,7 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 6 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 4.7) ≈ 0.9684

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ darf man höchstens haben, um zu den dümmsten 60% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.6 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.6 den Wert k ≈ 103.8.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-3 ≤ X ≤ 1) ≈ 0.4719

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.278.

Bestimme P(-1 ≤ X ≤ 1).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 0.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -1) entspricht: P( X ≤ -1) = 0.278.

Für die roten Fläche(n) ergibt sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.278 - 0.278 = 0.444,

also P(-1 ≤ X ≤ 1) = 0.444

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(9|0.0285) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 9.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 9 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0285}$ ≈ 17.544 und runden diesen auf σ₁ = 18.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 9 und σ₁=18) an der gegebenen Stelle x = 9 und erhalten f₁(9) = 0.0222
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=18 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 9 berechnen:

μ = 9	σ = 17	f(9) = 0.0235
μ = 9	σ = 16	f(9) = 0.0249
μ = 9	σ = 15	f(9) = 0.0266
μ = 9	σ = 14	f(9) = 0.0285

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 14 sein.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Maschine, die Schrauben herstellt, kann man die Länge der Schrauben auf ganze mm einstellen. Trotzdem sind dann nicht alle produzierten Schrauben ganz exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Schraubenlänge normalverteilt ist mit der eingestellten Länge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,4 mm. Auf welchen Wert (ganzzahlig in mm) muss man die Maschine mindestens einstellen, wenn eine zufällig gewählte Schraube mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 35 mm lang sein soll?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 35 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 35) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 35) mindestens 0.75 ist:

μ = 35: P(X ≥ 35) = 0.5

μ = 36: P(X ≥ 35) = 0.7625

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 36 einstellen.

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient größer oder gleich 79 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 79) ≈ 0.9192

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 60 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,5 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 48 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 59,7 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 10 Schrauben zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 59.7) ≈ 0.2743 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 48 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 48 und p = 0.274 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.274}^{48} (X \leq 10)$ =

$P_{0.274}^{48} (X \leq 10)$ = 0.1962

(TI-Befehl: binomcdf(48,0.274,10) - binomcdf(48,0.274,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 19,6%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr einen maximalen Durchmesser von 8,7 cm und eine Standardabweichung von 1,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie viele Äpfel muss man mindestens ernten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 50 Stück an den Großhandel verkaufen zu können?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 8.7 und der Standardabweichung σ = 1.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.617 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.617 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
81	0.4531
82	0.3987
83	0.347
84	0.2986
85	0.2541
86	0.2138
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Äpfel im geforderten Größenbereich an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.617 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.617}^{n} (X \geq 50)$ ≥ 0.75

Weil man ja aber $P_{0.617}^{n} (X \geq 50)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.617}^{n} (X \geq 50)$ = 1 - $P_{0.617}^{n} (X \leq 49)$ ≥ 0.75 |+ $P_{0.617}^{n} (X \leq 49)$ - 0.75

0.25 ≥ $P_{0.617}^{n} (X \leq 49)$ oder $P_{0.617}^{n} (X \leq 49)$ ≤ 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 61.7% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{50}{0.617}$ ≈ 81 Versuchen auch ungefähr 50 (≈0.617⋅81) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=81:
$P_{0.617}^{n} (X \leq 49)$ ≈ 0.4531 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.25 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.25 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=86 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.25 ist.

n muss also mindestens 86 sein, damit $P_{0.617}^{n} (X \leq 49)$ ≤ 0.25 oder eben $P_{0.617}^{n} (X \geq 50)$ ≥ 0.75 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung Anwendung

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw