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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=3 und der Standardabweichung σ=1.4 .

Berechne P(X ≥ 3).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 3) ≈ 0.5

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=30 und der Standardabweichung σ=4 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.8. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.8 den Wert k ≈ 33.366.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 50 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 50,1 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 50.1) ≈ 0.4338

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 2 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 85% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 2 und der Standardabweichung σ = 1.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.85 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.85 den Wert k ≈ 3.036.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{5 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x + 4}{5})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-1 ≤ X ≤ 1) ≈ 0.6827

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.048.

Bestimme P(-5 ≤ X ≤ -3).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -3.

Somit gilt: P( X ≤ -3) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P( X ≤ -5) = 0.048 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(-5 ≤ X ≤ -3), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(-5 ≤ X ≤ -3) = 0,5 - 0.048 = 0.452

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-6|0.0199) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -6.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -6 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0199}$ ≈ 25.126 und runden diesen auf σ₁ = 25.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -6 und σ₁=25) an der gegebenen Stelle x = -6 und erhalten f₁(-6) = 0.016
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=25 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -6 berechnen:

μ = -6	σ = 24	f(-6) = 0.0166
μ = -6	σ = 23	f(-6) = 0.0173
μ = -6	σ = 22	f(-6) = 0.0181
μ = -6	σ = 21	f(-6) = 0.019
μ = -6	σ = 20	f(-6) = 0.0199

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 20 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 8. Es gilt P(94 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,477. Bestimme μ.

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Es gilt: P(94 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,477≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.954}{2}$ sein.
Mit σ = 8 gilt somit: P(μ - 16 ≤ X ≤ μ) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wenn man dies mit der 1 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 94 um 16 kleiner als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 94 + 16 = 110 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens die 4 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.75 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6915

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 242 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 500 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 500 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% um mehr als 2 ml von den geforderten 500 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 498) + P(X ≥ 502) < 5% oder eben, dass P(498 ≤ X ≤ 502) ≥ 0.95 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 2 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 2 weniger als 2 σ entsprechen.

2 < 2⋅σ |:2
1 < σ

Wir starten also mal bei σ = 1 und erhöhen dieses so lange, bis P(498 ≤X ≤ 502) unter die 0.95 sinkt:

σ = 1: P(498 ≤ X ≤ 502) ≈ 0.9545

σ = 1.1: P(498 ≤ X ≤ 502) ≈ 0.931

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 1 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 40% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.4 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.4, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.6 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.4 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.6 liefert der WTR k ≈ 103.8.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 60 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 4 mm. Ein Forscher entdeckt insgesamt 55 solcher Insekten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 3, aber nicht mehr als 6 dieser Insekten größer als 64 mm sind.

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 64) ≈ 0.1587 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 55 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 55 und p = 0.1587 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.159}^{55} (3 \leq X \leq 6)$ =

...

0

1

2

3

4

5

6

7

8

...

$P_{0.159}^{55} (X \leq 6)$ - $P_{0.159}^{55} (X \leq 2)$ ≈ 0.2096 - 0.0048 = 0.2048

(TI-Befehl: binomcdf(55,0.1587,6) - binomcdf(55,0.1587,2))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 20,5%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Ist eine Schraube kürzer als 39,6 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 85%, mindestens 10 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 39.6) ≈ 0.747508 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.747508 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
13	0.4241
14	0.2658
15	0.1539
16	0.0833
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.747508 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.748}^{n} (X \geq 10)$ ≥ 0.85

Weil man ja aber $P_{0.748}^{n} (X \geq 10)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.748}^{n} (X \geq 10)$ = 1 - $P_{0.748}^{n} (X \leq 9)$ ≥ 0.85 |+ $P_{0.748}^{n} (X \leq 9)$ - 0.85

0.15 ≥ $P_{0.748}^{n} (X \leq 9)$ oder $P_{0.748}^{n} (X \leq 9)$ ≤ 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 74.7508% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{10}{0.747508}$ ≈ 13 Versuchen auch ungefähr 10 (≈0.747508⋅13) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=13:
$P_{0.748}^{n} (X \leq 9)$ ≈ 0.4241 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.15 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.15 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=16 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.15 ist.

n muss also mindestens 16 sein, damit $P_{0.748}^{n} (X \leq 9)$ ≤ 0.15 oder eben $P_{0.748}^{n} (X \geq 10)$ ≥ 0.85 gilt.

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Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

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Mittelwert, Standardabw. ablesen

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Sigmaregel rückwärts

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Normalverteilung variables σ

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Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw