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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=3 und der Standardabweichung σ=2.2 .

Berechne P(3.4 ≤ X ≤ 3.8).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

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Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(3.4 ≤ X ≤ 3.8) ≈ 0.0698

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=8.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.35. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.35 den Wert k ≈ 6.725.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube zwischen 40 und 40,1 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(40 ≤ X ≤ 40.1) ≈ 0.0568

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 10% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.1 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.1, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.9 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.1 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.9 liefert der WTR k ≈ 119.223.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= -2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-6 ≤ X ≤ -5) ≈ 0.0674

Symmetrie nutzen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.452.

Bestimme P( X ≥ 3).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 0.

Somit gilt: P( X ≥ 0) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(0 ≤ X ≤ 3) = 0.452 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 3), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P( X ≥ 3) = 0,5 - 0.452 = 0.048

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(10|0.133) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 10.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 10 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also 0.5 0.133 ≈ 3.759 und runden diesen auf σ1 = 4.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 10 und σ1=4) an der gegebenen Stelle x = 10 und erhalten f1(10) = 0.0997
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ1=4 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ1 zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 10 berechnen:

μ = 10σ = 3f(10) = 0.133

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 3 sein.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 700 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 700 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 700) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 700) mindestens 0.75 ist:

μ = 700: P(X ≥ 700) = 0.5

μ = 701: P(X ≥ 700) = 0.7475

μ = 702: P(X ≥ 700) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 702 einstellen.

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 2 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,7 cm.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt größer oder gleich 2,1 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 2.1) ≈ 0.4432

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Es werden 105 Menschen zufällig ausgesucht und getestet. Wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass darunter mindestens 5 Hochbegabte, also mit einem IQ von mindestens 130, sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Mensch hochbegabt ist. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 130) ≈ 0.0228 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 105 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der hochbegabten Menschen mit einem IQ über 130 zählt) als binomialverteilt mit n = 105 und p = 0.023 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
P0.023105 (X5) =

1 - P0.023105 (X4) ≈ 1 - 0.9079 = 0.0921

(TI-Befehl: binomcdf(105,0.023,105) - binomcdf(105,0.023,4))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 9,2%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 35 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 4 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 40,6 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 6 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85 gewährleistet ist?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 35 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 40.6) ≈ 0.0808 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.0808 annehmen.

nP(X≤k)
......
540.8568
550.8466
560.8361
570.8253
580.8142
590.8028
600.7911
610.7792
620.7671
630.7548
640.7422
650.7295
660.7166
670.7036
680.6904
690.6772
700.6638
710.6504
720.6369
730.6234
740.6099
......

Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.0808 und variablem n.

Es muss gelten: P0.081n (X6) ≥ 0.85

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8.08% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 6 0.0808 ≈ 74 Versuchen auch ungefähr 6 (≈0.0808⋅74) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=74:
P0.081n (X6) ≈ 0.6099 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.85 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.85 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=54 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 85% ist.