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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=2 und der Standardabweichung σ=1.2 .

Berechne P(X = 0.6).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

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Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, kann man nur Wahrscheinlichkeiten von Intervallen berechnen.

Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert ist immer =0, somit gilt auch hier: P(X = 0.6) = 0.

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=6 .

Es gilt P(X ≥ k) = 0.2. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.2, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.8 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.2 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.8 liefert der WTR k ≈ 15.05.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 3 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 0,6 cm.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt größer oder gleich 1,9 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 3 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 1.9) ≈ 0.9666

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ muss man mindestens haben, um zu den schlausten 20% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.2 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.2, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.8 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.2 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.8 liefert der WTR k ≈ 112.624.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = 1 σ · 2π · e - 1 2 ( x - μ σ ) 2 ergibt:

φ(x) = 1 3 2π · e - 1 2 ( x +4 3 ) 2

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 5 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(0 ≤ X ≤ 7) ≈ 0.4968

Symmetrie nutzen

Beispiel:

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Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.028.

Bestimme P(1 ≤ X ≤ 5).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 1.

Somit gilt: P( X ≥ 1) = 0,5.

Aus dem Schaubild können wir lesen, dass P( X ≥ 5) = 0.028 (Flächeninhalt der blauen Fläche). Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(1 ≤ X ≤ 5), die dem Flächeninhalt der roten Fläche entspricht:

P(1 ≤ X ≤ 5) = 0,5 - 0.028 = 0.472

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(9|0.133) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 9.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 9 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also 0.5 0.133 ≈ 3.759 und runden diesen auf σ1 = 4.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 9 und σ1=4) an der gegebenen Stelle x = 9 und erhalten f1(9) = 0.0997
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ1=4 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ1 zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 9 berechnen:

μ = 9σ = 3f(9) = 0.133

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 3 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ = 220 und σ. Es gilt P(-∞ ≤ X ≤ 205) ≈ 0,0015. Bestimme σ.

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Es gilt: P(-∞ ≤ X ≤ 205) ≈ 0,0015
oder anders ausgedrückt:
P(-∞ ≤ X ≤ μ - 15) ≈ 0,5 - 0,4985 = 0,5 - 0,997 2

wegen P(-∞ ≤ X ≤ μ) = 0,5 gilt somit:
P(μ - 15 ≤ X ≤ μ) ≈ 0,997 2

Wegen der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve gilt dann:
P(μ - 15 ≤ X ≤ μ + 15) ≈ 0,997

Aufgrund der Sigma-Regel P(μ - 3⋅σ ≤ X ≤ μ - 3⋅σ) ≈ 0.997
muss also 3⋅σ = 15 sein.

Für die Standardabweichung gilt somit: σ = 5 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 1,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 600 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 600 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 600) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 600) mindestens 0.75 ist:

μ = 600: P(X ≥ 600) = 0.5

μ = 601: P(X ≥ 600) = 0.7475

μ = 602: P(X ≥ 600) = 0.9088

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 602 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Ein Fernreisebusunternehmen gibt als Reisezeit zwischen zwei Städte 300 Minuten an. Da die tatsächliche Fahrtzeit immer etwas schwankt, kann sie als normalverteilt mit Erwartungswert μ = 300 und einer Standardabweichung σ angenommen werden. Das Unternehmen wirbt damit, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von 6 oder mehr Minuten bei unter 10% liegt. Wie groß darf dann die Standardabweichung σ der Normalverteilung dieser Fahrten (auf eine Stelle nach dem Komma gerundet) maximal sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Fahrtzeit in Minuten.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≥ 306) < 10% oder eben, dass P(X ≤ 306) ≥ 0.9 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion. Wir starten also mit einem sehr kleinen σ und erhöhen dieses so lange, bis P(X ≤ 306) unter die 0.9 sinkt:

σ = 0.1: P(X ≤ 306) ≈ 1

...

σ = 4.3: P(X ≤ 306) ≈ 0.9185

σ = 4.4: P(X ≤ 306) ≈ 0.9137

σ = 4.5: P(X ≤ 306) ≈ 0.9088

σ = 4.6: P(X ≤ 306) ≈ 0.9039

σ = 4.7: P(X ≤ 306) ≈ 0.8991

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 4.6 einstellen.

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 3 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1 cm. Wie lang darf ein solches Insekt höchstens sein, damit es zu den kleinsten 35% dieser Insekten gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 3 und der Standardabweichung σ = 1.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.35 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.35 den Wert k ≈ 2.615.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Die Äpfel einer großen Plantage haben in einem bestimmten Jahr im Durchschnitt 8,8 cm als maximalen Durchmesser und eine Standardabweichung von 2,5 cm. Der Großhandel nimmt nur Äpfel an, die zwischen 8 und 11 cm groß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 95 Äpfel eines Erntehelfers mindestens 45 Stück in den Großhandel kommen?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den maximalen Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 8.8 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.4361 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 95 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit n = 95 und p = 0.436 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
P0.43695 (X45) =

1 - P0.43695 (X44) ≈ 1 - 0.7382 = 0.2618

(TI-Befehl: binomcdf(95,0.436,95) - binomcdf(95,0.436,44))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 26,2%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Ist eine Schraube kürzer als 69,7 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80%, mindestens 25 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 69.7) ≈ 0.665883 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.665883 annehmen.

nP(X≤k)
......
380.3846
390.3042
400.2344
410.1761
......

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.665883 und variablem n.

Es muss gelten: P0.666n (X25) ≥ 0.8

Weil man ja aber P0.666n (X25) nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

P0.666n (X25) = 1 - P0.666n (X24) ≥ 0.8 |+ P0.666n (X24) - 0.8

0.2 ≥ P0.666n (X24) oder P0.666n (X24) ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 66.5883% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei 25 0.665883 ≈ 38 Versuchen auch ungefähr 25 (≈0.665883⋅38) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=38:
P0.666n (X24) ≈ 0.3846 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=41 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 41 sein, damit P0.666n (X24) ≤ 0.2 oder eben P0.666n (X25) ≥ 0.8 gilt.