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Addieren (einfache Nenner)

Beispiel:

Suche einen gemeinsamen Nenner für beide Brüche und berechne dann. Kürze, falls möglich.

$\frac{4}{7}$ $-$ $\frac{3}{35}$

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Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 35 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 5 erweitert:

$\frac{4}{7}$ $-$ $\frac{3}{35}$

= $\frac{20}{35}$ $-$ $\frac{3}{35}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

= $\frac{20-3}{35}$

= $\frac{17}{35}$

Addieren und Subtrahieren

Beispiel:

Suche einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner für beide Brüche und berechne dann. Kürze, falls möglich.

$\frac{9}{8}$ + $\frac{9}{10}$

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Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 40 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 5 und den 2. Bruch mit 4 erweitert:

$\frac{9}{8}$ + $\frac{9}{10}$

= $\frac{45}{40}$ + $\frac{36}{40}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

= $\frac{45 + 36}{40}$

= $\frac{81}{40}$

Addieren, Subtrahieren rückwärts

Beispiel:

Berechne die fehlende Zahl. Gib diese als vollständig gekürzten Bruch an.

⬜ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{61}{40}$

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Wie immer beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen erst alle Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden. Man kann erkennen, dass man dazu hier beide Brüche auf den Nenner 40 bringen kann, indem man den Bruch links vom Gleichheitszeichen mit 5 erweitert:

⬜ + $\frac{25}{40}$ = $\frac{61}{40}$

Wenn wir jetzt den Nenner des gesuchten Bruchs auch auf 40 setzen, also ⬜ = $\frac{◊}{40}$ , müssen wir uns noch um die Zähler kümmern:

$\frac{◊}{40}$ + $\frac{25}{40}$ = $\frac{61}{40}$

◊ + $25$ = $61$

Jetzt erkennt man gut, dass die Raute ◊ = 36 sein muss, denn 36 + $25$ = $61$ .

Der gesuchte Bruch ist somit ⬜ = $\frac{◊}{40}$ = $\frac{36}{40}$ = $\frac{9}{10}$ .

Addieren, Subtrahieren (mit Vorzeichen)

Beispiel:

Suche einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner für beide Brüche und berechne dann. Kürze, falls möglich.

$- \frac{4}{3}$ $-$ $(- \frac{8}{9})$

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Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 9 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 3 erweitert:

$- \frac{4}{3}$ $-$ $(- \frac{8}{9})$

= $- \frac{12}{9}$ $-$ $(- \frac{8}{9})$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

Dabei darf man nicht vergessen, das Vorzeichen in den Zähler hoch zu holen:

= $\frac{-12-(-8)}{9}$

= $\frac{-12+8}{9}$

= $\frac{-4}{9}$

= $- \frac{4}{9}$

Addieren, Subtrah. (gemischte Brüche)

Beispiel:

Berechne und kürze, falls möglich.

$\frac{8}{7}$ $-$ $2 \frac{2}{3}$

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Am unproblematischsten ist es, wenn man als erstes die gemischten Brüche in echte Brüche umwandelt:

$2 \frac{2}{3}$ = $2 + \frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3} + \frac{2}{3}$ = $\frac{6 + 2}{3}$ = $\frac{8}{3}$

Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 21 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 3 und den 2. Bruch mit 7 erweitert:

$\frac{8}{7}$ $-$ $\frac{8}{3}$

= $\frac{24}{21}$ $-$ $\frac{56}{21}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

= $\frac{24-56}{21}$

= $\frac{-32}{21}$

= $- \frac{32}{21}$

Add./Subtr. rückwärts negative Brüche

Beispiel:

Berechne die fehlende Zahl. Gib diese als vollständig gekürzten Bruch an.

$- \frac{8}{5}$ + ⬜ = $- \frac{4}{15}$

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Wie immer beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen erst alle Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden. Man kann erkennen, dass man dazu hier beide Brüche auf den Nenner 15 bringen kann, indem man den Bruch links vom Gleichheitszeichen mit 3 erweitert:

$- \frac{24}{15}$ + ⬜ = $- \frac{4}{15}$

Wenn wir jetzt den Nenner des gesuchten Bruchs auch auf 15 setzen, also ⬜ = $\frac{◊}{15}$ , müssen wir uns noch um die Zähler kümmern:

$- \frac{24}{15}$ + $\frac{◊}{15}$ = $- \frac{4}{15}$

$- 24$ + ◊ = $- 4$

Jetzt erkennt man gut, dass die Raute ◊ = 20 sein muss, denn $- 24$ + 20 = $- 4$ .

Der gesuchte Bruch ist somit ⬜ = $\frac{◊}{15}$ = $\frac{20}{15}$ = $\frac{4}{3}$ .

Add./Subtr. zum Knobeln

Beispiel:

Finde den Wert für ⬜, so dass die Gleichung stimmt.

$\frac{9}{⬜}$ $-$ $\frac{7}{3 ⋅ ⬜}$ = $\frac{2}{3}$

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Wir wissen ja, dass man Brüche nur dann addieren oder subtrahieren kann, wenn sie gleiche Nenner haben.
Deswegen erweitern wir auch hier den ersten Bruch mit 3:

$\frac{3 ⋅
9}{3 ⋅ ⬜}$ $-$ $\frac{7}{3 ⋅ ⬜}$ = $\frac{2}{3}$

Auch wenn wir die Nenner auf der linken Seite nicht kennen, so sind (jetzt) doch beide Nenner gleich und wir können die Zähler miteinander verrechnen:

$\frac{27}{3 ⋅ ⬜}$ $-$ $\frac{7}{3 ⋅ ⬜}$ = $\frac{2}{3}$

$\frac{27-7}{3 ⋅ ⬜}$ = $\frac{2}{3}$

$\frac{20}{3 ⋅ ⬜}$ = $\frac{2}{3}$

Um die beiden Brüche links und rechts vom Gleichheitszeichen besser vergleichen zu können, und weil wir ja den linken Nenner nicht kennen, versuchen wir eben die beiden Zähler gleich groß zu bekommen und erweitern deswegen den rechten Bruch mit 10:

$\frac{20}{3 ⋅ ⬜}$ = $\frac{20}{30}$

Beide Zähler sind jetzt gleich, also müssen auch die beiden Nenner gleich sein, damit das Gleichheitszeichen stimmt:

3 ⋅ ⬜ = 30

Jetzt ist leicht zu erkennen:

⬜ = 10

Zur Sicherheit noch die Probe:
$\frac{9}{10}$ $-$ $\frac{7}{30}$ = $\frac{27}{30}$ $-$ $\frac{7}{30}$ = $\frac{20}{30}$ = $\frac{2}{3}$

Add./Subtr. Rechenvorteile

Beispiel:

Berechne. Suche dabei nach Rechenvorteilen.

$\frac{11}{5}$ $+ (- \frac{1}{5} + \frac{2}{7})$

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Als erstes lösen wir die Klammer auf. Da ja kein Minus vor der Klammer steht, können wir diese einfach weg lassen:

$\frac{11}{5} - \frac{1}{5} + \frac{2}{7}$

Jetzt können wir ja die beiden ersten Brüche miteinander verrechnen:

$\frac{10}{5}$ $+ \frac{2}{7}$

= $2$ $+ \frac{2}{7}$

= $\frac{14}{7}$ $+ \frac{2}{7}$

= $\frac{16}{7}$

3 Brüche addieren

Beispiel:

Berechne: $- \frac{7}{6} + \frac{9}{8} + \frac{4}{3}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Zuerst bringen wir alle drei Brüche auf den gleichen Nenner. Als Hauptnenner bietet sich hier 24 an.

Wir erweitern also jeden Bruch auf den Haupnenner 24:

$- \frac{7}{6} + \frac{9}{8} + \frac{4}{3}$

= $- \frac{28}{24} + \frac{27}{24} + \frac{32}{24}$

= $\frac{31}{24}$