Mathebattle EduRandomtasks

Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=2 und der Standardabweichung σ=0.6 .

Berechne P(1.4 ≤ X ≤ 1.6).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(1.4 ≤ X ≤ 1.6) ≈ 0.0938

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=30 und der Standardabweichung σ=8 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.6. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

Lösung einblenden

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.6 den Wert k ≈ 32.027.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient zwischen 91 und 103 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Und schon kann man das Ergebnis ablesen:

P(91 ≤ X ≤ 103) ≈ 0.305

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 60% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.6 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.6, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.4 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.6 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.4 liefert der WTR k ≈ 96.2.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 2}{1})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

Lösung einblenden

Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(1 ≤ X ≤ 2) ≈ 0.3413

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.461.

Bestimme P( X ≥ 6).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

Lösung einblenden

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 3.

Somit gilt: P( X ≥ 3) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P(3 ≤ X ≤ 6) = 0.461 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 6), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P( X ≥ 6) = 0,5 - 0.461 = 0.039

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(0|0.0798) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 0.

Bestimme die Standardabweichung σ.

Lösung einblenden

Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 0 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0798}$ ≈ 6.266 und runden diesen auf σ₁ = 6.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 0 und σ₁=6) an der gegebenen Stelle x = 0 und erhalten f₁(0) = 0.0665
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=6 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 0 berechnen:

μ = 0

σ = 5

f(0) = 0.0798

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 5 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 290 und σ. Es gilt P(304 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,1585. Bestimme σ.

Lösung einblenden

Es gilt: P(304 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,1585
oder anders ausgedrückt:
P(μ + 14 ≤ X ≤ ∞) ≈ 0,5 - 0.3415 = 0,5 - $\frac{0.683}{2}$

wegen P(μ ≤ X ≤ ∞) = 0,5 gilt somit:
P(μ ≤ X ≤ μ + 14) ≈ $\frac{0.683}{2}$

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 14 ≤ X ≤ μ + 14) ≈ 0,683

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 1⋅σ ≤ X ≤ μ - 1⋅σ) ≈ 0.683
muss also 1⋅σ = 14 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 14 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 800 ml drin ist?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 800 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 800) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 800) mindestens 0.75 ist:

μ = 800: P(X ≥ 800) = 0.5

μ = 801: P(X ≥ 800) = 0.6554

μ = 802: P(X ≥ 800) = 0.7881

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 802 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 600 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 600 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10% um mehr als 3 ml von den geforderten 600 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 597) + P(X ≥ 603) < 10% oder eben, dass P(597 ≤ X ≤ 603) ≥ 0.9 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 3 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 3 weniger als 2 σ entsprechen.

3 < 2⋅σ |:2
1.5 < σ

Wir starten also mal bei σ = 1.5 und erhöhen dieses so lange, bis P(597 ≤X ≤ 603) unter die 0.9 sinkt:

σ = 1.5: P(597 ≤ X ≤ 603) ≈ 0.9545

σ = 1.6: P(597 ≤ X ≤ 603) ≈ 0.9392

σ = 1.7: P(597 ≤ X ≤ 603) ≈ 0.9224

σ = 1.8: P(597 ≤ X ≤ 603) ≈ 0.9044

σ = 1.9: P(597 ≤ X ≤ 603) ≈ 0.8857

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 1.8 einstellen.

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 90 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,5 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 89,5 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

Lösung einblenden

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 89.5) ≈ 0.8413

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 36 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 69,8 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 9 Schrauben zu kurz sind?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 69.8) ≈ 0.3085 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 36 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 36 und p = 0.3085 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.309}^{36} (X \leq 9)$ =

$P_{0.309}^{36} (X \leq 9)$ = 0.2866

(TI-Befehl: binomcdf(36,0.3085,9) - binomcdf(36,0.3085,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 28,7%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 50 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 7 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 60,5 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 5 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% gewährleistet ist?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 60.5) ≈ 0.066807 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.066807 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
63	0.7563
64	0.745
65	0.7335
66	0.7219
67	0.7102
68	0.6984
69	0.6865
70	0.6746
71	0.6625
72	0.6505
73	0.6384
74	0.6263
75	0.6141
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.066807 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.067}^{n} (X \leq 5)$ ≥ 0.75

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 6.6807% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{5}{0.066807}$ ≈ 75 Versuchen auch ungefähr 5 (≈0.066807⋅75) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=75:
$P_{0.067}^{n} (X \leq 5)$ ≈ 0.6141 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.75 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.75 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=63 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 75% ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw